ТЕОРИЯ
МЕХАНИЗМОВ
И МЕХАНИКА
МАШИН
П о д редакцией К .В . Ф ролова
Издание пятое, стереотипное
Допущено Министерством образования
Российской Федерации
в качестве учебника для студентов
высших учебных заведений,
обучающихся по направлениям подготовки
дипломированных специалистов
«Машиностроительные технологии и оборудование»
и «Технологические машины и оборудование»
Москва
Издательство М ГТ У имени Н .Э. Баумана
2004
УДК 621.01
ББК 34.41
Т34
Рецензенты:
кафедра Московского государственного открытого
университета (зав. кафедрой проф. В.Д. Плахтин);
проф. РАН Ю .Д . Чашечкин
Авторы: К .В. Фролов, С .А . Попов, А .К . Мусатов,
Г.А . Тимофеев, В.А. Никоноров
Т 34
Т ео р и я механизм ов и м ехани ка м а ш и н : Учеб,
для вузов / К.В. Фролов, С .А . Попов, А .К . Мусатов и
др.; Под ред. К.В. Фролова. - 5-е изд., стереотип.
- М.: Изд-во М ГТ У им. Н.Э. Баумана, 2004. - 664 с.:
и л .- (Сер. Механика в техническом университете; Т . 5).
ISBN 5-7038-1766-8 (Т. 5)
ISBN 5-7038-1371-9
В пятом издании учебника (4-е изд. в 2002 г.) изложены
общие методы определения кинематических и динамических
характеристик механизмов, машин и систем машин, расчет
механизмов с учетом упругости звеньев, трения и изнаши­
вания кинематических пар, виброактивность и виброзащи­
та; методы проектирования схем основных видов механизмов,
управление движением системы механизмов.
Содержание учебника соответствует программе и курсу
лекций, который авторы читают в М ГТУ им. Н.Э. Баумана.
Для студентов машиностроительных вузов и техниче­
ских университетов.
УДК 621.01
ББК 34.41
ISBN 5-7038-1766-8 (Т. 5)
ISBN 5-7038-1371-9
© Коллектив авторов, 2002
© Издательство М ГТУ
им. Н.Э. Баумана, 2002
Изложенный в пятом издании (4-е изд. 2002 г.) учеб­
ника курс «Теория механизмов и механика машин» сформи­
ровался на основе опыта преподавания дисциплины в МГТУ
им. Н.Э. Баумана в течение многих десятилетий: в нем учте­
ны качественные изменения в инженерном образовании, потре­
бовавшие серьезной переработки традиционного курса как по
содержанию, так и по методике преподавания.
Учебная дисциплина «Теория механизмов и механика
машин» базируется на механико-математической подготовке
студентов,
обеспечиваемой предшествующими курсами:
«Высшая математика», «Ф изика», «Теоретическая механи­
к а », «Алгоритмические языки и программирование».
Являясь научной основой специальных курсов по проек­
тированию машин отраслевого назначения, она призвана ре­
шить следующие задачи: научить студентов общим методам
исследования и проектирования механизмов машин и прибо­
ров; принципам реализации движения с помощью механизмов
и взаимодействия механизмов и машин, обусловливающим ки­
нематические и динамические свойства механической систе­
мы; системному подходу к проектированию машин и меха­
низмов, нахождению оптимальных параметров механизмов по
заданным условиям работы; привить навыки разработки ал­
горитмов и программ расчета параметров на компьютере, вы­
полнения конкретных расчетов; использования измерительной
аппаратуры для определения кинематических и динамических
параметров и механизмов.
Учебник написан сотрудниками кафедры «Теория меха­
низмов и механика машин» МГТУ им. Н.Э. Баумана под ру­
ководством и общей редакцией академика К.В. Фролова. Вве­
дение и глава 7 написаны К.В. Фроловым, главы 2, 3, 8, 9, 14,
15, 16 и § 12.1 — С.А. Поповым, 1, 4, 5 и 6 — А.К. Мусато­
вым, 10, 13, 17 и § 12.2 — Г.А. Тимофеевым, параграф 10.4 —
В.А. Никоноровым, глава 11 — совместно А.К. Мусатовым и
Г.А. Тимофеевым.
Авторы выражают благодарность своим коллегам — чле­
нам кафедры «Теория механизмов и механика машин»
МГТУ им. Н.Э. Баумана и с благодарностью вспоминают сво­
их учителей Л.П. Смирнова, В.А. Гавриленко, Л.Н. Решетова, С.Б. Минута, А.А. Савелову и товарищей В.М. Ако­
пяна, Т.А. Архангельскую, Н.М. Взорова, Д.М. Лукичева,
З.С. Малышеву, А.С. Мастрюкову, Г.Н. Петрова, Н.Е. Реме­
зову, Н.А. Скворцову, В.А. Суетина и всех, принимавших уча­
стие в подготовке учебного пособия «Теория механизмов», из­
данного издательством «Высшая школа» в 1973 г.
Создание новых машин, приборов, установок, автома­
тических устройств и комплексов, отвечающих современным
требованиям эффективности, точности, надежности и эконо­
мичности, основано на достижениях фундаментальных и прик­
ладных наук.
Теория механизмов и механика машин — наука, изуча­
ющая общие методы структурного, кинематического и дина­
мического анализа и синтеза различных механизмов, механи­
ку машин. Важно подчеркнуть, что излагаемые в теории
механизмов и механике машин методы пригодны для проек­
тирования любого механизма и не зависят от его технического
назначения, а также физической природы рабочего процесса
машины.
Курс теории механизмов и механики машин по существу
Является вводным в специальность будущего инженера и по­
этому имеет инженерную направленность, в нем широко ис­
пользуется современный математический аппарат и изучаются
Практические приемы решения задач анализа и синтеза меха­
низмов — аналитические с применением компьютеров, графи­
ческие и графоаналитические.
Машина —- устройство, выполняющее механические дви­
жения для преобразования энергии, материалов и информа­
ции с целью замены или облегчения физического и умствен­
ного труда человека. В процессе обработки в технологиче­
ских машинах (металлообрабатывающие станки и комплексы,
кузнечно-прессовое
оборудование,
прокатные
станы,
литейное оборудование и т.п.) изменяются форма, размеры,
свойства, состояние исходных материалов и заготовок. С по­
мощью транспортных машин и устройств происходит переме­
щение людей, грузов, инструментов и других объектов в про­
странстве с требуемой скоростью. Энергетические машины
преобразуют энергию. В информационных машинах происхо­
дит преобразование вводимой информации для контроля, ре­
гулирования и управления движением.
Машина осуществляет свой рабочий процесс посредством
выполнения закономерных механических движений. Носителем
этих движений является механизм. Следовательно, механизм
— система твердых тел, подвижно связанных путем сопри­
косновения и движущихся определенным, требуемым образом
относительно одного из них, принятого за неподвижное. Очень
многие механизмы выполняют функцию преобразования меха­
нического движения твердых тел.
Простейшие механизмы (рычажные, зубчатые и др.) бы­
ли известны с давних времен; постепенно шел процесс их ис­
следования, совершенствования и внедрения в практику с це­
лью облегчения труда человека, повышения производительно­
сти труда.
Так, известно, что выдающийся деятель культуры эпо­
хи Возрождения и ученый Леонардо да Винчи (1452 — 1519)
разработал проекты конструкций механизмов ткацких стан­
ков, печатных и деревообрабатывающих машин, им сделана
попытка экспериментальным путем определить коэффициент
трения. Итальянский врач и математик Д. Кардан (1501 —
1576) изучал движение механизмов часов и мельниц. Француз­
ские ученые Г Амонтон (1663 — 1705) и Ш. Кулон (1736 —
1806) первыми предложили формулы для определения силы
трения покоя и скольжения.
Выдающийся математик и механик Л. Эйлер (1707 —
1783), швейцарец по происхождению, тридцать лет жил и ра­
ботал в России, профессор, а затем действительный член Пе­
тербургской академии наук, автор 850 научных трудов, решил
ряд задач по кинематике и динамике твердого тела, исследовал
колебания и устойчивость упругих тел, занимался вопросами
практической механики, исследовал, в частности, различные
профили зубьев зубчатых колес и пришел к выводу, что наи­
более перспективный профиль — эвольвентный.
Знаменитый русский механик и изобретатель И.И. Ползу­
нов (1728 — 1766) впервые разработал проект механизма двух­
цилиндрового парового двигателя (осуществить который ему,
к сожалению, не удалось), сконструировал автоматический ре­
гулятор питания котла водой, устройство для подачи воды и
пара и другие механизмы. Выдающийся механик И.И. Ку­
либин (1735 — 1818) создал знаменитые часы в форме яйца,
представляющие собой сложнейший по тем временам механизм
автоматического действия.
В связи с развитием машиностроения как отрасли про­
мышленности появилась потребность в разработке общих на­
учных методов исследования и проектирования механизмов,
входящих в состав машин. Эти методы способствовали созда­
нию наиболее совершенных для своего времени машин, выпол­
няющих наилучшим образом определенные, требуемые функ­
ции. Известно, что машиностроение как отрасль промышлен­
ности начала складываться еще в XVIII в., а в XIX в. она
стала быстро развиваться, особенно в Англии и США.
В России первые машиностроительные заводы появились
в XVIII в.; в 1861 г. их было уже свыше 100, а в 1900 г. —
примерно 1410. Однако в начале XX в. отечественное маши­
ностроение отставало и по уровню развития и по масштабам
производства: половину от всех машин ввозили из-за границы.
Лишь в 30 — 50-е годы в нашей стране стало развиваться мощ­
ное машиностроение, успешно создающее различные машины
и механизмы, не уступающие лучшим мировым образцам, а в
ряде случаев превосходящие их.
Высокоразвитое отечественное машиностроение было од­
ним из факторов, обеспечивших победу в Великой Отечествен­
ной войне.
Как наука теория механизмов и механика машин под на­
званием «Прикладная механика» начала формироваться в на­
чале XIX в., причем тогда разрабатывались в основном методы
структурного, кинематического и динамического анализа ме­
ханизмов. И лишь с середины XIX в. в теории механизмов
и механике машин получают развитие общие методы синтеза
механизмов. Так, знаменитый русский ученый, математик и
механик, академик П.Л. Чебышев (1821 — 1894) опубликовал
15 работ по структуре и синтезу рычажных механизмов, при
этом на основе разработанных методов он изобрел и постро­
ил свыше 40 различных новых механизмов, осуществляющих
заданную траекторию, останов некоторых звеньев при движе­
нии других и т. д.; структурную формулу плоских механизмов
называют сейчас формулой Чебышева.
Немецкий ученый Ф. Грасгоф (1826 — 1893) дал мате­
матическую формулировку условия проворачиваемости звена
плоского рычажного механизма, которое необходимо при его
синтезе. Английские математики Д. Сильвестр (1814 — 1897)
и С. Робертс (1827 — 1913) разработали теорию рычажных
механизмов для преобразования кривых (пантографов).
И.А. Вышнеградский (1831 — 1895), известный как один
из основоположников теории автоматического регулирования,
сконструировал ряд машин и механизмов (автоматический
пресс, подъемные машины, регулятор насоса) и, будучи про­
фессором Петербургского технологического института, создал
научную школу конструирования машин.
Методы синтеза зубчатых механизмов, применяемых в
различных машинах, отличаются определенной сложностью.
Многие ученые работали в этой области. Французский гео­
метр Т. Оливье (1793 — 1858) обосновал метод синтеза сопря­
женных поверхностей в плоских и пространственных зацеп­
лениях с помощью производящей поверхности. Английский
ученый Р Виллис (1800 — 1875) доказал основную теорему
плоского зацепления и предложил аналитический метод иссле­
дования планетарных зубчатых механизмов. Немецкий маши­
новед Ф. Рело (1829 — 1905) разработал графический метод
синтеза сопряженных профилей, известный в настоящее время
как «метод нормалей». Рело также является автором работ
по структуре (строению) и кинематике механизмов. Россий­
ский ученый Х.И. Гохман (1851 — 1916) одним из первых
опубликовал работу по аналитической теории зацепления.
Значительный вклад в динамику машин внес своими тру­
дами «отец русской авиации» Н.Е. Жуковский (1847— 1921).
Он был не только основоположником современной аэродинами­
ки, но и автором ряда работ по прикладной механике и теории
регулирования хода машин.
Развитию механики машин способствовали работы
Н.П. Петрова (1836 — 1920), заложившего основы гидродина­
мической теории смазки; В.П. Горячкина (1868 — 1935), раз-
работавшего теоретические основы расчета и построения сель­
скохозяйственных машин, вся сложность расчета которых за­
ключается в том, что их исполнительные механизмы должны
воспроизводить движения руки человека.
Российский ученый Л.В. Ассур (1878 — 1920) открыл об­
щую закономерность в структуре многозвенных плоских ме­
ханизмов, применяемую и сейчас при их анализе и синтезе.
Он же разработал метод «особы х точек» для кинематическо­
го анализа сложных рычажных механизмов. А.П. Малышев
(1879 — 1962) предложил теорию структурного анализа и син­
теза применительно к сложным плоским и пространственным
механизмам.
Существенный вклад в становление механики машин как
цельной теории машиностроения внес И.И. Артоболевский
(1905 — 1977). Он являлся организатором отечественной шко­
лы теории механизмов и машин; им написаны многочисленные
труды по структуре, кинематике и синтезу механизмов, ди­
намике машин и теории машин-автоматов, а также учебники,
получившие всеобщее признание.
Ученики и последователи И.И. Артоболевского —
А.П. Бессонов, Вяч. А. Зиновьев (1899 — 1975), Н.И. Левитский, Н.В. Умнов, С.А. Черкудинов и др. — своими работа­
ми в области динамики машин (в том числе акустической и
неголономной), оптимизационного синтеза механизмов, теории
машин-автоматов и в других областях теории механизмов и
машин содействовали дальнейшему их развитию.
В 30-е и последующие годы большой вклад в теорию меха­
низмов и машин внесли своими исследованиями Н.Г Бруевич
(1896 — 1987), один из создателей теории точности механиз­
мов, Г.Г Баранов (1899 — 1968), автор трудов по кинемати­
ке пространственных механизмов, С.Н. Кожевников (1906 —
1988), разработавший общие методы динамического анализа
механизмов с упругими звеньями и механизмов тяжело нагру­
женных машин.
Следует отметить труды ученых одной из старейших ка­
федр нашей страны — кафедры теории механизмов и механики
машин МВТУ им. Н.Э. Баумана (с 1989 г. — Московский го­
сударственный технический университет — МГТУ), где курс
И
прикладной механики ввел и начал в 1872 г. впервые читать
Ф.Е. Орлов (1843 — 1892). В дальнейшем курс отрабатывался
и углублялся как в методическом, так и в теоретическом на­
правлении: Д.С. Зернов (1860 — 1922) расширил теорию пере­
дач; Н.И. Мерцалов (1866 — 1948) дополнил кинематическое
исследование плоских механизмов теорией пространственных
механизмов и разработал простой и надежный метод расче­
та маховика; Л.П. Смирнов (1877 — 1954) привел в строгую
единую систему графические методы исследования кинемати­
ки механизмов и динамики машин; В.А. Гавриленко (1899 —
1977) разработал геометрическую теорию зубчатых передач;
Л.Н. Решетов (1906 — 1998) развил теорию планетарных и
кулачковых механизмов и положил начало теории самоустанавливающихся механизмов.
В настоящее время коллектив кафедры работает над со­
вершенствованием учебного курса теории механизмов и меха­
ники машин. Стремительное развитие новой техники поста­
вило новые проблемы и перед высшим образованием. Поэтому
в курс теории механизмов и механики машин введены разде­
лы, посвященные изнашиванию, влиянию упругости звеньев на
движение механизма, виброактивности и виброзащите, проек­
тированию манипуляторов, управлению системой механизмов.
М Е Х А Н И К А МАШ ИН
Глава
1
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
О М ЕХАН И К Е МАШ ИН
Перед машиностроением стоят сложные задачи. Машина должна
быть прочной, надежной в работе, высокопроизводительной, но вместе с
тем и легкой, не должна загрязнять окружающую среду, соответствовать
требованиям технической эстетики и эргономики. Чтобы успешно решать
эти задачи и создавать хорошие машины, отвечающие современным тре­
бованиям, специалистам в области машиностроения нужны знания основ
целого ряда наук, в том числе теории механизмов и механики машин.
1.1. Структура машинного агрегата
Машиной называют устройство, выполняющее механиче­
ские движения для преобразования энергии, материалов и ин­
формации с целью замены или облегчения физического и ум­
ственного труда человека.
Из определения машины следует, что ее действие обяза­
тельно связано с потоком механической энергии. Он начи­
нается в источнике механической энергии, т.е. в двигателе
ДВ, и далее через передаточный механизм П направляется к
потребителю механической энергии — рабочей машине РМ.
В дальнейшем всю систему ДВ — П — РМ, состоящую из
трех главных частей, будем называть машинным агрегатом.
Рис. 1.1
Структурная схема машинного агрегата, построенная по энер­
гетическому признаку, изображена на рис. 1.1.
Характеризуя силовое нагружение машинного агрегата,
отметим прежде всего, что к механизму ДВ приложена или
движущая сила ^дв, или движущая пара сил с моментом Мдв;
к механизму рабочей машины РМ приложена или сила сопро­
тивления jFpM или пара сил сопротивления с моментом Мрм.
Движение машинного агрегата формируется под действием
прежде всего указанных силовых факторов.
Обратим внимание, что на рис. 1.1 изображена энергети­
ческая цепь, т.е. именно та цепь по которой проходит глав­
ный поток механической энергии. Но современный машин­
ный агрегат оснащен еще и вспомогательными цепями: цепями
управления, регулирования, обслуживания, защиты и др.; на
рис. 1.1 эти цепи не показаны.
Дадим краткое описание всех трех главных частей ма­
шинного агрегата.
Источниками механической энергии, или двигателями
(см. рис. 1.1), являются такие машины, в которых один из ви­
дов энергии преобразуется в механическую. В соответствии с
этим двигатели подразделяют на несколько видов. Так, в элек­
тродвигателях в механическую преобразуется электроэнергия;
в тепловых двигателях — тепловая энергия, скрытая в топливе
(двигатели внутреннего сгорания) или тепловая энергия пара
(паровые турбины); в гидравлических — энергия движущейся
жидкости (гидротурбины); в пневматических — энергия сжа­
того газа (детандеры, пневмомоторы). Есть еще несколько
других видов двигателей, которые редко применяются в ма­
шинных агрегатах. Все двигатели относятся к классу энерге­
тических машин.
В отличие от двигателей, имеющих ограниченное число
видов, потребители механической энергии, или рабочие маши­
ны (см. рис. 1.1), наоборот, насчитывают очень большое ко­
личество видов, которые распределены по четырем классам:
энергетические, технологические, транспортные и информаци­
онные машины.
В энергетических машинах механическая энергия пре­
образуется в другие виды энергии: в электрогенераторах —
в электрическую, в гидронасосах — в энергию движущейся
жидкости, в компрессорах — в энергию сжатого воздуха.
Технологические машины служат для обработки различ­
ных материалов и изготовления всевозможных изделий. К
ним относятся металлообрабатывающие и деревообрабатыва­
ющие станки (имеющие большое число подвидов), литейные
машины, прессы и молоты, прокатные станы, металлургиче­
ские ножницы, землеройные машины, буровые станки, бето­
номешалки, лесопильные рамы, бумагоделательные машины,
прядильные и ткацкие станки, сельскохозяйственные машины,
мельницы, пищевые машины и многие другие.
Транспортные машины предназначены для перемещения
людей и грузов. В качестве примеров укажем лифты, эскала­
торы, подъемные краны, транспортеры, конвейеры, элевато­
ры, промышленные роботы и др.
К информационным в первую очередь относятся печатные
(типографские), а затем счетные и другие машины, в которых
вычислительный процесс осуществляется благодаря механиче­
скому движению.
В отличие от транспортных энергетические, технологиче­
ские и информационные машины в большинстве случаев явля­
ются стационарными, т.е. их закрепляют на неподвижном
основании (фундаменте).
Обычно (но не всегда) угловая скорость двигателя не рав­
на угловой скорости рабочей машины; чаще всего и>дв > и>рм.
Поэтому возникает необходимость в передаточном механиз­
ме П, или в передаче (см. рис. 1.1). В качестве передаточного
механизма может служить простая зубчатая передача, в том
числе и червячная, цепная, ременная, фрикционная передачи и
более сложные механизмы: редуктор, вариатор и др.
Следует иметь в виду, что на рис. 1.1 изображена энер­
гетическая, а не конструктивная схема машинного агрегата.
Во многих современных сложных машинах их главные части
так скомпонованы в единое конструктивное целое, что указать
четкие границы между ними очень трудно. Так, глядя на элек­
тродвигатель со встроенным редуктором, невозможно опреде­
лить, где кончается двигатель и начинается редуктор: услов­
ная граница между ними находится внутри единой, неразделя­
емой конструкции. Аналогично в токарном станке передаточ­
ный механизм органически слился со всей системой станка:
рабочая машина конструктивно «поглотила» передаточный
механизм.
Существуют машинные агрегаты, в которых рабочая ма­
шина напрямую соединена с двигателем (без передаточного ме­
ханизма). К агрегатам с такой упрощенной структурой отно­
сятся турбо- и гидрогенераторы, дизель-компрессоры, дизельгенераторы и другие двухмашинные установки, входящие в
класс энергетических машин.
