Способы понижения порядка дифференциального уравнения. 5. 1. Если в уравнение не входит искомая функция 𝑦, т.е. оно имеет вид 𝐹(𝑥, 𝑦 (𝑘) , … , 𝑦 (𝑛) ) = 0, то порядок уравнения можно понизить, взяв за новую неизвестную функцию низшую из производных, входящих в уравнение, т.е. сделав замену 𝑦 (𝑘) = 𝑧. Пример 1. Решить уравнение 𝑥 4 𝑦 ′′′ + 2𝑥 3 𝑦 ′′ = 1. Сделаем замену 𝑦 ′′ = 𝑧. Тогда 𝑦 ′′′ = 𝑧 ′ и уравнение преобразуется к виду 𝑥 2 𝑧 ′ + 2𝑥𝑧 = 1 ′ 1 1 𝑥 𝑥 𝑥3 (− ) , 𝑥 2 𝑧 = − , 𝑧 = − + 𝐶 𝑥2 1 𝑥2 . Отсюда (𝑥 2 𝑧)′ = . Возвращаясь к 𝑦, имеем 𝑦 ′′ = Ответ. 𝑦 = 𝐶1 ln 𝑥 − 1 2𝑥 𝐶 1 𝐶1 1 1 − , 𝑦 ′ = + 2 + 𝐶2 , 𝑦 = 𝐶1 ln 𝑥 − + 𝐶2 𝑥 + 𝐶3 . 𝑥2 𝑥3 𝑥 2𝑥 2𝑥 + 𝐶2 𝑥 + 𝐶3 , где 𝐶1 , 𝐶2 , 𝐶3 − произвольные постоянные. 2. Если в уравнение не входит независимое переменное 𝑥, т.е. уравнение имеет вид 𝐹(𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ , … , 𝑦 (𝑛) ) = 0, то порядок уравнения можно понизить, взяв за новое переменное 𝑦, а за неизвестную функцию 𝑦 ′ = 𝑝(𝑦). Пример 2. Решить уравнение 2𝑦𝑦 ′′ = 𝑦 ′2 + 1. В уравнение не входит в 𝑥. Полагаем 𝑦 ′ = 𝑝(𝑦). Тогда 𝑦 ′′ = 𝑑(𝑦 ′ ) 𝑑𝑝(𝑦) 𝑑𝑝 𝑑𝑦 = = . = 𝑝′ 𝑝. 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Подставляя 𝑦 ′ = 𝑝 и 𝑦 ′′ = 𝑝′ 𝑝 в уравнение, получим 2𝑦𝑝𝑝′ = 𝑝2 + 1. Порядок уравнения понижен. Решив полученное уравнение, найдем 𝑝 = ±√𝐶𝑦 − 1. Следовательно, 𝑦 ′ = ±√𝐶𝑦 − 1. Из этого уравнения получим 4(𝐶𝑦 − 1) = 𝐶 2 (𝑥 + 𝐶2 ). 3. Если уравнение однородно относительно 𝑦 и его производных, т.е. не меняется при одновременной замене 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ , … на 𝑘𝑦, 𝑘𝑦 ′ , 𝑘𝑦 ′′ , …, то порядок уравнения понижается подстановкой 𝑦 ′ = 𝑦(𝑥)𝑧(𝑥), где 𝑧 − новая неизвестная функция. Пример 3. Решить уравнение 𝑥 2 𝑦𝑦 ′′ − 5𝑥𝑦𝑦 ′ − 𝑥 2 𝑦 ′2 = 6𝑦 2 , 𝑥 ≠ 0. Проверка однородности. 𝑥 2 𝑘𝑦𝑘𝑦 ′′ − 5𝑥𝑘𝑦𝑘𝑦 ′ − 𝑥 2 𝑘 2 𝑦 ′2 = 6𝑘 2 𝑦 2 , 𝑥 ≠ 0. 𝑘 2 (𝑥 2 𝑦𝑦 ′′ − 5𝑥𝑦𝑦 ′ − 𝑥 2 𝑦 ′2 ) = 6𝑘 2 𝑦 2 𝑥 2 𝑦𝑦 ′′ − 5𝑥𝑦𝑦 ′ − 𝑥 2 𝑦 ′2 = 6𝑦 2 . Вводим замену 𝑦 ′ = 𝑦𝑧, 𝑦 ′′ = 𝑦(𝑧 ′ + 𝑧 2 ) 𝑥 2 𝑦 2 (𝑧 ′ + 𝑧 2 ) − 5𝑥𝑦 2 𝑧 − 𝑥 2 𝑦 2 𝑧 2 = 6𝑦 2 , 𝑦 2 (𝑥 2 (𝑧 ′ + 𝑧 2 ) − 5𝑥𝑧 − 𝑥 2 𝑧 2 ) = 6𝑦 2 : 𝑦 2 , 𝑥 2 (𝑧 ′ + 𝑧 2 ) − 5𝑥𝑧 − 𝑥 2 𝑧 2 − 6 = 0, 𝑥 2 𝑧 ′ − 5𝑥𝑧 − 6 = 0 ∶ 𝑥 2 , 𝑧′ − 5𝑧 6 = , 𝑥 𝑥 - линейное уравнение первого порядка. 𝑧 = 𝑢𝑣 𝑢′ 𝑣 + 𝑢 (𝑣 ′ − 5𝑣 6 )= 𝑥 𝑥 5𝑣 𝑣 = 𝑥5 𝑣 = 𝑥5 𝑥 6𝑥 −5 { => { ′ 5 6 => { 6 𝑢 𝑥 = 𝑢 = − +𝐶 𝑢′ 𝑣 = 𝑥 5 𝑥 𝑣′ = 𝑢′ = 6 6𝑥 −5 −6 => 𝑑𝑢 = 6 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 => 𝑢 = − +𝐶 𝑥6 5 𝑧 = (− Возвращаемся к замене 𝑧 = 6𝑥 −5 + 𝐶) 𝑥 5 5 𝑦′ 𝑦 𝑦′ 6𝑥 −5 = (− + 𝐶) 𝑥 5 𝑦 5 𝑑𝑦 6 = − ∫ 𝑑𝑥 + 𝐶 ∫ 𝑥 5 𝑑𝑥 𝑦 5 6 𝐶𝑥 6 ln 𝑦 = − 𝑥 + + 𝐶1 5 6 4. Порядок уравнения понижается, если оно является однородным относительно 𝑥 и 𝑦 в обобщенном смысле, т.