курсовая

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
ФГБОУ ВО ТУВИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
КАФЕДРА ИНФОРМАТИКИ
Курсовая работа
на тему:
«Элементы теории вероятностей для подготовки к ОГЭ по математике»
Выполнила:
студентка 4 курса ЗФО ФМФ
Направление 44.03.05 Педагогическое образование
(с двумя профилями подготовки)
«Информатика» и«Математика»
Доспан-Самбуу Чаяна Сергеевна
Подпись:_____________________
Научный руководитель:
Хомушку Аяна Мергеновна
Подпись:______________________
Дата защиты « »___________2023 г.
Работа защищена с оценкой________
_____________________
(подпись руководителя)
Кызыл – 2023
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ: ................................................. Ошибка! Закладка не определена.
Глава I. Научные основы теории вероятностейОшибка!
Закладка
не
определена.
1.1. Основные понятия теории вероятностейОшибка!
определена.
Закладка
не
1.2. Классическое определение вероятности................................................ 8
1.3 Формат ОГЭ………………………………………………………………..18
Глава II. Методические особенности изучения основОшибка! Закладка не
определена.
2.1 Задачи ОГЭ ........................................ Ошибка! Закладка не определена.
2.2 ............................................................. Ошибка! Закладка не определена.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ: .......................................... Ошибка! Закладка не определена.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ: ............................................ 40
ПРИЛОЖЕНИЕ - АНТИПЛАГИАТ. ........ Ошибка! Закладка не определена.
Введение
Теория вероятностей - раздел математики, изучающий закономерности
случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и
операции над ними.
Теория
вероятностей
является
одним
из
классических
разделов
математики. Она имеет длительную историю. Вероятностные и статистические
методы в настоящее время глубоко проникли в приложения. Они используются в
физике, технике, экономке, биологии и медицине. Особенно возросла их роль в
связи с развитием вычислительной техники. Например, для изучения физических
явлений
производят
наблюдения
или
опыты.
Их
результаты
обычно
регистрируют в виде значений некоторых наблюдаемых величин. При
повторении опытов мы обнаруживаем разброс их результатов. Например,
повторяя измерения одной и той же величины одним и тем же прибором при
сохранении определенных условий (температура, влажность и т.п.), мы получаем
результаты, которые хоть немного, но все же отличаются друг от друга. Даже
многократные измерения не дают возможности точно предсказать результат
следующего измерения. В этом смысле говорят, что результат измерения есть
величина случайная.
Случай, случайность - с ними мы встречаемся повседневно: случайная
встреча, случайная поломка, случайная находки, случайная ошибка. Этот ряд
можно продолжать бесконечно. Казалось бы, тут лет места для математики-какие
уж законы в царстве Случая! Но и здесь наука обнаружила интересные
закономерности-они позволяют человеку уверенно чувствовать себя при встреча
со случайными событиями.
Как наука теория вероятности зародилась в 17в. Возникновение понятия
вероятности было связано как с потребностями страхования, получившего
значительное распространение в ту эпоху, когда заметно росли торговые связи и
морские путешествия, так и в связи с запросами азартных игр. Слово «азарт»,
под которым обычно понимается сильное увлечение, горячность, является
транскрипцией французского слова hazard, буквально означающего «случай»,
«риск».
Азартными называют те игры, а которых выигрыш зависит главным
образом не от умения игрока, а от случайности. Схема азартных игр была очень
проста и могла быть подвергнута всестороннему логическому анализу. Первые
попытки этого рода связаны с именами известных учёных-алгебраиста
Джероламо Кардана (1501- 1576) и Галилео Галилея (1564-1642). Однако честь
открытия этой теории, которая не только даёт возможность сравнивать
случайные величины, но и производить определенные математические операции
с ними, принадлежит двум выдающимися ученым-Блезу Паскалю (1623-1662) и
Пьеру Ферма. Ещё в древности было замечено, что имеются явления, которые
обладают особенностью: при малом числе наблюдений над ними не наблюдается
никакой правильности, но по мере увеличения числа наблюдений всё яснее
проявляется определенная закономерность. Всё началось с игры в кости. [5]
Объект исследования - изучение алгоритмов решения задач.
Предмет исследования- применение изученных алгоритмов при решении
задач.
Цель курсовой работы-решить индивидуальные задачи на основе
изученного материала.
Задачи исследования:
Изучить основные понятия и законы в теории вероятности.
Научится применять основные формулы и законы теории вероятности при
решении задач.
На основе решенных задач сделать вывод о знании понятий, формул,
законов и алгоритмов решения задач по теории вероятности.
Глава I. Научные основы теории вероятностей
1. 1. Основные понятия теории вероятностей
Как любой другой раздел математики, теория вероятностей имеет свой
понятийный аппарат, который используется при формулировке определений,
доказательстве теорем и выводе формул. Рассмотрим понятия, которые будем
использовать при дальнейшем изложении теории.
Испытание – осуществление комплекса условий.
Исход испытания (элементарное событие) – любой результат который может
произойти при проведении испытания.
Примеры.
1) Испытание: подбрасывается игральный кубик.
Исходы испытания:
ω1 – на верхней грани кубика появилось одно очко;
ω2 – на верхней грани кубика появилось два очка;
ω3 – на верхней грани кубика появилось три очка;
ω4 – на верхней грани кубика появилось четыре очка;
ω5 – на верхней грани кубика появилось пять очков;
ω6 – на верхней грани кубика появилось шесть очков.
Всего возможно 6 исходов испытания (или 6 элементарных события).
2) Испытание: ученик сдает экзамен.
Исходы испытания:
ω1 – ученик получил двойку;
ω2 – ученик получил тройку;
ω3 – ученик получил четверку;
ω4 – ученик получил пятерку.
Всего возможно 4 исхода испытания (или 4 элементарных события).
3) Испытание: покупается лотерейный билет.
Исходы испытания:
ω1 – появился выигрышный билет;
ω2 – появился невыигрышный билет.
Всего возможно 2 исхода испытания (или 2 элементарных события).
4) Испытание: производится выстрел по мишени.
Исходы испытания:
ω1 – мишень поражена;
ω2 – мишень осталась целой.
Всего возможно 2 исхода испытания (или 2 элементарных события).
Замечание. Обозначение ω – является стандартным обозначением для
элементарного события, в дальнейшем мы будем пользоваться этим
обозначением.
Будем называть исходы данного испытания равновозможными, если исходы
испытания имеют одинаковые шансы на появление (примеры 1, 3, 4)
Пространство элементарных событий – множество всех элементарных
событий (исходов испытания), которые могут появиться при проведении
испытания.
В примерах, которые были рассмотрены выше, фактически были описаны
пространства элементарных событий данных испытаний.
Замечание. Число точек в пространстве элементарных событий (ПЭС), т.е.
число элементарных событий в дальнейшем будем обозначать буквой n .
Массовые однородные испытания – многократное повторение испытания в
одинаковых условиях.
Теперь можно более точно определить круг вопросов, которыми занимается
теория вероятностей.
Теория вероятностей изучает закономерности имеющие место при проведении
массовых однородных испытаний.
Рассмотрим основные определения, которыми мы будем пользоваться в
дальнейшем.
Определение 1. Событием называется совокупность некоторого числа точек
ПЭС.
События в дальнейшем мы будем обозначать большими латинскими
буквами: А, В, С .
Определение 2. Событие, которое может произойти, а может и не произойти
при проведении испытания, называется случайным событием .
Замечание. Любое элементарное событие так же является случайным событием.
