Сборник задач по Физике Чертов, Воробьев

А.г: ЧЕРТОВ А. А. ВОРОБЬЕВ А Х ЧЕРТОВ А.А.ВОРОББЕВ ЗАДАЧНИК ПО ФИЗИКЕ ИЗДАНИЕ ПЯТОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебного пособия для студентов высших технических учебных заведений МОСКВА «ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1988 ББК 22.31 4 50 У Д К 530.1(076) Р е ц е н з е н т — кафедра общей физики Московского института электронного машиностроения (зав. кафедрой — проф. А. Н. Губкин) Ч 50 Чертов А. Г., Воробьев А. А. Задачник по физике: Учеб, пособие для студентов вту зов.— 5-е изд., перераб. и доп.— М.: Высш. шк., 1988.— 527 с.: ил. ISBN 5—06—001183—6. Задачник составлен в соответствии с действующей программой по курсу фи зики для втузов. В каждый раздел включено достаточное количество задач, труд ность которых возрастает с увеличением порядкового номера. В начале каждого параграфа приводятся основные законы и формулы, даются примеры решения ти повых задач. В 5-м издании ( 4 - е — 1981 г.) учтены новые ГОСТы на терминоло гию, обозначения и единицы, включены новые задачи. „ 1704000000 (4309000000)—213 , со 4 001 (01)—88------------ 5 4 - 8 8 ББК 22.31 530.1 ISBN 5—06—001183—6 © Издательство «Высшая школа», 1981 © Издательство «Высшая школа», 1988, с изменениями ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ........................................................................................................ Глава 1. Физические основы м е х а н и к и ..................................................... § 1. Кинематика ....................................................................................... § 2. Динамика материальной точки и тела, движущихся посту пательно ............................................................................................. § 3. Динамика вращательного движения твердого тела вокруг не подвижной о с и ................................................................................ § 4. Силы в м ех ан и к е.................................................................. 60 § 5. Релятивистская м е х а н и к а ................................................. 74 § 6. Механические ко л еб ан и я..................................................... 83 § 7. Волны в упругой среде. А ку сти к а.................................. 99 Глава 2. Молекулярная физика и термодинамика................................ § 8. Молекулярное строение вещества. Законы идеальных газов § 9. Молекулярно-кинетическая теорияг а з о в .................................. § 10. Элементы статистической ф и з и к и ............................................. §11. Физические основы термодинамики......................................... § 12. Реальные газы. Ж и дк о сти .................................................. 156 Глава 3. Электростатика........................................................................ 170 § 13. Закон Кулона. Взаимодействие заряженных т е л ...... 170 § 14. Напряженность электрического поля. Электрическое сме щение ................................................................................................. § 15. Потенциал. Энергия системы электрических зарядов. Работа по перемещению заряда в п о л е...................................................... § 16. Электрический диполь. Свойства диэлектриков.......... 212 § 17. Электрическая емкость. Конденсаторы............................ 225 § 18. Энергия заряженного проводника. Энергия электрического п о л я ........................................................................................... 231 Глава 4. Постоянный электрический т о к ................................................... § 19. Основные законы постоянного т о к а ............................... 237 § 20. Ток в металлах, жидкостях и г а з а х .......................... 247 Глава 5. §21. § 22. § 23. § 24. § 25. Электромагнетизм.................................. .......................................... Магнитное поле постоянного т о к а ............................................. Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле Сила, действующая на заряд, движущийся в магнитном поле Закон полного тока. Магнитный поток. Магнитные цепи Работа по перемещению проводника с током в магнитном поле. Электромагнитная индукция. Индуктивность. . . . § 26. Энергия магнитного п о л я .................................................... 305 § 27. Магнитные свойства вещ ества............................................ 310 Глава 6. § 28. § 29. § 30. §31. § 32. § 33. 5 6 6 19 41 ИЗ ИЗ 121 127 140 177 194 237 256 256 268 279 287 294 О п т и к а .......................................................................................................317 Геометрическая о п т и к а ....................................................... 317 Ф отометрия............................................................................. 326 Интерференция с в е т а .......................................................... 330 Дифракция с в е т а ............................................................................ 340 Поляризация с в е т а .......................................................................... 348 Оптика движущихся тел ........................................................ .... . 355 3 Г лава 7 Квантово-оптические явления Физикаа т о м а ...................... § 34 Законы теплового излучения...................................................... § 35 Фотоэлектрический эф ф ект........................................................... § 36. Давление света Ф отоны ............................................................... § 37. Эффект К ом птона........................................................................... § 38. Атом водорода по теории Б о р а .................................................. § 39. Рентгеновское излучение .............................................................. Глава 8. Физика атомного ядра и элементарных ч а с т и ц .................... § 40. Строение атомных ядер .................................................................. § 41. Радиоактивность............................................................................. § 42. Элементы дозиметрии ионизирующих и зл у ч ен и й ................ § 43. Дефект массы и энергия связи атомных я д е р .................... § 44. Ядерные р еакц и и ............................................................................. Глава 9. Элементы квантовой механики . , . . ................................. § 45. Волновые свойства м икрочастиц................................................ § 46. Простейшие случаи движениям икрочастиц............................ § 47. Строение атома . . ......................................................................... § 48. Спектры м о л еку л ............................................................................. Глава 10, Физика твердого т е л а ........................................................... § 49. Элементы кристаллографии......................................................... § 50. Тепловые с в о й с т в а ......................................................................... §51. Электрические и магнитные свойства твердых тел . . . . П рилож ен ия........................................................................................................ I. О приближенных вы числениях................................................................ II. Некоторые сведения по м атем атике.................................................... III. Некоторые сведения о единицахфизических в е л и ч и н ................... IV. Таблицы физических вел и ч и н ............................................................... Ответы . . . ..................................................................................................... 360 360 364 367 370 373 376 380 380 385 389 394 397 403 403 410 422 434 441 441 449 461 470 470 471 473 477 482 ПРЕДИСЛОВИЕ Пятое издание «Задачника по физике» переработано и в настоя щем виде соответствует программе курса физики для высших техни ческих учебных заведений. Задачи систематизированы по разделам программы. По некото рым, наиболее трудным задачам в ответах даны указания к решениям или приведены расчетные формулы. Как и в предыдущем издании, ответы даны с точностью до трех значащих цифр. С таким же числом значащих цифр выражены величины в условиях задач, а также в спра вочных таблицах. Значащие цифры — нули, стоящие в конце чисел,— в целях упрощения записи опущены. В отличие от четвертого издания (М., Высшая школа, 1981) в дан ном издании внесен ряд изменений. Из гл. 10 задачи по диэлектрикам перенесены в гл. 3, задачи по магнитным свойствам вещества — в гл. 5. Подверглась некоторой переработке и пополнена новыми задачами гл. 2 «Молекулярная физика и термодинамика». Значительно обновлен также набор задач по физике атомного ядра. В связи с переработкой задачника несколько изменилась нумера ция задач. Авторы выражают благодарность преподавателям кафедры общей физики Московского института электронного машиностроения (зав. кафедрой — проф. А. Н. Губкин). Их ценные советы были использо ваны авторами при подготовке задачника к новому изданию. Авторы ГЛАВА 1 ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ § 1. КИНЕМАТИКА Основные формулы • Положение материальной точки в пространстве задается радиусом-вектором г: r= b c + jy + k z , где i, j, к — единичные векторы направлений (орты); х, у, z — коор динаты точки. Кинематические уравнения движения в координатной форме: x = h (t ); y = f2(t)-, z= fs(t), где t — время. # Средняя скорость где Аг — перемещение материальной точки за интервал времени ДА Средняя путевая скорость As <t>> = At где As — путь, пройденный точкой за интервал времени А/. Мгновенная скорость dr . . . где о* = -gjr; = , , v = -g7- = K>*+J0ff + ko„ V* ~ W — проекции скорости v на оси координат. Модуль скорости v = Vv% + v2 y + vl. • Ускорение а = -gj- = Шд. -Ь jcty -Ь kciZi где ax = -g^-; ay = -gf-'. проекции ускорения а на оси координат. * См. об этом термине, например, в кн.: Детлаф А . Л. и др. Курс фи зики. М., 1973. Т. I. С. 17. 6 Модуль ускорения а = Уа% + агу + а\. При криволинейном движении ускорение можно представить как сумму нормальной ап и тангенциальной ат составляющих (рис. 1.1): а = а„ + ах. Модули этих ускорений: ^^2 - > U— у йп "Ь Cl\, Л/; = ^ Рис. 1.1 где # — радиус кривизны в данной точке траектории. • Кинематическое уравнение равномерного движения мате риальной точки вдоль оси х x= x0-\-vt, где Хо — начальная координата; t — время. При равномерном дви жении u=const и а= 0. • Кинематическое уравнение равнопеременного движения (а— е=const) ВДОЛЬ ОСИ X x = x 0-\-v(>t-\-at2/2, где i>o — начальная скорость; t — время. Скорость точки при равнопеременном движении v= v0-jrat. • Положение твердого тела (при заданной оси вращения) опре деляется углом поворота (или угловым перемещением) ср. Кинематическое уравнение вращательного движения Ф = /(0 • Средняя угловая скорость < (0 > _ Аср А/ где Дер — изменение угла поворота за интервал времени At. Мгновенная угловая скорость * dp сок= __ dt 9 Угловое ускорение * dco Е= ■ d^ Кинематическое уравнение равномерного вращения ф—фо4 ~®t, где ф0 — начальное угловое перемещение; t — время. При равномерном вращении co=const и £—0. • * Угловая скорость и угловое ускорение являются аксиальными век торами, их направления совпадают с осью вращения. 7 Частота вращения n = N /t , или п = \/Т 9 где N — число оборотов, совершаемых телом за время t\ Т — период вращения (время одного полного оборота). • Кинематическое уравнение равнопеременного вращения (e=const) ф —фо~ЬСОоt~\~8/2/2, где соо — начальная угловая скорость; t — время. Угловая скорость тела при равнопеременном вращении (о=(о0+е^. • Связь между линейными и угловыми величинами, характери зующими вращение материальной точки, выражается следующими формулами: путь, пройденный точкой по дуге окружности радиусом R , s=q>R (ф — угол поворота тела); скорость точки линейная v=(oR\ v=[<oR]; ускорение точки: тангенциальное ax = eR\ ax = [eR]; нормальное an= (>)2R; an= —(o2R. Примеры решения задач Пример 1. Кинематическое уравнение движения материальной точки по прямой (ось х) имеет вид x=A-\-Bt-\-Ctz9 где А —4 м, В= =2 м/с, С = —0,5 м/с2. Для момента времени U=2 с определить: 1) координату Хг точки, 2) мгновенную скорость vlt 3) мгновенное ускорение af. Р е ш е н и е . 1. Координату точки, для которой известно кине матическое уравнение движения, найдем, подставив в уравнение движения вместо t заданное значение времени h: хг = А + B tx + Ci\. Подставим в это выражение значения А, В, С, U и произведем вы числения: # i= (4 + 2 -2—0,5 -23) м = 4 м. 2. Мгновенную скорость в произвольный момент времени найдем, djc продифференцировав координату х по времени: = = В + ЗС/а. Тогда в заданный момент времени мгновенная скорость 1Н=В+ЗСЦ. Подставим сюда значения В, С, h и произведем вычисления: i>i=—4 м/с. 8 Знак минус указывает на то, что в момент времени tt = 2 с точка дви жется в отрицательном направлении координатной оси. 3. Мгновенное ускорение в произвольный момент времени най дем, взяв вторую производную от координаты х по времени: d^х dy 0 = -jj2r = -gj- = 6C/. Мгновенное ускорение в заданный момент вре мени равно йг —бСи. Подставим значения С, U и произведем вычисления: ах=( —6 -0,5-2) м/с= —6 м/с. Знак минус указывает на то, что направление вектора ускорения совпадает с отрицательным направлением координатной оси, при чем в условиях данной задачи это имеет место для любого момента времени. Пример 2. Кинематическое уравнение движения материальной точки по прямой (ось х) имеет вид x=A-hBt~hCt1 2r где А =5 м, В= =4 м/с, С= —1 м/с2. 1. Построить график зависимости координаты х и пути s от времени. 2. Определить среднюю скорость <vx> за ин тервал времени от \ с до с. 3. Найти среднюю путевую ско рость <у> за тот же интервал времени. Р е ш е н и е . 1. Для построения графика зависимости коорди наты точки от времени найдем характерные значения координаты — начальное и максимальное и моменты времени, соответствующие ука занным координатам и координате, равной нулю. Начальная координата соответствует моменту t= 0. Ее значение равно Xo = x \t=0 = A — 5 м. Максимального значения координата достигает в тот момент, когда точка начинает двигаться обратно (скорость меняет знак). Этот момент времени найдем, приравняв нулю первую производную dx от координаты повремени: u = -g^- = B + 2Ct = 0, откуда' t= —В/2С=2 с. Максимальная координата *max = * / f =2 = 9 м. Момент времени /, когда координата х==01 найдем из выражения x= A + B t+ C t*= 0. Решим полученное квадратное уравнение относительно t: _ — В ± Y В2— 4АС 1~ 2С Подставим значения Л, В, С и произведем вычисления: *=(2±3) с. Таким образом, получаем два значения времени: t ' = 5 с и /*= *=—1 с. Второе значение времени отбрасываем, так как оно не удов летворяет условию задачи (tÔ). 9 *1=1 tB— 2 •%iax = 9 t' = 5 х= 0 12—6 1 I(IМ н 00 II Время, с Координата, м II о II II О СП Г рафик зависимости координаты точки от времени представляет собой кривую второго порядка. Для его построения необходимо иметь пять точек, так как уравнение кривой второго порядка со держит пять коэффициентов. Поэтому кроме трех вычисленных ра нее характерных значений координаты найдем еще два значения координаты, соответствующие моментам ^ = 1 с и t 2= 6 с: Xi = А -|- Bt^-\- Ct \ = 8 м, лг2=== А -|- В to~{~ С = —7 м. Полученные данные представим в виде таблицы: Используя данные таблицы, чертим график зависимости коор динаты от времени (рис. 1.2). График пути построим, исходя из следующих соображений: 1) путь и координата до момента изменения знака скорости совпада ют; 2) начиная с момента возв рата (/в) точки она движется в обратном направлении и, следо вательно, координата ее убыва ет, а путь продолжает возрастать по тому же закону, по которо му убывает координата. Следовательно, график пути до момента времени tB =2 с сов падает с графиком координаты, а начиная с этого момента яв ляется зеркальным отображени ем графика координаты. 2. Средняя скорость <^> за интервал времени t2—1± опреде ляется выражением (vx)= (x2—x1)/(t2—t1). Подставим значения хь х 2, tu U из таблицы и произведем вычис ления (vx)= (—7—8)/(6—1) м/с= = —3 м/с. 3. Среднюю путевую скорость (v) находим из выражения (v)=s/ (t2—ti), где s — путь, пройденный точкой за интервал времени t2—U. Из графика на рис. 1.2 видно, что этот путь складывается из двух отрезков пути: Si=x max—xlt который точка прошла за интервал времени tB—tu и s2= xmBX+ \x2\, который она прошла за интервал 10 U—tB. Таким образом, путь ^ ^1 ^2 C^max -^l) Ч" (^шах 4 “ I -^2 I) “ ^Х т а х Ц- | Х2 | Х$. Подставим в это выражение значения xl9'\x2\, xmax и произведем вы числения: (s)= (2-9+7—8) м -1 7 м. Тогда искомая средняя путевая скорость (и)=17/(6—1) м—3,4 м. Заметим, что средняя путевая скорость всегда положительна. Пример 3. Автомобиль движется по закруглению шоссе, имею щему радиус кривизны R = 50 м. Уравнение * движения автомобиля £ (/) = А + В/+С72, где А —10 м, В —10 м/с, С = —0,5 м/с2. Найти: 1) скорость v автомобиля, его тангенциальное аХУ нормальное ап и полное а ускорения в момент времени t = 5 с; 2) длину пути s и мо дуль перемещения |Аг| автомобиля за интервал времени т = 10 с, отсчитанный с момента начала движения. Р е ш е н и е . 1. Зная уравнение движения, найдем скорость* взяв первую производную от координаты по времени: и? п = -~- = В + 2С/. Подставим в это выражение значения В, С, / и произведем вычисления: v=5 м/с. Тангенциальное ускорение найдем, взяв первую производную от скорости по времени: ах = -^- = 2С. Подставив значение С, получим ах = — 1 м/с2. Нормальное ускорение определяется по формуле an= v2/R. Подставим сюда найденное значение скорости и заданное значение радиуса кривизны траектории и произведем вычисления: ап= 0,5 м/с2. Полное ускорение, как это видно из рис. 1.1, является геомет рической суммой ускорений ат и an: а —ат+ а п. Модуль ускорения а = V a\-\-a2n. Подставив в это выражение найденные значения ах и ап, получим а —1,12 м/с2. 2 . Чтобы определить путь s, пройденный автомобилем, заметим, что в случае движения в одном направлении (как это имеет место в условиях данной задачи) длина пути s равна изменению криволи нейной координаты £, т. е. s= £ ( t)—£(0), или s—А + В т+ С т2—А—В т+С т2. Подставим в полученное выражение значения В, С, т и произведем вычисления: s = 50 м. * В заданном уравнении движения £ означает криволинейную коорди нату, отсчитанную от некоторой начальной точки на окружности. 11 Модуль перемещения, как это видно из рис. 1.3, равен | Дг |= 2£> sin(a/2), где a — угол между радиусами-векторами, определяющими началь ное £(0) и конечное £(т) положения автомашины на траектории. Этот угол (в радианах) находим как отношение длины пути s к ра диусу кривизны R траектории, т. е. а — =s/R. Таким образом, |Дг |= 2# sin ^ . Подставим сюда значения R, s и произведем вычисления: | Дг[ = 47,9 м. Пример 4. Маховик, вращавшийся с постоянной частотой tt0=10 с-1, при торможении начал вращаться равноза медленно. Когда торможение прекрати лось, вращение маховика снова стало равномерным, но уже с час тотой п = 6 с-1. Определить угловое ускорение е маховика и про должительность t торможения, если за время равнозамедленного движения маховик сделал Л/=50 оборотов. Р е ш е н и е . Угловое ускорение маховика связано с начальной (о0 и конечной со угловыми скоростями соотношением со2—(Dq= = 2еф, откуда е = (ю2—ю§)/(2ф). Но так как ф = 2 nN, о>=2ял, то Ф) __ (О2 — (Do _ 8 2ф “ Л (я 2 — По) N * Подставив значения я, я, я 0, N и вычислив, получим е=3,14 (62—102)/50 рад/с2= —4,02 рад/с2. Знак минус указывает на то, что маховик вращался замедленно. Определим продолжительность торможения, используя форму лу, связывающую угол поворота ф со средней угловой скоростью (о) вращения и временем t : ф=(о>)£. По условиям задачи, угловая скорость линейно зависит от времени и поэтому можно написать <(D>= ((d0+ ( d)/2, тогда ф= (0)0+0))//2 = ЗХ (я0+ я)/, откуда 2N t = п (щФ+ п) п0+ п ' Подставив числовые значения и произведя вычисления, получим . 2-50 л Qp- t = То + 6 с' = 6,25 СЗадачи .. Прямолинейное движение 11 Две прямые дороги пересекаются под углом а=60°. От пере крестка по ним удаляются машины: одна со скоростью t>i=60 км/ч, другая со скоростью о2=80 км/ч. Определить скорости v' и v ", с ко 12 торыми одна машина удаляется от другой. Перекресток машины прошли одновременно. 1.2. Точка двигалась в течение £х= 15 с со скоростью 0Х= 5 м/с, в течение £2=10 с со скоростью v 2—8 м/с и в течение £3= 6 с со ско ростью 03= 2О м/с. Определить среднюю путевую скорость (v) точки. 1.3. Три четверти своего пути автомобиль прошел со скоростью 01=60 км/ч, остальную часть пути — со скоростью 02=80 км/ч. Ка кова средняя путевая скорость (0) автомобиля? 1.4. Первую половину пути тело двигалось со скоростью иг= = 2 м/с, вторую — со скоростью 02= 8 м / с . Определить среднюю путевую скорость (v). 1.5. Тело прошло первую половину пути за время £х= 2 с, вто рую — за время £2= 8 с. Определить среднюю путевую скорость <0> тела, если длина пути s=20 м. 1.6. Зависимость скорости от времени для движения некоторого тела представлена на рис. 1.4. Определить среднюю путевую ско рость (0) за время £=14 с. 1.7. Зависимость ускорения от времени при некотором движении тела представлена на рис. 1.5. Определить среднюю путевую ско рость (0) за время £=8 с. Начальная скорость 0о=О. 1.8. Уравнение прямолинейного движения имеет вид x=At-}-Bt2, где А = 3 м/с, В = —0,25 м/с2. Построить графики зависимости ко ординаты и пути от времени для заданного движения. 1.9. На рис. 1.5 дан график зависимости ускорения от времени для некоторого движения тела. Построить графики зависимости скорости и пути от времени для этого движения, если в начальный момент тело покоилось. 1. 10. Движение материальной точки задано уравнением x ~ A t+ + 5 £ 2, где А = 4 м/с, В = —0,05 м/с2. Определить момент времени, в который скорость 0 точки равна нулю. Найти координату и уско рение в этот момент. Построить графики зависимости координаты, пути, скорости и ускорения этого движения от времени. 1. 11. Написать кинематическое уравнение движения x= f(t) точ ки для четырех случаев, представленных на рис. 1.6. На каждой 13 позиции рисунка — а, б, в, г — изображена координатная ось Oxi указаны начальные положение лг0 и скорость v0 материальной точки Л, а также ее ускорение а. 1.12. Прожектор О (рис. 1.7) установлен на расстоянии / = 100 м от стены А В и бросает светлое пятно на эту стену. Прожектор вра щается вокруг вертикальной оси, делая один оборот за время Т = =20 с. Найти: 1) уравнение движения светлого пятна по стене в те чение первой четверти оборота; 2) скорость и, с которой светлое пят но движется по стене, в момент времени t —2 с. За начало отсчета принять момент, когда направление луча совпадает с ОС. Рис. 1.6 Рис. 1.7 1.13. Рядом с поездом на одной линии с передними буферами паро воза стоит человек. В тот момент, когда поезд начал двигаться с ус корением а = 0,1 м/с2, человек начал идти в том же направлении со скоростью и=1,5 м/с. Через какое время t поезд догонит человека? Определить скорость v± поезда в этот момент и путь, пройденный за это время человеком. 1.14. Из одного и того же места начали равноускоренно двигаться в одном направлении две точки, причем вторая начала свое движе ние через 2 с после первой. Первая точка двигалась с начальной скоростью tti= l м/с и ускорением аг= 2 м/с2, вторая — с начальной скоростью t;2= Ю м/с и ускорением а2= 1 м/с2. Через сколько вре мени и на каком расстоянии от исходного положения вторая точка догонит первую? 1.15. Движения двух материальных точек выражаются уравне ниями: Xi= Ai~\-Bit-\~Cit2, x 2= A 2-\-B2t-\~C2t2, где А г= 20 м, А 2= 2 м, B2= B i = 2 м/с, Сг= —4 м/с2, С2= 0 ,5 м/с2. В какой момент времени t скорости этих точек будут одинаковы ми? Определить скорости и v2 и ускорения а± и а2 точек в этот мо мент: 1.16. Две материальные точки движутся согласно уравнениям: X i=i4i/+ B i/2+ C i/3, х 2~ А 2t~\~B2t2~\~C2t ^, где А г= 4 м/с, Bi= 8 м/с2, Сх= —16 м/с3, Л 2= 2 м/с, В 2= —4 м/с2* С2= 1 м/с3. 14 В какой момент времени £ ускорения этих точек будут одинаковы? Найти скорости и 02 точек в этот момент. 1.17. С какой высоты Н упало тело, если последний метр своего пути оно прошло за время £=0,1 с? 1.18. Камень падает с высоты h= 1200 м. Какой путь s пройдет камень за последнюю секунду своего падения? 1.19. Камень брошен вертикально вверх с начальной скоростью 00=20 м/с. По истечении какого времени камень будет находиться на высоте Л=15м? Найти скорость v камня на этой высоте. Сопротивле нием воздуха пренебречь. Принять g= 1 0 м/с2. 1.20. Вертикально вверх с начальной скоростью 0о=2О м/с бро шен камень. Через т= 1 с после этого брошен вертикально вверх другой камень с такой же скоростью. На какой высоте h встретятся камни? 1.21. Тело, брошенное вертикально вверх, находилось на одной и той же высоте h= 8,6 м два раза с интервалом Д£=3 с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, вычислить начальную скорость брошенно го тела. 1.22. С балкона бросили мячик вертикально вверх с начальной скоростью 0о=5 м/с. Через £=2 с мячик упал на землю. Определить высоту балкона над землей и скорость мячика в момент удара о зем лю. 1.23. Тело брошено с балкона вертикально вверх со скоростью 0о= 1О м/с. Высота балкона над поверхностью земли h= 12,5 м. Написать уравнение движения и определить среднюю путевую ско рость (п) с момента бросания до момента падения на землю. 1.24. Движение точки по прямой задано уравнением х=Л £+В £2, где А = 2 м/с, В = —0,5 м/с2. Определить среднюю путевую скорость <0> движения точки в интервале времени от £х= 1 с до £2= 3 с. 1.25. Точка движется по прямой согласно уравнению x=At-j-Bt3, где А = 6 м/с, В = —0,125 м/с3. Определить среднюю путевую ско рость (0> точки в интервале времени от £i= 2 с до £2=6 с. Криволинейное движение 1.26. Материальная точка движется по плоскости согласно урав нению г (£)=L4£3+jB£2. Написать зависимости: 1) v(£); 2) а(£). 1.27. Движение материальной точки задано уравнением г(£)= =А (i cos co£+j sin o£), где Л = 0,5 м, ю=5 рад/с. Начертить траек торию точки. Определить модуль скорости |v| и модуль нормального ускорения |ап|. 1.28. Движение материальной точки задано уравнением г(£)~ = i (Л+В£2)+]С£, где А = 10 м, В = —5 м/с2, С =10 м/с. Начертить траекторию точки. Найти выражения v(£) и а(£). Для момента времени £=1 с вычислить: 1) модуль скорости |v|; 2) модуль ускоре ния |а |; 3) модуль тангенциального ускорения |ат|; 4) модуль нор мального ускорения |ап|. 1.29. Точка движется по кривой с постоянным тангенциальным ускорением а%=0,5 м/с2. Определить полное ускорение а точки на 15 участке кривой с радиусом кривизны R = 3 м, если точка движется на этом участке со скоростью v = 2 м/с. 1.30. Точка движется по окружности радиусом /?= 4 м. Началь ная скорость v0 точки равна 3 м/с, тангенциальное ускорение ах = = 1 м/с2. Для момента времени t= 2 с определить: 1) длину пути s, пройденного точкой; 2) модуль перемещения [Дг|; 3) среднюю путе вую скорость (v >; 4) модуль вектора средней скорости |(v)|. 1.31. По окружности радиусом R= 5 м равномерно движется материальная точка со скоростью и= 5 м/с. Построить графики зави симости длины пути s и модуля перемещения |Дг| от времени t . В момент времени, принятый за начальный (/= 0), s(0) и |Аг(0)| считать равными нулю. 1.32. За время ^=6 с точка прошла путь, равный половине длины окружности радиусом £>=0,8 м. Определить среднюю путевую ско рость (v) за это время и модуль вектора средней скорости |(v)|. 1.33. Движение точки по окружности радиусом ,R=4 м задано уравнением* £ = Л + 5 /+ С /а, где А = 10 м, В ——2 м/с, С= 1 м/с2. Найти тангенциальное аХУ нормальное ап и полное а ускорения точки в момент времени / = 2с. 1.34. По дуге окружности радиусом ^ = 10 м движется точка. В некоторый момент времени нормальное ускорение точки ап— = 4,9 м/с2; в этот момент векторы полного и нормального ускорений образуют угол ф=60°. Найти скорость v и тангенциальное ускоре ние ах точки. 1.35. Точка движется по окружности радиусом R = 2 м согласно уравнению * £ = Л /3, где А = 2 м/с3. В какой момент времени t нор мальное ускорение ап точки будет равно тангенциальному ах? Определить полное ускорение а в этот момент. 1.36. Движение точки по кривой задано уравнениями x = A ±t3 и y = A 2t , где Аг= 1 м/с3, Л 2= 2 м/с. Найти уравнение траектории точ ки, ее скорость v и полное ускорение а в момент времени / = 0,8 с. 1.37. Точка А движется равномерно со скоростью v по окружно сти радиусом R. Начальное положение точки и направление движе ния указаны на рис. 1.8. Написать кинематическое уравнение дви жения проекции точки А на направление оси х. 1.38. Точка движется равномерно со скоростью v по окружности радиусом R и в момент времени, принятый за начальный (/=0), занимает положение, указанное на рис. 1.8. Написать кинематиче ские уравнения движения точки: 1) в декартовой системе координат, расположив оси так, как это указано на рисунке; 2), в полярной системе координат (ось х считать полярной осью). 1.39. Написать для четырех случаев, представленных на рис. 1.9: 1) кинематические уравнения движения х= Д (/) и y = f2(t)\ 2) урав нение траектории у = ф (х). На каждой позиции рисунка — ау б , в, г — изображены координатные оси, указаны начальное положение точки Л, ее начальная скорость v0 и ускорение g. 1.40. С вышки бросили камень в горизонтальном направлении. * См. сноску на с. 11. 16 Через промежуток времени t=2 с камень упал на землю на расстоя нии s=40 м от основания вышки. Определить начальную v0 и конеч ную v скорости камня. 1.41. Тело, брошенное с башни в горизонтальном направлении со скоростью v=20 м/с, упало на землю на расстоянии s (от основания башни), вдвое большем высоты h башни. Найти высоту башни. 1.42. Пистолетная пуля пробила два вертикально закрепленных листа бумаги, расстояние I между которыми равно 30 м. Пробоина во втором листе оказалась на Л = 10см ниже, чем в первом. Опреде лить скорость v пули, если к первому листу она подлетела, двигаясь горизонтально. Сопротивлением воздуха пренебречь. 1.43. Самолет, летевший на высоте Л=2940 м со скоростью v= =360 км/ч, сбросил бомбу. За какое время t до прохождения над целью и на каком расстоянии s от нее должен самолет сбросить бом бу, чтобы попасть в цель? Сопротивлением воздуха пренебречь. 1.44. Тело брошено под некоторым углом а к горизонту. Найти этот угол, если горизонтальная дальность s полета тела в четыре раза больше максимальной высоты Н траектории. 1.45. Миномет установлен под углом а= 60° к горизонту на крыше здания, высота которого h = 40 м. Начальная скорость vQ мины равна 50 м/с. Требуется: 1) написать кинематические уравнения движения и уравнения траектории и начертить эту траекторию с соблюдением масштаба; 2) определить время т полета мины, мак симальную высоту Н ее подъема, горизонтальную дальность s по лета, скорость v в момент падения мины на землю. Сопротивлением воздуха пренебречь. Указание. Начало координат поместить на поверхности земли так, чтобы оно находилось на одной вертикали с минометом и чтобы вектор скорости v лежал в плоскости хОу. 1.46. Снаряд, выпущеняии.да опудия под углом a=WT к гори зонту, дважды был на одшЛ и т с й В м шпале h: спустя время 17 = 10 с и £2=50 с после выстрела. Определить начальную скорость v0 и высоту h. 1.47. Пуля пущена с начальной скоростью ^0=200 м/с под углом а= 60° к горизонту. Определить максимальную высоту Н подъема, дальность s полета и радиус R кривизны траектории пули в ее наи высшей точке. Сопротивлением воздуха пренебречь. 1.48. Камень брошен с вышки в горизонтальном направлении с начальной скоростью и0=30 м/с. Определить скорость и, танген циальное ах и нормальное ап ускорения камня в конце второй секун ды после начала движения. 1.49. Тело брошено под углом ос=30° к горизонту. Найти тангенциальное ах и нормальное ап ускорения в начальный момент движения. Вращение тела вокруг неподвижной оси 1.50. Определить линейную скорость v и центростремительное ускорение ац точек, лежащих на земной поверхности: 1) на эквато ре; 2) на широте Москвы (ср=56°). 1.51. Линейная скорость точек на окружности вращающегося диска равна 3 м/с. Точки, расположенные на Д^ = 10 см ближе к оси, имеют линейную скорость v2=2 м/с. Определить частоту вращения п диска. 1.52. Два бумажных диска насажены на общую горизонтальную ось так, что плоскости их параллельны и отстоят на d= 30 см друг от друга. Диски вращаются с частотой я = 2 5 с " 1. Пуля, летевшая па раллельно оси на расстоянии г = 12 см от нее, пробила оба диска. Пробоины в дисках смещены друг относительно друга на расстоя ние s= 5 см, считая по дуге окружности. Найти среднюю путевую скорость (v) пули в промежутке между дисками и оценить создавае мое силой тяжести смещение пробоин в вертикальном направлении. Сопротивление воздуха не учитывать. 1.53. На цилиндр, который может вращаться около горизонталь ной оси, намотана нить. К концу нити привязали грузик и предоста вили ему возможность опускаться. Двигаясь равноускоренно, гру зик за время t= 3 с опустился на ft= l,5 м. Определить угловое уско рение е цилиндра, если его радиус г = 4 см. 1.54. Диск радиусом г = 10 см, находившийся в состоянии покоя, начал вращаться с постоянным угловым ускорением 8=0,5 рад/с2. Найти тангенциальное ах, нормальное ап и полное а ускорения точек на окружности диска в конце второй секунды после начала враще ния. 1.55. Диск радиусом г= 20 см вращается согласно уравнению ср= = A+ B t+ C P, где А = 3 рад, В = —1 рад/с, С=0,1 рад/с3. Опреде лить тангенциальное аХУ нормальное ап и полное а ускорения точек на окружности диска для момента времени ^=10 с. 1.56. Маховик начал вращаться равноускоренно и за промежу ток времени Д£=10 с достиг частоты вращения я=300 мин-1. Опре 18 делить угловое ускорение г маховика и число N оборотов, которое он сделал за это время. 1.57. Велосипедное колесо вращается с частотой п = 5 с”1. Под действием сил трения оно остановилось через интервал времени Д/=1 мин. Определить угловое ускорение е и число iVоборотов, ко торое сделает колесо за это время. 1.58. Колесо автомашины вращается равноускоренно. Сделав N=50 полных оборотов, оно изменило частоту вращения от пг= = 4 с-1 до п2—6 с”1. Определить угловое ускорение г колеса. 1.59. Диск вращается с угловым ускорением е = —2 рад/с2. Сколь ко оборотов N сделает диск при изменении частоты вращения от tti=240 мин “ 1 до п2=90 мин -1? Найти время Д/, в течение кото рого это произойдет. 1.60. Винт аэросаней вращается с частотой я=360 мин"1. Ско рость v поступательного движения аэросаней равна 54 км/ч. С какой скоростью и движется один из концов винта, если радиус R винта равен 1 м? 1.61. На токарном станке протачивается вал диаметром d= = 60 мм. Продольная подача h резца равна 0,5 мм за один оборот. Какова скорость v резания, если за интервал времени Д/=1 мин протачивается участок вала длиной /= 12 см? § 2. ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ТЕЛА, ДВИЖУЩИХСЯ ПОСТУПАТЕЛЬНО Основные формулы Уравнение движения материальной точки (второй закон Нью • тона): в векторной N форме N = X , Г-> или ma = X< р г> N где 2 i- 1 Ff— геометрическая сумма сил, действующих на мате- риальную точку; т — масса; а — ускорение; р =mv N —■число сил, действующих на точку; в к о о р д и н а т н о й форме (скалярной) max = ^ F xi, /па„ = 2 ^ у(, maz = ^ F zi, или d2x d2z d2у т- d t 2 jL a * x i' т т,,y dt2 jL a * у*' ,,u dt2 импульс; где под знаком суммы стоят проекции сил F* на соответствующие оси координат. • Сила упругости * р —_ by 1 упр * Силы упругости и гравитационного взаимодействия более подробно рассмотрены в § 4. 19 где k — коэффициент упругости (жесткость в случае пружины); х — абсолютная деформация. • Сила гравитационного взаимодействия * F= G ^ , где G — гравитационная постоянная; тг к т2 — массы взаимодей ствующих тел, рассматриваемые как материальные точки; г — рас стояние между ними. • Сила трения скольжения FTV= fN, где / — коэффициент трения скольжения; N — сила нормального давления. • Координаты центра масс системы материальных точек 2 mixi 2 т№ 2 т& 2 mi 2 щ 2 mi где trii — масса i-й материальной точки; x it yt, zt — ее координаты. • Закон сохранения импульса N N 2 Р/ = Const, ИЛИ 2 ^'V /^CO nst, i =1 i=l где N — число материальных точек (или тел), входящих в систему. • Работа, совершаемая постоянной силой, ДЛ = РДг, или Д Л ^.РД гсоБа, где а — угол между направлениями векторов силы F и перемеще ния Дг. • Работа, совершаемая переменной силой, А = J F (г) cos a dr, L где интегрирование ведется вдоль траектории, обозначаемой L. Ф Средняя мощность за интервал времени Дt АЛ <N> = At Ф Мгновенная мощность N= , или N = Fvcosa, где dA — работа, совершаемая за промежуток времени d^. • Кинетическая энергия материальной точки (или тела), дви жущейся поступательно, T= m v2/ 2, или Т = р2/(2т). Ф Потенциальная энергия тела и сила, действующая на тело в данной точке поля, связаны соотношением с ^ 1 YJ г? [ . дП . . дп . , дП \ F = - g r a d n или F = - ( i 1 7 + ] ^ - + k ^ F ) j где i, j, k — единичные векторы (орты). В частном случае, когда * См. сноску на с» 19. 20 поле сил обладает сферической симметрией (как, например, грави тационное), • Потенциальная энергия упругодеформированного тела (сжа той или растянутой пружины) • Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек (или тел) массами тх и т 2, находящихся на расстоянии г друг от друга, д _____ q m\tn2 г • Потенциальная энергия тела, находящегося в однородном поле силы тяжести, П =mgh, где h — высота тела над уровнем, принятым за нулевой для отсчета потенциальной энергии. Эта формула справедлива при условии h< ^R , где R — радиус Земли. • Закон сохранения энергии в механике выполняется в замкну той системе, в которой действуют только консервативные силы, и записывается в виде T + n ^ c o n s t. • Применяя законы сохранения энергии и импульса к прямому центральному удару шаров, получаем формулу скорости абсолютно неупругих шаров после удара а = ( т 1П1+ т 2п2)/ (т*+т2) и формулы скорости абсолютно упругих шаров после удара: _V] (m i — т2) + 2m2v2 U ±~ 2 mi + m2 ’ v2 (m2— m1) + 2m1v1 т1+ т2 где т1 и т2 — массы шаров; v± и v2 — их скорости до удара. Примеры решения задач Пример 1. К концам однородного стержня приложены две про тивоположно направленные силы: /4 =40 Н и F2=100 Н (рис. 2.1, а). Определить силу натяжения Т стержня в поперечном сечении, кото рое делит стержень на две части в отношении 1 : 2. 21 Р е ш е н и е . Если бы силы F± и F2 были равны между собой, то сила натяжения в любом сечении стержня была бы одинаковой и равной силам, приложенным к концам стержня. Стержень в этом случае находился бы в покое. Но так как сумма сил, действующих на стержень, отлична от нуля, то стержень будет двигаться с уско рением, величина и направление которого определяются по второму закону Ньютона: a = ( F 1+ F 2)/m, где т — масса стержня. Так как обе силы действуют вдоль прямой, то геометрическую сумму можно заменить алгебраической: а = (Л -/ч )/т . (1) При ускоренном движении стержня силы натяжения в разных сечениях различны. Для определения этих сил применим следую щий прием: разделим стержень на две части в интересующем нас сечении и отбросим одну из них, например левую. Действие левой части на правую заменим силой натяжения Т (рис. 2.1,6). В ре зультате действия разности сил F2—Т оставшаяся правая часть стержня массой т± должна двигаться с ускорением а= (F2—T)lrrii, равным по величине и направлению прежнему ускорению, выражае мому формулой (1). Так как стержень однородный, то гщ=т/3 и, следовательно, а= (2)' Приравнивая правые части равенства (1) и (2) и выражая из полученного равенства си лу натяжения Г, находим T = F t- ( F t- F 1)/3. Подставив значения F2 и т7!, получим 7 = 8 0 Н. 1 Пример 2. В лифте на пружинных весах находит ся тело массой т=10 кг (рис. 2.2, а). Лифт движет ся с ускорением а=2 м/с2. Определить показания ве сов в двух случаях, когда Рис. 2.2 ускорение лифта направле но: 1) вертикально вверх, 2) вертикально вниз. Р е ш е н и е . Определить показания весов — это значит найти вес тела G, т. е. силу, с которой тело действует на пружину. Но эта сила, по третьему закону Ньютона, равна по модулю и противо положна по направлению силе упругости N (силе реакции опоры), с которой пружина через посредство прикрепленной к ней чашки весов действует на тело, т. е. G = —N, или G=N. ( 1) 22 Следовательно, задача определения показания весов сводится к нахождению реакции опоры N. Задачу можно решать как в инерциальной, так и неинерциаль ной системе отсчета. Решение в инерциальной системе отсчета. На тело действуют две силы: сила тяжести Р и сила N. Направим ось z вертикально вверх и спроецируем на нее все силы, действующие на тело. Индекс z у проекции сил опустим, так как проекции и сами силы совпадают по величине. Направление сил учтем знаком плюс или минус. Напишем уравнение движения: N —Р=т а , откуда N =P+m a=m (g+a). (2) Из равенств (1) и (2) следует G=m(g+a). При вычислении показания весов следует учесть знак ускорения: 1) ускорение направлено вертикально вверх ( а > 0), тогда G1=10(9,81+2)H =118 Н; 2) ускорение направлено вертикально вниз ( а < 0), тогда G2= 10(9,81—2) Н - 7 8 Н. Отметим, что ни модуль, ни направление скорости лифта не влия ют на показания весов. Существенны лишь величина и направление ускорения. Решение в неинерциальной системе отсчета, т. е. в системе, дви жущейся ускоренно вместе с лифтом. В этой системе отсчета законы Ньютона не выполняются. Однако если к телу в соответствии с прин ципом Даламбера дополнительно к действующим на него силам при ложить силу инерции —т а , где а — ускорение системы отсчета, то с учетом этой силы законы Ньютона будут справедливы. В этом случае на тело будут действовать три силы: сила тяжести Р, сила упругости N и сила инерции F* (рис. 2.2, б). Под действием этих сил тело в данной неинерциальной системе отсчета покоится. Это значит, что вместо уравнений динамики (законов Ньютона) мож но воспользоваться законами статики. Если тело под действием системы сходящихся сил покоится, то геометрическая сумма этих сил равна нулю. В данном случае это приводит к равенству P + N + F ,= 0 . Спроецируем все силы на ось z и напишем соответствующее ра венство для проекций этих сил (индекс z опустим): N —Р — О, откуда сила реакции опоры N = P Jrma=m(g+a ) . (3) Из равенств (1) и (3) следует G=m(g+a), 23 что совпадает с результатом, полученным при решении в инерциаль ной системе отсчета. Пример 3. При падении тела с большой высоты его скорость ууст при установившемся движении достигает 80 м/с. Определить время т, в течение которого начиная от момента начала падения скорость становится равной V2 иусх. Силу сопротивления воздуха при нять пропорциональной скорости тела. Р е ш е н и е . На падающее те ло действуют две силы (рис. 2.3, а): сила тяжести mg и сила сопротив ления воздуха Fc. Сила сопротивления воздуха по условиям задачи пропорцио Рис. 2.3 нальна скорости тела и противо положна ей по направлению: Fc = — kv, (1) где k — коэффициент пропорциональности, зависящий от раз меров, формы тела и от свойств окружающей среды. Напишем уравнение движения тела в соответствии со вторым dv законом Ньютона в векторной форме: m --^ = m g — Fc. Заменив Fc согласно (1), получим m ^ = mg— kv. (2) Спроецируем все векторные величины на вертикально направлен ную ось и напишем уравнение (2) для проекций: dv * m ~ S t= t n S — k v - После разделения переменных получим dv _ mg — kv m Выполним интегрирование, учитывая, что при изменении времени от нуля до т (искомое время) скорость возрастает от нуля до Ууст (рис. 2.3, б): ^/г^уст Т dv ** Г -mg—kv d g„ ,= J»Г_d£ m ' J mg— kv о о _ 1 J_ k In (mg— kv) 11ги утс т у T m Подставим пределы интегрирования в левую часть равенства: 1 , mgуст т т п mg и найдем из полученного выражения искомое время: т = ™ In------- (3) k mg—^JtVyст Входящий сюда коэффициент пропорциональности k определим из следующих соображений. При установившемся движении (ско24 рость постоянна) алгебраическая сумма проекций (на ось у) сил, действующих на тело, равна нулю, т. е. mg — to ycT = 0, откуда k=mglv усг. Подставим найденное значение k в формулу (3): mv уст Т= ■ mg In- mg mg — 1 mg 2 v уст L/ycT После сокращений и упрощений получим t = = i ^ l l n 2. g Проверка размерности в данном случае не обязательна, так как результат очевиден. Подставив в эту формулу значения ууст, g, In 2 и произведя вычисления, получим т=5,66 с. Пример 4. Шар массой т = 0,3 кг, двигаясь со скоростью 10 м/с, упруго ударяется о гладкую неподвижную стенку так, что скорость его направлена под углом а= 30° к нормали. Опреде лить импульс р, получаемый стенкой. Р е ш е н и е . Сначала проанализируем условие задачи. Стен ка неподвижна, поэтому система отсчета, связанная с ней, будет инерциальной. Удар о стенку уп ругий; следовательно, можно вос пользоваться законом сохранения ме ханической энергии. Из него, учи тывая, что масса стенки много боль ше массы шара, следует равенство модулей скоростей шара |v| до и |и| после удара. Покажем, что угол а ' отражения шара от стенки равен углу а паде ния шара. Спроецируем векторы v и и на координатные оси Ох и Оу (рис. 2.4). Так как стенка гладкая, то \х у = = v y. Учитывая, кроме того, что |u |= |v|, получим их = — vx, а от сюда следует равенство углов падения и отражения ( а '= а ) . Для определения импульса, полученного стенкой, воспользу емся законом сохранения импульса. Для нашего случая этот за кон можно записать в виде p i = p; + p> где pi и pi — импульсы шара до и после удара (|p i|= |p l|). Отсюда импульс, полученный стенкой, P=Pi — PiИз рис. 2.5 видно, что вектор р сонаправлен с осью Ох и его модуль р = \р\=2р1 cos а. Подставив сюда выражение импульса рг=то, получим p=2mv cos а . 25 Произведем вычисления: р = 2 -0,3 - 1 0 кг •м/с = 5 ,20 кг-м/с. Пример 5. На спокойной воде пруда стоит лодка длиной L и массой М перпендикулярно берегу, обращенная к нему носом. На корме стоит человек массой т. На какое расстояние s приблизится лодка к берегу, если человек перей дет с кормы на нос лодки? Трением о воду и воздух пренебречь. Решение. 1-й способ. Для простоты решения будем считать, что человек идет по лодке с постоянной скоростью. Лодка в этом случае так же будет двигаться равномерно. По Рис. 2.5 этому перемещение лодки относитель но берега определим по формуле s—vt, ( 1) где v — скорость лодки относительно берега; t — время движения человека и лодки. Направление перемещения человека примем за положительное. Скорость v лодки найдем, пользуясь законом сохранения им пульса * (количества движения). Так как, по условию задачи, система человек — лодка в начальный момент была относительно берега в покое, то по закону сохранения импульса получим Mv — — т и= 0, где и — скорость человека относительно берега; знак минус указывает на то, что скорости человека и лодки по направ лению противоположны. Отсюда v=mu/M. Время t движения лодки равно времени перемещения человека по лодке, т. е. t=s1/u=(L — s)/u, где — перемещение человека относительно берега. Подставив полученные выражения v и t в формулу (1), найдем mu L — s т Ж Ж ~ ( L — s), откуда s=mLI(m+M). Заметим, что предположение о равномерности движения чело века не является обязательным. В приведенном ниже более общем способе решения задачи такое предположение не используется. 2-й способ. Согласно следствию из закона сохранения импуль са, внутренние силы системы тел не могут изменить положение центра тяжести ** системы. Применяя это следствие к системе человек — лодка, можно считать, что при перемещении человека * В данном случае систему человек — лодка можно считать замкнутой, так как векторная сумма внешних сил, действующих на отдельные тела системы, равна нулю. ** Точнее было бы говорить о центре масс (центре инерции системы). Но в том случае, когда система твердых тел находится в однородном поле силы тяжести, центр масс и центр тяжести совпадают. 26 по лодке центр тяжести системы не изменит своего положения, т. е. останется на прежнем расстоянии от берега. Пусть центр тяжести системы человек — лодка находится на вертикали, проходящей в начальный момент через точку Сх лодки (рис. 2.6), а после перемещения лодки — через другую ее точку С2. Так как эта вертикаль неподвижна относительно берега, то искомое перемещение s лодки относительно берега равно перемеще нию лодки относительно вертикали. А это последнее легко опре делить по перемещению центра тяжести О лодки. Как видно из рис. 2.6, в начальный момент точка О находится слева от верти кали на расстоянии а после перехода человека — на расстоя нии а2 справа от нее. Следовательно, искомое перемещение лодки s=a1+ a2. ( 2) Для определения а* и а2 воспользуемся тем, что относительно центра тяжести системы моменты сил тяжести лодки и человека должны быть равны. Для точки С1 имеем M gai=mg(l — ai), где I — первоначальное расстояние человека от центра тяжести лодки. Отсюда получим а ^т И Щ + т ). Для точки С2 имеем Mga2= =mg(L — а2 — /), откуда a2= m (L — 1)1(М-]-т). Подставив выражения а± и а2 в формулу (2), получим s=mL/(M +m)y что совпадает с результатом, полученным первым способом. Пример 6. Два шара массами тх= 2,5 кг и т 2= 1,5 кг движутся навстречу друг другу со скоростями и ^ б м/с и v2=2 м/с. Опреде лить: 1) скорость и шаров после удара; 2) кинетические энергии 27 шаров Тг до и Т 2 после удара; 3) долю кинетической энергии ш шаров, превратившейся во внутреннюю энергию. Удар считать прямым, неупругим. Р е ш е н и е . 1. Неупругие шары не. восстанавливают после удара своей первоначальной формы. Следовательно, не возникают силы, отталкивающие шары друг от друга, и шары после удара бу дут двигаться совместно с одной и той же скоростью и. Определим эту скорость по закону сохранения импульса. Так как шары дви жутся по одной прямой, то этот закон можно записать в скалярной форме: m1v1+ m 2v2=(m1+ m 2)u1 откуда и = (m1v1+ m 2v2)/(m1+ m 2) . Направление скорости первого шара примем за положительное,, тогда при вычислении скорость второго шара, который движется навстречу первому, следует взять со знаком минус: и= (2,5 *6—1,5 •2)/(2,5+1,5) м /с=3 м/с. 2. Кинетические энергии шаров до и после удара определим по формулам Т ! = пг^иЦ2 + т$)Ц2; Т 2= (тх + т2) и2/2. Произведя вычисления по этим формулам, получим 7 \= (2 ,5 -6 2/2 + 1,5-2 2/2) Д ж = 48 Дж; Т 2= ( 2,5+1,5)-32/2 Д ж =18 Дж. 3. Сравнение кинетических энергий шаров до и после удара показывает, что в результате неупругого удара шаров произошла уменьшение их кинетической энергии, за счет чего увеличилась их внутренняя энергия. Долю кинетической энергии шаров, по шедшей на увеличение их внутренней энергии, определим из со отношения w= (Тг — T 2)/7Y, w = 0,62. Пример 7. Шар массой mll движущийся горизонтально с неко торой скоростью vl9 столкнулся с неподвижным шаром массой т 2. Шары абсолютно упругие, удар прямой. Какую долю w своей ки нетической энергии первый шар передал второму? Р е ш е н и е . Доля энергии, переданной первым шаром вто рому, выразится соотношением т2и\ w- __ _____ __ m2 f jh ( 1) rtiivl mi \ vi где Т1 — кинетическая энергия первого шара до удара; и2 и Т, скорость и кинетическая энергия второго шара после удара. Как видно из выражения (1), для определения w надо найти и2. Воспользуемся тем, что при ударе абсолютно упругих тел одновре менно выполняются два закона сохранения: импульса и механиче ской энергии. По закону сохранения импульса, учитывая, что второй шар до удара покоился, имеем m1v1=m 1u1+ m 2u2. По закону сохранения 28 энергии в механике, m^ 1 = -1- т | “?- . Решая совместно два по следних уравнения, найдем u2=2m1v1/ Подставив это выражение « 2 в равенство (1), получим _ т2 Г 2miVx 12 4mim2 mi [ M ^ i + m2) J ~ (mi + m2)2 * Из этого соотношения видно, что доля переданной энергии зави сит только от масс сталкивающихся шаров. Доля передаваемой энергии не изменится, если шары поменяются местами. Пример 8. Молот массой т1=200 кг падает на поковку, масса т 2 которой вместе с наковальней равна 2500 кг. Скорость v1 мо лота в момент удара равна 2 м/с. Найти: 1) кинетическую энергию Ti молота в момент удара; 2) энергию Т 2, переданную фундаменту; 3) энергию Т, затраченную на деформацию поковки; 4) коэффициент полезного действия г\ (КПД) удара молота о поковку. Удар молота о поковку рассматривать как неупругий. Р е ш е н и е . 1. Кинетическую энергию молота в момент удара найдем по формуле Т^т ^о\!2. Подставив значения т± и v± и про изведя вычисления, получим 7\= 400 Дж. 2. Чтобы определить энергию, переданную фундаменту, предва рительно найдем скорость системы молот — поковка (с наковаль ней) непосредственно после удара. Для этого применим закон сохранения импульса, который в случае неупругого удара двух тел выражается формулой mlv1+ m 2v2= (m i+m 2)H, (1) где v2 — скорость поковки (вместе с наковальней) перед ударом; и — скорость молота и поковки (вместе с наковальней) непосредственно после удара. Так как поковка с наковальней до удара находи лась в состоянии покоя, то и2= 0 . При неупругом ударе деформация не восстанавливается, вследствие чего молот и поковка (с нако вальней) движутся как одно целое, т. е. с одинаковой скоростью и. Из формулы (1) найдем эту скорость: и= ГПх (2) т1~\-т2 В результате сопротивления фундамента скорость и быстро гасится, а кинетическая энергия, которой обладает система молот — поковка (с наковальней), передается фундаменту. Эту энергию находим по формуле Т2= 3 -+ -т .2. и2. 2 2 Заменим скорость и ее выражением (2): Т 2 —-2 mivi (т ! + т 2) ’ учитывая, что 711= m 1uf/2, запишем 1 Т 1 2 mi mi + m2 — ИЛИ, (3) 29 Подставив в уравнение (3) значения т т 2 и Т± и произведя вычисления, получим Т 2=29,6 Дж. 3. М о л о т д о удара обладал энергией 7\; Т 2 — энергия, передан ная фундаменту. Следовательно, на деформацию поковки исполь зовалась энергия Т = Т ± — Т 2. Подставив в это выражение значения Т± и Т 2, получим Г —370 Дж. 4. Назначение молота — путем ударов о поковку, находящуюся на наковальне, вызвать деформацию поковки; следовательно, энер гию Т следует считать полезной. КПД удара молота о поковку равен отношению энергии Т, затраченной на деформацию поковки $ ко всей затраченной энергии Т±\ jrj = 71/7,i, или tj — (Тц — T 2)/Ti. Подставив в последнее выражение Т 2 по формуле (3)? получим у\=пг2/ (m i+ m 2). После подстановки значений т2 и тх найдем т]=92,6 %. (См. примечание в конце примера 9.) Пример 9. Боек (ударная часть) свайного молота массой т ,.=* =500 кг падает на сваю массой т 2= 100 кг со скоростью их= 4 м/с. Определить: 1) кинетическую энергию Т± бойка в момент удара; 2) энергию Г 2, затраченную на углубление сваи в грунт; 3) кинети ческую энергию Т, перешедшую во внутреннюю энергию системы; 4) КПД ц удара бойка о сваю. Удар бойка о сваю рассматривать как неупругий. Р е ш е н и е . 1. Кинетическую энергию бойка в момент удара о сваю находим по формуле 7,1= т 1и|/2. Подставив значения т± и v± и произведя вычисления, получим Тх= (500 *42)/2 Дж=4000 Д ж = 4 кДж. 2. Чтобы определить энергию, затраченную на углубление сваи, предварительно найдем скорость системы боек — свая не посредственно после удара. Для этого применим закон сохранения импульса, который в случае неупругого удара выражается формулой m1v1+ m 2v 2= (nh+rrii) и, (1) где v2 — скорость сваи перед ударом; и — скорость бойка и сваи непосредственно после удара. Свая перед ударом находилась в состоянии покоя, поэтому v 2= 0 . Так как удар неупругий, то боек и свая после удара движутся как одно целое, т. е. с одинаковой скоростью и . Из формулы (1) найдем эту скорость: и 30 mi 111^-]- Ш2 Vi- .(2) В результате сопротивления грунта скорость бойка и сваи после удара быстро гасится, а кинетическая энергия, которой обладает система боек — свая, затрачивается на углубление сваи в грунт. Эту энергию находим по формуле Т 2= 11- . Заменим ско2 2 рость и ее выражением (2): Т2= 2 , или, учитывая, что 7V = / r f 2, запишем Т2 ТП-1 m 1+ m 2 Tt. (3 ) Подставив в формулу (3) значения т±, т2 и Т* и произведя вычисления, получим 7^2= [500/(500+100)]- 4 - 103 Д ж =3,33-103 Д ж =3,33 кДж. 3. Боек до удара обладал энергией Тг\ Т 2 — энергия, затра ченная на углубление сваи в грунт. Следовательно, во внутреннюю энергию, связанную с неупругой деформацией сваи, превратилась энергия т=тг—т2. Подставив в это выражение значения 7\ и Т 2i найдем Т=0,67 кДж. 4. Свайный молот служит для забивки сваи в грунт; следова тельно, энергию Т 2 следует считать полезной. КПД удара бойка о сваю выразится как отношение энергии Г 2, затраченной на уг лубление сваи в грунт, ко всей затраченной энергии Тг: r\ = T J T x. Подставив в последнее выражение Т 2 по формуле (3), получим T\—tnJ (m i+m 2). Подставим значения пг1 и т 2 и произведем вычисления: Г|=83,3%. Примечание к примерам 8 и 9. Оба примера решались одинаково с единст венной разницей, что при ударе бойка молота о поковку полезной считалась энергия Т , затраченная на деформацию поковки, а при ударе бойка свайного молота о сваю — энергия Т 2, затраченная на углубление сваи в грунт. Задачи Второй закон Ньютона 2. 1. На гладком столе лежит брусок массой т = 4 кг. К бруску привязан шнур, ко второму концу которого приложена сила F= = 10 Н, направленная параллельно поверхности стола. Найти уско рение а бруска. 2.2. На столе стоит тележка массой т х= 4 кг. К тележке привя зан один конец шнура, перекинутого через блок. С каким ускоре нием а будет двигаться тележка, если к другому концу шнура при вязать гирю массой т 2=1 кг? 31 2.3. К пружинным весам подвешен блок. Через блок перекинут шнур, к концам которого привязали грузы массами тг= 1,5 кг и т 2= 3 кг. Каково будет показание весов во время движения гру зов? Массой блока и шнура пренебречь. 2.4. Два бруска массами т±= 1 кг и т 2= 4 кг, соединенные шну ром, лежат на столе. С каким ускорением а будут двигаться бруски, если к одному из них приложить силу F= 10 Н, направленную го ризонтально? Какова будет сила натяжения Т шнура, соединяющего бруски, если силу 10 Н приложить к первому бруску? ко второму бруску? Трением пренебречь. 2.5. На гладком столе лежит брусок массой пг= 4 кг. К бруску привязаны два шнура, перекинутые через неподвижные блоки, прикрепленные к противоположным краям стола. К концам шнуров подвешены гири, массы которых m ^ l кг и т 2= 2 кг. Найти ускоре ние а , с которым движется брусок, и силу натяжения Т каждого из шнуров. Массой блоков и трением пренебречь. 2.6. Наклонная плоскость, образующая угол а= 2 5 ° с плоскостью горизонта, имеет длину 1=2 м. Тело, двигаясь равноускоренно, со скользнуло с этой плоскости за время / = 2 с. Определить коэффи циент трения / тела о плоскость. 2.7. Материальная точка массой т = 2 кг движется под действием некоторой силы F согласно уравнению x= A + B t+ C t*+ D t 3, где С= 1 м/с2, D = —0,2 м/с3. Найти значения этой силы в моменты времени t±=2 с и t 2= 5 с. В какой момент времени сила равна нулю? 2.8. Молот массой т= 1 т падает с высоты h = 2 м на наковальню. Длительность удара /=0,01 с. Определить среднее значение силы <F> удара. 2.9. Шайба, пущенная по поверхности льда с начальной ско ростью v0=20 м/с, остановилась через /= 4 0 с. Найти коэффициент трения / шайбы о лед. 2.10. Материальная точка массой т= 1 кг, двигаясь равномерно, описывает четверть окружности радиусом r= 1,2 м в течение времени /= 2 с. Найти изменение Ар импульса точки. 2.11. Тело массой т = 5 кг брошено под углом 06=30° к горизонту с начальной скоростью v0=20 м/с. Пренебрегая сопротивлением воз духа, найти: 1) импульс силы F , действующей на тело, за время его полета; 2) изменение Ар импульса тела за время полета. 2. 12. Шарик массой га=100 г упал с высоты /i=2,5 м на горизон тальную плиту, масса которой много больше массы шарика, и отско чил от нее вверх. Считая удар абсолютно упругим, определить им пульс /?, полученный плитой. 2.13. Шарик массой га=300 г ударился о стену и отскочил от нее. Определить импульс /?ь полученный стеной, если в последний момент перед ударом шарик имел скорость v0= 10 м/с, направленную под углом 06=30° к поверхности стены. Удар считать абсолютно упругим. 2.14. Тело массой т = 0 ,2 кг соскальзывает без трения по желобу высотой /i= 2 м. Начальная скорость v0 шарика равна нулю. Найти 32 изменение Ар импульса шарика и импульс р , полученный желобом при движении тела. 2.15. Ракета массой т= 1 т, запущенная с поверхности Земли вертикально вверх, поднимается с ускорением a=2g. Скорость v струи газов, вырывающихся из сопла, равна 1200 м/с. Найти рас ход Qm горючего. 2.16. Космический корабль имеет массу /п=3,5 т. При маневри ровании из его двигателей вырывается струя газов со скоростью у=800 м/с; расход горючего Qm= 0,2 кг/с. Найти реактивную силу R двигателей и ускорение а , которое она сообщает кораблю. 2.17. Вертолет массой т = 3,5 т с ротором, диаметр d которого ра вен 18 м, «висит» в воздухе. С какой скоростью v ротор отбрасывает вертикально вниз струю воздуха? Диаметр струи считать равным диаметру ротора. 2.18. Брусок массой т 2= 5 кг может свободно скользить по гори зонтальной поверхности без трения. На нем находится другой бру сок массой /72!= 1 кг. Коэффициент трения соприкасающихся поверх ностей брусков /= 0 ,3 . Определить максимальное значение силы jpmax> приложенной к нижнему бруску, при которой начнется со скальзывание верхнего бруска. 2.19. На горизонтальной поверхности находится брусок массой /72!=2 кг. Коэффициент трения Д бруска о поверхность равен 0,2. На бруске находится другой брусок массой т 2= 8 кг. Коэффициент тре ния Д верхнего бруска о нижний равен 0,3. К верхнему бруску приложена сила F. Определить: 1) значение силы Flf при котором начнется совместное скольжение брусков по поверхности; 2) значе ние силы F 2, при котором верхний брусок начнет проскальзывать относительно нижнего. 2.20. Ракета, масса которой М = 6 т, поднимается вертикально вверх. Двигатель ракеты развивает силу тяги .F=500 кН. Опреде лить ускорение а ракеты и силу натяжения Т троса, свободно сви сающего с ракеты, на расстоянии, равном V4 его длины от точки прикрепления троса. Масса пг троса равна 10 кг. Силой сопротивления воз духа пренебречь. 2.21. На плоской горизонтальной поверхности находится обруч, масса которого ничтожно мала. К внутрен ней части обруча прикреплен груз малых размеров, как это показано на рис. 2.7. Угол а =30°. С каким уско рением а необходимо двигать плос кость в направлении, указанном на рисунке, чтобы обруч с грузом не изменил своего положения относительно плоскости? Скольже ние обруча по плоскости отсутствует. 2.22. Самолет летит в горизонтальном направлении с ускорением Д =20 м/с2. Какова перегрузка пассажира, находящегося в самолете? (Перегрузкой называется отношение силы F , действующей на пас сажира, к силе тяжести Р.) 2 № 1268 33 2.23. Автоцистерна с керосином движется с ускорением я — = 0,7 м/с2. Под каким углом <р к плоскости горизонта расположен уровень керосина в цистерне? 2.24. Бак в тендере паровоза имеет длину /= 4 м. Какова раз ность АI уровней воды у переднего и заднего концов бака при дви жении поезда с ускорением а= 0 ,5 м/с2? 2.25. Неподвижная труба с площадью S поперечного сечения, равной 10 см2, изогнута под углом ф=90° и прикреп лена к стене (рис. 2.8). По трубе течет вода, объемный расход Qv которой 50 л/с. Найти давление р струи воды, вызван ной изгибом трубы. 2.26. Струя воды ударяется о непод вижную плоскость, поставленную под углом ср=60° к направлению движения струи. Скорость v струи равна 20 м/с, площадь S ее поперечного сечения равна 5 см2. Определить силу F давления струи на плоскость. 2.27*. Катер массой т = 2 т с двигателем мощностью N = 50 кВт развивает максимальную скорость итах =25 м/с. Определить время t, в течение которого катер после выключения двигателя потеряет половину своей скорости. Принять, что сила сопротивления движе нию катера изменяется пропорционально квадрату скорости. 2.28*. Снаряд массой т = 1 0 кг выпущен из зенитного орудия вертикально вверх со скоростью vo=800 м/с. Считая силу сопротив ления воздуха пропорциональной скорости, определить время t подъема снаряда до высшей точки. Коэффициент сопротивления £ = =0,25 кг/с. 2.29*. С вертолета, неподвижно висящего на некоторой высоте над поверхностью Земли, сброшен груз массой т = 1 0 0 кг. Считая, что сила сопротивления воздуха изменяется пропорционально ско рости, определить, через какой промежуток времени At ускорение а груза будет равно половине ускорения свободного падения. Ко эффициент сопротивления k= 10 кг/с. 2.30*. Моторная лодка массой т = 400 кг начинает двигаться по озеру. Сила тяги F мотора равна 0,2 кН. Считая силу сопротивления Fc пропорциональной скорости, определить скорость v лодки через At=20 с после начала ее движения. Коэффициент сопротивления £=20 кг/с. 2.31. Катер массой т = 2 т трогается с места и в течение времени т= 10 с развивает при движении по спокойной воде скорость v= = 4 м/с. Определить силу тяги F мотора, считая ее постоянной. При нять силу сопротивления Fc движению пропорциональной скорости; коэффициент сопротивления £=100 кг/с. 2.32. Начальная скорость v0 пули равна 800 м/с. При движении * Перед решением задач 2.27—2.30 следует предварительно разобрать пример 3 из § 2. 34 в воздухе за время £=0,8 с ее скорость уменьшилась до у=200 м/с. Масса т пули равна 10 г. Считая силу сопротивления воздуха про порциональной квадрату скорости, определить коэффициент со противления k. Действием силы тяжести пренебречь. 2.33. Парашютист, масса которого т=8 0 кг, совершает затяжной прыжок. Считая, что сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости, определить, через какой промежуток времени Д£ скорость движения парашютиста будет равна 0,9 от скорости установившегося движения. Коэффициент сопротивления k = l0 кг/с. Начальная скорость парашютиста равна нулю. Закон сохранения импульса 2.34. Шар массой т х= 10 кг, движущийся со скоростью иг= = 4 м/с, сталкивается с шаром массой т 2= 4 кг, скорость v2 которого равна 12 м/с. Считая удар прямым, неупругим, найти скорость и шаров после удара в двух случаях: 1) малый шар нагоняет большой шар, движущийся в том же направлении; 2) шары движутся навстре чу друг другу. 2.35. В лодке массой mi=240 кг стоит человек массой т2= 60 кг. Лодка плывет со скоростью ог=2 м/с. Человек прыгает с лодки в го ризонтальном направлении со скоростью у= 4 м / с (относительно лод ки). Найти скорость и движения лодки после прыжка человека в двух случаях: 1) человек прыгает вперед по движению лодки и 2) в сторону, противоположную движению лодки. 2.36. На полу стоит тележка в виде длинной доски, снабженной легкими колесами. На одном конце доски стоит человек. Масса чело века 714=60 кг, масса доски т = 20 кг. С какой скоростью и (отно сительно пола) будет двигаться тележка, если человек пойдет вдоль доски со скоростью (относительно доски) v = l м/с? Массой колес пренебречь. Трение во втулках не учитывать. 2.37. В предыдущей задаче найти, на какое расстояние d: 1) пере двинется тележка, если человек перейдет на другой конец доски; 2) переместится человек относительно пола; 3) переместится центр масс системы тележка — человек относительно доски и относитель но пола. Длина / доски равна 2 м. 2.38. На железнодорожной платформе установлено орудие. Масса платформы с орудием 714=15 т. Орудие стреляет вверх под углом ф=60° к горизонту в направлении пути. С какой скоростью Ух покатится платформа вследствие отдачи, если масса снаряда т= =20 кг и он вылетает со скоростью у2=600 м/с? 2.39. Снаряд массой т = 1 0 кг обладал скоростью у=200 м/с в верхней точке траектории. В этой точке он разорвался на две части. Меньшая массой т±= 3 кг получила скорость ^ = 4 0 0 м/с в прежнем направлении. Найти скорость и2 второй, большей части после раз рыва. 2.40. В предыдущей задаче найти, с какой скоростью и2 и под каким углом ср2 к горизонту полетит большая часть снаряда, если меньшая полетела вперед под углом cpi=60° к горизонту. 2* 35 2.41. Два конькобежца массами тг=8 0 кг и т2=Ъ0 кг, держась за концы длинного натянутого шнура, неподвижно стоят на льду один против другого. Один из них начинает укорачивать шнур, вы бирая его со скоростью v= \ м/с. С какими скоростями и± и и2 будут двигаться по льду конькобежцы? Трением пренебречь. Динамика материальной точки, движущейся по окрулсности 2.42. Диск радиусом R=A0 см вращается вокруг вертикальной оси. На краю диска лежит кубик. Принимая коэффициент трения /= 0 ,4 , найти частоту п вращения, при которой кубик соскользнет с диска. 2.43. Акробат на мотоцикле описывает «мертвую петлю» радиусом г= 4 м. С какой наименьшей скоростью vm[n должен проезжать ак робат верхнюю точку петли, чтобы не сорваться? 2.44. К шнуру подвешена гиря. Гирю отвели в сторону так, что шнур принял горизонтальное положение, и отпустили. Как велика сила натяжения Т шнура в момент, когда гиря проходит положение равновесия? Какой угол ср с вертикалью составляет шнур в момент, когда сила натяжения шнура равна силе тяжести гири? 2.45. Самолет описывает петлю Нестерова радиусом R = 200 м. Во сколько раз сила Г, с которой летчик давит на сиденье в нижней точке, больше силы тяжести Р летчика, если скорость самолета v= = 100 м/с? 2.46. Грузик, привязанный к шнуру длиной /= 5 0 см, описывает окружность в горизонтальной плоскости. Какой угол ср образует шнур с вертикалью, если частота вращения п = 1 С"1? 2.47. Грузик, привязанный к нити длиной 1=1 м, описывает окружность в горизонтальной плоскости. Определить период Т обращения, если нить отклонена на угол ср=60° от вертикали. 2.48. При насадке маховика на ось центр тяжести оказался на расстоянии г=0,1 мм от оси вращения. В каких пределах меняется сила F давления оси на подшипники, если частота вращения махо вика п= 10 с-1? Масса m маховика равна 100 кг. 2.49. Мотоцикл едет по внутренней поверхности вертикального цилиндра радиусом R = 11,2 м. Центр тяжести мотоцикла с челове ком расположен на расстоянии /= 0 ,8 м от поверхности цилиндра. Коэффициент трения f покрышек о поверхность цилиндра равен 0,6. С какой минимальной скоростью vm[n должен ехать мотоцик лист? Каков будет при этом угол ср наклона его к плоскости гори зонта? 2.50. Автомобиль массой т = 5 т движется со скоростью v= = 10 м/с по выпуклому мосту. Определить силу F давления автомо биля на мост в его верхней части, если радиус R кривизны моста равен 50 м. 2.51. Сосуд с жидкостью вращается с частотой п = 2 с ' 1 вокруг вертикальной оси. Поверхность жидкости имеет вид воронки. Чему 36 равен угол ср наклона поверхности жидкости в точках, лежащих на расстоянии г = 5 см от оси? 2.52. Автомобиль идет по закруглению шоссе, радиус R кривизны которого равен 200 м. Коэффициент трения / колес о покрытие доро ги равен 0,1 (гололед). При какой скорости v автомобиля начнется его занос? 2.53. Какую наибольшую скорость итах может развить велосипе дист, проезжая закругление радиусом R=50 м, если коэффициент трения скольжения / между шинами и асфальтом равен 0,3? Каков угол ср отклонения велосипеда от вертикали, когда велосипедист дви жется по закруглению? 2.54. Самолет массой т—2,5 т летит со скоростью у= 400 км/ч. Он совершает в горизонтальной плоскости вираж (вираж — полет самолета по дуге окружности с некоторым углом крена). Радиус R траектории самолета равен 500 м. Найти поперечный угол ф накло на самолета и подъемную силу F крыльев во время полета. 2.55. Вал вращается с частотой п = 2400 мин"'1. К валу перпенди кулярно его длине прикреплен стержень очень малой массы, несу щий на концах грузы массой т= 1 кг каждый, находящиеся на рас стоянии г= 0,2 м от оси вала. Найти: 1) силу F, растягивающую стер жень при вращении вала; 2) момент М силы, которая действовала бы на вал, если бы стержень был наклонен под углом ф=89° к оси вала. 2.56. Тонкое однородное медное кольцо радиусом R = 10 см вра щается относительно оси, проходящей через центр кольца, с угловой скоростью со= 10 рад/с. Определить нормальное напряжение а, воз никающее в кольце в двух случаях: 1) когда ось вращения перпен дикулярна плоскости кольца и 2) когда лежит в плоскости кольца. Деформацией кольца при вращении пренебречь. Работа и энергия 2.57. Под действием постоянной силы F вагонетка прошла путь s = 5 м и приобрела скорость v=2 м/с. Определить работу А силы, если масса т вагонетки равна 400 кг и коэффициент трения /= 0,01. 2.58. Вычислить работу А, совершаемую при равноускоренном подъеме груза массой т = 1 0 0 кг на высоту h = 4 м за время t = 2 с. 2.59. Найти работу А подъема груза по наклонной плоскости длиной 1=2 м, если масса т груза равна 100 кг, угол наклона ф = =30°, коэффициент трения /= 0 ,1 и груз движется с ускорением а ~ 1 м/с2. 2.60. Вычислить работу Л, совершаемую на пути s=12 м равно мерно возрастающей силой, если в начале пути сила Fx= 10 Н, в кон це пути F 2=46 Н. 2.61. Под действием постоянной силы /^=400 Н, направленной вертикально вверх, груз массой т = 20 кг был поднят на высоту h= 15 м. Какой потенциальной энергией П будет обладать поднятый груз? Какую работу А совершит сила F? 2.62. Тело массой т= 1 кг, брошенное с вышки в горизонталь ном направлении со скоростью i\>=20 м/с, через t = 3 с упало на зем 37 лю. Определить кинетическую энергию Т, которую имело тело в мо мент удара о землю. Сопротивлением воздуха пренебречь. 2.63. Камень брошен вверх под углом ср=60° к плоскости гори зонта. Кинетическая энергия Т0 камня в начальный момент времени равна 20 Дж. Определить кинетическую Г и потенциальную П энер гии камня в высшей точке его траектории. Сопротивлением воздуха пренебречь. 2.64. Насос выбрасывает струю воды диаметром d = 2 см со ско ростью v=20 м/с. Найти мощность N , необходимую для выбрасы вания воды. 2.65. Какова мощность N воздушного потока сечением S — =0,55 м2 при скорости воздуха v=20 м/с и нормальных усло виях? 2.66. Вертолет массой пг= 3 т висит в воздухе. Определить мощ ность N , развиваемую мотором вертолета в этом положении, при двух значениях диаметра d ротора: 1) 18 м; 2) 8 м. При расчете при нять, что ротор отбрасывает вниз цилиндрическую струю воздуха диаметром, равным диаметру ротора. 2.67. Материальная точка массой т = 2 кг двигалась под дей ствием некоторой силы, направленной вдоль оси Ох согласно урав нению х = Л + Bt+CP+Dt3, где В = —2 м/с, С=1 м/с2, D = —0,2 м/с3. Найти мощность Л/, развиваемую силой в момент времени /i= 2 с и /2= 5 с. 2.68. С какой наименьшей высоты h должен начать скатываться акробат на велосипеде (не работая ногами), чтобы проехать по дорожке, имеющей форму «мертвой петли» радиусом £?=4 м, и не оторваться от дорожки в верхней точке петли? Трением прене бречь. 2.69. Камешек скользит с наивысшей точки купола, имеющего форму полусферы. Какую дугу а опишет камешек, прежде чем ото рвется от поверхности купола? Трением пренебречь. 2.70. Мотоциклист едет по горизонтальной дороге. Какую наи меньшую скорость v он должен развить, чтобы, выключив мотор, проехать по треку, имеющему форму «мертвой петли» радиусом £>=4 м? Трением и сопротивлением воздуха пренебречь. 2.71. При выстреле из орудия снаряд массой т х= 10 кг получает кинетическую энергию 7 \= 1 ,8 МДж. Определить кинетическую энергию Т 2 ствола орудия вследствие отдачи, если масса т2 ствола орудия равна 600 кг. 2.72. Ядро атома распадается на два осколка массами т х= = 1,6 *10“ 25 кг и т 2=2,4*10~25 кг. Определить кинетическую энер гию Т 2 второго осколка, если энергия первого осколка равна 18 нДж. 2.73. Конькобежец, стоя на льду, бросил вперед гирю массой гпх—5 кг и вследствие отдачи покатился назад со скоростью v2= = 1 м/с. Масса конькобежца т2= 60 кг. Определить работу А , совер шенную конькобежцем при бросании гири. 2.74. Молекула распадается на два атома. Масса одного из ато мов в п = 3 раза больше, чем другого. Пренебрегая начальной кине38 тическои энергии и импульсом молекулы, определить кинетические энергии Ti и Г 2 атомов, если их суммарная кинетическая энергия 7=0,032 нДж. 2.75. На рельсах стоит платформа, на которой закреплено орудие без противооткатного устройства так, что ствол его расположен в горизонтальном положении. Из орудия производят выстрел вдоль железнодорожного пути. Масса т1 снаряда равна 10 кг, и его ско рость их= \ км/с. На какое расстояние I г откатится платформа после выстрела, / / если коэффициент сопротивления / = / / / = 0 , 002? L --/ 2.76. Пуля массой т = 1 0 г, летев vт м шая со скоростью и=600 м/с, попала в баллистический маятник (рис. 2.9) мас сой М = э кг и застряла в нем. На ка Рис. 2.9 кую высоту h, откачнувшись после уда ра, поднялся маятник? 2.77. В баллистический маятник массой М = 5 кг попала пу ля массой т= 10 г и застряла в нем. Найти скорость v пули, если маятник, отклонившись после удара, поднялся на высоту /i=10 см. 2.78. Два груза массами m ^ lO кг и т2= 15 кг подвешены на ни тях длиной 1=2 м так, что грузы соприкасаются между собой. Меньший груз был отклонен на угол ф=60° и выпущен. Определить высоту h, на которую поднимутся оба груза после удара. Удар грузов считать неупругим. 2.79. Два неупругих шара массами т1=2 кг и т2= 3 кг движутся со скоростями соответственно Ui=8 м/с и v2=4 м/с. Определить увеличение A U внутренней энергии шаров при их столкновении в двух случаях: 1) меньший шар нагоняет больший; 2) шары дви жутся навстречу друг другу. 2.80. Шар массой т±, летящий со скоростью vx=5 м/с, ударяет не подвижный шар массой т2. Удар прямой, неупругий. Определить скорость и шаров после удара, а также долю w кинетической энер гии летящего шара, израсходованной на увеличение внутренней энергии этих шаров. Рассмотреть два случая: 1) т1=2 кг, т2= 8 кг; 2) тг= 8 кг, т2= 2 кг. 2.81. Шар массой т1=2 кг налетает на покоящийся шар массой т2= 8 кг. Импульс р± движущегося шара равен 10 кг-м/с. Удар шаров прямой, упругий. Определить непосредственно после удара: 1) импульсы р[ первого шара и р2 второго шара; 2) изменение крх импульса первого шара; 3) кинетические энергии Т[ первого шара и Т'2 второго шара; 4) изменение А7Х кинетической энергии первого шара; 5) долю w кинетической энергии, переданной первым шаром второму. 2.82. Шар массой тх= 6 кг налетает на другой покоящийся шар массой т 2= 4 кг. Импульс pi первого шара равен 5 кг-м/с. Удар шаров прямой, неупругий. Определить непосредственно после уда ра: 1) импульсы р'х первого шара и р2 второго шара; 2) изменение т 39 А/?! импульса первого шара; 3) кинетические энергии Т[ первого шара и Т2 второго шара; 4) изменение АТ* кинетической энергии первого шара; 5) долю кинетической энергии, переданной первым шаром второму и долю w2 кинетической энергии, оставшейся у пер вого шара; 6) изменение A U внутренней энергии шаров; 7) долю w кинетической энергии первого шара, перешедшей во внутреннюю энергию шаров. 2.83. Молот массой т х= 5 кг ударяет небольшой кусок железа, лежащий на наковальне. Масса т2 наковальни равна 100 кг. Мас сой куска железа пренебречь. Удар неупругий. Определить КПД г\ удара молота при данных условиях. 2.84. Боек свайного молота массой т х=500 кг падает с некоторой высоты на сваю массой т 2= 100 кг. Найти КПД г\ удара бойка, считая удар неупругим. Изменением потенциальной энергии сваи при углублении ее пренебречь. 2.85. Молотком, масса которого т х= 1 кг, забивают в стену гвоздь массой т 2= 75 г. Определить КПД ц удара молотка при данных условиях. 2.86. Шар массой т х= 200 г, движущийся со скоростью их= = 10 м/с, ударяет неподвижный шар массой т 2=800 г. Удар пря мой, абсолютно упругий. Каковы будут скорости и± и и2 шаров после удара? 2.87. Шар массой т = 1 ,8 кг сталкивается с покоящимся шаром большей массы М. В результате прямого упругого удара шар по терял ш=0,36 своей кинетической энергии Тх. Определить массу большего шара. 2.88. Из двух соударяющихся абсолютно упругих шаров боль ший шар покоится. В результате прямого удара меньший шар по терял ^ = 3 /4 своей кинетической энергии 7\. Определить отношение k=M lm масс шаров. 2.89. Определить максимальную часть w кинетической энергии Тх, которую может передать частица массой т х=2*10“22 г, сталки ваясь упруго с частицей массой т 2=6*10"22 г, которая до столкно вения покоилась. 2.90. Частица массой mx= 10~ 25 кг обладает импульсом рх = = 5 •10~20 кг*м/с. Определить, какой максимальный импульс р2 может передать эта частица, сталкиваясь упруго с частицей массой т 2=4*10“25 кг, которая до соударения покоилась. 2.91. На покоящийся шар налетает со скоростью их= 2 м/с дру гой шар одинаковой с ним массы. В результате столкновения этот шар изменил направление движения на угол а=30°. Определить: 1) скорости и± и и2 шаров после удара; 2) угол |3 между вектором скорости второго шара и первоначальным направлением движения первого шара. Удар считать упругим. 2.92. Частица массой т х= 10~ 24 г имеет кинетическую энергию Г1= 9 нДж. В результате упругого столкновения с покоящейся частицей массой т 2=4*10~24 г она сообщает ей кинетическую энер гию Г 2= 5 нДж. Определить угол а, на который отклонится частица от своего первоначального направления. 40 § 3. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ Основные формулы • Момент силы F, действующей на тело, относительно оси вращения M = F±l, где F L — проекция силы F на плоскость, перпендикулярную оси вращения; I — плечо силы F (кратчайшее расстояние от оси враще ния до линии действия силы). • Момент инерции относительно оси вращения: а) материальной точки J=m r 2, где т — масса точки; г — расстояние ее от оси вращения; б) дискретного твердого тела п j = 2 i= 1 где Апц — масса i-го элемента тела; rt — расстояние этого элемента от оси вращения; п — число элементов тела; в) сплошного твердого тела J = ^ г2dm. Если тело однородно, т. е. его плотность р одинакова по всему объему, то dm = р dV и J = p ^ r 2dV, где V — объем тела. • Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы: Тело Ось, относительно которой опре деляется момент инерции Проходит через центр тяже Однородный тонкий стержень сти стержня перпендикулярно массой т и длиной 1 стержню Проходит через конец стерж ня перпендикулярно стержню Проходит через центр перпен Тонкое кольцо, обруч, труба радиусом R и массой т , махо дикулярно плоскости основания вик радиусом R и массой т , распределенной по ободу Проходит через центр диска Круглый однородный диск (цилиндр) радиусом R и мас перпендикулярно плоскости ос сой т нования Однородный шар массой т Проходит через центр шара и радиусом R Формула момента инерции l/i 2тР. ЧзшК mR2 2/5тЯ? 41 • Теорема Штейнера* Момент инерции тела относительно про извольной оси J = J 0+ma2, где J0 — момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр тяжести тела параллельно заданной оси; а — расстоя ние между осями; т — масса тела. • Момент импульса вращающегося тела относительно оси L—Jtо. • Закон сохранения момента импульса п 2 Lt = const, £= 1 где Lt — момент импульса /-го тела, входящего в состав системы. Закон сохранения момента импульса для двух взаимодействую щих тел J 1(01+ Л о 2= J[ где Л , J 2, «И и со2 — моменты инерции и угловые скорости тел до взаимодействия: J[, J '2, осц и щ — те же величины после взаимодей ствия. Закон сохранения момента импульса для одного тела, момент инерции которого меняется, J iO)i J 2^2» где Л и J 2 — начальный и конечный моменты инерции; (сц и со2 —начальная и конечная угловые скорости тела. 0 Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси М dt = d (J<о), где М — момент силы, действующей на тело в течение времени dt; J — момент инерции тела; со — угловая скорость; /со — момент импульса. Если момент силы и момент инерции постоянны, то это уравнение записывается в виде = /Асо. В случае постоянного момента инерции основное уравнение динамики вращательного движения принимает вид М = /8, где 8 — угловое ускорение. 0 Работа постоянного момента силы М3 действующего на вращающееся тело, А = М ср, где ср — угол поворота тела. 0 Мгновенная мощность, развиваемая при вращении тела, N=M(o. 0 Кинетическая энергия вращающегося тела T = 4 2J со2. 42 • Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения, 7,= 1/ат и а+ 1/а/со2, где 1l2mv2 — кинетическая энергия поступательного движения тела; v — скорость центра инерции тела; 1/2/со2 — кинетическая энергия вращательного движения тела вокруг оси, проходящей через центр инерции. • Работа, совершаемая при вращении тела, и изменение кине тической энергии его связаны соотношением А = 7 2/ о 2— 1/2/со2. • Величины, характеризующие динамику вращательного дви жения, и формулы, описывающие это движение, аналогичны соот ветствующим величинам и формулам поступательного движения. Эта аналогия раскрывается следующей таблицей: Поступательное движение Вращательное движение Основной закон динамики MtXt = J(d2—J(di, FM = mv2—mv1; М = Je F —та Закон сохранения момента импульса импульса п п 2 = const 2 mî —const 7—1 i—i Работа и мощность А = Мер; A = Fs; N = Мсо N = Fv Кинетическая энергия T=V2J0)2 Т=у2то* Примеры решения задач Пример 1. Вычислить момент инерции J z молекулы N 0 2 отно сительно оси z, проходящей через центр масс молекулы перпен дикулярно плоскости, содержащей ядра атомов. Межъядерное рас стояние d этой молекулы равно 0,118 нм, валентный угол а=140°. Р е ш е н и е . Молекулу N 0 2 можно рассматривать как систему, состоящую из трех материальных точек общей массой m = 2 m i+ m 2, (1) где т х — масса атома кислорода; т2 — масса атома азота. Расположим молекулу относительно координатных осей так, как это указано на рис. 3.1 (начало координат совместим с центром 43 масс С молекулы, ось г направим перпендикулярно плоскости чертежа «к нам».) Для определения J г воспользуемся теоремой Штейнера: J = J c+tna 2. Для данного случая эта теорема запишется в виде J г, = J г+та2, где J z, — момент инерции относительно оси г \ параллельной оси г и проходящей через атом азота (точка О на рис. 3.1). Отсюда искомый момент инерции J Z= J Z' — та2. (2) Момент инерции Jzr нахо дим как сумму моментов инерции двух материаль ных точек (атомов кисло рода): J г, = 2m1d2. (3) Расстояние а между осями г и г' равно координате х с центра масс системы и поэтому может быть выражено по формуле (см. § 2, с. 20) В данном случае а = х с= {2т1х1+ т 2х ?)/ (2m1+ m 2), или, учитывая, что Vi d cos (a/2) и * 2= 0, a ^ 2mi а — хс — 2т1_|_тз deos (4). Подставив в формулу (2) значения J z,, т , а соответственно из выражений (3), (1), (4), получим Jz = 2m ^ 2— (2tn1+ tn2) ^ 2mi ф!m2 ) или после преобразований cos2y , Jz = 2mxd2^ 1— 2mi + m2 COs2 T ) * (5) Найдем в табл. 23 относительные атомные массы кислорода (Л0=16) и азота (Л я =14) и запишем массы атомов этих элементов в атомных единицах массы (а.е.м.), а затем выразим в килограм мах (1 а.е.м. = 1,66-10“ 27 кг, см. табл. 9): т1~ 16-1,66-10“ 27 кг = 2,66* 10“ 26 кг; т 2= 14-1,66-10 27 кг = 2,32-10“ 26 кг. Значения mlt m2, d и а подставим * в формулу (5) и произведем вычисления: Jz = 6,80-10 46 кг-м2. Пример 2. Физический маятник представляет собой стержень длиной /= 1 м и массой тг— 1 кг с прикрепленным к одному из его * Для вычисления выражения, стоящего в скобках, вместо масс атомов можно подставить их относительные атомные массы, так как здесь массы входят в виде отношения. 44 концов диском массой т 2= 0,5 т1. Определить момент инерции J z такого маятника относительно оси Oz, проходящей через точку О на стержне перпендикулярно плоскости чертежа (рис. 3.2). Р е ш е н и е . Общий момент инерции ма ятника равен сумме моментов инерции стерж ня J zl и диска J Z 2 • J Z= J 21”Ь J 12 • (1) Формулы, по которым вычисляются момен ты инерции стержня Л и диска J 2 относитель но осей, проходящих через их центры масс, даны в табл, на с. 41. Чтобы определить мо менты инерции J zi и </z2, надо воспользо ваться теоремой Штейнера: J ^ J c + tn a 2. (2) Выразим момент инерции стержня сог ласно формуле (2): Расстояние аг между осью Oz и параллель ной ей осью, проходящей через центр масс Сх стержня, как следует из рис. 3.2, равно г121 — 1/3/ = 1/в/. С уче том этого запишем Jzl = ViatfM2+ т1(7 6/)2= 1Um1l2= 0,111 mx/2. Момент инерции диска в соответствии с формулой (2) равен Jz2=-1l2m2R 2+ m2aif где R — радиус диска; R =1IJ. Расстояние а2 между осью Oz и параллельной ей осью, проходящей через центр масс диска, равно (рис. 3.2) 2/3lJr 1U l=11/12L С учетом этого запишем J%2= Vam2(V4/)2+ т2(u /i20 2 = 0,0312m2/2+ 0,840m2/2= 0,871 m2l \ Подставив полученные выражения J Z1 и J z2 в формулу (1), най дем / 2= 0 ,ll lm 1/2+0,871m2/2- ( 0 , l l l m 1+0,871m2)/2, или, учитывая, что m2= 0i5m1, 7 z=0,547m1/2. Произведя вычисления, получим значение момента инерции физического маятника относительно оси Oz: J z= 0,547-Ы кг-м2=0,547 кг-м2. Пример 3. Вал в виде сплошного цилиндра массой т х=10 кг насажен на горизонтальную ось. На цилиндр намотан шнур, к сво бодному концу которого подвешена гиря массой т2= 2 кг (рис. 3.3). С каким ускорением а будет опускаться гиря, если ее предоставить самой себе? Р е ш е н и е . Линейное ускорение а гири равно тангенциально му ускорению точек вала, лежащих на его цилиндрической поверх 45 ности, и связано с угловым ускорением е вала соотношением а—гг, (1) где г — радиус вала. Угловое ускорение вала выражается основным уравнением ди намики вращающегося тела: г= М М 9 (2) где М — вращающий момент, действующий на вал; J — момент инерции вала. Рассматриваем вал как однородный цилиндр. Тогда его момент инерции относительно геометрической оси равен y = 1/2mir2. Вращающий момент М , действующий на вал, равен произведению силы натяжения Т шнура на радиус вала: М = Тг. Силу натяжения шнура найдем из следующих соображений. На гирю действуют две силы: сила тяжести m2g, направленная вниз, и сила натяже ния Т шнура, направленная вверх. Равнодейст вующая этих сил вызывает равноускоренное дви жение гири. По второму закону Ньютона, m2g — — T = m 2a , откуда T = m 2(g — а). Таким образом, вращающий момент M = m 2(g — а)г. Подставив в формулу (2) полученные выражения М и У, найдем угловое ускорение вала: m2 (g — a) Г 2m2 (g — a) тгг Для определения линейного ускорения гири подставим это выражение г в формулу (1). Получим а = — ^ д откуда g = 2,80 м/с2. а= — mi + 2m2 Пример 4. Через блок в виде диска, имеющий массу т = 80 г, перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы массами mi=100 г и т 2= 200 г (рис. 3.4). С каким ускорением бу дут двигаться грузы, если их предоставить самим себе? Трением пренебречь. Р е ш е н и е . Применим к решению задачи основные законы поступательного и вращательного движения. На каждый из движу щихся грузов действуют две силы: сила тяжести mg, направленная вниз, и сила Т натяжения нити, направленная вверх. Так как вектор ускорения а груза тх направлен вверх, то Т£> > m ig\ Равнодействующая этих сил вызывает равноускоренное дви жение и, по второму закону Ньютона, равна Т1 — m1g= m 1a9 от куда Т ^т ^+ Ш га . (1) 46 Вектор ускорения а груза т2 направлен вниз; следовательно, Т г<гп&. Запишем формулу второго закона для этого груза: tn2g — Т 2= т 2а, откуда T 2=tn2g — т2а. (2) Согласно основному закону динамики вращательного движе ния, вращающий момент М, приложенный к диску, равен произ ведению момента инерции J диска на его угло вое ускорение е: M = Je. (3) тГ Определим вращающий момент. Силы натяже ГТг ния нитей действуют не только на грузы, но и на диск. По третьему закону Ньютона, силы Т[ и Т'2у приложенные к ободу диска, равны соответственно Т,« силам Ti и То, но по направлению им противопо ложны. При движении грузов диск ускоренно И/□ П т* вращается по часовой стрелке; следовательно, Т > Т ;. Вращающий момент, приложенный к дис ку, равен произведению разности этих сил на щц плечо, равное радиусу диска, т. е. М = (Т 2— Т'^)г. тпгд Момент инерции диска T = m r2/2, угловое ускоре ние связано с линейным ускорением грузов соот Рис. 3.4 ношением е =а/г. Подставив в формулу (3) выраже ния М, J и е, получим пгг2 а (Г±- Т Э г = ~ 7 откуда У2— Т ’1= (т/2)а. Так как и Т2= Т 2, то можно заменить силы Т[ и Т2 вы ражениями по формулам (1) и (2), тогда ? m m2g — m2a — m — mxa = -^-a, или m2+ mi-b-g- a, (m2— m jg откуда m2— mi a= ^+ k + ^2 ^ (4) Отношение масс в правой части формулы (4) есть величина безразмерная. Поэтому значения масс mu tn2 и пг можно выразить в граммах, как они даны в условии задачи. После подстановки получим а = 072^ 1+ 0,04 9 ’81 М/с2 = 2 ’88 М /с2‘ Пример 5. Маховик в виде диска массой т = 5 0 кг и радиусом г = 20 см был раскручен до частоты вращения /г!=480 мин'"1 и за тем предоставлен самому себе. Вследствие трения маховик остано вился. Найти момент М сил трения, считая его постоянным для 47 двух случаев: 1) маховик остановился через t= 5 0 с; 2) маховик до полной остановки сделал jV = 200 оборотов. Р е ш е н и е . 1. По второму закону динамики вращательного движения, изменение момента импульса вращающегося тела равно произведению момента силы, действующего на тело, на время дей ствия этого момента: M At=J(o2 — /«»i, где J — момент инерции маховика; «ц и со2 — начальная и конеч ная угловые скорости. Так как со2= 0 и At= t, то M t= —У«»х, от куда М = — J&Jt. (1) Момент инерции диска относительно его геометрической оси равен / = 1/2^ 2- Подставив это выражение в формулу (1), найдем М = —m r'e tjy t). (2) Выразив угловую скорость сох через частоту вращения щ п произведя вычисления по формуле (2), найдем Л4 = —1 Н-м. 2. В условии задачи дано число оборотов, сделанных махови ком до остановки, т. е. его угловое перемещение. Поэтому приме ним формулу, выражающую связь работы с изменением кинетиче ской энергии: А = Усо|/2— Jcof/2, или, учтя, что О)2= 0 , А = ~ J(of/2. (3) Работа при вращательном движении определяется по формуле А —М(р. Подставив выражения работы и момента инерции диска в формулу (3), получим М <р= —mr2<dJ/4. Отсюда момент силы трения М — — mr2o)f/(4cp). (4| Угол поворота ф = 2 я У = 2 -3,14 -200 рад=125б рад. Произведя вычисления по формуле (4), получим М = —1 Н-м. Знак минус показывает, что момент силы трения оказывает тормозящее действие. Пример 6. Платформа в виде диска радиусом R = 1,5 м и массой т != 1 8 0 кг вращается по инерции около вертикальной оси с часто той п= 10 мин-1. В центре платформы стоит человек массой /тг2= = 60 кг. Какую линейную скорость относительно пола помещения будет иметь человек, если он перейдет на край платформы? Р е ш е н и е . По закону сохранения момента импульса, (А + J 2) 05 “ (î + J 2 ) (1) где J x — момент инерции платформы; J 2 — момент инерции че ловека, стоящего в центре платформы; со — угловая скорость платформы с человеком, стоящим в ее центре; J'2 — момент инерции 48 человека, стоящего на краю платформы; со' — угловая скорость платформы с человеком, стоящим на ее краю. Линейная скорость человека, стоящего на краю платформы, связана с угловой скоростью соотношением v = g> ' R . (2 ) Определив со' из уравнения (1) и подставив полученное вырал е ше в формулу (2), будем иметь v — (J г + J 2) + */2)‘ (3) Момент инерции платформы рассчитываем как для диска; сле довательно, J 1= 1/2m1R 2. Момент инерции человека рассчитываем как для материальной точки. Поэтому /2 = 0 , /0 = tn2R 2. Угловая скорость платформы до перехода человека равна ы=2тг. Заменив в формуле (3) величины / ъ / 2, / ' и со их выражениями, получим ГП\ 2nrtR. 2nnR V т±— f-2/?22 1J2m1R 2-\-m2R 2 Сделав подстановку значений mlt m2, n, R и я, найдем линей ную скорость человека: v ~ Т80~+2^60■2 •3,14 •gQ • 1,5 м/с = 0,942 м/с. Пример 7. Человек стоит в центре скамьи Жуковского и вместе с ней вращается по инерции. Частота вращения ^ = 0 ,5 с”1. Момент Рис. 3.5 инерции J 0 тела человека относительно оси вращения равен 1,6 кг-м2. В вытянутых в стороны руках человек держит по гире массой т = 2 кг каждая. Расстояние между гирями /1= 1,6 м. Опре делить частоту вращения п2 скамьи с человеком, когда он опустит руки и расстояние /2 между гирями станет равным 0,4 м. Моментом инерции скамьи пренебречь. Р е ш е н и е . Человек, держащий гири (рис. 3.5), составляет 49 вместе со скамьей замкнутую механическую систему *, поэтому момент импульса /со этой системы должен иметь постоянное значе ние. Следовательно, для данного случая J i(£>i —J 2(1)2, где J l и сох — момент инерции тела человека и угловая скорость скамьи и человека с вытянутыми руками; J 2 и со2 — момент инер ции тела человека и угловая скорость скамьи и человека с опу щенными руками. Отсюда co2= ( / i / / 2)« i . Выразив в этом уравнении угловые скорости cof и со3 через частоты вращения щ и д 2(со=2я/г) и сократив на 2я, получим t i 2 — ( J ±1J 2)111. ( 1) Момент инерции системы, рассматриваемой в данной задаче, равен сумме момента инерции тела человека J 0 и момента инерции гирь в руках человека. Так как размер гирь много меньше рас стояния их от оси вращения, то момент инерции гирь можно опре делить по формуле момента инерции материальной точки: J= m r 2. Следовательно **, J 1—J 0+2m (/1/2)2; J 2—/ o~\~2iu(lJ2)2, где т — масса каждой из гирь; и / 2 — первоначальное и конеч ное расстояние между гирями. Подставив выражения J 1 и J 2 в уравнение (1), полу чим „ h + 2m(h!W„ 2—/ 0Ч-2т(/2/2)2Г^* W Выполнив вычисления по формуле (2), найдем п 2= 1,18 с ”1. Пример 8. Стержень длиной /= 1 ,5 м и массой М = 10 кг может вращаться вокруг неподвижной оси, проходящей через верх ний конец стержня (рис. 3.6). В середину стержня ударяет пуля массой т= 10 г, летящая в горизонтальном направлении со скоростью и0=500 м/с, и застревает в стержне. На какой угол ср отклонится стержень после удара? Р е ш е н и е . Удар пули следует рассматривать как неупругий: после удара и нуля, и соответствующая точка стержня будут дви гаться с одинаковыми скоростями. Рассмотрим подробнее явления, происходящие при ударе. Сна чала пуля, ударившись о стержень, за ничтожно малый промежу * Предполагается, что моменты всех внешних сил (сил тяжести и сил реакции), действующих на эту систему по отношению к оси вращения, яв ляются уравновешенными. Трением пренебречь. ** В действительности с изменением положения рук человека (без гирь) изменяется момент инерции его тела относительно оси вращения, однако ввиду сложности учета этого изменения будем считать момент инерции тела человека постоянным. 50 ток врем ени приводит его в д в и ж ен и е с угл ов ой ск оростью со и сообщ ает ем у кинетическую энерги ю 7 W со2/2, (1) где J — момент инерции стер ж н я относительно оси вращ ен и я. Затем стер ж ень поворачивается на искомый уго л <р, причем центр м асс его подним ается на вы соту h = ( l l 2) (1 — cos ф). В от клоненном п олож ен и и стер ж ен ь будет обладать потенциальной эн ерги ей n = A f g ( / / 2 ) ( l — cos ср). (2) П отенциальная энерги п ол уч ен а за счет кинетической эн ерги и и равна ей по за к о н у сохр ан ен и я эн ер ги и . П риравн яв правы е части равенств (1) и (2), получим M g ( l i 2) (1 — cos ф )= У со 2/2 . О тсю да COS ф = 1 — J ( d 2/ ( M g l ) . П одставив в э т у ф ор м ул у вы раж ение дл я м омента инерции стер ж н я J = M l 2! 3, получим co s ф = 1 — l(o2/ ( 3 g) . (3) Ч тобы из вы раж ения (3) найти ф, необходим о п редвари тельн о определить зн ач ен и е со. В момент уд а р а на пулю и на стер ж ен ь дей ствую т силы тя ж ест и , линии действия которы х п р о х о д я т чер ез ось вращ ения и направлены вертикально вн и з. М оменты эти х сил отн оси тельно оси вращ ения равны н ул ю . П оэтом у при у д а р е п ули о стер ж ень будет справедлив зак он сохр ан ен и я м омента и м п ул ьса. В начальны й момент у д а р а угл овая скорость стер ж н я со0= 0 , п оэтом у его момент им пульса L 01= J c o 0= 0 . П ул я к осн ул ась стерж н я и начала угл убл я т ь ся в стер ж ен ь , сообщ ая ем у угл о в о е у ск о р ен и е и уч аствуя во вращ ении стер ж н я ок оло оси . Н ачальны й момент и м пульса пули L 02= m v 0r , где г — расстоя ни е точки попадания от оси вращ ения. В конечный момент уд а р а стерж ен ь имел угл о в у ю ск орость со, а пуля — л и ней н ую скорость и, равн ую ли нейной ск орости точек ст ер ж н я , н аходящ и хся на расстояни и г от оси вра щ ен и я . Т ак как v = c o r , то конечный момент им п ульса п ули L 2= = m v r = m r h о. П рименив зак он сохр ан ен и я и м п ул ьса, м ож ем написать L 01+ L 02= L 1+ L 2, или m v Qr = J ( d + m r 2(d, отк уда СО= mv0r ----- 5 , J + тг2 * (4) где J — M 1 4 3 — момент инерции системы стер ж ен ь — п у л я . Е сл и уч есть, что в (4) m r 2< ^ J = M l V 3, а та к ж е что г = 1 1 2 , то п осле н еслож ны х пр еобр азов ан и й получим 3mv0 (О ~2М1 * (51 51 Подставив числовые значения величин в (5), найдем По (3) получим cos ф = 1—1,5(0,5)2/(3 •9,81)=0,987. Следовательно, ф=9°20'. Задачи Момент инерции 3.1. Определить момент инерции J материальной точки массой /72=0,3 кг относительно оси, отстоящей от точки на г = 20 см. 3.2. Два маленьких шарика массой т= 10 г каждый скреплены тонким невесомым стержнем длиной /= 2 0 см. Определить момент инерции J системы относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через центр масс. 3.3. Два шара массами т и 2т (т= 10 г) закреплены на тонком невесомом стержне длиной /= 4 0 см так, как это указано на рис. 3.7, а, б. Определить моменты инерции J системы относитель но оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец в этих двух случаях. Размерами шаров пренебречь. В Рис. 3.7 В Рис. 3.8 3.4. Три маленьких шарика массой т= 10 г каждый располо жены в вершинах равностороннего треугольника со стороной а= =20 см и скреплены между собой. Определить момент инерции J системы относительно оси: 1) перпендикулярной плоскости треу гольника и проходящей через центр описанной окружности; 2) ле жащей в плоскости треугольника и проходящей через центр описан ной окружности и одну из вершин треугольника. Массой стержней, соединяющих шары, пренебречь. 3.5. Определить моменты инерции J x, J y, J z трехатомных мо лекул типа АВ2 относительно осей х, у , г (рис. 3.8), проходящих через центр инерции С молекулы (ось г перпендикулярна плоско сти ху ). Межъядерное расстояние АВ обозначено d, валентный угол а. Вычисления выполнить для следующих молекул: 1) H 20 ( d = =0,097 нм, а=104°30'); 2) S 0 2 (d = 0,145 нм, а = 124°). 3.6. Определить момент инерции J тонкого однородного стержня длиной /= 30 см и массой т= 100 г относительно оси, перпендику 52 лярной стержню и проходящей через: 1) его конец; 2) его середину; 3) точку, отстоящую от конца стержня на 1/3 его длины. 3.7. Определить момент инерции J тонкого однородного стержня длиной /= 60 см и массой т= 100 г относительно оси, перпендику лярной ему и проходящей через точку стержня, удаленную на а = 20 см от одного из его концов. 3.8. Вычислить момент инерции J проволочного прямоугольни ка со сторонами а= 12 см и Ъ= 16 см относительно оси, лежащей в плоскости прямоугольника и проходящей через середины малых сторон. Масса равномерно распределена по длине проволоки с ли нейной плотностью т=0,1 кг/м. 3.9. Два однородных тонких стержня: АВ длиной 1г= 40 см и массой m i-9 0 0 г и CD длиной 12= 40 см и массой m2—4Q0 г скреп лены под прямым углом (рис. 3.9). Определить момент инерции J системы стержней относительно оси ОО', проходящей через конец стержня АВ параллельно стержню CD. Рис. 3.9 Рис. 3.10 3.10. Решить предыдущую задачу для случая, когда ось ОО' проходит через точку А перпендикулярно плоскости чертежа. 3.11. Определить момент инерции J проволочного равносто роннего треугольника со стороной а= 1 0 см относительно: 1) оси, лежащей в плоскости треугольника и проходящей через его вершину параллельно стороне, противоположной этой вершине (рис. 3.10, а); 2) оси, совпадающей с одной из сторон треугольника (рис. 3.10, б). Масса т треугольника равна 12 г и равномерно рас пределена по длине проволоки. 3.12. На концах тонкого однородного стержня длиной I и мас сой 3т прикреплены маленькие шарики массами т и 2т. Опреде лить момент инерции J такой системы относительно оси, перпенди кулярной стержню и проходящей через точку О, лежащую на оси стержня. Вычисления выполнить для случаев а, б, в, г, б, изобра женных на рис. 3.11. При расчетах принять 1=1 м, т = 0,1 кг. Шарики рассматривать как материальные точки. 3.13. Найти момент инерции / тонкого однородного кольца радиусом R = 20 см и массой т= 100 г относительно оси, лежащей в плоскости кольца и проходящей через его центр. 53 3.14. Определить момент инерции J кольца массой т = 50 г и радиусом R —10 см относительно оси, касательной к кольцу. 3.15. Диаметр диска d—20 см, масса т = 800 г. Определить момент инерции J диска относительно оси, проходящей через се редину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска. 3.16. В однородном диске массой т= 1 кг и радиусом г = 30 см вырезано круглое отверстие диаметром d = 20 см, центр которого находится на расстоянии / = 15 см от оси диска (рис. 3.12). Найти момент инерции J полученного тела относительно оси, проходя щей перпендикулярно плоскости диска через его центр. 3.17. Найти момент инерции J плоской однородной прямоуголь ной пластины массой т=800 г относительно оси, совпадающей с одной из ее сторон, если длина а другой стороны равна 40 см. 3.18. Определить момент инерции J тонкой плоской пластины со сторонами а= 10 см и &=20 см относительно оси, проходящей через центр масс пластины параллельно большей стороне. Масса пластины равно мерно распределена по ее площади с по верхностной плотностью ст= 1,2 кг/м2. Основное уравнение динамики вращательного движения 3.19. Тонкий однородный ной 1=1 м может свободно вращаться во круг горизонтальной оси, проходящей че рез точку О на стержне (рис. 3.13). Стер жень отклонили от вертикали на угол а и отпустили. Определить для начального мо мента времени угловое е и тангенциальное ах ускорения точки В на стержне. Вычис ления произвести для следующих случаев: Рис. 3.13 1) а= 0, Ь=2/31, а = я /2 ; 2) а = / / 3, Ь=19 а = я /3 ; 3) а=1!4, Ь=И2, а = 2/3к. 3.20. Однородный диск радиусом R = 10 см может свободно вра щаться вокруг горизонтальной оси, перпендикулярной плоскости 54 диска и проходящей через точку О на нем (рис. 3.14). Диск откло нили на угол а и отпустили. Определить для начального момента времени угловое е и тангенциальное ах ускорения точки В , находя щейся на диске. Вычисления выполнить для следующих случаев: 1) a= R, b= R / 2, а = л /2 ; 2) a= R / 2, b = R , а = я /6 ; 3) а = 7 3/?, b = = 7 з R, а=--73л. 3.21. Тонкий однородный стержень длиной /= 5 0 см и массой т = 400 г вращается с угловым ускорением s = 3 рад/с2 около оси, проходящей перпендикулярно стержню через его середину. Опре делить вращающий момент М. 3.22. На горизонтальную ось насажены маховик и легкий шкив радиусом R = 5 см. На шкив намотан шнур, к которому привязан груз массой т = 0,4 кг. Опускаясь равноускоренно, груз прошел путь s = 1,8 м за время /= 3 с. Определить момент инерции J махо вика. Массу шкива считать пренебрежимо малой. 3.23. Вал массой т = 1 0 0 кг и радиусом R = 5 см вращался с ча стотой п = 8 с " 1. К цилиндрической поверхности вала прижали тормозную колодку с силой F = 40 Н, под действием которой вал остановился через / = 10 с. Определить коэс})фициент трения /. Рис. 3.14 Рис. 3.15 3.24. На цилиндр намотана тонкая гибкая нерастяжимая лента, массой которой по сравнению с массой цилиндра можно пренебречь. Свободный конец ленты прикрепили к кронштейну и предоставили цилиндру опускаться под действием силы тяжести. Определить линейное ускорение а оси цилиндра, если цилиндр: 1) сплошной; 2) полый тонкостенный. 3.25. Через блок, имеющий форму диска, перекинут шнур. К концам шнура привязали грузики массой mi =100 г и т2= ПО г. С каким ускорением а будут двигаться грузики, если масса т блока равна 400 г? Трение при вращении блока ничтожно мало. 3.26. Два тела массами т х= 0,25 кг и т2= 0,15 кг связаны тон кой нитью, переброшенной через блок (рис. 3.15). Блок укреплен на краю горизонтального стола, по поверхности которого сколь зит тело массой mle С каким ускорением а движутся тела и каковы силы и Т 2 натяжения нити по обе стороны от блока? Коэффи циент трения / тела о поверхность стола равен 0,2. Масса т блока равна 0,1 кг и ее можно считать равномерно распределенной по 55 ободу. Массой нити и трением в подшипниках оси блока прене бречь. 3.27. Через неподвижный блок массой т = 0,2 кг перекинут шнур, к концам которого подвесили грузы массами т != 0 ,3 кг и т2—0,5 кг. Определить силы натяжения 7\ и Т 2 шнура по обе сто роны блока во время движения грузов, если масса блока равномер но распределена по ободу. 3.28. Шар массой пг= 10 кг и радиусом R =20 см вращается во круг оси, проходящей через его центр. Уравнение вращения шара имеет вид ф= A + B t2+Ct3, где В = 4 рад/с2, С = —1 рад/с3. Найти закон изменения момента сил, действующих на шар. Определить момент сил М в момент времени t=2 с. Закон сохранения момента импульса 3.29. Однородный тонкий стержень массой тг= 0,2 кг и длиной 1=1 м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси г, проходящей через точку О (рис. 3.16). В точку А на стержне попада ет пластилиновый шарик, летящий горизонтально (перпендику лярно оси г) со скоростью у=10 м/с и прилипает к стержню. Масса Рис. 3.16 т2 шарика равна 10 г. Определить угловую скорость со стержня и линейную скорость и нижнего конца стержня в начальный мо мент времени. Вычисления выполнить для следующих значений расстояния между точками Л и О: 1) //2; 2) //3; 3) //4. 3.30. Однородный диск массой тг= 0,2 кг и радиусом R=20 см может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси г, перпен дикулярной плоскости диска и проходящей через точку С (рис. 3.17). В точку А на образующей диска попадает пластилиновый шарик, летящий горизонтально (перпендикулярно оси г) со скоростью v= = 10 м/с, и прилипает к его поверхности. Масса т2 шарика равна 10 г. Определить угловую скорость со диска и линейную скорость и точки О на диске в начальный момент времени. Вычисления выпол нить для следующих значений а и Ъ\ 1) a= b= R\ 2) a= R ! 2, b=R; 3) a=2R/3, b=R/2\ 4) a= R / 3, fe-2 ^/3 . 56 3.31. Человек стоит на скамье Жуковского и ловит рукой мяч массой т = 0,4 кг, летящий в горизонтальном направлении со ско ростью v=20 м/с. Траектория мяча проходит на расстоянии г= =0,8 м от вертикальной оси вращения скамьи. С какой угловой скоростью со начнет вращаться скамья Жуковского с человеком, поймавшим мяч, если суммарный момент инерции J человека и скамьи равен 6 кг-м2? 3.32. Маховик, имеющий вид диска радиусом 7?=40 см и массой тг= 48 кг, может вращаться вокруг горизонтальной оси. К его цилиндрической поверхности прикреплен конец нерастяжимой нити, к другому кон цу которой подвешен груз массой т2= = 0,2 кг (рис. 3.18). Груз был приподнят и затем опущен. Упав свободно с высоты /i= 2 м, груз натянул нить и благодаря этому привел маховик во вращение. Какую угловую скорость со груз сообщил при этом маховику? 3.33. На краю горизонтальной платфор мы, имеющей форму диска радиусом R = 2m , стоит человек массой т х=80 кг. Масса т2 платформы равна 240 кг. Платформа мо жет вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Пренебрегая трением, найти, с какой угловой скоростью со будет вращаться платформа, если человек будет идти вдоль ее края со скоростью i>=2 м/с относительно платформы. 3.34. Платформа, имеющая форму диска, может вращаться око ло вертикальной оси. На краю платформы стоит человек массой т х=60 кг. На какой угол ф повернется платформа, если человек пойдет вдоль края платформы и, обойдя его, вернется в исходную точку на платформе? Масса т2 платформы равна 240 кг. Момент инерции J человека рассчитывать как для материальной точки. 3.35. Платформа в виде диска радиусом R = 1 м вращается по инерции с частотой ^1=6 мин-1. На краю платформы стоит человек, масса т которого равна 80 кг. С какой частотой п будет вращаться платформа, если человек перейдет в ее центр? Момент инерции J платформы равен 120 кг -м2. Момент инерции человека рассчитывать как для материальной точки. 3.36. В центре скамьи Жуковского стоит человек и держит в руках стержень длиной /= 2 ,4 м и массой т = 8 кг, расположенный вертикально по оси вращения скамейки. Скамья с человеком вра щается с частотой tii= l с -1. С какой частотой п 2 будет вращаться скамья с человеком, если он повернет стержень в горизонтальное положение? Суммарный момент инерции J человека и скамьи равен 6 кг-м2. 3.37. Человек стоит на скамье Жуковского и держит в руках стержень, расположенный вертикально вдоль оси вращения ска мейки. Стержень служит осью вращения колеса, расположенного 57 на верхнем конце стержня. Скамья неподвижна, колесо вращается с частотой п= 10 с-1. Радиус R колеса равен 20 см, его масса т= =3 кг. Определить частоту вращения п2 скамьи, если человек повернет стержень на угол 180°? Суммарный момент инерции / человека и скамьи равен 6 кг -м2. Массу колеса можно считать рав номерно распределенной по ободу. Работа и энергия 3.38. Шарик массой т = 1 0 0 г, привязанный к концу нити длиной /1= 1 м, вращается, опираясь на горизонтальную плоскость, с ча стотой пг=1 с-1. Нить укорачивается и шарик приближается к оси вращения до расстояния /2= 0 ,5 м. С какой частотой п 2 будет при этом вращаться шарик? Какую работу А совершит внешняя сила, укорачивая нить? Трением шарика о плоскость пренебречь. 3.39. Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением Ф= A + B t+ C t2, где А = 2 рад, В = 32 рад/с, С = —4 рад/с2. Найти среднюю мощность (N), развиваемую силами, действующими на маховик при его вращении, до остановки, если его момент инерции /= 1 0 0 кг*м2. 3.40. Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением Ф= A + B t+ C t2, где А = 2 рад, 5 = 1 6 рад/с, С= —2 рад/с2. Момент инерции / маховика равен 50 кг «м2. Найти законы, по которым меняются вращающий момент М и мощность N. Чему равна мощ ность в момент времени t—3 с? 3.41. Якорь мотора вращается с частотой п=1500 мин-1. Опре делить вращающий момент М, если мотор развивает мощность N=500 Вт. 3.42. Со шкива диаметром d = 0,48 м через ремень передается мощность N=9 кВт. Шкив вращается с частотой п=240 мин-1. Сила натяжения 7 \ ведущей ветви ремня в два раза больше силы натяжения Т 2 ведомой ветви. Найти силы натяжения обеих ветвей ремня. 3.43. Для определения мощности мотора на его шкив диаметром d = 20 см накинули ленту. К одному концу ленты прикреплен дина мометр, к другому подвесили груз Р. Найти мощность N мотора, если мотор вращается с частотой п = 24 с " 1, масса m груза равна 1 кг и показание динамометра 5 = 2 4 Н. 3.44. Маховик в виде диска массой т = 80 кг и радиусом R=30 см находится в состоянии покоя. Какую работу At нужно совершить, чтобы сообщить маховику частоту лг= 10 с -1? Какую работу А 2 пришлось бы совершить, если бы при той же массе диск имел мень шую толщину, но вдвое больший радиус? 3.45. Кинетическая энергия Т вращающегося маховика равна 1 кДж. Под действием постоянного тормозящего момента маховик начал вращаться равнозамедленно и, сделав N=80 оборотов, оста новился. Определить момент М силы торможения. 3.46. Маховик, момент инерции / которого равен 40 кг*м2, начал 58 вращаться равноускоренно из состояния покоя под действием мо мента силы М = 20 Н-м. Вращение продолжалось в течение t= = 10 с. Определить кинетическую энергию Г, приобретенную ма ховиком. 3.47. Пуля массой т = 1 0 г летит со скоростью и=800 м/с, вра щаясь около продольной оси с частотой п^ЗООО с-1. Принимая пулю за цилиндрик диаметром d = 8 мм, определить полную кине тическую энергию Т пули. 3.48. Сплошной цилиндр массой пг= 4 кг катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Линейная скорость v оси цилиндра равна 1 м/с. Определить полную кинетическую энергию Г цилин дра. 3.49. Обруч и сплошной цилиндр, имеющие одинаковую массу т = 2 кг, катятся без скольжения с одинаковой скоростью v=5 м/с. Найти кинетические энергии Тг и Т 2 этих тел. 3.50. Шар катится без скольжения по горизонтальной поверх ности. Полная кинетическая энергия Т шара равна 14 Дж. Опреде лить кинетическую энергию Тг поступательного и Т 2 вращательно го движения шара. 3.51. Определить линейную скорость v центра шара, скатившего ся без скольжения с наклонной плоскости высотой h= 1 м. 3.52. Сколько времени t будет скатываться без скольжения обруч с наклонной плоскости длиной 1=2 м и высотой h= 10 см? 3.53. Тонкий прямой стержень длиной 1=1 м прикреплен к гори зонтальной оси, проходящей через его конец. Стержень отклонили на угол ф=60° от положения равновесия и отпустили. Определить линейную скорость v нижнего конца стержня в момент прохожде ния через положение равновесия. 3.54. Однородный тонкий стержень длиной 1=1 м может свобод но вращаться вокруг горизонтальной оси z, проходящей через точку О на стержне. Стержень отклонили от положения равновесия на угол а и отпустили (см. рис. 3.13). Определить угловую скорость со стержня и линейную скорость v точки В на стержне в момент про хождения им положения равновесия. Вычисления выполнить для следующих случаев: 1) а= 0, Ь=1/2, а = я /3 ; 2) а=И 3, b= 2//3, а = я /2 ; 3) а = //4 , Ь=1, а = 2 я /3 . 3.55. Карандаш длиной /= 15 см, поставленный вертикально, падает на стол. Какую угловую со и линейную v скорости будет иметь в конце падения: 1) середина карандаша? 2) верхний его ко нец? Считать, что трение настолько велико, что нижний конец карандаша не проскальзывает. 3.56. Однородный диск радиусом R = 20 см может свободно вра щаться вокруг горизонтальной оси г, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через точку О (см. рис. 3.14). Определить угло вую со и линейную v скорости точки В на диске в момент прохожде ния им положения равновесия. Вычисления выполнить для следую щих случаев: 1) a = b = R , а = я /2 ; 2) a= R ! 2, Ъ=0, а = я /3 ; 3) а= =2R/3, b=2R/3, а= 5 л /6 ; 4) a= R / 3, b=R, а = 2 я /3 . 59 § 4. С И Л Ы В М Е Х А Н И К Е Основные формулы Ф Закон всемирного тяготения F=Gmxm2lr2, где F — сила взаимного притяжения двух материальных точек; т1 и т2 — их массы; г — расстояние между точками; G — гравита ционная постоянная. В написанной форме закон всемирного тяготения можно приме нять и к взаимодействию шаров, масса которых распределена сфери чески-симметрично. В этом случае г есть расстояние между центра ми масс шаров. ® Напряженность гравитационного поля g=F/m, где F — сила тяготения, действующая на материальную точку массы т , помещенную в некоторую точку поля. ® Напряженность гравитационного поля, создаваемого плане той, массу М которой можно считать распределенной сферическисимметрично, g=GM/r 2, где г — расстояние от центра планеты до интересующей нас точки поля, находящейся вне планеты. • Ускорение свободного падения на высоте h над поверхно стью Земли ^ А= (1+/[/£)*’ где R — радиус Земли; g — ускорение свободного падения на по верхности Земли. Если h<^R, то ёл ~ ( 1 — 2h/R)g. • Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек массами т1 и т2 (шаров с массой, распре деленной сферически симметрично), находящихся на расстоянии г друг от друга, П = —Gm1m2/r. (Потенциальная энергия бесконечно удаленных друг от друга ма териальных точек принята равной нулю.) 0 Потенциал гравитационного поля Ф=П /т , где П — потенциальная энергия материальной точки массой т, помещенной в данную точку поля. • Потенциал гравитационного поля, создаваемого планетой, массу М которой можно считать распределенной сферически-сим метрично, Ф =—GM/r, 60 где г — расстояние от центра планеты до интересующей нас точки поля, находящейся вне планеты. • Законы Кеплера. 1. Планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых находится Солнце. 2. Радиус-вектор планеты в равные времена описывает одинако вые площади. 3. Квадраты периодов обращения любых двух планет относятся как кубы больших полуосей их орбит: Т\!Т\ = а\1а\. Законы Кеплера справедливы также для движения спутников вокруг планеты. ® Относительная деформация при продольном растяжении или сжатии тела 8 —Л'//, где 8 — относительное удлинение (сжатие); х — абсолютное удли нение (рис. 4.1); / — начальная длина тела. Относительная деформация при сдвиге определяется из формулы tg у = Аs/h, где tg у — относительный сдвиг; As — абсолютный сдвиг параллель ных слоев тела относительно друг друга (рис. 4.2); h — расстояние между слоями; у — угол сдвига. (Для малых углов tg y=y=As/h.) ® Напряжение нормальное tf = C,np/S > упругая сила, перпендикулярная поперечгде F упр hf т F 45 F t Рис. 4.1 Рис. 4.2 ному сечению тела; S — площадь этого сечения. Напряжение тангенциальное Т = С-п P'/S > где Fynv — упругая сила, действующая вдоль слоя тела; S — площадь этого слоя. ® Закон Гука для продольного растяжения или сжатия ^упр^ — kx, или а = где k — коэффициент упругости (в случае пружины — жесткость); Е — модуль Юнга. 61 Закон Гука для сдвига Л Fh п As = -Q<r9 или х = и у , где G — модуль поперечной упругости (модуль сдвига). • Момент, закручивающий на угол <р однородный круглый стер жень, М=С<р, где С — постоянная кручения. • Работа, совершаемая при деформации тела, A = kx2/2. • Потенциальная энергия растянутого или сжатого стержня тт Еъ2 \7 П = —2~", или тт П = -°^2- кт/, или тт П = “2“ ^| где V — объем тела. Примеры решения задач Пример 1. Определить вторую космическую скорость v2 ракеты, запущенной с поверхности Земли. Примечание. Второй космической (или параболической) скоростью v2 называется минимальная скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно удалилось с поверхности Земли в бесконечность (при этом сопротивление воздуха в расчет не принимается и предполагается, что на тело действует только поле тяготения Земли), Р е ш е н и е . При удалении тела массой т в бесконечность его потенциальная энергия возрастает за счет убыли кинетической энер гии и в бесконечности достигает максимального значения, равного нулю. Согласно определению второй космической скорости, кине тическая энергия в бесконечности также равна нулю. Таким обра зом, в бесконечности 7 ^ = 0 и Пм = 0 . В соответствии с законом сохранения энергии в механике mv 2 Т + П = 7\. + Псв, или ~ = 0, где М — масса Земли. Отсюда находим v2 = V2GM/R. Преобразу ем эту формулу, умножив и разделив подкоренное выражение на R: v2 = V(2GM/R2) R. Так как GMlR2=g (где g — ускорение свободного падения у поверхности Земли), то = Подставив в эту формулу значения g и R и произведя вычисле ния, получим v2= 11,2 км/с. Пример 2. Ракета установлена на поверхности Земли для за пуска в вертикальном направлении. При какой минимальной ско рости v±, сообщенной ракете при запуске, она удалится от поверх 62 ности на расстояние, равное радиусу Земли (R = 6,37‘106м)? Сила ми, кроме силы гравитационного взаимодействия ракеты и Земли, пренебречь. Р е ш е н и е . Чтобы определить минимальную скорость ра кеты, надо найти ее минимальную кинетическую энергию Тг. Для этого воспользуемся законом сохранения механической энергии. Этот закон выполняется для замкнутой системы тел, в которой дей ствуют только консервативные силы. Систему ракета — Земля можно считать замкнутой. Единствен ная сила, действующая на систему,— сила гравитационного взаи модействия, являющаяся консервативной. В качестве системы отсчета выберем инерциальную систему от счета, так как только в такой системе справедливы законы динами ки и, в частности, законы сохранения. Известно, что система отсчета, связанная с центром масс замкнутой системы тел, является инерци альной. В рассматриваемом случае центр масс системы ракета — Земля будет практически совпадать с центром Земли, так как масса М Земли много больше массы пг ракеты. Следовательно, систему отсчета, связанную с центром Земли, можно считать практически инерциальной. Согласно закону сохранения механической энергии, запишем 7 \+ П 1= Т,2+ П2, (1) где Тг и Пх — кинетическая и потенциальная энергия системы раке та — Земля в начальном состоянии (на поверхности Земли); Т 2 и П 2 — те же величины в конечном состоянии (на расстоянии, равном радиусу Земли). В выбранной системе отсчета кинетическая энергия Земли равна нулю. Поэтому Тг есть просто начальная кинетическая энергия ракеты: 7"х=1/ 2 tnv\. Потенциальная энергия системы в начальном состоянии * П х=—GmM/R. По мере удаления ракеты от поверхно сти Земли ее потенциальная энергия будет возрастать, а кинетиче ская — убывать. В конечном состоянии кинетическая энергия Т 2 станет равной нулю, а потенциальная энергия П 2 достигнет макси мального значения: П 2= —Gm\i/(2R). Подставив значения Т1у Пх, Т 2 и П 2 в выражение (1), получим _1_ mM тМ mv\— G ~1Г G ~2R 2 ’ откуда после сокращения на т найдем v^ V G M / R . Заметив, что GM/R2=g (g — ускорение свободного падения у по верхности Земли), перепишем эту формулу в виде «1 = VgR, что совпадает с выражением для первой космической скорости (см. пример 1). Подставив числовые значения величин и произведя * Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия тел, беско нечно удаленных друг от друга, принимается равной нулю. 63 вычисления, получим = 7,9 •103 м/с. Пример 3. Найти выражение для потенциальной энергии П гра витационного взаимодействия Земли и тела массой т, находящегося на расстоянии г от центра Земли за пределами ее поверхности. По строить график П(г). Р е ш е н и е . Потенциальная энергия в поле консервативных сил (гравитационные силы консервативны) связана с силой следую щим соотношением: F = — gradll = где i, ап ап — , j, . ап , . ап —дх- + 1 Ц - k — единичные ап дг векторы осей координат (орты); ап — частные производные потенциальной энергии по соот ветствующим координатам. В случае, когда поле сил обладает сфе рической симметрией, это выражение упрощается. Если ось х совместить с радиусом-вектором г, направленным по радиусу сферы, ап ™ <?п то и ап обращаются в нуль и тогда F = —i дх Так как ве ди дг кторы г и i совпадают (рис. 4.3) и П зави сит только от г, то F — TFT(И Запишем в векторной форме закон все мирного тяготения: ^ 0 тМ г ( 2) г* г ’ где G — гравитационная постоянная; М масса Земли. Сравнивая выражения (1) и (2), найдем - ^ r = откуда dn = G - ^ - d r . Взяв от этого равенства неопределенный интеграл, получим где С — постоянная интегрирования. Полученное выражение показывает, что потенциальная энергия может быть определена лишь с точностью до некоторой произволь ной постоянной. 1. Если принять потенциальную энергию бесконечно удаленных друг от друга тел равной нулю, то постоянная С обращается в нуль. В этом случае запишем П (г)——GmM/r. 64 Соответствующая зависимость П (г) изображается графиком, представленным на рис. 4.4. 2. Если же принять потенциальную энергию равной нулю на поверхности Земли, то П(г)==— С = 0, C = G А А и тогда *,— I* / \ /о tnP\A п (г) = = 0 _ «— о in.ЛI • Но так как r=JR +/i, где h — высота тела над поверхностью Земли, то тМ П (h) = G R тМ R+ h Если h<^R, то П(/г) = тМ (R + h)R тМ h. м или, так как g = G RZ У П (h)=mgh. Пример 4. В гравитационном поле Земли тело массой т переме щается из точки 1 в точку 2 (рис. 4.5). Определить скорость v2 тела в точке 2, если в точке 1 его скорость vL= V g R = 7,9 км/с. Ускорение свободного падения g считать известным. Решение. Система те ло — Земля является замкнутой, в которой действует консерва Рис. 4.4 тивная сила — сила гравитационного взаимодействия. Поэтому можно воспользоваться законом сохранения механической энергии (инерциальную систему отсчета свяжем с центром масс системы). Тогда можно записать Ег= Е 2, или Т1+ П 1= 712+ П 2, где 7\, Ili и Т 2, П 2 — соответственно кинетические и потенциальные энергии в начальном 1 и конечном 2 состояниях. Заметим, что центр масс системы тело — Земля практически совпадает с центром масс Земли (т<^М), и поэтому кинетическая энергия Земли в начальном и конечном состояниях равна нулю. Тогда rp _ 11 3 JSfi. 1263 rnv1 гт 2 ’ И г "~ r Mm . rp _ mv\ ° 3R~1 1 2 п ’ П* ~ г Мт U ~2lf' ,65 Подставив эти выражения в (1), получим rnvl г Мт mv\ р Мт ~ ° ~2R~’ Заменив GM=gR2 и произведя сокращения, найдем v\=v\+ /-------- -— • + 1/3gR, откуда v.z = Y vl + j g R . Так как v\=gR (по условию задачи), то »*= = У уПроизведя вычисления, получим v1 = -у-7,9 км/с = 9,12 км/с. Пример 5. Вычислить работу Л12 сил гравитационного поля Земли при перемещении тела массой т= 10 кг из точки 1 в точку 2 (рис. 4.5). Радиус R земли и ускорение g свободного падения вблизи поверхности Земли считать известными. Р е ш е н и е . Для решения задачи воспользуемся соотношением между работой А и изменением АП потенциальной энергии. Так как силы системы — гравитационные — относятся к силам консерва тивным, то работа сил поля совершается за счет убыли потенциаль ной энергии, т. е. Л12= - Л П = П 1- П 2, (1) где Пх и П 2 — потенциальные энергии системы тело — Земля соот ветственно в начальном и конечном ее состояниях. Условимся, что потенциальная энергия взаимодействия тела и Земли равна нулю, когда тело находится на бесконечно большом расстоянии от Земли, тогда на расстоянии г потенциальная энергия выразится равенством П = — где М — масса Земли. Для расстояний r ^ S R и г2= 2 /? , заданных в условиях задачи (рис. 4.5), получим два выражения потенциальной энергии: П х=—GmM/(3R); U2^=—GmM/{2R). Подставив эти выражения Пх и П 2 в формулу (1), получим А 12 — тМ G "ЗТГ тМ Заметив, что G-g2 = g, преобразуем последнее выражение к виду A 12= 1/emgR. Подставив значения т, g, R в это выражение и произведя вы числения, найдем А 12 - У6. 10•9,81 •6,37• 106 Дж = 1,04 ■108 Д ж - 104 МДж. Пример 6. Верхний конец стального стержня длиной / = 5 м с площадью поперечного сечения 5 = 4 см2 закреплен неподвижно, к нижнему подвешен груз массой т = 2 - 103 кг. Определить: 1) нор мальное напряжение а материала стержня; 2) абсолютное х и отно 66 сительное г удлинения стержня; 3) потенциальную энергию П растянутого стержня. Р е ш е н и е . 1. Нормальное напряжение материала растяну того стержня выражается формулой o=F/S, где F — сила, дейст вующая вдоль оси стержня. В данном случае F равна силе тяжести mg и поэтому можем записать o=mglS. Сделав вычисления, найдем сг=49 МПа. 2. Абсолютное удлинение выражается формулой x=Fl/(ES), где Е — модуль Юнга. Подставив значения величин F, /, S и Е в эту формулу (значе ние Е взять из табл. 11) и произведя вычисления, получим х = Fl/(ES) = rngZ/C^S) = 2 - 103 9,81 -5/(200-109-4-14"4) м = = 1,23-10“ 3 м = 1,23 мм. Относительное удлинение стержня 8 = *// = 2,46-1СГ4. 