Работа №1. ИССЛЕДОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО РЕЖИМА В МАРКОВСКОЙ СИСТЕМЕ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ Цель работы - изучение методов исследования нестационарного режима в Марковской СМО с ограниченной длиной очереди (типа М/М/I) и оценка влияния параметров СМО на длительность переходного процесса. Порядок выполнения работы. 1. Ознакомиться с методическими указаниями. 2. Для заданного варианта СМО с помощью стандартной программы определить вероятности Pk(t). Построить графики Pk(t). 3. Определить длительность переходного процесса в СМО, как время входа всех Pk(t) в 5%-ю трубку. 4. Рассчитать основные характеристики СМО (среднее число занятых каналов, среднюю длину очереди, вероятность, что поступившее требование будет обслужено) в переходном и установившемся режимах. 5. Рассчитать основные характеристики СМО в стационарном режиме, используя формулы финальных вероятностей. Сравнить результаты с аналогичными значениями, полученные в п. 4. Оценить их точность. Используя формулу Литтла вычислить среднее время нахождения требования в очереди, общее время нахождения требования в системе. 6. Для заданного варианта СМО исследовать зависимость основных характеристик СМО от варьируемых параметров. Построить графики. 7. Оформить отчет, в котором привести описание исследуемой СМО, уравнения размножения и гибели для заданного базового варианта СМО, основные соотношения, результаты расчётов, графики, выводы на основе полученных результатов. 8. Ответить на контрольные вопросы. ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ N 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. n 2 3 1, 2, 3, 4, 10, 20 1, 2, 3, 4, 10, 20 1, 2, 3, 4, 10, 20 2 3 1, 2, 3, 4, 10, 20 m 1, 2, 3, 4, 10, 20 1, 2, 3, 4, 10, 20 2 3 2 1, 2, 3, 4, 10, 20 1, 2, 3, 4, 10, 20 2 5 7 8 10 5 6 10 9 2 2 2 2 1 2 3 3 β 0,9 0,95 0,9 0,95 0,9 0,95 0,9 0,95 Основные положения. Имеется n - канальная СМО. На вход системы поступает простейший поток требований, с интенсивностью λ. Время обслуживания требований в каждом канале обслуживания распределено по экспоненциальному закону, с параметром μ (интенсивность обслуживания). Максимальная длина очереди ограничена числом m. Если хотя один канал свободен, то пришедшее требование сразу поступает на обслуживание. Если все каналы заняты, пришедшее требование становится в очередь. Если в очереди уже находятся m требований, то пришедшее требование получает отказ в обслуживании и покидает систему необслуженным. Схематически СМО можно представить в виде Здесь входной поток требований - простейший Пуассоновский поток, который обладает свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последействия. В нём число требований, поступающих в единицу времени распределено по закону Пуассона с интенсивностью λ. Время обслуживания в выходном потоке (интервал между двумя соседними обслуженными требованиями в канале обслуживания) подчинено экспоненциальному закону распределения с интенсивностью µ. Обозначим K(t) - число требований, находящихся в СМО в момент времени t. Для описания процесса функционирования K(t) необходимо знать вероятности Pk (t) = P{K(t)=k}, где 0≤k≤(n+m). Если все потоки событий, переводящие СМО из состояния в состояние простейшие, то процесс, протекающий в такой системе, будет Марковским. Случайный процесс называется Марковским – если для любого момента времени 𝑡0 , вероятностные характеристики процесса в будущем (t > 𝑡0 ) зависят только от его состояния в данный момент времени𝑡0 (в настоящем) и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние (в прошлом). В нашем случае процесс K(t) можно рассматривать как Марковский процесс размножения и гибели. Вероятности состояний системы описываются уравнениями Колмогорова-Чепмена [1]: 𝑑𝑃𝑜 (𝑡) = −λ ∗ 𝑃𝑜 (𝑡) + 𝜇 ∗ 𝑃1 (𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑃𝑘 (𝑡) = −(λ + 𝑘𝜇) ∗ 𝑃𝑘 (𝑡) + λ ∗ 𝑃𝑘−1 (𝑡) + (𝑘 + 1)𝜇 ∗ 𝑃𝑘+1 (𝑡) 1 ≤ 𝑘 < 𝑛 𝑑𝑡 𝑑𝑃𝑘 (𝑡) = −(λ + 𝑛𝜇) ∗ 𝑃𝑘 (𝑡) + λ𝑃𝑘−1 (𝑡) + 𝑛𝜇 ∗ 𝑃𝑘+1 (𝑡) 𝑛 ≤𝑘 <𝑛+𝑚 𝑑𝑡 𝑑𝑃𝑛+𝑚 (𝑡) = −𝑛𝜇 ∗ 𝑃𝑛+𝑚 (𝑡) + λ ∗ 𝑃𝑛+𝑚−1 (𝑡) 𝑑𝑡 В случае высокого порядка системы дифференциальных уравнений анализ нестационарного режима работы СМО аналитическим методом затруднен. В этих случаях для их исследования используют численные методы интегрирования системы на ЭВМ (Рунге - Кутты, Эйлера и других). Так как исследуемая СМО имеет конечное число состояний, то, при достаточно длительном функционировании, процесс входит в режим статистического равновесия. Этот режим характеризуется стационарным распределением вероятностей, не зависящим от начальных условий: lim Pk (t) Pk для всех k=0,1,…,(n+m) . t Имея графики изменения всех Pk(t) можно найти время переходного процесса (время достижения значений финальных вероятностей с заданной точностью – время вхождения в δ% «трубку»). Рассмотрим поведение СМО как в переходном, так и в стационарном режиме. Для получения значений всех Pk (t) необходимо задать начальные условия. В качестве начальных условий примем (на начало работы в системе нет требований): P0( 0 ) 1, Pk ( 0 ) 0, k 1,2,...,n m. Зная значения вероятностей Pk(t) вычислить основные характеристики рассматриваемой СМО как функции времени (среднее число занятых каналов, средняя длина очереди, вероятность, что поступившее требование будет обслужено) и построить соответствующие графики. При оценке этих результатов следует иметь в виду, что время измеряется в условных единицах, то есть в тех же единицах, которые были использованы при задании интенсивностей и . Имея графики изменения всех Pk(t) можно найти время переходного процесса (время достижения значений всех финальных вероятностей с заданной точностью – время вхождения в δ% «трубку»). Для нахождения значений Pk, 0≤k≤(n+m) и основных характеристик СМО в стационарном режиме использовать формулы финальных вероятностей. 𝐏𝐤 = 𝛒𝐤 𝐤! ∗ 𝐏𝟎 , 1≤k≤n 𝛒 𝛒𝐧 𝐧 𝐧! 𝐏𝐤 =( )𝐤−𝐧 ∗ 𝐏𝐧 = 𝐏𝟎 = [𝟏 + ∑𝐧−𝟏 𝐤=𝟏 𝛒𝐤 + 𝐤! 𝛒 *( )𝐤−𝐧 ∗ 𝐏𝟎 , n≤k≤n+m, 𝐧 𝛒 𝐤−𝐧 −𝟏 𝛒𝐧 ∑𝐧+𝐦 ( ) 𝐧! 𝐤=𝐧 𝐧 ] Или иначе 𝐏𝟎 = [𝟏 + ∑𝐧−𝟏 𝐤=𝟏 𝛒𝐤 + 𝐤! 𝛒𝐧 𝐧! ∗ 𝛒 𝟏−( ⁄𝐧)𝐦+𝟏 −𝟏 ] 𝛒 𝟏− ⁄𝐧 Основные характеристики СМО в стационарном режиме будут: 1) Вероятность того, что пришедшее требование получит отказ. 𝐏отк = 𝐏𝐧+𝐦 2) Вероятность того, что пришедшее требование будет обслужено. 𝐏обс = 𝟏 − 𝐏отк = 𝟏 − 𝐏𝐧+𝐦 3) Среднее число занятых каналов. mкан = 𝐚𝐧 = ∑𝐧𝐤=𝟏 𝐤 ∗ 𝐏𝐤 + n ∗ ∑𝐧+𝐦 𝐤=𝐧+𝟏 𝐏𝐤 Или, иначе: mкан = 𝛒 ∗ 𝐏обс 4) Средняя длина очереди. 𝐦𝐋 = ∑𝐧+𝐦 𝐤=𝐧+𝟏(𝑘 − 𝑛) ∗ 𝐏𝐤 = Используя формулу Литтла вычислить: 8) Среднее время нахождения требования в очереди 𝐭 оч = 𝟏 𝛌сист *𝐦𝐋 = 𝟏 𝛌∗𝐏обс *𝐦𝐋 9) Общее время нахождения требования в системе 𝐭 сист = 𝐭 оч + 𝐭 кан = 𝟏 𝛌сист (𝐦𝐋 + 𝐚𝐧 ) = 𝟏 𝛌∗𝐏обс ∗ [𝐦𝐋 + 𝛒 ∗ 𝐏обс ] . Контрольные вопросы. 1. Какие случайные процессы называются Марковскими? Какова специфика математического описания этих процессов? 2. Почему процесс обслуживания в СМО типа M/M/n является Марковским? 3. Поясните, применительно существования к рассматриваемой системе, условия стационарного режима (режима статистического равновесия). 4. В чем состоят затруднения при исследовании нестационарного режима? 5. Перечислите известные Вам численные методы решения систем дифференциальных уравнений. В чем состоит метод Рунге - Кутты? Опишите вычислительную процедуру метода. 6. Как влияют на основные характеристики СМО исследуемые параметры? СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 1. Бомас В.В.,Булыгин В.С. Элементы теории Марковских процессов и ее технические приложения: Учебное пособие. - М.: МАИ, 1980. 1. Вентцель. Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. – М.: Наука 1988 – 208с. 2. Дегтярев Ю.И. Исследование операций. Учебник. М.: Высшая школа, 1986 г, 320 с.:ил. 3. Бомас В.В., Красовская М.А., Ескин В.И. Лабораторные работы по курсу «Исследование операций». М.: МАИ, 1992. – 28 с.:ил. 4. Дунин – Барковский И.В., Смирнов Н.В. теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Гостехтеориздат, 1955.