Определение 3. Событие, которое происходит при любом исходе испытания,
называется достоверным событием .
Определение 4. Событие, которое не может произойти ни при каком исходе
испытания, называется невозможным событием .
Примеры.
1) Испытание: подбрасывается игральный кубик.
Событие А: на верхней грани кубика выпало четное число очков;
Событие В: на верхней грани кубика выпало число очков, кратное 3;
Событие С: на верхней грани кубика выпало 7 очков;
Событие D: не верхней грани кубика выпало число очков меньшее 7.
События А и В могут произойти, а могут и не произойти при проведении
испытания, поэтому это случайные события.
Событие С не может произойти никогда, поэтому оно является невозможным
событием.
Событие D происходит при любом исходе испытания, значит это достоверное
событие.
2) Испытание: из коробки, содержащей 3 красных, 3 желтых, 3 зеленых шара,
наудачу вынимают 4 шара.
Событие А: все вынутые шары одного цвета;
Событие В: все вынутые шары разных цветов;
Событие С: среди вынутых шаров есть шары разных цветов;
Событие D: среди вынутых есть шары всех трех цветов.
Событие А – невозможное: нельзя вытащить из коробки четыре шара одного
цвета, так как в ней только по три шара каждого цвета.
Событие В – тоже невозможное: шары в коробке трех цветов, а вынимаем мы
четыре шара.
Событие С – достоверное: все четыре шара не могут быть одного цвета,
поэтому среди них обязательно есть шары хотя бы двух цветов.
Событие D – случайное: может произойти (например, когда появятся красный,
красный, желтый, зеленый шары), а может и не произойти (например, когда
появятся красный, красный, зеленый, зеленый шары).
Определение 5. Элементарное событие ω называется благоприятствующим для
события А, если когда происходит элементарное событие ω, происходит и
событие А .
Замечание. Число элементарных событий, благоприятствующих для данного
события А, в дальнейшем будем обозначать буквой m .
Пример.
Испытание: подбрасывается игральный кубик.
Событие А: на верхней грани кубика выпало четное число очков;
Событие В: на верхней грани кубика выпало число очков, кратное 3.
Благоприятствующими для А событиями являются: ω2 – на верхней грани
кубика появилось два очка; ω4 – на верхней грани кубика появилось четыре
очка; ω6 – на верхней грани кубика появилось шесть очков; m = 3.
Благоприятствующими для В событиями являются: ω3 – на верхней грани
кубика появилось три очка; ω6 – на верхней грани кубика появилось шесть
очков; m = 2
Определение 6. Два события А и В называются несовместными, если они не
могут произойти при одном исходе испытания. Другими словами, если
появление одного события исключает появление другого.
Определение 7. Два события А и В называются совместными, если они могут
произойти при одном исходе испытания, или появление одного из них не
исключает появление другого.
Примеры.
1) Испытание: подбрасывается игральный кубик.
Событие А: на верхней грани кубика выпало четное число очков;
Событие В: на верхней грани кубика выпало число очков, кратное 3;
Событие С: на верхней грани кубика выпало нечётное число очков;
Событие D: на верхней грани кубика выпало число очков меньшее трех:
Событие Е: на верхней грани кубика выпало простое число очков.
События А и В являются совместными, так как если на верхней грани кубика
появится 6, то произойдет и событие А и событие В .
События А и С являются несовместными, так как не могут произойти
одновременно при одном подбрасывании кубика.
События А, D, Е являются совместными, так как число 2 одновременно
является четным, меньшим чем 3 и простым.
События С, D то же являются совместными, так как 1 является одновременно
нечетным и меньшим 3.
1.2. Классическое определение вероятности
Ранее рассмотрено, что случайные события при одних и тех же условиях могут
произойти, а могут и не произойти. При этом у одних случайных событий
шансов произойти больше (значит, они более вероятные – ближе к
достоверным), а у других меньше (они менее вероятные – ближе к
невозможным). Поэтому в первом приближении можно определить
вероятность, как степень возможности наступления того или иного события.
Понятно, что более вероятные события будут происходить чаще, чем менее
вероятные. Так что сравнивать вероятности можно по частоте, с которой
события происходят.
Попытаемся расположить на специальной вероятностной шкале следующие
события в порядке возрастания вероятности их появления.
Событие А: в следующем году первый снег в Хабаровске выпадет в
воскресенье;
Событие В: свалившийся со стола бутерброд упал маслом вниз;
Событие С: при подбрасывании игрального кубика выпадет 6 очков;
Событие D: при подбрасывании игрального кубика выпадет четное число
очков;
Событие Е: при подбрасывании игрального кубика выпало 7 очков;
Событие F: при подбрасывании игрального кубика выпадет число очков,
меньшее 7.
Итак, в начальной точке нашей шкалы расположим невозможные события, так
как степень возможности их наступления (вероятность) практически равна 0.
Таким образом, это будет событие Е. В конечной точке нашей шкалы
расположим достоверное событие – F. Все остальные события являются
случайными, попробуем расположить их на шкале в порядке возрастания
степени возможности их появления. Для этого мы должны выяснить какие из
них менее вероятные, а какие более вероятные. Начнем с события D: когда мы
подбрасываем игральный кубик, каждая из 6 граней имеет равные шансы
оказаться верхней. Четное число очков – на трёх гранях кубика, на трёх других
– нечетное. Значит, ровно половина шансов (3 из 6) за то, что
событие D произойдет. Поэтому расположим событие D в середине нашей
шкалы.
У события С только один шанс из 6, в то время как у события D – три шанса из
6 (как мы выяснили). Поэтому С менее вероятно и будет расположено на шкале
левее события D .
Событие А еще менее вероятно, чем С, ведь в неделе 7 дней и в любой из них с
равной вероятностью может выпасть первый снег, поэтому у события А один
шанс из 7. Событие А, таким образом, будет расположено еще левее, чем
событие С .
Труднее всего расположить на шкале событие В. Здесь нельзя точно подсчитать
шансы, но можно призвать на помощь жизненный опыт: бутерброд гораздо
чаще падает на пол именно маслом вниз (есть даже «закон бутерброда»),
поэтому событие В гораздо вероятнее, чем D, поэтому на шкале расположим
его правее, чем D. Таким образом, получим шкалу:
ЕАСDВF
невозможное случайные достоверное
Построенная вероятностная шкала не совсем настоящая – на ней нет числовых
меток, делений. Тогда встает задача научиться вычислять степень возможности
наступления (вероятность) того или иного события.
В теории вероятностей в зависимости от того, каким условиям удовлетворяют
испытания, существует несколько определений вероятности. Рассмотрим
только одно из них и научимся решать задачи на вычисление такой
вероятности.
Пусть проводится одно испытание, удовлетворяющее следующим условиям:
1) число исходов испытания конечно (равно n );
2) исходы испытания являются несовместными;
3) исходы испытания являются равновозможными.
Перечисленные условия составляют так называемую классическую схему
испытаний (КСИ).
Определение 8. Вероятностью события в классической схеме
испытаний называется число, равное отношению числа исходов испытания,
благоприятствующих для данного события, к числу всех исходов испытания.
Обычно вероятность события А обозначают Р(А). Таким образом,
где m – число исходов испытания, благоприятствующих для события А ;
n – число всех исходов данного испытания.
Решение задач на вычисление вероятности в классической схеме испытаний
обычно осуществляется по следующему алгоритму.
Алгоритм вычисления вероятности в КСИ
1) Формулируется испытание.
