Parallelnyi_perenos_na_koordinatnoi_ploskosti_08-02

08-02-03. Параллельный перенос на координатной плоскости
1. Возьмем на клетчатой бумаге отрезок AB и последовательно выполним два параллельных переноса: переместим отрезок AB параллельно горизонтальным линиям в отрезок A1 B1 , как на рисунке 1, а затем полученный отрезок A1 B1 переместим параллельно
вертикальным линиям в отрезок A2 B2 , как на рисунке 2.
В результате мы осуществили параллельный перенос отрезка AB в отрезок A2 B2
(рисунок 3), при котором точка A переходит в точку A2 , а точка B — в точку B2 .
Аналогично на клетчатой бумаге каждый отрезок AB можно параллельно перенести
так, чтобы, например, точка A перешла в заданную точку P .
2. Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат Oxy .
Рассмотрим некоторую фигуру  и два числа a и b . Аналогично предыдущему
пункту выполним сначала параллельный перенос фигуры  вдоль оси Ox на a в фигуру
1 , а затем параллельный перенос фигуры 1 вдоль оси Oy на b в фигуру  2 . В результате получим параллельный перенос фигуры  в фигуру  2 (рисунок 5).
Найдем формулы преобразования координат точек при параллельном переносе фигуры  в фигуру  2 .
Точка A( x y ) фигуры  при параллельном переносе вдоль оси Ox переходит в точку A1 ( x1  y1 ) , координаты которой равны:
x1  x  a
y1  y
Полученная точка A1 ( x1  y1 ) фигуры 1 при параллельном переносе вдоль оси Oy
переходит в точку A2 ( x2  y2 ) , координаты которой равны:
x2

x1  x  a
y2

y1  b  y  b
Таким образом, при параллельном переносе фигуры  в фигуру  2 , который получается сначала параллельным переносом вдоль оси Ox на a , а затем параллельным переносом вдоль оси Oy на b , координаты точек преобразуются по формулам:
x2  x  a
y2

y  b
Это значит, что при данном параллельном переносе точка A( x y ) переходит в точку
A2 ( x  a y  b) .
Пример 1. Рассмотрим параллельный перенос центра окружности S с уравнением
2
x  y 2  1 сначала вдоль оси Ox на 3, а затем вдоль оси Oy на 1 . Центром окружности
S является точка O(0 0) . При первом параллельном переносе точка O переходит в точку
O1 (3 0) (рисунок 7). Полученная точка O1 при втором параллельном переносе переходит в
точку O2 (31) (рисунок 8).
3. В предыдущем пункте мы получили, что при последовательном выполнении параллельных переносов сначала вдоль оси Ox на a , а затем вдоль оси Oy на b координаты точек преобразуются по формулам
x2  x  a
y2

y  b
Выполним теперь параллельные переносы вдоль осей системы координат в другом
порядке: сначала вдоль оси Oy на b , а затем вдоль оси Ox на a (рисунок 9). Тогда каждая точка M с координатами ( z  t ) при первом параллельном переносе переходит в точку
M1 ( z1  t1 ) , координаты которой равны:
z1  z t1  t  b
Полученная точка M 1 при втором параллельном переносе переходит в точку
M 2 ( z2  t2 ) , координаты которой равны:
z2
 z1  a  z  a
t2

t1  t  b
Следовательно, при последовательном выполнении параллельных переносов вдоль
осей координат в указанном порядке координаты точек преобразуются по формулам:
z2  z  a
t2