Рассмотрим также энергетические машины с необычной
структурой, которая заключается в том, что механическая
энергия циркулирует только внутри машины, не выходя за ее
пределы. В качестве примера укажем механический генератор
сжатых газов (МГСГ). Механический генератор потребляет
жидкое топливо и преобразует его энергию в энергию сжатого
газа, в данном случае — продуктов сгорания* Весь процесс
происходит благодаря механическому движению поршней, так
что МГСГ обладает всеми признаками машины. В одной кон­
струкции МГСГ объединяет двигатель с потребителем меха­
нической энергии и, таким образом, является полностью сфор­
мированным машинным агрегатом с наипростейшей структу­
рой. При этом положительная работа, совершаемая внутри
генератора, равна отрицательной, поэтому МГСГ не отдает и
не потребляет механическую энергию.
Другим примером энергетической машины с необычной
структурой является одноякорный преобразователь, в котором
* Принцип механической генерации сжатых газов открыл в 1913 г.
студент-дипломник ИМТУ (ныне МГТУ им. Н.Э. Баумана) А.Н. Шелест,
впоследствии профессор; в 1915 г. этот принцип был запатентован в Рос­
сии и Англии; в настоящее время применяется в транспортной технике
как в нашей стране, так и за рубежом.
переменный ток преобразуется в постоянный (или наоборот).
Он потребляет электрическую энергию и преобразует ее в
электрическую, но другого вида. Рабочий процесс осуществля­
ется благодаря механическому движению — вращению якоря.
Поэтому одноякорный преобразователь является машиной, в
единой конструкции которой сосредоточены две электрические
машины: переменного и постоянного тока. Причем одна из них
двигатель, а другая — генератор, следовательно, одноякорный
преобразователь, как и МГСГ, представляет собой машинный
агрегат с наипростейшей структурой.
В заключение сформулируем, основные положения, рас­
смотренные в данном параграфе.
Машинный агрегат состоит из трех главных частей: дви­
гателя, рабочей машины и передаточного механизма, соеди­
няющего их. Часто передаточный механизм конструктивно
объединяют либо с рабочей машиной, либо (что значительно
реже) с двигателем. Распространены также машинные агре­
гаты с упрощенной структурой, когда передаточного механиз­
ма нет, а источник и потребитель механической энергии непо­
средственно соединены между собой и образуют двухмашин­
ную установку. В особых случаях источник и потребитель
механической энергии конструктивно выполнены в виде одной
машины, что приводит к наипростейшей структуре машинно­
го агрегата. В соответствии с эксплуатационным назначени­
ем различают четыре класса машин: энергетические, техноло­
гические, транспортные, информационные. Классы машин, в
свою очередь, подразделяют на виды, примеры которых были
указаны выше.
1.2. Машина и механизм
Во введении было дано важнейшее понятие «м аш ина».
Добавим, что машины не только заменяют или облегчают труд
человека, но и тысячекратно увеличивают его производитель­
ность. Существенным является то, что преобразование энер­
гии, материалов и информации происходит благодаря именно
механическому движению. Помня это, подробно раскроем по­
нятие «м аш ина» на конкретных примерах.
Рис. 1.2
Электродвигатель забирает из сети электроэнергию и пре­
образует ее в механическую, которую отдает потребителю. Им
может быть компрессор, преобразующий полученную.механи­
ческую энергию в энергию сжатого воздуха. Главное заключа­
ется в том, что преобразование энергии происходит за счет
механического движения рабочих органов: в электродвигателе
— это вращение ротора 1 (рис. 1.2) в компрессоре — движение
поршня 3 вверх и вниз (рис. 1.3).
Потребителем механической энергии электродвигателя
могут быть также станок, пресс и какая-либо другая техноло­
гическая машина. В этом случае механическая энергия расхо­
дуется на совершение работы, обусловленной технологическим
процессом. Станок или пресс также осуществляют преобразо­
вание, но уже не энергии, а размеров и формы обрабатывае­
мого изделия: станок — резанием, пресс — давлением. И в
этих примерах показано, что преобразование осуществляется
посредством механического движения: в станке — режущего
инструмента или изделия, в прессе — штампа.
В транспортере механическая энергия расходуется на пе­
ремещение груза. Процесс преобразования, свойственный ма­
шине, состоит в транспортировке груза (в изменении его ме­
стоположения) и выполняется, естественно, благодаря меха­
ническому движению ленты транспортера, на которой лежит
груз.
Воздух
из атмосферы
Сжатый
воздух
Рис. 1.3
К потребителям механической энергии относится и печат­
ная (типографская) машина. В ней информация преобразует­
ся в многократно размноженную печатную продукцию посред­
ством механического движения, выполняемого рабочими орга­
нами машины.
Рабочий процесс в машине осуществляется посредством
механического движения, поэтому у нее должен быть носитель
этого движения. Таким носителем является механизм. Следо­
вательно, понятие «м аш ина» неразрывно связано с понятием
«механизм». Механизм, сколь бы прост он ни был, обязатель-
но входит в состав машины; он является ее кинематической
основой, и поэтому изучение механики машин неразрывно свя­
зано с изучением свойств их механизмов.
Механизмом, как было сказано во введении, называют си­
стему твердых тел, подвижно связанных и соприкасающихся
между собой и совершающих требуемые движения.
Раскроем подробно это определение на конкретных при­
мерах.
Механизм электродвигателя представляет собой систему
двух твердых тел: ротора 1> вращающегося внутри неподвиж­
ного статора, и самого статора 2 (см. рис. 1.2); эти твердые
тела называют звеньями механизма. Ротор вращается относи­
тельно статора, значит, звенья связаны между собой подвиж­
но. Эта связь конструктивно выполнена с помощью подшипни­
ков и осуществляется путем соприкосновения. Действительно,
пусть электродвигатель имеет подшипники скольжения; то­
гда цилиндрическая поверхность вала ротора соприкасается с
цилиндрической поверхностью неподвижных вкладышей под­
шипников статора. Такое соединение соприкасающихся зве­
ньев, которое допускает их относительное движение, называ­
ют кинематической парой. В данном случае ротор 1 и статор
2 образуют кинематическую пару 1/2. Наконец, отметим, что
вращательное движение ротора — это то движение, которое
требуется для передачи механической энергии от двигателя ее
потребителю (компрессору, станку, ковочной машине, подъем­
ному крану, печатной машине и т.д.). Следовательно, систе­
ма ротор — статор обладает всеми признаками, которые, по
определению, присущи любому механизму, и является, таким
образом, механизмом.
Рассмотренный пример наглядно показывает, что меха­
низм электродвигателя, состоящего всего из двух звеньев —
ротора и статора, имеет простое строение или, как говорят
иначе, структуру. Такая же простейшая структура у меха­
низмов очень многих машин: паровых, газовых и гидравличе­
ских турбин, осевых компрессоров, вентиляторов, воздуходу­
вок, центробежных насосов, электрогенераторов и других ма­
шин, которые называют роторными.
Отметим, многие механизмы имеют более сложное строе­
ние. Необходимость усложнения возникает в случае, когда для
осуществления требуемых движений механизм должен выпол­
нять функции передачи и преобразования движения. Чтобы
пояснить это, рассмотрим другой пример.
К поршневому компрессору, который предназначен для
получения сжатого воздуха, механическая энергия, необходи­
мая для этого процесса, подводится к вращающемуся коленча­
тому валу 1 и через шатун 2 передается поршню 3, соверша­
ющему возвратно-поступательное движение вверх и вниз вну­
три рабочего цилиндра Ц (см. рис. 1.3). При движении порш­
ня вниз происходит всасывание воздуха из атмосферы, при
движении вверх — сначала сжатие воздуха, а затем его на­
гнетание в специальный резервуар. Требуемыми движениями
здесь являются непрерывное вращательное движение вала и
возвратно-поступательное движение поршня. Следовательно,
для их осуществления необходимо преобразование движения
вала в движение поршня, которое выполняет механизм ком­
прессора, называемый кривошипно-ползунным. Поэтому меха­
низм компрессора значительно сложнее механизма электродви­
гателя, который не осуществляет преобразования движения.
Кривошипно-ползунный механизм состоит уже не из двух, а из
четырех звеньев: трех подвижных 1, 2, 3 и одного неподвиж­
ного, которым является корпус 4 компрессора (см. рис. 1.3).
Звенья кривошипно-ползунного механизма, соединенные
между собой, образуют пары 1/4, 1/2, 2/3, 3/4• Звенья сопри­
касаются друг с другом в подшипниках А, В и С, и, кроме того,
поршень соприкасается с неподвижной поверхностью рабочего
цилиндра Ц. Все эти соединения позволяют звеньям двигать­
ся друг относительно друга: звено 1 вращается относительно
звена 4 чзвено 2 поворачивается относительно звена
так как
угол АВС в процессе движения изменяется, и т.д. Таким обра­
зом, система твердых тел (1 — 2 — 3 — 4) обладает всеми
признаками, которые, по определению, должны быть присущи
механизму, а потому и является механизмом.
Рассмотренный кривошипно-ползунный механизм широ­
ко распространен: его применяют в стационарных и судо­
вых двигателях внутреннего сгорания, поршневых детандерах
и гидронасосах, технологических, транспортных (автомобили,
тракторы, тепловозы) и многих других машинах.
В заключение отметим, что понятие «механизм» более
широкое, чем «кинематическая основа машины». Прежде все­
го механизм — кинематическая основа не только машин, но и
многих приборов и аппаратов (гироскопов, регуляторов, реле,
контакторов, электроизмерительных приборов, средств авто­
матической защиты и др.). Кроме того, многие механизмы
существуют самостоятельно, не относясь к какой-либо маши­
не конкретно, не будучи ее составной частью. К ним относятся
передаточные механизмы (редукторы, вариаторы, зубчатые и
другие передачи), связывающие отдельные машины в целые
агрегаты.
1.3. Силы, действующие в машинах,
и их характеристики
Характер приложения силы и пары сил к механизму ма­
шины может быть различным. В случае точечного контакта
звеньев силовое воздействие выражается в виде сосредоточен­
ной силы. При линейном контакте, например в зацеплении
двух зубьев, сила взаимодействия распределена вдоль линии
контакта. Давление газов на поршень машины или прибора
представляет собой распределенную по рабочей поверхности
поршня нагрузку, а сила тяжести — нагрузку, распределен­
ную по всему объему звена. В дальнейшем распределенные
нагрузки заменим равнодействующими силами.
Во многих случаях силовое воздействие сводится к резуль­
тирующей паре сил. Так, например, к проводникам электри­
ческого двигателя приложены электромагнитные силы. Выде­
лим два проводника, которые расположены на одном диаметре
(рис. 1.4); к ним приложены две равные, параллельные и про­
тивоположно направленные силы, т.е. пара сил ( jF, F ), Если
просуммировать все пары сил, то получим результирующую
пару сил с моментом М , приложенную к ротору электрической
машины. В дальнейшем, как это принято в технической лите­
ратуре, такие результирующие пары сил будем называть мо­
ментами. Точно также к моменту (т.е. к результирующей па­
ре сил) сводится силовое воздействие, приложенное к рабочим
колесам турбин, центробежных насосов, воздуходувок, венти­
ляторов и других роторных машин.
Силы и моменты, приложенные к механизмам машин,
можно подразделить на следующие группы.
1. Движущие силы и моменты, совершающие положитель­
ную работу за время своего действия или за один цикл, если
они изменяются периодически. Эти силы и моменты приложе­
ны к звеньям механизма, которые называют ведущими.
2. Силы и моменты сопротивления, совершающие отрица­
тельную работу за время своего действия или за цикл. Разли­
чают силы и моменты полезного сопротивления, которые со­
вершают требуемую от машины работу и приложены к зве­
ньям, называемым ведомыми, и силы и моменты сопротивле­
ния среды (газа, жидкости), в которой движутся звенья меха­
низма. Силы сопротивления среды обычно малы по сравне­
нию с силами полезного сопротивления; в дальнейшем их учи­
тывать не будем, а силы и моменты полезного сопротивления
будем называть силами и моментами сопротивления.
3. Силы тяжести подвижных звеньев и силы упругости
пружин. На отдельных участках движения механизма эти си­
лы могут совершать как положительную, так и отрицатель­
ную работу. Однако за полный кинематический цикл работа
сил тяжести звеньев и упругости пружин равна нулю.
4. Силы и моменты, приложенные к корпусу машины из­
вне. К ним кроме силы тяжести корпуса относятся реакция
основания (фундамента) машины на ее корпус и многие дру­
гие силы. Все эти силы и моменты, поскольку они приложены
к неподвижному корпусу, работы не совершают.
5.
Силы взаимодействия между звеньями механизма, т.е.
силы, действующие в местах соединения звеньев, или в кине­
матических парах. Эти силы, согласно третьему закону Нью­
тона, всегда взаимообратны. Их нормальные составляющие
не совершают работу, а касательные составляющие, т.е. силы
трения, совершают, причем работа сил трения на относитель­
ном перемещении звеньев кинематических пар отрицательна.
Силы и моменты первых трех групп относятся к катего­
рии активных. Обычно они известны или их можно оценить.
Все эти силы и моменты приложены к механизму извне, а по­
этому являются внешними. К числу внешних относятся также
и все силы и моменты четвертой группы. Однако не все они
являются активными.
Силы пятой группы, если рассматривать механизм в це­
лом, не выделяя отдельных его частей, являются внутренними.
Эти силы представляют собой реакции на действие активных
сил. Реакцией будет также и сила (или момент), с которой
основание (фундамент) машины действует на ее корпус, т.е.
на неподвижное звено механизма. Реакции наперед неизвест­
ны, поскольку они зависят от активных сил и моментов и от
ускорений звеньев.
Наибольшее влияние на закон движения механизма ока­
зывают движущие силы и моменты, а также силы и момен­
ты сопротивления, поэтому они являются основными во всей
системе нагружения механизма. Их физическая природа, чис­
ленное значение и характер действия определяются рабочим
процессом машины или прибора. В большинстве случаев эти
силы и моменты не остаются постоянными, а изменяют свое
значение при изменении положения звеньев механизма или их
скорости. Эти функциональные зависимости, представленные
графически, массивом чисел или аналитически, называют ме­
ханическими характеристиками. В курсе «Теория механиз­
мов и механика машин» рабочие процессы машин не изуча­
ются; их механические характеристики разработаны в специ­
альных курсах, таких, как «Теория электрических машин»,
«Теория резания металлов» и др.
При изображении механических характеристик будем
придерживаться следующего правила знаков: силу и момент
будем считать положительными, если на рассматриваемом
участке пути (линейном или угловом) они осуществляют по­
ложительную работу.
Характеристики сил и моментов, зависящих от
скорости. Механическая характеристика асинхронного элек­
тродвигателя, т.е. зависимость его движущего момента от
угловой скорости Мдв = Мдв(и>), показана на рис. 1.5. Рабо­
чей частью характеристики является участок аб, на котором
движущий момент резко уменьшается даже при самом незна­
чительном увеличении скорости вращения. Такие характери­
стики называют жесткими. На участке аЪ указаны номиналь­
ный режим (М н, cjh ) и режим холостого хода двигателя (cjxx).
Механическая характеристика Мдв = Мдв(и) тихоход­
ного многоцилиндрового двигателя Дизеля представлена на
рис. 1.6. Собственные свойства этой машины таковы, что дви­
жущий момент на ее валу при изменении угловой скорости
изменяется незначительно.
вала в рабочем диапазоне и а ..
Такие характеристики называют мягкими.
От угловой скорости зависит момент сопротивления
Мрм = Мрм(и) таких рабочих машин роторного типа, как
электрогенераторы, вентиляторы, воздуходувки, центробеж­
ные насосы (рис. 1.7) и многие другие.
Рис. 1.7
Отметим, что при увеличении угловой скорости и мо­
мент двигателей (т.е. источников механической энергии) обыч­
но уменьшается, а момент рабочих машин (т.е. потребителей
механической энергии) обычно по модулю увеличивается.
Характеристики сил и моментов, зависящих от по­
ложения. Кинематическая схема механизма двухтактного од­
ноцилиндрового двигателя внутреннего сгорания (ДВС) и его
механическая характеристика показаны на рис. 1.8.
Рис. 1.8
Рабочий орган ДВС — поршень 5, совершает возвратно­
поступательное движение влево и вправо. Его положение в
данное мгновение определяется координатой
отсчитывае­
мой от крайнего правого положения точки С. К поршню при­
ложена сила jРд от газа, находящегося справа от поршня в ци­
линдре Ц. Эта сила всегда действует влево. Поэтому при дви­
жении поршня влево (процесс сгорания топлива и расширения
газа, т.е. продуктов сгорания) сила FR совершает положитель­
ную работу и показана со знаком плюс (ветвь czd). При движе­
нии поршня вправо (процесс сжатия газа, т.е. свежей порции
воздуха) сила
совершает отрицательную работу, показана
со знаком минус (ветвь dac). В соответствии с механической
характеристикой jРд = Fa( s c ) сила F^ не остается постоянной:
она изменяется в процессе движения поршня, т.е. зависит от
его положения.
Если при следующем обороте коленчатого вала 1 порция
топлива, подаваемого в цилиндр, не изменяется, то механи­
ческая характеристика FR = F ^ s q ) повторяет свою форму.
Значит, сила FR изменяется периодически: период равен одно­
му обороту коленчатого вала. У других машин период может
быть иным. Так, у одноцилиндрового четырехтактного ДВС
он продолжается два оборота, а у многоцилиндровых поршне­
вых машин составляет часть оборота. Периодический харак­
тер изменения силы свойственен тем машинам и приборам,
рабочий процесс которых цикл за циклом повторяется (ком­
прессоры, гидронасосы, строгальные станки, киноаппараты и
др.).
Работа силы Fд графически изображается площадью
(см. рис. 1.8), ограниченной кривой F r (s q ). Эта площадь по­
делена на две части: положительную и отрицательную, при­
чем первая больше второй, поэтому работа силы Fд за полный
период будет положительной. Следовательно, сила Fд явля­
ется движущей, хотя она и знакопеременна. Отметим, что,
если сила, будучи знакопеременной, совершает за один период
отрицательную работу, она является силой сопротивления.
Силы и моменты, зависящие от положения, действуют во
многих других машинах и приборах (в поршневых детанде­
рах, ковочных машинах, долбежных станках, разнообразных
приборах как с пневмоприводом, так и с пружинными двига­
телями и т.д.), причем действие сил и моментов может быть
периодическим и непериодическим.
Часто силы, зависящие от положения звеньев механизма,
слабо зависят от скорости, а иногда и совсем от скорости не
зависят. Так, в различных приборах (часы, сейсмографы, виб­
рографы и др.) широко применяют пружинные двигатели.
Значение их упругой силы, действующей на ходовой барабан,
не зависит от того, с какой скоростью барабан вращается.
Обратим внимание на особое свойство машин роторного
типа (турбины всех видов, осевые компрессоры, воздуходувки,
центробежные насосы, электродвигатели, электрогенераторы
и многие другие): их момент от положения ротора не зависит.
Характеристики таких машин при и = const изображены на
рис 1.9; по оси абсцисс отложена угловая координата </? (см.
рис. 1.4), указывающая текущее положение ротора двигателя
(рис. 1.9, а) или рабочей машины (рис. 1.9, 6).
Отметим, что есть силы, которые не зависят ни от ско­
рости v, ни от положения s точки приложения. Классическим
примером служит сила тяжести. Так, сйЛа тяжести груза,
приложенная к крюку (рабочий орган подъемного крана), не
зависит от скорости, с которой движется груз, и от того, на
какой высоте он в данное мгновение находился.
Силы, явно зависящие от времени, в Данном курсе рас­
сматриваться не будут.
При различной подаче топлива в рабочие цилиндры ДВС
его механическая характеристика принимает вид семейства
кривых (рис. 1.10, а): чем больше подача топлива (параметр h
семейства), чем выше располагается характеристика. Семей­
ством кривых изображается и механическая характеристика
шунтового электродвигателя (рис. 1.10,6): чем больше регу­
лировочное сопротивление в цепи обмоткй возбуждения, тем
правее размещается кривая. Таким образам, воздействуя на
параметр h посредством органа управлений двигателем, мож­
но изменять режим его работы, увеличивая $го движущую си­
лу или скорость. Значит, параметр управления h влияет на
©
Рис. 1.9
количество энергии, протекающей через машину, т.е. опреде­
ляет ее производительность.
Механические характеристики в общем виде представля­
ют собой зависимости М = M(h, <р,и>) и F = F(h, s, v). Однако
у роторных машин влияние координаты <р отсутствует, по­
этому характеристика приобретает вид М = M( h, u) . Порш­
невым машинам, особенно тихоходным, свойственно сравни­
тельно слабое влияние скорости v на силу F] зависимость
сводится к виду F = F( h, s). Зависимости F = F( h, s , v ) и
М = M(h,(p,u) называют также статическими характери­
стиками. Существенно отметить, что в этих зависимостях не
содержатся производные от сил и моментов по времени.
Механические характеристики необходимы для определе­
ния закона движения машин, а также при решении других за­
дач динамики машин.
1.4. Управление движением
машинного агрегата
Процесс движения машины в общем случае состоит из
трех фаз: разбега, установившегося режима и выбега и по­
казан на рис. 1.11.
Фаза разбега характеризуется увеличением скорости глав­
ного вала машины. Это наблюдается при пуске машины или
переводе ее с меньшей скорости на большую.
При установившемся режиме скорость главного вала из­
меняется периодически, ее среднее значение поддерживается
на постоянном уровне. В таком режиме обычно работают тех­
нологические и информационные, т.е. стационарные, машины.
Во время выбега скорость главного вала уменьшается.
Это происходит при останове машины или при переводе ее с
большей скорости на меньшую.
Разбег и выбег относятся к неустановившемуся движе­
нию, которое характеризуется непериодическими, т.е. непов­
торяющимися, изменениями скорости главного вала машины.
Такой процесс движения называют переходным.
Не следует, однако, думать, что каждый механизм во вре­
мя своего движения всегда строго последовательно проходит
три указанные фазы. Так, многие механизмы в установившем­
ся режиме вообще не работают. Это особенно характерно для
целого ряда приборов и аппаратов (реле, контакторы и т.п.).
Их механизм во время срабатывания переходит из одного по­
ложения в другое, не совершая замкнутого, повторяющегося
кинематического цикла. Сначала скорость такого механизма
нарастает от нуля — разбег (разгон), а затем, пройдя макси­
мум, уменьшается до нуля — выбег (торможение).
Часто установившееся движение машины чередуется с
разгонами (при повышении скоростного режима) и торможе­
нием (при понижении скоростного режима). Так работает,
например, автомобильный двигатель и другие транспортные
машины.
Рис. 1.11
Установившийся режим нарушается также и при измене­
нии нагрузки на двигатель со стороны рабочей машины. Начи­
нается переходный процесс, во время которого двигатель дол­
жен привести агрегат к новому установившемуся режиму с из­
менившимся уровнем нагружения. Это характерно для агрега­
тов с энергетическими рабочими машинами (турбогенераторы,
дизель-компрессоры и т.п.), которые, согласно своему назна­
чению, должны работать в установившемся режиме, но при
изменяющейся время от времени нагрузке на двигатель.
При установившемся режиме вращение главного вала ма­
шины вследствие колебаний угловой скорости не является,
строго говоря, равномерным (см. рис. 1.11). Степень нерав­
номерности оценивается коэффициентом неравномерности 6 =
= (^max —^min) /^ср • Коэффициент 6 равен 1/15 и часто имеет
значительно меньшее значение. Значит, отклонения текущего
значения угловой скорости и от ее среднего значения иср не
превышают ± (2 - 3) %, так что вращение хоть и не строго
равномерное, но весьма близко к равномерному. Будем счи­
тать, что в начальном приближении при установившемся ре­
жиме главный вал машинного агрегата вращается с постоян­
ной угловой скоростью и = const.
Отметим, что условие и = const приемлемо, поскольку
для многих машинных агрегатов оно выполняется точно. Рав­
номерное вращение главного вала этих машинных агрегатов
является частным, но распространенным случаем. К таким
агрегатам прежде всего относятся те, которые составлены из
роторных машин: турбогенераторы на электростанциях, элек­
тродвигатели, приводящие в движение роторные рабочие ма­
шины, т.е. центробежные насосы, воздуходувки, вентиляторы
и т.п.; равномерно вращаются шпиндели токарных станков,
рабочие органы сверлильных, фрезерных и т.п. станков, а так­
же главные валы многих других машин. При установившемся
режиме угловая скорость всех этих машин остается постоян­
ной (и — const).
Рассмотрим, как формируется установившийся режим ма­
шинного агрегата и при каких условиях он поддерживается
устойчиво без всякого воздействия органов управления на дви­
гатель. При этом для простоты рассуждений (но отнюдь не
в ущерб их сути) будем считать, что двигатель напрямую,
т.е. без передаточного механизма, соединен с рабочей ма­
шиной. Кроме того, принятое выше начальное приближение
(и = const) вынуждает сделать следующее упрощение: если
момент двигателя или рабочей машины изменяется периоди­
чески (см. § 1.3), будем использовать его среднее за цикл зна­
чение, а не текущее. Этого упрощения, равно как и условия,
что при установившемся режиме главный вал машинного агре­
гата вращается равномерно, будем придерживаться только в
пределах первой главы.
Установившийся режим достигается лишь при равенстве
моментов двигателя и рабочей машины, т.е. движущего Мдв
и сопротивления Мс:
Л/дв — M
q,
где Мс — момент сопротивления рабочей машины, Мс =
= |Мрм|. При Мдв / Мс угловая скорость главного вала не
может оставаться постоянной, т.е. в случае Мдв > Мс она
будет увеличиваться, а при Мдв < Мс уменьшаться.
Пусть механические характеристики машинного агрега­
та имеют вид, показанный на рис. 1.12, а, где h = const (ор­
ган управления двигателем зафиксирован в постоянном поло­
жении). Установившийся режим будет достигнут в случае ра­
венства моментов (Мдв)у = (М с)у, а угловая скорость при этом
составит и = шу = const (точка у на рис. 1.12, а).
Обратим внимание, что при росте угловой скорости и дви­
жущий момент М в области, прилегающей к установившемуся
режиму (к точке у), уменьша­
ется, а момент сопротивления
Мс растет, т.е. у заданных ха­
рактеристик dM ^/du < 0, а
dMc/du > 0.
Представим себе, что вслед­
ствие некоторой причины уста­
новившийся режим был нарушен
и угловая скорость главного ва­
ла агрегата уменьшилась до
значения и/, после чего возму­
щающая причина прекратила
свое действие.
В результате
при и = и 1 движущий момент
МдВ превысит момент сопротив­
ления М ' (см. рис. 1.12, а), по­
этому угловая скорость начнет
увеличиваться, стремясь к уста­
новившемуся значению иу, а мо­
менты МдВ и Мс, как видно из
рис. 1.12, а, будут сближаться,
стремясь к своему равенству, в
результате чего установивший­
ся режим и = и у вновь будет до­
стигнут.
Рассуждая аналогично, не­
трудно заметить, что если ка­
кая-либо возмущающая причина
вызвала увеличение угловой ско­
рости до и п (см. рис. 1.12, a), a
затем прекратила свое действие,
то после этого угловая скорость
вследствие избытка момента со­
противления
над МдВ бу­
дет уменьшаться, стремясь к иу ;
h = const
М»
\ ]1
-г
м„
:2
в
Рис. 1.12
это вызовет сближение моментов Мдв и Мс вплоть до их равенства, что и приведет к восстановлению установившегося
режима и — и у .
2 - 11273
Из сказанного следует, что машинный агрегат с харак­
теристиками, расположенными друг относительно друга так,
как показано на рис. 1.12, а, обладает способностью самостоя­
тельно, без всякой помощи извне (орган управления двигате­
лем зафиксирован в постоянном положении: h = const) устой­
чиво поддерживать установившийся режим. Назовем такую
способность саморегулированием.
Обратимся к двум другим машинным агрегатам с иным
взаимным расположением характеристик (рис. 1.12,5, б). На­
зовем их условно агрегатами « б » и « в » . Они саморегулиро­
ванием не обладают. Действительно, рассуждая как и преж­
де, установим, что в агрегате « б » уменьшение угловой скоро­
сти и от значения ыо приведет к неравенству Мдв и Мс , при­
чем Мс > Мдв (см. рис. 1.12, б). Это, в свою очередь, вызовет
дальнейшее уменьшение угловой скорости, в процессе которого
моменты МдВ и Мс к своему равенству стремиться не будут.
Следовательно, возврата угловой скорости и к значению cjo не
произойдет. Такой же результат получится и при увеличении
угловой скорости и от значения
.
Что же касается агрегата « в » , то, поскольку у него ра­
венство Мдв = Мс практически соблюдается на всем участке 1
— 2 (см. рис. 1.12, б), вращение главного вала такого агрегата
в пределах этого участка может происходить с любой скоро­
стью: никакого четкого скоростного режима у агрегата « в »
не будет. Способностью устойчиво поддерживать установив­
шийся режим агрегаты « б » и « в » не обладают.
Заметим, что при наличии саморегулирования (см.
рис. 1.12, а) справедливо следующее соотношение: F = ——-- ---- > 0. Двучлен F называют фактором устойчивости
машинного агрегата; он введен в курс динамики машин проф.
МВТУ им. Н.Э. Баумана В.И. Крутовым. Положительный
фактор устойчивости является, таким образом, математиче­
ским признаком наличия саморегулирование* Для агрегата
« а » F > 0, для агрегата « б » F < 0, для агрегата « в » F = 0.
Подводя итог, заключаем, что если фактор устойчивости
машинного агрегата положительный, то такой агрегат поддер­
живает установившийся режим самостоятельно, за счет своих
собственных внутренних свойств,
без специального внешнего воз­
действия на него посредством ор­
гана управления.
Рассмотрим
способность
двигателей задавать нужную ско­
рость рабочей машине, а также
способность двигателей поддер­
живать заданную скорость с до­
статочной точностью.
Механическая характеристи­
ка Мдв шунтового электродвига­
теля постоянного тока при h =
= h\ (рис. 1.13, а) близка к вер­
тикали, или, иначе говоря, она
жесткая. Ее пересекает механи­
ческая характеристика Мс рабо­
чей машины. Режим установится
при угловой скорости cjyi, когда
-^дв1 — М с1 .
Допустим, что для продол­
жения технологического процес­
са угловую скорость нужно сни­
зить до значения иу2 - (Такая
необходимость возникает, напри­
Рис. 1.13
мер, при управлении поворотом ковша во время разливки ста­
ли.) При шунтовом электродвигателе сделать это просто:
достаточно уменьшить регулировочное сопротивление в це­
пи возбуждения, т.е. уменьшить параметр управления от hi
до /&2 - Получим новую механическую характеристику двигате­
ля М ДВ2 и, соответственно, новый скоростной режим и у2 (см.
рис. 1.13, б). Аналогично можно перейти и на большую угло­
вую скорость. При этом ступени перехода могут быть и зна­
чительными и, что очень ценно, мелкими. Благодаря гибкости
в управлении и способности задавать рабочей машине любую
требуемую скорость, шунтовые электродвигатели постоянного
тока в промышленном приводе достаточно широко распростра­
нены.
Теперь рассмотрим по­
лезные свойства электродви­
гателей с жесткой механи­
ческой характеристикой. К
ним, помимо шунтовых, от­
носятся асинхронные двига­
тели
переменного
тока.
Их механическая характери­
стика МдВ(сс>), в ее рабочей
части,
представлена
на
рис. 1.14; она близка к верти­
Рис. 1.14
кали. В связи с этим обра­
тим внимание, что у рассматриваемых двигателей второй член
фактора устойчивости F, т.е. производная (1Мдв/с1и;, отрица­
тельна, а ее модуль велик. Следовательно, фактор устойчи­
вости агрегатов с такими двигателями является очень значи­
тельным.
Наложим на характеристику Мдв(^) двигателя характе­
ристику Мс\(и) рабочей машины. Режим установится при
и = и\, т.е. когда М ДВ1 = Мс\. При этом устойчивость
режима будет очень высокой, поскольку фактор устойчивости
агрегата весьма велик.
Допустим, нагрузка со стороны рабочей машины сильно
возросла и изображается характеристикой Мс2 (и). Установив­
шийся режим будет нарушен, так как сразу же после увеличе­
ния нагрузки нарушится равенство моментов в сторону избыт­
ка момента сопротивления: М с2 > Мдв1 ; угловая скорость и
поэтому начнет уменьшаться.
Электродвигатель немедленно прореагирует на это умень­
шение момента Мдв и быстро приведет машинный агрегат к
новому установившемуся режиму: М д в2 = М с2 , который будет
поддерживаться по-прежнему с большой устойчивостью.
В новом установившемся режиме угловая скорость станет
меньше: U2 <
(см. рис. 1.14). Однако вследствие жест­
кости характеристики электродвигателя уменьшение угловой
—и>2 будет очень небольшим. Так, при уве­
скорости А и =
личении движущего момента Мдв от нуля (холостой ход) до
номинального Мн (см. рис. 1 .5 ) «просадка» угловой скорости
Ди;н = и хх —и н составляет всего лишь несколько процентов от
ихх. Таким образом, электродвигатели с жесткой характери­
стикой обладают существенным качеством: они поддержива­
ют скоростной режим почти постоянным при любой нагрузке
со стороны рабочей машины, автоматически доводя движущий
момент до момента сопротивления. Такое качество органиче­
ски присуще этим двигателям, поскольку вытекает из их соб­
ственных электромагнитных свойств; поэтому ни в каком спе­
циальном регуляторе скорости они не нуждаются. Кроме то­
го, отметим ярко выраженную способность электродвигателей
с жесткими характеристиками устойчиво поддерживать уста­
новившийся режим. Вследствие таких ценных свойств шунтовые и особенно асинхронные двигатели получили широкое
распространение в промышленном электроприводе.
Перейдем к исследованию машинных агрегатов, двигате­
ли которых имеют мягкие характеристики. Напомним, что
движущий момент таких машин сравнительно слабо зависит
от угловой скорости их вала. Мягкие характеристики имеют
очень многие двигатели.
Механические характеристики паровой турбины М^ъ\{и)
при h\ = const и электрогенератора Мс\(и) (машины, выра­
батывающей электроэнергию) изображены на рис. 1.15, а. Ре­
жим установится при и = шу\ = cjh, когда Мдв\ — Мсi; он
будет поддерживаться устойчиво, поскольку фактор устойчи­
вости турбогенераторного агрегата F > 0 .
Допустим, что к генератору подключилась новая группа
потребителей электроэнергии (началась трансляция по теле­
видению футбольного матча). Момент сопротивления генера­
тора вследствие этого возрос и изображается теперь другой
характеристикой МС2 {и). Новый режим вновь установится,
но при скорости
, много меньшей, чем и к (рис. 1.15, б ).
Если же от генератора группа потребителей электроэнергии
отключится, то характеристика Мс$(и) переместится вниз;
режим установится при скорости о;*3, значительно большей,
чем иИ.
Из сказанного следует, что паровая турбина в отличие
от асинхронного или шунтового электродвигателей не обла­
дает способностью поддерживать скоростной режим агрегата
Рис. 1.15
практически на постоянном
уровне. В то же время произ­
водство электроэнергии тре­
бует, чтобы вал генератора
вращался с постоянной угло­
вой скоростью cjH) одинако­
вой при всех нагрузках от ну­
ля до наибольшей. Допуск на
отклонение от номинального
значения задается очень ма­
лым, поэтому турбине нужен
специальный регулятор ско­
рости.
Регулятор, изменив па­
раметр управления с h = hi
на h = /&2 ) т.е. увеличив
подачу пара в турбину, дол­
жен перевести ее характери­
стику с M jxq\(u ) на такую
Мдв2 (^)> при которой равен­
ство моментов М ДВ2 = М С2
соблюдалось бы при и у2 =
= ия (рис. 1.15, в). Соответ­
ственно регулятор должен
действовать и при уменьше­
нии нагрузки на турбину.
Все это надлежит регулято­
ру выполнять без всякого
участия человека-оператора,
т.е. автоматически.
Заметим, что достиг­
нуть равенства Мдв = Мс,
необходимого для поддержа­
ния установившегося режи­
ма при обязательном условии
и = cjh = const, можно не
только за счет воздействия
на движущий момент Мдв,
но также и за счет воздействия на момент сопротивления Мс
путем смещения характеристики Мс(и>). Но такой способ до­
стижения установившегося режима применяют очень редко. В
большинстве случаев управление движением машинного агре­
гата осуществляется воздействием именно на движущий мо­
мент МдВ, т.е. на двигатель.
Как видно из выше приведенных примеров, осуществле­
ние требуемого закона движения (нужная скорость поворота
разливочного ковша, постоянство угловой скорости электро­
генератора и др.) достигается воздействием на параметр h
управления двигателем (шунтовым электродвигателем, паро­
вой турбиной и др.). Это воздействие оказывается на орган
управления или вручную, например машинистом металлурги­
ческого крана, или автоматически — специальным регулято­
ром. Такой метод получения требуемого закона движения ма­
шины (по М.З. Коловскому) называют программным управле­
нием.
1.5. Структурные схемы системы автоматического
регулирования хода машин
Современный машинный агрегат имеет сложную структу­
ру: кроме рассмотренной в § 1 .1 основной (энергетической) си­
стемы, состоящей из трех главных частей, он содержит еще и
ряд других систем, без которых работать не может. К ним от­
носятся система управления движением агрегата, системы за­
щиты, питания (топливом, заготовками обрабатываемых изде­
лий и другими материалами), обслуживания (смазкой, охлаж­
дающей жидкостью, сжатым воздухом) и др. Многие из них
должны действовать автоматически. Познакомимся с распро­
страненной в технике системой автоматического регулирова­
ния (САР) скорости машинного агрегата. В качестве примера
возьмем турбогенераторный агрегат Т — Г (рис. 1.16), рабо­
тающий на электростанции.
Пар поступает в турбину Т через орган регулирова­
ния ОР, который дозирует его подачу, определяемую положе­
нием ОР, т.е. координатой h. Производимая генератором Г
электроэнергия направляется во внешнюю трехфазную сеть к
ее потребителям.
Электро­
энергия
Регулятор скорости кинематически, посредством зубча­
тых передач а и 6 , связан с валом агрегата. В состав регу­
лятора входит небольшой центробежный насос Н, создающий
давление над поршнем П. Поршень нагружен пружиной, ниж­
ний конец которой неподвижен (упор У). При помощи штока
и рычага АВС поршень связан с органом регулирования.
При установившемся режиме момент сопротивления гене­
ратора Мс равен моменту турбины Мдв, так что угловая ско­
рость и вала агрегата постоянна и равна требуемому значе­
нию и н. Именно при этом значении давление жидкости наД
поршнем уравновешивается нажатием пружины снизу. Пор­
шень неподвижен, следовательно, неподвижен и орган регули­
рования, его координата h не изменяется: h = const. Регулятор
бездействует.
Пусть нагрузка на генератор увеличилась (к нему под­
ключилась еще одна группа электропотребителей). Момент
Мс генератора вследствие этого возрастет, равенство с мо­
ментом Мдв турбины нарушится, и угловая скорость и вала
начнет уменьшаться, отклоняясь от требуемого значения. Од­
новременно будет уменьшаться угловая скорость насоса. Да­
вление жидкости над поршнем немедленно прореагирует на
это тем, что начнет падать, вследствие чего под действием
пружины поршень со штоком двинется вверх: регулятор при­
дет в действие. Благодаря рычагу АВС орган регулирования
будет перемещаться вниз, увеличивая координату h и откры­
вая больший доступ пара в турбину. Ее движущий момент
Мдв начнет увеличиваться, сближаясь с возросшим моментом
сопротивления Мс генератора; спад угловой скорости и замед­
лится.
Регулятор должен привести угловую скорость и к нужно­
му постоянному уровню. Он будет действовать, т.е. переме­
щать ОР, до тех пор, пока возникшее отклонение А и угловой
скорости от требуемого значения не будет им ликвидировано.
Именно тогда наступит равновесие поршня П, и он остановит­
ся. Орган регулирования ОР займет новое положение с новой
возросшей координатой Л, при которой подача пара возрастет
настолько, что равенство Мдв = Мс восстановится. Вместе с
ним установится и новый режим.
Следует иметь в виду, что в новом режиме установивше­
еся значение угловой скорости станет несколько отличным от
предшествующего. Величина получившегося различия зави­
сит от системы регулятора. Но при правильно спроектиро­
ванном регуляторе оно будет столь малым, что уложится в
назначенный жесткий допуск.
Таким образом, в САР турбогенераторного агрегата на­
блюдается замкнутая цепь воздействий: регулятор через ор­
ган регулирования воздействует на объект регулирования, т.е.
на турбогенератор (линия 1 — 2 на рис. 1.17), а объект через
зубчатые передачи — на регулятор (линия 3 — 4)• Воздей­
ствие по линии 3 — 4, по которой регулируемая величина с
объекта подается обратно на регулятор, называется главной
Рис. 1.17
обратной связью. Она нужна для того, чтобы регулятор полу­
чил от объекта регулирования фактическое значение регули­
руемой величины и. Регулятор должен сравнивать это значе­
ние и с заданным значением ип и при появлении отклонения
А и = и - ик ликвидировать его, приводя тем самым регули­
руемое значение и к нужному постоянному уровню и н. Такой
принцип действия САР называют регулированием по отклоне­
нию, или принципом Ползунова — Уатта*
Отметим обязательную направленность действия главной
обратной связи. При увеличении Мс регулируемая величина и
уменьшается, т.е. ее отклонение А и = и —и к становится мень­
ше нуля. Регулятор, получив через главную обратную связь
сигнал об этом, должен действовать так, чтобы увеличилось
открытие ОР, т.е. увеличилась h: приращение Ah становится
больше нуля. При уменьшении Мс угловая скорость
уве­
личивается: отклонение А и = и — ик > 0 , и регулятор, по­
лучив об этом сведения по главной обратной связи, должен
уменьшить открытие ОР: изменение Ah становится меньше
нуля. Ясно, что регулятор под воздействием главной обратной
связи должен срабатывать так, чтобы изменение Ah положе­
ния органа регулирования осуществлялось всегда в направле­
нии, противоположном изменению А и регулируемой величи­
ны; иначе говоря, главная обратная связь обязательно должна
быть по знаку отрицательной.
* Э тот принцип был впервые применен И.И. Ползуновым в 1765 г.
для автоматического регулирования уровня воды в паровом котле и
Дж. Уаттом в 1786 г. для автоматического регулирования скорости порш­
невой паровой машины.
а
б
Рис. 1.18
Систему поддержания регулируемой величины на посто­
янном уровне называют также системой автоматической
стабилизации.
Заметим, что если упор У пружины регулятора (см.
рис. 1.16) закреплен в одном неизменном положении, то регу­
лятор будет поддерживать угловую скорость постоянной на
одном уровне ын; такой регулятор называют однорежимным.
Изобразим характеристику Мдв(и>) движущего момента
турбины при действующем однорежимном регуляторе, назы­
ваемую регуляторной характеристикой; она представляет со­
бой вертикаль или линию, очень близкую к ней (рис. 1.18, а).