2) Определяется ПЭС данного испытания и число n — число точек в нём.
3) Проверяется, удовлетворяет ли испытание (КСИ).
4) Формулируется событие А, вероятность которого нужно найти.
5) Определяется число m – число элементарных событий, благоприятствующих
событию А .
6) Вычисляется вероятность события А по формуле (1).
Задача 1. Абонент забыл последнюю цифру телефонного номера и набрал её
наудачу, помня только, что эта цифра нечетная, найдите вероятность того
что, номер набран правильно.
Решение. Воспользуемся предложенным алгоритмом.
1) Испытание. Наудачу выбирают одну из нечетных цифр.
2) ПЭС: каждое элементарное событие ω – появление какой-то из нечетных
цифр. Так как нечетных цифр всего 5, то n = 5.
3) Проверим условия КСИ: 1) число исходов испытания конечно n = 5;
2) так как при выборе одной цифры не может появиться одновременно две
различных цифры, то исходы испытания несовместны;
3) так как выбор происходит наудачу, то шанс выбора конкретной цифры
одинаков для каждой цифры, т.е. исходы испытания равновозможные. Таким
образом, все условия КСИ выполнены.
4) Событие. А: выбрали правильную цифру.
5) Среди пяти нечетных цифр только одна правильная, поэтому число исходов
благоприятствующих Соб. А m = 1.
6) = 0,2
Ответ: Р(А) = 0,2.
Замечание. Из определения 8 ясно, что вероятность это число всегда не
меньшее нуля и не большее 1.
Задача 2. В классе учится 10 мальчиков и 20 девочек.
а) На класс дали один билет в цирк, который решено разыграть по жребию.
Какова вероятность того, что в цирк пойдет девочка?
б) Учитель истории знает, что 3 мальчика и 5 девочек из класса были накануне
в кино, поэтому не выучили домашнее задание. К сожалению, он не знает их
фамилий, но очень хочет поставить кому-нибудь двойку. Кого ему лучше
вызвать к доске – мальчика или девочку?
Решение. а) Непосредственно воспользуемся алгоритмом.
1) Испытание. По жребию разыгрывается один билет среди 30 учеников.
2) ПЭС: каждое элементарное событие ω – билет достался одному из 30
учеников, поэтому число точек в ПЭС n = 30.
3) Проверяем условия КСИ: 1) число точек в ПЭС конечно n = 30;
2) исходы испытания несовместны, т.к. жребий выпадает только одному
ученику;
3) т.к. выбор происходит по жребию, все ученики имеют равные шансы пойти в
цирк, т.е. исходы испытания равновозможные.
4) Событие А. Билет достался девочке.
5) Так как в классе 20 девочек, то число исходов испытания,
благоприятствующих Событию А m = 20.
6) = = .
Ответ: Р(А) = .
б) Для ответа на вопрос задачи вычислим вероятность того, что вызванная к
доске девочка не выучила урок; и вероятность того, что вызванный к доске
мальчик не выучил урок. Вычислять эти вероятности будем по алгоритму.
1) Испытание. Наудачу к доске вызывается девочка.
2) ПЭС: каждое элементарное событие ω – появление у доски какой-то девочки
из 20, поэтому число точек в ПЭС n = 20.
3) Проверим условия КСИ: 1) число точек в ПЭС конечно n = 20.
2) исходы испытания несовместны;
3) так как выбор происходит наудачу, то исходы испытания равновозможные.
4) Событие А. Вызванная девочка не выучила домашнего задания.
5) Так как домашнее задание не выучили 5 девочек, то число исходов,
благоприятствующих для Событию А m = 5.
6) = =0,25.
Таким образом, вероятность того, что вызванная к доске девочка, оказалась той
самой, которая ходила в кино, равна 0,26. Найдем вероятность того, что
вызванный к доске мальчик не выучил урок.
1) Испытание: наудачу к доске вызывается мальчик.
2) ПЭС: n = 10.
3) КСИ выполняется .
4) Соб ытие А: Вызванный мальчик не выучил домашнего задания.
5) m = 3.
6) = .
Сравним полученные вероятности , поэтому обиженный тем, что в кино ходили
без него учитель должен вызвать к доске мальчика, так как в этом случае у него
больше шансов поставить двойку.
Задача 3. Одновременно подбрасывают три монеты. А) Найти вероятность
того, что все монеты упадут на одну сторону. Б) Найти вероятность того,
что выпадет хотя бы один «герб».
Решение. А)
1) Испытание Подбрасывается 3 монеты одновременно.
2) ПЭС: выпишем все возможные исходы испытания, обозначив буквой Г –
появление «герба», а буквой Ц – появление «цифры»:
{ГГГ; ГГЦ; ГЦГ; ЦГГ; ЦЦГ; ЦГЦ; ГЦЦ; ЦЦЦ},n = 8.
3) Проверим условия КСИ: 1) число исходов испытания n = 8 конечно;
2) так как при однократном подбрасывании трех монет может появиться только
один из перечисленных исходов, то исходы испытания несовместны;
3) так как шансы на выпадение «герба» или цифры» на каждой из монет
одинаковые, то исходы испытания равновозможные.
4) Событие А: все три монеты упали на одну сторону.
5) Среди перечисленных исходов испытания только два – ГГГ; ЦЦЦ –
благоприятствуют Событию А, поэтому m = 2.
6) = = 0,25.
Решим задача под буквой Б).
1) Испытание Подбрасывается 3 монеты одновременно.
2) ПЭС: выпишем все возможные исходы испытания, обозначив буквой Г –
появление «герба», а буквой Ц – появление «цифры»:
{ГГГ; ГГЦ; ГЦГ; ЦГГ; ЦЦГ; ЦГЦ; ГЦЦ; ЦЦЦ},n = 8.
3) Проверим условия КСИ: 1) число исходов испытания n = 8 конечно;
2) так как при однократном подбрасывании трех монет может появиться только
один из перечисленных исходов, то исходы испытания несовместны;
3) так как шансы на выпадение «герба» или «цифры» на каждой из монет
одинаковые, то исходы испытания равновозможные.
4) Событие А: при однократном подбрасывании трех монет появился хотя бы
один «герб».
5) Событие А среди перечисленных исходов благоприятствуют следующие:
ГГГ; ГГЦ; ГЦГ; ЦГГ; ЦЦГ; ЦГЦ; ГЦЦ, поэтому m = 7.
6) = .
Ответ: А) Р(А) = 0,25; Б) Р(А) = .
Замечание. Эта задача имеет и другое решение. Если иметь ввиду, что
проводится не одно испытание, а три, то эти испытания удовлетворяют так
называемой схеме Бернулли, решение задач в которой осуществляется по
другому алгоритму.
Как было выяснено, для вычисления вероятности в КСИ необходимо знать два
числа: m — число исходов, благоприятствующих событию и n – число всех
исходов данного испытания. В рассмотренных задачах мы эти числа находили
непосредственным подсчетом. Однако, при решении многих вероятностных
задач для вычисления этих чисел рационально применять комбинаторные
формулы.
Рассмотрим решение таких задач.
Задача 4. Какова вероятность того, что при случайном расположении в ряд
кубиков, на которых нанесены буквы а, г, и, л, м, о, р, т, получится слово
алгоритм?
Решение. Проводим по алгоритму.
1) Испытание Случайным образом располагают 8 кубиков в ряд.
2) ПЭС: каждое элементарное событие ω – слово из восьми букв, поэтому,
чтобы подсчитать число элементарных событий нужно решить комбинаторную
задачу: Скольким числом способов можно переставить 8 кубиков, на которых
написаны буквы а, г, и, л, м, о, р, т.
