3.3. Эффективность обратной связи Конечный результат многократного обращения сигнала может

3.3. Эффективность обратной связи
Конечный результат многократного обращения сигнала может
быть получен из следующих соображений. Пусть достаточно
длительный первичный сигнал, действующий на микрофон, равен
по амплитуде единице. После однократного обращения, через
промежуток времени τ = d / c0 , на него наложится «эхо-сигнал» от
громкоговорителя we-jkd, после двукратного обращения добавится
we-jkd * we-jkd = w2 e-j2kd и т.д.
После n обращений через время t = nτ результирующий сигнал
на входе микрофона будет представлять собой сумму, которую
можно определить как эффективность обратной связи ef :
ef = 1 + we-jkd + w2 e-j2kd + ...... + wn e-jn kd .
(3.6)
Через достаточно большой промежуток времени при n → ∞
( t→ ∞) для модуля этой суммы получим [2]:
lim (ef) = [1 / (1 + w2 – 2wcoskd)]1/2 .
(3.7)
t→∞
Отметим, что произведение внутреннего коэффициента
усиления системы μ на эффективность ef называется внешним
коэффициентом усиления системы с акустической обратной
связью μ1 = μ ef.
Рассмотрим предельные значения эффективности, исследуя
формулу (3.7). Значения ef зависят, во-первых, от значений cos kd и,
во-вторых, от значений w.
Исследуем сначала зависимость ef от cos kd, который может
меняться в пределах от 1 до -1.
Пусть cos kd = 1 (фазы прямого и обращенного сигналов
совпадают, АОС положительная).
ef = [ 1 / (1 + w2 – 2w)]1/2 = 1/ (1-w) .
Полученное значение равно максимальной эффективности,
так как знаменатель дроби минимален:
efmax = 1/ (1-w) .
44
Определим теперь частоты, при которых получается efmax.
cos kd = 1, если kd =2πfd/c0 = 2πn. Отсюда получаем выражение для
частот максимальной эффективности системы fmax = c0 n / d = n / τ ,
(n = 0,1,2,3.....).
Первая частота fmax1, при которой эффективность системы с
АОС максимальна, равна 1/τ, вторая - fmax2 = 2/τ и т.д. Частотный
интервал между соседними максимумами эффективности Δfmax=
1/τ.
Пусть теперь cos kd = -1 (фазы прямого и обращенного
сигналов противоположны, АОС отрицательная).
ef = [ 1 / (1 + w2 + 2w)]1/2 = 1/ (1+w) .
Полученное значение определяет минимальную эффективность
системы с АОС, так как знаменатель дроби максимален.
efmin = 1/ (1+w) .
Определим теперь частоты, при которых получается efmin..
cos kd = -1, если kd = 2πfd/c0 = (2n +1)π. Отсюда получаем
выражение для частот минимальной эффективности системы fmin =
(2n +1) / 2τ , (n= 0,1,2,3...).
Первая частота fmin1, при которой эффективность системы с
АОС минимальна, равна 1/2τ, вторая fmin2 = 3/2τ, третья fmin3 = 5/2τ
и т.д. Частотный интервал между соседними минимумами так же,
как и между соседними максимумами, Δfmin = Δfmax= 1/τ.
Численные значения максимальной и минимальной
эффективностей определяются величинами функции обращения w,
которые, в свою очередь, могут меняться в пределах от 0 до 1.
Если w → 0, то efmax = efmin = 1. Акустическая обратная связь
отсутствует. Усиление
в системе равно внутреннему
коэффициенту усиления μ (μ1 = μ*1).
Если w → 1, то efmax→∞. Система на частотах fmax находится в
состоянии самовозбуждения. Акустическая обратная связь
положительная. Внешний коэффициент усиления системы μ1 →∞.
efmin = ½. Система на частотах fmin устойчива. Акустическая
обратная связь отрицательная. Внешний коэффициент усиления
системы μ1 = μ /2.
45
Частотная характеристика эффективности регенерированного
сигнала имеет вид:
ef
w
1
0<w<1
w
0
1,0
0,5
1/τ
f, Гц
fmin1
fmax1
fmin2
1/τ
fmax2
fmin3
Интервалы между пиками частотной характеристики ef равны
интервалам между ее провалами и составляют 1/τ.
Значения эффективности, например, при w = 0,5
соответственно равны efmax = 2, a efmin = 0,67.
Частотная
характеристика
чувствительности
громкоговорителя (и без того достаточно неравномерная) в
условиях наличия АОС приобретает вид гребенчатой кривой с
обостренными пиками и провалами. На пиках, при их достаточной
остроте, возможно самовозбуждение системы.
Неравномерность
частотной
характеристики
регенерированного сигнала при наличии акустической обратной
связи можно определить как
ΔLmax = 20 lg ( μ1max / μ1min ) = 20 lg (efmax / efmin ) ;
ΔLmax = 20 lg [( 1+w) / (1 – w )], дБ .
(3.8)