Наложим на регуляторную характеристику семейство механи­
ческих характеристик генератора Mc(iV,cj), параметром кото­
рого является число потребителей электроэнергии N Незави­
симо от числа потребителей угловая скорость турбогенератора
при различных установившихся режимах (или 1, или 2, или 3)
будет неизменной
что и требуется для производства элек­
троэнергии.
В случае, когда упор У можно фиксировать не в одном,
а в нескольких различных по высоте положениях, регулятор
будет поддерживать угловую скорость постоянной на различ­
ных номинальных уровнях, соответствующих зафиксированно­
му положению упора. Чем выше зафиксирован упор, т.е. чем
сильнее первоначальная затяжка пружины, тем выше номи­
нальный уровень ик. Такие регуляторы, которые можно на­
страивать на различные скоростные режимы, называют все­
режимными. Для установки нового скоростного режима до­
статочно перевести настроечную рукоятку HP в нужное поло­
жение (см. рис. 1.16). Всережимные регуляторы применяют
на транспортных машинах (тепловозы, мощные тракторы и
др.), но, конечно, не на двигателях электростанций, у которых
настройка должна быть единственной.
Регуляторная характеристика Мдв(А,а;) двигателя, уп­
равляемого всережимным регулятором,
изображена на
рис. 1.18, б. Она представляет собой семейство линий с пара­
метром А, определяемым настройкой регулятора. На регуля­
торную наложена характеристика Мс{и) потребителя механи­
ческой энергии. Как видно, в зависимости от зафиксированной
настройки регулятора машина может работать на различных
скоростных режимах и: u i , и>2 , и>з, и развивать как частичную,
так и полную мощность.
Отметим, что есть системы автоматического действия, в
которых настройка А не фиксируется на том или ином уровне, а
непрерывно изменяется по некоторому закону А = А(/) (турбо­
генераторы на электростанциях к таким системам, естествен­
но, не относятся). Устройства с переменной настройкой А(£),
являющейся их входной величиной, отслеживают ее изменение
и соответственно отрабатывают нужный закон изменения вы­
ходной величины.
В качестве примера такой системы можно указать про­
мышленный робот, где выходной величиной является поло­
жение его руки. Она должна взять обрабатываемое изделие,
находящееся на движущейся ленте транспортера, и, согласно
технологическому графику, перенести его к следующему стан­
ку. Эта система отслеживает изменение входной величины —
текущей координаты перемещающегося с лентой изделия, ве­
дет за ним руку робота (положение руки — выходная вели­
чина) и в нужный момент дает сигнал на захват и перенос
изделия. Такие устройства называют системами автоматиче­
ского слежения и относят их к одному из видов программою
управления.
Вернемся к системе автоматического регулирования ско­
рости. Регулятор, изображенный на рис. 1.16, называют ре­
гулятором прямого действия: он должен не только измерять
Рис. 1.19
отклонения А и = и — шн регулируемой величины, но и пере­
мещать орган регулирования с тем, чтобы ликвидировать воз­
никшие отклонения. Измерение отклонений До; и перемещение
поршня выполняет система, состоящая из насоса, пружины и
самого поршня. Эта система, называемая чувствительным
элементом ЧЭ, и образует регулятор прямого действия.
Далеко не всегда регулятор прямого действия может раз­
вивать силу, необходимую для перемещения органа регулиро­
вания. Тогда эту задачу выполняет специальный, достаточно
мощный вспомогательный поршневой двигатель-сервомотор,
обычно гидравлический. Чувствительный элемент ЧЭ, из­
меряющий отклонения Да;, передвигает только легкий золот­
ник 3, который управляет движением поршня сервомотора СМ
(рис. 1.19). Систему золотник-сервомотор называют усилите­
лем, а регулятор в этом случае — регулятором непрямого дей­
ствия. Его чувствительный элемент имеет небольшие разме­
ры и малую массу, что благотворно влияет на динамику про­
цесса регулирования.
Вместе с тем усложнение конструкции регулятора может
и лишить его способности приводить регулируемую величи­
ну а; к заданному постоянному значению и = и н = const, т.е.
усложнение приведет к тому, что процесс регулирования бу­
дет несходящимся. Исправить это можно введением местной
обратной связи.
Поршень сервомотора СМ (выходное звено усилителя) ки­
нематически связывается с золотником 3, т.е. с его входным
звеном (линия 5 — 6 на рис. 1.19). Воздействие от выхо­
да 5 усилителя передается обратно на его вход 6. При этом
действие местной обратной связи обязательно осуществляет­
ся так, что она замедляет движение золотника, благодаря че­
му приток жидкости в сервомотор через золотниковые окна
уменьшается. Управляющее действие золотника становится
менее активным, а управляемое золотником движение поршня
сервомотора, а следовательно, и открытие органа регулиро­
вания более сдержанными. Таким образом, местная обратная
связь, идущая от поршня сервомотора СМ, противодействует
перемещению золотника, т.е., подобно главной обратной связи,
является по знаку отрицательной. Это и приводит к тому, что
введение именно отрицательной местной обратной связи дела­
ет процесс регулирования сходящимся к конечному результа­
ту: и =
= const.
Изучение сходимости и качества процесса регулирования,
а также исследование взаимодействия элементов САР и дру­
гих свойств, присущих ей, выходит за пределы учебного курса
«Теория механизмов и механика машин» и является предме­
том специальной науки — теории автоматического регулиро­
вания, которая зародилась в курсе механики машин, стала раз­
виваться и вышла за его пределы. В настоящее время она явля­
ется самостоятельной отраслью знаний, в которой изучаются
любые САР независимо от физической природы регулируемой
величины и инженерного назначения объекта регулирования.
Контрольные вопросы
1. Сформулируйте, что называется машиной. На примере любой маши­
ны покажите, что она обладает теми признаками, которые указаны
в сформулированном определении.
2. Сформулируйте, что называется механизмом. Покажите на приме­
ре любого механизма, что он обладает теми признаками, которые
указаны в сформулированном определении. Почему машина должна
иметь в своем составе механизм?
3. Назовите примеры машин, момент которых зависит о т скорости вра­
щения их вала. В функции какой переменной изменяется движущая
сила двигателя внутреннего сгорания?
4. Какими полезными свойствами обладают электродвигатели с весьма
жесткой механической характеристикой?
5. Как работает система автоматического регулирования скорости тур­
богенераторного агрегата? Какова цепь воздействий, которые в про­
цессе регулирования оказывают звенья этой системы друг на друга?
В чем физически выражаются эти воздействия?
СТРОЕНИЕ М ЕХАН И ЗМ ОВ
Выполнение функций машины по преобразованию энергии, материа­
лов и информации связано с передачей и изменением механического движе­
ния. Изменение взаимного положения в пространстве материальных тел
или положения частей данного тела определяется строением механизма.
Звенья в механизме соединяются с помощью кинематических пар разно­
го вида в зависимости о т числа связей, накладываемых на относительное
движение звеньев. Сочетание различных звеньев и пар возможно во мно­
гих вариантах. Эти варианты при синтезе механизмов различного назна­
чения анализируются на основе структурной схемы механизма, которая
может быть представлена графическим изображением и аналитической
записью.
2.1. Основные определения
Движение твердых тел в механизмах рассматривают от­
носительно звена, принимаемого условно за неподвижное и на­
зываемого стойкой (станина станка, корпус двигателя, шас­
си). Все остальные твердые тела, совершающие движение от­
носительно стойки, называют подвижными звеньями. Каждое
звено может состоять из одной или нескольких деталей, но в
составе звена они не могут иметь относительного движения,
т.е. образуют неразъемные или разъемные соединения отдель­
ных деталей.
По выполняемым функциям звенья могут быть входными
и выходными, ведущими и ведомыми, начальными и проме­
жуточными. Входному звену сообщается движение, преобра­
зуемое механизмом в движение других звеньев. Если звену
задается одна или несколько обобщенных координат, опреде­
ляющих положение всех механизмов относительно стойки, то
звено называют начальным.
Звено называют ведущим, если мощность приложенных
к звену внешних сил положительна, и ведомым — если она
отрицательна или равна нулю.
В зависимости от назначения механизма звеньям присва­
ивают функциональные названия: кривошип, шатун, коро­
мысло, поршень, шток, ползун, кулиса, кулачок, толкатель,
зубчатое колесо, водило, сателлит, рычаг, траверса, колен­
чатый вал, распределительный вал и др.
В конкретных механизмах входное звено может быть как
ведущим, так и ведомым на отдельных этапах движения в за­
висимости от приложенных сил и моментов сил, например вал
двигателя в режимах разгона и торможения, вал электродви­
гателя при двигательном и генераторном режимах.
Подвижное соединение двух соприкасающихся звеньев на­
зывают кинематической парой, или, кратко, парой. В паре
при взаимодействии ее элементов происходит относительное
движение звеньев. Число степеней свободы в относительном
движении звеньев определяет вид пары по подвижности. Раз­
личают пары одноподвижные, двухподвижные, трехподвиж­
ные, четырехподвижные и пятиподвижные. Вид пары зависит
от геометрических связей между элементами пары, т.е. усло­
вий, ограничивающих перемещения звеньев. Число уравнений
связей в паре принимают за номер класса пары.
Каждый элемент пары является совокупностью поверхно­
стей, линий и отдельных точек звена. Элемент — обобщенный
термин, относящийся к номинальной поверхности, форма ко­
торой задается на чертеже или в другой технической докумен­
тации. Реальные поверхности и реальные профили элементов
пар могут иметь отклонения формы и отклонения располо­
жения. Числовое значение предельных отклонений нормиру­
ется допусками цилиндричности, круглости, плоскостности,
прямолинейности, параллельности в зависимости от степени
точности и интервала размеров. Поверхность — это общая
часть двух смежных областей пространства. В теории ме­
ханизмов рассматривают поверхности с идеальной формой и
идеальным расположением. При несоблюдении этого условия в
парах появляются избыточные локальные связи, так как урав­
нения связей не являются тождественными, и пара становится
статически неопределимой. Если элементы в кинематической
паре конгруэнтны, т.е. поверхности совпадают во всех своих
точках, то пару называют низшей. Пары с линейным и точеч­
ным соприкосновением элементов называют высшими. Линия
— это общая часть смежных областей поверхности.
Систему звеньев, соединенных между собой парами, назы­
вают кинематической цепью. Различают плоские и простран­
ственные, замкнутые и незамкнутые, простые и сложные
кинематические цепи.
В замкнутой цепи звенья образуют один или несколько
контуров. Контур может быть жестким или иметь степе­
ни свободы. Количество степеней свободы определяет класс
контура. В плоской цепи все подвижные звенья совершают
плоское движение, параллельное одной и той же неподвижной
плоскости. В простой цепи звено входит в одну или две ки­
нематические пары. В сложной цепи имеется хотя бы одно
звено, образующее больше двух кинематических пар.
Аналогами кинематических пар являются кинематиче­
ские соединения, выполненные из нескольких подвижных де­
талей с поверхностным, линейным или точечным контактом
элементов в форме компактной конструкции и обеспечиваю­
щей возможность разложения относительного движения на со­
ставляющие, эквивалентные парам соответствующего вида.
Схему механизма, содержащую стойку, подвижные зве­
нья, кинематические пары с обозначением их вида и указываю­
щую взаимное расположение элементов механизма, называют
структурной схемой механизма.
2.2. Кинематические пары и соединения
Наиболее широко в механизмах машин, приборов и других
устройств применяют вращательные пары (В), которые допус­
кают только одно вращательное движение одного звена отно­
сительно другого. На структурных и кинематических схемах
они имеют условные обозначения в соответствии с рекомен­
дациями международных стандартов (рис. 2 . 1 , а). Номиналь­
ные поверхности элементов 1, 2 вращательной пары обычно
цилиндрические (рис. 2 . 1 , б), но могут иметь и другие формы
в
Рис. 2.1
(например, конические, сферические). На рис. 2 . 1 , в приведена
структурная схема манипулятора промышленного робота, на
которой указаны шесть вращательных пар: 0 ( 0 — 1), А (1—2),
В (2—3), С (3—4), D (4—5), Е (5—6), связывающих звенья с
соответствующими номерами. Схват 61 имеет, шесть степеней
свободы, что равно числу одноподвижных пар незамкнутой ки­
нематической цепи. В реальных конструкциях часто исполь­
зуют кинематические соединения, которые содержат несколько
подвижных звеньев и несколько кинематических пар, но в та­
ком аналоге вращательной пары только два звена соединяются
а
-Вт
Н8Р
Вд
Рис. 2.2
с другими звеньями механизма. Конструкция подшипника ка­
чения, имеющего наружное 1 и внутреннее 2 кольца, между ко­
торыми расположены шарики 3, удерживаемые на определен­
ном расстоянии друг относительно друга с помощью сепара­
тора 4 приведены на рис. 2.2, а. В зависимости от направления
воспринимаемой радиальной F T или осевой F a силы различа­
ют подшипники радиальные (рис. 2 .2 , б), упорные (рис. 2 .2 , в)
и радиально-упорные (рис. 2.2, г). На схемах используют со­
ответствующие условные обозначения (рис. 2.2, д). Рабочие
поверхности в подшипниках скольжения могут иметь непо­
средственный контакт (сухое трение), быть .разделены жид­
костью (жидкостные, гидростатические, гидродинамические
подшипники), газом (аэродинамические, аэростатические га­
зовые) или разделены магнитными силами (магнитные опоры).
При использовании вместо вращательной пары кинемати­
ческих соединений уменьшаются потери на трение, упроща­
ются технология изготовления узлов за счет применения стан­
дартных подшипников, увеличивается несущая способность уз­
лов машин. Схему кинематической пары, отражающей толь­
ко необходимое число геометрических связей, называют основ­
ной. Основная схема пары не содержит избыточных связей.
Действительная схема пары может содержать дополнительные
связи, но они должны быть тождественными (совпадающими).
77777777.
77737777.
а
б
Рис. 2.3
Устранение избыточных локальных связей в кинематическом
соединении при установке валов и осей на нескольких подшип­
никах обеспечивается надлежащей точностью изготовления де­
талей и монтажа сборочных единиц. На рис. 2.3 показан длин­
ный вал, установленный на трех шариковых подшипниках А,
А', Ап Соосность базовых поверхностей (рис. 2.3, а) подшип­
ников зависит от точности расточки отверстий в корпусных де­
талях и может регулироваться путем установки корпусов под­
шипников на станине (рис. 2.3, б) в случае отклонений от пря­
молинейности общей оси А А1Ап за счет смещения или накло­
на осей отдельных подшипников. При разработке технической
документации на кинематические соединения, согласно ГОСТ
24642-81 и 24643-81, обычно указывают предельные отклоне­
ния от параллельности поверхностей вращения, отклонения от
соосности (радиальное биение), отклонения от концентрично­
сти, отклонения от перпендикулярности.
Рис. 2.4
Для примера на рис. 2.4 приведена схема двухопорного
вала с указанием для шеек А и В допусков цилиндричности
(поз. 1 и 5), соосности (поз.
2и
цов (поз. 3 и 4), которые должны быть выдержаны при шли­
фовании вала. Аналогичные требования предъявляются при
изготовлении отверстий в базовой детали (корпусе). В неко­
торых конструкциях (рис. 2 .5 ) отклонения от прямолинейно­
сти из-за несоосности корпусных отверстий (рис. 2.5, а) или
наклона осей (рис. 2.5,
б,
)в компенсируют
рической внешней поверхности наружного кольца шарикопод­
шипника и сферической поверхности в корпусе подшипниково­
го узла. При надлежащей сборке узлов обеспечиваются пря­
молинейность оси кинематического соединения и тождествен­
ность геометрических связей за счет исключения избыточных
связей.
При значительных отклонениях оси вала от прямолиней­
ности (рис. 2 .6 ) вал устанавливают на специальных подшип­
никах:, имеющих сферическую внешнюю поверхность наруж­
ного кольца. Такое кинематическое соединение обеспечивает
вращение вала при наличии отклонения шеек
и
вала от
соосности (рис. 2 .6 , а) и прямолинейности (рис. 2 .6 , б, в).
Число дополнительных связей в реальной конструкции па­
ры или кинематического соединения называют степенью ста­
тической неопределимости пары.
Консольный вал 1 с цилиндрической опорой 2, нагружен­
ной в точке С силой F, показан на рис. 2.7, а. В опоре А мож­
но методами статики найти реактивный момент и реакцию,
а также прогибы в любой точке вала. Прогиб в точке С при
условии а = b можно уменьшить в восемь раз, если ввести
в конструкцию тождественные элементы А' с пятью дополни­
тельными связями (рис. 2.7,6). Число тождественных локаль­
ных связей можно уменьшить, если на правом конце вала уста­
новить плавающий сферический подшипник (рис. 2.7, в), даю­
щий только две дополнительные связи в опоре А' Если вал
установить в виде кинематического соединения с двумя сфери­
ческими подшипниками, из которых один плавающий, а второй
неподвижен в осевом направле­
нии (рис. 2 .7 , г), то вал ста­
новится статически определи­
мым, при этом в опорах ре­
активные моменты равны ну­
лю. Однако прогиб такого ва­
ла в точке С (при а = Ь) мень­
ше прогиба для консольного ва­
ла только в два раза. Отсут­
ствие избыточных локальных
связей делает конструкцию па­
ры нечувствительной к темпе­
ратурным и силовым деформа­
циям вала и корпуса, а также
к отклонениям в расположении
осей элементов соединения.
Итак, в случае примене­
ния тождественных элементов
уменьшаются допуски на фор­
му и расположение сопрягае­
мых поверхностей, что обеспечивает сборку без деформации
звеньев в кинематической цепи и устранение дополнительных
сил в кинематических парах. При повышении точности сопря­
жений увеличиваются затраты на изготовление, но повыша­
ются жесткость и несущая способность валов и осей, надеж­
ность и долговечность машины. Поэтому вопрос о допусти­
мости тождественных связей, которые при деформации стой­
ки или других звеньев могут быть избыточными, решается с
учетом условий работы кинематической пары, затрат на изго­
товление, ремонт и эксплуатацию машины.
Оптимальная конструкция пары или соединения — поня­
тие относительное: конструкция, оптимальная для одних усло­
вий, может быть неприемлемой для других. Оптимизация ча­
сто связана с технологичностью, под которой понимают сово­
купность свойств конструкции, проявляемых в оптимальных
затратах труда, материалов, средств и времени при заданных
показателях качества, объема выпуска, условиях изготовления,
эксплуатации и ремонта машины. Конструкция, технологич­
ная в единичном производстве, зачастую оказывается мало тех­
нологичной в массовом производстве и совершенно нетехноло­
гичной в поточно-автоматизированном производстве и наобо­
рот.
Схемы и условные обозначения основных видов кинема­
тических пар приведены в табл. 2.1. Каждой паре в реаль­
ных конструкциях могут соответствовать конструктивные ва­
рианты кинематических соединений в виде нескольких дета­
лей, имеющих различное сочетание местных подвижностей, не
влияющих на основную подвижность пары. Например, ролико­
вый подшипник эквивалентен двухподвижной цилиндрической
паре; шарикоподшипник сферический, допускающий перекосы
осей в определенных пределах, эквивалентен сферической трех­
подвижной паре; упорный шарикоподшипник со сферической
наружной поверхностью, установленный на конусной поверх­
ности, эквивалентен пятиподвижной точечной паре.
Кинематические соединения обычно имеют большое число
избыточных локальных связей. Их можно устранить, исполь­
зуя принцип многопоточности. В таких конструкциях за счет
высокой точности изготовления (например, шариков и колеи в
шарикоподшипниках) избыточные локальные связи являются
тождественными. При этом статическая неопределимость со­
единения не оказывает вредного влияния на функционирование
вращательной пары.
2.3. Структурный анализ механизма
При анализе структурной схемы механизма определяет
число подвижных звеньев, вид кинематических пар, число сте­
пеней свободы механизма, число замкнутых контуров и их
класс, число избыточных контурных связей.
Положение твердого тела в пространстве определяется
шестью независимыми координатами. Основная система от­
счета обычно связана со стойкой, поэтому общее число коорди­
нат, характеризующее положение п подвижных звеньев равно
6 п для пространственного механизма и 3 п для плоского меха­
низма. Число накладываемых связей, а следовательно, и число
Основные виды кинематических пар
уравнений связи зависят от подвижности пары г и числа пар
каждого вида (р\ — одноподвижных, Р2 — двухподвижных,
р3 — трехподвижных, р4 — четырехподвижных, р$ — пяти­
подвижных). Значит, общее число уравнений связи составит
Е
»=i
(6
- *>«•
Число W степеней свободы пространственного механизма
равно разности между общим числом координат подвижных
звеньев и числом уравнений, связывающих эти координаты:
5
W =
6п -
£
(6
- i)pi =
6 n -(5 p i
+4р2 + 3рз + 2 р4 +Рб). (2.1)
1=1
Эта формула с несколько иными обозначениями была обосно­
вана П.0. Сомовым (1887), Х.И. Гохманом (1890), А.П. Ма­
лышевым (1923). В литературе ее называют структурной фор­
мулой Сомова — Малышева.
Для плоских механизмов пары могут быть одноподвижны­
ми (низшие) и двухподвижными (высшие), и они не связаны с
видами пар, различаемых по подвижности, так как звенья со­
вершают только плоское движение. Тогда число Wn степеней
свободы плоского механизма определяется выражением
И^п — Зп
2p i
— р2
—
3т1
2рн
Рв)
(2*2)
где рн, рв — число низших и высших пар соответственно. Это
соотношение опубликовано П.Л. Чебышевым в 1869 г. в не­
сколько иной форме. Однако выражение ( 2 .2 ) в литературе
называют формулой Чебышева.
В механизмах могут иметься тождественные (дублирую­
щие, пассивные) связи, число которых обозначают q и опреде­
ляют следующим образом:
Я= W -
6n
+ (5pi + 4р2 + Зрз + 2р4 + рб).