3. Потенциальная энергия растянутого стержня П = (есх/2)Е, где V — объем тела, равный SL Поэтому n = (ec/2)S/. Выполнив вычисления по этой формуле, получим 11= 12,1 Дж. Пример 7. Из пружинного пистолета был произведен выстрел вертикально вверх. Определить высоту /г, на которую поднимается пуля массой т = 20 г, если пружина жесткостью k = 196 Н/м была сжата перед выстрелом нах = 10 см. Массой пружины пренебречь. Р е ш е н и е . Система пуля — Земля (вместе с пистолетом) яв ляется замкнутой системой, в которой действуют консервативные силы — силы упругости и силы тяготения. Поэтому для решения задачи можно применить закон сохранения энергии в механике. Согласно этому закону, полная механическая энергия Ег системы в начальном состоянии (в данном случае перед выстрелом) равна полной энергии Е 2 в конечном состоянии (когда пуля поднялась на высоту h), т. е. Ег= Е29 или Т . + П ^ Г . + П , , (1) где Тг и Т 2 — кинетические энергии системы в начальном и конеч ном состояниях; И1и И 2 — потенциальные энергии в тех же состоя ниях. Так как кинетические энергии пули в начальном и конечном со стояниях равны нулю, то равенство (1) примет вид П != П 2. (2) Если потенциальную энергию в поле тяготения Земли на ее по верхность принять равной нулю, то энергия системы в начальном состоянии равна потенциальной энергии сжатой пружины, т. е. 3* 67 H1= kx2/2, а в конечном состоянии — потенциальной энергии пули на высоте ft, т. е. U2=mgh. Подставив приведенные выражения Пх и П 2 в формулу (2), найдем kx2 kx2 ~ — mgh\ ft 2m g ' Произведя вычисления по последней формуле, получим f t= 5 м. Задачи Силы тяготения. Гравитационное поле 4.1. Центры масс двух одинаковых однородных шаров находятся на расстоянии г = 1 м друг от друга. Масса т каждого шара равна 1 кг. Определить силу F гравитационного взаимодействия шаров. 4.2. Как велика сила F взаимного притяжения двух космических кораблей массой т = Ют каждый, если они сблизятся до расстояния г = 100 м? 4.3. Определить силу F взаимного притяжения двух соприка сающихся железных шаров диаметром d = 20 см каждый. 4.4. На какой высоте ft над поверхностью Земли напряженность gh гравитационного поля равна 1 Н/кг? Радиус R Земли считать известным. 4.5. Ракета, пущенная вертикально вверх, поднялась на высоту ft= 3200 км и начала падать. Какой путь s пройдет ракета за первую секунду своего падения? 4.6. Радиус R планеты Марс равен 3,4 Мм, ее масса М = 6,4 X XIО23 кг. Определить напряженность g гравитационного поля на поверхности Марса. 4.7. Радиус Земли в п = 3,66 раза больше радиуса Луны; средняя плотность Земли в £=1,66 раза больше средней плотности Луны. Определить ускорение свободного падения gjj на поверхности Луны, если на поверхности Земли ускорение свободного падения g считать известным. 4.8. Радиус R малой планеты равен 250 км, средняя плотность р = 3 г/см3. Определить ускорение свободного падения g на поверх ности планеты. 4.9. Масса Земли в п = 81,6 раза больше массы Луны. Расстояние I между центрами масс Земли и Луны равно 60,3R (R — радиус Земли). На каком расстоянии г (в единицах R) от центра Земли на ходится точка, в которой суммарная напряженность гравитацион ного поля Земли и Луны равна нулю? 4.10. Искусственный спутник обращается вокруг Земли по ок ружности на высоте f t= 3,6 Мм. Определить линейную скорость v спутника. Радиус R Земли и ускорение свободного падения g на поверхности Земли считать известными. 4.11. Период Т вращения искусственного спутника Земли равен 68 2 ч. Считая орбиту спутника круговой, найти, на какой высоте h над поверхностью Земли движется спутник. 4. 12. Стационарный искусственный спутник движется по окруж ности в плоскости земного экватора, оставаясь все время над одним и тем же пунктом земной поверхности. Определить угловую ско рость со спутника и радиус R его орбиты. 4.13. Планета Нептун в k=30 раз дальше от Солнца, чем Земля. Определить период Т обращения (в годах) Нептуна вокруг Солнца. 4.14. Луна движется вокруг Земли со скоростью = 1,02 км/с. Среднее расстояние / Луны от Земли равно 60,3 R (R — радиус Земли). Определить по этим данным, с какой скоростью v2 должен двигаться искусственный спутник, вращающийся вокруг Земли на незначительной высоте над ее поверхностью. 4.15. Зная среднюю скорость vx движения Земли вокруг Солнца (30 км/с), определить, с какой средней скоростью v2движется малая планета, радиус орбиты которой в п = 4 раза больше радиуса орбиты Земли. 4.16. Советская космическая ракета, ставшая первой искусствен ной планетой, обращается вокруг Солнца по эллипсу. Наименьшее расстояние rmin ракеты от Солнца равно 0,97, наибольшее расстоя ние rmax равно 1,31 а. е. (среднего расстояния Земли от Солнца). Определить период Т вращения (в годах) искусственной планеты. 4.17. Космическая ракета движется вокруг Солнца по орбите, почти совпадающей с орбитой Земли. При включении тормозного устройства ракета быстро теряет скорость и начинает падать на Солнце (рис. 4.6). Определить время t, в течение которого будет падать ракета. Указание. П ринять, что, падая на Солнце, р акета движется по эллипсу, большая ось которого очень мало отличается от радиуса орбиты Земли, а эксцентриситет — от единицы. Период обращения по эллипсу не зависит от эксцентриситета. Рис. 4.6 Рис. 4.7 4.18. Ракета, запущенная с Земли на Марс, летит, двигаясь во круг Солнца по эллиптической орбите (рис. 4.7). Среднее расстоя ние г планеты Марс от Солнца равно 1,5 а. е. В течение какого вре мени t будет лететь ракета до встречи с Марсом? 69 4.19. Искусственный спутник движется вокруг Земли по эллипсу с эксцентриситетом е=0,5. Во сколько раз линейная скорость спут ника в перигее (ближайшая к центру Земли точка орбиты спутника) больше, чем в апогее (наиболее удаленная точка орбиты)? Указание. Применить закон сохранения момента импульса. 4.20. Комета движется вокруг Солнца по эллипсу с эксцентриси тетом 8—0,6. Во сколько раз линейная скорость кометы в ближайшей к Солнцу точке орбиты больше, чем в наиболее удаленной? 4.21. Ближайший спутник Марса находится на расстоянии г— = 9,4 Мм от центра планеты и движется вокруг нее со скоростью у=2,1 км/с. Определить массу М Марса. 4.22. Определить массу М Земли по среднему расстоянию г от центра Луны до центра Земли и периоду Т обращения Луны вокруг Земли (Т и г считать известными). 4.23. Один из спутников планеты Сатурн находится приблизи тельно на таком же расстоянии г от планеты, как Луна от Земли, но период Т его обращения вокруг планеты почти в п=Ю раз мень ше, чем у Луны. Определить отношение масс Сатурна и Земли. 4.24. Найти зависимость ускорения свободного падения g от расстояния г, отсчитанного от центра планеты, плотность р которой можно считать для всех точек одинаковой. Построить график зави симости g (г). Радиус R планеты считать известным. 4.25. Тело массой m = 1 кг находится на поверхности Земли. Определить изменение АР силы тяжести для двух случаев: 1) при подъеме тела на высоту h = 5 км; 2) при опускании тела в шахту на глубину h = 5 км. Землю считать однородным шаром радиусом R = 6,37 Мм и плотностью р= 5,5 г/см3. 4.26. Определить работу А , которую совершат силы гравитаци онного поля Земли, если тело массой т= 1 кг упадет на поверхность Земли: 1) с высоты h , равной радиусу Земли; 2) из бесконечности. Радиус R Земли и ускорение свободного падения g на ее поверхности считать известными. 4.27. На какую высоту h над поверхностью Земли поднимется ракета, пущенная вертикально вверх, если начальная скорость v ракеты равна первой космической скорости? 4.28. Определить значения потенциала ср гравитационного поля на поверхностях Земли и Солнца. 4.29. Вычислить значения первой (круговой) и второй (параболи ческой) космических скоростей вблизи поверхности Луны. 4.30. Найти первую и вторую космические скорости вблизи поверхности Солнца. 4.31. Радиус R малой планеты равен 100 км, средняя плотность р вещества планеты равна 3 г/см 3. Определить параболическую ско рость v 2 у поверхности этой планеты. 4.32. Какова будет скорость v ракеты на высоте, равной радиусу Земли, если ракета пущена с Земли с начальной скоростью v0= = 10 км/с? Сопротивление воздуха не учитывать. Радиус R Земли 70 и ускорение свободного падения g на ее поверхности считать извест ными. 4.33. Ракета пущена с Земли с начальной скоростью i>0=15 км/с. К какому пределу будет стремиться скорость ракеты, если расстоя ние ракеты от Земли бесконечно увеличивается? Сопротивление воздуха и притяжение других небесных тел, кроме Земли, не учи тывать. 4.34. Метеорит падает на Солнце с очень большого расстояния, которое практически можно считать бесконечно большим. Начальная скорость метеорита пренебрежимо мала. Какую скорость v будет иметь метеорит в момент, когда его расстояние от Солнца равно среднему расстоянию Земли от Солнца? 4.35. Комета огибает Солнце, двигаясь по орбите, которую мож но считать параболической. С какой скоростью v движется комета, когда она проходит через перигей (ближайшую к Солнцу точку своей орбиты), если расстояние г кометы от Солнца в этот момент равно 50 Гм? 4.36. На высоте /г=2,6 Мм над поверхностью Земли космической ракете была сообщена скорость и = 10 км/с, направленная перпенди кулярно линии, соединяющей центр Земли с ракетой. По какой орбите относительно Земли будет двигаться ракета? Определить вид конического сечения. Силы упругости. Механическое напряжение. Прочность 4.37. К проволоке диаметром d = 2 мм подвешен груз массой т= 1 кг. Определить напряжение а, возникшее в проволоке. 4.38. Верхний конец свинцовой проволоки диаметром d = 2 см и длиной /= 60 м закреплен неподвижно. К нижнему концу подве шен груз массой т = 100 кг. Найти напряжение о материала: 1) у нижнего конца; 2) на середине длины; 3) у верхнего конца прово локи. 4.39. Какой наибольший груз может выдержать стальная прово лока диаметром d = l мм, не выходя за предел упругости оупр= =294 МПа? Какую долю первоначальной длины составляет удлине ние проволоки при этом грузе? 4.40. Свинцовая проволока подвешена в вертикальном положе нии за верхний конец. Какую наибольшую длину I может иметь проволока, не обрываясь под действием силы тяжести? Предел проч ности апр свинца равен 12,3 МПа. 4.41. Гиря массой т= 10 кг, привязанная к проволоке, враща ется с частотой п = 2 с-1 вокруг вертикальной оси, проходящей через конец проволоки, скользя при этом без трения по горизонтальной поверхности. Длина I проволоки равна 1,2 м, площадь 5 ее попереч ного сечения равна 2 мм2. Найти напряжение о металла проволоки. Массой ее пренебречь. 4.42. Однородный стержень длиной /= 1,2 м, площадью попереч ного сечения 5 = 2 см2 и массой т = 1 0 кг вращается с частотой п~= 71 =2 с -1 вокруг вертикальной оси, проходящей через конец стержня, скользя при этом без трения по горизонтальной поверхности. Найти наибольшее напряжение атах материала стержня при данной час тоте вращения. Модуль упругости. Жесткость 4.43. К вертикальной проволоке длиной 1=Ъ м и площадью поперечного сечения S = 2 мм2 подвешен груз массой т = 5,1 кг. В результате проволока удлинилась на х = 0,6 мм. Найти модуль Юнга Е материала проволоки. 4.44. К стальному стержню длиной 1=3 м и диаметром d=2 см подвешен груз массой т = 2,5 •103 кг. Определить напряжение а в стержне, относительное е и абсолютное х удлинения стержня. 4.45. Проволока длиной 1=2 м и диаметром d= 1 мм натянута практически горизонтально. Когда к середине проволоки подвесили груз массой т= 1 кг, проволока растянулась настолько, что точка подвеса опустилась на h = 4 см. Определить модуль Юнга Е мате риала проволоки. 4.46. Две пружины жесткостью ^ = 0 ,3 кН/м и /е2= 0,8 кН/м соединены последовательно. Определить абсолютную деформацию хг первой пружины, если вторая деформирована на лг2= 1,5 см. 4.47. Определить жесткость k системы двух пружин при после довательном и параллельном их соединении (рис. 4.8). Жесткость пружин &i=2 кН/м и k 2—-6 кН/м. 4.48. Нижнее основание железной тумбы, имеющей форму ци линдра диаметром d = 20 см и высотой h = 20 см, закреплено непод вижно. На верхнее основание тумбы действует сила Е = 20 кН (рис. 4.9). Найти: 1) тангенциальное напряжение т в материале тум бы; 2) относительную деформацию у (угол сдвига); 3) смещение Ах верхнего основания тумбы. 4.49. Тонкий стержень одним концом закреплен, к другому кон цу приложен момент силы М = 1 кН-м. Определить угол ср закручи вания стержня, если постоянная кручения С= 120 кН-м/рад. 72 4.50. Тонкая однородная металлическая лента закреплена верх ним концом. К нижнему концу приложен момент силы М = 1 мН-м. Угол ср закручивания ленты равен 10°. Определить постоянную кру чения С. Работа упругой силы. Энергия деформированного тела 4.51. Какую работу А нужно совершить, чтобы растянуть на х = \ мм стальной стержень длиной /= 1 м и площадью S поперечно го сечения, равной 1 см2? 4.52. Для сжатия пружины на хг= \ см нужно приложить силу F= 10 Н. Какую работу А нужно совершить, чтобы сжать пружину на х2=10 см, если сила пропорциональна сжатию? 4.53. Пружина жесткостью k= \0 кН/м сжата силой F = 200 Н. Определить работу А внешней силы, дополнительно сжимающей эту пружину еще на лг= 1 см. 4.54. Пружина жесткостью k = \ кН/м была сжата на хг= \ см. Какую нужно совершить работу А , чтобы сжатие пружины увели чить до *2=18 см? 4.55. Гиря, положенная на верхний конец спиральной пружины, поставленной на подставке, сжимает ее на х=2 мм. На сколько со жмет пружину та же гиря, упавшая на конец пружины с высотой /г=5 см? 4.56. Пуля массой тг= 10 г вылетает со скоростью и=300 м/с из дула автоматического пистолета, масса т2 затвора которого рав на 200 г. Затвор пистолета прижимается к стволу пружиной жест костью k=2b кН/м. На какое расстояние I отойдет затвор после вы стрела? Считать пистолет жестко закрепленным. 4.57. Две пружины с жесткостями /гх= 0,3 кН/м и k 2=0,5 кН/м скреплены последовательно и растянуты так, что абсолютная дефор мация х 2 второй пружины равна 3 см. Вычислить работу А растяже ния пружин. 4.58. Пружина жесткостью Лх= 100 кН/м была растянута на *!= 4 см. Уменьшая приложенную силу, пружине дают возможность вернуться в первоначальное состояние (нерастянутое). Затем сжима ют пружину на х 2=6 см. Определить работу А, совершенную при этом внешней силой. 4.59. Стальной стержень массой т = 3,9 кг растянут на 8=0,001 своей первоначальной длины. Найти потенциальную энергию П растянутого стержня, 4.60. Стержень из стали длиной 1=2 м и площадью поперечного сечения S= 2 см2 растягивается некоторой силой, причем удлинение х равно 0,4 см. Вычислить потенциальную энергию П растянутого стержня и объемную плотность w энергии. 4.61. Стальной стержень длиной 1=2 м и площадью поперечного сечения S= 2 см2 растягивается силой F=10 кН. Найти потенци альную энергию П растянутого стержня и объемную плотность w энергии. 73 4.62. Две пружины, жесткости которых &i=l кН/м и k 2=3 кН/м, скреплены параллельно. Определить потенциальную энергию П данной системы при абсолютной деформации х=Ъ см. 4.63. С какой скоростью v вылетит из пружинного пистолета шарик массой т= 10 г, если пружина была сжата на х=5 см. Жест кость k пружины равна 200 Н/м? 4.64. В пружинном ружье пружина сжата на ^ = 2 0 см. При взводе ее сжали еще на х 2=30 см. С какой скоростью v вылетит из ружья стрела массой т = 50 г, если жесткость k пружины равна 120 Н/м? 4.65. Вагон массой т= 12 т двигался со ско ш т т ростью v = \ м/с. Налетев на пружинный буфер, он остановился, сжав пружину буфера на х=10 см. Найти жесткость k пружины. 4.66. Стальной стержень растянут так, что напря жение в материале стержня о = 300 МПа. Найти объ емную плотность w потенциальной энергии растяну того стержня. 4.67. Стержень из стали имеет длину 1=2 м и площадь поперечного сечения S = 10 мм2. Верхний конец стержня закреплен неподвижно, к нижнему прикреплен упор. На стержень надет просверленный посередине груз массой т= 10 кг (рис. 4.10). Груз Рис. 4.10 падает с высоты h= 10 см и задерживается упором. Найти: 1) удлинение х стержня при ударе груза; 2) нормальное напряжение а, возникающее при этом в материале стержня. § 5. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА Основные формулы В специальной теории относительности рассматриваются только инерциальные системы отсчета. Во всех задачах считается, что оси у , у' и г, т! сонаправлены, а относительная скорость v0 системы ко ординат К' относительно системы К нап У‘k У‘ равлена вдоль общей оси хх' (рис. 5.1). Ф Релятивистское (лоренцево) сок ращение длины стержня 0 о1 l = lQV 1— {vic)\ где /0 — длина стержня в системе коор динат К ' , относительно которой стержень Рис. 5.1 покоится (собственная длина). Стержень параллелен оси х I — длина стержня, измеренная в системе А/, относительно которой он движется со скоростью v\ с — скорость распространения электромагнитного излучения. Ф Релятивистское замедление хода часов А/о ^ V 1— о°/сУ2У 74 где А/0 — интервал времени между двумя событиями, происходя щими в одной точке системы /(', измеренный по часам этой системы (собственное время движущихся часов); At — интервал времени между двумя событиями, измеренный по часам системы /С. 9 Релятивистское сложение скооостей V' -f- L'o 7) = ----!-----1-f-L’ov' jС1 ’ где v' — относительная скорость (скорость тела относительно си стемы K r)\ v0 — переносная скорость (скорость системы К' относи тельно /(); v — абсолютная скорость (скорость тела относительно системы К). В теории относительности абсолютной скоростью называется скорость тела в системе координат, условно принятой за непод вижную. 9 Релятивистская масса т0 т0 или т = т V 1- ( ^ ) 2 ’ где т0 — масса покоя; (3 — скорость частицы, выраженная в долях скорости света ((З^ис). © Релятивистский импульс р = mv или р = т*с у ._г ' У 1- р 2* ® Полная энергия релятивистской частицы Е = тс-= т0с2+ Т , где Т — кинетическая энергия частицы; т0с2= Е 0— ее энергия покоя. Частица называется релятивистской, если скорость частицы сравнима со скоростью света, и классической, если v ^c . 9 Связь полной энергии с импульсом релятивистской частицы Е 2—p2c2=tnlc4. 9 Связь кинетической энергии с импульсом релятивистской частицы р2с2= Т (Т+2пг0с2) . V l-(CC)2 ’ Примеры решения задач Пример 1. Космический корабль движется со скоростью v= *=0,9 с по направлению к центру Земли. Какое расстояние I прой дет этот корабль в системе отсчета, связанной с Землей (/(-система), за интервал времени Д£0=1 с, отсчитанный по часам, находя щимся в космическом корабле (/('-система)? Суточным вращением Земли и ее орбитальным движением вокруг Солнца пренебречь. Р е ш е н и е . Расстояние /, которое пройдет космический ко рабль в системе отсчета, связанной с Землей (/(-система), определим по формуле l=vAt, (1) 75 где A t — интервал времени, отсчитанный в /(-системе отсчета. Этот интервал времени связан с интервалом времени, отсчитан соотношением At = 77= = = = = . V 1—(vie)2' выражение At в формулу (1), получим j= vAt0 ным в /('-системе, Подставив У 1— (VIе)2 После вычислений найдем /=619 Мм. Пример 2. В лабораторной системе отсчета (/(-система) движется стержень со скоростью и=0,8 с. По измерениям, произведенным в /(-системе, его длина I оказалась равной 10 м, а угол ср, который он составляет с осью х, оказался равным 30°. Определить собственную длину /0 стержня в /('-системе, связанной со стержнем, и угол ф0, который он составляет с осью х' (рис. 5.2). Р е ш е н и е . Пусть в /('-системе стержень лежит в плоскости х'О'у'. Из рис. 5.2, а следует, что собственная длина /0 стержня и угол ф0, который он составляет с осью я ', выразятся равенствами /0 = V (Ах')2+ (At/')2', *£ Фо = At/'/Ax'. ( 1) В /(-системе те же величины окажутся равными (рис. 5.2, б) I = V (Ах)2+ (Ау ) 2, tg ср = Ду/Дх. (2) Заметим, что при переходе от системы К' к К размеры стержня в направлении оси у не изменятся, а в направлении оси х претерпят релятивистское (лоренцево) сокращение, т. е. Ау = Ау', Ах = АхгУ \ — Р2. (3) С учетом последних соотношений собственная длина стержня выразится равенством / — l/ V 0- \ Ах V ут ^у) I ( \ й \ г — Г (Ax)2+(Aj/)2- f t 2 (Ai/)2~ ‘ [ у) “ УТ=^ или / 0 = К / 2- Р 2(Дг/) 2/ Т Т - | 32. Заменив в этом выражении Ау на I sin <р (рис. 5.2, б), получим , _ У /2— р2/2sin2 ф2 I - V 1— Р2sin2ф. *0-- " у 1 - Р » У i- P : 76 Подставив значения величин /, р, <р в это выражение и произведя вычисления, найдем /,= 15,3 м. Для определения угла ср0 воспользуемся соотношениями (1), (2) и (3): tg Фо = Дг//'(Алг) V 1— Р2, или tgq>0= tg< pj/ l— Р2, откуда Фо = arctg (tg <рJ/T — Р2) . Подставив значения <р и р в это выражение и произведя вычисле ния, получим Фо= 19,1°. Пример 3. Кинетическая энергия Т электрона равна 1 МэВ. Определить скорость электрона. Р е ш е н и е . Релятивистская формула кинетической энергии Выполнив относительно (3 преобразования, найдем скорость час тицы, выраженную в долях скорости света ((3=и/с): Y{2Eq+ T)T ( 1) |J “ Е0+ Т где Е0 — энергия покоя электрона (см. табл. 22). Вычисления по этой формуле можно производить в любых еди ницах энергии, так как наименования единиц в правой части формул сократятся и в результате подсчета будет получено отвлеченное число. Подставив числовые значения Е0 и Т в мегаэлектрон-вольтах, получим [3=0,941. Так как v=[Зс, то v = 2,82-108 м/с. Чтобы определить, является ли частица с кинетической энергией Т релятивистской или классической, достаточно сравнить кинети ческую энергию частицы с ее энергией покоя. Если Т/Е0<^\, частицу можно считать классической. В этом случае релятивистская формула (1) переходит в классическую: $ = У 2Т/Е0, и л и v = Vr2T/m0. Пример 4. Определить релятивистский импульс р и кинетическую энергию Т электрона, движущегося со скоростью и=0,9 с (где с — скорость света в вакууме). Р е ш е н и е. Релятивистский импульс p = mQc (1) 77 После вычисления по формуле (1) получим р = 5 ,6 -10~22 кг-м/с. В релятивистской механике кинетическая энергия Т частицы определяется как разность между полной энергией Е и энергией покоя Е0 этой частицы, т. е. Т = Е - Е 0. Так как Е=тс 2 и Е0=т0с2, то, учитывая зависимость массы от скорости, получим тх* Т =■ V 1- Р 2 или окончательно 1 : шх (2) V 1- Р 2 Сделав вычисления, найдем Т= 106 фДж. Во внесистемных единицах энергия покоя электрона т0с2— =0,51 МэВ. Подставив это значение в формулу (2), получим Т=0,66 МэВ. Пример 5. Релятивистская частица с кинетической энергией Т= т 0с2 (т0 — масса покоя частицы) испытывает неупругое столк новение с такой же покоящейся (в лабораторной системе отсчета) частицей. При этом образуется составная частица. Определить: 1) релятивистскую массу т движущейся частицы; 2) релятивистскую массу т! и массу покоя пц составной частицы; 3) ее кинетическую энергию Т . Р е ш е н и е . 1. Релятивистскую массу пг движущейся частицы до столкновения найдем из выражения для кинетической энергии релятивистской частицы Т=(т —т0)с2. Так как Т= т 0с2, то т= = 2 т0. 2. Для того чтобы найти релятивистскую массу составной части цы, воспользуемся тем, что суммарная релятивистская масса частиц сохраняется *: т-\-т0= т ' , где т+т 0 — суммарная релятивистская масса частиц до столкновения; т' — релятивистская масса состав ной частицы. Так как m = 2m0, то m' = 3m0. Массу покоя т'0 составной частицы найдем из соотношения то т ( 1) V 1 -( у'/с)2 Скорость v' составной частицы (она совпадает со скоростью Vс центра масс в лабораторной системе отсчета) можно найти из закона сохранения импульса /? = //, где р — импульс релятивистской частицы до столкновения; р' — импульс составной релятивистской М., 78 * Этот закон см., например, в кн.: Савельев И. В. Kvpc общей физики. 1977. Т. I, § 7 0 . частицы. Выразим р через кинетическую энергию Т: p = (l/c)V(2E0+ T)T. Так как Т = Е 0=т0с2, то р = {1/с) V (%m0c2+ mQc2) т0с2= т0с У 3. Релятивистский импульс p' = mrv'. Учитывая, что m '= 3/n0, закон сохранения импульса можно записать в виде m0cV 3=3m0v' у откуда v = сjV 3. Подставив выражения v' и т' в формулу (1), найдем массу покоя составной частицы: пц — З т У 1— (I V З)2, или т'0= т0]Уб, 3. Кинетическую энергию V составной релятивистской частицы найдем как разность полной энергии т'с 2 и энергии покоя т'0с2 составной частицы: Т' = (in — т'о) с2. Подставив выражения т' и т0, получим Т' = (3т0— } 6 т0) с1 = (3 — У 6) т0с2= 0 ,55 т0с2. Задачи Релятивистское изменение длин и интервалов времени 5.1. Предположим, что мы можем измерить длину стержня с точ ностью Л /= 0 ,1 мкм. При какой относительной скорости и двух инерциальных систем отсчета можно было бы обнаружить реляти вистское сокращение длины стержня, собственная длина /0 которого равна 1 м? 5.2. Двое часов после синхронизации были помещены в системы координат К и /(', движущиеся друг относительно друга. При какой скорости и их относительного движения возможно обнару жить релятивистское замедление хода часов, если собственная дли тельность т0 измеряемого промежутка времени составляет 1 с? Измерение времени производится с точностью Дт=10 пс. 5.3. На космическом корабле-спутнике находятся часы, синхро низированные до полета с земными. Скорость v0 спутника составля ет 7,9 км/с. На сколько отстанут часы на спутнике по измерениям земного наблюдателя по своим часам за время то= 0,5 года? 5.4. Фотонная ракета движется относительно Земли со скоро стью с- 0,6 с. Во сколько раз замедлится ход времени в ракете с точки зрения земного наблюдателя? 5.5. В системе К' покоится стержень, собственная длина /0 кото рого равна 1 м. Стержень расположен так, что составляет угол Фо=45° с осью л*'. Определить длину/стержня и угол ср в системе К, если скорость v0 системы К' относительно К равна 0,8 с . 79 5.6. В системе К находится квадрат, сторона которого параллель на оси х '. Определить угол ср между его диагоналями в системе /(, если система К движется относительно К со скоростью и=0,95 с. 5.7. В лабораторной системе отсчета (/(-система) пи-мезон с мо мента рождения до момента распада пролетел расстояние /= 7 5 м. Скорость v пи-мезона равна 0,995 с. Определить собственное время жизни т0 мезона. 5.8. Собственное время жизни т0 мю-мезона равно 2 мкс. От точки рождения до точки распада в лабораторной системе отсчета мю-ме зон пролетел расстояние 1=6 км. С какой скоростью v (в долях ско рости света) двигался мезон? Релятивистское слооюение скоростей 5.9. Показать, что формула сложения скоростей релятивистских частиц переходит в соответствующую формулу классической меха ники при v<^c. 5. 10. Две релятивистские частицы движутся в лабораторной си стеме отсчета со скоростями i>i=0,6 с и ^2= 0,9 с вдоль одной прямой. Определить их относительную скорость и 21 в двух случаях: 1) ча стицы движутся в одном направлении; 2) частицы движутся в проти воположных направлениях. 5.11. В лабораторной системе отсчета удаляются друг от друга две частицы с одинаковыми по модулю скоростями. Их относитель ная скорость и в той же системе отсчета равна 0,5 с. Определить скорости частиц. 5.12. Ион, вылетев из ускорителя, испустил фотон в направлении своего движения. Определить скорость фотона относительно уско рителя, если скорость v иона относительно ускорителя равна 0,8 с. 5.13. Ускоритель сообщил радиоактивному ядру скорость ог= = 0,4 с. В момент вылета из ускорителя ядро выбросило в направ лении своего движения |3-частицу со скоростью v2=0,75 с относи тельно ускорителя. Найти скорость и21 частицы относительно ядра. 5.14. Два ускорителя выбрасывают навстречу друг другу части цы со скоростями |и|=0,9 с. Определить относительную скорость и21 сближения частиц в системе отсчета, движущейся вместе с одной из частиц. Релятивистская масса и релятивистский импульс 5.15. Частица движется со скоростью и=0,5 с . Во сколько раз релятивистская масса частицы больше массы покоя? 5.16. С какой скоростью v движется частица, если ее релятивист ская масса в три раза больше массы покоя? 5.17. Отношение заряда движущегося электрона к его массе, определенное из опыта, равно 0,88 ЧО11 Кл/кг. Определить реляти вистскую массу т электрона и его скорость v . 80 5.18. На сколько процентов релятивистская масса частицы боль ше массы покоя при скорости v=30 Мм/с? 5.19. Показать, что выражение релятивистского импульса пере ходит в соответствующее выражение импульса в классической ме ханике при v<^c. 5.20. Электрон движется со скоростью v=0,6 с. Определить реля тивистский импульс р электрона. 5.21. Импульс р релятивистской частицы равен т0с (т0 — масса покоя). Определить скорость v частицы (в долях скорости света). 5.22. В лабораторной системе отсчета одна из двух одинаковых частиц покоится, другая движется со скоростью ц = 0,8 с по направ лению к покоящейся частице. Определить: 1) релятивистскую массу движущейся частицы в лабораторной системе отсчета; 2) скорость частиц в системе отсчета, связанной с центром инерции системы; 3) релятивистскую массу частиц в системе отсчета, связанной с центром инерции. 5.23. В лабораторной системе отсчета находятся две частицы. Одна частица с массой покоя т0 движется со скоростью ц=0,6 с, другая с массой покоя 2т0 покоится. Определить скорость V с центра масс системы частиц. Взаимосвязь массы и энергии * 5.24. Полная энергия тела возросла на АЕ=1 Дж. На сколько при этом изменится масса тела? 5.25. Определить, на сколько должна увеличиться полная энер гия тела, чтобы его релятивистская масса возросла на Ат = \ г? 5.26. Вычислить энергию покоя: 1) электрона; 2) протона; 3) ачастицы. Ответ выразить в джоулях и мегаэлектрон-вольтах. 5.27. Известно, что объем воды в океане равен 1,37 *109 км3. Оп ределить, на сколько возрастет масса воды в океане, если темпера тура воды повысится на Д^=1 °С. Плотность р воды в океане при нять равной 1,03 -103 кг/м3. 5.28. Солнечная постоянная С (плотность потока энергии элект ромагнитного излучения Солнца на расстоянии, равном среднему расстоянию от Земли до Солнца) равна 1,4 кВт/м2. 1. Определить массу, которую теряет Солнце в течение одного года. 2. На сколько изменится масса воды в океане за один год, если предположить, что поглощается 50 % падающей на поверхность океана энергии излу чения? При расчетах принять площадь S поверхности океана равной 3,6 »108 км2. Кинетическая энергия релятивистской частицы 5.29. Кинетическая энергия Т электрона равна 10 МэВ. Во сколько раз его релятивистская масса больше массы покоя? Сделать такой же подсчет для протона. * Задачи на эту тему, в условиях которых речь идет о ядерных п ревра щ ениях, помещены в § 43. 81 5.30. Во сколько раз релятивистская масса протона больше реля тивистской массы электрона, если обе частицы имеют одинаковую кинетическую энергию Т= 1 ГэВ? 5.31. Электрон летит со скоростью v=0,8 с. Определить кинети ческую энергию Т электрона (в мегаэлектрон-вольтах). 5.32. При какой скорости v кинетическая энергия любой частицы вещества равна ее энергии покоя? 5.33. Определить скорость v электрона, если его кинетическая энергия равна: 1) Т = 4 МэВ; 2) Т = 1 кэВ. 5.34. Найти скорость v протона, если его кинетическая энергия равна: 1) Т= 1 МэВ; 2) Т= 1 ГэВ. 5.35. Показать, что релятивистское выражение кинетической энергии Т=(пг—т0)с2 при v<^c переходит в соответствующее выра жение классической механики. 5.36. Какая относительная ошибка будет допущена при вычисле нии кинетической энергии релятивистской частицы, если вместо релятивистского выражения Т=(пг—тг)с2 воспользоваться класси ческим Т = г/ 2m0v2? Вычисления выполнить для двух случаев: 1) и— = 0,2 с; 2) v= 0y8 с. 5.37. Две релятивистские частицы движутся навстречу друг другу с одинаковыми (в лабораторной системе отсчета) кинетичес кими энергиями, равными их энергии покоя. Определить: 1) ско рости частиц в лабораторной системе отсчета; 2) относительную ско рость сближения частиц (в единицах с); 3) кинетическую энергию (в единицах т0с2) одной из частиц в системе отсчета, связанной с другой частицей. Связь энергии релятивистской частицы с ее импульсом 5.38. Показать, что выражение релятивистского импульса через кинетическую энергию р=(1/с)У(2Е0+Т) Т при v<^c переходит в соответствующее выражение классической механики. 5.39. Определить импульс р частицы (в единицах т0с), если ее кинетическая энергия равна энергии покоя. 5.40. Определить кинетическую энергию Т релятивистской час тицы (в единицах т0с2), если ее импульс р= т 0с. 5.41. Кинетическая энергия релятивистской частицы равна ее энергии покоя. Во сколько раз возрастет импульс частицы, если ее кинетическая энергия увеличится в п = 4 раза? 5.42. Импульс р релятивистской частицы равен т0с. Под дейст вием внешней силы импульс частицы увеличился в два раза. Во сколько раз возрастет при этом энергия частицы: 1) кинетическая? 2) полная? 5.43. При неупругом столкновении частицы, обладающей импуль сом р= т ()су и такой же покоящейся частицы образуется составная частица. Определить: 1) скорость v частицы (в единицах с) до столк новения; 2) релятивистскую массу составной частицы (в единицах /п0); 3х скорость составной частицы; 4) массу покоя составной части 82 цы (в единицах т 0); 5) кинетическую энергию частицы до столкнове ния и кинетическую энергию составной частицы (в единицах т0с2). 5.44. Частица с кинетической энергией Т= т 0с2 налетает на дру гую такую же частицу, которая в лабораторной системе отсчета по коится. Найти суммарную кинетическую энергию Т' частиц в си стеме отсчета, связанной с центром инерции системы частиц. § 6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Основные формулы ® Уравнение гармонических колебаний х = А cos (со/+ф), где х — смещение колеблющейся точки от положения равновесия; / — время; Л, со, ср — соответственно амплитуда, угловая частота, начальная фаза колебаний; (cof-fcp) — фаза колебаний в момент t . ® Угловая частота колебаний co= 2 jtv, или со= 2 л /Т , где v и Г — частота и период колебаний. Ф Скорость точки, совершающей гармонические колебания, v = x = — А со sin (со/ + ср). О Ускорение при гармоническом колебании а = х = — Лео2cos (со^ + ф). • Амплитуда Л результирующего колебания, полученного при сложении двух колебаний с одинаковыми частотами, происходящих по одной прямой, определяется по формуле А 2= Л2+ Л2+ 2Л 1Л2соз(ф2— фх), где Лх и Л 2 — амплитуды составляющих колебаний; фх и ф2 — их начальные фазы. • Начальная фаза ф результирующего колебания может быть найдена из формулы *g<P Ах sin фх— Л2 sin ф2 Ах cos фх + Л2cos ф2* • Частота биений, возникающих при сложении двух колебаний, происходящих по одной прямой с различными, но близкими по зна чению частотами \д и v 2, V = \ \ — v 2. • Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях с амплитудами Лх и Л 2 и начальны ми фазами фх и ф2, ; c o s (ч>2— <Pi) = s in 2 (ф 2— <Pi). 83 Если начальные фазы cpr и ср2 составляющих колебаний одинако вы, то уравнение траектории принимает вид А2 ^42 у = --±х, ИЛИ У= - - ^ х > т. е. точка движется по прямой. В том случае, если разность фаз Дф=ср2—фх—jx/2, уравнение принимает вид т. е. точка движется по эллипсу. @ Дифференциальное уравнение гармонических колебаний ма териальной точки тх = — kx, или х + со2х —О, где т — масса точки; k — коэффициент квазиупругой силы (k— =/псо2). © Полная энергия материальной точки, совершающей гармони ческие колебания, Е = 1/2т Л 2о)2= 1/2kA2. © Период колебаний тела, подвешенного на пружине (пружин ный маятник), Т = 2 пУ m/k, где пг — масса тела; k — жесткость пружины. Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в ко торых выполняется закон Гука (при малой массе пружины в срав нении с массой тела). Период колебаний математического маятника Т = 2я IIg, где / — длина маятника; g — ускорение свободного падения. Период колебаний физического маятника Т = 2л V L/g = 2я Y J/{mga), где J — момент инерции колеблющегося тела относительно оси колебаний; а — расстояние центра масс маятника от оси колебаний; L=JI(ma )— приведенная длина физического маятника. Приведенные формулы являются точными для случая бесконеч но малых амплитуд. При конечных амплитудах эти формулы дают лишь приближенные результаты. При амплитудах не более ^ 3 ° ошибка в значении периода не превышает 1 %. Период крутильных колебаний тела, подвешенного на упругой нити, Т = 2я V Tik, где / — момент инерции тела относительно оси, совпадающей с упругой нитью; k — жесткость упругой нити, равная отношению упругого момента, возникающего при закручивании нити, к углу, на который нить закручивается. v 84 • Дифференциальное уравнение затухающих колебаний тх —— kx — гх, или х + 2бл: + сооЛ: = 0, где г — коэффициент сопротивления; б — коэффициент затухания: 8=г/(2т)\ со0 — собственная угловая частота колебаний * (со0= V k/m ). ® Уравнение затухающих колебаний х= А (/) cos (со/+ср), где A (/) — амплитуда затухающих колебаний в момент /; со — их угловая частота. © Угловая частота затухающих колебаний СО= Y Wo— б2. © Зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени А (0 = А0е~6*, где А0 — амплитуда колебаний в момент t= 0. @ Логарифмический декремент колебаний б7 , 0 = In A(tA(t) + T) где A(t) и А ( /+ Т ) — амплитуды двух последовательных колеба ний, отстоящих по времени друг от друга на период. © Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний тх = — kx— гх + F0cos со/, или х + 28х + coqX= /0 cos со/, где Fо cos со/ — внешняя периодическая сила, действующая на колеблющуюся материальную точку и вызывающая вынужденные колебания; F0 — ее амплитудное значение; f0= F0/m. ® Амплитуда вынужденных колебаний А= со2)2+ 462co2. © Резонансная частота и резонансная амплитуда «рез = К®!) — 2S2 И Лрез = /0/(2б1/(0^+ 62)' Примеры решения задач Пример 1. Точка совершает колебания по закону x(t) = =А cos(co/+T), где А = 2 см. Определить начальную фазу ср, если х(0 ) =— 3 см и х(0)<0. Построить векторную диаграмму для мо мента / = 0. Р е ш е н и е . Воспользуемся уравнением движения и выразим смещение в момент /= 0 через начальную фазу: x (0)=A coscp. * В приведенных ранее формулах гармонических колебаний та же величина обозначалась просто со (без индекса 0). 85 Отсюда найдем начальную фазу: Ф = arccos х (0) Подставим в это выражение заданные значения х (0) и А: ф = = arccos(—К 3/2). Значению аргумента (—У 3 2) удовлетворяют два значения угла: ф!=5я/6 и ф2= 7я/6. Для того чтобы решить, какое из этих значений угла ф удовлет воряет еще и условию х(0) < 0, найдем сначала x(t): х (t) = — и A sin (соt + ф). Подставив в это выражение значение t= 0 и поочередно значения начальных фаз фх=5я/6 и ф2=7я/6, найдем *i(0) = — У2Лсо и х2(0) = 1/2Л со. Так как всегда Л> 0 и со>0, то условию х (0)<0 удовлетворяет толь ко первое значение начальной фазы. Таким образом, искомая начальная фаза ф =5я/6. По найденному значению ф постро им векторную диаграмму (рис. 6.1). Пример 2. Материальная точка массой т=Ъ г совершает гармоничес кие колебания с частотой v= 0,5 Гц. Амплитуда колебаний Л = 3 см. Оп ределить: 1) скорость v точки в мо мент времени, когда смещение х= = 1,5 см; 2) максимальную силу /^пах, действующую на точку; 3) пол ную энергию Е колеблющейся точ ки. Р е ш е н и е . 1. Уравнение гармонического колебания имеет вид х= А соз(со/+ф), (1) а формулу скорости получим, взяв первую производную по времени от смещения: v = х = dx/dt = — Лео sin (со^ + ф). (2) Чтобы выразить скорость через смещение, надо исключить из формул (1) и (2) время. Для этого возведем оба уравнения в квад рат, разделим первое на Л2, второе на Л 2со2 и сложим: X2 V2 Л2 А2со2 “ 1 ’ X2 J ИЛИ V2 . "Л2" + 4л2\ 2А2 ~ 1 * Решив последнее уравнение относительно v, найдем v — ± 2яv Y Л2— х2. Выполнив вычисления по этой формуле, получим у = ± 8,2 см/с. 86 Знак плюс соответствует случаю, когда направление скорости совпадает с положительным направлением оси х, знак минус — ког да направление скорости совпадает с отрицательным направлением оси х. Смещение при гармоническом колебании кроме уравнения (1) может быть определено также уравнением х= А sin (озН-ср). Повторив с этим уравнением такое же решение, получим тот же ответ. 2. Силу действующую на точку, найдем по второму закону Нью тона: F=ma , (3) где а — ускорение точки, которое получим, взяв производную по времени от скорости: а = х = dv/dt = — Лео2cos (со/ + ф), или а = — 4n2v2A cos (со/ + ф). Подставив выражение ускорения в формулу (3), получим F = —4ji2v2mA cos (со/+ф). Отсюда максимальное значение силы £ гпах" 4л2т2/тъ4. Подставив в это уравнение значения величин л, v, т и А , найдем F roax= l , 4 9 M H . 3. Полная энергия колеблющейся точки есть сумма кинетической и потенциальной энергий, вычисленных для любого момента вре мени. Проще всего вычислить полную энергию в момент, когда кинети ческая энергия достигает максимального значения. В этот момент потенциальная энергия равна нулю. П оэтму полная энергия Е колеблющейся точки равна максимальной кинетической энергии Г 1 max- Е = Т ,nax = 7 2/п < ах. (4) Максимальную скорость определим из формулы (2), положив cos (со/+ф) = 1: vmax =2лхА. Подставив выражение скорости в фор мулу (4), найдем Е = 2 л2т \2А 2. Подставив значения величин в эту формулу и произведя вычис ления, получим £ = 2 - (3,14)2-5 • 10_3 •(0,5)2- (3 -10-2)2 Дж = 22,1 • 10“6 Дж, или £=22,1 мкДж. Пример 3. На концах тонкого стержня длиной 1=1 м и массой яг3=400 г укреплены шарики малых размеров массами тх= 200 г и яг г=300 г. Стержень колеблется около горизонтальной оси, перпен 87 дикулярной стержню и проходящей через его середину (точка О на рис. 6.2). Определить период Т колебаний, совершаемых стержнем. Р е ш е н и е . Период колебаний физического маятника, каким является стержень с шариками, определяется соотношением T = 2 n V J / {m g lc), (1) где / — момент инерции маятника относительно оси колебаний; m — его масса; 1С — расстояние от центра масс ма ятника до оси. Момент инерции данного маятника равен сумме моментов инерции шариков и / 2 и стержня / 3: J = Ji+J*+Js. (2) Принимая шарики за материальные точки, вы разим моменты их инерций: J 1= m1(l/2)2\ J 2= m 2(Z/2)2. Так как ось проходит через середину стержня, то его момент инерции относительно этой оси J 3= I12tn3l 2. Подставив полученные выражения / ъ / 2 и J з в формулу (2), найдем общий момент инерции фи зического маятника: J= m 1(Z/2)2+ m 2(//2)2+ V 12m3/2= = 1/i2^2(З/Лх+ З/Лз + Шз). Произведя вычисления по этой формуле, найдем /= 0 ,1 5 8 кг-м2. Рис. 6.2 Масса маятника состоит из масс шариков и массы стержня: /л=/721+ m2+/72з= 0,9 кг. Расстояние 1С центра масс маятника от оси колебаний найдем, исходя из следующих соображений. Если ось х направить вдоль стержня и начало координат совместить с точкой О, то искомое рас стояние / равно координате центра масс маятника, т. е. 1С—%с 2 m‘xi 2 ,п' тх (— 1/2) + т2 (//2) + т 3•0 ш1-j- ш2-\-т3 или {tn2—tn1) I (т2— mi) I 2т 2 {ш\ -f- ш2-f- т3) Подставив значения величин /ль /л2, /л, I и произведя вычисле ния, найдем 1С= 5,55 см. Произведя расчеты по формуле (1), получим период колебаний физического маятника: Г = 2-3,141/0,158/(0,9-9,81-5,55-10-2) с = 11,2 с. Пример 4. Физический маятник представляет собой стержень длиной /= 1 м и массой 3т1 с прикрепленным к одному из его концов обручем диаметром d = V 2Z и массой т1. Горизонтальная ось Ог 1с 88 маятника проходит через середину стержня перпендикулярно ему (рис. 6.3). Определить период Г колебаний такого маятника. Р е ш е н и е . Период колебаний физического маятника опреде ляется по формуле Т = 2п V J/{mglc), ( 1) где J — момент инерции маятника относительно оси колебаний; пг — его масса; 1С — расстояние от центра масс маятника до оси колебаний. Момент инерции маятника равен сумме мо ментов инерции стержня J x и обруча / 2: J = J !+ J 2. (2) Момент инерции стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его центр масс, определяется по форму ле J x= 1ix2rnl2. В данном случае m=3m1 и J 1~ 1/ 4^ 4/“. Момент инерции обруча найдем, восполь зовавшись теоремой Штейнера J = J 0 I-та2, где J — момент инерции относительно про извольной оси; J о — момент инерции отно сительно оси, проходящей через центр масс параллельно заданной оси; а — расстояние между указанными осями. Применив эту фор мулу к обручу, получим J 2=m x (//4)2+ m 1(3И \у= Ч % т,1\ Подставив выражения J i и / 2 в форму лу (2), найдем момент инерции маятника относительно оси вращения: J = 1Um1l2+ 5/smxl2= 4 8mxl2. Расстояние 1С от оси маятника до его центра масс равно _ ^ m;Xj _ 3mi-0 + mi(3//4) _ 3Um1l С 3mi + mx ~ 4mx ’ lc — 3/16/. Подставив в формулу (1) выражения J, I с и массы маятника (m=3m1+ m 1=4m 1), найдем период его колебаний: 7/8mi/2 Т = 2л 4tnig-‘s/iel После вычисления по этой формуле получим Г -2 ,1 7 с. Пример 5. Складываются два колебания одинакового направле ния, выражаемых уравнениями хх= А х cos со (H-ti); х 2= = А о cos со(^+т2), где Ах=1 см, Л 2—2 см, тг1= 1/#, с, т2= 1/ 2 с, со= = я с-1. 1. Определить начальные фазы срх и ср2 составляющих коле 89 баний. 2. Найти амплитуду А и начальную фазу ср результирующего колебания. Написать уравнение результирующего колебания. Р е ш е н и е . 1. Уравнение гармонического колебания имеет вид х= А cos(со^+ф). (1) Преобразуем уравнения, заданные в условии задачи, к такому же виду: * i= ^ i cos (co^+coii), х 2= А 2 cos (со/+е)т2). (2) Из сравнения выражений (2) с равенством (1) находим начальные ^ фазы первого и второго колебаний: Фх= сотх= я /6 рад и ф2=<от2= я /'2 рад. 2. Для определения амплитуды А результирую щего колебания удобно воспользоваться векторной диаграммой, представленной на рис. 6.4. Согласно теореме косинусов, получим А = УгА 21+ А1+2А1А 2собАф , (3) где Аф — разность фаз составляющих колебаний. Так как Д ф =ф 2—фь то, подставляя найденные значения ф2 и cplf получим Д ф =я/3 рад. Подставим значения A lf Л 2 и Дф в формулу (3) и произведем вычисления: Л =2,65 см. Тангенс начальной фазы ф результирующего колебания опредеЛ( sin фх + А2 sin (р2 лим непосредственно из рис. 6.4: tg ф = Ах cos ф х А2 cos ф2’ откуда начальная фаза ГО = Я ГГ* to* ^1 s in Ф 1 + Л 2 5 Ш ф2 фх+ Т 2 cos ф2‘ Подставим значения Лх, Л 2, фх, ф2 и произведем вычисления: Ф= а г ^ (5 IV 3) =70,9° = 0,394я рад. Так как угловые частоты складываемых колебаний одинаковы, то результирующее колебание будет иметь ту же частоту со. Это позволяет написать уравнение результирующего колебания в виде х = А соз(со/+ф), где Л =2,65 см, со=я с-1, ф=0,394 я рад. Пример 6. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравне ния которых X = Ах cos со^, (1) ^ ° Ах cos y = A 2c o s ^ l, (2) где Лх=1 см, Л 2= 2 см, со=я с " 1. Найти уравнение траектории точ ки. Построить траекторию с соблюдением масштаба и указать направление движения точки. Р е ш е н и е . Чтобы найти уравнение траектории точки, ис ключим время t из заданных уравнений (1) и (2). Для этого восполь 90 зуемся формулой cos (а/2) = V {1/2) (1 + cos а ). В данном a = со/, поэтому случае у = Л2cos у t = Л2 V (1/2) (1 + cos со/). Так как согласно формуле (1) cos соt= x/A ly то уравнение траекто рии у = А У ( Щ ( 1 + х/Аг). (3) Полученное выражение представляет собой уравнение параболы, ось которой совпадает с осью Ох. Из уравнений (1) и (2) следует, что смещение точки по осям координат ограничено и заключено в пределах от —1 до + 1 см по оси Ох и от —2 до + 2 см по оси Оу. Для построения траектории найдем по уравнению (3) значения у, соответствующие ряду значений х, удовлетворяющих условию |*| < 1 см, и составим таблицу: X, см у, см —1 0 —0,75 ±0,707 —0,5 ±1 0 ±1,41 +0,5 ±1,73 +1 ±2 Начертив координатные оси и выбрав масштаб, нанесем на пло скость хОу найденные точки. Соединив их плавной кривой, получим траекторию точки, совершающей колеба ния в соответствии с уравнениями движе ния (1) и (2) (рис. 6.5). Для того чтобы указать направление движения точки, проследим за тем, как из меняется ее положение с течением времени. В начальный момент /-=0 координаты точ ки равны *(0) = 1 см и у (0)=2 см. В по следующий момент времени, например при / i = l с, координаты точек изменятся и ста нут равными х (1) = —1 см, y(t)=0. Зная положения точек в начальный и последую щий (близкий) моменты времени, можно указать направление движения точки по траектории. На рис. 6.5 это направление движения указано стрелкой (от точки А к началу координат). После того как в мо мент t2 = 2 с колеблющаяся точка достиг нет точки Z), она будет двигаться в обратном направлении. Задачи Кинематика гармонических колебаний 6.1. Уравнение колебаний точки имеет вид х= А cos со (/+т), где со—л с-1, т= 0,2 с. Определить период Т и начальную фазу ф колебаний. 91 6.2. Определить период Г, частоту v и начальную фазу ср коле баний, заданных уравнением х= А sin со (£+т), где со—2,5я с " 1, т= 0 ,4 с. 6.3. Точка совершает колебания по закону х= А cos(со/+ср), где А = 4 см. Определить начальную фазу ср, если: 1) х(0) = 2 см и х (0 )< 0 ;2 ) я(0) = —2 |/2 см и х (0) < 0; 3) х(0)= 2 см и л:(0);>0; 4) л: (0)= —2 V Зсм и х(0)>0. Построить векторную диаграмму для момента t= 0. 6.4. Точка совершает колебания по закону х= А sin(co^+T), где А =4 см. Определить начальную фазу ср, если: 1) х(0) = 2 см и х (0) < 0; 2) х ( 0 ) = 2 \ А з см и х ( 0 ) > 0 ; 3) х (0) = —2]/ 2 см и х (0) < 0; 4) х(0) = —2]/ 3 см и tf(0)>0. Построить векторную диаграмму для момента t= 0. 6.5. Точка совершает колебания по закону х= А cos(со^+ср), где А =2 см; со=я с-1; ср=я/4 рад. Построить графики зависимости от времени: 1) смещения x(t)\ 2) скорости x(t)\ 3) ускорения x(t). 6.6. Точка совершает колебания с амплитудой А = 4 см и перио дом Т = 2 с. Написать уравнение этих колебаний, считая, что в момент ^=0 смещения х(0)= 0 и х(0)<0. Определить фазу (со^+ср) для двух моментов времени: 1) когда смещение х=1 см и х > 0; 2) когда скорость х = —6 см/с и х<С0. 6.7. Точка равномерно движется по окружности против часовой стрелки с периодом Т = 6 с. Диаметр d окружности равен 20 см. Написать уравнение движения проекции точки на ось х, проходя щую через центр окружности, если в момент времени, принятый за начальный, проекция на ось х равна нулю. Найти смещение х, скорость х и ускорение х проекции точки в момент t= 1 с. 6.8. Определить максимальные значения скорости j max и уско рения хтах точки, совершающей гармонические колебания с ампли тудой А = 3 см и угловой частотой со=я/2 с-1. 6.9. Точка совершает колебания по закону х= А cos соt, где А = = 5 см; со=2 с -1. Определить ускорение |л;| точки в момент времени, когда ее скорость х=8 см/с. 6. 10. Точка совершает гармонические колебания. Наибольшее смещение хтах точки равно 10 см, наибольшая скорость хтах= = 20 см/с. Найти угловую частоту со колебаний и максимальное уско рение хтах точки. 6.11. Максимальная скорость хтах точки, совершающей гармо нические колебания, равна 10см/с, максимальное ускорение хтах= = 100 см/с2. Найти угловую частоту со колебаний, их период Т и амплитуду А. Написать уравнение колебаний, приняв началь ную фазу равной нулю. 6.12. Точка совершает колебания по закону x=Asir\(dt. В не который момент времени смещение хх точки оказалось равным 92 5 см. Когда фаза колебаний увеличилась вдвое, смещение х2 стало равным 8 см. Найти амплитуду А колебаний. 6.13. Колебания точки происходят по закону х= A cos (со^+ф)В некоторый момент времени смещение х точки равно 5 см, ее скорость х= 20 см/с и ускорение х — —80 см/с2. Найти амплитуду Л, угло вую частоту со, период Т колебаний и фазу (со/+ср) в рассматри ваемый момент времени. Сложение колебаний 6.14. Два одинаково направленных гармонических колебания одного периода с амплитудами А г=10 см и Л2= 6 см складыва ются в одно колебание с амплитудой А= 14 см. Найти раз ность фаз Дер складываемых колебаний. 6.15. Два гармонических колебания, направленных по одной прямой и имеющих одинаковые амплитуды и периоды, складывают ся в одно колебание той же амплитуды. Найти разность фаз Дер складываемых колебаний. 6.16. Определить амплитуду А и начальную фазу ф результи рующего колебания, возникающего при сложении двух колебаний одинаковых направления и периода: х1= А 1 sin со^ и х 2= А 2 sinco (7+ + т), где А х= А 2=1 см; со=я с ' 1 ; т =0,5 с . Найти уравнение резуль тирующего колебания. 6.17. Точка участвует в двух одинаково направленных колеба ниях: Xi=А-! sin сot и х 2= А 2 c o s со£, где А г= 1 см; А 2= 2 см; со= = 1 с^1. Определить амплитуду А результирующего колебания, его частоту v и начальную фазу ф. Найти уравнение этого движе ния. 6.18. Складываются два гармонических колебания одного на правления с одинаковыми периодами Т1= Т 2=1,5 с и амплитудами А г = А 2—2 см. Начальные фазы колебаний ф1= я /2 и ф2= я /3 . Опре делить амплитуду А и начальную фазу ф результирующего колеба ния. Найти его уравнение и построить с соблюдением масштаба векторную диаграмму сложения амплитуд. 6.19. Складываются три гармонических колебания одного на правления с одинаковыми периодами Тг= Т 2=Т^=2 с и амплиту дами A 1~ A 2= A S=3 с м . Начальные фазы колебаний ф1= 0, ф2= = я /3 , ф3=2я/3. Построить векторную диаграмму сложения ампли туд. Определить из чертежа амплитуду А и начальную фазу ф ре зультирующего колебания. Найти его уравнение. 6.20. Складываются два гармонических колебания одинаковой частоты и одинакового направления: х1= А 1 cos(со/4-ф^ и = А 2 соз(со^+ф2). Начертить векторную диаграмму для момента времени t=0. Определить аналитически амплитуду А и начальную фазу ф результирующего колебания. Отложить А и ф на векторной диаграмме. Найти уравнение результирующего колебания (в три гонометрической форме через косинус). Задачу решить для двух случаев: 1) А г= \ см, ф !=я/3; Л 2= 2 см, ф2=5я/6; 2) Аг= 1 см, ф!=2я/3; А 2=1 см, ф2=7я/6. 93 6.21. Два камертона звучат одновременно. Частоты vx и v2 их колебаний соответственно равны 440 и 440,5 Гц. Определить период Т биений. 6.22. Складываются два взаимно перпендикулярных колебания, выражаемых уравнениями х = А г sin со/ и у= А 2 cos со (/+т), где А г=2 см, Л 2=1 см, со= тт с-1, т= 0 ,5 с. Найти уравнение траектории и построить ее, показав направление движения точки. 6.23. Точка совершает одновременно два гармонических колеба ния, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям и выражаемых уравнениями х = А г cos со/ и у= А 2 cos со (/+т), где Лi= 4 см, Л 2= 8 см, с о = я с -1, т= 1 с. Найти уравнение траекто рии точки и построить график ее движения. 6.24. Точка совершает одновременно два гармонических колеба ния одинаковой частоты, происходящих по взаимно перпендикуляр ным направлениям и выражаемых уравнениями: 1) х = Л cos со/ и у= А cos со/; 2) х= А cos со/ и у = А г cos со/; 3) х= А cos со/ и у — = Л cos(со/Д-фх); 4) х = А 2 cos со/ и у= А cos (со/+ср2); 5) х = А г cosco/ и у = А г sin со/; 6) х = Л cos со/ и у = А г sin со/; 7) х = А 2 sin со/ и у = А г sin со/; 8) х = А 2 sin со/ и у-=А sin (со/-Ьф2). Найти чдля восьми случаев) уравнение траектории точки, пост роить ее с соблюдением масштаба и указать направление движения. Принять: Л = 2 см, А г= 3 см, Л 2= 1 см; фх= я /2 , ср2= л . 6.25. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпенди кулярных колебаниях, выражаемых уравнениями х = Л х cos со/ и у = А 2 sin со/, где Лх= 2 см, Л 2 1 см. Найти уравнение траектории точки и построить ее, указав направление движения. 6.26. Точка одновременно совершает два гармонических колеба ния, происходящих по взаимно перпендикулярным направлениям и выражаемых уравнениями х = А г sin со/ и у = А 2 cos со/, где А г= = 0,5 см; Л 2= 2 см. Найти уравнение траектории точки и построить ее, указав направление движения. 6.27. Движение точки задано уравнениями х = А ± sin со/ и у= = Л 2sin со ( /+ т), где Лх=10 см, Л 2= 5 см, со= 2 с ' 1, т = я /4 с. Найти уравнение траектории и скорости точки в момент времени /= 0 ,5 с. 6.28. Материальная точка участвует одновременно в двух вза имно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями х = A i cos со/ и у = —Л 2 соз 2со/, где Лх= 2 см, Л 2=1 см. Найти уравнение тректории и построить ее. 6.29. Точка участвует одновременно в двух гармонических коле баниях, происходящих по взаимно перпендикулярным направлени ям и описываемых уравнениями: 1) х = Л sin со/ и у= А cos 2со/; 2) х = Л cos со/ и у= А sin 2со/; 3) х= А cos 2со/ и у = А г cos со/; 4) х = А г sin со/ и у= А cos со/. Найти уравнение траектории точки, построить ее с соблюдением масштаба и указать направление движения. Принять: Л = 2 см; Лх=3 см. 6.30. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпенди кулярных колебаниях, выражаемых уравнениями х = А г cos со/ и 94 у = Л 2 sin 0,5со/, где А г= 2 см, Л 2= 3 см. Найти уравнение траекто рии точки и построить ее, указав направление движения. 6.31. Смещение светящейся точки на экране осциллографа явля ется результатом сложения двух взаимно перпендикулярных коле баний, которые описываются уравнениями: 1) х= А sin Зсо/ и у= = Л sin 2со/; 2) х = Л sin 3(о/ и у = А cos 2(о/; 3) х = Л sin Зоо/ и у= А cos (о/. Применяя графический метод сложения и соблюдая масштаб, построить траекторию светящейся точки на экране. Принять Л = = 4 см. Динамика гармонических колебаний. Маятники 6.32. Материальная точка массой т = 5 0 г совершает колебания, уравнение которых имеет вид х= А cos (о/, где Л = 10 см, (о = 5 с -1. Найти силу F, действующую на точку, в двух случаях: 1) в момент, когда фаза (о/=л/3; 2) в положении наибольшего смещения точ ки. 6.33. Колебания материальной точки массой т = 0,1 г происхо дят согласно уравнению х= А cos со/, где Л = 5 см; (о=20 с-1. Опре делить максимальные значения возвращающей силы Fmax и кинети ческой энергии Ттах. 6.34. Найти возвращающую силу F в момент t= \ с и полную энергию Е материальной точки, совершающей колебания по закону х= А cos со/, где Л = 20 см; со=2я/3 с -1. Масса т материальной точки равна 10 г. 6.35. Колебания материальной точки происходят согласно урав нению х = A cos со/, где Л = 8 см, со=я/6 с -1. В момент, когда возвра щающая сила F в первый раз достигла значения —5 мН, потенци альная энергия П точки стала равной 100 мкДж. Найти этот момент времени / и соответствующую ему фазу со/. 6.36. Грузик массой т = 250 г, подвешенный к пружине, колеб лется по вертикали с периодом Т= 1 с. Определить жесткость k пружины. 6.37. К спиральной пружине подвесили грузик, в результате чего пружина растянулась на х =9 см. Каков будет период Т коле баний грузика, если его немного оттянуть вниз и затем отпустить? 6.38. Гиря, подвешенная к пружине, колеблется по вертикали с амплитудой Л = 4 см. Определить полную энергию Е колебаний гири, если жесткость k пружины равна 1 кН/м. 6.39. Найти отношение длин двух математических маятников, если отношение периодов их колебаний равно 1,5. 6.40. Математический маятник длиной 1=1 м установлен в лиф те. Лифт поднимается с ускорением а= 2,5 м/с2. Определить период Т колебаний маятника. 6.41. На концах тонкого стержня длиной /= 30 см укреплены оди наковые грузики по одному на каждом конце. Стержень с грузиками колеблется около горизонтальной оси, проходящей через точку, удаленную на d= 10 см от одного из концов стержня. Определить 95 приведенную длину L и период Т колебаний такого физического ма ятника. Массой стержня пренебречь. 6.42. На стержне длиной /= 3 0 см укреплены два одинаковых грузика: один — в середине стержня, другой — на одном из его концов. Стержень с грузиком колеблется около горизонтальной оси, проходящей через свободный конец стержня. Определить приведен ную длину L и период Т колебаний такой системы. Массой стержня пренебречь. 6.43. Система из трех грузов, соединенных стержнями длиной /= 30 см (рис. 6 .6), колеблется относительно горизонтальной оси, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости чертежа. Найти период Т колебаний системы. Массами стержней пренебречь, грузы рассматривать как материальные точки. 6.44. Тонкий обруч, повешенный на гвоздь, вбитый горизон тально в стену, колеблется в плоскости, параллельной стене. Ра диус R обруча равен 30 см. Вычислить период Т колебаний обруча. Рис. 6.6 6.45. Однородный диск радиусом 7? = 30 см колеблется около го ризонтальной оси, проходящей через одну из образующих цилинд рической поверхности диска. Каков период Т его колебаний? 6.46. Диск радиусом R = 24 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендику лярно плоскости диска. Определить приведенную длину L и период Т колебаний такого маятника. 6.47. Из тонкого однородного диска радиусом R = 20 см вырезана часть, имеющая вид круга радиусом г = 10 см, так, как это показа но на рис. 6.7. Оставшаяся часть диска колеблется относительно горизонтальной оси О, совпадающей с одной из образующих ци линдрической поверхности диска. Найти период Т колебаний тако го маятника. 6.48. Математический маятник длиной ZL= 40 см и физический маятник в виде тонкого прямого стержня длиной /2=60 см син хронно колеблются около одной и той же горизонтальной оси. Определить расстояние а центра масс стержня от оси колебаний. 96 6.49. Физический маятник в виде тонкого прямого стержня дли ной /=120 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей перпендикулярно стержню через точку, удаленную на некоторое расстояние а от центра масс стержня. При каком значении а период Т колебаний имеет наименьшее значение? 6.50. Физический маятник представляет собой тонкий однород ный стержень массой пг с укрепленным на нем маленьким шариком массой пг. Маятник совершает колебания около горизонтальной оси, проходящей через точку О на стержне. Определить период Т гармонических колебаний маятника для случаев а , б, в, г, изобра женных на рис. 6 .8 . Длина I стержня равна 1 м. Шарик рассматри вать как материальную точку. Рис. 6.8 Рис. 6.9 6.51. Физический маятник представляет собой тонкий однород ный стержень массой пг с укрепленными на нем двумя маленькими шариками массами пг и 2пг. Маятник совершает колебания около горизонтальной оси, проходящей через точку О на стержне. Опре делить частоту v гармонических колебаний маятника для случаев а , б, 6, г, изображенных на рис. 6.9. Длина / стержня равна 1 м. Шарики рассматривать как материальные точки. 6.52. Тело массой /тг=4 кг, закрепленное на горизонтальной оси, совершало колебания с периодом 7 \= 0 ,8 с. Когда на эту ось был насажен диск так, что его ось совпала с осью колебаний тела, пери од Т 2 колебаний стал равным 1,2 с. Радиус R диска равен 20 см, масса его равна массе тела. Найти момент инерции J тела относи тельно оси колебаний. 6.53. Ареометр массой т = 5 0 г, имеющий трубку диаметром d= = 1 см, плавает в воде. Ареометр немного погрузили в воду и затем предоставили самому себе, в результате чего он стал совершать гармонические колебания. Найти период Т этих колебаний. 6.54. В открытую с обоих концов U-образную трубку с площа дью поперечного сечения S = 0,4 см2 быстро вливают ртуть массой т = 200 г. Определить период Т колебаний ртути в трубке. 6.55. Набухшее бревно, сечение которого постоянно по всей длине, погрузилось вертикально в воду так, что над водой находит ся лишь малая (по сравнению с длиной) его часть. Период Т коле баний бревна равен 5 с. Определить длину I бревна. 4 № 1268 97 Затухающие колебания 6.56. Амплитуда затухающих колебаний маятника за время t\ = = 5 мин уменьшилась в два раза. За какое время /2, считая от на чального момента, амплитуда уменьшится в восемь раз? 6.57. За время 1=8 мин амплитуда затухающих колебаний маят ника уменьшилась в три раза. Определить коэффициент затухания 6 . 6.58. Амплитуда колебаний маятника длиной 1=1 м за время /= 10 мин уменьшилась в два раза. Определить логарифмический декремент колебаний 0 . 6.59. Логарифмический декремент колебаний 0 маятника равен 0,003. Определить число N полных колебаний, которые должен сде лать маятник, чтобы амплитуда уменьшилась в два раза. 6.60. Гиря массой /71=500 г подвешена к спиральной пружине жесткостью /г=20 Н/м и совершает упругие колебания в некоторой среде. Логарифмический декремент колебаний 0=0,004. Опреде лить число N полных колебаний, которые должна совершить гиря, чтобы амплитуда колебаний уменьшилась в п = 2 раза. За какое вре мя t произойдет это уменьшение? 6.61. Тело массой т = 5 г совершает затухающие колебания. В течение времени /= 50 с тело потеряло 60 % своей энергии. Опре делить коэффициент сопротивления Ь. 6.62. Определить период Т затухающих колебаний, если период Т0 собственных колебаний системы равен 1 с и логарифмический декремент колебаний 0=0,628. 6.63. Найти число N полных колебаний системы, в течение кото рых энергия системы уменьшилась в п = 2 раза. Логарифмический декре мент колебаний 0 = 0,01. 6.64. дится в вязкой среде с коэффициентом сопротивления Ь=0,05 кг/с. С по мощью двух одинаковых пружин жесткостью 6=50 Н/м каждое тело удерживается в положении равнове Рис. 6.10 сия, пружины при этом не деформиро ваны (рис. 6.10). Тело сместили от положения равновесия и отпустили. Определить: 1) коэффициент затухания 6; 2) частоту v колебаний; 3) логарифмический декре мент колебаний 0; 4) число N колебаний, по прошествии которых амплитуда уменьшится в е раз. Вынужденные колебания. Резонанс 6.65. Под действием силы тяжести электродвигателя консольная балка, на которой он установлен, прогнулась на 6 = 1 мм. При какой частоте вращения п якоря электродвигателя может возникнуть опасность резонанса? 6.66. Вагон массой т = 8 0 т имеет четыре рессоры. Жесткость k 98 Т пружин каждой рессоры равна 500 кН/м. При какой скорости v вагон начнет сильно раскачиваться вследствие толчков на стыках рельс, если длина I рельса равна 12,8 м? 6.67. Колебательная система совершает затухающие колебания с частотой v=1000 Гц. Определить частоту v0 собственных колеба ний, если резонансная частота vpe3=998 Гц. 6.68. Определить, на сколько резонансная частота отличается от частоты v0= l кГц собственных колебаний системы, характери зуемой коэффициентом затухания 6=400 с " 1. 6.69. Определить логарифмический декремент колебаний 0 коле бательной системы, для которой резонанс наблюдается при частоте, меньшей собственной частоты v0= 10 кГц на Av=2 Гц. 6.70. Период Г0 собственных колебаний пружинного маятника равен 0,55 с. В вязкой среде период Г того же маятника стал рав ным 0,56 с. Определить резонансную частоту vpe3 колебаний. 6.71. Пружинный маятник (жесткость k пружины равна 10 Н/м, масса т груза равна 100 г) совершает вынужденные колебания в вязкой среде с коэффициентом сопротивления г=2*10-2 кг/с. Опре делить коэффициент затухания 6 и резонансную амплитуду Арез, если амплитудное значение вынуждающей силы Г0=Ю мН. 6.72. Тело совершает вынужденные колебания в среде с коэффи циентом сопротивления r= 1 г/с. Считая затухание малым, опреде лить амплитудное значение вынуждающей силы, если резонансная амплитуда Лрез= 0,5 см и частота v0 собственных колебаний равна 10 Гц. 6.73. Амплитуды вынужденных гармонических колебаний при частоте vx=400 Гц и v 2=600 Гц равны между собой. Определить ре зонансную частоту vpe3. Затуханием пренебречь. 6.74. К спиральной пружине жесткостью £=10 Н/м подвесили грузик массой т =10 г и погрузили всю систему в вязкую среду. Приняв коэффициент сопротивления b равным 0,1 кг/с, определить: 1) частоту v0 собственных колебаний; 2) резонансную частоту vpe3; 3) резонансную амплитуду Лрез, если вынуждающая сила изменя ется по гармоническому закону и ее амплитудное значение Г0= = 0,02 Н; 4) отношение резонансной амплитуды к статическому сме щению под действием силы F0. 6.75. Во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний будет меньше резонансной амплитуды, если частота изменения вынуж дающей силы будет больше резонансной частоты: 1) на 10 %? 2) в два раза? Коэффициент затухания 6 в обоих случаях принять равным 0,1 со0 (со0 — угловая частота собственных колебаний). § 7. ВОЛНЫ В УПРУГОЙ СРЕДЕ. АКУСТИКА Основные формулы • Уравнение плоской волны |(х , /) = Acosco(^—x/v), или £(х, /)=Acos (at —kx) , где l (x, t) — смещение точек среды с координатой х в момент вре 4* 99 мени t\ со — угловая частота; v — скорость распространения коле баний в среде (фазовая скорость); k — волновое число; k=2 л/Я; Я — длина волны. • Длина волны связана с периодом Т колебаний и частотой v соотношениями X=vT и X=v/v. ф Разность фаз колебаний двух точек среды, расстояние между которыми (разность хода) равно Ах, Дср=(2л;/Я)Дх, где Я — длина волны. Ф Уравнение стоячей волны £(x, t) = A cos со— cos со/, или £(х, t) = A coskx cosayt. Ф Фазовая скорость продольных волн в упругой среде: в твердых телах v = \/rЕ/ р, где Е — модуль Юнга; р — плотность вещества; в газах v = V y R T /M , или v = V y p / р, где у — показатель адиабаты (y=cp/cv — отношение удельных теп лоемкостей газа при постоянных давлении и объеме); R — моляр ная газовая постоянная; Т — термодинамическая температура; М — молярная масса; р — давление газа. Ф Акустический эффект Доплера где v — частота звука, воспринимаемого движущимся прибором (или ухом); v — скорость звука в среде; ипр — скорость прибора относительно среды; нист — скорость источника звука относительно среды; v0 — частота звука, испускаемого источником. Ф Амплитуда звукового давления p0=2nvpvA, где v — частота звука; А — амплитуда колебаний частиц среды; v — скорость звука в среде; р — ее плотность. • Средняя объемная плотность энергии звукового поля 1 1 pi рсо2А2, 2 2 pv2 где to — амплитуда скорости частиц среды; со — угловая частота звуковых волн. • Энергия звукового поля, заключенного в некотором объеме V, W=(w)V. ф Поток звуковой энергии Ф = Wlt9 где W — энергия, переносимая через данную поверхность за вре мя t . • Интенсивность звука (плотность потока звуковой энергии) / - Ф /S. 100 • Интенсивность звука связана со средней объемной плотно стью энергии звукового поля соотношением I=(w)v, где v — скорость звука в среде. • Связь мощности N точечного изотропного источника звука с интенсивностью звука I=NI(4nr 2), где г — расстояние от источника звука до точки звукового поля, в которой определяется интенсивность. • Удельное акустическое сопротивление среды Z s = py. • Акустическое сопротивление za=z5/s, где S — площадь сечения участка акустического поля (например, площадь поперечного сечения трубы при распространении в ней звука). • Уровень интенсивности звука (уровень звуковой мощности) (ДБ) L v = 10 lg (///о), где I о — условная интенсивность, соответствующая нулевому уров ню интенсивности ( /0= 1 пВт/м2).• • Уровень громкости звука L N в общем случае является слож ной функцией уровня интенсивности и частоты звука и определя ется по кривым уровня громкости (рис. 7.1). На графике по гори зонтальной оси отложены логарифмы частот звука (сами частоты 101 указаны под соответствующими им логарифмами).На вертикальной оси отложены уровни интенсивности звука в децибелах. Уровни громкости звука отложены по вертикальной оси, соответствующей эталонной частоте v = 1000 Гц. Для этой частоты уровень громкости, выраженный в децибелах, равен уровню интенсивности в децибе лах. Уровень громкости звуков других частот определяется по кривым громкости, приведенным на графике. Каждая кривая соот ветствует определенному уровню громкости. Примеры решения задач Пример 1. Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью v= \5 м/с. Период Т колебаний точек шнура равен 1,2 с, амплитуда А =2 см. Определить: 1) длину волны к\ 2) фазу ср колебаний, смещение скорость | и ускорение | точки, отстоящей на расстоянии х= 4 5 м от источника волн в момент t= =4 с; 3) разность фаз Дф колебаний двух точек, лежащих на луче и отстоящих от источника волн на расстояниях Xi=20 м и Ха^ЗО м. Р е ш е н и е . 1. Длина волны равна расстоянию, которое волна проходит за один период, и может быть найдена из соотношения X=vT. Подставив значения величин v и Г, получим Х=\8 м. 2. Запишем уравнение волны: £ = А cos со (t—x/v), (1) где £ — смещение колеблющейся точки; х — расстояние точки от источника волн; v — скорость распространения волн. Фаза колебаний точки с координатой х в момент времени t определяется выражением, стоящим в уравнении волны под знаком косинуса: Ф = (0 ^ — ИЛИ где учтено, что со= 2п/Т. Произведя вычисления по последней формуле, получим Ф=5,24 рад, или ф=300°. Смещение точки определим, подставив в уравнение (1) значения амплитуды А и фазы ф: | = 1 см. Скорость t точки находим, взяв первую производную от смеще ния по времени: £ d£ л £ = -dF = — Лео sin со [ , х \ 2тсА . —J = ------ — [ , )= — х \ sm<p. 2яА . Подставив значения величин л, А, Т и ф и произведя вычисле ния, получим | = 9 см/с. 102 Ускорение есть первая производная от скорости по времени, поэтому Л- df „ „ ( 4 х\ 4 Л 2Л ! = - д ~ = — Л О)2 COSO) ^ / ----- -- ) = ------- j T c o s ф . Произведя вычисления по этой формуле, найдем ’|= 2 7 ,4 см/с2. 3. Разность фаз Аф колебаний двух точек волны связана с рас стоянием Ах между этими точками соотношением Аф= (2я/Х) Ах=(2п/Щх 2—хг). Подставив значения величин X, х1 и х 2 и вычислив, получим Дф = 3,49 рад, или Дф = 200°. Пример 2. На расстоянии 1=4 м от источника плоской волны частотой v=440 Гц перпендикулярно ее лучу расположена стена. Определить расстояния от источ Источник Стена ника волн до точек, в которых | плоек ик волн 1 * I будут первые три узла и три пуч м ности стоячей волны, возникшей в результате сложения бегущей и от ип раженной от стены волн. Скорость N v волны считать равной 440 м/с. Р е ш е н и е . Выберем систе му координат так, чтобы ось х Рис. 7.2 была направлена вдоль луча бегу щей волны и начало О координат совпадало с точкой, находящейся на источнике MN плоской волны (рис. 7.2). С учетом этого уравнение бегущей волны запишется в виде \х=А cos (со/—kx). (1) Поскольку в точку с координатой х волна возвратится, пройдя дважды расстояние /—х, и при отражении от стены, как среды более плотной, изменит фазу на я, то уравнение отраженной волны может быть записано в виде = A cos {со/ — k [ х + 2 (/—х)] + я}. После очевидных упрощений получим t 2= —A cos [со/—k(2l —х)]. (2) Сложив уравнения (1) и (2), найдем уравнение стоячей волны: 5 = ^ ! + ^ 2= Л cos ( со/ —kx)—A cos [со/—k(2l —х)]. Воспользовавшись формулой разности косинусов, найдем £ = —2Л sin k(l —х) sin (со/—kl). Так как выражение Л sin k(l —х) не зависит от времени, то, взятое по модулю, оно может рассматриваться как амплитуда стоячей волны: Лст = 12Л sin& (/—х) |. Зная выражение амплитуды, можем найти координаты узлов и пучностей. 1л ■ !1 103 Узлы возникнут в тех точках, где амплитуда стоячей волны рав на нулю: |2 A sin k(l—x) |= 0 . Это равенство выполняется для точек, координаты хп которых удовлетворяют условию k(l —хп)= п л (п = 0, 1, 2, ...). (3) Но k= 2n/К, или, так как X=v/v, k=2nv!v. (4) Подставив это выражение k в (3), получим 2 jtv (/ —xn)=tinv , откуда координаты узлов *7г= /—nv/( 2v). Подставив сюда значения /, и, v и п —0, 1, 2, найдем координаты первых трех узлов: *0=4 м, *х=3,61 м, *2=3,23 м. Пучности возникнут в тех точках, где амплитуда стоячей волны максимальна: 2A sin k(l —х')=2 А. Это равенство выполняется для точек, координаты х'п которых удовлетворяют условию k(l —*„) = = (2я+1)(л/2) (п= 0, 1, 2, 3, ...). Выразив здесь k по (4), получим 4v*^ = 4v/— (2п + 1)и, откуда координаты пучностей Хп = 1— (2п+ 1) u/(4v). Подставив сюда значения /, v, v и п = 0, 1, 2, найдем координа ты первых трех пучностей: лго = 3,81 м, *1 = 3,42 м, *2 = 3,04 м. Границы максимальных смещений точек среды в зависимости от их координат изображены на рис. 7.3. Здесь же отмечены коор динаты *0, *i, * 2, ... узлов и координаты *о, *i, *2, ... пуч ностей стоячей волны. Пример 3. Источник зву ка частотой v = 18 кГц приб лижается к неподвижно уста новленному резонатору, на строенному на акустическую волну длиной Я= 1,7 см. С ка кой скоростью должен дви гаться источник звука, чтобы возбуждаемые им звуковые волны вызвали колебания резонатора? Температура Т воздуха равна 290 К. Р е ш е н и е . Согласно принципу Доплера, частота v звука, воспринимаемая прибором (резонатором), зависит от скорости г/ист источника звука и скорости г/пр прибора. Эта зависимость выража ется формулой о» где v — скорость звука в данной среде; v0 — частота звуковых волн, излучаемых источником. 104 Учитывая, что резонатор остается неподвижным (цпр =0), из формулы (1) получим v = — -— v0, откуда 1 v ^исг Инст = и(1— Vo/V). (2) В этом выражении неизвестны значения скорости v звука и час тоты V. Скорость звука в газах зависит от природы газа и температуры и определяется по формуле v = V y R T /M . (3) Чтобы волны, приходящие к резонатору, вызвали его колеба ния, частота v воспринимаемых резонатором волн должна совпадать с собственной частотой vpe3 резонатора, т. е. ^ = ^рез ^ ^/^рез > (^) где vpe3 — длина волны собственных колебаний резонатора. Подставив выражения v и v из равенства (3) и (4) в формулу (2), получим / 1 v(Ape3\ « «исг = У V 1 ---------— У yRT М — VoVa, ИЛИ "^о^рез* Взяв значения 7 = 1,4, М =0,029 кг/моль, а также значения R , Т, v0, Хрез и подставив их в последнюю формулу, после вычислений получим иист= 36 м/с. Пример 4. Уровень громкости L N звука двух тонов с частотами Vx=50 Гц и v 2=400 Гц одинаков и равен 10 дБ. Определить уровень интенсивности Lp и интенсивность I звука этих тонов. Р е ш е н и е . Искомые в задаче уровни интенсивности, соот ветствующие частотам V!=50 Гц и v 2=400 Гц, определим, пользу ясь графиком на рис. 7.1. Вторая кривая снизу является кривой уровня громкости, равного 10 дБ. Из точек на горизонтальной оси, соответствующих частотам vx и v2, восстанавливаем ординаты до кривой уровня громкости в 10 дБ. Значения этих ординат укажут искомые уровни интенсивности: L P1=60 дБ для частоты v ^ S O Гц и Ь Р2= 20 дБ для частоты v 2=400 Гц. Зная уровни интенсивностей L P1 и L P2, определим соответствую щие им интенсивности 1г и / 2 по формуле L P=10 1g ( / / / 0), где I — интенсивность данного звука; / 0 — интенсивность, соот ветствующая нулевому уровню интенсивности ( /0=1 пВт/м2). Из приведенной формулы получим l g / = 0,H P+ l g / 0. Подставив сюда значения L P и / 0 и учтя, что 1 пВт/м2= = 10- | 2Вт/м2, найдем для V!=50 Гц и v 2=400 Гц соответственно lg /j = 0,1 •60 + lg 10- 12 = 6— 12 = —6; 1г = Ю-* Вт/м2 105 и lg / 2= 0 ,1 •20 + lg 10"12 = 2— 12 = —10; / 2- Ю' 10 Вт/м2. Эти значения / х и / 2 можно получить и по графику, пользуясь шкалой интенсивности звука (на рис. 7.1 правая шкала). Сопоставим полученные результаты: интенсивность первого тона в 104 раз больше интенсивности второго тона; уровень интенсивно сти первого тона на 40 дБ больше уровня интенсивности второго тона; уровень громкости обоих тонов одинаков и равен 10 дБ. Задачи Уравнение плоской волны 7.1. Задано уравнение плоской волны 1-(х, t) = Acos(a)t —kx), где А = 0,5 см, (o=628c_1, k=2 м-1. Определить: 1) частоту колеба ний v и длину волны 2) фазовую скорость v ; 3) максимальные зна чения скорости | тах и ускорения Ётах колебаний частиц среды. 7.2. Показать, что выражение \{х, t)=A cos (со/—kx) удовлетd2E 1 д-1 воряет волновому уравнению = ПРИ условии, что (o=kv. 7.3. Плоская звуковая волна возбуждается источником колеба ний частоты v =200 Гц. Амплитуда А колебаний источника равна 4 мм. Написать уравнение колебаний источника Е(0, t), если в на чальный момент смещение точек источника максимально. Найти смещение £ (х, t) точек среды, находящихся на расстоянии х= 100 см от источника, в момент /=0,1 с. Скорость v звуковой волны при нять равной 300 м/с. Затуханием пренебречь. 7.4. Звуковые колебания, имеющие частоту v = 0,5 кГц и ам плитуду А =0,25 мм, распространяются в упругой среде. Длина волны Х=70 см. Найти: 1) скорость v распространения волн; 2) мак симальную скорость | тах частиц среды. 7.5. Плоская звуковая волна имеет период Т = 3 мс, амплитуду А = 0,2 мм и длину волны А= 1,2 м. Для точек среды, удаленных от источника колебаний на расстояние х=2 м, найти: 1) смещение £(х, /) в момент t=7 мс; 2) скорость 1 и ускорение | для того же момента времени. Начальную фазу колебаний принять равной нулю. 7.6. От источника колебаний распространяется волна вдоль прямой линии. Амплитуда А колебаний равна 10 см. Как велико смещение точки, удаленной от источника на х = 3/4 X, в момент, когда от начала колебаний прошло время /= 0 ,9 Г? 7.7. Волна с периодом Т= 1,2 с и амплитудой колебаний А =2 см распространяется со скоростью v= l5 м/с. Чему равно смещение Е(х, /) точки, находящейся на расстоянии х= 45 м от источника волн, в тот момент, когда от начала колебаний источника прошло время i = 4 с? 106 7.8. Две точки находятся на расстоянии Лх=50 см друг от друга на прямой, вдоль которой распространяется волна со скоростью £>=50 м/с. Период Т колебаний равен 0,05 с. Найти разность фаз Дер колебаний в этих точках. 7.9. Определить разность фаз Дер колебаний источника волн, находящегося в упругой среде, и точки этой среды, отстоящей на х=2 м от источника. Частота v колебаний равна 5 Гц; волны рас пространяются со скоростью v =40 м/с. 7.10. Волна распространяется в упругой среде со скоростью и=100 м/с. Наименьшее расстояние Ах между точками среды, фазы колебаний которых противоположны, равно 1 м. Определить час тоту v колебаний. 7.11. Определить скорость v распространения волны в упругой среде, если разность фаз Дф колебаний двух точек среды, отстоящих друг от друга на Дх=10 см, равна я/3. Частота v колебаний равна 25 Гц. Скорость звука * 7.12. Найти скорость v распространения продольных упругих колебаний в следующих металлах: 1) алюминии; 2) меди; 3) воль фраме. 7.13. Определить максимальное и минимальное значения длины % звуковых волн, воспринимаемых человеческим ухом, соответст вующие граничным частотам vx=16 Гц и v 2=20 кГц. Скорость звука принять равной 340 м/с. 7.14. Определить скорость v звука в азоте при температуре Т= =300 к. 7.15. Найти скорость v звука в воздухе при температурах Тг= =290 К и Т 2=350 К. 7.16. Наблюдатель, находящийся на расстоянии /=800 м от ис точника звука, слышит звук, пришедший по воздуху, на Д/=1,78 с позднее, чем звук, пришедший по воде. Найти скорость v звука в воде, если температура Т воздуха равна 350 К. 7.17. Скорость v звука в некотором газе при нормальных усло виях равна 308 м/с. Плотность р газа равна 1,78 кг/м3. Определить отношение cp/cv для данного газа. 7.18. Найти отношение скоростей v j v 2 звука в водороде и угле кислом газе при одинаковой температуре газов. 7.19. Температура Т воздуха у поверхности Земли равна 300 К; при увеличении высоты она понижается на Д Г = 7 мК на каждый метр высоты. За какое время звук, распространяясь, достигнет вы соты /i= 8 км? * В задачах, где в условии не у к азан а скорость зв у к а и не заданы вели чины, по которым ее можно вычислить, зн ачение скорости следует брать из табл. 16. 107 Суперпозиция волн 7.20. Имеются два источника, совершающие колебания в одина ковой фазе и возбуждающие в окружающей среде плоские волны одинаковой частоты и амплитуды (А1= А 2=1 мм). Найти амплитуду А колебаний точки среды, отстоящей от одного источника колеба ний на расстоянии л:!=3,5 м и от другого — на х 2= 5,4 м. Направ ления колебаний в рассматриваемой точке совпадают. Длина волны Х= 0,6 м. 7.21. Стоячая волна образуется при наложении бегущей волны и волны, отраженной от границы раздела сред, перпендикулярной направлению распространения волны. Найти положения (расстоя ния от границы раздела сред) узлов и пучностей стоячей волны, если отражение происходит: 1) от среды менее плотной; 2) от среды более плотной. Скорость v распространения звуковых колебаний равна 340 м/с и частота v= 3,4 кГц. 7.22. Определить длину К бегущей волны, если в стоячей волне расстояние / между: 1) первой и седьмой пучностями равно 15 см; 2) первым и четвертым узлом равно 15 см. 7.23. В трубе длиной /= 1 ,2 м находится воздух при температуре Г=300 К. Определить минимальную частоту vmin возможных коле баний воздушного столба в двух случаях: 1) труба открыта; 2) труба закрыта. 7.24. Широкая трубка, закрытая снизу и расположенная верти кально, наполнена до краев водой. Над верхним отверстием трубки помещен звучащий камертон, частота v колебаний которого равна 440 Гц. Через кран, находящийся внизу, воду медленно выпускают. Когда уровень воды в трубке понижается на Д # = 1 9 ,5 см, звук камертона усиливается. Определить скорость v звука в условиях опыта. 7.25. Один из способов измерения скорости звука состоит в сле дующем. В широкой трубке А может перемещаться поршень В. Перед открытым концом трубки А, соединенным с помощью рези новой трубки с ухом наблюдателя, расположен звучащий камертон К (рис. 7.4.). Отодвигая поршень В от конца трубки Л, наблюдатель 108 отмечает ряд следующих друг за другом увеличений и уменьшений громкости звука. Найти скорость v звука в воздухе, если при часто те колебаний v=440 Гц двум последовательным усилениям интен сивности звука соответствует расстояние Д/ между положениями поршня, равное 0,375 м. 7.26. На рис. 7.5 изображен прибор, служащий для определения скорости звука в твердых телах и газах. В латунном стержне А, зажатом посередине, возбуж 1 даются колебания. При опре С деленном положении легкого в L ^ >1 кружочка В, закрепленного на конце стержня, пробковый порошок, находящийся в трубке С, расположится в ви Рис. 7.5 де небольших кучек на рав ных расстояниях. Найти скорость v звука в латуни, если расстоя ние а между кучками оказалось равным 8,5 см. Длина стержня / = 0,8 м. 7.27. Стальной стержень длиной /= 1 м, закрепленный посереди не, натирают суконкой, посыпанной канифолью. Определить часто ту v возникающих при этом собственных продольных колебаний стержня. Скорость v продольных волн в стали вычислить. Эффект Доплера * 7.28. Поезд проходит мимо станции со скоростью и = 40 м/с. Частота v0 тона гудка электровоза равна 300 Гц. Определить кажу щуюся частоту v тона для человека, стоящего на платформе, в двух случаях: 1) поезд приближается; 2) поезд удаляется. 7.29. Мимо неподвижного электровоза, гудок которого дает сигнал частотой v0=300 Гц, проезжает поезд со скоростью и = =40 м/с. Какова кажущаяся частота v тона для пассажира, когда поезд приближается к электровозу? когда удаляется от него? 7.30. Мимо железнодорожной платформы проходит электропо езд. Наблюдатель, стоящий на платформе, слышит звук сирены поезда. Когда поезд приближается, кажущаяся частота звука vx= = 1100 Гц; когда удаляется, кажущаяся частота v 2=900 Гц. Найти скорость и электровоза и частоту v0 звука, издаваемого сиреной. 7.31. Когда поезд проходит мимо неподвижного наблюдателя, высота тона звукового сигнала меняется скачком. Определить отно сительное изменение частоты Av/v, если скорость и поезда равна 54 км/ч. 7.32. Резонатор и источник звука частотой v0= 8 кГц расположе ны на одной прямой. Резонатор настроен на длину волны v = 4,2 см и установлен неподвижно. Источник звука может перемещаться по направляющим вдоль прямой. С какой скоростью и и в каком * См. сноску на с. 107 109 направлении должен двигаться источник звука, чтобы возбуждае мые им звуковые волны вызвали колебания резонатора? 7.33. Поезд движется со скоростью и= 120 км/ч. Он дает свисток длительностью т0= 5 с. Какова будет кажущаяся продолжитель ность т свистка для неподвижного наблюдателя, если: 1) поезд приближается к нему; 2) удаляется? Принять скорость звука рав ной 348 м/с. 7.34. Скорый поезд приближается к стоящему на путях электро поезду со скоростью и = 72 км/ч. Электропоезд подает звуковой сигнал частотой v0=0,6 кГц. Определить кажущуюся частоту v звукового сигнала, воспринимаемого машинистом скорого поезда. 7.35. На шоссе сближаются две автомашины со скоростями их= 30 м/с и и2= 20 м/с. Первая из них подает звуковой сигнал час тотой Vx=600 Гц. Найти кажущуюся частоту v2 звука, восприни маемого водителем второй автомашины, в двух случаях: 1) до встре чи; 2) после встречи. Изменится ли ответ (если изменится, то как) в случае подачи сигнала второй машиной? 7.36. Узкий пучок ультразвуковых волн частотой кГц направлен от неподвижного локатора к приближающейся подводной лодке. Определить скорость и подводной лодки, если частота v± биений (разность частот колебаний источника и сигнала, отраженно го от лодки) равна 250 Гц. Скорость v ультразвука в морской воде принять равной 1,5 км/с. Энергия звуковых волн * 7.37. По цилиндрической трубе диаметром d = 20 см и длиной 1=5 м, заполненной сухим воздухом, распространяется звуковая волна средней за период интенсивностью / = 50 мВт/м2. Найти энергию W звукового поля, заключенного в трубе. 7.38. Интенсивность звука 1=1 Вт/м2. Определить среднюю объ емную плотность энергии звуковой волны, если звук распро страняется в сухом воздухе при нормальных условиях. 7.39. Мощность N изотропного точечного источника звуковых волн равна 10 Вт. Какова средняя объемная плотность <до> энер гии на расстоянии г = 10 м от источника волн? Температуру Т воздуха принять равной 250 К. 7.40. Найти мощность N точечного изотропного источника звука, если на расстоянии г= 25 м от него интенсивность / звука равна 20 мВт/м2. Какова средняя объемная плотность <t^> энергии на этом расстоянии? Звуковое давление. Акустическое сопротивление * 7.41. Определить удельное акустическое сопротивление Zs воз духа при нормальных условиях. * См. сноску на с. 107 110 7.42. Определить удельное акустическое сопротивление Zs воды при температуре ?=15°С. 7.43. Какова максимальная скорость gmax колебательного дви жения частиц кислорода, через который проходят звуковые волны, если амплитуда звукового давления р0= 0,2 Па, температура Т кислорода равна 300 К и давление /?= 100 кПа? 7.44. Определить акустическое сопротивление Za воздуха в тру бе диаметром d = 20 см при температуре Г=300 К и давлении р — = 200 кПа. 7.45. Звук частотой v=400 Гц распространяется в азоте при тем пературе Т = 290 К и давлении /7=104 кПа. Амплитуда звукового давления /70= 0,5 Па. Определить амплитуду А колебаний частиц азота. 7.46. Определить амплитуду р0 звукового давления, если ампли туда А колебаний частиц воздуха равна 1 мкм. Частота звука v = =600 Гц. 7.47. На расстоянии г = 100 м от точечного изотропного источни ка звука амплитуда звукового давления /70= 0,2 Па. Определить мощность Р источника, если удельное акустическое сопротивление Zs воздуха равно 420 Па-с/м. Поглощение звука в воздухе не учи тывать. 7.48. Источник звука небольших линейных размеров имеет мощ ность Р= 1 Вт. Найти амплитуду звукового давления р0 на расстоя нии г=100 м от источника звука, считая его изотропным. Затуха нием звука пренебречь. 7.49. В сухом воздухе при нормальных условиях интенсивность I звука равна 10 пВт/м2. Определить удельное акустическое сопро тивление Zs воздуха при данных условиях и амплитуду /?0 звуково го давления. 7.50. Найти интенсивности 1г и / 2 звука, соответствующие амп литудам звукового давления /70i=700 мкПа и /702=40 мкПа. Уровень интенсивности и уровень громкости звука 7.51. Определить уровень интенсивности L P звука, если его интенсивность равна: 1) 100 пВт/м2; 2) 10 мВт/м2. 7.52. На расстоянии гг= 24 м от точечного изотропного источни ка звука уровень его интенсивности L P= 32 дБ. Найти уровень интенсивности Ь Р звука этого источника на расстоянии г2= 16 м. 7.53. Звуковая волна прошла через перегородку, вследствие чего уровень интенсивности L P звука уменьшился на 30 дБ. Во сколько раз уменьшилась интенсивность I звука? 7.54. Уровень интенсивности L P шума мотора равен 60 дБ. Каков будет уровень интенсивности, если одновременно будут ра ботать: 1 ) два таких мотора; 2) десять таких моторов? 7.55. Три тона, частоты которых равны соответственно vx— =50 Гц, v2=200 Гц и v3=1 кГц , имеют одинаковый уровень интен сивности L P=40 дБ. Определить уровни громкости L N этих тонов. Ill 7.56. Звук частотой v = l кГц имеет уровень интенсивности L P=50 дБ. Пользуясь графиком на рис. 7.1, найти уровни интен сивности равногромких с ним звуков с частотами: кГц, v 2= = 5 кГц, v3= 2 кГц, v4=300 Гц, v5=50 Гц. 7.57. Уровень громкости тона частотой v=30 Гц сначала был L N1= 10 фон, а затем повысился до L N2=8 0 фон. Во сколько раз увеличилась интенсивность тона? 7.58. Пользуясь графиком уровней на рис. 7.1, найти уровень громкости L n звука, если частота v звука равна 2 кГц и амплитуда звукового давления /?0=0,1 Па. Условия, при которых находится воздух, нормальные. 7.59. Для звука частотой v=2 кГц найти интенсивность /, уро вень интенсивности L P и уровень громкости L N, соответствующие: а) порогу слышимости; б) порогу болевого ощущения. При решении задачи пользоваться графиком на рис. 7.1. 7.60. Мощность Р точечного изотропного источника звука равна 100 мкВт. Найти уровень громкости L N при частоте v=500 Гц на расстоянии г=10 м от источника звука. 7.61. На расстоянии г = 100 м от точечного изотропного источни ка звука уровень громкости L N при частоте v=500 Гц равен 20 дБ. Определить мощность Р источника звука. ГЛАВА 2 МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА § 8. М О Л Е К У Л Я Р Н О Е СТ РО ЕН И Е ВЕЩЕСТВА» З А К О Н Ы И Д Е А Л Ь Н Ы Х ГАЗОВ Основные формулы © Количество вещества * тела (система) v = N/NAj где N — число структурных элементов (молекул, атомов, ионов и т. п.), составляющих тело (систему); N A — постоянная Авогадро: Лга= 6,02 •1023 моль-1. ® Молярная масса вещества M =m!v , где т — масса однородного тела (системы); v — количество вещест ва этого тела. © Относительная молекулярная масса вещества А =2«А. i где rii — число атомов i-го химического элемента, входящего в состав молекулы данного вещества; A ryi — относительная атомная масса этого элемента. Относительные атомные массы приводятся в таблице Д. И. Менделеева. О Связь молярной массы М с относительной молекулярной массой Мг вещества M = M rk, где & =10-3 кг/моль. © Молярная масса смеси газов k А„ =2 т , i k X 1= 1 Vh где rrii — масса i-то компонента смеси; v* — количество вещества i-vo компонента смеси; k — число компонентов смеси. ® Массовая доля ** i-го компонента смеси газов где mi — масса i-го компонента смеси; т — масса смеси. * Количество вещества — число структурны х элементов (молекул, ато мов, ионов и т. п.), содерж ащ ихся в системе или теле. Количество вещества выраж ается в молях. Моль равен количеству вещества системы, содержащей столько же структурны х элементов, сколько содержится атомов в углерод е-12 массой 0,012 кг. ** Массовой долей компонента в смеси называется безразмерная величи на, равная отношению массы компонента к массе смеси. 113 ® Уравнение состояния идеальных газов (уравнение Клапей рона — Менделеева) pV = -^ -R T y или pV = vRT, где т — масса газа; М — его молярная масса; R — молярная га зовая постоянная; Т — термодинамическая температура; v — коли чество вещества. © Закон Дальтона Р — Р1 + Р2+ • • • +Р&> где р — давление смеси газов; р ь — парциальное давление /-го компонента смеси; k — число компонентов смеси. Примеры решения задач Пример 1. Определить молярную массу М углекислого газа С 0 2. Р е ш е н и е . Молярную массу данного вещества можно опре делить по формуле M = M rk, (1) где М г — относительная молекулярная масса вещества; = 10“ 3 кг/моль. Относительную молекулярную массу найдем из соотношения М г = 2i М г . / . (2) где П; — число атомов /-го химического элемента, входящих в моле кулу данного вещества; Aryi — относительная атомная масса /-го химического элемента. В нашем случае для углекислого газа формула (2) примет вид Мг — псАг, с + ПоАп о> (3) где пс= 1 (число атомов углерода в молекуле углекислого газа); п0=2 (число атомов кислорода в той же формуле); АГу с и ЛгЮ —■ относительные атомные массы углерода и кислорода. По таблице Д. И. Менделеева найдем А г, с = 12, Лг>о — 16. После подстановки в формулу (3) значений nc, nQl A Tt с и Аг 0 получим Af г= 1 -12+2 -16=44. Подставив это значение относительной молекулярной массы, а также значение k в формулу (1), найдем молярную массу углекис лого газа: М = 44 -10“3 кг/моль = 4 ,4 -10“2 кг/моль. Пр имер 2. Найти молярную массу М смеси кислорода массой т х= 25 г и азота массой т 2= 75 г. Р е ш е н и е . Молярная масса смеси Мсм есть отношение массы смеси т см к количеству вещества смеси vCM, т. е. ^см ^см/^см* 0) 114 Масса смеси равна сумме масс компонентов смеси тсч=т1~\-т2. Количество вещества смеси равно сумме количеств вещества компо нентов. Подставив в формулу (1) выражения т см и vcM, получим тг + т 2 м см m i/M i т%!М-2 (2) Применив способ, использованный в примере 1, найдем моляр ные массы М г кислорода и М 2 азота: M i=32*10“ 3 кг/моль, М 2=28*10"3 кг/моль. Подставим значения величин во (2) и произведем вычисления: 25* 10“ 3 + 75* 1 0 " 3 _ УУ]см — 2 5 - 10~3/(32-10 3) -j—75* 10“ 3/(28* 10“ 3) КГ' М0ЛЬ “ = 28,9-10"3кг/моль. Пример 3. Определить: 1) число N молекул воды, занимающей при температуре t = 4 °С объем V= \ мм3; 2) массу т1молекулы воды; 3) диаметр d молекулы воды, считая, что молекулы имеют форму шариков, соприкасающихся друг с другом. Р е ш е н и е . 1. Число N молекул, содержащихся в теле неко торой массы т , равно произведению постоянной Авогадро NA на количество вещества v: N = N Av. Так как v= m /M , где М — моляр ная масса, то N=(m/M)NA. Выразив в этой формуле массу как про изведение плотности р на объем У, получим N = (pV/M)NA. (1) Все величины, кроме молярной массы воды, входящие в (1), известны: р = 1 -103 кг/м (см. табл. 9), У 1 мм3= 1 -10" 9 м3, NA= = 6 ,0 2 -1023 моль" 1 (см. табл. 24). Зная химическую формулу воды (Н 20), найдем молярную массу воды (см. пример 1): M = M rk= ( 2*1 + 1 -16) -10" 3 кг/моль = 18 -10" 3 кг/моль. Подставим значения величин в (1) и произведем вычисления: 2V = [1 - 103- 1 *10“ э/(18* Ю- 3) ] *6,02-1023 молекул = = 3,34-1019 молекул. 2. Массу одной молекулы воды найдем делением ее молярной массы на постоянную Авогадро: тг=М1 N А. Произведя вычисления по этой формуле, получим mi = /о г'.ш / кг = 2,99- 10-2в кг. 3. Будем считать, что молекулы плотно прилегают друг к другу, тогда на каждую молекулу диаметром d приходится объем (куби ческая ячейка) Vx=d3. Отсюда d = V V x. (1) Объем Vi найдем, разделив молярный объем Ут вещества на число молекул в моле, т. е. на постоянную Авогадро NA: Vx= = V m/N А. Молярный объем равен отношению молярной массы*к плот ности вещества, т. е. Vm=M/p. Поэтому можем записать, что Vx= = M/(pNA). Подставив полученное выражение Ух в формулу (1), 115 получим d = y M/{pNA). (2) Проверим, дает ли правая часть выражения (2) единицу длины: Г/Л — ( \ [Щ \ 1/з __ I кг/моль \ 1/3 _ [р][лч Т ) \ (КГ/М3) . (1/МОЛЬ)) ~ м ‘ Теперь подставим значения величин в формулу (2) и произведем вычисления: d = 3,11-10 ~10 м = 311 пм. Пример 4. В баллоне обемом У=10 л находится гелий под давле нием Р\~ 1 МПа при температуре 7 \= 300 К. После того как из баллона был израсходован гелий массой т= 10 г, температура в баллоне понизилась до Т 2= 290 К. Определить давление р 2 гелия, оставшегося в баллоне. Р е ш е н и е . Для решения задачи воспользуемся уравнением Клапейрона — Менделеева, применив его дважды к начальному и конечному состояниям газа. Для начального состояния уравнение имеет вид PlV={mJM)RT1, (1) а для конечного состояния — p 2V=(m2/M )RT 2, (2) где rrix и т2 — массы гелия в начальном и конечном состояниях. Выразим массы т1 и т2 гелия из уравнений (1) и (2): m ^ M p y iiR T ^ ( 3) m2= Mp2V/(RT2). Вычитая из (3) равенство (4), получим (4) т = тл ■т0 MPlV RTt Mp2V RT2 Отсюда найдем искомое давление: 2 MV rt MPlV m rt2 m (5) V RTx Проверим, дает ли правая часть формулы (5) единицу давления. Для этого выразим все величины, входящие в нее, в соответствую щих единицах. Единица, в которой выражается первое слагаемое, не вызывает сомнений, так как отношение Т 21Тг — величина без размерная. Проверим, в каких единицах выражается второе сла гаемое: Л \т] [/?] [Г2] _ кг [Дж/(К-моль)]• К _кг-Дж -К-моль ___ [УИ] [V] кг/моль м3 кг -м3- К- моль _Дж Н-м Н ~~ м3 м2-м м2 Убедившись в том, что правая часть полученной расчетной фор мулы дает единицу искомой величины — давления, можем подста вить в (5) значения всех величин и произвести вычисления. В формуле (5) все величины, кроме молярной массы М гелия, известны. Найдем ее (см. пример 1). Для гелия как одноатомного 116 газа относительная молекулярная масса равна его относительной атомной массе А г. Из таблицы Д. И. Менделеева найдем Лг= 4. Следовательно, молярная масса гелия М = А Г- 10~3 кг/моль = 4 - lO" 3 кг/моль. Подставив значения величин в (5), получим Pz 290 1А6 япп‘ ^ 10* 10“ 3 8,31.290 „ 4• 10~~3 ' in. 1п-з Па 10-10~3 0 С/| 1А, „ 3,64• 10 Па = =364 Па. Задачи Молекулярное строение вещества 8.1. Определить относительную молекулярную массу М г: 1) воды; 2) углекислого газа С 0 2; 3) поваренной соли N a C l. 8.2. Найти молярную массу М серной кислоты H 2S 0 4. 8.3. Определить массу тг молекулы: 1) углекислого газа; 2) по варенной соли. 8.4. В сосуде вместимостью V=2 л находится кислород, количе ство вещества v которого равно 0,2 моль. Определить плотность р газа. 8.5. Определить количество вещества v и число N молекул азота массой т = 0,2 кг. 8.6. В баллоне вместимостью V=3 л находится кислород массой т = 4 г. Определить количество вещества v и число N молекул газа. 8.7. Кислород при нормальных условиях заполняет сосуд вмес тимостью У = 11,2л. Определить количество вещества v газа и его массу т. 8.8. Определить количество вещества v водорода, заполняю щего сосуд вместимостью V=3 л, если плотность газа р = 6 ,6 5 х х 10“ 3 кг/моль. 8.9. Колба вместимостью У=0,5 л содержит газ при нормаль ных условиях. Определить число N молекул газа, находящихся в колбе. 8.10. Сколько атомов содержится в газах массой 1 г каждый: 1) гелии, 2) углероде, 3) фторе, 4) полонии? 8.11. В сосуде вместимостью V=5 л находится однородный газ количеством вещества v= 0,2 моль. Определить, какой это газ, если его плотность р = 1,12 кг/м3. 8.12. Одна треть молекул азота массой т = 1 0 г распалась на атомы. Определить полное число N частиц, находящихся в газе. 8.13. Рассматривая молекулы жидкости как шарики, соприка сающиеся друг с другом, оценить порядок размера диаметра моле кулы сероуглерода CS2. При тех же предположениях оценить поря док размера диаметра атомов ртути. Плотности жидкостей считать известными. 8.14. Определить среднее расстояние </> между центрами моле кул водяных паров при нормальных условиях и сравнить его с диа метром d самих молекул (rf=0,311 нм). 117 8.15. В сосуде вместимостью К=1,12 л находится азот при нор мальных условиях. Часть молекул газа при нагревании до некото рой температуры оказалась диссоциированной на атомы. Степень дисооциации а = 0 ,3 . Определить количество вещества: 1) v — азота до нагревания; 2) vM0JI— молекулярного азота после нагревания; 3) vaT — атомарного азота после нагревания: 4) vn0JI — всего азота после нагревания. П р и м е ч а н и е . Степенью диссоциации называют отношение числа молекул, распавшихся на атомы, к общему числу молекул газа. Степень диссоциации показывает, какая часть молекул распалась на атомы. Уравнение газового состояния 8.16. В цилиндр длиной /= 1,6 м, заполненный воздухом при нормальном атмосферном давлении р0у начали медленно вдвигать поршень площадью S=200 см2. Определить силу Т7, которая будет действовать на поршень, если его остановить на расстоянии 1г— = 10 см от дна цилиндра. 8.17. Колба вместимостью V =300 см2, закрытая пробкой с краном, содержит разреженный воздух. Для измерения давления в колбе горлышко колбы погрузили в воду на незначительную глубину и открыли кран, в результате чего в колбу вошла вода массой т= —292 г. Определить первоначальное давление р в колбе, если атмо сферное давление /?0= 100 кПа. 8.18. В U-образный манометр налита ртуть. Открытое колено манометра соединено с окружающим пространством при нормальном атмосферном давлении р0, и ртуть в открытом колене стоит выше, чем в закрытом, на Дй= 10 см. При этом свободная от ртути часть трубки закрытого колена имеет длину 1=20 см. Когда открытое колено присоединили к баллону с воздухом, разность уровней ртути увеличилась и достигла значения Shx= 26 см. Найти давление р воздуха в баллоне. 8.19. Манометр в виде стеклянной U-образной трубки с внутрен ним диаметром d = 5 мм (рис. 8 .1, а) наполнен ртутью так, что остав шийся в закрытом колене трубки воздух занимает при нормальном атмосферном давлении объем Vx=10 мм3. При этом разность уров ней ДАх ртути в обоих коленах трубки равна 10 см. При соединении 118 открытого конца трубки с большим сосудом (рис. 8 .1, б) разность Д/г2 уровней ртути уменьшилась до 1 см. Определить давление р в сосуде. 8.20. В баллоне содержится газ при температуре 100 °С. До какой температуры t2 нужно нагреть газ, чтобы его давление увеличилось в два раза? 8.21. При нагревании идеального газа на А Т = \ К при постоян ном давлении объем его увеличился на 1/350 первоначального объе ма. Найти начальную температуру Т газа. 8.22. Полый шар вместимостью V= 10 см3, заполненный воздухом при температуре 7\= 573 К, соединили трубкой с чашкой, заполнен ной ртутью. Определить массу пг ртути, вошедшей в шар при осты вании воздуха в нем до температуры Т 2= 293 К. Изменением вмес тимости шара пренебречь. 8.23. Оболочка воздушного шара вместимостью V =800 м3 цели ком заполнена водородом при температуре Тг=273 К. На сколько изменится подъемная сила шара при повышении температуры до Т 2= 293 К? Считать вместимость V оболочки неизменной и внешнее давление нормальным. В нижней части оболочки имеется отверстие, через которое водород может выходить в окружающее пространство. 8.24. В оболочке сферического аэростата находится газ объемом У=П500 м3, заполняющий оболочку лишь частично. На сколько изменится подъемная сила аэростата, если газ в аэростате нагреть от Т0= 273 К до Т = 293 К? Давления газа в оболочке и окружающе го воздуха постоянны и равны нормальному атмосферному давле нию. !к .и-| J fc _ j и f _T--Ft-_ iщ ■4 8.25. Газовый термометр состоит из шара с припаянной к нему горизонтальной стеклянной трубкой. Капелька ртути, помещен ная в трубку, отделяет объем шара от внешнего пространства (рис. 8.2). Площадь 5 поперечного сечения трубки равна 0,1 см2. При температуре Т1=273 К капелька находилась на расстоянии /х=30 см от поверхности шара, при температуре Г 2= 278 К — на расстоянии / 2=50 см. Найти вместимость V шара. 8.26. В большой сосуд с водой был опрокинут цилиндрический сосуд (рис. 8.3). Уровни воды внутри и вне цилиндрического сосуда находятся на одинаковой высоте. Расстояние I от уровня воды до дна опрокинутого сосуда равно 40 см. На какую высоту Дh подни 119 мется вода в цилиндрическом сосуде при понижении температуры от 7х=310 К до 7 2= 273 К? Атмосферное давление нормальное. 8.27. Баллон вместимостью К=12 л содержит углекислый газ. Давление р газа равно 1 МПа, температура 7= 300 К. Определить массу т газа в баллоне. 8.28. Какой объем V занимает идеальный газ, содержащий коли чество вещества v = l кмоль при давлении р=1 МПа и температуре 7 = 400 К? 8.29. Котел вместимостью V=2 м3 содержит перегретый водяной пар массой т= 10 кг при температуре 7= 500 К. Определить давле ние р пара в котле. 8.30. Баллон вместимостью К=20 л содержит углекислый газ массой т = 5 0 0 г под давлением /7= 1,3 МПа. Определить температуру 7 газа. 8.31. Газ при температуре 7 = 309 К и давлении /7= 0,7 МПа имеет плотность р = 12 кг/м3. Определить относительную молеку лярную массу М г газа. 8.32. Определить плотность р насыщенного водяного пара в воз духе при температуре 7= 300 К. Давление р насыщенного водяного пара при этой температуре равно 3,55 кПа. 8.33. Оболочка воздушного шара имеет вместимость К=1600 м3. Найти подъемную силу F водорода, наполняющего оболочку, на высоте, где давление /7=60 кПа и температура 7= 280 К. При подъе ме шара водород может выходить через отверстие в нижней части шара. 8.34. В баллоне вместимостью V = 25 л находится водород при температуре 7 = 290 К. После того как часть водорода израсходова ли, давление в баллоне понизилось на Д/7= 0,4 МПа. Определить массу т израсходованного водорода. 8.35. Оболочка аэростата вместимостью К=1600 м3, находяще гося на поверхности Земли, на &=7/8 наполнена водородом при давлении /7Х= 100 кПа и температуре 7i= 290 К. Аэростат подняли на некоторую высоту, где давление р 2=80 кПа и температура 7 2= =280 К. Определить массу Ат водорода, вышедшего из оболочки при его подъеме. Смеси газов 8.36. Какой объем V занимает смесь газов — азота массой тг= = 1 кг и гелия массой /л2=1 кг — при нормальных условиях? 8.37. В баллонах вместимостью Ki=20 л и К2=44 л содержится газ. Давление в первом баллоне рг= 2,4 МПа, во втором — р 2= = 1,6 МПа. Определить общее давление р и парциальные р[ и р'2 после соединения баллонов, если температура газа осталась преж ней. 8.38. В сосуде вместимостью К=0,01 м3 содержится смесь газов — азота массой тг= 7 г и водорода массой т 2=1 г — при температуре 7 = 280 К. Определить давление р смеси газов. 120 8.39. Найти плотность р газовой смеси водорода и кислорода, если их массовые доли w± и w2 равны соответственно 1/9 и 8/9. Дав ление р смеси равно 100 кПа, температура 7=300 К. 8.40. Газовая смесь, состоящая из кислорода и азота, находится в баллоне под давлением /7=1 МПа. Определить парциальные дав ления /7i кислорода и /72 азота, если массовая доля w1 кислорода в смеси равна 0,2. 8.41. Сухой воздух состоит в основном из кислорода и азота. Если пренебречь остальными составными частями воздуха, то мож но считать, что массовые доли кислорода и азота соответственно ££Ц=0,232, w 2= 0,768. Определить относительную молекулярную массу М г воздуха. 8.42. Баллон вместимостью У=30 л содержит смесь водорода и гелия при температуре 7= 300 К и давлении /7=828 кПа. Масса т смеси равна 24 г. Определить массу т1 водорода и массу т2 гелия. 8.43. В сосуде вместимостью У=15 л находится смесь азота и водорода при температуре /= 23 °С и давлении /7=200 кПа. Опреде лить массы смеси и ее компонентов, если массовая доля азота в смеси равна 0,7. 8.44. Баллон вместимостью У= 5 л содержит смесь гелия и водорода при давлении /7=600 кПа. Масса т смеси равна 4 г, мас совая доля wx гелия равна 0,6. Определить температуру 7 смеси. 8.45. В сосуде находится смесь кислорода и водорода. Масса т смеси равна 3,6 г. Массовая доля wx кислорода составляет 0,6. Определить количество вещества v смеси, и v 2 каждого газа в отдельности. § 9. МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ Основные формулы • Концентрация частиц (молекул, атомов и т. п.) однородной системы n=N/V, где V — объем системы. Ф Основное уравнение кинетической теории газов Р = 2/ з ^ < £ п >» где р — давление газа; (еп) — средняя кинетическая энергия * поступательного движения молекулы. Ф Средняя кинетическая энергия: приходящаяся на одну степень свободы молекулы (81) = 1/ 2/?7; * Здесь и далее кинетическая энергия молекул и других частиц обозна чается е. 121 приходящаяся на все степени свободы молекулы (полная энергия молекулы) е = ^ кТ'’ поступательного движения молекулы еп= 3/2*7\ где & — постоянная Больцмана; Т — термодинамическая темпера тура; i — число степеней свободы молекулы; вращательного движения молекулы ввр = l^ r k T . 9 Зависимость давления газа от концентрации молекул и тем пературы p=^nkT. • Скорость молекул: средняя квадратичная <vHBy = V3kT/m lt или <VKB>= V 3RTIM; средняя арифметическая <и> = y r8kT/(nm1)} или <у> = У 8RT/(nM)\ наиболее вероятная vB= V 2kT/ml9 или vB= V 2RTJM, где m1 — масса одной молекулы. Примеры решения задач Пример 1. В баллоне вместимостью V=6,9 л находится азот массой т = 2,3 г. При нагревании часть молекул диссоциировали на атомы. Коэффициент диссоциации* а = 0 ,2 . Определить: 1) об щее число Ni молекул и концентрацию пг молекул азота до нагрева ния; 2) концентрацию п 2 молекул и п3 атомов азота после нагрева ния. Р е ш е н и е . По определению, концентрация частиц газа есть отношение числа частиц к вместимости сосуда, занимаемого газом: n=N/'V. (1) 1. Число Nx молекул газа до нагревания найдем из соотношения Nx= vNA NЛ ( 2) м ' kMr где v — количество вещества азота; NA — постоянная Авогадро; М — молярная масса азота; М г — относительная молекулярная масса азота; k= 1СГ3 кг/моль (см. пример 1 на с. 114). Подставив значения величин в (2), получим о о in- 3 = ;’0_а 9g . 6,02-Н)23 молекул = 4,94-1023 молекул. * См. примечание к задаче 8.15. 122 Концентрацию пх найдем, подставив значения величин в (1): 4,94-1023 , Их. --------------М 3 = 7,16- 1025 М" «1 V 6,9-10"3 2. Концентрацию после нагревания найдем из соотношения JV2 ni — у JV,( l - а ) — у (3) у где N — число молекул, не распавшихся на атомы. После подстановки значений величин в (3) получим 4,94-1023 (1 —0,2) _3 - 1Л25 _3 П2 = ---- 6 QtlQ- 3---- “ М = О,73-1025 М 3. Концентрация атомов после нагревания азота 2N,a = — * (4) Число 2 в формуле (4) выражает тот факт, что каждая молекула после распада дает два атома. Подставим в (4) значения величин и произведем вычисления: По 2-4,94-Ю23.0,2 6,9-10“ 3 = ----- „ VVi /ч -а----- M"-3 = 0,286-1026 м“3 = 2,86- 1025 м3. Пример 2. В колбе вместимостью К =0,5 л находится кислород при нормальных условиях. Определить среднюю энергию (Wn) поступательного движения всех молекул, содержащихся в колбе. Р е ш е н и е . Средняя энергия (Wn) поступательного движе ния всех молекул может быть выражена соотношением <Way = < e n>N, (1) где (еп> — средняя энергия поступательного движения одной моле кулы; N — число всех молекул, содержащихся в колбе. Как известно, <еп> = 3/2£7\ (2) где k — постоянная Больцмана; Т — термодинамическая темпера тура. Число молекул, содержащихся в колбе, найдем по формуле N = vN А, (3) где v — количество веществакислорода; NA — постоянная Авогадро. Количество вещества v найдем из таких соображений: известно, что при нормальных условиях молярный объем Vm равен 22,4 х X 10“ 3 м3/моль. Так как, по условию задачи, кислород в колбе находится при нормальных условиях, то количество вещества кис лорода в колбе выражается соотношением v = VlVm. (4) Подставив выражение v по (4) в (3), получим N = VNA/Vm. (5) С учетом (2) и (5)выражение (1)энергии поступательного движе ния молекул примет вид 3kTVNA :- Ж Г - (6) 123 Проверим, дает ли правая часть расчетной формулы единицу энергии (джоуль). Для этого вместо символов величин подставим единицы, в которых эти величины выражаются: гттг, L nj (Дж/К)-К-м3-моль- 1 м3/моль Дж-К-м3-моль м3- К -моль ^ Подставив значения величин в (6) и произведя вычисления, най дем з. 1,38-1 0 - 23*273.0, 5. 10- 3.6,02.1023 Дж = 75,9 Дж. Wп 2-22,4-10" 3 Пример 3. Найти среднюю кинетическую энергию одной моле кулы аммиака NH3 при температуре 1=27 °С и среднюю энергию вращательного движения этой молекулы при той же температуре. Р е ш е н и е . Средняя полная энергия молекулы определяется по формуле <е> = ± k T , ( 1) где i — число степеней свободы молекулы; k — постоянная Больц мана; Т — термодинамическая температура газа: T = t+ T 0, где Т 0-2 7 3 К. Число степеней свободы i четырехатомной молекулы, какой явля ется молекула аммиака, равно 6. Подставим значения величин в (1): <е> = в/3- 1,38-10“ 23 (27 + 273) Д ж = 1,242-10“20 Дж. Средняя энергия вращательного движения молекулы определя ется по формуле <еврУ = ^ к Т , (2) где число 3 означает число степеней свободы поступательного дви жения. Подставим в (2) значения величин и вычислим: <евр> = ' 1,38-10~23 (27 + 273) Дж = 6 ,2 Ы 0 — Дж. Заметим, что энергию вращательного движения молекул ам миака можно было получить иначе, разделив полную энергию (г) на две равные части. Дело в том, что у трех (и более) атомных молекул число степеней свободы, приходящихся на поступательное и враща тельное движение, одинаково (по 3), поэтому энергии поступатель ного и вращательного движений одинаковы. В данном случае <еп> = <евр> = f = 1 ^ 1 ° Дж = 6.21 • 1 0 - Дж. Задачи Концентрация молекул 9.1. В сосуде вместимостью V= \2 л находится газ, число N молекул которого равно 1,44-1018. Определить концентрацию п молекул газа. 124 9.2. Определить вместимость V сосуда, в котором находится газ, если концентрация молекул лг= 1,25 •1026 м~3, а общее их число М =2,5 -1023. 9.3. В сосуде вместимостью У=20 л находится газ количеством вещества v = 1,5 кмоль. Определить концентрацию п молекул в сосуде. 9.4. Идеальный газ находится при нормальных условиях в за крытом сосуде. Определить концентрацию п молекул газа. 9.5. В сосуде вместимостью V = 5 л находится кислород, кон центрация п молекул которого равна 9,41 -1023 м_3. Определить массу т газа. 9.6. В баллоне вместимостью У =5 л находится азот массой т= = 17,5 г. Определить концентрацию п молекул азота в баллоне. 9.7. Определить количество вещества v водорода, заполняющего сосуд вместимостью У =3 л, если концентрация п молекул газа в сосуде равна 2 -1018 м_3. 9.8. В двух одинаковых по вместимости сосудах находятся раз ные газы: в первом — водород, во втором — кислород. Найти от ношение njtiz концентраций газов, если массы газов одинаковы. 9.9. Газ массой т = 58,5 г находится в сосуде вместимостью V= = 5 л. Концентрация п молекул газа равна 2,2 -1026 м~3. Какой это газ? 9.10. В баллоне вместимостью V = 2 л находится кислород мас сой т= 1,17 г. Концентрация п молекул в сосуде равна 1,1 -1025 м _3. Определить по этим данным постоянную Авогадро NА. 9.11. В баллоне находится кислород при нормальных условиях. При нагревании до некоторой температуры часть молекул оказа лась диссоциированной на атомы. Степень диссоциации а = 0 ,4 . Определить концентрации частиц: 1) пг — до нагревания газа; 2) п 2 — молекулярного кислорода после нагревания; 3) пъ — ато марного кислорода после нагревания. Основное уравнение кинетической теории газов. Энергия молекул 9.12. Определить концентрацию п молекул идеального газа при температуре 7= 300 К и давлении р = 1 мПа. 9.13. Определить давление р идеального газа при двух значени ях температуры газа: 1) 7 = 3 К; 2) 7 = 1 кК. Принять концентра цию п молекул газа равной ~ 1019 см-3. 9.14. Сколько молекул газа содержится в баллоне вместимостью У=30 л при температуре 7= 300 К и давлении /? = 5 МПа? 9.15. Определить количество вещества v и концентрацию п молекул газа, содержащегося в колбе вместимостью К=240 см3 при температуре 7 = 290 К и давлении /7=50 кПа. 9.16. В колбе вместимостью У=100 см3 содержится некоторый газ при температуре 7 = 300 К. На сколько понизится давление р газа в колбе, если вследствие утечки из колбы выйдет М = 1020 мо лекул? 125 9.17. В колбе вместимостью V =240 см3 находится газ при тем пературе 7= 290 К и давлении /7=50 кПа. Определить количество вещества v газа и число N его молекул. 9.18. Давление р газа равно 1 мПа, концентрация п его молекул равна 1010 см"3. Определить: 1) температуру 7 газа; 2) среднюю ки нетическую энергию <еп> поступательного движения молекул газа. 9.19. Определить среднюю кинетическую энергию <еп> поступа тельного движения и среднее значение <е> полной кинетической энергии молекулы водяного пара при температуре 7= 6 0 0 К. Най ти также кинетическую энергию W поступательного движения всех молекул пара, содержащего количество вещества v = l кмоль. 9.20. Определить среднее значение <е> полной кинетической энергии одной молекулы гелия, кислорода и водяного пара при температуре 7= 400 К. 9.21. Определить кинетическую энергию <8Х>, приходящуюся в среднем на одну степень свободы молекулы азота, при температуре 7 = 1 кК, а также среднюю кинетическую энергию <еп> поступатель ного движения, <евр> вращательного движения и среднее значение полной кинетической энергии <s> молекулы. 9.22. Определить число N молекул ртути, содержащихся в воздухе объемом V= \ м3 в помещении, зараженном ртутью, при температуре /= 20 °С, если давление р насыщенного пара ртути при этой температуре равно 0,13 Па. 9.23. Для получения высокого вакуума в стеклянном сосуде необходимо прогревать его при откачке с целью удалить адсорби рованные газы. Определить, на сколько повысится давление в сфе рическом сосуде радиусом R = 10 см, если все адсорбированные мо лекулы перейдут со стенок в сосуд. Слой молекул на стенках считать мономолекулярным, сечение а одной молекулы равно 10~15 см2. Температура 7, при которой производится откачка, равна 600 К. 9.24. Определить температуру 7 водорода, при которой средняя кинетическая энергия <еп> поступательного движения молекул до статочна для их расщепления на атомы, если молярная энергия диссоциации водорода Wm= 419 кДж/моль. Примечание. Молярной энергией диссоциации называется энергия, за трачиваемая на диссоциацию всех молекул газа количеством вещества v= = 1 моль. Скорости молекул 9.25. Найти среднюю квадратичную <икв>, среднюю арифмети ческую <и> и наиболее вероятную vB скорости молекул водорода. Вычисления выполнить для трех значений температуры: 1) 7 = 2 0 К; 2) 7= 300 К; 3) 7 = 5 кК. 9.26. При какой температуре 7 средняя квадратичная скорость атомов гелия станет равной второй космической скорости и2= = 11,2 км/с? 9.27. При какой температуре 7 молекулы кислорода имеют такую же среднюю квадратичную скорость <икв>, как молекулы водорода при температуре 7 Х= 100 К? 126 9.28. Колба вместимостью К =4 л содержит некоторый газ массой /72= 0,6 г под давлением /7= 200 кПа. Определить среднюю квадра тичную скорость <икв> молекул газа. 9.29. Смесь гелия и аргона находится при температуре Т = 1,2 кК. Определить среднюю квадратичную скорость <цкв> и среднюю кине тическую энергию атомов гелия и аргона. 9.30. Взвешенные в воздухе мельчайшие пылинки движутся так, как если бы они были очень крупными молекулами. Определить среднюю квадратичную скорость <цкв> пылинки массой пг= 10“10 г, если температура Т воздуха равна 300 К. 9.31. Во сколько раз средняя квадратичная скорость <икв> моле кул кислорода больше средней квадратичной скорости пылинки массой пг= 10-8 г, находящейся среди молекул кислорода? 9.32. Определить среднюю арифметическую скорость <и> молекул газа, если их средняя квадратичная скорость < а кв> = 1 к м / с . 9.33. Определить наиболее вероятную скорость vB молекул водо рода при температуре 7 = 400 К. § 10. ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ Основные формулы • Распределение Больцмана (распределение частиц в силовом поле) п = п0е - и/(кТ\ где п — концентрация частиц; U — их потенциальная энергия; п0 — концентрация частиц в точках поля, где U—0; k — постоян ная Больцмана; Т — термодинамическая температура; е — основа ние натуральных логарифмов. • Барометрическая формула (распределение давления в одно родном поле силы тяжести) р =-. p 0Q - m g z / ( k T ) f или р _ р 0е “ M g z / ( R Т)^ где р — давление газа; m — масса частицы; М — молярная масса; z — координата (высота) точки по отношению к уровню, принятому за нулевой; р0 — давление на этом уровне; g — ускорение свобод ного падения; R — молярная газовая постоянная. 9 Вероятность того, что физическая величина х, характери зующая молекулу, лежит в интервале значений от х до x + d x , определяется по формуле d W (х) = f (x) dx*, где f(x ) — функция распределения молекул по значениям данной физической величины х (плотность вероятности). • Количество молекул, для которых физическая величина х, характеризующая их, заключена в интервале значений от х до x+ dx, dN =N dW (x) = Nf(x)dx. * Приведенная формула выражает также долю молекул, для которых физическая величина х заключена в интервале от х до x+ dx. 127 • Распределение Максвелла (распределение молекул по ско ростям) выражается двумя соотношениями: а) число молекул, скорости которых заключены в пределах от v до v+dv , dN (v) = N f (v) dv = AnN { e-"K’f-,<**7V do, где f(v) — функция распределения молекул по модулям скоростей, выражающая отношение вероятности того, что скорость молекулы лежит в интервале от v до v+dv, к величине этого интервала, а также долю числа молекул, скорости которых лежат в указанном интервале; N — общее число молекул; т — масса молекулы; б) число молекул, относительные скорости которых заключены в пределах от и до u+du, dN (и) = Nf (и) dи = - у -r Ne~ц2 u2du, Уп где u=v!vB — относительная скорость, равная отношению скорости v к наивероятнейшей скорости vB (о скоростях молекулы см. §9); f(u ) — функция распределения по относительным скоростям. • Распределение молекул по импульсам. Число молекул, им пульсы которых заключены в пределах от р до p+dp, dN (p) = Nf(p) dp=AnN ( 2nmkT У * ^~pRimkT) P2 dp, где f(p ) — функция распределения по импульсам. • Распределение молекул по энергиям. Число молекул, энер гии которых заключены в интервале от е до 8+ds, dN (г) = Nf (е) de = 9 e -e/(kT) de, где /(e) — функция распределения по энергиям. Ф Среднее значение * физической величины х в общем случае \ xf (х) dx ^ = f(x)dx 9 а в том случае, если функция распределения нормирована на еди ницу, <х> = J xf (х) dx, где /(х) — функция распределения, а интегрирование ведется по всей совокупности изменений величины х. Например, среднее значение скорости молекулы (т. е. средняя СО арифметическая скорость) <w> = ^ vf (v) dv; средняя квадратичная о оо скорость <укв>=< у2>1/2, где <и2> = J v2f(v)dv\ средняя кинетическая о энергия поступательного движения молекулы <е> = J е/ (е) de. _________ о • Интегралы для вычисления средних значений приведены в табл. 2. 128 • Среднее число соударений, испытываемых одной молекулой газа в единицу времени, <z> = V 2 n d 2 п <ц>, где d — эффективный диаметр молекулы; п — концентрация моле кул; (v) — средняя арифметическая скорость молекул. © Средняя длина свободного пробега молекул газа = ------- . V 2nd2n @ Импульс (количество движения), переносимый молекулами из одного слоя газа в другой через элемент поверхности, d/, = 'n 1 7 A Sd^’ где iq— динамическая вязкость газа; ~ — градиент (поперечный) скорости течения его слоев; AS — площадь элемента поверхности; dt — время переноса. @ Динамическая вязкость Т1=1/ Зр(у)(/), где р — плотность газа (жидкости); (о) — средняя скорость хаоти ческого движения его молекул; (/> — их средняя длина свободного пробега. @ Закон Ньютона где F — сила внутреннего трения между движущимися слоями газа. © Закон Фурье A« “ - l T 7 S 4 ' ’ где AQ — теплота, прошедшая посредством теплопроводности через сечение площадью S за время А/; к — теплопроводность; — градиент температуры. © Теплопроводность (коэффициент теплопроводности) газа к = 1/3cvp<v> или k, ^ 1l6kn<^vy </>, где Су — удельная теплоемкость газа при постоянном объеме; р — плотность газа; (v) — средняя арифметическая скорость его молеку лы; И) — средняя длина свободного пробега молекул. ® Закон Фика Ат = — D ^ m,S А/, где Ат — масса газа, перенесенная в результате диффузии через поверхность площадью S за время At ; D — диффузия (коэффициент диффузии); ~ — градиент концентрации молекул; тг —- масса од ной молекулы. © Диффузия (коэффициент диффузии) D = 7з <у> </>. 5 № 1268 129 Примеры решения задач Пример 1. Пылинки массой т= 10-18 г взвешены в воздухе. Определить толщину слоя воздуха, в пределах которого концентра ция пылинок различается не более чем на 1 %. Температура Т воздуха во всем объеме одинакова и равна 300 К. Р е ш е н и е . При равновесном распределении пылинок кон центрация их зависит только от координаты г по оси, направленной вертикально. В этом случае к распределению пылинок можно при менить формулу Больцмана n = n0e~u/(kTK (1) Так как в однородном поле силы тяжести U =~-mgz, то n = n0e~mgz/{kTK (2) По условию задачи, изменение Ап концентрации с высотой мало по сравнению с п (Ллг/лг=0,01), поэтому без существенной погреш ности изменение концентрации Ап можно заменить дифференциа лом dn. Дифференцируя выражение (2) по z, получим dn = — n0 - ^ - e - m^ r >dz. Так как n0e~mgzl{kT)= n f то dn = — ndz. Отсюда находим интересующее нас изменение координаты: ^ _ kT dп mg п Знак минус показывает, что положительным изменениям координа ты (dz>0) соответствует уменьшение относительной концентрации (dn< 0). Знак минус опустим (в данном случае он несуществен) и заменим дифференциалы dz и d/г конечными приращениями Az и Ап: Л kT Лп mg п Подставим в эту формулу значения величин Дп/п=0,01, k — = 1,38-10~23 Дж/К, Т=300 К, m= 10"21 к г , £ = 9 , 8 1 м/с2 и, произведя вычисления, найдем Az = 4,23 мм. Как видно из полученного результата, концентрация даже таких маленьких пылинок (т= 10"18 г) очень быстро изменяется с высотой. Пример 2. В сосуде содержится газ, количество вещества v которого равно 1,2 моль. Рассматривая этот газ как идеальный, определить число АN молекул, скорости v которых меньше 0,001 наиболее вероятной скорости ив. Р е ш е н и е . Для решения задачи удобно воспользоваться рас пределением молекул по относительным скоростям и (п= у/ув). Число d N (и) молекул, относительные скорости и которых заключе но ны в пределах от и до du, определяется формулой dN (и) = У я e~“V du, (1 ) где N — полное число молекул. По условию задачи, максимальная скорость интересующих нас молекул tWÔjOOl vB) откуда umax=vmaJvB=0,00l. Для таких значений и выражение (1) можно существенно упростить. В самом деле, для w<C1 имеем е~и2 ~ 1— и2. Пренебрегая значением и2= = (0,001)2= 10“6 по сравнению с единицей, выражение (1) запишем в виде 4дг dN(u) = -tp=rU*du. (2) Уя Интегрируя это выражение по и в пределах от 0 до итах, получим AN AN — ах, или AN = dи — иW -n (3) Y я J Vh 3V Выразив в (3) число молекул N через количество вещества и постоянную Авогадро, найдем расчетную формулу: AN А ■30 ,/— “-max* У я (4) Подставим в (4) значения величин v, NA и произведем вычисле ния: д.г 4.1,2-6,02.1023 ДА/ = ----- зТр77-----(Ю ) молекул = 5,4 4 -1014 молекул. Пример 3. Зная функцию f(p) распределения молекул по импуль сам, определить среднее значение квадрата импульса (р 2). Р е ш е н и е . Среднее значение квадрата импульса (р 2) можно определить по общему правилу вычисления среднего: 00 со <Р2> = \ p 2f (Р) dp/ 5 / (р) dp • (1) 6 о Функция распределения молекул по импульсам имеет вид ?