1) Определим число элементов во множестве из которого выбираем n = 8.
2) Определим число элементов в выборке m = 8.
3) Определим характер выборки: 1) упорядоченная; 2) без повторений.
4) Каждое расположение кубиков, т.е. каждое слово, есть перестановка без
повторений, поэтому 40320.
Таким образом, решив сформулированную комбинаторную задачу, мы нашли,
что ПЭС данного испытания содержит n = 40320 точек.
3) Проверим условия КСИ: 1) число точек в ПЭС конечно n = 40320;
2) одновременно два разных слова при однократном расположении в ряд
кубиков появиться не могут, поэтому исходы испытания несовместны;
3) так как располагаем кубики случайным образом, то исходы испытания
равновозможные. Условия КСИ выполняются.
4) Событие А: появилось слово алгоритм .
5) Этому событию благоприятствует только один исход испытания, т.е. m = 1.
6) = .
Ответ: Р(А) =
Задача 5. Имеется 25 российских и 15 зарубежных марок. Какова вероятность
того, что из пяти выбранных наугад марок окажется 3 российские и 2
зарубежные марки?
Решение.
1) Испытание Из 40 марок наудачу извлекают 5.
2) ПЭС: каждое элементарное событие ω – появление определенной пятерки
марок, поэтому чтобы определить число точек в ПЭС, нужно решить
комбинаторную задачу: скольким числом способов из 40 марок можно выбрать
5? Эту задачу решим по известному алгоритму:
1) Число элементов во множестве, из которого выбираем n = 40.
2) Длина выборки m = 5.
3) Характер выборки: 1) неупорядоченная; 2) без повторений.
4) Каждый набор из 5 марок есть сочетание без повторений, поэтому имеем =
658008.
Таким образом, число точек в ПЭС равно n = 658008.
3) КСИ выполняется .
4) Событие А: появились 3 российские и 2 зарубежные марки.
5) Чтобы определить число исходов, благоприятствующих данному событию
нужно решить комбинаторную задачу: скольким числом способов можно
выбрать 3 российские марки из 25 и 2 зарубежные марки из 15? В результате
решения получаем, что число исходов, благоприятствующих для События
А m = = 241500.
6) = 0,367.
Ответ: Р(А) = 0,367.
Замечание. Может показаться, что совсем не нужно каждый раз
останавливаться на проверке условий КСИ, так как они все равно выполняются.
Но это очень важный момент при решении вероятностной задачи.
1.3. Аксиомы теории вероятности
Определение 9. Суммой двух событий А и В называется событие АÈВ (А+В),
заключающееся в том, что произойдет хотя бы одно из событий А или В (либо
событие А, либо событие В либо А и В одновременно).
Определение 10. Произведением ( или пересечением) двух событий А и В
называется событие АÇВ (АВ), состоящее в одновременном появлении и
события А и события В.
Определение 11. Вероятность суммы двух событий вычисляется по
формуле (теорема сложения)
.
Определение 12. События А1, А2 ,..., Ак образуют полную группу событий,
если в результате испытания непременно произойдет одно из них, т.е. .
События А и В называются несовместными (непересекающимися), если они не
могут произойти одновременно АÇВ=Æ. Если события несовместны, то
Р(АВ) = 0 и Р(А + В) = Р(А) + Р(В).
Задача 6. В ящике 10 красных и 5 синих пуговиц. Вынимаются наудачу две
пуговицы. Какова вероятность, что пуговицы будут одноцветными?
Решение. Событие A={вынуты пуговицы одного цвета} можно представить в
виде суммы , где события и означают выборку пуговиц красного и синего цвета
соответственно. Вероятность вытащить две красные пуговицы равна, а
вероятность вытащить две синие пуговицы . Так как события и не могут
произойти одновременно, то в силу теоремы сложения
Помимо обычной (безусловной) вероятности можно рассматривать так
называемую условную вероятность, вычисляемую при условии, что событие B
произошло. Такую вероятность (вероятность А при условии В) обозначают
Р(А|В) и вычисляют с помощью одной из двух формул:
Из этой формулы вытекает формула для вероятности произведения двух
событий (теорема умножения)
Задача 7. В семье – двое детей. Какова вероятность, что старший ребенок –
мальчик, если известно, что в семье есть дети обоего пола?
Решение. Пусть А={старший ребенок – мальчик}, B={в семье есть дети обоего
пола}. Будем считать, что рождения мальчика и рождение девочки –
равновероятные события. Если рождение мальчика обозначить буквой М, а
рождение девочки – Д, то пространство всех элементарных исходов состоит из
четырех пар: . В этом пространстве лишь два исхода (МД и ДМ) отвечают
событию B. Событие AB означает, что в семье есть дети обоего пола и старший
ребенок – мальчик, это значит, что второй (младший) ребенок – девочка. Этому
событию AB отвечает один исход – МД. Таким образом, |AB|=1, |B|=2 и
Задача 8. Мастер, имея 10 деталей, из которых 3 – нестандартных, берет и
проверяет детали одну за другой, пока нему не попадется стандартная. Какова
вероятность, что он проверит ровно две детали.
Решение. Событие А={мастер проверил ровно две детали} означает, что при
такой проверке первая деталь оказалась нестандартной, а вторая – стандартная.
Значит, , где ={ первая деталь оказалась нестандартной } и ={вторая деталь –
стандартная}. Очевидно, что вероятность кроме того, (так как перед взятием
второй детали у мастера осталось 9 деталей, из которых только 2
нестандартные и 7 стандартных). По теореме умножения
Событие А не зависит от В, если появление события В не меняет значения
вероятности события А, т.е. условная вероятность равна безусловной: Р(А/В) =
Р(А). Аналогично определяется независимость события B от A. Оказывается,
что свойство независимости на самом деле симметрично относительно событий
A и B, и потому определение независимости двух событий принимает более
простой вид:
два события A и B независимы, если справедливо равенство
Р(АВ) = Р(А) × Р(В).
Это равенство можно использовать также как удобный критерий независимости
при практической проверке независимости двух событий.
Задача 9. В одном ящике 3 белых и 5 черных шаров, в другом ящике – 6 белых
и 4 черных шара. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет
вынут один белый шар, если из каждого ящика вынуто по одному шару.
Решение. Событие A={хотя бы из одного ящика вынут белый шар} можно
представить в виде суммы , где события и означают выборку одного белого
шара из первого и второго ящика соответственно. Вероятность вытащить белый
шар из первого ящика равна, а вероятность вытащить белый шар из второго
ящика . Кроме того, в силу независимости и имеем: . По теореме сложения
получаем:
Пусть событие А может быть реализовано только при условии появления
одного из событий Hi, i = 1,..., n. Предположим, что события Hi несовместны,
образуют полную группу (т.е. в результате испытания непременно произойдет
одно из них) и вероятности их до опыта известны… Такие события Hi
называются гипотезами. Тогда вероятность события А можно вычислить с
помощью формулы полной вероятности:
1.3 Формат ОГЭ.
Есть такое коварное задание в ОГЭ по математике – "Теория вероятности".
Это задание, которое позволит ученику набрать нужные баллы, важно в нем
разобраться.
Что такое вероятность
Вероятность - это степень наступления какого-либо события. Вероятность
изменяется числом от 0 до 1.
Отрицательные числа и числа больше единицы ответом быть не
могут!