(2.3)
Избыточные контурные связи могут возникать только в замк­
нутой кинематической цепи, причем нельзя указать, какая
связь является избыточной, а можно только подсчитать число
этих связей в контуре.
Число к замкнутых контуров кинематической цепи вычис­
ляют по формуле
5
k = Y ^ P i - n = P Z - ni=l
(2.4)
Эта формула была предложена Х.И. Гохманом в 1890 г. и из­
вестна в литературе под его именем. Применение этих формул
можно показать на примере анализа механизма, изображенно­
го на рис. 2.8, а. В механизм входят пять подвижных звеньев
п = 5, семь одноподвижных вращательных пар р\ = 7, стойка
(звено 6).
Число степеней свободы плоского механизма находят по
формуле ( 2 .2 ):
Wn = Зп - 2pi - р2 = 3 •5 -
2
7=1;
число степеней свободы пространственного механизма —
по формуле ( 2 . 1 ):
W =
6п
- (5pi + 4^2 + Зрз + 2^4 + ps) =
6
•5 - 5 •7 = - 5 ,
т.е. кинематическая цепь статически неопределима и содер­
жит несколько избыточных контурных связей;
число замкнутых контуров механизма — по формуле (2.4):
к = р% - п = 7 - 5 = 2.
Принимая подвижность основной схемы механизма W0 =
^ 1, подсчитывают число избыточных связей по формуле (2.3):
q = WQ —6 п + 5pi =
1
— 6 -5 + 5 7 =
6
.
Чтобы исключить эти избыточные контурные связи, заменя­
ют одноподвижные пары парами с большей подвижностью. В
данном случае в каждом контуре необходимо ввести три до­
полнительные подвижности. Это, например, можно сделать,
если в контуре использовать взамен двух одноподвижных пар
одну сферическую и одну цилиндрическую пару. Тогда для
механизма, р£ = 7, но р\ = 3, рг = 2, рз = 2, и
W = 6п-5р1-4р2-3рз = 6-5 —5-3 —4-2 —3-2 = 1 = WQ\ 9 = 0.
в
г
Рис. 2.8
Число степеней свободы механизма равно числу незави­
симых вариаций обобщенных координат. При W0 = 1 обоб­
щенная координата приписывается начальной кинематической
паре (начальному двухзвеннику). Если одно из звеньев началь­
ной пары является стойкой, то второе звено называют началь­
ным звеном. Так как обобщенные координаты приписываются
начальному двухзвеннику или начальному звену, то совокуп­
ность остальных звеньев механизма должна обладать нулевой
подвижностью.
Кинематическая цепь, число степеней свободы которой от­
носительно элементов ее внешних кинематических пар равно
нулю, называют структурной группой, если из нее нельзя вы­
делить более простые кинематические цепи, удовлетворяющие
этому условию.
Для плоского механизма условию 3п — 2р\ = 0 удовле­
творяют двухзвенные, четырехзвенные, шестизвенные и т.д.
варианты структурных групп:
п
2
4
6
8
pi
3
6
9
12
Основой структурной группы является замкнутый кон­
тур. Класс контура определяется числом пар, в которые вхо­
дят образующие его звенья.
Начальному двухзвеннику присваивают I класс (контур
вырождается в точку), звену с двумя парами — II класс (кон­
тур вырождается в прямую), жесткому звену с тремя парами
— III класс (треугольник), контуру с четырьмя парами — IV
класс, контуру с пятью парами — V класс (рис. 2.9).
Класс структурной группы определяется классом наи­
высшего номера контура, входящего в состав группы).
Порядок группы соответствует количеству элементов ки­
нематических пар (поводков), с помощью которых группа при­
соединяется к начальным звеньям и стойке или к звеньям пред­
шествующих структурных групп (см. рис. 2.9).
Для примера на рис. 2.10 изображены схемы структурных
групп II класса 2-го порядка (двухзвенные, обычно называемые
двухповодковыми группами Ассура) разных видов, различаю­
щиеся сочетанием вращательных (В) и поступательных (П)
ВВВ
вввввв
вввввв
Схема
п р 4
Класс
контура
Порядок
~4
d
,
I
II
ш
IV
V
1
2
3
2
3
Рис. 2.9
ВПП
Рис. 2.10
пар по отношению к внутренней паре: ВВВ, ВВП, ВПВ, ПВП,
ВПП.
На рис. 2.9 показаны также структурные группы III и IV
классов. Присоединяя внешние элементы поводков к основа­
нию (показано штриховыми линиями), получаем статически
определимую ферму (с нулевой подвижностью).
Выделение в составе механизма структурных групп обыч­
но обусловлено построением алгоритмов расчета кинематиче­
ских и силовых характеристик механизма. Это особенно важ­
но при графических методах исследования и разработке про­
грамм расчета параметров механизма на компьютере (модуль­
ный принцип разработки алгоритмов). Однако при современ­
ном уровне развития ЭВМ трудоемкость вычислений иногда
не- играет существенной роли. Поэтому можно использовать
уравнения связей в неявной форме и решать систему нелиней­
ных уравнений методами, разработанными в вычислительной
математике.
Заметим, что структурный анализ может облегчить со­
ставление алгоритмов расчета кинематических передаточных
функций, однако необходимо обратить внимание на то, что при
одной и той же структурной схеме механизма его строение за­
висит от выбора входной кинематической пары. Схема шес­
тизвенного шарнирного механизма, звенья которого образуют
два замкнутых контура (А; = Y^Pl ~~ 71 = 7 — 5 = 2 ), приведена
на рис. 2 .8 , а. Если за начальную пару принять пару А между
звеном 1 и стойкой 6 и приписать ей обобщенную координа­
ту v?i, то в механизме можно выделить две последовательно
присоединяемые двухповодковые группы: B C D (звенья 2 и 3)
И M E F (звенья 4 и 5) (см. рис. 2.8, б ). По структуре это бу­
дет механизм II класса. Если за начальную принять пару F
между подвижными звеньями 1 и 5 (см. рис. 2.8, б) и припи­
сать ей обобщенную координату <£>5 1 , то структурная группа
будет состоять из базисного звена 3 с тремя шарнирами (кон­
тур Ш класса), к которым присоединены три поводка: звенья
2, 4 и стойка 6 с внешними парами Б, Е, А. По структуре
это механизм III класса 3 -го порядка. Графическое исследо­
вание кинематики такого механизма обычно основано на при­
менении особых точек Ассура (см. далее гл. 3). Если за на­
чальную пару принять пару Е между подвижными звеньями
^ и 5 (см. рис. 2.8, г) и приписать ей обобщенную координату
</?5 4 , то структурная группа будет представлять собой контур
ABC D с четырьмя парами (контур IV класса). Эта группа
присоединяется к звеньям 4 и 5 начальной пары шарнирами
f и М , т.е. по структуре это механизм IV класса 2 -го поряд­
ка. Графическое исследование кинематики такого механизма
обычно основано на методе ложных положений.
На примере этого механизма можно показать, что си­
стема неявных уравнений связи не зависит от структурно­
го анализа механизма. Угловые координаты звеньев относи­
тельно основной системы отсчета </?i, ip2 >
У’б? ^ 6 или
относительные угловые координаты между двумя звеньями
</?5 1 , </?54 можно определить из некоторых уравнений контуров
A B C D и A F E M D или системы тригонометрических уравне­
ний, если эти уравнения спроецировать на координатные оси
(см. рис. 2 .8 , д ):
~
lB A - h e - I c D - ~
lA D = 0
Ь
а
~ Ь
е
+ 1м
~1m
е
d
= 0
+ hD
(контур
ABCD )]
(контур
AFE M D ).
В качестве независимой переменной назначают одну из ко­
ординат <pi \ </?54 = ¥>5 -V>4 ; ¥>51 =
считая ее обобщенной
координатой механизма. Эти векторные уравнения записыва­
ют в виде системы тригонометрических уравнений для проек­
ций векторов на оси координат основной системы отсчета:
lB A c°s <Pl - h e cos Ф2 - I c D cos ¥>3 + lA D cos ¥>6 = 0;
Ь
а
sin ¥>1 -
l p A C 0S<pi
Ib
+
Ip A
sin tpi -
c s™<P2
Ipp
~ l c D s' niP3 + l A D s'i n V 6
cos</?5 +
Im
e
cos¥’4 -
=
0;
l M D COSiP 3 +
lA D cosip6 = 0 ;
l p E simps
+ la d
+
l M E s^n(P4
sin <p$ =
-
l M D Sin<P3+
0;
Ф5 = ¥>4 + <*C>54;
¥>5 = ¥>1 + ¥>51Назначая в качестве обобщенной координаты фь из пер­
вых двух уравнений находят ip2 и ¥>з при остальных заданных
параметрах, а из следующей пары уравнений ^ 4 и <^5 , т.е. для
механизма II класса система уравнений подразделяется на две
подсистемы, в каждой из которых содержатся две неизвестные
угловые координаты в качестве аргументов тригонометриче­
ских функций. Для структурной группы III класса 3-го поряд­
ка по заданным размерам звеньев и массиву {фбь (ръ\, ¥>51}
кинематических элементов начальной пары F необходимо най­
ти значения элементов массивов D для трех пар: В , Е и С,
т.е. D B , D C и D E :
DB =
{i£,i/£,i£,
D E = { х р ,у р ,х р ,у р ,х Е ,ур};
DC
= { * с » 2/С>*С>УС>г С>Ус}-
Здесь в скобках обозначены элементы массивов. Для струк­
турной пары IV класса 2 -го порядка по заданным размерам
звеньев и массиву {<£>5 4 , <^5 4 , <£5 4 } кинематических элементов
начальной пары Е необходимо найти значения элементов мас­
сивов для трех пар: Е , F, М или Е, В и С. При таком форми­
ровании искомых параметров для составления функций поло­
жения используют условие совпадения положений пары в двух
смежных разомкнутых цепях, т.е. определяют точки пересече­
ния двух окружностей с заданными радиусами и центрами в
двух внешних парах по отношению к внутренней паре.
2.4. Контурные избыточные связи в квазиплоских
механизмах и их исключение
Схему механизма, отражающую только заданное число
степеней свободы механизма W q при отсутствии избыточных
контурных связей (q = 0 ), называют основной структурной схемой, или схемой с самоустанавливающимися звеньями.
Основная структурная схема механизма имеет определенные
свойства:
расположение элементов кинематических пар обеспечива­
ет беспрепятственную сборку (образование соединений) замк­
нутых кинематических контуров без дополнительной деформа­
ции звеньев;
возможная деформация стойки или других звеньев под
действием активных нагрузок не влияет на силы в кинематиче­
ских парах, значения которых определяются из условий кинетостатического равновесия статически определимой системы;
изменение расположения элементов кинематических пар
при деформации стойки не оказывает существенного влияния
на положение звеньев механизма.
Плоские механизмы могут иметь пространственную ос­
новную структурную схему. Такие механизмы называют кв азиплоскими (от лат. quasi — почти, близко), так как при их
кинематическом и силовом исследовании можно использовать
методики и способы, справедливые только для плоских меха­
низмов.
3 - 11273
Рис. 2.11
Число избыточных контурных связей в механизме опреде­
ляется соотношением (2.3):
q = W
q
-
6n + 5pi + 4p2 + Зрз + 2p4 + ps.
Анализ структуры конкретных механизмов полезно прово­
дить с использованием метода непринужденной сборки конту­
ра механизма при наличии отклонений от номинальных раз­
меров и расположения элементов кинематических пар. На
рис. 2.11,о приведена схема шарнирного четырехзвенника
ABCD со звеньями 1, 2, 3, 4• Оси z ^ \ z^ \ z ^ \ z^ \ z^ \ z^ \
(3)
(4)
ZD ' ZD имеют отклонения от перпендикулярности плоскости,
параллельно которой должны двигаться звенья плоского меха­
низма. Если эти отклонения незначительны, то механизм —
квазиплоский; если они влияют на движение звеньев, то меха­
низм — пространственный.
Если при сборке кинематических пар последней собирать,
например, вращательную пару С, то необходимо совместить
соответствующие элементы этой пары, т.е. совместить оси
(2)
(3)
ZC и ZC > связанные соответственно со звеньями 2 и 3 в па­
ре С. Но при наличии в контуре только вращательных пар это
(2)
(3)
становится невозможным, так как оси Zq
и Zq перекрещи­
ваются. Их совмещению препятствуют три избыточные связи
(отсутствие двух угловых подвижностей для совпадения на­
правления осей и одной линейной подвижности вдоль этой оси
до совпадения опорных торцевых элементов во вращательной
паре).
Две дополнительные угловые подвижности у>2\х и <^21у во
вращательной паре В можно обеспечить ее заменой на сфери­
ческую (рис. 2.11, б). Линейная подвижность S2 з в паре С по­
явится, если вращательную пару С заменить на двухподвиж­
ную цилиндрическую пару.
Повышение подвижностей в парах В и С обеспечивает
сборку контура без натягов и деформации звеньев и движе­
ние механизма. Такие механизмы проф. Л.Н. Решетов назвал
самоустанавливающимися.
Число избыточных связей при р\ъ = 2; р2ц = 1; РЗс = 1
равно нулю:
q = W0 - 6n + 5pi + 4p2 + 3p3 = 1 - 6 •3 + 5 •2 + 4 •1 + 3 •1 = 0.
Механизм, выполненный по плоской схеме (рис. 2.12, а),
имеет основную подвижность W0 = 1, определяемую форму­
лой Чебышева (2.2), так как он содержит три подвижных зве­
на, три вращательные одноподвижные пары Р2 = 3 и одну
поступательную пару р\ъ — 1:
ТУП = Зп - 2pi - р2 = 6 •3 - 2 •4 = 1.
з*
Если в силу отклонений в расположении элементов кине­
матических пар за счет погрешностей при изготовлении или
деформаций стойки механизм считать пространственным, то
следует определить число избыточных связей по формуле (2.3):
q
— Wq - 6 п + 5р\ = 1 - 6- 3 + 5- 4 = 3.
Для исключения этих трех избыточных связей следует
увеличить подвижность кинематических пар, т.е. применить
двухподвижные цилиндрические и трехподвижные сфериче­
ские пары (рис. 2.12, д): р\ъ = 1; р\п = 1; р2ц = 1; рзс = 1:
q = W0 - 6n + 5pi + 4p2 + Зр3 = 1 - 6 •3 + 5 •2 + 4 •1 + 3 •1 = 0.
Если шатун соединить сферическими парами В и С с пол­
зуном и кривошипом, то появится одна местная WM подвиж­
ность — вращение шатуна относительно своей продольной оси
(рис. 2.12, в): pie = 1; р1ц = 1; р3с = 2; WQ = 1; WM = 1.
Тогда
q = Wq 4- WM—6ч -f- 5pi + Зрз = 1
1 —6*3 H- 5 *2 -(-* 3 2 = 0.
Если выбрать пары так, как это показано на рис. 2.12, 5,
то появляется одна групповая WT подвижность звеньев ша­
тун — ползун при неподвижном кривошипе: p iB = 1; Р2 Ц = 2;
р3с = 1; W q = 1;
Тогда
= 1.
q = ИЛ
о + ^ /г-6п+5р1+4р2+Зрз = 1+ 1—6-3+5-1—4-2+3-1 = 0.
Д.Н. Решетов предложил в кривошипно-ползунном меха­
низме взамен сферических пар в необходимых случаях исполь­
зовать кинематическое соединение с одним дополнительным
звеном и двумя вращательными парами (рис. 2.12, г): п = 4;
Pi = 3; Р2 = 2; W q — 1. При этом
q
= W q - 6 n + 5pi + 4p2 = l - 6*4 + 5- 3 + 4- 2 = 0.
Таким образом, исключение избыточных связей является
многовариантным процессом.
При рассмотрении примеров двухконтурного механизма
(рис. 2.12, е, ж, з) следует обратить внимание на возможность
появления местных подвижностей, которые должны быть вы­
явлены до подсчета избыточных связей.
В механизме, изображенном на рис. 2.12, в, имеются две
местные подвижности, так как центры сферических пар рас­
положены на осях цилиндрических пар:
п = 5; pie = 2; Piu = 1; Р2 = 2; рз = 2; Wq = 1; W = 2
9 = 1Уо+^м-6п+5р1+4р2+Зрз = 1+2—6-5+5-3+4-2+3-2 = 2.
При двух избыточных связях условие беспрепятственной
сборки контуров не выполняется. В данном случай можно
устранить местные подвижности, сместив центры сфериче­
ских пар с осей цилиндрических пар (см. рис. 2.12, ж ) :
п = 5; pie = 2; Р1ц = 1; Р2 = 2; рз = 2;
= 1
9 = И7о - б п + 5р1 + 4р2 + Зрз = 1 - 6- 5 + 5- 3 + 4- 2 + 3- 2 = 0,
т.е. при тех же кинематических парах механизм уже не со­
держит избыточных связей и его схема допускает сборку замк­
нутых контуров. На примере кривошипно-ползунного меха­
низма с прицепным шатуном Решетов показал, что излиш­
нюю подвижность в одном контуре можно передавать в после­
дующий контур, применяя самоустанавливающуюся плоскую
группу звеньев с тремя внешними сферическими парами (см.
рис. 2.12, з):
п = 5; pie = 2; р1и = 2; р3 = 3; W 0 = 1
q = W o — 6n + 5pi + Зрз = 1 —6 -5 + 5- 4 + 3- 3 = 0.
Структурные схемы кривошипно-ползунного механизма,
используемого во многих машинах и устройствах, приведены
на рис. 2.12.
2.5. Структурный синтез механизмов
При анализе структурной схемы механизма было выявле­
но, что механизм можно разделить на начальные пары (на­
чальные звенья) и структурные группы с нулевой подвижно­
стью:
И7 = И70 + 0 + 0 + . .. + 0.
В соответствии с этим при синтезе используют принцип
наслоения структурных групп (групп Ассура) к начальным
ЗЕеньям и стойке или к ранее присоединенным структурным
группам. При этом предполагается, что кинематические функ­
ции положения, скорости и ускорения внешних пар поводков
структурной группы являются заданными или уже вычислен­
ными на предшествующем этапе синтеза или анализа. Для
контура II класса (одно звено с двумя парами) должны выпол­
няться следующие уравнения:
пг — 1;
5
1=1
WT = 6пг - (5pi + 4р2 + Зрз + 2^4 + Р5) = 0.
Возможны варианты решения: а) одно звено с однопо­
движной и точечной парами — р\ = 1; ps = 1. Этому условию
отвечают зубчатые передачи с бочкообразной поверхностью
зубьев, кулачковые механизмы с заостренным или сфериче­
ским башмаком на толкателе, механизмы плунжерных насосов
и др. (рис. 2.13, 5, в, г, с?);
б)
одно звено с двухподвижной и четырехподвижной пара­
ми — р 2 = 1; Р4 = 1. Этому условию соответствует, например,
кулачковый механизм газораспределения, толкатель которого
а
б
г
в
д
Рис. 2.13
е
имеет одну сферическую пару с пальцем и линейную высшую
пару между башмаком и кулачком (автомобиль «Ж и г у л и »)
(рис. 2.13, е);
в)
одно звено с двумя сферическими парами (рз = 2) имеет
одну местную подвижность (WM= 1) и при присоединении его
с начальным звеном образуется ферма (рис. 2.13, а).
В двухзвенной структурной группе с тремя парами долж­
ны выполняться следующие соотношения:
Ир —
—2;
5
5 2 Р» = Pi + Р2 + Рз + Р4 + Р5 = 3;
1=1
WT = 1 2 - 5pi - 4р2 - Зрз - 2р4 - р5 = 0.
Эти условия выполняются для следующих вариантов: а) р\ =
= 2; р4 = 1 (например, группа ВЛВ с двумя вращательными и
одной линейной парой в зубчатой передаче);
б) pi = 1, р 2 = 1, рз = 1, т.е. группе с одноподвижной (В
или П), двухподвижной (П или СП) и трехподвижной (С или
Пл) парами. Такие группы были выявлены, например, при
исследовании механизмов, изображенных на рис. 2.12.
В трехзвенной группе с четырьмя парами должны выпол­
няться такие условия:
п = 3;
5
5 2 Р* = Р1 + Р2 + РЗ + Р4 + Р5 = 4;
1=1
WT = 18 - 5pi - 4р2 - Зрз - 2р4 - р5 = 0.
Варианты групп ВВВС (pi = 3, рз = 1) и ВВЦЦ (pi = 2 и
Р2 = 2) удовлетворяют этим условиям.
Аналогично можно проанализировать синтез механизма с
четырьмя звеньями и пятью или шестью кинематическими па­
рами.
Для четырехзвенной группы с пятью парами возможен
один вариант: Pi = 4; рг = 1. Для четырехзвенной группы
с шестью парами — четыре варианта:
1) pi = 3, рз = 3; 2) pi = 3, р2 = 1, рз = 1, Р4 = 1;
з) Р2 = 3,
Р2 = 2,
р5 = 1; 4) Р! = 2 ;
р3 = 3; Р4 = 1.
Для пятизвенной груп­
пы с шестью парами возмо­
жен один вариант — с ше­
стью одноподвижными па­
рами. Этот вариант реали­
зуется в виде рычажного ме­
ханизма, называемого шар­
нирным семизвенником, так
как группа присоединяется
внешними парами к началь­
ному звену и стойке.