(Р) = 4 л ( 2 К ш У 2е~р2/иткГ>Р2(2) Эта функция распределения уже нормирована на единицу, т. е. 00 § f ( p ) d p = 1. С учетом нормировки формулу (1) перепишем иначе: о 00 <Р2> = $ P2f (р) dp. (3) О Подставим выражение f(p) по уравнению (2) в формулу (3) и выне сем величины, не зависящие от р, за знак интеграла; со <р2>= 4л ( S i f ) ^ J p4e - * v < « dp. О 5* 131 Этот интеграл можно свести к табличному (см. табл. 2) \ х*е~ах‘ dx = -jj- Vпа~ 5/2 положив а= 1 • В нашем случае это даст <р2> = 4я 1 \ S / 2 2лm k T J 3 ( 1 \ “ 5/ 2 n \2mkTJ После упрощений и сокращений найдем {p2)=3mkT. Пример 4. Средняя длина свободного пробега (/> молекулы угле кислого газа при нормальных условиях равна 40 нм. Определить среднюю арифметическую скорость <и> молекул и число г соударе ний, которые испытывает молекула в 1 с. Р е ш е н и е . Средняя арифметическая скорость молекул опре деляется по формуле <vy = V8R TlnM , где М — молярная масса вещества. Подставив числовые значения, получим (^>=362 м/с. Среднее число {г) соударений молекулы в 1 с определяется отно шением средней скорости (v) молекулы к средней длине ее свобод ного пробега (/): (z) = (v)/(l). Подставив в эту формулу значения <^>=362 м/с, (/>=40 нм= = 4 -10~8 м, получим < z > = 9,05 • 10° С " 1. Пример 5. Два тонкостенных коаксиальных цилиндра длиной /= 10 см могут свободно вращаться вокруг их общей оси z. Радиус R большого цилиндра равен 5 см. Между цилиндрами имеется зазор размером d = 2 мм. Оба цилиндра находятся в воздухе при нормаль ных условиях. Внутренний цилиндр приводят во вращение с посто янной частотой лгх=20 с-1. Внешний цилиндр заторможен. Опреде лить, через какой промежуток времени с момента освобождения внешнего цилиндра он приобретет частоту вращения п2=1 с " 1. При расчетах изменением относительной скорости цилиндров пре небречь. Масса т внешнего цилиндра равна 100 г. Р е ш е н и е . При вращении внутреннего цилиндра слой воз духа увлекается им и начинает участвовать во вращательном движе нии. Вблизи поверхности этого цилиндра слой воздуха приобретает со временем практически такую же линейную скорость, как и ско рость точек на поверхности цилиндра, т. е. v=2nth (R—d). Так как d<^.R, то приближенно можно считать vtt2nn1R. ( 1) Вследствие внутреннего трения момент импульса передается соседним слоям газа и в конечном счете внешнему цилиндру. За 132 интервал времени At внешний цилиндр приобретает момент импуль са L=pR, где р — импульс, полученный за А/ внешним цилинд ром. Отсюда р=Ш . (2) С другой стороны, p = T i-aFSA *. (3) где г) — динамическая вязкость; — градиент скорости; S — площадь поверхности цилиндра (S=2nR l ). Приравняв правые части выражений (2) и (3) и выразив из полу ченного равенства искомый интервал At, получим At (4) \R % s Найдем входящие в эту формулу величины L, и S. Момент импульса L = J со2, где J — момент инерции цилиндра {J = mR2)\ т — его масса; со2 — угловая скорость внешнего цилиндра (со2= = 2шг2). С учетом этого запишем L = m R 2-2nn2=2nmR2n2. di' Градиент скорости -jj= = -j= = -j. Площадь цилиндра равна 5 = —2nRl. Подставив в (4) выражения L, , S, получим At mdn2 T[vl Заменив здесь v по (1), найдем Л/ _ mdr>2 (5) 2л r\Rltii Динамическая вязкость воздуха ц = 17,2 мкПа-с = 1,72* 10"5Па-с (см. табл. 14). Подставив в (5) значения входящих в нее величин и произведя вычисления, получим д 100-10 — 3- 2 - 10“ 3-1 1Я - ~~ 2.3,14-1,72.10--.5 - 1 0 - М 0 .10-2.2 0 С“ 16,D С* Пример 6. Барометр в кабине летящего самолета все время по казывает одинаковое давление р :79 кПа, благодаря чему летчик считает высоту hx полета неизменной. Однако температура воздуха за бортом самолета изменилась с t = 5 °С до t= 1 °С. Какую ошибку Ah в определении высоты допустил летчик? Давление р0 у поверх ности Земли считать нормальным. Р е ш е н и е . Для решения задачи воспользуемся барометри ческой формулой р —p0e~Mgh/(RTK 133 Барометр может показывать неизменное давление р при раз личных температурах Тг и Т 2 за бортом только в том случае, если самолет находится не на высоте h (которую летчик считает неизмен ной), а на некоторой другой высоте h2. Запишем барометрическую формулу для этих двух случаев: р = p^-M gh,K R T r> р = p oQ - M g h 2! ( R T 2) t Найдем отношение p j p и обе части полученного равенства про логарифмируем: in P o _ M g h i . 1 р ~ RTi ' in Po _ _ Mgh2 111 р RT 2 * Из полученных соотношений выразим высоты Н2 и hx и найдем их разность: A h ^ h . - h , = — ^ о/р) (Тг— Т х). (1) Проверим, дает ли правая часть равенства (1) единицу длины: [7] [ 7 ] [М] [g] [1 Дж/(моль•/С)]- К (1 кг/моль).(м/с2) 1 Дж _ 1 1Н * Подставим в (1) значения величин (давления в отношении p j p можно выразить в килопаскалях, это не повлияет на окончательный результат): АЛ 8,31* In (101/79) (1 — 5) м = —28,5 м. 29* 10 —3*9,8 Знак «—» означает, что h2< h 1и, следовательно, самолет снизился на 28,5 м по сравнению с предполагаемой высотой. Задачи Распределение Больцмана 10.1. Пылинки, взвешенные в воздухе, имеют массу m= 10"18 г. Во сколько раз уменьшится их концентрация п при увеличении высоты на A/i=10 м? Температура воздуха 7 = 300 К. 10.2. Одинаковые частицы массой т= 10“ 12 г каждая распреде лены в однородном гравитационном поле напряженностью G = = 0,2 мкН/кг. Определить отношение n j n 2 концентраций частиц, находящихся на эквипотенциальных уровнях, отстоящих друг от друга на Az= 10 м. Температура 7 во всех слоях считается одинако вой и равной 290 К. 10.3. Масса т каждой из пылинок, взвешенных в воздухе, рав на 1 аг. Отношение концентрации пх пылинок на высоте /гг= 1 м к концентрации п0 их на высоте h0=0 равно 0,787. Температура воз духа 7= 300 К. Найти по этим данным значение постоянной Авогадро Na. 10.4. Определить силу 7, действующую на частицу, находящую ся во внешнем однородном поле силы тяжести, если отношение n j n % 134 концентраций частиц на двух уровнях, отстоящих друг от друга на A z=l м, равно е. Температуру Т считать везде одинаковой и равной 300 К. 10.5. На сколько уменьшится атмосферное давление р = 100 кПа при подъеме наблюдателя над поверхностью Земли на высоту /г— = 100 м? Считать, что температура Т воздуха равна 290 К и не из меняется с высотой. 10.6. На какой высоте /г над поверхностью Земли атмосферное давление вдвое меньше, чем на ее поверхности? Считать, что темпе ратура Т воздуха равна 290 К и не изменяется с высотой. 10.7. Барометр в кабине летящего вертолета показывает давле ние р —90 кПа. На какой высоте h летит вертолет, если на взлетной площадке барометр показывал давление /?0=100 кПа? Считать, что температура Т воздуха равна 290 К и не изменяется с высотой. 10.8. Найти изменение высоты Л/г, соответствующее изменению давления на А/?= 100 Па, в двух случаях: 1) вблизи поверхности Земли, где температура 7\= 290 К, давление /?!=100 кПа; 2) на некоторой высоте, где температура Г 2= 220 К, давление р2= 25 кПа. 10.9. Барометр в кабине летящего самолета все время показыва ет одинаковое давление р = 80 кПа, благодаря чему летчик считает высоту h полета неизменной. Однако температура воздуха измени лась на ДГ = 1 К. Какую ошибку Л/г в определении высоты допустил летчик? Считать, что температура не зависит от высоты и что у по верхности Земли давление р0= 100 кПа. 10.10. Ротор центрифуги вращается с угловой скоростью со. Используя функцию распределения Больцмана, установить распре деление концентрации п частиц массой т , находящихся в роторе центрифуги, как функцию расстояния г от оси вращения. 10.11. В центрифуге с ротором радиусом а , равным 0,5 м, при температуре Т = 300 К находится в газообразном состоянии вещест во с относительной молекулярной массой Мг= 1 0 3. Определить от ношение n j n 0 концентраций молекул у стенок ротора и в центре его, если ротор вращается с частотой п = 30 с -1. 10.12. Ротор центрифуги, заполненный радоном, вращается с частотой я = 5 0 с “1. Радиус а ротора равен 0,5 м. Определить давле ние р газа на стенки ротора, если в его центре давление р0 равно нормальному атмосферному. Температуру Т по всему объему счи тать одинаковой и равной 300 К. 10.13. В центрифуге находится некоторый газ при температуре Т=271 К. Ротор центрифуги радиусом а = 0,4 м вращается с угловой скоростью со=500 рад/с. Определить относительную молекулярную массу М т газа, если давление р у стенки ротора в 2,1 раза больше давления р0 в его центре. 10.14. Ротор ультрацентрифуги радиусом а= 0 ,2 м заполнен ато марным хлором при температуре Т = 3 кК. Хлор состоит из двух изотопов: 37С1 и 35С1. Доля wx атомов изотопа 37С1 составляет 0,25. Определить доли w[ и w\ атомов того и другого изотопов вблизи стенок ротора, если ротору сообщить угловую скорость вращения <*>, равную 104 рад/с. 135 Распределение молекул по скоростям и импульсам 10.15. Зная функцию распределения молекул по скоростям, вы вести формулу наиболее вероятной скорости vB. 10.16. Используя функцию распределения молекул по скоростям, получить функцию, выражающую распределение молекул по отно сительным скоростям и (u=v/vB). 10.17. Какова вероятность W того, что данная молекула идеаль ного газа имеет скорость, отличную от 1I2vB не более чем на 1 %? 10.18. Найти вероятность W того, что данная молекула идеаль ного газа имеет скорость, отличную от 2vB не более чем на 1 %. 10.19. Зная функцию распределения молекул по скоростям, вывести формулу, определяющую долю w молекул, скорости v которых много меньше наиболее вероятной скорости vB. 10.20. Определить относительное число w молекул идеального газа, скорости которых заключены в пределах от нуля до одной сотой наиболее вероятной скорости vB. 10.21. Зная функцию распределения молекул по скоростям, оп ределить среднюю арифметическую скорость {v) молекул. 10.22. По функции распределения молекул по скоростям опре делить среднюю квадратичную скорость (vKB). 10.23. Определить, какая из двух средних величин, (l/v) или. 1>(и), больше, и найти их отношение k. 10.24. Распределение молекул по скоростям в молекулярных пучках при эффузионном истечении * отличается от максвелловско го и имеет вид f (v)dv=Cv3e~mv2^ 2kT) v*&v. Определить из условия нормировки коэффициент С. 10.25. Зная функцию распределения молекул по скоростям в Ар некотором молекулярном пучке f ( v ) = ^ Y i e ^ mv2^ 2kT) Vs} найти вы ражения для: 1) наиболее вероятной скорости vB; 2) средней ариф метической скорости (v ). 10.26. Водород находится при нормальных условиях и занимает объем V= l см3. Определить число N молекул в этом объеме, обла дающих скоростями, меньшими некоторого значения vmax= l м/с. 10.27. Вывести формулу наиболее вероятного импульса рв моле кул идеального газа. 10.28. Найти число N молекул идеального газа, которые имеют импульс, значение которого точно равно наиболее вероятному значению рв. 10.29. Вывести формулу, определяющую среднее значение ком понента импульса (рх) молекул идеального газа. 10.30. На сколько процентов изменится наиболее вероятное * Эффузионным называется истечение газов через отверстия, малые гю сравнению с длиной свободного пробега молекулы. 136 значение рв импульса молекул идеального газа при изменении тем пературы на один процент? 10.31. Найти выражение для импульса молекул идеального газа, энергии которых равны наиболее вероятному значению энергии. Распределение молекул по кинетическим энергиям 10.32. Найти выражение средней кинетической энергии (еп> поступательного движения молекул. Функцию распределения моле кул по энергиям считать известной. 10.33. Преобразовать формулу распределения молекул по энер гиям в формулу, выражающую распределение молекул по относи тельным энергиям со (со= еп/(еп>), где sn — кинетическая энергия; (еп) — средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул. 10.34. Определить долю w молекул идеального газа, энергии которых отличаются от средней энергии (еп) поступательного движе ния молекул при той же температуре не более чем на 1 %. 10.35. Вывести формулу, определяющую долю w молекул, энер гия 8 которых много меньше kT. Функцию распределения молекул по энергиям считать известной. 10.36. Определить долю w молекул, энергия которых заключена в пределах от ег =0 до e2=0,01fe7\ 10.37. Число молекул, энергия которых заключена в пределах от нуля до некоторого значения е, составляет 0,1 % от общего числа молекул. Определить величину 8 в долях kT. 10.38. Считая функцию распределения молекул по энергиям известной, вывести формулу, определяющую долю w молекул, энер гия 8 которых много больше энергии теплового движения молекул. 10.39. Число молекул, энергия которых выше некоторого зна чения 8Ь составляет 0,1 от общего числа молекул. Определить вели чину 8Хв долях k T , считая, что e{^>kT. Указание. Получающееся трансцендентное уравнение решить графически, 10.40. Используя функцию распределения молекул по энергиям, определить наиболее вероятное значение энергии ев. 10.41. Преобразовать функцию /(e)de распределения молекул по кинетическим энергиям в функцию/(0)d0 распределения молекул по относительным кинетическим энергиям (где 0= е/ев; ев — наибо лее вероятное значение кинетической энергии молекул). 10.42. Найти относительное число w молекул идеального газа, кинетические энергии которых отличаются от наиболее вероятного значения гв энергии не более чем на 1 %. 10.43. Определить относительное число w молекул идеального газа, кинетические энергии которых заключены в пределах от нуля До значения, равного 0,01 ев (ев — наиболее вероятное значение кинетической энергии молекул). 137 10.44. Найти выражение для кинетической энергии молекул идеального газа, импульсы которых имеют наиболее вероятное значение рв. 10.45. Во сколько раз изменится значение максимума функции /(е) распределения молекул идеального газа по энергиям, если тем пература 7 газа увеличится в два раза? Решение пояснить графи ком. 10.46. Определить, во сколько раз средняя кинетическая энергия (бп) поступательного движения молекул идеального газа отлича ется от наиболее вероятного значения еп кинетической энергии по ступательного движения при той же температуре. Длина свободного пробега и число столкновений молекул 10.47. Найти среднюю длину свободного пробега (/> молекул водорода при давлении /7=0,1 Па и температуре 7 = 1 0 0 К. 10.48. При каком давлении р средняя длина свободного пробега (/) молекул азота равна 1 м, если температура 7 газа равна 300 К? 10.49. Баллон вместимостью У=10 л содержит водород массой m = 1 г. Определить среднюю длину свободного пробега (/) моле кул. 10.50. Можно ли считать вакуум с давлением /7=100 мкПа высо ким, если он создан в колбе диаметром d = 20 см, содержащей азот, при температуре 7= 280 К? 10.51. Определить плотность р разреженного водорода, если средняя длина свободного пробега (/> молекул равна 1 см. 10.52. Найти среднее число (г) столкновений, испытываемых з течение /= 1 с молекулой кислорода при нормальных условиях. 10.53. Найти число N всех соударений, которые происходят в течение t= 1 с между всеми молекулами водорода, занимающего при нормальных условиях объем V= 1 мм3. 10.54. В газоразрядной трубке находится неон при температуре 7 = 300 К и давлении /7=1 Па. Найти число N атомов неона, уда ряющихся за время Л /= 1 с о катод, имеющий форму диска площа дью S = 1 см2. 10.55. Найти среднюю продолжительность (т) свободного про бега молекул кислорода при температуре 7 = 2 5 0 К и давлении /?= 100 Па. 10.56. Найти зависимость средней длины свободного пробега (/) молекул идеального газа от давления р при следующих процес сах: 1) изохорном; 2) изотермическом. Изобразить эти зависимости на графиках. 10.57. Найти зависимость средней длины свободного пробега (/) молекул идеального газа от температуры 7 при следующих процессах: 1) изохорном; 2) изобарном. Изобразить эти зависимости на графиках. 10.58. Найти зависимость среднего числа столкновений (г) моле кулы идеального газа в 1 с от давления р при следующих процес 138 сах: 1) изохор ном; 2) изотермическом. Изобразить эти зависимости на графиках. 10.59. Найти зависимость среднего числа столкновений (г) моле кулы идеального газа в 1 с от температуры Т при следующих про цессах: 1) изохорном; 2) изобарном. Изобразить эти зависимости на графиках. Деления переноса: диффузия, вязкость, теплопроводность 10.60. Средняя длина свободного пробега (/) атомов гелия при нормальных условиях равна 180 нм. Определить диффузию D гелия. 10.61. Диффузия D кислорода при температуре t=0 °С равна 0,19 см2/с. Определить среднюю длину свободного пробега (/) моле кул кислорода. 10.62. Вычислить диффузию D азота: 1) при нормальных услови ях; 2) при давлении /7=100 Па и температуре Г=300 К. 10.63. Определить, во сколько раз отличается диффузия Dx га зообразного водорода от диффузии D 2 газообразного киелорода, если оба газа находятся при одинаковых условиях. 10.64. Определить зависимость диффузии D от температуры Т при следующих процессах: 1) изобарном; 2) изохорном. 10.65. Определить зависимость диффузии D от давления р при следующих процессах: 1) изотермическом; 2) изохорном. 10.66. Вычислить динамическую вязкость г) кислорода при нор мальных условиях. 10.67. Найти среднюю длину свободного пробега (/> молекул азота при условии, что его динамическая вязкость т] = 17 мкПа-с. 10.68. Найти динамическую вязкость г) гелия при нормальных условиях, если диффузия D при тех же условиях равна 1,06Х X 10"4 м2/с. 10.69 Определить зависимость динамической вязкости ц от тем пературы Т при следующих процессах: 1) изобарном; 2) изохорном. Изобразить эти зависимости на графиках. 10.70. Определить зависимость динамической вязкости г\ от дав ления р при следующих процессах: 1) изотермическом; 2) изохор ном. Изобразить эти зависимости на графиках. 10.71. Цилиндр радиусом R x= 10 см и длиной /= 3 0 см располо жен внутри цилиндра радиусом 2= 10,5 см так, что оси обоих цилиндров совпадают. Малый цилиндр неподвижен, большой вра щается относительно геометрической оси с частотой п= 15 с -1. Дина мическая вязкость т] газа, в котором находятся цилиндры, равна 8,5 мкПа-с. Определить: 1) касательную силу FXi действующую на поверхность внутреннего цилиндра площадью 5 = 1 м2; 2) вращаю щий момент М, действующий на этот цилиндр. 10.72. Два горизонтальных диска радиусами /?=20 см располо жены друг над другом так, что оси их совпадают. Расстояние d между плоскостями дисков равно 0,5 см. Верхний диск неподвижен, 139 нижний вращается относительно геометрической оси с частотой дг=10с"1. Найти вращающий момент М, действующий на верхний диск. Динамическая вязкость ц воздуха, в котором находятся диски, равна 17,2 мкПа-с. 10.73. В ультраразреженном азоте, находящемся под давлени ем р= 1 мПа и при температуре 7= 300 К, движутся друг относи тельно друга две параллельные пластины со скоростью и= 1 м/с. Расстояние между пластинами не изменяется и много меньше сред ней длины свободного пробега молекул. Определить силу F внут реннего трения, действующую на поверхность пластин площадью S = 1 м2. 10.74. Вычислить теплопроводность к гелия при нормальных ус ловиях. 10.75. В приближенной теории явлений переноса получается со отношение к/ц=Су Более строгая теория приводит к значению к/ц=Ксу > где К — безразмерный коэффициент, равный (9у— —5)/4(у— показатель адиабаты). Найти значения К, вычисленные по приведенной формуле и по экспериментальным данным, приве денным в табл. 12, для следующих газов: 1) аргона; 2) водорода; 3) кислорода; 4) паров воды. 10.76. При нормальных условиях динамическая вязкость ц воздуха равна 17,2 мкПа-с. Найти для тех же условий теплопровод ность к воздуха. Значение К вычислить по формуле, приведенной в задаче 10.75. 10.77. Найти зависимость теплопроводности к от температуры Т при следующих процессах: 1) изобарном; 2) изохорном. Изобра зить эти зависимости на графиках. 10.78. Найти зависимость теплопроводности к от давления р при следующих процессах: 1) изотермическом; 2) изохорном. Изо бразить эти зависимости на графиках. 10.79. Пространство между двумя большими параллельными пластинами, расстояние d между которыми равно 5 мм, заполнено гелием. Температура Тг одной пластины поддерживается равной 290 К, другой — Г 2=310 К. Вычислить плотность теплового потока \q\. Расчеты выполнить для двух случаев, когда давление р гелия равно: 1) 0,1 МПа; 2) 1 МПа. § 11. ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ Основные формулы • Связь между молярной (Ст ) и удельной (с) теплоемкостями газа Ст =сМ , где М — молярная масса газа. ® Молярные теплоемкости * при постоянном объеме и постоян * Здесь и далее в целях упрощения записи в индексах обозначений молярной теплоемкости при постоянном давлении и постоянном объеме букву «гп» будем опускать. 140 ном давлении соответственно равны Cy — iRl 2; Ср = (i + 2) R/2, где i — число степеней свободы; R — молярная газовая постоян ная. 9 Удельные теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давлении соответственно равны i R CV — 2 M _ i+ 2 R CP ~ ~ ’ M 2 * 9 Уравнение Майера Ср—CV=R. 9 Показатель адиабаты СР Ср у = — , Су ’ * ИЛИ V = у=;— , 1 Су i+ 2 ИЛИ V = --- :— . I 1 © Внутренняя энергия идеального газа U=N{ b)9 или U = v C v T , где (е) — средняя кинетическая энергия молекулы; N — число молекул газа; v — количество вещества. 9 Работа, связанная с изменением объема газа, в общем случае вычисляется по формуле v2 А + р dV. V'i где V'i — начальный объем газа; V2 — его конечный объем. Работа газа: а) при изобарном процессе (p=const) A = p ( V 2- V 1); б) при изотермическом процессе (Theorist) A = -%rRT In v*. м Vi ’ в) при адиабатном процессе А = ^ С у ( Т г- Т ^ или А RTj m I где Тг — начальная температура газа; Т 2 — его конечная темпера тура. 9 Уравнение Пуассона (уравнение газового состояния при адиа батном процессе) pVv= const. ® Связь между начальным и конечным значениями параметров состояний газа при адиабатном процессе: p± = ( Y ± \ y. ! ± = ( X l V " 1- г 2 _ / р2 \<у-р/у Pi \ V a ) ’ Тх \ V 2J ' Т Г \ Pi) 9 Первое начало термодинамики в общем случае записывается в виде Q= A U + A , 141 где Q — количество теплоты, сообщенное газу; A U — изменение его внутренней энергии; А — работа, совершаемая газом против внешних сил. Первое начало термодинамики: а) при изобарном процессе С = Д(/ + Л = £ С УДГ + £ Я Д 7 = £ С „ Г ; б) при изохорном процессе 04=0) Q = A U ^ ^ C VAT; в) при изотермическом процессе (AU=0) Q -A -S .R T ta b , г) при адиабатном процессе (Q =0) A = - A U = — Z - C VAT. м v 9 Термический коэффициент полезного действия (КПД) цикла в общем случае Q1—Q2 где Qi — количество теплоты, полученное рабочим телом (газом) от нагревателя; Q2— количество теплоты, переданное рабочим телом охладителю. КПД цикла Карно Q1—Q2 или л Qi ’ где Тг — температура нагревателя; Т %— температура охладителя. • Изменение энтропии 9 где А и В — пределы интегрирования, соответствующие начально му и конечному состояниям системы. Так как процесс равновесный! то интегрирование проводится по любому пути. 9 Формула Больцмана S = k In W, где S — энтропия системы; W — термодинамическая вероятность ее состояния; k — постоянная Больцмана. Примеры решения задач Пример 1. Вычислить удельные теплоемкости неона и водорода при постоянных объеме (су) и давлении {ср), принимая эти газы за идеальные. 142 Р е ш е н и е . Удельные теплоемкости идеальных газов выра жаются формулами СУ ~ 2 М ’ i+ 2 R СР ~ 2 М * (О (2) Для неона (одноатомный газ) = 3 , +fi=20*10“3 кг/моль. Подставив в формулы (1) и (2) значения iu М г и R и произведя вычисления, найдем: £^ = 624 Д ж/( кг -/С); ^ = 1 , 0 4 кДж/(кг-/(). Для водорода (двухатомный газ) i2= 5, М 2= 2 ‘10“3 кг/моль. Вычисление по формулам (1) и (2) дает следующие значения удельных теплоемкостей водорода: 10,4 кД ж /(кг•/(); <+2= 14,6 кДж/(кг-К). Пример 2. Вычислить удельные теплоемкости cv и ср смеси неона и водорода. Массовые доли газов соответственно равны =0,8 и оу2=0,2. Значения удельных теплоемкостей газов взять из примера 1. Р е ш е н и е . Удельную теплоемкость смеси при постоянном объеме Су найдем из следующих рассуждений. Теплоту, необходи мую для нагревания смеси на АТ, выразим двумя соотношениями: Q = ^ ( m 1+ m 2)A7, (1) где cv — удельная теплоемкость смеси; т1 — масса неона; т2 — масса водорода, и Q = (cv m1+ cv m2)AT, (2) где Су1 и Су 2 — удельные теплоемкости неона и водорода соответст венно. Приравняв правые части выражений (1) и (2) и разделив обе части полученного равенства на АТ, найдем cv (т1+ т2) = Cy/ti! + cv m2, откуда с = г 1711 1 г 1712 v vi mi + m2 ^ v2 тх+ m2 Отношения w1=m 1/(m1-j-m2) и w2= m 2/ (тг-\-т2) выражают мас совые доли соответственно неона и водорода. С учетом этих обозна чений последняя формула примет вид Cy = Cv W1 + Cv W2. Подставив в эту формулу числовые значения величин, найдем С у = 2,58 кДж/(кг-К). Рассуждая таким же образом, получим формулу для вычисления удельной теплоемкости смеси при постоянном давлении: Cp = C p W t + C p W 2. Произведя вычисления по этой формуле, найдем ср=3,73 кДж/(кг-К). 143 Пример 3. Определить количество теплоты, поглощаемой водоро дом массой т = 0,2 кг при нагревании его от температуры /г= 0 °С до температуры ^2= 100 °С при постоянном давлении. Найти также изменение внутренней энергии газа и совершаемую им работу. Р е ш е н и е . Количество теплоты Q, поглощаемое газом при изобарном нагревании, определяется по формуле Q=mcpA T , (1) где т — масса нагреваемого газа; ср его удельная теплоемкость при постоянном давлении; АТ — изменение температуры газа. R Подставив это выражение ср в Как известно, ср *+ 2 М формулу (1), получим R АТ. Q = m - i +2 2 М Произведя вычисления по этой формуле, найдем Q=291 кДж. Внутренняя энергия выражается формулой U = -^-^-RT, сле довательно, изменение внутренней энергии A U = ^ R A T. После подстановки в эту формулу числовых значений величин и вычислений получим А£/=208 кДж. Работу расширения газа определим по формуле, выражающей первое начало термодинамики: Q =A £/+/1, откуда A=Q —AU. Подставив значения Q и Д£/, найдем А =83 кДж. Пример 4. Кислород занимает объем V! —-1 м3 и находится под давлением рг— =200 кПа. Газ нагрели сначала при по стоянном давлении до объема V2=3 м2, а затем при постоянном объеме до давления /?з=500 кПа. Построить график процесса и найти: 1) изменение A U внутренней энер гии газа; 2) совершенную им работу Л; 3) количество теплоты Q, переданное газу. Р е ш е н и е . Построим график процесса (рис. 11.1). На графике точками 1 , 2 , 3 обозначены состояния газа, характеризуемые пара метрами (ри Vu 7\), (/?!, V2, Т 2), (р2, V2, Т з). 1. Изменение внутренней энергии газа при переходе его из со стояния 1 в состояние 3 выражается формулой Аи=СутАТ, где cv — удельная теплоемкость газа при постоянном объеме; m — масса газа; АТ — разность температур, соответствующих конечному 144 i R 3 и начальному / состояниям, т. е. А Г = Т 3—7VTaK как cv — ~2~m ' где М — молярная масса газа, то A U = ^ R ( T 3- T1). (1) Температуры 7\ и Т 3выразим из уравнения Менделеева — Кла пейрона i^pv = r t \. т MpiVi . т 1 1 ~~ tnR ’ 3 Mp2V2 mR * С учетом этого равенство (1) перепишем в виде AU=(i/2) (p2V2- p xVx). Подставим сюда значения величин (учтем, что для кислорода, как двухатомного газа, i = 5) и произведем вычисления: А(7=3,25 МДж. 2. Полная работа, совершаемая газом, равна Л = Л х + Л 2, где А ± — работа на участке 1—2\ Л 2 — работа на участке 2—3. На участке 1—2 давление постоянно (/?=const). Работа в этом случае выражается формулой A 1= p 1&V=p1(V2— Vx). На участке 2—3 объем газа не изменяется и, следовательно, работа газа на этом участке равна нулю (Л2=0). Таким образом, A = A 1= p 1(V2- V 1). Подставив в эту формулу значения физических величин, произ ведем вычисления: Л =0,4 МДж 3. Согласно первому началу термодинамики, количество теплоты Q, переданное газу, равно сумме ра боты Л, совершенной газом, и изме нению A U внутренней энергии: Q=A + AU, или Q= 3,65 МДж. Пример 5. Идеальный двухатом ный газ, содержащий количество ве щества v = l моль, находится под дав лением рх= 250 кПа и занимает объем 1/х=10л. Сначала газ изохорно на гревают до температуры Т 2=400 К. Далее, изотермически расширяя, до водят его до первоначального давле ния. После этого путем изобарного сжатия возвращают газ в начальное состояние. Определить термический КПД х\ цикла. Р е ш е н и е . Для наглядности построим сначала график цикла, который состоит из изохоры, изотермы и изобары. В координатах р, V этот цикл имеет вид, представленный на рис. 11.2. Характерные точки цикла обозначим 7, 2, 3. 145 Термический КПД любого цикла определяется выражением T) = ( Q i — Q a V Q i. ИЛИ T] = l — Q j Q l t (1 ) где Qx — количество теплоты, полученное газом за цикл от нагре вателя; Q2 — количество теплоты, отданное газом за цикл охлади телю. Заметим, что разность количеств теплоты Qx—Q2 равна работе Л, совершаемой газом за цикл. Эта работа на графике в координа тах /?, V (рис. 11.2) изображается площадью цикла (площадь цикла заштрихована). Рабочее вещество (газ) получает количество теплоты на двух участках: Qx_2 на участке 1—2 (изохорный процесс) и Q2_3 на участке 2—3 (изотермический процесс). Таким образом, Qi — Q i-2 ~Ь Q2-зКоличество теплоты, полученное газом при изохорном процессе, равно Qi-2 “ Су 2 Т х), где Cv — молярная теплоемкость газа при постоянном объеме; v — количество вещества. Температуру Тг начального состояния газа найдем, воспользовавшись уравнением Клапейрона — Менде леева: Ti = PiVj(vR). Подставив числовые значения и произведя вычисления, получим к=зоок. Количество теплоты, полученное газом при изотермическом про цессе, равно Q2_3= v/?T2 1п (У2/Ух), где V 2 — объем, занимаемый газом при температуре Т 2 и давлении рх (точка 3 на графике). На участке 3—1 газ отдает количество теплоты Q2, равное Q2 = Qs- i = Cpv (Т2 Т х), где Ср — молярная теплоемкость газа при изобарном процессе. Подставим найденные значения Qx и Q2 в формулу (1): УСрРъ-Тх) 11~ 1 vCy (T2- T 1) + v R T 2 In (K2/V!) * В полученном выражении заменим отношение объемов V2IVi, со гласно закону Гей-Люссака, отношением температур \ у 21Уг= = Т 2/Тх) и выразим Cv и Ср через число степеней свободы молекулы [Cv =iR/2, Cp=(i+2)RI2]. Тогда после сокращения на v и R/2 получим _ 1 _______(t + 2 ) (Т2— Тх)_____ Л 1 ( Г 2 ~ Г 1 ) + 2 Г 2 1п ( Г 2/ Г х) • Подставив значения i , 7\, Т 2 и R и произведя вычисления, най дем Т1-1 146 (5 + 2) (400 — 300) = 0,041 = 4 ,1 %. 5 (400 — 300) + 2-400 In (400/300) Пример 6. В цилиндре под поршнем находится водород массой т = 0,02 кг при температуре Т г= 300 К. Водород начал расширяться адиабатно, увеличив свой объем в пять раз, а затем был сжат изо термически, причем объем газа уменьшился в пять раз. Найти тем пературу Т 2 в конце адиабатного расширения и работу Л, совершен ную газом. Изобразить процесс графически. Р е ш е н и е . Температуры и объемы газа, совершающего адиа батный процесс, связаны между собой соотношением 1± f l i V - 1 Тг \ т2) ’ где у — показатель адиабаты (для водорода как двухатомного газа Y =M ). Отсюда получаем выражение для конечной температуры Т 2: Подставляя числовые значения заданных величин, находим Прологарифмируем обе части полученного выражения: lg Т2= lg 300 + 0,4 (lg 1— lg 5) = 2,477 + 0,4 (— 0,699) = = 2,477— 0,280 = 2,197. Зная lg Т 2, по таблицам антилогарифмов находим искомое зна чение Т 2: Т 2-1 5 7 К. Работа А г газа при адиабатном расширении определяется по формуле Подставив сюда числовые значения величин, после вычисления получим _ 0,02 5 2 . 1 0 -3 2 •8,31 (300— 157) Дж = 29,8-103 Дж = 29,8 кДж. Работа А 2 газа при изотермическом сжатии выражается форму лой A 2= R T 2(mlM) In ( l y v y . Произведя вычисления по этой формуле, найдем А 2= —21 кДж. Знак минус показывает, что при сжатии газа работа совершена внешними силами. Общая работа, совершенная газом при рассмотренных процессах, А = А 1~\~А 2=29,8 к Д ж + (—21 кД ж )=8,8 кДж. График процесса приведен на рис. 11.3. Пример 7. Нагреватель тепловой машины, работающей по обра тимому циклу Карно, имеет температуру ^= 200 °С. Определить температуру Т 2 охладителя, если при получении от нагревателя 147 количества теплоты Qt = l Дж машина совершает работу Л =0,4 Дж? Потери на трение и теплоотдачу не учитывать. Р е ш е н и е . Температуру охладителя найдем, использовав выражение для термического КПД ма шины, работающей по циклу Карно, г\ = (Т1—Т 2)/Т1. Отсюда Тг=Тг (1-11). (1) Термический КПД тепловой машины выражает отношение количества тепло ты, которое превращено в механичес кою работу Л, к количеству теплоты Qx, которое получено рабочим телом тепло вой машины из внешней среды (от нагре вателя), т. е. т) = Л/Qi. Подставив это выражение в формулу (1), найдем T ^T ^l-A /Q J. (2) Учтя, что 7 \ = 473 К, после вычисления по формуле (2) получим Т 2=284 К. Пример 8. Найти изменение AS энтропии при нагревании воды массой т= 100 г от температуры ^ = 0 °С до температуры t2~ 100 °С и последующем превращении воды в пар той же температуры. Р е ш е н и е . Найдем отдельно изменение энтропии AS' при нагревании воды и изменение энтропии AS" при превращении ее в пар. Полное изменение энтропии выразится суммой AS' и AS". Как известно, изменение энтропии выражается общей формулой 2 a s = s 2— s 1 = C -^ -. (l) о При бесконечно малом изменении d Т температуры нагреваемого тела затрачивается количество теплоты dQ=mcdT, где m — масса тела; с — его удельная теплоемкость. Подставив выражение dQ в равенство (1), найдем формулу для вычисления изменения энтро пии при нагревании воды: mcdT Т~ ■ Вынесем за знак интеграла постоянные величины и произведем интегрирование, тогда получим AS'=mc In (T J T X). После вычислений найдем AS' = 132 Дж/К. При вычислении по формуле (1) изменения энтропии во время превращения воды в пар той же температуры постоянная температу148 pa T выносится за знак интеграла. Вычислив интеграл, найдем 2 AS' = -ir£ d Q = - £ , (2) где Q — количество теплоты, переданное при превращении нагре той воды в пар той же температуры. Подставив в равенство (2) выражение количества теплоты Q= =km, где к — удельная теплота парообразования, получим A = (3) Произведя вычисления по формуле (3), найдем AS"=605 Дж/К. Полное изменение энтропии при нагревании воды и последую щем превращении ее в пар AS = AS' + AS"=737 Дж/К. Пример 9. Определить изменение AS энтропии при изотермиче ском расширении кислорода массой т= 10 г от объема T/i=25 л до объема 1/2= 100 л. Р е ш е н и е . Так как процесс изотермический, то в общем вы2 ражеиии энтропии AS = S2— S ^ ^ ^ y - температуру выносят за 1 знак интеграла. Выполнив это, получим 2 A S = ^ jd Q = |- . (1) 1 Количество теплоты Q, полученное газом, найдем по первому началу термодинамики: Q=AU+A. Для изотермического процесса А/7=0, следовательно, Q=A, (2) а работа А для этого процесса определяется по формуле А = (т/М) RT IniVjV,). (3) С учетом (2) и (3) равенство (1) примет вид AS = (m/M) R In (VJVt). (4) Подставив в (4) числовые значения и произведя вычисления, по лучим AS = (10 -10~3/(32 -10“ 3)) *8,31 In (100 •10“ 7(25 -10“ 3)) Д ж /К =3,60 Дж/К. Задачи Теплоемкость идеального газа 11.1. Вычислить удельные теплоемкости cv и ср газов: 1) гелия; 2) водорода; 3) углекислого газа. 11.2. Разность удельных теплоемкостей ср—cv некоторого двух 149 атомного газа равна 260 Дж/(кг«К). Найти молярную массу М газа и его удельные теплоемкости cv и ср. 11.3. Каковы удельные теплоемкости cv и ср смеси газов, содер жащей кислород массой тх= 10 г и азот массой т 2= 20 г? 11.4. Определить удельную теплоемкость cv смеси газов, содер жащей V i=5 л водорода и V2=3 л гелия. Газы находятся при оди наковых условиях. 11.5. Определить удельную теплоемкость ср смеси кислорода и азота, если количество вещества * v± первого компонента равно 2 моль, а количество вещества v2 второго равно 4 моль. 11.6. В баллоне находятся аргон и азот. Определить удельную теплоемкость cv смеси этих газов, если массовые доли * аргона (wx) и азота (w2) одинаковы и равны оу=0,5. 11.7. Смесь газов состоит из хлора и криптона, взятых при оди наковых условиях и в равных объемах. Определить удельную тепло емкость ср смеси. 11.8. Определить удельную теплоемкость cv смеси ксенона и кислорода, если количества вещества * газов в смеси одинаковы и равны v. 11.9. Найти показатель адиабаты у для смеси газов, содер жащей гелий массой т1= \ 0 г и водород массой т 2—4 г. 11.10. Смесь газов состоит из аргона и азота, взятых при оди наковых условиях и в одинаковых объемах. Определить показатель адиабаты у такой смеси. 11.11. Найти показатель адиабаты у смеси водорода и неона, если массовые доли * обоих газов в смеси одинаковы и равны до=0,5. 11.12. Найти показатель адиабаты у смеси газов, содержащей кислород и аргон, если количества вещества * того и другого газа в смеси одинаковы и равны v. 11.13. Степень диссоциации ** а газообразного водорода равна 0,6. Найти удельную теплоемкость cv такого частично диссоцииро вавшего водорода. 11.14. Определить показатель адиабаты у частично диссоцииро вавшего газообразного азота, степень диссоциации а которого рав на 0,4. 11.15. Определить степень диссоциации а газообразного хлора, если показатель адиабаты у такого частично диссоциировавшего газа равен 1,55. 11.16. На нагревание кислорода массой т = 160 г на ЛГ =12 К было затрачено количество теплоты Q = 1,76 кДж. Как протекал процесс: при постоянном объеме или постоянном давлении? 11.17. При адиабатном сжатии газа его объем уменьшился в я = 1 0 раз, а давление увеличилось в &=21,4 раза. Определить отношение Cp/Cv теплоемкостей газов. * См. сноску на с. ** См. задачу 9.11. 150 113. Работа расширения газа 11.18. Водород массой т = 4 г был нагрет на Д 7 = 1 0 К при по стоянном давлении. Определить работу А расширения газа. 11.19. Газ, занимавший объем V i= 12 л под давлением рг= = 100 кПа, был изобарно нагрет от температуры Тг= 300 К до 7 2= =400 К. Определить работу А расширения газа. 11.20. Какая работа А совершается при изотермическом расши рении водорода массой т = 5 г, взятого при температуре Т = 290 К, если объем газа увеличивается в три раза? 11.21. При адиабатном сжатии кислорода массой гп= 1 кг совер шена работа А = 100 кДж. Определить конечную температуру 7 2 газа, если до сжатия кислород находился при температуре Тг= -3 0 0 К. 11.22. Определить работу А адиабатного расширения водорода массой т = 4 г, если температура газа понизилась на А7 = 10 К. 11.23. Азот массой т = 2 г, имевший температуру 7 Х=300 К, был адиабатно сжат так, что его объем уменьшился в я —10 раз. Определить конечную температуру Т 2 газа и работу А сжатия. 11.24. Кислород, занимавший объем K i= l л под давлением /?х= = 1,2 МПа, адиабатно расширился до объема Г 2=10 л. Определить работу А расширения газа. Первое начало термодинамики 11.25. Азот массой т = 5 кг, нагретый на Д 7=150 К, сохранил неизменный объем V. Найти: 1) количество теплоты Q, сообщенное газу; 2) изменение A U внутренней энергии; 3) совершенную газом работу А. 11.26. Водород занимает объем 1/х= 10 м3 при давлении рг= = 100 кПа. Газ нагрели при постоянном объеме до давления /?2= =300 кПа. Определить: 1) изменение A U внутренней энергии газа; 2) работу А, совершенную газом; 3) количество теплоты Q, сооб щенное газу. 11.27. При изохорном нагревании кислорода объемом ]/=50 л давление газа изменилось на Д/?=0,5 МПа. Найти количество теп лоты Q, сообщенное газу. 11.28. Б аллон вместимостью Г = 20 л содержит водород при тем пературе 7= 300 К под давлением /7=0,4 МПа. Каковы будут тем пература Тг и давление рг, если газу сообщить количество теплоты Q = 6 кДж? 11.29. Кислород при неизменном давлении /7=80 кПа нагрева ется. Его объем увеличивается от V ^ l м3 до Г 2= 3 м3. Определить: 1) изменение AU внутренней энергии кислорода; 2) работу А, совер шенную им при расширении; 3) количество теплоты Q, сообщенное газу. 11.30. Азот нагревался при постоянном давлении, причем ему было сообщено количество теплоты Q = 2 1 кДж. Определить работу 151 Л, которую совершил при этом газ, и изменение AU его внутренней энергии. 11.31. Кислород массой т = 2 кг занимает объем м3 и на ходится под давлением рг=0,2 МПа. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема К2= 3 м3, а затем при постоянном объеме до давления р3= 0,5 МПа. Найти: 1) изменение внутренней энергии Д U газа; 2) совершенную им работу Л; 3) количество теп лоты Q, переданное газу. Построить график процесса. 11.32. Гелий массой т= 1 г был нагрет на Д 7=100 К при посто янном давлении р. Определить: 1) количество теплоты Q, передан ное газу; 2) работу А расширения; 3) приращение AU внутренней энергии газа. 11.33. Какая доля количества теплоты Qx, подводимого к иде альному газу при изобарном процессе, расходуется на увеличение Д U внутренней энергии газа и какая доля w2 — на работу А рас ширения? Рассмотреть три случая, если газ: 1) одноатомный; 2) двух атомный; 3) трехатомный. 11.34. Водяной пар расширяется при постоянном давлении. Оп ределить работу А расширения, если пару передано количество теп лоты Q = 4 кДж. 11.35. Азот массой т = 200 г расширяется изотермически при температуре 7= 280 К, причем объем газа увеличивается в два ра за. Найти: 1) изменение AU внутренней энергии газа; 2) совершен ную при расширении газа работу Л; 3) количество теплоты Q, полу ченное газом. 11.36. В цилиндре под поршнем находится азот массой т = 0,6 кг, занимающий объем V i= 1,2 м3 при температуре 7= 560 К. В резуль тате подвода теплоты газ расширился и занял объем V2=4, 2 м3, причем температура осталась неизменной. Найти: 1) изменение Д U внутренней энергии газа; 2) совершенную им работу Л; 3) коли чество теплоты Q, сообщенное газу. 11.37. Водород массой т= 10 г нагрели на Д 7=200 К, причем газу было передано количество теплоты Q=40 кДж. Найти измене ние AU внутренней энергии газа и совершенную им работу Л. 11.38. При изотермическом расширении водорода массой т= =1 г, имевшего температуру 7=280 К, объем газа увеличился в три раза. Определить работу Л расширения газа и полученное газом количество теплоты Q. 11.39. Азот, занимавший объем Vr= 10 л под давлением рг= =0,2 МПа, изотермически расширился до объема V2=28 л. Опре делить работу Л расширения газа и количество теплоты Q, полу ченное газом. 11.40. При изотермическом расширении кислорода, содержав шего количество вещества v = l моль и имевшего температуру 7 = =300 К, газу было передано количество теплоты Q = 2 кДж. Во сколько раз увеличился объем газа? 11.41. Какое количество теплоты Q выделится, если азот массой т=\ г, взятый при температуре 7 = 280 К под давлением/?х= =0,1 МПа, изотермически сжать до давления /?2= 1 МПа? 152 11.42. Расширяясь, водород совершил работу А = 6 кДж. Опре делить количество теплоты Q, подведенное к газу, если процесс про текал: 1) изобарно; 2) изотермически. 11.43. Автомобильная шина накачена до давления /7Х=220 кПа при температуре 77=290 К. Во время движения она нагрелась до температуры 77=330 К и лопнула. Считая процесс, происходящий после повреждения шины, адиабатным, определить изменение тем пературы АТ вышедшего из нее воздуха. Внешнее давление р0 воздуха равно 100 кПа. 11.44. При адиабатном расширении кислорода с начальной тем пературой 77=320 К внутренняя энергия уменьшилась на AU= = 8,4 кДж, а его объем увеличился в п= 10 раз. Определить массу m кислорода. 11.45. Водород при нормальных условиях имел объем V7= = 100 м3. Найти изменение AU внутренней энергии газа при его адиабатном расширении до объема Т/2= 150 м3. 11.46. В цилиндре под поршнем находится водород массой т= =0,02 кг при температуре 77=300 К. Водород сначала расширился адиабатно, увеличив свой объем в пять раз, а затем был сжат изо термически, причем объем газа уменьшился в пять раз. Найти тем пературу 77 в конце адиабатного расширения и полную работу Л, совершенную газом. Изобразить процесс графически. 11.47. При адиабатном сжатии кислорода массой т = 20 г его внутренняя энергия увеличилась на А/7=8 кДж и темпе ратура повысилась до 77=900 К. Найти: 1) повышение темпе ратуры АТ] 2) конечное давление газа р 2, если начальное давление р г= 200 кПа. 11.48. Воздух, занимавший объем Т7Х= 10 л при давлении рг= = 100 кПа, был адиабатно сжат до объема V2= l л. Под каким дав лением р 2 находится воздух после сжатия? 11.49. Горючая смесь в двигателе дизеля воспламеняется при температуре 77=1,1 кК. Начальная температура смеси 77=350 К. Во сколько раз нужно уменьшить объем смеси при сжатии, чтобы она воспламенилась? Сжатие считать адиабатным. Показатель адиа баты у для смеси принять равным 1,4. 11.50. Углекислый газ С 0 2 массой га=400 г был нагрет на А7 = =50 К при постоянном давлении. Определить изменение AU внут ренней энергии газа, количество теплоты Q, полученное газом, и совершенную им работу А. 11.51. Кислород массой т = 8 0 0 г, охлажденный от температуры ^1=100 °С до температуры / 2= 20 °С, сохранил неизменным объем V. Определить: 1) количество теплоты Q, полученное газом; 2) из менение A U внутренней энергии и 3) совершенную газом работу А. 11.52. Давление азота объемом Г = 3 л при нагревании увеличи лось на Ар=1 МПа. Определить количество теплоты Q, полученное газом, если объем газа остался неизменным. 153 Круговые процессы. Термический КПД . Цикл Карно 11.53. В результате кругового процесса газ совершил работу А = 1 Дж и передал охладителю количество теплоты Q2= 4,2 Дж. Определить термический КПД \) цикла. 11.54. Совершая замкнутый процесс, газ получил от нагревателя количество теплоты Qx= 4 кДж. Определить работу А газа при протекании цикла, если его термический КПД rj=0,1. 11.55. Идеальный двухатомный газ, содержащий количество вещества v = l моль, совершает цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар. Наименьший объем ]/min=10 л, наибольший Ктах= =20 л, наименьшее давление /?т -ш= р,‘ =246 кПа, наибольшее ртах= 4 10 кПа. КП а Построить график цикла. Определить 16 температуру Т газа для характерных 15 точек цикла и его термический КПД т). /4 11.56. Идеальный двухатомный газ, 13 содержащий количество вещества v = l /2_Г — кмоль, совершает замкнутый цикл, гра Т_ г., фик которого изображен на рис. 11.4. 2 3 V,M3 / Определить: 1) количество теплоты Qlf Рис. 11.4 полученное от нагревателя; 2) количест во теплоты Q2, переданное охладителю; 3) работу А, совершаемую газом за цикл; 4) термический КПД г\ цикла. 11.57. Идеальный двухатомный газ, содержащий количество вещества v = l моль и находящийся под давлением /?х=0,1 МПа при температуре 7i= 300 К, нагревают при постоянном объеме до давления /?2= 0,2 МПа. После этого газ изотермически расширился до начального давления и затем изобарно был сжат до начального объема Vi. Построить график цикла. Определить температуру Т газа для характерных точек цикла и его термический КПД ц. 11.58. Одноатомный газ, содержащий количество вещества v = =0,1 кмоль, под давлением /?i=100 кПа занимал объем К1= 5 м3% Газ сжимался изобарно до объема К2= 1 м3, затем сжимался адиабатно и расширялся при постоянной температуре до начальных объе ма и давления. Построить график процесса. Найти: 1) температуры Т19 Га, объемы К2, V3 и давление /?3, соответствующее характерным точкам цикла; 2) количество теплоты Qf, полученное газом от нагре вателя; 3) количество теплоты Q2, переданное газом охладителю; 4) работу А , совершенную газом за весь цикл; 5) термический КПД т] цикла. 11.59. Идеальный многоатомный газ совершает цикл, состоящий из двух изохор и двух изобар, причем наибольшее давление газа в два раза больше наименьшего, а наибольший объем в четыре раза больше наименьшего. Определить термический КПД г\ цикла. 11.60. Идеальный газ, совершающий цикл Карно, 2/ 3 количества теплоты Qi, полученного от нагревателя, отдает охладителю. Тем 154 пература Т 2 охладителя равна 280 К. Определить температуру Тг нагревателя. 11.61. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура Т 2 охладителя равна 290 К. Во сколько раз увеличится КПД цикла, если температура нагревателя повысится от 7 ^ = 400 К до Т1= =600 К? 11.62. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура Тг нагревателя в три раза выше температуры Т 2 охладителя. Нагрева тель передал газу количество теплоты Qi=42 кДж. Какую работу А совершил газ? 11.63. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура 7\ нагревателя равна 470 К, температура Т 2 охладителя равна 280 К. При изотермическом расширении газ совершает работу А = 100 Дж, Определить термический КПД г) цикла, а также количество теплоты Q2, которое газ отдает охладителю при изотермическом сжатии. 11.64. Идеальный газ совершает цикл Карно. Температура нагревателя в четыре раза выше температуры Т 2 охладителя. Какую долю w количества теплоты, получаемого за один цикл от нагрева теля, газ отдает охладителю? 11.65. Идеальный газ, совершающий цикл Карно, получив от нагревателя количество теплоты Qx=4,2 кДж, совершил работу А =590 Дж. Найти термический КПД т) этого цикла. Во сколько раз температура Тг нагревателя больше температуры Т 2 охлади теля? 11.66. Идеальный газ совершает цикл Карно. Работа А± изотер мического расширения газа равна 5 Дж. Определить работу Л 2 изотермического сжатия, если терми ческий КПД г) цикла равен 0,2. 11.67. Наименьший объем Vx газа, совершающего цикл Карно, равен 153 л. Определить наибольший объем К3, если объем V2 в конце изотерми ческого расширения и объем У4 в конце изотермического сжатия равны соответственно 600 и 189 л. 11.68. Идеальный двухатомный газ совершает цикл Карно, график которого изображен на рис. 11.5. Объемы газа в состояниях В и С соответственно 1^=12 л и У2=16 л. Найти термический КПД т) цикла. Энтропия 11.69. Смешали воду массой тг= 5 кг при температуре 7 \= —280 К с водой массой т 2= 8 кг при температуре Т 2=350 К. Найти: 1) температуру 0 смеси; 2) изменение AS энтропии, происходящее при смешивании. 11.70. В результате изохорного нагревания водорода массой г давление р газа увеличилось в два раза. Определить изме нение AS энтропии газа. 155 11.71. Найти изменение AS энтропии при изобарном расшире нии азота массой т = 4 г от объема Ух= 5 л до объема V 2= 9 л. 11.72. Кусок льда массой т = 200 г, взятый при температуре ti= —10 °С, был нагрет до температуры t2= 0 °С и расплавлен, после чего образовавшаяся вода была нагрета до температуры /= 10°С . Определить изменение AS энтропии в ходе указанных процессов. 11.73. Лед массой тх—2 кг при температуре ^ = 0 °С был превра щен в воду той же температуры с помощью пара, имеющего темпера туру t2— 100 °С. Определить массу т2 израсходованного пара. Ка ково изменение AS энтропии системы лед—пар? 11.74. Кислород массой т = 2 кг увеличил свой объем в п==5 раз один раз изотермически, другой — адиабатно. Найти изменения энтропии в каждом из указанных процессов. 11.75. Водород массой т— 100 г был изобарно нагрет так, что объем его увеличился в п = 3 раза, затем водород был изохорно ох лажден так, что давление его уменьшилось в п = 3 раза. Найти изменение AS энтропии в ходе указанных процессов. § 12. Р Е А Л Ь Н Ы Е ГАЗЫ. ЖИДКОСТИ Основные формулы @ Уравнение Ван-дер-Ваальса для одного моля газа (p + - ^ ) ( V „ ~ b ) = RT, \ уm/ для произвольного количества вещества v газа [p + ^ ) ( V - v b ) = vRT, где а и b — постоянные Ван-дер-Ваальса (рассчитанные на один моль газа); V — объем, занимаемый газом; Vm — молярный объем; р — давление газа на стенки сосуда. Внутреннее давление, обусловленное силами взаимодействия молекул, р = — , или р - v 2 . Гm 9 Связь критических параметров — объема, давления и темпе ратуры газа — с постоянными а и b Ван-дер-Ваальса: Я гр 8$ Т/ O f . •'ткр — ^ _ . А'кр — 27b2 ’ 1 кр 27Rb ' 9 Внутренняя энергия реального газа и - < с ' Т- к , ) где Cv — молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. • Поверхностное натяжение o=F/l , 15G где F — сила поверхностного натяжения, действующая на контур /, ограничивающий поверхность жидкости, или АЕ С ~ AS ’ где АЕ — изменение свободной энергии поверхностной пленки жидкости, связанное с изменением площади AS поверхности этой пленки. ® Формула Лапласа в общем случае записывается в виде / 1 , 1 Р - ° { Ri + Я2 где р — давление, создаваемое изогнутой поверхностью жидкости; а — поверхностное натяжение; R t и R 2 — радиусы кривизны двух взаимно перпендикулярных сечений поверхности жидкости, а в случае сферической поверхности p=2o/R. @ Высота подъема жидкости в капиллярной трубке , 2(7 cos 0 h ~~pgiT’ где 0 — краевой угол; R — радиус канала трубки; р — плотность жидкости; g — ускорение свободного падения. Ф Высота подъема жидкости между двумя близкими и парал лельными плоскостями , 2(7 cos 0 где d — расстояние между плос костями. • Расход жидкости в трубке тока (рис. 12.1): а) объемный расход Qv =vS; б) массовый расход Qm=puS, где S — площадь поперечного се чения трубки тока; v — скорость жидкости; р — ее плотность. ® Уравнение неразрывности струи UiSi —u2S 2, где Si и S 2 — площади поперечного сечения трубки тока в двух местах; и v2 — соответствующие скорости течений. @ Уравнение Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости в общем случае pvf pghi = Pi + + Рgh, где р1 и р 2 — статические давления жидкости в двух сечениях труб ки тока; и v2 — скорости жидкости в этих сечениях; puj/2 и pvl/2 — динамические давления жидкости в этих же сечениях; hL и к 2 — высоты их над некоторым уровнем (рис. 12.1); рght и рgh2 — гидростатические давления. 157 Уравнение Бернулли в случае, когда оба сечения находятся на одной высоте (/ti=/i2), Р г + 4 = Р>+ 4Р • Скорость течения жидкости из малого отверстия в открытом широком сосуде и = У 2 gh, где h — глубина, на которой находится отверстие относительно уровня жидкости в сосуде. • Формула Пуазейля. Объем жидкости (газа), протекающей за время t через длинную трубку, т7__ ш Ч А р У“ 8/г] где г — радиус трубки; / — ее длина; Ар — разность давлений на концах трубки; т] — динамическая вязкость (коэффициент внут реннего трения) жидкости. • Число Рейнольдса для потока жидкости в длинных трубках Re = p<y> где (v ) — средняя по сечению скорость течения жидкости; d —диаметр трубки, и для движения шарика в жидкости где v — скорость шарика; d — его диаметр. Число Рейнольдса Re есть функция скорости v тела, линейной величины /, определяющей размеры тела, плотности р и динамиче ской вязкости г] жидкости, т. е. Re = / ( P , ть U v). При малых значениях чисел Рейнольдса, меньших некоторого критического значения ReKP, движение жидкости является лами нарным. При значениях Re^>ReKP движение жидкости переходит в турбулентное. Критическое число Рейнольдса для движения шарика в жидкос ти ReKp=0,5; для потока жидкости в длинных трубках ReKp= =2300. • Формула Стокса. Сила сопротивления F, действующая со стороны потока жидкости на медленно движущийся в ней шарик, 77= 6 ят]гу, где г — радиус шарика; v — его скорость. Формула справедлива для скоростей, при которых число Рей нольдса много меньше единицы (Re<cl). Примеры решения задач Пример 1. В баллоне вместимостью V=8 л находится кислород массой т = 0,3 кг при температуре Т =300 К. Найти, какую часть вместимости сосуда составляет собственный объем молекул газа. 158 Определить отношение внутреннего давления р' к давлению р газа на стенки сосуда. Р е ш е н и е . Для получения ответа на первый вопрос задачи необходимо найти отношение ft=V7V, (1) где V' — собственный объем молекул. Собственный объем молекул найдем, воспользовавшись постоян ной b Ван-дер-Ваальса, равной учетверенному объему молекул, содержащихся в одном моле реального газа. В уравнении Ван-дерВаальса (p + v 2a/V2){V—vb)=vRT (2) поправка vb означает учетверенный объем молекул всего газа, т. е. vb=4V'. Отсюда 1/'—vb/4, или У '=тЬ/(4М ), где v=m/M — количество вещества; М — молярная масса. Подставив полученное значение V в выражение (1), найдем k=mb/(^MV). После вычисления по этой формуле получим £=0,91 %. Следовательно, собственный объем молекул составляет 0,91% от объема сосуда. Для ответа на второй вопрос задачи надо найти отношение ki=p'/p. (3) Как следует из уравнения (2), p '= v 2a/V2, или р' =(т/М)2a/V2, (4) где а — постоянная Ван-дер-Ваальса для одного моля газа. После вычисления по формуле (4) найдем /?' = 179 кПа. Давление /?, производимое газом на стенки сосуда, найдем из уравнения (2): После вычисления по этой формуле получим Р= 0,3 .8,31*300 32. Ю -3 ~ 0,3 .3 ,1 7 .1 0 -5 8 . 10-3 32*1О3 0,3 2 136.10-3 Па: 3 2.10-3 ) (8-10-3)2 = 2,84* 106 Па = 2,84 МПа. Подставив в выражение (3) значения р' и р и произведя вычисле ния, найдем *i= 6,3 %. Следовательно, давление газа, обусловленное силами притяже ния молекул, составляет 6,3 % давления газа на стенки сосуда. Пример 2. Углекислый газ, содержащий количество вещества v = l моль, находится в критическом состоянии. При изобарном 159 нагревании газа его объем V увеличился в k=2 раза. Определить изменение А7 температуры газа, если его критическая температу ра 7 кр^-304 К. Р е ш е н и е . Для решения задачи удобно воспользоваться уравнением Ван-дер-Ваальса в приведенной форме, т. е. в такой форме, когда давление р, молярный объем Vm и температура 7 реального газа с соответствующими критическими параметрами представлены в виде следующих отношений: ^ ~Р1Ркъ1 ® “ ^щ/^ткр) %— Т/Т Кр. Из этих равенств получим: /? = Я/?кр, Vm ^щ кр) Т ТГКР. Подставив сюда выражения /?кр, 1/шкр и 7 кр через постоянные Ван-дер-Ваальса а и Ь, найдем: р = т * л ’ у т = зь © ; т = 2 т щ хПолученные выражения /?, Vm и 7 подставим в обычное уравне ние Ван-дер-Ваальса: [ 27&^Л' 1' (Збшр] [36о> 6] = 276^" Т’ После сокращения на а/(27Ь) и в правой части на R получим (я+3/со2) (3(о—1)=8т. (1) Это и есть уравнение Ван-дер-Ваальса в п р и в е д е н н о й ф о р м е. Оно не содержит никаких параметров, характеризующих ин дивидуальные свойства газа, и поэтому является универсальным. Теперь ответим на вопрос задачи. Так как давление остается постоянным (р^=ркР), то я = 1 ; молярный объем газа согласно усло вию увеличился в два раза, т. е. Vm=2VmKV\ следовательно, (о=2. Из уравнения (1) выразим приведенную температуру т: т = 1/8 (я - 3/со2) (Зсо— 1). Подставив сюда значения я и со и произведя вычисления, най дем т = 35/32. Температура 7, как отмечалось, связана с приведенной темпера турой т и критической 7 кр соотношением 7 = т 7 кр. Произведя вы числения по этой формуле, получим 7= 332 К. Пример 3. В цилиндре под поршнем находится хлор массой т = 20 г. Определить изменение A U внутренней энергии хлора при изотермическом расширении его от Т/х=200 см3 до 1/2=500 см3. Р е ш е н и е . Внутренняя энергия U реального (ван-дер-ваальсового) газа определяется выражением U —v(CyT #/Pm)* (1) Выразив в равенстве (1) молярный объем l7m через объем V и 160 количество вещества v ( l/m=V/v) и учтя, что v= m /M 9 получим та ии ^ — (2) м СуТИзменение А V внутренней энергии в результате изотермическо го расширения найдем как разность двух значений внутренней энер гии при объемах V2 и Vt: т 2а(У2-Ух) AU = U .— U1 (3) Подставив значения величин в формулу (3) и произведя вычис ления, получим ... JT /\U-Uo 1Т (20* 10 ~3)2*0,650 (5 — 2 )-10-4 U 1— (71 . 10- 3) . 2 . 10- 4. 5 . 10-4 Д ж = 154 Дж. Отметим, что для идеального газа такое изменение внутренней энергии соответствовало бы нагреванию на 26,3 К. Пример 4. Найти добавочное давление р внутри мыльного пузы ря диаметром d= 10 см. Определить также работу Л, которую нужно совершить, чтобы выдуть этот пузырь. Р е ш е н и е . Пленка мыльного пузыря имеет две сферические поверхности — внешнюю и внутреннюю. Обе поверхности оказы вают давление на воздух, заключенный внутри пузыря. Так как толщина пленки чрезвычайно мала, то диаметры обеих поверхнос тей практически одинаковы. Поэтому добавочное давление /?— —2*2о/г, где г — радиус пузыря. Так как r=d/ 2, то p=8o/d. Подставив в эту формулу значения а= 4 0 ПО-3 Н/м (см. табл. 15) и d = 0 ,l м и произведя вычисления, найдем р — 3,2 Па. Работа, которую нужно совершить, чтобы, растягивая пленку, увеличить ее поверхность на AS, выражается формулой ,4 = aAS, или A = o (S —S0). В данном случае S — общая площадь двух сферических поверх ностей пленки мыльного пузыря; S0 — общая площадь двух по верхностей плоской пленки, затягивающей отверстие трубки до выдувания пузыря. Пренебрегая S0, получим A tto S = 2 n d 2e. Сделав подстановку значений величин, получим А = 2,5 мДж. Пример 5. Определить изменение свободной энергии АЕ поверх ности мыльного пузыря при изотермическом увеличении его объема от 1^1= 10 см3 до V2=2Vlt Р е ш е н и е . Свободная энергия Е поверхности жидкости пропорциональна площади S этой поверхности: E = gS , где о — по верхностное натяжение. У мыльного пузыря имеются две поверхности — внешняя и внутренняя, площади которых практически равны из-за малой тол щины мыльной пленки. Поэтому свободная энергия поверхности 6 № 1268 161 (внешней и внутренней вместе) мыльного пузыря E=2aS. (1) Так как, по условию задачи, процесс изотермический, то по верхностное натяжение, являющееся дляданной жидкости функ цией только температуры, остается постоянным. Следовательно, по формуле (1) изменение свободной энергии A£ = 2aAS, (2) где AS — изменение поверхности пузыря (одной — внутренней или внешней). Считая, что мыльный пузырь имеет форму сферы, найдем изме нение площади поверхности: A S = Anri— Anri, (3) где гх и г 2 — радиусы сфер, соответствующие начальному Vx и конечному V2 объемам: гх = г2 Теперь фор мула (3) примет вид “ -Ч № Г -№ П Учитывая, что У2=2У Ь получим после вынесения общего члена ( ■ ? г ) 2/3 33 ск о б к У A S = = 4 j t ( ^ - ) 2/3(22'3 - 1)- Подставим выражение AS в формулу (2): Д £ = 8ло 2/3 ( 2 ^ / з - 1). (4) После вычисления по формуле (4) получим АЕ=106 мкДж. Пример 6. Вода подается в фонтан из большого цилиндрическо го бака (рис. 12.2) и бьет из отверстия II—II со скоростью а 2= = 12 м/с. Диаметр D бака равен 2 м, диаметр d сечения II—II равен 2 см. Найти: 1) скорость vx понижения во ды в баке; 2) давление рг, под кото рым вода подается в фонтан; 3) вы соту ^ уровня воды в баке и высоту h2 струи, выходящей из фонтана. Р е ш е н и е . 1. Проведем сечение I—I в баке на уровне сечения II—II фонтана. Так как площадь Si сече ния I—I много больше площади S 2 сечения II—II, то высоту h± уровня воды в баке можно считать для мало го промежутка времени постоянной, а поток — установившимся. Для установившегося потока справедливо условие неразрывности струи: v1S x= v2S 2l откуда u1= y 2S 2/S 1, или Vi^Vzid/D)*. (1) 162 Подставив в равенство (1) значения заданных величин и прошг ведя вычисления, найдем Ui=0,0012 м/с. С такой же скоростью будет понижаться уровень в баке. Как видно, эта скорость очень мала по сравнению со скоростью струи. 2. Давление р1, под которым вода подается в фонтан, найдем по уравнению Бернулли. В случае горизонтальной трубки тока оно имеет вид Pi + pv\l2 = p-i + ру|/2. (2) Учтя, что р 2= 0 (под давлением подразумевается избыточное над атмосферным давление), из уравнения (2) получим p1= pv2z/2— pvl/2. (3) Так как ух-с у 2, то из равенства (3) следует p1= pvt/2. После вычислений, произведенных по этой формуле, найдем рг= 72 кПа. 3. Высоту hi уровня воды в баке найдем из соотношения рх— =/iipg\ откуда hi=pi/(pg). Произведя вычисления по этой формуле, найдем /^=7,35 м. Зная скорость v2, с которой вода выбрасывается фонтаном, най дем высоту /i2, на которую она будет выброшена: fta = v|/(2g) = 7,35 м. Подчеркнем, что высота уровня воды в баке равна высоте, на которую поднимается фонтан воды (по правилу сообщающихся сосу дов). Это замечание справедливо, если пренебречь сопротивлением воздуха. Пример 7. В сосуде с глицерином падает свинцовый шарик. Оп ределить максимальное значение диаметра шарика, при котором движение слоев глицерина, вызванное падением шарика, является еще ламинарным. Движение считать установившимся. Р е ш е н и е . Если в вязкой жидкости движется тело, то вместе с ним, как одно целое, движется и прилипший к телу слой жидкос ти. Этот слой вследствие внутреннего трения увлекает за собой и соседние слои. Возникающее при этом движение жидкости является ламинарным или турбулентным в зависимости от размеров и формы тела и его скорости. Характер движения зависит также от свойств жидкости и определяется безразмерным числом Рейнольдса. Если тело, движущееся в жидкости, имеет форму шара диаметром d , то число Рейнольдса определяется по формуле R e = p i (1) а критическое значение этого числа ReKp=0,5. Скорость v выразим, исходя из следующих соображений. На с* 163 свинцовый шарик, падающий р глицерине, действуют три силы:, 1) сила тяжести шарика Р = P cB ^ = 1/ en p CBg d 3, где рсв — плотность свинца; V — объем шарика; 2) выталкивающая сила, определяемая по закону Архимеда, ^вы т = Ргл^ = 1/ 6Л р Гл . ^ 3, где ргл — плотность глицерина; 3) сила внутреннего трения, определяемая по формуле Стокса, FTP= 6лт]Г1> = 3лцск). При установившемся движении шарика в жидкости (o=const) сила тяжести шарика уравновешивается суммой выталкивающей силы и силы внутреннего трения, т. е. VeJipcegri3 = 7 6JtprjIgd3+ 3n\\dvt откуда ll==(pc- 7e!ir i ) g rf2(2) Решая совместно уравнения (1) и (2) относительно d, найдем Ргл(Рсв Ргл) S Максимальное значение диаметра dmax, при котором движение остается еще ламинарным, соответствует критическому значению числа Рейнольдса ReKp. Поэтому Подставив сюда значения величин г\ (см. табл. 14), ReKp, рсв, ргл и g и произведя вычисления, получим dmax = 5,29 мм. Задачи Уравнение Ван-дер-Ваальса 12.1. В сосуде вместимостью У=10 л находится азот массой т = =0,25 кг. Определить: 1) внутреннее давление р' газа: 2) собствен ный объем V' молекул. 12.2. Определить давление р , которое будет производить кисло род, содержащий количество вещества v = l моль, если он занимает объем У =0,5 л при температуре 7= 300 К. Сравнить полученный результат с давлением, вычисленным по уравнению Менделеева — Клапейрона. 12.3. В сосуде вместимостью V=0,3 л находится углекислый газ, содержащий количество вещества v = l моль при температуре 7 = 300 К. Определить давление р газа: 1) по уравнению Менделее ва — Клапейрона; 2) по уравнению Ван-дер-Ваальса. 12.4. Криптон, содержащий количество вещества v = l моль, на ходится при температуре 7= 300 К. Определить относительную погрешность г=Ар/р, которая будет допущена при вычислении 164 давления, если вместо уравнения1Впн-дер-Ваальса воспользоваться уравнением Менделеева — Клапейрона. Вычисления выполнить для двух значений объема: 1) V=2 л; 2) V~0,2 л. 12.5. Внутреннюю полость толстостенного стального баллона наполовину заполнили водой при комнатной температуре. После этого баллон герметически закупорили и нагрели до температуры Т=650 К. Определить давление р водяного пара в баллоне при этой температуре. 12.6. Давление р кислорода равно 7 МПа, его плотность р = = 100 кг/м3. Найти температуру Т кислорода. 12.7. Определить давление р водяного пара массой m= 1 кг, взятого при температуре Т=380 К и объеме V: 1) 1000 л; 2) 10 л; 3) 2 л. Критическое состояние 12.8. Вычислить постоянные а и b в уравнении Ван-дер-Ваальса для азота, если известны критические температуры TKV= 126 К и давление pKV= 3,39 МПа. 12.9. Вычислить критические температуру Ткр и давление ркр: 1) кислорода; 2) воды. 12.10. Критическая температура Ткр аргона равна 151 К и кри тическое давление /?кр=4,86 МПа. Определить по этим данным кри тический молярный объем Гткр аргона. 12.11. Жидким пентаном C5H i 2, плотность р которого равна 626 кг/м3, частично заполняют прочную кварцевую колбу и запаи вают ее так, что над пентаном остаются только насыщающие пары. Определить, какую часть г внутреннего объема колбы должен за нимать пентан, чтобы можно было наблюдать при нагревании пере ход вещества через критическую точку . Постоянная Ь Ван-дерВаальса равна 14,5-10“ 5 м3/моль. 12.12. Определить наибольший объем Ктах, который может зани мать вода, содержащая количество вещества v = l моль. 12.13. Определить плотность р водяных паров в критическом со стоянии. 12.14. Определить наибольшее давление /?тах насыщающих водя ных паров. 12.15. Во сколько раз концентрация якр молекул азота в крити ческом состоянии больше концентрации п0 молекул при нормальных условиях? 12.16. Найти критический объем VKV веществ: 1) кислорода мас сой т = 0,5 г; 2) воды массой т= 1 г. 12.17 *. Газ, содержащий количество вещества v = l моль, нахо дится при критической температуре и занимает объем Г, в п = 3 раза превышающий критический объем Гкр. Во сколько раз давление Р газа в этом состоянии меньше критического давления pKV? * В задачах 12.17— 12.20 при решении удобнее использовать уравнение Ван -дер-Ваальса в приведенной форме (см. пример 2). 165 12.18. * При какой температуре Т находится окисид'азота, если ее объем V и давление р в k=3 раза превышают соответствующие критические значения Гкр и ркр? Критическая температура Ткр оксида азота равна 180 К. 12.19. * Газ находится в критическом состоянии. Как и во сколько раз его давление р будет отличаться от критического ркр при одно временном увеличении температуры Т и объема V газа в k=2 раза? 12.20*. Газ находится в критическом состоянии. Во сколько раз возрастет давление р газа, если его температуру Т изохорно увели чить в k=2 раза? Внутренняя энергия 12.21. Определить внутреннюю энергию U азота, содержащего количество вещества v = l моль, при критической температуре Гкр = 126 К. Вычисления выполнить для четырех значений объемов V: 1) 20 л; 2) 2 л; 3) 0,2 л; 4) Гкр. 12.22. Кислород, содержащий количество вещества v = l моль, находится при температуре Т —350 К. Найти относительную по грешность е в вычислении внутренней энергии газа, если газ рас сматривать как идеальный. Расчеты выполнить для двух значений объема V : 1) 2 л; 2) 0,2 л. 12.23. Найти внутреннюю энергию U углекислого газа массой т= 132 г при нормальном давлении р0 и температуре Т=300 К в двух случаях, когда газ рассматривают: 1) как идеальный; 2) как реальный. 12.24. Кислород массой т = 8 г занимает объем Г= 20 см3 при температуре Т = 300 К. Определить внутреннюю энергию U кисло рода. 12.25. Определить изменение A U внутренней энергии неона, содержащего количество вещества v = l моль, при изотермическом расширении его объема от 1^=1 л до V2=2 л. 12.26. Объем углекислого газа массой т = 0 ,1 кг увеличился от K i=103 л до К2=Ю 4 л. Найти работу А внутренних сил взаимодей ствия молекул при этом расширении газа. 12.27. В сосуде вместимостью V i= l л содержится т= 10 г азота. Определить изменение АТ температуры азота, если он расширяется в пустоту до объема К2=10 л. 12.28. Газообразный хлор массой т = 7,1 г находится в сосуде вместимостью V'1= 0 , 1 л. Какое количество теплоты Q необходимо подвести к хлору, чтобы при расширении его в пустоту до объема V2= \ л температура газа осталась неизменной? Поверхностное натяжение. Капиллярные явления 12.29. Масса т 100 капель спирта, вытекающего из капилляра, равна 0,71 г. Определить поверхностное натяжение а спирта, если диаметр d шейки капли в момент отрыва равен 1 мм. * См. сноску на с. 166 165. 12.30. Трубка имеет диаметр d ^ 0,2 см. На нижнем конце трубки повисла капля воды, имеющая в момент отрыва вид шарика. Найти диаметр d2 этой капли. 12.31. Какую работу А нужно совершить, чтобы, выдувая мыль ный пузырь, увеличить его диаметр от dL= 1 см до d2= 11 см? Счи тать процесс изотермическим. 12.32. Две капли ртути радиусом г=1 мм каждая слились в одну большую каплю. Какая энергия Е выделится при этом слиянии? Считать процесс изотермическим. 12.33. Воздушный пузырек диаметром d = 2 мкм находится в воде у самой ее поверхности. Определить плотность р воздуха в пузырь ке, если воздух над поверхностью воды находится при нормальных условиях. 12.34. На сколько давление р воздуха внутри мыльного пузыря больше атмосферного давления р0, если диаметр пузыря d = 5 мм? 12.35. Определить силу F, прижимающую друг к другу две стек лянные пластинки размерами 10X 10 см, расположенные параллель но друг другу, если расстояние / между пластинками равно 22 мкм, а пространство между ними заполнено водой. Считать мениск вогну тым с диаметром d, равным расстоянию между пластинками. 12.36. Покровное стеклышко для микроскопа имеет вид круга диаметром d= 16 мм. На него нанесли воду массой т = 0,1 г и нало жили другое такое же стеклышко; в результате оба стеклышка слип лись. С какой силой F, перпендикулярной поверхностям стеклы шек, надо растягивать их, чтобы разъединить? Считать, что вода полностью смачивает стекло и поэтому меньший радиус г кривизны боковой поверхности водяного слоя равен половине расстояния d между стеклышками. 12.37. Глицерин поднялся в капиллярной трубке на высоту h= =20 мм. Определить поверхностное натяжение о глицерина, если диаметр d канала трубки равен 1 мм. 12.38. Диаметр d канала стеклянной трубки чашечного ртутного барометра равен 5 мм. Какую поправку Ар нужно вводить в отсчеты по этому барометру, чтобы получить верное значение атмосферного давления? 12.39. Разность Ah уровней жидкости в коленах U-образной трубки равна 23 мм. Диаметры dY и d 2 каналов в коленах трубки равны соответственно 2 и 0,4 мм. Плотность р жидкости равна 0,8 г/см3. Определить поверхностное натяжение а жидкости. 12.40. В жидкость нижними концами опущены две вертикальные капиллярные трубки с внутренними диаметрами ^ = 0 ,0 5 см и d 2= 0 ,l см. Разность Ah уровней жидкости в трубках равна 11,6 мм. Плотность р жидкости равна 0,8 г/см3. Найти поверхностное натя жение о жидкости. 12.41. В воду опущена на очень малую глубину стеклянная труб ка с диаметром d внутреннего канала, равным 1 мм. Найти массу т вошедшей в трубку воды. 12.42. Капиллярная трубка диаметром d = 0,5 мм наполнена во дой. На нижнем конце трубки вода повисла в виде капли. Эту каплю 1G7 можно принять за часть сферьь радиуса г = 3 мм. Найти высоту А столбика воды в трубке. 12.43. Широкое колено U-образного ртутного манометра имеет диаметр dx= 4 см, узкое d2= 0,25 см. Разность ДА уровней ртути в обоих коленах равна 200 мм. Найти давление р, которое показывает манометр, приняв во внимание поправку на капиллярность. 12.44. На какую высоту А поднимается вода между двумя па раллельными друг другу стеклянными пластинками, если расстоя ние d между ними равно 0,2 мм? Гидродинамика 12.45. Вода течет в горизонтально расположенной трубе пере менного сечения. Скорость vx воды в широкой части трубы равна 20 см/с. Определить скорость v2 в узкой части трубы, диаметр d2 которой в 1,5 раза меньше диаметра dx широкой части. 12.46. В широкой части горизонтально расположенной трубы нефть течет со скоростью vx=2 м/с. Определить скорость v2 нефти в узкой части трубы, если разность Др давлений в широкой и узкой частях ее равна 6,65 кПа. 12.47. В горизонтально расположенной трубе с площадью Si поперечного сечения, равной 20 см2, течет жидкость. В одном месте труба имеет сужение, в котором площадь S 2 сечения равна 12 см2. Разность ДА уровней в двух манометрических трубках, установлен ных в широкой и узкой частях трубы, равна 8 см. Определить объем ный расход Qv жидкости. 12.48. Горизонтальный цилиндр насоса имеет диаметр =20 см. В нем движется со скоростью i>i = l м/с поршень, выталкивая воду через отверстие диаметром d2= 2 см. С какой скоростью v2 будет вытекать вода из отверстия? Каково будет избыточное давле ние р воды в цилиндре? 12.49. К поршню спринцовки, расположенной горизонтально, приложена сила F=15 Н. Определить скорость и истечения воды из наконечника спринцовки, если площадь 5 поршня равна 12 см2. 12.50. Давление р ветра на стену равно 200 Па. Определить ско рость v ветра, если он дует перпендикулярно стене. Плотность р воздуха равна 1,29 кг/м3. 12.51. Струя воды диаметром d = 2 см, движущаяся со скоростью v= 10 м/с, ударяется о неподвижную плоскую поверхность, постав ленную перпендикулярно струе. Найти силу F давления струи на поверхность, считая, что после удара о поверхность скорость частиц воды равна нулю. 12.52. Бак высотой А=1,5 мм наполнен до краев водой. На рас стоянии d= 1 м от верхнего края бака образовалось отверстие малого диаметра. На каком расстоянии / от бака падает на пол струя, вы текающая из отверстия? 12.53. Струя воды с площадью S x поперечного сечения, равной 4 см2, вытекает в горизонтальном направлении из брандспойта, 168 расположенного на высоте //=«2<м над поверхностью Земли, и па дает на эту поверхность на расстоянии 1=8 м (рис. 12.3). Пренебре гая сопротивлением воздуха движению воды, найти избыточное дав ление р воды в рукаве, если пло щадь 5 2 поперечного сечения рука ва равна 50 см2? 12.54. Бак высотой Н = 2 м до краев заполнен жидкостью. На какой высоте h должно быть про делано отверстие в стенке бака, чтобы место падения струи, выте кающей из отверстия, было на максимальном от бака расстоя нии? 12.55. Вода течет по круглой гладкой трубе диаметром d = 5 см со средней по сечению скоростью (v)=\0 см/с. Определить число Рейнольдса Re для потока жидкости в трубе и указать характер те чения жидкости. 12.56. По трубе течет машинное масло. Максимальная скорость утах> ПРИ которой движение масла в этой трубе остается еще лами нарным, равна 3,2 см/с. При какой скорости v движение глицерина в той же трубе переходит из ламинарного в турбулентное? 12.57. В трубе с внутренним диаметром d = 3 см течет вода. Оп ределить максимальный массовый расход Qmmах воды при лами нарном течении. 12.58. Медный шарик диаметром d= 1 см падает с постоянной ско ростью в касторовом масле. Является ли движение масла, вызванное падением в нем шарика, ламинарным? Критическое значение числа Рейнольдса ReKP=0,5. 12.59. Латунный шарик диаметром d = 0,5 мм падает в глице рине. Определить: 1) скорость v установившегося движения шарика; 2) является ли при этой скорости обтекание шарика ламинарным? 12.60. При движении шарика радиусом гг= 2,4 мм в касторовом масле ламинарное обтекание наблюдается при скорости vx шарика, не превышающей 10 см/с. При какой минимальной скорости v2 шарика радиусом г2=1 мм в глицерине обтекание станет турбулент ным? ГЛДВА i3 ЭЛЕКТРОСТАТИКА § 13. ЗАКОН КУЛОНА. ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ТЕЛ Основные формулы • Закон Кулона Р 1 Q1Q2 4лк0 г г 2 ’ где F — сила взаимодействия двух точечных зарядов Qt и Q2; г — расстояние между зарядами; г — диэлектрическая проницае мость среды; 80 — электрическая постоянная: ео = 4^Г9Л05гФ/М=" 8’85- 10“ 12 Ф/М• Закон сохранения заряда п 2 Qi = const, i —1 п где 2 Qi— алгебраическая сумма зарядов, входящих в изолироi- I ванную систему; п — число зарядов. Примеры решения задач Пример 1. Три одинаковых положительных заряда Qi = Q 2— = Q 3=1 нКл расположены по вершинам равностороннего треуголь ника (рис. 13.1). Какой отрица Qi тельный заряд Q4 нужно поместить Ж в центре треугольника, чтобы си ла притяжения с его стороны урав новесила силы взаимного отталки вания зарядов, находящихся в вер шинах? Р е ш е н и е . Все три заряда, расположенных по вершинам тре угольника, находятся в одина ковых условиях. Поэтому для ре шения задачи достаточно выяснить, какой заряд следует поместить в центре треугольника, чтобы один из трех зарядов, например Qb находился в равновесии. В соответствии с принципом суперпозиции на заряд действует каждый заряд независимо от остальных. Поэтому заряд Qj будет 170 находиться в равновесии, если векторная сумма действующих на него сил равна нулю: F2+ F 3+ F 4= F + F 4= 0, (1) где F2, F„ F4 — силы, с которыми соответственно действуют на заряд Q4 заряды Q2, Q3 и Q4; F — равнодействующая сил Fa и F3. Так как силы F и F4 направлены по одной прямой, то векторное равенство (1) можно заменить скалярной суммой: F —F4 = 0, или F 4= F. Выразив в последнем равенстве F через F2 и Fs и учитывая, что F 3~~F 2 у получим Fi = F .y 2 ( T -j- cos а). Применяя закон Кулона и имея в виду, что Qa=Q3= Qi» найдем 1 Qt 1 Q1Q4 V 2(1 + cos а), (2) 4яе0 ег\ 4 я е 0 ел 2 откуда + cos а). Из геометрических построений в равностороннем треугольнике следует, что г/2 г г cos « = cos 60° = -j Л =11 cos 30° 2 cos 30° Y 3 ’ С учетом этого формула (2) примет вид Q* = Q i//3 . Подставив сюда значение Qlf получим Q4=0,58 нКл. Отметим, что равновесие системы зарядов будет неустойчивым. Пример 2. Два заряда 9Q и —Q закреплены на расстоянии I= =50 см друг от друга. Третий заряд Qt может перемещаться только вдоль прямой, проходящей через заряды. Определить положение заряда Qx, при котором он будет находиться в равновесии. При каком знаке заряда равновесие будет устойчивым *? Р е ш е н и е . Заряд Qx будет находиться в равновесии в том случае, если векторная сумма сил, действующих на него, будет рав на нулю. Это значит, что на заряд Qx должны действовать две силы, равные по модулю и противоположные по направлению. Рассмот рим, на каком из трех участков /, / / , II I (рис. 13.2) может быть выполнено это условие. Для определенности будем считать, что заряд Qx — положительный **. На участке / (рис. 13.2, а) на заряд Qx действуют две противо положно направленные силы: Fx и F2. Сила Fb действующая со сто * Равновесие называется устойчивым, если при малом смещении заряда от положения равновесия возникают силы, возвращающие его в положение равновесия. ** Рекомендуется читателю самостоятельно выполнить решение задачи для отрицательного заряда. 171 роны заряда 9Q, в любой точке этого участка будет больше, чем сила F2, действующая со стороны заряда —Q, так как больший (по модулю) заряд 9Q всегда находится ближе к заряду Qx, чем меньший заряд —Q. Поэтому равновесие на этом участке невозможно. На участке II (рис. 13.2, б) обе силы и F2 направлены в одну сторону — к заряду —Q. Следовательно, и на втором участке равно весие невозможно. а) Рис. 13.2 На участке III (рис. 13.2, в) силы Fx и F2 направлены в противо положные стороны, так же как и на участке /, но в отличие от него меньший (по модулю) заряд (—Q) всегда находится ближе к заряду чем больший заряд (9Q). Это значит, что можно найти такую точку на прямой, где силы Fx и F2 будут одинаковы по модулю, т. е. |Fi| = | - F , | . (1) Пусть расстояние от меньшего заряда до заряда Qx равно х, тогда расстояние от большего заряда будет 1+х. Выражая в равен стве (1) /ч и Р2 в соответствии с законом Кулона, получим 9QQi _QQi (/ + *)2 “ х2 * Сокращая на QQX и извлекая из обеих частей равенства квадрат ный корень, найдем l+ x= zt3x, откуда jcx= + //2 и х 2= —//4. Корень х 2 не удовлетворяет физическому условию задачи (в этой точке силы F± и F 2 хотя и равны по модулю, но направлены в одну сторону). Определим знак заряда, при котором равновесие будет устойчи вым. Рассмотрим смещение заряда Qx в двух случаях: 1) заряд поло жителен; 2) заряд отрицателен. 1. Если заряд Qx положителен, то при смещении его влево обе силы F± и F2 возрастают, но /ч возрастает медленнее (заряд 9Q всегда находится дальше, чем —Q). Следовательно, Р2 (по модулю) 172 больше, чем Fx, и на заряд Qx будет действовать результирующая сила, направленная также влево. Под действием этой силы заряд Qx удаляется от положения равновесия. То же происходит и при смещении заряда Q1 вправо. Сила F 2 убывает быстрее, чем Fx. Век торная сумма сил в этом случае направлена вправо. Заряд под дей ствием этой силы также будет перемещаться вправо, т. е. удаляться от положения равновесия. Таким образом, в случае положительно го заряда равновесие является неустойчивым. 2. Если заряд Qx отрицателен, то его смещение влево вызовет увеличение сил F2 и /д, но сила Fx возрастает медленнее, чем Е 2, т. е. |/r2|3>|/ri |. Результирующая сила будет направлена вправо. Под действием этой силы заряд Qx возвращается к положению рав новесия. При смещении Qx вправо сила F2 убывает быстрее, чем Fu т - е - |/ri |> |/ r2|, результирующая сила направлена влево и заряд Qx опять будет возвращаться к положению равновесия. При отри цательном заряде равновесие является устойчивым. Величина само го заряда Qx несущественна. Отметим, что в электростатике устойчивое равновесие возможно только при определенных ограничениях. В нашем примере заряд Qi может перемещаться только вдоль прямой, проходящей через заряды Q и —9Q. Если это ограничение снять, то устойчивого равно весия не будет. В системе зарядов, на ходящихся под действием одних только электростатических сил, устойчивое рав новесие невозможно (теорема Ирншоу). Пример 3. Тонкий стержень длиной /= 30 см (рис. 13.3) несет равномерно распределенный по длине заряд с ли нейной плотностью т=1 мкКл/м. На рас стоянии го=20 см от стержня находится заряд Q i= 10 нКл, равноудаленный от концов стержня. Определить силу F взаимодействия точечного заряда с за ряженным стержнем. Р е ш е н и е . Закон Кулона позво ляет вычислить силу взаимодействия то чечных зарядов. По условию задачи, один из зарядов не явля ется точечным, а представляет собой заряд, равномерно распре деленный по длине стержня. Однако если выделить на стержне диф ференциально малый участок длиной d/, то находящийся на нем заряд dQ = xd/ можно рассматривать как точечный и тогда по за кону Кулона * сила взаимодействия между зарядами Qx и dQ: 1 QiT d/ dF- 4ле0 г2 где г расстояние от выделенного элемента до заряда Qx. Го Из чертежа (рис. 13.3) следует, что г и dл I1 - cosа а r d ( 1) где * Здесь и далее, если в условии задачи не указана среда, имеется в виду, что заряды находятся в вакууме (е=1). 173 r0 — р асстояни е от зар я д а Q i до ст ер ж н я . П одставив эти вы раж ения г и А1 в ф ор м ул у (1), получим d f= 4 Qll_da. 8 0Г 0 (2) 4 7 л Следует иметь в виду, что dF — вектор, поэтому, прежде чем интегрировать, разложим его на две составляющие: dF3, перпенди кулярную стержню, и dF2, параллельную ему. Из рис. 13.3 видно, что dFx=dF cos a , d/r2= d /7 sin а. Подстав ляя значение dF из выражения (2) в эти формулы, найдем: 1П 1 d O itc o s a 1 ------- da; 4ле0г0 1 р C^xsina , 4ле0/'0 d r 2= -4-------- da. 2 Интегрируя эти выражения в пределах от —р до + Р, получим +с Q p o ^ da = _ 1 J ~3 4ле0г0 ^ +r c o s a d a ;_ ^-----Q i^ is 1în _a 1+P. 4ле0г0 1 J 4 л 80г0 -3 1sin p - s i n ( - P) | = ‘-3 2 sin P; Qit Fx = -2ле0г0 sinp. В силу симметрии расположения заряда Qx относительно стерж ня интегрирования второго выражения дает нуль: F9= [ -Я —- sin a da г2 J 4ле0г0 k -3 ^ lT !cosajip = 4ле0г0 Oil—(cos P— cos P) = 0. 4ле<)/'0 Таким образом, сила, действующая на заряд Qu QiT F = Ft : 2ле0г0 sin p. (3) 1/2 I Из рис. 13.3 следует, что sinp = • ПодV 4rl + P У 4 ставив это выражение sin р в формулу (3), получим г Qit I 2ле„г0 у ь \ + р ‘ (4) Произведем вычисления по формуле (4): „ Ю -Ю -М -Ю -8 0,3 Н = 5 ,4 1 0 - 4Н - 0 ,5 4 мН. "2-3,14-8,85-10~12*0,2 у 4-0,22+ 0,32 Задачи Взаимодействие точечных зарядов 13.1. Определить силу взаимодействия двух точечных зарядов Qi=Q 2 = l К , находящихся в вакууме на расстоянии r= 1 м друг от Друга. л 174 13.2. Два шарика массой т = 0,1 г каждый подвешены в одной точке на нитях длиной 1=20 см каждая. Получив одинаковый заряд, шарики разошлись так, что нити образовали между собой угол а = =60°. Найти заряд каждого шарика. 13.3. Два одинаковых заряженных шарика подвешены в одной точке на нитях одинаковой длины. При этом нити разошлись на угол а . Шарики погружаются в масло плотностью р0= 8 •102 кг/м3. Определить диэлектрическую проницаемость г масла, если угол расхождения нитей при погружении шариков в масло остается не изменным. Плотность материала шариков р = 1,6 • 103 кг/м3. 13.4. Даны два шарика массой т = \ г каждый. Какой заряд Q нужно сообщить каждому шарику, чтобы сила взаимного отталки вания зарядов уравновесила силу взаимного притяжения шариков по закону тяготения Ньютона? Рассматривать шарики как матери альные точки. 13.5. В элементарной теории атома водорода принимают, что электрон обращается вокруг ядра по круговой орбите. Определить скорость v электрона, если радиус орбиты г = 53 пм, а также частоту п вращения электрона. 13.6. Расстояние между двумя точечными зарядами Qi=l мкКл и Qz= —Qx равно 10 см. Определить силу F , действующую на то чечный заряд Q = 0 ,1 мкКл, удаленный на гг= 6 см от первого и на г2=8 см от второго зарядов. 13.7. В вершинах правильного шестиугольника со стороной а= 10 см расположены точечные заряды Q, 2Q, 3Q, 4Q, 5Q, 6Q (Q= —0,1 мкКл). Найти силу F, действующую на точечный заряд Q, лежащий в плоскости шестиугольника и равноудаленный от его вершин. 13.8. Два одинаковых проводящих заряженных шара находятся на расстоянии г=60см. Сила отталкивания шаров равна 70мкН. После того как шары привели в соприкосновение и удалили друг от друга на прежнее расстояние, сила отталкивания возросла и ста ла равной /72= 160 мкН. Вычислить заряды Qx и Q2, которые были на шарах до их соприкосновения. Диаметр шаров считать много меньшим расстояния между ними. 13.9. Два одинаковых проводящих заряженных шара находятся на расстоянии г = 30 см. Сила притяжения F± шаров равна 90 мкН. После того как шары были приведены в соприкосновение и удалены друг от друга на прежнее расстояние, они стали отталкиваться с силой /^2= 160 мкН. Определить заряды Qx и Q2, которые были на шарах до их соприкосновения. Диаметр шаров считать много мень шим расстояния между ними. 13.10. Два положительных точечных заряда Q и 4Q закреплены на расстоянии 7=60 см друг от друга. Определить, в какой точке на прямой, проходящей через заряды, следует поместить третий заряд Qx так, чтобы он находился в равновесии. Указать, какой знак должен иметь этот заряд для того, чтобы равновесие было ус тойчивым, если перемещения заряда возможны только вдоль пря мой, проходящей через закрепленные заряды. 175 13Л1. Расстояние / между свободными зарядами 180 нКл и Q2= 720 нКл равно 60 см. Определить точку на прямой, проходя щей через заряды, в которой нужно поместить третий заряд Q3 так, чтобы система зарядов находилась в равновесии. Определить ве личину и знак заряда. Устойчивое или неустойчивое будет рав новесие? 13.12. Три одинаковых заряда Q= 1 нКл каждый расположены по вершинам равностороннего треугольника. Какой отрицательный заряд Q1 нужно поместить в центре треугольника, чтобы его притя жение уравновесило силы взаимного отталкивания зарядов? Будет ли это равновесие устойчивым? 13.13. В вершинах квадрата находятся одинаковые заряды Q= = 0,3 нКл каждый. Какой отрицательный заряд нужно помес тить в центре квадрата, чтобы сила взаимного отталкивания поло жительных зарядов была уравновешена силой притяжения отрица тельного заряда? Взаимодействие точечного заряда с зарядом, равномерно распределенным 13.14. Тонкий стержень длиной /= 1 0 см равномерно заряжен. Линейная плотность т заряда равна 1 мкКл/м. На продолжении оси стержня на расстоянии а = 20 см от ближайшего его конца находится точечный заряд Q = 100 нКл. Определить силу F взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда. 13.15. Тонкий длинный стержень равномерно заряжен с линей ной плотностью т заряда, равной 10 мкКл/м. На продолжении оси стержня на расстоянии а= 20 см от его конца находится точечный заряд Q = 10 нКл. Определить силу F взаимодействия заряженного стержня и точечного заряда. 13.16. Тонкий очень длинный стержень равномерно заряжен с линейной плотностью т заряда, равной 10 мкКл/м. На перпендику ляре к оси стержня, восставленном из конца его, находится точеч ный заряд Q = 10 нКл. Расстояние а заряда от конца стержня равно 20 см. Найти силу F взаимодействия заряженного стержня и точеч ного заряда. 13.17. Тонкая нить длиной /= 2 0 см равномерно заряжена с ли нейной плотностью т= 10 нКл/м. На расстоянии а= 1 0 см от нити, против ее середины, находится точечный заряд Q=1 нКл. Вычислить силу F, действующую на этот заряд со стороны заряженной нити. 13.18. Тонкий длинный стержень равномерно заряжен с линей ной плотностью т= 10 мкКл/м. Какова сила F, действующая на то чечный заряд Q = 10 нКл, находящийся на расстоянии а = 20 см от стержня, вблизи его середины? 13.19. Тонкая бесконечная нить согнута под углом 90°. Нить несет заряд, равномерно распределенный с линейной плотностью т= 1 мкКл/м. Определить силу F , действующую на точечный заряд 176 Q=0,1 мкКл, расположенный надфодолжении одной из сторон и удаленный от вершины угла на а= 50 см. 13.20. Тонкое кольцо радиусом R = 10 см несет равномерно рас пределенный заряд Q = 0 ,1 мкКл. На перпендикуляре к плоскости кольца, восставленном из его середины,' находится точечный заряд Q!= 10 нКл. Определить силу F , действующую на точечный заряд Q со стороны заряженного кольца, если он удален от центра кольца на: 1) /х=20 см; 2) 12~ 2 м. 13.21. Тонкое полукольцо радиусом R = 10 см несет равномерно распределенный заряд с линейной плотностью т= 1 мкКл/м. В центре кривизны полукольца находится заряд Q=20 нКл. Опре делить силу F взаимодействия точечного заряда и заряженного полукольца. 13.22. По тонкому кольцу радиусом R = 10 см равномерно рас пределен заряде линейной плотностьют=1 нКл/м. В центре кольца находится заряд Q= 0,4 мкКл. Определить силу F, растягивающую кольцо. Взаимодействием зарядов кольца пренебречь. § 14. Н А П Р Я Ж Е Н Н О С Т Ь Э Л Е К Т Р И Ч Е С К О Г О ПОЛЯ. ЭЛЕКТРИ ЧЕСКОЕ СМ ЕЩ ЕНИ Е Основные формулы • Напряженность электрического поля E = F/Q, где F — сила, действующая на точечный положительный заряд Q, помещенный в данную точку поля. 9 Сила, действующая на точечный заряд Q, помещенный в электрическое поле, F=Q E. • Поток вектора напряженности Е электрического поля: а) через произвольную поверхность S, помещенную в неодно родное поле, Ф£ = ^ £ cosa dS, или Ф£ = ^ Еп dS, s е где a — угол между вектором напряженности Е и нормалью п к элементу поверхности; dS — площадь элемента поверхности; Еп — проекция вектора напряженности на нормаль; б) через плоскую поверхность, помещенную в однородное элект рическое поле, Ф £=ES cos a. • Поток вектора напряженности Е через замкнутую поверх ность Ф/: — s Еп dS, где интегрирование ведется по всей поверхности. 177 • Теорема Остроградского —*Гаусса. Поток вектора напряжен ности Е через любую замкнутую поверхность, охватывающую заря ды Qi, Q 2» • • •> Qny п г д е ^ Ф / — алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри i=i замкнутой поверхности; п — число зарядов. Ф Напряженность электрического поля, создаваемого точеч ным зарядом Q на расстоянии г от заряда, • Напряженность электрического поля, создаваемого металли ческой сферой радиусом R , несущей заряд Q, на расстоянии г от центра сферы: а) внутри сферы {r<LR) Е —0; б) на поверхности сферы (r~R ) р_ 1 Q . ~ 4ле0 е/?2 ’ в) вне сферы {r> R ) Ф Принцип суперпозиции (наложения) электрических полей, согласно которому напряженность Е результирующего поля, создан ного двумя (и более) точечными зарядами, равна векторной (геомет рической) сумме напряженностей складываемых полей: Е = Ei + Е2+ . . . + Ел. В случае двух электрических полей с напряженностями Ег и Е2 модуль вектора напряженности Е = V Е \ + Е\ + 2 £ 1£ 2cos а, где а — угол между векторами Ei и Е 2. • Напряженность поля, создаваемого бесконечно длинной рав номерно заряженной нитью (или цилиндром) на расстоянии г от ее оси, р _ 1 2т 4ле0 ег’ где т — линейная плотность заряда. Линейная плотность заряда есть величина, равная отношению заряда, распределенного по нити, к длине нити (цилиндра): иа • Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью, и ~ 2 е0е ’ где о — поверхностная плотность заряда. Поверхностная плотность заряда есть величина, равная отно шению заряда, распределенного по поверхности, к площади этой поверхности: ЛQ 0 —Д5 ■ • Напряженность поля, создаваемого двумя параллельными бесконечными равномерно и разноименно заряженными плоскостя ми, с одинаковой по модулю поверхностной плотностью а заряда (поле плоского конденсатора) Е= — е08 . Приведенная формула справедлива для вычисления напряжен ности поля между пластинами плоского конденсатора (в средней части его) только в том случае, если расстояние между пластинами много меньше линейных размеров пластин конденсатора. • Электрическое смещение D связано с напряженностью Е электрического поля соотношением D = е0еЕ. Это соотношение справедливо только для изотропных диэлект риков. • Поток вектора электрического смещения выражается анало гично потоку вектора напряженности электрического поля: а) в случае однородного поля поток сквозь плоскую поверхность AW=DAS cos а; б) в случае неоднородного поля и произвольной поверхности s > где Dn — проекция вектора D на направление нормали к элементу поверхности, площадь которой равна dS. • Теорема Остроградского — Гаусса. Поток вектора электри ческого смещения сквозь любую замкнутую поверхность, охваты вающую заряды Qb Q2, . . ., Qn, 2 Q„ i= 1 где n — число зарядов (со своим знаком), заключенных внутри замкнутой поверхности. • Циркуляция вектора напряженности электрического поля есть величина, численно равная работе по перемещению единичного точечного положительного заряда вдоль замкнутого контура. Цир куляция выражается интегралом по замкнутому контуру $£zd/, 179 где Ei — проекция вектора напряженности Е в данной точке кон тура на направление касательной к контуру в той же точке. В случае электростатического поля циркуляция вектора напря женности равна нулю: (j) E t d/ = 0. / Примеры решения задач Пример 1. Электрическое поле создано двумя точечными заря дами: Qi = 30 нКл и Q2= —Ю нКл. Расстояние d между зарядами равно 20 см. Определить напряженность электрического поля в точке, находящейся на расстоянии = 15 см от первого и на расстоя нии г2=10 см от второго зарядов. Р е ш е н и е . Согласно принципу суперпозиции электрических полей, каждый заряд создает поле незави симо от присутствия в пространстве других зарядов. Поэтому напряжен ность Е электрического поля в иско мой точке может быть найдена как векторная сумма напряженностей Ei и Е2 полей, создаваемых каж дым зарядом в отдельности: Е = Е х + Е 2. Напряженности электрического поля, создаваемого в вакууме * первым и вторым зарядами, соответственно равны I<?2| ( 1) 1 4ле0Гх 4ле0г2 Вектор Ei (рис. 14.1) направлен по силовой линии от заряда Qx, так как заряд Q i>0; вектор Е2 направлен также по силовой линии, но к заряду Q2, так как Q2< 0 . Модуль вектора Е найдем по теореме косинусов: Е\- 2 Е г cos а, (2) где угол а может быть найден из треугольника со сторонами гг, г2 и d: d2- r ? - - г2 cosa = 2r,r2 В данном случае во избежание громоздких записей вычислим отдельно значение cos а. По этой формуле найдем cos a = 0,25. Подставляя выражения Ег и Е 2 по формулам (1) в равенство (2) и вынося общий множитель 1/(4лг0) за знак корня, получаехм e = V e[ г 4ле0 V ж л Q! - г + 21 2 2 !cos а. Г\Г2 Гг См. сноску на с. 173. 180 Подставив значения величин ft., e0, Qly Q2l rif г2 и а в последнюю формулу и произведя вычисления, найдем (30.10-9)2 (15* 10~2)4 £^910! ( Ш Л О - 9)2 (10.10-2)4 = 1,67* 104 В/м = 16,7 кВ/м. О(30.10-у)2 (10.10-9)2 cos а В/м — (15-10~2)2 (10* 10-2)2 Пример 2. Электрическое поле создано двумя параллельными бесконечными заряженными плоскостями с поверхностными плот ностями заряда а х= 0,4 мкКл/м2 и а 2=0,1 мкКл/м2. Определить напряженность электрического поля, созданного этими заряженны ми плоскостями. Р е ш е н и е . Согласно принципу суперпозиции, поля, созда ваемые каждой заряженной плоскостью в отдельности, накладыва ются друг на друга, причем каждая заряженная плоскость создает электрическое поле независимо от при сутствия другой заряженной плоско Я 1е2 ж 1 в , сти (рис. 14.2). — -— р Напряженности однородных элек — — трических полей, создаваемых первой Ег [ £/ * и второй плоскостями, соответствен ----- ----------------------- но равны: р _Hi . р ____ J_ 02 1 ”” 2 е0 ’ 2 “ 2 е0 * ----- *— 1 — - - i 1 Плоскости делят все пространство 1 на три области: /. II и III. Как вид Рис. 14.2 но из рисунка, в первой и третьей областях электрические силовые линии обоих полей направлены в одну сторону и, следовательно, напряженности суммарных полей ЕЦ) и £'(,П) в первой и третьей областях равны между собой и рав ны сумме напряженностей полей, создаваемых первой и второй плоскостями: Е{1)= Е {1П)= Е1-{-Е2, или 1 ог + о2 Е П) — £Ч1П> . е0 Во второй области (между плоскостями) электрические силовые линии полей направлены в противоположные стороны и, следова тельно, напряженность поля £ (И) равна разности напряженностей полей, создаваемых первой и второй плоскостями: £'(1I)= |£ i —Е 21, или РШ) __ 1 1а 1 — а 2 I 2 80 • Подставив данные и произведя вычисления, получим £П) = £(Ш) = 28,3 кВ/м; £ (11) = 17 кВ/м. Картина распределения силовых линий суммарного поля пред ставлена на рис. 14.3. Пример 3. На пластинах плоского воздушного конденсатора находится заряд 10 нКл. Площадь 5 каждой пластины конден 181 сатора равна 100 см2. Определить силу F, с которой притягиваются пластины. Поле между пластинами считать однородным. Р е ш е н и е . Заряд Q одной пластины находится в поле, соз данном зарядом другой пластины конденсатора. Следовательно, на первый заряд действует сила (рис. 14.4) F = E 1Q, (1) где Ег — напряженность поля, создаваемого зарядом одной пласти ны. Но Е1= ^Z8— = где а — поверхностная плотность заряда q Z8qO пластины. 1 I• £ ( Х ) • < (I Рис. 14.3 Формула (1) с учетом выражения для Е± примет вид jF = Q 2/(2e0S ). Подставив значения величин Q, е0 и S в эту формулу и произведя вычисления, получим Е=565 мкН. Пример 4. Электрическое поле создано бесконечной плоскостью, заряженной с поверхностной плотностью а=400 нКл/м2, и бесконеч ной прямой нитью, заряженной с линейной плотностью т = —100 нКл/м. На расстоянии г = 10 см от нити находится точечный заряд Q = 10 нКл. Определить силу, действующую на заряд, ее направление, если заряд и нить лежат в одной плоскости, параллель ной заряженной плоскости. Р е ш е н и е . Сила, действующая на заряд, помещенный в поле, f = eq, (1) где Е — напряженность поля в точке, в которой находится заряд Q. Определим напряженность Е поля, создаваемого, по условию задачи, бесконечной заряженной плоскостью и бесконечной заря женной нитью. Поле, создаваемое бесконечной заряженной плоско стью, однородно, и его напряженность в любой точке Поле, создаваемое бесконечной заряженной линией, неоднород но. Его напряженность зависит от расстояния и определяется по 182 формуле т 2ле0г' Е (3 ) Согласно принципу суперпозиции электрических полей, напря женность поля в точке, где находится заряд Q, равна векторной сумме напряженностей Ei и Е2 (рис. 14.5): Е—Ej + E 2. Так как векторы Ei и Е2 взаимно пер пендикулярны, то E ^ V W +Щ. Подставляя выражения Ef и Е г по формулам (2) и (3) в это равенство, получим У ИЛИ ( т = )' (-L - \ 2 л 80Г £= 28- л Теперь найдем силу F, действующую на заряд, подставив вы ражение Е в формулу (1): (4) Подставив значения величин Q, е0, о, т, я и г в формулу (4) и сделав вычисления, найдем F = 289 мкН. Направление Q, совпадает с Направление же скости. Из рис. силы / \ действующей на положительный заряд направлением вектора напряженности Е поля. вектора Е задается углом а к заряженной пло 14.5 следует, что tg a = —= nr— , откуда а = ъхс\.%пг —. .С 2 Т X Подставив значения величин л, г, а и т в это выражение и вычислив, получим а = 51°34\ Пример 5. Точечный заряд Q=25 нКл находится в поле, соз данном прямым бесконечным цилиндром радиусом R = 1 см, рав номерно заряженным с поверхностной плотностью сг=2 мкКл/м2. Определить силу, действующую ца заряд, помещенный от оси Цилиндра на расстоянии г = 10 см. Р е ш е н и е . Сила, действующая на заряд Q, находящийся в поле, F=QE, (1) где Е — напряженность поля в точке, в которой находится за ряд Q. 183 Как известно, напряженность поля бесконечно длинного рав номерно заряженного цилиндра Е = г/ (2пг0г), (2) где т — линейная плотность заряда. Выразим линейную плотность т через поверхностную плот ность а. Для этого выделим элемент цилиндра длиной / и выразим находящийся на нем заряд Qx двумя способами: Q1= oS = o -2nRl и Qi = t/. Приравняв правые части этих равенств, получим xI=^2tiRI g. После сокращения на / найдем r=2nRo. С учетом этого формула (2) при мет вид E = R g/ (г0г). Подставив это выражение Е в формулу (1), найдем искомую силу: F=QoR/(E0r). (3) Так как R и г входят в формулу в виде отношения, то они могут быть выражены в любых, но только одинаковых единицах. Выполнив вычисления по формуле (3), найдем F —25-10“ 9*2- Ю"6-10-2/(8,85-10-12. 10-10~2) Н = 565 • 10-6 Н = 565 мкН. Направление силы F совпадает с направлением вектора напря женности Е, а последний в силу симметрии (цилиндр бесконечно длинный) направлен перпендикулярно цилиндру. Пример 6. Электрическое поле создано тонкой бесконечно длинной нитью, равномерно заряженной с линейной плотностью т= 30 нКл/м. На расстоянии а = 20 см от нити находится плоская круглая площадка радиусом r= 1 см. Определить поток вектора напряженности через эту площадку, если плоскость ее составляет угол |3=30° с линией напряженности, проходящей через середину площадки. Р е ш е н и е . Поле, создаваемое бесконечно равномерно заря женной нитью, является неоднородным. Поток вектора напряжен ности в этом случае выражается интегралом ф £ = $ £ ndS, (I) S где Еп — проекция вектора Е на нормаль п к поверхности площад ки dS. Интегрирование выполняется по всей поверхности площад ки, которую пронизывают линии напряженности. Проекция Еп вектора напряженности равна, как видно из рис. 14.6, Еп= Е cos а, где а — угол между направлением вектора и нормалью п. С учетом этого формула (1) примет вид ФЕ= J Е cos a dS. s Так как размеры поверхности площадки малы по сравнению с расстоянием до нити (г<я), то электрическое поле в пределах 184 площадки можно считать практически однородным. Следователь но, вектор напряженности Е очень мало меняется по модулю и на правлению в пределах площадки, что позволяет заменить под знаком интеграла значения Е и cos а их средними значениями (Е) и (cos а) и вынести их за знак интеграла: ФЕ= I <Е> <cos а> dS = = \Еу <cos а> J dS. s Выполняя интегрирование и за меняя (Е) и (cos а) их приближен ными значениями Ел и cos а л, вы численными для средней точки пло щадки, получим Ф р = Е а c o s a 4 S = л г2Ел cos а*. ь А А /ач Рис. 14.6 Напряженность Ел вычисляется по формуле ^ л = 2лё^а* Из рис. 14.6 следует c o s o ^ = c o s ^ y —(3^ = sin р. С учетом выражения Ел и cos а А равенство (2) примет вид 2ле0а sin (3, или Ф£ = ' 2?па sin f 5 . Подставив в последнюю формулу данные и произведя вычис ления, найдем ф =424 мВ*м. Пример 7. Две концентрические проводящие сферы радиуса ми R x= 6 см и R 2=10 см несут соответственно заряды Qx= l нКл и Q2= —0,5 нКл. Найти напряженность Е поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях гг= 5 см, г2= 9 см и г3= 15 см. Построить график Е(г). Р е ш е н и е . Заметим, что точки, в которых требуется найти напряжен ности электрического поля, лежат в трех областях (рис. 14.7): область I (r<^Ri), область II область III (г 3^>R 2). 1. Для опр Ег в области I проведем сферическую поверхность S x радиусом гг и воспользуемся теоремой Остроград ского— Гаусса. Так как внутри области I зарядов нет, то сог ласно указанной теореме получим равенство $ E „ d S = 0, Si (1) 185 где Еп — нормальная составляющая напряженности электрического поля. Из соображений симметрии нормальная составляющая Еп долж на быть равна самой напряженности и постоянна для всех точек сферы, т. е. Еп= Е х= const. Поэтому ее можно вынести за знак интеграла. Равенство (1) примет вид E1(fd S = 0. Si Так как площадь сферы не равна нулю, то £ i= 0 , т. е. напряженность поля во всех точках, удовлетворяющих усло вию будет равна нулю. 2. В области II сферическую поверхность проведем радиу сом г 2. Так как внутри этой поверхности находится заряд Qi, то для нее, согласно теореме Остроградского — Гаусса, можно за писать равенство f E,l dS = Q1/e0. (2) S2 Так как Еп= Е 2= const, то из условий симметрии следует Е (f) d S — QJeq, и л и ES2= Q1/s0, ^2 откуда E2 = QJ Подставив сюда выражение площади сферы, получим E2= Q/(4ne0ri). (3) 3. В области II I сферическую поверхность проведем радиу сом г3. Эта поверхность охватывает суммарный заряд Qi + Q 2. Следовательно, для нее уравнение, записанное на основе теоремы Остроградского — Гаусса, будет иметь вид § Еп dS: Q 1 + Q2 Отсюда, использовав положения, примененные в первых двух случаях, найдем £ 3 = (Qi + Q2)/(4ne0/-|). (4) Убедимся в том, что правые части равенств (3) и (4) дают единицу напряженности электрического поля: [Q] 1 Кл _ 1 Кл [е0][г2] 1Ф/м-1м2 1Ф-1м = 1 В/м. Выразим все величины в единицах СИ (Qi = \0~9 Кл, Q2=z—0,5х Х10-9 Кл, /1=0,09 м, г2= 15 м, 1/(4яе0)= 9 -1 0 9 м/Ф) и произведем вычисления: £ , = 9£3 = 9-10»(' 186 В/м = 1,11- Ю3 В/м = 1,11 кВ/м; В/м = 200 В/м- 4. Построим график £ (г). В области / ( r i < £ i ) напряженность £ = 0 . В области / / ( R ^ r C R 2) напряженность Е 2(г) изменяется по закону 1/г2. В точке r= Ri напряженность ^ 2( ^ 1) = Qi/(4лсе0/?|) = =2500 В/м.В точке r = R 2 (г стремится к R 2 слева) E 2(R2) = Qi /(4k80/?2):=:900 В/м. В области III (r> R 2) Е 3(г) изменяется по за кону 1/г2, причем в точке r=R (г стремится к R 2 справа) £ з № 2) - (Qi — IQ2l)/(4Jte0/?I) = 450 В/м. Таким образом, функция Е(г) в точках г = /?1 и терпит разрыв. График зависимости £ (г) представлен на рис. 14.8 Задачи Напряженность поля точечных зарядов 14.1. Определить напряжен ность Е электрического поля, созда ваемого точечным зарядом Q = = 10 нКл на расстоянии г = 10 см от него. Диэлектрик — масло. 14.2. Расстояние d между двумя точечными зарядами Q i= + 8 нКл и Q2——5,3 нКл равно 40 см. Вычислить напряженность Е поля в точке, лежащей посередине между зарядами. Чему равна напря женность, если второй заряд будет положительным? 14.3. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами Qi= 10 нКл и Q2= —20 нКл, находящимися на расстоянии d = 20 см друг от друга. Определить напряженность Е поля в точке, удален ной от первого заряда на гг= 30 см и от второго на г 2= 50 см. 14.4. Расстояние d между двумя точечными положительными за рядами Qi=9Q и Q%=Q равно 8 см. На каком расстоянии г от перво го заряда находится точка, в которой напряженность Е поля заря дов равна нулю? Где находилась бы эта точка, если бы второй заряд был отрицательным? 14.5. Два точечных заряда Qt=2Q и Q2= —Q находятся на рас стоянии d друг от друга. Найти положение точки на прямой, про ходящей через эти заряды, напряженность Е поля в которой равна нулю. 14.6. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами Qi=40 нКл и Q2= —10 нКл, находящимися на расстоянии d= 10 см друг от друга. Определить напряженность Е поля в точке, удален ной от первого заряда на ^ = 1 2 см и от второго на г 2= 6 см. Напряженность поля заряда, распределенного по кольцу и сфере 14.7. Тонкое кольцо радиусом R = 8 см несет заряд, равномерно распределенный с линейной плотностью т= 1 0 нКл/м. Какова на пряженность Е электрического поля в точке, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние г = 10 см? 187 14.8. Полусфера несет заряд, равномерно распределенный с по верхностной плотностью о=1 нКл/м2. Найти напряженность Е электрического поля в геометрическом центре полусферы. 14.9. На металлической сфере радиусом R = 10 см находится заряд Q= 1 нКл. Определить напряженность Е электрического поля в следующих точках: 1) на расстоянии гг= 8 см от центра сферы; 2) на ее поверхности; 3) на расстоянии г2=15 см от центра сферы. Построить график зависимости Е от г. 14.10. Две концентрические металлические заряженные сферы радиусами R x= 6 см и /?2=10 см несут соответственно заряды Qx= = 1 нКл и Q2= —0,5 нКл. Найти напряженности Е поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях гх= 5 см, г2= 9 см, г3= = 15 см. Построить график зависимости Е(г). Напряженность поля заряженной линии 14.11. Очень длинная тонкая прямая проволока несет заряд, равномерно распределенный по всей ее длине. Вычислить линейную плотность т заряда, если напряженность Е поля на расстоянии а ~ = 0,5 м от проволоки против ее середины равна 200 В/м. 14.12. Расстояние d между двумя длинными тонкими проволо ками, расположенными параллельно друг другу, равно 16 см. Про волоки равномерно заряжены разноименными зарядами с линейной плотностью |т[=150 мкКл/м. Какова напряженность Е поля в точ ке, удаленной на г = 10 см как от первой, так и от второй проволоки? 14.13. Прямой металлический стержень диаметром d = 5 см и длиной 1=4 м несет равномерно распределенный по его поверхности заряд Q=500 нКл. Определить напряженность Е поля в точке, находящейся против середины стержня на расстоянии а= 1 см от его поверхности. 14.14. Бесконечно длинная тонкостенная металлическая трубка радиусом R = 2 см несет равномерно распределенный по поверхно сти заряд (а=1 нКл/м2). Определить напряженность Е поля в точ ках, отстоящих от оси трубки на расстояниях гг= 1 см, г2= 3 см. Построить график зависимости Е(г). 14.15. Две длинные тонкостенные коаксиальные трубки радиуса ми R x= 2 см и R 2=4 см несут заряды, равномерно распределенные по длине с линейными плотностями тх=1 нКл/м и т 2= —0,5 нКл/м. Пространство между трубками заполнено эбонитом. Определить напряженность Е поля в точках, находящихся на расстояниях гг= = 1 см, г 2 = 3 см, г 3= 5 см от оси трубок. Построить график зависимо сти Е от г. 14.16. На отрезке тонкого прямого проводника длиной /= 1 0 см равномерно распределен заряд с линейной плотностью т = 3 мкКл/м. Вычислить напряженность Е, создаваемую этим зарядом в точке, расположенной на оси проводника и удаленной от ближайшего кон ца отрезка на расстояние, равное длине этого отрезка. 14.17. Тонкий стержень длиной /= 12 см заряжен с линейной плотностью т=200 нКл/м. Найти напряженность Е электрического 188 поля в точке, находящейся на расстоянии г = 5 см от стержня гГротив его середины. 14.18. Тонкий стержень длиной /= 10 см заряжен с линейной плотностью т=400 нКл/м. Найти напряженность Е электрического поля в точке, расположенной на перпендикуляре к стержню, про веденном через один из его концов, на расстоянии г = 8 см от этого конца. 14.19. Электрическое поле создано зарядом тонкого равномерно заряженного стержня, изогнутого по трем сторонам квадрата (рис. 14.9.). Длина а стороны квадрата равна 20 см. Линейная плотность т зарядов равна 500 нКл/м. Вычислить напряженность Е поля в точке А. Г 14.20. Два прямых тонких стержня длиной 12 см и / 2= 16 см каждый заряжены с линейной плотностью т=400 нКл/м. Стержни образуют прямой угол. Найти напряженность Е поля в точке А (рис. 14.10) Напряженность поля заряженной плоскости 14.21. Электрическое поле создано двумя бесконечными парал лельными пластинами, несущими одинаковый равномерно распре деленный по площади заряд (сг=1 нКл/м2). Определить напряжен ность Е поля: 1) между пластинами; 2) вне пластин. Построить график изменения напряженности вдоль линии, перпендикулярной пластинам. 14.22. Электрическое поле создано двумя бесконечными парал лельными пластинами, несущими равномерно распределенный по площади заряд с поверхностными плотностями (7i = l нКл/м2 и о 2= = 3 нКл/м2. Определить напряженность Е поля: 1) между пластина ми; 2) вне пластин. Построить график изменения напряженности вдоль линии, перпендикулярной пластинам. 14.23. Электрическое поле создано двумя бесконечными парал лельными пластинами, несущими равномерно распределенный по площади заряд с поверхностными плотностями аг= 2 нКл/м2 и <*2= —5 нКл/м2. Определить напряженность Е поля: 1) между пластинами; 2) вне пластин. Построить график изменения напря женности вдоль линии, перпендикулярной пластинам. 14.24. Две прямоугольные одинаковые параллельные пластины, Длины сторон которых а= 10 см и 6 = 15 см, расположены на малом 189 (по сравнению с линейными размерами пластин) расстоянии друг от друга. На одной из пластин равномерно распределен заряд Qг= =50 нКл, на другой — заряд Q2= 150 нКл. Определить напряжен ность Е электрического поля между пластинами. 14.25. Две бесконечные параллельные пластины равномерно за ряжены с поверхностной плотностью ох=10 нКл/м2 и о2~ = —30 нКл/м2. Определить силу взаимодействия между пластина ми, приходящуюся на площадь 5, равную 1 м2. 14.26. Две круглые параллельные пластины радиусом R = 10 см находятся на малом (по сравнению с радиусом) расстоянии друг от друга. Пластинам сообщили одинаковые по модулю, но противо положные по знаку заряды |Qi |= |Q 2|=Q . Определить этот заряд Q, если пластины притягиваются с силой F = 2 мН. Считать, что заряды распределяются по пластинам равномерно. Напряженность поля заряда, распределенного по объему 14.27. Эбонитовый сплошной шар радиусом R = 5 см несет заряд, равномерно распределенный с объемной плотностью р = 10 нКл/м3. Определить напряженность Е и смещение D электрического поля в точках: 1) на расстоянии гг= 3 см от центра сферы; 2) на поверхно сти сферы; 3) на расстоянии г2= 10 см от центра сферы. Построить графики зависимостей Е(г) и D(r). 14.28. Полый стеклянный шар несет равномерно распределенный по объему заряд, Его.объемная плотность р=100 нКл/м3. Внутрен ний радиус Rx шара равен 5 см, наружный — R 2= 10 см. Вычислить напряженность Е и смещение D электрического поля в точках, от стоящих от центра сферы на расстоянии: 1) гг= 3 см; 2) г2= 6 см; З )г3=12см . Построить графики зависимо стей Е (г) и D (г). 14.29. Длинный парафиновый цилиндр радиусом R = 2 см несет заряд, равномер но распределенный по объему с объемной плотностью р = 10 нКл/м3. Определить на пряженность Е и смещение D электричес кого поля в точках, находящихся от оси цилиндра на расстоянии: 1) гг= 1 см; 2) г2~ = 3 см. Обе точки равноудалены от концов цилиндра. Построить графики зависимо Рис. стей В (г) и D (г). 14.30. Большая плоская пластина толщиной d= 1 см несет заряд, равномерно распределенный по объему с объемной плотностью р = 100 нКл/м3. Найти напряженность Е электрического поля: вблизи центральной части пластины вне ее, на малом расстоянии от поверхности. 14.31. Лист стекла толщиной d = 2 см равномерно заряжен с объ емной плотностью р=1 мкКл/м3. Определить напряженность Е и смещение D электрического поля в точках Л, В, С (рис. 14.11). Построить график зависимости Е (х) (ось х координат перпендику лярна поверхности листа стекла). 190 Метод зеркальных изображений 14.32. На некотором расстоянии а = 5 см от бесконечной проводя щей плоскости находится точечный заряд Q= 1 нКл. Определить силу Fy действующую на заряд со стороны индуцированного им за ряда на плоскости. 14.33. На расстоянии а= 10 см от бесконечной проводящей плос кости находится точечный заряд Q=20 нКл. Вычислить напряжен ность Е электрического поля в точке, удаленной от плоскости на расстояние а и от заряда Q на расстояние 2а. 14.34. Точечный заряд Q=40 нКл находится на расстоянии =30 см от бесконечной проводящей плоскости. Какова напряжен ность Е электрического поля в точке А (рис. 14.12)? I I I I Рис. 14.13 14.35. Большая металлическая пластина расположена в верти кальной плоскости и соединена с землей (рис. 14.13). На расстоянии а= 10 см от пластины находится неподвижная точка, к которой на нити длиной /= 12 см подвешен маленький шарик массой т = 0 ,1 г. При сообщении шарику заряда Q он притянулся к пластине, в ре зультате чего нить отклонилась от вертикали на угол а= 30°. Най ти заряд Q шарика. Сила у действующая на заряд в электрическом поле •14.36. Тонкая нить несет равномерно распределенный по длине заряд с линейной плотностью т = 2 мкКл/м. Вблизи средней части нити на расстоянии г=1 см, малом по сравнению с ее длиной, нахо дится точечный заряд Q = 0 ,1 мкКл. Определить силу F, действую щую на заряд. 191 14.37. Большая металлическая пластина несет равномерно рас пределенный по поверхности заряд (0=10 нКл/м2). На малом рас стоянии от пластины находится точечный заряд Q = 100 нКл. Найти силу F, действующую на заряд. 14.38. Точечный заряд Q= 1 мкКл находится вблизи большой равномерно заряженной пластины против ее середины. Вычислить поверхностную плотность а заряда пластины, если на точечный заряд действует сила F = 60 мН. 14.39. Между пластинами плоского конденсатора находится то чечный заряд Q=30 нКл. Поле конденсатора действует на заряд с силой Ft = 10 мН. Определить силу F2 взаимного притяжения плас тин, если площадь 5 каждой пластины равна 100 см2. 14.40. Параллельно бесконечной пластине, несущей заряд, рав номерно распределенный по площади с поверхностной плотностью а= 2 0 нКл/м2, расположена тонкая нить с равномерно распределен ным по длине зарядом (т=0,4 нКл/м). Определить силу F, дейст вующую на отрезок нити длиной 1=1 м. 14.41. Две одинаковые круглые пластины площадью по S = 100 см2 каждая расположены параллельно друг другу. Заряд Qx одной пла стины равен +100 нКл, другой Q2= —100 нКл. Определить силу F взаимного притяжения пластин в двух случаях, когда расстояние между ними: 1) гг=2 см; 2) г2= 10 м. 14.42. Плоский конденсатор состоит из двух пластин, разделен ных стеклом. Какое давление р производят пластины на стекло перед пробоем, если напряженность Е электрического поля перед пробоем равна 30 МВ/м? 14.43. Две параллельные, бесконечно длинные прямые нити несут заряд, равномерно распределенный по длине с линейными плотностями T i = 0 , l мкКл/м и т 2= 0,2 м к К л / m . Определить силу F взаимодействия, приходящуюся на отрезок нити длиной 1 м. Рас стояние г между нитями равно 10 см. 14.44. Прямая, бесконечная, тонкая нить несет равномерно рас пределенный по длине заряд (^ = 1 мкКл/м). В плоскости, содержа щей нить, перпендикулярно нити находится тонкий стержень дли ной /. Ближайший к нити конец стержня находится на расстоянии I от нее. Определить силу F, действующую на стержень, если он заряжен с линейной плотностью т 2=0,1 мкКл/м. 14.45. Металлический шар имеет заряд QX=0,1 мкКл. На рас стоянии, равном радиусу шара, от его поверхности находится конец нити, вытянутой вдоль силовой линии. Нить несет равномерно рас пределенный по длине заряд Q2= 10 нКл. Длина нити равна радиусу шара. Определить силу F, действующую на нить, если радиус R шара равен 10 см. 14.46. Соосно с бесконечной прямой равномерно заряженной линией ( т ! = 0 , 5 м к К л / m ) расположено полукольцо с равномерно распределенным зарядом (Т2=20 нКл/м). Определить силу F взаимо действия нити с полукольцом. 14.47. Бесконечная прямая нить несет равномерно распреде ленный заряд с линейной плотностью тх= 1 мкКл/м. Соосно с ни192 тью расположено тонкое кольцо, заряженное равномерно с линей ной плотностью т 2= 10 нКл/м. Определить силу F, растягивающую кольцо. Взаимодействием между отдельными элементами кольца пренебречь. 14.48. Две бесконечно длинные равномерно заряженные тонкие нити (т!= т2= т = 1 мкКл/м) скрещены под прямым углом друг к дру гу. Определить силу F их взаимодействия. Поток напряженности и поток электрического смещения 14.49. Бесконечная плоскость несет заряд, равномерно распре деленный с поверхностной плотностью а= 1 мкКл/м2. На некотором расстоянии от плоскости параллельно ей расположен круг радиусом г = 10 см. Вычислить поток Ф Е вектора напряженности через этот круг. 14.50. Плоская квадратная пластина со стороной длиной а , равной 10 см, находится на некотором расстоянии от бесконечной равномерно заряженной (а=1 мкКл/м2) плоскости. Плоскость пла стины составляет угол (3=30° с линиями поля. Найти поток эле ктрического смещения через эту пластину. 14.51. В центре сферы радиусом R = 20 см находится точечный заряд Q = 10 нКл. Определить поток Ф Е вектора напряженности через часть сферической поверхности площадью S = 20 см2. 14.52. В вершине конуса с телесным углом со=0,5 ср находится точечный заряд Q=30 нКл. Вычислить поток W электрического смещения через площадку, ограниченную линией пересечения по верхности конуса с любой другой поверхностью. 14.53. Прямоугольная плоская площадка со сторонами, длины а и b которых равны 3 и 2 см соответственно, находится на рассто янии R = 1 м от точечного заряда Q= 1 мкКл. Площадка ориентиро вана так, что линии напряженности составляют угол а =30° с ее поверхностью. Найти поток Ф Е вектора напряженности через площадку. 14.54. Электрическое поле создано точечным зарядом 0= 0,1 мкКл. Определить поток ¥ электрического смещения че рез круглую площадку радиусом R = 30 см. Заряд равноудален от краев площадки и находится на расстоянии а= 40 см от ее цент ра. 14.55. Заряд Q=1 мкКл равноудален от краев круглой пло щадки на расстоянии г= 20 см. Радиус R площадки равен 12 см. Определить среднее значение напряженности (Е) в пределах пло щадки. 14.56. Электрическое поле создано бесконечной прямой равно мерно заряженной линией (т=0,3 мкКл/м). Определить поток 4я электрического смещения через прямоугольную площадку, две большие стороны которой параллельны заряженной линии и оди наково удалены от нее на расстояние г=20 см. Стороны площадки имеют размеры а =20 см, 6=40 см. 7 № 1268 193 § 15. ПОТЕНЦИАЛ. ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЗАРЯДОВ, РАБОТА ПО ПЕРЕМЕЩЕНИЮ ЗАРЯДА В ПОЛЕ Основные формулы • Потенциал электрического поля есть величина, равная отно шению потенциальной энергии точечного положительного заряда, помещенную в данную точку поля, к этому заряду: <P=n/Qf или потенциал электрического поля есть величина, равная отноше нию работы сил поля по перемещению точечного положительного заряда из данной точки поля в бесконечность к этому заряду: q=AIQ. Потенциал электрического поля в бесконечности условно при нят равным нулю. Отметим, что при перемещении заряда в электрическом поле работа Ап, с внешних сил равна по модулю работе Лс>п сил поля и противоположна ей по знаку: А А ^в.с ^с.п* • Потенциал электрического поля, создаваемый точечным за рядом Q на расстоянии г от заряда, = Q ^ 4лг0ег* • Потенциал электрического поля, создаваемого металличе ской, несущей заряд Q сферой радиусом R, на расстоянии г от центра сферы: внутри сферы (r < R ) Ф= на поверхности сферы (r — R ) вне сферы (г > R) Ф= 4^ <р= 4л^ гр>; . Во всех приведенных для потенциала заряженной сферы форму лах е есть диэлектрическая проницаемость однородного безгранич ного диэлектрика, окружающего сферу. Ф Потенциал электрического поля, созданного системой п точечных зарядов, в данной точке в соответствии с принципом су перпозиции электрических полей равен алгебраической сумме потенциалов фь ср2, . . ., фп, создаваемых отдельными точечными зарядами Qu Q2, . . ., Qn: п ф= 2 i—1Ф/. • Энергия W взаимодействия системы точечных зарядов Qu Q............ Qn определяется работой, которую эта система зарядов может совершить при удалении их относительно друг друга в бес194 конечность, и выражается формулой П i=i где фг — потенциал поля, создаваемого всеми п — 1 зарядами (за исключением /-го) в точке, где расположен заряд Qt. • Потенциал связан с напряженностью электрического поля соотношением Е = —grad ф. В случае электрического поля, обладающего сферической сим метрией, эта связь выражается формулой F _ _ i2 .il dr г 9 или в скалярной форме а в случае однородного поля, т. е. поля, напряженность которого в каждой точке его одинакова как по модулю, так и по направле нию, £, = (Фх— Фi)/d, где Фх и ф2 — потенциалы точек двух эквипотенциальных поверх ностей; d — расстояние между этими поверхностями вдоль электри ческой силовой линии. • Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении точечного заряда Q из одной точки поля, имеющей потенциал фь в другую, имеющую потенциал ф2, А —Q (фг— ф2), или А = Q J Е г dly L где Е г — проекция вектора напряженности Е на направление перемещения; d/ — перемещение. В случае однородного поля последняя формула принимает вид A=QEl cos ос, где I — перемещение; а — угол между направлениями вектора Е и перемещения 1. Примеры решения задач Пример 1. Положительные заряды Q i=3 мкКл и Q2—20 нКл находятся в вакууме на расстоянии гг= 1,5 м друг от друга. Опре делить работу Л ', которую надо совершить, чтобы сблизить заряды до расстояния г2=1 м. Р е ш е н и е . Положим, что первый заряд остается неподвиж ным, а второй Q2 п о д действием внешних сил перемещается в поле, созданном зарядом Qlf приближаясь к нему с расстояния Гх=1,5 м до г 2—1 м. 7* 195 Работа А' внешней силы по перемещению заряда Q из одной точки поля с потенциалом фг в другую, потенциал которой ср2, равна по модулю и противоположна по знаку работе А сил поля по пере мещению заряда между теми же точками: А' = —А. Работа А сил поля по перемещению заряда -A=Q(фх — q>2). Тогда работа А' внешних сил может быть записана в виде А' = —Q( q>i — Ф2)=<3(ф2 — <Pi). (1) Потенциалы точек начала и конца пути выразятся формулами <^>1 4 л е 0 Г1 ’ 4 л 8 0 Г2 * Подставляя выражения ф* и ф2 в формулу (1) и учитывая, что для данного случая переносимый заряд Q = Q 2y получим дг _ Q1 Q2 f J___ “ 4лг0 \Г 2 П ( 2) Если учесть, что 1/ (4jxe0) = 9 •109 м/Ф, то после подстановки зна чений величин в формулу (2) и вычисления найдем Л' = 180 мкДж. Пример 2. Найти работу А поля по перемещению заряда Q= = 10 нКл из точки 1 в точку 2 (рис. 15.1), находящиеся между двумя разноименно заряженными с поверх ностной плотностью 0=0,4 мкКл/м2 бесконечными параллельными плос */ костями, расстояние / между которы ми равно 3 см. -б Р е ш е н и е . Возможны два спо Рис. 15.1 соба решения задачи. 1-й способ. Работу сил поля по пе ремещению заряда Q из точки 1 поля с потенциалом ф! в точку 2 поля с потенциалом ф2 найдем по формуле 4 =Q(cpi — ф 2). ( 1) Для определения потенциалов в точках 1 и 2 проведем через эти точки эквипотенциальные поверхности I w II. Эти поверхности будут плоскостями, так как поле между двумя равномерно заряжен ными бесконечными параллельными плоскостями однородно. Для такого поля справедливо соотношение <Pi — Фа=Я/, (2) где Е — напряженность поля; / — расстояние между эквипотен циальными поверхностями. Напряженность поля между параллельными бесконечными раз ноименно заряженными плоскостями £ = а /е 0. Подставив это выра жение Е в формулу (2) и затем выражение ф* — ф2 в формулу (1), получим A=Q(o/e0)l. 2-й способ. Так как поле однородно, то сила, действующая на заряд Q, при его перемещении постоянна. Поэтому работу переме196 щения заряда из точки 1 в точку 2 можно подсчитать по формуле A = FAr cos а , (3) где F — сила, действующая на заряд; Дг — модуль перемещения заряда Q из точки 1 в точку 2; а — угол между направлениями пе ремещения и силы. Но F = QE = Q^-. Подставив это выражение F в равенство (3), а также заметив, что Лг cos а = / , получим A=Q(o/e0)l. (4) Таким образом, оба решения приводят к одному и тому же ре зультату. Подставив в выражение (4) значение величин Q, а, е0 и /, найдем А = 13,6 мкДж. Пример 3. По тонкой нити, изогнутой по дуге окружности ра диусом R, равномерно распределен заряд с линейной плотностью т = 10 нКл/м. Определить на пряженность Е и потенциал ср электрического поля, создаваемого таким распределен ным зарядом в точке О, сов падающей с центром кривизны дуги. Длина / нити составля ет 1/3 длины окружности и равна 15 см. Р е ш е н и е . Выберем оси координат так, чтобы начало координат совпадало с цент ром кривизны дуги, а ось у была симметрично расположе Рис. 15.2 на относительно концов дуги (рис. 15.2). На нити выделим элемент длины d/. Заряд dQ=tdZ, на ходящийся на выделенном участке, можно считать точечным. Определим напряженность электрического поля в точке О. Для этого найдем сначала напряженность dE поля, создаваемого заря дом dQ: т dZ I dE 4ле0г2 7 ’ где г — радиус-вектор, направленный от элемента d/ к точке, напря женность в которой вычисляется. Выразим вектор dE через проек ции dЕх и d Еу на оси координат: dE = i d E x + j d ^ , где i и j — единичные векторы направлений (орты). Напряженность Е найдем интегрированием: Е = $dE = i$ d£* + j $(!£„. I I I Интегрирование ведется вдоль дуги длины I. В силу симметрии инJ97 теграл J d Ех равен нулю. Тогда i (1) f где &Еу = dE cosФ— 4^ г2 cos-&. Так KaK/'=i?