е. не меняется от замены 𝑥 на 𝑘𝑥, 𝑦 на 𝑘 𝑚 𝑦 (при этом 𝑦′ заменяется на 𝑘 𝑚−1 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ − на 𝑘 𝑚−2 𝑦′′ и т.д.). Чтобы узнать, будет ли уравнение однородным, и найти число 𝑚, надо приравнять друг другу показатели степеней, в которых число 𝑘 будет входить в каждый член уравнения после указанной выше замены. Пример 4. Например, в первый член уравнения 2𝑥 4 𝑦 ′′ − 3𝑦 2 = 𝑥 4 после этой замены число 𝑘 будет входить в степени 4 + (𝑚 − 2), во второй – в степени 2𝑚, в третий – в степени 4. Следовательно, 𝑚 должно удовлетворять уравнениям 4 + (𝑚 − 2) = 2𝑚 = 4. Отсюда 𝑚 = 2. Если же полученные уравнения для 𝑚 будут несовместными, то дифференцируемое уравнение не является однородным в указанном смысле. После того как число 𝑚 найдено, надо сделать замену переменных 𝑥 = 𝑒 𝑡 , 𝑦 = 𝑧𝑒 𝑚𝑡 , где 𝑧 = 𝑧(𝑡) − новая неизвестная функция, а 𝑡 − новое независимое переменное. Получим уравнение, в которое не входит независимое переменное 𝑡. Порядок такого уравнения понижается одни из ранее рассмотренных способов. 5. Порядок уравнения легко понижается, если удается преобразовать уравнение к такому виду, чтобы обе его части являлись полными производными по 𝑥 от каких-нибудь функций. Пример 5. Например, пусть дано уравнение 𝑦𝑦 ′′ = 𝑦 ′2 . Деля обе части на 𝑦𝑦 ′ , получим (ln 𝑦)′ ; ln 𝑦 ′ = ln 𝑦 + ln 𝐶 ; 𝑦 ′ = 𝐶𝑦. Порядок уравнения понижен. Задание: решить уравнения. Вариант 1. Номера: 21, 39, 71 Вариант 2. Номера: 8, 65, 72 𝑦 ′′ 𝑦′ = 𝑦′ 𝑦 ; (ln 𝑦 ′ )′ = Вариант 3. Номера: 30, 48, 73 Вариант 4. Номера: 11, 67, 74 Вариант 5. Номера: 38, 45, 75 Вариант 6. Номера: 2, 66, 76 Вариант 7. Номера: 32, 40, 77 Вариант 8. Номера: 6, 63, 78 Вариант 9. Номера: 27, 44, 79 Вариант 10. Номера: 13, 60, 80 Вариант 11. Номера: 29, 50, 81 Вариант 12. Номера: 3, 64, 82 Вариант 13. Номера: 37, 41, 83 Вариант 14. Номера: 10, 61, 84 Вариант 15. Номера: 36, 52, 85 Вариант 16. Номера: 5, 57, 86 Вариант 17. Номера: 25, 47, 87 Вариант 18. Номера: 4, 58, 88 Вариант 19. Номера: 35, 43, 89 Вариант 20. Номера: 16, 59, 90 Вариант 21. Номера: 31, 42, 91 Вариант 22. Номера: 7, 62, 92 Вариант 23. Номера: 26, 46, 93 Вариант 24. Номера: 14, 54, 94 Вариант 25. Номера: 34, 49, 95 Вариант 26. Номера: 9, 55, 70 Вариант 27. Номера: 1, 51, 78 Вариант 28. Номера: 12, 53, 76