На рис. 2.14, а — в при­
ведены структурные схемы
некоторых механизмов, у ко­
торых присоединяемая груп­
па содержит четыре звена
и шесть (три вращательные
и три сферические) кинема­
тических пар. Механизмы
не содержат избыточных
контурных связей (п = 5;
Р\ = 4; рз = 3; W = 1):
1в
71
q = 6n + W - J 2 ( 6 ~ 0
Pi =6 - 5 + 1 —
»=1
Условие (д = 0) синтеза основной структурной схемы ме­
ханизма является необходимым, но оно может оказаться недо­
статочным для проведения сборки контура звеньев без натягов.
Сочетание кинематических пар в структурной схеме мо­
жет оказаться таким, что появляются местные или групповые
подвижности, наряду с которыми схема механизма содержит
одну или несколько избыточных связей, не позволяющих вы­
полнить сборку замыкающей кинематической пары, например,
из-за отсутствия перемещения в направлении оси, перпендику­
лярной плоскости вращения начального звена.
Наличие избыточных связей и их характер целесообраз­
но выявлять по методике, суть которой заключается в анализе
подвижностей в каждой кинематической паре замкнутого кон­
тура и оценке возможностей сборки замыкающей пары контура
звеньев. При этом следует иметь в виду, что линейное сбли­
жение элементов пары иногда может быть достигнуто за счет
угловых поворотов звеньев.
В механизмах различают помимо относительных переме­
щений звеньев, допускаемых геометрическими связями, так­
же и перемещения, допускаемые податливостью (упругостью)
звеньев. В первом случае говорят о структурных степенях
свободы, характеризующих основное движение звеньев. Во
втором случае говорят о параметрических степенях свободы,
зависящих от конструктивных (масса, жесткость) параметров
механизма и режима движения (в частности, частоты возбуж­
дения). Относительное движение звена, обусловленное параме­
трическими степенями свободы, суммируется с основным дви­
жением звена иногда в виде фона, характеризуемого малыми
перемещениями по сравнению с абсолютными перемещениями
и значительными скоростями и ускорениями. Введение пара­
метрических степеней свободы необходимо при анализе и про­
ектировании механизмов и машин вибрационного и ударного
действия, проектировании виброзащитных устройств в слу­
чае возможности возникновения опасных колебаний, создании
оборудования для интенсифи­
кации и повышения эффектив­
ности технологических и тран­
спортных операций.
Две схемы кривошипноползунного механизма, исполь­
зуемые в машинах виброударного действия (вибромолот,
вибропресс и т.п.) и позволя­
ющие регулировать (накапли­
вать и отдавать) энергию на
определенных этапах движения
за счет энергии пружины, при­
ведены на рис. 2.15, а, 6.
Упругим звеном на рис. 2.15, а является звено 3, состоя­
щее из бойка 3* и ползуна 3 и имеющее параметрическую сте­
пень свободы 5з*з- На рис. 2.15, б упругим звеном является
шатун 2, имеющий параметрическую степень свободы в виде
возможного перемещения 5г* г деталей 2* и 2 шатуна. Число
структурных степеней свободы в обоих механизмах равно еди­
нице и реализуется в виде вращения входного звена 1 с угловой
СКОРОСТЬЮ (*>14.
2.6. Классификация механизмов
В основе классификации механизмов лежат качественные
и количественные характеристики строения механизма и его
движения. Наиболее широко распространена следующая клас­
сификация механизмов.
А.
По геометрическим и конструктивным признакам:
рычажные (рис. 2.16, 2.17) — звенья 1, 2, 3, 4,
обра­
зуют только вращательные, поступательные, цилиндрические
или сферические пары А , В , С , . . . , Е ;
зубчатые (рис. 2.18), в которых зубчатые колеса 1, 2 обра­
зуют со стойкой или водилом вращательные или поступатель­
ные пары;
кулачковые (рис. 2.19), в состав которых входит кулачок
1, имеющий рабочую поверхность переменной кривизны, вы­
ходное звено (толкатель) 2 с роликом 3, образующие высшую
пару;
винтовые, содержащие винтовую пару (гайку и винт);
фрикционные, в которых передача движения осуществля­
ется благодаря силам трения между элементами пары;
с гибкими звеньями (типа гибкой нерастяжимой нити);
с упругими звеньями, деформация которых влияет на дви­
жение;
с переменной структурой;
с остановками выходного звена (рис. 2.20), например
мальтийский (рис. 2.20, а), храповой (рис. 2.20, б);
комбинированные;
гидравлические;
пневматические;
с электромагнитными элементами;
с электронными элементами.
кччччччч
Рис. 2.18
Б. По функциональному назначению и кинематической пе­
редаточной функции скорости исполнительного звена:
с постоянным передаточным отношением (зубчатые, ре­
менные, цепные, канатные, червячные, фрикционные передачи
и др.);
Рис. 2.19
со ступенчато изменяющимся передаточным отношением
(коробки перемены скоростей, ступенчатая ременная передача,
ступенчатая цепная передача и др-);
для сообщения исполнительному органу возвратно-посту­
пательного движения с постоянной скоростью;
для сообщения исполнительному органу движения с уве­
личенной средней скоростью вспомогательного хода по отно­
шению к рабочему ходу;
с регулируемым ходом исполнительного органа;
для движения с остановками исполнительного органа (ку­
лачковые, мальтийские, анкерные, рычажные и др.);
реверсивные для перемены направления вращательного и
поступательного движения выходного звена;
Рис. 2.20
с переменной передаточной функцией скорости (передачи
с некруглыми зубчатыми колесами, кулачковые, рьхчажные,
рычажно-зубчатые, кулачково-рычажные и др.);
суммирующие механизмы и дифференциалы;
точные и приближенные направляющие механизмы для
движения точки по заданной траектории;
для воспроизведения заданных функциональных зависи­
мостей;
механизмы систем управления и регулирования; предо­
хранительные, компенсирующие и уравнительные; механизмы
сцепления: зубчатые, фрикционные, кулачковые муфты;
механизмы захватов, схватов; тормозные механизмы.
В. По структуре кинематической цепи:
замкнутые;
незамкнутые (манипуляционные);
с одной или несколькими начальными кинематическими
парами (редуктор, дифференциал).
1. Какие структурные элементы входят в состав механизма? Изобра­
зите их условные обозначения, используемые на структурных и ки­
нематических схемах.
2. В чем различие между высшими и низшими парами с различным
числом условий связи, накладываемых на относительное движение
звеньев?
3. Изобразите структурные схемы плоского и пространственного меха­
низмов и определите их число степеней свободы.
4. Что называется избыточными локальными и контурными связями
в замкнутой кинематической цепи? Изобразите структурную схему
шестизвенного рычажного механизма и определите число степеней
свободы, число независимых контуров и число избыточных связей
при заданном числе степеней свободы механизма.
Г л а в а
3
КИНЕМАТИЧЕСКИЕ Х А РАК ТЕ Р И СТИ К И
М ЕХАНИЗМ ОВ
Движение звеньев механизма происходит в пространстве и во време­
ни. Это движение можно исследовать с разных позиций. В кинематике
изучаются движения материальных тел без учета их масс и действующих
на них сил. Важнейшими характеристиками движения являются траекто­
рии, скорости и ускорения точек и звеньев механизма, которые связаны с
изменением времени. Если движение рассматривается в функции движе­
ния начальных звеньев, которым приписывают обобщенные координаты,
то вводят кинематические передаточные функции, которые не зависят от
времени, а являются важнейшей геометрической характеристикой меха­
низма. В данной главе рассмотрены методы расчета параметров кине­
матических характеристик механизма, которые играют важную роль на
стадии проектирования машин разного назначения.
3.1. Основные понятия
Определение движения звеньев механизма по заданному
движению начальных звеньев или начальных пар называют
кинематическим анализом механизма. Он выполняется на
основе кинематической схемы, которая является структурной
схемой механизма, дополненной размерами звеньев (длинами
звеньев, координатами пар, числами зубьев колес, координа­
тами точек на профиле кулачков и т.п.), необходимых для ки­
нематического анализа механизма. При расчете скоростей и
ускорений задаются значения обобщенных скоростей и уско­
рений механизма, являющихся соответственно первой и второй
производными от обобщенной координаты механизма по време­
ни. Если производные функций положения берут по обобщен­
ной координате механизма, то их называют соответственно ки­
нематической передаточной функцией скорости точки (ана­
лог скорости), угловой скоростью звена ( аналог угловой ско­
рости или передаточное отношение), передаточной функцией
ускорения точки или углового ускорения эвена (аналог уско­
рения точки, аналог углового ускорения звена). Связь между
скоростью vg (или ускорением a g) точки на каком-либо звене
механизма и передаточной функцией скорости vqg (или уско­
рения aqg ) той же точки определяется следующими соотноше­
ниями:
VB
d Sg
_
d* ’ VqB
dSg
,
dip\ ’ VB
dSgdipi
dtp\ di
vqBU1,
или
VqB =
(3 . 1)
— ;
Wl
_ d 25 B
.
d2S B f d < p !\ 2 , d S t f d V
d2Sg
d*2 ’ aqB ~ dy>2 ' a B ~ dtp2 \ d t ) + dy>i dt2 ’
или
dg
=
&qBu i
Vqg£\.
+
( 3 .2 )
Здесь единицами измерения в СИ являются: [г>д] = м /с;
[идв ] — м/рад; [ag] = м /рад2; [aqg\ = м /рад2 В системе СИ
размерность угла принята равной 1, поэтому размерность vqg
и a,qg соответствует м/1 (метр).
Связь между угловой скоростью
(или угловым уско­
рением £,) какого-либо звена г и передаточной функцией u q{
угловой скорости (или углового ускорения £qi) того же звена
определяется следующими соотношениями:
и; =
dVi
dyЧ .
Uqi =
dt ’
d<f>i dy?i
W‘ = м
( 3 .3 )
"d<~ = W?, Wb
или
wgi = Ui/Ul = «ii,
где
£i =
— передаточное отношение;
do;,di ’ £qx
_ dwj _ d2<pi
dip\
dip2
d2^» 2 , dy?,£% = - 9 U>\ + -----£ i.
dip2
dipi
( 3 -4 )
Следовательно, £,• = £?,u>2 -(- u,i£i. Если £i = 0, to £qi = £ i/w 2.
В этих соотношениях [u>i] = рад/с; [u>,-] = рад/с; [u»9,j =
SS [«ii] = 1; [£i] = [£,■] = рад/с2; [£g,] = 1. Квадратные скобки
означают, что речь идет о единице СИ измерения соответству­
ющих физических величин.
3.2. Графики движения (дуговой координаты),
скорости, ускорения и кинематических
передаточных функций
Одна из кинематических функций может быть определена
или задана таблицей значений или графиком (рис. 3.1). Для
определения других функций применяют численные и графи­
ческие методы вычислений. Графиками часто пользуются для
наглядности и выявления возможных ошибок при вычислени­
ях. Численное дифференцирование чувствительно к ошибкам,
вызванным неточностью исходных данных, и должно прово­
диться с особой осторожностью. Приведем для примера фор­
мулы дифференцирования функции /(я ), заданной конечной
последовательностью пар значений (яг-, /(я ,)). Если /( я ) за­
дана множеством уь 2/2? •••3Уп ее значений у{ в п равноотсто­
ящих точках
с шагом изменения аргумента h = я» — я , _ 1
(г = 2 , . . . , ть) (рис. 3.1, а, б), то искомые значения производной
вычисляют следующим образом:
V, МС'1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 I, поз
в
И
Р и с. 3.1
е
^ (3 j/n ~ 4уп~ 1 + Уп~2) (г = п)Интегрирование функции у(х), заданной множествами
xi,X 2 , ... , х п упорядоченных по возрастанию или убыванию
аргумента и у\, У2 , . . . , уп соответствующих значений функции,
проводят по формуле трапеций или формуле Симпсона.
При равноотстоящих значениях аргумента х значения ин­
тегралов / = J y(x)dx вычисляют с помощью одной из следу.
11
ющих формул:
трапеций
Симпсона
(3.7)
или
Результаты вычислений представляют в виде графиков
(см. рис. 3.1).
В декартовых координатах:
перемещение S(t)\
S (I) (см. рис. 3.1, а); скорость
v(t)\ v(ipx)\ передаточная функция скорости vq(tpi) (см.
рис. 3.1, б); скорость v(S); передаточная функция скорости
vq(S) (рис. 3.1, г); ускорение a(t), <z(</?i); передаточная функция
ускорения aq(t), aq(<p\) (рис. 3.1, в); ускорение а(5), передаточ­
ная функция ускорения aq(S ) (рис. 3.1, д).
В полярных координатах: модуль вектора скорости v(y?i)
(рис. 3.1, е).
Графическое дифференцирование. Графическое диф­
ференцирование начинают с построения графика функции по
заданным значениям. При экспериментальном исследовании
такой график вычерчивают с помощью самопишущих прибо­
ров. Далее проводят касательные к кривой в фиксированных
положениях и вычисляют значения производной по тангенсу
угла, образованного касательной с осью абсцисс.
Например, определение углового ускорения е при задан­
ном графике u(t) проводят графическим дифференцированием.
На рис. 3.2, а кривая u (t) изображена по оси ординат в
масштабе //<*,, мм/(рад •с- 1 ), по оси абсцисс /х*, мм/с. Иско­
мую функцию e(t) можно найти, используя соотношение
do;
<
1(уш/цш)
“ d< ~ d(xt/fit)
щ dуи
щ
lb, dxt ~ цш
’
Тангенс угла ф наклона касательной к кривой u (t) в не­
которой точке с номером г представляют в виде отношения от­
резков уе{ К , где К — выбранный отрезок дифференцирования
(или полюсное расстояние) 0Z), мм (рис. 3.2, б):
4i>i = Veil КПосле подстановки этого соотношения в выражение (3-8) получают
(3.9)
/Ли К
/Х£
где уе{ — ордината искомого графика углового ускорения;
Ц£ = f l u K / l h ,
(З.Ю )
— масштаб искомого графика £,•(<); единицы СИ: [yei] = мм;
[ре] = мм/(рад •с- 2 ).
График функции е = e(t) строят по найденным значениям
ординат для ряда позиций. Точки на кривой соединяют от
руки плавной линией, а затем обводят с помощью лекала.
Графическое дифференцирование методом касательных
имеет низкую точность.
Более высокую точность полу­
чают при графическом дифференцировании методом хорд
(рис. 3.2, б, г).
На заданной кривой отмечают ряд точек 1", 2", 3W, ко­
торые соединяют хордами, т.е. заменяют заданную кривую
ломаной линией. Принимают следующее допущение: угол на­
клона касательных в точках, расположенных посередйне каж­
дого участка кривой, равен углу ф{ наклона соответствующей
хорды. Это допущение вносит некоторую погрешность, но она
относится только к данной точке. Эти погрешности не сумми­
руются, что обеспечивает приемлемую точность метода.
Остальные построения аналогичны ранее описанным при
графическом дифференцировании методом касательных. Вы­
бирают отрезок DO = К (мм). Через точку D (полюс построе­
ния) проводят лучи, наклоненные под углами
•••>Фй •••
до пересечения с осью ординат в точках I7', 277, З77, . . . , кото­
рые переносят на ординаты, проведенные в середине каждого
из интервалов. Полученные точки 1*, 2*, 3* являются точками
искомой функции е = e(t) = du/dt.
Масштабы по осям координат при этом методе построения
связаны соотношением (3.10), которое было выведено для слу­
чая графического дифференцирования методом касательных.
Определение углового ускорения е входного звена при за­
данной функции сj((p) или линейного ускорения ат входного
звена при заданной функции v(S) вычисляют так:
dи
du dip
do;
dt
dip dt
dip’
T _ dv _ dv dS
dv
= d t = d S ~ d t = V dS'
(3.11)
Если заданные функции u(ip) или v(S) представлены в
виде графиков, то вычисление этих соотношений сводится к
определению числового значения длины поднормали к кривой
в соответствующей точке.
На рис. 3.2, д приведены необходимые построения для слу­
чая, когда задана функция ш = и;(</?).
Для произвольно выбранной г-й точки на графике сj(ip)
связь между отрезками х ^ и
и соответствующими кине­
матическими параметрами выражают с помощью масштабов:
x <pi — РфФи Vuji —
Угловое ускорение выражают в виде следующего соотно­
шения:
1
dwj
dщ d<
'd ifi
_ Уип d(yui/fiu ) _
цш d(xviln,p)
(a,b,)
=
Pu;
УцНМшь =
Mu;
У" »
= jjjf (a' 6«)
Mu;
Me
)
(3.12)
где фг — угол наклона касательной к кривой ш(<р) в г-й точ­
ке (рис. 3.2, д)\ (а,-6,) = уш{ tg ф{ — отрезок поднормали в г-й
точке графика; ц£ = Ma>//V — масштаб углового ускорения е\
единица СИ: [/г£] = мм/(рад •с- 2 ).
Аналогичные построения проводят для ряда положений
1> 2, 3, 4>- ■■ ■
>определяют поднормали и соответствующие им
угловые ускорения е. Результаты расчетов изображают в виде
графика £ = е(ф) (рис. 3.2, е).
Графическое интегрирование. При графическом опре­
делении интеграла подынтегральная функция задается гра­
фиком. Для примера рассмотрим определение угла поворота
U
(p(t) = J u d t выходного звена по заданной кривой u>(t).
*0
График угловой скорости сo(t) изображается в декартовых
координатах с учетом числовых значений масштабов угловой
скорости fiu и времени fit. Промежуток времени от
Д° U
делится на такое количество интервалов Д^-, которое позво­
ляет считать, что на каждом малом промежутке времени
движение можно принять равномерным.
Эти промежутки времени, отмеченные на рис. 3.3, а точ­
ками 0, 1, 2, 3, 4, не обязательно должны быть равными.
В каждом интервале времени, например от t ^ i до tj, мож­
но приближенно считать, что
У ш и - 1 ) + 2/uu
Ушхср ~
2
’
т .е. можно принять, что площадь криволинейной трапеции
равна площади прямоугольника высотой y^icp и основанием A z lt-.
Концы средних ординат (см. рис. 3.3, а) для каждого ин­
тервала y^icp, уш2ср, •••, Уипср проецируют на ось ординат и
соединяют найденные точки I 1, 2', З1,
с точкой D, ко­
торая ограничивает слева выбранный отрезок интегрирования
(полюсное расстояние) 0D длиной К (в миллиметрах).
Лучи D\\ D2\ D З7, . . . , проведенные через точку /?, обра­
зуют углы ф\у ^2) •••j Ф% с положительным направлением оси
х, причем
^Фх = Уилср/^*
На искомом графике (<р,ф) (рис. 3.3, 6) проводят линии
0111, I й 2П, 2ПЗп, . . . , параллельные в пределах соответствую­
щих интервалов лучам D 1; , D21, D З7, ... Первый отрезок 01й
проводят через начало координат 0, следующие отрезки соот­
ветственно через точку I й, затем через точку 2П и т.д. Эти
линии наклонены относительно положительного направления
оси х под углами
^2? ••., Ф{ соответственно, т.е.
Ау<^
tg Ф{ =
Дх^г'
Отрезки на графиках связаны с соответствующими физи­
ческими параметрами с помощью масштабов соотношениями:
Уилер — M u ^ tcp i
Ду<^л ■“
Р ,р ^ Ф х \
A x / j — M /A /j .
Приравнивая правые части написанных выше соотноше­
ний для тангенса угла
получают
АУу?i _
Уилер
" ~к~'
или
Д у ^ ,- =
Уилер А*2'/г
К
Из рис. 3.3, б следует, что
У*л’ = y ^ i - i ) + A y ^ i =
Е
УилсрАя^*
^
а
»=1
i=l
К
/^w^tcpMi’A^j
L —
у—
=
*=1
Нш^^cj,cpA^=
At
J t=
to
ti
где щ = Ju>dt.
to
Масштаб искомого графика
ц<р =
[fi,p] = мм/рад.
(3.13)
Значит, ломаная линия 01п2п Зп, . . . , iN соответствует
приближенному графику функции (p(t) = J u d t , а ординаты
в узловых точках 1— 1п, 2— 2п, 3— Зп, . . . — значению этой
функции. Через найденные точки проводят плавную линию,
которая позволяет получить более или менее точные резуль­
таты для всех промежуточных точек. Увеличение числа узло­
вых точек и масштаба чертежа позволяет повысить точность
метода графического интегрирования. Отрезок К выбирается
произвольно, однако он влияет на размеры ординат искомой
функции, т.е. его назначают с учетом желаемого масштаба
графика первообразной функции: чем больше его длина, тем
меньше этот масштаб.
При исследовании и проектировании механизмов закон из­
менения скорости входного звена может быть задан функциями
w(ipi) или v(S) обобщенных координат <pi и S. В этом случае
необходимо вычисление интегралов:
( 3. 14)
или
*0
So
Если функции и(ср) и v(S) заданы в виде графиков
(см. рис. 3.3, а), то искомые функции ip(t) и S (t) находят гра­
фическим интегрированием, проводя построения, аналогичные
ранее описанным, но с некоторыми отличиями. Так, ось ор­
динат искомого графика (рис. 3.3, г) разбивают на интервалы,
равные интервалам на оси абсцисс (оси <pi) на графике u(ip)
(рис. 3.3, в). В этом случае масштабы по осям (р сохраняет
одинаковыми, т.е.
= /х* . Точки 1п, 2", 5", 4" искомой
кривой (рис. 3.3, г) получают при пересечении линий, парал­
лельных оси абсцисс, с линиями, проведенными параллельно
соответствующим лучам D 1 , D 2 , D 3 , . . . , т.е. наклоненными
относительно оси х под углами
^2> Фз - Ф%, •••, где DO =
= К — отрезок интегрирования, в мм.