=const и dt=Rdb,x:o хR dd COS{b •cosft dft. d Е„ ' u ~ ~ 4 n e 0R 2 “ 4яе0Я Подставим найденное выражение d Е у в (1) и, приняв во внимание симметричное расположение дуги относительно оси Оу, пределы интегрирования возьмем от 0 до я /3, а результат удвоим: Я/З E = jl^ R j c o s ^ d T = j12^л&0R | s 1i n ^ r Подставив указанные пределы и выразив R через длину дуги (3 /= =2nR), получим Е= ) б Ь п Из этой формулы видно, что вектор Е совпадает с положительным направлением оси Оу. Подставив значение т и / в последнюю фор мулу и сделав вычисления, найдем £ = 2 ,1 8 кВ/м. Определим потенциал электрического поля в точке О. Найдем сначала потенциал dcp, создаваемый точечным зарядом d Q в точке О: л т d/ ^ 4ле0г Заменим г на R и произведем интегрирование: ф r d /= ^ L 4ле0£ о Так как /=2л/?/3, то Y * 4ле0Я J Ф = Т / ( б 8 0). Произведя вычисления по этой формуле, получим ср=188 В. Пример 4. Электрическое поле создано длинным цилиндром радиусом R ~ 1 см, равномерно заряженным с линейной плотностью т= 20 нКл/м. Определить разность потенциалов двух точек этого поля, находящихся на расстояниях ai= 0 ,5 см v а 2= 2 см от поверх ности цилиндра, в средней его части. Р е ш е н и е . Для определения разности потенциалов восполь зуемся соотношением между напряженностью поля и изменением потенциала Е = —grad ср. Для поля с осевой симметрией, каким является поле цилиндра, это соотношение можно записать в виде £ = — 198 или d<p = — Edr. Интегрируя последнее выражение, найдем разность потенциа лов двух точек, отстоящих на г± и г2 от оси цилиндра: ф2— Я>1 = — S Edr. (1) Гх Так как цилиндр длинный и точки взяты вблизи его средней части, то для выражения напряженности поля можно воспользо ваться формулой Е = . Подставив это выражение Е в равенство (1), получим Г<1 т Г dr X ^ г2 ф2— Фх = — 2ж0) 7 Ш~0[п71’ или Гх 1п^ Ф1— ф2= — 2лв0 1 Г\ ( 2) Так как величины г2 и г± входят в формулу в виде отношения, то их можно выразить в любых, но только одинаковых единицах: r i= /? + a i= 1,5 см; r2= R + a 2^ 3 см. Подставив значения величин т, е0, гг и г2 в формулу (2) и вы числив, найдем cpi — ср2=250 В. Пример 5. Электрическое поле создано тонким стержнем, не сущим равномерно распределенный по длине заряд т=0,1 мкКл/м. Определить потенциал ср поля в точке, удаленной от концов стержня на расстояние, равное длине стержня. Р е ш е н и е . Заряд, находящийся на стержне, нельзя считать точечным, поэтому непосредственно применить для вычисления по тенциала формулу справедливую только для точечных зарядов, нельзя. Но если раз бить стержень на элементарные отрезки d/, то заряд xd/, находя щийся на каждом из них, можно рассматривать как точечный и то гда формула (1) будет справедлива. Применив эту формулу, полу чим т d/ dtp —4яе0г ’ ( 2) где г — расстояние точки, в которой определяется потенциал, до элемента стержня. Из рис. 15.3 следует, что d/ = • Подставив это выражение d/ в формулу (2), найдем _ 1 ^ т da 4ле0 cos а ‘ Интегрируя полученное выражение в пределах от ос* до а 2, получим потенциал, создаваемый всем зарядом, распределенным 199 'н а с т е р ж н е : Ф т da 4ле0 cos a a2 т Г da 4ле0 j cos а* Oil В силу симметрии расположения точки А относительно концой . стержня имеем a 2= a L и поэтому а2 Г da _ g Г J cos a J cos a* ai 0 Следовательно, ai 2т Г da ----\ ----- . cp = Y 4ле0 J cos a о Так как { a = In tgb 1 (см. табл. 2), то J cos a a ln tg ¥ Подставляя пределы интегрирования, получим я \ |?t/6 7 J|o * Сделав вычисления по этой формуле, найдем ср=990 В. Пример 6. Электрон со скоростью v= 1,83ПО6 м/с влетел в одно родное электрическое поле в направлении, противоположном век тору напряженности поля. Какую разность потенциалов U должен пройти электрон, чтобы обладать энергией £^ = 13,6 эВ *? (Обла дая такой энергией, электрон при столкновении с атомом водорода может ионизировать его. Энергия 13,6 эВ называется энергией ионизации водорода.) Р е ш е н и е . Электрон должен пройти такую разность потен циалов U , чтобы приобретенная при этом энергия W в сумме с ки нетической энергией Т, которой обладал электрон перед вхожде нием в поле, составила энергию, равную энергии ионизации E iy т. е. W + T —Ei. Выразив в этой формуле W=eU и Т = ^ - , полу чим eU + = Е{. Отсюда тj _2Ei —mv2 ~~ 2ё **1 * Электрон-вольт (эВ) — энергия, которую приобретает частица, имею щая заряд, равный заряду электрона, прошедшая разность потенциалов 1 В. Эта внесистемная единица энергии в настоящее время допущена к при менению в физике. 200 Произведем вычисления в единицах СИ: 17=4,15 В. Пример 7. Определить начальную скорость v0 сближения про тонов, находящихся на достаточно большом расстоянии друг от друга, если минимальное расстояние гтш, на которое они могут сблизиться, равно 10“ п см. Р е ш е н и е . Между двумя протонами действуют силы оттал кивания, вследствие чего движение протонов будет замедленным. Поэтому задачу можно решить как в инерциальной системе коор динат (связанной с центром масс двух протонов), так и в неинер циальной (связанной с одним из ускоренно движущихся протонов). Во втором случае законы Ньютона не имеют места. Применение же принципа Даламбера затруднительно из-за того, что ускорение системы будет переменным. Поэтому удобно рассмотреть задачу в инерциальной системе отсчета. Поместим начало координат в центр масс двух протонов. По скольку мы имеем дело с одинаковыми частицами, то центр масс будет находиться в точке, делящей пополам отрезок, соединяющий частицы. Относительно центра масс частицы будут иметь в любой момент времени одинаковые по модулю скорости. Когда частицы находятся на достаточно большом расстоянии друг от друга, ско рость vx каждой частицы равна половине v0, т. е. v±= v0/2. Для решения задачи применим закон сохранения энергии, со гласно которому полная механическая энергия Е изолированной системы постоянна, т. е. Е = Т + П, где Т — сумма кинетических энергий обоих протонов относительно центра масс; П — потенциальная энергия системы зарядов. Выразим потенциальную энергию в начальный Пг и конечный П 2 моменты движения. В начальный момент, согласно условию задачи, протоны нахо дились на большом расстоянии, поэтому потенциальной энергией можно пренебречь (П1=0). Следовательно, для начального момента полная энергия будет равна кинетической энергии 7\ протонов, т. е. Е = Тг. (1) В конечный момент, когда протоны максимально сблизятся, скорость и кинетическая энергия равны нулю, а полная энергия будет равна потенциальной энергии П 2, т. е. £ = П 2. (2) Приравняв правые части равенств (1) и (2), получим 7 \= П 2. (3) Кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий про тонов: Тх = = mv\ tnv о 4 * (4) 201 Потенциальная энергия системы двух зарядов Qi и Q2, находя щихся в вакууме, определяется по формуле П = , где г — расстояние между зарядами. Воспользовавшись этой формулой, получим е2 п2 4л8оГт .(5) 11г С учетом равенств (4) и (5) формула (3) примет вид wо ё2 /./-----------~ = 0ТКуда v»= e iV ж0тгтп. Выполнив вычисления по полученной формуле, найдем 1>о=2,35 Мм/с. Пример 8. Электрон без начальной скорости прошел разность потенциалов U0~ 10 кВ и влетел в пространство между пластинами плоского конденсатора, заряженного до разности потенциалов и г= \00 В, по линии А В , параллельной пластинам (рис. 15.4). Расстояние d между пласти______ if iz ^ нами равно 2 см. Длина 1± пластин конденсатора в нап А I - V равлении полета электрона Щ ^ tr0 g_L_o— "~-М- Чи Щ щ равна 20 см. Определить рас К ат од\ + + + + + + + |у~|p f стояние ВС на экране Р, от Анод стоящем от конденсатора на Ч !t с=зVV /, / 2= 1 м. ^ V// Решение. Движение электрона внутри конденсато Рис. 15.4 ра складывается из двух движений: 1) по инерции вдоль линии АВ с постоянной скоростью v0, приобретенной под действием разности потенциалов U0, которую электрон прошел до конденсатора; 2) равномерно ускоренного дви жения в вертикальном направлении к положительно заряженной пластине под действием постоянной силы поля конденсатора. По выходе из конденсатора электрон будет двигаться равномерно со скоростью v , которую он имел в точке М в момент вылета из кон денсатора. Из рис. 15.4 видно, что искомое расстояние \BC\=h1Jrh 2i где fti — расстояние, на которое сместится электрон в вертикальном направлении во время движения в конденсаторе; h 2 — расстояние между точкой D на экране, в которую электрон попал бы, двигаясь по выходе из конденсатора по направлению начальной скорости v0, и точкой С, в которую электрон попадет в действительности. Выразим отдельно h i и h 2. Пользуясь формулой длины пути равномерно ускоренного движения, найдем hx=at4 2, (1) где а — ускорение, полученное электроном под действием поля конденсатора; t — время полета электрона внутри конденсатора. a 202 По второму закону Ньютона a^F lm , где F — сила, с которой поле действует на электрон; т — его масса. В свою очередь, F= =eE=eU1/d, где е — заряд электрона; Ux — разность потенциалов между пластинами конденсатора; d — расстояние между ними. Время полета электрона внутри конденсатора найдем из фор мулы пути равномерного движения /i= u 0f, откуда где 1Х— длина конденсатора в направлении полета электрона. Выражение скорости v0 найдем из условия равенства работы, совер шенной полем при перемещении электрона, и приобретенной им кинетической энергии: mvll2=eU0. Отсюда vl = 2eUjm. (2) Подставляя в формулу (1) последовательно значения a, F , t и v\ из соответствующих выражений, получим Длину отрезка h2найдем из подобия треугольников MDC и век торного: Л, = (3) где v1 — скорость электрона в вертикальном направлении в точке уИ; / 2 — расстояние от конденсатора до экрана. Скорость и* найдем по формуле vx=at, которая с учетом выра жений для a, F и t примет вид eUih и1=ш и;Подставив выражение vx в формулу (3), плучим ht — заменив v\ по формуле (3), найдем ь _ U 1l1fi 2 dmuo t или, 2d u 0 ' Окончательно для искомого расстояния |ВС| будем иметь и ill , u,hl2 | ВС | —•ft, + К 4dU„ ~т~ 2dU„ Подставив значения величин lh, U0, d, и /а в последнее выра жение и произведя вычисления, получим | ВС | = 5,5 см. Задачи Потенциальная энергия и потенциал поля точечных зарядов 15.1. Точечный заряд Q=10 нКд, находясь в некоторой точке поля, обладает потенциальной энергией П = 10 мкДж. Найти по тенциал ф этой точки поля. 203 ' 1 1 1 1 Ч-1 1 Г? с* 1 15.2. При перемещении заряда Q = 20 нКл между двумя точ ками поля внешними силами была совершена работа А = 4 мкДж. Определить работу А г сил поля и разность Дер потенциалов этих точек поля. 15.3. Электрическое поле создано точечным положительным зарядом Qi= 6 нКл. Положительный заряд Q2 переносится из точки А этого поля в точку В (рис. 15.5). Каково изменение потенциаль ной энергии ДП, приходящееся на единицу переносимого заряда, если гг=20 см и г2= 5 0 см? *2 Рис. 15.5 Р1 S Рис. 15.6 15.4. Электрическое поле создано точечным зарядом Qi = 50 нКл. Не пользуясь понятием потенциала, вычислить работу А внешних сил по перемещению точечного заряда Q2= —2 нКл из точки С в точку В (рис. 15.6), если ^ = 10 см, г2= 20 см. Определить также изменение ДП потенциальной энергии системы зарядов. 15.5. Поле создано точечным зарядом Q= 1 нКл. Определить потенциал ср поля в точке, удаленной от заряда на расстояние г —20 см. 15.6. Определить потенциал ср электрического поля в точке, удаленной от зарядов Qt = —0,2 мкКл и Q2= 0,5 мкКл соответствен но на гх= 15 см и г2=25 см. Определить также минимальное и мак симальное расстояния между зарядами, при которых возможно решение. 15.7. Заряды Qi = 1 мкКл и Q2= —1 мкКл находятся на рас стоянии d=10 см. Определить напряженность Е и потенциал ср поля в точке, удаленной на расстояние г=10 см от первого заряда и лежащей на линии, проходящей через первый заряд перпенди кулярно направлению от Qi к Q2. 15.8. Вычислить потенциальную энергию П системы двух то чечных зарядов Qx= 100 нКл и Q2=10 нКл, находящихся на рас стоянии d =10 см друг от друга. 15.9. Найти потенциальную энергию П системы трех точечных зарядов Q i= 10 нКл, Q2=20 нКл и Q3= —30 нКл, расположенных в вершинах равностороннего треугольника со стороной длиной а =10 см. 15.10. Какова потенциальная энергия П системы четырех оди наковых точечных зарядов Q = 10 нКл, расположенных в верши нах квадрата со стороной длиной а =10 см? 15.11. Определить потенциальную энергию П системы четырех точечных зарядов, расположенных в вершинах квадрата со сторо ной длиной а= 10 см. Заряды одинаковы по модулю Q = 10 нКл, 204 но два из них отрицательны. Рассмотреть два возможных случая расположения зарядов. 15.12. Поле создано двумя точечными зарядами +2Q и —Q, находящимися на расстоянии d = 12 см друг от друга. Определить геометрическое место точек на 2 плоскости, для которых потенциал г т равен нулю (написать уравнение линии нулевого потенциала). 15.13. Система состоит из трех зарядов — двух одинаковых по величине Qx= IQ21= 1 мкКл и противоположных по знаку и за ряда Q= 20 нКл, расположенного в точке 1 посередине между дву Рис. 15.7 мя другими зарядами системы (рис. 15.7). Определить изменение потенциальной энергии ДП системы при переносе заряда Q из точ ки 1 в точку 2. Эти точки удалены от отрицательного заряда Q2 на расстояние 0,2 м. Потенциал поля линейно распределенных зарядов 15.14. По тонкому кольцу радиусом R=\Q см равномерно рас пределен заряд с линейной плотностью т=10 нКл/м. Определить потенциал ср в точке, лежащей на оси кольца, на расстоянии а=5 см от центра. 15.15. На отрезке тонкого прямого проводника равномерно рас пределен заряд с линейной плотностью т=10 нКл/м. Вычислить потенциал ф, создаваемый этим зарядом в точке, расположенной на оси проводника и удаленной от ближайшего конца отрезка на расстояние, равное длине этого отрезка. 15.16. Тонкий стержень длиной /= 10 см несет равномерно распределенный заряд Q= 1 нКл. Определить потенциал ф электри ческого поля в точке, лежащей на оси стержня на расстоянии а= = 20 см от ближайшего его конца. 15.17. Тонкие стержни образуют квадрат со стороной длиной а. Стержни заряжены с линейной плотностью т=1,33 нКл/м. Найти потенциал ф в центре квадрата. 15.18. Бесконечно длинная тонкая прямая нить несет равно мерно распределенный по длине нити заряд с линейной плотно стью т=0,01 мкКл/м. Определить разность потенциалов Дф двух точек поля, удаленных от нити на гг= 2 см и г 2= 4 см. Потенциал поля зарядов, распределенных по поверхности 15.19. Тонкая круглая пластина несет равномерно распреде ленный по плоскости заряд Q= 1 нКл. Радиус R пластины равен 5 см. Определить потенциал ф электрического поля в двух точках: 205 1) в центре пластины; 2) в точке, лежащей на оси, перпендикуляр ной плоскости пластины и отстоящей от центра пластины на = 5 см. 15.20. Имеются две концентрические металлические сферы ра диусами Яг=3 см и R 2=6 см. Пространство между сферами запол нено парафином. Заряд Q* внутренней сферы равен — 1 нКл, внеш ний Q2= 2 нКл. Найти потенциал ср электрического поля на рас стоянии: 1) л*1= 1 см; 2) г 2=5 см; 3) г 3= 9 см от центра сфер. 15.21. Металлический шар радиусом R = 5 см несет заряд Q— = 1 нКл. Шар окружен слоем эбонита толщиной d = 2 см. Вычис лить потенциал ср электрического поля на расстоянии: 1) гг= 3 см; 2) г 2= 6 см; 3) г3= 9 см от центра шара. Построить график зависи мости ср(г). 15.22. Металлический шар радиусом 10 см заряжен до по тенциала ф!=300 В. Определить потенциал ср2 этого шара в двух случаях: 1) после того, как его окружат сферической проводящей оболочкой радиусом R 2= 15 см и на короткое время соединят с ней проводником; 2) если его окружить сферической проводящей за земленной оболочкой радиусом R 2= 15 см? 15.23. Заряд распределен равномерно по бесконечной плоскости с поверхностной плотностью сх=10 нКл/м2. Определить разность потенциалов Дер двух точек поля, одна из которых находится на плоскости, а другая удалена от плоскости на расстояние d = = 10 см. 15.24. Определить потенциал ср, до которого можно зарядить уединенный металлический шар радиусом R = 10 см, если напря женность Е поля, при которой происходит пробой воздуха, равна 3 МВ/м. Найти также максимальную поверхностную плотность а электрических зарядов перед пробоем. 15.25. Две бесконечные параллельные плоскости находятся на расстоянии d = 0,5 см друг от друга. На плоскостях равномерно распределены заряды с поверхностными плотностями а ^ О , 2 мкКл/м2 и а2= —0,3 мкКл/м2. Определить разность потенциалов U между плоскостями. 15.26. Две бесконечные параллельные плоскости находятся на расстоянии d= 1 см друг от друга. Плоскости несут равномерно рас пределенные по поверхностям заряды с плотностями 0^ 0,2 мкКл/м2 и 02= 0,5 мкКл/м2. Найти разность потенциалов U пластин. 15.27. Металлический шарик диаметром d=2 см заряжен от рицательно до потенциала ср=150 В. Сколько электронов находится на поверхности шарика? 15.28. Сто одинаковых капель ртути, заряженных до потенци ала ср=20 В, сливаются в одну большую каплю. Каков потенциал Ф1 образовавшейся капли? 15.29. Две круглые металлические пластины радиусом R = 10 см каждая, заряженные разноименно, расположены одна против дру гой параллельно друг другу и притягиваются с силой F = 2 мН. Расстояние d между пластинами равно 1 см. Определить разность потенциалов U между пластинами. 206 15.30. Электрическое поле создано бесконечно длинным равно мерно заряженным (сх=0,1 мкКл/м2) цилиндром радиусом R = 5 см. Определить изменение ДП потенциальной энергии однозарядного положительного иона при перемещении его из точки 1 в точку 2 (рис. 15.8). 15.31. Электрическое поле создано отри цательно заряженным металлическим шаром. Определить работу A i%2 внешних сил по перемещению заряда Q=40 нКл из точки 1 с .потенциалом cpi = —300 В в точку 2 (рис. 15.9). Потенциал поля зарядов, распределенных по объему 15.32. Плоская стеклянная пластинка толщиной d = 2 см заря жена равномерно с объемной плотностью р = 10 мкКл/м3. Найти разность потенциалов Дер между точкой, лежащей на поверхности пластины, и точкой, находящейся внутри пластины в ее середине. Считать, что размеры пластины велики по сравнению с ее толщиной. 15.33. Сплошной парафиновый шар радиусом R = 10 см равно мерно заряжен с объемной плотностью р = 1 мкКл/м3. Определить потенциал ср электрического поля в центре шара и на его по верхности. Построить график зависимости ср(л). 15.34. Эбонитовый толстостенный полый шар несет равномерно распределенный по объему заряд с плотностью р = 2 мкКл/м3. Внут ренний радиус Ri шара равен 3 см, наружный R 2= 6 см. Определить потенциал ср шара в следующих точках: 1) на наружной поверхности шара; 2) на внутренней поверхности шара; 3) в центре шара. Градиент потенциала и его связь с напряженностью поля 15.35. Бесконечная плоскость равномерно заряжена с поверх ностной плотностью о = 4 нКл/м2. Определить значение и направле ние градиента потенциала электрического поля, созданного этой плоскостью. 15.36. Напряженность Е однородного электрического поля в не которой точке равна 600 В/м. Вычислить разность потенциалов U между этой точкой и другой, лежащей на прямой, составляющей 207 угол а= 60° с направлением вектора напряженности. Расстояние Аг между точками равно 2 мм. 15.37. Напряженность Е однородного электрического поля равна 120 В/м. Определить разность потенциалов U между этой точкой и другой, лежащей на той же силовой линии и отстоящей от первой на Дг=1 мм. 15.38. Электрическое поле создано положительным точечным зарядом. Потенциал ср поля в точке, удаленной от заряда на г = = 12 см, равен 24 В. Определить значение и направление градиента потенциала в этой точке. 15.39. Бесконечная тонкая прямая нить несет равномерно рас пределенный по длине нити заряд с плотностью т= 1 нКл/м. Каков градиент потенциала в точке, удаленной на расстояние г = 10 см от нити? Указать направление градиента потенциала. 15.40. Сплошной шар из диэлектрика (е=3) радиусом R = 10 см заряжен с объемной плотностью р=50 нКл/м3. Напряженность электрического поля внутри и на поверхности такого шара выража ется формулой Е = г, где г — расстояние от центра шара до точки, в которой вычисляется напряженность поля. Вычислить разность потенциалов Дер между центром шара и точками, лежащими на его поверхности. Работа по перемещению зарядов в поле 15.41. Точечные заряды Qx= 1 мкКл и Q2=0,1 мкКл находятся на расстоянии r i= 10 см друг от друга. Какую работу А совершат силы поля, если второй заряд, отталкиваясь от первого, удалится от него на расстояние: 1) г2= 10 м; 2) г3= оо? 15.42. Электрическое поле создано двумя одинаковыми положительными точечными Рис. 15.10 зарядами Q. Найти работу А г,2 сил поля по перемешению заряда Qx= 10 нКл из точки 1 с потенциалом фх= 300 В в точку 2 (рис. 15.10). 15.43. Определить работу Ль 2 по перемещению заряда Qx= =50 нКл из точки 1 в точку 2 (рис. 15.11) в поле, созданном двумя точечными зарядами, модуль |Q| которых равен 1 мкКл и а=0,1 м. 15.44. Электрическое поле создано бесконечной равномерно за ряженной плоскостью с поверхностной плотностью заряда о= = 2 мкКл/м2. В этом поле вдоль прямой, составляющей угол а = 6 0 с плоскостью, из точки 1 в точку 2, расстояние / между которыми равно 20 см (рис. 15.12), перемещается точечный электрический заряд Q = 10 нКл. Определить работу А сил поля по перемещению заряда. 15.45. На отрезке прямого провода равномерно распределен заряд с линейной плотностью т= 1 мкКл/м. Определить работу А 208 сил поля по перемещению заряда Q = 1 нКл из точки В в точку С (рис. 15.13). 15.46. Тонкий стержень согнут в полукольцо. Стержень заряжен 2 Г *N 3J C 2 Рис. 15.il с линейной плотностью т=133 нКл/м. Какую работу А надо совер шить, чтобы перенести заряд Q= 6,7 нКл из центра полукольца в бесконечность? г Рис. 15.13 \ ш ——— </у - ------------ 2О ГR Рис. 15.14 2R Рис. 15.15 15.47. Тонкий стержень согнут в кольцо радиусом R = IQ см. Он заряжен с линейной плотностью т=300 нКл/м. Какую работу А надо совершить, чтобы перенести заi ряд Q= 5 нКл из центра кольца в точку, г расположенную на оси кольца на рас стоянии /= 2 0 см от центра его? 15.48. Электрическое поле создано равномерно распределенным по кольцу / 2 зарядом (т=1 мкКл/м). Определить ра о---------боту A lf 2 сил поля по перемещению за а 2а ряда Q= ЮнКл из точки 1 (в центре кольца) в точку 2, находящуюся на пер пендикуляре к плоскости кольца (рис. I I 15.14). Рис. 15.16 15.49. Определить работу Л1?2 сил поля по перемещению заряда Q= 1 мкКл из точки 1 в точку 2 поля, созданного заряженным проводящим шаром (рис. 15.15). Потенциал ср шара равен 1 кВ. 209 15.50. Бесконечная прямая нить несет равномерно распределен ный заряд (т=0,1 мкКл/м). Определить работу 2 сил поля по перемещению заряда Q=50 нКл из точки 1 в точку 2 (рис. 15.16). Движение заряженных частиц в электрическом поле 15.51. Электрон находится в однородном электрическом поле напряженностью £ = 2 0 0 кВ/м. Какой путь пройдет электрон за время /= 1 нс, если его начальная скорость была равна нулю? Ка кой скоростью будет обладать электрон в конце этого интервала времени? 15.52. Какая ускоряющая разность потенциалов U требуется для того, чтобы сообщить скорость 0=30 Мм/с: 1) электрону; 2) про тону? 15.53. Разность потенциалов U между катодом и анодом элект ронной лампы равна 90 В, расстояние r= 1 мм. С каким ускорением а движется электрон от катода к аноду? Какова скорость v электро на в момент удара об анод? За какое время t электрон пролетает расстояние от катода до анода? Поле считать однородным. 15.54. Пылинка массой т= 1 пг, несущая на себе пять электро нов, прошла в вакууме ускоряющую разность потенциалов [ /= = З М В . Какова кинетическая энергия Т пылинки? Какую скорость v приобрела пылинка? 15.55. Заряженная частица, пройдя ускоряющую разность по тенциалов U=600 кВ, приобрела скорость 0=5,4 Мм/с. Определить удельный заряд частицы (отношение заряда в массе). 15.56. Протон, начальная скорость v которого равна 100 км/с, влетел в однородное электрическое поле (£= 300 В/см) так, что вектор скорости совпал с направлением линий напряженности. Какой путь I должен пройти протон в направлении линий поля, чтобы его скорость удвоилась? 15.57. Бесконечная плоскость заряжена отрицательно с поверх ностной плотностью а=35,4 нКл/м2. По направлению силовой линии поля, созданного плоскостью, летит электрон. Определить минимальное расстояние /min, на которое может подойти к плокости электрон, если на расстоянии /0=5 см он имел кинетическую энер гию 7 = 8 0 эВ. 15.58. Электрон, летевший горизонтально со скоростью 0= = 1,6 Мм/с, влетел в однородное электрическое поле с напряжен ностью £ = 9 0 В/см, направленное вертикально вверх. Какова будет по модулю и направлению скорость v электрона через 1 нс? 15.59. Вдоль силовой линии однородного электрического поля движется протон. В точке поля с потенциалом срх протон имел ско рость 01=0,1 Мм/с. Определить потенциал ср2 точки поля, в которой скорость протона возрастает в п = 2 раза. Отношение заряда про тона к его массе е/т = 96 МКл/кг. 15.60. В однородное электрическое поле напряженностью £ = = 1 кВ/м влетает вдоль силовой линии электрон со скоростью 210 v0= l Мм/с. Определить расстояние /, пройденное электроном до точки, в которой его скорость vx будет равна половине начальной. 15.61. Какой минимальной скоростью vmhl должен обладать про тон, чтобы он мог достигнуть поверхности заряженного до потен циала ф=400 В металлического шара (рис. 15.17)? 15.62. Электрон движется вдоль силовой линий однородного электрического поля. В некоторой точке поля с потенциалом cpi= = 100 В электрон имел скорость t>i=6 Мм/с. Определить потенциал ср2 точки поля, в которой скорость v 2 электрона будет равна 0,5^. 15.63. Из точки 1 на поверхности бесконечно длинного отрица тельно заряженного цилиндра (т=20 нКл/м) вылетает электрон (0о= О). Определить кинетическую энергию Т электрона в точке 2, находящейся на расстоянии 9 R от поверхности цилиндра, где R — его радиус (рис. 15.18). 15.64. Электрон с начальной скоростью Vq— - 3 Мм/с влетел в однородное электрическое поле напряженностью £ = 1 5 0 В/м. Вектор начальной скорости перпендикулярен линиям напряженно сти электрического поля. Найти: 1) силу £, действующую на элек трон; 2) ускорение а, приобретаемое электроном; 2) скорость v электрона через [=0,1 мкс. 15.65. Электрон влетел в пространство между пластинами плоского конденсатора со скоростью у= 10 Мм/с, направленной параллельно пластинам. На сколько приблизится электрон к поло жительно заряженной пластине за время движения внутри конден сатора (поле считать однородным), если расстояние d между пласти нами равно 16 мм, разность потенциалов [/= 3 0 В и длина / пластин равна 6 см? 15.66. Электрон влетел в плоский конденсатор, имея скорость и = 10 Мм/с, направленную параллельно пластинам. В момент вылета из конденсатора направление скорости электрона составляло угол а= 35° с первоначальным направлением скорости. Определить разность потенциалов U между пластинами (поле считать одно родным), если длина I пластин равна 10 см и расстояние d между ними равно 2 см. 15.67. Электрон влетел в плоский конденсатор, находясь на одинаковом расстоянии от каждой пластины и имея скорость v= = 10 Мм/с, направленную параллельно пластинам, расстояние d 211 между которыми равно 2 см. Длина I каждой пластины равна 10 см. Какую наименьшую разность потенциалов U нужно приложить к пластинам, чтобы электрон не вылетел из конденсатора? 15.68*. Протон сближается с а-частицей. Скорость v1 протона в лабораторной системе отсчета на достаточно большом удалении от а-частицы равна 300 км/с, а скорость v2а-частицы можно принять равной нулю. Определить минимальное расстояние rmin, на кото рое подойдет протон к а-частице, и скорости иг и и 2 обеих частиц в этот момент. Заряд а-частицы равен двум элементарным поло жительным зарядам, а массу т1 ее можно считать в четыре раза большей, чем масса т2 протона. 15.69. Положительно заряженная частица, заряд которой равен элементарному заряду е, прошла ускоряющую разность потенциа лов U = 60 кВ и летит на ядро атома лития, заряд которого равен трем элементарным зарядам. На какое наименьшее расстояние гтхп частица может приблизиться к ядру? Начальное расстояние ча стицы от ядра можно считать практически бесконечно большим, а массу частицы — пренебрежимо малой по сравнению с массой ядра. 15.70. * Два электрона, находящиеся на большом расстоянии друг от друга, сближаются с относительной начальной скоростью v= \0 Мм/с. Определить минимальное расстояние rmin, на которое они могут подойти друг к другу. 15.71. * Две одноименные заряженные частицы с зарядами Qt и Q2 сближаются с большого расстояния. Векторы скоростей v, и v 2 частиц лежат на одной прямой. Определить минимальное рас стояние rmin, на которое могут подойти друг к другу частицы, если их массы соответственно равны и т2. Рассмотреть два случая: 1) т1= т 2 и 2) т2^>т1. 15.72. * Отношение масс двух заряженных частиц равно =т 1/т2. Частицы находятся на расстоянии г0 друг от друга. Какой кинетической энергией 7\ будет обладать частица массой т ь если она под действием силы взаимодействия со второй частицей удалится от нее на расстояние г^>г0. Рассмотреть три случая: 1) k= l; 2) k=0; 3) k->oomЗаряды частиц принять равными и Q2. Начальными скоростями частиц пренебречь. § 16. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ДИПОЛЬ. СВОЙСТВА ДИЭЛЕКТРИКОВ Основные формулы Ф Диполь есть система двух точечных электрических зарядов, равных по размеру и противоположных по знаку, расстояние / ме жду которыми значительно меньше расстояния г от центра диполя до точек наблюдения. Вектор 1, проведенный от отрицательного заряда диполя к его положительному заряду, называется плечом диполя. * Задачи 15.68; 15.70—15.72 следует решать в движущейся инерциаль ной системе координат, начало отсчета которой находится в центре масс обеих частиц. 212 Произведение заряда |Q | диполя на его плечо 1 называется элект рическим моментом диполя: P=IQ |i. 9 Напряженность поля диполя 4ле0ег3 V 1 + 3cos2a , где р — электрический момент диполя; г — модуль радиуса-век тора, проведенного от центра диполя к точке, напряженность поля в которой нас интересует; a — угол А между радиусом-вектором г и плечом 1 диполя (рис. 16.1). Напряженность поля диполя в точ ке, лежащей на оси диполя (а= 0), Е = __ £__ 2 л £ 0Е Г 3 и в точке, лежащей на перпендикуляре к плечу диполя, восставленном из его сеоедины (а= л/2), * р Рис. 16.1 4ле0ег3 ’ Ф Потенциал поля диполя <P = 4 ^ C0SaПотенциал поля диполя в точке, лежащей на оси диполя (а= 0), и в точке, лежащей на перпендикуляре к плечу диполя, восстав ленном из его середины (а= л/2), ср —0. Ф Механический момент, действующий на диполь с электри ческим моментом р, помещенный в однородное электрическое поле с напряженностью Е, М =[рЕ], или М ^рЕ sin a , где а — угол между направлениями векторов р и Е. В неоднородном электрическом поле кроме механического мо мента (пары сил) на диполь действует еще некоторая сила. В случае поля, обладающего симметрией относительно оси х, сила выражается соотношением Z7 дЕ р * = р ~д Г c o s a ’ дЕ где — частная производная напряженности поля, характе ризующая степень неоднородности поля в направлении оси х. При оО>л/2 сила Fx положительна. Это значит, что под дейст вием ее диполь втягивается в область сильного поля. 213 • Поляризо&анность (при однородной поляризации) Р = "“ДУ S P*’ 1=1 где р* — электрический момент отдельной (/-й) молекулы (или атома); N — число молекул, содержащихся в объеме &V. ф Связь поляризованности с напряженностью Е среднего ма кроскопического поля в диэлектрике Р= ке0Е, где к — диэлектрическая восприимчивость; е0 — электриче ская постоянная. ф Связь диэлектрической проницаемости г с диэлектрической восприимчивостью е=1+и. Ф Напряженность Е среднего макроскопического поля в ди электрике связана с напряженностью Е 0 внешнего поля соотноше ниями Е = Е 01& и Е = Е 0 — Р/еб. Ф Напряженность Елок локального поля для неполярных жидко стей и кристаллов кубической сингонии выражается формулами р п 1 ^ л о к = Е + "3 Р 17 n 8 -f- 2 р И ^лок — “ з 7 “ ^ 0 - ф Индуцированный электрический момент молекулы р = аг0Елок, где а — поляризуемость молекулы (а е+ а а, где а е — электронная поляризуемость; а а — атомная поляризуемость). ф Связь диэлектрической восприимчивости с поляризуемостью молекулы где п — концентрация молекул. ф Уравнение Клаузиуса — Мосотти 1 М 8— 1 8—1 или 3 аЛГА, Р е+ 2 S+2 т т > где М — молярная масса вещества; р — плотность вещества, ф Формула Лоренц-Лорентца 1 М п2— 1 п2—I -аеп, или р л2 + 2 3 а<ДА, ~п2+ 2 где п — показатель преломления диэлектрика; а е — электронная поляризуемость атома или молекулы. 214 • Ориентационная поляризуемость молекулы aov = p2/{3e0kT), где р — электрический момент молекулы; k — постоянная Больц мана; Т — термодинамическая температура. # Формула Дебая — Ланжевена М 8— 1 а + ЗеРл п или а 0kT е+ 2 ' 3EnkT Р е+ ; Примеры решения задач Пример 1. Диполь с электрическим моментом р= 2 нКл*м находится в однородном электрическом поле напряженностью Е —30 кВ/м. Вектор р составляет угол а 0=60° с направлением си ловых линий поля. Определить произведенную внешними силами работу А поворота диполя на угол |3=30°. Р е ш е н и е . Из исходного положения (рис. 16.2, а) диполь можно повернуть на угол р=30°= л/6 двумя способами: или по часовой стрелке до угла а г= а 0— |5=я/3 — я /6 = л /6 (рис. 16.2, б), или против часовой стрелки до угла а 2= а 0+ |3 = я /3 + я /6 -= я /2 (рис. 16.2, в). В первом случае диполь будет повертываться под действием сил поля. Следовательно, работа внешних сил при этом отрицатель на. Во втором случае поворот может быть произведен только под действием внешних сил, и, следовательно, работа внешних сил при этом положительна. Работу, совершаемую при повороте диполя, можно вычислить двумя способами: 1) непосредственно интегрированием выражения элементарной работы; 2) с помощью соотношения между работой и изменением потенциальной энергии диполя в электрическом поле. 1-й способ. Элементарная работа при повороте диполя на угол a dA = M da=pE sin ad a, а полная работа при повороте на угол от а 0 до а а а А = ^ рЕ sin a da = р Е ^ sin a da. «о ССо Произведя интегрирование, получим А = —рЕ (cos а — cos a 0)=рЕ (cos a 0 — cos a). (1) 215 Работа внешних сил при повороте диполя по часовой стрелке Аг=рЕ (cos а 0 — cos —21,9 мкДж, против часовой стрелки А 2=рЕ (cos а 0 — cos а 2)= 30 мкДж. 2-й способ. Работа А внешних сил связана с изменением потен циальной энергии ДП соотношением Д = Д П = П а — П*, где Пх и П 2 — потенциальные энергии системы соответственно в начальном и конечном состояниях. Так как потенциальная энергия диполя в электрическом поле выражается формулой П — —рЕ cos а, то А —рЕ (cos а 0 — cos а), (2) что совпадает с формулой (1), полученной первым способом. Пример 2. Три точечных заряда Qb Q2 и Q3 образуют электри чески нейтральную систему, причем Qi = Q 2—10 нКл. Заряды рас положены в вершинах равностороннего треугольника. Определить максимальные значения напряженности Етах и потенциала сртах поля, создаваемого этой системой зарядов, на расстоянии г=1 м от центра треугольника, длина а стороны которого равна 10 см. Р е ш е н и е . Нейтральную систему, состоящую из трех то чечных зарядов, можно представить в виде диполя. Действительно, «центр тяжести» з а р я д о в и Q2 лежит на середине отрезка прямой, соединяющей эти заряды (рис. 16.3). В этой точке можно считать сосредоточенным заряд Q =Q i + Q 2=2Q1. А так как система зарядов нейтральная (Q i+Q 2+ Q 3:=0), то Q3— — (Q1 f Q2) = —Q. Так как расстояние I между зарядами Q3 и —Q, равными по значению, много меньше г (1<^г) (рис. 16.4), то систему этих двух зарядов можно считать диполем с электрическим моментом р = IQ lb где 1 — плечо диполя, равное по модулю аК з/2 (см. рис. 16.3). Так как |Q|=2Qb то электрический момент такого точечного 216 диполя P = Qia V s . Тот же результат можно получить другим способом. Систему из трех зарядов представим как два диполя с электрическими момен тами pi и р2 (рис. 16.5), равными по модулю: /?!= |pi |=Qifl; /?2= Электрический момент р системы заря дов найдем как векторную сумму рг и р2, т. е. р = р ! + р 2. Как это следует из рис. 16.5, имеем р=2рг cos($l2). Так как pi=QiCt и р = я /3 , то p = 2Q1a V S ;2 = Q1a V S , что совпадает с найденным ранее зна чением. Напряженность Е и потенциал ср поля диполя выражаются формулами Е = 47--~ —г V 1 -| 3 cos2а; т 0г3 где а — угол между векторами р и г (см. рис. 16.1). Напряженность и потенциал будут иметь максимальные значе ния при а = 0 ; следовательно, Е ma* ■=-*£-• 4яе0г3 ’ т = 4ne0r2 -g— Tmax • Так как p=Qxa V 3, то Qi а Е m a x P4 п V rV s Ф ш ах 4ж0г2 V s . е 0г3 Вычисления дают следующие значения: £ т а х = 3,12 В/м; фтах = 1,56 В. Пример 3. В атоме иода, находящемся на расстоянии г= \ нм от альфа-частицы, индуцирован электрический момент р = 1,5х Х10~32 Кл-м. Определить поляризуемость а атома иода. Решение. По определению поляризуемости, она может быть выражена по формуле где р — индуцированный электрический момент атома; Елок — напряженность локального поля, в котором этот атом находится. В данном случае таким полем является поле, созданное а-частицей. Напряженность этого поля определяется выражением £лок = Е = 4J jJ 2“ • (2) Подставив выражение Елок из равенства (2) в формулу (1), найдем а= 2пг2р/\е\. 217 Произведя вычисления по этой формуле, получим а = 5,9-10“30 м3. Пример 4. Криптон находится под давлением /7=10 МПа при температуре 7 = 2 0 0 К. Определить: 1) диэлектрическую проницае мость в криптона; 2) его поляризованность Р, если напряженность Е0 внешнего электрического поля равна 1 МВ/м. Поляризуемость ос криптона равна 4 ,5 ПО-29 м3. Р е ш е н и е . 1. Для определения диэлектрической проницае мости криптона воспользуемся уравнением Клаузиуса — Мосотти, записанным в виде £—1 1 £-\-2 3•ап, где п — концентрация атомов криптона. Выразим из этой формулы диэлектрическую проницаемость: _ 1+ 2/3а п 1—1/3ал * Так как концентрация молекул (атомов) связана с давлением и температурой соотношением n=pI(kT), то 1+2 ^ 3 kT 8= 1__ \_<*£ 3 kT Выразив все величины, входящие в эту формулу, в единицах СИ (ос-4,5 •10“ 29 м3, р = 10М П а-1 0 7 Па, Л- 1,38 • 10"» Дж/К, 7 - 2 0 0 К) и произведя вычисления, получим 8 -1 ,1 7 . 2. По определению, поляризованность где pj — электрический дипольный момент, индуцированный в 7м атоме; N — число атомов в объеме ДУ. В однородном электри ческом поле все рг совпадают по модулю и направлению, поэтому геометрическую сумму можно заменить на арифметическую. Обо значив |р г1=/7, получим р __ Np г ~~ ДУ • Отношение числа N атомов к объему ДУ есть концентрация п ато мов. Тогда Р = пр. Так как электрический дипольный момент атома пропорционален напряженности Елок локального поля (р=аг0Елок), то поляри зованность Р = аг,пЕЛ0К. Выразив Елок через напряженность Е0 внешнего поля Зв \ 7 лок = 7+2 ) и п чеРез Аавление P и температуру 7 (n=p!kT)$ 218 получим р _( Заг0гр р ^ “ (е + 2) kT 0# Подставим числовые значения и произведем вычисления (при этом воспользуемся значением 8=1,17 найденным в п. 1 данного примера): р = 1,60-10“® Кл/м2= 1 ,6 0 мкКл/м2. Пример 5. Жидкий бензол имеет плотность р=899 кг/м3 и по казатель преломления /г=1,50. Определить: 1) электронную поля ризуемость а е молекул бензола; 2) диэлектрическую проницаемость в паров бензола при нормальных условиях. Р е ш е н и е . 1. Для определения электронной поляризуемости воспользуемся формулой Лоренц-Лорентца: М п*— 1 р /г2 + 2 1 ■аМ.м откуда 3м (п2—1) pJVA(n*+ 2)# 6) В полученное выражение входит молярная масса М бензола. Най дем ее. Так как химическая формула бензола СбНб, то относитель ная молекулярная масса Мг=6 -12+6 -1=78. Следовательно, моляр ная масса уИ =78-10“ 3 к г / м о л ь . Подставим в формулу (1) числовые значения физических вели чин и произведем вычисления: 3 -7 8 .10-3 [(1,50)2— 1] 1,27-10"28 м3. а0 ' 899-6,02.1023 [(1,50)2 + 2] 2. Диэлектрическую проницаемость паров бензола найдем, вос пользовавшись уравнением Клаузиуса — Мосотти: 8—1 .( 2) Т ап> 8 +2 где п — концентрация молекул бензола. Заметим, что молекулы бензола неполярны и поэтому обладают только двумя типами поляризации: электронной и атомной,— при чем атомная поляризация мала и ею можно пренебречь, считая аж ае. Кроме того, при нормальных условиях в мало отличается от единицы и приближенно можно считать в + 2 ^ 3 . Учитывая эти соображения, формулу (2) можно упростить: е— 1жаеп> откуда г= 1 + а еп. При нормальных условиях концентрация п молекул известна и равна числу Лошмидта (пд= 2,69 -1019 см~3). Выразим концентра цию молекул бензола в СИ (п= 2,69-1025 м~3) и произведем вычис ления: 8 = 1 + 1,27 • 10-28•2,69 • 104 = 1,00342. 219 Задачи Напряженность и потенциал поля диполя. Электрический момент диполя 16.1. Вычислить электрический момент р диполя, если его заряд 10 нКл, плечо /= 0 ,5 см. 16.2. Расстояние I между зарядами Q =±:3,2 нКл диполя равно 12 см. Найти напряженность Е и потенциал ср поля, созданного дипо лем в точке, удаленной на г= А = 8 см как от первого, так и от второго заряда. 16.3. Диполь с электрическим моментом /7=0,12 нКл *м образо ван двумя точечными зарядами Q = ± l нКл. Найти напряжен ность Е и потенциал ср электри ческого поля в точках Л и В (рис. 16.6), находящихся на рас стоянии г=8см от центра диполя. 16.4. Определить напряженность Е и потенциал ср поля, создан ного диполем в точках Л и В (рис. 16.6). Его электрический момент /7= 1 пКл *м, а расстояние г от точек Л и В до центра диполя равно 10 см. 16.5. Определить напряженность Е и потенциал ср поля, созда ваемого диполем с электрическим моментом /7=4 пКл *м на расстоя нии г = 10 см от центра диполя, в направлении, составляющем угол а= 60° с вектором электрического момента. 16.6. Диполь с электрическим моментом /7=1 пКл-м равномерно вращается с частотой п = 1 0 3 с-1 относительно оси, проходящей через центр диполя и перпендикулярной его плечу. Вывести закон измене ния потенциала как функцию времени в некоторой точке, отстоящей от центра диполя на г=1 см и лежащей в плоскости вращения дипо ля. Принять, что в начальный момент времени потенциал ср0 интере сующей нас точки равен нулю. Построить график зависимости ср(/). 16.7. Диполь с электрическим моментом /7=1 пКл-м равномерно вращается с угловой скоростью со= 104 рад/с относительно оси, пер пендикулярной плечу диполя и проходящей через его центр. Опре делить среднюю потенциальную энергию (П) заряда Q = 1 нКл, на ходящегося на расстоянии г = 2 см от центра диполя и лежащего в плоскости вращения, за время, равное: 1) полупериоду (от ^ = 0 до t2=Ti2 ); 2) в течение времени f^>T. В начальный момент считать П = 0. 16.8. Два диполя с электрическими моментами /7Х= 1 пКл-м и /72=4 пКл ‘M находятся на расстоянии г ~ 2 см друг от друга. Найти силу их взаимодействия, если оси диполей лежат на одной прямой. 16.9. Два диполя с электрическими моментами /7Х=20 пКл-м и /72=50 п К л -м находятся на расстоянии г = 10 см друг от друга, так 220 что их оси лежат на одной прямой. Вычислить взаимную потенци альную энергию диполей, соответствующую их устойчивому равно весию. Диполь в электрическом поле 16.10. Диполь с электрическим моментом /7= 100 пКл -м прикреп лен к упругой нити (рис. 16.7). Когда в пространстве, где находится диполь, было создано электрическое поле напряженностью £ = = 3 кВ/м перпендикулярно плечу диполя и нити, диполь повернулся на угол а=30°. Определить посто янную кручения * С нити. 16.11. В условиях предыдущей задачи диполь под действием поля поворачивается на малый угол. Определить постоянную кручения С нити. 16.12. Диполь с электрическим моментом /7=20 нКл*м находится в однородном электрическом по ле напряженностью £ = 5 0 кВ/м. Вектор электрического момента составляет угол а =60° с линиями поля. Какова потенциальная энергия П диполя? Указание. За нулевую потенциальную энергию принять энергию, соот ветствующую такому расположению диполя, когда вектор электрического момента диполя перпендикулярен линиям поля. 16.13. Диполь с электрическим моментом /7=100 пКл *м свободно устанавливается в однородном электрическом поле напряженностью £ = 1 5 0 кВ/м. Вычислить работу Л, необходимую для того, чтобы повернуть диполь на угол а=180°. 16.14. Диполь с электрическим моментом /7=100 пКл-м свобод но установился в однородном электрическом поле напряженностью £ = 1 0 кВ/м, Определить изменение потенциальной энергии АП ди поля при повороте его на угол а= 60°. 16.15. Перпендикулярно плечу диполя с электрическим момен том /7=12 пКл -м возбуждено однородное электрическое поле напря женностью £ = 300 кВ/м. Под действием сил поля диполь начинает поворачиваться относительно оси, проходящей через его центр. Найти угловую скорость со диполя в момент прохождения им поло жения равновесия. Момент инерции J диполя относительно оси, перпендикулярной плечу и проходящей через его центр, равен 2 •10~9 кг-м2. 16.16. Диполь с электрическим моментом /7=100 пКл-м свобод но установился в однородном электрическом поле напряженностью * Постоянной кручения называют величину, равную моменту силы, который вызывает закручивание нити на 1 рад. 221 Е = 9 МВ/м. Диполь повернули на малый угол и предоставили само му себе. Определить частоту v собственных колебаний диполя в электрическом поле. Момент инерции J диполя относительно оси, проходящей через центр диполя, равен 4* 10~12 кг-м2. 16.17. Диполь с электрическим моментом р = 200 пКл -м находит ся в неоднородном электрическом поле. Степень неоднородности d£ поля характеризуется величиной = 1 МВ/м2, взятой в направле нии оси диполя. Вычислить силу F, действующую на диполь в этом направлении. 16.18. Диполь с электрическим моментом /?=5 пКл-м свободно установился в поле точечного заряда Q = 100 нКл на расстоянии г= 10 см от него. Определить для этой точки величину |d £ /d r|, ха рактеризующую степень неоднородности поля в направлении сило вой линии, и силу F , действующую на диполь. 16.19. Диполь с электрическим моментом р = 4 Кпл-м свободно установился в поле, созданном бесконечной прямой нитью, заря женной с линейной плотностью т=500 нКл/м на расстоянии г = —10 см от нее. Определить в этой точке величину |d£/dr|, характе ризующую степень неоднородности поля в направлении силовой линии, и силу F , действующую на диполь. Поляризация диэлектриков 16.20. Указать, какими типами поляризации (электронной — е, атомной — а, ориентационной — о) обладают следующие атомы и молекулы: 1) Н; 2) Не; 3) 0 2; 4) НС1; 5) Н 20 ; 6) СО; 7) С 0 2; 8) СН3; 9) СС14. 16.21. Молекула HF обладает электрическим моментом р= = 6,4 Н О -30 Кл-м. Межъядерное расстояние d = 92 пм. Найти заряд Q такого диполя и объяснить, почему найденное значение Q суще ственно отличается от значения элементарного заряда \е\. 16.22. Расстояние d между пластинами плоского конденсатора равно 2 мм, разность потенциалов [/= 1 ,8 кВ. Диэлектрик — стек ло. Определить диэлектрическую восприимчивость х стекла и по верхностную плотность а' поляризационных (связанных) зарядов на поверхности стекла. 16.23. Металлический шар радиусом R = 5см окружен равномер но слоем фарфора толщиной d = 2 см. Определить поверхностные плотности и Оз связанных зарядов соответственно на внутренней и внешней поверхностях диэлектрика. Заряд Q шара равен 10 нКл. 16.24. Эбонитовая плоскопараллельная пластина помещена в од нородное электрическое поле напряженностью Е 0= 2 МВ/м. Грани пластины перпендикулярны линиям напряженности. Определить поверхностную плотность а' связанных зарядов на гранях пластины. Электрическое поле в диэлектрике 16.25. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено диэлектриком, молекулы которого можно рассматривать как жесткие диполи с электрическим моментом рм= 2 -1 0 -?0 Кл-м. 222 Концентрация п диполей равна 1026 м“3. Определить напряженность £ среднего макроскопического поля в таком диэлектрике, если при отсутствии диэлектрика напряженность Е0 поля между пластинами конденсатора была равна 100 МВ/м. Дезориентирующим действием теплового движения молекул пренебречь. 16.26. В электрическое поле напряженностью £ 0=1 МВ/м внесли пластину диэлектрика (е=3). Определить напряженность £ лок ло кального поля, действующего на отдельную молекулу в диэлектри ке, полагая, что внутреннее поле является полем Лоренца. 16.27. Во сколько раз напряженность Елок локального поля в кристалле кубической сингонии больше напряженности Е среднего макроскопического поля? Диэлектрическая проницаемость е кри сталла равна 2,5. 16.28. При какой максимальной диэлектрической проницаемости е погрешность при замене напряженности Елок локального поля напряженностью Е0 внешнего поля не превысит 1%? 16.29. Определить относительную погрешность, которая будет допущена, если вместо напряженности £ лок локального поля брать напряженность Е среднего макроскопического поля в диэлектрике. Расчеты выполнить для двух случаев: 1) е = 1,003; 2) е= 2. Поляризованность диэлектрика 16.30. При какой поляризованности Р диэлектрика (е=5) на пряженность £ лок локального поля равна 10 МВ/м? 16.31. Определить, при какой напряженности Е среднего макро скопического поля в диэлектрике (е=3) поляризованность Р достиг нет значения, равного 200 мкКл/м2. 16.32. Определить поляризованность Р стекла, помещенного во внешнее электрическое поле напряженностью £ 0=5 МВ/м. 16.33. Диэлектрик поместили в электрическое поле напряжен ностью Е0= 20 кВ/м. Чему равна поляризованность Р диэлектрика, если напряженность £ среднего макроскопического поля в диэлект рике оказалась равной 4 кВ/м? 16.34. Во внешнем электрическом поле напряженностью Е0-= =40МВ/м поляризованность Р жидкого азота оказалась равной 109 мкКл/м2. Определить: 1) диэлектрическую проницаемость е жид кого азота; 2) индуцированный электрический момент р одной моле кулы. Плотность р жидкого азота принять равной 804 кг/м3. Электронная и атомная поляризации 16.35. Связь поляризуемости а с диэлектрической восприим чивостью к для неполярных жидкостей и кристаллов кубической сингонии задается выражением х /(х + 3 )= ап /3 , где п — концентра ция молекул. При каком наибольшем значении к погрешность в вы числении а не будет превышать 1 %, если воспользоваться прибли женной формулой кжап? 223 16.36. При каком наибольшем значении произведения ап форму ла Клаузиуса — Мосотти (е—1 )/(е+ 2)= ад /3 может быть заменена более простой е = 1 + а п при условии, что погрешность в вычислении е не превысит 1%? 16.37. Определить поляризуемость а молекул азота, если ди электрическая проницаемость е жидкого азота равна 1,445 и его плотность р=804 кг/м3. 16.38. Поляризуемость а молекулы водорода можно принять равной 1,0 ПО-29 м3. Определить диэлектрическую восприимчивость х водорода для двух состояний: 1) газообразного при нормальных условиях; 2) жидкого, плотность р которого равна 70,8 кг/м3. 16.39. Диэлектрическая восприимчивость х газообразного арго на при нормальных условиях равна 5,54 •10—4. Определить диэлект рические проницаемости 8i и е2 жидкого (рх= 1,40 г/см3) и твердого (р2= 1,65 г/см3) аргона. 16.40. Система состоит из двух одинаковых по значению и проти воположных по знаку зарядов |Q |= 0 ,1 нКл, связанных квазиупругими силами. Коэффициент k упругости системы зарядов равен 1 мН/м. Определить поляризуемость а системы. 16.41. Вычислить поляризуемость а атома водорода и диэлект рическую проницаемость е атомарного водорода при нормальных условиях. Радиус г электронной орбиты принять равным 53 пм. 16.42. Атом водорода находится в однородном электрическом поле напряженностью £ = 1 0 0 кВ/м. Определить электрический мо мент р и плечо I индуцированного диполя. Радиус г электронной орбиты равен 53 пм. 16.43. Диэлектрическая проницаемость 8 аргона при нормальных условиях равна 1,00055. Определить поляризуемость а атома арго на. 16.44. Атом ксенона (поляризуемость а = 5,2*10-29 м3) находится на расстоянии г=1 нм от протона. Определить индуцированный в атоме ксенона электрический момент /?. 16.45. Какой максимальный электрический момент /?тах будет индуцирован у атома неона, находящегося на расстоянии r= 1 нм от молекулы воды? Электрический момент р молекулы воды равен 6,2 *10~30 Кл-м. Поляризуемость а атома неона равна 4 ,7 -10-30 м3. 16.46. Криптон при нормальных условиях находится в однород ном электрическом поле напряженностью £ = 2 МВ/м. Определить объемную плотность энергии w поляризованного криптона, если поляризуемость а атома криптона равна 4,5 •10—29 м3. 16.47. Определить поляризуемость а атомов углерода в алмазе. Диэлектрическая проницаемость е алмаза равна 5,6, плотность р = = 3,5 *103 кг/м3. 16.48. Показатель преломления п газообразного кислорода при нормальных условиях равен 1,000272. Определить электронную поляризуемость а е молекулы кислорода. 16.49. Показатель преломления п газообразного хлора при нор мальных условиях равен 1,000768. Определить диэлектрическую 224 проницаемость е жидкого хлора, плотность р которого равна 1,56х X 103 кг/м3. 16.50. При нормальных условиях показатель преломления п уг лекислого газа С 0 2 равен 1,000450. Определить диэлектрическую проницаемость е жидкого С 0 2, если его плотность р = 1,19 X Х103 кг/м3. 16.51. Показатель преломления п жидкого сероуглерода CS2 равен 1,62. Определить электронную поляризуемость а е молекул сероуглерода, зная его плотность. 16.52. Поляризуемость а атома аргона равна 2,03х10-29 м3. Определить диэлектрическую проницаемость е и показатель пре ломления п жидкого аргона, плотность р которого равна 1,44Х Х103 кг/м3. 16.53. Определить показатель преломления пх жидкого кислоро да, если показатель преломления п2 газообразного кислорода при нормальных условиях равен 1,000272. Плотность рх жидкого кисло рода равна 1,19 X 103 кг/м3. Ориентационная поляризация 16.54. Вычислить ориентационную поляризуемость а ор молекул воды при температуре t = 27 °С, если электрический момент р моле кулы воды равен 6,1 ПО-30 Кл-м. 16.55. Зная, что показатель преломления п водяных паров при нормальных условиях равен 1,000252 и что молекула воды обладает электрическим моментом /7=6,1 •10-30 Кл-м, определить, какую долю от общей поляризуемости (электронной и ориентационной) составляет электронная поляризуемость молекулы. 16.56. Электрический момент р молекул диэлектрика равен 5• 10-30 Кл-м. Диэлектрик (е=2) помещен в электрическое поле напряженностью Елок=100 МВ/м. Определить температуру Г, при которой среднее значение проекции (рЕ) электрического момента на направление вектора Елок будет равно Угр. 16.57. Диэлектрик, молекулы которого обладают электрическим моментом р —Ъ• 10-30 Кл-м, находится при температуре Г=300 К в электрическом поле напряженностью £ лок=100 МВ/м. Определить, во сколько раз число молекул, ориентированных «по полю» (О ^Д ^/Г), больше числа молекул, ориентированных «против поля» (179°^0^180°). Угол -&образован векторами р и Елок. § 17. э л е к т р и ч е с к а я е м к о с т ь , к о н д е н с а т о р ы Основные формулы Ф Электрическая емкость уединенного проводника или конден сатора C=AQ/Acp, где AQ — заряд, сообщенный проводнику (конденсатору); Дер — изменение потенциала, вызванное этим зарядом. 8 № 1268 225 • Электрическая емкость уединенной проводящей сферы радиу сом R, находящейся в бесконечной среде с диэлектрической прони цаемостью е, С = 4яе0е/?. Если сфера полая и заполнена диэлектриком, то электроемкость ее от этого не изменяется. ф Электрическая емкость плоского конденсатора C = ee0S/d, где S — площадь пластин (каждой пластины); d — расстояние между ними; е — диэлектрическая проницаемость диэлектрика, за полняющего пространство между пластинами. Электрическая емкость плоского конденсатора, заполненного п слоями диэлектриком толщиной d* каждый с диэлектрическими про ницаемостями 8^ (слоистый конденсатор), q __________ e0S________ dl/el +^2/82+ • • • Ф Электрическая емкость сферического конденсатора (две кон центрические сферы радиусами Ri и R 2>пространство между кото рыми заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью е) С = 4яв08R 1R2/(R2— R 1). Ф Электрическая емкость цилиндрического конденсатора (два коаксиальных цилиндра длиной I и радиусами R x и /?2, пространство между которыми заполнено диэлектриком с диэлектрической про ницаемостью е) ^— I 2jT88q/ С = In (Л,//?!) • Ф Электрическая емкость С последовательно соединенных кон денсаторов: в общем случае + • ••+ i где п — число конденсаторов; х-> С\С2 в случае двух конденсаторов С = jt■, уг ; Ol “Г С-2 в случае п одинаковых конденсаторов с электроемкостью Сх каж дый C=CJn. Ф Электрическая емкость параллельно соединенных конденса торов: в общем случае C = C i+ C 2+ ...+ C n; в случае двух конденсаторов С=С1+ С 2\ в случае п одинаковых конденсаторов с электроемкостью Ci каж дый С=пС ±. 226 Примеры решения задач Пример 1. Определить электрическую емкость С плоского кон денсатора с двумя слоями диэлектриков: фарфора толщиной dx— = 2 мм и эбонита толщиной d 2= 1,5 мм, если площадь S пластин рав на 100 см2. Р е ш е н и е . Емкость конденсатора, по определению, C=Q/U, где Q — заряд на пластинах конденсатора; U — разность потен циалов пластин. Заменив в этом равенстве общую разность потен циалов U конденсатора суммой U i+ U 2 напряжений на слоях ди электриков , получим C=Q/(U1+ U 2). (1) Приняв во внимание, что Q=oS, Uх = Exdx —— d± и U2= £ 08 1 = E 2d2— — d2, равенство (1) можно переписать в виде aS (2) — di + — d2 e0ei ' e0e2 где a — поверхностная плотность заряда на пластинах; Ег и Е 2 — напряженности поля в первом и втором слоях диэлектрика соответ ственно; D — электрическое смещение поля в диэлектриках. Умножив числитель и знаменатель равенства (2) на е0 и учтя, что D=cr, окончательно получим q_ ^l/el + ^2/e2 Сделав вычисления по последней формуле, найдем С 8,85-10 12-10°-10 1 ф = 9 83. 10-и ф = 98)3 пф. 2 .1 0 -3/ 5 + 1,5-Ю-з/З Пример 2. Два плоских конденсатора одинаковой электроемко сти С1==С2=С соединены в батарею последовательно и подключены к источнику тока с электродвижущей силой $ . Как изменится раз ность потенциалов [Д на пластинах первого конденсатора, если пространство между пластинами второго конденсатора, не отключая источника тока, заполнить диэлектриком с диэлектрической прони цаемостью е=7? Р е ш е н и е . До заполнения второго конденсатора диэлектри ком разность потенциалов на пластинах обоих конденсаторов была одинакова: U ^ U 2=<£/2.После заполнения электроемкость второго конденсатора возросла в е раз: С; = еС2= еС. Электроемкость первого не изменилась, т. е. С[=С. Так как источник тока не отключался, то общая разность потен циалов на батарее конденсаторов осталась прежней, она лишь пере распределилась между конденсаторами. На первом конденсаторе U1— Q/C1— Q/C, (1) где Q — заряд на пластинах конденсатора. Поскольку при последо вательном соединении конденсаторов заряд на каждой пластине и 8* 227 на всей батарее одинаков, то Q = Сбат$ » sy, С\С2 С • еС еС где Сбах= ^-^7 = = т+г rp g> • Таким обРазом> Подставив это выражение заряда в формулу (1), найдем Г/' Q е JQ 1_ С (1 + е) С 1+ е 0 ‘ Чтобы найти, как изменилась разность потенциалов на пласти нах первого конденсатора, вычислим отношение: и[ _ г<§-2 _ 2е t/i (1 -Ье) l-f-8 После подстановки значения е получим t/'/f /x= 1,75. Следовательно, разность потенциалов на пластинах первого конденсатора после заполнения второго конденсатора диэлектриком возросла в 1,75 раза. Задачи Электрическая емкость проводящей сферы 17.1. Найти электроемкость С уединенного металлического шара радиусом R = 1 см. 17.2. Определить электроемкость С металлической сферы радиу сом R = 2 см, погруженной в воду. 17.3. Определить электроемкость С Земли, принимая ее за шар радиусом R = 6400 км. 17.4. Два металлических шара радиусами /?х= 2 см и R 2= 6 см соединены проводником, емкостью которого можно пренебречь. Шарам сообщен заряд Q= 1 нКл. Найти поверхностную плотность а зарядов на шарах. 17.5. Шар радиусом Ri=6 см заряжен до потенциала фг=300 В, а шар радиусом R 2=4 см — до потенциала ф2=500 В. Определить потенциал ср шаров после того, как их соединили металлическим проводником. Емкостью соединительного проводника пренебречь. Электрическая емкость плоского конденсатора 17.6. Определить электроемкость С плоского слюдяного конден сатора, площадь S пластин которого равна 100 см2, а расстояние между ними равно 0,1 мм. 17.7. Между пластинами плоского конденсатора, заряженного до разности потенциалов f /= 6 0 0 В, находятся два слоя диэлектриков: стекла толщиной йг=7 мм и эбонита толщиной d2= 3 мм. Площадь S каждой пластины конденсатора равна 200 см2. Найти: 1) электро 228 емкость С конденсатора; 2) смещение D, напряженность Е поля и падение потенциала Дер в каждом слое. 17.8. Расстояние d между пластинами плоского конденсатора равно 1,33 м, площадь S пластин равна 20 см2. В пространстве меж ду пластинами конденсатора находятся два слоя диэлектриков: слюды толщиной dx=0J мм и эбонита толщиной rf2= 0,3 мм. Опре делить электроемкость С конденсатора. 17.9. На пластинах плоского конденсатора равномерно распре делен заряд с поверхностной плотностью а= 0 ,2 мкКл/м2. Расстоя ние d между пластинами равно 1 мм. На сколько изменится раз ность потенциалов на его обкладках при увеличении расстояния d между пластинами до 3 мм? 17.10. В плоский конденсатор вдвинули плитку парафина тол щиной d= 1 см, которая вплотную прилегает к его пластинам. На сколько нужно увеличить расстояние между пластинами, чтобы получить прежнюю емкость? 17.11. Электроемкость С плоского конденсатора равна 1,5 мкФ. Расстояние d между пластинами равно 5 мм. Какова будет электро емкость С конденсатора, если на нижнюю пластину положить лист эбонита толщиной d i= 3 мм? 17.12. Между пластинами плоского конденсатора находится плотно прилегающая стеклянная пластинка. Конденсатор заряжен до разности потенциалов Ui —100 В. Какова будет разность потен циалов U 2, если вытащить стеклянную пластинку из конденсатора? Электрическая емкость сферического конденсатора 17.13. Две концентрические металлические сферы радиусами « 1 = 2 см и «2=2,1 см образуют сферический конденсатор. Опреде лить его электроемкость С, если пространство между сферами за полнено парафином. 17.14. Конденсатор состоит из двух концентрических сфер. Ра диус «1 внутренней сферы равен 10 см, внешней « 2= 10,2 см. Про межуток между сферами заполнен парафином. Внутренней сфере сообщен заряд Q = 5 мкКл. Определить разность потенциалов U между сферами. Соединения конденсаторов 17.15. К воздушному конденсатору, заряженному до разности потенциалов U = 600 В и отключенному от источника напряжения, присоединили параллельно второй незаряженный конденсатор таких же размеров и формы, но с диэлектриком (фарфор). Опреде лить диэлектрическую проницаемость е фарфора, если после при соединения второго конденсатора разность потенциалов уменьши лась до t/i= 100 В. 17.16. Два конденсатора электроемкостями C i= 3 мкФ и С2= = 6 мкФ соединены между собой и присоединены к батарее с ЭДС. <£=120 В. Определить заряды Qi и Q2 конденсаторов и разности 229 потенциалов U i и U 2 м е ж д у их обк л адк ам и , есл и к онден саторы с о единены : 1) параллельно; 2) последовательн о. 1 7 .1 7 . К онден сатор электроем костью C i = 0 , 2 м кФ был за р я ж е н д о р азн ости потенциалов U t = 320 В . П осл е того к ак его соеди н и л и п ар ал л ел ьн о со вторым к онден сатором , заряж ен н ы м д о разн ости п отен ци алов Н 2= 4 5 0 В , н ап р яж ен и е U на нем и зм ен и л ось д о 40 0 В . Вы числить ем кость С 2 второго к онден сатор а. 1 7 .1 8 . К онденсатор электроем костью C i= 0,6 мкФ был за р я ж е н д о р азн ости потенциалов { Л = 3 0 0 В и соеди нен со втор ьм к онден сатором электроем к остью С 2= 0 , 4 м кФ , заряж ен н ы м д о разн ости п отен ци алов ( ) 2= 1 5 0 В . Н айти за р я д AQ, перетекш ий с пластин первого к онден сатор а на второй. 1 7 .1 9 . Т ри оди нак овы х п л оски х к онден сатор а соеди нен ы п о сл е до в а т ел ьн о. Э лектроем кость С такой батар еи конден саторов равн а 8 9 п Ф . П лощ адь S к аж дой пластины р авн а 100 см 2. Д и эл ек тр и к — стек л о . К акова толщ ина d стекла? 1 7 .2 0 . К онденсаторы соединены т ак , как это п о к азан о на р и с. 1 7 .1 . Э лектроем кости к онденсаторов: С4= 0 ,2 м кФ , С 2= = 0 , 1 м кФ , С 3= 0 , 3 м кФ , С 4= 0 , 4 м кФ . О пределить электроем к ость С батар еи к он ден сатор ов . Рис. 17.1 Рис. 17.2 Рис. 17.3 1 7 .2 1 . К онден саторы электроем костям и C i=0,2 м кФ , С2= = 0,6 м кФ , С3= 0 ,3 м кФ , С4= 0 ,5 мкФ соединены так , как это у к а за н о на р и с. 1 7 .2 . Р а зн о сть потенциалов U м е ж д у точками А я В равн а 3 2 0 В . О пределить р азн ость потенциалов U t и за р я д Q t на п л асти н ах к аж д ого к онден сатора ( t = l , 2 , 3 , 4 ). Рис. 17.4 Рис. 17.5 Рис. 17.6 1 7 .2 2 . К онденсаторы электроем костям и C i= 1 0 нФ , С 2= = 4 0 н Ф , С 3= 2 нФ и С 4= 3 0 нФ соединены т ак , к ак это п ок азан о на р и с. 1 7 .3 . О пределить электроем кость С соеди н ен и я к онден сато р ов . 1 7 .2 3 . К онденсаторы электроем костям и С4= 2 м кФ , С 2= 2 м кФ , С 8= 3 м к Ф , С4= 1 мкФ соединены т ак , как у к а за н о на р и с. 1 7 .4 . 230 Разность потенциалов на обкладках четвертого конденсатора t/4= = 100 В. Найти заряды и разности потенциалов на обкладках каж дого конденсатора, а также общий заряд и разность потенциалов батареи конденсаторов. 17.24. Определить электроемкость схемы, представленной на рис. 17.5, где C i= 1 пФ, С2= 2 пФ, С3= 2 пФ, С4= 4 пФ, С5= 3 пФ. 17.25. Пять различных конденсаторов соединены согласно схе ме, приведенной на рис. 17.6. Определить электроемкость С4, при которой электроемкость всего соединения не зависит от величины электроемкости С5. Принять Сх= 8 пФ, С2=12 пФ, С3= 6 пФ. § 18. ЭНЕРГИЯ ЗАРЯЖЕННОГО ПРОВОДНИКА, ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ Основные формулы • Энергия заряженного проводника выражается через заряд Q, потенциал ср и электрическую емкость С проводника следующими соотношениями: w^ • 1 c <p* = 4 £ = 4 q 9 . Энергия заряженного конденсатора K7 = i - C № = i - S = - i « y , где С — электрическая емкость конденсатора; U — разность по тенциалов на его пластинах. • Объемная плотность энергии (энергия электрического поля, приходящаяся на единицу объема) K U =-i е0е£ 2 = -^-£Х>, где Е — напряженность электрического поля в среде с диэлектри ческой проницаемостью е; D — электрическое смещение. Примеры реш ения задач П ри м ер 1. Конденсатор электроемкостью Сг= 3 мкФ был заря жен до разности потенциалов t/x=40 В. После отключения от источ ника тока конденсатор был соединен параллельно с другим незаря женным конденсатором электроемкостью С2= 5 мкФ. Определить энергию A W, израсходованную на образование искры в момент присоединения второго конденсатора. Р е ш е н и е . Энергия, израсходованная на образование искры, равна A W— Wi— W 2, (1) где Wi — энергия, которой обладал первый конденсатор до присо единения к нему второго конденсатора; W2 — энергия, которую имеет батарея, составленная из первого и второго конденсаторов. Подставив в равенство (1) формулу энергии заряженного конденса- 231 тора W=CU2I2 и приняв во внимание, что общая электроемкость параллельно соединенных конденсаторов равна сумме электроем костей отдельных конденсаторов, получим ( C i С2) и ^ AW = C iU \ (2) где Ci и С2 — электроемкости первого и второго конденсаторов; и г — разность потенциалов, до которой был заряжен первый кон денсатор; U 2 — разность потенциалов на зажимах батареи конден саторов. Учитывая, что заряд после присоединения второго конденсатора остался прежним, выразим разность потенциалов U2 следующим образом: U0- = C1-f-C2 тг ? тг = Ci S lUlfr -j- с 2 . Подставив это выражение U2 в формулу (2), получим AW (Ci + C 2) C \ u \ 2 (С] + С 2)2 • c tu i 2 После простых преобразований найдем С2 и ь AW = 21 C iСХ 4- С< Выполнив вычисления по этой формуле, получим А Г - 1 ,5 мДж. Пример 2. Плоский воздушный конденсатор с площадью 5 пла стины, равной 500 см2, подключен к источнику тока, ЭДС £ которого равна 300 В. Определить работу А внешних сил по раздвижению пластин от расстояния 1 см до d 2= 3 см в двух слу чаях: 1) пластины перед раздвижением отключаются от источника тока; 2) пластины в процессе раздвижения остаются подключенны ми к нему. Р е ш е н и е . 1-й случай. Систему двух заряженных и отклю ченных от источника тока пластин можно рассматривать как изоли рованную систему, по отношению к которой справедлив закон со хранения энергии. В этом случае работа внешних сил равна измене нию энергии системы: A = kW = W2— Wly (1) где W2 — энергия поля конденсатора в конечном состоянии (пласти ны находятся на расстоянии d 2); Wx — энергия поля в начальном состоянии (пластины находятся на расстоянии d,). Энергию в данном случае удобно выразить через заряд Q на пластинах, так как заряд пластин, отключенных от источника при их раздвижении, не изменяется. Подставив в равенство (1) выраже ния W2=Q2/( 2С2) и №i = Q 2/(2C i ), получим А = = Я 1-Я 1 ипи а - £ ____ L Л 2С2 2C i ’ ИЛИ Л _ 2 U 2 Ci Выразив в этой формуле заряд через ЭДС £ источника тока и начальную электроемкость Ci(Q=Ci£), найдем с\£ * С 2' 232 ' Cl (2) Подставляя в формулу (2) выражения электроемкостей (С±= =е0S/dx и C2=e0S/d2) плоского конденсатора, получим л „ zoS2£ 2 ( d2 dt \ 2d\ Vе05 е05 ) После сокращения на e0S формула примет вид (3) л = ^ 1 (4 -^ ). Произведя вычисления по формуле (3), найдем А = 8’85' 1Q; 1(2; 51Q q0:21)02~4' 3002 ( 3 - 1) ю-* Дж = = 3,98* 10-6 Дж = 3,98 мкДж. 2-й случай. Пластины остаются подключенными к источнику тока и система двух пластин уже не является изолированной (заряд с пластин при их раздвижении перемещается к клеммам батареи). Поэтому воспользоваться законом сохранения энергии в этом слу чае нельзя. Заметим, что при раздвижении пластин конденсатора: а) раз ность их потенциалов остается неизменной (U=$); б) емкость бу дет уменьшаться (^С ==г0 Будут уменьшаться также заряд на пластинах (Q=CU ) и напряженность электрического поля (£ = — UId). Так как величины Е и Q, необходимые для определения ра боты, изменяются, то работу следует вычислять путем интегриро вания. Напишем выражение для элементарной работы: dA=QE1dx, (4) где Е± — напряженность поля, создаваемого зарядом одной пласти ны. Выразим напряженность поля Е± и заряд Q через расстояние х между пластинами: и Q = Cg, или Q = e0^-<£. Подставив эти выражения Ег н Q в равенство (4), получим (L4 = — e0- ^ ^ - d x . Проинтегрировав это равенство в пределах от dx до d 2, найдем выражение искомой работы: После упрощений последняя формула примет вид ^ = Т г° "dSr Сделав вычисления по полученной формуле, найдем А = 1,33 мкДж. 233 Пример 3. Плоский конденсатор заряжен до разности потенциа лов U= 1 кВ. Расстояние d между пластинами равно 1 см. Диэлект рик — стекло. Определить объемную плотность энергии поля кон денсатора. Р е ш е н и е . Объемная плотность энергии поля конденсатора w = W /V , (1) где W — энергия поля конденсатора; V — объем, занимаемый по лем, т. е. объем пространства, заключенного между пластинами конденсатора. Энергия поля конденсатора определяется по формуле W=CU2/ 2, (2) где U — разность потенциалов, до которой заряжены пластины конденсатора; С — его электроемкость. Но C=es0S/d, V = Sd . Подставив выражение С в формулу (2) и затем выражения W и V в формулу (1), получим w=ee0U2/ (2d2). Подставив значения величин в последнюю формулу и вычислив, найдем w = 0,309 Дж/м3. Пример 4. Металлический шар радиусом R = 3 см несет заряд Q=20 нКл. Шар окружен слоем парафина толщиной d=2 см. Опре делить энергию W электрического поля, заключенного в слое ди электрика. Р е ш е н и е . Так как поле, созданное заряженным шаром, яв ляется неоднородным, то энергия поля в слое диэлектрика распре делена неравномерно. Однако объемная плотность энергии будет одинакова во всех точках, отстоящих на равных рас стояниях от центра сферы, так как поле заряженного шара обладает сферической симметрией. Выразим энергию в элементарном сфе рическом слое диэлектрика объемом dV: dW=wdV, где w -г объемная плотность энергии (рис. Рис. 18.1 18.1). Полная энергия выразится интегралом R +d W = ^ w dV = 4 n J w r2drs (1) R где r — радиус элементарного сферического слоя; dr — его толщи на. Объемная плотность энергии определяется по формуле = У2 г0гЕ29 где Е — напряженность поля. В нашем случае Ьг —4" Q и, следовательно, 234 W ш Q2 32л2е0ег4 — ---- ^----- r Подставив это выражение плотности в формулу (1) и вынеся за знак интеграла постоянные величины, получим Q2 RY 8ле0е J dr _ Q2 f 1______ l \ г2 8ле0е \ # Я+ d у Q4 8ле0е/? ( # + d ) ‘ R. Произведя вычисления по этой формуле, найдем 1^=12 мкДж. Задачи Энергия плоского конденсатора 18.1. Конденсатору, электроемкость С которого равна 10 пФ, сообщен заряд Q = 1 пКл. Определить энергию W конденсатора. 18.2. Расстояние d между пластинами плоского конденсатора равно 2 см, разность потенциалов U = 6 кВ. Заряд Q каждой пласти ны равен 10 нКл. Вычислить энергию W поля конденсатора и силу F взаимного притяжения пластин. 18.3. Какое количество теплоты Q выделится при разряде плоско го конденсатора, если разность потенциалов U между пластинами равна 15 кВ, расстояние d = 1 мм, диэлектрик — слюда и площадь S каждой пластины равна 300 см2? 18.4. Сила F притяжения между пластинами плоского воздушно го конденсатора равна 50 мН. Площадь 5 каждой пластины равна 200 см2. Найти плотность энергии w поля конденсатора. 18.5. Плоский воздушный конденсатор состоит из двух круглых пластин радиусом г = 10 см каждая. Расстояние dx между пластинами равно 1 см. Конденсатор зарядили до разности потенциалов U= = 1,2 кВ и отключили от источника тока. Какую работу А нужно совершить, чтобы, удаляя пластины друг от друга, увеличить рас стояние между ними до d2=z3,5 см? 18.6. Плоский воздушный конденсатор электроемкостью С== = 1,11 нФ заряжен до разности потенциалов f /=300 В. После от ключения от источника тока расстояние между пластинами конден сатора было увеличено в пять раз. Определить: 1) разность потен циалов U на обкладках конденсатора после их раздвижения; 2) ра боту А внешних сил по раздвижению пластин. 18.7. Конденсатор электроемкостью Ci=666 пФ зарядили до разности потенциалов U== 1,5 кВ и отключили от источника тока. Затем к конденсатору присоединили параллельно второй, незаря женный конденсатор электроемкостью С2= 444 пФ. Определить энергию, израсходованную на образование искры, проскочившей при соединении конденсаторов. 18.8. Конденсаторы электроемкостями Сх= 1 мкФ, С2= 2 мкФ, С3= 3 мкФ включены в цепь с напряжением (7=1,1 кВ. Определить энергию каждого конденсатора в случаях: 1) последовательного их включения; 2) параллельного включения. 18.9. Электроемкость С плоского конденсатора равна 111 пФ. 235 Диэлектрик — фарфор. Конденсатор зарядили до разности потен циалов [/=600 В и отключили от источника напряжения. Какую работу А нужно совершить, чтобы вынуть диэлектрик из конденса тора? Трение пренебрежимо мало. 18.10. Пространство между пластинами плоского конденсатора заполнено диэлектриком (фарфор), объем V которого равен 100 см3. Поверхностная плотность заряда а на пластинах конденсатора рав на 8,85 нКл/м2. Вычислить работу А, которую необходимо совер шить для того, чтобы удалить диэлектрик из конденсатора. Трени ем диэлектрика о пластины конденсатора пренебречь. 18.11. Пластину из эбонита толщиной d = 2 мм и площадью S = j = 300 см2 поместили в однородное электрическое поле напряжен ностью Е= 1 кВ/м, расположив так, что силовые линии перпендику лярны ее плоской поверхности. Найти: 1) плотность а связанных зарядов на поверхности пластин; 2) энергию W электрического поля, сосредоточенную в пластине. 18.12. Пластину предыдущей задачи переместили из поля в об ласть пространства, где внешнее поле отсутствует. Пренебрегая уменьшением поля в диэлектрике с течением времени, определить энергию W электрического поля в пластине. Энергия поля заряженной сферы 18.13. Найти энергию W уединенной сферы радиусом R = 4 см, заряженной до потенциала ср=500 В. 18.14. Вычислить энергию W электростатического поля метал лического шара, которому сообщен заряд Q = 100 нКл, если диаметр d шара равен 20 см. 18.15. Уединенная металлическая сфера электроемкостью С= = 10 пФ заряжена до потенциала ф = 3 кВ. Определить энергию W поля, заключенного в сферическом слое, ограниченном сферой и концентрической с ней сферической поверхностью, радиус которой в три раза больше радиуса сферы. 18.16. Электрическое поле создано заряженной (Q = 0 ,1 мкКл) сферой радиусом R = 10 см. Какова энергия W поля, заключенная в объеме, ограниченном сферой и концентрической с ней сферической поверхностью, радиус которой в два раза больше радиуса сферы? 18.17. Уединенный металлический шар радиусом Rx=6 см несет заряд Q. Концентрическая этому шару поверхность делит простран ство на две части (внутренняя конечная и внешняя бесконечная), так что энергии электрического поля обеих частей одинаковы. Опре делить радиус R 2 этой сферической поверхности. 18.18. Сплошной парафиновый шар радиусом R = 10 см заряжен равномерно по объему с объемной плотностью р = 10 нКл/м3. Опре делить энергию Wx электрического поля, сосредоточенную в самом шаре, и энергию W2 вне его. 18.19. Эбонитовый шар равномерно заряжен по объему. Во сколько раз энергия электрического поля вне шара превосходит энергию поля, сосредоточенную в шаре? ГЛАВА 4 ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ток § 19. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ПОСТОЯННОГО ТОКА Основные формулы ф Сила постоянного тока I=Q/t, где Q — количество электричества, прошедшее через поперечное сечение проводника за время t. Ф Плотность электрического тока есть векторная величина, равная отношению силы тока к площади S поперечного сечения про водника: где к — единичный вектор, по направлению совпадающий с на правлением движения положительных носителей заряда. Ф Сопротивление однородного проводника R= pl/S, где р — удельное сопротивление вещества проводника; I — его длина. Ф Проводимость G проводника и удельная проводимость у вещества G = l/fl, у = 1/р. Ф Зависимость удельного сопротивления от температуры р = р 0(1+ а/), где р и р0 — удельные сопротивления соответственно при / и О °С; t — температура (по шкале Цельсия); а — температурный коэс[х[)ициент сопротивления. Ф Сопротивление соединения проводников: п последовательного параллельного = 2 Ri\ 1 i= 1 Здесь Ri — сопротивление /-го проводника; п — число провод ников. Ф Закон Ома: т (ф1 (Р2) i 12 Г для неоднородного участка цепи / = —— "ь~ • —-w ! 237 для однородного участка цепи / = 21—22 = JL. • К н для замкнутой цепи (ф1= ф 2) I= $ /R . Здесь (фх—ф 2) — разность потенциалов на концах участка цепи; — ЭДС источников тока, входящих в участок; U — напряжение на участке цепи; R — сопротивление цепи (участка цепи); <§ — ЭДС всех источников тока цепи. Ф Правила Кирхгофа. Первое правило: алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле, равна нулю, т. е. 2 1' , = о, где п — число токов, сходящихся в узле. Второе правило: в замкнутом контуре алгебраическая сумма на пряжений на всех участках контура равна алгебраической сумме электродвижущих сил, т. е. i - 1 i- 1 где I t — сила тока на i-м участке; R t — активное сопротивление на i-м участке; <£* — ЭДС источников тока на *-м участке; п — число участков, содержащих активное сопротивление; k — число участков, содержащих источники тока. • Работа, совершаемая электростатическим полем и сторонни ми силами в участке цепи постоянного тока за время t} A = IU t. • Мощность тока i - Р= Ш . • Закон Джоуля — Ленца Q = P R t, где Q — количество теплоты, выделяющееся в участке цепи за время t. Закон Джоуля — Ленца справедлив при условии, что участок цепи неподвижен и в нем не совершаются химические превращения. Примеры решения задач Пример 1. Определить заряд Q, прошедший по проводу с сопро тивлением R = 3 Ом при равномерном нарастании напряжения на концах провода от U0-=2 В до U —4 В в течение t = 20 с. Р е ш е н и е . Так как сила тока в проводе изменяется, то вос пользоваться для подсчета заряда формулой Q = It нельзя. Поэтому возьмем дифференциал заряда d Q Îd t и проинтегрируем: t Q= [ldt. (1) о 238/ Выразив силу тока по закону Ома, получим < Н х ' >'• <2> о Напряжение U в данном случае переменное. В силу равномерно сти нарастания оно может быть выражено формулой U=U0+kt, (3) где k — коэффициент пропорциональности. Подставив это выраже ние U в формулу (2), найдем Проинтегрировав, получим + .(4) Значение коэффициента пропорциональности k найдем из фор мулы (3), если заметим, что при t = 20 с <7 = 4 В: k=(U — U0)/t= 0,l В/с. Подставив значения величин в формулу (4), найдем Q -2 0 Кл. Пример 2. Потенциометр с сопротивлением R = 100 Ом подклю чен к источнику тока, ЭДС<£ которого равна 150 В и внутреннее со противление г= 50О м (рис. 19.1). Опре делить показание вольтметра с 'сопро тивлением /?в=500 Ом, соединенного проводником с одной из клемм потен , = зциометра и подвижным контактом с се н рединой обмотки потенциометра. Како £ ва разность потенциалов между теми же точками потенциометра при отключен ---------н -------- 1 ном вольтметре? Рис. 19.1 Р е ш е н и е . Показание (Д вольт метра, подключенного к точкам А и В (рис. 19.1), определяется по формуле tW ifli, (1) где /1 — сила тока внеразветвленной части цепи; R x — сопротивле ние параллельно соединенныхвольтметра иполовины потенциомет ра. Силу тока Д найдем по закону Ома для всей цепи: I i—$ / где R — сопротивление внешней цепи. Внешнее сопротивление R есть сумма двух сопротивлений: R = R /2 + R it (2) (3) 239 Сопротивление Rx параллельного соединения может быть най, 1 1 , 1 дено по формуле — —— + - щ - , откуда R i = RR J(R + 2RB). Подставив в эту формулу числовые значения величин и произве дя вычисления, найдем R x= 45,5 Ом. Подставив в выражение (2) правую часть равенства (3), опреде лим силу тока: £ 1,03 А. h R/2 -j- Ri + г Если подставить значения / х и R x в формулу (1), то найдем пока зание вольтметра: [Д = 46,9 В. Разность потенциалов между точками А и В при отключенном вольтметре равна произведению силы тока / 2 на половину сопро тивления потенциометра, т. е. t / a = = / 2(7?/2), или и 2 R£+ r R 2 ‘ Подставив сюда значения величин^, R и г, получим U 2= 50 В. I^ Пример 3. Источники тока с злекРис. 19.2 тродвижущими силами £ г и £ 2включены в цепь, как показано на рис. 19.2. Оп ределить силы токов, текущих в сопротивлениях R 2 и R 3, если «э\=10 В и <£2= 4 В, a R 1= R a=2 0 m и R 2= R s=4 Ом. Сопротивле ниями источников тока пренебречь. Р е ш е н и е . Силы токов в разветвленной цепи определяют с помощью законов Кирхгофа. Чтобы найти четыре значения силы токов, следует составить четыре уравнения. Указание, Перед составлением уравнений по закону Кирхгофа необхо димо, во-первых, выбрать произвольно направления токов, текущих через сопротивления, указав их стрелками на чертеже, и, во-вторых, выбрать на правление обхода контуров (последнее только для составления уравнений по второму закону Кирхгофа). Выберем направления токов, как они показаны на рис. 19.2, и условимся обходить контуры по часовой стрелке. Рассматриваемая в задаче схема имеет два узла: А и В. Но состав лять уравнение по первому закону Кирхгофа следует только для одного узла, так как уравнение, составленное для второго узла, будет следствием первого уравнения. При составлении уравнений по первому закону Кирхгофа необ ходимо соблюдать правило знаков: ток, подходящий к узлу, входит в уравнение со знаком плюс; ток, отходящий от узла,— со знаком минус. 240 По первому закону Кирхгофа для узла В имеем Л + ^2+^3 — / 4= 0. Недостающие три уравнения получим по второму закону Кирх гофа. Число независимых уравнений, которые могут быть составле ны по второму закону Кирхгофа, также меньше числа контуров (в нашем случае контуров шесть, а независимых уравнений три). Чтобы найти необходимое число независимых уравнений, следует придерживаться правила: выбирать контуры таким образом, чтобы в каждый новый контур входила хотя бы одна ветвь, не участвовав шая ни в одном из ранее использованных контуров. При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа необ ходимо соблюдать следующее правило знаков: а) если ток по направлению совпадает с выбранным направлени ем обхода контуров, то соответствующее произведение IR входит в уравнение со знаком плюс, в противном случае произведение IR входит в уравнение со знаком минус, б) если ЭДС повышает потенциал в направлении обхода контура, т, е. если при обходе контура приходится идти от минуса к плюсу внутри источника, то соответствующая ЭДС входит в уравнение со знаком плюс, в противном случае — со знаком минус. По второму закону Кирхгофа имеем соответственно для контуров A R .BR .A, A R ^ R z A , A R 3BR,A: I 1R 1 — ^2^2 —(91— (§ 2 у ( 1) (2) (3) Подставив в равенства (1)—(3) значения сопротивлений и ЭДС, получим систему уравнений: Л + + -- / 4 —О, 2 /г— 4 /? = 6, 2 /4 - 4 /3 = 10, 4/з + 2 /4 = 0. Поскольку нужно найти только два тока, то удобно воспользо ваться методом определителей (детерминантов). С этой целью пере пишем уравнения еще раз в следующем виде: А + + /3-- 1 4 —0* 2/ 4 — 4 /2+ 0 + 0 = 6, 2/4 + 0 — 4/з + 0 = 1 0 , 0 + 0 + 4 /3+ 2 /4 = 0. Искомые значения токов найдем из выражений / 2= Д/2/Д и / 3= Д/з/А, где А — определитель системы уравнений; Д/2 и Д/з—определи тели, полученные заменой соответствующих столбцов определителя А столбцами, составленными из свободных членов четырех выше241 dQ =k*R P dt. 11^ < О и приведенных уравнений. Находим; 1 1 1 1 0 0 2 —4 Д= 2 0 = 96; 0 —4 2 4 0 0 1 0 —1 1 1 1 1 0 0 2 О 0 U 6 * Z U ,, А ^2 —4 4 U6 ”0 Qfi д / , = 2 10 10 —4 —4 0о = 0 ; д ' . = 22 00 10 00 уо10 2 0 0 0 0 0 4 2 Отсюда получаем / 2= 0, / , ------1 А. Знак минус у значения силы тока / 3 свидетельствует о том, что при произвольном выборе направлений токов, указанных на рисун ке, направление тока / 3 было указано противоположно истин ному. На самом деле ток / 3 те чет от узла В к узлу А. Пример 4. Сила тока в про воднике сопротивлением R — = 20 Ом нарастает в течение вре мени At=2 с по линейному закону от / 0= 0 до / тах= 6 А (рис. 19.3). Определить количество теплоты Qi, выделившееся в этом проводнике за первую секунду, и Q2 — за вторую, а также найти отношение этих количеств теплоты Q2/Qi . Р е ш е н и е . Закон Джоуля — Ленца Q = l2Rt применйм в слу чае постоянного тока (/= const). Если же сила тока в проводнике изменяется, то указанный закон справедлив для бесконечно малого промежутка времени и записывается в виде dQ =I2Rdt. (1) Здесь сила тока I является некоторой функцией времени. В на шем случае I= k t , (2) где k — коэффициент пропорциональности, равный отношению приращения силы тока к интервалу времени, за который произошло это приращение: k= AI/At. С учетом равенства (2) формула (1) примет вид (3) Для определения количества теплоты, выделившегося за конеч ный промежуток времени At, выражение (3) следует проинтегриро вать в пределах от t± до ^2 q = т J dt=j k*R in - tii h 242 При определении количества теплоты, выделившегося за первую секунду, пределы интегрирования 2^=0, t2= 1 с и, следовательно, Qi= 60 Дж, а за вторую секунду — пределы интегрирования ^ = 1 с3 t2=2 с и тогда Qо=420 Дж. Следовательно, Q2/Q1—7, т. е. за вторую секунду выделится теплоты в 7 раз больше, чем за первую секунду. Задачи Закон Ома для участка цепи 19.1. Сила тока в проводнике равномерно нарастает от 10= 0 до 1=3 А в течение времени ^=10 с. Определить заряд Q, прошедший в проводнике. 19.2. Определить плотность тока / в железном проводнике дли ной / —10 м, если провод находится под напряжением U = 6 В. 19.3. Напряжение U на шинах электростанции равно 6,6 кВ. Потребитель находится на расстоянии / = 10 км. Определить пло щадь S сечения медного провода, который следует взять для уст ройства двухпроводной линии передачи, если сила тока / в линии равна 20 А и потери напряжения в проводах не должны превышать 3 %. 19.4. Вычислить сопротивление R графитового проводника, из готовленного в виде прямого кругового усеченного конуса высотой h = 20 см и радиусами оснований гг= \2 мм и г2=8 мм. Температура t проводника равна 20 °С. 19.5. На одном конце цилиндрического медного проводника со противлением Ro=№ Ом (при 0 °С) поддерживается температура /х=20 °С, на другом t2= =400 °С. Найти сопротив ление R проводника, счи тая градиент температуры вдоль его оси постоянным. 19.6. Проволочный куб а) составлен из проводников. Сопротивление R± каждого проводника, составляюще го ребро куба, равно 1 Ом. Вычислить сопротивление R этого ку ба, если он включен в электрическую цепь, как показано на рис. 19.4. а. 19.7. То же (см. задачу 19.6), если куб включен в цепь, как пока зано на рис. 19.4, б. 19.8. То же (см. задачу 19.6), если куб включен в цепь, как по казано на рис. 19.4, в . 243 19.9. Катушка и амперметр соединены последовательно и присо единены к источнику тока. К зажимам катушки присоединен вольт метр сопротивлением /?в=1 кОм. Показания амперметра /= 0 ,5 А, вольтметра £/=100 В. Определить сопротивление R катушки. Сколько процентов от точного значения сопротивления катушки составит погрешность, если не учитывать сопротивления вольтмет ра? 19.10. Зашунтированный амперметр измеряет токи силой до / = = 10 А. Какую наибольшую силу тока может измерить этот ампер метр без шунта, если сопротивле ние R a амперметра равно 0,02 Ом и сопротивление R m шунта равно 5 мОм? 19.11. женных на рис. 19.5, а, б , более пригодна для измерения больших сопротивлений и какая — для измерения малых сопротивлений? Вычислить погрешность, допус каемую при измерении с помощью этих схем сопротивлений R x= = 1 кОм и R 2=10 Ом. Принять сопротивления вольтметра R B и амперметра R a соответственно равными 5 кОм и 2 Ом. Закон Ома для всей цепа 19.12. Внутреннее сопротивление г батареи аккумуляторов рав но 3 Ом. Сколько процентов от точного значения ЭДС составляет погрешность, если, измеряя разность потенциалов на зажимах ба тареи вольтметром с сопротивлением R B= 200 Ом, принять ее рав ной ЭДС? 19.13. К источнику тока с ЭДС <£= 1,5 В присоединили катуш ку с сопротивлением R = 0,1 Ом. Амперметр показал силу тока, рав ную /х=0,5 А. Когда к источнику тока присоединили последова тельно еще один источник тока с такой же ЭДС, то сила тока / в той же катушке оказалась равной 0,4 А. Определить внутренние сопротивления гх и г2 первого и второго источников тока. 19.14. Две группы из трех последовательно соединенных элемен тов соединены параллельно. ЭДС <£ каждого элемента равна 1,2 В, внутреннее сопротивлениег=0,2 Ом. Полученная батарея замкнута на внешнее сопротивление R = 1,5 Ом. Найти силу тока I во внеш ней цепи. 19.15. Имеется N одинаковых гальванических элементов с ЭДС <£ и внутренним сопротивлением rt каждый. Из этих элемен тов требуется собрать батарею, состоящую из нескольких параллель но соединенных групп, содержащих по п последовательно соединен ных элементов. При таком значении п сила тока / во внешней цепи, имеющей сопротивление R , будет максимальной? Чему будет равно внутреннее сопротивление R t батареи при этом значении п? 244 19.16. Даны 12 элементов с ЭДС <£=1,5 В и внутреннем сопро тивлением г = 0,4 Ом. Как нужно соединить эти элементы, чтобы получить от собранной из них батареи наибольшую силу тока во внешней цепи, имеющей сопротивление R = 0,3 Ом? Определить максимальную силу тока / шах. 19.17. Два одинаковых источника то- А* 'В ка с ЭДС<£=1,2 В и внутренним сопро тивлением г= 0,4 Ом соединены, как показано на рис. 19.6, а, б . Определить силу тока / в цепи и разность потенциаа) 6) лов U между точками А и В в первом и Рис. 19.6 втором случаях. 19.18. Два элемента (<£i=l,2 В, rx= 0 ,1 Ом; <£2=0,9 В, г2= = 0,3 Ом) соединены одноименными полюсами. Сопротивление R соединительных проводов равно 0,2 Ом. Определить силу тока / в цепи. Правила Кирхгофа 19.19. Две батареи аккумуляторов ( < £ а . = 10 В, гг= 1 Ом; <£2= = 8 В, г2= 2 Ом) и реостат (R = 6 Ом) соединены, как показано на рис. 19.7. Найти силу тока в батареях и реостате. 19.20. Два источника тока (<£i= 8В, гх= 2 Ом; <£2= 6 В, г2= = 1,5 Ом) и реостат (^ = 10 Ом) соединены, как показано на рис. 19.8. Вычислить силу тока /, текущего через реостат. Рис. 19.7 Рис. 19.8 19.21. Определить силу тока / 3 в резисторе сопротивлением R 3 (рис. 19.9) и напряжение U3 на концах резистора, если <£х= 4 В, <£2= 3 В, ^ ! = 2 0 м, ^ 2= 6 Ом, R з=1 Ом. Внутренними сопротивле ниями источников тока пренебречь. 19.22. Три батареис ЭДС <£х=12 В,<£2= 5 В и<£ = 10 В и одина ковыми внутренними сопротивлениями г, равными 1 Ом, соединены между собой одноименными полюсами. Сопротивление соединитель ных проводов ничтожно мало. Определить силы токов /, идущих че рез каждую батарею. 19.23. Три источника токае Э Д С ^!=11 В,<£2= 4 В и<£3= 6 В и три реостата с сопротивлениями ^ i = 5 Ом, R 2= 10 Ом и R 3= 2 Ом соединены, как показано на рис. 19.10. Определить силы токов I 245 в реостатах. Внутреннее сопротивление источника тока пренебрежи мо мало. 19.24. Три сопротивления R i—5 Ом, ^ 2=1 Ом и R 3= 3 Ом, а так же источник тока с ЭДС<£i=l,4 В соединены, как показано на R, + *3 |/?2 *3 ^ В г Рис. 19.9 рис. 19.11. Определить ЭДС<£ источника тока, который надо под ключить в цепь между точками Л и В, чтобы в сопротивлении R 9 шел ток силой I = 1 А в направлении, указанном стрелкой. Сопротив лением источника тока пренебречь. Работа и мощность тока 19.25. Лампочка и реостат, соединенные последовательно, при соединены к источнику тока. Напряжение U на зажимах лампочки равно 40 В, сопротивление R реостата равно 10 Ом. Внешняя цепь потребляет мощность Р =120 Вт. Найти силу тока I в цепи. 19.26. ЭДС батареи аккумуляторов <£=12 В, сила тока / ко роткого замыкания равна 5 А. Какую наибольшую мощность Р шах можно получить во внешней цепи, соединенной с такой батареей? 19.27. К батарее аккумуляторов, ЭДС <£ которой равна 2 В и внутреннее сопротивление г= 0,5 Ом, присоединен проводник. Определить: 1) сопротивление R проводника, при котором мощность, выделяемая в нем, максимальна; 2) мощность Р, которая при этом выделяется в проводнике. 19.28. ЭДС <£ батареи равна 20 В. Сопротивление R внешней цепи равно 2 Ом, сила тока / = 4 А. Найти КПД батареи. При ка ком значении внешнего сопротивления R КП Д будет равен 99%? 19.29. К зажимам батареи аккумуляторов присоединен нагрева тель. ЭДС <£ батареи равна 24 В, внутреннее сопротивление г = = 1 Ом. Нагреватель, включенный в цепь, потребляет мощность Р = 8 0 Вт. Вычислить силу тока I в цепи и КПД ц нагревателя. 19.30. Обмотка электрического кипятильника имеет две секции. Если включена только первая секция, то вода закипает через = 15 мин, если только вторая, то через t2=30 мин. Через сколько минут закипит вода, если обе секции включить последовательно? параллельно? 19.31. При силе тока /* = 3 А во внешней цепи батареи аккумуля торов выделяется мощность Рг= 18 Вт, при силе тока / 2= 1 А — со 246 ответственно Р 2—10 Вт. Определить ЭДС $ и внутреннее сопро тивление г батареи. 19.32. Сила тока в проводнике сопротивлением г = 100 Ом равно мерно нарастает от / 0= 0 до / тах= 10 А в течение времени т= 30 с. Определить количество теплоты Q, выделившееся за это время в про воднике. 19.33. Сила тока в проводнике сопротивлением jR= 12 Ом равно мерно убывает от / 0= 5 А до / = 0 в течение времени / = 10 с. Какое количество теплоты Q выделяется в этом проводнике за указанный промежуток времени? 19.34. По проводнику сопротивлением R = 3 Ом течет ток, сила которого возрастает. Количество теплоты Q, выделившееся в про воднике за время т = 8 с, равно 200 Дж. Определить количество электричества q , протекшее за это время по проводнику. В момент времени, принятый за начальный, сила тока в проводнике равна нулю. 19.35. Сила тока в проводнике сопротивлением # = 15 Ом равно мерно возрастает от 10= 0 до некоторого максимального значения в течение времени т = 5 с. За это время в проводнике выделилось количество теплоты Q= 10 кДж. Найти среднюю силу тока (У) в проводнике за этот промежуток времени. 19.36. Сила тока в проводнике равномерно увеличивается от У0= —0 до некоторого максимального значения в течение времени т = = 10 с. За это время в проводнике выделилось количество теплоты Q=1 кДж. Определить скорость нарастания тока в проводнике, если сопротивление R его равно 3 Ом. § 20. ТОК В МЕТАЛЛАХ, ЖИДКОСТЯХ И ГАЗАХ Основные формулы • Плотность тока j, средняя скорость (v) упорядоченного дви жения носителей заряда и их концентрация п связаны соотношением j=en(v>, где е — элементарный заряд. • Закон Ома в дифференциальной форме J=VE, где у — удельная проводимость проводника; Е — напряженность электрического поля. • Закон Джоуля — Ленца в дифференциальной форме w =yE 2, где w — объемная плотность тепловой мощности. • Удельная электрическая проводимость <у= %е2л(/>/ (ти), где е и т — заряд и масса электрона; п — концентрация электро нов; (/) — средняя длина их свободного пробега; и — средняя ско рость хаотического движения электронов. 247 • Закон Видемана — Франца — у = 3 Хе2г Т , где X — теплопроводность. 0 Термоэлектродвижущая сила, возникающая в термопаре, £ = а ( Т 1— 7\), где а — удельная термо-ЭДС; (7\— Т 2) — разность температур спаев термопары. • Законы электролиза Фарадея. Первый закон m=kQ1 где m — масса вещества, выделившегося на электроде при прохож дении через электролит электрического заряда Q; к — электрохими ческий эквивалент вещества. Второй закон k=MI{FZ), где F — постоянная Фарадея (F=96,5 кКл/моль); М — молярная масса ионов данного вещества; Z — валентность ионов. Объединенный закон 1 М п m ~~ F Z ® 1 М т, F Z где / — сила тока, проходящего через электролит; t — время, в те чение которого шел ток. 0 Подвижность ионов 6=(v>/£, где (v) — средняя скорость упорядоченного движения ионов; Е — напряженность электрического поля. 0 Закон Ома в дифференциальной форме для электролитов и газов при самостоятельном разряде в области, далекой от насыще ния, j = Qn {b++ b_) Е, где Q — заряд иона; п — концентрация ионов; Ь+ и Ь_ — подвиж ности соответственно положительных и отрицательных ионов. 0 Плотность тока насыщения /н ас “ где п0 — число пар ионов, создаваемых ионизатором в единице объема в единицу времени; d — расстояние между электродами [n0=N /(Vt), где N — число пар ионов, создаваемых ионизатором за время t в пространстве между электродами; V — объем этого пространства]. Примеры решения задач Пример 1. По железному проводнику, диаметр d сечения которо го равен 0,6 мм, течет ток 16 А. Определить среднюю скорость {v) направленного движения электронов, считая, что концентрация п свободных электронов равна концентрации nf атомов проводника. 248 Р е ш е н и е . Средняя скорость направленного (упорядочен ного) движения электронов определяется по формуле (v)=l/t, (1) где t — время, в течение которого все свободные электроны, нахо дящиеся в отрезке проводника между сечениями 1 и I I , пройдя че рез сечение II (рис. 20.1), пе/ ренесут заряд Q=eN и создадут ___ ток о-*- - 1 Л 1 I = 4 = Т> __ (2) / Е где е — элементарный заряд; Рис. 20.1 N — число электронов в отрезке проводника; / — его длина. Число свободных электронов в отрезке проводника объемом V можно выразить следующим образом: N = n V = n [Si (3) где S — площадь сечения. По условию задачи, п= п . Следовательно, „ .._ _ АГа Wap (4) п ~ ~ v m ~ М /р м ’ где N а — постоянная Авогадро; Vm — молярный объем металла; М — молярная масса металла; р — его плотность. Подставив последовательно выражения п из формулы (4) в ра венство (3) и А из формулы (3) в равенство (2), получим т_N kplSe 1~ Ш ' Отсюда найдем f 1 IM t N Ар&? * Подставив выражение / в формулу (1), сократив на t и выразив площадь S сечения проводника через диаметр d, найдем среднюю скорость направленного движения электронов: / ч 4/М ,ГЧ “ ясг^дре • Произведем по этой формуле вычисления: 4-16-56*10~3 3,14-(0,6-10~3)2-6,02-1023-98-10-9 «1,60* 10“ 19 М' С = 4,20 • 10-3 м/с = 4,20 мм/с. Пример 2. В цепь источника постоянного тока с ЭДС &=6 В включен резистор сопротивлением R = 80 Ом. Определить: 1) плот ность тока в соединительных проводах площадью поперечного сече ния S = 2 мм2; 2) число N электронов, проходящих через сечение проводов за время t= 1 с. Сопротивлением источника тока и соеди нительных проводов пренебречь. 249 Р е ш е н и е . L Плотность тока по определению есть отношение силы тока I к площади поперечного сечения провода: j= I/S . (1) Силу тока в этой формуле выразим по закону Ома: / = ____ (2) где R — сопротивление резистора; Ri — сопротивление соедини тельных проводов; rt — внутреннее сопротивление источника тока. Пренебрегая сопротивлениями R x и rt из (2), получим I = &IR. Подставив это выражение силы тока в (1), найдем j = £/(RS). Произведя вычисления по этой формуле, получим } = 80,2610- 6 А/м2 = 3,75• 10* А/м2. 2. Число электронов, проходящих за время t через поперечное сечение, найдем, разделив заряд Q, протекающий за это время че рез сечение, на элементарный заряд: N=QIe , или с учетом того, что Q = It и I= S /R t Подставим сюда числовые значения величин и вычислим (эле ментарный заряд возьмем из табл. 24: £=1,60 ПО- *9 Кл): 6 1 N = 3q7] 6q. iQ~ jL9 электронов = 4,69• 1017 электронов. Пример 3. Пространство между пластинами плоского конденса тора имеет объем V=375 см3 и заполнено водородом, который ча стично ионизирован. Площадь пластин конденсатора S=250 см2. При каком напряжении U между пластинами конденсатора сила тока /, протекающего через конденсатор, достигнет значения 2 мкА, если концентрация п ионов обоих знаков в газе равна 5,3 ПО7 см-3? Принять подвижность ионов Ь+=5,4*10-4 м2/(В-с), Ь _ = 7 ,4 х X 10~4 м2/(В-с). Р е ш е н и е . Напряжение U на пластинах конденсатора свя зано с напряженностью Е электрического поля между пластинами и расстоянием d между ними соотношением U=Ed. (1) Напряженность поля может быть найдена из выражения плот ности тока j = Qn (b++ b_) E t где Q — заряд иона. Отсюда Qn(b++b_) 250 Qn(6++6_)S* Расстояние d между пластинами, входящее в-формулу (1), най дем из соотношения d = V /S . Подставив выражения Е и d в (1), получим U и _____ —_____ Qn(b++b.)S* ■ (2) W Проверим, дает ли правая часть полученной расчетной формулы единицу напряжения: [/][У] 1 А-1 м3 _ [Q][«][&] IS2] “ 1Кл- 1м-3 [1 м2/(с-В)] м4 ~ 1 А-1 мв-1 с-1 В 1 Кл-1 В р "" 1 Кл-1 м6 “ 1 Кл Подставим в формулу (2) значения величин и произведем вычис ления: U-. 2-10-«-375-10-6 1,6-10_1®-5,3 -1013 (5,4-j-7,4)-10-4 (250-10' В = 110 в . Пример 4, Определить скорость и (мкм/ч), с которой растет слой никеля на плоской поверхности металла при электролизе, если плотность тока /, протекающего через электролит, равна 30 А/м. Никель считать двухвалентным. Р е ш е н и е . Для решения задачи воспользуемся объединенным законом Фарадея т■ F Z ll( 1) Будем считать, что электролитическое осаждение никеля идет рав номерно по всей поверхности металла. Тогда массу т выделившего ся за время t никеля можно выразить через плотность р, площадь S поверхности металла и толщину h слоя никеля: m=pSh. (2) Силу тока I выразим через плотность тока и площадь поверхности металла: I= jS . (3) Подставив в формулу (1) выражения для массы (2) и силы тока (3), получим pft = - jr -?-/*■ (4) При неизменной плотности токанарастание слоя никеля будет про исходить с постоянной скоростью и ,определяемой отношением тол щины слоя, наращенного за некоторый интервал времени, к этому интервалу (u=h/t ). Тогда из формулы (4) следует F Zp • 251 Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу скоро сти: [М] [ / ] _1 кг/моль-1 А/м2 ____ 1 А*1 м _ 1 А»1 м _■. , [F] [р] “ 1 Кл/моль-1 кг/м3 1 Кл “ 1 А/с “ 1 М/С* При этом было учтено, что валентность Z величина неименованная (безразмерная). Выпишем значения величин, выразив их в единицах СИ: F= =9,65• 104 Кл/моль (см. табл. 24), А1=58,7-10_3 кг/моль (см. Пе риодическую систему элементов Д. И. Менделеева на внутренней стороне обложки), Z = 2, /= 3 0 А/м2, р=8,8 •103 кг/м3 (см. табл. 9). Подставим числовые значения и произведем вычисления: 58, 7. Ю - 3 . 30 , . л . 0 Ц— "9^55.104.2.8,8» 1Q3 м/° = 1»04 *Ю 9 м/с = 3,74 мкм/ч. Задачи Ток в металлах 20.1. Сила тока 1 в металлическом проводнике равна 0,8 А, се чение 5 проводника 4 мм2. Принимая, что в каждом кубическом сантиметре металла содержится я=2,5*1022 свободных электронов, определить среднюю скорость (v) их упорядоченного движения. 20.2. Определить среднюю скорость (v ) упорядоченного движения электронов в медном проводнике при силе тока / = 10 А и сечении S проводника, равном 1 мм2. Принять, что на каждый атом меди при ходится два электрона проводимости. 20.3. Плотность тока / в алюминиевом проводе равна 1 А/мм2. Найти среднюю скорость (у) упорядоченного движения электронов, предполагая, что число свободных электронов в 1 см3 алюминия равно числу атомов. 20.4. Плотность тока / в медном проводнике равна 3 А/мм2. Най ти напряженность Е электрического поля в проводнике. 20.5. В медном проводнике длиной /= 2 м и площадью 5 попереч ного сечения, равной 0,4 мм2, идет ток. При этом ежесекундно вы деляется количество теплоты Q=0,35 Дж. Сколько электронов N проходит за 1 с через поперечное сечение этого проводника? 20.6. В медном проводнике объемом У =6 см3 при прохождении по нему постоянного тока за время t= 1 мин выделилось количество теплоты Q=216 Дж. Вычислить напряженность Е электрического поля в проводнике. Классическая теория электропроводности металлов 20.7. Металлический проводник движется с ускорением а= = 100 м/с2. Используя модель свободных электронов, определить напряженность Е электрического поля в проводнике. 20.8. Медный диск радиусом А!= 0 ,5 м равномерно вращается (со = 104 рад/с) относительно оси, перпендикулярной плоскости 252 .диска и проходящей через его центр. Определить разность потен циала U между центром диска и его крайними точками. 20.9. Металлический стержень движется вдоль своей оси со ско ростью у= 200 м/с. Определить заряд Q, который протечет через гальванометр, подключаемый к концам стержня, при резком его торможении, если длина I стержня равна 10 м, а сопротивление R всей цепи (включая цепь гальванометра) равно 10 мОм. 20.10. Удельная проводимость у металла равна 10 МСм/м. Вы числить среднюю длину (/) свободного пробега электронов в метал ле, если концентрация п свободных электронов равна 1028 м~3. Среднюю скорость а хаотического движения электронов принять равной 1 Мм/с. 20.11. Исходя из модели свободных электронов, определить чис ло 2 соударений, которые испытывает электрон за время t— 1 с, находясь в металле, если концентрация п свободных электронов равна 1029 м“3. Удельную проводимость у металла принять равной 10 МСм/м. 20.12. Исходя из классической теории электропроводности ме таллов, определить среднюю кинетическую энергию (е) электронов в металле, если отношение Х1у теплопроводности к удельной прово димости равно 6,7 -10“6 В2/К. 20.13. Определить объемную плотность тепловой мощности w в металлическом проводнике, если плотность тока /= 1 0 А/мм2. Напряженность Е электрического поля в проводнике равна 1 мВ/м. 20.14. Термопара медь — константан с сопротивлением Rx= = 5 Ом присоединена к гальванометру, сопротивление R2 которого равно 100 Ом. Один спай термопары погружен в тающий лед, дру гой — в горячую жидкость. Сила тока / в цепи равна 37 мкА. По стоянная термопары &=43 мкВ/К. Определить температуру t жид кости. 20.15. Сила тока 1 в цепи, состоящей из термопары с сопротивле нием JRi=4 Ом и гальванометра с сопротивлением R 3= 80 Ом, равна 26 мкА при разности температур At спаев, равной 50 °С. Определить постоянную k термопары. Ток в жидкостях 20.16. При силе тока / = 5 А за время ^=10 мин в электролитиче ской ванне выделилось т = 1 ,0 2 г двухвалентного металла. Опреде лить его относительную атомную массу Аг. 20.17. Две электролитические ванны соединены последовательно. В первой ванне выделилось тг—3,9 г цинка, во второй за то же время т 2= 2,24 г железа. Цинк двухвалентен. Определить валент ность железа. 20.18. Электролитическая ванна с раствором медного купороса присоединена к батарее аккумуляторов с ЭДС <£=4 В и внутрен ним соцротивленим r = 0 ,1 Ом. Определить массу т меди, выделив шейся при электролизе за время £=10 мин, если ЭДС поляриза 253 ции <£п= 1,5 В и сопротивление R раствора равно 0,5 Ом. Медь двух валентна. 20.19. Определить толщину h слоя меди, выделившейся за время /= 5 ч при электролизе медного купороса, если плотность тока / = =80 А/м2. 20.20. Сила тока, проходящего через электролитическую ванну с раствором медного купороса, равномерно возрастает в течение времени А^=20 с от / 0= 0 до 1=2 А. Найти массу т меди, выделив шейся за это время на катоде ванны. 20.21. В электролитической ванне через раствор прошел заряд Q = 193 кКл. При этом на катоде выделился металл количеством ве щества v = l моль. Определить валентность Z металла. 20.22. Определить количество вещества v и число атомов N двух валентного металла, отложившегося на катоде электролитической ванны, если через раствор в течение времени t = 5 мин шел ток силой 1=2 А. 20.23. Сколько атомов двухвалентного металла выделится на 1 см2 поверхности электрода за время £=5 мин при плотности тока / = 10 А/м2? Ток в газах 20.24. Энергия ионизации атома водорода £*=2,18 -Ю"*8 Дж. Определить потенциал ионизации Ut водорода. 20.25. Какой наименьшей скоростью i>min должен обладать элект рон, чтобы ионизировать атом азота, если потенциал ионизации Ui азота равен 14,5 В? 20.26. Какова должна быть температура Т атомарного водорода, чтобы средняя кинетическая энергия поступательного движения атомов была достаточна для ионизации путем соударений? Потен циал ионизации Ui атомарного водорода равен 13,6 В., 20.27. Посередине между электродами ионизационной камеры пролетела а-частица, двигаясь параллельно электродам, и образо вала на своем пути цепочку ионов. Спустя какое время после проле та ос-частицы ионы дойдут до электродов, если расстояние d между электродами равно 4 см, разность потенциалов U = 5 кВ и подвиж ность ионов обоих знаков в среднем Ь=2 см2/(В -с)? 20.28. Азот ионизируется рентгеновским излучением. Опреде лить проводимость G азота, если в каждом кубическом сантиметре газа находится в условиях равновесия л0=Ю* пар ионов. Подвиж ность положительных ионов Ь+ = 1,27 см2/(В *с) и отрицательных Ь_ = 1,81 см2/(В-с). 20.29. Воздух между плоскими электродами ионизационной ка меры ионизируется рентгеновским излучением. Сила тока /, теку щего через камеру, равна 1,2 мкА. Площадь S каждого электрода равна 300 см2, расстояние между ними d = 2 см, разность потенциа лов [/=100 В. Найти концентрацию п пар ионов между пластина ми, если ток далек от насыщения. Подвижность положительных 254 ионов b+= 1,4 см2/( В с ) и отрицательных b_=^ 1,9 см2/(В-с). Заряд каждого иона равен элементарному заряду. 20.30. Объем V газа, заключенного между электродами иониза ционной камеры, равен 0,5 л. Газ ионизируется рентгеновским из лучением. Сила тока насыщения / нас= 4 нА. Сколько пар ионов образуется в 1 с в 1 см3 газа? Заряд каждого иона равен элементар ному заряду. 20.31. Найти силу тока насыщения между пластинами конденса тора, если под действием ионизатора в каждом кубическом санти метре пространства между пластинами конденсатора ежесекундно образуется п0= 1 0 8 пар ионов, каждый из которых несет один элемен тарный заряд. Расстояние d между пластинами конденсатора равно 1 см, площадь S пластины равна 100 см2. 20.32. В ионизационной камере, расстояние d между плоскими электродами которой равно 5 см, проходит ток насыщения плот ностью / = 16 мкА/м2. Определить число п пар ионов, образующихся в каждом кубическом сантиметре пространства камеры в 1 с. ГЛАВА 5 ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ § 21. МАГНИТНОЕ ПОЛЕ ПОСТОЯННОГО ТОКА Основные формулы • Закон Био — Савара — Лапласа где dB — магнитная индукция поля, создаваемого элементом про водника с током; \х — магнитная проницаемость; р0 — магнитная постоянная (rt0= 4jt •10~7 Гн/м); dl — вектор, равный по модулю длине dl проводника и совпадающий по направлению с током (эле мент проводника); / — сила тока; г — радиус-вектор, проведенный от середины элемента проводника к точке, магнитная индукция в которой определяется. Модуль вектора dB выражается формулой / sin а dl, dB: 4jt где а — угол между векторами dl и г. • Магнитная индукция В связана с напряженностью Н маг нитного поля (в случае однородной, изотропной среды) соотноше нием В^р-оР'Н или в вакууме В0= р 0Н. • Магнитная индукция в центре кругового проводника с током р _ ЦоЦ 1 ~ 2 R 9 где R — радиус кривизны проводника. • Магнитная индукция поля, создаваемого бесконечно длин ным прямым проводником с током, D _ НоЦ ^ 2п г 9 где г — расстояние от оси проводника. Магнитная индукция поля, создаваемого отрезком проводника, В = ^ 256 7 7 (c o s Ф1— c o s ф2) • Обозначения ясны из рис. 21.1, а. Вектор индукции В перпенди кулярен плоскости чертежа, направлен к нам и поэтому изображен точкой. При симметричном расположении концов проводника относи тельно точки, в которой определяется магнитная индукция и (рис. 21.1, б ) ,—cos (p2=cos фх= п и =cos ф и, следовательно, / В- 2л г0• СОБф. ^ \ • Магнитная индукция ПОЛЯ, создаваемого соленоидом в сред-? в ней его части (или тороида на его оси), ч>. B = \i0\inl , f где п — число витков, приходящих IIп ся на единицу длины соленоида; II / — сила тока в одном витке. 5) • Принцип суперпозиции маг Рис. 21.1 нитных полей: магнитная индук ция В результирующего поля равна векторной сумме магнитных индукций Вь В2, ..., Вл складываемых полей, т. е. в = i= 2 1 в,, В частном случае наложения двух полей в=вх+в2, а модуль магнитной продукции В = V В \ + В\ + 2ВгВ2cos ос, где а — угол между векторами Вх и В2. Примеры решения задач Пример 1. Два параллельных бесконечно длинных провода, по которым текут в одном направлении токи /= 6 0 А, расположены на расстоянии d= 10 см друг от друга. Определить магнитную индукцию В в точке, отстоящей от одного про водника на расстоянии ^ = 5 см и от другого — на расстоянии г2= 12 см. Решение. Для нахождения магнитной индукции в указанной точ ке А (рис. 21.2) определим направле ния векторов индукций Вх и В 2 по лей, создаваемых каждым проводни ком в отдельности, и сложим их гео метрически, т. е. B = B i+ B 2. Модуль индукции найдем по теоре ме косинусов: В = У В 1 - \ - В 1 + 2В ХВ 2 cos а. (1) 9 Г6 1268 257 Значения индукций Bi и В г выражаются соответственно через силу тока I и расстояния rL и г2 от провода до точки, индукцию в которой мы вычисляем: > В2= - . Подставляя В± и В 2 в формулу (1) и вынося за знак корня, получим l / 4 - + 4 - + — cost*. (2) r\ Г1Г2 Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу магнитной индукции (Тл): М [г2]1 '2 1 Гн/M.l А _ 1 Гн-(1 А)2 _ I Дж 1 м -“ 1 А*(1 м)2 ““ 1 А*(1 м)2 1 Н 1 А-1 м 1 т 1 АЛ< Здесь мы воспользовались определяющей формулой для маг нитной индукции (В=М тах /рп). Откуда следует, что I т __ 1 Н-1 м _ 1 АЛ 1 А*(1 м)2 “ 1 Н 1 А*1 м • Вычисляем cos а . Заметим, что a=Z.DAC. Поэтому по теореме косинусов запишем d2= r\+ rl —2rir2cos а , где d — расстояние между проводами. Отсюда rl + rl-d* cosa = 2ггг2 Подставив данные, вычислим значение косинуса: cos a= 0,576. Подставив в формулу (2) значения р0, и cos (J, найдем В = 286 мкТл. Пример 2. По двум длинным прямолинейным проводам, находя щимся на расстоянии г= 5 см друг от друга в воздухе, текут токи 7=10 А каждый. Опреде лить магнитную индукцию В поля, создаваемого то ками в точке, лежащей по середине между проводами, для случаев: 1) провода параллельны, токи текут в одном направлении (рис. 21.3, а); 2) провода парал лельны, токи текут в про тивоположных направле ниях (рис. 21.3, б); 3) про вода перпендикулярны, на Рис. 21.3 правление токов указано на рис. 21.3, в . Решение. Результирующая индукция магнитного поля равна векторной сумме: B = B i+ B , где Bi — индукция поля, создаваемого током /*; В2 — индукция поля, создаваемого током 7 2. 258 Если Вх и В2 направлены по одной прямой, то векторная сумма может быть заменена алгебраической суммой < В = В 1-{-В2. (1) При этом слагаемые В1 и В 2 должны быть взяты с соответствую щими знаками. В данной задаче во всех трех случаях модули индукций Вх и В 2 одинаковы, так как точки выбраны на равных расстояниях от про водов, по которым текут равные токи. Вычислим эти индукции по формуле B = \ i 0I/ (2пг). (2) Подставив значения величин в формулу (2), найдем модули В± и В 2: Вг—В 2= 80 мкТл. 1-й случай. Векторы В± и В2 направлены по одной прямой (рис. 21.3, а); следовательно, результирующая индукция В опреде ляется по формуле (1). Приняв направление вверх положительным, вниз — отрицательным, запишем: В г= —80 мкТл, 5 2= 8 0 мкТл. Подставив в формулу (1) эти значения В± и В 2, получим B = B X+ B %= 0. 2йслучай. Векторы Вх и В2 направлены по одной прямой в одну сторону (рис. 21.3, б). Поэтому можем за писать В1= В 2= —80 мкТл. Подставив в формулу ( 1) значения Вг и B2i получим В = В 1+ В 2= —160 мкТл. 3й случай. Векторы индукций магнит ных полей, создаваемых токами в точке, лежащей посередине между проводами, взаимно перпендикулярны (рис. 21.3, в). Результирующая индукция по модулю и направлению является диагональю квадра та, построенного на векторах Вх и В2. По теореме Пифагора найдем в= У М + в1(3) Подставив в формулу (3) значения Вх и В 2 и вычислив, получим 5 = 1 1 3 мкТл. Пример 3. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемо го отрезком бесконечно длинного прямого провода, в точке, равно удаленной от концов отрезка и находящейся на расстоянии г0= = 20 см от середины его (рис. 21.4). Сила тока /, текущего по про воду, равна 30 А, длина I отрезка равна 60 см. Р е ш е н и е . Для определения магнитной индукции поля, соз даваемого отрезком провода, воспользуемся законом Био — Сава9* 259 pa — Лапласа: d B = jV s in o ^ d/ (1) 4лга Прежде чем интегрировать выражение (1), преобразуем его так, чтобы можно было интегрировать по углу а . Выразим длину элемента d/ проводника через da. Согласно рис. 21.4, запишем d/ = . Подставим это выражение d I в формулу (1): i n _ fi07 sin а-г da 4лг2 sin а _ [ i 0I da 4лг ГО Но г — величина переменная, зависящая от а и равная г - sin а Подставив г в предыдущую формулу, найдем dB = -44лг ^ ~о* sin ad a. ( 2) Чтобы определить магнитную индукцию поля, создаваемого от резком проводника, проинтегрируем выражение (2) в пределах от «1 до а 2: 0С>2 ~4~ sin a da = j* s in a d a , или a, В= at (cos а х— cos а 2). ( 3) Заметим, что при симметричном расположении точки А относитель но отрезка провода cos a 2= —cos а 2. С учетом этого формула (3) примет вид В = 2я г0 - cos a f. 1 1/2 Из рис. 21.4 следует cosaf = - л_____ — V l'/A + rl (4) V A r t + l*. . Подставив выражение cos а* в формулу (4), получим 1 В- Ро/ (5) 2яг0 V 4го + 12 Подставим числовые значения в формулу (5) и произведем вы числения: Р 4 я - Ю ~ 7 - 3 0 ___________м ~ 2-я-0,2 _________ V 4.(0,2)2+ (0,6)2 Тл = 2,49-10-« Тл = 24,9 мкТл. Пример 4. Длинный провод с током 7=50 А изогнут под углом а = 2 я /3 . Определить магнитную индукцию В в точке А (рис. 21.5). Расстояние d = 5 см. Р е ш е н и е . Изогнутый провод можно рассматривать как два длинных провода, концы которых соединены в точке О. В соответ ствии с принципом суперпозиции магнитных полей магнитная ин дукция В в точке А будет равна геометрической сумме магнитных индукций В, и В) полей, создаваемых отрезками длинных прово 260 дов 1 и 2, т. е. В = В !+ В 2. Магнитная индукция В2 равна нулю. Это следует из закона Био — Савара — Лапласа, согласно которому в точках, лежащих на оси проводника, d B = 0([dlr]= 0). Магнитную индукцию Bt найдем, воспользовавшись формулой (3), полученной в примере 3: В = "4л£г (C0S ~ C° S ’ где г0 — кратчайшее расстояние от проводника 1 до точки А (рис. 21.6). В нашем случае ai->-0 (проводник длинный), ос2= а = = 2 я /3 (cos oc2=cos (2я/3))=— Уг. Расстояние r0=d sin (я—a ) = = d sin (n/3)=dVr3/2. Тогда магнитная индукция Вг d V 3/2 Так как В = В 1(В2= 0), то 4я ш Вектор В сонаправлен с вектором Вх и определяется правилом правого винта. На рис. 21.6 это направление отмечено значком X (перпендикулярно плоскости чертежа от нас). Проверка единиц аналогична выполненной в примере 1. Произведем вычисления: В = / 34; л4я ; 1,°п"7; 50- Тл = 3,46-10-* Тл = 34,6 мкТл. -5-10~ 2 Пример 5. По тонкому проводящему кольцу радиусом /? = 10 см течет ток I —80 А. Найти магнитную индукцию В в точке А, равно удаленной от всех точек кольца на расстояние г = 20 см. Р е ш е н и е . Для решения задачи воспользуемся законом Био — Савара — Лапласа: dB Цо / [dir] 4л где dB — магнитная индукция поля, создаваемого элементом тока /d l в точке, определяемой радиусом-вектором г. 261 Выделим на кольце элемент dl и от него в точку А проведем ра диус-вектор г (рис. 21.7). Вектор dB направим в соответствии с пра вилом буравчика. Согласно принципу суперпозиции магнитных полей, магнитная индукция В в точке А опре »* .................... интегралом ..... ................... ..... ............ деляется I I B -S d B , где интегрирование ведется по всем элементам dl кольца. Разложим вектор dB на две составляющие: dB^ — перпендикулярную плоскости кольца и dBn — параллель ную плоскости кольца, т. е. dB = dBx -f- dBu. Тогда В = J dB + $dB. L L Заметив, что § dB = 0 из соображений симметрии и что векторы dBj_ от различных элементов dl сонаправлены, заменим векторное суммирование (ин тегрирование) скалярным: S = $dSb fx0 Idl (поскольку dl перпендикулярен где dJ51 =dJ5 cos |5 и dB 4я гг г и, следовательно, sin а = 1). Таким образом, 2яЯ B = _B2__LCosftp jf dл // =_ ■М cosp.2nfl 4я /•« 4лг% После сокращения на 2л и замены cos р на R/r (рис. 21.7) полу- ЧИМ1 nJR 2 2 г? Выразим все величины в единицах СИ, произведем вычисления: В- д _ 4л-10—7-80-(О,I)2 _ В 2.(0 2)3 „ о0 1Л_, „ Тл —6,28*10 , Тл,, или В —62,8 мкТл. Вектор В направлен по оси кольца (пунктирная стрелка на рис. 21.7) в соответствии с правилом буравчика. Пример 6. Бесконечно длинный проводник изогнут так, как это изображено на рис. 21.8. Радиус дуги окружности /?=10 см. Опре делить магнитную индукцию В поля, создаваемого в токе О током 1= 80 А, текущим по этому проводнику. 262 Р е ш е н и е . Магнитную индукцию В в точке О найдем, ис пользуя принцип суперпозиции магнитных полей В = 2 В,. В на шем случае проводник можно разбить на три части (рис. 21.9)2 два прямолинейных проводника (У и 3), одним концом уходящие в бесконечность, и дугу полуокружности (2) радиуса R. Тогда В = Bf -f Bj + Bg, где Вь В2 и В3 — магнитные индукции поля в точке О, создавае мые током, текущим соответственно на первом, втором и третьем участках проводника. Так как точка О лежит на оси проводника У, то 23i=0 и тогда в=в2+в3. Учитывая, что векторы В2 и В3 направлены в соответствии с пра вилом буравчика перпендикулярно плоскости чертежа от нас, гео метрическое суммирование можно заменить алгебраическим: В = В 2+В з. Магнитную индукцию поля В2 можно найти, используя выраже ние для магнитной индукции в центре кругового проводника с то ком У: Так как магнитная индукция В 2 создается в точке О половиной такого кругового проводника с током, то, учитывая равный вклад в магнитную индукцию от каждой половинки проводника, можно написать Магнитную индукцию В 3 найдем, используя формулу (3) при мера 3: В= ЧЛГq (cos a i — cos a j . В нашем случае r0= R , Тогда D _ У»' ° 3 —~ЫЯ' (cos a i= 0 ), a 2- « t (cos a 2= — 1). 263 Используя найденные выражения для В 2 и В3, получим или В— Произведем вычисления: В = 3,31 • 10-4 Тл = 331 мкТл. Задачи Связь между напряженностью и индукцией магнитного поля в вакууме 21.1. Напряженность Н магнитного поля равна 79,6 кА/м. Опре делить магнитную индукцию В0 этого поля в вакууме. 21.2. Магнитная индукция В поля в вакууме равна ЮмТл. Най ти напряженность Н магнитного поля. 21.3. Вычислить напряженность Н магнитного поля, если его индукция в вакууме В0=0,05 Тл. Поле кругового тока и соленоида 21.4. Найти магнитную индукцию в центре тонкого кольца, по которому идет ток 1 = 10 А. Радиус г кольца равен 5 см. 21.5. По обмотке очень короткой катушки радиусом г = 16 см течет ток 1—5 А. Сколько витков N проволоки намотано на катуш ку, если напряженность Н магнитного поля в ее центре равна 800 А/м? 21.6. Напряженность Н магнитного поля в центре кругового витка радиусом г=8 см равна 30 А/м. Определить напряженность Hi. 21.7. При какой силе тока /, текущего по тонкому проводящему кольцу радиусом R = 0,2 м, магнитная индукция В в точке, равноудаленной от всех точек кольца на расстояние г = 0,3 м, станет равной 20 мкТл? 21.8. По проводнику в виде тонкого кольца радиусом R = 10 см течет ток. Чему равна сила тока /, если магнитная индукция В поля в точ ке А (рис. 21.10) равна 1 мкТл? Угол |3=10°. Рис. 21.10 21.9. Катушка длиной /= 2 0 см содержит N — 100 витков. По обмотке катушки идет ток 1=5 А. Диаметр d катушки равен 20 см. Определить магнитную ин дукцию В в точке, лежащей на оси катушки на расстоянии а= «= 10 см от ее конца. 21.10. Длинный прямой соленоид из проволоки диаметром d= j= 0,5 мм намотан так, что витки плотно прилегают друг к другу. 264 Какова напряженность Н магнитного поля внутри соленоида при силе тока 1= 4 А? Толщиной изоляции пренебречь. 2 1.11. Обмотка катушки диаметром d= 10 см состоит из плотно прилегающих друг к другу витков тонкой проволоки. Определить минимальную длину 1т[п катушки, при которой магнитная индукция в середине ее отличается от магнитной индукции бесконечного соле ноида, содержащего такое же количество витков на единицу длины, не более чем на 0,5 %. Сила тока, протекающего по обмотке, в обо их случаях одинакова. 21.12. Обмотка соленоида выполнена тонким проводом с плотно прилегающими друг к другу витками. Длина / катушки равна 1 м, ее диаметр d = 2 см. По обмотке идет ток. Вычислить размеры участка на осевой линии, в пределах которого магнитная индукция может быть вычислена по фор муле бесконечного соленоида с погреш ностью, не превышающей 0,1 %. 21.1 3 . Тонкая лента шириной / = = 40 см свернута в трубку радиусом рис 21.11 R —30 см. По ленте течет равномерно распределенный по ее ширине ток /= 2 0 0 А (рис. 21.11). Опреде лить магнитную индукцию В на оси трубки в двух точках: 1) в сред ней точке; 2) в точке, совпадающей с концом трубки. Поле прямого тока 21.14. По прямому бесконечно длинному проводнику течет ток /= 5 0 А. Определить магнитную индукцию В в точке, удаленной на расстояние г = 5 см от проводника. 21.15. Два длинных параллельных провода находятся на расстоя нии г= 5 см один от другого. По проводам текут в противоположных направлениях одинаковые токи / = 10 А каждый. Найти напряжен ность Н магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии г*=2 см от одного и г2= 3 см от другого провода. 2 1.16. Расстояние d между двумя длинными параллельными про водами равно 5 см. По проводам в одном направлении текут оди наковые токи /= 3 0 А каждый. Найти напряженность Н магнитного поля в точке, находящейся на расстоянии гх= 4 см от одного и г2= = 3 см от другого провода. 2 1 .1 7 . По двум бесконечно длинным прямым параллельным про водам текут токи 1г= 50 А и / 2= 100 А в противоположных направ лениях. Расстояние d между проводами равно 20 см. Определить магнитную индукцию В в точке, удаленной на гх= 25 см от первого и на г2=40 см о т второго провода. 21.18. По двум бесконечно длинным прямым параллельным про водам текут токи / х= 20 А и / 2= 30 А в одном направлении. Расстоя ние d между проводами равно 10 см. Вычислить магнитную индук цию В в точке, удаленной от обоих проводов на одинаковое расстоя ние г = 10 см. 265 21.19. Два бесконечно длинных прямых провода скрещены под прямым углом (рис. 21.12). По проводам текут токи /х=80 А и 1 2=60 А. Расстояние d между проводами равно 10 см. Определить магнитную индукцию В в точке А, одинаково удаленной от обоих проводников. ! А г Рис. 21.12 3 Рис. 21.13 21.20. По двум бесконечно длинным прямым проводам, скрещен* ным под прямым углом, текут токи 1г=30 А и / 2= 40 А. Расстояние d между проводами равно 20 см. Определить магнитную индукцию В в точке С (рис. 21.12), одинаково удаленной от обоих проводов на расстояние, равное d . 21.21. Бесконечно длинный прямой провод согнут под прямым углом. По проводнику течет ток /= 2 0 А. Какова магнитная индукII ция В в точке А (рис. 21.13), если г —5 см? 21.22. По бесконечно длинному пря мому проводу, изогнутому так, как это показано на рис. 21.14, течет ток /= 1 0 0 А. Определить магнитную индукцию В в точ ке О, если г = 10 см. 21.23. Бесконечно длинный прямой про вод согнут под прямым углом. По проводу течет ток 1= 100 А. Вычислить магнитную Рис. 21.14 индукцию В в точках, лежащих на бис сектрисе угла и удаленных от вершины угла на а =10 см. 21.24. По бесконечно длинному прямому проводу, согнутому под углом а=120°, течет ток /= 5 0 А. Найти магнитную индукцию В в точках, лежащих на биссектрисе угла и удаленных от вершины его на расстояние а = 5 см. 21.25. По контуру в виде равностороннего треугольника идет ток 1= 40 А. Длина а стороны треугольника равна 30 см. Определить магнитную индукцию В в точке пересечения высот. 21.26. По контуру в виде квадрата идет ток /= 5 0 А. Длина а стороны квадрата равна 20 см. Определить магнитную индукцию В в точке пересечения диагоналей. 266 21.27. По тонкому проводу, изогнутому в виде прямоугольника, течет ток 7=60 А. Длины сторон прямоугольника равны а= 30 см и 6=40 см. Определить магнитную индукцию В в точке пересечения диагоналей. 21.28. Тонкий провод изогнут в виде правильного шестиуголь ника. Длина d стороны шестиугольника равна 10 см. Определить магнитную индукцию В в центре шестиугольника, если по проводу течет ток 7=25 А. 21.29. По проводу, согнутому в виде правильного шестиугольни ка с длиной а стороны, равной 20 см, течет ток 7=100 А. Найти напряженность Н магнитного поля в центре шестиугольника. Для сравнения определить напряженность Н0 поля в центре кругового провода, совпадающего с окружностью, описанной около данного шестиугольника. I г) д) Рис. 21.15 е) 21.30. По тонкому проволочному кольцу течет ток. Не изменяя силы тока в проводнике, ему придали форму квадрата. Во сколько раз изменилась магнитная индукция в центре контура? 21.31. Бесконечно длинный тонкий проводник с током 7=50 А имеет изгиб (плоскую петлю) радиусом R = 10 см. Определить в точ ке О магнитную индукцию В поля, создаваемого этим током, в слу чаях а—е, изображенных на рис. 21.15. 