Как понять результат своего вычисления:
1 - событие точно произойдет (достоверное событие)
от 0 до 1 - произойдет с каким-то шансом, может произойти, а может и
нет (случайное событие)
0 - точно не произойдет (невозможное событие)
В ОГЭ мы работаем со случайными событиями, ответ 1 или 0 в задании
получиться не может!
Вероятность любого события можно найти по этой формуле:
Данная формула позволяет решить 80% заданий на ОГЭ, но есть ещё
20% которые необходимо научиться решать.
Пример 1: В пенале лежат 4 ручки, одна из них гелиевая . Какова
вероятность взять не гелиевую ручку, выбирая случайным образом.
Ход решения:
1. Всего событий - 4 ручки.
2. Если 1 ручка гелиевая, значит, 3 не гелиевые.
3. Нам нужна не гелиевая, значит, количество благоприятных исходов
для нас – 3.
4. А всего ручек 4 – это количество всех исходов.
5. Далее решаем по формуле. 3 делим на 4 и переводим в десятичную
дробь (ответы на ОГЭ принимаются только в виде десятичных дробей).
ОТВЕТ: 0,75.
НИКАКИХ ПРОЦЕНТОВ! Если этого не просят!
Когда событие одно – решить легко, но их может быть несколько...
Разберем ВСЁ, что может попасться на экзамене
Несовместные события
События А и В несовместные, если они не могут произойти одновременно.
Пример: "получить на ОГЭ по математике 5" и "получить на ОГЭ по
математике 4" – это несовместные события. Ты получишь либо 4, либо 5.
Ставится только одна оценка.
По формуле:
Р - это вероятность. Чтобы найти вероятность несовместных событий
(наступит или событие А, или событие Б), нужно найти вероятность наступления
каждого и сложить их.
Задача на несовместные события
Как проверить, что события несовместные
Задать вопрос: "А могут ли они наступить одновременно?" Если в
задаче написано, что Наташа берет наугад 1 пирожок с тарелки, а там их много,
она не может взять одновременно 2! Так сказано в условии.
Противоположные события
Два события называются противоположными, если в данном испытании
они несовместны и одно из них обязательно происходит.
Формула для расчета противоположных событий
Отличие от несовместных
В том, что несовместные события могут и не произойти, а одно из
противоположных обязательно произойдет.
Например: "получить на ОГЭ по математике 5" и "получить на ОГЭ по
математике 4" – это несовместные события. Но! Ты можешь получить и 3, и 2.
Ты получишь 4 или 5 не со стопроцентной вероятностью. Поэтому такие
события не являются противоположными.
Противоположное событие - подбросить монету, выпадет либо орел, либо
решка. Не выпасть орел или решка не могут! И третьего не дано! Обязательно на
какую-то сторону монета упадет, мы не учитываем, что монета упадет на ребро.
Ещё примеры несовместных событий для понимания:

попасть в мишень и не попасть в мишень

выздороветь и не выздороветь

готовиться к экзаменам и не готовиться к экзаменам
С несовместными разобрались, осталось самое сложное...
Независимые события
События А и Б независимы, если появление одного из них не меняет
вероятности появления другого.
Пример независимых событий: попасть в мишень при первом выстреле
и попасть в мишень при втором выстреле. После первого выстрела стрелок хуже
стрелять не стал, мишень не передвинули, ветер сильнее дуть не стал. Поэтому
вероятность попадания в обоих случаях одинаковая. Условия одинаковые.
Пример зависимых событий: вытащить из мешка с игрушками мягкую
игрушку в первый раз и вытащить мягкую игрушку во второй раз. Вероятность
во втором случае изменится, ведь в мешке после первого раза стало на 1 мягкую
игрушку меньше (количество благоприятных исходов и количество всех исходов
стало на 1 меньше).
Общая характеристика учебного предмета
Теория вероятностей и математическая статистика сформировались
в научные дисциплины позже большинства других разделов математики.
Она необходима для приобретения конкретных знаний и практически
значимых умений, формирования современного мировоззрения. Знакомство
с основными принципами сбора, анализа и представления данных об
обществе и государстве приобщает школьников к общественным
интересам, вносит вклад в развитие логического мышления учащихся.
Цели
Изучение теории вероятностей и статистики на ступени основного общего
образования направлено на достижение следующих целей:
а) дать законченное элементарное представление о теории вероятностей и
статистике и их тесной взаимосвязи;
б)подчеркнуть тесную связь разделов математики с окружающим миром, как
на стадии введения математических понятий, так и на
стадии использования полученных результатов;
в) воспитание культуры личности, отношения к предмету как к части
общечеловеческой культуры, понимание значимости теории
вероятностей и статистики для научно-технического прогресса.
Место предмета
На изучение предмета отводится 1 час в неделю . Итого: по 34часа за
учебный год в 7, 8 и 9 классах.
Используемый учебно-методический комплект
Тюрин Ю. Н., Макаров А. А., Высоцкий И. Р., Ященко И. В. «Теория
вероятностей и статистика, 7 – 9 классы»: учебник для
общеобразовательных учреждений. Изд. ОАО «Московские учебники», 2008
г.
Багишова О.А. «Тетрадь по теории вероятностей и статистике 7 класс, 8 класс, 9
класс» Москва 2010 год
Тюрин Ю. Н., Макаров А. А., Высоцкий И. Р., Ященко И. В. «Теория
вероятностей и статистика»: методическое пособие для учителя
Изд. МЦНМО МИОО Москва, 2008 г.
Распределение учебных часов по разделам программы
7 класс
Представление данных в таблицах и диаграммах – 9 часов
Описательная статистика и случайная изменчивость – 9 часов
Введение в теорию вероятностей – 12 часа
Повторение – 4 часа
8 класс
Повторение – 2 часа
События и вероятности – 13 часов
Элементы комбинаторики – 11 часов
Испытания Бернулли – 7 часа
9 класс
Геометрическая вероятность – 6 часа
Случайные величины – 6 часов
Числовые характеристики случайных величин – 14 часа
Случайные величины в статистике – 8 часа
На протяжении изучения материала предполагается закрепление и отработка
основных умений и навыков, их совершенствование, а также
систематизация полученных ранее знаний.
Требования к уровню подготовки учащихся
В результате изучения курса учащиеся должны:
знать:
а) основные понятия и определения по теории вероятностей и статистике по
программе;
б) формулы нахождения вероятности события, сложения и умножения
вероятностей;
уметь:
а) уверенно искать нужную информацию в таблице;
б) выполнять элементарные вычисления по табличным данным;
в) строить столбиковые и круговые диаграммы по имеющимся данным;
г) объяснять и вычислять медиану, среднее арифметическое, размах и
дисперсию для набора чисел;
д) приводить примеры случайных событий и случайной изменчивости;
д) владеть алгоритмами решения основных задач;
е) пользоваться
статистическим
языком
для
описания
предметов
окружающего мира.
Глава II. Методические особенности изучения основ
2.1 Задачи ОГЭ
1. Из 1000 собранных на заводе телевизоров 5 штук бракованных. Эксперт
проверяет один наугад выбранный телевизор из этой 1000. Найдите
вероятность того, что проверяемый телевизор окажется бракованным.
Решение.При выборе телевизора наугад возможны 1000 исходов, событию A
«выбранный телевизор — бракованный» благоприятны 5 исходов. По
определению вероятности P(A) = 5÷1000 = 0,005. Ответ: 0,005.
2.В урне 9 красных, 6 жёлтых и 5 зелёных шаров. Из урны наугад достают
один шар. Какова вероятность того, что этот шар окажется жёлтым?