Обоснование этого метода интегрирования обусловлено
соотношениями, вытекающими из графических построений:
tg
= — ^ ,ср (см. рис. 3.3, в);
A y = /*рАу>,-
я*; = ^ ^ А х ц (см. рис. 3.3, г). (3.15)
»=1
После необходимых преобразований получают
tg fa =
хи — У ! А хц — У
2=1 tgfa
2= 1
?-£
А у -У
Ау<V?1
i=i
Пт
flu
0 r-^ cjt*
У
^
AiwW,dw
— =
(3.16)
где
— масштаб времени движения; г =
= / dy>/w — время движения; единицы СИ: [д<] = мм/с;
[#] = мм; [цш] = м м/(м •с- 1 ); [д^,] = мм/рад.
Точки 1" , 2 " i" соединяют плавной кривой и получа­
ют искомый график ip = <p(t), т.е. искомый закон движения
входного звена.
Это доказательство основано на допущении, что кривую
(1 /ш,(р) на малом интервале Аср можно заменить линейной
функцией, а площадь криволинейной трапеции — площадью
прямоугольника с высотой, равной полусумме ординат на гра­
ницах данного интервала.
При малых значениях ш целесообразно в этой области
брать большее число узловых точек, как это сделано на
рис. 3.3, в для интервалов 0 — 3 и 8 — 13, которые разде­
лены на более мелкие, например интервалы 0 — 1; 1 — 2;
2-3.
3.3. Координатный способ определения
кинематических характеристик
плоских рычажных механизмов
Движение точки и звена на плоскости определено, если
известно их положение относительно выбранной системы от­
счета и изменения их координат с течением времени. Способ
определения движения точки или звена посредством кинема­
тических уравнений движения в прямоугольных координатах
принято называть координатным. Иногда его называют ана­
литическим способом.
При координатном способе за аргумент принимают время
или обобщенную координату механизма и, придавая ему раз­
личные частные значения, вычисляют соответствующие зна­
чения функций положения (координат) и их производных: про­
екции на координатные оси скоростей и ускорений или кине­
матических передаточных функций скоростей и ускорений.
Координаты любой точки однозначно определяются ра­
диус-вектором точки, проведенным из начала отсчета. Поэто­
му система векторов, связанных с соответствующими точками
механизма характеризует как расстояние между точками, так
и направление, в котором точки находятся по отношению друг
к другу (рис. 3.4).
Базой для составления кинематических уравнений в ко­
ординатной форме является векторная модель механизма, т-е.
совокупность геометрических векторов, соединяющих кинема­
тические пары (точки звеньев) между собой на структурной
(кинематической) схеме механизма в такой последовательно­
сти, которая целесообразна для расчета кинематических пара­
метров механизма координатным способом.
Под геометрическим вектором понимают направленной
отрезок в пространстве или на плоскости, имеющий началь­
ную точку (точку приложения вектора) и конечную точку
(см. рис. 3.4). Однозначное отображение вектора при каждом
значении аргумента (времени или обобщенной координаты)
называют вектор-функцией скалярного аргумента.
Так как объем информации при вычислениях достаточно
велик, то для краткости записи используют массивы, т.е. упо­
рядоченные множества, обозначенные именем (идентификато­
ром). Число элементов в массиве определяет его длину. Поло­
жение элемента в массиве определяется значением его индек­
сов. Введем следующие идентификаторы для одномерных мас­
сивов, связанных с геометрическим вектором h (см. рис. 3.4).
Точка А приложения вектора (начало вектора) — массив
D A и з шести элементов:
D A = { х А,у А , х А,у А, х А,у А},
т.е. координаты точки А и их производные по времени.
Точка В (конец вектора) массив D B из шести элементов:
D B = {хв,Ув^В>Ув/^В^'Ув}>
т.е. координаты точки В и их производные по времени.
Для примера на рис. 3.5, а приведена кинематическая схе­
ма трехподвижного манипулятора, обеспечивающего движение
схвата Е по траектории Тр, если заданы три обобщенные ко­
ординаты: q i, й1 и 932- При решении обратной задачи задают
движение точки массивом
D E = { Х£ , у£ , х е , УEi
УЕ}
и одну из обобщенных координат (например, 9 3 2 ), а другие
две координаты являются искомыми. С каждым звеном или
с точками звена связывают соответствующие геометрические
векторы, совокупность которых определяет векторную модель
механизма: 7i, /i£ # , h е а (рис. 3.5, б). Угловые координаты
векторов отсчитывают от положительного направления оси Ах
против хода часовой стрелки: <р\, (р2 , 4>hEAФункции положения механизма. Уравнение вектор­
ного контура АВЕ записывают в форме (см. рис. 3.5, б)
h + Ьё В ~ ^ЕА = 0
и проецируют на координатные оси:
(3-17)
Рис. 3.5
/i cos ц>\ + hfifi cos <fi2 —XE = 0>
ll sin
+
h.£B sin y>2 - У Е =
(3 18)
°-
При заданных h , <pi, <P2 , hBB вычисляют координаты х в ,
УЕ\ при заданных Х£, у£ и h,£B — <р\ и (р2■
Ф ункции ск ор остей . Систему уравнений, определяю­
щих положение звеньев, дифференцируют по времени
(рис. 3.5, в):
-
sin<^i + h,£B cos <^2 - <P2h-EB sin <P2~ XE = °>
(3.19)
(p\l\ cosv?i + hBB sin (fi2 + <Р2^ЕВ cos Ч>1 ~ УЕ = 0.
Из пяти параметров <pi, <ip2 >h £B, X£B, j/£ ТРИ параметра
должны быть заданы, а остальные два вычисляют в результа­
те решения системы двух линейных уравнений.
При заданных значениях обобщенных скоростей вычисля­
ют Х£ и у£. При заданных Х£, у£, h.£B вычисляют искомые
(р\ и (р\, например по правилу Крамера:
а\\Ч>\ + «12^2 = Ьи
(3.20)
а21<^1 + а-22<Р2 = НЗначения коэффициентов а ц ,
012,
а21> а22 и свободных
членов 6ц 62 определяют из уравнений (3.19):
а ц = - / l sin<^i;
a.21
=
l\cos<pi\
а ц = - / i £ £ sin<£2;
022 =
cosy>2;
61 =
62 =
&E ~
УЕ ~
^EB
^EB
cos V?2,
siny?2-
Определители находят следующим образом:
D=
oil
®21
Oi2
- аца22 022
012021
=
= -h ^ E B siny>i cos V2~hhEB cos(p\ sinv?2 = W
D1
h
ац
62
022
eb
sin(v?2—V3! )>
= (* £ - hEb cos<P2)hEB cosip2 + (У£ - h e b sm<p2)hEB sin ¥>2 ,
02
ац
ац
~ (У £ -
hEB sin <^2)^1 sin v?i
-
( xE
- hEB cos tp2)h cos y>2 -
Искомые угловые скорости звеньев 1 и 2:
■ -Ei__ (жд - hEB COS1P2 ) cos У2 + (у£ ~ hEB sin y?2)siny2
^ 21^
^si n( v>2- Vl )
• _^ 2 _
<^2
D
"
(УЕ -^ E B sin У2 ) sin <pi + (s д - hEB cos Ф2 ) cos ¥>l
h£B sin(v?2 - ¥>l)
^ 22^
Функции ускорений. Систему уравнений, записанную
для скоростей, дифференцируют по времени (рис. 3.5, г):
- (p\l\ sin (^>i - (filli cos</?i + h g e cos <^2 -
4>2hEB
s in
4>2 ~ 4>2hEB
co s
4>2 ~ XE
=
2 y?2 ^ e b
sin^2“
0,
^
^
ipill cos v?i - (p\l\ sin <pi + hEB siQV>2 + 2фг^EB cos ¥>2+
+ 4>2hEB cos Ф2 - 4>2^EB sin Ч>2~ УЕ — 0>
При заданных значениях 1 £ , ц и % и ранее вычислен­
ных функциях положения (3.18) и скоростей звеньев (3.21),
(3.22) получают систему двух линейных уравнений относи­
тельно искомых угловых ускорений <р\ и ^ :
ац(р\ + ai2</?2 = h ,
a21<Pl + а22Ч>2 = &2Здесь
<*11 = - *1 sin<pi;
ai2 = - ^ E B s i n <P2‘>
Л
••
•
6l = X£ + (pxl\ cos (pi - hEB cos <^2 + 2<Р2^е в sin y?2 +
+ ¥>i^EB cos V2]
a21 = h cos<pi\ a22 = hEB cosip2\
h = УЕ + 4>\h sinyJi - hEB siny?2 - 2(р2^ЕВ coslP2+
+ 4>\hE B sin <P2Вычисляют значения D, D\, D 2 и значения искомых неиз­
вестных:
4>\ = D\ID\ ip2 = D2/D.
На (рис. 3.6, а) изображены кинематическая схема кривошипно-ползунного механизма с одной степенью свободы и век­
торная модель этого механизма. Точка Е ползуна 3 совершает
поступательное движение вдоль направляющей 4• Длина зве­
на 2 постоянна: I2 = 1е в ■ Уравнение векторного контура АВЕ
записывают аналогично (3.17), т.е.
h + h - УЕЗ - ХЕ i = 0.
И проецируют на координатные оси:
ХЕ = li COSC^l + l2COS<p2,
УЕ
=
h
s in
tpi
+
h
s in
<fi2 =
(3.25)
ез-
Из уравнений (3.25) вычисляют
ез — h sin <pi
Г
~2
sin <^2 = --------;--------- ; cos <^2 = ± V 1 - sm 4>2\
*2
<P2 = arctg(sinv?2 /c o s ^ 2 )(sgncosv?2 )Два значения угла <f2 при одном значении обобщенной
координаты свидетельствуют о том, что механизм имеет две
сборки:
расположение ползуна справа от оси Ау (см.
рис. 3.6, а) и слева от той же оси. Поэтому для получения одно­
значного решения следует указать числовой показатель сборки
с помощью функции знака у = sgn:r = { + 1 ; 0 ; —1 }; в данном
примере sgn(cos</?2 ) = + 1 .
Для получения системы уравнений для скорости диффе­
ренцируют (3.25) по времени:
Х£ = - i f i h sin <pi - y?2 ^2 sinv?2 ,
(3.26)
УЕ = ¥*1*1 cos Ч>\ + ¥>2*2 cos ¥>2 = 0.
Из второго уравнения (3.26) находят угловую скорость
звена 2:
ll COS!f\
Ш2 = <Р2 = -<Р1
*2 cos <P2
COS <P1
=
-¥>1
Л2 cos (fi2 ’
(3.27)
Передаточное отношение равно
o »2
u2l - — =
U\
cos <pi
---------- =
l2 COS<P2
*1
COS(^l
Л2 cos If2
Скорость ползуна вычисляют по первому уравнению
(3.26) или выражают его после подстановки (3.27) в уравне­
ние (3.26) в форме
. . .
/i cos
,
ХЕ = -¥>l*i smy?i + ipi-----------/2 sin ¥>2 =
*2 cos ¥>2
. , /
.
sin f 2 cos ¥>1 \
= ¥>1*1 (-s in y ji-| --------------------)
V
cos ip2
)
(3.28)
Передаточная функция vq£ скорости точки E
VqE =
ve
, (
, sin ip2 cos ¥>1
---- = *1 - Sin ipi + ----------------U>1
V
COSIP2
(3.29)
Уравнения ускорений получают дифференцированием по
времени уравнений (3.26):
Х£ =
sinyj] —
*21
2
*
- (рх1\ cos (pi - (p2h sin </?2 - ^ 2^2 cos
r\
УЕ - ¥>1*1 cosv?! - ifxlx sin v?i +
+ ip2h cos f 2 ~ ¥>2*2 sin ¥>2 =
0.
(3.30)
Из второго уравнения системы (3.30) находят ipi'4>г =
h
I2
COS
-
lf2
<pi
COS
.2 1 .
+ <p, I S ill
'
(fil +
+
h ■
cos2 4>\
r s i n ^ 2 --------9-----I2
cosz v?2
)
(3.31)
Из первого уравнения системы (3.30) находят ускорение
точки Е :
хЕ
=
COS
(fi2
sin(v?2 - </>i)+
(3.32)
l\
+ V’l ( cos(v?2 -Ч>1 ) + Ц
COS 2
ipi
cosz ip2
Графики изменения передаточных функций скорости точ­
ки С vqc = vc/ui = i c / ^ l (рис. 3.7, б) при разных смещени­
ях у£ = е направляющей ползуна (рис. 3.7, а) и передаточного
Х2-4
Рис. 3.8
отношения U21 = ^ 2 / ^ 1 = V^/v^l угловых скоростей ползуна и
кривошипа (рис. 3.8) и при разных коэффициентах Аг = / 1 / / 2
построены с использованием компьютера.
Кривошипно-ползунный механизм применяют во многих
машинах, и при расчетах его кинематических характеристик
часто пользуются приближенными формулами, которые полу­
чают путем разложения обратной тригонометрической функа; 3
3 5
ции arcsm х в степенной ряд arcsm х = х + -— + — х +
о
4U
Принимал для кривошипно-шатунного механизма смеще­
ние ез = 0 и А2 = h/h> получают
<P2 ~ ~ arcsm ^
(
sin ip\ A
sin р\
1
sin3 ipi
A
3
л2
3 sin5 (pi
40
U>2 ~ -U>1
£2
u\
COS
S in
pI
COS
Pi
^
2 A3
A2
sin (pi
. A2
ipi ^
+
Sin Pi
,
3 . 2
- 1 + - sin
<fil
sin2 <pi -
^ 3
4
XE « /l ^A2 + cos v?i —
. (
.
1
.
vE ft u i l i y —sin (pi - — sin <p\ cos ipi -
sin4 p i j ;
I
^ 3
.3
\
sin ip1 cos t p i j ;
d£ « u fl 1 — cosy>i + —
(1
— 2 cos2 y>i)+
a2
+
1
7 з si n2
a2
Q -
2
cos2 ¥>1 )
3.4. Векторный способ определения скоростей
и ускорений плоских механизмов
В основу этого способа положена возможность определять
характеристики движения точки или звена по отношению к
основной системе отсчета и одновременно по отношению к по­
движным системам отсчета, т.е. рассматривать сложное дви­
жение точки или звена как сумму переносного движения и от­
носительного движения точки или звена. Зависимости между
характеристиками абсолютного, переносного и относительно­
го движения точки или звена, записанные в векторной форме,
представляются в виде плана механизма, плана скоростей ме­
ханизма, плана ускорений механизма, выполняемых в соответ­
ствующих масштабах, позволяющих получать числовые зна­
чения той или иной характеристики движения. Связь между
тремя скоростями (абсолютной, относительной и переносной)
одной и той же точки выражается так: вектор абсолютной ско­
рости точки равен сумме векторов относительной скорости и
переносной скорости той же точки:
v = vг + ve.
(3.33)
Если переносное движение поступательное, то абсолютное
ускорение точки равно геометрической сумме полного относи­
тельного и полного переносного ускорения:
a = ar + ае = a” + al + а” + а\.
Если переносное движение не является поступательным,
то возникает добавочное ускорение — ускорение Кориоли­
са cfi:
CL
= fly -f- flg -|- fl^ = flj? -f* fl£ -|- flg -f" flg
A
( 3.34)
Решение этих основных соотношений показано на рис. 3.5
на примере трехподвижного манипулятора, схват Е которого
перемещается по траектории Тр (см. рис. 3.5, а). Для точки
Е звена 3 справедливы следующие соотношения:
VE3
=
VE2 + VE3E2
=
УВ
+
УЕ2В
+ ^ЕЗЕ2
= УЕЗх
+ ^ЕЗу-
На рис. 3.5, в построен план скоростей по этому уравне­
нию относительно искомой скорости vq при заданных значе­
ниях VE3x>vE3y> vE3E2i записанному в следующем виде:
VB = УЕ2 + УВЕ2 = УЕЗх + УЕЗу + УЕ2ЕЗ + ^ВЕЪ
где vq =
x h известен по направлению (подчеркнута вели­
чина одной чертой) — перпендикулярен В А;
vЕ2ЕЗ — скорость относительного перемещения цилиндра
относительно поршня. Значение скорости задано, направление
— вдоль линии B E (вектор подчеркнут двумя чертами);
УВЕ2 известен по направлению — перпендикулярен линии
ЕВ;
УЕЗх > уЕЗу — проекции скорости схвата Е на координат­
ные оси: заданы или могут быть определены, если заданы тра­
ектории и алгебраическая скорость схвата Е вдоль траекто­
рии.
Масштаб плана скоростей pv = .. .м м /(м •с- 1 ) вычисля­
ют как отношение длины изображающего отрезка (мм) к зна­
чению заданной скорости в единицах скорости (м /с).
План ускорений того же манипулятора приведен на
рис. 3.5, г. Он построен в масштабе ускорений р а =
= ..м м /(м с- 2 ) по следующим соотношениям:
аВ
=
а Е2
+ а ВЕ2
— &ЕЗ
+ Д£2ДЗ +
а Е2ЕЗ
+ ®ВЕ2 >
ИЛИ
+4 =
&ЕЗХ + а ЕЗу + й*Е2ЕЗ
+ ^Е2ЕЗ + °ВЕ2 +
°*ВЕ2'
Здесь верхние индексы п и t относятся к касательным (тан­
генциальным) и нормальным составляющим ускорения. Каса­
тельное ускорение направлено по касательной к траектории аб­
солютного (например, а^) или относительного (а^ Е З '
движения. Нормальное ускорение направлено по нормали в
сторону вогнутости траектории (соответственно а^, а ^ ^ ) , a
его модуль равен квадрату скорости, деленному на радиус кри­
визны траектории: ав = ув /1в а > аВЕ2 = УВЕ2 /^ВЕ' Ускоре­
ние Кориолиса Й£2 £ 3 = 2(й;з х уЕ2Ез)- Для определения его
направления достаточно вектор относительной скорости Е 2 Е З
повернуть на 90° в плоскости движения точки в сторону пере­
носного вращения (а7з = &2 = ув Е2/^Ве )'
В заключение кинематического анализа механизма мани­
пулятора следует отметить, что векторные уравнения скоро­
стей и ускорений можно спроецировать на координатные оси
основной системы отсчета и получить по два уравнения как
суммы проекций составляющих скоростей или составляющих
ускорений на эти оси. Одна пара уравнений будет тожде­
ственна системе уравнений (3.19), другая — система уравне­
ний (3.23), полученных при координатном способе. Различие
состоит только в разных обозначениях составляющих.
Второй пример построения планов скоростей и ускоре­
ний приведен на рис. 3 .6 , б, в для кривошипно-ползунного ме­
ханизма. План скоростей построен по векторному уравнению
У Е = ^В_ +
Е В и л и в отрезках: р ^ ё = p v b + e b .
План ускорений построен по векторному уравнению:
у
у
^
= ад + ад + ап
ЕВ + ад в -
Начальным звеном механизма принято звено 1, для ко­
торого заданы угловая координата y>i, угловая скорость и\ и
угловое ускорение е\. Искомыми являются скорость уе и уско­
рение ав ползуна 5, угловая скорость и>2 и угловое ускорение £2
шатуна, скорость у$2 и ускорение а$2 центра масс S2 ползуна:
,.
^2
/I
=
V e B / 1E B \
£2
=
t
^ E
/1
b
P vs 2
! 1E B \
v
S2
=
-------- i
Pv
_
a S2 =
Pas
—
2
Pa
Положения точек S2 и s 2 на векторах eb и e'b1 найдены
способом пропорционального деления в соответствии с поло­
жением точки S2 на шатуне BE:
0S 2
.B S 2
=
,1 1
b s 2 =
1,1 B S 2
e b
ЕВ '
Проецируя векторы скоростей и ускорений на планах ско­
ростей и ускорений на координатные оси основной системы
отсчета, получают системы тригонометрических уравнений,
аналогичные системе уравнений (3.26) для скоростей и систе­
ме уравнений (3.30) для ускорений, полученных координатным
способом.
3.5. Модульная система кинематического
анализа механизмов
Знание кинематических характеристик механизмов тре­
буется при решении многих задач проектирования машин, к
которым относятся, например, такие:
оценка функциональных возможностей механизма выпол­
нять требуемое движение звеньев при заданных или вычислен­
ных размерах звеньев;
оптимизация параметров механизма с учетом заданных
ограничений и критериев;
определение закона движения механизма при заданных ак­
тивных силах и моментах сил, размерах звеньев, их массах и
моментах инерции;
расчет сил в кинематических парах механизма с учетом
неравномерного движения звеньев;
определение обобщенных координат, скоростей и ускоре­
ний ведущего звена (двигателя) по заданному движению ис­
полнительного органа манипуляционных и рычажных меха­
низмов с управляемыми двигателями;
определение кинематических характеристик механизмов
по заданному движению линейных, поворотных и роторных
двигателей.
Успешное решение этих задач возможно только при сис­
темном подходе к проектированию. Под системой понимают
совокупность элементов, функционально и структурно связан­
ных и взаимодействующих друг с другом. Структура любой
системы определяется связями между элементами, имеющими
определенные характеристики и свойства. Связь любой систе­
мы с другими системами осуществляется входами в систему
и выходами из нее. Применительно к рычажным механизмам
такими элементами можно принять структурные группы, ста­
тически и кинематически определимые и имеющие нулевую
подвижность относительно основания, связывающего внешние
кинематические пары поводков этой группы.
При задании движения внешним парам группы ее звенья
будут описывать движение, характеристики которого можно
описать математическими уравнениями и соответствующими
алгоритмами вычислительных или логических процедур.
При обработке входной информации на компьютере тре­
буемые алгоритмы оформляются в виде соответствующей про­
граммы*
Независимые части программы оформляются в виде про­
граммных модулей. Модули могут быть представлены в виде
блоков — последовательности операторов и комментариев, ко­
торые реализуют логически самостоятельную часть вычисли­
тельного процесса на компьютере.
