Интегрированный урок (математика + физика) по теме "Производная и её

Интегрированный урок (математика + физика) по теме "Производная и её
применения. Разбор и обобщение заданий ЕГЭ». 10-й класс.
I.
Потребность в быстром и эффективном овладении знаниями вызывает к
жизни новые формы и методы обучения, новые образовательные
технологии. Одной их таких технологий является информационнокомпьютерная технология. В настоящее время компьютеризация учебного
процесса рассматривается как один из актуальных факторов организации
обучения любому предмету, включая математику и физику.
Наряду с этим важным моментом педагогической деятельности
является непосредственная связь любого предмета с другими учебными
дисциплинами и их взаимообогащение. Ярче всего эта интеграция
прослеживается в преподавании математики и физики. Ее установление
способствует более глубокому усвоению знаний, формированию научных
понятий и законов, совершенствованию учебно-воспитательного процесса,
формированию научного мировоззрения, единства материального мира,
взаимосвязи явлений в природе и обществе.
Интегрированный урок имеет и психологическое преимущество:
пробуждает интерес к предмету, снимает напряженность, неуверенность,
помогает сознательному усвоению подробностей, фактов, деталей, тем
самым обеспечивает формирование творческих способностей учащихся, т.к.
позволяет вести не только учебную, но и исследовательскую деятельность.
Оптимальной организации интегрированных уроков способствует
применение интерактивных компьютерных технологий.
Представленный интегрированный урок “Применение производной”
рассчитан на 45 минут урока, проводится в 10-ом классе.
Цель интегрированного урока – дать учащимся всесторонние
(углубленные и расширенные) знания о предмете изучения, его целостную
картину.
Основные его свойства – синтетичность и универсальность. Он
позволяет посвятить учащегося в конечные цели изучения не только данной
темы, раздела, но и всего материала, быстрее включить его в
познавательный процесс.
По своей структуре он является повторительно-обобщающим.
Оборудование урока:
Экран;
проектор;
персональный компьютер.
II. Рады
видеть всех, присутствующих на этом интегрированном уроке,
который позволит объединить знания по математике и физике.
(Слайд №2).Эпиграфом к уроку выбраны слова ученого-химика Евгения
Вагнера: “Вся глубина мысли, которая заложена в формулировку
математических понятий, впоследствии раскрывается тем умением, с
которым эти понятия используются”.
Цель наших совместных действий определим следующим образом:
в ходе урока мы должны убедиться в значимости знаний, получаемых на
уроках математики, и их прикладном характере и эффективности
использования при решении физических задач. Только осознанное
применение знаний, овладение математическим аппаратом, умение
логически мыслить позволит достичь успехов в покорении вершин других
наук.
III.
Какой математической операции посвящен урок, мы узнаем, если
правильно ответим на вопросы кроссворда.
(Слайды № 3 - 11)
Вопросы кроссворда:
1) Французский математик 17 века Пьер Ферма определял эту линию так:
“Прямая, наиболее тесно примыкающая к кривой в малой окрестности
заданной точки ”? (Касательная).
2) Раздел механики, изучающий механическое движение тел в
пространстве с течением времени? (Кинематика).
3) Приращение какой переменной обычно обозначатся х? (Аргумент).
4) Если функция дифференцируема в точке (х0), то она в этой точке …?
(Непрерывная).
5) Как в физике называется величина, равная скалярному произведению
векторов силы и перемещения? (Работа).
6) Какая величина характеризует изменение скорости тела? (Ускорение).
7) Если функцию можно представить в виде h(x) = g(f(x)), то функцию
называют ...? (Сложная).
Кроссворд заполнен, и мы по горизонтали читаем слово “Лагранж”.
С именем Лагранжа связана такая операция математического анализа, как
нахождение производной. Обратимся к истории появления в математике
термина “ производная”. Небольшая историческая справка-сообщение об
ученом Лагранже.
(Слайд №12)
В 19 лет он стал профессором в Артиллерийской школе Турина.
Именно Лагранж в 1791 г. ввёл термин “производная”, ему же мы
обязаны и современным обозначением производной (с помощью
штриха). Термин “вторая производная” и обозначение (два штриха)
также ввёл Лагранж.
IV.
Итак, теперь мы можем сформулировать тему урока: “Производная
и её применение».
(Слайд №13).
Ответим на следующие вопросы:
1. Что такое производная функции? (Число, к которому стремится