t  b
(4)
Формулы (4) отличаются от формул (3) только обозначением переменных, а это значит, что формулы (4) и формулы (3) задают один и тот же параллельный перенос плоскости.
4. Последовательное выполнение параллельных переносов вдоль осей системы координат, которое было рассмотрено на предыдущих уроках, позволяет ввести следующее
общее определение.
Параллельным переносом фигуры  определяемым в данной системе координат
упорядоченной парой чисел (a b) , называется преобразование, при котором каждая точка
A( x y ) фигуры  переходит в точку A1 ( x1  y1 ) , координаты которой вычисляются по
формулам:
x1  x+ a,
y1 = y+ b,
Пример 2. Рассмотрим параллельный перенос квадрата с вершинами A(0 0) , B(1 0) ,
C (11) , D (0 0) , определяемый парой чисел (-2; 4), При данном параллельном переносе
вершины квадрата переходят:
точка A в точку A1 (0  2 0  4) ;
точка B в точку B1 (1  2 0  4) ;
точка C в точку C1 (1  21  4) ;
точка D в точку D1 (0  21  4)
(рисунок 10).
Параллельный перенос, определяемый парой чисел (a b) , можно получить последовательным выполнением параллельных переносов вдоль оси Ox на число a и вдоль оси
Oy на число b . При этом неважно, в каком порядке выполнять параллельные переносы
вдоль осей системы координат.
Отметим, что параллельный перенос, определяемый парой чисел (a 0) — это параллельный перенос вдоль оси Ox на число a . Аналогично, параллельный перенос, определяемый парой чисел (0b) – это параллельный перенос вдоль оси Oy на число b .
Таким образом, приведенное в данном пункте определение параллельного переноса
включает в себя ранее рассмотренные параллельные переносы вдоль координатных осей.
5. Рассмотрим параллельный перенос, определяемый парой чисел (a b) . Покажем,
что при этом параллельном переносе прямая l с уравнением с уравнением y  kx  m переходит в параллельную ей прямую l1 с уравнением y  b  k ( x  a ) .
Действительно, пусть точка A( p q ) лежит на прямой l , то есть q  kp  m . При данном параллельном переносе точка A переходит в точку A1 ( z t ) такую, что
z  p  a t  q  b
Из этих равенств следует, что
p  z  a q  b  a
Подставляя в равенство q  kp  m вместо p и q их выражения через z и t , приходим к равенству
t  b  k ( z  a )  m
Изменяя обозначение переменных z и t соответственно на x и y , получаем уравнение
y  b  k ( x  a )  m
Пример 3. При параллельном переносе, определяемом парой чисел (3; 1) , прямая l
с уравнением y  12 x  4 переходит в прямую l1 с уравнением y  1  12 ( x  3)  4 . Для того,
чтобы пояснить, что при параллельном переносе все точки прямой l переходят во все
точки прямой l1 , рассмотрим, например, точку B (5 6) прямой l1 . Тогда точка C ( x0  y0 ) ,
координаты которой вычисляются из равенств x0  5  3 , y0  6  1 , лежит на прямой l ,
потому что y0  12 x0  4 , и при данном параллельном переносе переходит в точку B , потому что x0  3  5 , y0  1  6 .
6. Каждый параллельный перенос обладает свойствами, аналогичными свойствам
параллельных переносов вдоль осей координат.
При параллельном переносе:
— каждый отрезок переходит в равный ему отрезок;
— если точка A переходит в точку A1 , а точка B переходит в точку B1 , то середины
отрезков AB1 и A1B совпадают; если при этом точки A , A1 , B , B1 не лежат на одной прямой, то фигура AA1B1B — параллелограмм.
Учитывая последнее свойство, иногда говорят, что параллельный перенос действует
по правилу параллелограмма.
7. Перечисленные в пункте 3.6. свойства параллельного переноса доказываются аналогично тому, как это было сделано в пунктах 1.6. и 1.7. для параллельных переносов
вдоль оси Ox .
Пусть параллельный перенос определяется парой чисел (a b) . Рассмотрим точки
A(m1 n1 ) и B(m2  n2 ) . При данном параллельном переносе точка A переходит в точку
A1 (m1  a n1  b) , а точка B переходит в точку B1 (m2  a n2  b) .
Проведем теперь три рассуждения.
I.  A1 B1 2  ((m2  a)  (m1  a)) 2  ((n2  a)  (n1  a)) 2
 (m2  m1 ) 2  (n2  n1 ) 2  AB 2 . Отсюда следует равенство  A1B1  AB  .
II. Середина отрезка AB1 имеет координаты
имеет координаты

