ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №1 ИССЛЕДОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ НЕИЗМЕНЯЕМОСТИ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ МЕТОДАМИ РАЗРУШЕНИЯ И НУЛЕВЫХ НАГРУЗОК Расчётная схема ферменной конструкции Ферма – это расчётная схема стержневой системы. Под фермой понимается стержневая система, геометрическая неизменяемость которой обеспечивается в предположении о шарнирном соединении стержней в узлах. Геометрическая неизменяемость – это отсутствие кинематических перемещений одних элементов относительно других или способность системы не допускать относительного перемещения своих частей без деформаций. При составлении расчётной схемы фермы каждый стержень заменяется прямой линией, представляющей его геометрическую ось; концы стержней, образующие узел, считаются сходящимися строго в одной точке; взаимное соединение стержней предполагается идеально шарнирным. Внешние силы считаются приложенными в узлах. Под действием внешней нагрузки в стержнях ферм возникают только осевые усилия. Если оси всех стержней лежат в одной плоскости, то ферма называется плоской. В противном случае мы имеем дело с пространственной фермой. Плоские фермы могут воспринимать только нагрузки, лежащие в их плоскости. Ферма статически определима, если при любой внешней нагрузке усилия в стержнях могут быть определены непосредственно из условий равновесия системы и её отдельных частей. Способы образования ферм 1. Способ последовательного присоединения узлов К исходному геометрически неизменяемому элементу каждый последующий узел присоединяется с помощью двух стержней, не лежащих на одной прямой, при образовании плоской фермы и с помощью трёх стержней, не лежащих в одной плоскости, при образовании пространственной фермы. Фермы, которые могут быть образованы последовательным присоединением узлов, называются простыми. 2. Способ последовательного соединения ферм Две или несколько простых ферм соединяются между собой так, чтобы была обеспечена взаимная неподвижность. 1-1 Рассмотрим две простые плоские фермы. Каждая из них, как геометрически неизменяемая система, имеет в плоскости три степени свободы. Образуем сложную ферму, соединив их между собой таким образом, чтобы обеспечить их взаимную неподвижность. Полученная система должна иметь три степени свободы. Следовательно, при соединении ферм между собой следует наложить на систему три связи. Это можно реализовать, соединив фермы между собой с помощью плоского шарнира, накладывающего две связи, и стержня или с помощью трёх стержней, каждый из которых накладывает по одной связи. При этом направления этих стержней не должны пересекаться в одной точке, которая стала бы мгновенным центром вращения одной части относительно другой. Кроме того, направления стержней не должны быть параллельны, так как в этом случае одна часть получила бы возможность смещаться относительно другой в перпендикулярном к этим стержням направлении. Чтобы обеспечить взаимную неподвижность двух пространственных ферм, нужно наложить на систему шесть связей. 3. Способ замены стержней Пусть у нас имеется простая ферма. Устраним из неё один стержень и заменим его другим, расположенным иначе. При этом заменяющий стержень должен лишить систему той степени свободы, которую она получила после устранения стержня. Подобным же образом можно заменить два или несколько стержней. Необходимые условия геометрической неизменяемости и статической определимости ферм Обозначим через У число узлов фермы, через С − количество стержней и через С0 − число опорных связей. Ферму можно рассматривать как совокупность узлов, на которые наложены связи в виде стержней. Узел плоской фермы имеет две степени свободы, а пространственной− три. Каждый стержень, связывающий между собой два узла, накладывает на систему одну связь. Если ферма неизменяема и неподвижна, то количество наложенных связей с учётом опорных должно быть равно числу степеней свободы, которым обладали бы не связанные между собой узлы: – для плоской фермы С С0 2У ; – для пространственной фермы С С0 3У . 