А.А. Гаврилов

РАСЧЕТ ФОРМ И ЧАСТОТ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ НЕРАЗРЕЗНОЙ
БАЛКИ ТОНКОСТЕННОГО ПРОФИЛЯ НА ОСНОВЕ ЧИСЛЕННОГО
АЛГОРИТМА
А.А. Гаврилов
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
профессионального образования "Оренбургский государственный университет"
460018, Оренбург, Россия
Г.И. Гребенюк
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
профессионального образования "Новосибирский государственный архитектурностроительный университет (Сибстрин)"
630008, Новосибирск, Россия
Объектом исследования является неразрезная балка с бисимметричным сечением в
виде тонкостенного профиля, имеющего участки, как с замкнутым, так и с открытым
контуром. В некоторых случаях динамические воздействия, оказываемые на элементы
подобных конструкции, невелики, но, при близости значений частот возбудителя колебаний и собственным частотам, амплитуда колебаний возрастает, что может привести к
разрушению. Поэтому важно как можно более точно найти частоты собственных колебаний, что в случае тонкостенных стержней невозможно без учета стесненности депланации сечений и сопровождающих её вторичных сдвигов. Задачей исследования является
определение характеристик собственных колебаний конструкции и расчет напряженнодеформированного состояния этой конструкции при статическом нагружении.
Дифференциальные уравнения главных форм колебаний балки, полученные на основе уравнений для тонкостенного стержня, учитывающих вторичные сдвиги, из [1]
имеют вид
2
2
d 4 z   2 
E
 d  z  F  J1k11 2 


  1 z   0;

1  Fk11 
4
2
E  G
EJ1  G
dz
 dz

E


J  2  J k  1  J p k33   GJ k 2
d 4 z  1 3  k 33
d  z 
G



4
2
EJ 3 J k k33  1
dz
dz 2

(1)
J p 2
J k

2
1  3 33   z   0.
EJ 3 J k k33  1 
G

где  - вертикальное перемещение центра изгиба сечения (прогиб балки),  - угол
поворота сечения при изгибе и угол закручивания,  , E, G - плотность материала и модули упругости при растяжении-сжатии и сдвиге, k11, k33 - коэффициент формы сечения, J1 , J p , J k , J 3 - осевой и полярный моменты инерции, момент инерции при чистом
кручении и секториальный момент инерции, z - координата сечения.
Решение уравнений (1)для крутильно-депланационных колебаний стержня приве А.А. Гаврилов, Г.И. Гребенюк, 2013
1
дено в [3]. Изгибные колебания рассматриваются аналогично.
При рассмотрении колебаний неразрезной балки, имеющей n пролетов, опирающуюся на (n+1) шарниров, отвечающих условиям отсутствия прогибов и угла закручивания балки на опорах, отсутствия поворота опорного сечения в горизонтальной плоскости
  0,   0,   0,  2  0 , были получены частотные уравнения для изгибных колебаний
в двух плоскостях и крутильно-депланационных колебаний в виде уравнений трех моментов и трех бимоментов
M 1i 1  p2 sin p2li 1  r2shr2li1 sin p2li shr2li 
 M i r2 cos p2li shr2li  p2 sin p2li chr2li sin p2li1shr2li1 
 r2 cos p2li 1shr2li1  p2 sin p2li 1chr2li 1 sin p2li shr2li  
(2)
 M i 1  p2 sin p1li  r1shr1li sin p2li 1shr2li1  0.
Bi 1  p3 sin p3li  r3shr3li sin p3li 1shr3li 1 
Bi  p3 cos p3li 1shr3li 1  r3 sin p3li 1chr3li 1 sin p3li shr3li 
  p3 cos p3li shr3li  r3 sin p3li chr3li sin p3li 1shr3li 1  
(3)
 Bi 1  p3 sin p3li 1  r3shr3li ! sin p3li shr3li  0.
В этих уравнениях M 1i  , Bi - изгибающий момент и бимомент на i-ой опоре, li Fk 22 2
длина пролета, p j , r j - функции частот колебаний  ,  
1 .
G
Для определения частот свободных колебаний балки решаются системы из (n-1)
уравнений (2) и (3), учитывая, что на крайних опорах изгибающий момент и бимомент
равны нулю M 10   M 1n   0, B0  Bn  0 .
Таким образом, могут быть получены частоты изгибных и крутильнодепланационных колебаний неразрезной балки для различных форм.
Расчет балки на прочность и жесткость произведен в [3], при этом также учитывались сдвиги от стесненного кручения. На основе полученных аналитических выражений
составлен алгоритм и разработано программное средство расчета.
Для оценки влияния учета сдвигов производилось сравнение полученных значений
со значениями, полученными по теории [4]. В таблице приведено сравнение частот шести
первых главных форм собственных колебаний для двухпролетной балки двутаврового
сечения с длинами пролетов 1 м и 2 м. Значения частот представлены в безразмерном
виде:
~  l

E
Т а б л и ц а . Сравнение значений частот собственных колебаний
№ формы колебаний
С учетом сдвигов
Без учета сдвигов
Отн. отклонение
1
0,242
0,242
0,000
2
0,841
0,851
0,012
3
1,236
1,265
0,023
4
2,469
2,575
0,043
5
3,868
4,109
0,062
6
4,550
4,929
0,083
2
Рис. Зависимость частоты собственных колебаний от размеров сечения.
На рисунке показана зависимость частоты собственных колебаний рассматриваемой балки от относительных размеров сечения b/h.
Таким образом, влияние учета вторичных сдвигов на частоты колебаний увел ичивается для высоких форм колебаний. Кроме того, при определенных значениях характеристик балки влияние сдвигов на статические и динамические характеристики
системы становится выше.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Korbut B.A., Lazareva G.V. On the dynamical theory of thin-walled curvilinear rods // Applied mechanics, 1982.
Vol. 18, No. 5. P. 98-104.
2. Gavrilov A.A., Grebenuk G.I. The influence of the geometric characteristics of thin-walled at the frequencies of
free-torsional vibrations // Problems of optimal design of structures: Reports of the 2nd All-Russian Conference,
Novosibirsk: NGASU (Sibstrin), 2011. P. 74-79.
3. Gavrilov A.A., Grebenuk G.I. Calculation of the strength of continuous beams of thin-walled profile with the
secondary shifts // Proceedings NGASU (Sibstrin),. Novosibirsk, 2012. No. 2 2012. P. 46-50.
4. Bychkov D.V. Structural mechanics of thin-walled rod, Moscow: Gosstroyizdat, 1962.
3