21.32. По плоскому контуру из тонкого провода течет ток 7 = = 100 А. Определить магнитную индукцию В поля, создаваемого этим током в точке О, в случаях а—е , изображенных на рис. 21.16. Радиус R изогнутой части контура равен 20 см. Поле движущегося заряда 21.33. Электрон в невозбужденном атоме водорода движется во круг ядра по окружности радиусом г= 53 пм. Вычислить силу экви валентного кругового тока 7 и напряженность Н поля в центре окружности. 267 21.34. Определить максимальную магнитную индукцию В тах поля, создаваемого электроном, движущимся прямолинейно со ско ростью 1>=10 Мм/с, в точке, отстоящей от траектории на рас стоянии d= 1 нм. Рис. 21.16 21.35. На расстоянии г = 10 нм от траектории прямолинейно движущегося электрона максимальное значение магнитной индук ции Втах=160 мкТл. Определить скорость v электрона. § 22. СИЛА, Д Е Й С Т В У Ю Щ А Я Н А П Р О В О Д Н И К С ТОКОМ В М АГН ИТН ОМ ПОЛЕ Основные формулы • Закон Ампера. Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле, F=[1B]/, где I — сила тока; 1 — вектор, равный по модулю длине / провод ника и совпадающий по направлению с током; В — магнитная индукция поля. Модуль вектора F определяется выражением F = B Il sin а, где а — угол между векторами 1 и В. • Сила взаимодействия двух прямых бесконечно длинных па раллельных проводников с токами 1г и / 2, находящихся на расстоя нии d друг от друга, рассчитанная на отрезок проводника длиной /, 268 выражается формулой Р __ ^l/2 £ 2л d % Магнитный момент контура с током Pm=/S, где S — вектор, равный по модулю площади S, охватываемой кон туром, и совпадающий по направлению с нормалью к его плоскости. • Механический момент, действующий на контур с током, по мещенный в однородное магнитное поле, М =[рт В]. Модуль механического момента М = ртВ sin ос, где а — угол между векторами рт и В. • Потенциальная (механическая) энергия контура с током в магнитном поле П мех = Р т В = Р т 5 COS а . • Сила, действующая на контур с током в магнитном поле (из меняющемся вдоль оси х)у дВ Fг — Рт “57 cos а, дВ „ ^ где -^7 — изменение магнитной индукции вдоль оси Ох, рассчи танное на единицу длины; а — угол между векторами рга и В. Примеры решения задач Пример 1. По двум параллельным прямым проводам длиной / —2,5 м каждый, находящимся на расстоянии d = 20 см друг от дру га, текут одинаковые токи /= 1 кА. Вычислить силу F взаимодей ствия токов. Р е ш е н и е . Взаимодействие двух проводников, по которым текут токи, осуществляется через магнитное поле. Каждый ток соз дает магнитное поле, которое действует на другой проводник. Пред положим, что оба тока (обозначим их / х и / 2) текут в одном направ лении. Вычислим силу Fi ,2, с которой магнитное поле, созданное током / ь действует на проводник с током / 2. Для этого проведем магнит ную силовую линию так (штриховая линия на рис. 22.1), чтобы она касалась проводника с током / 2. По касательной к силовой линии проведем вектор магнитной индукции Вх. Модуль магнитной индук ции Bi определяется соотношением * 1 2nd ( 1) * Длинный проводник (t^>d) можно приближенно рассматривать как бес конечно длинный. 269 Согласно закону Ампера, на каждый элемент второго проводника с током / 2 длиной d/2 действует в магнитном поле сила dF 1, 2= / 2В1d/2 sin (dl^Bi). Так как отрезок dl перпендикулярен вектору В1( то sin(dlBj) = 1 и тогда d/ч. 2= / A d / 2. (2) Подставив в выражение (2) В, из (1), получим i #2ndd l . Силу Fit 2 взаимодействия * проводников с током найдем интег рированием по всей длине второго проводника; dPi. F 1, 2 V o h h Г А1 _ М Л / 2nd J Ш2 ~ 2nd 12* О Заметив, что / 1= / 2= / и /2= / , получим 2nd * Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу силы (Н); Ы [ / 2Ш [d] _ 1 T h/ m .(J А)М м 1м " Произведем вычисления: р . . 4я.10-».(10»)».2,5 „ 1 Дж , „ 1м _ 1 " • 0 , „ Сила Flt 2 сонаправлена с силой dF,, 2 (рис. 22.1) и определяет ся (в данном случае это проще) правилом левой руки.. * По третьему закону Ньютона, сила, действующая на первый провод ник со стороны второго, будет равна найденной по модулю и противоположна ей по направлению. 270 Пример 2, Провод в виде тонкого полукольца радиусом R ~ *=10 см находится в однородном магнитном поле (5 = 5 0 мТл). По проводу течет ток 1—10 А. Найти силу F, действующую на провод, если плоскость полукольца перпендикулярна линиям магнитной индукции, а подводя щие провода находятся вне поля. Р е ш е н и е . Распо ложим провод в плоско сти чертежа перпенди кулярно линиям маг нитной индукции (рис. 22.2) и выделим на нем малый элемент d/ с то ком. На этот элемент тока Idl будет действо вать по закону Ампера сила d F = /[d lB ]. Направление этой силы можно определить по правилу векторного произведения или по правилу левой руки. Используя симметрию, выберем координатные оси так, как это изображено на рис. 22.2. Силу dF представим в виде AF=idFx+ idF V9 где i и j — единичные векторы (орты); d Fx и d Fy — проекции векто ра dF на координатные оси Ох и Оу. Силу F, действующую на весь провод, найдем интегрированием] F = $dF = i $ d f , + j$ d F „ , L L L где символ L указывает на то, что интегрирование ведется по всей длине провода L. Из соображений симметрии первый интеграл равен нулю d f x = o \ . Тогда F - iS < U V (1) L Из рис. 22.2 следует, что dFy=dF cos а, где d F — модуль вектора dF (dF—IBdl sin (dlB)). Так как вектор dl перпендикулярен вектору В ( s i n ^ d i e ) = 1 ), то dF=IBdl. Вы разив длину дуги dl через радиус R и угол а , получим dF=IBRdot. Тогда dFy^=IBR cos adce. 271 Введем dFy под интеграл соотношения (1) и проинтегрируем в пре делах от — я /2 до + я /2 (как это следует из рис. 22.2); +я/2 F = j IBR \ cosadcc = 2jIBR. - я/2 Из полученного выражения видно, что сила F сонаправлена с по ложительным направлением оси Оу (единичным вектором j). Найдем модуль силы F: F= |F |= 2 IBR, Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу силы (Н): [П [Я ][Я ] = 1 А-1 Т л -1 м = 1 А- / д ” ' / “ , -1 м = 1 Н. Произведем вычисления: F = 2 - 10-50-10~3-0,1 Н = 0,1 Н. Пример 3. На проволочный виток радиусом г = 10 см, помещен ный между полюсами магнита, действует максимальный механиче ский момент Мтах= 6 ,5 мкН. Сила тока I в витке равна 2А. Опреде лить магнитную индукцию В поля между полюсами магнита. Дей ствием магнитного поля Земли пренебречь. Р е ш е н и е . Индукцию В магнитного поля можно определить из выражения механического момента, действующего на виток с то ком в магнитном поле, М = ртВ sin a . (1) Если учесть, что максимальное значение механический момент принимает при a = j t / 2 (sin a = l ) , а также что /?m= / S , то формула (1) примет вид Mmax = /BS. Отсюда, учитывая, что S = Jtr2, находим В = Мт9Я/{пгЧ). [2) Произведя вычисления по формуле (2), найдем В=104 мкТл. Пример 4. Квадратная рамка со стороной длиной а—2 см, содер жащая N =100 витков тонкого провода, подвешена на упругой нити, постоянная кручения С которой равна 10 мкН*м/град. Плоскость рамки совпадает с направлением линии индукции внешнего магнит ного поля. Определить индукцию внешнего магнитного поля, если при пропускании по рамке тока 1=1 А она повернулась на угол а= 60°. Р е ш е н и е . Индукция В внешнего поля может быть найдена из условия равновесия рамки в поле. Рамка будет находиться в рав новесии, если сумма механических моментов, действующих на нее, будет равна нулю: 2М =0. а) 272 В данном случае на рамку действуют два момента (рис. 22.3): Mi — момент сил, с которым внешнее магнитное поле действует на рамку с током, и М2 — момент упругих сил, возникающих при за кручивании нити, на которой рамка подвешена. Следовательно, формула (1) может быть переписана в виде М !+М 2= 0 . Выразив М ! и М 2 в этом равенстве через величины, от которых зависят мо менты сил, получим ртВ sin а —Сф=0. (2) Знак минус перед моментом М 2 ста вится потому, что этот момент противо положен по направлению моменту М г. Если учесть, что pm= IS N = Ia 2N, где I — сила тока в рамке; S = a 2 — площадь рамки; N — число ее bhtkoBj равенство (2) перепишем в виде NIa2B sin а — Сф = 0, откуда В С(р N l a 2 sin а * ^ Из рис. 22.3 видно, что а = я /2 —ср, значит, sin a= c o s q>. С учетом этого равенство (3) примет вид В Сф NIa2 cos ср (4) Значение постоянной кручения С, рассчитанной на градус (а не радиан, как это следовало бы выразить в СИ), запишем в виде С = 10 •10“6 Н-м/град, так как значение угла ф также дано в градусах. Подставим данные в формулу (4) и произведем вычисления: 10-10~6-60 В Тл = 0,03 Тл = 30 мТл. 100. Ь ( 0 ,02)2.1/2 Пример 5. Плоский квадратный контур со стороной длиной = 10 см, по которому течет ток / = 100 А, свободно установился в од нородном магнитном поле индукцией 5 = 1 Тл. Определить работу А, совершаемую внешними силами при повороте контура относи тельно оси, проходящей через середину его противоположных сто рон, на угол: 1) ф1=90°; 2) ф2=3°. При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной. Р е ш е н и е . На контур с током в магнитном поле действует механический момент М —ртВ sin ф. (1) По условию задачи, в начальном положении контур свободно установился в магнитном поле. При этом момент сил равен нулю 273 (Af=0), а значит ф =0, т. е. векторы рт и В совпадают по направле нию. Если внешние силы выведут контур из положения равновесия, то возникший момент сил, определяемый формулой (1), будет стремить ся возвратить контур в исходное положение. Против этого момента и будет совершаться работа внешними силами. Так как момент сил переменный (зависит от угла ср поворота), то для подсчета работы применим формулу работы в дифференциальной форме (2) dA=M d<p. Подставив сюда выражение М по формуле (1) и учтя, что рт= ~ I S = I a 2, где I — сила тока в контуре, S = a 2 — площадь контура, получим d A = IBa2 sin ср dcp. Взяв интеграл от этого выражения, найдем работу при повороте на конечный угол: ф А = 1Ва2 J sin ср d9 . о 1. Работа при повороте на угол ф1= 9(У* (3) Я /2 А г = IBd 2 ^ sin ф dф = 1Ва2 [— cos ф |о/2 = IВа%. (4) о Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу работы (Дж): [I][B][a2] = l А -1 Тл-(1 м)2= 1 Н-1 м = 1 Дж. После вычисления по формуле (4) найдем А г= 1 Дж. 2. Работа при повороте на угол ф2=3°. В этом случае, учитывая, что угол ф2 мал, заменим в выражении (3) sin ф на ф: (5 ) о Выразим угол ф2 в радианах (см. табл. 9)i ф2= 3 °= 3 -1,75 -10" 2 рад=0,0525 рад. После подстановки значений /, В} а и q>2 в формулу (5) получим А 2= 1,37 мДж. Задачи Сала Ампера 22. 1. Прямой провод, по которому течет ток 1=1 кА, расположен в однородном магнитном поле перпендикулярно линиям индукции. С какой силой F действует поле на отрезок провода длиной / = 1 м, если магнитная индукция В равна 1 Тл? 274 22.2. Прямой провод длиной /= 10 см, по которому течет ток /= 2 0 А, находится в однородном магнитном поле с индукцией В==0,01 Тл. Найти угол а между направлениями вектора В и TOKaf если на провод действует сила F= 10 мН. 22.3. Квадратная проволочная рамка расположена в одной плос кости с длинным прямым проводом так, что две ее стороны парал лельны проводу. По рамке и проводу текут одинаковые токи 7=? = 1 кА. Определить силу F , действующую на рамку, если ближайшая К проводу сторона рамки находится на расстоянии, равном ее длине. 22.4. Тонкий провод в виде дуги, составляющей треть кольца радиусом R = 15 см, находится в однородном магнитном поле (В= = 20 мТл). По проводу течет ток /= 3 0 А. Плоскость, в которой ле жит дуга, перпендикулярна линиям магнитной индукции, и подво дящие провода находятся вне поля. Определить силу F , действую щую на провод. 22.5. По тонкому проводу в виде кольца радиусом /?=20 см течет ток 7=100 А. Перпендикулярно плоскости кольца возбуждено однородное магнитное поле с индукцией В = 20 мТл. Найти силу Ft растягивающую кольцо. 22.6. Двухпроводная линия состоит из длинных параллельных прямых проводов, находящихся на расстоянии d = 4 мм друг от дру га. По проводам текут одинаковые токи 7=50 А. Определить силу взаимодействия токов, приходящуюся на единицу длины провода. 22.7. Шины генератора представляют собой две параллельные медные полосы длиной 1=2 м каждая, отстоящие друг от друга на расстоянии d= 20 см. Определить силу F взаимного отталкивания шин в случае короткого замыкания, когда по ним течет ток 7=* = 10 кА. 22.8. По двум параллельным проводам длиной 1=1 м каждый те кут одинаковые токи. Расстояние d между проводами равно 1 см. Токи взаимодействуют с силой F= 1 мН. Найти силу тока 7 в про водах. 22.9. По трем параллельным прямым проводам, находящимся на одинаковом расстоянии а = 10 см друг от друга, текут одинаковые токи 7=100 А. В двух проводах направления токов совпадают. Вычислить силу Т7, действующую на отрезок длиной 1=1 м каждого провода. 22. 10. По двум тонким проводам, изогнутым в виде кольца радиу сом R = 10 см, текут одинаковые токи 7=10 А в каждом. Найти силу F взаимодействия этих колец, если плоскости, в которых лежат кольца, параллельны, а расстояние d между центрами колец равно 1 мм. 22.11. По двум одинаковым квадратным плоским контурам со стороной а = 20 см текут токи 7=10 А в каждом. Определить силу F взаимодействия контуров, если расстояние d между соответствен ными сторонами контуров равно 2 мм. Магнитный момент 22.12. По витку радиусом г = 5 см течет ток / = 10 А. Определить магнитный момент рт кругового тока. 22.13. Очень короткая катушка содержит N = 1000 витков тонко го провода. Катушка имеет квадратное сечение со стороной длиной а= 10 см. Найти магнитный момент рт катушки при силе тока I = = 1 А. 22.14. Магнитный момент рт витка равен 0,2 Дж/Тл. Определить силу тока I в витке, если его диаметр d =10 см. 22.15. Напряженность Н магнитного поля в центре кругового витка равна 200 А/м. Магнитный момент рт витка равен 1 А-м2. Вычислить силу тока I в витке и радиус R витка. 22.16. По кольцу радиусом R течет ток. На оси кольца на расстоя нии d= 1 м от его плоскости магнитная индукция В= 10 нТл. Опреде лить магнитный момент рт кольца с током. Считать R много мень шим d. 22.17. Электрон в невозбужденном атоме водорода движется во круг ядра по окружности радиусом г= 53 пм. Вычислить магнитный момент рт эквивалентного кругового тока и механический момент М, действующий на круговой ток, если атом помещен в магнитное поле, линии индукции которого параллельны плоскости орбиты электрона. Магнитная индукция В поля равна 0,1 Тл. 22.18. Электрон в атоме водорода движется вокруг ядра по кру говой орбите некоторого радиуса. Найти отношение магнитного мо мента р т эквивалентного кругового тока к моменту импульса L ор битального движения электрона. Заряд электрона и его массу счи тать известными. Указать направления векторов рт и L. 22.19. По тонкому стержню длиной /= 2 0 см равномерно распреде лен заряд Q=240 нКл. Стержень приведен во вращение с постоянной угловой скоростью со= 10 рад/с относительно оси, перпендикуляр ной стержню и проходящей через его середину. Определить: 1) маг нитный момент /?т , обусловленный вращением заряженного стерж ня; 2) отношение магнитного момента к моменту импульса (pm/L), если стержень имеет массу т= 12 г. 22.20. Тонкое кольцо радиусом 7? = 10 см несет заряд Q = 10 нКл. Кольцо равномерно вращается с частотой я = 1 0 с-1 относительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через ее центр. Найти: 1) магнитный момент рт кругового тока, создаваемого кольцом; 2) отношение магнитного момента к моменту импульса (pm/L), если масса т кольца равна 10 г. 22.21. То же, что и в предыдущей задаче, но относительно оси, совпадающей с одним из диаметров кольца. 22.22. Диск радиусом R = 10 см несет равномерно распределен ный по поверхности заряд Q =0,2 мкКл. Диск равномерно вращается с частотой я =20 с” 1 относительно оси, перпендикулярной плоско сти диска и проходящей через его центр. Определить: 1) магнитный момент рт кругового тока, создаваемого диском; 2) отношение маг 276 нитного момента к моменту импульса (p J L ), если масса т диска равна 100 г. 22.23. Тонкостенная металлическая сфера радиусом R = 10 см не сет равномерно распределенный по ее поверхности заряд Q =3 мКл. Сфера равномерно вращается с угловой скоростью со= 10 рад/с от носительно оси, проходящей через центр сферы. Найти: 1) магнит ный момент рт кругового тока, создаваемый вращением сферы; 2) отношение магнитного момента к моменту импульса (p J L ), если масса т сферы равна 100 г. 22.24. Сплошной шар радиусом R = 10 см несет заряд Q=200 нКл, равномерно распределенный по объему. Шар вращается относитель но оси, проходящей через центр шара, с угловой скоростью со= = 10 рад/с. Определить: 1) магнитный момент рт кругового тока, обусловленного вращением шара; 2) отношение магнитного момента к моменту импульса (p J L ), если масса т шара равна 10 кг. Контур в магнитном поле 22.25. Проволочный виток радиусом R = 5 см находится в одно родном магнитном поле напряженностью Н —2 кА/м. Плоскость витка образует угол ос=60° с направлением поля. По витку течет ток / = 4 А. Найти механический момент М, действующий на виток. 22.26. Виток диаметром d = 20 см может вращаться около верти кальной оси, совпадающей с одним из диаметров витка. Виток уста новили в плоскости магнитного меридиана и пустили по нему ток / = 10 А. Найти механический момент М, который нужно приложить к витку, чтобы удержать его в начальном положении *. 22.27. Рамка гальванометра длиной а = 4 см и шириной Ь= = 1,5 см, содержащая Л/=200 витков тонкой проволоки, находится в магнитном поле с индукцией J3=0,1 Тл. Плоскость рамки парал лельна линиям индукции. Найти: 1) механический момент М, дей ствующий на рамку, когда по витку течет ток 1=1 мА; 2) магнитный момент рт рамки при этом токе. 22.28. Короткая катушка площадью S поперечного сечения, рав ной 150 см2, содержит N = 200 витков провода, по которому течет ток / = 4 А. Катушка помещена в однородное магнитное поле напря женностью Н = 8 кА/м. Определить магнитный момент рт катушки, а также вращающий момент М, действующий на нее со стороны поля, если ось катушки составляет угол а= 6 0 ° с линиями индукции. 22.29. Рамка гальванометра, содержащая N = 200 витков тонкого провода, подвешена на упругой нити. Площадь S рамки равна 1 см2. Нормаль к плоскости рамки перпендикулярна линиям магнитной индукции (В = 5 мТл). Когда через гальванометр был пропущен ток / = 2 мкА, то рамка повернулась на угол а= 30°. Найти постоянную кручения С нити. 22.30. По квадратной рамке из тонкой проволоки массой т = 2 г пропущен ток / = 6 А. Рамка свободно подвешена за середину одной из сторон на неупругой нити. Определить период Т малых колеба * Горизонтальную составляющую ВГ магнитной индукции поля Земли принять равной 20 мкТл. 277 ний такой рамки в однородном магнитном поле с индукцией В=; 6=2 мТл. Затуханием колебаний пренебречь. 22.31. Тонкий провод в виде кольца массой т = 3 г свободно под вешен на неупругой нити в однородном магнитном поле. По кольцу течет ток / = 2 А. Период Т малых крутильных колебаний относи тельно вертикальной оси равен 1,2 с. Найти магнитную индукцию В' поля. 22.32. На оси контура с током, магнитный момент которого рт равен 10 мА-м2, находится другой такой же контур. Вектор магнит ного момента второго контура перпендикулярен оси. Вычислить механический момент 7W, действующий на второй контур. Расстоя ние d между контурами равно 50 см. Размеры контуров малы по сравнению с расстоянием между ними. 22.33. Магнитное поле создано кольцевым проводником радиусом =20 см, по которому течет ток /= 1 0 0 А. На оси кольца располо жено другое кольцо малых размеров с магнитным моментом /?т = = 10 мА-м2. П ло ск о сти колец параллельны, а расстояние d между центрами равно 1 см. Найти силу, действующую на малое кольцо. Магнитный диполь 22.34. Магнитное поле создано бесконечно длинным проводником с током /= 1 0 0 А. На расстоянии а= 1 0 см от проводника находится точечный диполь, вектор магнитного момента (/?т = 1 мА-м2) кото рого лежит в одной плоскости с проводником и перпендикулярен ему. Определить силу В, действующую на магнитный диполь. 22.35. Определить степень неоднородности магнитного поля (dB/dx), если максимальная сила Fmах, действующая на точечный магнитный диполь, равна 1 мН. Магнитный момент рт точечного диполя равен 2 мА-м2. 22.36. Проволочный виток радиусом R = 20 см расположен в пло скости магнитного меридиана. В центре витка установлен компас. Какой ток / течет по витку, если магнитная стрелка компаса откло нена на угол а = 9 ° от плоскости магнитного меридиана *? 22.37. Определить число N витков катушки тангенс-гальванометра, при котором сила тока, текущего по обмотке, численно равна тангенсу угла отклонения магнитной стрелки, помещенной в центре обмотки? Радиус г катушки равен 25 см. Ось катушки перпендику лярна плоскости магнитного меридиана *. 22.38. Длинный прямой соленоид, содержащий п = 5 витков на каждый сантиметр длины, расположен перпендикулярно плоскости магнитного меридиана *. Внутри соленоида, в его средней части, находится магнитная стрелка, установившаяся в магнитном поле Земли. Когда по соленоиду пустили ток, стрелка отклонилась на угол а= 60°. Найти силу тока /. 22.39. Короткий прямой магнит расположен перпендикулярно плоскости магнитного меридиана. На оси магнита на расстоянии * См. сноску к задаче 22.26. 278 г =50 см от его середины (которое много больше длины магнита) находится магнитная стрелка. Вычислить магнитный момент рт магнита, если стрелка отклонена на угол а = 6° от плоскости магнит ного меридиана *. 22.40. Конденсатор электроемкостью С =50 мкФ заряжается от источника тока, ЭДС £ которой равна 80 В, и с помощью особого переключателя полностью разряжается 100 раз в секунду через об мотку тангенс-гальванометра, расположенного в плоскости магнит ного меридиана *. На какой угол а отклонится магнитная стрелка, находящаяся в центре тангенс-гальванометра, если его обмотка имеет N = 10 витков радиусом г= 25 см? 22.41. Магнитная стрелка, помещенная в центре кругового про вода радиусом R = 10 см, образует угол ос=20° с вертикальной пло скостью, в которой находится провод. Когда по проводу пустили ток /= З А , то стрелка повернулась в таком направлении, что угол а увеличился. Определить угол поворота стрелки. § 23. СИЛА, ДЕЙСТВУЮЩАЯ НА ЗАРЯД, ДВИЖУЩИЙСЯ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ Основные формулы Сила F, действующая на заряд Q, движущийся со скоростью v в магнитном поле с индукцией В (сила Лоренца), выражается фор мулой F=Q [vB ] или F = |Q |u B sin a , где a — угол, образованный вектором скорости v движущейся ча стицы и вектором В индукции магнитного поля. ф Примеры решения задач Пример 1. Электрон, пройдя ускоряющую разность потенциа лов С/=400 В, попал в однородное магнитное поле с индукцией 5 = 1 ,5 мТл. Определить: 1) радиус R кривизны траектории; 2) ча стоту п вращения электрона в магнитном поле. Вектор скорости электрона перпендикулярен линиям индукции. Р е ш е н и е . 1. Радиус кривизны траектории электрона опре делим, исходя из следующих соображений: на движущийся в маг нитном поле электрон действует сила Лоренца F. (Действием силы тяжести можно пренебречь.) Вектор силы Лоренца перпендикуля рен вектору скорости и, следовательно, по второму закону Ньютона, сообщает электрону нормальное ускорение ап: F=ma n. Подставив сюда выражения F и ап, получим \e\vB sin a =mv2/R, (1) где e ,v ,m — заряд, скорость, масса электрона; В — индукция маг нитного поля; R — радиус кривизны траектории; a — угол между направлениями векторов скорости v и индукции В (в нашем случае vj_B и a= 90°, sin а = 1 ). * См. сноску на с. 277, 279 Из формулы (1) найдем R = mv \е\В (2) Входящий в выражение (2) импульс mv выразим через кинетиче скую энергию Т электрона: m v= V 2m T . (3) Но кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U, определяется равенством Т= \e\U. Подставив это выражение Т в формулу (3), получим mv = V 2 m \e\U Тогда выражение (2) для радиуса кривизны приобретает вид 1 , / 2 mU (4) R - 1 T V ITT ■ Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу длины (м): [m]1/2[t/]1/2 _ (1 кг)1/2 •(! В)1/2 Г 1 кг-1 В l i /г _ [В] [е]1/2 ~~ 1 Тл-(1 Кл)1/2 — [ (1 Тл)2-1 Кл J — Г 1 кг-1 В-(1 А)2*(1 м)2 11 / 2 _ Г 1 кг-1 Дж-(1 м)2 T i / 2 —L (1 Н)2-1 А -1 с J — [ 1 Н-1 с2 J После вычисления по формуле (4) найдем R = 45 мм. 2. Для определения частоты вращения воспользуемся формулой, связывающей частоту со скоростью и радиусом кривизны траекто рии, а п ~ 2яЯ * Подставив R из выражения (2) в эту формулу, получим I М Р 2я m Произведя вычисления, найдем n = 4,20-107 с - 1. Пример 2. Электрон, имея скорость v=2 Мм/с, влетел в однород ное магнитное поле с индукцией В = 30 мТл под углом а= 30° к на правлению линий индукции. Определить радиус R и шаг h винтовой линии, по которой будет двигаться электрон. Р е ш е н и е . Известно, что на заряженную частицу, влетевшую в магнитное поле, действует сила Лоренца, перпендикулярная векто рам магнитной индукции В и скорости v частицы: F=QvB sin а, (1) где Q — заряд частицы. В случае, если частицей является электрон, формулу (1) можно записать в виде F= \e\vB sin а . 280 Так как вектор силы Лоренца перпендикулярен вектору скоро сти, то модуль скорости не будет изменяться под действием этой силы. Но при постоянной скорости, как это следует из формулы (1), останется постоянным и значение силы Лоренца. Из механики известно, что постоянная си ла, перпендикулярная скоро сти, вызывает движение по о кр ужности. Следов ател ьно, электрон, влетевший в маг нитное поле, будет двигаться по окружности в плоскости, перпендикулярной линиям индукции,со скоростью, рав ной поперечной составляю щей vx скорости (рис. 23.1); одновременно он будет дви гаться и вдоль поля со ско ростью v н: v± = v s m a , i>fl= 0 cosa. В результате одновременного участия в движениях по окружно* сти и по прямой электрон будет двигаться по винтовой линии. Радиус окружности, по которой движется электрон, найдем сле дующим образом. Сила Лоренца F сообщает электрону нормальное ускорение ап. По второму закону Ньютона, F=man jrjiie F=\e\v1B и an—v]_/R. Тогда | е\ vLB = mv2 z/R y откуда после сокращения на vz находим радиус винтовой линии: mvL или R = mv sin а R \e\B~ Подставив значений величин m ,v, е, В и а и произведя вычисле ния, получим jR = 0, 19 мм. Шаг винтовой линии равен пути, пройденному электроном вдоль поля со скоростью vx 3 a время, которое понадобится электрону для того, чтобы совершить один оборот, h = v aT, (2) где Т =2nR!v i_— период вращения электрона. Подставив это выра жение для Т в формулу (2), найдем или h- 2яRv cos a =2nR c tg a . Подставив в эту формулу значения величин я, R и а и вычислив, получим h —2,06 мм. Пример 3. Электрон движется в однородном магнитном поле с индукцией В = 0,03 Тл по окружности радиусом г = 10 см. Опреде лить скорость v электрона. 281 Р е ш е н и е . Движение электрона по окружности в однородном магнитном поле совершается под действием силы Лоренца (см. при меры 1 и 2). Поэтому можно написать • ^ = М BV, (1 ) откуда найдем импульс электрона: p=mv=\e\Br. (2) Релятивистский импульс выражается формулой р = т0ф /У 1—Р2. Выполнив преобразования, получим следующую формулу для определения скорости частицы: р/(т0с) /дч V l-h(p/(m0c))2 * В данном случае р= \e\Br. Следовательно, R— | е 1ВгЦт0с) уду Р V 1+ ( | е I Вг/'(т(1с))г ' ' ' В числитель и знаменатель формулы (4) входит выражение |е \Вг (т0с). Вычислим его отдельно: \e\Br/ (т0с)=1,76. Подставив найденное значение отношения \е\Вг/ (nioc) в формулу (4), получим Р = 0,871, или и = ф = 2,61 ■10® м/с. Электрон, обладающий такой скоростью, является релятивист ским (см. § 5). Пример 4. Альфа-частица прошла ускоряющую разность потен циалов U= 104 В и влетела в скрещенные под прямым углом элект рическое (£ = 1 0 кВ/м) и магнитное (В=0,1 Тл) поля. Найти отно шение заряда альфа-частицы к ее массе, если, двигаясь перпендику лярно обоим полям, частица не испытывает отклонений от прямо линейной траектории. Р е ш е н и е . Для того чтобы найти отношение заряда Q альфачастицы к ее массе т , воспользуемся связью между работой сил электрического поля и изменением кинетической энергии частиц; QU=mv2I2, откуда Q/m=v2/ (2U). (1) Скорость v альфа-частицы найдем из следующих соображений. В скрещенных электрическом и магнитном полях на движущуюся заряженную частицу действуют две силы: а) сила Лоренца F j i = Q [ v B], направленная перпендикулярно скорости v и вектору магнитной индукции В; б) кулоновская сила FK=Q E, сонаправленная с вектором на пряженности Е электростатического поля (Q > 0). Сделаем рисунок с изображением координатных осей и вектор 282 ных величин- Направим вектор магнитной индукции В вдоль оси Oz (рис. 23.2), скорость v — в положительном направлении оси Ох, тогда Рл и FK будут направлены так, как это указано на ри сунке. Альфа-частица не будет испытывать отклонения, если геометри ческая сумма сил Fji+ F k. будет равна нулю. В проекции на ось Оу получим следующее равенство (при этом учтено, что вектор ско рости v перпендикулярен вектору магнитной индукции В и sin ( vb ) = l) : QE — QvB = 0, откуда v = E/B. Подставив это выражение скорости в формулу (1), получим Q/m=E2/ (2 UВ2). Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу отно шения заряда к массе (Кл/кг): [Е2] [t/][£ 2] (1 В/м)2 1 в.(1 Тл)2 (1 В-А)2 _ 1 B-(i Н)2 1 Дж-Кл _ (1 Н-с)2 1 Кл-м _ j у 1 Н-с2 ^ Л/КГ* Произведем вычисления: -§-= 2. 104(0Д)2" Кл/кг = 4,81-107 Кл/кг = 48,1 МКл/кг. Задачи Сила Лоренца 23.1. Определить силу Лоренца F, действующую на электрон, влетевший со скоростью Мм/с в однородное магнитное поле под углом а =30° к линиям индукции. Магнитная индукция В поля равна 0,2 Тл. 23.2. Вычислить радиус R дуги окружности, которую описывает протон в магнитном поле с индукцией В=Д5 мТл, если скорость v протона равна 2 Мм/с. 23.3. Двукратно ионизированный атом гелия (а-частица) дви жется в однородном магнитном поле напряженностью # = 1 0 0 кА/м по окружности радиусом # = 10 см. Найти скорость v а-частицы. 283 23.4. Ион, несущий один элементарный заряд, движется в одно родном магнитном поле с индукцией 5= 0,015 Тл по окружности радиусом R = 10 см. Определить импульс р иона. 23.5. Частица, несущая один элементарный заряд, влетела в од нородное магнитное поле с индукцией 5 = 0 ,5 Тл. Определить момент импульса L, которым обладала частица при движении в магнитном поле, если ее траектория представляла дугу окружности радиусом R = 0,2 см. 23.6. Электрон движется в магнитном поле с индукцией 5 = = 0,02 Тл по окружности радиусом R = l см. Определить кинетиче скую энергию Т электрона (в джоулях и электрон-вольтах). 23.7. Заряженная частица влетела перпендикулярно линиям ин дукции в однородное магнитное поле, созданное в среде. В результа те взаимодействия с веществом частица, находясь в поле, потеряла половину своей первоначальной энергии. Во сколько раз будут от личаться радиусы кривизны R траектории начала и конца пути? 23.8. Заряженная частица, двигаясь в магнитном поле по дуге окружности радиусом R t = 2 см, прошла через свинцовую пластину, расположенную на пути частицы. Вследствие потери энергии части цей радиус кривизны траектории изменился и стал равным R 2= 1 см. Определить относительное изменение энергии частицы. 23.9. Протон, прошедший ускоряющую разность потенциалов (/= 600 В, влетел в однородное магнитное поле с индукцией 5 = = 0,3 Тл и начал двигаться по окружности. Вычислить ее радиус R . 23.10. Заряженная частица, обладающая скоростью v=2 -106 м/с, влетела в однородное магнитное поле с индукцией 5 = 0 ,5 2 Тл. Най ти отношение Q/m заряда частицы к ее массе, если частица в поле описала дугу окружности радиусом R = 4 см. По этому отношению определить, какая это частица. 23.11. Заряженная частица, прошедшая ускоряющую разность потенциалов U = 2 кВ, движется в однородном магнитном поле с ин дукцией 5=15,1 мТл по окружности радиусом R = 1 см. Определить отношение \e\lm заряда частицы к ее массе и скорость у частицы. 23.12. Заряженная частица с энергией Т = 1 кэВ движется в одно родном магнитном поле по окружности радиусом R = 1 мм. Найти силу F, действующую на частицу со стороны поля. 23.13. Электрон движется в однородном магнитном поле с индук цией 5 = 0 ,1 Тл перпендикулярно линиям индукции. Определить силу F, действующую на электрон со стороны поля, если радиус R кривизны траектории равен 0,5 см. 23.14. Электрон движется в однородном магнитном поле напря женностью Н = 4 кА/м со скоростью v= \0 Мм/с. Вектор скорости направлен перпендикулярно линиям напряженности. Найти силу F, с которой поле действует на электрон, и радиус R окружности, по которой он движется. 23.15. Протон с кинетической энергией Т= 1 МэВ влетел водно родное магнитное пале перпендикулярно линиям индукции ( 5 = = 1 Тл). Какова должна быть минимальная протяженность I поля в направлении, по которому летел протон, когда он находился вне 284 •поля*, чтобы оно изменило направление движения протона на проти воположное? 23.16. Электрон движется по окружности в однородном магнит ном поле напряженностью Н= 10 кА/м. Вычислить период Т враще ния электрона. 23.17. Определить частоту п вращения электрона по круговой орбите в магнитном поле, индукция В которого равна 0,2 Тл. 23.18. Электрон в однородном магнитном поле с индукцией 5 = =0,1 Тл движется по окружности. Найти силу / эквивалентного кругового тока, создаваемого движением электрона. 23.19. Электрон, влетев в однородное магнитное поле с индук цией В = 0,2 Тл, стал двигаться по окружности радиусом R = 5 см. Определить магнитный момент рт эквивалентного кругового тока. 23.20. Два однозарядных иона, пройдя одинаковую ускоряющую разность потенциалов, влетели в однородное магнитное поле пер пендикулярно линиям индукции. Один ион, масса тх которого равна 12 а. е. м. *, описал дугу окружности радиусом # х= 4 см. Опреде лить массу т2другого иона, который описал дугу окружности радиу сом R 2=6 см. 23.21. Два иона, имеющие одинаковый заряд, но различные мас сы, влетели в однородное магнитное поле. Первый ион начал дви гаться по окружности радиусом # х= 5 см, второй ион — по окружности радиусом # 2= 2 ,5 см. Найти отношение т1/т2 масс ионов, если они прошли одинаковую ускоряющую разность потенциалов. 23.22. В однородном магнитном поле с индукцией В=100 мкТл движется электрон по винтовой линии. Определить скорость v электрона, если шаг h винтовой линии равен 20 см, а радиус # = = 5 см г 23.23. Электрон движется воднородном магнитном поле с индук цией В = 9 мТл по винтовой линии, радиус R которой равен 1 см и шаг /i=7,8 см. Определить период Т обращения электрона и его скорость V. 23.24. В однородном магнитном поле с индукцией В = 2 Тл дви жется протон. Траектория его движения представляет собой винто вую линию с радиусом # = 10 см и шагом h = 60 см. Определить кине тическую энергию Т протона. 23.25. Электрон влетает в однородное магнитное поле напря женностью # = 1 6 кА/м со скоростью и= 8 Мм/с. Вектор скорости составляет угол а= 60° с направлением линий индукции. Определить радиус R и шаг h винтовой линии, по которой будет двигаться электрон в магнитном поле. Определить также шаг винтовой линии для электрона, летящего под малым углом к линиям индукции. 23.26. Определить энергию е, которую приобретает протон, сде лав # = 4 0 оборотов в магнитном поле циклотрона, если максималь ное значение # тах переменной разности потенциалов между дуантами равно 60 кВ. Определить также относительное увеличение Апг/шо * А. е. м.— обозначение атомной единицы массы. 285 массы протона в сравнении с массой покоя, а также скорость v про тона. 23.27. Вычислить скорость v и кинетическую энергию Т а-частиц* выходящих из циклотрона, если, подходя к выходному окну, ионы движутся по окружности радиусом R = 50 см. Индукция В магнит ного поля циклотрона равна 1,7 Тл. 23.28. Индукция В магнитного поля циклотрона равна 1 Тл. Какова частота v ускоряющего поля между дуантами, если в цикло троне ускоряются дейтоны? 23.29. В циклотроне требуется ускорять ионы гелия (Не+ +). Частота v переменной разности потенциалов, приложенной к дуантам, равна 10 МГц. Какова должна быть индукция В магнитного поля, чтобы период Т обращения ионов совпадал с периодом измене ния разности потенциалов? 23.30. Определить число N оборотов, которые должен сделать протон в магнитном поле циклотрона, чтобы приобрести кинетиче скую энергию Т —10 МэВ, если при каждом обороте протон проходит между дуантами разность потенциалов JJ—30 кВ. 23.31. Электрон движется по окружности в однородном магнит ном поле со скоростью v=0,8 с (с — скорость света в вакууме). Маг нитная индукция В поля равна 0,01 Тл. Определить радиус окруж ности в двух случаях: 1) не учитывая увеличение массы со скоростью; 2) учитывая это увеличение. 23.32. Электрон движется в магнитном поле по окружности ра диусом R = 2 см. Магнитная индукция В поля равна 0,1 Тл. Опреде лить кинетическую энергию Т электрона *. 23.33. Электрон, влетевший в камеру Вильсона, оставил след в виде дуги окружности радиусом R = 10 см. Камера находится в однородном магнитном поле с индукцией В = 10 Тл. Определить кинетическую энергию Т электрона *. 23.34. Кинетическая энергия Т а-частицы равна 500 МэВ. Части ца движется в однородном магнитном поле по окружности радиусом R = 80 см. Определить магнитную индукцию В поля *. 23.35. Электрон, имеющий кинетическую энергию Т = 1 ,5 МэВ, движется в однородном магнитном поле по окружности. Магнитная индукция В поля равна 0,02 Тл. Определить период т обращения *. Движение заряженных частиц в совместных магнитном и электрическом полях 23.36. Перпендикулярно магнитному полю с индукцией В — =0,1 Тл возбуждено электрическое поле напряженностью Е — = 100 кВ/м. Перпендикулярно обоим полям движется, не отклоняясь от прямолинейной траектории, заряженная частица. Вычислить скорость v частицы. 23.37. Заряженная частица, двигаясь перпендикулярно скрещен ным под прямым углом электрическому (£= 400 кВ/м) и магнитному * При решении задач 23.32—23.35 учесть изменение массы частицы от ее скорости. 286 (В = 0,25 Тл) полям, не испытывает отклонения при определенной скорости V . Определить эту скорость и возможные отклонения Ди от нее, если значения электрического и магнитного полей могут быть обеспечены с точностью, не превышающей 0,2 %. 23.38. Протон, пройдя ускоряющую разность потенциалов U— *=800 В, влетает в однородные, скрещенные под прямым углом маг нитное (£ = 5 0 мТл) и электрическое поля. Определить напряжен ность Е электрического поля, если протон движется в скрещенных полях прямолинейно. 23.39. Заряженная частица движется по окружности радиусом R — 1 см в однородном магнитном поле с индукцией £ = 0 ,1 Тл. Па раллельно магнитному полю возбуждено электрическое поле напря женностью £ = 1 0 0 В/м. Вычислить промежуток времени Д£, в те чение которого должно действовать электрическое поле, для того чтобы кинетическая энергия частицы возросла вдвое. 23.40. Протон влетает со скоростью v= \00 км/с в область про странства, где имеются электрическое (£=210 В/м) и магнитное ( £ = 3 , 3 мТл) поля. Напряженность Е электрического поля и маг нитная индукция В совпадают по направлению. Определить ускоре ние протона для начального момента движения в поле, если направ ление вектора его скорости v: 1) совпадает с общим направлением векторов Е и В; 2) перпендикулярно этому направлению. § 24. ЗАКОН ПОЛНОГО ТОКА. МАГНИТНЫЙ ПОТОК. МАГНИТНЫЕ ЦЕПИ Основные формулы • Циркуляция вектора магнитной индукции В вдоль замкну того контура $ B t dI, L где B t — проекция вектора магнитной индукции на направление элементарного перемещения d/ вдоль контура L. Циркуляция век тора напряженности Н вдоль замкнутого контура § Ht dl, L • Закон полного тока (для магнитного поля в вакууме) § B t d l = ] h ± I it L i =1 п где р0 — магнитная постоянная; 2 // — алгебраическая i сумма =1 токов, охватываемых контуром; п — число токов. Закон полного тока (для произвольной среды) L • i 2 7<- = 1• Магнитный поток Ф через плоский контур площадью Si 287 а) в случае однородного поля 0 = = fiS c o s a ; или Ф — BnS, где ос — угол между вектором нормали п к плоскости контура и век тором магнитной индукции В; Вп — проекция вектора В на нор маль n (Bn= B cos a); б) в случае неоднородного поля ф = 1 в а dS, s где интегрирование ведется во всей поверхности S. • Потокосцепление, т. е. полный магнитный поток, сцепленный со всеми витками соленоида или тороида, где Ф — магнитный поток через один виток; N — число витков со леноида или тороида. • Магнитное поле тороида, сердечник которого составлен из двух частей, изготовлен В, Тл ных из веществ с раз Ж ел е зо 1,50 личными магнитными Ст аль проницаемостями: а) магнитная индук 1,25 ция на осевой линии то* роида Ш 1,0 В ■ ' где I — сила тока в об мотке тороида; N — чис ло ее витков; /х и /2 — длины первой и второй 0,5 частей сердечника торо ида; pi и р 2— магнит ные проницаемости ве 0,25 ществ первой и второй частей сердечника торо ида; р0— магнитная по1000 1500 2000 25QQ и, Мм стояниая; 500 б) напряженность Рис. 24.1 магнитного поля на осе вой линии тороида в первой и второй частях сердечника Ял = ^/(цлЦо); Н2= В/(р2р0); в) магнитный поток в сердечнике тороида ф = _______ И _______ 0,15 или по аналогии с законом Ома (формула Гопкинсона) m/ R т > где F т — магнитодвижущая сила; R m тивление цепи; 288 полное магнитное сопро- г) магнитное сопротивление участка цепи #m=^(№o<S). ® Магнитная проницаемость р ферромагнетика связана с маг нитной индукцией В поля в нем и напряженностью Н намагничи вающего поля соотношением \i= B/ (\iQH). 9 Связь между магнитной индукцией В поля в ферромагнетике и напряженностью Н намагничивающего поля выражается графи чески (рис. 24.1). Примеры решения задач Пример 1. В одной плоскости с бесконечно длинным прямым проводом, по которому течет ток /= 5 0 А, расположена прямоуголь ная рамка так, что две большие стороны ее длиной /= 6 5 см парал лельны проводу, а расстояние от провода до ближайшей из этих сторон равно ее ширине. Каков магнитный поток Ф, пронизываю щий рамку? Р е ш е н и е . Магнитный поток Ф через поверхность площадью S определяется выражением Ф = J В„ dS. S В нашем случае вектор магнитной индукции В перпендикулярен плоскости рамки. Поэтому для всех точек рамки Вп= В . Магнитная индукция В, создаваемая бесконечно длинным прямым проводником с током, п определяется формулой В = - Но7 2пх ’ где х — расстояние от провода до точки, в которой определяется В. Для вычисления магнитного потока заметим, что так как В зависит от х и элементарный поток Ф будет также за висеть от х, то d<b=B(x)dS. Разобьем площадь рамки на узкие и элементарные площадки длиной /, шири Рис. 24.2 ной dx и площадью dS=ldx (рис. 24.2). В пределах этой площадки магнитную индукцию можно считать постоянной, так как все части площад ки равноудалены (на расстояние х) от провода. С учетом сделанных замечаний элементарный магнитный поток можно записать в виде |У I dx. ёФ 2лх 10 № 1268 289 Проинтегрировав полученное выражение в пределах от хх=а до Хг=2а, найдем 2а 2а а а Подставив пределы, получим Ф = -§ > 2 . г(1) Убедимся в том, что правая часть полученного равенства дает единицу магнитного потока (Вб): [р0] [Л [Л = 1 Гн/м-1 А-1 м=1 Вб. Произведя вычисления по формуле (1), найдем Ф = 4 ,5 мкВб. Пример 2. Определить индукцию В и напряженность Н магнит ного поля на оси тороида без сердечника, по обмотке которого, со держащей N = 200 витков, идет ток I —5 А. Внешний диаметр d± тороида равен 30 см, внутренний d2=20 см. Р е ш е н и е . Для определения напряженности магнитного поля внутри тороида вычислим циркуляцию вектора Н вдоль линии маг нитной индукции поля: (j)Hdl. Из условия симметрии следует, что линии магнитной индукции тороида представляют собой окружности и что во всех точках этой линии напряженности одинаковы. Поэтому в выражении циркуля ции напряженность Н можно вынести за знак интеграла, а интегри рование проводить в пределах от нуля до 2 яг, где г — радиус ок ружности, совпадающей с линией индукции, вдоль которой вычис ляется циркуляция, т. е. 2яг § Н М = Н 5 dZ = 2 n r H . '(1) 0 L С другой стороны, в соответствии с законом полного тока цир куляция вектора напряженности магнитного поля равна сумме то ков, охватываемых контуром, вдоль которого вычисляется цирку ляция: § H l d l = ± I l. L i 12) =1 Приравняв правые части равенств (1) и (2), получим 2пгН = 2 г(3) Линия, проходящая вдоль тороида, охватывает число токов, равное числу витков тороида. Сила тока во всех витках одинакова. Поэтому формула (3) примет вид 2л rH=^NI} откуда N1 И) 2пг * 290 Для средней линии тороида г= Х А (/?!+ /?2)= % (di+d2). Подставив это выражение г в формулу (4), найдем Н= 2NI (5) л (di-j-dz) Магнитная индукция В0 в вакууме связана с напряженностью поля соотношением B0=ii<>H. Следовательно, 2црАГ/ (6) л (dj d2) Подставив значения величин в выражения (5) и (6), получим: Н= 1,37 кА/м, 5 0= 1 ,6 мТл. П р и м ер . 3. Чугунное кольцо имеет воздушный зазор длиной /0= 5 мм. Длина I средней линии кольца равна 1 м. Сколько витков N содержит обмотка на кольце, если при силе тока / = 4 А индукция В магнитного поля в воздушном зазоре равна 0,5 Тл? Рассеянием маг нитного потока в воздушном зазоре можно пренебречь. Явление гистерезиса не учитывать. Р е ш е н и е . Пренебрегая рассеянием магнитного потока, мы можем принять, что индукция поля в воздушном зазоре равна ин дукции поля в чугуне. На основании закона полного тока запишем JN = H l+ H J0. По графику (см. рис. 24.1) находим, что при В = 0,5 Тл напря женность Н магнитного поля в чугуне равна 1,2 кА/м. Так как для воздуха р = 1, то напряженность поля в воздушном зазоре H 0=BI\i о=0,4 МА/м. Искомое число витков N = (H l+ H 0l(i)/I=800. Задачи Закон полного тока 24.1. По соленоиду длиной /= 1 м без сердечника, имеющему N = = 10s витков (рис. 24.2), течет ток /= 2 0 А. Определить циркуляцию вектора магнитной индукции вдоль контура, изображенного на рис. 24.3, а, б. 10* 291 24.2. Вычислить циркуляцию вектора индукции вдоль конту ра, охватывающего токи Л = 10 А, / 2= 15 А, текущие в одном направ лении, и ток / 3=20 А, текущий в противоположном направлении. 24.3. По сечению проводника равномерно распределен ток плот ностью /= 2 МА/м2. Найти циркуляцию вектора напряженности вдоль окружности радиусом R = 5 мм, проходящей внутри провод ника и ориентированной так, что ее плоскость составляет угол а = = 30° с вектором плотности тока. 24.4. Диаметр D тороида без сердечника по средней линии равен 30 см. В сечении тороид имеет круг радиусом г = 5 см. По обмотке тороида, содержащей А=2000 витков, течет ток / = 5 А (рис. 24.4). Пользуясь законом полного тока, определить максимальное и мини мальное значение магнитной индукции В в тороиде. Магнитный поток 24.5. Найти магнитный поток Ф, создаваемый соленоидом сече нием S = 10 см2, если он имеет п = 10 витков на каждый санти метр его длины при силе тока /= 2 0 А. 24.6. Плоский контур, площадь S которого равна 25 см2, нахо дится в однородном магнитном поле с индукцией £ = 0 ,0 4 Тл. Оп ределить магнитный поток Ф, пронизывающий контур, если плос кость его составляет угол (3=30° с линиями индукции. 24.7. При двукратном обводе магнитного полюса вокруг провод ника с током /= 1 0 0 А была совершена работа А = 1 мДж. Найти магнитный поток Ф, создаваемый полюсом. 24.8. Соленоид длиной /= 1 м и сечением S = 1 6 cm2 содержит N = и =2000 витков. Вычислить потокосцеп!! ление при силе тока I в обмотке 10 А. 24.9. Плоская квадратная рамка со стороной а =20 см лежит в одной плос I кости с бесконечно длинным прямым проводом, по которому течет ток / = = 100 А. Рамка расположена так, что ближайшая к проводу сторона парал а а лельна ему и находится на расстоя 5а нии /= 10 см от провода. Определить магнитный поток Ф, пронизывающий рамку. 24.10. Определить, во сколько раз Рис. 24.5 отличаются магнитные потоки, прони зывающие рамку при двух ее положениях относительно прямого проводника с током, представленных на рис. 24.5. 24.11. Квадратная рамка со стороной длиной а= 2 0 см расположе на в одной плоскости с прямым бесконечно длинным проводом с то ком. Расстояние I от провода до середины рамки равно 1 м. Вычис лить относительную погрешность, которая будет допущена при рас чете магнитного потока, пронизывающего рамку, если поле в пре292 делах рамки считать однородным, а магнитную индукцию — равной значению ее в центре рамки. 24.12. Тороид квадратного сечения содержит Af=1000 витков. Наружный диаметр D тороида равен 40 см, внутренний d = 20 см. Найти магнитный поток Ф в тороиде, если сила тока /, протекаю щего по обмотке, равна 10 А. Указание. Учесть, что магнитное поле тороида неоднородно. Магнитная индукция в ферромагнетике 24.13. Железный сердечник находится в однородном магнитном поле напряженностью Н= 1 кА/м. Определить индукцию В магнит ного поля в сердечнике и магнитную проницаемость р железа *. 24.14. На железное кольцо намотано в один слой A =500 витков провода. Средний диаметр d кольца равен 25 см. Определить маг нитную индукцию В в железе и магнитную проницаемость р желе за *, если сила тока I в обмотке: 1) 0,5 А; 2) 2,5 А. 24.15. Замкнутый соленоид (тороид) со стальным сердечником * имеет я = 1 0 витков на каждый сантиметр длины. По соленоиду те чет ток 1=2 А. Вычислить магнитный поток Ф в сердечнике, если его сечение 5 = 4 см2. 24.16. Определить магнитодвижущую силу Fm, необходимую для получения магнитного потока Ф = 0,3 мВб в железном * сердечнике замкнутого соленоида (тороида). Длина / средней линии сердечника равна 120 см, площадь сечения 5 = 2 ,5 см2. 24.17. Соленоид намотан на чугунное * кольцо сечением 5 = 5 см2. При силе тока 1 = 1 А магнитный поток Ф =250 мкВб. Определить число п витков соленоида, приходящихся на отрезок длиной 1 см средней линии кольца. Магнитные цепи 24.18. Электромагнит изготовлен в виде тороида. Сердечник то роида со средним диаметром d = 51 см имеет вакуумный зазор дли ной /0= 2 мм. Обмотка тороида равномерно распределена по всей его длине. Во сколько раз уменьшится индукция магнитного поля в зазоре, если, не изменяя силы тока в обмотке, зазор увеличить в л = 3 раза? Рассеянием магнитного поля вблизи зазора пренебречь. Магнитную проницаемость р сердечника считать постоянной и при нять равной 800. 24.19. Определить магнитодвижущую силу Fm, необходимую для создания магнитного поля индукцией 5 = 1 ,4 Тл в электромагните с железным * сердечником длиной /= 9 0 см и воздушным промежут ком длиной /0= 5 мм. Рассеянием магнитного потока в воздушном промежутке пренебречь. (см. * Д л я определения магнитной проницаемости воспользоваться графиком рис. 24.1). Я вление гистерезиса не учиты вать. 293 24.20. В железном * сердечнике соленоида индукция 5 = 1 ,3 Тл. Железный сердечник заменили стальным. Определить, во сколько раз следует изменить силу тока в обмотке соленоида, чтобы индук ция в сердечнике осталась неизменной. 24.21. Стальной * сердечник тороида, длина I которого по сред ней линии равна 1 м, имеет вакуумный зазор длиной /0= 4 мм. Об мотка содержит я = 8 витков на 1 см. При какой силе тока / индукция В в зазоре будет равна 1 Тл? 24.22. Обмотка тороида, имеющего стальной * сердечник с уз ким вакуумным зазором, содержит N=1000 витков. По обмотке те чет ток /= 1 А. При какой длине /0 вакуумного зазора индукция В магнитного поля в нем будет равна 0,5 Тл? Длина I тороида по сред ней линии равна 1 мс 24.23. Определить магнитодвижущую силу, при которой в уз ком вакуумном зазоре длиной 10= 3,6 мм тороида с железным * сер дечником, магнитная индукция В равна 1,4 Тл. Длина I тороида по средней линии равна 0,8 м. 24.24. Длина I чугунного * тороида по средней линии равна 1,2 м, сечение 5 = 2 0 см2. По обмотке тороида течет ток, создающий в уз ком вакуумном зазоре магнитный поток Ф =0,5 мВб. Длина /0 зазора равна 8 мм. Какова должна быть длина зазора, чтобы маг нитный поток в нем при той же силе тока увеличился в два раза? § 25. РАБОТА ПО ПЕРЕМЕЩЕНИЮ ПРОВОДНИКА С ТОКОМ В МАГНИТНОМ ПОЛЕ. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ. ИНДУКТИВНОСТЬ, Основные формулы • Работа по перемещению замкнутого контура с током в маг нитном поле А = /Д Ф , где АФ — изменение магнитного потока, пронизывающего поверх ность, ограниченную контуром; I — сила тока в контуре. • Основной закон электромагнитной индукции (закон Фара дея — Максвелла) о _ ® |'~" дг 4Ф N dt _ ~~ dY dt 9 где £ ; — электродвижущая сила индукции; N — число витков кон тура; ЧГ — потокосцепление. Частные случаи применения основного закона электромагнитной индукции: а) разность потенциалов U на концах проводника длиной 1% движущегося со скоростью v в однородном магнитном поле, £/=fi/i>sinoc, где а — угол между направлениями векторов скорости v и магнит ной индукции В; • См. сноску на с. 293. 294 б) электродвижущая сила индукции £ h возникающая в рамке, содержащей N витков, площадью 5, при вращении рамки с угловой скоростью со в однородном магнитном поле с индукцией В £ i ~BNS(os\n(ott где соt — мгновенное значение угла между вектором В и вектором нормали п к плоскости рамки. • Количество электричества Q, протекающего в контуре* Q = A ¥ /tf, где R — сопротивление контура; Д ¥ — изменение потокосцепления. • Электродвижущая сила самоиндукции £ возникающая в замкнутом контуре при изменении силы тока в нем, £ ; = — L ^ - , или <<£,•> = — где L — индуктивность контура. • Потокосцепление контура Y = L /, где L — индуктивность контура. • Индуктивность соленоида (тороида) L = \i0\m2V . Во всех случаях вычисления индуктивности соленоида (тороида) с сердечником по приведенной формуле для определения магнит ной проницаемости следует пользоваться графиком зависимости В от Н (см. рис. 24.1), а затем формулой \i=B/ • Мгновенное значение силы тока I в цепи, обладающей актив ным сопротивлением R и индуктивностью Ь\ а) после замыкания цепи 7= i-(l-e-< ^ > 0, где £ — ЭДС источника тока; t — время, прошедшее после замы кания цепи; б) после размыкания цепи / = / 0е - <*/*->*, где I о — сила тока в цепи при / = 0; t — время, прошедшее с момен та размыкания цепи. Примеры решения задач Пример 1. Виток, по которому течет ток 1 =20 А, свободно уста новится в однородном магнитном поле В = 16 мТл. Диаметр d витка равен 10 см. Какую работу нужно совершать, чтобы медленно по вернуть виток на угол а=п!2 относительно оси, совпадающей с диа метром? Р е ш е н и е . При медленном повороте контура в магнитном поле индукционными токами можно пренебречь и считать ток в контуре 295 неизменным. Работа сил поля в этом случае определяется выраже нием Л = / ( ф 2_ ф 1), гдеФх и Ф 2 — магнитные потоки, пронизывающие контур в началь ном и конечном положениях. Работа внешних сил будет равна модулю работе сил поля и про тивоположна ей по знаку, т. е. л в„ = / ( Ф 1- ф ,). (и Так как в начальном положении контур установился свободно (по ложение устойчивого равновесия), то момент внешних сил, действу ющий на контур, равен нулю. В этом положении вектор магнитного мо мента рт контура сонаправлен с вектором В (рис. 25.1, а) и магнит ный поток Фх максима лен ( а = 0, cos а=П ), т. е. Ф ±= B S (где S — площадь контура). В ко нечном положении (рис, а) В) 25.1, Рис. 25.1 пендикулярен вектору В ( а = я /2, cos а = 0) и маг нитный поток Ф2= 0. Перепишем выражение (1) с учетом сделан ных замечаний: Am = I<S>i = IBS. Так как площадь контура S = n d 2/4, то работа А** = (п/4) IBd2. Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу работы (Д ж ): [/] [В] [d2] = 1.А - 1 Тл -1 м2= Произведем вычисления: л вн = = ш .м = 1 Дж. •20 • 16 • 1 0 -• (0, 1)2 Дж = 2,5 • 1 0 - Дж = 2,5 мДж. Пример 2. В однородном магнитном поле с индукцией £ = 0 ,1 Тл равномерно вращается рамка, содержащая N =1000 витков, с часто той п= 10 с-1. Площадь S рамки равна 150 см2. Определить мгновен ное значение ЭДС соответствующее углу поворота рамки 30°. Р е ш е н и е . Мгновенное значение ЭДС индукции S t определя ется основным уравнением электромагнитной индукции Фарадея — Максвелла: tf, = - d 4 7 d f . (1) Потокосцепление ^¥=ЫФ, где N — число витков, пронизывае мых магнитным потоком Ф. Подставив выражение Чг в формулу (1), 296 получим * /= -* т г (2) При вращении рамки магнитный поток Ф, пронизывающий рам ку в момент времени t , изменяется по закону Ф=ВБ cos со t , где В — магнитная индукция; 5 — площадь рамки; со — угловая частота. Подставив в формулу (2) выражение Ф и продифференцировав по времени, найдем мгновенное значение ЭДС индукции: S i = NBS(os[ruot. (3) Угловая частота со связана с частотой п вращения соотношением со=2 пп. Подставив выражение со в формулу (3) и заменив со^ на угол а, получим = 2nnNBS sin сot. (4) Убедимся в том, что правая часть полученного равенства дает единицу ЭДС (В). Учтя, что 2 я, N и sin cot — величины безразмер ные и неименованные, получим [п] [В] [S] = 1 с-1 - 1 Т л -1 м2 1 Н • 1 м2 _ 1 Дж ■=1В . 1 А-1 м-1 с “ 1 Кл Произведя вычисления по формуле (4), найдем <£,= 47,1 В. Пример. 3 По соленоиду течет ток 1=2 А. Магнитный поток Ф, пронизывающий поперечное сечение соленоида, равен 4 мкВб. Оп ределить индуктивность L соленоида, если он имеет N = 800 витков. Р е ш е н и е . Индуктивность L соленоида связана с потокосцеплением W соотношением W = L I, откуда L = y¥ II. Заменив здесь потокосцепление W его выражением через магнитный поток Ф и число витков N соленоида (ЧГ= Ф N), получим Ь=ФЫ/1. (1) Произведя вычисления по формуле (1), получим L = 1,6 мГн. Пример 4. При скорости изменения силы тока Д //Д t в соле ноиде, равной 50 А/с, на его концах возникает ЭДС самоиндук ции <£— 0,08 В. Определить индуктивность L соленоида. Р е ш е н и е . Индуктивность соленоида связана с ЭДС само индукции и скоростью изменения силы тока в его обмотке соотноше нием * AY М ~ A (LI) At ’ Вынося постоянную величину L за знак приращения, получим S i = — L(AI/At). Опустив знак минус в этом равенстве (направление ЭДС в данном случае несущественно) и выразив интересующую нас величину — индуктивность, получим * Сравните с предыдущим примером. 297 / — _ _ l__ A lj\t * Сделав вычисления по этой формуле, найдем L = 1,6 мГн. Пример 5. Обмотка соленоида состоит из одного слоя плотно прилегающих друг к другу витков медного провода диаметром d—0,2 мм. Диаметр D соленоида равен 5 см. По соленоиду течет ток 1=1 А. Определить количество электричества Q, протекающее через обмотку, если концы ее замкнуть накоротко. Толщиной изо ляции пренебречь. Р е ш е н и е . Возможны два способа решения. 1-й способ. Ко личество электричества dQ, которое протекает по проводнику за время d t при силе тока /, определяется равенством d Q = /d f. (1) Полное количество электричества, протекающее через проводник t за время будет Q = \ I dt. Сила тока в данном случае убывает о экспоненциально со временем и выражается формулой I = I0e-W W . Внося выражение силы тока I под знак интеграла и интегрируя от 0 до оо (при получим ОС' Q= \ 00 / 0е о - 00 d i = l A e - w w df = / 0 ( — 0 \ e- «/£>< I . R J Подставим пределы интегрирования иопределим количество электричества, протекающее через обмотку: Q= / о ( - Ш ) (0—1 )= IoL/R . (2) 2-й способ. Подставив в формулу (1) вместо силы тока / выраже ние ее через ЭДС индукции и сопротивление R соленоида, т. е. I=4>ilR, найдем dQ = -~ А-d 2. Н о S i св я зан а со скоростью изм енения поток осцеп лен ия ¥ по за к о н у Ф ар адея — М аксвелла: <£,=—d¥/d^, тогда d Q = —d¥//?. И н тегр и р у я , п олучаем Q = — ( ¥ 2— ¥ 0 / # . (3) П оток осц еплен и е ¥ п роп орци он альн о силе ток а в со л ен о и д е. С ледовательно, ¥ i = L / 0; ¥ 2= 0 , так как ¥ 2 соответствует том у м о м ен ту, когда ток в цепи обратится в н у л ь . П одставив вы раж ения ¥ j и ¥ 2 в ф ор м ул у (3), получим Q = y¥ 1/ R , или Q = I 0L l R , что совп адает с ф орм улой (2). Д л я оп р едел ен и я за р я д а , протекаю щ его ч ер ез обм отк у сол ен ои д а , с л ед у ет найти индуктивность L сол ен ои да и соп роти влен ие R обм отки сол ен ои да, которы е вы раж аю тся ф орм улам и 298 \i0TidiN2 , p l 4pi L = \h 4/^ > где p0 — магнитная постоянная; N — число витков; 1Х— длина соленоида; Si — площадь сечения соленоида; р — удельное сопро тивление провода; / — длина провода; S — площадь сечения про вода; d — диаметр провода; dx — диаметр соленоида. Подставив найденные выражения L и R в формулу (2), получим L НоN 2nd\ nd2I 0. (4) Q= / о R 4/г 4р/ Заметим, что длина провода I может быть выражена через диа метр di соленоида соотношением l= ndxN , где N — число витков, тогда формуле (4) можно придать вид р _ ll 0N 2ndittd2 J n\x0Ndid2 16р/х h . 16ZlPndiW у° Но IJN есть диаметр провода, так как витки плотно прилегают друг к другу. Следовательно, n\i0did2 т яр0 (5) Q 16р dd q• 16рd 1о Произведя вычисления по формуле (5), получим Q—363 мкКл. Задачи Работа по перемещению проводника * в магнитном поле 25Л. В однородном магнитном поле с индукцией 5=0,01 Тл находится прямой провод длиной 1=8 см, расположенный перпен дикулярно линиям индукции. По проводу течет ток / = 2 А. Под действием сил поля провод переместился на расстояние s= 5 см. Найти работу А сил поля. 25.2. Плоский контур, площадь S которого равна 300 см2, на ходится в однородном магнитном поле с индукцией 5=0,01 Тл. Плоскость контура перпендикулярна линиям индукции. В контуре поддерживается неизменный ток / = 10 А. Определить работу А внешних сил по перемещению контура с током в область пространст ва, магнитное поле в которой отсутствует. 25.3. По проводу, согнутому в виде квадрата со стороной дли ной а= 1 0 см, течет ток /= 2 0 А, сила которого поддерживается не изменной. Плоскость квадрата составляет угол а= 20° с линиями индукции однородного магнитного поля (5=0,1 Тл). Вычислить работу А , которую необходимо совершить для того, чтобы удалить провод за пределы поля. 25.4. По кольцу, сделанному из тонкого гибкого провода радиу сом R = 10 см, течет ток /= 1 0 0 А. Перпендикулярно плоскости коль ца возбуждено магнитное поле с индукцией 5 = 0 ,1 Тл, по направле нию совпадающей с индукцией 5 Х собственного магнитного поля * Перемещение проводника или контура с током в магнитном поле счи тать настолько медленным, что возникающими индукционными токами можно пренебречь. 299 кольца. Определить работу А внешних сил, которые, действуя на провод, деформировали его и придали ему форму квадрата. Сила тока при этом поддерживалась неизменной. Работой против упру гих сил пренебречь. 25.5(1). Виток, по которому течет ток /= 2 0 А, свободно устано вился в однородном магнитном поле с индукцией В=0,016 Тл. Диа метр d витка равен 10 см. Определить работу А, которую нужно совершить, чтобы повернуть виток на угол а = я /2 относительно оси, совпадающей с диаметром. То же, если угол а = 2 я. 25.5(2). Квадратная рамка со стороной а = 1 0 с м , по которой течет ток /= 2 0 0 А, свободно установилась в однородном магнитном поле (5 = 0 ,2 Тл). Определить работу, которую необходимо совер шить при повороте рамки вокруг оси, лежащей в плоскости рамки и перпендикулярной линиям магнитной индукции, на угол й = 2 я/З. Электродвижущая сила индукции 25.6. Магнитный поток Ф =40 мВб пронизывает замкнутый контур. Определить среднее значение ЭДС индукции (<£/), возни кающей в контуре, если магнитный поток изменится до нуля за время Д/= 2 мс. 25.7. Прямой провод длиной /= 4 0 см движется в однородном магнитном поле со скоростью v=5 м/с перпендикулярно линиям индукции. Разность потенциалов U между концами провода равна 0,6 В. Вычислить индукцию В магнитного поля. 25.8. В однородном магнитном поле с индукцией 5 = 1 Тл нахо дится прямой провод длиной /= 2 0 см, концы которого замкнуты вне поля. Сопротивление R всей цепи равно 0,1 Ом. Найти силу F , которую нужно приложить к проводу, чтобы перемещать его пер пендикулярно линиям индукции со скоростью i>=2,5 м/с. 25.9. Прямой провод длиной /= 1 0 см помещен в однородном маг нитном поле с индукцией В= 1 Тл. Концы его замкнуты гибким про водом, находящимся вне поля. Сопротивление R всей цепи равно 0,4 Ом. Какая мощность Р потребуется для того, чтобы двигать про вод перпендикулярно линиям индукции со скоростью ц= 20 м/с? 25.10. К источнику тока с ЭДС <£=0,5 В и ничтожно малым внут ренним сопротивлением присоединены два металлических стержня, расположенные горизонтально и параллельно друг другу. Рас стояние / между стержнями равно 20 см. Стержни находятся в однородном магнитном поле, направленном вертикально. Магнит ная индукция В = 1 ,5 Тл. По стержням под действием сил поля сколь зит со скоростью v= \ м/с прямолинейный провод сопротивлением /?=0,02 Ом. Сопротивление стержней пренебрежимо мало. Опреде лить: 1) ЭДС индукции 2) силу F, действующую на провод со стороны поля; 3) силу тока I в цепи; 4) мощность Plf расходуемую на движение провода; 5) мощность Р 2, расходуемую на нагревание провода; 6) мощность Р 3, отдаваемую в цепь источника тока. 25.11. В однородном магнитном поле с индукцией 5 = 0 ,4 Тл в плоскости, перпендикулярной линиям индукции поля, вращается 300 стержень длиной /= 10 см. Ось вращения проходит через один из концов стержня. Определить разность потенциалов U на концах стержня при частоте вращения /г= 16 с-1. 25.12. Рамка площадью S —200 см2 равномерно вращается с частотой п— 10 с-1 относительно оси, лежащей в плоскости рамки и перпендикулярно линиям индукции однородного магнитного поля (В =0,2 Тл). Каково среднее значение ЭДС индукции (S ^ за время, в течение которого магнитный поток, пронизывающий рамку, из менится от нуля до максимального значения? 25.13. В однородном магнитном поле с индукцией В=0,35 Тл равномерно с частотой п = 480 мин-1 вращается рамка, содержащая N =500 витков площадью S = 5 0 cm2. Ось вращения лежит в плос кости рамки и перпендикулярна линиям индукции. Определить максимальную ЭДС индукции S maxj возникающую в рамке. 25.14. Рамка площадью «S= 100 см2 содержит N = 1 0 3 витков провода сопротивлением 12 Ом. К концам обмотки подключено внешнее сопротивление R 2=20 Ом. Рамка равномерно вращается в однородном магнитном поле (В=0,1 Тл) с частотой п = 8 с-1. Оп ределить максимальную мощность Р тах переменного тока в цепи. 25.15. Магнитная индукция В поля между полюсами двухполюс ного генератора равна 0,8 Тл. Ротор имеет А^=100 витков площадью S=400 см2. Определить частоту п вращения якоря, если максималь ное значение ЭДС индукции <£г=200 В. 25.16. Короткая катушка, содержащая N=1000 витков, рав номерно вращается в однородном магнитном поле с индукцией В=0,04 Тл с угловой скоростью со=5 рад/с относительно оси, совпа дающей с диаметром катушки и перпендикулярной линиям индук ции поля. Определить мгновенное значение ЭДС индукции S i для тех моментов времени, когда плоскость катушки составляет угол a = 6 (f с линиями индукции поля. Площадь S катушки равна 100 см2. Количество электричества, протекающее в контуре при изменении магнитного потока * 25.17. Проволочный виток радиусом г = 4 см, имеющий сопротив ление R = 0,01 Ом, находится в однородном магнитном поле с ин дукцией В=0,04 Тл. Плоскость рамки составляет угол а= 30° с линиями индукции поля. Какое количество электричества Q проте чет по витку, если магнитное поле исчезнет? 25.18. Проволочное кольцо радиусом г—10 см лежит на столе. Какое количество электричества Q протечет по кольцу, если его повернуть с одной стороны на другую? Сопротивление R кольца равно 1 Ом. Вертикальная составляющая индукции В магнитного поля Земли равна 50 мкТл. 25.19. В проволочное кольцо, присоединенное к баллистическому гальванометру, вставили прямой магнит. По цепи протекло коли * При решении задач этого раздела собственный магнитный поток кон туров можно не учитывать. 301 чество электричества Q = 10 мкКл. Определить магнитный поток Ф, пересеченный кольцом, если сопротивление R цепи гальванометра равно 30 Ом. 25.20. Между полюсами электромагнита помещена катушка, сое диненная с баллистическим гальванометром. Ось катушки парал лельна линиям индукции. Катушка сопротивлением 7?i=4 Ом име ет N = 15 витков площадью S= 2 см2. Сопротивление R 2 гальвано метра равно 46 Ом. Когда ток в обмотке электромагнита выключи ли, по цепи гальванометра протекло количество электричества Q = = 90 мкКл. Вычислить магнитную индукцию В поля электромаг нита. 25.21. Рамка из провода сопротивлением R = 0,01 Ом равномер но вращается в однородном магнитном поле с индукцией Б = 0,05 Тл. Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям индукции. Площадь S рамки равна 100 см2. Найти, какое количест во электричества Q протечет через рамку за время поворота ее на угол а= 3 0 ° в следующих трех случаях: 1) от а 0= 0 до а х=30°; 2) от а± до а 2= 60°; 3) от а 3=90°. 25.22. Тонкий медный провод массой т = 1 г согнут в виде квад рата, и концы его замкнуты. Квадрат помещен в однородное маг нитное поле (В=0,1 Тл) так, что плоскость его перпендикулярна линиям индукции поля. Определить количество электричества Q, которое протечет по проводнику, если квадрат, потянув за противо положные вершины, вытянуть в линию. 25.23. На расстоянии а— 1 м от длинного прямого провода с то ком /= к А находится кольцо радиусом г=1 см. Кольцо расположе но так, что поток, пронизывающий его, максимален. Определить количество электричества Q, которое протечет по кольцу, когда ток в проводнике будет выключен. Сопротивление R кольца 10 Ом. Указание. Поле в пределах кольца считать однородным. 25.24. По длинному прямому проводу течет ток. Вблизи провода расположена квадратная рамка из тонкого провода сопротивле нием /?=0,02 Ом. Провод лежит в плоскости рамки и параллелен двум ее сторонам, расстояния до которых от провода соответствен но равны ai= 1 0 см, 02=20 см. Найти силу тока I в проводе, если при его включении через рамку протекло количество электричест ва Q=693 мкКл. Самоиндукция и взаимоиндукция 25.25. По катушке индуктивностью L=0,03 мГн течет ток / = = 0,6 А. При размыкании цепи сила тока изменяется практически до нуля за время Д£=120 мкс. Определить среднюю ЭДС самоиндук ции (<£/), возникающую в контуре. 25.26. С помощью реостата равномерно увеличивают силу тока в катушке на Д /= 0,1 А в 1 с. Индуктивность L катушки равна 0,01 Гн. Найти среднее значение ЭДС самоиндукции (£;}. 25.27. Индуктивность L катушки равна 2 мГн. Ток частотой v — —50 Гц, протекающий по катушке, изменяется по синусоидаль 302 ному закону. Определить среднюю ЭДС самоиндукции (<£,->, воз никающую за интервал времени At, в течение которого ток в катуш ке изменяется от минимального до максимального значения. Ампли тудное значение силы тока / 0=Ю А. 25.28. Катушка сопротивлением i?x= 0 ,5 Ом с индуктивностью L = 4 мГн соединена параллельно с проводом сопротивлением jRa= 2 ,5 Ом, по которому течет постоянный L ток / = 1 А. Определить количество электри чества Q, которое будет индуцировано в ка тушке при размыкании цепи ключом К (рис. 25.2). 25.29. На картонный каркас длиной I— —50 см и площадью S сечения, равной 4 см2, намотан в один слой провод диаметром d= Рис. 25.2 = 0,2 мм так, что витки плотно прилегают друг к другу (толщиной изоляции пренеб речь). Вычислить индуктивность L получившегося соленоида. 25.30. Индуктивность L соленоида длиной /= 1 м, намотанного в один слой на немагнитный каркас, равна 1,6 мГн. Площадь S сече ния соленоида равна 20 см2. Определить число п витков на каждом сантиметре длины соленоида. 25.31. Сколько витков проволоки диаметром d = 0,4 мм с изоля цией ничтожной толщины нужно намотать на картонный цилиндр диаметром D = 2 см, чтобы получить однослойную катушку с индук тивностью L = 1 мГн? Витки вплотную прилегают друг к другу. 25.32. Катушка, намотанная на немагнитный цилиндрический каркас, имеет N i=750 витков и индуктивность Lx= 25 мГн. Чтобы увеличить индуктивность катушки до Ь 2= 36 мГн, обмотку с катуш ки сняли и заменили обмоткой из более тонкой проволоки с таким расчетом, чтобы длина катушки осталась прежней. Определить чис ло N 2 витков катушки после перемотки. 25.33. Определить индуктивность L двухпроводной линии на участке длиной 1=1 км. Радиус R провода равен 1 мм, расстояние d между осевыми линиями равно 0,4 м. Указание. Учесть только внутренний магнитный поток, т. е. поток, пронизывающий контур, ограниченный проводами. 25.34. Соленоид индуктивностью Ь = 4 мГн содержит N =600 витков. Определить магнитный поток Ф, если сила тока /, протекаю щего по обмотке, равна 12 А. 25.35. Индуктивность L катушки без сердечника равна 0,02 Гн. Какое потокосцепление W создается, когда по обмотке течет ток / = = 5 А? 25.36. Длинный прямой соленоид, намотанный на немагнитный каркас, имеет N =1000 витков и индуктивность L = 3 мГн. Какой магнитный поток Ф и какое потокосцепление W создает соленоид при силе тока / = 1 А? 25.37. Соленоид, площадь 5 сечения которого равна 5 см2, со держит N=1200 витков. Индукция В магнитного поля внутри соле 303 ноида при силе тока 1=2 А равна 0,01 Тл. Определить индуктивность L соленоида. 25.38. Соленоид содержит N = 1000 витков. Площадь S сечения сердечника равна 10 см2. По обмотке течет ток, создающий поле с индукцией В=Д,5 Тл. Найти среднюю ЭДС индукции (S t), возни кающей в соленоиде, если ток уменьшится до нуля за время /=500 мкс. 25.39. Обмотка соленоида с железным сердечником содержит А =500 витков. Длина / сердечника равна 50 см. Как и во сколько раз изменится индуктивность L соленоида, если сила тока, протека ющего по обмотке, возрастет от 1г= 0,1 А до 12= 1 А (см. рис. 24.1). 25.40. Две катушки расположены на небольшом расстоянии од на от другой. Когда сила тока в первой катушке изменяется с быст ротой: ^ |- = 5 А/с, во второй катушке возникает ЭДС индук ции <£?~ 0 ,1 В. Определить коэффициент М взаимной индукции ка тушек. 25.41. Обмотка тороида с немагнитным сердечником имеет Nх= =251 виток. Средний диаметр (D) тороида равен 8 см, диаметр d витков равен 2 см. На тороид намотана вторичная обмотка, имею щая N 2= 100 витков. При замыкании первичной обмотки в ней в течение /= 1 мс устанавливается сила тока 1=3 А. Найти среднюю ЭДС индукции (Si), возникающей на вторичной обмотке. Экстратоки замыкания и размыкания 25.42. В цепи шел ток / 0= 50 А. Источник тока можно отключить от цепи, не разрывая ее. Определить силу тока I в этой цепи че рез / = 0,01 с после отключения ее от источника тока. Сопротивле ние R цепи равно 20 Ом, ее индуктивность L=0,1 Гн. 25.43. Источник тока замкнули на катушку с сопротивлением R = 10 Ом и индуктивностью L = 1 Гн. Через сколько времени сила тока замыкания достигнет 0,9 предельного значения? 25.44. Цепь состоит из катушки индуктивностью L = 1 Гн и со противлением R = 10 Ом. Источник тока можно отключать, не раз рывая цепи. Определить время /, по истечении которого сила тока уменьшится до 0,001 первоначального значения. 25.45. К источнику тока с внутренним сопротивлением R t= 2 Ом подключают катушку индуктивностью L = 0,5 Гн и сопротивлением R = 8 0 m. Найти время /, в течение которого ток в катушке, нарас тая, достигнет значения, отличающегося от максимального на 1 %. 25.46. В цепи (см. рис. 25.1) R x= 5 Ом, R 2=95 Ом, L=0,34 Гн, S = 38 В. Внутреннее сопротивление г источника тока пренебрежи мо мало. Определить силу тока / в резисторе сопротивлением R 2 в следующих трех случаях: 1) до размыкания цепи ключом /С; 2) в момент размыкания (/х= 0); 3) через /2= 0,01 с после размыкания. 304 Бетатрон 25.47. Средняя скорость изменения магнитного потока <ДФ/Д/> в бетатроне, рассчитанном на энергию 7 = 6 0 МэВ, составляет 50 Вб/с. Определить: 1) число N оборотов электрона на орбите за время ускоренного движения; 2) путь /, пройденный электроном, если радиус г орбиты равен 20 см. 25.48. В бетатроне скорость изменения магнитной индукции d ^ ВУ* ..= 60 Тл/с. Определить: 1) напряженность Е вихревого электрического поля на орбите электрона, если ее радиус л=0,5 м; 2) силу Fy действующую на электрон. 25.49. Электрон в бетатроне движется по орбите радиусом г—0,4 м и приобретает за один оборот кинетическую энергию Т = 20 эВ. Вычислить скорость изменения магнитной индукции d<5>*/d/, считая эту скорость в течение интересующего нас про межутка времени постоянной. § 26. ЭНЕРГИЯ МАГНИТНОГО ПОЛЯ Основные формулы • Энергия W магнитного поля, создаваемого током в замкнутом контуре индуктивностью L, определяется формулой W = V2LI\ где / — сила тока в контуре. • Объемная (пространственная) плотность энергии однородного магнитного поля (например, поля длинного соленоида) _ popf/a 2 В2 2р0р, * • Формула Томсона. Период собственных колебаний в контуре без активного сопротивления T = 2nV L C , где L — индуктивность контура; С — его электроемкость. • Связь длины электромагнитной волны с периодом Т и час тотой v колебаний К=сТ или K=c/v, где с — скорость электромагнитных волн в вакууме ( с = 3 •108 м/с). • Скорость электромагнитных волн в среде где е — диэлектрическая проницаемость; \i — магнитная проницае мость среды. * (В) есть среднее значение магнитной индукции в пределах круга, очерченного орбитой электрона. 305 Примеры решения задач Пример 1. На стержень из немагнитного материала длиной Z=50 см намотан в один слой провод так, что на каждый сантиметр длины стержня приходится 20 витков. Определить энергию W маг нитного поля внутри соленоида, если сила тока I в обмотке равна 0,5 А. Площадь S сечения стержня равна 2 см2. Р е ш е н и е . Энергия магнитного поля соленоида с индуктив ностью L, по обмотке которого течет ток /, выражается формулой W=V2LI\ ( 1) Индуктивность соленоида в случае немагнитного сердечника за висит только от числа витков на единицу длины и от объема V сер дечника: L = \i0n2V, где р0 — магнитная постоянная. Подставив вы ражение индуктивности L в формулу (1), получим № = /4 p 0ft2V72. Учтя, что V = /S , запишем W=Y 2 \i0n2I 2SL (2) Сделав вычисления по формуле (2), найдем №=126 мкДж. Пример 2. По обмотке длинного соленоида со стальным сердеч ником течет ток / = 2А. Определить объемную плотность w энергии магнитного поля в сердечнике, если число п витков на каждом сан тиметре длины соленоида равно 7 см-1. Р е ш е н и е . Объемная плотность энергии магнитного поля оп ределяется по формуле w=BHI (2 р0). (1) Напряженность # магнитного поля найдем по формуле Н = п1. Подставив сюда значения п(п=7 сш~1==700 м-1) и 7, найдем # = 1 4 0 0 А/м. Магнитную индукцию В определим по графику (см. рис. 24.1) зависимости В от Н. Находим, что напряженности # = 1 4 0 0 А/м со ответствует магнитная индукция В = 1 ,2 Тл. Произведя вычисление по формуле (1), найдем объемную плот ность энергии: г&»=840 Дж/м3. Пример 3. На железный сердечник длиной /= 2 0 см малого се чения (d<C/) намотано # = 2 0 0 витков. Определить магнитную прони цаемость р железа при силе тока 7=0,4 А. Р е ш е н и е . Магнитная проницаемость р связана с магнитной индукцией В и напряженностью # магнитного поля соотношением В = РоР#. (1) Эта формула не выражает линейной зависимости В от # , так как р является функцией 77. Поэтому для определения магнитной прони цаемости обычно пользуются графиком зависимости В(Н) (см. рис. 24.1). Из формулы (1) выразим магнитную проницаемость: р = В / (р о # ). (2) 306 Напряженность Я магнитного поля вычислим по формуле (ка тушку с малым сечением можно принять за соленоид) Я = я / , где п — число витков, приходящихся на отрезок катушки длиной 1 м. Выразив в этой формуле п через число N витков катушки и ее дли ну /, получим Н = (NU) /. Подставив сюда значения Я, I и / и произведя вычисления, най дем Я =400 А/м. По графику находим, что напряженности Я =400 А/м соответст вует магнитная индукция 6 = 1 ,0 5 Тл. Подставив найденные значе ния б и Я, а также значение р0 в формулу (2), вычислим магнитную проницаемость: р=2,09-103. Пример 4. Колебательный контур, состоящий из воздушного кон денсатора с двумя пластинами площадью «S= 100 см2 каждая и катушки с индуктивностью L = 1 мкГн, резонирует на волну длиной Я=10 м. Определить расстояние d между пластинами конденсатора. Р е ш е н и е . Расстояние между пластинами конденсатора мож но найти из формулы электроемкости плоского конденсатора С— =&0eS/dy где е — диэлектрическая проницаемость среды, заполняю щей конденсатор, откуда d= e0s S /C. (1) Из формулы Томсона, определяющей период колебаний в элек трическом контуре: Т = 2л |/ LC, находим электроемкость С = Г 2/(4л26). (2) Неизвестный в условии задачи период колебаний можно опреде лить, зная длину волны X, на которую резонирует контур. Из соот ношения Х=сТ имеем Т=Х/с. Подставив выражения периода Т в формулу (2), а затем электро емкости С в формулу (1), получим , 9 4 j i 28 05 L — х*— • Произведя вычисления, найдем d = 3,14 мм. Пример 5. Колебательный контур состоит из катушки с индук тивностью L = 1,2 мГн и конденсатора переменной электроемкости от Сх= 12 пФ до С2= 80 пФ. Определить диапазон длин электромаг нитных волн, которые могут вызывать резонанс в этом контуре. Активное сопротивление контура принять равным нулю. Р е ш е н и е . Длина X электромагнитной волны, которая может вызвать резонанс в колебательном контуре, связана с периодом Т 307 колебаний контура соотношением Х=сТ. (1) Период колебаний, в свою очередь, связан с индуктивностью L катушки и электроемкостью С конденсатора колебательного конту ра соотношением (формула Томсона) Т = 2 n V LC, Следовательно, к = 2 п с } /Т с . (2) Согласно условию задачи, индуктивность контура неизменна, а электроемкость контура может изменяться в пределах от Сг до С2. Этим значениям электроемкости соответствуют длины волн и Х2, определяющие диапазон длин волн, которые могут вызвать резо нанс. После вычислений по формуле (2) получим: Хх=226 м; Х2=585 м . Задачи Энергия магнитного поля соленоида и тороида 26.1. По обмотке соленоида индуктивностью L = 0,2 Гн течет ток / = 10 А. Определить энергию W магнитного поля соленоида. 26.2. Индуктивность L катушки (без сердечника) равна 0,1 мГн. При какой силе тока I энергия W магнитного поля равна 100 мкДж? 26.3. Соленоид содержит N=1000 витков. Сила тока / в его об мотке равна 1 А, магнитный поток Ф через поперечное сечение соле ноида равен 0,1 мВб. Вычислить энергию W магнитного поля. 26.4. На железное кольцо намотано в один слой N =200 витков. Определить энергию W магнитного поля, если при токе /= 2 ,5 А магнитный поток Ф в железе равен 0,5 мВб. 26.5. По обмотке тороида течет ток силой /= 0 ,6 А. Витки провода диаметром d = 0,4 мм плотно прилегают друг к другу (толщиной изо ляции пренебречь). Найти энергию W магнитного поля в стальном сердечнике тороида, если площадь S сечения его равна 4 см2, диа метр D средней линии равен 30 см *. Объемная плотность энергии 26.6. При индукции В поля, равной 1 Тл, плотность энергии w магнитного поля в железе равна 200 Дж/м3. Определить магнит ную проницаемость р железа в этих условиях *. 26.7. Определить объемную плотность энергии w магнитного поля в стальном сердечнике, если индукция В магнитного поля равна 0,5 Тл*. 26.8. Индукция магнитного поля тороида со стальным сердечни ком возросла от Вх=0,5 Тл до 62=1 Тл. Найти, во сколько раз из менилась объемная плотность энергии w магнитного поля *. 26.9. Вычислить плотность энергии w магнитного поля в желез ном сердечнике замкнутого соленоида, если напряженность Н на магничивающего поля равна 1,2 кА /м*. * Для определения магнитной проницаемости следует воспользоваться графиком на рис. 24.1. Явление гистерезиса не учитывать. 308 26.10. Напряженность магнитного поля тороида со стальным сердечником возросла от Н±= 200 А/м до Н 2= 800 А/м. Определить, во сколько раз изменилась объемная плотность энергии w магнит ного поля *. 26.11. При некоторой силе тока I плотность энергии w магнит ного поля соленоида (без сердечника) равна 0 2 Дж/м3. Во сколько раз увеличится плотность энергии поля при той же силе тока, если соленоид будет иметь железный сердечник? 26.12. Найти плотность энергии w магнитного поля в железном сердечнике соленоида, если напряженность Н намагничивающего поля равна 1,6 кА/м*. 26.13. Обмотка тороида с немагнитным сердечником имеет /г— = 10 витков на каждый сантиметр длины. Определить плотность энергии w поля, если по обмотке течет ток 1 = 16 А. 26.14. Обмотка тороида содержит п= 10 витков на каждый сан тиметр длины. Сердечник немагнитный. При какой силе тока / в обмотке плотность энергии w магнитного поля равна 1 Дж/м3? 26.15. Катушка индуктивностью L = 1 мГн и воздушный кондеш сатор, состоящий из двух круглых пластин диаметром D = 20 см каждая, соединены параллельно. Расстояние d между пластинами равно 1 см. Определить период Т колебаний. 26.16. Конденсатор электроемкостью С=500 пФ соединен па раллельно с катушкой длиной /= 4 0 см и площадью S сечения, рав ной 5 см2. Катушка содержит Л^= 1000 витков. Сердечник немагнит ный. Найти период Т колебаний. 26.17. Колебательный контур состоит из катушки индуктив ностью L = 20 мкГн и конденсатора электроемкостью С =80 нФ. Величина емкости может отклоняться от указанного значения на 2 %. Вычислить, в каких пределах может изменяться длина волны, на которую резонирует контур. 26.18. Колебательный контур имеет индуктивность L = 1,6 мГн, электроемкость С=0,04 мкФ и максимальное напряжение Umax на зажимах, равное 200 В. Определить максимальную силу тока / тах в контуре. Сопротивление контура ничтожно мало. 26.19. Колебательный контур содержит конденсатор электро емкостью С= 8 пФ и катушку индуктивностью L = 0,5 мГн. Каково максимальное напряжение £/тах на обкладках конденсатора, если максимальная сила тока / тах= 40 мА? 26.20. Катушка (без сердечника) длиной /= 5 0 см и площадью S* сечения, равной 3 см2, имеет А7= 1000 витков и соединена параллель но с конденсатором. Конденсатор состоит из двух пластин площадью S 2=75 см2 каждая. Расстояние d между пластинами равно 5 мм. Диэлектрик — воздух. Определить период Т колебаний контура. 26.21. Колебательный контур состоит из параллельно соединен ных конденсатора электроемкостью С=1 мкФ и катушки индуктив ностью L = 1 мГн. Сопротивление контура ничтожно мало. Найти частоту v колебаний. * См. сноску на с. 308. 309 26.22. Индуктивность L колебательного контура равна 0,5 мГн. Какова должна быть электроемкость С контура, чтобы он резони ровал на длину волны Х=300 м? 26.23. На какую длину волны X будет резонировать контур, сос тоящий из катушки индуктивностью L = 4 мкГн и конденсатора электроемкостью С=1,11 нФ? 26.24. Для демонстрации опытов Герца с преломлением электро магнитных волн иногда берут большую призму, изготовленную из парафина. Определить показатель преломления парафина, если его диэлектрическая проницаемость е=2 и магнитная проницаемость |Х=1. 26.25. Два параллельных провода, погруженных в глицерин, индуктивно соединены с генератором электромагнитных колебаний частотой v=420 МГц. Расстояние / между пучностями стоячих волн на проводах равно 7 см. Найти диэлектрическую проницаемость г глицерина. Магнитную проницаемость р принять равной единице. § 27. МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА Основные формулы Ф Намагниченность J — величина, равная отношению магнит ного момента малого объема А Г вещества к этому объему: N где jnM/ — магнитный момент отдельной (i-й) молекулы; N — число молекул в объеме Л1Л • Намагниченность J в изотропном магнетике пропорциональ на напряженности магнитного поля Н: J=xH> где х — магнитная восприимчивость (безразмерна). • Удельная магнитная восприимчивость худ связана с магнит ной восприимчивостью х соотношением Худ х/р» где р — плотность вещества. • Молярная магнитная восприимчивость Хт связана с магнит ной восприимчивостью х соотношением Ф Магнетон Бора рв — элементарный магнитный момент —определяется формулой 11ъ = е%/(2те), где е — элементарный заряд; те — масса электрона. 310 Ф Магнитная индукция В, напряженность Н и намагничен ность J в изотропном магнетике связаны соотношением B = p 0(H + J), где |л0 — магнитная постоянная. ф Намагниченность изотропного парамагнетика (по Ланжевену) J = ti\xwL(a), где п — концентрация молекул; рм — магнитный момент отдельной молекулы; L(a ) — функция Ланжевена. ф Функция Ланжевена где a= nuB/{kT). Приближенное значение функции Ланжевена можно предста вить в виде знакопеременного ряда L ( a ) — ~%а 45‘ а3_'‘ 945 аЬ ' ** При а< 1 (\iMB<^kT) Ь(а)&Уз и намагниченность = - £ t b ’ или J = ^ w r Ф Магнитная восприимчивость парамагнитных веществ при j п\11 X — М'о 3kT • Примеры решения задач Пример 1. Определить магнитную восприимчивость %и молярную восприимчивость %т висмута, если удельная магнитная восприим чивость Худ——1,3-10“ ®м3/кг. Р е ш е н и е . Магнитная восприимчивость % определяется со отношением 1= Л Н , где J — намагниченность, Н — напряженность магнитного поля. Намагниченность J , в свою очередь, определяется следующей формулой: J = IJIH 2 M / V , где 2 рм/ — суммарный магнитный момент всех молекул в объеме V (магнетик предполагается однородным). Соответственно Хш— J J H , j m— ^ j Рм/А% где v — количество вещества (число молей данного вещества), и Худ — ^уд/-^» *^уд “ где т — масса вещества. 311 1. Для определения удельной магнитной восприимчивости най дем отношение Х/Худ = J/Jy. ~ m/V = р, откуда X= РХуд> где р — плотность. Убедимся, в том, что правая часть равенства, так же как и — величина безразмерная (неименованная): [р] [Худ] = 1 кг/м3 *1 м3/кг = 1• Произведем вычисления, выписав из табл. 9 плотность висмута (р=9,8 •103 кг/м3): Х= 9,8-103 (— 1,3-10~9) « — 1,3-10“ 5. 2. Для определения молярной магнитной восприимчивости най дем отношение Хш/Худ = ^щ/^уд = WlN М где М — молярная масса. Тогда Хш“ ^ Худ* Убедимся в том, что правая часть этого равенства дает единицу молярной магнитной восприимчиво сти (м3/моль): [М] [Худ] — 1 кг/моль-1 м3/кг = = 1 м3/моль. Найдем сначала относительную молекулярную массу висмута: М г= =209. Так как относительная молеку лярная масса численно равна моляр ной массе М, выраженной в г/моль, то М = 209 г/моль=0,209 кг/моль, что соответствует выражению моляр ной массы в СИ. Произведем вычисления: Хт = 0 ,2 0 9 .( - 1 ,3 .1 0 - 9) « « — 2,7• 10_1° м3/моль. Пример 2. Определим частоту со^ ларморовой прецессии электронной орбиты в атоме, находящемся в одно родном магнитном поле ( В = 1 Тл). Р е ш е н и е . Пусть электрон движется со скоростью v по кру говой орбите радиусом г в направлении, указанном стрелкой на рис. 27.1. Момент импульса 3?горбитального движения электрона в соответствии с правилом винта направлен перпендикулярно плос кости орбиты так, как это отмечено на рисунке. У 312 Орбитальный магнитный момент оМь будет противонаправлен вектору 3 г. Под действием внешнего магнитного поля (В), возбуж денного вдоль оси Oz, на электронную орбиту будет действовать — у момент силы М = [в^В ], направление которого перпендикулярно плоскости, содержащей векторы oSi и В. Под действием этого мо мента вектор З г получит приращение dJ?*=M d^B направлении, совпадающем с М, в результате чего плоскость, содержащая век торы и В, повернется на угол dcp. Из рис. 27.1 видно, что d<p = djgf i sin О ’ Тогда угловая скорость прецессии (ларморова частота) m dq) ^ 1 dt 351 sin 0 d^ * Так как d 3 i= c £ d tt а М=<Лг В sin{}, то 1 сЖчВ sin d/ &i sin 0 dt Воспользовавшись получим cSi p гиромагнитным отношением c J lJ 3 г= У2 \e\Im, Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу угло вой скорости (с-1): [е] [Б] __ 1 Кл-1 Тл _ 1 Кл-1 Н = 1 Н-с = 1 кг-м-с = j [т\ 1 кг 1 кг-1 А-м 1 кг-м 1 кг-с2-м х Произведем вычисления: _ 1 1 ,6 -10~19 ^ ”" 2 ' 9,1 • 10“ 31 1 с -1 = 8,8 - 1010 с-1. Пример 3. Молекула N 0 имеет магнитный момент 1,8 рв. Определить удельную парамагнитную восприимчивость %уд газо образного оксида азота при нормальных условиях. Р е ш е н и е . По теории Ланжевена, магнитная восприимчи вость парамагнитного вещества определяется выражением %— 3kT , ( 1) где |10 — магнитная постоянная (р0= 4 я ПО-7 Гн/м); п — концент рация молекул (число молекул в единице объема); <Mj — магнит ный момент атома; k — постоянная Больцмана; Т — термодинами ческая температура. Удельная магнитная восприимчивость %уд связана с магнит ной восприимчивостью % соотношением %уд %/р* Заменив в этом выражении %согласно (1), получим 313 ль П _ Х у д — Но 3^7 Заметим, что концентрацию молекул и плотность газа можно вы разить следующим образом: n = NA/Vm и p = M/Vm, где N a — постоянная Авогадро; М — молярная масса; Vm — мо лярный объем. Тогда nlp= N A/M и NAcMj Х уд = Н'О 3 ьтм * Убедимся в том, что правая часть равенства дает единицу удельной магнитной восприимчивости (м3/кг): [jM [NA] [Щ Т П м ] [ cM j ] _ _ 1 Гн/м* 1 моль- 1 *1 А2*м4 _ 1 Гн* 1 А2*м3 _ 1 1 Д ж /К -1 К -1 кг/моль ~~ 1 Д ж-кг ~~ 1 м3/,КГ- Произведем вычисления (учтем, что 1 |хв =9,27 ПО-24 А-м? и ЛТ=30 •10_3 кг/моль): 1п_ 7 6,02.10аз - (1,8 -9,27.1 о - 24)2 Худ — 4 Л - Ш - 3.^38.10-23.273*30*10-3 кг = 6,2*10 7м3/кг. Задачи Намагниченность. Магнитная восприимчивость 27.1. Определить намагниченность J тела при насыщении, если магнитный момент каждого атома равен магнетону Бора рв и концентрация атомов 6 -1028 м” 3. 27.2. Магнитная восприимчивость % марганца равна 1,21 •10-4. Вычислить намагниченность / , удельную намагниченность / уд и молярную намагниченность Jm марганца в магнитном поле на пряженностью # = 1 0 0 кА/м. Плотность марганца считать извест ной. 27.3. Найти магнитную восприимчивость % AgBr, если его мо лярная магнитная восприимчивость Xm==7,5*10"';l0 м3/моль. 27.4. Определить магнитную восприимчивость % и молярную магнитную восприимчивость %т платины, если удельная магнит ная восприимчивость %уд= 1 ,3 (Ы 0 "*9 м3/кг. 27.5. Магнитная восприимчивость % алюминия равна 2,1 *10” ?. Определить его удельную магнитную %уд и молярную %т воспри имчивости. 27.6. Висмутовый шарик радиусом R = 1 см помещен в однород ное магнитное поле (В0= 0 ,5 Тл). Определить магнитный момент р т% приобретенный шариком, если магнитная восприимчивость % вис мута равна —1,5*10"4. 27.7. Напряженность Н магнитного поля в меди равна 1 МА/м. Определить намагниченность J меди и магнитную индукцию # , если известно, что удельная магнитная восприимчивость %уд— *=—1,1 -10"9 м3/кг. 314 Диа и парамагнетизм - 27.8. Определить частоту ларморовой прецессии электрон* ной орбиты в атоме, находящемся в магнитном поле Земли (В = = 5 0 мкТл). 27.9. Атом водорода находится в магнитном поле с индукцией 5 = 1 Тл. Вычислить магнитный момент рм, обусловленный прецес сией электронной орбиты. Принять, что среднее значение квадрата расстояния (г2) электрона от ядра равно 2/ 3rl(r1 — радиус первой боровской орбиты). 27.10. Молярная магнитная восприимчивость %т оксида хро ма Сг20 3 равна 5,8 •10-8 м3/моль. Определить магнитный мо мент рм молекулы С120 3 (в магнетонах Бора), если температура 7 = 3 0 0 К. 27.11. Удельная парамагнитная восприимчивость %уд трехоксида ванадия (V20 3) при / = 17 °С равна 1,89-10~2 м3/кг. Определить магнитный момент рм (в магнетонах Бора), приходящийся на молекулу V 20 3, если плотность р трехоксида ванадия равна 4,87 • 103 кг/м3. 27.12. Молекула кислорода имеет магнитный момент рм=2,8 рв (где рв — магнетон Бора). Определить намагниченность J газо образного кислорода при нормальных условиях в слабом магнит ном поле (5 0=Ю мТл) и в очень сильном поле. 27.13. Определить, при каком наибольшем значении магнитной индукции 5 уже следует пользоваться не приближенным выра жением функции Ланжевена Ь(а)жа13, а точным, чтобы погреш ность вычислений не превышала 1 %. Для расчетов принять маг нитный момент молекул равным магнетону Бора. Температура 7 = 300 К. 27.14. Определить наибольшее значение величины а, при кото ром погрешность, вызванная заменой точного выражения функции Ланжевена приближенным Ь(а)жа/3, не превышает 1 %. 27.15. Определить температуру 7, при которой вероятность того, что данная молекула имеет отрицательную проекцию магнитного момента на направление внешнего магнитного поля, будет равна 10“ 3. Магнитный момент молекулы считать равным одному магне тону Бора, а магнитную индукцию В поля — равной 8 Тл. 27.16. Определить, во сколько раз число молекул, имеющих по ложительные проекции магнитного момента на направление векто ра магнитной индукции внешнего поля (5 = 1 Тл), больше числа мо лекул, имеющих отрицательную проекцию, в двух случаях: 1) 7 Х=300 К; 2) 7 2= 1 К. Магнитный момент молекулы принять рав ным магнетону Бора. 27.17. При температуре 7х=300 К и магнитной индукции 5 Х= 0,5, Тл была достигнута определенная намагниченность J па рамагнетика. Определить магнитную индукцию 5 2, при которой сохранится та же намагниченность, если температуру повысить до 7 2=450 К. 315 Ферромагнетизм 27.18. Кусок стали внесли в магнитное поле напряженностью Н —1600 А/м. Определить намагниченность J стали. Указание. Необходимо воспользоваться графиком на рис. 24.1 (с. 288). 27.19. Прямоугольный ферромагнитный брусок объемом 1/=10см3 приобрел в магнитном поле напряженностью # = 8 0 0 А/м магнит ный момент р т=0,8 А-м2. Определить магнитную проницаемость р ферромагнетика. 27.20. Вычислить среднее число (п) магнетонов Бора, приходя щихся на один атом железа, если при насыщении намагниченность железа равна 1,84 МА/м. 27.21. На один атом железа в незаполненной 3 d -оболочке при ходится четыре неспаренных электрона. Определить теоретическое значение намагниченности / нас железа при насыщении. ГЛАВА 6 ОПТИКА § 28. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА Основные формулы • Фокусное расстояние сферического зеркала f= R / 2, где R — радиус кривизны зеркала. Оптическая сила сферического зеркала Ф = 1//. Формула сферического зеркала где а и b — расстояния от полюса зеркала соответственно до пред мета и изображения. Если изображение предмета мнимое, то величина b берется со знаком минус. Если фокус сферического зеркала мнимый (зеркало выпуклое), то величина / берется со знаком минус. • Закон преломления света sin 8Х = sin So П2 1 » где 8i — угол падения; г2 — угол преломления; n 21= n jtii — отно сительный показатель преломления второй среды относительно пер вой; п± и я 2 — абсолютные показатели преломления соответственно первой и второй сред. Нижние индексы в обозначениях уг лов указывают, в какой среде (первой или второй) идет луч. Если луч перехо дит из второй среды в первую, падая на поверхность раздела под углом е2= = е 2, то по принципу обратимости све Рис. 28.1 товых лучей угол преломления г[ будет равен углу гг (рис. 28.1). • Предельный угол полного отражения при переходе света из среды более оптически плотной в среду менее оптически плотную £Пр = arcsin (njtii) (п2 < /гх). 317 • Оптическая сила тонкой линзы где f — фокусное расстояние линзы; пл — абсолютный показатель преломления вещества линзы; пср — абсолютный показатель пре ломления окружающей среды (одинаковой с обеих сторон линзы). В приведенной формуле радиусы выпуклых поверхностей (R± и R2) берутся со знаком плюс, вогнутых — со знаком минус. • Оптическая сила двух тонких сложенных вплотную линз ф —ф^-1~ф2# • Формула тонкой линзы 1 = 1 + 1 где а — расстояние от оптического центра линзы до предмета; b — расстояние от оптического центра линзы до изображения. Если фокус мнимый (линза рассеивающая), то величина / отри цательна. Если изображение мнимое, то величина Ъ отрицательна. • Угловое увеличение лупы Г = D //, где D — расстояние наилучшего зрения (D = 25 см). • Угловое увеличение телескопа Г = /об//ок> где / об и /ок — фокусные расстояния соответственно объектива и окуляра. Расстояние от объектива до окуляра телескопа L = /об "Ь /ок* Эти формулы можно применять только в том случае, если в теле скоп наблюдают весьма удаленные предметы. • Угловое увеличение микроскопа Г = бО/(/об//ок), где б — расстояние между задним фокусом объектива и передним фокусом окуляра. Расстояние от объектива до окуляра микроскопа ^ = /о б + в + /ок» Примеры решения задач Пример 1. На стеклянную призму о преломляющим углом 0=50° падает под углом е=30° луч света. Определить угол откло нения а луча призмой, если показатель преломления п стекла равен 1,56. Р е ш е н и е . Данную задачу целесообразно решать не в общем виде, как принято, а пооперационно, производя все промежуточ ные вычисления. В этом случае мы несколько проигрываем в точ ности расчетов, но выигрываем в наглядности и простоте вычисле 318 ний. Из рис. 28.2 видно, что угол отклонения <т=у+у', ( 1) а углы у и у' просто выражаются через углы еъ е2, г[, е2, которые последовательно и будем вычислять: 1) из закона преломления sin e^sin е2 имеем i9= arcsin Sin Ef - 18,7°; 2) из рис. 28.2, следует, что угол падения е2 на вторую грань призмы равен е2= 0— е; = 31,3°. Угол е 2 меньше предельного (c2npett= a rc sin ( l ^ ) ==39»9°), по этому на второй грани луч преломится и выйдет из призмы; 3) так как sin e2/sin In, то ei=arcsin (n sin e2)=54,l°, У Теперь найдем углы у и у у = гг— 82= 11,3° и у' = г[— е2 = 22,8°. По формуле (1) находим а = у + у '= 3 4 ,1 ° . Пример 2. Оптическая сис тема представляет собой тон кую плосковыпуклую стек лянную линзу, выпуклая по верхность которой посереб рена. Определить главное фо кусное расстояние / такой системы, если радиус кривиз ны R сферической поверхно сти линзы равен 60 см. Решение. Пусть на линзу падает параксиальный луч K L , параллельный глав ной оптической оси MN лин зы (рис. 28.3). Так как луч KL перпендикулярен плоской поверхности линзы, то он проходит ее без преломления. На сферическую посеребренную поверхность луч падает в точке L под углом 8j и отражается от нее под углом Отраженный луч падает на границу плоской поверхности линзы под углом 2 и по выходе из линзы пересекает главную оптическую ось в точке F, образуя с осью угол е2. Длина полученного при этом отрезка FP и равна искомому фокусному расстоянию рассматриваемой оптичес кой системы. 319 Если учесть, что в силу параксиальное™ луча KL углы и е2 малы, а их синусы и тангенсы практически равны самим углам, вы раженным в радианах, то из рис. 28.3 следует h # ei _ р ei 0) f^ е2 ‘ Входящее в формулу (1) отношение ei/e2 углов найдем, пользуясь законом преломления света, который в нашем случае записывается в виде 2 г11г2=\1п, откуда î/e2= 1/(2 п). Подставив это отношение углов в формулу (1), найдем f= R I (2 п). Такой же результат можно получить и из формальных соображе ний. Так как луч KL последовательно проходит линзу, отражает ся от вогнутого зеркала и еще раз проходит линзу, то данную оп тическую систему можно рассматривать как центрированную сис тему, состоящую из сложенных вплотную двух плосковыпуклых линз и сферического зеркала. Фокусное расстояние оптической системы может быть найдено по формуле / = 1/Ф, где Ф — оптическая сила системы. Как известно, оптическая сила системы равна алгебраической сумме оптических сил отдельных компонентов системы. В нашем слу чае ф = { п - 1 ) ± + ± + ( п - 1 ) ± = Щ., т. е. /= 1 /ф = Я/(2л), что совпадает с результатом, выраженным формулой (2). Задачи Отражение и преломление света 28.1. Два плоских прямоугольных зеркала образуют двугранный угол ф = 179°. На расстоянии / = 10 см от линии соприкосновения зеркал и на одинаковом расстоянии от каждого зеркала находится точечный источник света. Определить расстояние d между мнимыми изображениями источника в зеркалах. 28.2. На сферическое зеркало падает луч света. Найти построе нием ход луча после отражения в двух случаях: а) от вогнутого зеркала (рис. 28.4, а)\ б) от выпуклого зеркала (рис. 28.4, б). На рисунке: Р — полюс зеркала; О — оптический центр. 28.3. Вогнутое сферическое зеркало дает на экране изображение предмета, увеличенное в Г = 4 раза. Расстояние а от предмета до зеркала равно 25 см. Определить радиус R кривизны зеркала. 28.4. Фокусное расстояние / вогнутого зеркала равна 15 см. Зеркало дает действительное изображение предмета, уменьшенное в три раза. Определить расстояние а от предмета до зеркала. 320 28.5. На рис. 28.5, а , б указаны положения главной оптической оси MN сферического зеркала, светящейся точки S и ее изображе ния S ' . Найти построением положения оптического центра О зер кала, его полюса Р и главного фокуса F . Определить, вогнутым или выпуклым является данное зеркало. Будет ли изображение действительным или мнимым? 28.6. Вогнутое зеркало дает на экране изображение Солнца в виде кружка диаметром d ~ 28 мм. Диаметр Солнца на небе в угло вой мере Р = 3 2 '. Определить радиус R кривизны зеркала. о) Рис. 28.5 28.7. Радиус R кривизны выпуклого зеркала равен 50 см. Пред мет высотой h= 15 см находится на расстоянии а, равном 1 м, от зеркала. Определить расстояние b от зеркала до изображения и его высоту Я. 28.8. На рис. 28,6, а , б указаны положения главной оптической оси MN сферического зеркала и ход луча 1 . Построить ход луча 2 после отражения его от зеркала. 28.9. На столе лежит лист бумаги. Луч света, падающий на бу магу под углом е=30°, дает на ней светлое пятно. Насколько смес тится это пятно, если на бумагу положить плоскопараллельную стеклянную пластину толщиной d = 5 см? 28.10. Луч падает под углом е=60° на стеклянную пластинку 11 № 1268 321 толщиной d = 30 мм. Определить боковое смещение Дл; луча после выхода из пластинки. 28.11. Пучок параллельных лучей падает на толстую стеклян ную пластину под углом е=60°, и преломляясь переходит в стек ло. Ширина а пучка в воздухе равна 10 см. Определить ширину b пучка в стекле. 28.12. Луч света переходит из среды с показателем преломления щ в среду с показателем преломления п2. Показать, что если угол между отраженным и преломленным лучами равен п/ 2, то выпол няется условие tg z ^ n j t i i (si — угол падения). 28.13. Луч света падает на грань призмы с показателем прелом ления п под малым углом. Показать, что если преломляющий угол 0 призмы мал, то угол отклонения а лучей не зависит от угла паде ния и равен 0 ( я — 1). 28.14. На стеклянную призму с преломляющим углом 0=6OQ падает луч света. Определить показатель преломления п стекла* если при симметричном ходе луча в призме угол отклонения а=40°. 28.15. Преломляющий угол 0 стеклянной призмы равен 30°. Луч света падает на грань призмы перпендикулярно ее поверхнос ти и выходит в воздух из другой грани, отклоняясь на угол a = 20Q от первоначального направления. Определить показатель прелом ления п стекла. 28.16. Луч света падает на грань стеклянной призмы перпенди кулярно ее поверхности и выходит из противоположной грани* отклонившись на угол а=25° от первоначального направления. Определить преломляющий угол 0 призмы. 28.17. На грань стеклянной призмы с преломляющим углом 0— =60° падает луч света под углом £i = 45°. Найти угол преломления 82 луча при выходе из призмы и угол отклонения а луча от перво начального направления. 28.18. Преломляющий угол 0 призмы равен 60°. Угол наимень шего отклонения луча от первоначального направления а=30°. Определить показатель преломления п стекла, из которого изготов лена призма. 28.19. Преломляющий угол 0 призмы, имеющей форму острого клина, равен 2°. Определить угол наименьшего отклонения amin луча при прохождении через призму, если показатель преломления п стекла призмы равен 1,6. Оптические системы 28.20. На тонкую линзу падает луч света. Найти построением ход луча после преломления его линзойз а) собирающей (рис. 28.7, а); б) рассеивающей (рис. 28,7 б). На рисунке: О — оптический центр линзы; F — главный фокус. 28.21. ’ На рис. 28.8, а, б, указаны положения главной оптичес кой оси M N линзы и ход луча I. Построить * ход луча 2 после пре ломления его линзой. * Считать, что среды по обе стороны линзы одинаковы. 322 28.22. Найти построением положение светящейся точки, если известен ход лучей после преломления их в линзах: а) собираю щей (рис. 28.9, а)\ б) рассеивающей (рис. 28.9, б). На рисунке: О — оптический центр линзы; F — ее главный фокус. 28.23. На рис. 28.10, а , б указаны положения главной оптичес кой оси MN тонкой линзы, светящейся точки S и ее изображения S '. Найти построением * положения оптического центра О линзы и ее фокусов F. Указать, собирающей или рассеивающей будет дан ная линза. Будет ли изображение действительным или мнимым? Рис. 28.9 о*' N а) W— ^ ------------------------- м S) ° 5' Рис. 28.10 28.24. Линза, расположенная на оптической скамье между лам почкой и экраном, дает на экране резко увеличенное изображение лампочки. Когда лампочку передвинули А/=40 см ближе к экрану, на нем появилось резко уменьшенное изображение лампочки. Оп ределить фокусное расстояние / линзы, если расстояние I от лампоч ки до экрана равно 80 см. 28.25. Каково наименьшее возможное расстояние I между пред метом и его действительным изображением, создаваемым собираю щей линзой с главным фокусным расстоянием / = 12 см? * См, сноску на с. 322, 11* 323 28.26. Человек движется вдоль главной оптической оси объекти ва фотоаппарата со скоростью и = 5 м/с. С какой скоростью и необ ходимо перемещать матовое стекло фотоаппарата, чтобы изображе ние человека на нем все время оставалось резким. Главное фокус ное расстояние / объектива равно 20 см. Вычисления выполнить для случая, когда человек находился на расстоянии а= 1 0 м от фо тоаппарата. 28.27. Из стекла требуется изготовить плосковыпуклую линзу, оптическая сила Ф которой равна 5 дптр. Определить радиус R кривизны 'выпуклой поверхности линзы. 28.28. Двояковыпуклая линза имеет одинаковые радиусы кри визны поверхностей. При каком радиусе кривизны R поверхностей линзы главное фокусное расстояние / ее будет равно 20 см? 28.29. Отношение k радиусов кривизны поверхностей линзы равно 2, При каком радиусе кривизны R выпуклой поверхности оп тическая сила Ф линзы равна 10 дптр? 28.30. Определить радиус R кривизны выпуклой поверхности линзы, если при отношении k радиусов кривизны поверхностей линзы, равном 3, ее оптическая сила Ф = —8 дптр. 28.31. Из двух часовых стекол с одинаковыми радиусами R кривизны, равными 0,5 м, склеена двуяковогнутая «воздушная» линза. Какой оптической силой Ф будет обладать такая линза в воде? 28.32. Линза изготовлена из стекла, показатель преломления которого для красных лучей лгк= 1,50, для фиолетовых лгф= 1,52. Радиусы кривизны R обеих поверхностей линзы одинаковы и равны 1 м. Определить расстояние А/ между фокусами линзы для красных и фиолетовых лучей. 28.33. Определить главное фокусное расстояние / плосковыпук лой линзы, диаметр d которой равен 10 см. Толщина h в центре лин зы равна 1 см, толщину у краев можно принять равной нулю. 28.34. Определить оптическую силу Ф мениска *, если радиусы кривизны R 1 и R 2 его выпуклой и вогнутой поверхностей равны соответственно 1 м и 40 см, 28.35. Главное фокусное расстояние / собирающей линзы в воз духе равно 10 см. Определить, чему оно равно: 1) в воде; 2) в корич ном масле. 28.36. У линзы, находящейся в воздухе, фокусное расстояние /i= 5 см, а погруженной в раствор сахара / 2= 35 см. Определить по казатель преломления п раствора. 28.37. Тонкая линза, помещенная в воздухе, обладает оптической силой Фх= 5 дптр, а в некоторой жидкости Ф 2= —0,48 дптр. Оп ределить показатель преломления п2 жидкости, если показатель преломления пг стекла, из которого изготовлена линза, равен 1,52. 28.38. Доказать, что оптическая силаФ системы двух сложенных * Мениском называют линзу, ограниченную двумя сферическими поверх ностями, имеющими одинаковое направление кривизны. 324 вплотную тонких линз равна сумме оптических сил Фх и Ф 2 каждой из этих линз. 28.39. В вогнутое сферическое зеркало радиусом R = 20 см на лит тонким слоем глицерин. Определить главное фокусное расстоя ние f такой системы. 28.40. Плосковыпуклая линза имеет оптическую силу Фх=4 дптр. Выпуклую поверхность линзы посеребрили. Найти оптичес кую силу Ф 2 такого сферического зеркала. 28.41. Поверх выпуклого сферического зеркала радиусом кри визны R=20 см налили тонкий слой воды. Определить главное фо кусное расстояние f такой системы. 28.42. Человек без очков читает книгу, располагая ее перед собой на расстоянии 12,5 см. Какой оптической силы Ф очки следует ему носить? 28.43. Пределы аккомодации глаза близорукого человека без очков лежат между ах= 16 см и а 2=80 см. В очках он хорошо видит удаленные предметы. На каком минимальном расстоянии d он может держать книгу при чтении в очках? 28.44. Лупа, представляющая собой двояковыпуклую линзу, изготовлена из стекла с показателем преломления п= 1,6. Радиусы кривизны R поверхностей линзы одинаковы и равны 12 см. Опреде лить увеличение Г лупы. 28.45. Лупа дает увеличение Г = 2 . Вплотную к ней приложили собирательную линзу с оптической силой Фх=20 дптр. Какое уве личение Г 2 будет давать такая составная лупа? 28.46. Оптическая сила Ф объектива телескопа равна 0,5 дптр. Окуляр действует как лупа, дающая увеличение Гх= 10. Какое увеличение Г 2 дает телескоп? 28.47. При окуляре с фокусным расстоянием /= 5 0 мм телескоп дает угловое увеличение Гх=60. Какое угловое увеличение Г 2 даст один объектив, если убрать окуляр и рассматривать действи тельное изображение, созданное объективом, невооруженным гла зом с расстояния наилучшего зрения? 28.48. Фокусное расстояние Д объектива телескопа равно 1 м. В телескоп рассматривали здание, находящееся на расстоянии а= 1 км. В каком направлении и на сколько нужно передвинуть окуляр, чтобы получить резкое изображение в двух случаях: 1) если после здания будут рассматривать Луну; 2) если вместо Луны будут рас сматривать близкие предметы, находящиеся на расстоянии ах~ = 100 м? 28.49. Телескоп наведен на Солнце. Фокусное расстояние Д объектива телескопа равно 3 м. Окуляр с фокусным расстоянием Д = 50 мм проецирует действительное изображение Солнца, создан ное объективом, на экран, расположенный на расстоянии Ь= 60 см от окуляра. Плоскость экрана перпендикулярна оптической оси телескопа. Определить линейный диаметр d изображения Солнца на экране, если диаметр Солнца на небе виден невооруженным глазом под углом а = 3 2 '. 28.50. Фокусное расстояние Д объектива микроскопа равно 8 мм, 325 окуляра f 2= 4 см. Предмет находится на Д а=0,5 мм дальше от объек тива, чем главный фокус. Определить увеличение Г микроскопа. 28.51. Фокусное расстояние fi объектива микроскопа равно 1 см, окуляра / 2= 2 см. Расстояние от объектива до окуляра L = 23 см. Какое увеличение Г дает микроскоп? На каком расстоянии а от объектива находится предмет? 28.52. Расстояние б между фокусами объектива и окуляра внут ри микроскопа равно 16 см. Фокусное расстояние ft объектива рав но 1 мм. С каким фокусным расстоянием f 2 следует взять окуляр, чтобы получить увеличение Г =500? § 29. ФОТОМЕТРИЯ Основные формулы • Световой поток Ф^, испускаемый изотропным * точечным ис точником света в пределах телесного угла со, в вершине которого находится источник, выражается формулой Ф<,=/со, где / — сила света источника; оэ=2я(1 — cosft); Ф — угол между осью конуса и его образующей. • Полный световой поток, испускаемый изотропным точечным источником света, Ф0= 4 я /. • Освещенность поверхности определяется соотношением £* = ® /S , где S — площадь поверхности, по которой равномерно распределя ется падающий на нее световой поток Ф^. Освещенность, создаваемая изотропным точечным источником света, E V = 4 r C O S 8 , где г — расстояние от поверхности до источника света; г — угол падения лучей. • Сила света любого элемента поверхности косинусного излуча теля / = / 0СОЭф, где ф — угол между нормалью к элементу поверхности и направ лением наблюдения; / 0 — сила света элемента поверхности по на правлению нормали к этому элементу. • Яркость светящейся поверхности Lv= l h % где / — сила света в направлении наблюдения; а — площадь про екции светящейся поверхности на плоскость, перпендикулярную этому направлению. кова 326 • Источник называется изотропным, если сила света источника одина во всех направлениях. • Светимость определяется соотношением M v = O v/S, где — световой поток, испускаемый поверхностью; S — пло щадь этой поверхности. Светимость косинусных излучателей Mv= n L v. Примечание. В соответствии с ГОСТ 26148—84 световые величины обо значаются теми же буквами, что и соответствующие им энергетические вели чины излучений. Отличаются обозначения только индексами: е — для энер гетических величин и v — для световых. Но в обозначениях световых величин индекс v разрешается опускать в тех случаях, когда это не может привести к недоразумениям (например, энергетическая яркость— Lei яркость — Lv или L), Примеры решения задач Пример 1. Прожектор ближнего освещения дает пучок света в виде усеченного конуса с углом раствора 2^=40°. Световой поток Ф прожектора равен 80 клм. Допуская, что световой поток распре делен внутри конуса равномерно, определить силу света / прожек тора. Р е ш е н и е . Сила света I изотропного источника равна отно шению светового потока Ф к телесному углу со, в пределах которо го распространяется световой поток, т. е. /= Ф /ю . О) Выразим телесный угол через угол раствора. Из рис. 29.1 следует, что элементарный телесный угол d(o==2 jtsinfl сШ. Телесный угол, соответствующий углу раствора 2й конуса, выразится интегралом: 00 (o= 2jc ^ sinftdft, или о о = 2jc (1 — соз -Эо) = 4л sin2 (Ф/2). Подставив выражение со в формулу (1), получим ^ 4л sin2 (Ф/2) * № Произведя вычисления по формуле (2), найдем Рис. 29.1 /= 211 ккд. Пример 2. Люминесцентная цилиндрическая лампа диаметром d = 2,5 см и длиной /= 4 0 см создает на расстоянии г = 5 м в направ лении, перпендикулярном оси лампы, освещенность Ev = 2 лк. При нимая лампу за косинусный излучатель, определить: 1) силу света / в данном направлении; 2) яркость L; 3) светимость М лампы. Р е ш е н и е . 1. Больший из двух размеров лампы — длина — в 12 раз меньше расстояния, на котором измерена освещенность. 327 Следовательно, для вычисления силы света в данном направлении можно принять лампу за точечный источник и применить формулу Е=11г2, откуда 1=Ег 2. Подставив значения величин в эту формулу и произведя вычис ления, получим /= 2 5 кд. 2. Для вычисления яркости применим формулу L=H a, . где а — площадь проекции протяженного источника света на плос кость, перпендикулярную направлению наблюдения. В случае цилиндрической люминесцентной лампы проекция име ет форму прямоугольника длиной / и шириной d . Следовательно, L = / / (Id). Произведя вычисления по этой формуле, найдем L = 2,5 ккд/м2. 3. Так как люминесцентную лампу можно считать косинусным излучателем, то ее светимость M = n L = 7 ,9 клк. Задачи * Световой поток и сила света 29.1. Определить силу света I точечного источника, полный све товой поток Ф которого равен 1 лм. 29.2. Лампочка, потребляющая мощность Р = 75 Вт, создает на расстоянии г = 3 м при нормальном падении лучей освещенность Е = 8 лк. Определить удельную мощность р лампочки (в ваттах на канделу) и световую отдачу т] лампочки (в люменах на ватт). 29.3. В вершине кругового конуса находится точечный источник света, посылающий внутри конуса световой поток Ф =76 лм. Сила света I источника равна 120 кд. Определить телесный угол со и угол раствора 2 ■&конуса. 29.4. Какую силу тока I покажет гальванометр, присоединен ный к селеновому фотоэлементу, если на расстоянии г= 7 5 см от него поместить лампочку, полный световой поток Ф0 которой ра вен 1,2 клм? Площадь рабочей поверхности фотоэлемента равна 10 см2, чувствительность /=300 мкА/лм. Освещенность 29.5. Лампочка силой света 7=80 кд находится на расстоянии а==2 м от собирательной линзы с диаметром d=12 см и главным фокусным расстоянием /= 4 0 см. Линза дает на экране, располо * При решении задач по фотометрии электрические лампочки принимать за изотропные точечные источники света. 328 женном на расстоянии Ь=30 см от линзы, круглое светлое пятно. Найти освещенность Е экрана на месте этого пятна. Поглощением света в линзе пренебречь. 29.6. При печатании фотоснимка негатив освещался в течение t1=3 с лампочкой силой света / х= 15 кд с расстояния ^ = 5 0 см. Определить время t 2, в течение которого нужно освещать негатив лампочкой силой света / 2=60 кд с расстояния г2= 2 м, чтобы полу чить отпечаток с такой же степенью почернения, как и в первом случае? 29.7. На высоте h—3 м над землей и на расстоянии г—4 м от сте ны висит лампа силой света 7=100 кд. Определить освещенность Е± стены и Е 2 горизонтальной поверхности земли у линии их пересе чения. 29.8. На мачте высотой h = 8 м висит лампа силой света 7=1 ккд. Принимая лампу за точечный источник света, определить, на ка ком расстоянии I от основания мачты освещенность Е поверхности земли равна 1 лк. 29.9. Над центром круглой площадки висит лампа. Освещенность Ег в центре площадки равна 40 лк, Е 2 на краю площадки равна 5 лк. Под каким углом е падают лучи на край площадки? 29.10. Над центром круглого стола радиусом г= 80 см на высоте h = 60 см висит лампа силой света 7=100 кд. Определить: 1) осве щенность Е± в центре стола; 2) освещенность Е 2 на краю стола; 3) световой поток Ф, падающий на стол; 4) среднюю освещенность {Е) стола. 29.11. На какой высоте h над центром круглого стола радиу сом r= 1 м нужно повесить лампочку, чтобы освещенность на краю стола была максимальной? Яркость и светимость 29.12. Отверстие в корпусе фонаря закрыто плоским молочным стеклом размером 10x15 см. Сила света 7 фонаря в направлении, составляющем угол ср=60° с нормалью, равна 15 кд. Определить яркость L стекла. 29.13. Вычислить и сравнить между собой силы света раскален ного металлического шарика яркостью Ь х= 3 Мкд/м2 и шарового светильника яркостью Ь2=Ъ ккд/м2, если их диаметры d± и d2 со ответственно равны 2 мм и 20 см. 29.14. Светильник из молочного стекла имеет форму шара диа метром <7=20 см. Сила света 7 шара равна 80 кд. Определить пол ный световой поток Ф, светимость М и яркость L светильника. 29.15. Солнце, находясь вблизи зенита, создает на горизонталь ной поверхности освещенность £ = 0 ,1 Млк. Диаметр Солнца виден под углом а = 3 2 '. Определить видимую яркость L Солнца. 29.16. Длина I раскаленной добела металлической нити равна 30 см, диаметр <7=0,2 мм. Сила света 7 нити в перпендикулярном ей направлении равна 24 кд. Определить яркость L нити. 329 29.17. Яркость L светящегося куба одинакова во всех направле ниях и равна 5 ккд/м2. Ребро а куба равно 20 см. В каком направ лении сила света / куба максимальна? Определить максимальную силу света / тах куба. 29.18. Светящийся конус имеет одинаковую во всех направле ниях яркость В = 2 ккд/м2. Основание конуса не светится. Диаметр d основания равен 20 см, высота к=\Ъ см. Определить силу света / конуса в направлениях: 1) вдоль оси; 2) перпендикулярном оси. 29.19. На высоте h= 1 м над горизонтальной плоскостью парал лельно ей расположен небольшой светящийся диск. Сила света / 0 диска в направлении его оси равна 100 кд. Принимая диск за то чечный источник с косинусным распределением силы света, найти освещенность Е горизонтальной плоскости в точке Л, удаленной на расстояние г= 3 м от точки, расположенной под центром диска. 29.20. На какой высоте h над горизонтальной плоскостью (см. предыдущую задачу) нужно поместить светящийся диск, чтобы осве щенность в точке А была максимальной? 29.21. Определить освещенность Е , светимость М и яркость L киноэкрана, равномерно рассеивающего свет во всех направлениях, если световой поток Ф, падающий на экран из объектива киноаппа рата (без киноленты), равен 1,75 клм. Размер экрана 5X3,6 м, ко эффициент отражения р=0,75. 29.22. На какой высоте h нужно повесить лампочку силой све та / = 10 кд над листом матовой белой бумаги, чтобы яркость L бу маги была равна 1 кд/м2, если коэффициент отражения р бумаги равен 0,8? 29.23. Освещенность Е поверхности, покрытой слоем сажи, рав на 150 лк, яркость L одинакова во всех направлениях и равна 1 кд/м2. Определить коэффициент отражения р сажи. § 30. ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ СВЕТА Основные формулы • Скорость света в среде v=c/n , где с — скорость света в вакууме; п — абсолютный показатель преломления среды. • Оптическая длина пути световой волны L = n l, где I — геометрическая длина пути световой волны в среде с пока зателем преломления п. 3. Оптическая разность хода двух световых волн А — L ^ L 2. • Оптическая разность хода световых волн, отраженных от верхней и нижней поверхностей тонкой плоскопараллельной плас 330 тинки или пленки, находящейся в воздухе (рис. 30.1, а), A = 2 d V — sin2 + Х/2, или Д = 2dncose' + А,/2, где d — толщина пластинки (пленки); е* — угол падения; г2 — угол преломления. Второе слагаемое в этих формулах учитывает изменение опти ческой длины пути световой волны на X/2 при отражении ее от сре ды оптически более плотной. В проходящем свете (рис. 30.1, б) отражение световой волны происходит от среды оптически менее плотной и дополнительной разности хода световых лучей не возникает. • Связь разности фаз Дер колебаний с оптической разностью хо да волн Дф=2 эхДМ,. • Условие максимумов интенсивности света при интерферен ции A = ±kX (ft=0, 1, 2, 3, . . .). • Условие максимумов интенсивности света при интерферен ции Д = ± (2 Н -1) (М2). • Радиусы светлых колец Ньютона в отраженном свете (или темных в проходящем) rk = V ( 2 k - \) R ( k /2 ) , где k — номер кольца (k=l, 2, 3, . . .); R — радиус кривизны по верхности линзы, соприкосающейся с плоскопараллельной стек лянной пластинкой. Радиусы темных колец в отраженном свете (или светлых в про ходящем) rk = VkRX. Примеры решения задач Пример 1. В точку А экрана от источника Si монохроматическо го света длиной волны А,=0,5мкм приходят два луча: непосредствен но от источника луч S ^ , перпендикулярный экрану, и луч БгВА, 331 отраженный в точке В от зеркала, параллельного лучу Si Л (рис. 30.2). Расстояние 1Хэкрана от источника равно 1 м. расстояние h от лучаЯ И до плоскости зеркала равно 2 мм. Определить: 1) что будет наблюдаться в точке А экрана — усиление или ослабление интенсивности; 2) как изменится интенсивность в точке Л, если на пути луча S XA перпенди кулярно ему поместить плоскопа р а л л е л ь н у ю пластинку стекла (п= = 1,55) толщиной = 6 мкм. Р е ш е н и е . Пост роим мнимое изобра Рис. 30.2 жение S 2 источника Si в зеркале (рис. 30.3). Источники S x и S 2 являются когерентными, поэтому при сложении волн, приходящих от этих источников на экран, возникает интерференционная картина. Усиление или ос лабление интенсивности в той или иной точке экрана зависит от оптической разности хода А интерферирующих лучей, другими сло вами, от числа т полуволн, укладывающихся на оптической раз ности хода: т == 0) Если т — целое четное, то интенсивность будет максимальной; если т — целое нечетное, то интенсивность минимальна. При дроб ном т происходит или частичное усиление (если т ближе к четному числу), или частичное ослабление (если т ближе к нечетному чис лу). 1. Оптическая разность хода Ai будет складываться из геометри ческой разности / 2—1Х (оба луча идут в воздухе) и дополнительной разности хода Я/2, обусловленной изменением фазы колебаний на л при отражении от среды оптически более плотной. Таким образом, Ах= / 2—/х+Х/2. (2) Так как l2= V l t + Я 2 (рис. 30.3), то к - к = к V \ + ( Н / k Y - k = к [ V i + ( Н / к )2— 1]. Величина Я //Х<С1, поэтому для вычисления корня можно вос пользоваться приближенной формулой (см. табл. 3) V 1 + а » 1 + У2а 332 при a<Cl. Применив ее, получим Подставив JUT2 Д, == tjt- + Zli полученное выражение 12—к в формулу (2), найдем 1 —. Зная Аг, по формуле (1) найдем тх\ Z Н*1(21г)-\-\12 _ Я 2 т, А./2 ~~ /Д + Так как H=2h, то окончательно получим . Я2 , . т ^ = 4 Т д + 1После вычисления найдем т1=33. Так как на разности хода укладывается нечетное число длин полуволн, то в точке А наблюдается минимум интенсивности. 2. Стеклянная пластина толщиной d , поставленная на пути луча (рис. 30.3), изменит оптическую длину пути. Теперь оптическая длина пути L будет складываться из геометрической длины пути 1г—d и оптической длины пути nd луча в самой пластине, т. е. L ~ (1\— d ) - ] r f i d = / i ~ b ( ft — 1 ) d . Оптическая разность хода лучей А 2= / 2— L~r^/ 2—/ 2— f/ i T“ (п— 1)^]+Я/2, или A2= A i— (п ■ — 1) d. Пользуясь формулой (1), найдем d (п — 1) Аг — (п— l)d а2 т9 Х/2 К/2 --т1— ~ ^ . Произведя вычисления, получим т 2-=19,8. Число длин полуволн оказалось дробным. Так как 19,8 ближе к целому четному числу 20, чем к целому нечетному числу 19, то в точке А будет частичное усиле ние. Пример 2. На толстую стек лянную пластинку, покрытую очень тонкой пленкой, показа тель преломления я 2 вещества которой равен 1,4, падает нор мально параллельный пучок монохроматического света = 0 ,6 мкм). Отраженный свет максимально ослаблен вследст вие интерференции. Определить толщину d пленки. Р е ш е н и е. Из световой волны, падающей на пленку, выделим узкий пучок S A . Ход этого пучка в случае, когда угол падения гхФ 333 ф О, показан на рис. 30.4. В точках А и В падающий пучок частич но отражается и частично преломляется. Отраженные пучки света A Si и BCS2 падают на собирающую линзу L, пересекаются в ее фокусе F и интерферируют между собой. Так как показатель преломления воздуха (/гх= 1,00029) меньше показателя преломления вещества пленки (тг2=1,4), который, в свою очередь, меньше показателя преломления стекла (лг3= 1,5), то в обоих случаях отражение происходит от среды оптически более плотной, чем та среда, в которой идет падающая волна. Поэтому фаза колебания пучка света при отражении в точке А изменя ется на я рад и точно так же на я рад изменяется фаза колебаний пучка света BCS2 при отражении в точке В. Следовательно, резуль тат интерференции этих пучков света при пересечении в фокусе F линзы будет такой же, как если бы никакого изменения фазы коле баний ни у того, ни у другого пучка не было. Как известно, условие максимального ослабления света при интерференции в тонких пленках состоит в том, что оптическая раз ность хода А интерферирующих волн должна быть равна нечетному числу полуволн: k ~ (2 k + \) (к/2). Как видно из рис. 30.4, оптическая разность хода А = /2п2— / л = (\АВ\ + \ВС\) п2— \AD | щ. Следовательно, условие минимума интенсивность света примет вид (\АВ\+ВС\)п2— \AD \rix= (2&+1) (Х/2). Если угол падения гх будет уменьшаться, стремясь к нулю, то AD-+->0 и \AB\+\BC\-*2d, где d — толщина пленки. В пределе при вх=0 будем иметь A -2dn2-(2 fe + l) (М2), откуда искомая толщина пленки л (2k+l)K 4п Полагая k=0, 1, 2, 3, . . ., получим ряд возможных значений толщины пленки: 4 Т12 = 0,11 мкм; d1= 4/22 -|^- = 3d0 = 0,33 мкм и т. д. Пример 3. На стеклянный клин нормально к его грани падает монохроматический свет с длиной волны Я=0,6 мкм. В возникшей при этом интерференционной картине на отрезке длиной /= 1 см наблюдается 10 полос. Определить преломляющий угол 0 клина. Р е ш е н и е . Параллельный пучок света, падая нормально к грани клина, отражается как от верхней, так и от нижней грани. Эти пучки когерентны, и поэтому наблюдается устойчивая картина интерференции. Так как интерференционные полосы наблюдаются при малых углах клина, то отраженные пучки света 1 и 2 (рис. 30.5) будут практически параллельны. 