1-2 (1) Если плоская ферма не прикреплена к опорам, то как неизменяемая система она должна обладать в плоскости тремя степенями свободы, а пространственная неизменяемая система имеет в этом случае шесть степеней свободы. Тогда число стержней, обеспечивающее взаимную неподвижность узлов, будет равно: – для плоской фермы С 2У 3 ; – для пространственной фермы С 3У 6 . (2) Зависимости (1) и (2) определяют минимально необходимое число стержней, которые могут обеспечить взаимную неподвижность узлов, и выражают необходимые условия геометрической неизменяемости ферм. Как известно, для плоского узла можно составить два уравнения равновесия, спроецировав все силы на оси x и y : x 0 ; y 0. Уравнение M 0 удовлетворяется тождественно, так как оси всех стержней и направление внешней нагрузки проходят через одну точку − ось шарнира. Для узла пространственной фермы можно составить три уравнения равновесия. Для плоской фермы, имеющей У узлов, общее число уравнений равновесия будет равно 2У , а для пространственной − 3У . В случае неподвижной системы число стержней с учётом опорных, в которых можно из уравнений статики определить усилия, равно: – для плоской фермы С С0 2У ; – для пространственной фермы С С0 3У . (3) Если ферма не прикреплена к опорам, то для плоской нужно затратить три уравнения равновесия, а для пространственной шесть уравнений на уравновешивание внешней нагрузки. Число стержней, в которых уравнения статики позволяют найти усилия, будет теперь равно: С 2У 3 ; – для плоской фермы – для пространственной фермы С 3У 6 . (4) Равенствами (3) и (4) устанавливаются необходимые условия статической определимости ферм. Нетрудно заметить, что они совпадают с необходимыми условиями геометрической неизменяемости (1) и (2). Правда, здесь имеется одно принципиальное различие. Чтобы ферма могла быть статически определимой, условия (3) и (4) должны строго выполняться. А геометрически 1-3 неизменяемыми стержневые системы могут быть и в том случае, когда число стержней превышает минимально необходимое, определяемое условиями (1) и (2). Можно доказать следующую теорему. Всякая геометрически неизменяемая ферма, имеющая минимально необходимое число стержней, статически определима. Обратно, статически определимая стержневая система геометрически неизменяема. Отсюда следует, что если при минимально необходимом числе стержней система оказывается статически неопределимой, то она геометрически изменяема, т.е. некоторые стержни ориентированы неправильно. Таким образом, чтобы доказать геометрическую неизменяемость стержневой системы, достаточно показать, что она статически определима. Методы исследования геометрической неизменяемости ферм Полагаем, что стержневая система удовлетворяет необходимому условию геометрической неизменяемости, и рассмотрим несколько методов, позволяющих установить, является ли она в действительности неизменяемой. 1. Метод построения Заключается в том, что заново воспроизводится процесс образования и прикрепления к опорам стержневой системы. Если при этом не окажется неправильно присоединённых узлов или отдельных частей, то система геометрически неизменяема. 2. Метод разрушения Заключается в последовательном отбрасывании отдельных узлов или заведомо неизменяемых частей фермы, относительная неподвижность которых обеспечена минимально необходимым числом связей. Систему можно предварительно снять с опор, если она прикреплена минимально необходимым числом правильно ориентированных связей. Если оказывается возможным таким образом «разрушить» всю систему, то она геометрически неизменяема. В случае изменяемости стержневой системы всегда обнаружится узел или часть системы, прикреплённая неправильно. Задача №1. Исследовать геометрическую неизменяемость стержневой системы, представленной на рисунке 1. 1-4 Для данной системы У 8 , С 12 , С0 4 . Необходимое условие геометрической неизменяемости С С0 2У удовлетворяется: 12 4 2 8 . Следуя методу разрушения, сначала отбрасываем узел 4, прикреплённый с помощью двух стержней, не лежащих на одной прямой (рисунок 2). Затем аналогично отбрасываем последовательно узлы 5, 3, 6, 2, 7, 1 и 8. Систему удалось «разрушить» полностью. Значит она геометрически неизменяема, т.е. представляет собой ферму. Рисунок 1 Рисунок 2 Задача №2. Исследовать геометрическую неизменяемость стержневой системы (рисунок 3). Здесь У 8 , С 13 , С0 3 . Необходимое условие удовлетворяется: 13 3 2 8 . Прикрепление к опорам осуществлено минимально необходимым числом правильно ориентированных связей, поэтому первым шагом снимаем стержневую систему с опор (рисунок 4). Теперь можно выделить заведомо неизменяемые части А и В, состоящие из треугольников. Вторым шагом пытаемся их разъединить. Они связаны между собой тремя параллельными стержнями, что является неправильным. Вывод – система геометрически изменяема, т.