отношение у к х при х0 называется производной функции в
точке х0).
2. Какие основные правила дифференцирования используются при
вычислении производной? ((Производная суммы, произведения,
частного).
V.
На уроке мы будем систематизировать ключевые задачи и умении такие
как:
(Слайд №14).
СИСТЕМАТИЗИРУЕМ ЗАДАЧИ ПО
ТЕМЕ!!!
1. Умение дифференцировать.
применять
таблицу
правила
дифференцирования производных
2. Применение геометрического смысла
производной.
3. Применение физического смысла
производной.
Появление заставки названия теоретического и практического обобщения
«ключевые задачи и умения». Щелчки по слайду:
1 - появление названия «умение дифференцировать»,
2 – анимируется пояснения к первому пункту,
3 – появление «применение геометрического смысла производной»,
4 – появление «применение физического смысла производной» и управляющей
кнопочки,
5 - щелчок на управляющую кнопочку осуществляет переход к слайду.
VI.
Чтобы эффективно использовать производную при решении
конкретных задач, необходимо, как таблицу умножения, знать таблицу
производных элементарных функций. Убедимся в том, что вы эту
таблицу знаете в совершенстве.
Математический диктант. (Учащиеся выполняют задание на
отдельном бланке).
(Слайд № 15).
Ответы к диктанту. (Слайды №16, 17).
Обмен листочками с соседом по парте и проверка учащимися работы по
готовым ответам на слайде. Оценка «5» - за 10 верно выполненных
заданий, «4» - за 7 заданий. «3» - за 5 заданий.
Ответы к диктанту
1 вариант
1) 2x
2) -1/x2
3) K f ’(x)
2
4) -1/sin x
2 вариант
n-1
1) nx
2) 1/(2 )
3) u’(x) (x)+ ’(x)u(x)
4) – sin X
5) nxn-1
5) 0
Ответы к диктанту
6) 1/cos²x
7) u’( (x)) ’ (x)
8) 1
9) K
10) f ’(x0)
6) U’(x)+ ’(x)
7) cos X
8) (u’(x) (x) – ’(x)u(x))/ 2(x)
9) -1/
10) 1/
VII.
Переходим к следующему этапу урока, который покажет, как вы
владеете этим эффективным и универсальным инструментом - производная.
(Каждый ученик в течение урока, чтобы улучшить свой результат, на
своем бланке будет ставить 1 балл за верный ответ, который он получит,
если ответит на вопросы). (Слайд № 18).
1)
Примеры применения формул производной.
учащийся решает в тетради. Появление заставки; щелчки по слайду:
Каждый
САМОПРОВЕРКА!!!
Найдите производные функций.
1
f ( x)  3 cos( 2x)
f ( x)  (3 cos( 2x))  3(cos( 2x))  (2х) 
 3 sin( 2x)  2  6 sin( 2x)
 1 – анимируется условие первого задания,
 2 – анимируется проверка с решением первого задания,
 3- переход к следующему слайду.
2) Второе задание. (Слайд № 19). Появление условия второго задания;
щелчки по слайду
САМОПРОВЕРКА!!!
2
 (t ) 
2
sin( 3t 
3
)
2
 (t )  (sin( 3t   ))  (3t   ) 
3
2
 cos(3t   )  3  2 cos(3t   )
3
 1 – анимируется проверка с решением второго задания,
 2- переход к следующему слайду.
VIII.
Ответим на вопросы для проверки теоретических знаний по теме
«Геометрический смысл производной».
(Слайд № 20).
1. В чем состоит геометрический смысл
производной ?
2. В любой ли точке графика можно провести
касательную? Какая функция называется
дифференцируемой в точке?
3. Касательная наклонена под тупым углом к
положительному направлению оси ОХ.
Следовательно, • • • .
4. Касательная наклонена под острым углом к
положительному направлению оси ОХ.
Следовательно, • • • .
5. Касательная наклонена под прямым углом к
положительному направлению оси ОХ.
Следовательно, • • • .
6. Касательная параллельна оси ОХ, либо с ней
совпадает. Следовательно, • • • .
1) В чем состоит геометрический смысл производной? (Угловой
коэффициент касательной равен f  (x0).
2) В любой ли точке можно провести касательную? (Только в
дифференцируемой точке x0). Какая функция называется
дифференцируемой в точке? (Функцию, имеющую производную в точке x0).
3) Касательная наклонена по тупым углом к положительному
направлению оси ОХ, следовательно…? (f  (x0) 0, tg   0).
4) Касательная наклонена под острым углом к положительному
направлению оси ОХ, следовательно…? (f  (x0)  0, tg   0).
5) Касательная наклонена под прямым углом к положительному
направлению оси ОХ, следовательно…? (f  (x0) не существует, tg  =tg 90
не существует).
6) Касательная параллельна оси ОХ или с ней совпадает, следовательно
…? (f  (x0) = 0, tg  = 0).
IX.
(Зрительное восприятие формул). Геометрический смысл производной.
(Слайд №21). Появление заставки; щелчки по слайду:
ЗНАНИЕ ТЕОРИИ ОБЯЗАТЕЛЬНО!!!
f '(x₀) = tg α = к
угловой
коэффициент
касательной
значение
производной в
точке Х₀
тангенс угла
наклона
касательной к
положительному
направлению оси
ОХ