334 Темные полосы видны на тех участках клина, для которых раз ность хода кратна нечетному числу половины длины волны: A = (2 k+ l) (У2), где k=0, 1, 2, . . . . (1) Разность хода А двух волн складывается из разности оптических длин путей этих волн (2dncosz'2) и половины длины волны (АУ2). Величина Х/2 представляет собой добавочную разность хода, воз никающую при отражении волны от оптически более плотной среды. Подставляя в формулу (1) значение разности хода А, получим 2dkn cos е' + к/2 = (2k + 1) (V2), (2) где п — коэффициент преломления стекла (тг=1,5); dk — толщина клина в том месте, где наблюдается темная полоса, соответствую щая номеру k\ г2 — угол преломления. Согласно условию, угол падения равен нулю, следовательно, и угол преломления г2 равен нулю, a cos е2= 1. Раскрыв скобки в правой части равенства (2), после упрощения получим 2dkn=kX. (3) Пусть произвольной темной полосе номера k соответствует опре деленная толщина клина в этом месте dk, а темной полосе номера k +Ю соответствует толщина клина dk+1Q. Согласно условию за дачи, 10 полос укладываются на отрезке длиной 1=1 см. Тогда ис комый угол (рис. 30.5) будет равен Q= (dk+w— dk)/l, (4) где из-за малости преломляющего угла sin 0 » 0 (угол 0 выражен в радианах). Вычислив dk и dk+ia из формулы (3), подставив их в формулу (4) и произведя преобразования, найдем 0 = 5 У{п1). После вычисления получим 0 = 2 - 10~4 рад. Выразим 0 в градусах. Для этого воспользуемся соотношением между радианом и секундой (см. табл. 6): 1 рад=2,06"-105, т. е. 0 = 2-1О-4. 2,06".105 = 41,2", 335 или в соответствии с общим правилом перевода из радиан в градусы бград = 0 р *д* в = ^ •2• 1 0 - * = 1,15°• 1 0 - 2 = 0 , 6 8 8 ' = 4 1 ,2". Искомый угол равен 41,2". Задачи Интерференция волн от двух когерентных источников 30.1. Сколько длин волн монохроматического света с частотой колебаний v = 5 -1 0 14 Гц уложится на пути длиной /= 1,2 мм: 1) в вакууме; 2) в стекле? 30.2. Определить длину 1г отрезка, на котором укладывается столько же длин волн в вакууме, сколько их укладывается на отрез ке / 2= 3м м в воде. 30.3. Какой длины 1г путь пройдет фронт волны монохромати ческого света в вакууме за то же время, за какое он проходит путь длиной l2= 1 м в воде? 30.4. На пути световой волны, идущей в воздухе, поставили стек лянную пластинку толщиной h= 1 мм. На сколько изменится оп тическая длина пути, если волна падает на пластинку: 1) нормаль но; 2) под углом е=30°? 30.5. На пути монохроматического света с длиной волны %= = 0,6 мкм находится плоскопараллельная стеклянная пластина толщиной d = 0 ,l мм. Свет падает на пластину нормально. На какой угол ср следует повернуть пластину, чтобы оптическая длина пути L изменилась на Х/2? 30.6. товых волн / и I I падают на стек лянную призму с преломляющим уг лом 0=30° и после преломления вы 30.6). Найти оптическую разность хода А преломления их призмой. разность хода А двух интерферирующих волн света равна 0,ЗХ. Определить разность фаз ходят из нее (рис. световых волн после 30.7. Оптическая монохроматического Аф. 30.8. Найти все длины волн видимого света (от 0,76 до 0,38 мкм), которые будут: 1) максимально усилены; 2) максимально ослаблены при оптической разности хода А интерферирующих волн, равной 1,8 мкм. 30.9. Расстояние d между двумя когерентными источниками све та (Х=0,5 мкм) равно 0,1 мм. Расстояние b между интерференцион ными полосами на экране в средней части интерференционной кар тины равно 1 см. Определить расстояние I от источников до экрана. 30.10. Расстояние d между двумя щелями в опыте Юнга равно 1мм, расстояние /отщелей до экрана равно 3 м. Определить длину 336 Д волны к, испускаемой источником монохроматического света, если ширина b полос интерференции на экране равна 1,5 мм. 30.11. В опыте Юнга расстояние d между щелями равно 0,8 мм. На каком расстоянии I от щелей следует расположить экран, что бы ширина b интерференционной полосы оказалась равной 2 мм? 30.12. В опыте с зеркалами Френеля расстояние d между мнимыми изображениями источ ника света равно 0,5 мм, рас стояние / от них до экрана рав но 3 м. Длина волны X—0,6 мкм. Определить ширину Ъ полос ин терференции на экране. 30.13. Источник S света (к= = 0,6 мкм) и плоское зеркало М расположены, как показано на рис. 30.7 (зеркало Ллойда). Что будет наблюдаться в точке Р экрана, где сходятся лучи SP и SM P ,— свет или темнота, если \SP\=r=2 м, а —0,55 мм, |S M |= |M P |? Интерференция света в тонких пленках 30.14. При некотором расположении зеркала Ллойда ширина b интерференционной полосы на экране оказалась равной 1 мм. После того как зеркало сместили параллельно самому себе на рас стояние Ad—0,3 мм, ширина интерференционной полосы изменилась. В каком направлении и на ка кое расстояние А1 следует перемес тить экран, чтобы ширина интерфе1 > ренционной полосы осталась преж ней? Длина волны к монохромати © '1 ческого света равна 0,6 мкм. «я/, ю. плоскопараллельная стек // # Г/ % ^ лянная толщиной d — // у// # я | f —1,2 мкм пластинка fQ D * « и показателем преломления //, '// '/, # # ? - /г—1,5 помещена между двумя средаи ми с показателями преломления Пг и и2 (рис. 30.8). Свет с длиной волны к = 0,6 мкм падает нормально на плаРис. 30.8 стинку. Определить оптическую раз ность хода А волн / и 2, отраженных от верхней и нижней поверхностей пластинки, и указать, усиление или ослабление интенсивности света происходит при интерферен ции в следующих случаях: 1) п1< п < п 2\ 2) п!> п > п 2\ 3) п1< п > п 2\ 4) Я х> п< п2. 30.16. На мыльную пленку (п—1,3), находящуюся в воздухе, падает нормально пучок лучей белого света. При какой наименьшей толщине d пленки отраженный свет с длиной волны ^=0,55 мкм ока жется максимально усиленным в результате интерференции? ® 337 30.17. Пучок монохроматических ( к = 0,6 мкм) световых волн падает под углом е ^ З О 0 на находящуюся в воздухе мыльную плен ку (/г=1,3). При какой наименьшей толщине d пленки отраженные световые волны будут максимально ослаблены интерференцией? максимально усилены? 30.18. На тонкий стеклянный клин (/г= 1,55) падает нормально монохроматический свет. Двугранный угол а между поверхностя ми клина равен 2'. Определить длину световой волны Я, если рас стояние b между смежными интерференционными максимумами в отраженном свете равно 0,3 мм. 30.19. Поверхности стеклянного клина образуют между собой угол 0 = 0 ,2 '. На клин нормально к его поверхности падает пучок лучей монохроматического света с длиной волны А,=0,55 мкм. Оп ределить ширину b интерференционной полосы. 30.20. На тонкий стеклянный клин в направлении нормали к его поверхности падает монохроматический свет (^=600 нм). Оп ределить угол 0 между поверхностями клина, если расстояние b между смежными интерференционными минимумами в отраженном свете равно 4 мм. 30.21 ^ Между двумя плоскопараллельными стеклянными плас тинками положили очень тонкую проволочку, расположенную параллельно линии соприкосновения пластинок и находящуюся на расстоянии 7=75 мм от нее. В отраженном свете (Х=0,5 мкм) на верхней пластинке видны интерференционные полосы. Определить диаметр d поперечного сечения проволочки, если на протяжении <з=30 мм насчитывается т = 16 светлых полос. 30.22. Две плоскопараллельные стеклянные пластинки прило жены одна к другой так, что между ними образовался воздушный клин с углом 0, равным 30". На одну из пластинок падает нормально монохроматический свет (А,=0,6 мкм). На каких расстояниях 1± и /2 от линии соприкосновения пластинок будут наблюдаться в отражен ном свете первая и вторая светлые полосы (интерференционные мак симумы)? 30.23. Две плоскопараллельные стеклянные пластинки образуют клин с углом 0=30". Пространство между пластинками заполнено глицерином. На клин нормально к его поверхности падает пучок монохроматического света с длиной волны 1=500 нм. В отражен ном свете наблюдается интерференционная картина. Какое число N темных интерференционных полос приходится на 1 см длины клина? 30.24. Расстояние Аг^л между вторым и первым темным кольца ми Ньютона в отраженном свете равно 1 мм. Определить расстоя ние Ar10i9 между десятым и девятым кольцами. 30.25. Плосковыпуклая линза выпуклой стороной лежит на стеклянной пластинке. Определить толщину d слоя воздуха там, где в отраженном свете (Х=0,6 мкм) видно первое светлое кольцо Ньютона. 30.26. Диаметр d2 второго светлого кольца Ньютона при наблю дении в отраженном свете (А,=0?6 мкм) равен 132 мм. Определить 338 оптическую силу D плосковыпуклой линзы, взятой для опыта. 30.27. Плосковыпуклая линза с оптической силой Ф = 2 дптр выпуклой стороной лежит на стеклянной пластинке. Радиус г4 четвертого темного кольца Ньютона в проходящем свете равен 0,7 мм. Определить длину световой волны. 30.28. Диаметры dt и dk двух светлых колец Ньютона соответст венно равны 4,0 и 4,8 мм. Порядковые номера колец не определя лись, но известно, что между двумя измеренными кольцами располо жено три светлых кольца. Кольца наблюдались в отраженном свете (^=500 нм). Найти радиус кривизны плосковыпуклой линзы, взя той для опыта. 30.29. Между стеклянной пластинкой и лежащей на ней плосковыпуклой стеклянной линзой налита жидкость, показатель прелом ления которой меньше показателя преломления стекла. Радиус rs восьмого темного кольца Ньютона при наблюдении в отраженном свете (^=700 нм) равен 2 мм. Радиус R кривизны выпуклой поверх ности линзы равен 1 м. Найти показатель преломления п жидкости. 30.30. На установке для наблюдения колец Ньютона был из мерен в отраженном свете радиус третьего темного кольца (k=3). Когда пространство между плоскопараллельной пластиной и лин зой заполнили жидкостью, то тот же радиус стало иметь кольцо с номером, на единицу большим. Определить показатель преломле ния п жидкости. 30.31. В установке для наблюдения колец Ньютона свет с дли ной волны Х=0,5 мкм падает нормально на плосковыпуклую линзу с радиусом кривизны R x= l м, положенную выпуклой стороной на вогнутую поверхность плосковогнутой линзы с радиусом кривизны R 2=2 м. Определить радиус г3 третьего темного кольца Ньютона, наблюдаемого в отраженном свете. 30.32. Кольца Ньютона наблюдаются с помощью двух одинако вых плосковыпуклых линз радиусом R кривизны равным 1м, сло женных вплотную выпуклыми поверхностями (плоские поверхности линз параллельны). Определить радиус г2 второго светлого кольца, наблюдаемого в отраженном свете (Я=660 нм) при нормальном па дении света на поверхность верхней линзы. Интерференционные приборы 30.33. На экране наблюдается интерференционная картина от двух когерентных источников света с длиной волны Я=480 нм. Когда на пути одного из пучков поместили тонкую пластинку из плавле ного кварца с показателем преломления п= 1,46, то интерференци онная картина сместилась на т = 69 полос. Определить толщину d кварцевой пластинки. 30.34. В оба пучка света интерферометра Жамена были помеще ны цилиндрические трубки длиной /= 10 см, закрытые с обоих кон цов плоскопараллельными прозрачными пластинками; воздух из трубок был откачан. При этом наблюдалась интерференционная картина в виде светлых и темных полос. В одну из трубок был впу 339 щен водород, после чего интерференционная картина сместилась на т = 23,7 полосы. Найти показатель преломления п водорода. Дли на волны К света равна 590 нм. 30.35. В интерферометре Жамена две одинаковые трубки дли ной /= 15 см были заполнены воздухом. Показатель преломления Пг воздуха равен 1,000292. Когда в одной из трубок воздух заменили ацетиленом, то интерференционная картина сместилась на т = 80 полос. Определить показатель преломления п2 ацетилена, если в интерферометре использовался источник монохроматического света с длиной волны Х=0,590 мкм. 30.36. Определить перемещение зеркала в интерферометре Майкельсона, если интерференционная картина сместилась на т= = 100 полос. Опыт проводился со светом с длиной волны нм. 30.37. Для измерения показателя преломления аргона в одно из плеч интерферометра Майкельсона поместили пустую стеклян ную трубку длиной /= 12 см с плоскопараллельными торцовыми по верхностями. При заполнении трубки аргоном (при нормальных условиях) интерференционная картина сместилась на т —106 полос. Определить показатель преломления п аргона, если длина волны X света равна 639 нм. 30.38. В интерферометре Майкельсона на пути одного из интерфе рирующих пучков света (А,=590 нм) поместили закрытую с обеих сторон стеклянную трубку длиной /= 1 0 см, откачанную до высокого вакуума. При заполнении трубки хлористым водородом произошло смещение интерференционной картины. Когда хлористый водород был заменен бромистым водородом, смещение интерференционной картины возросло на Д т = 4 2 полосы. Определить разность Ап показателей преломления бромистого и хлористого водорода. § 31. Д И Ф Р А К Ц И Я СВЕТ А Основные формулы • Радиус k-n зоны Френеля: для сферической волны где а — расстояние диафрагмы с круглым отверстием от точечного источника света; b — расстояние диафрагмы от экрана, на котором ведется наблюдение дифракционной картины; k — номер зоны Фре неля; л — длина волны; для плоской волны VWk. • Дифракция света на одной щели при нормальном падении лучей. Условие минимумов интенсивности света pft = asin(p = ± 2k-j= zztkX , k = l , 2, 3, . . . , 340 где а — ширина щели; ср — угол дифракции; k — номер минимума; X — длина волны. Условие максимумов интенсивности света a sin <р'= (2& + l)-g-> k = l, 2, 3, где ср' — приближенное значение угла дифракции. • Дифракция света на дифракционной решетке при нормальном падении лучей. Условие главных максимумов интенсивности d sin ср= ±кХ, k= 0 , 1, 2, 3, . . где d — период (постоянная) решетки; k — номер главного макси мума; ср — угол между нормалью к поверхности решетки и нап равлением дифрагированных волн. • Разрешающая сила дифракционной решетки где АХ — наименьшая разность длин волн двух соседних спектраль ных линий (?i и Ji+AX), при которой эти линии могут быть видны раздельно в спектре, полученном посредством данной решетки; N — число штрихов решетки; k — порядковый номер дифракцион ного максимума. • Угловая дисперсия дифракционной решетки п ф бср k 6А, d cos ср ’ линейная дисперсия дифракционной решетки Для малых углов дифракции Dt w f D y t t f -j, где / — главное фокусное расстояние линзы, собирающей на экра не дифрагирующие волны. Ф Разрешающая сила объектива телескопа р 1 , 22V где р — наименьшее угловое расстояние между двумя светлыми точками, при котором изображения этих точек в фокальной плос кости объектива могут быть видны раздельно; D — диаметр объек тива; X — длина волны. • Формула Вульфа — Брэгга 2 d sin $=kX, где d — расстояние между атомными плоскостями кристалла; *5 — угол скольжения (угол между направлением пучка параллель ных лучей, падающих на кристалл, и гранью кристалла), опре деляющий направление, в котором имеет место зеркальное отраже ние лучей (дифракционный максимум). 341 Примеры решения задач Пример 1. На диафрагму с круглым отверстием радиусом г=1 мм падает нормально параллельный пучок света длиной волны ^=0,05 мкм. На пути лучей, прошедших через отверстие, помещают экран. Определить максимальное расстояние bmax от центра от верстия до экрана, при котором в центре дифракционной картины еще будет наблюдаться темное пят но. Р е ш е н и е . Расстояние, при котором будет видно темное пят но, определяется числом зон Фре неля, укладывающихся в отвер стии. Если число зон четное, то в центре дифракционной картины бу дет темное пятно. Число зон Френеля, помещаю Рис. 31.1 щихся в отверстии, убывает по мере удаления экрана от отверстия. Наименьшее четное число зон равно двум. Следовательно, максимальное расстояние, при котором еще будет наблюдаться темное пятно в центре экрана, определяется условием, согласно которому в отверстии должны поместиться две зоны Френеля. Из рис. 31.1 следует, что расстояние от точки наблюдения О на экране до края отверстия на 2 (к!2) больше, чем расстояние =Ьп По теореме Пифагора получим к' ■к2. = 2АЬп != 'max 2 2 Учтя, что к<^Ьтах и что членом, содержащим к2} можно пренеб речь, последнее равенство перепишем в виде r2= 2kbma„ откуда Ьтах = г2/(2к). Произведя вычисления по последней формуле, найдем ^max 1 М. Пример 2. На щель шириной а= 0,1 мм нормально падает параллельный пучок света от монохроматического источника (к= 0,6 мкм). Определить ширину / центрального максимума в дифракционной картине, проецируемой с помощью линзы, нахо дящейся непосредственно за щелью, на экран, отстоящий от лин зы на расстоянии L= 1 м. Р е ш е н и е . Центральный максимум интенсивности света за нимает область между ближайшими от него справа и слева миниму мами интенсивности. Поэтому ширину центрального максимума интенсивности примем равной расстоянию между этими двумя минимумами интенсивности (рис. 31.2). Минимумы интенсивности света при дифракции от одной щели наблюдаются под углами <р, определяемыми условием 342 a sin ф—± k X f 0) где k — порядок минимума; в нашем случае равен единице. Расстояние между двумя минимумами на экране определим не посредственно по чертежу: l=2L tg ф. Заметив, что при малых уг лах tg фя^ sin ф, перепишем эту формулу в виде Z=2L БШф. (2) Выразим sin ф из формулы (1) и подставим его в равенство (2): l=2Lkk/a. (3) Произведя вычисления по фор муле (3), получим /= 1,2 см. Пример 3. На дифракционную решетку нормально к ее поверх ности падает параллельный пучок света с длиной волны >.=0,5 мкм. Помещенная вблизи решетки лин за проецирует дифракционную картину на плоский экран, удаленный от линзы на L = 1 м. Расстоя ние I между двумя максимумами интенсивности первого порядка, наблюдаемыми на экране, равно 20,2 см (рис. 31.3). Определить: 1) постоянную d дифракционной решетки; 2) число п штрихов на 1 см; 3) число максимумов, которое при этом дает дифракционная решетка; 4) максимальный угол фтах отклонения лучей, соот ветствующих последнему дифракционному максимуму. Р е ш е н и е 1. Постоянная d дифракционной решетки, длина волны X и угол ф отклоне 11 X ния лучей, соответствую тт• Дифракционная щий &-му дифракционному решетка максимуму, связаны соот ношением /|\ dsin Ц)=кХ, (1) где k — порядок спектра, Г Г - * " Y-n или в случае монохрома тического света порядок максимума. „ ff I Экран В данном случае k= 1, Рис. 31.3 sin ф = ^ ф (ввиду того, что Z/2-cL), tg y=(l/2)L (следу ет из рис. 31.3). С учетом последних трех равенств соотношение (1) примет вид откуда постоянная решетки d = 2 LX/1. 343 Подставляя данные, получим d = 4,95 мкм. 2. Число штрихов на 1 см найдем из формулы n= l/d. После подстановки числовых значений получим /г=2,02 •103 см-1. 3. Для определения числа максимумов, даваемых дифракцион ной решеткой, вычислим сначала максимальное значение &тах, исходя из т о г о , что максимальный угол отклонения лучей решеткой не может превышать 90°. Из формулы (1) запишем ^тах = ф. (2) Подставляя сюда значения величин, получим k —9 9 ^шах Число k обязательно должно быть целым. В то же время оно не может принять значение, равное 10, так как при этом значении sin ф должен быть больше единицы, что невозможно. Следователь но, &тах 9. Определим общее число максимумов дифракционной картины, полученной посредством дифракционной решетки. Влево' и вправо от центрального максимума будет наблюдаться по одинаковому числу максимумов, равному &тах, т. е. всего 2&тах. Если учесть также центральный нулевой максимум, получим общее число мак симумов N = 2&гаах + 1. Подставляя значение &тах, найдем N = 2-9+1 = 19. 4. Для определения максимального угла отклонения лучей, соответствующего последнему дифракционному максимуму, выра зим из соотношения (2) синус этого угла: sin<pm ax=£m axVd. Отсюда <Pmax = arcsin (kmaxX/d). Подставив сюда значения величин К, d, /ггаах и произведя вычисления, получим Фшах = 65,4°. Задачи Зоны, Френеля 31.1. Зная формулу радиуса k-й зоны Френеля для сферической волны (pfc = Vabkk/(a + b)), вывести соответствующую формулу для плоской волны. 344 31.2. Вычислить радиус р5 пятой зоны Френеля для плоского волнового фронта (А=0,5 мкм), если построение делается для точки наблюдения, находящейся на расстоянии Ь=1 м от фронта волны. 31.3. Радиус р4 четвертой зоны Френеля для плоского волнового фронта равен 3 мм. Определить радиус р6 шестой зоны Френеля. 31.4. На диафрагму с круглым отверстием диаметром d = 4 мм падает нормально параллельный пучок лучей монохроматического света (к= 0,5 мкм). Точка наблюдения находится на оси отверстия на расстоянии b= 1 м от него. Сколько зон Френеля укладывается в отверстии? Темное или светлое пятно получится в центре дифрак ционной картины, если в месте наблюдений поместить экран? 31.5. Плоская световая волна (А=0,5 мкм) падает нормально на диафрагму с круглым отверстием диаметром 1 см. На каком рас стоянии b от отверстия должна находиться точка наблюдения, что бы отверстие открывало: 1) одну зону Френеля? 2) две зоны Френеля? 31.6. Плоская световая волна падает нормально на диафрагму с круглым отверстием. В результате дифракции в некоторых точках оси отверстия, находящихся на расстояниях biy от его центра, наблю даются максимумы интенсивности. 1. Получить вид функции &= = /(г , К, п), где г — радиус отверстия; к — длина волны; п — чис ло зон Френеля, открываемых для данной точки оси отверстием. 2. Сделать то же самое для точек оси отверстия, в кото рых наблюдаются минимумы интенсивности. 31.7. Плоская световая волна (k= 0J мкм) падает нор мально на диафрагму с круг лым отверстием радиусом г — = 1,4 мм. Определить рас стояния /?х, Ь2, Ьъ от диафраг Рис. 31.4 мы до трех наиболее удален ных от нее точек, в которых наблюдаются минимумы интенсив ности . 31.8. Точечный источник S света (А=0,5 мкм), плоская диафрагма с круглым отверстием радиусом r= 1 мм и экран расположены, как это указано на рис. 31.4 (а= 1 м). Определить расстояние b от экра на до диафрагмы, при котором отверстие открывало бы для точки Р три зоны Френеля. 31.9. Как изменится интенсивность в точке Р (см. задачу 31.8), если убрать диафрагму? Дифракция на щели. Дифракционная решетка 31.10. На щель шириной а= 0,05 мм падает нормально монохро матический свет (А,= 0,6 мкм). Определить угол ср между первоначаль ным направлением пучка света и направлением на четвертую тем ную дифракционную полосу. 345 31.11. На узкую щель падает нормально монохроматический свет. Угол ф отклонения пучков света, соответствующих второй светлой дифракционной полосе, равен 1°. Скольким длинам волн падающего света равна ширина щели? 31.12. На щель шириной а = 0,1 мм падает нормально монохрома тический свет (^=0,5 мкм). За щелью помещена собирающая лин за, в фокальной плоскости которой находится экран. Что будет на блюдаться на экране, если угол ф дифракции равен: 1) 17'; 2) 43'. 31.13. Сколько штрихов на каждый миллиметр содержит диф ракционная решетка, если при наблюдении в монохроматическом свете (^=0,6 мкм) максимум пятого порядка отклонен на угол ф = = 18°? 31.14. На дифракционную решетку, содержащую /г = 100 штри хов на 1 мм, падает нормально монохроматический свет. Зритель ная труба спектрометра наведена на максимум третьего порядка. Чтобы навести трубу на другой максимум того же порядка, ее нужно повернуть на угол Дф=20°. Определить длину волны К света. 31.15. Дифракционная решетка освещена нормально падающим монохроматическим светом. В дифракционной картине максимум второго порядка отлонен на угол ф1=14°. На какой угол ф2 откло нен максимум третьего порядка? 31.16. Дифракционная решетка содержит п = 200 штрихов на 1 мм. На решетку падает нормально монохроматический свет (Я=0,6 мкм). Максимум какого наибольшего порядка дает эта решетка? 31.17. На дифракционную решетку, содержащую п = 400 штри хов на 1 мм, падает нормально монохроматический свет (Х=0,6мкм). Найти общее число дифракционных максимумов, которые дает эта решетка. Определить угол ф дифракции, соответствующий послед нему максимуму. 31.18. При освещении дифракционной решетки белым светом спектры второго и третьего порядков отчасти перекрывают друг друга. На какую длину волны в спектре второго порядка наклады вается фиолетовая граница (А,=0,4 мкм) спектра третьего порядка? 31.19. На дифракционную решетку, содержащую /г=500 штри хов на 1 мм, падает в направлении нормали к ее поверхности белый свет. Спектр проецируется помещенной вблизи решетки линзой на экран. Определить ширину b спектра первого порядка на экране, если расстояние L линзы до экрана равно 3 м. Границы видимости спектра Якр=780 нм, Яф=400 нм. 31.20. На дифракционную решетку с периодом d= 10 мкм под углом а= 30° падает монохроматический свет с длиной волны 1=600 нм. Определить угол ф дифракции, соответствующий вто рому главному максимуму. 31.21. Дифракционная картина получена с помощью дифрак ционной решетки длиной 1= 1,5 см и периодом d = 5 мкм. Определить, в спектре какого наименьшего порядка этой картины получатся раздельные изображения двух спектральных линий с разностью 346 длин волн АЛ,=0,1 нм, если линии лежат в крайней красной части спектра ( ^ 7 6 0 нм). 31.22. Какой наименьшей разрешающей силой R должна обла дать дифракционная решетка, чтобы с ее помощью можно было раз решить две спектральные линии калия (^= 5 7 8 нм и Я2=580 нм)? Какое наименьшее число N штрихов должна иметь эта решетка, чтобы разрешение было возможно в спектре второго порядка? 31.23. С помощью дифракционной решетки с периодом d = 20 мкм требуется разрешить дублет натрия (^= 5 8 9 ,0 нм и Я2=589,6 нм) в спектре второго порядка. При какой наименьшей длине I решетки это возможно? 31.24. Угловая дисперсия дифракционной решетки для излу чения некоторой длины волны (при малых углах дифракции) сос тавляет 5 мин/нм. Определить разрешающую силу R этой решетки для излучения той же длины волны, если длина I решетки равна 2 см. 31.25. Определить угловую дисперсию £)ф дифракционной решет ки для угла дифракции ф=30° и длины волны Я=600 нм. Ответ вы разить в единицах СИ и в минутах на нанометр. 31.23. На дифракционную решетку, содержащую п=500 штри хов на 1 мм, падает нормально монохроматический свет с длиной волны Х=700 нм. За решеткой помещена собирающая линза с глав ным фокусным расстоянием /= 5 0 см. В фокальной плоскости линзы расположен экран. Определить линейную дисперсию D t такой сис темы для максимума третьего порядка. Ответ выразить в милли метрах на нанометр. 31.27. Нормально поверхности дифракционной решетки падает пучок света. За решеткой помещена собирающая линза с оптичес кой силой Ф =1 дптр. В фокальной плоскости линзы расположен экран. Определить число п штрихов на 1 мм этой решетки, если при малых углах дифракции линейная дисперсия Dt = 1 мм/нм. 31.28. На дифракционную решетку нормально ее поверхности падает монохроматический свет (^=650 нм). За решеткой находится линза, в фокальной плоскости которой расположен экран. На экра не наблюдается дифракционная картина под углом дифракции ср= = 30°. При каком главном фокусном расстоянии / линзы линейная дисперсия D 1=0,5 мм/нм? Дифракция на кристаллической решетке 31.29. На грань кристалла каменной соли падает параллельный пучок рентгеновского излучения (Х= 147 пм). Определить расстоя ние d между атомными плоскостями кристалла, если дифракционный максимум второго порядка наблюдается, когда излучение падает под углом '3=31°30' к поверхности кристалла. 31.30. Какова длина волны %монохроматического рентгеновского излучения, падающего на кристалл кальцита, если дифракционный максимум первого порядка наблюдается, когда угол •& между на правлением падающего излучения и гранью кристалла равен 3°? 347 Расстояние d между атомными плоскостями кристалла принять рав ным 0,3 нм. 31.31. Параллельный пучок рентгеновского излучения падает на грань кристалла. Под углом й=65° к плоскости грани наблю дается максимум первого порядка. Расстояние d между атомными плоскостями кристалла 280 пм. Определить длину волны К рентге новского излучения. Разрешающая сила объектива телескопа 31.32. Диаметр D объектива телескопа равен 8 см. Каково на именьшее угловое расстояние |5 между двумя звездами, дифракцион ные изображения которых в фокальной плоскости объектива по лучаются раздельными? При малой освещенности глаз человека наиболее чувствителен к свету с длиной волны Я=0,5 мкм. 31.33. На шпиле высотного здания укреплены одна под другой две красные лампы (Я=640 нм). Расстояние d между лампами 20 см. Здание рассматривают ночью в телескоп с расстояния r = 15 км. Определить наименьший диаметр Dmm объектива, при котором в его фокальнбй плоскости получатся раздельные дифракционные изображения. § 32. ПОЛЯРИЗАЦИЯ СВЕТА Основные формулы • Закон Брюстера tg ев = л21, где ев — угол падения, при котором отраженная световая волна полностью поляризована; п21 — относительный показатель преломления. • Закон Малюса I = I 0 cos2cx, где I — интенсивность плоскополяризованного света, прошедшего через анализатор; / 0 — интенсивность плоскополяризованного све та, падающего на анализатора — угол между направлением колеба ний светового вектора волны, падающей на анализатор, и плоско стью пропускания анализатора. Ф Степень поляризации света р _Imax' ^max Лпш Jm in * где Апах и / min — максимальная и минимальная интенсивности частично поляризованного света, пропускаемого анализатором. • Угол поворота ср плоскости поляризации оптически актив ными веществами определяется соотношениями: а) в твердых телах cp^cxd, где а — постоянная вращения; d — длина пути, пройденного светом в оптически активном веществе; 348 б) в чистых жидкостях ф =[ос]рd, где [а] — удельное вращение; р — плотность жидкости; в) в растворах y=[a]Cd , где С — массовая концентрация опти чески активного вещества в растворе. Примеры решения задач Пример 1. Пучок естественного света падает на полированную поверхность стеклянной пластины, погруженной в жидкость. Отра женный от пластины пучок света составляет угол ф=97° с падаю щим пучком (рис. 32.1). Определить показатель преломления гг жидкости, если отраженный свет полностью по ляризован. Решение. Согласно закону Брюстера, свет, отраженный от ди электрика, полностью поляризован в том случае, если тангенс угла паде ния ^1В = ^21» где л 2i — относительный показатель преломления второй среды (стекла) относительно первой (жидкости). Относительный показатель преломления равен отношению аб солютных показателей преломления этих сред. Следовательно2 tg е1В= га2/п1. Согласно условию задачи, отраженный луч повернут на угол ф от носительно падающего луча. Так как угол падения равен углу отра жения, то е1в=ф/2 и, следовательно, t g ((p!2)=n2/n1} откуда пг ~ tg (ф/2) • Сделав подстановку числовых значений, получим лгх= 1,33. Пример 2. Два николя N i и АТ расположены так, что угол а между их плоскостями пропускания равен 60°. Определить: 1) во сколько раз уменьшится интенсивность света при прохождении че рез один николь (АТ); 2) во сколько раз уменьшится интенсивность света при прохождении через оба николя? При прохождении каждо го из николей потери на отражение и поглощение света составляют 5 %. Р е ш е н и е 1. Пучок естественного света, падая на грань ни коля АТ (рис. 32.2), расщепляется вследствие двойного лучепрелом ления на два пучка: обыкновенный и необыкновенный. Оба пучка одинаковы по интенсивности и полностью поляризованы. Плоскость колебаний для необыкновенного пучка лежит в плоскости чертежа (плоскость главного сечения). Плоскость колебаний для обыкновен 349 ного пучка перпендикулярна плоскости чертежа. Обыкновенный пучок (о) вследствие полного отражения от границы АВ отбрасы вается на зачерненную поверхность призмы и поглощается ею. Необыкновенный пучок {ё) проходит через николь. При этом интен сивность света уменьшается вследствие поглощения в веществе николя. Естественный 1 y~k)2cos2oc Рис. 32.2 Таким образом, интенсивность света, прошедшего через николь Nu / i = V 2 /о ( 1 - й ) , где k = 0,05— относительная потеря интенсивности света в николе; / о — интенсивность естественного света, падающего на николь Ыг. Относительное уменьшение интенсивности света получим, разде лив интенсивность / 0 естественного света на интенсивность 1г по ляризованного света: /о ______/о __ ^ / 1\ h к4 Подставив числовые значения, найдем / 0/ / 1=2,Ю . Таким образом, интенсивность света при прохождении через николь Ni уменьшается в 2,10 раза. 2. Пучок плоскополяризованного света интенсивности If падает на николь N 2и также расщепляется на обыкновенный и необыкновен ный. Обыкновенный пучок полностью поглощается в николе, а ин тенсивность необыкновенного пучка света, вышедшего из николя, определяется законом Малюса (без учета поглощения в этом николе): 12 ==Ii cos2 а, где а — угол между плоскостью колебаний в поляризованном пучке и плоскостью пропускания николя N 2. Учитывая потери интенсивности во втором николе, получим / 2= / 1(1—k) cos2 а . Искомое уменьшение интенсивности при прохождении света че рез оба николя найдем, разделив интенсивность / 0 естественного света на интенсивность / 2 света, прошедшего систему из двух николей: /о /о /2 350 1\ (1 — Щ cos2 а ’ Заменив I 0/Ii его выражением по формуле (1), получим /о _ 2 /2 (1 — &)2 cos2a* Подставив данные, произведем вычисления: ^ = 8 ,86 . *2 Таким образом, после прохождения света через два николя интен сивность его уменьшится в 8,86 раза. Пример 3. Пучок частично-поляризованного света рассматри вается через николь. Первоначально николь установлен так, что его плоскость пропускания параллельна плоскости колебаний линейнополяризованного света. При повороте николя на угол ф=60° интен сивность пропускаемого им света уменьшилась в k=2 раза. Опреде лить отношение / е/ / п интенсивностей естественного и линейно-поля ризованного света, составляющих данный частично-поляризован ный свет, а также степень поляризации Р пучка света. Р е ш е н и е . Отношение интенсивности 1 е естественного света к интенсивности / п поляризованного света найдем из следующих сооб ражений. При первоначальном положении николя он полностью пропустит линейно-поляризованный свет и половину интенсивности естественного света. Общая интенсивность пропущенного при этом света Л = Ai + % /JeПри втором положении николя интенсивность пропущенного по ляризованного света определится по закону Малюса, а интенсив ность пропущенного естественного света, как и в первом случае, будет равна половине интенсивности естественного света, падающего на николь. Общая интенсивность во втором случае / 2- / п COS2 ф + ги е. В соответствии с условием задачи /i= & /2, или e — k(In cos2 Ф + е)• Подставив сюда значение угла ф, k и произведя вычисления, по лучим ~ ^ > ИЛИ 1 £ / п, т. е. интенсивности естественного и поляризованного света в задан ном пучке равны между собой. Степень поляризации частично-поляризованного света определя ется соотношением Р = (Лпах — I m in)/(^ шах + ^ min)» 0 ) гДе Лпах и / min — соответственно максимальная и минимальная ин тенсивности света, пропущенного через николь. Максимальная интенсивность / ma x = J i = A i + или, учи тывая, что / е= / п, и/ max —3/ / 2 х1п* 351 Минимальная интенсивность соответствует положению николя, при котором плоскость пропускания его перпендикулярна плоско сти колебаний линейно-поляризованного света. При таком положе нии николя поляризованный свет будет полностью погашен и через николь пройдет только половина интенсивности естественного света. Общая интенсивность выразится равенством / е = х/ 1I mm —V / 2Л / 2Л/п* Подставив найденные выражения / тах и / min в формулу (1), получим n *V2^П "V2^П 1 3/2/n + 1/2/n~ ^ в Следовательно, степень поляризации пучка света Р = 1/2. Пример 4. Пластинка кварца толщиной ^ = 1 мм, вырезанная перпендикулярно оптической оси кристалла, поворачивает пло скость поляризации монохроматического света определенной длины волны на угол cpi=20°. Определить: 1) какова должна быть толщина d2 кварцевой пластинки, помещенной между двумя «параллельными» николями, чтобы свет был полностью погашен; 2) какой длины I труб ку с раствором сахара массовой концентрацией С =0,4 кг/л надо поместить между николями для получения того же эффекта? Удель ное вращение [а] раствора сахара равно 0,665 град/(м-кг *м~3). Р е ш е н и е . 1. Угол поворота плоскости поляризации кварце вой пластинкой определяется соотношением Ц)=ас1. Пользуясь этой формулой, выразим искомую толщину d 2 пла стинки: da=(р2/«, (1) где ср2 — угол поворота плоскости поляризации, при котором свет будет полностью погашен (ср2=90о). Постоянную вращения а для кварца найдем также из формулы ср=аd, подставив в нее заданные в условии задачи значения dx и cpi: a^cpx/di. Подставив это выражение а в формулу (1), получим d2= (cpaApi)di. Произведя вычисления по этой формуле, найдем толщину пла стинки: d 2= 4 ,5 мм. 2. Длину трубки с сахарным раствором найдем из соотношения ср2= [oc]Cd, выражающего угол поворота плоскости поляризации рас твором сахара, где d — толщина раствора сахара (принимается рав ной длине I трубки). Отсюда получим /= Ф 2/ (Ы С). Подставив сюда значения ср2, [а], С =0,4 кг/л=400 кг/м3 и произ ведя вычисления, найдем /= 3 ,8 дм. 352 Задачи Закон Брюстера. Закон Малюса 32.1. Пучок света, идущий в воздухе, падает на поверхность жидкости под углом 81=54°. Определить угол преломления г'2 пуч ка, если отраженный пучок полностью поляризован. 32.2. На какой угловой высоте ср над горизонтом должно нахо диться Солнце, чтобы солнечный свет, отраженный от поверхности воды, был полностью поляризован? 32.3. Пучок естественного света, идущий в воде, отражается от грани алмаза, погруженного в воду. При каком угле падения ев отраженный свет полностью поляризован? 32.4. Угол Брюстера ев при падении света из воздуха на кристалл каменной соли равен 57°. Определить скорость света в этом кристал ле. 32.5. Предельный угол полного отражения пучка света на гра нице жидкости с воздухом равен 43°. Определить угол Брюстера ев для падения луча из воздуха на поверхность этой жидкости. 32.6. Пучок естественного света падает на стеклянную (п— 1,6) призму (рис. 32.3). Определить двугранный угол 0 призмы, если отраженный пучок максимально поляризован. 32.7. Алмазная призма находится в некоторой среде с показа телем преломления /гх. Пучок естественного света падает на призму так, как это показано на рис. 32.4. Определить показатель прелом ления пг среды, если отраженный пучок максимально поляризован; 32.8. Параллельный пучок естественного света падает на сфери ческую каплю воды. Найти угол ср между отраженным и падающим пучками в точке А (рис. 32.5). 32.9. Пучок естественного света падает на стеклянный шар (п= 1,54). Найти угол у между преломленным и падающим пучками в точке А (рис. 32.6). 32.10. Пучок естественного света падает на стеклянный шар, находящийся в воде. Найти угол ср между отраженным и падающим пучками в точке А (рис. 32.7). Показатель преломления п стекла принять равным 1,58. 12 № 1268 353 32.11. Анализатор в k=2 раза уменьшает интенсивность света, приходящего к нему от поляризатора. Определить угол а между плоскостями пропускания поляризатора и анализатора. Потерями интенсивности света в анализаторе пренебречь. 32.12. Угол а между плоскостями пропускания поляризатора и анализатора равен 45°. Во сколько раз уменьшится интенсивность света, выходящего из анализатора, если угол увеличить до 60°? 32.13. Во сколько раз ослабляется интенсивность света, прохо дящего через два николя, плоскости пропускания которых образуют угол а =30°, если в каждом из николей в отдельности теряется 10 % интенсив ности падающего на него света? 32.14. рассматривают две половины поля зрения: в одной видна эталонная све тящаяся поверхность с яркостью = 5 ккд/м2, в другой — испытуемая поверхность, свет от которой прохо дит через два николя. Граница меж ду обеими половинами поля зрения Рис. 32.7 исчезает, если второй николь повер нуть относительно первого на угол а =45°. Найти яркость Ь 2 испытуемой поверхности, если извест но, что в каждом из николей интенсивность падающего на него све та уменьшается на 8 %. Степень поляризации света 32.15. В частично-поляризованном свете амплитуда светового вектора, соответствующая максимальной интенсивности света, в п = 2 раза больше амплитуды, соответствующей минимальной ин тенсивности. Определить степень поляризации Р света. 32.16. Степень поляризации Р частично-поляризованного света 354 равна 0,5. Во сколько раз отличается максимальная интенсивность света, пропускаемого через анализатор, от минимальной? 32.17. На пути частично-поляризованного света, степень поля ризации Р которого равна 0,6, поставили анализатор так, что интен сивность света, прошедшего через него, стала максимальной. Во сколько раз уменьшится интенсивность света, если плоскость пропускания анализатора повернуть на угол сх=30°? 32.18. На николь падает пучок частично-поляризованного света. При некотором положении николя интенсивность света, прошедшего через него, стала минимальной. Когда плоскость пропускания нико ля повернули на угол |5=45°, интенсивность света возросла в k= = 1,5 раза. Определить степень поляризации Р света. Вращение плоскости поляризации 32.19. Пластинку кварца толщиной d±= 2 мм, вырезанную перпен дикулярно оптической оси, поместили между параллельными Нико лями, в результате чего плоскость поляризации света повернулась на угол ср=-53°. Определить толщину d%пластинки, при которой данный монохроматический свет не проходит через анализатор. 32.20. Никотин (чистая жидкость), содержащийся в стеклянной трубке длиной d = 8 см, поворачивает плоскость поляризации жел того света натрия на угол ф=137°. Плотность никотина р = 1,01 X Х103 кг/м3. Определить удельное вращение [а] никотина. 32.21. Раствор глюкозы с массовой концентрацией Ci=280 кг/м3, содержащийся в стеклянной трубке, поворачивает плоскость поляри зации монохроматического света, проходящего через этот раствор, на угол cpi=32°. Определить массовую концентрацию С2 глюкозы в другом растворе, налитом в трубку такой же длины, если он пово рачивает плоскость поляризации на угол ср2=24°. 32.22. Угол ср поворота плоскости поляризации желтого света натрия при прохождении через трубку с раствором сахара равен 40°. Длина трубки d= 15 см. Удельное вращение [а] сахара равно 1,17 X X 10“ 2 рад*м3/(м*кг). Определить плотность р раствора. § 33. ОПТИКА ДВИЖУЩИХСЯ ТЕЛ Основные формулы • Эффект Доплера в релятивистском случае |/ТИ р2 v “ v° 1+ р cos d ’ где v — частота электромагнитного излучения, воспринимаемого наблюдателем; v0 — собственная частота электромагнитного излуче ния, испускаемого неподвижным источником; $=v/c — скорость ис точника электромагнитного излучения относительно наблюдателя; с — скорость распространения электромагнитного излучения в ва кууме; — угол между вектором v и направлением наблюдения, измеренный в системе отсчета, связанной с наблюдателем. 12* 355 При движении источника вдоль прямой, соединяющей наблюда теля и источник, возможны два случая: а) источник удаляется от наблюдателя ({>=0) v = v0K ( l — Р)/(1 + Р), б) источник приближается к наблюдателю (д = я ) v = v0K (l + P )/(l-P ). • Эффект Доплера в нерелятивистском случае где Av — изменение частоты (Av=v—v0). • Эффект Вавилова — Черенкова. При движении заряжен ной частицы в некоторой среде со скоростью и, больше фазовой скорости света в данной среде, возникает излучение света. Свет этот распространяется по направлениям, составляющим острый угол •&с траекторией частицы, т."е. вдоль образующих конуса, ось кото рого совпадает с направлением скорости частицы. Угол •&определя ется из соотношения cos b = v /(пс)у или cos Ф= 1/(pn), где п — показатель преломления среды, в котором движется заря женная частица. Примеры решения задач Пример 1. Источник монохроматического света с длиной волны Х0=600 нм движется по направлению к наблюдателю со скоростью у=0,1 с (с — скорость распространения электромагнитных волн). Определить длину волны к излучения, которую зарегистрирует спектральный прибор наблюдателя. Р е ш е н и е . В системе отсчета, связанной с наблюдателем, спектральный прибор зарегистрирует электромагнитное излучение частоты v = v0K l — P2/(l + PCOS-&), (1) где v0 — собственная частота монохроматического излучения источ ника; §=v!c\ ft— угол между вектором v и направлением наблюде ния, измеренный в системе отсчета, связанной с наблюдателем. Выразим частоты v и v0 через длины волн к и к0 :v=c/k и v0= —с/к0. Заметив, что в нашем случае $= Jt(co s$ ——1), перепишем формулу (1) с учетом последних соотношений: 1 _ 1 ]/Т1Гр2 к А<о 1—13 9 откуда к = к $ у г (1—Р)/(1 +|3). Подставим значения р (Э=и/с=0,1) и к0 в полученное выражение и произведем вычисления: к=542 нм. 356 Пример 2. Каким минимальным импульсом рт{п (в единицах МэВ/с) должен обладать электрон, чтобы эффект Вавилова — Черенкова можно было наблюдать в воде? Р е ш е н и е . Эффект Вавилова— Черенкова состоит в излуче нии света, возникающем при движении в веществе заряженных частиц со скоростью и, превышающей скорость распространения световых волн (фазовую скорость) в этой среде. Так как фазовая скорость света v$=c/n (с — скорость распространения электромаг нитного излучения в вакууме; п — показатель преломления среды), то условием возникновения эффекта Вавилова — Черенкова явля ется у> уф, или v>c/n. Обычно это условие записывают иначе, учитывая, что $=vlc: ря> 1. (1) Поскольку черенковское излучение'наблюдается для релятивист ских частиц, то запишем сначала выражение для релятивистского импульса: p = mv = m0v lV 1— Р2, или р = т0ф1У 1— р2, где учтено, что v=$c. Минимальному импульсу соответствует минимальное значение Pmin> которое находим из условия (1): Pmin~ 1/^* Тогда минимальное значение импульса Pmm = fn0clV n 2— 1. (2) Вычисления выполним во внесистемных единицах — МэВ 1с (с —■ скорость распространения электромагнитного излучения). Для этого поступим следующим образом. Известно, что т0с2= 0,511 МэВ, от сюда запишем т0с= 0,511 МэВ!с. Подставив в (2) /г= 1,33 и най денное значение т0с, произведем вычисления: Апт= 0|583 МэВ /с. Задачи Эффект Доплера 33.1. При какой предельной скорости v (в долях скорости света) источника можно вместо релятивистской формулы v = = v0V (1— р)/(1+Р) для эффекта Доплера пользоваться прибли женным выражением v ^ v 0(l—р), если погрешность в определении частоты не должна превышать 1 %? 33.2. Для определения угловой скорости вращения солнечного диска измеряли относительный сдвиг ААЛ, спектральных линий от восточного и западного краев Солнца. Он оказался равным 1,5-10“ -. Определить угловую скорость со вращения солнечного диска. Радиус R Солнца считать известным. 33.3. Космический корабль удаляется от Земли со скоростью v= = 10 км/с. Частота v0 электромагнитных волн, излучаемых антенной 357 корабля, равна 30 МГц. Определить доплеровское смещение Av частоты, воспринимаемой приемником. 33.4. При изучении спектра излучения некоторой туманности линия излучения водорода (Ха =656,3 нм) оказалась смещенной на ДА,=2,5 нм в область с большей длиной волны (красное смещение). Найти скорость v движения туманности относительно Земли и ука зать, удаляется она от Земли или приближается к ней. 33.5. Определить обусловленное эффектом Доплера уширение АХ/Х спектральных линий излучения атомарного водорода, находя щегося при температуре Т=300 К. 33.6. В результате эффекта Доплера происходит уширение ли ний у-излучения ядер. Оценить уширение Av/v линий у-излучення ядер кобальта, находящихся при температуре: 1) комнатной (Г = =290 К); 2) ядерного взрыва (Т=Ю МК). 33.7. Два космических корабля движутся вдоль одной прямой. Скорости и v2 их в некоторой инерциальной системе отсчета соот ветственно 12 и 8 км/с. Определить частоту v сигнала электромаг нитных волн, воспринимаемых вторым космическим кораблем, если антенна первого корабля излучает электромагнитные волны ча стотой v0—1 МГц. Рассмотреть следующие случаи: 1) космические корабли движутся навстречу друг другу; 2) космические корабли удаляются друг от друга в противоположных направлениях; 3) пер вый космический корабль нагоняет второй; 4) первый космический корабль удаляется от второго, движущегося в том же направлении. 33.8. Монохроматический свет с длиной волны Я=600 нм падает на быстро вращающиеся в противоположных направлениях зеркала (опыт А. А. Белопольского). После N = 10 отражений от зеркал пу чок света попадает в спектрограф. Определить изменение АХ длины волны света, падающего на зеркала нормально их поверхности. Ли нейная скорость v зеркал равна 0,67 км/с. Рассмотреть два случая, когда свет отражается от зеркал: 1) движущихся навстречу одно дру гому; 2) удаляющихся одно от другого. 33.9. Плоское зеркало удаляется от наблюдателя со скоростью v вдоль нормали к плоскости зеркала. На зеркало посылается пучок света длиной волны Я0=500 нм. Определить длину волны X света, отраженного от зеркала, движущегося со скоростью: 1) 0,2с (с — скорость в вакууме); 2) 9 км/с. 33.10. Приемник радиолокатора регистрирует частоты биений между частотой сигнала, посылаемого передатчиком, и частотой сиг нала, отраженного от движущегося объекта. Определить скорость v приближающейся по направлению к локатору ракеты, если он рабо тает на частоту v0=600 МГц и частота v* биений равна 4 кГц. 33.11. Рассказывают, что известный физик Роберт Вуд, проехав однажды на автомашине на красный свет светофора, был остановлен блюстителем порядка. Роберт Вуд, сославшись на эффект Доплера, уверял, что он ехал достаточно быстро и красный свет светофора для него изменился на зеленый. Оценить скорость и, с которой должна была бы двигаться автомашина, чтобы красный сигнал светофора (^ = 6 5 0 нм) воспринимался как зеленый (^2==550 нм). 358 33.12. Длины волн излучения релятивистских атомов, движу щихся по направлению к наблюдателю,оказались в два раза меньше, чем соответствующие длины волн нерелятивистских атомов. Опре делить скорость v (в долях ско рости света) релятивистских атоtr MOB. 33.13. Наиболее короткая длина волны в спектре излу чения водорода равна 410 нм. С какой скоростью v должно уда ляться от нас скопление атомов водорода, чтобы их излучение оказалось вследствие эффекта Доплера за пределами видимой части спектра. Граница видимой Рис. 33.1 части спектра соответствует дли не волны Я2=760 н м . 33.14. На некотором расстоянии I от наблюдателя (рис. 33.1) прямолинейно со скоростью и=0,6 с движется источник радиоизлу чения, собственная частота v0 которого равна 4 ГГц. В каких пре делах изменяется частота v сигнала, воспринимаемого наблюдате лем, если наблюдение ведется в течение всего времени движения ис точника из положения 1 в положение 2? Углы указаны в системе отсчета, связанной с наблюдателем. Эффект Вавилова— Черенкова 33.15. Какой наименьшей скоростью v должен обладать электрон, чтобы в среде с показателем преломления п= 1,60 возникло черенковское излучение? 33.16. При какой скорости v электронов (в долях скорости света) черенковское излучение происходит в среде с показателем преломле ния /г= 1,80 под углом й = 2 0 о к направлению их движения? 33.17. Найти наименьшую ускоряющую разность потенциалов которую должен пройти электрон, чтобы в среде с показа телем преломления /г= 1,50 возникло черенковское излучение. 33.18. Известно, что быстрые частицы, входящие в состав кос мического излучения, могут вызывать эффект Вавилова — Черенко ва в воздухе (п= 1,00029). Считая, что такими частицами являются электроны, определить их минимальную кинетическую энергию. 33.19. Электрон с кинетической энергией Г=0,51 МэВ движется в воде. Определить угол О, составляемый черенковским излучением с направлением движения электрона. 33.20. Импульс релятивистского электрона равен т0с. При каком минимальном показателе преломления nmin среды уже можно наб людать эффект Вавилова — Черенкова? 33.21. Мю- и пи-мезоны имеют одинаковые импульсы р = = 100 МэВ!с. В каких пределах должен быть заключен показатель преломления п среды, чтобы для р,-мезонов черенковское излучение наблюдалось, а для я-мезонов — нет. ГЛАВА 7 КВАНТОВООПТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ. ФИЗИКА АТОМА § 34. ЗАКОНЫ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ Основные формулы • Закон Стефана — Больцмана М е= о Т 4, где М е — энергетическая светимость черного тела; Т — термоди намическая температура; о — постоянная Стефана — Больцмана [сг=5,67 -10-8 Вт/ (м2*К4)]. • Энергетическая светимость серого тела М е=гаТх, где е — коэффициент теплового излучения (степень черноты) серого тела. • Закон смещения Вина =ыт, где Ят — длина волны, на которую приходится максимум энергии излучения; 6 — постоянная закона смещения Вина (6= 2,90Х X 10_3 м-К). • Формула Планка Л/, М КТ 2л he2 1 еЛс/(ААГ)_1 > _ &С03 1 М ®.Т —4я2с2 еПоо/(*Г)_1 ’ где Мх, Ту А1(0_т — спектральные плотности энергетической свети мости черного тела; %— длина волны; <в — круговая частота; с— скорость света в вакууме; k — постоянная Больцмана; Т — термо динамическая температура; h — постоянная Планка; %=h/(2п) — постоянная Планка, деленная на 2я *. • Зависимость максимальной спектральной плотности энерге тической светимости от температуры (Мя,г)тах = СГ3, где С — постоянная [С=1,30-10_? Вт/(м3-К5)1. * Первоначально постоянной Планка называлась величина h —6,63Х Х 10“ 34 Дж-с. Позднее постоянной Планка стали называть также величину 7i=h!(2n)= 1,05*10~34 Дж*с. При дальнейшем изложении в данном пособии все больше будет отдаваться предпочтение величине %. 360 Примеры решения задач Пример 1. Исследование спектра излучения Солнца показы вает, что максимум спектральной плотности энергетической све тимости соответствует длине волны А=500нм. Принимая Солнце за черное тело, определить: 1) энергетическую светимость Ме Солнца; 2) поток энергии Ф е, излучаемый Солнцем; 3) массу т электромаг нитных волн (всех длин), излучаемых Солнцем за 1 с. Р е ш е н и е . 1. Энергетическая светимость М е черного тела выражается формулой Стефана — Больцмана М е=оТК (1) Температура излучающейповерхности может быть определена из закона смещения Вина:Хт=ЫТ.Выразив отсюда температуру Т и подставив ее в формулу (1), получим М е=о(ЬХшу. (2) Произведя вычисления по формуле (2), найдем М е=64 МВт/м2. 2. Поток энергии Ф е, излучаемый Солнцем, равен произведению энергетической светимости Солнца на площадь S его поверхности: O e= M eS , или Фе=4зтг2М е, (3) где г — радиус Солнца. Подставив в формулу (3) значения я, г и М е и произведя вычис ления, получим Фе=3,9-1026 Вт. 3. Массу электромагнитных волн (всех длин), излучаемых Солн цем за время t= l с, определим, применив закон пропорциональ ности массы и энергии Е=пгс2. Энергия электромагнитных волн, излучаемых за время t, равна произведению потока энергии Ф (мощ ности излучения) на время: Е= Фt. Следовательно,Фе=тс2уоткуда т=Фе/с2. Произведя вычисления по этой формуле, найдем т = 4,3 •109 кг. Пример 2. Длина волны Ат , на которую приходится максимум энергии в спектре излучения черного тела, равна 0,58 мкм. Опре делить максимальную спектральную плотность энергетической светимости (M%t 7)max, рассчитанную на интервал длин волн ДА— = 1 нм, вблизи Ат . Р е ш е н и е . Максимальная спектральная плотность энергети ческой светимости пропорциональна пятой степени температуры Кельвина и выражается формулой (МЫшах = СЛ>. (1) Температуру Т выразим из закона смещения Вина АШ=ЫТ, откуда Г=Ь/Ат . 361 Подставив полученное выражение температуры в формулу (1), найдем (Мкт)та^ С ( Ь /Х ту. В табл. 24 значение С дано в единицах СИ, в которых единичный интервал длин волн ДЯ=1 м. По условию же задачи требуется вы числить спектральную плотность энергетической светимости, рас считанную на интервал длин волн 1 нм, поэтому выпишем значение С в единицах СИ и пересчитаем его на заданный интервал длин волн: С = 1,30-10-5 Вт/(м3-К5) = 1,30*10-5 Вт/(м2•м •К5) — = 1,30-10~14 Вт/(м2*нм*К5). Вычисление по формуле (2) дает (Сь Г ) т а х = 40,6 кВт/(МНМ). Задачи Закон Стефана—Больцмана 34.1. Определить температуру Т, при которой энергетическая светимость М е черного тела равна 10 кВт/м2 . 34.2. Поток энергии Ф е, излучаемый из смотрового окошка плавильной печи, равен 34 Вт. Определить температуру Т печи, если площадь отверстия 5 = 6 см2. 34.3. Определить энергию W , излучаемую за время t= 1 мин из смотрового окошка площадью S = 8 см2 плавильной печи, если ее температура Т = 1,2 кК. 34.4. Температура Т верхних слоев звезды Сириус равна 10 кК, Определить поток энергии Ф е, излучаемый с поверхности площадью 5 = 1 км2 этой звезды. 34.5. Определить относительное увеличение А М е!Меэнергетиче ской светимости черного тела при увеличении его температуры на 1% . 34.6. Во сколько раз надо увеличить термодинамическую тем пературу черного тела, чтобы его энергетическая светимость М е возросла в два раза? 34.7. Принимая, что Солнце излучает как черное тело, вычислить его энергетическую светимость М е и температуру Т его поверхности. Солнечный диск виден с Земли под углом '9=32. Солнечная постоян ная * С =1,4 кДж/(м2*с). 34.8. Определить установившуюся температуру Т зачерненной металлической пластинки, расположенной перпендикулярно солнеч ным лучам вне земной атмосферы на среднем расстоянии от Земли до Солнца. Значение солнечной постоянной приведено в предыдущей задаче. * Солнечной постоянной назы вается величина, р а в н а я поверхностной плотности потока энергии излучен ия С олнца вне земной атмосферы на сред нем расстоянии от Зем ли до Солнца. 362 34.9. Принимая коэффициент теплового излучения в угля при температуре Т=600 К равным 0,8, определить: 1) энергетическую светимость М е угля; 2) энергию W , излучаемую с поверхности угля с площадью S = 5 см2 за время /= 1 0 мин. 34.10. С поверхности сажи площадью S = 2 см2 при температуре Т =400 К за время t = 5 мин излучается энергия W = 83 Дж, Опреде лить коэффициент теплового излучения е сажи. 34.11. Муфельная печь потребляет мощность Р= 1 кВт. Темпе ратура Т ее внутренней поверхности при открытом отверстии пло щадью S = 2 5 см2 равна 1,2 кК. Считая, что отверстие печи излучает как черное тело, определить, какая часть w мощности рассеивается стенками. 34.12. Можно условно принять, что Земля излучает как серое тело, находящееся при температуре Т = 280 К. Определить коэффи циент теплового излучения е Земли, если энергетическая светимость М е ее поверхности равна 325 кДж/(м2*ч). 34.13. Мощность Р излучения шара радиусом R = 10 см при неко торой постоянной температуре Т равна 1 кВт. Найти эту темпера туру, считая шар серым телом с коэффициентом теплового излучения е=0,25. Закон Вина. Формула Планка 34.14. На какую длину волны Ят приходится максимум спект ральной плотности энергетической светимости ( И х, т)ты черного тела при температуре t = 0 °С? 34.15. Температура верхних слоев Солнца равна 5,3 кК. Считая Солнце черным телом, определить длину волны Хт, которой соответ ствует максимальная спектральная плотность энергетической све тимости (Мх, Т)max Солнца. 34.16. Определить температуру Т черного тела, при которой максимум спектральной плотности энергетической светимости (Мя, тОтах приходится на красную границу видимого спектра (^= 7 5 0 нм); на фиолетовую (А,2=380 нм). 34.17. Максимум спектральной плотности энергетической све тимости (Mxt 7’)ГПах яркой звезды Арктур приходится на длину волны Хт =580 нм. Принимая, что звезда излучает как черное тело, опре делить температуру Т поверхности звезды. 34.18. Вследствие изменения температуры черного тела макси мум спектральной плотности ( М я , г ) т а х сместился с А,!=2,4 м к м на Я2=0,8 м к м . Как и во сколько раз изменились энергетическая светимость М е тела и максимальная спектральная плотность энерге тической светимости? 34.19. При увеличении термодинамической температуры Т чер ного тела в два раза длина волны Ят , на которую приходится макси мум спектральной плотности энергетической светимости (Мх, r )max, уменьшилась на ДЯ=400 нм. Определить начальную и конечную температуры Тг и Т 2. 363 34.20. Эталон единицы силы света — кандела — представляет собой полный (излучающий волны всех длин) излучатель, поверх ность которого площадью S=0,5305 мм2 имеет температуру t зат вердевания платины, равную 1063 °С. Определить мощность Р излучателя. 34.21. Максимальная спектральная плотность энергетической светимости (М^ т)тах черного тела равна 4,16-1011 (Вт/м2)/м. На какую длину волны Хт она приходится? 34.22. Температура Т черного тела равна 2 кК. Определить: 1) спектральную плотность энергетической светимости (Мх, т) Для длины волны 1=600 нм; 2) энергетическую светимость М е в интер вале длин волн от ^ = 5 9 0 нм до Я2=610 нм. Принять, что средняя спектральная плотность энергетической светимости тела в этом ин тервале равна значению, найденному для длины волны ^=600 нм. § 35. Ф О Т О Э Л ЕК Т Р И Ч ЕС К И Й Э Ф Ф ЕК Т Основные формулы Ф Формула Эйнштейна: а) в общем случае е = /п> = Л + Г тах, или Й(о = Л + Гтах, где к hx-=fi(')— энергия фотона, падающего на поверхность металла; А — работа выхода электрона из металла; Ттах — максималь ная кинетическая энергия фотоэлектрона; б) в случае, если энергия фотона много больше работы выхода (Ь » Л ), hv = Tm!lx, или Йсо = Гтах. Максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона в двух слу чаях (нерелятивистском и релятивистском) выражается различными формулами: а) если фотоэффект вызван фотоном, имеющим незначительную энергию (hv=%со=5 кэВ), то Т m ax = /г^ о ^ ш а х» где mQ— масса покоя электрона; б) если фотоэффект вызван фотоном, обладающим большой энер гией (/iv=&ocO§>5 кэВ), то Ттах = (т— т9)сг, или Tmax = m0c2( y = = - — где (5=итаJc\ т — масса релятивистского электрона. • Красная граница фотоэффекта Х0= he!А или Х0= 2л%с/А; v0= A/h или со0= Л/Й, где — максимальная длина волны излучений (v0 и (0q — мини мальные соответственно частота и круговая частота), при которых еще возможен фотоэффект. 364 Примеры решения задач Пример 1. Определить максимальную скорость итах фотоэлект ронов, вырываемых с поверхности серебра: 1) ультрафиолетовым излучением с длиной волны ^ = 0 ,1 5 5 мкм; 2) у-излучением с длиной волны Я2= 2,47 пм. Р е ш е н и е . Максимальную скорость фотоэлектронов опреде лим из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта: 8 = Л + Ттах. (1) Энергия фотона вычисляется по формуле 8=hc/X, работа выхода А указана в табл. 20 для серебра А = 4,7 эВ. Кинетическая энергия фотоэлектрона в зависимости от того, ка кая скорость ему сообщается, может быть выражена или по класси ческой формуле T = l/2m0v \ (2) или по релятивистской Т = (т —т0)с2. (3) Скорость фотоэлектрона зависит от энергии фотона, вызывающе го фотоэффект: если энергия фотона е много меньше энергии покоя электрона Е0, то может быть применена формула (2); если же в сравнима по размеру с £ 0, то вычисление по формуле (2) приводит к грубой ошибке, в этом случае кинетическую энергию фотоэлектрона необходимо выражать по формуле (3). 1. В формулу энергии фотона &=hclX подставим значения вели чин h, с и 1 и , произведя вычисления, для ультрафиолетового излу чения получим 8!=1,28 аД ж =8 эВ. Это значение энергии фотона много меньше энергии покоя элек трона (0,51 МэВ). Следовательно, для данного случая максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона в формуле (1) может быть вы ражена по классической формуле (2) î=A-]-1/2m0vliaxy откуда = J/ 2(e1— А)/гщ. (4) Выпишем величины, входящие в формулу (4): ех= 1,28 •10-18 Дж (вычислено выше); А = 4,7 эВ =4,7 *1,6 *10~19 Д ж =0,75 *10~18 Дж; m0= 9 ,l 1 *10-31 кг (см. табл. 24). Подставив числовые значения в формулу (4), найдем максималь ную скорость: Ушах = 1 . 0 8 М м /С . 2. Вычислим теперь энергию фотона у-излучения: е2= hc/кг = 8,04 фДж = 0,502 МэВ. Работа выхода электрона (Л= 4,7 эВ) пренебрежимо мала по сравнению с энергией у-фотона, поэтому можно принять, что макси мальная кинетическая энергия электрона равна энергии фотона: Т’шах = е2=-0,502 МэВ. 365 Так как в данном случае кинетическая энергия электрона сравни ма с его энергией покоя, то для вычисления скорости электрона следует взять релятивистскую формулу кинетической энергии где Е0=т 0с2. Выполнив преобразования, ' = £ .(V 1 -Р 2 найдем р = /( 2 £ „ + Г ) Г /( £ „ + Т). Сделав вычисления, получим £=0,755. Следовательно, максимальная скорость фотоэлектронов, вырывае мых у-излучением, i W = Ф = 226 Мм/с. Пример 2. Определить красную границу %0 фотоэффекта для цезия, если при облучении его поверхности фиолетовым светом длиной волны )i=400 нм максимальная скорость vmaK фотоэлектро нов равна 0,65 Мм/с. Р е ш е н и е . При облучении светом, длина волны Я0 которого соответствует красной границе фотоэффекта, скорость, а следова тельно, и кинетическая энергия фотоэлектронов равны нулю. Поэтому уравнение Эйнштейна для фотоэффекта е = Л + Т в случае красной границы запишется в виде в= Л , или hc/lk 0= A . Отсюда ho^hc/A. (1) Работу выхода для цезия определим с помощью уравнения Эйн штейна: А = е— Т = ^ mv2 ( 2) тг Выпишем числовые значения величин, выразив их в СИ: h= =6,62•10“ ®* Д ж -с;с= 3 -1 0 8 м/с; Х=400 нм =4-10-г м; т = 9 ,1 1 х X 10 31 кг; и=6,5*105 м/с. Подставив эти значения величин в формулу (2) и вычислив, полу чим А = 3 ,0 5 - 10~19 Дж = 0,305 аДж. Для определения красной границы фотоэффекта подставим значения A, h и с в формулу (1) и вычислим: А0=651 нм. Задачи 35.1. Определить работу выхода А электронов из натрия, если красная граница фотоэффекта ?,0=500 нм. 35.2. Будет ли наблюдаться фотоэффект, если на поверхность серебра направить ультрафиолетовое излучение с длиной волны к= =300 нм? 366 35.3. Какая доля энергии фотона израсходована на работу вы рывания фотоэлектрона, если красная граница фотоэффекта Х0= =307 нм и максимальная кинетическая энергия Ттах фотоэлектрона равна I эВ? 35.4. На поверхность лития падает монохроматический свет (А,= =310 нм). Чтобы прекратить эмиссию электронов, нужно приложить задерживающую разность потенциалов U не менее 1,7 В. Определить работу выхода А. 35.5. Для прекращения фотоэффекта, вызванного облучением ультрафиолетовым светом платиновой пластинки, нужно прило жить задерживающую разность потенциалов (/i= 3 ,7 В. Если пла тиновую пластинку заменить другой пластинкой, то задерживающую разность потенциалов придется увеличить до 6 В. Определить ра боту А выхода электронов с поверхности этой пластинки. 35.6. На цинковую пластинку падает монохроматический свет с длиной волны Х=220 нм. Определить максимальную скорость Птах фотоэлектронов. 35.7. Определить длину волны X ультрафиолетового излучения, падающего на поверхность некоторого металла, при максимальной скорости фотоэлектронов, равной 10 Мм/с. Работой выхода элект ронов из металла пренебречь, 35.8. Определить максимальную скорость vma)L фотоэлектронов, вылетающих из металла под действием у-излучения с длиной волны Я=0,3 нм. 35.9. Определить максимальную скорость нгаах фотоэлектронов, вылетающих из металла при облучении у-фотонами с энергией е = = 1,53 МэВ. 35.10. Максимальная скорость vmax фотоэлектронов, вылетаю щих из металла при облучении его у-фотонами, равна 291 Мм/с. Определить энергию 8 у-фотонов. § 36. ДАВЛЕНИЕ СВЕТА. ФОТОНЫ Основные формулы • Давление, производимое светом при нормальном падении, /> = % ( ! + Р), или p = w (l + р ), где Е е — облученность поверхности; с — скорость электромагнитного излучения в вакууме; w — объемная плотность энергии излу чения; р — коэффициент отражения. • Энергия фотона &=hv=hc/X, или 8= ^ (0, где h — постоянная Планка; A=/i/(2rc); v — частота света; со — круговая частота; к — длина волны. • Масса и импульс фотона выражаются соответственно форму лами е m= ? = h h Р = тс = Т 367 Примеры решения задач Пример 1. Пучок монохроматического света с длиной волны X— =663 нм падает нормально на зеркальную плоскую поверхность. Поток энергии Ф е= 0,6 Вт. Определить силу F давления, испытывае мую этой поверхностью, а также число N фотонов, падающих на нее за время /= 5 с. Р е ш е н и е . Сила светового давления на поверхность равна произведению светового давления р на площадь S поверхности: F= pS. (1) Световое давление может быть найдено по формуле р = Е е(Р+1)/с. ^ (2) Подставляя выражение (2)'давления света в формулу (1), получим ^ ~ (Р + 1 ). (3) Так как произведение облученности Е е на площадь S поверх ности равно потоку Ф энергии излучения, падающего на поверх ность, то соотношение (3) можно записать в виде F = ^ (p + l). После подстановки значений Фе и с с учетом, что р=1 (поверх ность зеркальная), получим F = 4 нН. Число N фотонов, падающих за время At на поверхность, опре деляется по формуле N = A W k ^ eAt/z, где AW — энергия излучения, получаемая поверхностью за время At. Выразив в этой формуле энергию фотона через длину волны (е— =hclX)1 получим Ы=ФеШ /(кс ). Подставив в этой формуле числовые значения величин, найдем N = 1019 фотонов. Пример 2. Параллельный пучок света длиной волны А,=500 нм падает нормально на зачерненную поверхность, производя давление Р~ Ю мкПа. Определить: 1) концентрацию п фотонов в пучке; 2) число пг фотонов, падающих на поверхность площадью 1 м2 за вре мя 1 с. Р е ш е н и е . 1. Концентрация п фотонов в пучке может быть найдена, как частное от деления объемной плотности энергии w на энергию е одного фотона: ti=w/e. (1) Из формулы p ~ w (1 р), определяющей давление света, где р— коэффициент отражения, найдем W = p l( Р + 1). 368 (2) Подставив выражение для т из уравнения (2) в формулу (1), получим п= Р (Р+1)е‘ (3) Энергия фотона зависит от частоты v, а следовательно, и от длины световой волны X: e=hv=hclX. (4) Подставив выражение для энергии фотона в формулу (3), опре делим искомую концентрацию фотонов: п рХ (5) ( Р + 1 ) Ьс л Коэффициент отражения р для зачерненной поверхности прини маем равным нулю. Подставив числовые значения в формулу (5), получим л=2,52*1013 м 3. 2. Число пг фотонов, падающих на поверхность площадью 1 м2 за время 1 с, найдем из соотношения th= N / (St), где N — число фо тонов, падающих за время t на поверхность площадью S. Но N = = ncSt , следовательно, Подставив сюда значения п и с, получим /2i = 7,56 •1021 м“ 2 с_1. Задачи 36.1. Определить давление р солнечного излучения на зачернен ную пластинку, расположенную перпендикулярно солнечным лу чам и находящуюся вне земной атмосферы на среднем расстоянии от Земли до Солнца (см. сноску к задаче 34.7). 36.2. Определить поверхностную плотность I потока энергии излучения, падающего на зеркальную поверхность, если световое давление р при перпендикулярном падении лучей равно 10 мкПа. 36.3. Поток энергии Ф^, излучаемый электрической лампой, ра вен 600 Вт. На расстоянии r= 1 м от лампы перпендикулярно падаю щим лучам расположено круглое плоское зеркальце диаметром d=2cM. Принимая, что излучение лампы одинаково во всех направ лениях и что зеркальце полностью отражает падающий на него свет, определить силу F светового давления на зеркальце. 36.4. На зеркальце с идеально отражающей поверхностью пло щадью *S=1,5 см2 падает нормально свет от электрической дуги. Определить импульс р, полученный зеркальцем, если поверхност ная плотность потока излучения ср, падающего на зеркальце, равна 0,1 МВт/м2. Продолжительность облучения ^=1 с. 36.5. Спутник в форме шара движется вокруг Земли на такой высоте, что поглощением солнечного света в атмосфере можно пре небречь. Диаметр спутника d=4 0 м. Зная солнечную постоянную 369 (см. задачу 34.7) и принимая, что поверхность спутника полностью отражает свет, определить силу давления F солнечного света на спутник. 36.6. Определить энергию е, массу т и импульс р фотона, кото рому соответствует длина волны А=380 нм (фиолетовая граница видимого спектра). 36.7. Определить длину волны А, массу т и импульс р фотона с энергией е=1 МэВ. Сравнить массу этого фотона с массой покояще гося электрона. 36.8. Определить длину волны А фотона, импульс которого ра вен импульсу электрона, обладающего скоростью и=10 Мм/с. 36.9. Определить длину волны X фотона, масса которого равна массе покоя: 1) электрона; 2) протона. 36.10. Давление р монохроматического света (А=600 нм) на чер ную поверхность, расположенную перпендикулярно падающим лу чам, равно 0,1 мкПа. Определить число N фотонов, падающих за время t= l с на поверхность площадью S = 1 см2. 36.11. Монохроматическое излучение с длиной волны А=500 нм падает нормально на плоскую зеркальную поверхность и давит на нее с силой ^ = 1 0 нН. Определить число Nt фотонов, ежесекундно падающих на эту поверхность. 36.12. Параллельный пучок монохроматического света (Х= =662 нм) падает на зачерненную поверхность и производит на нее давление /?=0,3 мкПа. Определить концентрацию п фотонов в све товом пучке. § 37. ЭФФЕКТ КОМПТОНА Основные формулы • Изменение длины волны ДА фотона при рассеянии его на элек троне на угол 0 ДА = А'— А= ?2^(1— cos 0), или ДА = 2 тс sin2 4-, тс v п 2 ’ где т — масса электрона отдачи; А и Х'с — длины волн. • Комптоновская длина волны Ас = 2к%/(тс). (При рассеянии фотона на электроне Ас=2,436 пм.) Примеры решения задач Пример 1. В результате эффекта Комптона фотон при соударе нии с электроном был рассеян на угол 0=90°. Энергия в' рассеянного фотона равна 0,4 МэВ. Определить энергию ефотонадо рассеяния. Р е ш е н и е . Для определения первичного фотона воспользу емся формулой Комптона в виде А/— *, = 2 — тс 370 s in * -|L 2 (1 ) ' ' Формулу (1) преобразуем следующим образом: 1) выразим длины волн 1 'и 1 через энергии г' и г соответствующих фотонов, восполь зовавшись соотношением е = 2 п%с!К\ 2) умножим числитель и зна менатель правой части формулы на с. Тогда получим 2т&с е 2кЬс е 2itfic п • о 0 тс2 2 ----;----------------= ------ S- 2 S i n 2 -7г . Сократив на 2л%с, выразим из этой формулы искомую энергию: 8 _______ в 'тс2______ _________ е'Е0______ тс2— е '- 2 sin2 (0/2) £*0— 2е' — sin2 (0/2) ’ ,о\ ' ' где Е0=тс 2 — энергия покоя электрона. Вычисления по формуле (2) удобнее вести во внесистемных еди ницах. Взяв из табл. 22 значение энергии покоя электрона в мега электрон-вольтах и подставив числовые данные, получим 8=1,85 МэВ. Пример 2. Фотон с энергией е=0,75 МэВ рассеялся на свобод ном электроне под углом 0=60°. Принимая, что кинетическая энер гия и импульс электрона до соударения с фотоном были пренебре жимо малы, определить: 1) энергию г' рассеянного фотона; 2) кинетическую энергию Т электрона отдачи; 3) направление его движения. Р е ш е н и е . 1. Энергию рассеянного фотона найдем, восполь зовавшись формулой Комптона: Я'_Я, = — (1 — cos 6). mr v ' Выразив длины волн А/ и X через энергии е' и г соответствующих фотонов, получим 2 кК с Нв7 2п к с е — (1— cos0). Разделим обе части этого равенства на 2nkc\ 8----- 8- = -—тс* # Отсюда, обозначив для краткости энергию покоя электрона тс2 через Е 0, найдем 8 ( e / £ o) ( l - c o s 0 ) + l • ^ Подставив числовые значения величин, получим е'= 0,43 МэВ. 2. Кинетическая энергия электрона отдачи, как это следует из закона сохранения энергии, равна разности между энергией 8 па дающего фотона и энергией г' рассеянного фотона: Т = 8—s '=0,32 МэВ. 3. Направление движения электрона отдачи найдем, применив закон сохранения импульса, согласно которому импульс падающего фотона р равен векторной сумме импульсов рассеянного фотона р' и электрона отдачи mv: p = p '+ m v. 371 Векторная диаграмма импульсов изображена на рис. 37.1. Все векторы проведены из точки О, где находился электрон в момент соударения с фотоном. Угол <р определяет направление движения электрона отдачи. Из треугольника OCD находим f \С Р \ | с л | sin е |0 D | ~ | о л I— I СЛ I cos 0 ' или р — р ' cos 0 sin 0 р/р' — cos 0 * Так как р=г!с и р '= е 7 с , то 0 tg<jp: ’ г/г’sin — cos 0 ' 1 ^ Преобразуем формулу (2) так, чтобы угол ср выражался непо средственно через величины е и 0, за в данные в условии задачи. Из формулы о ) следует - cos 0) + 1. е' До 4 ' ' " ^ Заменим в формуле (2) соотношение е/е' по формуле (3): f Рис. 37.1 __ sin 0 ё ф - ( 1 + е / £ 0) ( 1 - с О 8 0) • Учитывая, что sin 0 = 2 sin (0/2) cos(0/2) и 1—cos 0 = 2 sin2(0/2), после соответствующих преобразований получим Н) После вычисления по формуле (4) найдем tgcp=0,701, откуда Ф=350. Задачи 37.1. Рентгеновское излучение длиной волны Я=55,8 пм рассеи вается плиткой графита (комптон-эффект). Определить длину волны А/ света, рассеянного под углом 0=60° к направлению падающего пучка света. 37.2. Определить максимальное изменение длины волны при комптоновском рассеянии: 1) на свободных электронах; 2) на сво бодных протонах. 37.3. Определить угол 0 рассеяния фотона, испытавшего соуда рение со свободным электроном, если изменение длины волны АК при рассеянии равно 3,62 пм. 37.4. Фотон с энергией е= 0,4 мэВ рассеялся под углом 0=90° на свободном электроне. Определить энергию s' рассеянного фотона и кинетическую энергию Т электрона отдачи. 372 37.5. Определить импульс р электрона отдачи при эффекте Комп тона, если фотон с энергией, равной энергии покоя электрона, был рассеян на угол 0=180°. 37.6. Какая доля энергии фотона при эффекте Комптона прихо дится на электрон отдачи, если фотон претерпел рассеяние на угол 0 = 180°? Энергия е фотона до рассеяния равна 0,255 МэВ. 37.7. Фотон с энергией е=0,25 МэВ рассеялся на свободном электроне. Энергия е' рассеянного фотона равна 0,2МэВ. Опреде лить угол рассеяния 0. 37.8. Угол рассеяния 0 фотона равен 90°. Угол отдачи ф элек трона равен 30°. Определить энергию 8 падающего фотона. 37.9. Фотон (Я= 1 пм) рассеялся на свободном электроне под уг лом 0=90° Какую долю своей энергии фотон передал электрону? 37.10. Длина волны X фотона равна комптоновской длине Хс электрона. Определить энергию е и импульс р фотона. 37.11. Энергия 8 падающего фотона равна энергии покоя элек трона. Определить долю w1 энергии падающего фотона, которую сохранит рассеянный фотон, и долю w2 этой энергии, полученную электроном отдачи, если угол рассеяния 0 равен: 1) 60°; 2) 90°; 3) 180°. § 38. АТОМ ВОДОРОДА ПО ТЕОРИИ БОРА Основные формулы • Момент импульса электрона на стационарных орбитах * L==mvr = nfl (п = 1, 2, 3, . . . ) , где т — масса электрона; г — радиус орбиты; v — скорость элект рона на орбите; п — главное квантовое число; % — постоянная Планка. • Энергия электрона, находящегося на л-й орбите, г те4 32я2еЦ ь Ч 2 9 где 80 — электрическая постоянная. • Сериальная формула, определяющая длину волны % или ча стоту v света, излучаемого или поглощаемого атомом водорода при переходе из одного стационарного состояния в другое, где R' и R — постоянная Ридберга (/? '= 1,097 •107 м-1; R= cR' = —3,290 •1015 с-1); пг и л 2 — целые числа; лх — номер серии спект ральных линий (#1=1 — серия Лаймана, # i= 2 — серия Бальмера, * Бор исходил из предположения, что электроны обращаются по круго вым орбитам. Зоммерфельд дополнил теорию Бора введением эллиптических орбит. Современная физика отказалась от представления об электронных орбитах. Вместо орбит введено понятие об энергетических уровнях атома. При этом номера уровней совпадают с номерами боровских орбит. Однако .в целях наглядности иногда пользуются термином «орбита». Подробнее см. §47. 373 th—3 — серия Пашена и т. д.). Для данной серии n 2= th + l\ Th+ + 2 , rh+ 3 и т. д. • Энергия фотона, испускаемого атомом водорода при переходе из одного стационарного состояния в другое, где Et — энергия ионизации * водорода: £ '* = 2 я ^ = 13,6 эВ. Примеры решения задач Пример 1. Вычислить радиус первой орбиты атома водорода (боровский радиус) и скорость электрона на этой орбите. Р е ш е н и е . Согласно теории Бора, радиус г электронной ор биты и скорость v электрона на ней связаны равенством mvr=nfi. Так как в задаче требуется определить величины, относящиеся к первой орбите, то главное квантовое число п= 1 и указанное выше равенство примет вид mvr = ib. (1) Для определения двух неизвестных величин г и v необходимо еще одно уравнение. В качестве второго уравнения воспользуемся уравнением движения электрона. Согласно теории Бора, электрон вращается вокруг ядра. При этом сила взаимодействия между электрическими зарядами ядра и электрона сообщает электрону центростремительное ускорение. На основании второго закона Нью тона можем записать 1 mv* г 4 я 80 г2 (е и т — заряд и масса электрона), или 1 е2 mv* ’ 4 л е 0 г (2) Совместное решение равенств (1) и (2) относительно г дает г = 4tmji2/(me2). Подставив сюда значения %, е, т и произведя вычисления, най дем боровский радиус: ^=<*= 5,29-10-1 м. Из равенства (1) получим выражение скорости электрона на первой орбите: v = 'h/(mr). Произведя вычисления по этой формуле, найдем t^=2,18 Мм/с. * Энергия ионизации, выраженная в электрон-вольтах, равна потенци алу ионизации, выраженному в вольтах. Потенциалом ионизации называется ускоряющая разность потенциалов, которую должен пройти бомбардирую щий электрон, чтобы приобрести энергию, достаточную для ионизации атома. 374 Пример 2. Определить энергию е фотона, соответствующего вто рой линии в первой инфракрасной серии (серии Пашена) атома водорода. Р е ш е н и е . Энергия е фотона, излучаемого атомом водорода при переходе электрона с одной орбиты на другую, \п 1 я2/ где Et — энергия иониза ции атома водорода; п х= = 1,2,3,...— номер орбиты, на которую переходит электрон (рис. 38.1); /г2= = / i i + l ; /Zi+2;...; — номер орбиты, с которой переходит электрон; т — номер спектральной линии в данной серии. Для серии Пашена fti=3; для второй линии этой серии т = 2, n 2= n i+ m = 3 + 2 = 5 . Подставив числовые значения, найдем энергию фотона: 8=0,97 эВ. Задачи 38.1. Вычислить радиусы г2 и г3 второй и третьей орбит в атоме водорода. 38.2. Определить скорость v электрона на второй орбите атома водорода. 38.3. Определить частоту обращения электрона на второй орбите атома водорода. 38.4. Определить потенциальную П, кинетическую Т и полную Е энергии электрона, находящегося на первой орбите атома водоро да. 38.5. Определить длину волны X, соответствующую третьей спектральной линии в серии Бальмера. 38.6. Найти наибольшую Ятах и наименьшую Ятш длины волн в первой инфракрасной серии спектра водорода (серии Пашена). 38.7. Вычислить энергию е фотона, испускаемого при переходе электрона в атоме водорода с третьего энергетического уровня на первый. 38.8. Определить наименьшую emin и наибольшую 8тах энергии фотона в ультрафиолетовой серии спектра водорода (серии Лаймана). 38.9. Атомарный водород, возбужденный светом определенной длины волны, при переходе в основное состояние испускает только три спектральные линии. Определить длины волн этих линий и ука зать, каким сериям они принадлежат. 38.10. Фотон с энергией е = 16,5 эВ выбил электрон из невозбуж 375 денного атома водорода. Какую скорость v будет иметь электрон вда ли от ядра атома? 38.11. Вычислить длину волны X, которую испускает ион гелия Не+ при переходе со второго энергетического уровня на первый. Сделать такой же подсчет для иона лития Li+ + . 38.12. Найти энергию E t и потенциал Ut ионизации ионов Не+ и Li + + . 38.13. Вычислить частоты f± и / 2 вращения электрона в атоме во дорода на второй и третьей орбитах. Сравнить эти частоты с частотой v излучения при переходе электрона с третьей на вторую орбиту. 38.14. Атом водорода в основном состоянии поглотил квант света с длиной волны 121,5 нм. Определить радиус г электронной орби ты возбужденного атома водорода. 38.15. Определить первый потенциал U1 возбуждения атома водо рода. § 39. РЕНТГЕНОВСКОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ Основные формулы • Коротковолновая спектра ^ граница кт[п сплошного рентгеновского _ 2лЛ с Kmln — jЦ ’ где е — заряд электрона; U — разность потенциалов, приложенная к рентгеновской трубке; % — постоянная Планка. • Закон Мозли: а) в общем случае сo = C R (Z— а)2, где со — частота линий рентгеновского спектра; Z — атомный но мер элемента, излучающего этот спектр; R — постоянная Рид берга (/?=2,07 •1016 с-1); о — постоянная экранирования; С — постоянная; б) для Ка-линий (а= 1 , С = 3/4) со/са = 7 или 5^ = 74 R ' ( Z - 1)2, где R' — штрихованная постоянная Ридберга (Я' = 1,10*107 м-1); 1/Х=(л/ (2яс) — волновое число *. • Энергия фотона Ка-линии рентгеновского излучения ека = 7 4£,-(2— I)2, где Et — энергия ионизации атома водорода. * Волновое число v = лом 376 1г=2п/к. ilk не следует путать с циклическим волновым чис Примеры решения задач Пример 1. Определить длину волны и энергию фотона /Са-линии рентгеновского спектра, излучаемого вольфрамом при бомбардировке его быстрыми электронами. Р е ш е н и е . При бомбардировке вольфрама быстрыми элект ронами возникает рентгеновское излучение, имеющее линейчатый спектр. Быстрые электроны, проникая внутрь электронной оболоч ки атома, выбивают электроны, принадлежащие электронным слоям. Рис. 39.1 Ближайший к ядру электронный слой (/(-слой) содержит два элект рона. Если один из этих электронов оказывается выбитым за пре делы атома, то на освободившееся место переходит электрон из вышележащих слоев (L, М, N). При этом возникает соответствую щая линия /(-серии. При переходе электрона с L-слоя на К -слой из лучается наиболее интенсивная /(а-линия рентгеновского спектра (рис. 39.1). Длина волны этой линии определяется по закону Мозли: 1 = \ R ' { Z - 1) 2 , Va откуда * 4 K a ~ 3 R ' (Z— l)* ‘ Подставив сюда значения Z (для вольфрама Z — 74) и R ' , найдем V a = 2,28-10-» м = 22,8 пм. Зная длину волны, определим энергию фотона по формуле гк<х= 2nkd'k. Подставив в эту формулу значения %, с, ККа и произведя вы числения, найдем %a = 54,4 кэВ. 377 Заметим, что энергию фотона a -линии /(-серии рентгеновского излучения можно определить также непосредственно по формуле 3 гКа = -^ E( (Z— I)2, приведенной в начале параграфа. Пример 2. Определить напряжение U, под которым работает рентгеновская трубка, если коротковолновая граница Хт{п в спектре тормозного рентгеновского излучения оказалась равной 15,5 пм. Р е ш е н и е . Тормозное рентгеновское излучение возникает за счет энергии, теряемой электроном при торможении. В рентгенов ской трубке электрон приобретает кинетическую энергию Г, кото рая связана с ускоряющей разностью потенциалов U соотношением T=\e\U, (1) где е — заряд электрона. В соответствии с законом сохранения энергии энергия фотона не может превысить кинетической энергии электрона (%со ^ Г ). Максимальная энергия фотона в этом случае определяется равенст вом ^ x = T = \e\U. (2) Так как максимальная угловая частота сотах связана с минимальной длиной волны ХтЫ соотношением \n in 2 л с / (0 т а х , то из выражений (1) и (2) находим тг 2л7 с и = 77П7 • Произведем вычисления: 2 .3 ,1 4 .1 ,0 5 .1 0 -34.3.108 1,60* 10- i M ,55* 10“ = 7,98-10* В = 79,8 кВ. Задачи 39.1. Определить скорость v электронов, падающих на антикатод рентгеновской трубки, если минимальная длина волны kmitL в сплош ном спектре рентгеновского излучения равна 1 нм. 39.2. Определить коротковолновую границу Хт{п сплошного спектра рентгеновского излучения, если рентгеновская трубка ра ботает под напряжением /7=30 кВ. 39.3. Вычислить наибольшую длину волны Хтах в /(-серии ха рактеристического рентгеновского спектра скандия. 39.4. При исследовании линейчатого рентгеновского спектра некоторого элемента было найдено, что длина волны X линии /(а равна 76 пм. Какой это элемент? 39.5. Какую наименьшую разность потенциалов Um[n нужно приложить к рентгеновской трубке, антикатод которой покрыт ванадием (Z=23), чтобы в спектре рентгеновского излучения появи лись все линии К -серии ванадия? Граница /(-серии ванадия Х=226 пм. 39.6. Определить энергию е фотона, соответствующего линии Ка в характеристическом спектре марганца (Z=25). 378 39.7. В атоме вольфрама электрон перешел с М-слоя на L-слой. Принимая постоянную экранирования о равной 5,5, определить длину волны X испущенного фотона. 39.8. Рентгеновская трубка работает под напряжением U — 1 МВ. Определить наименьшую длину волны Хт1п рентгеновского излуче ния. 39.9. Вычислить длину волны X и энергию 8 фотона, принадле жащего /(а-линии в спектре характеристического рентгеновского излучения платины. 39.10. При каком наименьшем напряжении i/min на рентгенов ской трубке начинают появляться линии серии Ка меди? ГЛАВА 8 ФИЗИКА АТОМНОГО ЯДРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ § 40. СТРОЕНИЕ АТОМНЫХ ЯДЕР Основные формулы Ф Ядро обозначается тем же символом, что и нейтральный атом: ^Х, где X — символ химического элемента; Z — зарядовое число (атом ный номер; число протонов в ядре); А — массовое число (число нуклонов в ядре). Число N нейтронов в ядре равно разности А —Z. Ф Радиус ядра определяется соотношением г = г0Л 1/3, где г0 — коэффициент пропорциональности, который можно счи тать для всех ядер постоянным и равным 1,4 ЧО"1^ м. Примеры решения задач Пример 1. Водород обогащен дейтерием. Определить массовые доли wx протия и w2 дейтерия, если относительная атомная масса Лг такого водорода оказалась равной 1,122. Р е ш е н и е . Массовые доли wx протия и w2 дейтерия можно выразить соотношениями wx=tnx! (тх+ т ^\ w2= m 2/ где тх и т2 — массы соот ветственно протия и дейтерия в смеси. Выразим из этих равенств массы т1 и т2 tnx=wx(mx+ ni2)’, m2= w 2(m i+m 2) и подставим их в знаменатель формулы, определяющей молярную массу М смеси (см. § 8): М тх-\-т2 m i/M 1-{-m2/M 2 ’ где Mi и М 2 — молярные массы компонентов смеси. После такой подстановки и простых преобразований получим М м хм 2 w±M 2-\~w2Mi (i) Так как молярные массы протия и дейтерия пропорциональны их относительным атомным массам, то равенство (1) можно переписать в виде Аг\Ап А Т wiAr2+ w2An * (2)' 380 где Лг1 и Лг2 — относительные атомные массы соответственно протия и дейтерия. Заметим далее, что сумма массовых долей всех компонентов должна быть равна единице, т. е. о>1+ДО2=1. (3) Решив совместно равенства (2) и (3), найдем «. _Ап Аг%—ArAri . 1 го) = 2 Аг (Агъ - А п ) ’ ^ r i A n — A rAr 2 Ar (An - A r2) ’ (4) (5) В табл. 21 найдем: Лг1= 1,00783, Лг2= 2 ,01410. Подставив числовые значения величин в (4) и (5), получим =0,796 и ^ 2 ^ 0 ,2 0 4 . Пример 2. Определить отношение сечений Gi / g 2 ядер висмута 28зВ1 и алюминия 2£А1. Р е ш е н и е . Будем рассматривать ядро как шар радиусом г. Тогда площадь его поперечного сечения (сечения ядра) может быть найдена по формуле а = я г 2. Радиус ядра зависит от числа нуклонов в ядре (массового числа А) и определяется соотношением г = г0Л 1/3, где г0 — коэффициент пропорциональности, практически одинако вый для всех ядер. Тогда а = яг§Л2/3. Используя это выражение, найдем сечения ах и сг2 ядер висмута и алюминия с массовыми числами Ах и Л 2: ох = пг1АХъ и а2= ягоЛ^/3. Отношение сечений найдем разделив на а 2: gJ g2= (Л1/Л 2)2/3. Сделав подстановку числовых значений (Лх=209 и Л 2=27), получим 0^02=3,91. Пример 3. Ядро нептуния ^ N p захватило электрон из /(-обо лочки атома (/(-захват) и испустило а-частицу. Ядро какого эле мента получилось в результате этих превращений? Р е ш е н и е . При /(-захвате из ближайшей к ядру электрон ной оболочки (/(-оболочки) атома электрон захватывается ядром. В результате этого протон в ядре превращается в нейтрон *. Общее число нуклонов в ядре не изменяется, а зарядовое число уменьшится на единицу. Поэтому промежуточное ядро будет иметь зарядовое число 93—1=92; массовое число останется прежним — 234. По * При /(-захвате из ядра выбрасывается нейтрино, однако для реше ния данной задачи это существенной роли не играет. 381 таблице Д. И. Менделеева определяем, что промежуточным ядром является изотоп урана 232U. Промежуточное ядро испустило а-частицу. Так как а-частица (ядро атома изотопа гелия %Не) содержит два протона и два нейтрона, то промежуточное ядро 2Ц1] при акте испускания а-частицы умень шит зарядовое число на две единицы и массовое число на четыре единицы. Таким образом, конечное ядро будет иметь Z = 90 и А = =230, что соответствует изотопу тория 2;$Th. Вопросы и задачи Масса ядра 4 0 .1 . Зная постоянную Авогадро NA, определить массу гаа нейтрального атома углерода 12С и массу т , соответствующую угле родной единице массы. 4 0 .2 . Чем отличаются массовое число от относительной массы ядра? 4 0 .3 . Хлор представляет собой смесь двух изотопов с относитель ными атомными массами Ап =34,969 и Аг2=36,966. Вычислить от носительную атомную массу А г хлора, если массовые доли wx и w2 первого и второго изотопов соответственно равны 0,754 и 0,246. 4 0 .4 . Бор представляет собой смесь двух изотопов с относитель ными атомными массами А г1— 10,013 и А п = 11,009. Определить массовые доли и w2 первого и второго изотопов в естественном боре. Относительная атомная масса А г бора равна 10,811. 40.5. Какую часть массы нейтрального атома плутония состав ляет масса его электронной оболочки? 4 0 .6 . Определить массу ядра лития, если масса нейтрального атома лития равна 7,01601 а. е. м. Состав ядра. Размеры ядра 4 0 .7 . Укажите, сколько нуклонов, протонов, нейтронов содержат следующие ядра: 1) 32Не; 2) 105В; 3) gNa; 4) *4eFe; 5) T7Ag; 6) 23*U. 4 0 .8 . Напишите символические обозначения ядер изотопов водо рода и назовите их. 4 0 .9 . Укажите, сколько существует изобар с массовым числом А = 3. Напишите символические обозначения ядер. 4 0 .1 0 . Какие изотопы содержат два нейтрона? (Дать символичес кую запись ядер.) 4 0 .1 1 . Определить атомные номера, массовые числа и химические символы зеркальных ядер, которые получатся, если в ядрах 2Не, ’Be, 1Ь80 протоны заменить нейтронами, а нейтроны — протонами. Привести символическую запись получившихся ядер. 4 0 .1 2 . Определить диаметры следующих ядер: 1) |Ы ; 2) |^А1; 3) 624Си; 4) ToSn; 5) 218^Ро. 4 0 .1 3 . Определить концентрацию нуклонов в ядре. 382 40.14. Оценить, какую часть от объема атома кобальта состав ляет объем его ядра. Плотность р кобальта равна 4,5 -103 кг/м3. 40.15. Показать, что средняя плотность (р) ядерного вещества одинакова для всех ядер. Оценить (по порядку величины) ее значе ние. 40.16. Используя соотношение Z=A/2, которое справедливо для многих легких ядер, определить среднюю объемную плотность заряда ядра. 40.17. Два ядра сблизились до расстояния, равного диаметру ядра. Считая, что масса и заряд равномерно распределены по объе му ядра, определить силу гравитационного притяжения, силу F2 кулоновского отталкивания и отношение этих сил (FJF2). Спин и магнитный момент ядра 40.18. Каково значение спина нуклона (в единицах %)} 40.19. Что называется спином ядра? Из чего он складывается? 40.20. Какие значения может иметь спин ядра (в единицах %)? 40.21. Какие теоретически возможные значения спина (в едини цах h) могут иметь следующие ядра: 1) ?Н; 2) JH; 3) гНе; 4) £Не? 40.22. Какие значения может иметь спин (в единицах %) следую щих ядер: 1) четно-четных; 2) четно-нечетных; 3) нечетно-четных; 4) нечетно-нечетных? 40.23. В первоначальной модели ядра предполагалось, что ядро состоит из протонов и электронов. Показать, что это предположение не оправдывается, например для ядра азота (азотная катастро фа). Спин ядра азота равен А, протона 112% и электрона г12%. 40.24. Спин дейтрона, находящегося в основном состоянии, ра вен %. Зная, что спиновое квантовое число протона равно 1/2, опре делить теоретически возможные значения спина нейтрона. 40.25. Что такое ядерный магнетон и как он выражается? 40.26. Каково соотношение между ядерным магнетоном и магне тоном Бора? 40.27. Как выражается магнитный момент ядра? 40.28. Чем обусловлено сверхтонкое расщепление спектральных линий? В чем отличие сверхтонкого расщепления от тонкого? Модели ядра 40.29. 40.30. 40.31. 40.32. 40.33. 40.34. кими? В чем сущность капельной модели ядра? Какие явления объясняет капельная модель ядра? В чем сущность оболочечной модели ядра? Какие явления объясняет оболочечная модель ядра? Могут ли электроны находиться в ядре? Ответ обосновать. Какие ядра называются магическими? дважды магичес 383 Ядерные силы 40.35. К какому типу взаимодействия относятся ядерные силы? 40.36. В чем проявляется короткодействующий характер ядерных сил? 40.37. Что такое зарядовая независимость? 40.38. В чем проявляется нецентральный характер ядерных сил? 40.39. Что означает свойство насыщения ядерных сил? 40.40. Что называется виртуальными частицами и какую роль они играют в объяснении ядерных сил? Превращение ядер 40.41. Ядро радия выбросило а-частицу (ядро атома гелия 42Не). Найти массовое число А и зарядовое число Z вновь образо вавшегося ядра. По таблице Д. И. Менделеева определить, какому элементу это ядро соответствует. 40.42. Ядро азота 14N захватило а-частицу и испустило протон. Определить массовое число А и зарядовое число Z образовавше гося в результате этого процесса ядра. Указать, какому элементу это ядро соответствует. 40.43. Ядро цинка 3oZn захватило электрон из / (-о б о л о ч к и атома (/(-захват). Указать, в ядро какого элемента превратилось ядро цинка (написать химический символ элемента, массовое и зарядовое число). 40.44. Ядро берилия \Ве захватило электрон из К -оболочки ато ма. Какое ядро образовалось в результате К-захвата? 40.45. В ядре изотопа углерода один из нейтронов превратил ся в протон (Р“-распад). Какое ядро получилось в результате такого превращения? 40.46. Два ядра гелия (2Не) слились в одно ядро, и при этом был выброшен протон. Укажите, ядро какого элемента образовалось в результате такого превращения (приведите символическую запись ядра). 40.47. В ядре изотопа кремния f^Si один из протонов превратился в нейтрон (Р+-распад). Какое ядро получилось в результате такого превращения? 40.48. Ядро цинка ЦЪп захватило электрон из К-оболочки и спустя некоторое время испустило позитрон. Какое ядро получилось в результате таких превращений? 40.49. Ядро плутония îPu испытало шесть последовательных а-распадов. Написать цепочку ядерных превращений с указанием химических символов, массовых и зарядовых чисел промежуточ ных ядер и конечного ядра. 40.50. Покоившееся ядро радона 2ЦRn выбросило а-частицу со скоростью у- 16 Мм/с. В какое ядро превратилось ядро радона? Какую скорость vx получило оно в результате отдачи? 384 § 41. Р А Д И О А К Т И В Н О С Т Ь Основные формулы в Основной закон радиоактивного распада N = N0e~lt, где N — число нераспавшихся атомов в момент времени t\ N 0— число нераспавшихся атомов в момент, принятый за начальный (при ^=0); е — основание натуральных логарифмов; к — постоян ная радиоактивного распада. • Период полураспада Т 1/2 — промежуток времени, за который число нераспавшихся атомов уменьшается в два раза. Период полу распада связан с постоянной распада соотношением ^ _ In 2 0,693 ~ ~ — ТГ' • Число атомов, распавшихся за время AN = N0— N = N0{ l— e -kt). Если промежуток времени At<^T1/2, то для определения числа распавшихся атомов можно применять приближенную формулу AN ttkN A t. Среднее время жизни т радиоактивного ядра — промежуток времени, за который число нераспавшихся ядер уменьшается в е раз: %— \ / к . 9 Число атомов, содержащихся в радиоактивном изотопе, N = l N л> где m — масса изотопа; М — его молярная масса; N A— постоян ная Авогадро. • Активность А нуклида в радиоактивном источнике (актив ность изотопа) есть величина, равная отношению числа d N ядер, распавшихся в изотопе, к промежутку времени d^, за которое произошел распад. Активность определяется по формуле или после замены N по основному закону радиоактивного распада A = kN0e - M. Активность изотопа в начальный момент времени (1=0) A 0—kN 0. Активность изотопа изменяется со временем по тому же закону, что и число нераспавшихся ядер: A = A Qe~lt. 9 Массовая активность а радиоактивного источника есть вели13 12G8 385 чина, равная отношению его активности А к массе т этого источни ка, т. е. а=А1т. О Если имеется смесь ряда радиоактивных изотопов, образую щихся один из другого, и если постоянная распада К первого члена ряда много меньше постоянных всех остальных членов ряда, то в смеси устанавливается состояние радиоактивного равновесия, при котором активности всех членов ряда равны между собой: х1ы1= к ы 2= . . . = - л кык. Примеры решения задач Пример 1. Определить начальную активность А0 радиоактив ного магния 27Mg массой т = 0,2 мкг, а также активность А по исте чении времени t= 1 ч. Предполагается, что все атомы изотопа ра диоактивны. Р е ш е н и е . Начальная активность изотопа А0= М 0, (1) где X — постоянная радиоактивного распада; N 0 — количество ато мов изотопа в начальный момент (/=0). Если учесть, что вид тМА N0 = 1 л ^ А' то формула (1) примет (2) д > = М Т ^ In 2. Выразим входящие в эту формулу величины в СИ и произведем вычисления: Л о-5,15-1012 Б к = 5 ,1 5 Т Б к . Активность изотопа уменьшается со временем по закону Л = Л 0е " Ч (3) Заменив в формуле (3) постоянную распада к ее выражением, по лучим А = А 0е " 1п2'</ri/2 = А0 (eln 2) ~t/Tv *. Так как е1п2=2, то окончательно будем иметь А = Л о/2t/Tv*. Сделав подстановку числовых значений, получим А=8,05*1010 Б к=80,5 ГБк . Пример 2. При определении периода полураспада 7 \/2 короткоживущего радиоактивного изотопа использован счетчик импульсов. За время At= 1 мин в начале наблюдения (/=0) было насчитано Апг= =250 импульсов, а по истечении времени t= 1 ч—Ап2=92 импуль са. Определить постоянную радиоактивного распада X и период полураспада Г 1/2 изотопа. Р е ш е н и е . Число импульсов Ап, регистрируемых счетчиком за время At, пропорционально числу распавшихся атомов AN. 386 Таким образом, при первом измерении = Ш Г , = kN x (1 — е~ ^ )> (1) где Nx — количество радиоактивных атомов к моменту начала от счета; k — коэффициент пропорциональности (постоянный для данного прибора и данного расположения прибора относительно радиоактивного изотопа). При повторном измерении (предполагается, что расположение приборов осталось прежним) Дп2=- kAN2= iWV2(1 — е"ЯА' ), (2) где N 2 — количество радиоактивных атомов к моменту начала вто рого измерения. Разделив соотношение (1) на выражение (2) и приняв во внима ние, что по условию задачи At одинаково в обоих случаях, а также что Ni и N 2 связаны между собой соотношением N 2= N 1e~M9 по лучим Ал, ^ = е» (3) где t — время, прошедшее от первого до второго измерения. Для вы числения к выражение (3) следует прологарифмировать: In = Ai, откуда Arii к = t In Ап2 Подставив числовые данные, получим постоянную радиоактив ного распада, а затем и период полураспада: 1 * 250 _ л , *, = ■Т П'92*Ч ‘ = 1ЧТ 1/2 In 2 0,693 ч = 0,693 4 = 41,5 мин. Задачи Закон радиоактивного распада 41.1. Какова вероятность W того, что данный атом в изотопе ра диоактивного йода 1311 распадается в течение ближайшей секунды? 41.2. Определить постоянные распада К изотопов радия 2||R a и TsRa. 41.3. Постоянная распада К рубидия 89Rb равна 0,00077 с-1. Определить его период полураспада Г 1/2. 41.4. Какая часть начального количества атомов распадется за один год в радиоактивном изотопе тория 228Th? 41.5. Какая часть начального количества атомов радиоактивного актиния 225Ас останется через 5 сут? через 15 сут? 41.6. За один год начальное количество радиоактивного изотопа уменьшилось в три раза. Во сколько раз оно уменьшится за два года? 13* 387 41.7. За какое время t распадается V4 начального количества ядер радиоактивного изотопа, если период его полураспада 7,1/2= =24 ч? 41.8. За время t = 8 сут распалось 3/4 начального количества ядер радиоактивного изотопа. Определить период полураспада Т 1/2. 41.9. При распаде радиоактивного полония 210Ро в течение вре мени t —\ ч образовался гелий 4Не, который при нормальных усло виях занял объем Г=89,5 см3. Определить период полураспада Г 1/2 полония. 41.10. Период полураспада Г 1/2 радиоактивного нуклида равен 1 ч. Определить среднюю продолжительность т жизни этого нуклида. 41.11. Какая часть начального количества радиоактивного нук лида распадается за время t , равное средней продолжительности т жизни этого нуклида? Активность. Радиоактивное равновесие 41.12. Определить число N атомов, распадающихся в радиоактив ном изотопе за время ^=10 с, если его активность А =0,1 МБк. Считать активность постоянной в течение указанного времени. 41.13. Активность А препарата уменьшилась в &=250 раз. Скольким периодам полураспада Т \/2 равен протекший промежуток времени t? 41.14. За время t= l сут активность изотопа уменьшилась от А = 118 ГБк до А 2= 7,4 ГБк. Определить период полураспада Г 1/2 этого нуклида. 41.15. На сколько процентов снизится активность А изотопа иридия 1921г за время /= 3 0 сут? 41.16. Определить промежуток времени т, в течение которого активность А изотопа стронция 90Sr уменьшится в &i=10 раз? в &2= 100 раз? 41.17. Счетчик Гейгера, установленный вблизи препарата ради оактивного изотопа серебра, регистрирует поток (3-частиц. При пер вом измерении поток Фх частиц был равен 87 с-1, а по истечении времени t= 1 сут поток Ф 2 оказался равным 22 с-1. Определить период полураспада Г 1/2 изотопа. 41.18. Определить активность А фосфора 32Р массой т= 1 мг. 41.19. Вычислить удельную активность а кобальта 60Со. 41.20. Найти отношение массовой активности ах стронция 90Sr к массовой активности а2 радия 226Ra. 41.21. Найти массу пц урана 238U, имеющего такую же актив ность Л, как стронций 90Sr массой т 2=1 мг. 41.22. Определить массу т2 радона 222Rn, находящегося в ради оактивном равновесии с радием 226Ra массой тг= 1 г. 41.23. Уран 234U является продуктом распада наиболее распро страненного изотопа урана 238U. Определить период полураспада 7 \ >урана 234U, если его массовая доля w в естественном уране 238U равна 6*10~^. 388 41.24. Радиоактивный изотоп 22Na излучает у-кванты энергией £=1,28 МэВ. Определить мощность Р гамма-излучения и энергию W , излучаемую за время /= 5 мин изотопом натрия массой т = 5 г. Считать, что при каждом акте распада излучается один у-фотон с указанной энергией. 41.25. Точечный изотропный радиоактивный источник создает на расстоянии г=1 м интенсивность I гамма-излучения, равную 1,6 мВт/м2. Принимая, что при каждом акте распада ядра излу чается один у-фотон с энергией е=1,33 МэВ, определить активность А источника. 41.26. Определить интенсивность I гамма-излучения на расстоя нии г = 5 см от точечного изотропного радиоактивного источника, имеющего активность /1 = 148 ГБк. Считать, что при каждом акте распада излучается в среднем п= 1,8 у-фотонов с энергией е = =0,51 МэВ каждый. § 42. ЭЛЕМЕНТЫ ДОЗИМЕТРИИ ИОНИЗИРУЮЩИХ ИЗЛУЧЕНИЙ Основные формулы 9 Закон ослабления узкого пучка моноэнергетических у-излучений при прохождении через поглощающее вещество: а) ослабление плотности потока ионизирующих частиц или фото нов J = J0e~nx, где J о — плотность потока частиц, падающих на поверхность ве щества; J — плотность потока частиц после прохождения слоя ве щества толщиной х; р — линейный коэффициент ослабления (рис. 42.1); б) ослабление интенсивности излучений / = / 0е-*“ где I — интенсивность у-излучений в веществе на глубине х; / 0 — интенсивность у-излучений, падающих на поверхность вещества. • Слоем половинного ослабления называется слой, толщина х 1/2 которого такова, что интенсивность проходящих через него у-излучений уменьшается в два раза: In 2 0,693 Xl/2~ Ц ~ fi. • Доза излучения (поглощенная доза излучения) D = AW/Am, где A W — энергия ионизирующего излучения, переданная элементу облучаемого вещества; Ат — масса этого элемента. Доза излучения выражается в греях (1 Гр = 1 Дж/кг). Мощность дозы излучения (мощность поглощенной дозы излуче ния) D = AD/ At у 389 где At — время, в течение которого была поглощена элементом облучения доза излучения AD. Мощность дозы излучения выражается в греях в секунду (Гр/с). • Экспозиционная доза фотонного излучения (экспозиционная доза гамма- и рентгеновского излучения) есть величина, равная отношению суммы электрических зарядов AQ всех ионов одного Энергия фотоноб Рис. 42.1 знака, созданных электронами, освобожденными в облученном воз духе при условии полного использования ионизирующей способ ности электронов, к массе А т этого воздуха: X=AQ/Am. Единица экспозиционной дозы — кулон на килограмм (Кл/кг). • Мощность экспозиционной дозы фотонного излучения X есть величина, равная отношению экспозиционной дозы АХ фотон ного излучения к интервалу времени At, за которое получена эта доза, т. е. X = АХ/At. Мощность экспозиционной дозы выражается в амперах на кило грамм (А/кг). • Экспозиционная доза рентгеновского и у-излучения, падаю щего на объект, экранированный защитным слоем толщиной х, Х = Х 0е-»*, где Х 0 — экспозиционная доза при отсутствии защитного слоя. • Экспозиционная доза у-излучения, падающего за время t на объект, находящийся в воздухе на расстоянии R от точечного 390 источника, X = X t/R \ где X — мощность экспозиционной дозы на расстоянии, равном единице. Поглощением у-излучением в воздухе пренебрегаем. Примеры решения задач Пример 1. Вычислить толщину слоя половинного ослабления х 1/2 параллельного пучка у-излучения для воды, если линейный ко эффициент ослабления р=0,047 см-1. Р е ш е н и е . При прохождении у-излучения через слой веще ства происходит их поглощение за счет трех факторов: фотоэффек та, эффекта Комптона и образования пар (электрон — позитрон). В результате действия этих трех факторов интенсивность у-излучения экспоненциально убывает в зависимости от толщины слоя: / = / 0е - ^ . (1) Пройдя поглощающий слой толщиной, равной толщине слоя половинного ослабления х1/2, пучок у-излучения будет иметь интен сивность / = / 0/2. Подставив значения / и х в формулу (1), получим / 0/2 = 1 0е~пхь/2 9 или после сокращения на / 0 1/ 2 = е ~ 11X1/2. Прологарифмировав последнее выражение, получим искомое значение толщины слоя половинного ослабления: *1/2 = In 2/р. (2) Подставив в формулу (2) значения р и In 2, найдем х г/2 *1/2 = 14,7 см. Таким образом, слой воды толщиной в 14,7 см снижает интен сивность у-излучения в два раза. Пример 2. Точечный радиоактивный источник 60Со находится в центре свинцового сферического контейнера с толщиной стенок х=1 см и наружным радиусом R = 20 см. Определить максимальную активность Лтах источника, который можно хранить в контейнере, если допустимая плотность потока / доп у-фотонов при выходе из контейнера равна 8-106 с-1 *м“ 2. Принять, что при каждом акте распада ядра 60Со испускается п = 2 у-фотона, средняя энергия ко торых <e>= 1,25 МэВ. Р е ш е н и е . Активность радиоактивного источника связана с потоком излучения у-фотонов соотношением Ф = А п} где п — число у-фотонов, испускаемых при одном акте распада, откуда А=Ф/п. (1) Поток Ф, входящий в эту формулу, выразим через плотность потока. Плотность потока на расстоянии R от точечного источника излучений А = Ф /(4 я £ 2). (2) 391 После прохождения излучений через свинцовую стенку контей нера плотность потока уменьшится и выразится соотношением J 2= = J 1e~lxx. Выразив отсюда J 1 и подставив в формулу (2), найдем J 2e^x = Ф/(4я/?2), откуда ф — 4 я£!2./2ед*. Подставив выражение Ф в (1), получим A = 4nR2J ^ х1п. Если в полученной формуле принять J 2= J доп, то эта формула будет выражать искомую максимальную активность источника, который можно хранить в контейнере: Amax = 4nR2Jmne»x/n. (3) По графику на рис. 42.1 находим, что линейный коэффициент ослабления р для у-фотонов с энергией г= 1,25 МэВ равен 0,64 см“ Е Выразим величины, входящие в формулу (3), в единицах СИ и, выполнив вычисления, получим Л - 3 ,8 МБк. Пример 3. Космическое излучение на уровне моря на экваторе образует в воздухе объемом К—1 см3 в среднем N=24 пары ионов за время ^ —10 с. Определить экспозиционную дозу X, получаемую человеком за время t2= 1 год. Р е ш е н и е . Экспозиционную дозу, получаемую человеком, можно выразить по формуле Х = Х *а, (1) где X — мощность экспозиционной дозы излучения. Мощность дозы X=Q/(mt1), где Q — заряд ионов одного знака, образуемых излучением за время t± в воздухе массой т. Масса воз духа может быть найдена как произведение плотности р воздуха на его объем V : m=pV. Заряд всех ионов одного знака найдем, помножив элементарный заряд на число ионов: Q=\e\N. Формула (1) с учетом выражений X, т и Q примет вид \e \N t2 ( 2) pVh Х - Х^ ш - Х Выразим величины, входящие в формулу (2), в единицах СИ и, выполнив вычисления, получим X —9,41 мкКл/кг. Задачи Поглощение гамма-излучений * 42.1. Определить число N слоев половинного ослабления, умень шающих интенсивность / узкого пучка у-излучения в k= 100 раз. * При решении задач 42.2—42.7 воспользоваться графиком, изображен ным на рис. 42.1. 392 42.2. Определить для бетона толщину слоя половинного ослаб ления 2 узкого пучка у-излучения с энергией фотонов £=0,6 МэВ. 42.3. На какую глубину нужно погрузить в воду источник уз кого пучка у-излучения (энергия £ гамма-фотонов равна 1,6 МэВ), чтобы интенсивность / пучка, выходящего из воды, была уменьшена в /г= 1000 раз? 42.4. Интенсивность I узкого пучка у-излучения после про хождения через слой свинца толщиной х=4 см уменьшилась в k== = 8 раз. Определить энергию £ гамма-фотонов и толщину x lj2 слоя половинного ослабления. 42.5. Через свинец проходит узкий пучок у-излучения. При каком значении энергии £ гамма-фотонов толщина х г/2 слоя поло винного ослабления будет максимальной? Определить максималь ную толщину хтах слоя половинного ослабления для свинца. 42.6. Узкий пучок у-излучения (энергия £ гамма-фотонов равна 2,4 МэВ) проходит через бетонную плиту толщиной хг= \ м. Какой толщины х 2 плита из чугуна дает такое же ослабление данного пучка у-излучения? 42.7. Чугунная плита уменьшает интенсивность I узкого пучка у-излучения (энергия £ гамма-фотонов равна 2,8 МэВ) в /г= 10 раз. Во сколько раз уменьшит интенсивность этого пучка свинцовая плита такой же толщины? Элементы дозиметрии 42.8. Какая доля w всех молекул воздуха при нормальных усло виях ионизируется рентгеновским излучением при экспозиционной дозе Х =258 мкКл/кг? 42.9. Воздух при нормальных условиях облучается у-излучением. Определить энергию W , поглощаемую воздухом массой т = 5 г при экспозиционной дозе излучения Х =258 мк Кл/кг. 42.10. Под действием космических лучей в воздухе объемом V= = 1 см3 на уровне моря образуется в среднем 7V= 120 пар ионов за промежуток времени А /= 1 мин. Определить экспозиционную дозу X излучения, действию которого подвергается человек за время t= = 1 сут. 42.11. Эффективная вместимость V ионизационной камеры кар манного дозиметра равна 1 см3, электроемкость С = 2 пФ. Камера содержит воздух при нормальных условиях. Дозиметр был заряжен до потенциала cpi = 150 В. Под действием излучения потенциал понизился до ф2= 110 В. Определить экспозиционную дозу X излу чения. 42.12. Мощность X экспозиционной дозы, создаваемая удален ным источником у-излучения с энергией фотонов £=2 МэВ, равна 0,86 мкА/кг. Определить толщину х свинцового экрана, снижаю щего мощность экспозиционной дозы до уровня предельно допусти мой Х = 0,86 нА/кг (см. рис. 42.1). 42.13. На расстоянии / = 10 см от точечного источника у-излуче393 ния мощность экспозиционной дозы Х =0,86 мкА/кг. На каком наи меньшем расстоянии /min от источника экспозиционная доза излу чения X за рабочий день продолжительностью t= 6 ч не превысит предельно допустимую 5,16 мкКл/кг? Поглощением у-излучения в воздухе пренебречь. 42.14. Мощность экспозиционной дозы X гамма-излучения на расстоянии /*!=40 см от точечного источника равна 4,30 мкА/кг. Определить время t , в течение которого можно находиться на рас стоянии г 2=6 м от источника, если предельно допустимую экспози ционную дозу X принять равной 5,16 мкКл/кг. Поглощением у-излучения в воздухе пренебречь. § 43. ДЕФЕКТ МАССЫ И ЭНЕРГИЯ СВЯЗИ АТОМНЫХ ЯДЕР Основные формулы Ф Согласно релятивистской механике, масса покоя т устойчи вой системы взаимосвязанных частиц меньше суммы масс покоя тех же частиц, взятых в свободном состоянии. Разность Дт = (т1+ т2+ . . . + тк) — т (1) называется дефектом массы системы частиц. Ф Энергия связи прямо пропорциональна дефекту массы систе мы частиц: £ CB= c2Am, где с — скорость света в вакууме (с2=8,987 -1016 м2/с2= 8 ,9 8 7 х X Ю16 Дж/кг). Если энергия выражена в мегаэлектрон-вольтах, а масса в атом ных единицах, то с2= 931,4 МэВ/а. е. м. Ф Дефект массы * Дт атомного ядра есть разность между сум мой масс свободных протонов и нейтронов и массой образовавшегося из них ядра: Am = (Zmp -f Nmn) — т я, где Z — зарядовое число (число протонов в ядре); тр и тп — массы протона и нейтрона соответственно; т я — масса ядра. Если учесть, что т я = т а— Zme\ = N = (A —Z), * Термин «дефект массы» иногда применяют в другом смысле, а именно: дефектом массы А называют разность между относительной массой А г дан ного изотопа и его массовым числом А: А— А г—А. Таким образом, дефект массы А показывает отклонение относительной атомной массы от целочислен ного значения. Эта величина прямого физического смысла не имеет, но ее использование позволяет в ряде случаев значительно упростить вычисления. В настоящем пособии всюду имеется в виду дефект массы Ат, определяе мый общей формулой (1). 394 то формулу дефекта массы ядра можно представить в виде Am = Zmiu + (А — Z)mn—ma, где А — массовое число (число нуклонов в ядре). • Удельная энергия связи (энергия связи на нуклон) Еул = Есв/А. Примеры решения задач Пример 1. Вычислить дефект массы Ат и энергию связи Есв ядра “ В. Р е ш е н и е . Дефект массы ядра определим по формуле Am ~ Zm 1 (А —Z)т п— ma. (1) iH Вычисление дефекта массы выполним во внесистемных единицах (а. е. м.). Для ядра ^В Z = 5, А = И. Массы нейтральных атомов водорода (}Н) и бора (“ В), а также нейтрона (п) найдем из табл. 21. Подставим найденные массы в выражение (1) и произведем вычис ления: Am = [5 -1,00783 + (11— 5) • 1,00867— 11,00931] а. е. м., или Ат —0,08186 а. е. м. Энергия связи ядра определяется соотношением £ св —А те2. (2) Энергию связи ядра также найдем во внесистемных единицах (МэВ). Для этого дефект массы подставим в выражение (2) в а. е. м., а коэффициент пропорциональности (с2) — в МэВ/ (а. е. м.), т. е. Е св - 931 •4 • 1,08186 МэВ -7 6 ,2 4 МэВ, и округлим полученный результат до трех значащих цифр: £ св- 7 6 ,2 МэВ. Пример 2. Определить удельную энергию связи ядра ILi. Р е ш е н и е . Удельная энергия связи есть энергия связи ядра, приходящаяся на один нуклон: ^Еуд — F /г2 У ИЛИ £ уя = -Т tZmjH + (Л — Z) m«— ma] • Подставим в эту формулу значения величин (см. табл. 21,22) и произведем вычисления: £ уд = [3 • 1,00783 + (7—3) • 1,00867—7,01601] МэВ/нуклон = —5,61 МэВ/нуклон. Пример 3. Определить энергию Е , которую нужно затратить для отрыва нейтрона от ядра f^Na. Р е ш е н и е . После отрыва нейтрона число нуклонов А в ядре уменьшится на единицу, а число протонов Z останется неизменным; 395 получится ядро 22Na. Ядро 23Na можно рассматривать как устойчи вую систему, образовавшуюся в результате захвата свободного нейтрона ядром 22Na. Энергия отрыва нейтрона от ядра 23Na равна энергии связи нейтрона с ядром 22Na (Е=ЕСВ). Выразив энергию связи нейтрона через дефект массы системы, по лучим Е = £ св = с2Ат = с2(m22Na + тп— M 23Na). При подстановке числовых значений заменяем массы ядер масса ми нейтральных атомов. Так как число электронов в оболочках ато мов 22Na и 23Na одинаково, то разность масс атомов 23Na и 22Na от такой замены не изменится: Е = 931,4 МэВ/а. е. м. •0,01334 а. е. м. - 12,42 МэВ. После округления £ -1 2 ,4 МэВ. Задачи 43.1. Используя известные значения масс нейтральных атомов JH, 2Н, 126С и электрона, определить массы тр протона, md дейтона, тя ядра 126С. 43.2. Масса та альфа-частицы (ядро гелия Ше) равна 4,00150 а. е. м. Определить массу та нейтрального атома гелия. 43.3. Зная массу та нейтрального атома изотопа лития ILi (см. табл. 21), определить массы т1у т2 и т3 ионов лития: одноза рядного (зЫ) + , двухзарядного (JLi) + + и трехзарядного (£Li) + + + . 43.4. Определить дефект массы Ат и энергию связи Есв ядра атома тяжелого водорода. 43.5. Определить энергию £ св, которая освободится при соедине нии одного протона и двух нейтронов в атомное ядро. 43.6. Определить удельную энергию связи £ уд ядра Х1С. 43.7. Энергия связи £ св ядра, состоящего из двух протонов и одного нейтрона, равна 7,72 МэВ. Определить массу т а нейтрально го атома, имеющего это ядро. 43.8. Определить массу т а нейтрального атома, если ядро этого атома состоит из трех протонов и двух нейтронов и энергия связи £ св ядра равна 26,3 МэВ. 43.9. Атомное ядро, поглотившее 7-фотон (^—0,47 пм), пришло в возбужденное состояние и распалось на отдельные нуклоны, разле тевшиеся в разные стороны. Суммарная кинетическая энергия Т нуклонов равна 0,4 МэВ. Определить энергию связи £ св ядра. 43.10. Какую наименьшую энергию Е нужно затратить, чтобы разделить на отдельные нуклоны ядра £Li и ]Ве? Почему для ядра бериллия эта энергия меньше, чем для ядра лития? 43.11. Определить энергию £ , которая выделится при образо вании из протонов и нейтронов ядер гелия £Не массой т— \ г. 43.12. Какую наименьшую энергию Е нужно затратить, чтобы оторвать один нейтрон от ядра азота ^N? 396 43.13. Найти минимальную энергию £ , необходимую для уда ления одного протона из ядра азота ^N. 43.14. Энергия связи £ св ядра кислорода 1880 равна 139,8 МэВ, ядра фтора — 147,8 МэВ. Определить, какую минимальную энергию Е нужно затратить, чтобы оторвать один протон от ядра фтора. 43.15. Какую наименьшую энергию связи Е нужно затратить, чтобы разделить ядро 2Не на две одинаковые части? 43.16. Определить наименьшую энергию £ , необходимую для разделения ядра углерода на три одинаковые части. § 44. ЯДЕРНЫЕ РЕАКЦИИ Основные формулы • Символическая запись ядерной реакции может быть дана или в развернутом виде, например fBe + {Н tHe + 3§Li или сокращенно 9Ве(/?, a )6 Li. При сокращенной записи порядковый номер атома не пишут, так как он определяется химическим символом атома. В скобках на пер вом месте ставят обозначение бомбардирующей частицы, на втором— частицы, вылетающей из составного ядра, и за скобками — химиче ской символ ядра-продукта. Для обозначения частиц приняты следующие символы: р — про тон, п — нейтрон, d — дейтон, t — тритон, а — альфа-частица, у — гамма-фотон. • Законы сохранения: а) числа нуклонов А 1+ А 2= А 3А~А^ б) заряда Z1+ Z 2= Z 3+ 2 4; в) релятивистской полной энергии Е1+ Е 2=--Е3+ Е 4; г) импульса р !+ р 2= р з + р 4Если общее число ядер и частиц, образовавшихся в результате реакции, больше двух, то запись соответственно дополняется. • Энергия ядерной реакции Q = с2[(/«! + m2) — ( т 3+ т 4)], где тг и т2 — массы покоя ядра-мишени и бомбардирующей части цы; m3+ m 4 — сумма масс покоя ядер продуктов реакции. Если m ! + ^ 2> ^ 3+ m 4, то энергия освобождается, энергетиче ский эффект положителен, реакция экзотермическая. Если m i + ^ 2<tf?3+ m4>то энергия поглощается, энергетический эффект отрицателен, реакция эндотермическая. Энергия ядерной реакции может быть записана также в виде Q = (7,l - r 2) - ( T 3-1- r 4), 397 где Тх и Т 2 — кинетические энергии соответственно ядра-мишени и бомбардирующей частицы; Т 3 и Г 4 — кинетические энергии вы летающей частицы и ядра — продукта реакции. При экзотермической реакции Т з + Т ^ Т г + Т 2; при эндотерми ческой реакции T 3~\-Ti<.T1+ T 2. Примеры решения задач Пример 1. Найти энергию реакции 9Be + ! H - > 42He + 36Li, если известно, что кинетические энергии протона Тн= 5,45 МэВ, ядра гелия 7н е= 4 МэВ и что ядро гелия вылетело под углом 90° к направлению движения протона. Ядро-мишень ^Ве неподвижно. Р е ш е н и е . Энергия реакции Q есть разность между суммой кинетических энергий ядер-продуктов реакции и кинетической энер гией налетающего ядра: Q = T Li + T He— T H. (1) В этом выражении неизвестна кинетическая энергия Ти лития. Для ее определения воспользуемся закономсохранения импульса (2) Векторы рн и р не, по условию задачи, взаимно перпендикуляр ны и, следовательно, вместе с вектором ри образуют прямоуголь ный треугольник. Поэтому РН = РН е+Ры . Ри ~ ^Не + Рн* (3) Выразим в этом равенстве импульсы ядер через их кинетические энергии. Так как кинетические энергии ядер, по условию задачи, много меньше энергий покоя этих ядер (см. табл. 21), то можно воспользоваться классической формулой р 2= 2 тТ. (4) Заменив в уравнении (3) квадраты импульсов ядер ихвыражения ми (4), после упрощения получим Ш и Т U = ГПн qT Не + Г П н Т н , откуда Ти = т Не'£не + т н'ГН mLi = 3,58 МэВ. Подставив числовые значения в формулу (1), найдем Q = Tue + Т и — Г н = 2,13 МэВ. Пример 2. Решить задачу предыдущего примера, считая, что кинетические энергии и направления движения ядер неизвестны. Р е ш е н и е . Применим закон сохранения релятивистской пол ной энергии £ Ве + Ей = ^*Не 398 Ей» ( 1) Релятивистская полная энергия ядра равна сумме энергии покоя и кинетической энергии: Е=тс2+ Т . (2) В формуле (2) для упрощения записи масса покоя обозначена не через т 0, а через т. Так как ядро-мишень 9Ве неподвижно, то на основании фор мулы (2) уравнение (1) примет вид Ш в е С 2 + t n H C 2 + T n = Г П п е С 2 + Т Не + ГП\л С 2 + Т Ы. (3) Определим энергию реакции: Q = ТНе + Т Li — Т н = С 2 [(Шве + ^ н ) — (m He + ^Li)]« (4) При числовом подсчете массы ядер заменим массами нейтральных атомов. Легко убедиться, что такая замена не повлияет на результат вычисления. В самом деле, так как масса т ядра равна разности между массой т а нейтрального атома и массой Zme электронов, об разующих электронную оболочку, то Q = c2[(mBe + 4те + тн — те) — (тПе— 2те + ти — 3те)]. (5) Упростив уравнение (5), найдем Q = c2[(mBe + /ян) — (mHe + mLi)]. (6) Подставив числовые значения коэффициента пропорциональ ности с2 (МэВ/а. е. м.) и масс нейтральных атомов (а. е. м.), получим Q=2,13 МэВ, что совпадает с результатом, полученным в примере 1. Пример 3. Радиоактивное ядро магния 23Mg выбросило позитрон и нейтрино. Определить энергию Q (3+-распада ядра. Р е ш е н и е . Реакцию |3+-распада ядра магния можно записать следующим образом: i^Mg —►i?Na + \е + Jv. Принимая, что ядро магния было неподвижным, и учитывая, что мас са покоя нейтрино равна нулю, напишем уравнение энергетического баланса. На основании закона сохранения релятивистской полной энергии имеем С2ШMg = C2/ftNa "~4 T^Na 4 “ С2Ше Т е T v. (1) Энергия распада Q — TNaJr T eJr T v — С2 (mMg — ftlNa Я2е). (2) Выразим массы ядер магния и натрия через массы соответствую щих нейтральных атомов: Q = c2[(mMg — 12me) — (mNa — 11пге) — m e] . Так как массы покоя электрона и позитрона одинаковы, то после упрощений получим Q = c2(niMg—mNa — 2m e). Сделав подстановку, найдем Q=3,05 МэВ. 399 Задачи Законы сохранения в ядерных реакциях 44.1. Определить порядковый номер Z и массовое число А ча стицы, обозначенной буквой лг, в символической записи ядерной реакции: “ C + JHe — ЧО + * 44.2. То же, для реакции %А\ 4 х — + 44.3. Определить энергию Q ядерных реакций: 1) JBe + |Н —►*бВ + \п\ 4) JLi + \Н —^Ве-Ьо^» 2) gLi + ?Н —^ gHe + pie; 5) f0Ca + }Н — «К + JHe; 3) gLi -f гНе —►10bB + In. Освобождается или поглощается энергия в каждой из указанных реакций? 44.4. Найти энергию Q ядерных реакций: 1) 3Н (/?, у) 4Не; 2) 2Н (d, у) 4Не; 3) 2Н (л, у) 3Н; 4) 19F (р, а) 160 . 44.5. При соударении у-фотона с дейтоном последний может рас щепиться на два нуклона. Написать уравнение ядерной реакции и определить минимальную энергию у-фотона, способного вызывать такое расщепление. 44.6. Определить энергию Q ядерной реакции 9Ве(п, у)10Ве, если известно, что энергия связи Есв ядра 9Ве равна 58,16 МэВ, а ядра 10Ве — 64,98 МэВ. 44.7. Найти энергию Q ядерной реакции 14N (я , /?)14С, если энер гия связи Есв ядра 14N равна 104,66 МэВ, а ядра 14С — 105,29 МэВ. 44.8. Определить суммарную кинетическую энергию Т ядер, образовавшихся в результате реакции 13С (d, а) 41В, если кинети ческая энергия Тг дейтона равна 1,5 МэВ. Ядро-мишень 13С считать неподвижным. 44.9. При ядерной реакции 9Ве(а, п) 12С освобождается энергия <2=5,70МэВ. Пренебрегая кинетическими энергиями ядер бериллия и гелия и принимая их суммарный импульс равным нулю, опреде лить кинетические энергии ^ и Т 2 продуктов реакции. 44.10. Пренебрегая кинетическими энергиями ядер дейтерия и принимая их суммарный импульс равным нулю, определить кинети ческие энергии Тг и Т 2 и импульсы р1 и р 2 продуктов реакции JH + ! H - * ; He + S/i. 44.11. При реакции 6Li(d, р) 7Li освобождается энергия Q = =5,028 МэВ. Определить массу m 6Li. Массы остальных атомов взять из табл. 21. 44.12. При реакции 2Н (d, р) 3Н освобождается энергия Q = =4,033 МэВ. Определить массу m атома 3Н. Массы остальных ато мов взять из табл. 21. 44.13. При ядерной реакции 3Не (d , р) 4Не освобождается энер гия Q = 18,34 МэВ. Определить относительную атомную массу Аг изотопа гелия 3Не. Массы остальных атомов взять из табл. 21. 400 Реакция деления 44.14. Определить кинетическую энергию Т и скорость v теп лового нейтрона при температуре ^окружающей среды, равной 27 °С. 44.15. Найти отношение скорости иг нейтрона после столкнове ния его с ядром углерода 12С к начальной скорости vt нейтрона. Найти такое же отношение кинетических энергий нейтрона. Счи тать ядро углерода до столкновения покоящимся; столкновение — прямым, центральным, упругим. 44.16. Ядро урана 2jJ!|U, захватив один нейтрон, разделилось на два осколка, причем освободилось два нейтрона. Одним из осколков оказалось ядро ксенона ^ Х е . Определить порядковый номер Z и массовое число А второго осколка. 44.17. При делении одного ядра урана-235 выделяется энергия Q=200 МэВ. Какую долю энергии покоя ядра урана-235 составляет выделившаяся энергия? 44.18. Определить энергию £ , которая освободится при делении всех ядер, содержащихся в уране-235 массой т= 1 г. 44.19. Сколько ядер урана-235 должно делиться за время f = l с, чтобы тепловая мощность Р ядерного реактора была равной 1 Вт? 44.20. Определить массовый расход mt ядерного горючего 235(7 в ядерном реакторе атомной электростанции. Тепловая мощность Р электростанции равна 10 МВт. Принять энергию Q, выделяющуюся при одном акте деления, равной 200 МэВ. КПД rj электростанции составляет 20 %. 44.21. Найти электрическую мощность Р атомной электростан ции, расходующей 0,1 кг урана-235 в сутки, если К П Д ^ станции равен 16 %. Энергия радиоактивного распада ядер 44.22. Определить энергию Q альфа-распада ядра полония 2J®Po. 44.23. Покоившееся ядро полония 2JJPo выбросило ос-частицу с кинетической энергией Т = 5,3 МэВ. Определить кинетическую энергию Т ядра отдачи и полную энергию Q, выделившуюся при араспаде. 44.24. Ядро углерода г\С выбросило отрицательно заряженную (3-частицу и антинейтрино. Определить полную энергию Q бетараспада ядра. 44.25. Неподвижное ядро кремния 3JSi выбросило отрицательно заряженную Р-частицу с кинетической энергией Т —0,5 МэВ. Пре небрегая кинетической энергией ядра отдачи, определить кинети ческую энергию Тг антинейтрино. 