е. не может работать как ферма. Рисунок 3 Рисунок 4 1-5 Задача №3. Исследовать геометрическую неизменяемость стержневой системы (рисунок 5). Для данной системы У 9 , С 15 , С0 3 . Необходимое условие выполняется: 15 3 2 8 . Здесь так же, как и в предыдущей задаче, сначала снимаем ферму с опор, а затем пытаемся разъединить заведомо неизменяемые части А и В (рисунок 6). Они связаны между собой тремя стержнями, направления которых пересекаются в одной точке (узел 6). Такая точка является мгновенным центром вращения. Таким образом, рассматриваемая стержневая система также является геометрически изменяемой. Рисунок 5 Рисунок 6 3. Метод нулевых нагрузок В основе данного метода лежит теорема: статически определимая стержневая система геометрически неизменяема. В стержнях статически определимой фермы усилия определяются из уравнений равновесия при произвольной внешней нагрузке. В частности, когда нет внешней нагрузки, то усилия во всех стержнях должны быть равны нулю. Если мы можем доказать (пользуясь только уравнениями равновесия отдельных узлов, частей или системы в целом), что при отсутствии внешней нагрузки усилия во всех стержнях равны нулю, то система статически определима, а следовательно, и геометрически неизменяема. В этом и заключается суть метода нулевых нагрузок. В некоторых случаях равенство нулю усилий в стержнях фермы при отсутствии внешней нагрузки может быть установлено очень просто, если воспользоваться двумя леммами. Лемма 1: Если к плоскому узлу фермы, содержащему два стержня, не лежащих на одной прямой, или пространственному узлу, содержащему три 1-6 стержня, не лежащих в одной плоскости, не приложено внешней нагрузки, то усилия в стержнях равны нулю. Лемма 2: Если к плоскому узлу фермы, содержащему три стержня, из которых два лежат на одной прямой, или пространственному узлу, содержащему n стержней, из которых n 1 лежат в одной плоскости, не приложена внешняя нагрузка, то в отдельно стоящем стержне усилие равно нулю. Забегая вперёд, отметим, что если к узлу рассматриваемого типа приложена внешняя нагрузка, то в отдельно стоящем стержне можно из уравнения равновесия сразу определить усилие. Иногда при использовании метода нулевых нагрузок удаётся сначала из равновесия всей системы показать, что усилия в отдельных опорных связях равны нулю, а затем уже исследовать усилия в стержнях самой фермы. Итак, если удаётся доказать, что при отсутствии внешней нагрузки усилия во всех стержнях равны нулю, то стержневая система геометрически неизменяема. Ну, а если простейшие приёмы, изложенные выше, не позволяют это показать? В этом случае следует прибегнуть к более универсальному методу исследования геометрической неизменяемости – к методу замены связей, который из методических соображений будет рассмотрен несколько позже. Задача №4. Исследовать геометрическую неизменяемость стержневой системы (рисунок 7). Здесь У 4 , С 4 , С0 4 . Необходимое условие удовлетворяется: 4 4 2 4 . Следует отметить, что аналогом первой леммы в методе разрушения является отбрасывание узла, который присоединяется, например, в случае плоской фермы при помощи двух стержней, не лежащих на одной прямой. Аналога же второй леммы в методе разрушения нет. Поэтому метод нулевых нагрузок является более мощным инструментом. Для данной системы в каждом из четырёх узлов сходятся три стержня, из которых два лежат на одной прямой, а третий – отдельно стоящий. Например, начнём с узла 1, где стержень 1-2 отдельно стоящий. Согласно лемме 2 усилие в нём равно нулю (первый шаг на рисунке 8). После этого в узле 2 остаются два стержня с неизвестными усилиями, причём не лежащие на одной прямой. Согласно лемме 1 усилия в них равны нулю (второй шаг). Далее, рассматривая узлы в последовательности 4, 3 и 1 (шаги 3…5) и используя лемму 1, приходим к 1-7 выводу, что усилия во всех стержнях равны нулю. Таким образом, рассматриваемая стержневая система статически определима и согласно теореме геометрически неизменяема. Рисунок 7 Рисунок 8 Задача №5. Исследовать геометрическую неизменяемость стержневой системы (рисунок 9). Здесь У 6 , С 8 , С0 4 . Необходимое условие удовлетворяется: 8 4 2 6 . На первом шаге замечаем, что в узле 4 стержень 4-6 отдельно стоящий. Согласно лемме 2 усилие в нём равно нулю (рисунок 10). Рассматривая далее равновесие узлов 6, 5, 1 и 