1 – анимируются теоретические знания по теме,
2 – переход к следующему слайду.
Примеры применения геометрического смысла производной.
Первое задание; щелчки по слайду: (Слайд № 22)
1. На рисунке изображен график функции y=f(x)
и
касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите
значение производной в точке x0.

y
3
tg α = - tg β
y=f(x)
1
0 1

тупой
tg α<0 f '(x0)<0
β
2 x0

tg α = - 3/2 =
= - 1,5 = f '(x0)
x
1 – анимируется выделение угла между касательной и положительным
направлением оси OX,
 2 – анимируются выделение этого угла на рисунке и теоретические пояснения по
его значению,
 3 – анимируются выделение смежного угла с данным углом и теоретические
пояснения по его значению,
 4 – анимируется «хороший» треугольник для полученного смежного угла,
 5 – анимируются проекции сторон этого треугольника на оси координат,
 6 – анимируются значения длин катетов и вычисления тангенса угла наклона
касательной, выделяется ответ,
 7- переход к следующему слайду.
Второе задание. Появление условия второго задания; щелчки по слайду:
(Слайд №23).
2. На рисунке изображен график функции y=f(x)
и
касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите
значение производной в точке x0.

y
острый
tg α>0 f '(x0)>0
3
y=f(x)
tg α = 3/1 =
= 3 = f '(x0)
1
x0 0 1
x
1






1 – анимируется выделение угла между касательной и положительным
направлением оси OX,
2 – анимируются выделение этого угла на рисунке и теоретические пояснения по
его значению,
3 – анимируется «хороший» треугольник для полученного угла,
4 – анимируются проекции сторон этого треугольника на оси координат,
5 – анимируются значения длин катетов и вычисления тангенса угла наклона
касательной, выделяется ответ,
6 - переход к следующему слайду.
Третье задание. Появление условия третьего задания; щелчки по слайду:
(Слайд № 24).
3. На рисунке изображен график функции y=f(x)
и
касательная к нему в точке с абсциссой x0. Найдите
значение производной в точке x0.

y
1



tg α = 0
f '(x0) = 0
x0
0 1
=0
x
Касательная
параллельна
оси ОХ.
1 – анимируется выделение касательной, параллельной оси OX,
2 – анимируются теоретические пояснения по значению угла и по значению
производной, выделяется ответ,
3- переход к следующему слайду.
Четвертое задание. Появление условия четвертого задания; щелчки по слайду:
(Слайд № 25).
4. Найдите угловой коэффициент касательной,
проведенной к графику функции
y  cos 2 x
в точке с абсциссой x   .
0
4
Решение.
f '(x₀) = tg α = к
y  (cos 2 x)   sin 2 x  (2 x)  2 sin 2 x
к = y (



)  2 sin( 2  )  2 sin( )  2  1  2
4
4
2
Угловой коэффициент касательной равен





-2 .
1 – анимируется заставка «решение»,
2 – анимируются теоретические пояснения
и решение по нахождению
производной,
3 – анимируется решение по нахождению углового коэффициента,
4 - анимируются ответ и его выделение,
5 - переход к следующему слайду.
X.
Физический смысл производной. Давайте вспомним, что такое
мгновенная скорость, как записывается уравнение 𝑣𝑥 (𝑡), как строится
график 𝑣𝑥 (𝑡).
Появление заставки; щелчки по слайду:
(Слайды № 26 - 28).

1 – анимируются теоретические знания по теме: a) графиком является
прямая, б) за время t что произошло со скоростью?, в) отметим угол
∆𝑣
наклона графика к оси t (α). Чтобы найти tgα нужно …? (tgα= ).

∆𝑡
2 – переход к следующему слайду.
Vx, м
с
v1x
v0x
tg 
v

v x
t
t
t
0
t, с
Что выражает получившаяся дробь с точки зрения физики? (ускорение
∆𝑣
ах = ).
∆𝑡
Сделаем вывод: чтобы найти значение ускорение, нужно вычислить tgα
или найти первую производную от скорости.
Vx, м
с
v
v0x
0
tg 

v x
t
 ax
tg  0, a x  0
t
t, с
ax  vx

Определим знаки tgα: если 90° >α > 0°, то 𝑡𝑔𝛼 > 0, ах > 0.
Vx, м
с
tg 
v0x
v
v x
t
tg  0, a x  0

