Комби- гео- комбигео разнобой Точка O лежит внутри выпуклого

Комби- гео- комбигео разнобой
1. Точка O лежит внутри выпуклого n-угольника A1A2A3...An. Рассматриваются углы
AiOAj при всевозможных парах (i, j) (i, j – различные натуральные числа от 1 до
n). Докажите, что среди этих углов найдётся по крайней мере n – 1 не острых
(прямых, тупых или развёрнутых) углов.
2. О функции f(x), заданной на всей вещественной прямой, известно, что при любом a>1 функция f(x)+f(ax) непрерывна на всей прямой. Докажите, что f(x) также непрерывна на всей прямой.
3. Многогранник описан около сферы. Назовём его грань большой, если проекция сферы на плоскость грани целиком попадает в грань. Докажите, что больших граней не больше 6.
4. Клетки квадрата 50×50 раскрашены в четыре цвета. Докажите, что существует
клетка, с четырех сторон от которой (то есть сверху, снизу, слева и справа)
имеются клетки одного с ней цвета.
5. В треугольнике ABC ( AB>BC ) K и M - середины сторон AB и AC , O - точка пересечения биссектрис. Пусть P - точка пересечения прямых KM и CO , а точка Q
такова, что QP перпендикулярно KM и QM||BO . Докажите, что QO перпендикулярно AC .
6. Для бесконечного множества значений многочлена, существует более одной
целой точки, в которой принимаются эти значения. Докажите, что существует
не более одного целого значения многочлена, принимаемого ровно в одной
целой точке.
7. На плоскости расположен круг. Какое наименьшее количество прямых надо
провести, чтобы, симметрично отражая данный круг относительно этих прямых (в любом порядке конечное количество раз), можно было накрыть им любую заданную точку плоскости?
8. Существует ли такая треугольная пирамида, что основания всех ее высот лежат
ВНЕ соответствующих граней?
9. Квадрат разбит на прямоугольники. Цепочкой называется такое подмножество
K множества этих прямоугольников, что существует сторона S квадрата, целиком закрытая проекциями прямоугольников из K, но при этом ни в какую точку
S не проектируются внутренние точки двух прямоугольников из K (мы относим
к прямоугольнику и его стороны). Доказать, что любые два прямоугольника
разбиения входят в некоторую цепочку
.
Комби- гео- комбигео разнобой
10.В некоторых клетках доски 100×100 стоит по фишке. Назовём клетку красивой,
если в соседних с ней по стороне клетках стоит чётное число фишек. Может ли
ровно одна клетка доски быть красивой?
11.Клетчатый квадрат 2010×2010 разрезан на трёхклеточные уголки. Докажите,
что можно в каждом уголке отметить по клетке так, чтобы в каждой вертикали
и в каждой горизонтали было поровну отмеченных клеток.
12.На плоскости рассматривается конечное множество равных, параллельно расположенных квадратов, причем среди любых k+1 квадратов найдутся два пересекающихся. Докажите, что это множество можно разбить не более чем на
2k-1 непустых подмножеств так, что в каждом подмножестве все квадраты будут иметь общую точку.
13.К двум окружностям разного радиуса проведены две общие внешние касательные AB и CD (A, B, C, D – точки касания). Докажите, что четырехугольник
ABCD описанный тогда и только тогда, когда окружности касаются.
14.Две окружности пересекаются в точках А и В, а хорды АМ и АN касаются этих
окружностей.  МАN достроен до параллелограмма MANC и отрезки ВN и МС
разделены точками Р и Q в равных отношениях. Доказать, что APQ= ANC.
15.В треугольнике ABC A = α. Окружность, проходящая через A и B и касающаяся
BC, пересекает медиану к стороне BC (или ее продолжение) в точке M, отличной от A. Найдите угол BMC.
16.Учащиеся одной школы часто собираются группами и ходят в кафе-мороженое.
После такого посещения они ссорятся настолько, что никакие двое из них после этого вместе мороженое не едят. К концу года выяснилось, что в дальнейшем они могут ходить в кафе-мороженое только поодиночке. Докажите, что
если число посещений было к этому времени больше 1 , то оно не меньше
числа учащихся в школе.
17.Даны треугольник ABC и прямая l. Обозначим через A1, B1, C1 середины отрезков, высекаемых на прямой l углами A, B, C, а через A2, B2, C2 — точки пересечения прямых AA1 и BC, BB1 и AC, CC1 и AB. Докажите, что точки A2, B2, C2 лежат
на одной прямой.
18.Докажите, что для любого нечетного n≥3 на плоскости можно указать
2n различных точек, не лежащих на одной прямой, и разбить их на пары так,
чтобы любая прямая, проходящая через две точки из разных пар, проходила
бы еще через одну из этих 2n точек.