44.26. Определить энергию Q распада ядра углерода ^С, выбро сившего позитрон и нейтрино. 44.27. Ядро атома азота 13N выбросило позитрон. Кинетическая энергия Т е позитрона равна 1 МэВ. Пренебрегая кинетической энергией ядра отдачи, определить кинетическую энергию Tv нейт рино, выброшенного вместе с позитроном. 401 Элементарные частицы 44.28. Свободный нейтрон радиоактивен. Выбрасывая электрон и антинейтрино, он превращается в протон. Определить суммарную кинетическую энергию Т всех частиц, возникающих в процессе превращения нейтрона. Принять, что кинетическая энергия нейтро на равна нулю и что масса покоя антинейтрино пренебрежимо мала. 44.29. Фотон с энергией 8= 3 МэВ в поле тяжелого ядра превра тился в пару электрон — позитрон. Принимая, что кинетическая энергия частиц одинакова, определить кинетическую энергию Т каждой частицы. 44.30. Электрон и позитрон, имевшие одинаковые кинетические энергии, равные 0,24 МэВ, при соударении превратились в два одинаковых фотона. Определить энергию г фотона и соответствую щую ему длину волны к. 44.31. Нейтральный я-мезон (я°), распадаясь, превращается в два одинаковых у-фотона. Определить энергию 8 фотона. Кинети ческой энергией и импульсом мезона пренебречь. ГЛАВА 9 ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ § 45. ВОЛНОВЫЕ СВОЙСТВА МИКРОЧАСТИЦ Основные формулы 9 Формула де Бройля, выражающая связь длины волн с импуль сом р движущейся частицы, для двух случаев: а) в классическом приближении (v<^c] p^=m0v) X = 2nfi/p\ б) в релятивистском случае (скорость v частицы сравнима со скоростью с света в вакууме; р = mv = m^vlV 1— v2/c2) К= — У I _ y 2/C2< • Связь длины волны де Бройля с кинетической энергией частицы: v ^ A 2nk а) в классическом приближении а = -7= ; Т К 2т0Т б) в релятивистском случае X = 2пТьс V T ( T + 2 F 0) ’ где Е0 — энергия покоя частицы (Е0=т 0с2). 9 Фазовая скорость волн де Бройля где со — круговая частота; k — волновое число (k=2п/Х). 9 Групповая скорость волн де Бройля dco tl = dk 9 Соотношения де Бройля: E = fm; p = fik, где Е — энергия движущейся частицы; р — импульс частицы; к — волновой вектор; |к|=& =2л :!Х\ К — постоянная Планка (Й= =А |(2я)=1,05* 10~34 Д ж с ). • Соотношения неопределенностей: а) для координаты и импульса частицы АрхАх^%, где Арх — неопределенность проекции импульса частицы на ось х\ Ах — неоп ределенность ее координаты; б) для энергии и времени A E A t^fi, где АЕ — неопределенность энергии данного квантового состояния; At — время пребывания системы в этом состоянии. 403 Примеры решения задан Пример 1. Электрон, начальнойскоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющуюразностьпотенциалов U . Найти длину волны де Бройля X для двух случаев: 1) и х=Ь\ В; 2) U 2= =510 кВ. Р е ш е н и е . Длина волны де Бройля К частицы зависит от ее импульса р и определяется формулой %=-2nh/p, ( 1) Импульс частицы можно определить, если известна ее кинетичес кая энергия Т. Связь импульса с кинетической энергией для не релятивистского (когда Т<^Е0) и для релятивистского (когда Тж ~ Е 0) случаев соответственно выражается формулами: (2) Р = У Ш ?Г\ р = 1 К ( 2£0+ Г )Г . (3) Формула (1) с учетом соотношений (2) и (3) запишется соответ ственно в нерелятивистском и релятивистском случаях: 2лк ' I (4) УЩ т’ _____ 2лЯ_____ ( l / c ) V ( 2 E 0-r T)T (5) Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов U ^ b l В и t / 2=510 кВ, с энергией покоя электрона и в зависимости от этого решим вопрос, которую из формул (4) и (5) следует применить для вычисления длины волны де Бройля. Как известно, кинетическая энергия электрона, прошедшего ус коряющую разность потенциалов £/, T = \e \U . В первом случае 7 \= \е |t/x=51 эВ=0,51 • 10~4 МэВ, что много меньше энергии покоя электрона Е0=т0с2=0,Ы МэВ. Следователь но, можно применить формулу (4). Для упрощения расчетов заметим, что Т ^ Ю -4 т 0с2. Подставив это выражение в формулу (4), перепишем ее в виде 7 2пЯ _ Ю2 2п% 1 ~ У 2m0- 10~*т0с ~~ У 2 ™оС * Учтя, что есть комптоновская длина волны Яс , получим Лх= ( 10я/ | ^ 2) кс. Так как Хс=2,43-10" 12 м, то К = -£ = -2 ,4 3 .10-12м = 172 пм. V 2 404 Во втором случае кинетическая энергия Т 2= \е кэВ^= =0,51 МэВ, т. е. равна энергии покоя электрона. Следовательно, необходимо применить релятивистскую формулу (5). Учтя, что 7^2=0,51 М э В = т 0с2, по формуле (5) найдем 2лЯ 2лЛ или = 2 V3 — Y (2т0с2+ т0с2) т0с2 ^ ^т°с Подставив значение \ с в последнюю формулу и произведя вы числения, получим Х 2= 1 , 4 пм. Пример 2. На узкую щель шириной а— 1 мкм направлен парал лельный пучок электронов, имеющих скорость у=3,65 М м / с . Учи тывая волновые свойства электронов, определить расстояние х между двумя максимумами интенсивности первого порядка в диф ракционной картине, полученной на экране, отстоящем на L= 10 см от щели. Р е ш е н и е . Согласно гипотезе де Бройля, длина волны Я, соответствующая частице массой т , движущейся со скоростью v , выражается формулой 'k~ 2nfi/(m v). (1) Дифракционный максимум при дифракции на одной щели наб людается при условии a sin cp= (2& +1) (^/2), (2) где k=0, 1, 2, 3, . . .— порядко вый номер максимумов; а — ши рина щели. Для максимумов первого поряд ка (k= l) угол ф заведомо мал, по этому sin ф = ф , и, следовательно, формула (2) примет вид #ф—3ДЛ> (3) а искомая величина х, как следует из рис. 45.1, х= 2L tg ф = 2/хр, (4) так как tg ф ^ф . Подставив значение ф из соотношения (3) в формулу (4), получим qг 3 К rtL-'K X = 2L-гг — = 3— , 2 а а Подстановка в последнее равенство длины волны де Бройля по формуле (1) дает Tifi L 6 atnv (5) После вычисления по формуле (5) получим х = 6 • 10“5м = 60мкм. 405 Пример 3. На грань кристалла никеля падает параллельный пучок электронов. Кристалл поворачивают так, что угол скольже ния ft изменяется. Когда этот угол делается равным 64°, наблюдается максимальное отражение электронов, соответствующее дифракцион ному максимуму первого порядка. Принимая расстояние d между атомными плоскостями кристалла равным 200 пм, определить длину волны де Бройля X электронов и их скорость v. Р е ш е н и е . К расчету дифракции электронов от кристалли ческой решетки применяется то же уравнение Вульфа — Брэгга, которое используется в случае рентгеновского излучения (см. § 31): 2 d sin ft=&A, где d — расстояние между атомными плоскостями кристалла: ft —■ угол скольжения; k — порядковый номер дифракционного макси мума; X — длина волны де Бройля. Очевидно, что Х= (2 d sin ft)/fe. Подставив в эту формулу значения величин и вычислив, получим А,=360 пм. Из формулы длины волны де Бройля А=2 п%/ (то) выразим ско рость электрона: v — 2zihl{mX). Подставив в эту формулу значения я, т (масса электрона), X и произведя вычисления, найдем v=2 Мм/с. Пример 4. Кинетическая энергия Т электрона в атоме водорода составляет величину порядка 10 эВ. Используя соотношение неопре деленностей, оценить минимальные линейные размеры атома. Р е ш е н и е . Неопределенность координаты и импульса элект рона связаны соотношением АхАр^%, (1) где Ах — неопределенность координаты электрона; Ар — неопреде ленность его импульса. Из этого соотношения следует, что чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределенным становится импульс, а следовательно, и энергия частицы. Пусть атом имеет линейные размеры /, тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с неопределенностью: Ах=1/2. Соотноше ние неопределенностей (1) можно записать в этом случае в виде (1/2) Ap ^ fi, откуда / > 2&/(Лр). (2) Физически разумная неопределенность импульса Ар , во всяком случае, не должна превышать значения самого импульса /?, т. е. Др < р Импульс р связан с кинетической энергией Т соотношением p = V 2пгТ. Заменим Ар значением У 2пгТ (такая замена не увели 406 чит /). Переходя от неравенства (2) к равенству, получим 1т1л = 2Л 1^Ш г. Подставив числовые значения и произведя вычисления, найдем L n = 124 пм. Пример 5. Используя соотношение неопределенностей энергии и времени, определить естественную ширину ДА спектральной линии излучения атома при переходе его из воз бужденного состояния в основное. Сред нее время х жизни атома в возбужденном состоянии принять равным 10~8 с, а дли ну волны А излучения — равной 600 нм. Р е ш е н и е . При переходе атомов из возбужденного состояния в основное су ществует некоторый разброс (неопреде ленность) в энергии испускаемых фотонов. Это связано с тем, что энергия возбужден ного состояния не является точно опре деленной, а имеет конечную ширину Г (рис, 45.2). Согласно со отношению неопределенностей энергии и времени, ширина Г энер гетического уровня возбужденного состояния связана со средним временем т жизни атомов в этом состоянии соотношением Г т ~ А. Тогда ширина энергетического уровня определяется выражением Г = fi/x. Вследствие конечной ширины уровня энергии возбужденного состоя ния энергия фотонов, испускаемых атомами, также имеет разброс, равный ширине энергетического уровня, т. е. Д е= Г. Тогда Ае = %/х. ( 1) Поскольку энергия е фотона связана с длиной волны Асоотношением е = 2я Ас/А, то разбросу Ае (Де<^е) энергии соответствует разброс ДА длин волн (ДА<А): . 2nhc Ал Д е= -г?(2) № ДА (знак минус опущен). Входящий в это выражение конечный интервал длин волн ДА и есть естественная ширина спектральной линии. Выразив ДА, из фор мулы (2) и заменив Де согласно (1), получим Произведем вычисления: ДА = 2 • 10~14м^=20 фм. 407 Вопросы и задачи Волны де Бройля 45.1. Определить длину волны де Бройля X, характеризующую волновые свойства электрона, если его скорость £>=1 Мм/с. Сделать такой же подсчет для протона. 45.2. Электрон движется со скоростью £>=200 Мм/с. Определить длину волны де Бройля X, учитывая изменение массы элктрона в зависимости от скорости. 45.3. Какую ускоряющую разность потенциалов U должен прой ти электрон, чтобы длина волны де Бройля X была равна 0,1 нм? 45.4. Определить длину волны де Бройля X электрона, если его кинетическая энергия Т= 1 кэВ. 45.5. Найти длину волны де Бройля X протона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U : 1) 1 кВ; 2) 1 МВ. 45.6. Найти длину волны де Бройля X для электрона, движуще гося по круговой орбите атома водорода, находящегося в основном состоянии. 45.7. Определить длину волны де Бройля X электрона, находя щегося на второй орбите атома водорода. 45.8. С какой скоростью движется электрон, если длина волны де Бройля X электрона равна его комптоновской длине волны Хс? 45.9. Определить длину волны де Бройля ^электронов, бомбарди рующих антикатод рентгеновской трубки, если граница сплошного рентгеновского спектра приходится на длину волны ^ = 3 нм. 45.10. Электрон движется по окружности радиусом г= 0,5 см в однородном магнитном поле с индукцией В = 8 мТл. Определить длину волны де Бройля X электрона. 45.11. На грань некоторого кристалла под углом ос=60° к ее по верхности падает параллельный пучок электронов, движущихся с одинаковой скоростью. Определить скорость v электронов, если они испытывают интерференционное отражение первого порядка. Рас стояние d между атомными плоскостями кристаллов равно 0,2 нм. 45.12. Параллельный пучок электронов, движущихся с одина ковой скоростью V— 1 Мм/с, падает нормально на диафрагму с длин ной щелью шириной а— 1 мкм. Проходя через щель, электроны рассеиваются и образуют дифракционную картину на экране, расположенном на расстоянии /= 5 0 см от щели и параллельном плоскости диафрагмы. Определить линейное расстояние х между первыми дифракционными минимумами. 45.13. Узкий пучок электронов, прошедших ускоряющую раз ность потенциалов U —30 кВ, падает нормально на тонкий листок золота, проходит через него и рассеивается. На фотопластинке, расположенной за листком на расстоянии /= 20 см от него, получена дифракционная картина, состоящая из круглого центрального пят на и ряда концентрических окружностей. Радиус первой окружно сти г= 3,4 мм. Определить: 1) угол й отражения электронов от мик408 рокристаллов золота, соответствующий первой окружности (угол измеряется от поверхности кристалла); 2) длину волны де Бройля X электронов; 3) постоянную а кристаллической решетки золота. Фазовая и групповая скорости 45.14. Прибор зарегистрировал скорость распространения элект ромагнитного импульса. Какую скорость зарегистрировал прибор — фазовую или групповую? 45.15. Можно ли измерить фазовую скорость? 45.16. Волновой «пакет» образован двумя плоскими монохрома тическими волнами: £i(x, /)=cos(1002 /—Зх); £2(х, /)=cos(1003 /—3,01 х). Определить фазовые скорости vt и v2 каждой волны и групповую скорость и волнового «пакета». 45.17. Известно, что фазовая скорость v=(d/k. Найти выражения фазовой скорости волн де Бройля в нерелятивистском и релятивист ском случаях. 45.18. Фазовая скорость волн де Бройля больше скорости света в вакууме (в релятивистском случае). Не противоречит ли это посту латам теории относительности? 45.19. Зная общее выражение групповой скорости, найти группо вую скорость и волн де Бройля в нерелятивистском и релятивистском случаях. 45.20. Написать закон дисперсии (т. е. формулу, выражающую зависимость фазовой скорости от длины волны) волн де Бройля в нерелятивистском и релятивистском случаях. 45.21. Будут ли расплываться в вакууме волновые пакеты, обра зованные из волн: 1) электромагнитных; 2) де Бройля? Соотношение неопределенностей 45.22. Определить неточность Ах в определении координаты электрона, движущегося в атоме водорода со скоростью и = 1 ,5 х X Ю6 м/с, если допускаемая неточность Ди в определении скорости составляет 10 % от ее величины. Сравнить полученную неточность с диаметром d атома водорода, вычисленным по теории Бора для ос новного состояния, и указать, применимо ли понятие траектории в данном случае. 45.23. Электрон с кинетической энергией Т ~ 15 эВ находится в металлической пылинке диаметром d= 1 мкм. Оценить относитель ную неточность Дц, с которой может быть определена скорость элект рона. 45.24. Во сколько раз дебройлевская длина волны К частицы меньше неопределенности Дх ее координаты, которая соответ ствует относительной неопределенности импульса в 1 %? 45.25. Предполагая, что неопределенность координаты движу щейся частицы равна дебройлевской длине волны, определить отно сительную неточность Др'р импульса этой частицы. 409 45.26. Используя соотношение неопределенностей ДхА найти выражение, позволяющее оценить минимальную энергию Е электрона, находящегося в одномерном потенциальном ящике ши риной /. 45.27. Используя соотношение неопределенностей ДхД/?х!>&, оце нить низший энергетический уровень электрона в атоме водорода. Принять линейные размеры атома /^ 0 ,1 нм. 45.28. Приняв, что минимальная энергия Е нуклона в ядре равна 10 МэВ, оценить, исходя из соотношения неопределенностей, линей ные размеры ядра. 45.29. Показать, используя соотношение неопределенностей, что в ядре не могут находиться электроны. Линейные размеры ядра принять равными 5 фм. 45.30. Рассмотрим следующий мысленный эксперимент. Пусть моноэнергетический пучок электронов (7 = 1 0 эВ) падает на щель шириной а. Можно считать, что если электрон прошел через щель, то его координата известна с неточностью А х=а. Оценить получае мую при этом относительную неточность в определении импульса IS.plр электрона в двух случаях: 1) а= 1 0 нм; 2) а=0,1 нм. 45.31. Пылинки массой т= 10~12 г взвешены в воздухе и нахо дятся в тепловом равновесии. Можно ли установить, наблюдая за движением пылинок, отклонение от законов классической механики? Принять, что воздух находится при нормальных условиях, пылинки имеют сферическую форму. Плотность вещества, из которого состоят пылинки, равна 2 -103 кг/м3. 45.32. Какой смысл вкладывается в соотношение неопределен ностей A E A t^ h l 45.33. Используя соотношение неопределенности A E A t^fi, оценить ширину Г энергетического уровня в атоме водорода, находяще гося: 1) в основном состоянии; 2) в возбужденном состоянии (время х жизни атома в возбужденном состоянии равно 10“8 с). 45.34. Оценить относительную ширину Аоз/ш спектральной линии, если известны время жизни атома в возбужденном состоянии ( т ^ 10“8 с) и длина волны излучаемого фотона (Х=0,6 мкм). 45.35. В потенциальном бесконечно глубоком одномерном ящике энергия Е электрона точно определена. Значит, точно определено и значение квадрата импульса электрона (р2=2 тЕ). С другой стороны, электрон заперт в ограниченной области с линейными размерами I. Не противоречит ли это соотношению неопределенностей? § 46. ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ МИКРОЧАСТИЦ Основные формулы • Одномерное временное уравнение Шредингера dY Ul dt — Р dW 2m dx2 ’ где i — мнимая единица (V — 1); m — масса частицы; W (x, t) — волновая функция, описывающая состояние частицы. 410 Волновая функция, описывающая одномерное движение свобод ной частицы, Т (X, t) = Аехр-^г (рХ— £7), где А — амплитуда волны де Бройля; р — импульс частицы; £ — энергия частицы. Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состоя ний ч,=о, где Е — полная энергия частицы; U (х) — потенциальная энергия; ф(х) — координатная (или амплитудная) часть волновой функции. Для случая трех измерений ф(х, у , z) уравнение Шредингера записывается в виде дЦ-> д2г|) 2т ,Е т _ 0 или в операторной форме (E—U) ф = О, Аф + 32 д2 д2 где A ^ + др-—оператор Лапласа. При решении уравнения Шредингера следует иметь в виду стан дартные условия, которым должна удовлетворять волновая функ ция: конечность (во всем пространстве), однозначность, непрерыв ность самой -функции и ее первой производной. • Вероятность d W обнаружить частицу в интервале от х до x+ dx (в одномерном случае) выражается формулой dW = | ф (х) |2 dx, где |ф (х) |2 — плотность вероятности. Вероятность W обнаружить частицу в интервале от х± до х2 находится интегрированием dW в указанных пределах: х2 W = § |ф (х) |2dx. • Собственное значение энергии Еп частицы, находящейся на п -м энергетическом уровне в бесконечно глубоком одномерном прямоугольном потенциальном ящике, определяется формулой Е* = Ш *П% (« = 1 ’ 2’ 3> •••). где I — ширина потенциального ящика. Соответствующая этой энергии собственная волновая функция имеет вид /"о” пп Ф»(*) = У ~ s m — x. 411 © Коэффициент преломления п волн де Бройля на границе низкого потенциального барьера бесконечной ширины * (рис. 46.1) где v и к 2— длины волн де Бройля в областях / и II (частица дви жется из области / во //); kx—k 2— соответствующие значения волновых J щх)' ' ж чисел. © Коэффициенты отражения р и пропускания т волн де Бройля через и низкий ( [ /< £ ) потенциальный барь '1 ер бесконечной ширины 0 I k\ — k2 2 . 4&1&2 Низкий дирьер p ~ \ k 1+ k 2 Рис. ’ {kx + k2)*' 46.1 где kt и ft2 — волновые числа волн де Бройля в областях I и II. © Коэффициент прозрачности D прямоугольного потенциаль ного барьера конечной ширины D « ехр £— jr V 2m(U — , где U — высота потенциального барьера; Е — энергия частицы; d — ширина барьера. Примеры решения задач Пример 1. Электрон находится в бесконечно глубоком одно мерном прямоугольном потенциальном ящике шириной /. Вычис лить вероятность того, что электрон, находящийся в возбужденном состоянии (п= 2), будет обнаружен в средней трети ящика. Р е ш е н и е . Вероятность W обнаружить частицу в интервале х г< х < х 2 определяется равенством ха Г = $ |г Ы * ) М * , (1) Л-1 где ф,г(х) — нормированная собственная волновая функция, отве чающая данному состоянию. Нормированная собственная волновая функция, описывающая состояние электрона в потенциальном ящике, имеет вид У»( х ) = У — Sin — X. Возбужденному состоянию (п= 2) отвечает собственная функция Ы х ) = У jsin^-x. Такой (2) барьер называют так ж е потенциальной ступенью, если при переходе из области I в область II потенциальная энергия частицы умень шается. 412 Подставив а|>2(*) в подынтегральное выражение формулы (1) и вынося постоянные величины за знак интеграла, получим Xз W = ~ Ц sin2 ^ - x d x . (3) Согласно условию задачи, x1= l/sl и х 2= 2/31 (рис. 46.2). Подста вим эти пределы интегрирования в формулу (3), произведем замену sin2- ^ x = y ^ l — c o s -^ * ^ Заметив, что sin = sin и разобьем интеграл на два: , a sin Щ- = — sin , получим 117=0,195. Пример 2. Моноэнергетический поток электронов (£= 100эВ ) падает на низкий * прямоугольный потенциальный барьер беско нечной ширины (рис. 46.1). Определить высо ту потенциального барь ера I/, если известно, что 4 % падающих на барьер электронов отра жается. Р е ш е н и е . Коэф фициент отражения р от низкого потенциального бар ьер а выр ажается формулой ki--&2 Р &1+ k2 где k± и &2 — волновые числа, отвечающие движению электронов в областях I и II (см. рис. 46.1). В области I кинетическая энергия электрона равна Е и волновое число k±= (\/fi) V2гпЕ. Поскольку координата электрона не определена, то импульс электрона определяется точно и, следовательно, в данном случае можно говорить о точном значении кинетической энергии. * Прямоугольный потенциальный барьер называется низким, если энер гия Е частицы больше высоты U потенциального барьера, в противном случае барьер называется высоким. 413 В области II кинетическая энергия электрона равна Е— U волновое число k2= (l/h )V 2 m (E -U ). Коэффициент отражения может быть записан в виде * Р= V 2 т Е — У 2 т (E — U ) V 2 Ш + V 2т (E — U) Разделим числитель и знаменатель дроби на V2тЕ: ' l — V 1— U/ E 1+ УТ+Щ Еу ______ Решая уравнение относительно У 1— U/Е, получим [Л —U / E = l ~ ^ . Возведя обе части равенства в квадрат, найдем высоту потенци ального барьера: 1 — ' 1- р П J+V Подставив сюда значения величин и произведя вычисления, найдем 17=55,6 эВ. Пример 3. Электрон с энергией £ = 4 ,9 эВ движется в положи тельном направлении оси х (рис. 46.3). Высота U потенциального барьера равна 5эВ . При какой ши ь рине d барьера вероятность W про хождения электрона через него бу / Л дет равна 0,2? Р е ш е н и е . Вероятность W про Е хождения частицы через потенциаль ный барьер по своему физическому смыслу совпадает с коэффициентом прозрачности D(W =D). Тогда веро Рис. 46.3 ятность того, что электрон пройдет через прямоугольный потенциальный барьер, выразится соотно шением W « ехр ■2j VlA2 пг (U — E)d (и и = 31 ж где m — масса электрона. Потенцируя это выражение, получим \ n W = — j V 2 m (U — E ) d . * В случае низкого потенциального барьера модуля можно опустить. 414 кг и k2Действительны, а знак Для удобства вычислений изменим знак у правой и левой части этого равенства и найдем d: А = hlnjl/W) 2 Y 2m (U — E) * Входящие в эту формулу величины выразим в единицах СИ и произведем вычисления: d = 4,95 • 10“ 10м = 0,495 нм. Учитывая, что формула (1) приближенная и вычисления носят оце ночный характер, можно принять d& 0,5 нм. Вопросы и задачи Уравнение Шредингера 46.1. Написать уравнение Шредингера для электрона, находя щегося в водородоподобном атоме. 46.2. Написать уравнение Шредингера для линейного гармони ческого осциллятора. Учесть, что сила, возвращающая частицу в по ложение равновесия, / = —f>x (где (5 — коэффициент пропорцио нальности, х — смещение). 46.3. Временная часть уравнения Шредингера имеет вид ift — = EW. Найти решение уравнения. 46.4. Написать уравнение Шредингера для свободного электро на, движущегося в положительном направлении оси X со ско ростью v. Найти решение этого уравнения. 46.5. Почему при физической интерпретации волновой функции говорят не о самой ф-функции, а о квадрате ее модуля ф2? 46.6. Чем обусловлено требование конечности ф-функции? 46.7. Уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет вид + — £)ф = 0. Обосновать, исходя из этого уравнения, требования, предъявляемые к волновой функции,— ее непрерыв ность и непрерывность первой производной от волновой функции. 46.8. Может ли |ф(х) |2 быть больше единицы? 46.9. Показать, что для ф-функции выполняется равенство (ф(х)|2=ф(х)ф*(х), гдеф*(х) означает функцию, комплексно сопря женную ф(х). 46.10. Доказать, что если ф-функция циклически зависит от времени JV е. ¥ (х, t) = exp ^ Ef ^ф (л;) j, то плотность вероятности есть функция только координаты. Одномерный бесконечно глубокий потенциальный ящик 46.11. Электрон находится в бесконечно глубоком прямоуголь ном одномерном потенциальном ящике шириной / (рис. 46.4). Напи сать уравнение Шредингера и его решение (в тригонометрической форме) для области II (0<ix<U). 415 46.12. Известна волновая функция, описывающая состояние электрона в потенциальном ящике шириной /: ф (х)=Сг sin kx-\r + С2 cos kx. Используя граничные условия ф (0)=0 и (/)=0, опре делить коэффициент С2 и возможные значения волнового вектора при котором существуют нетривиальные 0W4 решения. 46.13. Электрону в потенциальном ящи ке шириной / отвечает волновое число k= / ■ I' ж = пп/1 (п = \, 2, 3, . . .). Используя связь энергии Е электрона с волновым числом fe, U+oo и+оо получить выражение для собственных зна п=о чений энергии Еп. 0 I 46.14. Частица находится в потенциаль Рис. 46.4 ном ящике. Найти отношение разности соседних энергетических уровней АЕп+1чГЬ к энергии Еп частицы в трех случаях: 1) п—3; 2) м=10; 3) п -э-оо. Пояснить полученные результаты. 46.15. Электрон находится в потенциальном ящике шириной /= = 0,5 нм. Определить наименьшую разность АЕ энергетических уровней электрона. Ответ выразить в электрон-вольтах. 46.16. Собственная функция, описывающая состояние частицы в потенциальном ящике, имеет вид (х) = С sin х. Используя условия нормировки, определить постоянную С. 46.17. Решение уравнения Шредингера для бесконечно глубо кого одномерного прямоугольного потенциального ящика можно записать в виде г|э (x)=C1el’kx+ C 2e'~ifiX, где k = V2mE/fi. Исполь зуя граничные условия и нормировку ^-функции, определить: 1) коэффициенты Сг и С2; 2) собственные значения энергии Еп. Найти выражение для собственной нормированной ^-функции. 46.18. Изобразить на графике вид первых трех собственных функций фЛ(л:), описывающих состояние электрона в потенциальном ящике шириной /, а также вид |г|)71(л;) |а. Установить соответствие между числом N узлов волновой функции (т. е. числом точек, где волновая функция обращается в нуль в интервале 0<Сх<.1) и кван товым числом п. Функцию считать нормированной на единицу. 46.19. Частица в потенциальном ящике шириной I находится в возбужденном состоянии (п= 2). Определить, в каких точках ин тервала (0<Ос<С/) плотность вероятности |'ф2(х)|2 нахождения час тицы максимальна и минимальна. 46.20. Электрон находится в потенциальном ящике шириной /. В каких точках в интервале (0 < х < /) плотность вероятности нахож дения электрона на первом и втором энергетических уровнях одинакова? Вычислить плотность вероятности для этих точек. Ре шение пояснить графически. 46.21. Частица в потенциальном ящике находится в основном состоянии. Какова вероятность W нахождения частицы: 1) в сред ней трети ящика; 2) в крайней трети ящика? 416 46.22. В одномерном потенциальном ящике шириной / находит ся электрон. Вычислить вероятность W нахождения электрона на первом энергетическом уровне в интервале 1/4, равноудаленном от стенок ящика. 46.23. Частица в потенциальном ящике шириной I находится в низшем возбужденном состоянии. Определить вероятность W нахождения частицы в интервале 1/4, равноудаленном от стенок ящика. 46.24. Вычислить отношение вероятностей W JW 2 нахождения электрона на первом и втором энергетических уровнях в интервале 1/4, равноудаленном от стенок одномерной потенциальной ямы шириной /. 46.25. Показать, что собственные функции фл (х) = j / " у sin . / \ f 2 . х лт и ф/л (х)= у — sin — х, описывающие состояние частицы в потен циальном ящике, удовлетворяют условию ортогональности, т. е. 46.26. Электрон находится в одномерном потенциальном ящике шириной /. Определить среднее значение координаты < Х > элек трона ( 0 < Х / ) . 46.27. Используя выражение энергии Еп= п 2%2п2/(2т12) части цы, находящейся в потенциальном ящике, получить приближенное выражение энергии: 1) гармонического осциллятора; 2) водородо подобного атома. Сравнить полученные результаты с истинными значениями энергий. Двух- и трехмерный потенциальный ящик 46.28. Считая, что нуклоны в ядре находятся в трехмерном потенциальном ящике кубической нормы с линейными размерами /==10 фм, оцепить низший энергетический уровень нуклонов в ядре. 46.29. Определить из условия нормировки коэффициент С собст венной ф-функции ф„1Аг2(х, у) = С sin L i sin L 2 у, описывающей состояние электрона в двухмерном бесконечно глубоком потенци альном ящике со сторонами 1г и / 2. 46.30. Электрон находится в основном состоянии в двухмерном квадратном бесконечно глубоком потенциальном ящике со сторо ной /. Определить вероятность W нахождения электрона в области, ограниченной квадратом, который равноудален от стенок ящика и площадь которого составляет V4 площади ящика. 46.31. Определить из условия нормировки коэффициент собст венной ф-функции $ П1п2п3(х ’ У» * )= C s i n ^ * s i n ^ i / s i n ^ z , описывающей состояние электрона в трехмерном потенциальном бес конечно глубоком ящике со сторонами /ь /2, /3. 14 № 1268 417 Низкий * потенциальный барьер бесконечной ширины 46.32. Написать уравнение Шредингера для электрона с энер гией Е , движущегося в положительном направлении оси X для об ластей I vi II (см. рис. 46.1), если на границе этих областей имеется низкий потенциальный барьер высотой U. 46.33. Написать решения уравнений Шредингера (см. предыду щую задачу) для областей l u l l . Какой смысл имеют коэффициенты Аг и Вг для ф^х) и А 2 и В 2 для ф/Дх)? Чему равен коэффициент В 2? 46.34. Зная решение уравнений Шредингера для областей I к II потенциального бар ьера ф, (х) = A1^ x+ B 1e~’ikiX, ф] ,(х)= A 2eikx, определить из условий непрерывности ф-функций и их первых производных на границе барьера отношение амплитуд вероятности В1/А1 и A J A 1. Bi ki — k 2 46.35. Зная отношение амплитуд вероятности A i — - ' b + h ДЛЯ 2h А, волны, отраженной от барьера, и Л1 , — «,Т , к2 , для проходящей волны, найти выражение для коэффициента отражения р и коэффициен та прохождения т. 46.36. Считая выражение для коэффициента отражения р от потенциального барьера и коэффициента прохождения т извест ными, показать, что р + т = 1. 46.37. Электрон с энергией Е=25 эВ встречает на своем пути потенциальный барьер высотой U = 9эВ (см. рис. 46.1). Определить коэффициент преломления п волн де / и(4 1 Бройля на границе барьера. Ж 46.38. Определить коэффициент пре ломления п волн де Бройля для прото Г{ нов на границе потенциальной ступени Г (рис. 46.5). Кинетическая энергия про тонов равна 16 эВ, а высота U потенци 0 альной ступени равна 9 эВ. Рис. 46.5 46.39. Электрон обладает энергией £■=10 эВ. Определить, во сколько раз изменятся его скорость v , длина волны де Бройля X и фазовая скорость при прохождении через потенциальный барьер (см. рис. 46.1) высотой 0 = 6 эВ. 46.40. Протон с энергией Е= 1 МэВ изменил при прохождении потенциального барьера дебройлевскую длину волны на 1 %. Определить высоту U потенциального барьера. 46.41. На пути электрона с дебройлевской длиной волны >4 = 0,1 нм находится потенциальный барьер высотой /7—120 эВ. Определить длину волны де Бройля Х2 после прохождения барьера. 46.42. Электрон с энергией £ = 1 0 0 э В попадает на потенциаль ный барьер высотой U —64 эВ. Определить вероятность W того, что электрон отразится от барьера. См. сноску на с. 413. 418 46.43. Найти приближенное выражение коэффициента отраже ния р от очень низкого потенциального барьера (U<Ê). 46.44. Коэффициент отражения р протона от потенциального барьера равен 2,5 •10~5. Определить, какой процент составляет высота U барьера от кинетической энергии Т падающих на барьер протонов. 46.45. Вывести формулу, связывающую коэффициент преломле ния п волн де Бройля на границе низкого потенциального барьера и коэффициент отражения р от него. 46.46. Определить показатель преломления п волн де Бройля при прохождении частицей потенциального барьера с коэффициен том отражения р=0,5. 46.47. При каком отношении высоты U потенциального барьера и энергии Е электрона, падающего на барьер, коэффициент отраже ния р=0,5? 46.48. Электрон с энергией £ = 1 0 эВ падает на потенциальный барьер. Определить высоту U барьера, при которой показатель пре ломления п волн де Бройля и коэффициент отражения р численно совпадают. 46.49. Кинетическая энергия Т электрона в два раза превышает высоту U потенциального барьера. Определить коэффициент отра жения р и коэффициент прохождения т электронов на границе барьера. 46.50. Коэффициент прохождения т электронов через низкий потенциальный барьер равен коэффициенту отражения р. Опреде лить, во сколько раз кинетическая энергия Т электронов больше высоты U потенциального барьера. 46.51. Вывести формулу, связывающую коэффициент прохож дения т электронов через потенциальный барьер и коэффициент преломления п волн де Бройля. 46.52. Коэффициент прохождения х протонов через потенциаль ный барьер равен 0,8. Определить показатель преломления п волн де Бройля на границе барьера. 46.53. Электрон с кинетической энергией Т движется в положи тельном направлении оси X. Найти выражение для коэффициента отражения р и коэффициента прохождения т на границе потенциаль ной ступени высотой U (рис. 46.5). 46.54. Найти приближенное выражение для коэффициента про хождения т через низкий потенциальный барьер при условии, что кинетическая энергия Т частицы в области II (см. рис. 46.1) много меньше высоты U потенциального барьера. 46.55. Вычислить коэффициент прохождения т электрона с энер гией £ = 1 0 0 эВ через потенциальный барьер высотой [/= 99, 75 эВ. 46.56. Показать на частном примере низкого потенциального барьера сохранение полного числа частиц, т. е. что плотность по тока N электронов, падающих на барьер, равна сумме плотности потока Np электронов, отраженных от барьера, и плотности потока Nx электронов, прошедших через барьер. 14* 419 46.57. На низкий потенциальный барьер направлен моноэнергетический поток электронов с плотностью потока энергии = 10Вт/м2. Определить плотность потока энергии / 2 электронов, прошедших барьер, если высота его t / =0,91 эВ и энергия Е электро нов в падающем потоке равна 1 эВ. 46.58. Моноэнергетический поток электронов падает на низкий потенциальный барьер (см. рис. 46.1). Коэффициент прохождения т= 0,9. Определить отношение J J J г плотности потока энергии вол ны, прошедшей барьер, к плотности потока энергии волны, падаю щей на барьер. 46.59. На низкий потенциальный барьер падает моноэнергети ческий поток электронов. Концентрация п0 электронов в падающем потоке равна 109 мм"3, а их энергия £ = 1 0 0 эВ. Определить давле ние, которое испытывает барьер, если его высота (7=9,7 эВ. Высокий * потенциальный барьер бесконечной ширины 46.60. Написать уравнение Шредингера и найти его решение для электрона, движущегося в положительном направлении оси х для областей I и II (рис. 46.6), если на границе этих областей имеет ся потенциальный барьер высотой U. 46.61. Для областей I и II высокого потенциального барьера (см. рис. 46.5) ф-функции имеют вид ^ j = A 1eiklXA~B1e~'ikiX и ф г/(х) = = А 2е~кх. Используя непрерывность Т иы> Е ф-функций и их первых производных на границе барьера, найти отноше ние амплитуд A J A X. 'U Е 46.62. Написать выражение для ------------------- ►х ф П(х) в области II (рис. 46.6) высо Высота барьер кого потенциального барьера, если Рис. 46.6 ф-функция нормирована так, что А г— 1. 46.63. Амплитуда Л 2 волны в области II высокого потенциального барьера (рис. 46.6) равна 2kl/(k1+ ik) (kx = V 2mE/ft , k = = y r2m(U — E)lft). Установить выражение для плотности вероят ности нахождения частицы в области II (х > 0), если энергия части цы равна £ , а высота потенциального барьера равна U. 46.64. Используя выражение для коэффициента отражения от I ki --&2 |2 низкой ступени Р —| ^ [ , где kx и k 2 — волновые числа, найти выражение коэффициента отражения от высокой ступени (Г < (7). 46.65. Показать, что имеет место полное отражение электронов от высокого потенциального барьера, если коэффициент отражения может быть записан в виде р = k^ —ik -j- ik * См. сноску на с. 413.. 420 46.66. Определить плотность вероятности |фщ(0)|2 нахождения электрона в области II высокого потенциального барьера в точке х = 0 , если энергия электрона равна £ , высота потенциального барь ера равна U и яр-функция нормирована так, что А г= 1. Прямоугольный потенциальный барьер конечной ширины 46.67. Написать уравнения Шредингера для частицы с энер гией £, движущейся в положительном направлении оси X для об ластей /, II и 111 (см. рис. 46.3), если на границах этих областей имеется прямоугольный потенциальный барьер высотой U и шири ной d . 46.68. Написать решения уравнений Шредингера (см. предыду щую задачу) для областей /, II и I I I , пренебрегая волнами, отра женными от границ / —II и I I —I I I , и найти коэффициент прозрач ности D барьера. 46.69. Найти вероятность W прохождения электрона через пря моугольный потенциальный барьер при разности энергий U—£ = = 1 эВ, если ширина барьера: 1) d = 0 ,l нм; 2) d= 0 ,5 нм. 46.70. Электрон проходит через прямоугольный потенциальный барьер шириной d= 0,5 нм. Высота U барьера больше энергии Е электрона на 1 %. Вычислить коэффициент прозрачности £>, если энергия электрона: 1) £ = 1 0 э В ; 2) £ = 1 0 0 эВ. 46.71. Ширина d прямоугольного потенциального барьера равна 0,2 нм. Разность энергий U—£ = 1 эВ. Во сколько раз изменится вероятность W прохождения электрона через барьер, если разность энергий возрастет в я =10 раз? 46.72. Электрон с энергией £ = 9 э В движется в положительном направлении оси X. При какой ширине d потенциального барьера коэффициент прозрачности £>=0,1, если высота U барьера равна 10 эВ? Изобразите на рисунке примерный вид волновой функция (ее действительную часть) в пределах каждой из областей /, I I , III (см. рис. 46.3). 46.73. При какой ширине d прямоугольного потенциального барьера коэффициент прозрачности D для электронов равен 0,01? Разность энергий U—£ = 1 0 эВ. 46.74. Электрон с энергией £ движется в положительном направ лении оси X. При каком значении U—£, выраженном в электронвольтах, коэффициент прозрачности £>= 10“ 3, если ширина d барь ера равна 0,1 нм? 46.75. Электрон с энергией £ = 9 э В движется в положительном направлении оси X. Оценить вероятность W того, что электрон прой дет через потенциальный барьер, если его высота £/= 10эВ и ши рина d = 0,l нм. 46.76. Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину d = 0,1 нм. При какой разности энергий U—£ вероятность W про хождения электрона через барьер равна 0,99? 46.77. Ядро испускает а-частицы с энергией £ = 5 М эВ . В гру бом приближении можно считать, что а-частицы проходят через 421 прямоугольный потенциальный барьер высотой U= ЮМэВ и шири ной d = 5 фм. Найти коэффициент прозрачности D барьера для а-частиц. 46.78. Протон и электрон прошли одинаковую ускоряющую раз ность потенциалов Дф=10 кВ. Во сколько раз отличаются коэффи циенты прозрачности D е для электрона и Dp для протона, если вы сота U барьера равна 20 кэВ и ширина d = 0,1 пм? § 47. СТРОЕНИЕ АТОМА Основные формулы • Уравнение Шредингера для стационарных состояний в сфе рических координатах 1 д 2ф dip + ^ Е- и)уs in 2О д Ц Ц 2 Г1 ОГ\ IF 4 f sin Ц дЦ гдеф=ф(г, ф) — волновая функция; Е — полная энергия части цы; U — потенциальная энергия частицы (являющаяся функцией координат). • В атоме водорода (или водородоподобном ионе) потенциаль ная энергия U (г) имеет вид U (г) Ze2 4ле0г ’ где Z — зарядовое число; е — элементарный заряд; е0 — электри ческая постоянная. • Собственное значение энергии Еп электрона в атоме водорода £ _ Z2g4m " ~ ~~ 32пЧ1кгпг ’ где fi — постоянная Планка, п — главное квантовое число (п= -1,2,3, . . .). • Символическая запись ф-функции, описывающей состояние электрона в атоме водорода, фгс, I, mif ? ф)» где п, /, т — квантовые числа: главное, орбитальное, магнитное. Вероятность d W того, что электрон находится в области, огра ниченной элементом объема dV", взятого в окрестности точки с коор динатами г, Ф, ф, dW = \^n,l,m(r,$, ф) |2dF, где d y = r 2sin § dft dф dr (в сферических координатах). В s-состоянии (/= 0 , т = 0) волновая функция сферически-симметричная (т. е. не зависит от углов ft и ф). Нормированные собственные ф-функции, отвечающие s-состоя нию (основному) и 25-СОСТОЯНИЮ, + » М = 7 = г е ~ * " + « < r> = T F W ( 2“ 7 ) e' " M ’ 422 или в атомных единицах 'Фюо(Р)=;у ^ е - р и %оо (р) = 4у ~^ (2—р) е-р/2, где в качестве единицы длины принят боровский радиус а = ^ ^ —52,9 им. При таком выборе единицы длины расстояние от ядра р =г!а будет выражаться в безразмерных единицах длины, называемых атомными единицами. Вероятность dW найти электрон в атоме водорода, находящемся в s-состоянии, в интервале (г, r+ d r) одинакова по всем направлени ям и определяется формулой dW = \tyn, о, о (г) |24лг2dr. • Орбитальные момент импульса и магнитный момент элек трона: &1 = % УЦ Г+ Т ), ц г = цв К Ц Г + Т ) , где / — орбитальное квантовое число, которое может при нимать значения 0, 1, 2, . . (п—1); рв — магнетон Бора: ( ^ в = | | = 0 .9 2 7 -1 0 -^ Д ж/Т л ) . • Проекции орбитальных момента импульса и магнитного мо мента на направление внешнего магнитного поля (совпадающего с осью Z): • Гиромагнитное отношение для орбитальных магнитного и ме ханического моментов И/ _ Ц/, ^ _Н в __ 1 е I, z 1ъ 2 т ф Спин * и спиновый магнитный момент электрона: s = %]f s ( s \ i s = 2рв s (s + 1), где s — спиновое квантовое число (s=V2). • Проекции спиновых момента импульса и магнитного момента на направление внешнего магнитного поля (совпадающего с осью Z): <2? z — fitTlg, |15) z = 2рВ^ 5> где ms — спиновое магнитное квантовое число (ms= —*4 , + V 2). • Гиромагнитное отношение для спиновых магнитного и меха нического моментов Ж — S 9 — —— S) Z % т * Спином назы вается собственный момент импульса электрон а и други х элем ентарны х частиц. Спин не связан с перемещением частицы к ак целого и имеет квантовую природу. Спин вы раж ается в единицах постоянной П лан ка %. 423 © Распределение электронов по состояниям в атоме записывает ся с помощью спектроскопических символов: Зн ачени е побочного к ван тового чи сла 0 1 2 3 4 5 6 7 С п ек тр оск оп ич ески й сим вол S Р d / 8 h i k Электронная конфигурация записывается следующим образом: число, стоящее слева перед спектроскопическим символом, означает главное квантовое число п, а сам спектроскопический символ отве чает тому или иному значению орбитального квантового числа I (например, обозначению 2р отвечает электрон с п —2 и / = 1; 2р2 означает, что таких электронов в атоме 2, и т. д.). • Принцип Паули. В атоме не может находиться два (и более) электрона, характеризуемых одинаковым набором четырех кванто вых чисел: л, /, ти ms. © Полный момент импульса электрона & /= ь у т й т т ), где / — внутреннее квантовое число ( / = / + 1/2, /—1/2). © Полный орбитальный момент атома sf l = % V l ( i + i ) , где L — полное орбитальное квантовое число. • Полный спиновый момент атома ^ s = & K S ( S + 1), где S — полное спиновое квантовое число. • Полный момент импульса атома ^ j = i i V j ( j + 1), где J — полное внутреннее квантовое число. • Символическое обозначение состояния атома (спектральный терм) 2S+1T г где 2S+1 — мультиплетность. Вместо полного орбитального кван тового числа L пишут символ в соответствии с таблицей: Значение 0 1 2 3 4 5 С и м в ол 5 P D F G H Пример. Терм мультиплетность соответствует L= # Магнитный 424 2Р 3/2 расшифровывается следующим образом: 2S-+-1= 2 ; следовательно, S = 1/2, символу Р 1, a J =3/2. момент атома ^j = g\^ bV J (j H- 1), где g g — множитель (или фактор) Ланде, 1 / ( / + 1) + S ( S + 1) - L ( L + 1) 1-t_ 2J(J+l) • Проекция магнитного момента атома на направление внешне го магнитного поля (совпадающего с осью Z) Vj , z = g № m j , где rrij— полное магнитное квантовое число ( т у=У, J —1, . . . .. — J). • Сила, действующая на атом в неоднородном магнитном поле, 17 дВ где дВ/дг — градиент магнитной индукции. • Частота ларморовой прецессии сол = еВ/(2т), где т — масса электрона. О Энергия атома в магнитном поле Е = — гВ. • Величина расщепления спектральной линии при эффекте Зеемана: а) сложном (аномальном) Асо = (mjg"— m'jg') сол , где m"j, m'j и g \ g' — магнитные квантовые числа и множители Ланде соответствующих термов; б) простом (нормальном) Асо —0, + сол . • Правила отбора для квантовых чисел S, L, J и ms , mL, ту AS = 0; Ams = 0 ; A L --- zb 1 ; А/Лу = 0 , ± 1; AJ = 0, zb 1> Ашу = 0, zb 1 • He осуществляются переходы / = 0 -> У = 0, а при J = 0 — пере ходы md= 0 ->■ nij= 0. Примеры решения задач Пример 1. Атом водорода находится в состоянии Is. Определить вероятность W пребывания электрона в атоме внутри сферы ради усом г = 0,1 а (где а — радиус первой боровской орбиты). Волновая функция, описывающая это состояние, считается известной. Р е ш е н и е . Вероятность обнаружить электрон в окрестности точки с координатами г, 4, (рв объеме dV определяется равенством dW = \ y a, tm(r, Ъ, ф)|*с1К. В ls-состоянии волновая функция ф сферически симметрична, т. е. зависит только от г, и поэтому d W 'H W O W ( 1) 423 где 'фюо(г) — собственная нормированная волновая функция, от вечающая основному состоянию: ф100 (г) ——7= е~ г/а. У ла3 Благодаря сферической симметрии ф-функции вероятность обна ружить электрон на расстоянии г одинакова по всем направлениям. Поэтому элемент объема dV , отвечающий одинаковой плотности вероятности, можно представить в виде объема сферического слоя радиусом г и толщиной dr : d E = 4 n r2dr. С учетом выражений ф10о(0 и dV формула (1) запишется в виде е - г /а ‘ 4я г2dг = - г е ' l d г. У зга3 При вычислении вероятности удобно перейти к атомным едини цам, приняв в качестве единицы длины радиус первой боровской орбиты а . Если ввести безразмерную величину р =г/а, то г2= р2а2, dr = a dp и d r = 4е~2рр2 dp. Вероятность найдем, интегрируя d r в пределах от r i= 0 до г2= = 0,1 а (или от pi= 0 до рг^ОД): о, 1 W = 4 5 рае-2р dp. о Этот интеграл может быть точно вычислен интегрированием по частям, однако при малых р (ртах^ОД) выражение е-2р можно раз ложить в ряд Маклорена: d r: е_2р= 1— 2р + Т- (2р)2— . . . и произвести приближенное вычисление. Пренебрегая всеми членами степени выше первой, запишем интеграл в виде 0,1 0,1 0,1 Г = 4 ^ (1 — 2p)p2dp = 4 ^ р2 dp— 8 p3dp. 0 0 0 Первый и второй интегралы дают соответственно результаты Таким образом, искомая вероятность Г = 1,33 ПО-3—0,2-10-3= 1 Д З -1 0 -3. Пример 2. Электрон в возбужденном атоме водорода находится в 3 p-состоянии. Определить изменение магнитного момента, обус ловленного орбитальным движением электрона, при переходе атома в основное состояние. Р е ш е н и е . Изменение A\it магнитного момента найдем как разность магнитных моментов в конечном (основном) и начальном (возбужденном) состояниях, т. е. Д рг= р г2—Ра. Магнитный момент орбитального движения электрона зависит только от орбитального квантового числа I: Рг ~ Рв ^ I {I + !)• 426 Отсюда имеем: в основном состоянии 1=0 и (яг2= 0 ; в возбужден ном (3р) состоянии 1=1 и р л ^ Р в К 2. Следовательно, изменение маг нитного момента Afi, = — цв V2. Знак минус показывает, что в данном случае магнитный момент уменьшился. Подставив значение рв= 0,927 *10-23 Дж/Тл, получим А(т/ == — 1,31 • 10-23 Дж/Тл. Вопросы и задачи Атом водорода 47.1. Уравнение Шредингера в сферической системе координат для электрона, находящегося в водородоподобном атоме, имеет вид 1 д f д* \ , 1 \ 1 а г г dr V <?/■;' г2 \sin# дЪ (sinÛr) + Показать, что это уравнение разделяется на два, если волновую функцию представить в виде произведения двух функций: я]5(г, ■&, я|>) = Я(г)Уг (ft, ф), где R (г) — радиальная и 7 ( й , ф) — угловая функции. 47.2. Уравнение для радиальной R(r) функции, описывающей состояние электрона в атоме водорода, имеет вид 2Р 7(/ — j—1) d2Я , 2 dR R = О, а+ dr2 г dr где а, (3 и / — некоторые параметры. Используя подстановку %(г) = =rR(r), преобразовать его к виду ^ dr2 . [ a + i £ _ w > ] x = o. 47.3. Уравнение для радиальной функции %(г) может быть пре образовано к виду 2Р 1(1+1) dax (г) а Х(0 = 0, dr2 где a=2mEI%2\ $=Ze2m/(4:iie0fi)2\ I — целое число. Найти асимпто тические решения уравнения при больших числах г. Указать, какие решения с Е > 0 или с Е <.О приводят к связанным состояниям. 47.4. Найти по данным предыдущей задачи асимптотическое решение уравнения при малых г. Указание. Считать при малых / члены а и 2|3/г малыми по сравнению с I (1+1)/г2. Применить подстановку %(r) = r v\ 47.5. Найти решение уравнения для радиальной функции R (г), описывающей основное состояние ( /= 0), и определить энергию элек трона в этом состоянии. Исходное уравнение для радиальной функ427 ции м ож ет бы ть зап и сан о в виде p l (/ + 1) d2R , 2 dR aR = 0, dr2 1 r dr где а=2тЕ/%2\ $=Ze2m/(4;ji&0fi2)\ / — орбитальное квантовое число. Указание. П р и м е н и т ь п о д с т а н о в к у R (г) = -уг 47.6. Атом водорода находится в основном состоянии. Собствен ная волновая функция, описывающая состояние электрона в атоме, имеет вид ф (г)=Се~г/а, где С — некоторая постоянная. Найти из условия нормировки постоянную С. 47.7. Собственная функция, описывающая основное состояние электрона в атоме водорода, имеет вид ф (г) = Се~г/а, где а= 4 л е0/г2/ t(e2m) (боровский радиус). Определить расстояние г, на котором ве роятность нахождения электрона максимальна. 47.8. Электрон в атоме водорода описывается в основном со стоянии волновой функцией ф (г) = Се~г>а. Определить отношение вероятностей (Oi/(o2 пребывания электрона в сферических слоях толщиной Дг=0,01 а и радиусами гх=0,5 а и г2= 1 ,5 я . 47.9. Атом водорода находится в основном состоянии. Вычис лить: 1) вероятность сох того, что электрон находится внутри обла сти, ограниченной сферой радиуса, равного боровскому радиусу а\ 2) вероятность оз2 того, что электрон находится вне этой области; 3) отношение вероятностей оз 2/coi. Волновую функцию считать известной: ф100 (г) = - 7L=.- е~г/а. У ла 3 47.10. Зная, что нормированная собственная волновая функция, описывающая основное состояние электрона в атоме водорода, имеет вид ф(г) - } _: е~ r/Q, найти среднее расстояние < » электрона У ла3 от ядра. 47.11. Принято электронное облако (орбиталь) графически изоб ражать контуром, ограничивающим область, в которой вероятность обнаружения электрона составляет 0,9. Вычислить в атомных еди ницах радиус орбитали для ls-состояния электрона в атоме водо рода. Волновая функция, отвечающая этому состоянию, ф ю о ( р ) = =е~9/]/гл, где р — расстояние электрона от ядра, выраженное в атомных единицах. Указание. П олучаю щ ееся тр ан сц ен ден тн ое ур авн ен и е реш и ть граф и ческ и . 47.12. Волновая функция, описывающая 25-состояние электрона в атоме водорода, имеет вид ф200 (р) —— i = - ( 2—p)e~ ^2f где р — 4 У 2л расстояние электрона от ядра, выраженное в атомных единицах. Определить: 1) расстояние р1 от ядра, на которых вероятность об наружить электрон имеет максимум; 2) расстояния р2 от ядра, на которых вероятность нахождения электрона равна нулю; 3) по строить графики зависимости | ф 20о (р )Г 2 от р и р 2 | ф 20о ( р ) | 2 от р. 428 47.13. Уравнение для угловой функции Y (ft, ср) в сферической системе координат может быть записано в виде 1 ) 1 д / . s дУ\ 1 d*Y \ \ sin 0 dd VS i n t ^ д & ) ^ sin2 О dfl2 | Y , Л’ где /* — некоторая постоянная. Показать, что это уравнение можно разделить на два, если угловую функцию представить в виде произ ведения двух функций: Y (ft, ср)=0 (■&) Ф (ф), где 0 (ft) — функция, зависящая только от угла ft; Ф (ф) — то же, только от угла ц. 47.14. Угловая функция Ф (ф) удовлетворяет уравнению -^ ^ -* -т Ф = 0. Решить уравнение и указать значения параметра т , при которых уравнение имеет решение. 47.15. Зависящая от угла ф угловая функция имеет вид Ф(ф) = —Ceitm. Используя условие нормировки, определить постоянную С. 47.16. Изобразить графически угловое распределение плотности вероятности нахождения электрона в атоме водорода, если угловая функция V \ m(ft, ф) имеет вид: 1) в s-состоянии ( /= 0) У0, о = 1;К я ; 2) в р-состоянии ( / = 1) при трех значениях т: а) т= 1, = = У 3 / ( 8 jt) sin ftel4p; б) т = 0, Y lj0=Vr 3/(4я) cos ft; в) т = —1, Y ^ _ x~ = У 3/(8jt) sin fte-l(p. Для построений воспользоваться полярной системой координат. 47.17. Угловое распределение плотности вероятности нахожде ния электрона в атоме водорода определяется видом угловой функ ции Y i4т (0,ф). Показать, что р-подоболочка имеет сферически сим метричное распределение плотности вероятности. Воспользоваться данными предыдущей задачи. Орбитальный момент импульса и магнитный момент электрона 47.18. Вычислить момент импульса 3 \ орбитального движения электрона, находящегося в атоме: 1) в s-состоянии; 2) в р-состоянии. 47.19. Определить возможные значения проекции момента им пульса 3 iz орбитального движения электрона в атоме на направле ние внешнего магнитного поля. Электрон находится в d-состоянии. 47.20. Атом водорода, находившийся первоначально в основном состоянии, поглотил квант света с энергией 8=10,2 эВ. Определить изменение момента импульса A3 1 орбитального движения электро на. В возбужденном атоме электрон находится в р-состоянии. 47.21. Используя векторную модель атома, определить наимень ший угол а, который может образовать вектор 3 t момента импульса орбитального движения электрона в атоме с направлением внешнего магнитного поля. Электрон в атоме находится в d-состоянии. 47.22. Электрон в атоме находится в /-состоянии. Найти орби тальный момент импульса 3 г электрона и максимальное значение проекции момента импульса 3 izmач на направление внешнего маг нитного поля. 47.23. Момент импульса * орбитального движения электрона 429 в атоме водорода равен 1,83 •10“34 Дж-с. Определить магнитный момент обусловленный орбитальным движением электрона. 47.24. Вычислить полную энергию Е , орбитальный момент им пульса S i и магнитный момент электрона, находящегося в 2/?-состоянии в атоме водорода. 47.25. Может ли вектор магнитного момента орбитального движения электрона установиться строго вдоль линий магнитной индукции? 47.26. Определить возможные значения магнитного момента (хь обусловленного орбитальным движением электрона в возбужденном атоме водорода, если энергия 8 возбуждения равна 12,09 эВ. Спиновый момент импульса и магнитный момент электрона 47.27. Вычислить спиновый момент импульса^ 5 электрона и про екцию S sz этого момента на направление внешнего магнитного поля. 47.28. Вычислить спиновый магнитный момент \is электрона и проекцию магнитного момента \xsZ на направление внешнего поля. 47.29. Почему для обнаружения спина электрона в опытах Штерна и Герлаха используют пучки атомов, принадлежащих первой группе периодической системы, причем в основном со стоянии? 47.30. Атомы серебра, обладающие скоростью и=0,6 км/с, про пускаются через узкую щель и направляются перпендикулярно линиям индукции неоднородного магнитного поля (опыт Штерна и Герлаха). В поле протяженностью 1=6 см пучок расщепляется на два. Определить степень неоднородности дВ/dz магнитного поля, при которой расстояние Ь между компонентами расщеп ленного пучка по выходе его из поля равно 3 мм. Атомы серебра находятся в основном состоянии. 47.31. марного водорода пропуска ется в опыте Штерна и Гер лаха через поперечное неод нородное (дВ/дг= 2 кТл/м) магнитное поле протяжен ностью 1=8 см. Скорость v атомов водорода равна 4 км/с. Опре делить расстояние b между компонентами расщепленного пучка атомов по выходе его из магнитного поля. Все атомы водорода в пучке находятся в основном состоянии. 47.32. В опыте Штерна и Герлаха узкий пучок атомов цезия (в основном состоянии) проходит через поперечное неоднородное магнитное поле и попадает на экран Э (рис. 47.1). Какова должна быть степень неоднородности дВ/dz магнитного поля, чтобы расстоя ние b между компонентами расщепленного пучка на экране было 430 равно 6 мм? Принять / i = / 2= 1 0 c m . Скорость атомов цезия равна 0,3 км/с. 47.33. Узкий пучок атомов рубидия (в основном состоянии) про пускается через поперечное неоднородное магнитное поле протя женностью Zi= 10 см (рис. 47.1). На экране Э , отстоящем на расстоя нии / 2= 2 0 см о т магнита, наблюдается расщепление пучка на два. Определить силу Fzy действующую на атомы рубидия, если расстоя ние b между компонентами пучка на экране равно 4 мм и скорость v атомов равна 0,5 км/с. 47.34. Узкий пучок атомов серебра при прохождении неодно родного (dB/dz= 1 кТл/м) магнитного поля протяженностью U= = 4 см расщепился на два пучка. Экран для наблюдения удален от границы магнитного поля на расстояние /2= 10 см (рис. 47.1). Опре делить (в магнетонах Бора) проекции рЛг магнитного момента атома на направление вектора магнитной индукции, если расстоя ние Ъ между компонентами расщепленного пучка на экране равно 2 мм и атомы серебра обладают скоростью ^= 0,5 км/с. Застройка электронных оболочек 47.35. Какое максимальное число s-, р- и d-электронов может находиться в электронных /(-, L- и М- слоях атома? 47.36. Используя принцип Паули, указать, какое максималь ное число Nmax электронов в атоме могут иметь одинаковыми сле дующие квантовые числа: 1) п, /, т, ms\ 2) п, /, т\ 3) я, 1\ 4) п. 47.37. Заполненный электронный слой характеризуется кванто вым числом п = 3. Указать число N электронов в этом слое, которые имеют одинаковые следующие квантовые числа: 1) /7 ^ = + 1/2; 2) т = — 2; 3) т = —1/2 и т = 0; 4) ms= + 1/2 и 1=2. 47.38. Найти число N электронов в атомах, у которых в основ ном состоянии заполнены: 1) К- и L-слои, Зя-оболочка и наполовину 3/7-оболочка; 2) /(-, L- и М -слои и 4s-, 4р- и 4+оболочки. Что это за атомы? 47.39. Написать формулы электронного строения атомов: 1) бо ра; 2) углерода; 3) натрия. Векторная модель атома. Спектральные термы 47.40. Как можно согласовать использование векторной модели атома с соотношением неопределенностей для проекций момента им пульса? 47.41. Электрон в атоме водорода находится в /7-состоянии. Оп ределить возможные значения квантового числа / и возможные зна чения (в единицах ft) полного момента им пульса^- электрона. По строить соответствующие векторные диаграммы. 47.42. В возбужденном атоме гелия один из электронов нахо дится в p -состоянии, другой в d-состоянии. Найти возможные зна чения полного орбитального квантового числа L и соответствующего 431 ему момента импульса 2 L (в единицах k ). Построить соответствую щие векторные диаграммы. 47.43. Определить угол ф между орбитальными моментами им пульсов двух электронов, один из которых находится в d-состоянии, другой — в /-состоянии, при следующих условиях: 1) полное орби тальное квантовое число L = 3; 2) искомый угол — максимальный; 3) искомый угол — минимальный. 47.44. Система из трех электронов, орбитальные квантовые числа /ь /2, U которых соответственно равны 1, 2, 3, находятся в S -состоянии. Найти угол ф^ 2 между орбитальными моментами импульса первых двух электронов. 47.45. Каковы возможные значения полного момента импульса 2 j электрона, находящегося в d-состоянии? Чему равны при этом углы ф между спиновым моментом импульса и орбитальным? 47.46. Спиновый момент импульса двухэлектронной системы определяется квантовым числом S = l . Найти угол ф между спино выми моментами импульса обоих электронов. 47.47. Система, состоящая из двух электронов, находится в состоянии с L = 2. Определить возможные значения угла ф между орбитальным моментом импульса /7-электрона и полным орбиталь ным моментом импульса Jс£ j системы. 47.48. Найти возможные значения угла между спиновым мо ментом импульса и полным моментом: 1) одноэлектронной системы, состоящей из d-электрона; 2) двухэлектронной системы с J = 2. 47.49. Определить возможные значения (в единицах Ji) проекции 2 Sz спинового момента импульса электронной системы, находящей ся в состоянии 3D 3, на направление полного момента. 47.50. Определить возможные значения квантового числа J электронной системы, для которой: 1) S =2 и L= 1; 2) S=1 и L - 3. Найти (в единицах %) возможные значения полного момента импуль са 2 j системы и построить соответствующие векторные диаграммы. 47.51. Определить возможные значения квантового числа У, соответствующего полному моменту импульса 2 S электронной сис темы, у которой L = 3, a S принимает следующие значения: 1) 3/2; 2) 2; 3) 5/2; 4) 4. Построить соответствующие векторные диаграммы. 47.52. Записать основные термы для следующих атомов: 1) Н; 2) Не; 3) Be; 4) Li; 5) В. 47.53. Перечислить возможные термы для следующих состояний атомов: 1) 2S; 2) 2Р; 3) 4Р; 4) 5D. 47.54. Определить кратности вырождения следующих термов: 1) 2D 3/2; 2) 3/%; 3) 4L 47.55. Объяснить на основе векторной модели атома наличие двух систем термов (синглетных и триплетных) в атомах с двумя валентными электронами. 47.56. Определить возможные мультиплетности (2S+1) термов следующих атомов: 1) Li; 2) Be; 3) В; 4) С; 5) N. 47.57. Выписать все возможные термы для комбинации р- и d-электронов по типу связи Рассель — Саундерса. Дать их спект ральные обозначения. 432 Магнитный момент атома. Атом в магнитном поле 47.58. Вычислить множитель Ланде g для атомов с одним валентным электроном в состояниях S и Р. 47.59. Вычислить множитель Ланде g для атомов, находящихся в синглетных состояниях. 47.60. Определить магнитный момент ру атома в состоянии Ю. Ответ выразить в магнетонах Бора (рв). 47.61. Вычислить магнитный момент р у атома в состоянии 3Р 2. Ответ выразить в магнетонах Бора. 47.62. Атом находится в состоянии 2D 3/2. Найти число возмож ных проекций магнитного момента на направление внешнего поля и вычислить (в магнетонах Бора) максимальную проекцию Liyzraax . 47.63. Вычислить в магнетонах Бора магнитный момент иу атома водорода в основном состоянии. 47.64. Атом находится в состоянии 1Р. Найти соответстующий магнитный момент ру и возможные значения его проекции \ijz на направление внешнего магнитного поля. 47.65. Максимальная проекция ру, гтах магнитного момента атома, находящегося в состоянии 2D, составляет четыре магнетона Бора. Определить мультиплетность (2S+1) соответствующего терма. 47.66. На сколько составляющих расщепляется в опыте Штерна и Герлаха пучок атомов, находящихся в состояниях: 1) 2Р 3/2; 2) Ю\ 3) 5Л . 47.67. Определить максимальные проекции p y?zmax магнитных моментов атомов ванадия (4Р), марганца (6S) и железа (5D), если известно, что пучки этих атомов при прохождении через сильно не однородное магнитное поле по методу Штерна и Герлаха расщепля ются соответственно на 4, 6 и 9 составляющих. (В скобках указаны состояния, в которых находятся атомы.) 47.68. Вычислить частоты сол ларморовой прецессии электрон ных оболочек атомов: 1) в магнитном поле Земли (В = 5-10-5 Тл); 2) в поле, магнитная индукция В которого равна 50 Тл. 47.69. Найти угловую скорость (о прецессии магнитных момен тов атомов, помещенных в магнитном поле (В =10мТл) в случае, когда атомы находятся в состояниях: 1) 4Р; 2) 2Р 3/2. 47.70. Определить максимальную энергию f/rrax магнитного взаимодействия атома, находящегося в состоянии 1D с магнитным полем, индукция которого: 1) В= 1 Тл; 2) В = 50 Тл. Ответ выразить в электрон-вольтах. Эффект Зеемана 47.71. Какое магнитное поле в случае эффекта Зеемана следует считать: 1) «слабым», 2) «сильным»? 47.72. Состояния атома характеризуются двумя спектральными термами. Указать квантовые числа S, L и возможные значения кван тового числа J для состояний: 1) 4S и 4Р; 2) Ю и 4Р. Изобразить для 433 этих состояний схему энергетических уровней при отсутствии маг нитного поля. 47.73. Состояние атома характеризуется двумя спектральными термами. Указать возможные значения квантового числа J для состояний: 1) 2S и 2Р\ 2) 3Р и 2D; 3) 3S и 3D. Изобразить для этих состояний схему энергетических уровней с учетом спин-орбитального взаимодействия (естественного мультиплетного расщепления) при отсутствии магнитного поля. 47.74. Определить возможные значения квантового числа nij и изобразить на схеме расщепление энергетических уровней атома в магнитном поле для состояний, определяемых спектральными термами: 1) 2S; 2) 2Р 3/2; 3) 2D 5/2; 4) XF. 47.75. Построить схему возможных энергетических переходов в слабом магнитном поле между состояниями атома, определяемыми следующими термами: 1) 2Р 1/2 - > 2S; 2) 2Р 3/2 - > 2S; 3) 2D 3/2 - > 2Р 3/2. 47.76. Вычислить смещение Дсо спектральных линий при слож ном (аномальном) эффекте Зеемана в случае перехода атома из со стояния, определяемого термом 2Р 1/2, в состояние — 2S 1/3. В каче стве единицы смещения принять нормальное (лоренцово) смещение Асо= (|тв/^)Б. § 48. С П Е К Т Р Ы М О Л Е К У Л Основные формулы • I Приведенная масса двухатомной молекулы 2) , где тх и т2 — массы атомов, входящих в состав молекулы. • Собственная круговая частота осциллятора где р — коэффициент квазиупругой силы. • Нулевая собственная волновая функция одномерного кван тового гармонического осциллятора ехр (— а 2х 2/2 ), где параметр що/Д. • Энергия колебания гармонического осциллятора Еп = %ы{п+ 1/2), где п — колебательное квантовое число (п= 0, 1, 2, 3, . . .). Для квантового числа п существует правило отбора, согласно которому А/2= ± 1. • Нулевая энергия е 0= i/2h&. • Энергия колебания ангармонического осциллятора E v = % ( й [(у + V2)— у (и + 7«)2] , 434 где v — колебательное квантовое число (у=0, 1, 2, . . .); У — коэф фициент ангармоничности; Ли — любое целое число. Для кванто вого числа v нет правила отбора, поэтому Ли может принимать лю бые целочисленные значения. О Разность энергий двух соседних колебательных уровней AEv+i, v = [! — 2y (u + 1)]. О Максимальное значение квантового числа v V^шах = -2у ___ 1 ' • Максимальная энергия колебательного движения £max = &D/(4Y). • Энергия диссоциации двухатомной молекулы Еа = ^ ( \ - 2 у ) . • Момент инерции двухатомной молекулы относительно оси, проходящей через ее центр инерции перпендикулярно прямой, соединяющей ядра атомов, J = \xd2, где р — приведенная масса молекулы; d — межъядерное расстоя ние. • Вращательная постоянная B = Ii*/(2f). • Энергия вращательного движения двухатомной молекулы Ef = B f ( f + 1), где ^ — вращательное квантовое число ( ^ = 0, 1, 2, . . .). • Спектроскопическое волновое число v=lA ,, где X — длина волны излучения. • Энергия 8 фотона излучения связана с спектроскопическим волновым числом v соотношением 8 = 2nficv, где с — скорость распространения электромагнитного излучения. Примеры решения задач Пример 1. Собственная угловая частота о колебаний молекулы НС1 равна 5,63-1014 с-1, коэффициент ангармоничности у=0,0201. Определить: 1) энергию ДE2i1 (в электрон-вольтах) перехода моле кулы с первого на второй колебательный энергетический уровень; 2) максимальное квантовое число umax; 3) максимальную колебатель ную энергию Етах\ 4) энергию диссоциации Ed. Р е ш е н и е . 1. Энергию перехода &Ev+i^v между двумя со седними уровнями найдем как разность двух значений колебатель ной энергии: Д- ^ +i, v ~ Ev +i Ev. 435 Так как колебательная энергия двухатомной молекулы опреде ляется соотношением £„ = L [ ( a + j ) - v ( o + j ) 2], 0) то «, = &»{ [ ( о + ■!)—? ( у + т ) 2]~~ - [ ( у + т ) - ? ( f + | ) 2 j lf = M l - 2 Y ( t 4 - 1)] Подставив значения h, со, у и произведя вычисления, найдем A £ 2 i 1 = 1 , 0 9 - Ю " 1» Д ж , или AESil = 0,682 эВ. найдем, приравняв раз2. Максимальное квантовое число ность соседних энергетических уровней нулю: АЕ„ +1, г = Аю[1— :2т(Утах+ 1)3 = 0, или 1—2у(утах+ 1) = 0, откуда = !• (2) Подставив сюда значение у и округлив до ближайшего (снизу) целого значения найденного итах, получим ^тах ^ 23. 3. Максимальную колебательную энергию Е тах найдем, если в выражение (1) вместо v подставим vmaK по формуле Е „ . , = Ц ( ^ — 1 + | ) - т (^ Г Выполняя простые преобразования и пренебрегая у/4 по срав нению с 1/(4у), получаем Д п а х = Й 0 У (4 у ) . Подставим значения h , со, у и произведем вычисления: £тах = 7,38- Ю-19 Дж, ИЛИ £ т ах = 4,61 ЭВ. 4. энергия, которую необходимо затратить, чтобы отделить атомы в молекуле друг от друга и уда лить их без сообщения им кине тической энергии на расстояние, Рис. 48.1 на котором взаимодействие ато мов пренебрежимо мало. На рис. 48.1 эта энергия отвечает переходу с нулевого колебатель ного уровня на самый высокий возбужденный, соответствующий ишах* Тогда энергия диссоциации £ Л = £ шах — £ 0 = % 4у — 4 - ^ ® . 436 ИЛИ £ * = 1 ^ ( 1 — 2?)• Заменив /ш/(4у) на Етах, получим Ed = Em^ ( \ — 2у). Произведя вычисления, найдем Ed —4,43 эВ. Пример 2. Для молекулы HF определить: 1) момент инерции J , если межъядерное расстояние d = 91,7 пм; 2) вращательную посто янную В; 3) энергию, необходимую для возбуждения молекулы на первый вращательный уровень. Р е ш е н и е . 1. Если воспользоваться формулой приведенной массы р молекулы, то ее момент инерции можно выразить соотно шением J = Ltd2, или J = - mirn:--— d2, и т2 — массы атомов водорода и фтора. Приведенную массу молекулы удобно сначала выразить в а. е. м. (относительные атомные массы химических элементов приведены в табл. 30): 1.19 [i = yq-jg-a. е. м = 0 ,9 5 а. е.м. где Выразив приведенную массу в единицах СИ (р,=0,95*1,67 -10-27 к г= = 1,59 ПО- -7 кг), найдем момент инерции молекулы HF: J = 1,33-10-47 кг-м2. 2. Вращательная постоянная В с учетом выражения для “f равна В = Й/(2р<*2). Подставив значения ft, р, d и произведя вычисления, получим В = 4,37-10-22 Дж или В = 2,73мэВ. 3. Энергия, необходимая для возбуждения молекулы на первый вращательный уровень, равна разности энергий молекулы на пер вом и нулевом вращательных уровнях. Так как вращательная энергия двухатомной молекулы выража ется соотношением 1), то разность энергий двух со седних вращательных уровней f = Ef +1- E f = {[В ( f + 1) { ? + 2) ] - [ B f ( f + 1)]}. После упрощений получим + 1, ^ = 25 ( ^ + 1). Положив здесь ^ = 0 , найдем значение энергии, необходимое для возбуждения молекулы с нулевого уровня на первый: АЕг 0= 2В = 5,46 мэВ. 437 Задачи Колебательный спектр двухатомной молекулы 48.1. Изобразить графически зависимость г|50(я) и [г|э0(л;)|2 для нулевой собственной волновой функции осциллятора. 48.2. Используя условие нормировки, определить нормировоч ный множитель С0 нулевой собственной волновой функции осцил лятора. 48.3. Рассматривая молекулу как квантовый гармонический ос циллятор, находящийся в основном состоянии ( я = 0), найти ампли туду А классических колебаний, выразив ее через параметр ос. 48.4. Гармонический осциллятор находится в основном состоя нии (я=0). Какова вероятность W обнаружения частицы в области (—А<Сх<СА), где А — амплитуда классических колебаний? 48.5. Определить среднюю потенциальную энергию (U (х)) гар монического осциллятора, находящегося в основном состоянии, выразив ее через нулевую энергию Е 0. 48.6. Собственная круговая частота (о колебаний молекулы во дорода равна 8,08-1014 с " 1. Найти амплитуду А классических коле баний молекулы. 48.7. Зная собственную круговую частоту со колебаний молеку лы СО ((о=4,08 -1014 с-1), найти коэффициент |3 квазиупругой силы. 48.8. Определить энергию Евоз6 возбуждения молекулы НС1 с нулевого колебательного энергетического уровня на первый, если известны собственная круговая частота со=5,63 •1014 с-1 и коэффи циент ангармоничности у = 0,0201. 48.9. Определить число N колебательных энергетических уров ней, которое имеет молекула НВг, если коэффициент ангармонич ности у=0,0208. 48.10. Во сколько раз отличаются максимальная и минимальная (отличная от нуля) разности двух соседних энергетических уровней для молекулы Н 2(7=0,0277)? 48.11. Определить максимальную колебательную энергию £’тач молекулы 0 2, для которой известны собственная круговая частота (0=2,98-1014 с -1 и коэффициент ангармоничности у=9,46-10“3. 48.12. Определить энергию диссоциации D (в электрон-вольтах) молекулы СО, если ее собственная частота (о=4,08-1014 с -1 и коэф фициент ангармоничности 7 = 5 ,8 3 -10“ 3. Изобразить на потенциаль ной кривой схему колебательных энергетических уровней и отметить на ней энергию диссоциации. 48.13. Найти коэффициент ангармоничности 7 молекулы N 2, если ее энергия диссоциации О = 9 ,8 0 эВ и собственная круговая частота (о=4,45-1014 с-1. На потенциальной кривой изобразить схему энергетических уровней молекулы и отметить на ней энергию диссоциации. 48.14. Молекула N 0 переходит из низшего возбужденного со стояния в основное. Определить длину волны К испущенного при этом фотона, если собственная круговая частота о>=3,59-1014 с -1 438 и коэффициент ангармоничности у=8,73-10-3. На потенциальной кривой изобразить схему колебательных энергетических уровней молекулы и отметить на ней соответствующий энергетический переход. Вращательный спектр двухатомной ммекулы 48.15. Найти момент импульса 3 двухатомной молекулы, со ответствующий низшему возбужденному состоянию. 48.16. Определить изменение А З момента импульса двухатом ной молекулы при переходе ее с первого вращательного уровня на второй. 48.17. Определить угловую скорость со вращения молекулы S2, находящейся на первом возбужденном вращательном уровне. Межъядерное расстояние d = l 89 пм. 48.18. Вычислить вращательную постоянную В для молекулы СО, если межъядерное расстояние d= 113 пм. Ответ выразить в миллиэлектрон-вольтах. 48.19. Найти момент импульса 3 молекупы кислорода, враща тельная энергия которой равна 2,16 мэВ. 48.20. Найти момент инерции J и межъядерное расстояние d мо лекулы СО, если интервалы АЕ между соседними линиями чисто вращательного спектра испускания молекул СО равны 0,48 мэВ. 48.21. Определить для молекулы НС1 вращательные квантовые числа ^ двух соседних уровней, разность энергий А Е ^ +и ^ кото рых равна 7,86 мэВ. 48.22. Для молекулы Na найти: 1) момент инерции J , если межъ ядерное расстояние d = \l0 иш\ 2) вращательную постоянную В ; 3) изменение |Д £| энергии при переходе молекулы с третьего вра щательного энергетического уровня на второй. Относительная атом ная масса 48.23. Для молекулы 0 2 найти: 1) приведенную массу ц; 2) межъ ядерное расстояние d, если вращательная постоянная В=0,178 мэВ; 3) угловую скорость (о вращения, если молекула находится на пер вом вращательном энергетическом уровне. Относительная атомная масса Ло=Л6 . 48.24. Для молекулы N 0 найти: 1) момент инерции J молекулы, если межъядерное расстояние 115 пм; 2) вращательную постоян ную В молекулы; 3) температуру 7, при которой средняя кинетиче ская энергия поступательного движения молекулы равна энергии, необходимой для ее возбуждения на первый вращательный энерге тический уровень. Относительные атомные массы A n и Л равны соответственно 14 и 16. 48.25. Установить числовое соотношение между энергией 8 излучения и спектроскопическим волновым числом v. 48.26. Найти расстояние d между ядрами молекулы СН, если Интервалы Av между соседними линиями чисто вращательного спектра испускания данной молекулы равны 29 см-1. о 439 48.27. Определить, на сколько изменится импульс молекул азо та при испускании спектральной линии с длиной волны Л,= 1250 мкм, которая принадлежит чисто вращательному спектру. 48.28. Длины волн и к2 двух соседних спектральных линий в чисто вращательном спектре молекулы НС1 соответственно равны 117 и 156 мкм. Вычислить вращательную постоянную (см"1) для молекулы НС1. 48.29. Будет ли монохроматическое электромагнитное излучение с длиной волны Х=3 мкм возбуждать вращательные и колебатель ные уровни молекулы HF, находящейся в основном состоянии? 48.30. Определить кратность вырождения энергетического уров ня двухатомной молекулы с вращательным квантовым числом ГЛАВА 10 ФИЗИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА § 49. ЭЛЕМЕНТЫ КРИСТАЛЛОГРАФИИ Основные формулы Ф Молярный объем кристалла Vm= М/р, где М — молярная масса вещества; р — плотность кристалла. Объем V элементарной ячейки в кристаллах: а) при кубической сингонии V=a?\ б) при гексагональной сингонии V = V За2с!2. Здесь а и с — па раметры решетки. Если для гексагональной решетки принять теоретическое значе ние то V = y 2^г Ф Число Zm элементарных ячеек в одном моле кристалла Zm= V j V , или Zm= kNAln, где k — число одинаковых атомов в химической формуле соедине ния (например, в кристалле AgBr число одинаковых атомов Ag или Вг в химической формуле соедине ния равно единице); N А — постоян ная Авогадро; п — число одинаковых атомов, приходящихся на элементар ную ячейку. На рис. 49.1 представ лена структура NaCl; аналогичную структуру имеют соединения КВг, AgBr, МпО и др. Число Z элементарных ячеек в единице объема кристалла ^7 — 7 /V¥ш» или в общем случае У _ ЛЛГд. Рис. 49.1 Z Р п М ’ для кристалла, состоящего из одинаковых атомов (6= 1), у_ Л'а Z • р пМ ' Параметр а кубической решетки а = \ / п М /(kpN д). 441 Расстояние d между соседними атомами в кубической решетке: а) в гранецентрированной d = a lV 2; б) в объемно центрированной d = V За12. • Для обозначения узлов, направлений и плоскостей в решетке вводятся специальные ин дексы. Индексы узлов записы вают в двойных квадрат ных скобках [[тпр]]. Для отрицательных индексов над буквой ставится знак минус, например т (рис. 49.2). • Индексы направле ний записываются в оди нарных квадратных скоб ках [тпр]. Индекс направ ления совпадает с индек сом узла, через который Рис. 49.2 проходит прямая, если эта прямая одновременно проходит и через начало координат [[000]] (рис. 49.2). Индексы направления задают не одну прямую в кристалле, а се мейство параллельных прямых. Изменение всех индексов на обрат ные по знаку [тпр] означает то же самое направление в кристалле. • Период идентичности вдоль прямой, заданной индексами [тпр], в кубической решетке выражается соотношением / = а V tri1+ я2+ р2, где а — параметр решетки. • Угол ср между прямыми [т^рх] и [т.2п 2р^] в кубической ре шетке выражается формулой COS ф = m im 24 - ^ i^ 2 + Pip2______ V ml + nl + plV m\ + n\ + pl • Индексы плоскости (индексы Миллера) записывают в круг лых скобках (hkl). Изменение всех индексов на обратные (hk J) от вечает тому же семейству плоскостей. Индексы Миллера связаны с минимальными отрезками, отсе каемыми плоскостью на осях координат. • Для нахождения отрезков следует взять обратные величины индексов Миллера (1 /А; Ilk] 1/1) и привести их к наименьшему целому, кратному каждому из полученных чисел. Полученные зна чения и есть наименьшие отрезки, отсекаемые плоскостью (hkl) на осях координат. Если известны отрезки, отсекаемые на осях координат, то ин дексы Миллера находятся аналогичным путем (см. пример 4). Индексы Миллера пропорциональны направляющим косинусам 442 вектора нормали к данной плоскости. Поэтому индексы Миллера для некоторого семейства плоскостей совпадают с индексами направ лений нормали к этим плоскостям. • Угол между плоскостями (hikjx) и (h2k 2l2) определяется из формулы COS ф = ______/*1^2 ~M l& 2 + ^ 2 _______ Vht + kt + llV hl + kt + ll ’ а между прямой [тпр] и плоскостью (hkl) — из формулы COS ф = hm — f- kti — f- Ip ........ - ...... -L 1 r — — Y h * + k* + P V m * + n* + p* * Примеры решения задач Пример 1. Определить число п узлов, приходящихся на одну элементарную ячейку в гранецентрированной кубической решетке. Р е ш е н и е . Выделим элементарную ячейку в кубической ре шетке (рис. 49.3) и определим, скольким соседним элементарным ячейкам принадлежит тот или иной узел выделенной ячейки. В этой ячейке имеются узлы двух типов: А (находящиеся в вершинах куба) и В (нахо дящиеся на гранях куба в точке пересечения диагона лей). Узел А принадлежит одно временно восьми элементар ным ячейкам. Следовательно, в данную ячейку узел А вхо дит с долей 1/8. Узел В вхо дит одновременно только в две ячейки и, следовательно, в данную ячейку узел В входит с долей 1/2. Если учесть, что число узлов типа А в ячейке равно восьми, а число узлов типа В равно шести, т. е. числу граней, то общее число узлов, приходящихся на одну элементарную ячей ку в гранецентрированной решетке, л = (1/8)-8 + (1/2)-6 = 1 4-3 = 4 узла. Так как число узлов равно числу атомов, то в соответствующей структуре на элементарную ячейку приходится четыре атома. Пример 2. Определить параметр а решетки и расстояние d между ближайшими соседними атомами кристалла кальция (решет ка гранецентрированная кубической сингонии). Плотность р кри сталла кальция равна 1,55-103 кг/м3. Р е ш е н и е . Параметр а кубической решетки связан с объемом элементарной ячейки соотношением V—a3. С другой стороны, объем элементарной ячейки равен отношению молярного объема к числу элементарных ячеек в одном моле кристалла: V = V m/Zm. Прирав 443 няв правые части приведенных выражений для 1/, найдем a3= Km/Zm. (1) Молярный объем кальция Vm=M ! р, где р — плотность кальция; М — его молярная масса. Число элементарных ячеек в одном моле Zm= N А/п, где п — число атомов, приходящихся на одну ячейку. Подставив в формулу (1) приведенные выражения для Vm и Zm, получим а6= nM/(pN А). Отсюда ( 2) a = \/nM /(pN А). Подставим значения величин п, М Р И N А в формулу (2), учитывая, что п= =4 (см. предыдущий пример), Произведя вычисления, найдем а =556 пм. Расстояние d между ближайши и а ми соседними атомами находится из простых геометрических сооб й=Тг ражений, ясных из рис. 49.4: d = alV2. Подставив в это выражение най денное ранее значение а, получим d = 393 пм. Пример 3. Написать индексы направления прямой, проходящей через узлы [[100]] и [[001]] кубической примитивной решетки. Р е ш е н и е . Эту задачу можно решить двумя способами. 1-й способ. Изобразим кубическую примитивную ячейку, отме тим на ней узлы с индексами [[100]] и [[ООП] и проведем через эти узлы прямую (рис. 49.5, а). Рис. 49.5 Если бы прямая проходила через начало координат, то индексы ее направления совпадали бы с индексами узла, ближайшего к на чалу координат, через который проходит прямая. 444 Заданная прямая не проходит через начало координат. Но этого можно достигнуть, перенеся начало координат в один из узлов, через которые проходит прямая. Если перенести начало координат в узел [[100]] (рис. 49.5, б), то узел, лежащий на той же прямой и ближайший к выбранному началу координат, будет иметь индексы [[101]], а искомое направле ние в этом случае определится индексами [101]. Если же начало координат перенести в узел [[001]] (рис. 49.5, в), то соответственно индексы искомого направления будут [101]. Итак, индексы искомого направления в кристалле [ 101 ] или [101]. 2-й способ. Не всегда бывает легко определить, как изменятся индексы узлов при переносе начала координат. Поэтому рассмотрим аналитический метод решения. Напишем в общем виде уравнение прямой, проходящей через две точки в пространстве, с индексами узлов [[гпхПхРх]] и [[т2п2р 2]\: т2— т1 ~~ п2— пх ~~ p2— pi ’ ^ Величины, стоящие в знаменателе, пропорциональны направ ляющим косинусам прямой. Но так как эти величины целочислен ны, то они и будут являться индексами направления. Подставив в знаменатель выражения (1) значения ин дексов уЗЛОВ ГПх= 1, fti = 0, рх=0 и т2= 0, п 2= 0, р 2 1, получим: т2— тг = 0 — 1 = — 1; п>— /2Х—0 — 0 = 0; р й— р1= 1 — 0 = 1 . Таким образом, искомые индексы направления [101]. Пример 4. Написать ин дексы Миллера для плоскос ти, содержащей узлы с ин дексами [[200]], [[0101] и [[001]]. Решетка кубическая, примитивная. Р е ш е н и е . Возможны два способа решения задачи. 1-й способ применим в тех случаях, когда узлы, принадлежащие плоскости, лежат одновременно и на осях координат (т. е. известны отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат). В данном случае узлы, принадлежащие плоскости, лежат на осях координат, и отрезки (в единицах постоянной решетки), отсекаемые на осях координат этой плоскостью, соответственно будут (рис. 49.6) 2, 1, 1. В соответствии с общим правилом нахождения индексов Миллера напишем обратные значения полученных чисел у у *> Т и ПРИ“ ведем их к наименьшему целому кратному этих чисел. Для этого 445 умножим числа на два. Полученная совокупность значений, заклю ченная в круглые скобки, и есть искомые индексы Миллера (1, 2, 2). 2-й способ (аналитический) особенно удобен тогда, когда извест ные узлы не лежат на осях координат. Этот способ является общим и применим во всех случаях. Известно, что индексы Миллера равны наименьшим целочислен ным коэффициентам при переменных в уравнении плоскости. По этому решение задачи по определению индексов Миллера сводится, по существу, к отысканию уравнения плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через три точки с координа тами [[гПхПгрх]], [ [ т 2/г2/72]], [[т3п3р 3]], дается определителем третьего порядка %— пц г — Pi у- - щ т, — т1 «2 —«1 Pz— Pi = 0, т3— пц «з —«1 Ръ— Pi В наш ем случае: т1= 2 1 « 1 = 0 , рг=0\ т2= 0 , л 2= 1 , р 2 = 0 ; /п3= 0, А23= 0 , /?3= 0 . П одстав ляя знач ения индексов у зл о в в оп р едел и тел ь, получим О 1 2—0 х—2 У 2 х—2 0 — 2 1—0 0 — 0 = 0, ИЛИ —2 1 0 —2 0 1 0— 2 0— 0 1—0 Разложим этот определитель по элементам первой строки: —2 —2 1 = 0. 1 0 (х-2) + z — У —2 0 — 2 0 1 Раскрывая определитель второго порядка, получим (л:— 2) ( + 1)— t/(—2) + z ( + 2) = 0, или x + 2y + 2z = 2. Выписав коэффициенты при х, у, z и заключив их в круглые скобки, получим индексы Миллера (1, 2, 2). Эти значения индексов, как и следовало ожидать, совпадают со значениями, полученными первым способом. Задачи Элементарная ячейка. Параметры решетки 49.1. Сколько атомов приходится на одну элементарную ячейку: 1) примитивной решетки кубической сингонии; 2) объемно-центри рованной решетки ромбической сингонии; 3) гранецентрированной решетки кубической сингонии; 4) базоцентрированной решетки ром бической сингонии; 5) примитивной решетки гексагональной син гонии; 6) гексагональной структуры с плотной упаковкой. 49.2. Определить число элементарных ячеек кристалла объемом У=1 м3: 1) хлористого цезия (решетка объемно-центрированная кубической сингонии); 2) меди (решетка гранецентрированная ку 446 бической сингонии); 3) кобальта, имеющего гексагональную струк туру с плотной упаковкой. 49.3. Найти плотность р кристалла неона (при 20 К), если из вестно, что решетка гранецентрированная кубической сингонии. Постоянная а решетки при той же температуре равна 0,452 нм. 49.4. Найти плотность р кристалла стронция, если известно, что решетка гранецентрированная кубической сингонии, а расстояние d между ближайшими соседними атомами равно 0,43 нм. 49.5. Определить относительную атомную массу А г кристалла, если известно, что расстояние d между ближайшими соседними ато мами равно 0,304 нм. Решетка объемно-центрированная кубической сингонии. Плотность р кристалла равна 534 кг/м3. 49.6. Найти постоянную а решетки и расстояние d между бли жайшими соседними атомами кристалла: 1) алюминия (решетка гра нецентрированная кубической сингонии); 2) вольфрама (решетка объемно-центрированная кубической сингонии). 49.7. Используя метод упаковки шаров, найти отношение da параметров в гексагональной решетке с плотнейшей упаковкой. Указать причины отклонения этой величины в реальном кристалле от вычисленного. 49.8. Определить постоянное а я с решетки кристалла магния, который представляет собой гексагональную структуру с плотной упаковкой. Плотность р кристаллического магния равна 1,74х X 103 кг/м3. 49.9. Вычислить постоянную а решетки кристалла бериллия, который представляет собой гексагональную структуру с плотной упаковкой. Параметр а решетки равен 0,359 нм. Плотность р кри сталла бериллия равна 1,82 *103 кг/м3. 49.10. Найти плотность р кристалла гелия (при температуре Г —2 К), который представляет собой гексагональную структуру с плотной упаковкой. По г стоянная а решетки, опре деленная при той же тем пературе, равна 0,357 нм. Индексы узлов, направлений и плоскостей 49.11. Определить ин дексы узлов, отмеченных на рис. 49.7 буквами Л, В, С, D. 49.12. Написать индек сы направления прямой, Рис. 49.7 проходящей в кубической решетке через начало координат и узел с кристаллографическими индексами, в двух случаях: 1) [[242]]; 2) [[112]]. 49.13. Найти индексы направлений прямых Л В, CD, ЛХ, изображенных на рис. 49.8, а, б, в . 447 49.14. Написать индексы направления прямой, проходящей через два узла с кристаллографическими индексами (в двух случа ях): 1) [[123]] и [[321]]; 2) [[121]] и [[201]]. 49.15. Вычислить период / идентичности вдоль прямой [111] в решетке кристалла NaCl, если плотность р кристалла равна 2,17Х X 103 кг/м3. 49.16. Вычислить угол ф между двумя направлениями в куби ческой решетке кристалла, которые заданы кристаллографическим]] индексами [ПО] и [111]. 49.17. Написать индексы Миллера для плоскостей в примитив ной кубической решетке, изображенных на рис. 49.9, а — е. 49.18. Плоскость проходит через узлы [[100]], [[010]], [[001II кубической решетки. Написать индексы Миллера для этой пло скости. 49.19. Система плоскостей в примитивной кубической решетке задана индексами Миллера (221). Найти наименьшие отрезки, отсе каемые плоскостью на осях координат, и изобразить эту плоскость графически. 49.20. Направление нормали к некоторой плоскости в кубиче ской решетке задано индексами [110]. Написать индексы Миллера 418 для этой плоскости и указать наименьшие отрезки, отсекаемые плоскостью на осях. 49.21. Написать индексы Миллера для плоскостей, содержащих узлы с кристаллографическими индексами, в двух случаях: 1) [[111]], {[112]], [[101]]; 2) [[111]], [[010]], [[111]]. Найти отрезки, отсекаемые этими плоскостями на осях координат. 49.22. Система плоскостей примитивной кубической решетки задана индексами (111). Определить расстояние d между соседними плоскостями, если параметр а решетки равен 0,3 нм. 49.23. Определить параметр а примитивной кубической решет ки, если межплоскостное расстояние d для системы плоскостей, за данных индексами Миллера (212) при рентгеноструктурном измере нии, оказалось равным 0,12 нм. 49.24. Три системы плоскостей в примитивной кубической ре шетке заданы индексами Миллера: а) (111); б) (110); в) (100). Ука зать, для какой системы межплоскостные расстояния d минимальны и для какой системы — максимальны. Определить отношения меж плоскостных расстояний dxli : d110 : d100. 49.25. Вычислить угол <р между нормалями к плоскостям (в ку бической решетке), заданных индексами Миллера (111) и (ПТ). 49.26. Две плоскости в кубической решетке заданы индексами Миллера (010) и (011). Определить угол ф между плоскостями. 49.27. В кубической решетке направление прямой задано индек сами [011]. Определить угол <р между этой прямой и плоскостью (П1). 49.28. Определить в кубической решетке угол ф между прямой [111] и плоскостью (111). 49.29. Плоскость в кубической решетке задана индексами Мил лера (011), направление прямой — индексами [111]. Определить угол ф между прямой и плоскостью. § 50. ТЕПЛОВЫЕ СВОЙСТВА Основные формулы • Молярная внутренняя энергия химически простых (состоя щих из одинаковых атомов) твердых тел в классической теории теп лоемкости выражается формулой Um=3RT, где R — молярная газовая постоянная; Т — термодинамическая температура. Ф Теплоемкость С системы (тела) при постоянном объеме опре деляется как производная от внутренней энергии U по температуре, т. е. C=AU/dT. Ф Закон Дюлонга и Пти. Молярная теплоемкость Сш химиче ски простых твердых тел Cm= 3 R . 15 № 1268 449 • Закон Неймана — Коппа. Молярная теплоемкость химиче ски сложных тел (состоящих из различных атомов) Ст=п*ЪЯ, где п — общее число частиц в химической формуле соединения. • Среднее значение энергии (е> квантового осциллятора, при ходящейся на одну степень свободы, в квантовой теории Эйнштей на выражается формулой . v_ ,_________________ 8 “ 8° ехрфюДАГ)] — Г где е0 — нулевая энергия (8o=V2^ 0 ); % — постоянная Планка; со — круговая частота колебаний осциллятора; k — постоянная Больцмана; Т — термодинамическая температура. • Молярная внутренняя энергия кристалла в квантовой теории теплоемкости Эйнштейна определяется по формуле где t / mo= 3/ 2^ 0 E — молярная нулевая энергия по Эйнштейну; QE=%cd/k— характеристическая температура Эйнштейна. • Молярная теплоемкость кристалла в квантовой теории тепло емкости Эйнштейна п _ о d ( qfA 2 exp (0Я/Г) m \ Т ] (ехр (0£/Т) — I)2* При низких температурах (Т<^вЕ) Cm= 3R (0*/Т) ехр ( - В Д . • Частотный спектр колебаний в квантовой теории теплоемко сти Дебая задается функцией распределения частот £(со). Число dZ собственных частот тела, приходящихся на интервал частот от со до co+dco, определяется выражением dZ= g (co)dv. Для трехмерного кристалла, содержащего N атомов, dZ = *4^- со2dco, ®шах где сотах — максимальная частота, ограничивающая спектр коле баний. • Энергия U твердого тела связана с средней энергией (в) квантового осциллятора и функцией распределения частот g ( со) соотношением "шах U =5 ^ <8>g(co) dco. О • Молярная внутренняя энергия кристалла по Дебаю и„ = ит + №Т-з(£У 450 qd / t $ ^ л -Ч д ;. где Um0= 9/BR^D — молярная нулевая энергия кристалла по Де баю; 0D=^comax/&— характеристическая температура Дебая. • Молярная теплоемкость кристалла по Дебаю V r о Предельный закон Дебая. В области низких температур (Т<С0£>) последняя формула принимает вид • Энергия е фонона *** связана с круговой частотой со колеба ний классической волны соотношением • Квазиимпульс фонона р = 2n1i/X. • Скорость фонона является групповой скоростью звуковых волн в кристалле u=ds/dp. При малых значениях энергии фонона дисперсией волн можно пренебречь и тогда групповая и фазовая скорости совпадут: ll— V= &lp. Скорости продольных (Vi) и поперечных (vt) волн в кристалле определяются по формулам Vi = y E / p , Vt = V G / р , где Е и G — модули соответственно продольной и поперечной упру гости. Усредненное значение скорости звука v связано с vt n v t соотношением • Закон Фурье. Количество теплоты dQ, перенесенное через поверхность площадью S, перпендикулярную направлению тепло вого потока, за время d/, равно dQ=— X(dT/dx)Sdt, где X — теплопроводность; d77dx — градиент температуры. Знак минус в формуле показывает, что направление теплового потока противоположно вектору градиента температуры. • Теплопроводность X, теплоемкость С, рассчитанная на еди ницу объема, скорость v звука (усредненное значение) и средняя длина свободного пробега Л фононов связаны соотношением х = Уз&иЛ. * Считать для решения задач Т<0£>, если T/0D<O,1. ** Фонон — квазичастица, являющаяся квантом поля колебаний кри сталлической решетки. 451 ф Относительное изменение частоты, обусловленное эффектом Доплера, ^ = fcos-& (у < с ), где v — скорость атома; с — скорость распространения электро магнитного излучения; Ф — угол между вектором v и направлением наблюдения (от атома к наблюдателю). Ф Энергия отдачи ядра при испускании гамма-фотона где %со — энергия гамма-фотона; тя — масса ядра. Ф Естественная ширина спектральной линии Г = Й/т, где х — среднее время жизни ядра (атома) в возбужденном со стоянии. Ф Сила fix), возвращающая частицу в положение равновесия при ангармонических колебаниях, определяется выражением f(x )= —$x+yx2, где (3 — коэффициент гармоничности, связанный с равновесным рас стоянием г0 между атомами кристалла и модулем продольной упру гости Е соотношением I$=г0Е; у — коэффициент ангармоничности, характеризующий асимметрию колебаний атомов в твердом теле. Для оценки по порядку величин можно принять Ф Коэффициент линейного 1 dl а ~ расширения, по определению, I dT • Теоретически он выражается через коэффициенты (3 и у формулой 'vk 1 k а = —, или приближенно ос —-------йГо ■ ГоТ где k — постоянная Больцмана. Пример решения задач Пример. Определить количество теплоты AQ, необходимое для нагревания кристалла NaCl массой т = 20 г на АТ=2 К, в двух случаях, если нагревание происходит от температуры: 1) 7 \= 0 D; 2) Т 2= 2 К. Характеристическую температуру Дебая 0D для NaCl принять равной 320 К. Р е ш е н и е . Количество теплоты AQ, подводимое для нагрева ния тела от температуры хг до т 2, может быть вычислено по формуле т2 AQ=JCd7\ Ti где С — теплоемкость тела (системы). 452 (I) Теплоемкость тела связана с молярной теплоемкостью Ст соот ношением С=(т/М)С т , где т — масса тела; М — молярная масса. Подставив это выражение С в формулу (1), получим т2 AQ = (m/M) ^ CmdT. (2) Ti В общем случае Ст есть функция температуры, поэтому за знак интеграла ее выносить нельзя. Однако в первом случае изменением теплоемкости по сравнению с ее значением при температуре Тг мож но пренебречь и считать ее на всем интервале температур АТ посто янной и равной Ст (7\). Ввиду этого формула (2) примет вид AQ=(m!M)Cm(T1)AT. (3) Молярная теплоемкость Ст(Тг) в теории Дебая выражается фор мулой v r A '3 d A 3 (9d /7\) 12(7yeD)3 j ех —1 еео /г* -1 ‘ о Q° /Ti з 1 В первом случае при Т г= 0 интеграл J =§ ~ 0,225 о о (см. табл. 2) и, следовательно, Cm=2,87 R. Подставляя это значение Ст в формулу (3), получим Д<2=2,87(тШ )ЯЛ7\ (4) Произведя вычисление по формуле (4), найдем AQ= 16,3 Дж. Во втором случае (Т<сВ ) нахождение AQ облегчается тем, что можно воспользоваться предельным законом Дебая, в согласии с которым теплоемкость пропорциональна кубу абсолютной темпе ратуры. В этом случае теплоемкость сильно изменяется в пределах заданного интервала температур и ее нельзя выносить за знак ин теграла в формуле (2) Используя выражение предельного закона Дебая Ст = 12л4 n / Т \з R \ oE ) ’ получим ==~ 12л4 m _R_ 0D 12л4 m R т 2+ ат Т 3 dТ. Г2 Выполним интегрирование: AQ = AQ = (Г2+ДГ)< 4 ~ ~ м Ж С учетом того, что Т 2+ А Т= 2 Т 2, выражение (5) примет вид (5) 453 Подставив в последнюю формулу значения величин я, т} М R, Т% и 0D и произведя вычисления, найдем AQ=1,22 мДж. Задачи Классическая теория теплоемкости 50.1. Вычислить удельные теплоемкости с кристаллов алюминия и меди по классической теории теплоемкости. 50.2. Пользуясь классической теорией, вычислить удельные теплоемкости с кристаллов NaCl и СаС12. 50.3. Вычислить по классической теории теплоемкости теплоем кость С кристалла бромида алюминия А1Вг3 объемом V = l м3-. Плот ность р кристалла бромида алюминия равна 3,01 ПО3 кг/м3. 50.4. Определить изменение A U внутренней энергии кристалла никеля при нагревании его от t=0 °С до t 2= 200 °С. Масса т кри сталла равна 20 г. Теплоемкость С вычислить. 50.5. Вывести формулу для средней энергии (г) классического линейного гармонического осциллятора при тепловом равновесии. Вычислить значение (г) при Т^ЗООК. 50.6. Определить энергию U и теплоемкость С системы, состоя щей из N = 1025 классических трехмерных независимых гармониче ских осцилляторов. Температура Т^ЗООК. Указание* Использовать результат решения задачи 50.5. Теория теплоемкости Эйнштейна 50.7. Определить: 1) среднюю энергию (г) линейного одномер ного квантового осциллятора при температуре T=QE (0Е=2ОО К); 2) энергию U системы, состоящей из 7V= 1025 квантовых трехмер ных независимых осцилляторов, при температуре Т = в Е (0Е— -3 0 0 К). 50.8. Найти частоту v колебаний атомов серебра по теории теп лоемкости Эйнштейна, если характеристическая температура 0 Е серебра равна 165 К. 50.9. Во сколько раз изменится средняя энергия (е) квантового осциллятора, приходящаяся на одну степень свободы, при повыше нии температуры от Ti=QEl2 до Т 2= 0 Е? Учесть нулевую энергию. 50.10. Определить отношение (г)/(гт) средней энергии кванто вого осциллятора к средней энергии теплового движения молекул идеального газа при температуре T=Q E. 50.11. Используя квантовую теорию теплоемкости Эйнштейна, вычислить изменение A Um молярной внутренней энергии кристал ла при нагревании его на А Т '= 2 К от температуры Т = в Е/ 2. 50.12. Пользуясь теорией теплоемкости Эйнштейна, определить изменение A Um молярной внутренней энергии кристалла при на гревании его от нуля до 0 Е. Характеристическую темпера туру Эйнштейна принять для данного кристалла равной 300 К . 454 50.13. Определить относительную погрешность, которая будет допущена, если при вычислении теплоемкости С вместо значения, да ваемого теорией Эйнштейна (при Т= 0 Е), воспользоваться значе нием, даваемым законом Дюлонга и Пти. 50.14. Вычислить по теории Эйнштейна молярную нулевую энергию Um0 кристалла цинка. Характеристическая температура 0 Е для цинка равна 230 К. Теория теплоемкости Дебая 50.15. Рассматривая в дебаевском приближении твердое тело как систему из продольных и поперечных стоячих волн, установить функцию распределения частот g-((o) для кристалла с трехмерной кристаллической решеткой. При выводе принять, что число собст венных колебаний Z ограничено и равно 3N (N — число атомов в р ассматр иваемом объеме). 9N 50.16. Зная функцию распределения частот g (&) = -£— 0)2 Для &>тах трехмерной кристаллической решетки, вывести формулу для энер гии кристалла, содержащего число N (равное постоянной Авогадро) атомов. 50.17. Используя формулу энергии трехмерного кристалла bd I t о получить выражение для молярной теплоемкости. 50.18. Молярная теплоемкость трехмерного кристалла Найти предельное выражение молярной теплоемкости при низких температурах (Д<С0£>)50.19. Вычислить по теории Дебая молярную нулевую энергию Um%о кристалла меди. Характеристическая температура 0D меди равна 320 К. 50.20. Определить максимальную частоту сотах собственных колебаний в кристалле золота по теории Дебая. Характеристиче ская температура 0D равна 180 К. 50.21. Вычислить максимальную частоту сотах Дебая, если из вестно, что молярная теплоемкость Ст серебра при Т = 20 К равна 1,7 Дж/(моль -К). 50.22. Найти отношение изменения A U внутренней энергии кристалла при нагревании его от нуля до Д=0,1 0D к нулевой энер гии U0. Считать Г<С0/> 50.23. Пользуясь теорией теплоемкости Дебая, определить из менение A t/m молярной внутренней энергии кристалла при нагре вании его от нуля до Г = 0,1 0D. Характеристическую температуру 455 0D Дебая принять для данного кристалла равной 300 К. Считать T « 0 D. 50.24. Используя квантовую теорию теплоемкости Дебая, вы числить изменение Д Um молярной внутренней энергии кристалла при нагревании его на Д Т = 2 К от температуры T=QD/ 2. 50.25. При нагревании серебра массой т= 10 г от T i= l0 К до Т 2= 20 К было подведено AQ=0,71 Дж теплоты. Определить ха рактеристическую температуру 0D Дебая серебра. Считать T<^QD. 50.26. Определить относительную погрешность, которая будет допущена при вычислении теплоемкости кристалла, если вместо значения, даваемого теорией Дебая (при Т = 0D), воспользоваться значением, даваемым законом Дюлонга и Пти. 50.27. Найти отношение 0 E/QD характеристических температур Эйнштейна и Дебая. Указание. Использовать выражения для нулевых энергий, вычисленных по теориям Эйнштейна и Дебая. 50.28. Рассматривая в дебаевском приближении твердое тело как систему из продольных и поперечных стоячих волн, установить функ цию распределения частоту (со) для кристалла с двухмерной решет кой (т. е. кристалла, состоящего из невзаимодействующих слоев). При выводе принять, что число собственных колебаний Z ограни чено и равно 3N (N — число атомов в рассматриваемом объеме). , 50.29. Зная функцию распределения частот g ( со) = ^ ^ - 0 для max кристалла с двухмерной решеткой, вывести формулу для внутрен ней энергии U кристалла, содержащего N (равное постоянной Авогадро) атомов. 50.30. Получить выражение для молярной теплоемкости Ст , используя формулу для молярной внутренней энергии кристалла с двухмерной решеткой: °DI T о 50.31. Молярная теплоемкость кристалла с двухмерной решеткой выражается формулой Найти предельное выражение молярной теплоемкости кристалла при низких температурах (T<^QD). 50.32. Вычислить молярную внутреннюю энергию Um кристал лов с двухмерной решеткой, если характеристическая температура 0£> Дэбая равна 350 К. 50.33. Рассматривая в дебаевском приближении твердое тело как систему из продольных и поперечных стоячих волн, установить функцию распределения частот g-(co) для кристалла с одномерной решеткой (т. е. кристалла, атомы которого образуют цепи, не вза 456 имодействующие друг с другом). При выводе принять, что число собственных колебаний Z ограничено и равно 3N (N — число ато мов в рассматриваемом объеме). 50.34. Зная функцию распределения частот g (0 )=ЗА7сотах для кристалла с одномерной решеткой, вывести формулу для внутрен ней энергии кристалла, содержащего число N (равное постоянной Авогадро) атомов. 50.35. Получить выражение для молярной теплоемкости, ис пользуя формулу для молярной внутренней энергии кристалла с одномерной решеткой: um= 3RT(туе0) j 0 50.36. Молярная теплоемкость кристалла с одномерной решеткой выражается формулой qd! t о Найти предельное выражение молярной теплоемкости кристалла при низких температурах (Г<С0£>). 50.37. Вычислить молярную нулевую энергию t/max кристалла с одномерной решеткой, если характеристическая температура 0D Дебая равна 300 К. Теплопроводность неметаллов. Фононы 50.38. Вода при температуре ^ = 0 °С покрыта слоем льда тол щиной /i=50 см. Температура tx воздуха равна 30 °С. Определить количество теплоты Q, переданное водой за время т= 1 ч через по верхность льда площадью S = 1 м2. Теплопроводность X льда равна 2,2 Вт/(м*К). 50.39. Какая мощность N требуется для того, чтобы поддержи вать температуру = 100 °С в термостате, площадь S поверхности которого равна 1,5 м2, толщина h изолирующего слоя равна 2 см и внешняя температура /= 2 0 °С? 50.40. Найти энергию е фонона, соответствующего максималь ной частоте сотах Дебая, если характеристическая температура 0D Дебая равна 250 К. 50.41 Определить квазиимпульс р фонона, соответствующего частоте 0 = 0 ,1 0 тах. Усредненная скорость v звука в кристалле равна 1380 м/с, характеристическая температура 0£> Дебая равна 100 К. Дисперсией звуковых волн в кристалле пренебречь. 50.42. Длина волны X фонона, соответствующего частоте 0 = =0,01 0 тах, равна 52 нм. Пренебрегая дисперсией звуковых волн, определить характеристическую температуру 0D Дебая, если усред ненная скорость v звука в кристалле равна 4,8 км/с. 457 50.43. Вычислить усредненную скорость v фононов (скорость звука) в серебре. Модули продольной Е и поперечной G упругости, а также плотность р серебра считать известными. 50.44. Характеристическая температура 0D Дебая для вольфра ма равна 310 К. Определить длину волны ^фононов, соответствую щих частоте v = 0 ,l vmax. Усредненную скорость звука в вольфраме вычислить. Дисперсией волн в кристалле пренебречь. 50.45. Период d решетки одномерного кристалла (кристалла, атомы которого образуют цепи, не взаимодействующие друг с дру гом) равен 0,3 нм. Определить максимальную энергию етах фононов, распространяющихся вдоль этой цепочки атомов. Усредненная скорость v звука в кристалле равна 5 км/с. 50.46. Определить усредненную скорость v звука в кристалле, характеристическая температура 0 которого равна 300 К. Меж атомное расстояние d в кристалле равно 0,25 нм. 50.47. Вычислить среднюю длину (/> свободного пробега фононов в кварце S i0 2 при некоторой температуре, если при той же тем пературе теплопроводность ^= 1 3 Вт/(м*К), молярная теплоемкость С=44 Дж/(моль *К) и усредненная скорость v звука равна 5 км/с. Плотность р кварца равна 2,65 *103 кг/м3. 50.48. Найти отношение средней длины (/) свободного пробега фононов к параметру d решетки при комнатной температуре в кри сталле NaCl, если теплопроводность X при той же температуре равна 71 Вт/(м*К). Теплоемкость вычислить по закону Неймана — Коппа. Относительные атомные массы: А ^а=23, Л сл^Зб^; плотность р кристалла равна 2,17 ПО3 кг/м3. Усредненную скорость v звука принять равной 5 км/с. 50.49. Вычислить фононное давление р в свинце при температуре Т = 4 2 ,5 К . Характеристическая температура 0D Дебая свинца равна 85 К. 50.50. Определить фононное давление р в меди при температуре T = Q d , если 0d=32O К. Эффект Мёссбауэра 50.51. Исходя из законов сохранения энергии и импульса при испускании фотона движущимся атомом, получить формулу допле ровского смещения Дсо/оо для нерелятивистского случая. 50.52. Вычислить энергию R , которую приобретает атом вследст вие отдачи, в трех случаях: 1) при излучении в видимой части спект ра (^=500 нм); 2) при рентгеновском излучении (^=0,5 нм); 3) при гамма-излучении (А,=5•10-3 нм). Массу т а атома во всех случаях считать одинаковой и равной 100 а. е. м. 50.53. Уширение спектральной линии излучения атома обуслов лено эффектом Доплера и соотношением неопределенностей. Кроме того, вследствие отдачи атома происходит смещение спектральной линии. Оценить для атома водорода относительные изменения (ДХ/Х) длины волны излучения, обусловленные каждой из трех причин. Среднюю скорость (v) теплового движения атома принять равной 458 3 км/с, время т жизни атома в возбужденном состоянии — 10 нс, энергию е излучения атома— 10 эВ. 50.54. При испускании у-фотона свободным ядром происходит смещение и уширение спектральной линии. Уширение обусловлено эффектом Доплера и соотношением неопределенностей, а смещение — явлением отдачи. Оценить для ядра ^7Fe относительные изменения (Av/v) частоты излучения, обусловленные каждой из трех причин. При расчетах принять среднюю скорость (v) ядра (обусловленную тепловым движением) равной 300 м/с, время т жизни ядра в возбуж денном состоянии — 100 нс и энергию ev гамма-излучения равной 15 кэВ. 50.55. Найти энергию АЕ возбуждения свободного покоившегося ядра массы т я, которую оно приобретает в результате захвата гам ма-фотона с энергией е. 50.56. Свободное ядро 40К испустило гамма-фотон с энергией е7= 30 кэВ. Определить относительное смещение Ак/к спектральной линии, обусловленное отдачей ядра. 50.57. Ядро 67Zn с энергией возбуждения Д £ = 9 3 кэВ перешло в основное состояние, испустив гамма-фотон. Найти относительное изменение Де7/е7 энергии гамма-фотона, возникающее вследствие отдачи свободного ядра. 50.58. Энергия связи Есв атома, находящегося в узле кристал лической решетки, составляет20 эВ. Масса т а атома равна 80 а. е. м. Определить минимальную энергию гу гамма-фотона, при испуска нии которого атом вследствие отдачи может быть вырван из узла решетки. 50.59. Энергия возбуждения АЕ ядра 1911г равна 129 кэВ. При какой скорости v сближения источника и поглотителя (содержащих свободные ядра 1911г) можно вследствие эффекта Доплера скомпен сировать сдвиг полос поглощения и испускания, обусловленных отдачей ядер? 50.60. Источник и поглотитель содержат свободные ядра 83Кг. Энергия возбуждения АЕ ядер равна 9,3 кэВ. Определить ско рость v сближения источника и поглотителя, при которой будет происходить резонансное поглощение гамма-фотона. 50.61. Источник и поглотитель содержат ядра 161Dy. Энергия возбуждения АЕ ядер равна 26 кэВ, период полураспада Г 1/2= —28 нс. При какой минимальной скорости vm]n сближения источ ника и поглотителя нарушается мёссбауэровское поглощение гам ма-фотона? 50.62. При скорости v сближения источника и поглотителя (со держащих свободные ядра 153Ег), равной 10 мм/с, нарушается мёсс бауэровское поглощение гамма-фотона с энергией гу=98 кэВ. Оце нить по этим данным среднее время т жизни возбужденных ядер 153Ег. 50.63. Источник гамма-фотонов расположен над детектором-по глотителем на расстоянии /= 2 0 м. С какой скоростью v необходимо перемещать вверх источник, чтобы в месте расположения детектора было полностью скохмпенсировано изменение энергии гамм а-фотонов! обусловленное их гравитационным взаимодействием с Землей? 459 Тепловое расширение твердых тел 50.64. Найти коэффициент объемного расширения (3 для анизо тропного кристалла, коэффициенты линейного расширения которо го по трем взаимно перпендикулярным направлениям составляют 1,25*10~5 К -1; а а=1,Ю -10“ Б К " 1; а 3=1,5-10~5 К " 1. 50.65. Вычислить максимальную силу Fmах, возвращающую атом твердого тела в положение равновесия, если коэффициент гар моничности (3=50 Н/м, а коэффициент ангармоничности у=500 ГПа. 50.66. Определить силу F (соответствующую максимальному смещению), возвращающую атом в положение равновесия, если ам плитуда тепловых колебаний составляет 5 % от среднего межатом ного расстояния при данной температуре. При расчетах принять: коэффициент гармоничности (3=50 Н/м, коэффициент ангармонич ности у=500 ГПа, среднее межатомное расстояние г0= 0,4 нм. 50.67. Каково максимальное изменение ЛПтах потенциальной энергии атомов в кристаллической решетке твердого тела при гар монических колебаниях, если амплитуда тепловых колебаний со ставляет 5 % от среднего межатомного расстояния? Среднее рас стояние г0 между атомами принять равным 0,3 нм, модуль Юнга £ = 1 0 0 ГПа. 50.68. Показать, что если смещение частиц в кристаллической решетке твердого тела подчиняется закону Гука F (х)= —(Зх, то тепловое расширение отсутствует. 50.69. Определить коэффициент гармоничности (3 в уравнении колебаний частиц твердого тела, если равновесное расстояние г<> между частицами равно 0,3 нм, модуль Юнга £ = 2 0 0 ГПа. 50.70. Оценить термический коэффициент расширения а твер дого тела, считая, что коэффициент ангармоничности у ^(3/(2г0). При оценке принять: модуль Юнга £ = 1 0 0 ГПа, межатомное рас стояние г0= 0,3 нм. 50.71. Вычислить коэффициент ангармоничности у для железа, если температурный коэффициент линейного расширения а = = 1,2* 10“ 5 К -1, межатомное расстояние г0=0,25 нм, модуль Юнга £ = 2 0 0 ГПа. 50.72. Определить, на сколько процентов изменится межатом ное расстояние в твердом теле (при нагревании его до Г=400 К) по сравнению с равновесным расстоянием го= 0 ,3 нм, отвечающим ми нимуму потенциальной энергии. При расчетах принять у=(3/(2 г0), модуль Юнга £ = 1 0 ГПа. 50.73. Оценить термический коэффициент расширения а твер дого тела, обусловленного фононным давлением (в области T<^QD). При оценке принять: плотность р кристалла равной 104 кг/м3, мо дуль Юнга £ = 1 0 0 ГПа, относительную атомную массу Лг=60- § 51. Э Л Е К Т Р И Ч Е С К И Е И М А Г Н И Т Н Ы Е СВОЙСТВА Т В Е Р Д Ы Х ТЕЛ Основные формулы Электроны в металле (по квантовой статистике) ф Распределение Ферми по энергиям для свободных электронов в металле: где dft(e) — концентрация электронов, энергия которых заключена в интервале значений от е до e+ de; т и е — масса и энергия элек трона; еf — уровень (или энергия) Ферми. • Уровень Ферми в металле при T —Q Ф Температура 7"кр вырождения Полупроводники Ф Удельная проводимость собственных полупроводников У = е п фп+Ьр), где е — заряд электрона; п — концентрация носителей заряда (электронов и дырок); Ьп и Ьр — подвижности электронов и дырок. Напряжение t/н гранях образца при эффекте Холла f/н = RnBjl, где jRh — постоянная Холла; В — индукция магнитного поля; I — ширина пластины; / — плотность тока. Ф Постоянная Холла для полупроводников типа алмаза, крем ния, германия и др., обладающих носителями заряда одного вида (п или р ), где п — концентрация носителей заряда. Магнитный резонанс Ф Магнитный момент ядра * (/ + 1 ), где g — ядерный фактор Ланде (g-фактор); рл, — ядерный магне тон (\iN=ea/(2 tnp))\ тр — масса протона; / — спиновое квантовое число ядра (спин ядра). * Магнитным моментом ядра называют также максимальное значение проекции магнитного момента ядра на направление вектора магнитной индукции внешнего поля, т. е. 461 • Связь магнитного момента ядра с моментом импульса £?3 ядра р, = у ^ /( где у — гиромагнитное отношение (7=£РлД ) и Ф Проекция магнитного момента ядра на направление вектора магнитной индукции внешнего поля И*2 = где trij — спиновое магнитное квантовое число ядра, mz= / , I —1, . . . •. -/. • Круговая частота « 0 переменного магнитного поля, при ко торой происходит резонансное поглощение энергии, со0=У Я0, где В0 — магнитная индукция внешнего постоянного магнитного поля. • Отношение заселенностей энергетических уровней (в отсутст вие высокочастотного поля) N1 е где Nt — заселенность энергетического уровня Ег\ N 2 — заселен ность энергетического уровня В 2; Е£>Е±. Примеры решения задач Пример 1. Кусок металла объема К=20 см3 находится при тем пературе 7 = 0 . Определить число ДN свободных электронов, им пульсы которых отличаются от максимального импульса /?тах не более чем на 0,1 /?тах. Энергия Ферми 8^=5 эВ. Р е ш е н и е . Для того чтобы установить распределение свобод ных электронов в металле по импульсам, воспользуемся распределе нием Ферми для свободных электронов при 7 = 0 ; d n (£) = i ( - | r ) 3 / 2 e l / 2 d e - 0): Так как dn(e) есть число электронов в единице объема, энергии которых заключены в интервале значений от 8 до 8+de то оно должно быть равно числу электронов d п (р) в единице объема, заключенных в интервале значений импульса от р до p+dp, т. е. dn(/?)=dn(8). (2) При этом должно соблюдаться следующее условие. Данной энер гии 8 соответствует определенный импульс р (г= р2Ц2т)) и интерва лу энергии de отвечает соответствующий ему интервал импульсов dp^de = -^-d/?y Заметив, что 81/2=/7/(2т)1/2, подставим в правую часть равенства (2) вместо dn(e) выражение (1) с заменой ена р и 462 ds на dp в соответствии с полученными соотношениями, т. е. dn (р) = 1 / 2т \ з / 2 р 2л2 \ Р ) (9.т\1/ъ р dp. После сокращений получим искомое распределение свободных элек тронов в металле по импульсам при Т = О: <И Р) = Я 5 Р г^ . Число электронов в единице объема, импульсы которых заключе ны в интервале от ртах —0,1 ртах до ртах, найдем интегрированием в соответствующих пределах: шах 0,271 Р3тах Ап = р26р-РтахП — (0,9)3], ИЛИ Art Зл2 • ЗлФ 0 ,9 п Учитывая, что максимальный импульс ртах и максимальная энер гия е электронов в металле (при Г = 0 ) связаны соотношением ртах= s=2 tm f , найдем искомое число AN свободных электронов в металле: = Зл2Р или AN 0,271 / 3mef \s/2 Зд2 \ р ) Vl Подставив значения величин п уту г/ у %и У и произведя вычисле ния (5 э В = 8 -К Г 19 Дж), получим A7V= 2,9* 1023 электронов. Пример 2. Образец из германия ft-типа в виде пластины длиной L=10 см и шириной 1=6 мм помещен в однородное магнитное поле (В=0,1 Тл) перпендикулярно линиям магнитной индукции. При напряжении U = 250 В, приложенном к концам пла стины, возникает холловская разность потенциалов Uн = = 8 ,8 мВ. Определить: 1) по стоянную Холла /?н; 2) кон центрацию пп носителей тока. Удельную проводимость у гер мания принять равной 80См/м. Р е ш е н и е . 1. При по мещении полупроводника в магнитное поле (рис. 51.1) носители тока (в полупровод нике ft-типа это электроны), перемещающиеся под действием при ложенной к нему разности потенциалов U, будут отклоняться в по перечном направлении. Это отклонение, вызванное силой Лоренца! приведет к «накоплению» заряда на боковых поверхностях образца, причем создаваемое в результате этого напряжение {Ун (холловская разность потенциалов) действием своим будет уравновешивать си лу Лоренца. Холловская разность потенциалов определяется соот ношением Un^RuBjl, 463 откуда постоянная Холла ии (1) *«= w Плотность тока / найдем, воспользовавшись законом Ома в диф ференциальной форме: j = yE, где Е — напряженность поля в образце. Считая поле в образце однородным, можно написать E=UIL и тогда U /= 7 -. Подставив плотность тока в выражение (1), получим uL U Rн : BL/ у Г ^ Убедимся в том, что правая часть равенства (2) дает единицу постоянной Холла (м3/Кл): [1/н] \Ц 1 В-1 м 1 Тл * 1 В* 1 См/м* 1 м м-1 В 1 Дж-1 м2 « [ В] [ t / ] [у] [/] ~ 1 А* 1 м-1 = — 1 Н .1 Д - 1м 1 Тл* 1 См ~ ~ о тг = г и т а = 1 м /КлВыразим все величины в единицах СИ ({ /н = 8 ,8 -10~3 В, L = = 0,1 м, 5 = 0 ,1 Тл, =250 В, у=80 См/м, /=6*10“ 3 м) и произве дем вычисления: Ян - о,18'|ю Ю М’60 | 0- . “ "'Кл - 7,33-10-5 м3/Кл. 2. Концентрацию п носителей тока в полупроводнике одного типа (в нашем случае я-типа) можно найти из соотношения D Зл 1 где е — элементарный заряд. Отсюда Зл п=&Rne ’ Произведя вычисления, получим п = 1023 электронов/м3. Пример 3. Образец из вещества, содержащего эквивалентные ядра (протоны), находится в однородном внешнем магнитном поле (5 = 1 Тл). Определить: 1) относительную разность заселенностей энергетических уровней при температуре 7 = 3 0 0 К; 2) частоту v0, при которой будет происходить ядерный магнитный резонанс. Эк ранирующим действием электронных оболочек и соседних ядер пренебречь. Р е ш е н и е . 1. В магнитном поле ядра приобретают дополни тельную энергию, определяемую соотношением е = - рЛ (1) где |х2 — проекция магнитного момента ядра на направление векто464 ра В (ось Oz). Проекция магнитного момента ядра выражается формулой где g — ядерный фактор Ланде; \iN— ядерный магнетон; тт— спиновое магнитное квантовое число ядра. Подставив это выражение в формулу (1), получим Е = —g\\-s Вт,. Спиновое магнитное квантовое число т1 протона может прини мать только два значения: mz= + l/2 и т г = —1/2. Значение m f = = 4-1/2 соответствует нижнему Nz энергетическому уровню: тх—{ Ег = — \ ё \ ^ В . (2) Значение /7?z= —1/2 соответству ет верхнему энергетическому уровню (рис. 51.2): £1 * ' _____ ^2 = + у (3) (£i~~ I В отсутствие магнитного по Рис. 51.2 ля число ядер с противополож но направленными спинами оди наково и равно N/2 (N — общее число ядер). В магнитном поле происходит перераспределение ядер по энергетическим уровням. На нижнем уровне с энергией Ех будет находиться больше ядер, чем на верхнем с энергией £ 2. Число ядер N± (заселенность данного уровня), находящихся на нижнем энергетическом уровне Е1у может быть вычислено по формуле Больцмана: N .г N + glXNB/(kT) N 1= -^-e~Ei/{kT\ или ^ i = -o-e Соответственно можно найти и число ядер N 2, находящихся на верхнем энергетическом уровне: ~ evLNB^ kT) N 2= ^ e - E^ kT), или N2= N_ о С Так как 1/ 2giiNB<^kT (это будет показано ниже), то можно восполь зоваться приближенными равенствами е~хж1—х и e * » l+ x , если x<Cl (см. табл. 3). Тогда Разность AN заселенности энергетических уровней найдем, вы читая из первого приближенного равенства второе: MT = N l - N t = l L g [t„B/(kT). Разделив AN на N , получим относительную разность заселенностей энергетических уровней: = (4 ) 465 Выразим все величины в единицах СИ: £=5,58 (для протона), Рдг—5,05-10“27 А-м2, В - 1 Тл, /г-1 ,3 8 -К Г 23 Дж/К, Г - 300 К. Подставим эти значения в формулу (4) и произведем вычисления: AN N 5 , 5 8 - 5 , 0 5 . 1 0 ~ 27- 1 ? 2-1,38-10 ~23•300 — d >4 *l u * Полученный результат оправдывает наше допущение, что CkT. 2. Под действием электромагнитного излучения, угловая частота которого со0= (£ 1- £ 2)/А, (5) будут происходить переходы между уровнями энергии Ег и В 2, причем электромагнитное излучение вызывает переходы Ег ->-В2 и В 2 -+ Ег с равной вероятностью при условии одинаковой заселен ности энергетических уровней. Так как нижний уровень имеет большую заселенность, чем верхний, то переходы с поглощением электромагнитного излучения (£i ->-В2) будут происходить чаще, чем с излучением (В2 Это и есть резонансное поглощение электромагнитного излучения, обусловленное ядерным магнетиз мом (ЯМР). Подставив в (5) выражение для энергий Е± и В2 согласно (2) и (3) и заменив угловую частоту со0 на частоту v0(coo= 2 jxv0), найдем резонансную частоту v0 для внешнего магнитного поля В *: v 0 = g\ix B /(2лЬ). Подставим в это выражение числовые значения физических величин и произведем вычисления: v0= 5,58-5,05- К Г ” -1/(2-3,14-1,05-10“*4) Гц = 4,27-10? Гц, или v0 = 42,7 МГц. Задачи Электроны в металле. Распределение Ферми—Дирака 51.1. Определить концентрацию п свободных электронов в ме талле при температуре Т = 0 К. Энергию Ферми s принять равной 1 эВ. 51.2. Определить отношение концентраций n jn 2 свободных электронов при Г —0 в литии и цезии, если известно, что уровни Ферми в этих металлах соответственно равны zf 4,72эВ, zf 2— = 1,53 эВ. 51.3. Определить число свободных электронов, которое прихо дится на один атом натрия при температуре Г —0 К- Уровень Ферми zf для натрия равен 3,12 эВ. Плотность р натрия равна 970 кг/м3. * В реальных образцах магнитное поле В, действующее на ядро, отли чается от внешнего постоянного поля В0 на величину Вг поля, создаваемого в месте нахождения ядра электронами и ядрами всех молекул образца, в том числе и той, к которой принадлежит данное ядро. В условиях данной задачи полем В1 мы пренебрегаем. 466 51.4. Во сколько раз число свободных электронов, приходящих ся на один атом металла при Т = 0, больше в алюминии, чем в меди, если уровни Ферми соответственно равны e/ x = ll,7 3 B , ef 2= = 7,0 эВ? 51.5. Определить вероятность того, что электрон в металле зай мет энергетическое состояние, находящееся в интервале Де=0,05 эВ ниже уровня Ферми и выше уровня Ферми, для двух температур: 1) 7\= 290 К; 2) Г 2= 5 8 К . 51.6. Вычислить среднюю кинетическую энергию (е) электронов в металле при температуре Т = 0 К, если уровень Ферми &f=7 эВ. 51.7. Металл находится при температуре 7 = 0 К. Определить, во сколько раз число электронов с кинетической энергией от &fl2 до еj больше числа электронов с энергией от 0 до е/2 . 51.8. Электроны в металле находятся при температуре 7 = 0 К. Найти относительное число ANIN свободных электронов, кинети ческая энергия которых отличается от энергии Ферми не более чем на 2 % . 51.9. Оценить температуру Гкр вырождения для калия, если при нять, что на каждый атом приходится по одному свободному элек трону. Плотность р калия 860 кг/м3. 51.10. Определить отношение концентрации nmax электронов в металле (при 7 = 0 К), энергия которых отличается от максималь ной не более чем на Дв, к концентрации nmin электронов, энергии которых не превышают значения е=Де; Де принять равным 0,018^ 51.11. Зная распределение dn(e) электронов в металле по энер гиям, установить распределение d п(р) электронов по импульсам. Найти частный случай распределения при 7 = 0 К. 51.12. По функции распределения dп (р) электронов в металле по импульсам установить распределение dn(v) по скоростям: 1) при любой температуре 7; 2) при 7 = 0 К. 51.13. Определить максимальную скорость i>max электронов в металле при 7 = 0 К, если уровень Ферми 8/ = 5 э В . 51.14. Выразить среднюю скорость (v) электронов в металле при 7 = 0 К через максимальную скорость i>max. Вычислить {v) для металла, уровень Ферми которого при 7 = 0 К равен 6 эВ. 51.15. Металл находится при температуре Т = 0 К. Определить, во сколько раз число электронов со скоростями от i>max/2 до i>max больше числа электронов со скоростями от 0 до i>max/2. 51.16. Выразить среднюю квадратичную скорость V (v2) электро нов в металле при Т = 0 К через максимальную скорость i>max элек тронов. Функцию распределения электронов по скоростям считать известной. 51.17. Зная распределение dn(v) электронов в металле по скоро стям, выразить (1 Iv) через максимальную скорость итах электронов в металле. Металл находится при 7 = 0 К. 467 Полупроводники. Эффект Холла 51.18. Определить уровень Ферми в собственном полупровод нике, если энергия Д £0 активации равна 0,1 эВ. За нулевой уровень отсчета кинетической энергии электронов принять низший уровень зоны проводимости. 51.19. Собственный полупроводник (германий) имеет при неко торой температуре удельное сопротивление р=0,48О м-м. Опреде лить концентрацию п носителей заряда, если подвижности Ъп и Ьр электронов и дырок соответственно равны 0,36 и 0,16 м2/(В-с). 51.20. Удельная проводимость у кремния с примесями равна 112 См/м. Определить подвижность Ьр дырок и их концентрацию /2р, если постоянная Холла ^ н = 3 ,6 6 -1 0 -4 м3/Кл. Принять, что полупроводник обладает только дырочной проводимостью. 51.21. В германии часть атомов замещена атомами сурьмы. Рассматривая дополнительный электрон примесного атома по моде ли Бора, оценить его энергию Е связи и радиус г орбиты. Диэлек трическая проницаемость е германия равна 16. 51.22. Полупроводник в виде тонкой пластины шириной / = 1 см и длиной L = 10 см помещен в однородное магнитное поле с индук цией В =0,2 Тл. Вектор магнитной индукции перпендикулярен пло скости пластины. К концам пластины (по направлению L) прило жено постоянное напряжение (/=300 В. Определить холловскую разность потенциалов (/н на гранях пластины, если постоянная Холла ^ н = 0 ,1 м3/Кл, удельное сопротивление р=0,5О м-м . 51.23. Тонкая пластина из кремния шириной / = 2 см помещена перпендикулярно линиям индукции однородного магнитного поля (В=0,5 Тл). При плотности тока j= 2 мкА/мм2, направленного вдоль пластины, холловская разность потенциалов (/н оказалась равной 2,8 В. Определить концентрацию п носителей заряа. Магнитный резонанс 51.24. Определить гиромагнитное отношение у для свободного электрона. 51.25. Свободный электрон находится в постоянном магнитном поле (В0— 1 Тл). Определить частоту v0 переменного магнитного поля, при которой происходит резонансное поглощение энергии электроном (g-фактор для свободного электрона равен 2). 51.26. Определить отношение (Оэпр/Юцик резонансной частоты электронного парамагнитного резонанса к циклотронной частоте (g-фактор равен 2,00232). 51.27. Стандартные спектрометры для наблюдения электронного парамагнитного резонанса (ЭПР) имеют на одном из диапазонов фиксированную частоту v0= 9 ,9 ГГц. Определить магнитную индук цию поля В0, при которой происходит резонансное поглощение энергии радиочастотного поля свободным электроном (g-фактор равен 2). 468 51.28. Определить гиромагнитное отношение у для свободного протона. 51.29. Свободный протон находится в постоянном магнитном поле(Б0=1 Тл). Определить частоту v0переменного магнитного поля, при которой происходит резонансное поглощение энергии протоном (g-фактор равен 5,58). 51.30. В опытах по изучению магнитным резонансным методом магнитных свойств атомов 25Mg в основном состоянии обнаружено резонансное поглощение энергии при магнитной индукции В0 поля, равной 0,54 Тл, и частоте v0 переменного магнитного поля, равной 1,4 МГц. Определить ядерный g -фактор. 51.31. Методом магнитного резонанса определяют магнитный момент нейтрона. Резонансное поглощение наблюдается при маг нитной индукции В0 поля, равной 0,682 Тл, и частоте v0 переменного магнитного поля, равной 19,9 МГц. Вычислить ядерный g -фактор и магнитный момент |т7г нейтрона. Известно, что направления спино вого механического и магнитного моментов противоположны. Спин нейтрона /= 1/2. 51.32. Для молекулы HD, находящейся в основном состоянии, ядерный магнитный резонанс наблюдался: 1) для протонов (/= 1/2) в постоянном магнитном поле (50=94 мТл) при частоте v0 перемен ного магнитного поля, равной 4 МГц; 2) для дейтонов (/= 1 ) соот ветственно при £ 0=0,37 Тл и л?0=2,42М Гц. Определить по этим данным g-факторы и магнитные моменты р,р и |id протона и дейтона (в единицах р,Лт). 