Решение. Общее число исходов равно числу шаров: 9 + 6 + 5 = 20. Число
исходов, благоприятствующих данному событию, равно 6. Искомая
вероятность равна 6÷20 = 0,3.Ответ: 0,3.
3. Петя, Вика, Катя, Игорь, Антон, Полина бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет мальчик.
Решение.Вероятность события равна отношению количества благоприятных
случаев к количеству всех случаев. Благоприятными случаями являются 3 случая,
когда игру начинает Петя, Игорь или Антон, а количество всех случаев 6. Поэтому искомое отношение равно 3:6=0,5. О т в ет: 0,5.
4. В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно
разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике
вперемешку лежат карточки с номерами групп: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4,
4, 4, 4. Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того,
что команда России окажется во второй группе?
Решение:Обозначим через А событие «команда России во второй группе». Тогда
количество благоприятных событий m = 4 (четыре карточки с номером 2), а
общее число равновозможных событий n = 16 (16 карточек) по определению
вероятности Р= 4: 16 = 0,25. О тв ет: 0 ,2 5
5.В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов из
Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет
стартовать спортсмен не из России.
Решение.Всего спортсменов 11 + 6 + 3 = 20 человек. Поэтому вероятность
того, что первым будет стартовать спортсмен не из России равна 9:20 = 0,45.
О т в ет : 0,45.
6. На каждые 1000 электрических лампочек приходится 5 бракованных. Какова вероятность купить исправную лампочку?
Решение.На каждые 1000 лампочек приходится 5 бракованных, всего их 1005.
Вероятность купить исправную лампочку будет равна доле исправных лампочек
на каждые 1005 лампочек, то есть 1000:1005=0,995.О тв ет : 0,995.
7.В группе туристов 8 человек. С помощью жребия они выбирают
шестерых человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами.
Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт
в магазин?6 : 8=0,75.
8. В чемпионате по футболу участвуют 16 команд, которые жеребьевкой распределяются на 4 группы: A, B, C и D. Какова вероятность того, что команда
России не попадает в группу A?
Решение. Каждая команда попадет в группу с вероятностью 0,25. Таким образом, вероятность того, что команда не попадает в группу равна 10,25=0,75.О тв ет : 0 ,7 5
9.На турнир по шахматам прибыло 26 участников в том числе Коля и Толя.
Для проведения жеребьевки первого тура участников случайным образом
разбили на две группы по 13 человек. Найти вероятность того, что Коля и
Толя попадут в разные группы.Решение. Всего 26 мест. Пусть Коля займет
случайное место в любой группе. Останется 25 мест, из них в другой группе 13.
Исходом считаем выбор места для Толи. Благоприятных исходов 13. Р=13/25 =
0,52.О тв ет: 0 ,5 2
10.В классе 16 учащихся, среди них два друга —Вадим и Сергей. Учащихся
случайным образом разбивают на 4 равные группы. Найдите вероятность
того, что Вадим и Сергей окажутся в одной группе.Решение.Если Сергею
первому досталось некоторое место, то Олегу остаётся 15 мест. Из них 3 —
в той же группе, где Сергей. Искомая вероятность равна 3/15.О тв ет : 0 ,2
11.В классе 21 учащийся, среди них два друга — Вадим и Олег. Класс
случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность
того, что Вадим и Олег окажутся в одной группе. Решение. Пусть один из
друзей находится в некоторой группе. Вместе с ним в группе окажутся 6
человек из 20 оставшихся учащихся. Вероятность того, что друг окажется
среди этих 6 человек, равна 6 : 20 = 0,3.
Ответ: 0,3
12.Перед началом первого тура чемпионата по настольному теннису
участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью
жребия. Всего в чемпионате участвует 16 спортсменов, среди которых 7
участников из России, в том числе Платон Карпов. Найдите вероятность
того, что в первом туре Платон Карпов будет играть с каким-либо
спортсменом из России? 6:15=0,4. Отв ет: 0 ,4 .
13. Перед началом первого тура чемпионата по шашкам участников
разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего
в чемпионате участвует 26 шашистов, среди которых 3 участника из
России, в том числе Василий Лукин. Найдите вероятность того, что в
первом туре Василий Лукин будет играть с каким-либо шашистом из
России?2: 25=0,08. Ответ: 0,08.
14.В классе 26 учащихся, среди них два друга —
Сергей и Андрей.
Учащихся случайным образом разбивают на 2 равные группы. Найдите
вероятность того, что Сергей и Андрей окажутся в одной группе.Ответ 12 :
25 = 0,48.
15. В классе 21 ученик, среди них 2 друга – Тоша и Гоша. На уроке
физкультуры класс случайным образом разбивают на 3 равные группы.
Найдите вероятность того, что Тоша и Гоша попали в одну группу.Ответ 6 :
20 = 0,3.
16.В классе 21 учащийся, среди них две подруги - Аня и Нина. Класс
случайным образом делят на семь групп, по 3 человека в каждой. Найдите
вероятность того, что Аня и Нина окажутся в одной группе.Ответ: 2: 20 =
0,1.
17.Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то
момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая
стрелка остановилась, достигнув отметки 7, но не дойдя до отметки
1.Ответ. 6 : 12= 0,5 ( 6 делений между 12 и 7, всего 12 делений)
18. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то
момент сломались и перестали ходить. Найдите вероятность того, что
часовая стрелка застыла, достигнув отметки 6, но не дойдя до отметки 9
часов.3:12 = 0,25
Противоположные события.
32.Вероятность того, что новая шариковая ручка пишет плохо (или не
пишет), равна 0,19. Покупатель в магазине выбирает одну такую ручку.
Найдите вероятность того, что эта ручка пишет хорошо.
Решение. Вероятность того, что ручка пишет хорошо, равна 1 − 0,19 = 0,81.
О т в ет : 0,81.
33. Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела
здорового человека окажется ниже 36,8°C равна 0,87. Найдите вероятность
того, что в случайный момент времени у здорового человека температура
тела окажется 36,8°C или выше. Ответ.1-0,87=0,13
34. При изготовлении подшипников диаметром 67 мм вероятность того, что
диаметр будет отличаться от заданного не больше, чем на 0,01 мм, равна
0,965. Найдите вероятность того, что случайный подшипник будет иметь
диаметр меньше чем 66,99 мм или больше чем 67,01 мм.
Решение.По условию, диаметр подшипника будет лежать в пределах от 66,99
до 67,01 мм с вероятностью 0,965. Поэтому искомая вероятность противоположного события равна 1 − 0,965 = 0,035. О т в ет : 0,035.
Несовместные и независимые события.
35.На экзамене по геометрии школьнику достаётся одна задача из сборника. Вероятность того, что эта задача по теме «Углы», равна 0,1. Вероятность того, что это окажется задача по теме «Параллелограмм», равна 0,6.
В сборнике нет задач, которые одновременно относятся к этим двум темам.
Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется задача
по одной из этих двух тем.Решение. Суммарная вероятность несовместных
событий равна сумме вероятностей этих событий: P=0,6+ 0,1 = 0,7. О т в ет :
0,7.
36.Вероятность того, что на тесте по биологии учащийся О. верно решит
больше 11 задач, равна 0,67. Вероятность того, что О. верно решит больше
10 задач, равна 0,74. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно
11 задач.