m2  m1  a
2


m1  m2  a
2

 n1  n22 b . Середина отрезка A1 B
 n2 2n1 b . Отсюда следует, что соответственные координаты се-
редин отрезков AB1 и A1 B равны, а значит, середины этих отрезков совпадают.
III. Пусть точки A , B , A1 , B1 не лежат на одной прямой. Тогда отрезки AB1 и A1B
лежат на различных прямых, а значит из предыдущей части следует, что каждый из отрезков AB1 и A1B точкой пересечения делится пополам. По соответствующему признаку получаем, что четырехугольник AA1B1B — параллелограмм.
8. Рассмотрим на координатной плоскости линию  , заданную некоторым уравнением с переменными x и y . В качестве примера возьмем линию с уравнением
x10  y10  1 , которая изображена на рисунке 11. При параллельном переносе, определяемом парой чисел (a b) , каждая точка M ( x y ) линии  переходит в точку M1 ( x1 y1 ) , координаты которой вычисляются по формулам
x1  x  a y1  y  b
Отсюда получаем равенства
x  x1  a
y  y1  b
Подставляя в уравнение линии  вместо x и y их выражения через переменные x1
и y1 , приходим к уравнению
( x1  a)10  ( y1  b)10  1
Этому уравнению удовлетворяют координаты только таких точек M 1 , которые получаются данным параллельным переносом из некоторой точки M линии  . Следовательно, уравнение
( x  a)10  ( y  b)10  1
определяет линию, в которую при данном параллельном переносе переходит линия  .
9. Параллельный перенос, который задается парой чисел (a b) , по формулам
x1 = x+a
y1  y+b
определяет преобразование каждой точки плоскости с координатами ( x y ) в точку с координатами ( x1 y1 ) . Тем самым этот параллельный перенос является преобразованием
всей плоскости.
На предыдущем уроке было сказано, что при параллельном переносе каждый отрезок переводится в равный ему отрезок. Это позволяет доказать, что при параллельном переносе каждый треугольник переходит в равный ему треугольник, угол — в равный ему
угол, окружность — в равную ей окружность, и так далее. Следовательно, параллельный
перенос один из видов перемещений.
10. Покажем, что последовательное выполнение двух параллельных переносов также
является параллельным переносом.
Пусть первый параллельный перенос задается парой чисел (a1 b1 ) . Тогда каждая
точка A( x y ) при этом параллельном переносе переходит в точку A1 ( x1  y1 ) , координаты
которой равны:
x1  x  a1 y1  y  b1
Пусть второй параллельный перенос задается парой чисел (a2  b2 ) . Тогда точка
A1 ( x1  y1 ) при этом параллельном переносе переходит в точку A2 ( x2  y2 ) , координаты которой равны:
x2

x1  a2  x  (a1  a2 )
y2

y1  b2  y  (b1  b2 )
В результате последовательное выполнение данных параллельных переносов задает
преобразование точек координатной плоскости следующими формулами:
x2  x  (a1  a2 )
y2