0 t
t, с
Если 90° <α < 180°, то 𝑡𝑔𝛼 < 0, ах < 0.
Учащиеся конспектируют в тетради. (Слайд № 29).
Vx, м
с
v1x
v0x
tg 
1
v x
t
 ax
tg  0, a x  0
t
0
t, с
tg  0, a x  0
Вопрос классу: «В чем состоит физический смысл производной?».
(Производная от координаты по времени есть скорость). (Слайд № 30).
Учащиеся конспектируют в тетради основные формулы.
Физический смысл производной.
(Зрительное восприятие). Появление заставки; щелчки по слайду:
 1 – анимируются геометрические пояснения к физическому смыслу производной,
 2 – анимируются обозначения к формуле,
 3 – анимируются теоретические знания по теме,
 4 – переход к следующему слайду.
v
х
t
Δх – изменение координаты тела
Δt – промежуток времени,
в течение которого выполнялось
движение
При t  0 v. называют мгновенной скоростью v(t ),
следовательно, v(t )  х (t ).
х(t )  v(t )
f ( х)  v( x)
.
XI.
На доске запишем уравнение движения тела при равноускоренном
движении х(t), найдем vx , как производную х′ , а затем ускорение ах , как
производную vx′ .
XII.
Примеры применения физического смысла производной.
(Слайд № 31). Учащиеся решают в тетради.
Появление заставки, условия
первого задания; щелчки по слайду:
1. Материальная точка движется по закону
9
Х (t )  t 2  7t  6 (м).
2
В какой момент времени (с) скорость точки
будет равна 12,8 м/c ?
Решение.
х (t)  V(t)
Х (t )  9t  7  V (t )
V (t )  12,8
9t  7  12,8
9t  19,8 t = 2,2 (с).






1 – анимируется заставка «решение»,
2 – анимируется формула X (t )  V (t ) ,
3 – анимируется нахождение производной X (t ) ,
4 - анимируется решение полученного уравнения,
5 – анимируются ответ и его выделение,
6 – переход к следующему слайду.
Второе задание. Появление условия второго задания; щелчки по слайду:
(Слайд № 32). Учащиеся решают в тетради.






1 – анимируется заставка «решение»,
2 – анимируется нахождение производной X (t ) ,
3 - анимируется формула V (t )  a(t ) ,
4 - анимируется решение нахождение производной V (t ) ,
5 – анимируются ответ и его выделение,
6 - анимируется формула a(t )  x (t ) ,

7 – переход к следующему слайду.
2. Материальная точка движется по закону
Х (t )  15  3t  0,5 t 2 (м).
Чему равно ускорение (м/с2) в момент
времени t ?
Решение.
Х (t )  (15  3t  0,5 t 2)  3  t  V (t )
V (t)  a(t)
a(t) = x(t)
V (t )  (3  t )  1  a(t )
a(t )  1( м с2).
Ускорение равно 1 (м/с2).
XIII.
Механические колебания. Появление заставки. (Слайды № 33 - 35).
Рассмотрим колебания математического маятника. Что нужно сделать,
чтобы они начались? Чему равна скорость в начальный момент времени?
(Демонстрация опыта). Почему маятник проходит положение равновесия,
не останавливаясь?
Щелчки по слайду:


1 – анимируются теоретические знания по теме: v=0, v= Vmax;
2 – переход к следующему слайду «уравнение гармонических колебаний х(t)».
x  x max sin (t   0 )





v0  0

v max
Как узнать: чему равно ускорение в начальный момент времени? В
положении равновесия? На доске учащиеся рисуют силы, действующие на
маятник, делается вывод о направлении ускорения в этих точках.

v0  0
a 0  a max
v1  v max
a1  0
Учащиеся выполняют задание в тетради и на доске.
x  x max sin( t   0 )
v (t )  x 
v  x max  cos(t   0 )
max
a (t )  v 
a   xmax  2 sin( t   0 )
a max
XIV.
Подведение итогов урока.
(Анимация обобщающих вопросов по подведению итогов). (Слайд № 36).

Каким вопросам был посвящен урок?

Какие теоретические вопросы
обобщались на уроке?

Почему возникла необходимость
интегрированного урока по математике и
физике?
XV.
Домашнее задание. Каждому учащемуся распечатать на отдельном
листе. (Слайды № 37).
Решить задачи:
I.
Кочагин В. В. «ЕГЭ – 2008. Тематические тренировочные задания».
Тема 3.1. Производная функции. В28, В29, В30, В67, В68, С70.
II. Физические задачи:
1)
Сравнить ускорения : vx
4
1
3
0
2)
0
XVI.
t
Определите характер движения на участках АВ, ВС, СД.
vx
3)
2
A
D
B
C
t
Тело массой 0,2 кг совершает гармонические колебания по закону
х = 0,5 sin2 t [м]. Запишите уравнение vx(t), ax(t); определите vmax
и максимальную кинетическую энергию тела.
Заставка к окончанию урока. (Слайд № 38).
К ЭКЗАМЕНУ СЛЕДУЕТ
ГОТОВИТЬСЯ ОЧЕНЬ
СЕРЬЕЗНО !!!
Дальнейших
успехов в
достижении
поставленной
цели !!!