Решение.Рассмотрим события A = «учащийся решит 11 задач» и В = «учащийся
решит больше 11 задач». Их сумма — событие A + B = «учащийся решит больше 10 задач». События A и В несовместные, вероятность их суммы равна сумме
вероятностей этих событий: P(A + B) = P(A) + P(B). Тогда, используя данные
задачи, получаем: 0,74 = P(A) + 0,67, откуда P(A) = 0,74 − 0,67 = 0,07. О тв ет :
0,07.
37. Вероятность того, что на тесте по химии учащийся П. верно решит
больше 8 задач, равна 0,48. Вероятность того, что П. верно решит больше 7
задач, равна 0,54. Найдите вероятность того, что П. верно решит ровно 8
задач.Решение. Вероятность решить несколько задач складывается из суммы
вероятностей решить каждую из этих задач. Больше 8: решить 9-ю, 10-ю ...
Больше 7: решить 8-ю, 9-ю, 10-ю ...Вероятность решить 8-ю =0,540,48=0,06.О тв ет : 0 .0 6
38.На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что
случайно нажатая цифра будет меньше 4?Ответ: 4 : 10 = 0,4.
39.Биатлонист пять раз стреляет по мишеням. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найдите вероятность того, что биатлонист первые три раза попал в мишени, а последние два промахнулся. Результат округлите до сотых.
Решение.Поскольку биатлонист попадает в мишени с вероятностью 0,8, он
промахивается с вероятностью 1 − 0,8 = 0,2. Cобытия попасть или промахнуться при каждом выстреле независимы, вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей. Тем самым, вероятность события «попал, попал, попал, промахнулся, промахнулся» равна
0,8•0,8•0,8•0,2•0,2=0,02048.О тв ет: 0 .0 2 0 4 8 .
2 .2
Технологическая карта открытого урока
Предмет – алгебра
Класс – 9
Тема урока: "Ключевые задачи по теории вероятности для подготовки
к ОГЭ. Задачи с монетами и игральными кубиками"
Цели обучения:
1. Развитие математического мышления учащихся;
2. Продолжить рассмотрение разных видов задач по теории вероятностей и
методы их решения.
Цели воспитания:
1. Уметь соблюдать правила работы в группах;
2. Воспитание познавательной активности, интереса к предмету;
Цели развития:
1. Вырабатывать умения анализировать, выделять главное, сравнивать.
2. Совершенствовать навыки самостоятельной работы;
3. Развивать внимание, наблюдательность, память, логическое мышление.
Технология: деятельностный подход, проблемное обучение.
Комментарий к конспекту урока: Дети в 9 классах школы большей
частью очень «слабые», вычислительные навыки сформированы на низком
уровне, считают очень медленно. Поэтому главной целью уроков считаю
качество, а не количество. Разбираем задачи не спеша, делая акцент на
основных этапах.
Эпиграф: "Крупное научное открытие дает решение крупной проблемы, но и в
решении любой задачи присутствует крупица открытия".
Венгерский математик Дьёрдь Пойа
Этапы урока
I.Организацион-ный
момент
Шаги урока
Деятельность учителя
1.Проверка
рабочих мест
Приветствие. Проверка готовности к
уроку
2.Мотивация
См. эпиграф.
На прошлом уроке мы начали
открывать такой раздел, как «теория
вероятности». Это последнее задание
из первой части ОГЭ (модуль
«Реальная математик»), которое вы
только начали учиться решать на
примере простейших задач. Ваша
задача сегодня на уроке – научиться
решать вероятностные задачи на
бросание монет и кубиков и составить
алгоритмы их решения.
Прежде чем приступить к решению
задач, вспомним основные понятия
этого раздела: событие, виды событий,
вероятность события, правило
нахождения вероятности события.
1. Определение события
II.фронтальноАктуализация
самостоятельная
работа
2. Виды событий
Деятельность ученика
Проверка рабочих мест
Время,
мин.
0,5
1,5
Отвечают на вопросы.
Событие – то что может
произойти или не
произойти.
События: достоверные,
невозможные, случайные.
События: совместные и
несовместные.
2
События: равновозможные
и неравновозможные.
3. Определение вероятности
4. Правило нахождения вероятности
случайного события
5. На листах расположена таблица. Я
зачитываю событие, вы для
каждого из перечисленных событий
определяете, каким оно будет
являться: достоверное, возможное,
невозможное. Ответы отмечаете в
таблице.
Затем обмениваетесь и проверяете.
Записываете количество правильных
Вероятностью события
называют отношение числа
тех исходов, в результате
которых наступает событие,
к общему числу всех
(равновозможных между
собой) исходов этого
испытания.
Вероятность события А
определяется формулой
Р(A) = m / n,
где m - число элементарных
исходов,
благоприятствующих A, n –
общее число всех
равновозможных
несовместных
элементарных исходов;
4 мин.
Заполняют таблицу,
обмениваются и проверяют.
ответов. Это будет учитываться при
выставлении оценки за урок.
6. Вспомним, как решаются
элементарные задачи по теории
вероятности.
1) В вазочке перемешаны 7 конфет
«Чародейка» и 3 конфеты «Белочка».
Когда из-за аварии погас свет, Маша
наугад схватила одну конфету. Какова
вероятность, что ей досталась
«Белочка»?
2) В соревновании по толканию ядра
участвуют 4 спортсмена из России, 9
спортсменов из Белоруссии, 7
спортсменов из Грузии и 5 – из
Словении.
Порядок, в котором выступают
спортсмены, определяется жребием.
Найдите
вероятность того, что спортсмен,
который выступает последним,
окажется из
России?
Оцените свое решение задач: если все
верно, то 2 балла, верно 1 задание – 1
балл, неверно – 0 баллов. (на обратной
стороне листа с таблицей).
Сделаем вывод: чтобы найти
вероятность события, надо определять
количество всевозможных исходов
1) Р=3/10=0,3
2) Р=4/25=0,16
Вероятность не может быть
отрицательной и больше
события и количество исходов,
единицы.
благоприятствующих данному
событию.
Что еще важно помнить при
вычислении вероятности события? (это
своеобразная проверка решения
задачи)
III. Решение
проблемных
задач
Работа в группах
Рассмотрим группу задач из ОГЭ по
теории вероятности на бросание монет
и игральных костей. Вы работаете в
группе (4 чел.), обсуждаете решение
предложенной вам задачи, решаете ее и
готовите защиту (один человек от
группы). За работу в группе вы себе
выставляете оценку. Тот, кто работает у
доски – оценка выше.
(задачи подобраны по силам)
Обратите внимание: перед решением
мы составляли схему!
1 группа. Монета брошена два раза.
Какова вероятность выпадения одного
«орла» и одной «решки»?
Ученики самостоятельно
выполняют задание в
группах решают
предложенную задачу, а
затем подготавливают
защиту решения.
Решение:
При бросании одной
монеты возможны два
исхода –
«орёл» или «решка».
При бросании двух монет
– 4 исхода (2*2=4):
«орёл» - «решка»
«решка» - «решка»
«решка» - «орёл»
«орёл» - «орёл»
Один «орёл» и одна
Решение
– 7 мин.
Защита
– по 3
мин.
2 группа. Монета брошена три раза.
Какова вероятность выпадения двух
«орлов» и одной «решки»?
«решка» выпадут в двух
случаях из четырёх.
Р(А)=2:4=0,5.
Ответ. 0,5.
Решение.