3, устанавливаем с помощью леммы 1, что усилия в стержнях 1-6, 5-6, 2-5, 3-5, 1-2, 1-3, а также реакции в опорных стержнях в узле 3 нулевые (шаги 2…5). После этого обнаруживаем цепочку стержней 2-0, 2-4, 4-0, лежащих на одной прямой, усилие в которых может быть любым. Такая система будет статически неопределимой. Значит рассматриваемая стержневая система, обладающая минимально необходимым числом стержней, является геометрически изменяемой. Рисунок 9 Рисунок 10 1-8 Задача №6. Исследовать геометрическую неизменяемость стержневой системы (рисунок 11). Здесь У 8 , С 12 , С0 4 . Необходимое условие удовлетворяется: 12 4 2 8 . Следует отметить, что при наличии трёх правильно ориентированных опорных связей можно сразу найти все реакции, поскольку для плоской системы в целом мы располагаем тремя уравнениями равновесия. В наем случае опорных стержней четыре, но они ориентированы так, что три из них параллельны. Поэтому если записать условие равновесия всей системы в целом в проекции горизонтальную ось, то можно определить реакцию в опорном стержне 1-0. В отсутствие внешней нагрузки она будет равна нулю (первый шаг на рисунке 12). Далее согласно лемме 1 усилия в двух оставшихся стержнях, сходящихся в узле 1, равны нулю (шаг 2). После этого в узле 3 стержень 3-7 будет отдельно стоящим. По лемме 2 усилие в нём равно нулю (шаг 3). Аналогично в стержне 4-7 усилие нулевое (шаг 4). Остальные шаги 5…11 выполняются с использованием леммы 1. Видно, что данная стержневая система статически определима и геометрически неизменяема. Рисунок 11 Рисунок 12 Задача №7. Исследовать геометрическую неизменяемость стержневой системы (рисунок 13). Для данной стержневой системы У 7 , С 10 , С0 4 . Необходимое условие удовлетворяется: 10 4 2 7 . Опять обращаем внимание на опорные стержни. Их также четыре и три из них параллельны, т.е. можно найти реакцию в стержне 6-0. Однако это нам ничего не даст, поскольку после определения реакции в узле 6 останется три стержня с неопределёнными усилиями. Кроме того, можно заметить, что направления трёх опорных стержней 1-9 3-0, 6-0 и 7-0 пересекаются в одной точке (узел 3). Поэтому здесь можно рассмотреть всю систему в целом, записав условие равновесия моментов всех сил относительно узла 3: M 3 0 . Таким образом, находим N10 0 (первый шаг на рисунке 14). Остальные шаги выполняются достаточно просто с использованием леммы 1. Вывод – система геометрически неизменяема. Рисунок 13 Рисунок 14 Задача №8. Исследовать геометрическую неизменяемость стержневой системы (рисунок 15). Для данной стержневой системы У 7 , С 10 , С0 4 . Необходимое условие удовлетворяется: 10 4 2 7 . Следует отметить, что в методе нулевых нагрузок можно рассматривать равновесие не только отдельных узлов и стерневой системы в целом, но ещё и отдельных частей. Выделим фрагмент с узлами 2-4-7-3 (рисунок 16). Для него мы можем составить три уравнения равновесия. Однако в сечение попадает четыре стержня 3-4, 6-7, 5-0 и 7-0. Можно заметить, что направления трёх из них пересекаются в одной точке А. Поэтому на первом шаге из уравнения равновесия моментов всех сил, действующих на выделенный фрагмент, относительно точки А ( M A 0 ) можно найти усилие в стержне 6-7. В отсутствие внешней нагрузки N67 0 . Далее замечаем, что в узле 6 стержень 3-6 отдельно стоящий. Согласно лемме 2 усилие в нём равно нулю (шаг 2). Остальные шаги выполняются с использованием леммы 1 как показано на рисунке 16. Вывод – система геометрически неизменяема. 1-10 Рисунок 15 Рисунок 16 Задача №9. Исследовать геометрическую неизменяемость стержневой системы (рисунок 17). Для данной стержневой системы У 8 , С 12 , С0 4 . Необходимое условие удовлетворяется: 12 4 2 8 . Здесь также сначала рассматриваем равновесие фрагмента с узлами 3-4-6, выделенный на рисунке 18. Из четырёх, попавших в сечение стержней, направления трёх (1-4, 6-7 и 3-0) пересекаются в одной точке А. Из уравнения моментов относительно этой точки находим, что усилие в стержне 4-5 нулевое (шаг 1). Далее замечаем, что в узлах 2 и 7 стержни 2-5 и 5-7 отдельно стоящие, усилия в них равны нулю (шаги 2 и 3). Остальные шаги показаны на рисунке 18. Вывод – система геометрически неизменяема. Рисунок 17 Рисунок 18 Задачи для самостоятельной работы Исследовать самостоятельно геометрическую неизменяемость стержневых систем, изображённых на рисунках 19…23. 1-11 Рисунок 19 Рисунок 20 Рисунок 21 Рисунок 22 Рисунок 23 1-12