y  (b1  b2 )
Полученные формулы соответствуют параллельному переносу, определяемому парой чисел (a1  a2  b1  b2 ) . Этот параллельный перенос можно получить как последовательное выполнение параллельных переносов вдоль осей координат: либо сначала вдоль
оси Ox на a1  a2 , а затем вдоль оси Oy на b1  b2 , либо сначала вдоль оси Oy на b1  b2 , а
затем вдоль оси Ox на a1  a2 .
Пример 4. Рассмотрим окружность S с центром F(1;-1) и радиусом 1 и точку
A(0;-1) этой окружности (рисунок 12). При параллельном переносе, заданном парой чисел
(- 2; 2), точка F переходит в точку F1 (11) , а точка A переходит в точку A1 (21) . Затем
при параллельном переносе, заданном парой чисел (3;1), точка F1 переходит в точку
F2 (2 2) , точка A1 переходит в точку A2 (1 2) .
11. Мы определяем параллельные переносы на плоскости с фиксированной системой
координат. Параллельные переносы можно рассматривать и независимо от системы координат. Один из подходов основан на следующем определении.
Пусть A и A1 две точки плоскости. Параллельным переносом в направлении от A к A1
на расстояние A A1 называется преобразование плоскости, при котором каждая точка М
переходит в точку М1 , что середины отрезков A М1 и A1 М совпадают.
В случае, когда A1 совпадает с A, направление параллельного переноса не определяют, а соответствующий параллельный перенос является тождественным преобразованием
плоскости.
Исходя из этого определения удается доказать все свойства параллельных переносов, которые рассматривались в этой теме, выяснить, что в каждой фиксированной системе координат формулы преобразования координат такие же, какие приведены в п. 3.4.,
правда набор чисел a и b зависят от выбора системы координат и может оказаться разным.
К сожалению, проделать все это трудоемко и непросто. Поэтому нами рассмотрены довольно обстоятельно параллельные переносы в фиксированной декартовой системе координат, не затрагивая вопрос о задании одного и того же параллельного переноса в разных
системах координат.
Контрольные вопросы
1. Пусть точка A1 получена из точки A( x y ) сначала параллельным переносом на a вдоль
оси Ox , а затем параллельным переносов на b вдоль оси Oy . Чему равны координаты
точки A1 ?
2. Пусть точка A1 получена из точки A( x y ) сначала параллельным переносом на b вдоль
оси Oy , а затем на a вдоль оси Ox . Чему равны координаты точки A1 ?
3. Что такое параллельный перенос, определенный парой чисел (a b) ?
4. Какой парой чисел определяется параллельный перенос вдоль оси Ox ?
5. Какой парой чисел определяется параллельный перенос вдоль оси Oy ?
6. Во что переходит прямая при параллельном переносе, определяемом парой чисел
(a b) ?
7. Сформулируйте свойства параллельного переноса вдоль оси Ox .
8. Сформулируйте свойства параллельного переноса вдоль оси Oy .
9. Сформулируйте свойства параллельного переноса, определяемого парой (a b) .
10. Объясните, что означает предложение, что параллельный перенос действует по правилу параллелограмма.
11.* Что представляет собой последовательное выполнение двух параллельных переносов,
определяемых парой (a1 b1 ) и парой (a2  b2 ) ?
12.* Докажите, что последовательное выполнение параллельных переносов сначала на
(a1 b1 ) , а затем на (a2  b2 ) совпадает с последовательным выполнением параллельных
переносов сначала на (a2  b2 ) , а затем на (a1 b1 ) .
Задачи и упражнения
1. В какую окружность перейдет окружность x 2  y 2  4 при параллельном переносе
на (1; 1) ?
2. При каком параллельном переносе центр окружности ( x  1)2  ( y  2)2  9 перейдет в начало системы координат ?
3. Найдите несколько параллельных переносов при которых прямая y  2 x  1 перейдет в прямую, проходящую через начало системы координат.
4. Найдите несколько параллельных переносов, при которых прямая y  3x  1 перейдет в прямую y  3 x  3 .
5. В какую кривую переходит кривая y  x3 при параллельном переносе на (2; 3)?
6. В какую кривую переходит кривая y  1x при параллельном переносе на (2; 1)?
Ответы и указания
Задача 1. Ответ. В окружность ( x  1)2  ( y  1)2  4 .
Задача 2. Ответ. При параллельном переносе, задаваемом парой чисел
(12) .
Задача 3. Указание. Рассмотрим произвольную точку A( x1  y1 ) лежащую на прямой
y  2 x  1 . Тогда можно выразить координату y1 через x1 и получить, что A( x1 2 x1  1) .
Параллельный перенос, задаваемый парой чисел ( x1(2 x1  1)) переводит точку
A( x1 2 x1  1) в точку O(0 0) , поэтому, подставляя вместо числа x1 в запись пары чисел
( x1(2 x1  1)) любое число, получаем искомый параллельный перенос. Например:
(01) , (13) , (11) .
Задача 4. Указание. Рассмотрим произвольную точку A( x1  y1 ) лежащую на прямой
y  3x  1 . Выразим координату y1 через x1 и получим, что A( x1 3x1  1) . Эту точку параллельный перенос, задаваемый парой чисел (  x1 ; (3x1  1)) переводит в начало координат
O(0 0) . В свою очередь, если x2 — фиксированное число, то пара чисел ( x2  3x2  3) зада-
ет параллельный перенос, который переводит точку O(0 0) в точку ( x2  3x2  3) , удовлетворяющую уравнению y  3 x  3 . Таким образом, последовательное выполнение параллельных переносов, задаваемых соответственно парами чисел ( x1(3x1  1)) и
( x2  3x2  3) , будет искомым параллельным переносом. Он в свою очередь задается парой
чисел ( x1  x2  3( x1  x2 )  2) . Выбирая x1  x2  0 , получаем пару (0 2) . Выбирая x1  0 ,
x2  1 , получим пару (11) . Заметим, что если положить x3   x1  x2 , то любая пара чисел вида ( x3  3x3  2) является искомой.
Задача 5. Указание. При параллельном переносе, определяемом парой чисел (2 3) ,
преобразование координат происходит по формулам
x1  x  2 y1  y  3
Отсюда получаем равенства x  x1  2 , y  y1  3 . Подставляя значения x и y в указанном виде в уравнение y  x3 , получаем y1  3  ( x1  2)3 . Поэтому уравнение
y  3  ( x  2)3
определяет кривую, в которую при параллельном переносе, задаваемом парой (2;3),
переходит кривая y  x3 .
Задача 6. Указание. См. указания к решению предыдущей задачи.