При бросании трёх монет
возможны 8 исходов
(2*2*2=8):
«орёл» - «решка» «решка»
«решка» - «решка» «решка»
«решка» - «орёл» «решка»
«орёл» - «орёл» «решка»
«решка» - «решка» -«орёл»
«решка» - «орёл» «орёл»
«орёл» - «решка» «орёл»
«орёл» - «орёл» - «орёл»
Два «орла» и одна
«решка» выпадут в трёх
3 группа. Определите вероятность того, случаях из восьми.
что при бросании кубика выпало
Р(А)=3:8=0,375.
больше трёх очков.
Ответ. 0,375.
Решение.
Всего возможных исходов
– 6.
4 группа. Брошена игральная кость.
Найдите вероятность того, что выпадет
чётное число очков.
Числа большие 3 - 4, 5, 6.
Р(А)= 3:6=0,5.
Ответ: 0,5.
5 группа. В случайном эксперименте
бросают две игральные кости. Найдите
вероятность того, что в сумме выпадет
8 очков. Результат округлите до сотых.
Решение.
Всего возможных исходов
– 6.
1, 3, 5 — нечётные числа;
2, 4, 6 —чётные числа.
Вероятность выпадения
чётного числа очков равна
3:6=0,5.
Ответ: 0,5.
6 группа. Брошены две игральные
кости. Какова вероятность, что на
первой кости выпадет число 5, а на
второй – число, не больше пяти. Ответ
округлите до сотых.
Решение.
У данного действия —
бросания двух игральных
костей — всего
36 возможных исходов.
Благоприятные исходы:
26
35
44
53
62
Вероятность выпадения
восьми очков равна 5:36 ≈
0,14.
Ответ. 0,14.
Решение:
Составляем таблицу и
Алгоритм решения задач: 1) составить
все возможные варианты исходов
испытания; 2) выбрать те события,
которые благоприятствуют заданному
событию; 3) вычислить вероятность
события.
Задание на дом
Комментирование Дома для закрепления решения задач
д/з
выполнить следующие задания:
1) Решить задачи с карточки (3);
2) Самим подобрать задачи на
бросание кубиков и монет (5) и
решить их.
Домашнее задание.
1. Какова вероятность того, что при
бросании игрального кубика
выпадет не меньше 4 очков?
2. Какова вероятность того, что при
трех бросаниях монеты три раза
выпадет орел?
3. В случайном эксперименте
бросают две игральные кости.
Найдите вероятность того, что
в сумме выпадет 10 очков. Результат
округлите до сотых.
выбираем нужные клетки.
Р=5/36=0,13888888=0,14
Задают вопросы по
домашнему заданию
1
Итог урока
При кажущейся простоте этих задач в
них есть "подводные камни". В
условии задачи часто не заданы явно
ни число элементарных событий, ни
число благоприятных событий,
поэтому используя знакомую формулу
и сформулированный алгоритм
решения задач, вы можете справиться с
решением задач по теории вероятности.
Это еще одно из доступных для
решения всеми заданий на ОГЭ.
Остались ли у вас вопросы? На
следующих уроках мы еще будем
отрабатывать данный тип задач.
На своих оценочных листах поставьте
знаки:
! – все понятно
!? – есть вопросы
? – ничего непонятно
Сдайте листы.
2
Проводят рефлексию.
"Крупное научное открытие дает решение крупной проблемы, но и в
решении любой задачи присутствует крупица открытия"
(Венгерский математик Дьёрдь Пойа)
1 группа
2 группа
3 группа
Монета брошена два
Монета брошена три
Определите
раза. Какова
раза. Какова
вероятность того, что
вероятность выпадения
вероятность выпадения
при бросании кубика
одного «орла» и одной
двух «орлов» и одной
выпало больше трёх
«решки»?
«решки»?
очков.
4 группа
5 группа
6 группа
Брошена игральная
В случайном
Брошены две
кость. Найдите
эксперименте бросают
игральные кости.
вероятность того, что
две игральные кости.
Какова вероятность, что
выпадет чётное число
Найдите вероятность
на первой кости
очков.
того, что в сумме
выпадет число 5, а на
выпадет 8 очков.
второй – число, не
Результат округлите
больше пяти. Ответ
до сотых.
округлите до сотых.
1. Солнце вращается вокруг Земли;
2. Вы являетесь участником зимних олимпийских игр;
3.Вы победитель в викторине;
4.квадрат – это и ромб, и прямоугольник;
5. Мама старше своих детей;
6.Вам за урок поставят оценку «4»;
7.Параллельные прямые не пересекаются.
! - все понятно
!?- есть вопросы
? - ничего непонятно
Заключение
Итак, в работе были рассмотрены вероятность как событие,
классическая вероятностная модель, аксиомы теории вероятности.
Опыт, эксперимент, наблюдение явления называются испытанием.
Испытаниями, например, являются: бросание монеты, выстрел из
винтовки, бросание игральной кости (кубика с нанесенным на каждую
грань числом очков — от одного до шести).
Результат (исход) испытания называется событием. Событиями
являются: выпадение герба или выпадение цифры, попадание в цель или
промах, появление того или иного числа очков на брошенной игральной
кости.
Можно ли как-то измерить возможность появления некоторого
случайного события? Другими словами, можно ли охарактеризовать эту
возможность некоторым числом? Всякое испытание влечет за собой
некоторую совокупность исходов — результатов испытания, т. е.
событий. Во многих случаях возможно перечислить все события,
которые могут быть исходами данного испытания.
Из приведенного классического определения вероятности вытекают
следующие ее свойства: 1. Вероятность достоверного события равна
единице. Действительно, достоверному событию должны
благоприятствовать все n элементарных событий, т.е. m = n, и,
следовательно,
2. Вероятность невозможного события равна нулю. В самом деле,
невозможному событию не может благоприятствовать ни одно из
элементарных событий, т.е. m = 0, откуда
3. Вероятность случайного события есть положительное число,
заключенное между нулем и единицей.
Список используемой литературы
1. Баврин И.И. Теория вероятностей и математическая статистика — М.:
Высш. шк., 2005.— 160 с.
2. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики.
М.: Наука, 2005. — 200 с.
3. Боровков А.А. Математическая статистика. М.: Наука, 2004. — 440 с.
4. Вентцель Е. С. Задачи и упражнения по теории вероятностей: Учеб.
пособие для студ. втузов / Е. С. Вентцель, Л. А. Овчаров. — 5-е изд.,
испр. — М.: Издательский центр «Академия», 2006. — 448 с.
5. Вуколов Э.А., Ефимов А.В., Земсков В.Н., Поспелов А.С. Сборник
задач по математике для втузов. В 4-х ч. ч. 4. — М., Физматлит, 2004432 с.
6. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика —
М., Высш.шк., 2003.- 479 с.
7. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей
и математической статистике. — М., Высш.шк., 2004.- 404 с.
8. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей: Учебник. Изд. 8-е, испр. и
доп. — М.: Едиториал УРСС, 2005. — 448 с. (Классический
университетский учебник.).
9. Кибзун и др. Теория вероятностей и математическая статистика.
базовый курс с примерами и задачами. М.: Физматлит, 2007. — 224 с.
10. Коршунов Д.А., Чернова Н.И. Сборник задач и упражнений по
математической статистике. Новосибирск: Изд-во Института
математики им. С.Л.Соболева СО РАН, 2008.
11. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М.:
Мир, Т.2, 2004.
12. Теория вероятностей: Учеб. для вузов. — 3-е изд., испр. / А.В.
Печинкин, О.И. Тескин, Г.М. Цветкова и др.; Под ред. B.C. Зарубина,
А.П. Крищенко. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2004. -456 с.