Программа курса «Введение в теорию алгоритмов» для I потока I курса ММФ НГУ 2017/2018 учебный год, I семестр 1. Введение Понятие о множествах, их основные свойства, операции над ними. Некоторые основные понятия в теории множеств (отношения, функции и т.п.). Алфавиты и языки, длина слова, конкатенация слов, степени с натуральным показателем, звездочка Клини. 2. Введение в теорию графов Определение (неориентированного) графа. Смежность, инцидентность. Степень вершины. Лемма о рукопожатии. Дополнительный граф. Матрица смежности графа. Ориентированные графы. Ориентация дуги, полустепени захода и исхода. Подграфы, остовные и порожденные подграфы. Маршрут. Цепь, простая цепь. Свойства степеней матрицы смежности графа. Циклические маршруты. Циклы, простые циклы. Достижимость для неориентированных и ориентированных графов. Связанность и компоненты связанности. Сильная связанность для ориентированных графов. Важные классы графов: полный (максимальное количество ребер), дерево (связанный с минимальным количеством ребер; эквивалентные определения), двудольный. Характеризация Кёнига двудольных графов. 3. Конечные автоматы Определение конечных автоматов. Их графическое изображение. Языки, распознаваемые конечными автоматами. Лемма о накачивании и примеры её использования. Недетерминированные конечные автоматы, недетерминированные автоматы со скачками и их языки. Эквивалентность конечных автоматов, недетерминированных конечных автоматов и недетерминированных автоматов со скачками. Замкнутость конечно-автоматных языков относительно объединения, пересечения, дополнения, конкатенации и звездочки Клини. Регулярные языки. Определение. Совпадение классов регулярных и конечно-автоматных языков. 3. Теория алгоритмов Обсуждение свойств алгоритмических процессов. Определение частично рекурсивных функций (ЧРФ). Операторы суперпозиции, примитивной рекурсии и минимизации. Примитивно рекурсивные и общерекурсивные функции. Логические связки и их значение. Вычислимые (рекурсивные) отношения и некоторые их свойства. Кодирование конечных последовательностей. Минимашины (ММ). Совпадение классов функций, вычислимых на ММ и класса частично рекурсивных функций. Тезис Чёрча. Теорема о параметризации (s-m-n-теорема). Универсальные вычислимые функции. Машины Тьюринга: определение функций, вычислимых на Машинах Тьюринга, совпадение этого класса функций с классом ЧРФ. Общее понятие о нумерации. Понятие об алгоритмически разрешимых и неразрешимых проблемах. Неразрешимость проблемы остановки. Теорема Клини о неподвижной точке. Теорема Райса. Неразрешимость проблемы распознавания свойств функций по задающим их программам. Вычислимо перечислимые множества. Теорема о графике. Теорема Поста. Список литературы [1] Лекторская веб-страница курса с текстами некоторых тем: http://www.math.nsc.ru/~asm256/TA [2] Ю.Л.Ершов, Е.А.Палютин, Математическая логика, М., Наука, 1987. [3] А.Н.Мальцев, Алгоритмы и рекурсивные функции, М., Наука, 1986. [4] В.А. Емеличев, О.И. Мельников, В.И. Сарванов, Р.И. Тышкевич, Лекции по теории графов, М.: Наука, 1990. Темы семинаров Введение Множества, отношения, функции, операции над языками. (2-3 семинара) Введение в теорию графов Примеры на основные понятия. Решение занимательных задач (1 семинар). Конечные автоматы Построение конкретных автоматов, распознающих некоторые простые языки. Доказательство автоматности и неавтоматности некоторых языков. Построение эквивалентных детерминированных автоматов по недетерминированным. (3-4 семинара) Теория алгоритмов Построение минимашин для конкретных функций (1 семинар). Доказательство вычислимости (примитивной рекурсивности) для некоторых функций и отношений (2 семинара). Нумерации минимашин и доказательство вычислимости отношения T(a,x,y) (подробно разобрать на семинаре доказательство теоремы) (1-2 семинара) Построение машин Тьюринга для вычисления конкретных функций. (1 семинар) Комбинирование машин Тьюринга (композиция, условный оператор, циклы) (1 семинар). Планируется провести 2 контрольные работы. Программу составил профессор, доктор физико-математических наук А.С.Морозов.