51.33. При какой частоте v0 переменного магнитного поля будет наблюдаться ЯМР ядер 19Р (/= 1 /2 ; pt=2,63ftjv), если магнитная индукция Во постоянного поля равна 2,35 Тл? 51.34. Ядра Li (1=3/2 и g=2,18) находятся в однородном маг нитном поле (5 0= 2 Тл). Температура Т окружающей среды равна 80 К. Найти отношение заселенностей каждого из возможных энер гетических уровней к заселенности уровня с наименьшей энергией. ПРИЛОЖЕНИЯ I. О ПРИБЛИЖ ЕННЫ Х ВЫЧИСЛЕНИЯХ Числовые значения величин, с которыми приходится иметь дело при решении физических задач, являются большей частью приближенными. К таким величинам относятся, в частности, многие константы, приводи мые в справочниках. Например, для нормального ускорения свободного па дения в справочниках дается значение 9,81 м/с, для отношения длины окруж ности к диаметру — 3,14, для массы электрона — 9 ,1 -10-31 кг и т. п. При более точном вычислении или измерении эти величины оказываются равными g = 9 ,80665 м/с2, л =3,1416, т е==9,10б ПО-31 кг. Однако и эти значения, в свою очередь, являются приближенными или в силу недостаточной точности измерения, или в силу того, что получены путем округления еще более точ ных значений. Очень часто неопытные лица при вычислениях добиваются получения такой точности результатов, которая совершенно не оправдывается точ ностью использованных данных, Это приводит к бесполезной затрате труда и времени. Рассмотрим такой пример. Пусть требуется определить плотность р вещества некоторого тела. При взвешивании тела на весах с точностью до 0,01 г определили массу тела: /ц=(9,38±0,01) г. Затем с точностью до 0,01 см3 был измерен объем тела: Р = (3 ,46=^0,01) см3. Без критического подхода к вычислениям можно получить такой резуль тат: т 9,38 г Р V 3,46 см3 =2,71098 г/см3* Но так как числа 9,38 и 3,46 приближенные, то последние цифры в этих числах сомнительны. Эти числа при измерении могли быть получены такими: первое — 9,39 или 9,37, второе — 3,45 или 3,47. В самом деле, при взвеши вании с указанной выше точностью могла быть допущена погрешность на 0,01 как в сторону увеличения массы, так и в сторону ее уменьшения. То же самое в отношении объема. Таким образом, плотность тела, если ее вычислять с точностью до пятого десятичного знака, как это сделано выше, могла оказаться QQ7 г Q QQ г р= ь ---~= 2,70028 г/см3, или р = 7 !* \ = 2,72174 г/см3. р 3,47 см3 г 3,45 см3 Сравнение всех трех результатов показывает, что они отличаются уже вторыми десятичными знаками и что достоверным является лишь первый десятичный знак, а второй — сомнительным. Цифры, выражающие осталь ные десятичные знаки, являются совершенно случайными и способны лишь ввести в заблуждение пользующегося вычисленными результатами. Следова тельно, работа по вычислению большинства знаков затрачена впустую. Во избежание бесполезных затрат труда и времени принято вычислять кроме достоверных знаков еще только один сомнительный. В рассмотренном примере надо было вести вычисление до второго деся тичного знака: 9,38 г Р 3,46 см3 = 2,71 г/см3. Приближенные вычисления следует вести с соблюдением следующих правил, 470 1. При сложении и вычитании приближенных чисел окончательный результат округляют так, чтобы он не имел значащих цифр * в тех разрядах, которые отсутствуют хотя бы в одном из приближенных данных. Например, при сложении чисел 4,462 ,2,38 1,17273 1,0262 9,04093 следует сумму округлить до сотых долей, т. е. принять ее равной 9,04. 2. При умножении следует округлять сомножители так, чтобы каждый из них содержал столько значащих цифр, сколько их имеет сомножитель с наименьшим числом таких цифр. Например, вместо вычисления выражения 3,723-2,4.5,1846 следует вычислять выражение 3,7-2,4-5,2. В окончательном результате необходимо оставлять такое же число зна чащих цифр, какое имеется в сомножителях, после их округления. В промежуточных результатах следует сохранять на одну значащую цифру больше. Такое же правило соблюдается и при делении приближенных чисел. 3. При возведении в квадрат или в куб следует в степени брать столько значащих цифр, сколько их имеется в основании степени. Например, 1,322 « 1,74. При извлечении квадратного или кубического корня в результате нужно брать столько значащих цифр, сколько их имеется в подкоренном выраже нии. Например, V 1,17-10-8« 1 ,0 8 -1 0 -4. 5. При вычислении сложных выражений следует применять указанные правила в соответствии с видом производимых действий* Например, (3,2-f- 17,062)‘|/'зТ7 5 .1 - 2,007-10» Сомножитель 5,1 имеет наименьшее число значащих цифр — две. По этому результаты всех промежуточных вычислений должны округляться до трех значащих цифр: (3 ,2 + 17,062)V W j _.20,3-1,92 39,0 _ , 5.1- 2,007-10» ~ 10,3-10» ~ 19,3-10» ’ После округления результата до двух значащих цифр получаем 3,8*10~3. При вычислениях рекомендуем пользоваться счетной линейкой или калькулятором. II. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО МАТЕМАТИКЕ 1. Формулы алгебры и тригонометрии __— Ъ ± У Ь 2 — 4 ас Xz= Та Z = а+ ib Z = р (cos ср+ i sin ф) Z* = a — ib Z* = p (cos ф— i sin ф) * Значащими цифрами называются все цифры, кроме нуля, а также и нуль в двух случаях: 1) когда он стоит между значащими цифрами; 2) когда он стоит в конце числа и когда известно, что единиц соответствующего раз ряда в данном числе не имеется. 471 Z* = pe-W zz* = \z\* \Z \ = p = V cP + b* sin (x— y) = sin x cos y — sin y cos x sin (л; + у) = sin x cos у + sin у cos x cos (л;—у) = cos x cos y-\- sin x sin у cos (x-f- y) — cos x cos у — sin x sin у cos 2x= cos2 x —sin2 x sin 2x = 2 sin x cos у cos2 x = 1/ 2( 1+ cos 2x) sin2 x = 1/2 (1 — cos 2x) sin ax sin bx = V2 cos (a — b) x — V2 cos {a -J- b) x sin ax cos Ьх — г12 sin (a-\- b) * + V2 sin (a— b) x Z = pef(P 2. Формулы дифференциального и интегрального исчислений du dv V-A ---- и ~Adx dx da . dv d (uv) dx dx dx d (xm) mxm ~1 dx d (In x) _ 1 X dx d (cos л;) — sin x dx 1 d (ctg x) sin2 x dx Г хт dx——\-г хт +х (при т ф 1) J т+\ Г I -= 1пх dx d (ex) =ex dx d (ax) _ ax In a dx ~ d (sin x) = COS X dx d ( tg x ) _ 1 dx cos^* P dx_ 1_ J ~x2~~ ~x л: ^ sin x dx — — cos x cos х dx — sin х J e* dx = ex dx , x fо sin x~ :ln С 1 1 \ sin2 х dx=z~2 х — —sin 2х Ш = '" Н ^ + т cos2 x dx = -l~x-l.— sin 2x 2 ‘ 4 00 %3e-ax2 d jt= ~ a ' 2 ^ хпе~х dx = nl xne~ax dx- n\ x1 е_а*г d*=-g- У n a 5/2 ' an+* 00 :i/2 Q-ax d x = :з/2 e~ax dx= 2 a 3//2 У~л a -5 /2 x dx JT 2 c 6 J Qx — \ 0 oo C x2 dx — 2 405 J ex — 1 0 oo f x3 dx J e*— 1 472 JT 4 15 QU I x t~ axZ d x = Г xz dx _ J ех - Г ~ о 2a --- 00 ^ x2e~ax2 dx— 3. 0,225 2 a -3 /2 P x3 dx J ex —1 ' 18 Формулы для приближенных вычислений Если a<Cl, то в первом приближении можно принять: 1 1_ т-гр— — 1 Т а ; г 1 1 .. - — 1 + “?г я» 1 Та j/Ц ± а ^ (1Та)2=1±2а; е“ = l -j-a; К l ± a = l ± -g-a; In (1 + а) = а. Если угол а мал (а <5° или a <0,1 рад) и выражен в радианах, то в пер вом приближении можно принять: s in a = tg a = a, co sa = l. III. НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О ЕДИНИЦАХ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН 4. Единицы физических величин СИ, имеющие собственные наименования Единица Величина Длина Масса Время Плоский угол Телесный угол Сила, вес Давление Напряжение (механическое) Модуль упругости Работа, энергия Мощность Частота колебаний Термодинамическая температура Разность температур Теплота, количество теплоты Количество вещества Электрический заряд Сила тока Потенциал электрического поля, электрическое напряжение Электрическая емкость Электрическое сопротивление Электрическая проводимость Магнитная индукция Магнитный поток Индуктивность Сила света Световой поток Освещенность Поток излучения Поглощенная доза излучения (доза излучения) Активность изотопа наименование обозначение метр килограмм секунда радиан стерадиан ньютон паскаль паскаль паскаль джоуль ватт герц кельвин кельвин джоуль моль кулон ампер вольт М КГ фарад ом сименс тесла вебер генри кандела люмен люкс ватт грэй беккерель Ф Ом См Тл Вб Гн кд лм лк Вт Гр Бк с рад ср Н Па Па Па Дж Вт Гц К К Дж моль Кл А В 473 5. Множители и приставки для образования десятичных кратных и дольных единиц и их наименований * Множи тель 1018 1015 ю 12 109 106 Ю3 102 10* Обозначение приставки Пристав ка экса пета тер а гига мега кило гекто дека между народное Е Р Т G М к h da Обозначение приставки Множи тель Пристав ка русское э п т г м к г да ю -1 10-2 ю -3 ю -» ю -9 10-12 10-15 lO-ie деци санти милли микро нано пико фемто атто между народное d с m 1* п Р f а русское Д С м мк н п ф а Примечание. Приставки гекто, дека, деци и санти допускается применять только в наименованиях кратных и дольных единиц, уже получивших широкое распространение (гектар, декалитр, дециметр, сантиметр и др.). При сложном наименовании производной единицы СИ приставку при соединяют к наименованию первой единицы, входящей в произведение или числитель дроби. Например, кПа*с/м, но не Па*кс/м. В виде исключения из этого правила временно в обоснованных случаях, т. е. в случаях, когда это нашло широкое распространение, допускается при соединение приставки к наименованию единицы, входящей в знаменатель дроби. Например, кВ/см, А/мм2, Бк/мл, кэВ/мкм. Выбор десятичной кратной или дольной единицы от единицы СИ диктует ся прежде всего удобством ее применения. Из многообразия кратных и доль ных единиц, которые могут быть образованы при помощи приставок, выби рают единицу, приводящую к числовым значениям величины, применяемым на практике. В принципе кратные и дольные единицы выбирают таким об разом, чтобы числовые значения величины находились в диапазоне от 0,1 до 1000. Для снижения вероятности ошибок при расчетах десятичные кратные и дольные единицы рекомендуется подставлять только в конечный резуль тат, а в процессе вычислений все величины выражать в единицах СИ, заменяя приставки степенями числа 10. Кроме десятичных кратных и дольных единиц допущены к использова нию кратные и дольные единицы времени, плоского угла и относительных величин, не являющихся десятичными. Например, единицы времени (минута, час, сутки), единицы плоского угла (градус, минута, секунда)* * В соответствии с международным стандартом ИСО 31/0—74 десятич ные кратные и дольные единицы не являются единицами СИ. 474 6 . В н еси стем н ы е е д и н и ц ы , д оп уск аем ы е к прим енени ю наравне с еди н и ц ам и СИ Единица Наименование величины Масса Наименование Обозначение Соотншоение СИ * с единицей тонна атомная единица массы Т а. е. м. Ю3 кг 1,66-Ю -27 кг Время 1 минута час сутки мин ч сут 60 с 3600 с 86 400 с Плоский угол градус минута секунда град2 град 1,74.10-2 рад 2,91-10-4 рад 4,85-10_6 рад (л/200) рад литр3 л ю - 3 м3 астрономическая единица световой год парсек а. е. св. год ПК 1,50.10й м 9,46-1016 3 ,08-1016 м Оптическая сила диоптрия дптр 1 М“ * Площадь гектар га 104 «м2 Энергия электрон-вольт эВ 1,60-Ю -1» Дж вольт-ампер В.А вар вар Объем, мость вмести Длина Полная ность мощ Реактивная мощ ность о / ft 1 Допускается также применять другие единицы, получившие широкое распространен ние. Например, неделя, месяц, год, век, тысячелетие и т. п. 2 Допускается применять по-русски наименование «гон». 3 Не рекомендуется применять при точных измерениях. При возможности смешения обозначения I с цифрой 1 допускается обозначение L. Примечание. Единицы времени (минуту, час, сутки), плоского угла (градус, минуту, секунду), астрономическую единицу, световой год, диоптрию и атом ную единицу массы не допускается применять с приставками. * Соотношения с единицей СИ даны приближенно с точностью до трех значащих цифр. 475 7. С о отн ош ен и е м еж ду в несистем ны м и еди ни цам и и еди н и ц ам и СИ Единицы пространства и времени. Единицы механических величин 1 ангстрем (А) = 10-10 м — 10~8см Длина 1 сут = 86400 с Время 1 год = 365,25 сут = 3,16* 107 с 1° = л/180 р ад = 1,75* 10-2 рад Плоский угол 1' —л /108* 10~2 рад =2,91 • 10-4 рад Г = л/(648.10-3) рад = = 4,85-10_6 рад 1 л = 1 0 -3м3= 1 0 3 см3 Объем, вместимость 1 т = 103 кг Масса 1 а. е. м. = 1,66-10-27 кг 1 кгс = 9,81 Н Сила 1 кгс*м = 9,81 Дж Работа, энергия 1 Вт'Ч = 3,6* 103 Дж 1 эВ = 1,60* 10-19 Дж 1 л. с. = 736 Вт Мощность 1 кгс/см2= 9,8 Ы 0 4 Па Давление 1 мм рт. ст. = 133 Па 1 бар = 105 Па 1 атм = 1,01 • 105 Па 1 кгс/мм2 = 9,81 • I06 Па Напряжение (механическое) 1 об/с = 1 с -1 Частота вращения 1 об/мин = 1/60 с -1 1 см - 1 = 100 м - 1 Волновое число Единицы величин молекулярной физики и термодинамики Концентрация частиц 1 см“ 3 = 106 м_3 Теплота (количество теплоты) 1 кал = 4,19 Дж 1 ккал = 4,19* 103 Дж Единицы электрических и магнитных величин Электрический момент диполя 1 Д = 3,34*10-30 Кл'М Удельное электрическое сопротив 1 Ом-мм2/м = 10“ 6 Ом-м ление 1 Гс = 10-4 Тл Магнитная индукция Магнитный поток 1 Мкс = 10“ 8 Вб 1ПЗ Напряженность магнитного поля А 1 Э = 4— — = 79,6 А/м 4л м Единицы световых величин и величин энергетической фотометрии Освещенность 1 ф от=104 лк Единицы величин ионизирующих излучений Доза излучения (поглощенная доза 1 рад = 0,01 Гр излучения) Мощность дозы излучения (мощ ность поглощенной дозы излуче 1 рад/с = 0,01 Гр/с 1 рад/ч = 2,78-К )-6 Гр/с ния) Экспозиционная доза рентгенов 1 Р = 2,58*10-4 Кл/кг ского и гамма-излучений Мощность экспозиционной дозы 1 Р/мин = 4,30-10 -6 А/кг рентгеновского и гамма-излуче 1 Р/ч = 7,17* 10“ 8 А/кг ний Активность нуклида в радиоактив 1 расп./с=1 Бк ном источнике (активность изо 1 Ки = 3,70* 1010 Бк топа) Плотность потока ионизирующих 1 част./(с*м2) = 1 с~ 1м” 2 частиц 476 Е ди н и ц ы , врем енн о доп ущ ен н ы е к п р и м е н е н и ю * Единица Обозначение Наименование величины Наименование му жду народ ное русское Соотношение с единицей СИ Примечание Длина морская миля — миля 1852 м (точно) Масса карат — кар 2*10“ 4 (точно) Для драгоценных камней и жемчуга Линейная плотность текс tex текс 10“ 6 кг/м (точно) В текстильной промыш ленности Скорость узел kn уз 0,514 (4) м/с Частота вращения оборот в секунду — об/с 1 с -1 оборот в минуту — об/мин 1/60 с-1 = 0,016 (6) с ' 1 105 Па Давление Натуральный логарифм без размерного отношения физиче ской величины к одноименной физической величине, прини маемой за исходную бар bar бар непер Np Нп В морской навигации В морской навигации 1 Н п --0,8686.. .Б = = 8,686... дБ Приведенные в таблице единицы временно допускается применять до принятия по ним соответствующих международных решений. П еречень некоторы х отн осител ьны х и логариф м ических величин и их еди н и ц Единица Обозначение Наименование величины Примечание Наименование между народное Относительная величина (без размерное отношение физиче ской величины к одноименной физической величине, принимаемой за исходную), КПД, относительное удлинение, относительная плотность, относи тельные диэлектрическая и маг нитная проницаемости, магнит ная восприимчивость, массовая доля, молярная доля и т. п. единица число 1 Логарифмическая величина (логарифм безразмерного отно шения физической величины к одноименной физической вели чине, принимаемой за исход ную): уровень звукового дав ления, усиление, ослабление и т* п.) * бел Определение русское _ _ 1 процент % % ю-з промилле 7оо % ю -3 ppm мил-1 ю -6 В Б dB ДБ миллионная доля децибел lB = lg(P t/ P J при P 2 = 10Pi lB = 21g (F2/F i ) при Р2 = 10Fi Pi, Р2— одноименные энер гетические величины (мощ ности, энергии и т. п.) Fi, Е 2— одноименные «си ловые» величины (напряже ния, силы тока, давления, напряженности поля и т* п.) Продолжение таблицы Единица Обозначение Наименование величины Наименование То же, уровень громкости фон То же, частотный интервал октава Примечание Определение между народное русское phon фон 1 фон равен уровню гром кости звука, для которого уровень звукового давле ния равногромкого с ним звука частотой 1000 Гц равен 1 дБ 1 октава равна l°g2(/2//l) при / 2//i = 2 1 декада равна lg (M i) при M i = Ю) fu / 2 — частоты * В соответствии с публикацией 27-3 Международной электротехнической комиссии (МЭК) при необходимости указать исходную величину ее значение помещают в скобках после обозначения логарифмической величины, например, для уровня звукового давления: L p (ге 20 р, Ра) = Jg —20 dB; L p {re 20 мкПа) = 20 дБ (ге —начальные буквы слова reference, т. е. исходный). При краткой форме записи исходной величины указы* вают в скобках после значения уровня, например, 20 дБ (ге 20рРа) или 20 дБ (ге 20 мкПа). со С оотнош ение внееистем ны х еди н и ц ради оактивн ости и и он и зи р ую щ и х излучений с еди ни цам и СИ о Внесистемные единицы Соотношение с единицей СИ Обозначение Наименование величины Наименование русское муждународное П лотн ость п оток а и о н и зи р у ю щ и х частиц И н тен си вность и зл уч ен и я П огл ощ ен н ая д о за и зл у ч е ния CM ' 2 •4 ~ 1 2,778 м - 2-с~* e r g (cm""2 * s _ 1 ) э р г (CM~2 * C '1) 10-3 Вт/мг э р г -с а н т и м е т р в м и н у с в т о р о й с т е п е н и -м и н у т а в м и н у с п е р в о й с т е п е н и erg ( c m ' 2 'm in - 1 ) э р г ( с м ~ 2 * м и н ' 1) 1,667-10-5 Вт/м2 э р г -с а н т и м е т р в м и н у с в т о р о й н и -ч а с в м и н у с п е р в о й с т е п е н и e r g ( c m ' 2 » / ! ' 1) э р г ( С М ' ^ Ч ' 1) 2,778-Ю-7 Вт/ма эр г -г р а м м в м и н у с п е р в о й с т е п е н и erg -g -* Эрг-Г рад ra d рад с а н т и м е т р в м и н у с в т о р о й с т е п е н и -ч а с в м и н ус п ер вой степ ен и cm э р г -с а н т и м е т р в м и н у с в т о р о й с т е п е н и -с е к у н д а в м и н у с п е р в о й с т е п е н и степ е _2-/г~1 '2 10~4 Дж/кг 0,01 Гр Продолжение таблицы 16 № 1 268 Внесистемные единицы Соотношение с единицей СИ Обозначение Наименование величины Наименование международное русское erg ( g _ 1 ,s _ 1 ) Эрг (г~ 1 -С'“1) рад-секунда в минус первой степени rad-s '- 1 рад^с-1. рад-минута в минус первой степени rad'm in"'3. рад*мин~ 4 рад-час в минус первой степени rad-h ' раД ’Ч- 1 Мощность поглощенной эрг-грамм в минус первой степени-седозы излучения кунда в минус первой степени 10 ~* Вт/кг 0 ,0 1 Гр/с 1,667-10-* Гр/с 2,778-10 1 6 Гр/с Экспозиционная доза рент рентген геновского и гамма-излуче ний R Р 2,58-10-* Кл/кг Мощность экспозиционной рентген в секунду дозы рентгеновского и гам ма-излучений рентген в минуту R /s Р/С 2,58-10-* А/кг R/min Р/мин 4 ,3 - 1 0 - 6 А/кг R/h Р/ч 7,17-10-8 А/кг рентген в час Перечень некоторых кратных и дольных единиц, рекомендованных к применению ГОСТ 8.417—81 Единица Наименование величины Наименование Обозначение Обозначения кратных и дольных единиц, рекомен дованных к применению Длина метр М км, см, мм, мкм, нм Площадь квадратный метр М2 км2, дм2 см2, мм2 вмести кубический метр м3 дм3, см3, мм3 с КС, МС, МКС, Гц ТГц, ГГц, МГц, кГц Объем, мость Время секунда Частота периоди герц ческого процесса нс Масса килограмм кг Мг, г, мг, мкг Сила ньютон Н МН, кН, мН, мкН Момент силы ньютон-метр Н.м МН«м, мкМ-м Давление паскаль Па ГПа, МПа, кПа, даПа, мПа,мкПа Динамическая вязкость паскаль-секунда Па»с МПа»с Кинематическая вязкость квадратный на секунду м2/с мм2/с Н/м мН/м метр Механическое на ньютон на метр пряжение кН«м, мН*м, гПа, Энергия, работа джоуль Дж ТДж, ГДж, МДж, кДж, мДж Мощность ватт Вт ГВт, МВт, мкВт Температура кельвин К МК, кК, мК, мкК Дж ТДж, ГДж, МДж, кДж, мДж Дж/К к Дж/К Дж/(кг*К) кД ж/(кг* К) Дж/К к Дж/К Теплота (количе джоуль ство теплоты) Теплоемкость джоуль на кельвин Удельная тепло джоуль на кило емкость грамм-кельвин Энтропия 482 джоуль на кельвин кВт, мВт, Продолжение таблицы Единица Наименование величины Наименование Обозначение Обозначения кратных и дольных единиц, рекомен дованных к применению Дж/кг МДж/кг, кДж/кг Количество веще моль ства моль кмоль, ммоль, мкмоль Молярная масса килограмм на моль кг/моль г/моль Молярный объем кубический на моль метр м3/моль дм3 /моль, см3/моль кон моль на кубичес кий метр моль/м3 моль/дм3, моль/см3 Дж ТДж, ГДж, кДж, мДж ампер А кА, мА, мкА, нА, пА кулон Кл кКл, мкКл, нКл, пКл Пространствен кулон на кубиче ная плотность за ский метр ряда Кл/м 3 Кл/мм3, МКл/м3, Кл/см3, к Кл/м3, мКл/м3, мкКл/м3 Поверхностная плотность заряда Кл/'м2 МКл/м2, Кл/мм2, Кл/см2, кКл/M2, мКл/м2, мкКл/м3 Напряженность вольт на метр электрического по ля В/м МВ/м, кВ/м, В/мм, В/см, мВ/м, мкВ/м Электрическое вольт напряжение, элект рический потен циал В МВ, кВ, мВ, мкВ, нВ Электрическое смещение Кл/м 2 Кл/см2, к Кл/см2, мКл/м2, мкКл/м 2 Кл МКл, кКл, мКл Удельная тепло джоуль на кило та фазового прев грамм ращения Молярная центрация Внутренняя энер джоуль гия Сила тока Электрический заряд кулон на квадрат ный метр кулон на квадрат ный метр Поток электри кулон ческого смещения 16* 483 Продолжение единицы Единица Наименование величины Наименование Обозначение Обозначения кратных и дольных единиц, рекомен дованных к применению Электрическая емкость фарад Ф мФ, мкФ, нФ, пФ Поляризованность кулон на квадрат ный метр Кл/м2 Кл/см2, кКл/м2, мКл/м2, мкКл/м 2 Плотность элект ампер на квадрат ный метр рического тока А/м2 МА/м2, к А/м2 Линейная плот ампер на метр ность электрическо го тока А/м к А/м, А/мм, А/см Напряженность магнитного поля А/м к А/м, А/мм, А/см Тл мТл, мкТл, нТл Магнитная дукция ампер на метр А/мм2, А/см2, ин тесла Индуктивность генри Гн мГн, мкГн, нГн, пГн Длина волны метр м мм, мкм, нм, пм Звуковое давле паскаль ние Па мПа, мкПа Поток энергии Вт кВт, мВт, мкВт, пВт Вт/м2 мВт/м2, мкВт/м2, пВт/м2 Поглощенная до грей за излучения Гр ТГр, ГГр,МГр, кГр, мГр, мкГр Активность нук беккерель лида в радиоактив ном источнике Бк ЭБк, ПБк, ТБк, ГБк, МБк, кБк звуковой ватт Интенсивность звука 484 ватт на квадрат ный метр IV. ТАБЛИЦЫ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН 8. Некоторые астрономические величины Радиус З е м л и ................................................................. 6,37 - 1 0 6 м Масса З е м л и ................................................................. 5,98-1024 кг Радиус С о л н ц а ............................................................. 6,95- 10я м Масса С о л н ц а................................................................. 1,98 -1030 кг Радиус Л у н ы ................................................................. 1,74-106 м Масса Луны ................................................................. 7,33-1022 кг Расстояние от центра Земли до центра Солнца . . 1,49-1011 м То же, до центра Л у н ы .............................................. 3,84-108 м Период обращения Луны вокруг З е м л и ................... 27,3 сут = 2,3б* 106 с 9. Плотность р твердых тел и жидкостей (Мг/м3, или г/см3) Твердые тела Алюминий ............................................................2,70 В и с м у т ....................................................................9,80 Вольфрам ............................................................ 19,3 Железо (чугун, с т а л ь ).........................................7,87 З о л о т о .................................................................... 19,3 Каменная с о л ь .................................................... 2,20 Л а т у н ь ....................................................................8,55 М арганец................................................................7,40 М е д ь ....................................................................... 8,93 Н и к е л ь ................................................................... 8,80 П л а т и н а ................................................................21,4 С в и н е ц ....................................................................11,3 Серебро ................................................................ 10,5 У р а н ........................................................................18,7 Жидкости (при 15°С) Вода (дистиллированнаяпри 4 ° С ) ..................1,00 Глицерин............................................................. 1,26 Керосин ............................................................. 0,8 Масло (оливковое, смазочное) ....................... 0,9 Масло касторовое..............................................0,96 Ртуть .................................................................13,6 Сероуглерод ..................................................... 1,26 Спирт .................................................................0,8 Э ф и р .....................................................................0,7 10. Плотность р газов принормальных условиях (кг/м3) А з о т .......................* ......................................... 1,25 Аргон .................................................................1,78 В о д о р о д ............................................................. 0,09 В о з д у х ................................................................. 1,29 Гелий ......................................................................... 0 ,18 К ислород............................................................. 1,43 11. Упругие постоянные твердых тел (округленные значения) Вещество Алюминий Вольфрам Железо (сталь) Медь Серебро Модуль Юнга Е, ГПа Модуль сдвига G, ГПа 69 380 24 140 76 44 27 200 98 74 485 12. Эффективный диаметр молекул, динамическая вязкость и теплопроводность газов при нормальных условиях Вещество Азот Аргон Водород Воздух Гелий Кислород Пары воды Эффективный диаметр d, нм Динамическая вязкость ц, мкПа-с Т еплопроводность Я, мВт/(м-К) 0,38 0,35 0,28 — 16,6 21,5 24,3 16,2 168 24,1 8 ,6 6 17,2 0 ,2 2 — 0,36 — 24,4 15,8 19,8 8,32 13. Критические параметры и поправки Ван-дер-Ваальса Критическая температура Газ W Азот Аргон Водяной пар Кислород Неон Углекислый газ Хлор 14. к 126 151 647 155 44,4 304 417 Критическое давление ркр, МПа 3,39 4,86 2 2 ,1 5,08 2,72 7,38 7,71 Поправки Ван-дер-Ваальса а, ь. Н-мкмоль2 10“ 6 м’/моль 0,135 0,134 0,545 0,136 0,209 0,361 0,650 3,86 3,22 3,04 3,17 1,70 4,28 5,62 Динамическая вязкость rj жидкостей при 20 °С (мПа-с) Вода , , 1,00 Глицерин............... . . . . . . . . . . . . 1480 Масло касторовое . . . s . ............... 987 Масло машинное . . . . . . . . ............... 100 Ртуть 1,58 15. Поверхностное натяжение а жидкостей при 20 °С (мН/м) Вода . . . . . . . . * ® . , 73 Глицерин ................... . . .......................... 62 Мыльная вода .............................................. 40 Ртуть . . . . . . . . . . . . . . . . . 5,0*102 Спирт 22 16. Скорость звука с, м/с В о д а ............................................................. 1450 Воздух (сухой при нормальных условиях) • I 332 486 17. Д и эл ек тр ическая прон и ц аем ость е Вода ................................... , ........................... 81 Масло (трансформаторное) ................................. 2,2 Парафин ...............................................................2,0 Слюда . . * ........................................................... 7,0 Стекло . . . t ...................................................... 7,0 Фарфор . . ............................................................ 5,0 Эбонит . . * * . , * . , * » , 3, 0 18. Удельное сопротивление р и температурный коэффициент а проводников Вещество р при 20 °С, нОм-м 98 17 26 3 ,9 -103 Железо Медь Алюминий Графит а, ° С - 1 ,2 - 1 0 - 3 4 ,2 -10" 3 3 ,6 - 1 0 ~ 3 —0 , 8 . 1 0 3 6 19. Показатели преломления п Алмаз t # . 2,42 В о д а .......................................... ... .......................1,33 Масло коричное............... ... .............................. 1,60 Сероуглерод ............... * ... .............................. 1,63 Стекло ................ . . . 1 , 5 0 Примечание. Показатели преломления стекла зависят от сорта стекла и длины волны проходящего через него излучения. Поэтому приведен ное здесь значение показателя преломления следует рассматривать как условное и использовать его только в том случае, когда он не указан в условии задачи. 20. Работа выхода электронов из металла Металл Калий Литий Натрий Платина Серебро Цинк А, эВ 2 ,2 2,3 2,5 6,3 4,7 4,0 А* 10 ~19, Дж 3,5 3,7 4,0 1 0 ,1 7,5 6,4 487 2 1 . М асса нейтральны х атом ов Элемент (Нейтрон) Водород Порядковый номер Изотоп п т 2Н 3Н 3Не 4Не 6Li 7Li 7Ве °Ве 10Ве 9В юв пв i°C 12С 13С 14С 13N 14N 15N leO 17Q «О 19р 22Na 23Na 23Mg 0 1 Гелий 2 Литий 3 Бериллий 4 Бор 5 Углерод 6 Азот 7 Кислород 8 Фтор Натрий 9 11 Магний Алюминий Кремний Фосфор Калий Кальций Свинец Полоний 12 13 14 15 19 3°a i 31Si 3ip 41K 44Ca 206pk 210Po 20 82 84 Масса, a. e. m . 1,00867 1,00783 2,01410 3,01605 3,01603 4,00260 6,01513 7,01601 7,01693 9,01219 10,01354 9,01333 10,01294 11,00931 10,00168 1 2 ,0 0 0 0 0 13,00335 14,00324 13,00574 14,00307 15,00011 15,99491 16,99913 17,99916 18,99840 21,99444 22,98977 22,99414 29,99817 30,97535 30,97376 40,96184 43,95549 205,97446 209,98297 22. Масса и энергия похоя некоторых элементарных и легких ядер Масса Энерги я Частица m Qf кг Электрон Нейтральный мезон Протон Нейтрон Дейтон а-Частица 488 9,11-10- 3 1 2,41 • 10~ 28 1,67-10-27 1 , 6 8 *1 0 - 2 7 3 ,3 5 .10- 27 6,64-Ю -27 т 0, а. е. м. 0,00055 0,14526 1,00728 1,00867 2,01355 4,00149 Ео, Д ж Е о, МэВ 8,16-10~14 0,511 135 938 939 1876 3733 1,50.10-1° 1 ,5 Ы 0 - 10 3,00.10-!° 5,96-10-1° 23. П ер и од пол ур асп ада р ади оактивн ы х и зотоп ов Символ изотопа Тип распада Актиний Г /А с а Иод 131т 53 Иридий 1921 Изотоп 77 Период полураспада сут 10 сут Р~. у 8 11 г Р ". Y 75 сут 5,3 года Кобальт ;?со Р~. Y Магний ММЙ Радий Si’ Ra Ра а, у Радий а Радон 10 мин 1 0 -3 с 1,62-103 лет 3,8 сут 28 лет Стронций Торий 229T h 9 0 AU а, у 7 • 1 0 3 лет Уран 238тт 9 2 U а, у 4,5* 109 лет Фосфор 32р 15 А Натрий “ Na Р- 14,3 сут У 2 ,6 года 24. Основные физические постоянные (округленные с точностью до трех значащих цифр) Нормальное ускорение свободного падения . g = 9,81 м/с2 Гравитационная п о с т о я н н а я ....................... <3 = 6,67* 10- 1 1 м3 /(кг»с2) Постоянная А в о г а д р о .................................. N A = 6,02* 1О23 моль- 1 Молярная газовая п о с т о я н н а я ................... /? = 8,31 Дж/(К-моль) Стандартный объем * ...................................Vm = 22,4- 1 0 - 3 м3/моль Постоянная Б о л ь ц м а н а ...............................k = 1,38-10 - 23 Дж/К Постоянная Ф а р а д е я ...................................F = 9,65-104 Кл/моль Элементарный з а р я д ...................................... е = 1,60* 10- 1 9 Кл Масса э л е к т р о н а .......................................... т ^ = 9,1Ь10 - 31 кг Удельный заряд электрона ....................... ejm = 1,76* 1 0 11 Кл/кг Скорость света в вакууме * * ....................... = 3,00-108 м/с Постоянная Стефана — Больцмана . . . . а = 5,67*10~8 Вт/(м2 -К4) Постоянная закона смещения Вина . . С = 2,90* 1 0 “ 3 м-К h — 6,63* 10- 3 4 Дж*с Постоянная П л а н к а ............................... rl = hj(2n) = 1,05-10~34 Дж*с Постоянная Р и д б е р г а ........................... Д' = 1,10-107 М- 1 R = 3,29.10“ с " 1 Радиус первой боровской орбиты . . . а = 5,29-10-11 м Комптоновская длина волны электрона = 2,43* 10~ 12 м Магнетон Б о р а ...................................... |ив = 9,27• 10~ 24 Дж/Тл Энергия ионизации атома водорода £■/ = 2,16.10-18 Дж Атомная единица м а с с ы ....................... 1 а. е. м. = 1 ,6 6 *1 0 - 2 7 кг Ядерный магнетон ............................... fi^ = 5 ,0 5 .1 0 -2 7 Дж/Тл * Молярный объем идеального газа при нормальных условиях. ** Скорость света в вакууме, по данным измерений на 1973 (2 9 9 7 9 2 ,4 6 2 ± 0,018) км/с. равна О Т В Е ТЫ у '= 122 км/ч; v" = 72,2 км/ч. 1. 2 . 8,87 м/с. 1 .3 . 64 км ч. 1. 4. <у> = 3,2 м/с. 1.5 . <р> = s/ ( / 1 + tf2) = 2 м/с. 1. 6. 3,93 м с. 1 .7 . 2 м/с. Графики изображены на рис. 1 . 1 .9 . Графики изображены на рис. 2. 1. 1. = 2 v 1v 2/( v 1 + у2) = 1 .8 . 1 .1 0 . 40 с; 80 м; —0,1 м/с2; графики изображены на рис. 3. 1 .1 1 . а) я — * 0 + + vQt + я / 2 / 2 ; б) х = — — v0t-]-at2/2; в) х = х0— v0t — at2/ 2 ; г) х —— х0 -f- + v 0t — a t2j2. 1 . 1 2 . 3 м/с; 45 м. 1 .1 4 . 1) x = / t g - y - / ; 2 ) o = 2 j i / |( r cos2- ^ / ) = 4 8 , 0 м/с. 1 .1 3 . 30с; Встретятся дважды: через 3,4 с на расстоянии 15 м и через 10,6 с на расстоянии 123 м. 1 .1 5 . 0; ух= 2 м/с; v%= 2 м/с; а± = — 8 м/с2; а2 = = 1 м/с2. 1 .1 6 . 0,235 с; i>i = 5,l м/с; у2 = 0,286 м/с. 1 .1 7 . Н = (2s + g / 2 )2 /(8 g /2) = = 5,61 м, где s = 1 м. 1 .1 8 . 150 м. 1 .1 9 . 1 с; 10 м/с (при движении вверх); 3 с; 490 — 10 м/с (при падении). 1.20. 19,2 м. 1.21. 19,6 м/с. 1.22. 9,62 м; 14,6 м/с. 1.23. x=-h-]-v0t — gt2j2; 7,77 м/с. 1.24. 0,5 м/с. 1.25. 3 м/с. 1.26. 1) v = i3A/ 2 + + )2Bt\ 2) a = i 8At + \2B. 1.27. 2,5 м/с; 12,5 м/с2. 1.28. 1) 14,1 м/с; 2 ) —10 м/с2; 3) 7,07 м/с2; 4) 7,07 м/с2. 1.29. 1,42 м/с2. 1.30. 1) 8 м; 2) 6,73 м; 3) 4 м/с; 4) 3,36 м/с. 1.31. Графики см. на рис. 4. 1.32. <и> = лЯ/т = 0,837 м/с; | <v> | = = 2R}x = 0,267 м/с. 1.33. 2 м/с2; 1 м/с2; 2,24 м/с2. 1.34. 7 м/с; 8,5 м/с2. 1.35. 0,872 с; 14,8 м/с2. 1.36. i / — 8x = 0; 2,77 м/с; 4,8 м/с2. 1.37. х = Я /sin(u/fl). 1.38. 1) у = Rt cos {v/R), х = Rt sin (v/R)\ 2) r = R, cp = — l-39. Слу- gx1 ; случай 6 ; 1 ) x = v0t cos a, P’/C2 r/ = — /i + y0/s in a —g / 2 / 2 ; 2 ) t/ = — /г + x t g a ------—-------; случай в: \) x = чай a 1 ) x = vQt, y — — /i — g / 2 / 2 ; 2 ) y= -h - 0 _5^2 = s-\-v0t, у = h — gt2j2; 2) y — h — — — 2p0 2vt 2v0 cos2 a случай г: 1 ) x = s + vQt cos a, y = h — v0t sin a — gt2l2\ 2) y = h — (x— s) tg a ---- — — . 1.40. 20 м/с; 28 м/с. 2vo cos2 a 1.41. h = v2/(2g) = 20,4 m . 1.42. у = / j / " g / ( 2 / i ) = 210 м/с. 1.43. 24,5 c; 2,45 km. at2 1.44. 45°. 1.45. 1) i/ = /z + t/0/s in a — , a: = l’0^ cosoc ; t/ = /i + A :tg oc — ----------------- ; 2 ) 9,28 c, 136 m , 242 m , 57,3 м / с . 1.46. D0 = i - ^ i i M = 588M/c; 2vl cos2a ' 2 Since h = gtit2 = 2,45 km. 1.47. Я = oo sin 2 ct/(2g) = 1,53 km; s = (2vt sin a cos a)!g = = 3,53 км; Я — (v% cos2 oc)/g = 1,02 k m . 1.48. 3,58 м/с; 5,37 м/с2; 8,22 м/с2. 1.49. 4,9 м/с2; 8,55 м/с2. 1.50. v = (2л/Т) R cos ф, ац = (4л2/Т2) R cos ф (Г — пе риод вращения Земли); 1) 463 м/с, 3,37 см/с2; 2) 259 м/с, 1 , 8 8 см/с2. 1.51. п = = (ох— п2 )/(2л6) = 1,59 с-1 , где 6 = 10 см. 1.52. 113 м/с; 35 мкм. 153.8 = 2h/(rt2) — =8,33 рад/с2. 1.54. 5см/с2; 10 см/с2; 11 см/с2. 1.55. 1,2 м/с2; 168 м/с2; ^168 м/с2. 1.56. е —2лд/(А/) = 3,14 рад/с2; N — 1[2п k t = 2b. 1.57. —0,523 рад/с2; 150. 1.58. s = л (n2— n l ) / N = l y26 рад/с2. 1.59. N = n ( n l — /if)/е = 2 1 ,6 ; А/ = = 2 л (/t2 — tti)/e = 7,85 с. 1.60. и = у г4л2 я 2 Я 2 + и2 = 40,6 м/с. 1.61. v = n dl[ /(Л АО = 0,754 м/с. 2.1. 2,5 м/с2. 2 .2 . a = m2g/(mi + m2) = l,96 м/с2. 2.3. F = g = 39,2 Н. /72 х + 2.4. 2 м/с2; 8 Н; 2Н. 2.5. а ( т 2- АП 2 ' '■40”;с,; '• .= ” . ( г + « ) - п л н ; 2/ - = 0,35. 2.7. F 1 = —0,8Н ; F 2 = = —8 Н; Г = 0 при /= 1 ,6 7 с. 2 .8 . <Г> = (m/t) V 2gh = 626 кН. 2.9. 0,051. . . 1.33 кг*М/С. 2 . 1 1 . 1 0 0 Н-с; 1 0 0 кг-м/с. 2 . 1 2 . 1,4 Н-с. 2.13. p1= 2mv0sln a = = ЗН-с. 2.14. 1,25 Н-с; —1,25 Н-с. 2.15. Qm=t n( g + a)/v = 24,5 кг/с. 2.16. Я = 2 10 = — Qmv=z —160 Н; а = — Q vjm = —4,57 см/с2. 2.17. v = -4 1/ —— - = а У лр = 10,2 м/с, где р — плотность воздуха. 2.18. Гтах = / (m1~\-tn2) g = 17,7 Н. 2.19. Fi = /i (mx-f т 2) g = 19,6 Н; F2= (f2— fi) ( т 2 /тх) (тх + т 2) g = 39,2 H. 2 .2 0 . a = -rJ^------ £ = 73,5 м/с2; T = — F = 625H. 2 .2 1 . a ._ _ £ sin a "M +nz s ’ * 4 M +m 1 — COS oc = 36,6 м /с2. 2.22. 2,27. 2.23. ^4°. 2.24. 20,4 cm. 2.25 p = У^ 2 po2 /(S / ) 2 = = 3,5* 1 0 6 Н/ m2 (p — плотность воды). 2.26. F = 2pSn2 sin cp= 346 H (p — плотность воды). 2.27. t = mvm3K/N = 25 c. 2.28. / = 4 г In - g .,J l..feTl)= 4 4 , 5 c. mg 2.29. At = (m/k) ln2 = 6,93c. 2.30. v = F ( l - e “ Wm)д 0 = 6 ,3 м/с. 2.31. F 491 -- ---------k v ' = 1 ,0 3 к Н . 2.32. 1 _ e -lk/m)x t — - = 4 ,7 -1 0 - 6 кг/м. 2.33. V0V А /= = (m/k) In 10=18,4 c. 2.34. 1 ) 6,3 м/с; 2) —0,57 м/с. 2.35. 1) 1 м/с; 2) 3 м/с. 2.36. 0,75 м/с. 2.37. 1) 1,5 м; 2) 0,5 м; 3) 1,5 м, 0. 2.38. 0,4 м/с. 2.39. и2 = = 114 м/с. 2.40. « 2 = 250 м/с, ф2 = —36,6°. 2.41. «х= 0,385 м/с; м2 = —0,615 м/с. 2.42. 0,5 с - 1. 2.43.ymin = 6,26 м/с. 2.44. 3mg; 70°30'. 2.45. В 6 , 1 раза. 2.46. ф = arocos — §— ==60,2°. 2.47. 1,42 с. 2.48. Т7 = т (g ± 4л2п2г)\ Fmax — 4nznzl = 1 , 0 2 кН; Fm-in = 942 H. 2.49. vm\n = V~ g (R — l)/f = 13 м/с; ф = arctg / = 31°. 2.50. 39 кН. 2.51. ф = arctg (4л:2n2r/g) = 38°50'. Указание. При равновесии жид кости равнодействующая всех сил, действующих на частицу жидкости, нахо дящуюся на ее поверхности, направлена по нормали к поверхности. 2.52. и = = V~JgR= 14 м/с. 2.53. м/с; 16°42'. 12,1 2.54. q>= arctg |Д = 5 8 ,2 ° ; F = = mg/cos ф = 66,2 кН. 2.55. 1 ) F = 4л2п2тг = 12,7 кН; 2) M ~ 2 F r cos ф = = 86,5 Н-м. 2.56. o = p(D2R 2; 1) a = 8,9 кН/ма; 2) a = 8 ,9 кН/м2. 2.57. A = ~ fgms~\~mv2/2 = 996 Дж. 2.58. Л = mh (g-\-2h/'t2) = 4,72 кДж. 2.59. 1,35 кДж. 2.60. 336 Дж. 2.61. 2,94 кДж, 6 кДж. 2.62. Т = (m/2) (vl + g 4 2) = 633 Дж. 2.63. 5 Дж; 15 Дж. 2.64. /V= лр d2v^/8 — 1,26 кВт (р — плотность воды). 1 / 2.65. N — 1/2pSv3= 2,84 кВт (р —плотность воздуха). 2 .6 6 . N = — у 1) 139 кВт; 2) 313 кВт. 2.67. 0,32 Вт; 56 Вт. 2 .6 8 . /г = 5/^/2 = 10 м. 2.69. ос = = arccos (2/3) = 0,268л рад. 2.70. v = V~5gR = 14 м/с. 2.71. Т 2= (mi/m2) 7 \ = = 30 кДж. 2.72^ 7"2 = (mi/m2) 7’i = 1,2-10“ 8 Дж = 12 нДж. Р е ш е н и е . Позакону сохранения импульса, импульсы осколков после разрыва должны быть равны: р\ = р2 (1). Выразим импульс через кинетическую энергию p = mv, р2= m2v2; T ~ m v 2l2\ 2mT — m2v2. Из этих равенств найдем р = ]^ 2 т 7 \ Под ставив в (1), получим y r 2m1 T,1 = V~ 2m2T 2, откуда найдем Т2. 2.73. 390 Дж. 2.74. 7 \ = пТ/(п-\- 1) = 24 пДж; 7"2 = Tj(n-\- 1 ) = 8 пДж. 2.75. l = m\u\!{2fgmi2)= = 6,37 м. 2.78. 2.76. /t = mV/(2gAl) = 7,34 см. /г = / (1 — cos ф) . - 7 .- 2.77. ) = 1 6 см. у= 2.79. +m 2 / ^ 2 ^ = 7 0 1 м/с. АУ = 2 (mi + m2) J) 9,6 Дж; 2 ) 86,4 Дж. 2.80. « = т ^ Д т х + тг); ад= т 2 /(/П1 + т 2); 1) ш = 0 ,8 ; 2 ) « = 4м/с; ш = 0 ,2 . 2.81. 1 ) pi = (mi — т 2)/(т 1 + т 2) = — р 2 = 2m2/(m1Jr m2) = 16 к г-м /с; 2) A pi = — рг = 16 к г-м /с; 2 т 2р , X ( - -г — ) = 9 Д ж . 7 » - , — д ;---- Г2- Д 6 \/П1 + т 2 / ( т х + / п 2)2 5) ц>= ^У 1 ^ - - Гх кг-м/с, 2 2 (тх + т 2)2 5) w i ^ T 2 ' - zm1 | А Т, | = Т 2= 16 Д ж ; ) Дрх= — рг = — 2 кг-м/с; 3) 7’1= ^- m2pi Дж, 1,33 Д ж ; 2 4) 6 2 -82- 0 Pi = miP i/(m i + m2) = 3Kr-M/c, р ; = (тх + т 2)2 = m2 Px/(tnx + tn2) = = 0 ,7 5 \2 ~ Дж; 3) м/с; кг-м/с, « = 1 = 0,5 Д ж ; 4) mim2 ;= 0,24, |Д Г х | = /ПхРх (/Пх+ т 2)2 /п2(2/Их+ /п2) рх 2 (mi + m2)2mi а > 2 = - ^ - = /м т 1 ^ ч2 = 0 ,3 6 ; Г1 (mi + m2)2 т2 6) Д£/ = = 0,833 Д ж ; 7) ш = А и /Т г = =0,4. 2.83. 2mi (mi + m2) (mi + m2) mi = = m 2/(m i + m2) = 0,952. 2.84. r] = m i/(m i + m 2) = 0,833. 2.85. r| = ___ mi + m2 ^1 m 2pi + w2)‘ Т| = 0,93. 2.86. —6 м/с, 4 м/с. 2.87. /И = m (l + Y~l — w )2l w — 16,2 кг. 2.88. &= ( l + 492 + V 1— w)2/'w=3. 2.89. w=4:m1m2/{miJr m2)2=0,75. 2.90. /72 = 2 m2Pi/(m i+m 2)= = 8 *10~ 20 кг•м/с. 2.91. w1 = u1 cos a =1,73 м/с; w2 = u1sin a = l м/с; P = + Т2 ==Шо = jt/2— oc = 60°. 2.92. oc = arccos 2 Y ~ T l ( Tl - T 2) 3.1. 0,012 кг-м2. 3.2. 2-10~ 4 кг-м2. 3.3. a) У = 9 /4 т / 2 = 3,6-10~ 3 кг-м2; ) У= 3 / 2 т / 2 = 2,4-10 ~ 3 кг-м2. 3.4. У = ш 2; 1 ) 4-Ю~ 4 кг-м2; 2 ) 2-10~ 4 кг-м2. 3.5. 1 ) J x = 0,607• 10~ 47 кг•м2, J y = 1,14-10-47 кг-м2, Уг = 1,75-1 0 ~ 47 кг-м2; 2) /* = 1 ,2 3 .1 0 - 46 кг-м2, У„ = 8,71 • 10~ 46 кг-м2, J z = 9,94-10~ 46 кг-м2. 3.6. 1) / = 1 / 3 m/ 2 = 3 -10~ 3 кг-м2; 2) / = 4 /12 т / 2 = 0,75-10" 3 кг-м2; 3) У = 1 / 9 т / 2= — 10~ 3 кг-м2. 3.7. 4-10~ 3 кг-м2. 3.8. У = 1 / 2tn 2 (^ + 1 / 3 а) = 1,44-10~ 4 кг-м2. 3.9. y = (ffii/3 + m2) /i = 0,112 кг-м2. 3.10. 7 = V8/? (пц + 3m2) + Vi2 m2/1 = = 0,114 кг-м2. 3.11. 1) У = 5 / 12 т а 2 = 5 -10 ~ 5 кг-м2; 2 ) У = 1 /6 //ш2 = 2 -10“ 5 кг-м2. 3.12. а) У = 3 т / 2 = 0 , 3 кг-м2; б) У = и /&т / 2 = 0,122 кг-м2; в) У = 5 / 6 т / 2 = = 0,0833 кг-м2; г) У = 7 / 9 т / 2 = 0,0777 кг-м2; д) У = 5 / 6 т / 2 = 0,0833 кг-м2. 3.13. J = 1j2mR2. 3.14. У = 3 / 2 т / ? 2 = 7,5-10~ 4 кг-м2. 3.15. У= 3 / 4 т £ 2 = 6 = 6-10 - 3 1 кг-м2. 3.16. = !/ 3 ям 2 = , 4 27 т<12 —g ^ ( d 2 + 8/2) = 4 , 19-10~2 кг-м2. 3.17. 7 = - 1 0 - 2 кг-м2. 3.18. / = 1 / 1 3 аа3б = 2-10 ~ 6 кг-м2. 3.19. 1) = - jy - = 1 4 ,7 рад/с2, аТ = £ = 9,8 м/с2; 2) 8 = s = -|--y sin а = 12,7 рад/с2, аТ = g sin а = 8,49 м/с2; 3) е = - ^ - у sin а = 14,6 рад/с2, ат = 6 / 7 g sin а = 7,27 м/с2. 3.20. 1) 65,3 рад/с2, 9,8 м/с2; 2) 32,7 рад/с2, 4,9 м/с2; 3) 59,9 рад/с2, 7,99 м/с2 £ '2- - 1 4 = (см. задачу 3.19). 3.21. Л4 = 1 / 12 т / 2е = 0,025 Н-м. 3.22. 7 = m ^ 2 f' -|^ 0,0235 кг-м2. 3.23. f = nmRnl(Ft) =0,31. 3.24. a) a = 2g-/3; б) a = gY2. 2 ( т 2 — mt) g (т2—/ т г) g = l,9 bк м/с2, . =0,24 м/с2. 3.26. а = а- 3.25. ~(/п -\-2mi-\-2ni2) ( f + l ) m , + fan (т! + т 2+ т ) г =0,98 Н, Г 2 = / / - -/ 3 / m2g 1,18 Н. 3.27. 7 > mi + m2+ m т 2 (т + 2тх) _ g = 3,53 Н; Г 2 = т + т 4+ т 2 g = 3,92 Н. 3.28. М = */ьтФХ т + mi -f //г2 6т2у 0 С1 , Зт2и X ( B + 3Ct) = — 0,64 Н-м. 3.29. 1) ---- i---- П = 2 »61 рад/с, w= 3tTl2 ^---—г— = (3 / 7 2 2 - j - т 4) / f—/72]_ 2 /7 2 9 U 1,30 м/с; 2) со= ---- 3m2t? __ ^ рад/с, // = —^ ^ —= 0 ,9 5 2 м/с; 3) со — 1 mi + /n2+ т г ( т + 2 тЛ 1 4truv m ' ^ {т2 + т1)1 -0,833 рад/с, «- —(тл+ 7/ зт!)/ — FaA/"’ “ ^ т2х~ т1 3m 2v /я2+ 7/8/яГ ' ' =0,625 м/с. 3.30. 1) 4,55 рад/с, 0,909 м/с; 2) 2,27 рад/с, 0,454 м/с; 3) 3,03 рад/с, 0,303 м/с; 4) 1,52 рад/с, 0,202 м/с (см. ответы на задачу 3.29). 3.31. со = mvr/(J-f mr2) = 1,02 рад/с. 3.32. о) = .. {/221 2/222) =0,129 рад/с. 3.33. со= 2т,и (/2224“ 2/221) =0,4 рад/с. 3.34. ф = = —4 я т 2_^ — 2я/3. 3 . 3 5 . /г2 = (У -f-тУ^2) « i/У = 10 мин-1 . 3.36. п2 — 12Улг1 /(12У -f- /221-j- 2/222 + т / 2) = 0,61 с - 1. 3.37. л 2 = 2mR2nl /J = 0,4 с " 1. 3.38. я 2 = ( / х / / 2) 2 яа = 4 с " 1; Л = 2л2 т/г1 (/1//2)2 (/? — /|) = 5,92 Дж. 3.39. 12,8 кВт. 3.40. M = const = = 200 Н-м; /V= D + £ £ где D = 3,2 кВт; £ = —0,8 кВт/e; /V = 0 ,8 kBt. 3.41. M = N/(2m) = 3,18 Н-м. 3.42. 7 \ = 2Nj(md) = 2,98 кН; T2 = N/(nnd) = = 1,49кН. 3.43. zV= ft/2d (F — mg') = 214 Вт. 3.44. Л = я 2/гт/^2; Лх = 7,11 кДж; Л2 = 28,4 кДж. 3.45. М = 7/(2jtW) = 1 ,99 Н-м. 3.46. Т = М 2 (Д/)2 /(2У) = 500 Дж. 493 3.47. Т = (т/4) (2v2-\-к 2n2d2) — 3,21 кДж. 3.48. Т = 3mv2/4 = 3 Дж. 3.49. 7\ = — mv2= 50 Дж; T2= 3mv2/4 = 37,5 Дж. 3.50. 7 \= 1 0 Дж; Т 2— 4 Дж. 3.51. v — = V 1 0 /(7 g/) = 3,74 м/с. 3.52. t = 2 l/V g h = 4 ,0 4 с. 3.53. у = (1 — cos ср) = = 3,84 м/с. 3.54. 1) (0 = ^ 3 ^ 2 0 = 3,83 рад/с, у = l/*3gf//8 = 1,92 м/с; 2) со = = }/"3g// = 5,42 рад/с, у = V g l / 3 = 1,81 м/с; 3) со= 6 У g!(7l) — 7,\0 рад/с, у = э/ 2 >/■£ #/7 = 5,32 м/с. 3.55. 1) 14 рад/с, 1,05 м/с; 2 ) 14 рад/с, 2 , 1 м/с (см. задачу 3.54.). 3.56. 1) со= 2 У" g/(3i?) = 8,08 рад/с, у = 4 y 'g £ /3 = 3,23 м/с; 2) с о = У 2g/(3i?) = 5,71 рад/с, у = 1 / 2 У2§У?/3 = 0,571 м/с; 3) со = = 11,4 рад,с, = 3Y 2 / Ш 1 + р Д „ з , 0 4 „№ 4) » - ^ /( 1 1 /^) =8,95 рад/с, и = 4 Y 2 g R l \ 1 =2,39 м/с. 66,7 пН. 4 . 2 . 667 пН. 4 . 3 . F = G (яр d2/6)2 = 1,78 мкН (р — плотность 4 . 4 . h = R (V~g/gh— l) = 13,6 Мм. 4 . 5 . 2,18 м. 4 .6 . 3,7 Н/кг. 4 .7 . gJl = 4.1. железа). = £/(^0 = 1,61 м/с2. г = ------ - ——- = 54,3 R. 1 \1 \ п 4 . 1 0 . 6,33 км/с. 4 . 1 1 . 1,69 Мм. 4 . 1 2 . 7,27-10~5 рад/с; 42,2 Мм. 4 . 1 3 . 164 г. 4 . 1 4 . 7,92 км/с. 4 . 1 5 . 15 км/с. 4 . 1 6 . 1,22 года. 4 . 1 7 . 65 сут. 4 . 1 8 . 255 сут. 4.1 9 . v1/v2= (1 + е) / ( 1 —е) = 3, — ско рость спутника в перигее; v2— в апогее., 4 . 2 0 . В четыре раза. 4 . 2 1 . 6 ,2 Ы 0 23 кг. 4 . 2 2 . 5,98-1024 кг. 4 . 2 3 . 100. 4 . 2 4 . g (г) = = 4/3jtGpr при r ^ R , g (г) = 4nGpR3/(3r2) при r ^ R ; график зависимости g (г) дан на рис. 5. 4 . 2 5 . 1) АР = 8/3nGprnh = = 15,4 мН; 2) АР = 4 / 3 jtGpra/i = 7,71 мН. 4 .2 6 . 1) A1 = 1/2mgR = 31,2 МДж; 2) А2~ mgR = 62,4 МДж. 4 . 2 7 . h = R. 4.28. ф = —62,6 МДж/кг; ф = —190 ГДж/кг. 4 . 2 9 . 1 , 6 8 км/с; 2,37 км/с. 4.30. 436 км/с; 617 км/с. 4 . 3 1 . 130 м/с. 4 . 3 2 . v = X ^ v l — gP = 6,l2 км/c., 4 . 3 3 . v = V Vq — 2 g P = 1 0 км/с. 4 . 3 4 . v= V ~ 2 G M / R = 42,\ км/с. 4 . 3 5 . 72,6 k m c . 4.36. Ракета будет двигаться по гиперболе. Указание. Перед решением задачи рекомендуется познакомиться с примером 1 (с. 62). Сравнить заданную в усло вии задачи скорость v = 1 0 км/с со скоростями круговой укр и параболической ип на указанной высоте, предварительно вычислив их. Если окажется, что и = икр, то ракета движется по окружности; если икр < v < vn, то ракета дви жется по эллипсу; если vKV= vn, то ракета движется по параболе; если v > vnt то траектория ракеты — гипербола. 4 . 3 7 . o = 4mgl(nd2) = 3,12 МПа. 4 . 3 8 . 1) о = 4 .8. = 4mg/(nd*) = 3,12 МПа; g = 4 / 3 :rtGp/? = 0,21 м/с2. 2 ) 0 = ^ + 4.9. ^ (5 "+ ^ ) = 6 ’4 5 МПа; 3) ° = ^ M - + p g l = = g ( - ^ r + p t ) = 9J8 МПа. 4.39. Р = жРоупр/4 = 231 Н; nd2 е = ffynp/£ = 1,47 - 10~ 3 4.40. I = стПр/(рйГ) = м (р — плотность свинца). / F 4л2п2т Г , 2 л % 2 ml rdr = -----=---- = IS 111 4.41. о = 4п2п2 ml/S = 948 МПа. 4.42. оп о = 4,74 МПа. 4.43. Е = mgl/(Sx) — 208 ГПа. 4.44. o = 4mg/(nd2) = 78,5 МПа; г = mg/(ES) = 3,90« 10“ 4; х = е/ = (k2)k{) 494 х2—4 см. 4.47. 1,2 мм. 4.45. Е mgF 2 n d 2h? k\k2 &' = 1,5 кН/м; ^1+ ^2 196 ГПа. 4.46. хг = k"-- = k1 - \- k 2 = 8 кН/м# 4.48. 1) t = F/S = 637 кПа; 2 ) y — x/G — 8,87 мкрад; 3) x = h y = l,6 8 мкм. 4.49. ф = М/С = 8,34 мрад. 4.50. С = А1 /ф = 5,71 мН-м/рад. 4.51. A = ES(x*)/(2l) = = 10 Дж. 4.52. A ^ F (x2)2j(2x1) = 5 Д ж . 4.53. A = Fx + 1/ 2k ( * ) 2 = 2,5 Дж. 4.54. A = 1/2k (x l — л'1) = 15,4Дж. 4.55. 16,3 мм. 4.56. / = m\v2J{km2) = 4,25 см. 4.57. А = 4 “'гг 2 Кл ■ 2 (^1 + ^2) * 2 = 0 ,6 Дж. 4.58. 100 Дж (см. задачу 4.54). 4.59. П = — = 50 Дж (р — плотность стали). 4.60. П = ES р ■у) = 1 6 0 Дж; w = = n /(S /) =- 0,4 МДж/м3. 4.61. П = F4[{2ES) = 2,5 Дж; ш = П/(5/) = 6,25 кДж/м3. 4.62. n = 1 / 2 (fe1 4 -fea)x 2 = 5 Дж. 4.63. v — х У k/m = 7,07 м/с. 4.64. у = = V ( k /m ) ( x l — *i) = 22,5 м/с. 4.65. k = mv2jx2= 1 , 2 МН/м. 4.66. w = o2/(2E) = = 225 кДж/м3. 4.67. 4,53 мм; 2 ) 453 мН/м2. 5.1. ц = с у г 2Д///0= 134 км/с. 5.2. м = с ^ 2Дт/т0 = 1,34 км/с. 5.3. т = = Г = |= т 0 = О,57 с. = arotg 5.4. tgtp° = 5 9 °. 1-У 2/С2 1,25. 5.5. 5.6. tp - arctg ^ I= /0 К 1 — Уо/с2 cos2 ф = 0,825 м; <р = 1 - = 72°66/. 5.7. т 0 = / - Г \ х \V ) У Л-У 2/С2 х у 1_у2 /с2= 25 нс. 5.8. р = - ■ 1 ------ =0-995. 5.10. 1 ) 0,195 с; 2 ) 0,974 с. V 1+тЕс2//2 5.11. 0,268 с. 5.12. с. 5.13. 0,5 с. 5.14. 0,994 с. 5.15. 1,15. 5.16. 0,943 с. 5.17. т = — 2 т 0; 0,866 с. 5.18. 0,5 %. 5.20. 2,05- 10~22_кг-м/с. 5.21. с/]/"2 = 0,707 с. 5.22. 1) 5/зОТо = 1,67т 0; 2) y = V2 с; 3) г/По/У" 3 = 1 ,1 5 т0. 5.23. Vc = 3h 3С = = 0,231 с. 5.24. 1 1 , 1 фг. 5.25. 90 ТДж. 5.26. 1) 81,6 фДж, или 0,511 МэВ; 2) 150 пДж, или 938 МэВ; 3) 596 пДж, или 3,73-103 МэВ. 5.27. 6,57-107 кг. 5.28. 1) 1,37-Ю17 кг; 2) 8,82-Ю7 кг. 5.29. 20,6; 1,01. 5.30. 1,94. 5.31. 0,341 МэВ. 5.32. 260 Мм/с. 5.33. 1) 298 Мм/с; 2 ) 18,9 Мм/с. 5.34. 1 ) 13,8 Мм/с; 2 ) 263 Мм/с. 5.36. 1) 0,03; 2) 0,52. 5.37. 1) 0,866 с; 2) 0,9897 с; 3) 6 т 0 с2. 5.39. 1,73ш0 с. 5.40. 0,414/п0с2. 5.41. 2,82. 5.42. 1) 2,98; 2) 1,58. 5.43. 1) 0,707 с; 2) 2,4142т0: 3) 0,414 с; 4) 2,1973т0; 5) 0,414т0с2, 0,217 т0с2. 5.44. 0,551тос2. 6 .1. 2 с; 36°. 6 . 2 . 0 , 8 с; 1,25 Гц; я рад. 6.3. 1 ) я/3 рад; 2 ) Зя / 4 рад; 3) 5я/3 рад; 4) 7я/6 рад. 6.4. 1) 5я/6 рад; 2) я/3 рад; 3) 5я/4 рад; 4) 5я/3 рад. 6 .6 . х = A cos (со/ + ф)> где Л = 4 см, со = 2 я/Г = я рад/с, ф= я / 2 рад; 1 ) 5я/3 рад; 2) 0,842я рад. 6.7. л; = A cos (со/ + ф)» гДе A = d/2= 10 см, со= я/3 рад/с, ср = = я/2 рад; х = —8 , 6 6 см; х — —5,24 см/с, х = 9,50 см/с2. 6 .8 . 4,71 см/с; 7,40 см/с2. 6.9. | л: | = со V (со2 А2 — *2) = 12 см/с2. 6.10. 2 с-1 ; 40 см/с2. 6.11. 10 с -1 ; 0,628 с; 1 см; * = Л cos со/. 6.12. A = 2x\jV~4х\ — * 2 = 8,33 см. 6.13. со = = V — *;* = 4 с-1 ; Г = 2я/о:>= 1,57 с; А = J /' a^ + co2* 2 = 7,07 см; со/ + ф = = arccos (*/Л) = я/4 рад. 6,14. я/3 рад. 6.15. 2я/3 рад или 4я/3 рад. 6.16. А = = 1.41 см; ф = я/4 рад; * = Л cos (со/ + ф), где со= я с~У 6.17. Л =2,24 смv = 0,159 Гц; ф = 0,353л рад; х = A cos (со/ + ф ), где со = 1 с-1 . 6.18. Л =3,86 см’ Ф= 0,417я рад; * = Л cos (со/ + ф), где со = 2я/Г = 4,19 с-1 . 6.19. Л = 6 см| ф = я/3 рад; х = A cos (со/ + ф), где со= 2 л/Г = я с-1 . 6 . 2 0 . 1 ) Л = 2,24см, ф = 0 ,6 8 6 я рад; 2 ) Л = 1,41 см, ф = 0,917я рад. 6 . 2 1 . 2 с. 6 . 2 2 . у = — (А2;'А1)х, или £/ = — 1/2*. 6.23. у = — (А*/А1)х, или у = — 2х. 6.24. 1 ) у = х; 2) у — = (A2i A i ) х, у = 3/ 2 *; 3) * 2 + £/2 = Л2, * 2 + г/ 2 = 4; 4) у = — (А2;А1)х, у = — 2х; 5) * 2+ у2 = Л2, х2+ </2 = 9; 6 ) - i l + - ^ l = l , Л1 Лз 4-+ 4 -= 1 ; 4 9 7 ) л = ( Д ^ 1) х , 495 / = 3 *; 2 8 ) y = - ( A i !A1)x , y = ~ 2x. 6.25. I. 6.26. g A + - £ - = 1. 6.27. щ + - ^ - = 1, o = 13,7 м/с. 6.28. у — 0 = — V ,x*+ 1- 6.29. 1) г/ = Л - 2 ^ - , t/ = - x 3) 2 A i / - A 1x* = A A 1, r/ xV 4 - r- JC2 + 3/ 2 ! 4) x = ^2 / 4 г/=ж И х- -x), 6.30. 2) —125 mH. 6.33. = 3/ 4 2 mH; 2 2 2 ~ + ~ l- (Л 2 /Л,) x* + Л2, + 2; 2) у = 2 - ^ ~ Л , y = x * - 2 (ЛДЛ) у V l - у 21А \ х = */г уХ * = T (2- -x). 6.32. 1) —62,5 mH; 50 мкДж. 6.34. 4,39 мН; 877 мкДж. 6.35. 2 с; л/3. 6.36. 9,87 Н/м. 6.37. 0,6 с. 6.38. 0,8 Дж. 6.39. j " = — ( А У = 2,25. 6.40. Т = . т2 /2—2d (/ —d) = 50 см; Т --2л V L /g = 1,42 = 2л J ^ / ( g + a ) = 1,8 с. 6.41. L-/—2d 6.42. L = 6/в / = 25 см; Г = 2яУ "L j g = \ c . 6.43. Г = 2 я у " 3 //g = l,9 0 c . 6.44. Г = = 2яУ г 2/?/§=1,55 с. 6.45. Г = 2 л / 3 tf/( 2 g) = 1,35 с. 6.46. 36 см; 1,2 с. 6.47. Г = 2л Т /^ / У р У ? в ^ > + £ = 1’и с- 6-48= 34,6 см. 6.50. а) Т = = т “ / 10 см- 6-49‘ а = Ц (2 У Ъ ) = 1>89 с; б) Т = 2я " j / ^ = *>64 с; в) Т = 7 “ ' ’34с; г) r “ M / i j - 1'53' e-5l'*) ' ,” i = 0,386 Г„; 6) v = | } / 3 ^ - 0 . 5 3 7 Гц; .) / | - т = v = 2 _ | / й _ 0,345 Гц; тЯ 2Г? г' ’ = - 5 г / ' т Т 7 - ° ' 582г“ в-52' 3‘- 2(Г| —Г?) =6,4-10- 2 кг-м2. 6.53. Г = = - j " j/" - ^ ^ - = 1 , 6 с (Р— плотность). 6.54. Т = 2л m/(2pgS) — 0,8& с (р- плотность ртути). 6.55. 1= g T 2/(4n2) — 6 , 2 1 м. 6.56. 15 мин. 6.57. 0,0023 с-1 . 6.58. 0 = А l = j ln ^ L = 1 / — 1п 4 2- = 2 .З Ы 0 “ 3. 6.59. / V = l l n A = 2 3 1 . 6.60. jV = У g Л2 0 Л2 17 3 ; ^ | / -21 = 2 мин 52 с. 6.61. 9,16-Ю -5 кг/с. 6.62. 1,005. 6.63. 35. 6.64. 1) 0,025; 2) 1,59 Гц; 3) 0,0157; 4)64. 6.65. . . ц = (//я ) У £ / т = 10,2 м/с. 6.67. 1002 Гц. 6 66 . 6 68 п = А | / • |- = 1 6 с - 1. . Av = 62 /(4я 2л>0) = 4,05 Гц. 6.69. X= 2л ^ A v /v ^ = 0,089. 6.70. vpe3 = - K 2/Г2— 1 /T g = 1,75 с - 1. 6 .7 1 .0 ,1 с-1; 5 см. 6.72. F 0 = 2nv0 гЛрез = 0,314 мН. 6.73. 510 Гц. 6.74. 1 ) 5,03 Гц; 2 ) 4,91 Гц; 3) 6,4 мм; 4) 3,2. 6.75. 1) 1,53; 2) 15,2. 7.1. 1)100 Гц, 3,14 м; 2) 314 м/с; 3) 3,14 м/с; 1,97-103 м/с2. 7.3. 1) | (0, /) = = A cos 2jtv/; 2) £ = — 2 мкм. 7.4. 1) 350 м/с; 2) 0,79 м/с. 7.5. 1) — 0,1 мм; 2) 0,363 м/с, 0,439 км/с2. 7.6. 5,88 см. 7.7. — 1,73 см. 7.8. 1,26 рад. 7.9. 1,57 рад. 7.10. 50 Гц. 7.11. 15 м/с. 7.12. 1 ) 5,05 км/с; 2) 3,31 км/с; 3) 4,44 км/с. 7.13. 21 м; 17 мм. 7.14. 350 м/с. 7.15. 339 м/с; 375 м/с. 7.16. 1,45 км/с. 7.17. 1,67. 7.18. 4,8. 7.19. 25,8 с. 7.20. 1,73 мм. 7.21. 1) /узл = ( 2 т + 1) u/(4v); /узл = 2,5, 7,5, 12,5 см, . . . ; tny4H==ftw/(2'v)', ^пучн —9> 5, 19 см, . . . ; 2) /узл — mv((2y)\ ^узл~9, 5, 10 см, . . . ; ^пучн = (2/71-Г 1) y/(4v); /пучн^^б, 7,5, 12,5 см, . . . . 496 . . 1 ) 5 см; 2) 10 см. 7.23. 1) 144 Гц; 2) 72 Гц. 7.24. 343 м/с. 7.25. 330 м/с. 7.26. их= (//а) у = 3,12 км/с. 7.27. 2,52 кГц. 7.28. 1) 341 Гц; 2) 268 Гц. 7.29. 366 Гц; 264 Гц. 7.30. 120 км/ч; 990 Гц. 7.31. 0,09. 7.32. 4,1 м/с; по на правлению к резонатору. 7.33. 1) 4,5 с; 2) 5,5 с. 7.34. 636 Гц. 7.35. 1) 699 Гц; Av 2) 517 Гц. Изменится: 1 ) 696 Гц; 2) 515 Гц. 7.36. и = —--- — — v = 3,74 м/с. ’ 7 2 v0 -f-Av 7 7.37. 23,7 мкДж. 7.38. 3,01 мДж/м3. 7.39. 0,251 Дж/м3. 7.40. 157 Вт; 60,2 мкДж/м3. 7.41. 428 Па-с/м. 7.42. 1,39 МПа*с/м. 7.43. 0,472 мм/с. 7.44. 25,7 кПа-с/м3. 7.45. 475 нм. 7.46. 1,61 Па. 7.47. 5,98 Вт. 7.48. 82,5 мПа. 7.49. 430 Па-с'м; 93 мкПа. 7.50. 27,2 пВт/м2 и 1,87 пВт/м2. 7.51. 1) 20 дБ; 2) 100 дБ. 7.52. 35,5 дБ. 7.53. В 103 раз. 7.54. 1 ) 63 дБ; 2) 70 дБ. 7.55. Пер вый тон не слышен; 20; 40. Указание. Воспользоваться графиком на с. 101. 7.56. 64 дБ; 50 дБ; 50 дБ; 56 дБ; 77 дБ. 7.57. В 100 раз. 7.58. 70. 7.59. а) 0,4 пВт/м2, 4 дБ, 0; б) 0,5 Вт/м2, 117 дБ. 120. 7.60. 50. 7.61. 40 мкВт. 7 22 8 . 1 . 1 ) 18; 2) 44; 3) 58,4. 8 . 2 . М — M rk = 98 кг/моль (Мг — относительная молекулярная масса; & =10 - 3 кг/моль). 8.3. т1 = M rkfNд; 1) 7 ,З Ы 0 ~ 26 кг; 2) 9,70• 10~ 26 кг. 8.4. р = M rkv/V = 3,2 кг/м 3 (М г — относительная молекуляр ная масса; k = \ 0 ~ s кг/моль). 8.5. v = 7,14 моль; А^ = 4,30-1024 молекул. 8 .6 . 0,125 моль; 7,52-1021 молекул. 8.7. Известно, что молярный объем Ут любого газа при нормальных условиях равен 22,4 л/моль. Поэтому n= V /V m= =-0,5 моль; m = M v = M rkv=16 г. 8 .8 . v = pV/M = 9 ,9 7 -10~ 3 моль. 8.9. N = = N \V /V m = 1,34* 1022 молекул (Vm — молярный объем идеального газа при нор мальных условиях; Ут =22,4-10 3 м3 /моль). 8.10. 1 ) 1,50-1023 атомов; 2)5,02х X Ю22 атомов; 3) 3,17 - 1022 атомов; 4) 2,87-1021 атомов. 8.11. Для определения вида газа найдем его относительную молекулярную массу: М г = рУ/(kv) = 28. Сле4 171 довательно, данный газ —азот. 8.12. N = — /Va = 2 ,87* 1020 частиц. 8.13. Пусть жидкость заполняет куб. Число молекул в кубе N = (ljd)z = Уfd3 (1) (/ — длина ребра куба, d — диаметр молекулы). Число молекул можно выразить также ш ру формулой N = \N p L=-j-r N a = --г- N а (2) (v —количество вещества жидкости в кубе; т — масса; р —плотность; М — молярная масса жидкости). Приравняв правые части ( 1 ) и (2 ) и выразив из полученного равенства диаметр d моле кулы, найдем d = у М /(рА^д); <ii = 0,464 нм; d 2 = 0,290 нм. 8.14. Диаметр молекулы воды d = y M/( p N a ) (1) (см. задачу 8.13). Среднее расстояние: ме; между центрами молекул </>= jJ/V i (У± — объем куба, приходящегося на одну моле кулу). Искомое отношение: < l y i d = \ / Vmp/M=\0>7. 8.15. v = У/Ут ~ 50 ммоль (Ущ —молярный объем); Ут = 22,4-10“ 3 м3 /моль; vM0JI = v (1 — а) = 35 ммоль; vaT = 2va = 30 ммоль; v n 0 1 = 65 ммоль. 8.16. F = = Р' ( ‘Н И = 2 '67 кПа' 8лв- р ~ 2 8.19. р = -- Vi---------- = 2 кПа 8 20 t УН—£-(ДЛ2—Afti) (Г0 = 273°С). . 8 21 . 350 К. . 8 22 . m = pV Tl Т г-П Т 2 Т1 pS = 32,3 кН. 8.17. р — -п .. Р2_ц + г )_7 ’ !=4730С И = 66,5 г (р — ПЛОТНОСТЬ воды). 642 Н. 8.24. ДГ = М Ц £ — r® L= 1 , 3 9 КН '2 1о (Т0 = 273 К; ро — плотность воздуха при нормальных условиях). 8.25. V = 8.23. ДF — (ро2 —poi) gV (/2—/1) STr -/iS = 1 0 6 см3. 8.26. Давление воздуха рг в цилиндрическом Т2- Т г сосуде до понижения температуры, уравнивается атмосферным давлением р0: Po = Pi- 0) 497 После понижения температуры атмосферное давление уравнивается сум мой двух давлений: р2 воздуха в сосуде и Ар, создаваемого столбом воды высотой Ah: (2) Ро = Р2 + Лр = Рг + Рg b h . Приравняв правые части формул (1) и (2) и выразив р2, найдем P2 = Pi— Pgbh. (3) Давление, объем'и температура воздуха в цилиндре связаны уравнением газового состояния Plî_P2^2 ИЛИ p i S h i _ p 2Sh2 Ti т2 * Ti Т2 Сократив на 5, получим pih1/Ti = p2h2/T 2. Подставив сюда выражение р2 по (3), а также учтя, что h2= h i—Aht после преобразования найдем = 0. A/i2 — ‘ Pg Решив это квадратное уравнение и отбросив второе значение Ah, не имею щее физического смысла, получим ДЛ = 4,5см. 8.27. m = MpV/(RT) = 0,212 кг. 8.28. V ^ v R T / p = : 3,32 м3, 8.29. p = mRT/(MV) = 1,16 МПа. 8.30. Г = = pMV/(mR) = 275 К. 8.31. Относительную молекулярную массу М г найдем из соотношения M — M rk (1) (где М — молярная масса); /е= 10~ 3 кг/моль. Из уравнения Клапейрона — Менделеева получим M — mRTI(pV) = pRTjp = =44 кг/моль. Из (1) найдем M r = M/k = 44. 8.32. р = Mpl(RT)=2,56• 10~? кг/м3. dV MV 8.33. F = (M 2 —М 1) ^ % - = 1 0 ,9 кН. 8.34. m = - ^ Ap = 8,3 г. 8.35. Am = HI HI = M 8 .З7. £ ( H \ 11 2 / = 6 ,1 6 p ' i = v Pl^ ly = 0 , 7 6 КГ (* = 7/8). 8 . 3 6 . МПа; W = y = = ( m x/ M 1 + m 2/ M 2) 1,12 МПа; P = Pi + — p = 6 , 4 2 m3. P2=1>88 МПа. кг/м3, a-lM2p _ п ,о м г т „ . _ _( ! - « * ) Мхр - = 0 , 1 8 МПа; p2~ = 0,82 МПа. *(1 —Шх) M 1-{-w1M 2 ^ (1 —Шх) M 1-\~w1M 2 8.41. M r = M/k (M — молярная масса воздуха; &= 10~ 3 кг/моль); Мвозд = 8 .40. — pf = - — • = 2 8 ,9 -10_? кг/моль; сох/УИх -j—w2l М 2 Л4Г= М/* = 28,9-10-3/1 0 -3= 28,9. PV\ Л4, р^ ' м 2—м, \ m~~Mi r t ; =8 г* м 2- м х V 2 ЯГ pV 8.43. т = =6,87 г; mi = &’1m = 4,81 г; т 2 = (1— шх) = 2,06г. Г ^ 1 l — а>Г| « г LMi 1 м 2 . pV 8.4 4 . 7 = = 259 К. 8.45. ti = 0,788 моль; Vx = 67,5 ммоль; 1 —o ; i N ) mR Л/Г v2 = 0,720 моль. 9.1. 1,2-1020 м " 3. 9.2. 2 л. 9.3. п = vN A/V = 4,52- 102S м~3. 9.4. д = = N A!Vm~2,69* 1025 м ~ 3 (где Ут — молярный объем газа при нормальных условиях). 9.5. m = MnV/N А — 0,25 г. 9.6. п = mNAl(VMrk) = 7,52* 102* м ~ 3 (&=Ю ~ 3 кг/моль). 9.7. v = nV/NA ~ 9,97* 10“ 9 моль. 9.8. hi/ m2 = Мг, г/ ^ r , i = = 16. 9.9. M r = mN A/(knV) = 32 (^ = 10~ 3 кг/моль). Следовательно, газ — кислород. 9.10. = knVMr/m = 6 ,0 2 *1 0 23 моль” 1. 9.11. rii = N A/Vm = 2,69x ХЮ 2 5 м-3 ; До = Дх(1—а) = 1,61 • 1025 м~3; д3 = 2д1ос= 2,15* 1025 м~3. 9.12. 2,42х ХЮ * 7 м -а. 9.13. 414 Па; 138 кПа. 9.14. N = pV[(kT) = 3,62-102&молекул. 498 9.15. v = pV/(RT) = 4,98 ммоль; ti — vNj[/V = 1,25* 1025 м~3. 9.16. Лp — y k T = = 4,14 кПа. 9.17. v = 4,97 ммоль; N = 2,99* 1 0 21 молекул. 9.18. 1 ) Т' = 7,25кК* 2) <еп> = 1,5* 10~ 19 Дж. 9.19. <еп> = 1,24-10"20 Дж; <е> = 2,48-К)-20 Дж’; W = <E>vNA = ^ k T v N A = jR T v = = 7 A 8 M J \m . 9.20. 8,28-К) - 21 Дж; 13,8 х Х10 - 21 Дж; 16,6-10“ 21 Дж. 9.21. 6,9* 10~2 1 Дж; 20,7-10“ 21 Дж; 13,8• 10“ 21 Дж; 34,5• 1 0 ~ 21 Дж. 9.22. 3 ,2 2 - 1 0 ~19. 9.23. Ap = 3kT/(oR) = 2,48 Па. 9.24. Г = 2 = -^ --^ - = 33,6 кК. 9.25. 1) 500 м/с, 462 м/с, 407 м/с; 2) 1,94 км/с, 1,79 км/с, 1,58 км/с; 3) 7,90 км/с, 7,30 км/с, 6,48 км/с. 9.26. 20.1 кК. 9.27. 1 , 6 кК. 9.28. 2 км/с. 9.29. Гелий: 2,73 км/с и 2,48-10~20 Дж; аргон: 864 м/с и 2,48.10-2о Дж. 9.30. 352 мкм/с. 9.31. 1,37-107 раз. 9.32. 0,92 км/с. 9.33. 1.82 км/с. 10.1. В е2 3 ,6 раза. 1 0 .2 . 1,65. 10.3. 5,97-1023 м оль"1. 10.4. 4,14-10~21 Н. 10.5. 1,18 кПа. 10.6. 5,88 км. 10.7. 885 м. 1 0 .8 . 1 ) 8,75 м; 2) 25,8 м. 10.9. 6,5 м. 10.10. п ~ n 0em®2r“/(2kT) ^ — концентрация частиц на оси ротора). 10.11. 5,91. 1 0 . 1 2 . 304 кПа. 10.13. 84 (криптон). 10.14. 28%; 72%. 10.15. vB= V 2kT/т. 10.16. f (и) du==-^—ze ~ u2u2 du. 10.17. 4,39-10-3. 10.18. 6,63-10-3. 10.19. w — AJV_ N VЛ /_2 V/ m 3 \ я kT = ]/" 8 kT /(лт). 10. 22 . 10.20. ш = 7,52 - 10~7. - V < 7 > = V ZnTlm . m2 10.21. <u> = 10.23. - T 7 7 ^ - = 4 = 1 .27. 1/<у> я 10.24 . C = = ^ . 10.25. vB= V ikTjm\ <ф = 3 > ЛяЙ7(8тУ. 10.26. 6.0-109. 2627’2 * < P x>==УV mkT/( mkT l( 2я). 10.30. 0,5%. 10.28. 0. 10.29. <рх> 10.27. pB= V 2mkT, О 3/2 Д7 10.31. p У mkT. 10.32. <гиу = 312кТ. 10.33. (со) = ^ e “ 30 )/2 col / 2 dco (2л)1/2 AN 8 3/2. 10.36. 7,53-10~4. N 3 V л (kT) 3/ 2 AN 8о \ 4/2e-e„/(*r)_ -£ ю . 3 9 . ei==8ji fey. - 2 ' N - я 1'’ 2 \ к Т ) 1 е-е/: 10.41. e/ 2 0 1 / 2 d0. 10.42. 4,84-10-3. d0 = (2 л ) 1''2 10.43. 2,67-10"4. 10.44. e = kT. 10.45. Уменьшится в два раза. 10.46. В три раза. 10.47. 6,4 см. 10.48. 3,5 мПа. 10.49. 1,55 нм. 10.50. Можно, так как длина свободного пробега «/> = 97 м) много больше диаметра d колбы. 10.51. 1,55 мг/м3. 10.52. 3,7*109 с " 1. 10.53. 1,57*1021. 10.54. 3,38-1018. 10.55. 288 нс. 10.56. 1 ) Не зависит; 2) < / > ~ 1 /р. 10.57. 1) Не зависит; 2) < /> ~ Г . 10.58. 1) 2) <г> ~ р. 10.59. 1) <г> - У Т - 2) <г> ~ ~ 1 /У Т. 10.60. 7,23-10-5 м2 /с. 10.61.__135 нм. 10.62. 1) 90-10~5 м2 /с; 2) 0,061 mVc. 10.63. 7,1. 10.64. 1) £>~ У Т3-, 2) D ~ У Т. 10.65. 1 ) D ~ \ / p ; 2) D ~ У р . 1 0 .6 6 . 18 мкПа-с. 10.67. 90 пм. 1 0 .6 8 . 19 мкПа-с. 10.69. 1 ) г) ~ ~ У Т ; 2) Y) — У Т . 10.70. 1) Не зависит; 2 ) к] ~ У р- 10.71. 1 ) 16,8 Н; 1 ( 2ц Л1 / 2 2)3,17-10-4 Н-м. 10.72. Л1=я2г)я7?4/^=0,58 мН-м. 10.73. F 10.34. 9,3-10- 3 10.35. = 3<v^j ри = = 0,89 мкН. 10.74. 38,6 мВт/(м-К). 10.75. 1) 2,5, 2,41; 2 ) 1,90^ 1,86'; 3) 1,90, 1,90; 4) 1,75, 1,38. 10.76. 23,4_мВт/(м-К). 10.77. \) \ ~ У Т \ 2) % ~ У Т ~ 10.78. 1) Не зависит; 2) к ~ У р . 10.79. 1) 196 Вт/м2; 2) 35 мВт/м2. 499 1 1 . 1 .3,12 кДж/(кг-К), 5 ,19кДж/(кг-К); 2 ) 10,4 кДж/(кг-К), 14,6кДж/(кг-К); 3) 567 Дж/(кг-К), 756 Дж/(кг-К). 11.2. 0,032 кг/моль, 650 Дж/(кг-К), 910 Дж/(кг-К). 11.3. 715 Дж/(кг*К); 1 , 0 1 кДж/(кг-К). 11.4. 4,53 кДж/(кг*К). 11.5. 981 Дж/(кг*К). 11.6. 526 ДжДкг-К). 11.7. 417 ДжДкг-К). 11.8. 204 Дж/(кг-К). 11.9. 1,51. 11.10. 1,50. 11.11. 1,42. 11.12. 1,50. 11.13. 11,6 кДж/(кг-К). 11.14. 1,52. 11.15. 0,517. 11.16. При постоянном давлении. 11.17. 1,33. 11.18. 166 Дж. 11.19. 400 Дж. 11.20. 6,62 кДж. 11.21. 454 К. 11.22. 416 Дж. 11.23. Т2 = Т1пу ~ 1 = 754 К; А = Ц- j R (Т2— Г,) = = 674 Дж. 11.24. 1,81 кДж. 11.25. 1 ) 556 кДж; 2 ) 556 кДж; 3) 0. 11.26. 1) 5 МДж; 2) 0; 3) 5 МДж. 11.27. 62,5 Дж. 11.28. 390 К; 520 кПа. 11.29. 1) 0,4 МДж; 2) 160 кДж; 3) 560 кДж. 11.30. 6 кДж; 15 кДж. 11.31. 1) 3,25 МДж; 2) 0,4 МДж; 3) 3,65 МДж. 11.32. 1) 520 Дж; 2) 208 Дж; 3) 312 Дж. 11.33. 1) 0,6, 0,4; 2) 0,71, 0,29; 3) 0,75, 0,25. 11.34. 1 кДж. 11.35. 1) 0; 2) 11,6 кДж; 3) 11,6 кДж. 11.36. 1) 0; 2) 126 кДж; 3) 126 кДж. 11.37. 20,8 кДж; 19,2кДж. 11.38. Л = д = 1,28кДж. 11.39. Л = <2=2,06кДж. 11.40. l/2/K1= e c^ v^ r)= 2,23 (v—количество вещества кислорода). 11.41. 191 Дж; 11.42. 1)21 кДж; 2 ) 6 кДж. 11.43. Д Г = Г 2 j ^ l - ^ - ° J <V_1)V = 76K. 11.44. m = -- М -Y7 -P 1 AU = 67,2 г. 11.45. —3,8 МДж. 11.46. 157 К; —21 кДж. 11.47. 1) АТ = 2М A U /(im R )=6l6 К; 2) р2 = рх (Г2— <V- D= 11,4 МПа; где ТХ= Г2— ДГ. 11.48. 2,52 МПа. 11.49. 17,6. 11.50. 1) Д£/ = 11,ЗкДж; 2) Q = 17,1 кДж; 3) Л = 5,8 кДж. 11.51. 1) —41,6 кДж; 2) —41,6 кДж; 3) 0. 11.52. Q = AU = 7,5 кДж. 11.53 . 0,193. 11.54 . 400 Дж. 11.55. 300 К; 500 К; 1 кК; 605 К; 8,55%. 11.56. 1) 7,61 МДж; 2 ) 7,21 МДж; 3) 0,4 МДж; 4) 5,3%. 11.57. Г 2 = Г 3 = Г1^ = 600К; ri = Р1 Т2 In —— (Т2___Pi______ П) : 0,099 = 7*1п?1+ Т (Г*' -Тг) =9,9% . 11.58. 1 ) 7’1 = 600К; 7’3 = 1 2 0 К ; V2= 1 м3; Кз = 0,09 м3; р 3 = 5,56МПа; 2) 2 МДж; 3) 1 МДж; 4) 1 МДж; 5) 50%. 11.59. 0,11. 11.60. 420 К. 11.61. 1,88. 11.62. 28 кДж. 11.63. 0,404; 59,6 Дж. 11.64. Vi- Н.65. 14%; 1,16 раза. 11.66. 4 Дж. 11.67. 0,74 м3. 11.68. 10,9%. 11.69. 0 = m JjA _ m £ 1 = ( 0 =323 К; AS ==с ( mi In тр—\-m2 In 0\ ) = 0,3 кДж/К (с— удельная теплоемкость воды). 11.70. 7,2 Дж/К. 11.71. 2,43 Дж/К. 11.72. 291 Дж/К. 11.73. m%-. mtr 251 г; ----AS = ^ л , ,,-----т-т- = —— —cm2 In ^ - = 6 1 0 Дж/кг (г— удельА-}-С(Г2—*1) J1 М *1 ная теплота парообразования; X— удельная теплота плавления). 11.74. А^х= =836 Дж/К; AS2= 0. 11.75. AS = ^ - { C p — Cv) In n = -^R Inn = 457. 12.1. 1) 108 кПа; 2) 86,2 см3. 12.2. 4,78 МПа (4,99 МПа). 12.3. 1) 8,31 МПа; 2) 5,67 МПа. 12.4. 1) 0,0264; 2) 0,272. 12.5. p = » f . R T = 544 МПа 2M — pb 4 М (р — плотность воды; а и b — постоянные Ван-дер-Ваальса; М — молярная мас са). . . ^ —^ — 12 6 _^ " ) == 287 К (М —молярная 97 Т 2 /?2 12.7. 1) 174 кПа; 2) 3,94 МПа; 3) 101 МПа. 12.8. а==Д 1 Гк R Ь= — - ^ - = 3,86-10 500 5 м3 /моль. 12.9. 1 ) 150 К, 5 МПа; 2 масса), =0,136 Н .М4 /моль2, ) 654 К, 22,6 МПа. 12 10 3 7 кр VmKp = 3 6 = - r --------R = 96,8 12.12. 1^гаах — Vm KpV= 3bv\ VmaX= 91,2 см3. 12.13. . . О Ра р см®/моль. , . 12 11 М е = -^— = 0,264. ос?р 197 кг/м3. 12.14. pmax == = pKp= - ^ = 21, 8 МПэ. 12.15. В 193 раза. 12.16. 1) 1,45 см3; 2) 5 см3. 12.17. В 1,5 раза. 12.18. Т = Ю7’кр/3 = 600К. 12.19. Увеличится в 2,45 раза. 12.20. В 5 раз. 12.21. 1) 2.61 кДж; 2) 2,55 кДж; 3) 1,94 кДж; 4) 1,45 кДж. 12.22. 1 ) 9 ,4 3 - Ю -3; 2) 0,103. 12.23. 1) 22,4 кДж; 2) 9,2 кДж. 12.24. U = = /д - СуТ — =1, 13 кДж (где а — постоянная Ван-дер-Ваальса). 12.25. Д t / = -ТУГ=|04ДЖ- ,2-м- л-(-*г)’“(т7- тг)=,’в5 Дж- |2Я- АТ - — m r m — 20'9 к ■,2Ж « = ( ж У с - ^ г - !Х’5Дж- ,гЖ 2 2 '2“Н/‘ 12.30. 4,4 мм. 12.31. 3 мДж. 12.32. мкДж. 12.33. 3,2 кг/м3. 12.34. 62,5 Па. 12.35. 73 Н. 12.36. 58,2 мН. 12.37. 62 мН/м. 12.38. Др = + 399 Па. 12.39. 22,5 мН/м. 12.40. 22 мН/м. 12.41. 23,1 мг. 12.42. 6,37 см. 12.43. 26 кПа. 12.44. 7,3 см. 12.45. 0,45 м/с. 12.46. 4,33 м/с. 12.47. Qv = S 1v1 = S 1S 2x 2gAh X = 1 , 8 8 л/с (i?! — скорость жидкости в широкой части трубы). St —S% 12.48. 100 м/с; 5 МПа. 12.49. 5 м/с. 12.50. 8,80 м/с. 12.51. 31,4 Н. 12.52. 1,4 м. 12.53. р = ^ 1— ( ^ ~ ) j = 77,9 кПа (р — плотность воды). 12.54. 12.55. Re —-Р —= 5000 1 м. —динамическая вязкость); движение турбулент- ное, так как полученное число Рейнольдса Re > ReKp (ReKp = 2300). 12.56. 1,94 см/с. 12.57. Qm m a x = г1ьЩ Re„pd = 54,2 г/с (т| —динамическая вязкость масла; ReKp—критическое число Рейнольдса). 12.58. R e= p 2 (pi—р2)Х X gds/{ 18г|2) = 4,17 (рх и р 2 — плотности меди и масла; г\ — динамическая вяз кость масла); так как полученное число Рейнольдса Re > ReKp, то движение турбулентное. 12.59. 1) a = (pi — р2) gd2/(\8r\) = 6,71 мм/с (рх и р 2 — плотность латуни и глицерина; ц — динамическая вязкость глицерина); 2 ) обтекание ша рика ламинарное. 12.60. i>2 = —— — Vi = 27J р2г2Л1 см/с (рх и r|i — плотность и динамическая вязкость касторового масла; р 2 и г\ — те же величины для глицерина). 13.1. 9 ГН. 13.2. Q = 41 sin (а/2) У ne0g m tg (а/2) = 50,1 нКл. 13.3. е = = р /(р — р0) = 2. 13.4. Q —2т У ne0G = 86,7 фКл. 13.5. v = -- =219 км/с; У 4ле 0тг п = и /( 2 лг) = 6,59.10 1 4 с - 1 (т — масса электрона; е— его заряд). 13.6. F = 6Q2 ^ Q i Q ■ , / 2 л =287 мН. 13.7. F = 4ле0 а 2 =54 мН. 13.8. Qi = 4ле0 У А ■ +Г 2 = 2 г У Л8 0 (У F2+ y F2— F1) = 0,14 мкКл; Q 2 = 2 r У яг 0 (У F2— Y F2— F ^)~ = 20нКл. 13.9. 0,09 мкКл; —0,01 мкКл. 13.10. Между зарядами на расстоянии * = 40см от заряда 4Q; положительный. 13.11. Точка находится на расстоянии /х = 20см от заряда — 8*10_ 8 Кл; неустойчивое. 13.12. Qх = Q "3/3 = = — 0,577 нКл; не будет устойчивым. 13.13. Q i= — ~ f У 2 -f-i- \ Q = —287 нКл. От/ ' ^ 13.14. F = - ----- — = 1 , 5 мН. 13.15. F = Qx/(4m0a) = 4 ,5мН. 13.16. F = 4Я 8 q [I — j—CL) CL = уН2<Ь/(4яе 0 а)=6,37м Н . 13.17. F = F 2 T = i ,27 mkH. 13.18. 9 мН. JL Zt9I& qC L 501. 13.19. F = V 5 Qtl (4яе0а) = 4,03 мН. 13.20. 1) F1= ------ M l E — - ==0l\e мН; 4яе0 (R 2-|-1\) 2) F2 — QQi/(^Tce0lt) = 2,25 mkH. 13.21. F = Qx/(2ne0R) = 3 ,6 мН. 13.22. F = = Qx/(4ns0R) = 35 mkH. 14.1. 4,09 k B / m . 14.2. 2,99 k B / m ; 607 B / m . 14.3. 280 B / m . 14.4. 6 cm; 12 cm. 14.5. За отрицательным зарядом на расстоянии di = d { y 2 + l ) . 14.6. 34 кВ/м. 14.7. Е = - 1 т R У г2— R2 , 2 s 0г3 2,71 кВ/м. Р е ш е- н и е. Из рис. 6 следует, что элемент заряда dQ, находящийся на элементе d/, создает напряжен ность dЕ = 9-, или dЕ = - .Х 4 л е 0г 2 Разложим 4 л е 0г а dЕ на две составляющие: dЕг — по нормали к плоскости кольца и dЕ 2— параллельно ей — и просуммируем эти составляющие для всех элемен тов кольца. При этом составляющие, параллельные плоскости кольца, в сумме дадут нуль. Сумма вер тикальных составляющих выразится интегралом £ — Рис. I _ х cos ф Г 6 ~ 4л80г2 J dI. Выражая cos ф через г и R, по лучим после интегрирования окончательную формулу, приведенную выше, 14.8. Е = <т/(4е0) =28,3 В/м. Р е ш е н и е . Полусферу разобьем на дифференци ально тонкие кольца (рис. 7) с зарядом dQ = о dS = 2 nroR dф, тогда напряжен- £,В/М ность dЕ, создаваемая таким кольцом в центре полусферы, dЕ = (см. задачу 14.7). Учитывая, что r = i? sin ф и a = R соэф, после интегрироЗХ/ 2 вания получим Е = 502 ^ sin ф cos ф dф = ^ , 14.9. 1) 0; 2) 900 В/м; . 14.10. Ег = 0 ; Е 2= - Qi 4ле0 г2 график рис. 9. 14.11. 3) 400 В/м; график см. на рис. Q — 1 Q2 1- = 200 В/м; £» = - 8 =1,11 кВ/м; 5,55 нКл/мл 4я £0 г1 14.12. 43,2 МВ/м. 14.13. 64,3 кВ/м. 14.14. £ , = 0; £ а = Ro/(B0r2) = 75,5 В/м; Рис. 12 график см. на рис. 1 0 . 14.15. Е \ ~ 0 ; £,2г=т1/(2л£0г2) = 200 В/м; Е3 = = (tj + т2);(2д£0 г3) = 180 В/м, график см. на рис. 1 1 . 14.16. Е = т/(8 ле0/) = = 135 кВ/м. 14.17. £ = ---------- 11 ____= 5 5 ,7 кВ/м. 14.18. 35,6 кВ/м. 2пе0 г |^ 4 ? 2+ / а 14.19. 60,2 кВ/м. 14.20. 38,0 кВ/м. 14.21. 1) Е — 0 ; 2 ) £ = а/е0= 113 В/м; гра фик см. на рис. 12. 14.22. 1) Е1= 1 <т2— : 113 В/м; 2) £ 2 = 1 а2+ <Ji Рис. 14 = 226 В/м график см. на рис. 13. 14.23. 1) 396 В/м; 2) 170 В/м; график см. на рис. r 14. 14.24. £ = i % H ^ i i = 3 7 7 K B / M . 2е0аЬ 14.25. £ = - 1 - ^ - 5 = 16,9 мкН. 2 е0 14.26. | Q I = R V 2ne0F = 33,3 нКл. 14.27. 1) = 4 'P r i = О 0 >1 нКл/м2; 2) £ ^ = - ! - £ - £ = 6,28 В/м О 8 q8 3 е0 8 (для Г1 = 3,78 В/м; D± = Я); El = 1L A — Я= О 8q 503 = 18,8В/м. (для r ^ R ) ; Вг = ^ p R = 167 л К л/м2; 3) Е3 = ~ d £>з ~ -L р -^ -= 4 1 ,7 6 2) £ 2 пКл/ м2; 4,72 В/м; е0^2 график см. на рис. 15. 14.28. 1) 0; £>i = 0; Е х= Г2 = ^ з Л 3eoS V = 229 В/м; £>3 2- - ^ Ь = 13,6 В/м; г! / £> 2 = 843 пКл/м2; 3) Е3= P ^ 2 ~ -f— - Зеоегз = 2,02 нКл/м2; график см. на рис. 16. 14.29. 1) £х = ~ ^ 8q8 гг = = 2,83 В/м; £>! = 50 пКл/м2; 2) E2 = f>R2/(2e0r) =7,55 В/м; £ > 2 = 66,7 пКл/м2, график см. на рис. 17. 14.30. Е = = pd/(2e0 e) = 56,5 В/м. 14.31. £ л = = 0; D a = 0; Ев = pd/(4e0 e) = = 80,8 В/м; D# = pd/4 = 5 нКл/м2; E'c =pd/( 2е0 е) = 162 В/м ( x ^ d ) ; Ё'с = pd/(2e0) = 1,13 кВ/м ( x ^ d ) ; Dc = pd/2 = 10 нКл/м2; график см. на рис. 18. 14.32. Действие инду цированного заряда эквивалентно действию точечного заряда, являю щегося зеркальным изображени ем заряда Q; F = Q2/(16jte0a2) = *= 0 ,9 мкН. 14.33. £ = — ozjre0 a^ 14.34. £ = ~a 2 = 750 5 — 2 ^ 2 = 3 ,3 2 кВ/м (см. задачу 14.32). В/м. 14.35. Q = 2 (я —/ sin a) ^ 4 jte 0mg tg a =20 нКл. 14.36. F = Qx/(23te0r) = 0,36 H. 14.37. F = Qa/(2e0) = 56,5 мкН. 14.38. a = 2e0F/Q = = 1,06 мкКл/м2. 14.39. F2= e0FfS/(2Q2) = 4,92 mH. 14.40. F/l = or/(2e0 e) = ==452 hH/ m. 14.41. 1) 56,5 mH; 2) 0,9 мкН. 14.42. p = 1!2e0eE2= 27t9 кПа. 14.43. £ // = = 1,25 мН. Т1Т2/ ( 2 я 8 0г) 14.45. F= = 3,6 мН/м. Q1Q2 ЗЯ 4ле0 8^ J 2/? 14.44. £= ^2 2 Л 8 08 dr __________ 1 Q1Q2 __ г? 6 21 4ле0 е/?2 ' :150мкН. TiT2 2 Я 8 08 14.46. In 2 = £ = = Т 1Т2/(яе0) = 36 мН. 14.47. F = TiT2 /e0 = 1,13 мН. 14.48. £ = т 2 /(2е0) = 56,5 мН. 14.49. Фл = я а г 2/(2е0) = 1,78кВ.м. 14.50. >F = i / 2 aa 2 sin р = 2,5 нКл. 14.51. Ф£= 504 abQ sing —QS/(4ne0/^2) = 4,5 В«м. 14.52. 'F = (2со/(4л) = 1,19 нКл. 14.53. = 2,7 В-м. 14.5 1 , иг __ С г d r _Q_ /1 2 J (а2+ ^2)3/2_ 2 I 4л80/^2 -7--^___^ = 10 нКл. У > + /?2 / 14.55. <£> = = 20 нКл. 15.1. 1 кВ. 15.2. Лх = — А ——4 мкДж; Аф = Л/Q = 200В . 15.3. АП = -Д^- ( ------ = —162 Дж/Кл. 15.4. А = 4,5 мкДж. Интегрируя в пределах 4яе 0 \Г 2 Ti / 1 л п I QiQ? . „ „ Q1Q0 /1 1\ от П до г2 выражение dA = F dr = ^ ~ d r , найдем потенциальная 15.6. ф = 6 энергия кВ, dmin = /-2 возрастет на АП = 4,5 мкДж. 15.5. ф = 45 В. —Г !=10 см; dmax = / - t + r 2 = 40 см. 15.7. £ = ^ - Х 1 Qi . / I ___ -1 — V = 664 кВ/м; ф = 4Те,eoVr и* 1 (/-2+ d2)2 г (r2 + d2)3/ У>2+12/ У"г2+ Р, 1 = 26,4 кВ. 15.8. П = ^ 1^ 2 = 9 0 м кI Д ж . 15.9. П = 4j18q" 4ле0а (Q1 Q 2 + QlQ3 + Q2Q3) = Q2 15.11. П = = — 63 мкДж. 15.10. П = ^2 = 48,8 мкДж. X/ 2 4ле0а ле0а V 2 = —12,7 мкДж, если заряды одного знака расположены в 2 ,__ противоположных вершинах квадрата; П = Д — У^ 2 = 12,7 мкДж, если в противоположных вершинах заряды разных знаков. 15.12. (х— Ю) 2 + */2 = 8 2. ~ ~ ‘ ‘ ‘ тR _ 15.13. A n = ^ ^ ^ p i = — 1^ = —498 мкДж. 15.14. ф 2 е0 V а * + № =505 В. 15.15. ф = — ^ 15.17. 33,6 В. 15.18. 2) Ф = 2 ^ ^ 7 р (* / Я 2 “ 4 л 80 In 2 = 62,4 В. Дф = т 15.16. Д _ In—= 125 В. ле0 rt 7 2 а2— a) = 149 B- 15.20. 1+ а -36,5 В. In 4ле0/ а Q 15.19. 1) ф - „ „ =360 В; 1 Y 2ne0R ф= 1) 75 В; 2) 135 В; 3) 100 В. 505 15.21. 1 ) 146 В; 2) 136 В; 3) 100 В; график см. на рис. 19. 15.22. 1) ф2 = = 4 ^ Ф 1 = 200В; 2) <р2= ^ 2~ —* чч=100 В. 15.23. Дф = -1А2 А2 Z d = 56,6 В . еО 15.24. m — ER = 300 кВ; сг= е0£ = 55,6мкКл/м2. 15.25. £/=-1* —— — с/ = 141 В. 15.26. 170 В. 15.27. 1,04-10®. 15.28. 432В. 15.29. 15.30. ДП = - — In 4 = 15.32. Д ш = 4 -— = 8 ,0 7 В. * — 229 эВ- 15-31- U 8о___ 1 / - ^ - = 1 , 2 кВ. /< г ^ 1 ,а = - ле 0 -а ф 1 = 4 мкДж. 6 фх = 4--£- R 2 ( 1 + -^ - ^ = 4 7 2 В; ф2 = 15.33. 1 f г>3\ = 4 --£ -Я 2 = 377В; график см. на рис. 20. 15.34. 1 ) фх= V 2 ~ р 1/Р = 238В; О 8q u 8 qA 2 Е\ | grad ф | = Е = -jr-----= 226 В/м; 2) и 3) ф2 = ф з = П 6 В. 15.35. gradф = I 80 градиент направлен к плоскости, перпендикулярно ей. 15.36. 0,6 В. 15.37. 0,12 В. 15.38. | grad ф | = ф/г = 200 В/м; градиент направлен к заряду. 15.39. | grad ф |= = т/(2л80 г) = 180 В/м; градиент направлен к нити вдоль силовой линии. 15.40. Аф = . £ ^ 1 = 3 . 1 4 R. — n„nw 4ле 0Г! х(‘ Y l) 15.42. = 659 мкДж. 1F».4t_ A lt 2 ( J ------- - ) = 8 А. = 4ле0 V Н = 4* Gi<Pi = 1 мкДж. 3 a 15.44. Г2 J 15.43. S мДж; Л2 = 1,91 A y 2 QQi = -0~ " Х 8 ле0а ‘ - s BL cos (л/2 — а) = 1,96 мкДж. 2е0 15.45. 2,62 мкДж; см. пример 5 на с. 199. 15.46, А = фт/(4е0) = 25,2 мкДж. 15.47. Л = - Q% р - (Л 1----- 3 R= Л =47мкДж. 15.48. Alt 2= - ^ / л/ 1-------- / = Л = 2 е0 V VVЯRZ+12 гЛ - Р ) 2 е0\ V у 2 / = 165мкДж. 15.49. Л1 12= 1 / 4 ^ф =250мкДж. 15.50. А± 2= тг-—"In 2 = 62,4 мкДж. ’ 2ле0 15.51. s — | е | E t2/(2m) = 1,76 см; а= | е | £72/ т = 35,2 Мм/с (т и е —масса и за ряд электрона). 15.52. 1) 2,55 кВ; 2) 4,69 МВ. 15.53. 1,58* 1016 м/с2; 5,63 Мм/с; 0,356 нс. 15.54. 15МэВ; 2,19 м/с. 15.55. 24,ЗМКл/кг. 15.56. l = 3mv2/(2eE)=5,\9MM (т —масса протона). 15.57. 1тin = /0— ^°, - == 1 см. \е \о 15.58. 2,24 Мм/с; откло- нится на 45° от первоначального направления. 15.59. ф2 = ф 1 — j (m/e) v2 =289 В (m и e — масса и заряд протона). 15.60. iliL 2 т 506 Ф= i= ± 8 о? = 2,13 мм. 15.61. vm\n = 0,24 Мм/с (е/m —удельный заряд электрона.) 15.62. ф2 : *=<Pi— g -(^/| e|) u?=23,3 В (m — масса электрона). 15.63. T = 1° Ю=828 эВ. 15.64. F = 2,4-10 - 1 7 H; a=2,75-10 13 м/с2; t>=4,07 Мм/с. 15.65. 5,9 мм. 15.66. 79,6 В. 15.67. 22,5 В. 15.68. rmin = ^ ~ ч Q — заряда-частицы); и1=иъ = 15.70 m 10,1 ле 0mv2 QiQ2^+ml/m2) . 2 m 0m1{v1-\-v1)2 ’ roi QiQz , n т _ 4ле0 г0 (1+&) ’ ’ 1 8 + « Шх mi + т ? пм . = 7,67 пм (с -за р я д ............. ц = 6 0 км/с. 15.69. гт 1П= (т — масса электрона). Зе 15.71. протона; = 72 фм. гт *ш = Q1Q2 ._ QiQ . 15.72. Т 1== rceomi^-f и2)2 * Г°2 2ле0тх (i?i + u2)2 Q1Q2 ;. 2г>ч) 'Г Q1Q2 3) Т г = 0. 7\ ле 0 г0 4 л 8 0Г0 ’ 16.1. 50 нКл-м. 16.2. 6,75 кВ/м. 16.3. Ед = 1,08 кВ/'м; q>0 = 0; £# — 22 кВ/м; ф5 = 386В. 16.4. Ед = 0 В/м; фЛ = 0 ; £ д = 18В/м; ф5 = 0,9 В. 16.5. 47,6 В/м; 1,8 В. 16.6. ф =Л sin со/, где Л=90 В, со=6,28* 103 с-1 . 16.7. <П>= 4 ^ Т /2 1) <П> = Г Qp 2 л Jо 5т~т t = 4 л 8 0Г2 <sin 14,3 нДж; 2 ) при t: : Т <sin соГ> —»- 0 и <П>=0. 16.8. F — 3p1p2!(2m0ri) = 1,35 мкН. 16.9. П = р 1/?2 /(2 ле 0 г3) = 18 нДж. 16.10. С = рЕ sin a /a = 286 нН-м/рад. 16.11. С — рЕ = 300 нН-м/рад. 16.12. П = —рЕ co sa = —500 мкДж. 16.13. А = 2рЕ = 30 мкДж. 16.14. АП = = рЕ (1 — cos a) = 0 ,5 мкДж. 16.15. 0 = ]/"2р£’/ / = 6 рад/с. 16.16. v = = 4 г V W J j = 239 Гд. 16.17. F = p ^ - = 0,2 мН. 2я dx F = , Qp -9мкН. ”2 ле 0 г3 — 1,8 МВ/м2; Г d E F = P HT =3,9 мкН. 16.20. 1) е\ 16.18. *° dE dr 16.19. 2 dE — Q dr 2 ле 0 г 3 ле 0 г2 0,9 МВ/м2; 2) г; 3) е; 4) е, а, о; 5) б, а, о; ) е, а, о; 7) е, электронное облако а; 8 ) е, а, о, е; 9) е, а. 16.21. 0,695* 10~ 19 Кл; вблизи протона лишь частично смещается к ядру Q 8 —1 атома фтора. 16.22. 6 ; 47,7 мкКл/м2. 16.23. -0,255 мкКл/м2; 6 4nR2 Q е— 1 4л(/? + ^)2 8 16.26. 555 кВ/м. 0,130 мкКл/м2. 16.24. ± 11,8 мкКл/м2. 16.25. 77,4 МВ/м. 16.27 В 1,5 раза. 16.28. 1,015. 16.29. 1) 0,1 %; 2) 25%. 16.30. Я = ^ - ^ е 0£ лок = 152 мкКл/м2. 16.31. 11,3 МВ/м. 16.32. Я = (в— 1)Х Х е 0Я 0/ е = 37,9 мкКл/м2. 16.33. 142 кНл/м2. 16.34. 1) 1,44; 2) 6,3-10~ 4 Кл-м. 16.35. 0,03. 16.36. а л < 0,183. 16.37. а = ЗЛ1 (е— 1)/[рМл (е + 2)] = 2,24х X 10~29м 3. 16.38. 1) х = ал = 2 ,7 .1 0 -4. 2) х = ЗрМла/(ЗЛ1 —рМла) = 0,23. 16.39. е = (ЗМ —2xpVom)/(3M—xpKom); st = 1,51; е 2 =1,61. 16.40. 1,13 см3. 16.41. 1,87.10 - 30 м3; е = 1 + а л = 1,00005. 16.42. 1,65-10~36 Кл-м; 1,03-10~*7 м. 16.43. 2,0-Ю - 29 м3. 16.44. 5 ,М О -31. Кл-м. 16.45. 4-10 - 33 Кл-м. 16.46. 11,7 мДж/м3. 16.47. 1,04-10~29 м3. 16.48. 2,02-10- 29 м3. 16.49. 8 = - ЗУИ + 2Р {n“~ l ) V °™.= 2,02. 16.50. 2,14. 16.51. а е=3/И (л2- 1)/[рМА (л2 + 2 )]= 3/И — р (л 2— 1 )К от = 1,05- 10~2S м3. 16.52. =(1+ 2 р )/(1 - р) = 1,52, где арМд/(3 М)\ n= yrJ = 1,23. 16.53. п1 1+2Р V 1-6 = 1 ,2 0 , где Р = /12-1 ВЦ,. nt+2 ’ МР р1‘ 16.54. 3,38-10-?8 м3. 16.55. 0,046. 16.56, 326 К. 16.57. В 1,27 раза. 507 17.1. 1,11 пФ. 17.2. 180 пФ. 17.3. 712 мкФ. 17.4. <т1 = 49,8 нКл/м2; о2=16,6 нКл/м2. 17.5. Ф = (/?1 ф1 + ^ 2 фг) / ( ^ 1 + Rz) = 380 В. 17.6. 6,2 нФ. 17.7. 1 ) 88,5 пФ; 2 ) D1— D2= 2,66 мкКл/м2; Ег = 42,8 кВ/м; Е 2~ 100 кВ/м; Дф 1 = Дф 2 = 300 В. 17.8. C = e0s f \ £i £2 } ез = 35,4 пФ. (е3— диэлектрическая проницаемость воздуха). 17.9. Д£/ = (с/е0) (d2— rfj)==22,6B. 17.10. 0,5 см. 17.11. 2,5 мкФ. 17.12. 700 В. 17.13. С = 4nee0R iR 2l{R2— Ri) = = 93,3 пФ. 17.14. 4,41 кВ. 17.15. 5. 17.16. 1) 360 мкКл, 720 мкКл, 120 В; 2) 240 мкКл, 80 17.17. C2= - ^ -~ ^ f С4 = 0,32 мкФ. 17.18. AQ = и 2 — U1 (Ui— U2) —36 мкКл. 17.19. 2,32 мм. 17.20. С = (С! + С2) (С3+ С4)/ В, 40 В. = -r Cf % WT L2 (Ci + C2 + C 3 + C4) = 0,21 мкФ. 17.21. Ui = C2U НС1+ С 2) = 240 В; U2=CiU/(Cl -\-C2)=80 В ; f/ 3 = C 4 t//(C 3 + C4) = 120 В ; t/ 4 = C 3 (//(C 3 + C4) = 200 В ; Q i = Q 2 = Ci C2 £//(Ci + C2) = 48 м к К л ; Q3 = Q4 = C3 C4 t//(C 3 -j-C4) = 60 мкКл. 17.22. С = + ~СяС%- - 20 пкФ. 17.23. 200 мкКл; 120 мкКл; 120 мкКл; 100 мкКл; ПО В; 60 В; 40 В; 220 мкКл; 210 В. 17.24. 2пФ. Указание. Дока зать, что если Сх/С2 = С3 /С4, то фЛ = фВ и, следовательно, емкость С5 при определении общей емкости схемы значения не имеет. 17.25. C4 = C2C3 /C i = 9 пкФ. 18.1. 0,05 мкДж. 18.2. 30 мкДж; 15 мН. 18.3. 0,209 Дж. 18.4. 2,5 Дж/м3. 18.5. 50 мкДж. 18.6. 1500 В; 0,2 мДж. 18.7. 0,3 мДж. 18.8. 1) 0,18 Дж, 0,09 Дж, 0,06 Дж; 2 ) 0,605 Дж, 1,21 Дж, 1,82 Дж. 18.9. 80 мкДж. 18.10. Л = ~ -И— ^ 8 ^ ^ ^8-£ ^ V = 63,5 нДж (е —диэлектрическая прони цаемость фарфора). 18.11. 1) a = e0£ (8 — 1)/е = 5,9 нКл/м 2 (8 —диэлектрическая проницаемость эбонита); 2) W = 1/2е0 (£ 2 /е) Sd = 88,5 пДж. 18.12. W = -i- е0Е2 X Х^-е Sd=118 пДж. 18.13. 0,55 мкДж. 18.14. 450 мкДж. 18.15. 30мкДж. 2тг 18.16. № = <32/(16лее0Я) = 225 мкДж. 18.17. 12 см. 18.18. Wx = = - - = R*> = 45 8Sq 9тг п2 = 7,88 нДж; Г 2 = __1 ± _ fle = 7 8 ( 8 нДж. 18.19. W1/W 2 = 5 e = \5 (е —диэлекту е0 рическая проницаемость среды, в которой находится шар; см. задачу 18.18). 19.1. 15 Кл. 19.2. 6 , 1 МА/м2. 19.3. 34,2 мм2. 19.4. 2,58 мОм. 19.5. 18,80м. 19.6. 5/6 Ом. 19.7. 3/4 Ом. 19.8. 7/12 Ом. 19.9. 250 Ом; 20%. 19.10. 2 А. 19.11. Для схемы а) 16,7%; 0,2% . Для схемы б) 0,2% ; 20%. 19.12. 1,48%. 19.13. 2,9 Ом; 4,5 Ом. 19.14. 2 А. 19.15. п = У 7 Щ г {\ R; = R. 19.16. Четыре параллельно соединенных группы по три последовательно соединенных элемента в каждой; 7,5 А. 19.17. а) 1 = 3 А, U = 0; б) / = 0, £/ = 1,2 В. 19.18. 0,5 А. 19.19. 1,6 А; 0,2 А; 1,4 А. 19.20. 0. 19.21. / 3 = 0; U3= 0. 19.22.3 А; 4 А; 1 А. 19.23. 0,8 А; 0,3 А; 0,5А. 19.24. 3,6 В. 19.25. 2 А. 19.26. 15 Вт. 19.27. 0,5 Ом; 2 Вт. 19.28. 0,4; 297 Ом. 19.29. 1г = 20 А, % = 0,17; 12= 4 А, т)2 = 0,83. 19.30. 45 мин, 10 мин. 19.31. 12 В; 20 м. 19.32. Q = ^тах^ 1 ^тах # т= 1 0 0 кДж. 19.33. 1 кДж (см. задачу 19.32). 19.34. q = = г12У 3Qr/R = 20 Кл. Р е ш е н и е . Из условия равномерности возрастания тока следует 1 = Ы, или 6q/dt = k tt где k —коэффициент пропорциональности, 508 т отсюда dq — k t d t и q = k ^ t d / = 1/ 2^T2 . Значение k найдем из выражения кол и- о чества теплоты, выделившегося в проводнике: dQ = I 2r т грируя, получим Q = k 2r Ц t 2 dt = -^- k 2r 3r. Отсюда dt = k = y r 3 Q /(T 3r). о ____ становки получим q = 1/ 2 k 2r t 2 dt. Инте- После под- ______ V 3Q t/r —2 0 Кл. 19.35. </> = (см. задачу 19.34). 19.36. ^ = -^- х/ 2 V'SQftRx) = 10 А | ^ = 1 А/с (см- задачу 19.34). 20.1. 0,05 мм/с. 20.2. 3,7 мкм/с. 20.3. 0,1 мм/с. 20.4. 0,05 В/м. 20.5. 1,27-1019 с - 1. 20.6. 0,1 В/м. 20.7. 568 пВ/м. 20.8. 71 мкВ. 20.9. 1,14 мкКл. 20.10. 71 нм. 20.11. 1,4-Ю14. 20.12. 39 мэВ. 20.13. 10 кВт/м3. 20.14. 90°С. 20.15. 4,4-10-5 В/К. 20.16. 65,4. 20.17. 3. 20.18. 0,83 г. 20.19. 54 мкм. 20.20. 6 , 6 мг. 20.21. Z =Q /(vF ) = 2 (F —постоянная Фарадея). 20.22. v = = It/(FZ) = 3,12 ммоль; N = NAv = 1,87-1021. 20.23 . 9,3-Ю17. 20.24. 13,6 В. 20.25. 2,3-106 м/с. 20.26. 210 кК. 20.27. 0,8 мс. 20.28. 0,5 нСм. 20.29. 1,52х X 101* м-3. 20.30. 5-107 1/(см3 .с). 20.31. 1 , 6 - 1 0 -® А. 20.32. 2-10® с м -з-с "1. 21.1. 0,1 Тл. 21.2. 7,96 кА/м. 21.3. 39,8 кА/м. 21.4. 126 мкТл. 21.5. 51. 21.6. 15,4 А/м. 21.7. B = 2B/-2 /(p,0 tf 2 )= 2 1 ,5 А. 21.8. / = 2B/?/(p,0 sin3 р)=305 А . 21.9. В= — ------ ■_ а ---- ^ = 606 мкТл. 21 \ V d 2+ (a + t)2 V a 2+ d 2J 21.10. 8 кА/м. 21.11. 1 м. 21.12. Д/ = 68,4 см; границы участка отстоят от концов катушки на 15,8 см. 21.13. 349 мкТл; 251 мкТл. 21.14.200 мкТл. 21.15. 132 А/м. Л/ 21.16. 200 А/м. 21.17. — -§-f Oi + '"a— d2) = 21,2 мкТл. ________ f 1 V Гг г2 г^гг 21.18. В = |^ 1 /,'/21+ /! + / 1/2 = 87,2мкТл. 21.19. В = ^ V l\ + it = 400 мкТл. 21.20. 50 мкТл (см. задачу 21.20). 21.21. 40 мкТл. 21.22. В = -Я Т^~4 HsZ — ол = 357 мкТл. 21.23. В1 = ^ ( у г 2 + 1) = 482 мкТл; B 2 Г = ^ ( > A2 - l ) = =82,8 мкТл. 21.24. B i ~ Y 3 |х0//(2ла)=346 мкТл; В2 =р, 0 //(2ла Y 3)=116мкТл. 21.25. В = 9и0 //(2ла) = 240 мкТл. 21.26. ^ >А2' = 282 мкТл. 21.27. В = _____ net — 2р0/ V а 2+ Ь2!(паЬ) = 200 мкТл. 21.28. В = уг3 (г0 //(яа) = 173 мкТл. 21.29. 275 А/м; 250 А/м. 21.30. 8 Y 2 /л 2 = 1,15. 21.31. a) B = pi0 //(4tf) = 157 мкТл; б) В = ^ - ( я + 2 ) = 2 5 7 мкТл; = М уъ — ----ё ? (Я _1) 1 X 3 = 214 М КТЛ ; Д) 2 -У з^ -182 мкТл. 2л в) В = | ^ В = М 21.32. (Зя + 2) =286 мкТл; ( я + 1) = 4 1 4 мкТл; е) г) В = В = ^ a) B = 3ix0I/(8R) — 23Q мкТл; б) В = р 0//(8Д)=78,5 мкТл; в) В=[г0//(ЗЯ)=209 мкТл; г) В = | ^ ( - | . + ^ ) = 306 мкТл; , ) Х „кТл; .) = В --$ -(4 + » 2 )_ = 298 мкТл. 21.33. 1,1 мА; 10 МА/м. 21.34. 16 мТ. 21.35. 1 Мм/с. 509 22.1. 1 кН/м. 22.2. л / 6 рад. 22.3. F = p.o/ 2/(4n) = 0,l Н. 22.4. F = = /В/? f/'З" = 0,156 Н. 22.5. 0,4 Н. 22.6. 0Л25 Н/м. 22.7. 200 Н. 22.8. 7 А. 22.9. F1= Fa= p 0 ^2 /(2 na) = 2 0 мН; F3 = 1^3 р 0 / 2 /(2яа) = 34,6 мН. 22.10. F = = \i0l 2r ! d = 12,6 мН. 22.11. F = 2p 0 / 2 a/(m f)= 8 мН. 22.12. 78,6 мА-м2 22.13. 10 А-м2. 22.14. 25,5 А. 22.15. / = р / 4 Н 2рт /л = 37 А; # = р / р т /(2лН) = = 9,27 см. 22.16. рт— 2псРВ/\л0= 50 мА-м2. 22.17. 9,4* 10- 2 4 А-м2; 9,4* 10~ 25 Н-м. 22.18. - ^ - = - i ± = 8 7 , 9 ГКл/кг. 22.19. 1) pm= Q/2co/24 = 4 нА-м2; 2) pm/L = = Q /2m =10 мкКл/кг. 22.20. 1) pm = nqnR2= 3,Н нА-м2; 2) 500 нКл/кг. 22.21. рт — 1/ 2Щ П ^ = 1,57 нА-м2; 500 нКл/кг. 22.22. 1)62,8 нА-м2 ;2) 2 мкКл/кг. 22.23. 1) 1 нА-м2; 2) 1,5 нКл/кг. 22.24. 1) pm = 1/dqR2<£— 4 нА-м2; 2) 10 нКл/кг. 22.25. /И = р 0 я /Я / ? 2 cos a = 39,5 мкН/м. 22.26. М = 1UtlB tM2 = = 6,28 мкН-м (Бг — горизонтальная составляющая индукции магнитного поля Земли). 22.27. 1) 12 мкН/м; 2) 120 мкА-м2. 22.28. рт = 12 А-м2; М = 0,1 Н-м. 22.28. С — NISB cos a /a = 332 пН-м/рад. 22.30. 7 = 2я ]А т/( 6 /Б) = 1,05 с. 22.31. Б — 2лт/{1Т2) =6,65 мТл. 22.32. М = \1 0р?п/(2лсР) = 160 пН-м. 22.33. 3p 0 /p md/(2tf3) = 5,89 мН. 22.34. F = p 0 pm//(2na2) = 2 мкН. 22.35. = _ f m a x _ Q 5 Хл/м. 22.36. / = 2гВг tg a /p 0= 1,01 А (Вг — горизонтальная со- Pin ставляющая индукции магнитного поля Земли). 22.37. 8 . 22.38. 2 2 .3 9 . рш = 2лг3 Бг tg a / jli0 — 1,32 А-м2. 22.40. 26,5°. 22.41. 33,5°, 55 мА, 23.1. 64 фН. 23.2. 1,38 м. 23.3. 0,61 Мм/с. 23.4. 2,4-10“ 22 кг-м/с. 23.5. L = Б | е | Я 2 = 3,2-10~ 25 кг-м 2 /с. 23.6. Т = Б 2 г2 / 2/(2т) = 0,563 фДж = = 3,52 кэВ (т — масса электрона). 23.7. R 1/R 2= У Т г!Т2 = V 2 . 23.8. ДГ/Г = = i — (R2/R 1)* = 0,75. 23.9. 12 мм. 23.10. Q {m = elm = v/(RB) = 96,3 МКл/кг; протон и антипротон. 23.11. 175 ГКл/кг; 26,5 Мм/с. 23.12. 2T/R — 0,32 пН. 23.13. F = B2e2rjm = 1,4 пН. 23.14. 8,05 фН; 1,13 см. 23.15. / = г = = У2т Т/(В | е |) = 14,5 см (г — радиус окружности, по дуге которой электрон двигался в поле). 23.16. 2,84 нс. 23.17. п — В \ е \[(2пт) = 562 МГц (масса электрона). 23.18. I = Ве2/(2ят) = 448 пА. 23.19. рт = Be2R 2l(2m) = 7,04 пА-м2 ( т —масса электрона). 23.20. т 2 — (Rz/Ri) т1= 27 а. е. м. 23.21. 4. 23.22. и = = ^ ^61 + ^ 2 = 1)04 Гм/с ( т — масса электрона). 23.23. 3,97 нс; 25 Мм/с. 23.24. Г = (4л2# 2-]-Я2) В2е2!(8п2т) = 580 фДж (т— масса протона). 23.25. 1,96 мм; 7,1 мм; 14,2 мм. 23.26. е — 2 | е | UN = 4,8 МэВ; Amjm0 = = Атс2/(т0с2) = е/Е0= 0,5 %; и = У 2е/т0= 30 Мм/с. Указание. Учесть, что за один оборот протон дважды пройдет между дуантами циклотрона. 23.27. о = Q BR/m= 41 Мм/с; Г = QBvR/2 = 34,9 МэВ (т—масса а-частицы; Q —ее заряд). 23.28. v = | е \ В/(2пт) = 7,7 МГц. 23.29. Б = | = 1,3 Тл. 23.30. /V = Г/(2 | е | U) = 167; см. задачу 23.26. 23.31. 1) 13,7 см; 2) 22,8 см. 23.32. 0,28 МэВ. 23.33. 300 МэВ. 23.34. 4,2 Тл. 23.35. х = -Щ- ^ ° ~ / 7 = 7 ,0 2 нс. с2 I е I В 23.36. Е/В = 1 Мм/с. 23.37. v = E /B = 1,6 Мм/с; Ди = ± ^ у= = ±6,4 км/с. 23.38. Б = Б |/~2Q {//m = 19,6 кВ/м. 23.39. Дг = Б # /Б = 1 0 мкс. 23.40. 1) a = | е | Ejm = 2 0 , 1 Гм/с2; 2 ) a = У (eE/m)2Jr (Bev/m)2= 37,5 Гм/с2* 24.1. а) ф Bt d/ = 0; б) (f) Bt dl = p0N Ijl = 25,2 мТл-м. 24.2. ^ Bt dl = з 2 /= 1 510 / / = 6,28 мкТл»м. 24.3. ^ Ht d/ = я г2/ sin a = 78,6 А. 24.4. Бтах = - s r f z f b r 20 "Тл; в - = д (^ = 25,2 мкВб. 24.6. 50 мкВб. = 80,5 мВб-виток. 24.9. Ф = ^ = Й ( т ) 2==0,6170//°' и л 2 - ф 24.7. 5 мкВб. 24.8. Т*1= р „ /(JV2//) S = In i ± £ _ = 1,62 мкВб. 24.10. 3,81.24.11. ^ 5 = а Ф п = + ,)= 10 “т'- 24-5- ^ ~ - ( ° — <0 1п-^-=139мкВб. 24.13. 1,29Тл; 1,03-103. 24.14. 1 ) 1 Тл; 2,5-103, 2 ) 1 ,4 Тл; 700. 24.15. 0,53 мВб. 24.16. 840 А. 24.17. 15. 24.18. В 2 раза. 24.19. 7,1 кА. 24.20. В 2,4 раза. 24.21. 5 А. 24.22. 2,25 мм. 24.23. 5,8 кА. 24.24. 1,8 мм. 25.1. 80 мкДж. 25.2. 3 мДж. 25.3. 6,84 мДж. 25.4. A = nIBR* (1 — я/4) = = 67,5 мДж. 25.5(2). А = 1ВаЦ1 — cos 0 ) = О, 6 Дж. 25.6. <<£,•> = Дф/Д* = 20 В. 25.7. 0,3 Тл. 25.8. Р = В2 /2 о/Я = 1 Н. 25.9. 10 Вт. 25.10. 1) 0,3 В; 2) 3 Н; 3) 10 А; 4) 3 Вт; 5) 2 Вт; 6 ) 5 Вт. 25.11. 7/ = л /2Вп = 201 мВ. 25.12. <<£,•> = = 4«BS = 0,16 В. 25.13. £ m„ = 2nnN B S= l32 В. 25.14. Ргаах = = (2nnBNS)i/(R1+ R 2) = 79B7. 25.15. 600 мин-*. 25.16. <§{ = wBNS cos а = 1 В. 25.17. 7Тfi Q = -—75 — cos а = R 10 мКл. 25.18. 3,14 мкКл. 25.19. 0,3 мВб. 25.20. 1,5 Тл. 25.21. Q —ДФ/#; 1) Q = BS (1 — cos oc^/R = 6,7 мКл; 2) Q= — BS (cos ах — cos a 2)/R = 18 мКл; 3) Q = BS (cos a 2 — cos a s)/R = 25 мКл. 25.22. Q =m £/16pD = 41,4 мКл (D — плотность меди). 25.23. Q = \i0Ir2l(2aR) = = 62,8 мкКл. 25.24. / = — ;--- 2nR® , ■--- - = 1 кА. 25.25. 0,15 B. 25.26. Po (a a — аД l n ( a 2/a i) 25.27. 4 B. 25.28. Q = L M / ( R 1-\-R2) = 1,33 мКл. 25.29. 6,28 Гн. 25.30. ков на 1 см. 25.31. 103. 25.32. 90. 1 8 мВ. вит 25.33. L = - ^ ~ In -d ~ R = 2 ,4 мГн. я R 25.34. 80 мкВб. 25.35. 0,1 Вб. 25.36. 3 мкВб; 3 мВб. 25.37. 3 мГн. 25.38. (£i> = NBSlt = 3 кВ. 25.39. Г<>Д.1 = р 9 /р 1 = 1/5,8. Уменьшится в 5,8 раза. 25.40. 20 мГн. 25.41. 118 мВ. 25.42. 6,75 А. 25.43. 0,23 с. 25.44. 0,69 с. 25.45. t ^ L ,n(/o/A /) = о,23 с. 25.46. 1) 0,4 А; 2) 7,6 А; 3) 0,4 А. R+ r 25.47. 1) 1,2-106 об; 2) 1,51 Мм; 3) 5,03 мс. 25.48. 1) 12 В/м; 2) 1,92 аН. 25.49. 40 Тл/с. 28.1. 10 Дж. 26.2. 1,4А. 26.3. 50 мДж. 26.4. 0,15 Дж. 26.5. W = = nDSIB/{2d) = 324: мДж. 26.6. 2-103. 26.7. 25 Дж/м3. 26.8. w2'w1 = = Б 2 Я 2 /(В 1 Я) = 6,4. Увеличилась в 6,4 раза. 26.9. 800 Дж/м3. 26.10. Увели чилась в 10,5 раза. 26.11. В 1,6-103 раза. 26.12. 1,1 кДж/м3. 26.13. 161 Дж/м3. 26.14. / = (1 /п )/а ё !7 ^ = 1 ,2 6 А. 26.15. T = nD}r ne0L/d = 33,2 нс. 26.16. Г = = 2яМ p 0 SC// = 5,57 мкс. 26.17. А,= (2,38-103 ± 23,8) м. 26.18. / тах= 1 А . 26.19. UmdlX= I max К L/C = 317 В. 26.20. 628 нс. 26.21. 5,05 кГц. 26.22. 51 пФ. 26.23. 126 м. 26.24. 1,4. 26.25. 26. 27.1. 556 кА/м. 27.2. 12,1 А/м; 1,66 мА-м2 /кг; 91 мкА-м2 /моль. 27.3. —7,3.10-8. 2 7 . 4 . ю -в ; 10-“ м3 /моль. 27.5. 7,8-10~® м3 /кг. 2,1 • 10-*°м 3 моль. 27.6. 4 - ях - ^ - Я 3 = 250 мкА-м2. 27.7. —9,8 А/м; 1,26 Тл. 27.8. 4,4.10° с " 1. 3 р0 27.9. 1,31-Ю -29 А-м2. 27.10. 3,34рв . 27.11. 2,24рв . 27.12. 15,9 мА/м; 695 А/м. 27.13. В < 5 4 Тл. 27.14. 0,387. 27.15. 0,78 К- 27.16. 1) В 1 , 0 0 2 2 раза; 2) В 1,91 раза. 27.17. 0,75 Тл. 27.18. 991 кА/м. 27.19. 101. 27.20. 2,36рв . 27.21. 3,13 МА/м. 511 28.1. 3,5 мм. 28.3. 40 см. 28.4. 60 см. 28.6. 6 м. 28.7. —20 см; 3 см; 28.9. 1,1 см. 28.10. 15,4 мм. 28.11. 16,3 см.28.14. 1,53. 28.15. 1,63. 28.16. 35°30\ 28.17. 53°38'.28.18. 1,41. 28.19. Г 12\ 28.24. 15 см. 28.25. 48 см. 28.26. 2,08 мм/с. 28.27. 10 см. 28.28. 7,5 см. 28.30. 12,5 см. 28.31. —1,32 дптр. 28.32. 3,84 см. 28.33. 26 см. 28.34. —0,75 дптр. 28.35. 1) 39 см; 2) —80 см. 28.36. 1,4. 28.37. 1,6. 28.39. 8,1 см. 28.40. 24 дптр. 28.41. —8 см. 28.42. —4 дптр. 28.43. 20 см. 28.44. 2,5. 28.45. 7. 28.46. 80. 28.47. 12. 28.48. 1) К объективу на 1 мм; 2) от объектива на 9 мм. 28.49. 30,3 см. 28.50. 100. 28.51. 250, 10,5 мм. 28.52. 2 см. 29.1. 0,08 кд. 29.2. 1 Вт/кд; 12,1 лм/Вт. 29.3. со= 0,633 ср; 2v = 52°. 29.4. 51 мкА. 29.5. 180 лк. 29.6. 12 с. 29.7. 3,2 лк; 2,4 лк. 29.8. 18,3 м. 29.9. 60°. 29.10. 1) 278 лк; 2) 60 лк; 3) 251 лм; 4) 125 лк. 29.11. 0,707 м. Указание. По правилам дифференциального исчисления найти максимум функ ции Е (h) = //г/(А2-ф/'2)3/2- 29.12. 2 ккд/м2. 29.13. 9,4 кд; 157 кд. 29.14. 2 клм; 8 клк; 2,5 ккд/м2. 29.15. В = ^ ^ ^ -щ = = 1,5 Гкд/м2. 29.16. 400 кд/м2. 29.17. По диагонали куба; / тах В а2= 350 кд. 29.18. 1) 63 кд; 2) 30 кд. 29.19. Е — J0h2/{h2-{-r2)2~ 1 лк. 29.20. 3 м. Указание. По правилам дифферен циального исчисления найти максимум функции Е (h) — IQh2/{h2~\- г2)2. 29.21. 97 лк; 73 лк; 23 кд/м2. 29.22. 1,6 м. 29.23. 0,98. 30.1. 2.103; З-Ю3. 30.2. 4 мм. 30.3. 1,33 мм. 30.4. Увеличится; 1) на 0,50 мм; 2) на 0,548 мм. 30.5. ф = Y ukj2d ( п ~ 1) = 30 мрад=1,72°. Указание. При решении задачи угол поворота пластины считать малым. 30.6. 1,73 см. 30.7. 0,6я. 30.8. 1) 0,6 и 0,45 мкм; 2) 0,72; 0,51 и 0,4 мкм. 30.9. 2 м. 30.10. 500 мм. 30.11. l = db/X — 2,5 м. 30.12. 3,6 мм. 30.13. Темнота; геомет рическая разность хода лучей Аге0м = ^ = ^>б мкм. Оптическая разность хода А = Дге0М+ Я/2. 30.14. Д / ~ 2 (Ad/X) b= 1 м; отодвинуть от источника на 1 м. 30.15. 1) 4,8 мкм; 2) 4,8 мкм; 3) 5,1 мкм; 4) 5,1 мкм; в первых двух случаях усиление, в последних двух — ослабление. 30.16. 0,1 мкм. 30.17. 0,25 мкм; 0,125 мкм. 30.18. 541 нм. 30.19. b = Х/2/20) = 3,15 мм. 30.20. 10,3". 30.21. 10 мкм. 30.22. 3,1 мм; 5,2 мм. 30.23. /V = 2п6/Я == 8,55 см-1 . 30.24. 0,39 мм. 30.25. 0,15 мкм. 30.26. 1,25 дптр. 30.27. 490 нм. 30.28. 880 мм. 30.29. 1,4. 30.30. n = ( k + \ ) k = 1,33. 30.31. rk = V kR1R 2X/(R2— R 1) = 1,73 мм. 30.32. rk = = V (2ft+ 1 ) R (Я/4) = 0,704 мм. 30.33. d = mX/(ti— 1) = 72 мкм. 30.34. 1,00014. 30.35. я 2= «|. + я й / / = 1,000607. 30.36. 27,3 мкм. 30.37. n = l + U/(2/) = 1,000282. 30.38. An = AmX/(2l) = 0,000124. 31.2. 1,58 мм. 31.3. 3,69 мм. 31.4. 8 зон; темное пятно. 31.5. 1) 50 м; 2) 25 м. 31.6. 1) b — r2/(nX), n = 1, 3, 5, . . . ; 2) 6 = г2/(пХ), п = 2, 4, 6, . . . 31.7. 6 j = l , 4 м; b2 = 0 J м ; 63 = 0,47 м. 31.8. b = ar2/(akX—г2) = 2 м. 31.9. Уменьшится в 4 раза. 31.10. 2°45'. 31.11. 143. 31.12. 1) Первый дифрак ционный минимум; 2) дифракционный максимум, соответствующий k — 2. 31.13. 103. 31.14. 580 нм. 31.15. 21°17'. 31.16. 8 . 31.17. 8 ; 74°. 31.18. 0,6 мкм. 31.19. 66 см. 31.20. ф = arosin (sin а + mX/d) = 38,3°. 31.21. 3. 31.22. R = X/AX = = 290; N = R/k. 31.23. l = Xd/(k6X)= 10 мм. 31.24. Я = £>,,/ = 2,91-10*. 31.25. П ф= (tg ф )Д =9,62-10в рад/м = 3,31.. ,7/нм. 31.26. 1 мм/нм. 31.27. Ю3 штрихов/мм. 31.28. f = DtX cos3 ф/sin ф = 21,1 см. 31.29. 0,28 нм. 31.30. 31 пм. 31.31. 506 пм. 31.32. 1,6". 31.33. 6 см. 32.1. 36°. 32.2. 37°. 32.3. 61°12'. 32.4. 194 Мм/с. 32.5. 55°45'. 32.6. 32°. 32.7. 1,52. 32.8. 106°. 32.9. 156°. 32.10. 100°. 32.11. 45°. 32.12. В 2 раза. 32.13. В 3,3 раза. 32.14. 23,6 ккд/м2. 32.15. 0,33. 32.16. В 3 раза. 32.17. В 1,23 раза. 32.18. 0,348. 32.19. 3,4 мм. 32.20. 169 град-см3/(дм-г). 32.21. 0,21 г/см3. 32.22. 0,4 г/см3. 512 33.1. c Av у = 0,141 с. 33.2. ®==' 2 g —= 3 ,2 мкрад/с. 33.3. Воспринимаемая частота меньше v0 на 10 кГц. 33.4. 1,1 Мм/с. 33.5. 33.6. 1) 2 ,3 .1 0 -6; 2) 4 ,3 .10"4. 33.7. 1) АХ V Х= 1 000067 Гц; 9Ми 3) 1000013 Гц; 4) 999987 Гц. 33.8. А Х = Т -------Х = Т26,8 = Я0 1+Р =Яо 1-8 С+ У : */г (Av/v0) с = 1 км/с. =750 нм; 33.11. у = Ч С= 5 . 104 КМ/С. -XI =1,8-10-5. 2) 999 933 Гц; пм. Х = Х0 [ \ + 2 ^ ] ==600,03 нм. ^2_^2 33.13. 3 RT 33.9. 33.10. 33.12. Х= у= и = 0,6с. у= —\---- с = 0,549с. 33.14. Частота изменяется от Vi=4,57 ГГц до х| +х? v2 = 2,46 ГГц. 33.15. 1,88 м/с. 33.16. у=0,591 с. 33.17. t/mi„ = ^ f - / ; п И \ Y ft2—1 — 1^= 1 7 5 кВ. 33.18. 29,5 МэВ. 33.19. 30°. 33.20. 1,41.33.21. 1,45 < п < 1,72. 34.1. 648 К. 34.2. 1 кК. 34.3. 5,65 кДж. 34.4. 56,7 ГВт. 34.5. 4%. 34.6. В 1,19 раза. 34.7. 64,7 МВт/м2; 5,8 тсК. 34.8. 396 К. 34.9. Яе = атаТ* = ■5,88 кВт/м2; W = R eS T = 1,76 кДж. 34.10. 0,953. 34.11. ■»!= 1— aT*S/p = 0,71. 34.12. aT=R/(oT*) = 0,26. 34.13. Т = ' =866 К. 34.14. 10,6 мкм. р - Y/4=* 4naTR 2a ) 34.15. 547 нм. 34.16. 3,8 кК; 7,6 кК. 34.17. 4,98 кК. 34.18. Увеличились в 81 и в 243 раза. 34.19. 3,62 кК; 7,24 кК- 34.20. 95,8 мВт. 34.21. 1,45 мкм. 34.22. 1) 30 МВт/(м2-мм); 2) 600 Вт/м2. 35.1. 2,49 эВ. 35.2. Не будет, так как энергия фотона (4,1 эВ) меньше работы выхода (4,7 эВ). 35.3. 0,8. 35.4. 2,3 эВ. 35.5. 4 эВ. 35.6. 760 км/с. 35.7. 4,36 нм. 35.8. Электрон релятивистский; (3= 0,83; у = рс = 249 Мм/с. 35.9. 291 Мм/с. 35.10. 1,59 МэВ. 36.1. 4,6 мкПа. 36.2. 1,5 кВт/м2. 36.3. 0,1 нН. 36.4. 10~7 кг-м/с. 36.5. 11,2 мН. 36.6. 3,27 эВ; 5,8-10~36 кг; 1,74-10~27 кг-м/с. 36.7. 1,24 пм; 1,8-10~30 кг; 5,3-10~22 кг-м/с; /Пф « 2те. 36.8. 73 пм. 36.9. 1) 2,42 пм; 2) 1,32 фм. 36.10. 9 -1015. 36.11. 3,77* Ю18. 36.12. 1012 м~3. 37.1. 57 пм. 37.2. 1) 4,84 пм; 2) 2,64 фм. 37.3. 120° или 240°. 37.4. 0,224 МэВ; 0,176 МэВ. 37.5. 3,6* 10-22 кг»м/с. Р е ш е н и е . Кинетиче ская энергия электрона отдачи Т — 2/sE0\ электрон релятивистский. Из соот ношения Е2 — Е \ ^ ( р с ) 2 находим р = 4Е0/(Зс). 37.6. 0,5. 37.7. 60°40' или 299°20'. 37.8. 0,37 МэВ. 37.9. 70 %. 37.10. 0,511 МэВ; 2,7.10“ 22 кг-м/с. 37.11. 1) щ = = 0,67; w2= 33; 2) w1 = w2 — 0,5; 3) ^ = 0,33; ш2= 0,67. 38.1. rn = 4 m 0h2n2!(me2)\ г2 = 212 пм; г3= 477 пм. 38.2. у = е2/(4яе0Йn) == = 1,09 Мм/с. 38.3. / = у/(2яг) = т е 4/(32л3г§&3/г3)=8,19- 1014с~*. 38.4. —27,2 эВ; 13,6 эВ; —13,6 эВ. 38.5. 434 нм. 38.6. 1,87 мкм; 820 нм. 38.7. 12,1 эВ. 38.8. 10,2 эВ; 13,6 эВ. 38.9. Серия Лаймана: 121,6 нм; 102,6 нм; серия Баль- 17 к> 1268 513 мера: 656,3 нм. 38.10. 1 Мм/с. 38.11. 30,3 нм; 13,5 нм. 38.12. Гелий: 8,64 аДж = = 54 эВ; 54 В; литий: 19,5 а Д ж = 122 эВ; 122 В. 38.13. 8,2.1014С- Х; 2,4. 1014 с ' 1, 4,6.10й Гц. 38.14. 212 пм. 38.15. 10,2 В. 39.1. 21 Мм/с. 39.2. 41 пм. 39.3. 304 пм. 39.4. Ниобий (2 = 41)., 39.5. 5,5 кВ. 39.6. 5,9 кэВ. 39.7. 0,14 нм. 39.8. 1,24 пм. 39.9. 20,5 пм; 60,5 кВ. 39.10. 8,00 кВ. 40.1. 19,9* 10-27 кг; 1,66* 10~27 кг. 40.2. Массовое число — число нуклонов в ядре, поэтому оно всегда целое. Относительная масса ядра определяется отношением массы ядра к x/i 2 массы изотопа углерода 12С. Это число це лым быть не может. 40.3. 35,439. 40.4. 0,186; 0,814. 40.5. 2,16* 10-4 . 40.6. 1,01436 а.е.м. 40.7. 1) 3, 2, 1; 2) 10, 5, 5; 3) 23, И, 12; 4) 54, 26, 28; 5) 104, 47, 57; 6) 238, 92, 146. 40.8. — протон; iH —дейтон; 3Н — тритон. 40.9. Два; ?Н и 2Не. 40.10. 3Н ; ^Не. 40.11. ?Н; ?Li; J5N. 40.12. 1) 5,6 фм; 2) 8,4 фм; 3) 11,2 фм; 4) 14 фм; 5) 16,8 фм. 40.13. я = 3/(4 л г о) = = 8,7*1047 нуклонов/м3. 40.14. 3*10-17. 40.15. <р> = З т 1/(4я/'о) ~ ^ 1,4-1017 кг/м3. Указание. Массу ядра приближенно можно выразить как произведение массового числа А (числа нуклонов в ядре) на массу гпх одного нуклона, которую можно принять равной атомной единице массы (1 а. е. м. = = 1,66-10—27 кг.) 40.16. р = 3^/(8яго) =6,96* 1024 Кл/м3 (е—элементарный за ряд). 40.17. / 4 = 5,05-10-25- Н; Е2= 735 Н; F1/F2= 6,8 7 Л 0 -28. 40.18. Спин нуклона в единицах % равен 1/2. 40.19. Спином ядра называется собственный момент импульса ядра. Он складывается из спинов нуклонов и их орбиталь ных моментов импульса. Орбитальные моменты импульса нуклонов всегда це лочисленны. 40.20. Спин ядра может иметь значения 0, 4/2, 1, 3/ 2 и т. д. 40.21. 1) 0, 1; 2) V* 3/2; 3) */2, 3/ 2; 4) 0, 1, 2. 40.22. 1) 0, 2) 4/2, 3/2 и т. д.; 3) V2 , 3/г и т. д.; 4) 0, 1, 2. 40.23. Если принять протон-электронную мо дель ядра, то в состав ядра азота V*N должны входить 14 протонов (они оп ределяют массу ядра) и 7 электронов (они компенсируют заряд протонов до 7; 14 — 7 = 7). Всего в состав ядра должна входить 21 частица. Суммарный спин нечетного числа частиц всегда будет полуцелочисленным (в единицах ^), тогда как ядро азота имеет целочисленный спин, равный %. Это и доказывает несо стоятельность протон-электронной модели ядра. 40.24. 4/21ь. 40.25. = = efi/(2mp) (тр — масса протона). 40.26. [X/v/pB = тв1тр = 1/1836. 40.27. цдг = = Vzmax^gliNl (g —ядерный фактор Ланде; fxy— ядерный магнетон, / —спи новое квантовое число ядра). 40.28. Сверхтонкое расщепление обусловлено взаимодействием магнитных моментов ядра и электронной оболочки атома. Тонкое расщепление обусловлено взаимодействием полного спинового момрнта импульса в атоме с полным орбитальным моментом импульса. 40.41. Л = 222; Z = 86; 862Rn. 40.42. А = 17; Z = 8; | 70 . 40.43. ^Cu. 40.44. Образовалось ядро лития з1л. 40.45, ,4N. 40.46. aLi. 40.47. flAl. 40.48. SiNi. 40.49. jjf Pu —-»• —*■ »14U —►so°Th —»-f ieRa —э-II2Rn —►ll8Po —►м4РЬ. 40.50. м Р о ; 296 км/с. 41.1. 10-«. 41.2. 700 с - 1; 13,6 пс-*. 41.3. 15 мин. 41.4. 10~4. 41.5. 0,71; 0,36. 41.6. В 9 раз. 41.7. 10,5 ч. 41.8. 4 дня. 41.9. 138 сут. 41.10. 1,44 года. 41.11. 63,3%. 41.12. 106 атомов. 41.13. 8. 41.14. 6 ч. 41.15. На 24%. 41.16. 93 года; 186 лет. 41.17. 0,5 сут. 41.18. 10,5 ТБк. 41.19. 40,7 ТБк/г. 41.20. 145. 41.21. т2— т1М 2Т 2/(М1Т 1) = 425 кг (М± и Tf — молярная масса и период полураспада 90Sr; М 2 и Т2—то же, для ?38U). 41.22. 6,33 мкг. 41.23. 2 ,7 .105 лет. 41.24. W = In 2 = 70,6 кДж (М и Т1/2 —молярная М Т1/2 масса и период полураспада ?2Na). 41.25. Л = :4яг2//е = 94,4 ГБк. 41.26. / = п Ае 4яг2 51 4 = 0 ,6 Вт/м2. 42.1. 6,6. 42.2. 3,85 см. 42.3. На глубину 115 см. 42.4. 2 МэВ или 6,2 МэВ; 1,33 см. 42.5. 3,6 МэВ; 1,57 см. 42.6. 28,6 см. 42.7. В 59 раз. 42.8. w = рХ/(п0е) = 7,73- 10“ 11?(р — плотность воздух а ?п0— концентрация моле кул воздуха при нормальных условиях; в—элементарный электрический заряд). 42.9. W = Xme/e = 8J7 мкДж (е — элементарный электрический заряд). пе 42.10. X = --туг: ^ = 21,4 нКл/кг (р — плотность воздуха, е—элементарный элек'pVAt трнческий заряд) 42.11. 62 мкКл/кг. 42.12. 13 см. 42.13. 6 м. 42.14. 4,4 мин. 43.1. 1,00728 а.е. м.; 2,01355 а.е. м.; 11,9967 а. е. м. 43.2. 4,00260 а. е. м. 43.3. 7,01546 а. е. м.; 7,01491 а. е. м.; 7,01436 а. е. м. 43.4. 0,00240 а.е. м.; 2,23 МэВ. 43.5. 8,49 МэВ. 43.6. 7,68 МэВ/нуклон. 43.7. 3,01604 а. е. м. 43.8. 5,01258 а.е. м. (атом лития |Li). 43.9. 2,2 МэВ. 43.10. 39,2 МэВ; 37,6 МэВ. 43.11. 682 ГДж. 43.12. 10,6 МэВ. 43.13. 7,55 МэВ. 43.14. 8,0 МэВ. 43.15. 23,8 МэВ. 43.16. 7,26 МэВ. 44.1. А — 1; Z — 0; частица —нейтрон (In). 44.2. А = 0; Z — 0; частица — фотон. 44.3. 1) 4,36 МэВ, освобождается; 2) 22,4 МэВ, освобождается; 3) 2,80 МэВ, поглощается; 4) 1,64 МэВ, поглощается; 5) 1,05 МэВ, поглоща ется. 44.4. 1) 19,8 МэВ, освобождается; 2) 23,8 МэВ, освобождается; 3) 6,26 МэВ, освобождается; 4) 8,12 МэВ, освобождается. 44.5. 2,23 МэВ. 44.6. 6,82 МэВ. 44.7. 0,63 МэВ. 44.8. 6,7 МэВ. 44.9. 5,26 МэВ; 0,44 МэВ. 44.10. 0,82 МэВ; 2,44 МэВ; | рНе | = | рп | = 3,6• 10“ 20 кг*м/с. 44.11. 6,01514 а. е. м. 44.12. 3,01604 а. е. м. 44.13. 3,01604. 44.14. 6,22*10~21< Дж; 2,70 км/с. mi—т2= 0,716. 44.16. T8Sr. 44.17. 0,00091. lit ГП\ — =0,847; -^-= 44.15. Vi mi -f- m2 T1 22 mi-j- m2 44.18. 82 ГДж. 44.19. 3 ,Ы 0 10. 44.20. 53 г. 44.21. 15 МВт. 44.22. 5,41 МэВ. 44.23. 0,104 МэВ; 5,40 МэВ. 44.24. 0,156 МэВ. 44.25. 1 МэВ. 44.26. 2,6 МэВ. 44.27. 0,2 МэВ. 44.28. 0,78 МэВ. 44.29. 0,99 МэВ. 44.30. 0,75 МэВ, 1,65 пм. 44.31. 67,5 МэВ. 45.1. 727 пм; 0,396 пм. 45.2. 2,7 пм. 45.3. 150 В. 45.4. 39 пм. 45.5. 907 фм; 28,6 фм. 45.6. 0,33 нм. 45.7. 0,67 нм. 45.8. 212 Мм/с. 45.9. 0,06 нм. 45.10. 0,1 нм. 45.11. 2,1 Мм/с. 45.12. 1,10 мм. 45.13. 30'; 7 пм; 0,41 нм. 45.14. Прибор зарегистрировал групповую скорость. 45.15. Нельзя. Для измере ния фазовой скорости надо пометить каким-либо импульсом данный участок монохроматической волны. Измеряя же скорость перемещения импульса, мы измеряем не фазовую, а групповую скорость. 45.16. 334 м/с; 333,23 м/с; 100 м/с. 45.17. v/2; с2/у. 45.18. Не противоречит. Фазовая скорость не харак теризует ни скорости «сигнала», ни скорости переноса энергии и поэтому мо жет быть как больше, так и меньше скорости света в вакууме. 45.19. В обоих случаях групповая скорость равна скорости v частицы. 45.20. 1) v$=h/(2mK); 2) Уф = V c2jrEoX2/h2, где Е0 = т0с2. 45.21. 1) Не будет (нет дисперсии); 2) бу дет (дисперсия есть); v$ = f(k). 45.22. 0,77 нм; 0,106 нм; так как Ах > d, то понятие траектории в данном случае неприменимо. 45.23. Ду/ у = Ю -4. 45.24. В 160 раз. 45.25. 16 %. 45.28. Emin = 2fa/(ml2). 45.27. £ т т = 2&2/ И 2) = = 15 эВ. 45.28. / = 2 & / / 2 т £ = 2,9 фм. 45.29. 80 МэВ. Р е ш е н и е. Из соот ношения неопределенности следует Ар ^ Разумно считать р > Ар\ следо е/2 вательно, р ^ 2%/1, где р = |/л (2£0+ Т) Т/с (случай релятивистский). Так как Т > £ 0, то Tm[n = 2nc/l. Так как эта энергия (80 МэВ) значительно больше энергии связи, приходящейся на один нуклон в ядре (10 МэВ), то пребывание электронов в ядре невозможно. 45.30. 1) 1,2-10“ ?; 2) 1,2. 45.31. Ввиду мало4/* 515 сти Др/р (3* 10“ u ) обнаружить отклонение в поведении частицы от законов классической механики нельзя. В этом случае можно говорить о траектории движения частицы, так как если даже Ар _[_ р, то отклонения частицы от клас сической траектории невозможно обнаружить. 45.32. Это соотношение показы вает, что если система пребывает в некотором энергетическом состоянии в те чение промежутка времени Д£, а затем переходит в другое состояние, то су ществует некоторая неопределенность энергии Этим, например, объясняется естественная ширина спектральных линий. 45.33. 1) Время пребы вания электрона в основном состоянии бесконечно велико, вследствие чего Г —Д£ = 0; 2) в возбужденном состоянии электрон пребывает в течение Д£ « « 10 нс. Следовательно, ширина уровня Гл;Й/Д£ = 0,1 мкэВ. 45.34. 3-10-8. 45.35. Нет. Точно определен квадрат импульса, а сам импульс имеет неопре деленность по направлению ±р, что отвечает бегущей и отраженной от стенок ящика волнам. 46.1. Аф + 2т W 46.2. d2\[) , 2т dx2 %2 1|>=0. 46.3. ф = Сехр (—i E t f k ) . 46.4. i t ^ = ~ ^ - Ц т > (•«. 0 = ехр [—t X X(Et — рхх)!%]. 46.5. Квадрат модуля волновой функции имеет определенный физический смысл. Аналогично тому как в волновой оптике мерой интенсив ности волны является квадрат амплитуды, так | ф2 | является мерой интенсив ности электронной волны (плотностью вероятности), пропорциональной кон центрации частиц. 46.6. Только при условии конечности ф функции возможна физическая интерпретация | ф |2 как плотности вероятности. 46.7. Значения энергии U и Е, а также ф конечны. Следовательно, d2ty/dx2 должна быть ограничена, а это возможно, если непрерывна бф/с1лг. Но чтобы dty/dx сущест вовало во всей интересующей нас области, ф(я) должна быть непрерывна. 46.8. Может. Меньше единицы должно быть выражение | ф (л:) |2 djc, означаю щее вероятность обнаружения частицы в интервале от х до AJ+d*. Но I “Ф М I2 d* может быть меньше единицы и при условии | ф (я) |2 > 1. 46.9. Если ф ( я ) = а + 17?, то ф* (х) = а — ib; | ф (я) \2 = а2+ Ь2) ф (х) ф* (я) = = (a-\-ib) {а— ib) = а2+ Ь2. Следовательно, | ф (х) |2 = ф (я) ф* (л;). 46.10. | ф (х, t) |2 = ф (Ху t) ф* (Ху t ) = exp (— iEt/A) ф (л:) ф* (я) или | ф (xt t) |2 = 516 = | ф (x) [2. 46.11. ф" (л:) -f {%т/%2) £ф (л:) = 0; ф (x) = Сг sin k x + C2 cos kx. &En^.i n 2/2-4-1 46.12. C2=-0; k = nn/l. 46.13. E = п Ф п 2/(2т12). 46.14. ----=;-----= — ~ ~ ; /2 0,78, 2) 0,21, 3) 0 . При малых п отчетливо выступает дискретный характер энергетического спектра, при больших дискретный характер сглаживается и энергетический спектр становится квазинепрерывным. 46.15. 4,48 эВ. 46.16. Cn = V W l- 46.17. 1) С1 = —Са = \IV21-, 2) Е„ = п2Р п 21(2т12) и 1) <рп (х) = i У "Щ sin x. 46.18. См. рис. 21. Число узлов N растет с увеличе- нием квантового числа п : N = п — 1, т. е. на единицу меньше, чем квантовое число. С увеличением энергии к уменьшается, а число узлов возрастает. 46.19. Максимальна при Xi и лг3= 3//4; минимальна при д^ = //2. 46.20. х ± ~ = 1/з1\ * 2 — 2/з^; | ф ( х ) | 2 = 3/(2/) (рис. 22). 46.21. 1) 0,609; 2) 0,195. 46.22. 0,475. 46.23. 0,091. 46.24. 5,22. 46.25. Р е ш е н и е . J ф„ (a:) фт {х) dx = I l о o о I 2 0 . пп . пт . 2 Г1 я (п — т) , 2 Г1 я(/ 2 + т ) , = — \ зш a:sin—j - xdx — -j- \ y cos—-—j— - x d x — — \ у cos — у— -xdx. o При n = m первый интеграл обращается в //2, а второй —в нуль. При п Ф т оба интеграла дают нуль и, следовательно, I $ Уп М Ч’т (*) d*= П 1 при т = п, {0 при т Ф п. * 46.26. <*>==//2. Р е ш е н и е . По общему правилу нахождения среднего значе ния, <х> = ^ х \ ф„ (х) |2 6 аг, где % (х) — нормированная на единицу ф-функции. о В случае бесконечно глубокого прямоугольного потенциального ящика ффункция / имеет вид фп = 2/1 sin - у - х. Следовательно, < а;> = — X I X J я s\n2^ ~ xdx = ^j- J х ^ 1— cos - - j 1- x ) dA;. о о Интегрируя это выражение, получаем искомый ответ. 46.27. 1. В Слу чае гармонического осциллятора umax=-kA2/2, где Л = //2, &= тсо2, т. е. £Лпах = 1/8то)2/2 (1). С другой стороны, и таХ— Еп = я 2&2/2 2/(2 т / 2) (2). Исклю чая I из равенств (1) и (2), находим Еп = (я/4) Шп. Полученное вы 517 ражение отличается от истинного (без учета нулевой энергии) в я/4 раза. 2. В случае атома водорода U = — Zl2/(4ne0r), где г = //2. Так как | £ /| = = 2 \ Е \ , то Е = Ze2/(4ne0/). С другой стороны, энергия электрона, на ходящегося в потенциальном ml ящике, En = n 2fv2l(2ml)2. Исключая из обоих Z2e*m равенств /, находим Еп = Полученное выражение отличается 32я2еоРп* от истинного в 4/л2 раза. 46.28. 6,2 МэВ. 46.29. С = 2 /|/г /1/2. 46.30.0,67. 46.31. C = 2 V 2 / V W l - 46.32. 4j)'; (х) + (х) = 0; У'и (х) + к Ц п (х)=0, г д е $ = 2т£7&2;& = 2т (Е — U)l%*. 46.33. y I (x) = A1eikiX + B1e~i^ x, ф/7(*) = = A 2eik*x -\-B2e~ik>x, где £1==(1 ! Ь ) У Ш Ё и fe2= ( l J%) У 2m (E — U). Коэффнциент А 1— амплитуда вероятности для падающей волны (в положительном направлении оси Ох), В 1— то Л же, для волны, отраженной от Падающая дота Прошедшая Вота барьера, А 2 — амплитуда веро №к А9 ятности волны, прошедшей че h рез барьер (область //), В2—то же, для волны, идущей спра ва налево в области //. Так как такая волна отсутствует, то В 2= 0. На рис. 23 изображе ны действительная часть падаю щей волны (Re Аге1к1Х) и дей ствительная часть прошедшей волны (Re А2е1кгХ). При этом были использованы следующие свойства волновых функций: 1) непрерывность самой волно вой функции — ф/ (0) = ф// (0), 2) производной — ф/ (0) =ф/ / (0) (сопряжение косинусоид плавное). 46.34. Бх/Лх— kx —k2 4kxk2 (кх~\~к2)2 — (^1 — ^ 2) /(&i + ^ 2); А2/А х —2kxj(kx - -k 2). 46.35. p — &i~j- k2 k\ — 2kxk 2 + kl + 4kxk2 kx — {—2 ^ x^2 “1“ ^2. (ki ~i~^2)2 ________________________ 46.36. p - f т = (kx-j-ki)2 (kx~\-k2 (^l + ^ 2))2 2 (^l + ^ 2) 2 =1. 46.37.0,8. Указание, n = ^1/Я2= k2lkx. Но так как k1= yr 2mEi% и k2= V 2 m (E— U)lfv, /1 = 1 ^ 1 U/E. 46.38. n ^ V T + U j E = 1,25. 46.39. 0,632; 1,58; 0,632. 46.40. 20 кэВ. Указание. ^ 1 = ^ 2 !^ 1— U/E; так как UjE < 1, то [X2 ^ ХгХ to Х[1 + ^/(2Б)], откуда U « 2 %x =218 пм. V l - m U X 2x/(2n2P ) 1—/г |2 46.44. 2%. 46.45. р 46.46. 0,172 j 1+ п\___ ЛЯБА1 , 46.41. Х2= _1_ 16 и 5,83. Р е ш е н и е . Коэффициент отражения р = [(]/"£ — У Е — U ) I { V Е + + Е — U)\2. Разделим числитель на У~Е. Далее, заменив У l — UjE — n 46.42. 0,0625, 46.43. р = (коэффициент преломления), получим р = [(1 —л )/(1+ «)]2. Отсюда п = * ^ ^ Р _ _ — ljt_ l_ _ P 46.47. 0,971. Р е ш е н и е . Коэффициент отражения р = [(]/*£’_ Y Е — U)‘ : ( | /Г£ + У~Е— U)]2. Разделим^^числитель и знаменатель на У Е и обозначим U/E = x. Тогда p = [(l — У I — х)!{\ -j- У 1—я)]2. При р = 1/2 находим х = = 1— [(У2 — l):(V "2 + 1 ) ] 2, или x = U /E . 46.48. -9,13 эВ. 46.49. 0,0295, 0,97. 46.50. В 1,03 раза. 46.51. т = 4«/(1 + я ) 2. 46.52. 0,384; 2,61. 46.53. р = 1— У 1+ U IT 4 У 1+ U /T х= 46.54. т « 4 У Т /и > 46.55. 0,2. (l + ^ l + t/yr)2 1+ У 1+ UJT 518 k i --k 2 46.56. Р е ш е н и е . По определению, р = ~ = = " и т = ЛЛг/Лг= 4£1&2/ N i z±- \ -k2 l(ki + k2)2. Следовательно, p-\-x = N p /N + NT/N = 1 9 откуда N p -{-Nx = N . 46.57. 0,64 Вт/м2. 46.58. 0,242. 46.59. 48 мПа. 46.60. Для области / ф/ (х) -f+ ^ 1ф / М = 0; ф/ (а:) = Лхе^^ + Вхе- ^ 1^, где = (l/fi) У~2тЕ\ для области II *ф// (х) + ^ 2 ^ 7 / (*) = Q; ф // (а:) = Л2е“ Л*, где принято k2= ik\ k = {\ jfi) X x V 2m (U — E). На рис. 24 изображены действительная часть падающей волны в области I (Re A-îklX = Лх cos kx и экспоненциально убывающая волновая функция в области II (ф//(х) = А 2е~кх). 46.61. A 2/A 1=2k1/(k1-\-ik). 46.62. ф/7(л;) = 2k1e~*x/(k1+ ik). 46.63. |^ / / (х)|2 = - ^ - е х р ^ — -|- ] /Г2т (U — E) k\ — ik k\ — {—ik - ik I2 Указание. |. r« р |2 —rr = рр*6 — kx+ ik kx— ik~~ 46.64. р = \k1+ i k \ ’ 46.65. 1. ~ — 46.66. |ф //( 0 ) |2= 4 £ /£ /. 46.67. ф} (x) + A&|?/(*)=0; ф ( /+ ^ ф // (*)=0; ф/// (х)+ +kityni(x)=0, где kt=kl=2m E/1i2, Т , цft! = 2m (E — U)[k2. 46.68. i|v(x) = = А ^ * ', (x)=A2e~nx, ч|)/// = = A 3eik>x, где *1 = ^ = ( 1 /А) V 2 т £ , k = ( l / f i ) V ~ 2 m ( U — E), At — амплитуда вероятности для падающей волны, Л3—то же, для волны, прошедшей через барьер. Пренеб регая отраженными волнами на границах I — II и I I — III, можно написать: А2 « Лх и Л3 и Л2е_л^; D = | Л3/Лх |2 = ехр (— 2М), или D = exp | ^— ( t / - £ ) J . На рис. 25 изображены действитель ная часть падающей волны в обла сти / Re AtelklX, экспоненциально убывающая волновая функция в области / / (ф// (х) = A 2e~kx) и действительная часть прошедшей волны в области / / / (К еЛ 3е1^зЛ:). 46.69. 0,35; 5,9*10“ ?, I Ж Ш 46.70. 0,2; 6,5-10“ 3. 46.71. Уменьшится в 79 раз. 46.72. d = — ^ , = 0,22 нм. 46.73. 0,143 нм. 46.74. U0— E = ^ ---- = 2 / 2 т ((/0-Я ) I / * l n J l , C ) V = 0 i4 5 sB _ ^ ^ ^ 46.75. 0.2. 46.76. 10-4 эВ. 46.77. 0,89. 46.78. Примерно 74, 519 47.1. Подставим в уравнение Шредингера ty = RY> тогда Л .А X г2 дг Ze2 / 0dR \ . R Г 1 д [ . „ d Y X sin2 О дф2 J ' ^ 2 £ + 4яе0г Х ( / d r y г* [sin d dd \ Ш^ dd X # Y = 0. Деля на R Y , умножая на г и разделяя переменные, получаем Ze2 . 2т 1 Г 1 д ( . . dY Л 1 дгХ sin2 4 я 8 0г Y [ s i n # ad VSln0 ад dr dr d2Y 1 X— ^ j . Это равенство должно выполняться при любых значениях г, О и ф, 1 _____д2К1 . 2т что возможно только в том случае, если обе части его могут быть приравнены к одной и той же постоянной X. После преобразования получим d2R 2 X dR , 2/n / n , Ze2 K \ n л 1 ( ._ J d Y \ , 1 d2Y nv ^ A d r ' h 2 V ' 4я&0г r2/ sind\ d d у sin2d ^ 2 образом исходное уравнение распалось на два: радиальное и угловое. 47.2. При меним подстановку %(г) = rR (г) и найдем первую и вдорую производные: dtf—1 Л __1_ X и Ё2# ^ ^ dr г dr г2 ^ И dr2 г2 dr вы р аж ен и я в и сх о д н о е у р авн ен и е, после — d2^ +• 2- 1 dv Подставляя эти d2% . / , 2 р . упрощении получаем \ ‘ г — — 0 . 4 7 .3 . П р и б о л ь ш и х г ч л е н а м и 2 р /г и / ( / + 1 ) / г 2 м о ж н о п р е- d2y небречь по сравнению с а. Тогда уравнение примет вид -j-£-|-a%==0. Решение этого уравнения: %(г) = Сге Var + С2е~11 аг. При а > О (Е > 0) функция %(г) конечна при любых г, энергетический спектр непрерывный и движение элек трона не связанное. При а < 0 (Е < 0) выражение %(г) преобразуется к виду ^ (г) = Cie_ 1 / *г + С2е+ 1 / ^г, где введено обозначение а==— | а | (этим под черкивается, что a < 0). Тогда из условия конечности ф-функции С2= 0 и %(r)= Cie“ 1 /,a I г . Реше ние с Е < 0 приводят к связан ным состояниям. 47.4. При малых г членами а и 2Р/г можно пренеб речь по сравнению с /(/+ 1 )/г2, тог да исходное уравнение примет вид d2x /(/+1) Л цТг------ — Х= 0- Применим под становку %(г) = г7, тогда у (у — —1) г^~2— /(/-(- 1) rv/r2 = 0 или У (У— 1) = / ( /+ 1), откуда yi = = — I и у2= /-}-1. Из двух реше ний %(г) = г~1 и х (г) = г(г 4 Х) толь ко второе удовлетворяет при ма лых г условию конечности функ ции. Поэтому решение уравнения при малых г есть %(г) —г{1+1)47.5. Применим подстановку R ( r ) ~ е~Уг. После сокращения на е~уг получим y2+ a = 2 / r (у+Р). Член, содержащий /, не вошел, так как в основном состоянии / = 0. Получен ное равенство выполняется при любых г, но это возможно только тогда, когда левая и правая части равенства порознь равны нулю: у2-|-а = 0 и у-|~р = 0, 520 Решая оба уравнения совместно, имеем р2-|-а = 0. Подставляя значения а и Р в это выражение, находим энергию основного состояния атома водорода: Е = — 22е4т/(32я2- 8oi2). 47.6. С = 1 / / я л ® . 47.7. г = пг<,Р/(е2т). 47.8. 0,825. 47.9. 0,324; 0,676; 2,09. 47.10. 3/2а. 47.11. 2,62. 44.12. 1) 0,76; 5,24; 2) 0,2; со; 3) см. рис. 26. 47.13. Подставим в исходное уравнение У (О, ф) = 0 (О) Ф (ср) и перенесем в правую часть равенства переменные, зависящие от ф: -gX^ ^ sin О ~ ~ ^ j + к sin2 О —— ~ . Это равенство должно выполняться при любых О и ф, что возможно только в том случае, если правая и левая |Y<>0|=cw2i) i V i l - f e 4^ Я?— / Рис. 27 части равны некоторой постоянной величине, которую обозначим т 2. Тогда исходное уравнение распадается на два: ~ • ( sin + ^ s i n 20 = 1 д2Ф == m2; ф 'д ^ 2 ' = — m2. 47.14. Решением уравнения является функция Ф (ф) = = С хе^^+ С ге-" ^ 45. Так как встречная волна отсутствует, то С2 — 0. Из усло вия однозначности е1тф = Се1т(ф+2?1), откуда е1' 2лт = 1 или cos 2 я т + i sin 2 л т = 1. Последнее равенство возможно лишь при целочисленных зна чениях т. Таким образом, Ф (ф )= е 1/Пф, где т = 0, ±1, ± 2, . . . 47.15. С = = М У 2л. 47.16. См. рис. 27. 47.17. Согласно принципу суперпозиции состоя ний, Y lt т = У \ що + ^ 1 . i + ^ i, - ь I У и т I2 = I ^ 1 , о Г2 + 1 Y i, 1 | 2 + | Y i, - 1 12» так как все смешанные функции типа Ух 0} Ух i и т. д. при интегрировании дают из-за ’ ’3 з з з ортогональности нуль. Тогда I i'l, |2= ^ cos2 ^ + ^ Sin2 ^ + ^ sin^ = 4л ’ Отсюда видно, что плотность вероятности не зависит от углов, т*. е. обладает сферической симметрией. 47.18. 1) 0; 2) 1,50-10~34 Дж-с. 47.19. 0; ± 1,55х Х 1 0 -34 Дж-с; ±2,11 • 10-34 Дж-с. 47.20. 1,49-10~34 Дж-с. 47.21. 35°21'. 47.22. % jAl2 = 3,46£; ЗА. 47.23. 1,61.10-*» Дж/Тл. 47.24. —3,4 эВ; 1,50х ХЮ“ 34 Дж-с; 1,31-10~23 Дж/Тл. 47.25. Не может, так как максимальная проекция |i z = nl, а модуль вектора \х = % У / ( / + 0 » т- е- всегда \х,2 < \х. Тот же результат следует и из соотношения неопределенностей. Действительно, если вектор орбитального магнитного момента рт электрона установился строго вдоль линий индукции, то это значит, что все три проекции \imx, \imy, \imz вектора pm точно определены. Но этого не допускают соотношения неопреде ленностей. 47.26. 0; 1 ,З Ы 0 -аз Дж/Тл; 2,27-10"23 Дж/Тл. 47.27. 0,912х Х Ю - 34 Дж-с; 0,528-10~34 Дж-с. 47.28. 1,61-10"23 А-м2; 9,27-10“ 24 А-м2. 47.30. 5,8 кТл/м. 47.31. 4,46 мм. 47.32. 432 Тл/м. 47.33. 2,86-10"21H. 47.34. — jli b ; + Ц В. 47.35. Два s-электрона; два s-электрона и шесть р-электро521 нов; два s-электрона, шесть р-электронов и десять d-электронов. 47.36. 1) 1; 2) 2; 3) 2(2/ +1); 4) 2я 2. 47.37. 1) 9, 2) 4; 3) 2; 4) 3; 5) 5. 47.38. 1) 15 (атом фосфора); 2) 46 (атом гтлладия). 47.39. 1) ls22s2p1; 2) ls22s2p2; 3) ls22s2p63s4 47.41. 1/2 и 1/3; % У 3/2 и % У 15/2. 47.42. 1, 2, 3; % У 2, % У 6 , А _УП . 47.43. 1) 110°45'; 2) 45°, 3) 160°35'. 47.44. 54°45'. 47.45. % У 35/2 и %У Тб/2; 6Г51' и 135°. 47.46. 71°31'. 47.47. 54°45'; 106°45' и 150°. 47.48. 1) 46°50' ( / = 5/г); 116э35' (J = 3/2)\ 2) 54°45' ( S = l , L = 3); 106°45' (S = i, L = 2); и 150°(S=1, 7 ,= ^ 47.49. Й2 У"3 ; %\1У%'1_— У_2. 47.50. 1) 1; 2; 3; & / 2 ; % У 6 ; % У 12; 2) 2; 3; 4; % У 6 ; & У 12; % У 20. 47.51. 1) з/2; 2Р H3 lz 2и ^5(2• - 2п ч/г V 3Р *с °пг Зр ч - ........ % го ______ 2) 7J 2) 11 3] Рис. 29 Рис. 28 б/2; 7/2; fl/2; 2) 1; 2, 3 , 4, 5; 3) i/2> 3/2> . . . . ” /*; 4) 1, 2, . . . . 7. 47.52. 1) 2S l/0; 2) iS0; 3) 2S 1/2; 4) % ; 5) 2P l/2; 47.53. 1) 2S 1/2; 2) 2P 1/2; 2P 3/2; 3) *P3/2; 4рз/2; 4p5/ 2 *> 4) 5Do; 5^ i; 5^ 2; 5^з; 5£>з, 5£>4- 47.54. I) 4; 2) 7; 3) 7, 0=0i | 0*0 5=0, , /T77 lI 0*0 312 HZ 1lZ -HZ mf •312 -112 -J/2 - //2 ■W/Z -1IZ "-J/2 -3 2 ■ HZ '-HZ m-3iz -5/2 - ■ 112 //2 -//2 112 -5/Z 3) Рис. 31 47.56. 1) 2; 2) 1 и 3; 3) 2 и 4; 4) 1, 3 и 6; 5) 2, 4 и 6. 46.57. Синглетные термы: xP i, Ч)2, *Р3; триплетные термы: 3Р 0> i, 2 » 3^ i , 2,_з> 3Р2> з, 4 - 47.58.^2 в S-состоянии, 2/3 и 4/3 в Р-состоянии. 47.59. 1. 47.60. 6 |ыв . 47.61. 3/2 У ^ б ^ . 47.62. 4; 6/5^ в . 47.63. У^ 3 \хв . 47.64. >7= 2 j^ 3 рв , M j >2 = 3p,B, 2jxB, 1[хв , 0, —lfxB, —1jutв , —2|ыв , —3jutB. 47.65. 7 (S = 3). 47.66. 1) 4; 2) 5; 3) не расщеп ляется, так как g = 0. 47.67. 0,6jutB (ванадий); 5jutB (марганец); 6jutB (железо). 47.68. 1) 4,4-106с- *; 2) 4,4.1012с~1. 47.69. 1) 8,80-108 рад/с; 2) 1,17 X ХЮ9 рад/с. 47.70. 1) 1,16-10-4 эВ; 2) 5,80-10~3 эВ. 47.72. 1) Для терма *S: :S = 0, L = 0, J — 0; для терма ^Р: S = 0, L — 1, «7= 1; 2) для терма Ю: S = 0, L — 2, «7= 2; для терма lF: S = 0, L = 3; ,7 = 3. Схема энергетических уровней изображена на рис, 28* 47.73. 1) Для терма 2S: J = г/2; для терма 2Р; J = 522 = х/2, 3/г; 2) для терма 3Р: / = 0, 1, 2; для терма 2D: J — 5/г 3) для терма 35: / = 1; для терма 3D: / = 1, 2, 3. Схема энергетических уровней изображена на рис. 29. 47.74. 1) —х/2, 2) —3/2, l/2, х/2, 3/3; 3) —5/3> —3/ 2 » —1/ 2 * 1/ 2 » 3/ 2 » 5/2; 4) —3, —2, —1, 0, 1, 2, 3. Магнитное расщепление энергетических уровней изображено на рис. 30. 47.75. Схемы переходов изо бражены на рис. 31. При построении переходов учитывается правило отбора Д/72у —0, i l . 47.76. 4/зД(о0, —2/зДсо0, 2/зД(о0, 4/зД(о0. 48.2. С0= (а2/я )1/4. 48.3. 1/а. 48.4. 0,84. 48.5. £ 0/2. 48.6. A = \ f к/(ца>)= = 12,5 пм. 48.7. (5= цю2= 1,89 кН/м. 48.8. Евоз6 = А ш (\— 2у) = 0,356 эВ. 48.9. 24. 48.10. 16.2. 48.11. £ max = Гш/(4у) = 5,18 эВ. 48.12. £ d = (1 — 2у)/ (4y) = 11,4 э В. 48.13. Y=£co/(4£d + 2&co)=7,36-Ю "3. 48.14. А,= 2яс/[ш(1—2?)]= = 5,39 мкм. 48.15. 1,49-Ю” 34 Дж-с. 48.16. 1,10-10-34Дж-с. 48.17. 1,57-1011 с " 1. 48.18. 0,238 мэВ. 48.19. 3,66-10~34 Дж-с. 48.20. 1,46-10-48 кг-м2; ИЗ пм. 48.21. 2 и 3. 48.22. 1) 1,40-1 0 -« кг-м2; 2) 0,259 мэВ; 3) 6 В = 1,55 нэВ. 48.23. 1) 1,33-Ю-26 кг; 2) 121 пм; 3) 7,61 • 1011 с " 1. 48.24. 1) 1,64-Ю"48 кг-м2; 2) 0,212 мэВ; 3) 7, = 4В/(3^) = 3,3 К. 48.25. 1 мэВ соответствует 8,06-109 см-1 . 48.26. 112 пм. 48.27. — 1,035& (J = 2 —> / = 1). 48.28. B = Va (l/A* — 1Д2) = == 10,7 см-1 . 48.29. Будет возбуждать только вращательные уровни. 48.30. 49.1. 1) 1; 2) 2; 3) 4; 4) 2; 5) 1; 6) 2. 49.2. 1) 1,44-1028; 2) 2,МО28; 3) 4,54* Ю28. 49.3. 1,46* 103 кг/м3. 49.4. 2,6* 103 кг/м3. 49.5. 6,95 (литий). 49.6. 1) 0,404 нм; 0,286 нм; 2) 0,316 нм; 0,274 нм. 49.7. 1,63. Отклонение обусловлено тем, что в ре альном кристалле атомы не обладают сферической симметрией. 49.8. 0,320 нм, 0,521 нм. 49.9, 0,23 нм. 49.10. 207 кг/м3. 49.11. А [[221]]; В [[021]]; С [T22JJ; D [[112]]. 49.12. 1) [121]; 2) [112]. 49.13. [ПО]; [111]; [101]. 49.14. 1) [111]; 2) [122] или [122]. 49.15. 0,975 нм. 4_9.16. 35°15'. 49.17. а) (111); б) (011); в) (ПТ); г) (ПО); д) (112); е) (111). 49.18. (111). 49.19. Отрезки, отсекаемые на осях х, у , z, соот ветственно равны 1, 1, 2 (рис. 32). 49.20. (ПО), отрезки на осях 1, 1, оо. 49.21. 1) (124); отрезки на осях 4, 2, 1 2) (012); отрезки на осях оо, 2, 1. 49.22. 0,173 нм. 49.23. 0,36 нм. 49.24. Минималь ные для (111), максимальные для (100); dm:d11Q: :d100 = —-L=- : - 2 = - : 1. 49.25. 70°20'. 49.26. зт/4. V з V 2 49.27. 0 (прямая лежит в плоскости). 49.28. л /2. 49.29. 54°40'. 50.1. 925 Дж/(кг-К); 390 Дж/(кг-К). 50.2. 825 ДжДкг-К); 675 Дж/(кг-К). 50.3. 1,12 МДж/К. 50.4. 1,70 кДж. 50.5. <£> = ££; <£> = 4,14-10~21 Дж. 50.6. 124 кДж; 414 Д ж /К . 50.7. 2,99-10~21 Дж; 134 кДж. 50.8. 3,44 ТГц. 50.9. В 3,74 раза. 5.10. 1,16. 50.11. 36 кДж/моль. 50.12. 340 Дж/моль. 50.13. 8,8%. 50.14. 2,87 МДж/моль. 50.15. g (со) = 6 jV co2/ co3. 50.16. U = 3 R T x ©D/r х3 dx е*— 1 ХЗ ® d /t f* x i x3 dx 50.17. C = 3R где ®D— з (QP/ r ) * = t - e, 0 D / r .—1 50.18. C = X 50.19. 2,99 МДж. 50.20. 2,36-1013 M -1. 50.21. 2,75-1013 c " 1 50.22. 5 ,2 .10-3. 50.23. 14,6 кДж. 50.24. Д£ = 2,49£ДТ = 41,4 кДж. 50.25 212 К. 50.26. 4,83%. 50.27. 3/4. 50.28. g (со) = 6JVcd/<b2. 50.29. U = 3-RT-2 ( £ ) ’,Df e 523 во/Т , / ту X \* d) Г* 3 x*dx e*-l \ 2 ( 0 D/ r ) I e» D / r _ 1 50.31. C = 43,3R (r / 0 D)2. 50.32. 2,91 вр/Г МДж. 50.33. g (co)=31V/(Bmax. 50.34. U = 3 R T ^ - ^ Ц , где e D= £ « W /* - 50.35. C = 50.36. С = я 2/? (7'/ 0 d ) \ \J 50.37. 1,87 МДж/моль. 50.38. 475 кДж. 50.39. 600 Вт. 50.40. 3,45.10~ 21 Дж. 50.41. 1 0 - 2i H-c. 50.42. 443 К. 50.43. 1,50 км/с. 50.44. 4,8 нм. 50.45. 1 , М 0 - М Дж. 50.46. 3,13 км/с. 50.47. 4,0 нм. 50.48. 4,1. 50.49. 46 МПа. 50.50. 77,7 МПа. 50.51. Дсо/ш « t; cos 0/с. 2 / лк\ 2 = - ; 1) 33 пэВ; \ ^ / 50.52. /? = — 2) 33 мэВ; 3) 0,33 эВ. 50.53. 2 -10~5; 5 -1 0 -9; 7-10~9. 50.54. 2-10-®; 1,3-10~7; 4,4-10~13. 50.55. ДД = ет [1 — е? //пяс3]. • 50.57. ^ = 5^ = 7 50.56. = £ = A i ^B1v—^ 71ЯСЛ= 4 -1 0 " 7. ,45.Ю -7. 50.58. ev = У 2 т йс2Есв = 1,73 МэВ. 50.59. о= = АЕ/(тяс) = 218 м/с. 50.60. v = AE/(m„c) — 36 м/с. 50.61. а = In 2fic/(Tey ) = = 0,19 мм/с. 50.62. r — tcKvey) =0, 2 нс. 50.63. v = gl/c — 65 мкм/с. 50.64. 3,40* 10~ 5 К -1 . 50.65. 1,25 нН. 50.66. Максимальная сила притяжения 0,8 нН, отталкивания 1,2 нН. 50.67. 3,4* 10- 2 1 Дж. 50.68. Среднее смещение <х> обращается в нуль при чисто гармонических колебаниях. 50.69. 60 Н/м. 50.70. 2,5- 1 0 - 6 К " 1. 50.71. 540 ГПа. 50.72. 1 %. 50.73. 3-10"! К " 1. 51.1. 4,57-Ю27 м " 3. 51.2. 5,41. 51.3. 0,9. 51.4. В 3 раза. 51.5. 1) 0,893 и —0,119; 2) 0,999955 и 4 ,5 .10"5. 51.6. <е> = 3/ 6 е/ = 4|2 эВ. 51.7. В 1,83 раза. 51.8. 0,03. 51.9. 31,2 кК. Р2 dp / р2/ 2 т - X expV— w G/ \ ■) 51.10. В 14,9 раза. 51.11. dn(p)- 1 X п2%3 (при Т ф OK); dn (р) = —— р2 dp (при f 0К). 51.12. dn (v)= т v2 dv ' я‘4 ,3 ( tnv'* -2e л2Е3 (при T ф OK); exp I dn (v) = —— v2 dv ' n2h2 (при T OK). 2 kT 0 51.13. ymax = Y^2&f/m= 1,32Мм/с. 51.14. <и>==3 / 4 утах== 1,09M mc. 51.15. В 7 раз. 51.16. <%B> = K 5 7 ^ W - 51-17. \u / z итэх 51.18. -0,05. 51.19. 2,5x ХЮ1 9 м - 3. 51.20. 3,5-10- 2 м2 /(В-с); 2.10 22 m~3. 51.21. 0,053 эВ; 0,85 нм. 51.22. 1,2 В. 51.23. 5,25- 10le М- 3. 51.24. 1,76-Ю11 (Т л-с)-1. 51.25. v0 = gnBB„/ (2 я&) = 28 ГГц. 51.26. <вэпр/(Вднкд = 5 / 2 = 1,00116. 51.27. B0 = | ^ v 0 = = 0,353 Тл. 51.28. 2 ,6 8 . 108 (Т л -с )'1. 51.29. v0 = уВ0 /(2л:) = 42,6 МГц. 51.30. g = 2jtnv 0 /(p^rB0) = 0,34. 51.31. —3,82; —1,91рдг. 51.32. Для протона = 5,58, [хр = 2,79рлг; Для дейтона gr = 0,86, рп = 0,86рдг. 51.33. v0= 271%I = 94 МГц. 51.34. ^ / ^ = e x p < j - S ^ ! - -(/ —щ) | ; 1—2-10-§ (m/ = l/2); 1 - 4 .1 0 3 (от/ = — Va); V— 6 - 10-5 (m/ = — 3/ ОБОЗНАЧЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН, ПРИНЯТЫЕ В ЗАДАЧНИКЕ а s <&-i •о-p а * -з 8 ^ 3 т= ^ а'~” Ь» ъ, Индуктивность Индуктивность взаимная Индукция магнитная Интенсивность звука (сила звука) Интенсивность ионизирую щего излучения Интенсивность света Количество вещества Количество теплоты (теплота) Концентрация частиц (плот ность числа частиц) Коэффициент (степень) дис социации Коэффициент ангармонично сти Коэффициент затухания Коэффициент ослабления ли нейный Коэффициент отражения Коэффициент поглощения линейный Коэффициент полезного дей ствия Коэффициент пропускания Коэффициент сопротивления Коэффициент температурный линейного расширения Коэффициент температурный объемного расширения Коэффициент трения сколь жения Коэффициент упругости Коэффициент черноты Магнетон Бора Масса Масса молярная Масса относительная атом ная Масса относительная моле кулярная Масса приведенная Множитель (фактор) Ланде Модуль сдвига Модуль Юнга Момент инерции Момент импульса (момент количества движения) L Момент импульса частицы (механический момент) «чйзОл»т Активность изотопа А Активность изотопа удель а ная (массовая активность) А Амплитуда S Вектор Пойнтинга W Вероятность Восприимчивость диэлектри х ческая Восприимчивость магнитная X Вращение плоскости поля [а] ризации удельное t Время Время жизни среднее х Вязкость динамическая (ко эффициент внутреннего тре ния) Л Граница фотоэффекта крас ная Давление Р Декремент колебаний лога 0 рифмический Дт Дефект массы 8 Деформация относительная Деформация сдвига Дисперсия линейная Dq> Дисперсия угловая Диффузия (коэффициент D диффузии) I Длина волн Длина волны комптоновская кс Длина физического маятника L приведенная Длина пути (путь) s L Длина пути оптическая Длина свободного пробега средняя Ф Доза излучения (поглощен D ная доза излучения) Доза излучения эквивалент ная ®eq Доза излучения экспозицион X ная Емкость электрическая С Жесткость (коэффициент k упругости) Заряд электрический (коли чество электричества) Q Заряд элементарный е Импульс (количество движе ния) тела Р / Импульс силы 525 Момент магнитный контура с током Момент магнитный частицы Момент силы Момент электрический ди поля Мощность Мощность поглощенной дозы излучения Мощность эквивалентной до зы излучения Мощность экспозиционной дозы излучения Намагниченность Напряжение механическое касательное Напряжение механическое нормальное Напряжение электрическое Напряженность гравитацион ного поля Напряженность магнитного поля Напряженность электриче ского поля Натяжение поверхностное (коэффициент поверхностно го натяжения) Облученность (энергетиче ская освещенность) Объем (вместимость) Объем молярный Освещенность Отношение гиромагнитное Перемещение Период колебаний Период полураспада Плечо диполя Плотность Плотность оптическая Плотность потока ионизи рующих частиц Плотность электрического тока Плотность электрического заряда линейная Плотность электрического заряда объемная Плотность электрического заряда поверхностная Плотность энергетической светимости спектральная Плотность энергии объемная Подвижность ионов Показатель адиабаты Показатель преломления абсолютный Показатель преломления от носительный Поляризованность Поляризуемость молекулы 526 Рт Р* Vм М р Р, N D Deq X J X а и G Н Е а Ег V Уш Е У Аг Т Е Ц2 1 Р D / / т Р а Т> а, т r v, W Ь У п Р а Постоянная Авогадро Постоянная Больцмана Постоянные Ван-дер-Ваальса Постоянная вращательная Постоянная вращения пло скости поляризации Постоянная газовая моляр ная Постоянная закона смеще ния Вина Постоянная гравитационная Постоянная дифракционной решетки Постоянная магнитная Постоянная Планка Постоянная радиоактивного распада Постоянная Ридберга Постоянная Стефана — Больцмана Постоянная Фарадея Постоянная электрическая Потенциал электрический Поток излучения спектраль ный Поток магнитный Поток напряженности электрического поля Потокосцепление Поток световой Поток тепловой Поток электрического смещения Поток энергии излучения Проводимость активная электрическая Проводимость удельная электрическая Проницаемость относитель ная диэлектрическая Проницаемость относитель ная магнитная Работа Работа выхода Радиус боровский Разность хода оптическая Разность фаз Разность потенциалов Расстояние фокусное Расход массовый Расход объемный Светимость Светимость энергетическая Сила Сила оптическая Сила разрешающая Сила света Сила тока (ток) Сила тяжести Сила электродвижущая Скорость угловая Na k а, b а а R b G d h, % К R , Rа F 8о Ф Фх ф фе \у Ф Ф W ф G У г А А а А Дер и f Qm Qv R Re F Ф R 1 1 P <8 CO Смещение точек среды при распространении в ней ко лебаний Смещение электрическое Сопротивление активное электрическое Сопротивление удельное электрическое Сопротивление акустическое Сопротивление акустическое удельное Степень поляризации Температура термодинамиче ская Температура характеристи ческая Температура Цельсия Теплоемкость молярная Теплоемкость при постоян ном давлении Теплоемкость при постоян ном объеме Теплоемкость системы Теплоемкость удельная Теплопроводность (коэффи циент теплопроводности) Толщина слоя половинного ослабления Увеличение линейное Увеличение угловое Угол краевой Угол отражения Угол падения Угол поворота (угловое пе ремещение) Угол преломления Угол скольжения Угол телесный Уровень громкости звука Уровень звукового давления Уровень интенсивности звука Ускорение линейное Ускорение касательное (тан генциальное) Ускорение нормальное (центростремительное) Ускорение свободного паде ния 5 D R Р Zs Р т 0 t Em Ер Ev С с h Xlf2 Р Г д е Ф Q, (о Ln Ер Lp а Ох ап ё Ускорение угловое Функция волновая Функция волновая (коорди натная) Частота вращения Частота излучения Частота колебаний Частота ларморова (угловая) Частота угловая Число витков Число витков на единицу длины Число волновое Число волновое спектроско пическое Число зарядовое (атомный номер элемента) Число Лошмидта Число массовое Число степеней свободы Число нейтронов в ядре Число Рейнольдса Число столкновений молеку лы в единицу времени (сред нее) Ширина интерференционной полосы Эквивалент электрический Энергия Энергия внутренняя Энергия внутренняя моляр ная Энергия диссоциации Энергия звуковая Энергия излучения Энергия ионизации Энергия кинетическая Энергйя покоя Энергия полная Энергия потенциальная Энергия связи Энергия частицы Энергия электромагнитная Энергия электромагнитная удельная Энергия ядерной реакции Энтропия Яркость энергетическая е Ф* яр п v v соi со N п N v Z пь Л i N Re <г> Ь k Е U ит D W W Ef Т Е* Е П Есв 8 W w Q s Ее Учебное издание Александр Георгиевич Чертов Анатолий Александрович Воробьев ЗАДАЧНИК ПО ФИЗИКЕ Зав. редакцией Е. С. Гридасова. Редактор Л. С. Куликова. Мл. редакторы Н. П. Майкова. Г. В. Вятоха. Художник К. П. Яриков. Художественный редактор В. И. Пономаренко. Технический редактор Е. И. Герасимова. Корректор Г. И. Кострикова ИБ № 6766 Изд. № ФМ-901. Сдано в набор 24.06.87. Подп. в печать 05.02 88. Формат бОХЭО1/^* Бум. тип. № 2. Гарнитура литературная. Печать высокая. Объем 33 уел. печ. л. + 0 ,1 3 уел. печ. л. форзац. 33,25 уел. кр.-отт. 32,08 уч.-изд. л. + 0,21 уч.-изд. л. форзац. Тираж 75 000 экз. Зак. № 1268. Цена 1 р. 40 к. Издательство «Высшая школа», 101430, Москва, ГСП-4. Неглинная у л., д. 29/14. Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени МПО «Первая Образцовая типография» имени А. А. Жданова Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли, 1 13054, Москва, Валовая, 28

Сборник задач по Физике Чертов, Воробьев

Разделы

Поддержка

Сборник задач по Физике Чертов, Воробьев

Добавить этот документ в коллекции

Добавить этот документ в сохраненные

Предложите, как улучшить StudyLib