Для механизмов II класса 2 -го порядка структурные груп­
пы содержат по два звена, соединенных внутренней кинемати­
ческой парой В, которая может быть вращательной (В) или
поступательной (П). Возможные сочетания внешних и вну­
тренних пар показаны на рис. 3 .9 , а, в, д, ж, з, к, л, о для
групп типа ВВВ, ВВП, ВПВ, ПВП, ППВ. Движение внешних
вращательных пар D и С задается массивами кинематических
элементов движения:
О В = { х д , у д , х д , у д / х д , у д } и D C = { х с ,УС^С^УС у^с /Ус }Движение внешней поступательной пары (см. рис. 3.9, в,
г, к, м) задается координатами базовой точки Со направляю­
щей С массивом DCoO = {хсОчУСО^С^Фс^Фс} или базовой
точки jDo и направляющей d массивом D D O = {xDChVDOiVd)
<Pd><Pd}Справа на рис. 3 .9 , б, е, и, м приведены векторные моде­
ли структурных групп, построенные по векторному уравнению
b = c+d. Здесь вектор Ьопределяется внешними парами групп,
* Попов С.А., Черная Л.А. Математическое и программное обеспече­
ние расчетов кинематических характеристик плоских рычажных и мани­
пуляционных механизмов (система БЛОМСАР) / Под ред. Г.А. Тимофее­
ва. М.: Изд-во М ГТУ им. Н.Э. Баумана, 1991.
sgn (M£b)) =+1
ввв
я /ч
Рис. 3.9
ВВП
его называют базовым. Его кинематические параметры могут
быть вычислены в виде массивов того или иного вида, напри­
мер:
VB = {Ь,<рь,Ьх,Ьу,Ьх,Ьу}]
VBR F = {Ь,щ,Ь,Срь,Ъ,(рь}\
PRB = {Ь,Ъ,Ъ}\ P F B = {щ ,щ ,1 р ь}.
Анализ векторных моделей для двухзвенной структурной
группы показывает, что векторы образуют косоугольный или
прямоугольный треугольник. Для каждой структурной груп­
пы по отношению к базовому вектору возможны два распо­
ложения или две сборки механизма. На это обстоятельство
указывалось в § 3.3, где было введено понятие о числовом по­
казателе сборки с помощью функции знака (сигнум). Поэтому
функция знака должна вводиться в выражения для угловых
координат (рс и (рд векторов с и d соответственно:
Ч>с =
Щ - У И D s g n ( M B ( b )) +
2ж к
(к = 0; ±1),
<Pd = <Pb~UCsgn(Mg(b)) + 2тгк (к = 0; ±1).
В зависимости от вида структурной группы и набора за­
даваемых параметров для каждой группы (длина звеньев с и
d, смещение направляющей ес и ед, угловой координаты на­
правляющей 0д, ipc, ид, координат базовой точки направля­
ющей поступательной пары) составляют алгоритм вычисле­
ния функций положения звеньев и координат внутренней пары.
Практически все алгоритмы можно составить на основе реше­
ния косоугольных треугольников BCD на векторной модели
структурной группы. Для этого используют:
теорему косинусов
cos UD =
Ь2 + d2 - с 2
с 2 + Ь2 - d2
cos UС =
2 с6
’
2W
’
d — y/b2 + с2 - 2bccosUD,
теорему синусов
sin UС
.sin UС
. Т1П с
= d-----——; sin и С = - sin и В]
с — Ьsin UВ
sin с/
о
d
sin UD = 7 sin /7J9,
о
формулу тангенсов
d sin UС
b — d cos UC
формулу косинусов
tgUD =
dsinUB
c — d cos UВ ’
c = b cos UD + d cos UB,
теорему половинного угла (при заданном полупериметре
p = ( b + c + d)j 2 )
UD
(Р ~ с)(р - Ь)
UD _ 1( р - с ) ( р - Ь )
sin
cb
p (p -d )
’ 8Ш 2
V
tg
p (p -_d )
cos
cb
Векторное уравнение геометрических связей в структур­
ной группе можно записать в форме b = с + d или в форме
проекций на координатные оси и найти искомые элементы по­
ложения звеньев с учетом заданных размеров механизма:
ХС
— XD =
УС - V D
с
cos ¥>с +
= c sin ipc
+
d
cos (fid =
d sm (p d =
b
cos <рь,
(3.35)
bsin<pft.
После дифференцирования уравнений ( 3 .3 5 ) по времени полу­
чают
ХС ~ XD = -фсС sin (рс + с cos (рс - (pdd sin y>d+
+ dcoscpd = -(pbbsiinpb + b cos (fib,
УС ~VD = VcC cos <pc + c sin p c + (p^d cos (pd+
+ d sin (рд = (рьЬ cos (рь + b sin <рь•
После дифференцирования уравнений (3.36) по времени нахо­
дят
....
. . .
.0
ХС ~ XD ~ —V?cCSin р с — р с с cos р с - 2 p cc s m p c+ c cos р с—
- ip&d sin (рд - p\d cos pd - 2(pjd sin pd + d cos pd =
= - р ф sin(pb - Cp\bcosp b - 2 р ф sinщ + &cos ФЬ>
УС - уD = ФсС cos p c - <p%sin Pc - 2p cc cos p c + c sin p c+
+ p^d cos рд - p jd sin p^ + 2pid cos pd + d sin pd =
= iptfibbcospb - plbsm pi, + 2 <pj,6 cos<Pb +
6
sin<pj.
(3.37)
Подставляя в эти соотношения соответствующие значе­
ния задаваемых или вычисленных параметров в зависимости
от вида структурной группы, получают по два линейных урав­
нения относительно двух искомых неизвестных, которые нахо­
дят, например, по правилу Крамера. Из общих соотношений
(3.35), (3.36), (3.37) можно составить отдельные модули для
частных случаев (в частности, для каждой структурной груп­
пы раздельно) и оформить эти модули как составные части
системы автоматизированного расчета кинематических харак­
теристик рычажных и манипуляционных механизмов.
Для примера на рис. 3.10 и 3.11 приведены векторные мо­
дели, планы скоростей и планы ускорений для структурных
групп вида ВВВ и ВВП.
v£=0 ; фс* 0
Ъ=Ъ+
*W V W
VJ>3J>4
v£=0; фс*0; (рс*0;
v„=0; ф£=фс=0
1
aB2 ас +ас +“вс
а° г'^ а'ВС
ав Г ав Г аВ4 аВЗВ?аВЗВ4
**B4=°E+**BAE+ ?В4Е
Рис. 3.11
Функции положения звеньев составляют на основе проеци­
рования векторного уравнения b = c + d на координатные осЦ и
решения алгебраических уравнений для определения UD, UC,
4>b, Ч>С, 4>d>*>,
УВ>
2/з<Ь ^зс, Узе (рис. 3.10, а; 3.11, а).
Для группы ВВВ заданы кинематические характеристи­
ки внешних пар С и D. Для примера точка D является
парой звена со стойкой и поэтому D D = { я £ , 2/£>,4 х О}*
При этом же условии построены план скоростей (рис. 3.10, б)
и план ускорений (рис. ЗЛО, в). Для точки С задан массив
D C = { хс,Ус, хс,Ус,Х с,Ус} ИЛИ D C V = { х с,у с,у с,а%,агс }.
Скорость
рис. 3.10, б)
точки
В
=
ус
ув
Ускорение
рис. 3.10, б)
а Б - QC +
точки
определяют
+ УВС =
В
по
уравнению
(см.
уравнению
(см.
+ увр-
находят
по
+ ^БС + ^БС — Дб + ДБ + &п
В р + ^ББ •
Ускорение центра масс Sj на звене
определяют про­
порциональным делением отрезка с'У в отношении Уsfd =
,,
_
-у-уу
= ЬС~СВ И a*d = p Sd/tJ'aПланы скоростей и ускорений строят в соответствующих
масштабах fiv и /ха , что позволяет вычислить числовые значе­
ния искомых скоростей и ускорений.
Для группы ВВП планы скоростей (рис. 3.11, б, в) и пла­
ны ускорений (рис. 3 . 1 1 , г, д) построены для двух вариан­
тов задания значений кинематических параметров движения
внешних пар D C = { х с,у с, х с,у с/хс/ус}: первый вариант —
PR4 = { х Е,у Е,4 х 0 } и PF4 = {ipCiVci4?c}\ второй вариант —
PR4 = { х Е,у Е , 4 х 0} и PF4 = {<рс, 2 х 0}.
Для первого варианта (направляющая 4 совершает плос­
кое движение) план скоростей построен следующим образом
(см. рис. 3.11, б):
УВ_=У±+
ув
а
УВ = УБЗ = УБ4 + УВЗВ4 = У £ + УВ±Е + УБЗБ4.
Точка В± принадлежит направляющей
но совпадает по
положению с В 2 = В$. План ускорений см. на рис. 3.11, а:
аВ — arc Jr a tc Jr ап
Вс + а Б С >
^Б = ^БЗ = ДБ4 + ^БЗБ4 + а БЗБ4>
а Б4 = ^
+ а Б4Б + а Б 4Б -
Ускорение Кориолиса
= 2(^4 х
Для второго варианта (направляющая 4 неподвижна, пол­
зун 3 совершает поступательное прямолинейное движение):
уравнение скоростей (см. рис. 3 . 1 1 , в)
Щ_=У£ + УВСу
уравнение ускорений (см. рис. 3.11, (?)
+ Ддс + в£ с-
3.6. Примеры графического
исследования механизмов
Планы механизма. Изображение кинематической схе­
мы механизма в выбранном масштабе, соответствующее опре­
деленному положению начального звена (или начальных зве­
ньев для механизмов с несколькими степенями свободы), на­
зывают планом механизма. Масштаб плана механизма опре­
деляет размеры отрезков, изображающих длину звеньев и ко­
ординаты точек звеньев. Масштаб плана механизма обозна­
чают [fit] = мм/м, т.е. под масштабом длины понимают от­
ношение отрезка в миллиметрах к числовому значению дли­
ны изображаемого звена в метрах. Например, щ = АВ/1дв>
щ = в с Иве-, где [АВ] = [ВС] = мм; [1Ав] = [1вс] = м5
= мм/м.
Для определения числового значения отрезков размеры со­
ответствующих звеньев необходимо умножить на выбранный
масштаб плана механизма щ , например ВС = fit1 в с •
Рассмотрим графический метод на примере шестизвенного рычажного механизма (рис. 3 . 1 2 ), используемого, например,
в устройстве автоматической прерывистой подачи деталей из
накопителя (магазина) на ленточный транспортер. Звено 1
вращается неравномерно с остановами после поворота на угол
2 тг. Тем не менее при построении плана механизма можно угол
поворота звена 1, являющийся обобщенной координатой, разде­
лить на ряд последовательных угловых шагов, равных между
собой (например, на 1 2 угловых шагов, каждый из которых ра­
вен 30°). Любая точка входного звена 1 описывает окружность
и последовательно занимает положения, равномерно располо­
женные на окружности радиусом 1в а - На рис. 3.12, а показа­
на окружность, описываемая точкой В, последовательные по­
ложения которой отмечены арабскими цифрами 1 , 2 , 3 , . . . , 1 2 .
Для определения положений звеньев 2 и 3 достаточно найти
положения кинематической пары С, шарнирно соединяющей
эти звенья между собой.
Точка С описывает дуговую траекторию cl<
i —
радиуса
lCD в ее относительном движении вокруг точки D и дуговую
траекторию
— а\ радиуса 1св в ее движении относитель­
но точки В. Точка пересечения этих двух дуговых траекто­
рий а\ — ai и « 2 — a 2 относительного движения точки С (на
рис. 3.12, а они показаны для позиции 11) находится с помощью
циркуля. Подобное построение иногда называют способом за­
сечек. Для остальных положений входного звена 1 выполня­
ют аналогичные построения и находят последовательные по­
ложения точки С на окружности радиуса Iq q , которые распо­
ложены неравномерно. Положения точки С отмечают также
арабскими цифрами соответственно разметке положений на­
чального звена 1. Для нахождения положения звеньев 2 и 3
достаточно соединить соответствующие точки (на рисунке по­
казано утолщенными линиями в позиции 1 1 ).
Для определения положений звеньев 4 и 5 достаточно най­
ти положения точки F Траекторией точки F относительно
стойки 6 является прямая 7 — 7 , а траекторией этой же точки
относительно звена 3 — прямая /3—/?, совпадающая с FD . Угол
F D C = V>3 звена 3 является неизменным, и положения прямой
Р —Р (или F D ) можно найти обычными геометрическими по­
строениями, сохраняя конструктивный угол фз неизменным.
Пересечение траекторий относительного движения точки
F прямых 7 — 7 и Р - Р определяет ее соответствующие по­
ложения. Эти положения точки F также отмечают арабскими
цифрами соответственно разметке положений начального зве­
на 1.
На плане механизма в случае необходимости можно по­
строить траектории, описываемые любой точкой того или ино­
го звена, положение которого уже найдено. Например, на
рис. 3.12, а показаны последовательные положения точки S на
шатуне 2. Проводя через размеченные положения плавную
кривую, получают траекторию точки S. Подобные траекто­
рии точек, расположенные на звеньях, совершающих плоскопа­
раллельные движения, называют шатунными кривыми. Эти
кривые могут быть также описаны аналитическими соотноше­
ниями. Например, для шарнирного четырехзвенника ABC D
траектория точки S (см. рис. 3 . 1 2 , а) описывается алгебраиче­
ской кривой шестого порядка. Предельные положения точек на
своих траекториях обозначены буквами С1, С" , F 1, F n Они со­
ответствуют крайним «м ертвы м » положениям, которые так­
же можно найти построениями: положение С' — пересечение
Рис. 3.13
траектории ol^ — а 2 дугой радиуса 1дс' — l\ + I2 с центром
в точке Л; положение Сп — пересечение той же траектории
0.2 - 0-2 дугой радиусом 1а с п = h — h с центром в точке Л;
положения F 1 и F " соответствуют точкам С 7 и С7', В1 и 5 "
Растояние F'.F" определяет ход Нр выходного звена 5 от­
носительно стойки 6 в масштабе длины. Угол /З3 = I F 1D F 11
поворота кулисы 3 называют угловым ходом.
При построении планов механизмов, имеющих трехповод­
ковые группы, также используется метод пересечения двух
траекторий относительного движения (способ засечек), при­
чем одна из траекторий может быть шатунной кривой по от­
ношению к системе, связанной с ведущим звеном. Иногда этот
способ называют способом ложных положений. Особенности
этого способа показаны на примере построения плана восьми­
звенного кулисного механизма, приведенного на рис. 3.13.
В этом механизме с одной степенью свободы начальным
является звено 7, к которому в точках В и С присоединены
звенья 2 и 3. Эти звенья являются поводками трехповодковой
группы с базисным звеном 4- Звено 5 является третьим по­
водком в этой группе. Звенья 6 и 7 образуют двухповодковую
группу стойка — звено 8.
Для нахождения положения звеньев трехповодковой груп­
пы используют методику, заключающуюся в следующем.
Начальное звено 1 поворачивают на некоторый угол
и находят положения точек В{ и С{ на дуговых траекториях,
описываемых этими точками относительно точки Л. Точка jF,
соединяющая поводок 5 и базисное звено 4>описывает относи­
тельно точки М дуговую траекторию радиусом 1рм- Однако
найти положение точки F на этой дуговой траектории непо­
средственно способом засечек не удается. Поэтому необходи­
мо провести дополнительное построение, связанное с нахожде­
нием траектории точки F относительно начального звена 1 в
фиксированной позиции («замороженное» состояние). В этом
относительном движении точка D описывает дуговую траек­
торию /3-0 радиусом IDiBi >а точка Е — дуговую траекторию
7 - 7 радиусом IsiCiЗадавшись рядом положений точки D x на траектории
(3 - (3, на траектории 7 - 7 способом засечек радиусом Iq e
находят соответствующие положения точки Е{ и строят тра­
екторию а - а , описываемую точкой F при этом относительном
движении звена 4 по отношению к начальному звену 1 в фик­
сированной позиции. Пересечение траектории а — а точки F
в относительном движении («ложной траектории») с возмож­
ной траекторией точки F по дуге окружности радиусом Iе м
определяет искомое положение точки F{ и звена 4 при дан­
ном положении входного звена. Положение звеньев 2, 3 и 4 на
рисунке показано тонкими линиями. Положение звеньев 6 и
7 присоединенной двухповодковой группы определяется спосо­
бом, описанным ранее. Для построения остальных планов ме­
ханизма необходимо провести аналогичные действия для тре­
буемого числа положений начального звена 1.
При определении кинематических характеристик механиз­
мов с высшими парами (например, кулачковых) приходится
учитывать, что профили или один из профилей имеют сложные
очертания (рис. 3.14). Координаты точек профиля обычно за­
даются графически или в табличной форме. Вычерчивание ря­
да положений подобного профиля затруднено. Наиболее целе­
сообразным оказывается применение метода обращения дви­
жения. Суть этого метода заключается в том, что всему меха­
низму в целом придают вращение с угловой скоростью, равной
по модулю, но противоположной по направлению, того зве­
на, которое необходимо сделать неподвижным. Следователь­
но, подвижное начальное звено 1, имеющее сложный профиль,
условно считают неподвижным, а стойку 4 вращают в противоположном направлении с угловой скоростью
( 1)
= —<
j}\
Рис. 3.14
(см. рис. 3.14). Такое движение механизма называют обращен­
ным движением звеньев по отношению к начальному звену 1.
Относительное положение всех звеньев, в том числе входдого и выходного, при обращении движения не изменяется.
Пример использования метода обращения движения для по­
строения планов положения показан для кулачкового механиз­
ма с дисковым кулачком и вращающимся роликовым толка­
телем (рис. 3.14, а). Стойке АС (звено 4) сообщают относи­
тельное движение с угловой скоростью —и>\ и на окружности
радиусом АС размечают ряд положений точки С: 1 , 2 , 3,
оси вращения толкателя, характеризуемые углами поворота
^оь ^ 1 2 ) ^23>
между смежными положениями или углами
</?0 1 , ^ 0 2 ? <^оз> •••, отсчитываемыми от начального положения
стойки АС.
Ролик 2 радиусом Rp при относительном движении обка­
тывается по конструктивному профилю кулачка, а его ось В
(центр окружности) описывает кривую, называемую центро­
вым профилем, показанную на рисунке тонкой линией. Поло­
жения осей ролика для размеченных положений механизма на­
ходят с помощью засечек на центровом профиле дугами ради­
усом, равным длине толкателя 1вс> и обозначают их цифрами
с верхним индексом 1;, 2', 3;, 4;,
Точки пересечения этих дуг с окружностью радиусом
R q + Rp обозначают цифрами 1 , 2 , 3,
Длина дуг 11/, 227,
337,
равна перемещению Sв оси В ролика относительно на­
чального положения механизма и пропорциональна углам от­
носительного поворота толкателя, равным (5\ - А), /?2 ^ Ль
/?3 - Ль
Измерение углов поворота толкателя 2 или соот­
ветствующих длин дуг, описываемых осью В ролика, позволя­
ет построить графики, характеризующие изменение функций
положения Sв(ф1) или PiVl) в зависимости от угловой коор­
динаты (pi начального звена (рис. 3.14, б).
Применение изложенных выше приемов кинематического
исследования двухповодковых групп рассмотрено ниже на при­
мере шестизвенного кулисного механизма (см. рис. 3.12, а, б),
используемого в разных технологических машинах.
Пусть начальное звено 1 механизма совершает вращатель­
ное движение относительно оси А с заданными угловой скоро­
стью и 1 и угловым ускорением е. Для положения начального
звена 1, определяемого угловой координатой
можно найти
скорость vb = и\1в а точки В и ускорения:
нормальное а^ = и\1в а — V\^BA\
касательное аТ
в = е\ 1в а На планах скоростей
(см. рис. 3.12, в) и ускорений
(см. рис. 3.12, г) эти векторы изображают отрезками, напра­
вление и длина которых соответствует физическим величинам
pc = fivVB\ Р'Ь" = цайв', Ь"Ь'= цаагВ -
Единицы СИ масштабов: [fiv\ = мм/(м с- 1 ) и [fia] =
= мм/(м с” 2), а их числовое значение выбирают с учетом
размеров поля на чертеже, отведенного для построения и тре­
буемой точности расчетов. Чем больше размеры отрезков, тем
более точными будут результаты графических вычислений и
построений.
Звенья 2 к 3 образуют двухповодковую группу, присоеди­
ненную одним концевым шарниром в точке В к начальному
звену 1 и вторым концевым шарниром в точке D — к стой­
ке 6. Промежуточная кинематическая пара в точке С является
вращательной, она соединяет два звена: 2 и 5. По теореме о
плоском движении этих звеньев записывают следующие век­
торные уравнения:
для определения скоростей
УС =
УВ +
УСВ\
УС ~
УР
+
у
CD
-
VCD
>
vjy = 0, так как ось D неподвижна;
для определения ускорения
аС =
+
^ с в
+
tfcB j
^с
=
ар +
адр
+
^С Р '
здесь ajr) = 0 .
Векторы относительных скоростей усв и уCD направле­
ны по касательным к траекториям относительного движения,
т е. у с в ^В С ; vgpA-CD.
Числовые значения нормальных ускорений “ СВ и °CD
определяются с учетом скоростей и радиусов кривизны тра­
екторий движения точек:
аСВ = усв/1св>
aCD =
vc d !^c d -
Векторы нормальных ускорений направлены по нормали
к центру кривизны соответствующей траектории относитель­
ного движения точек. Векторы касательных ускорений аСВ и
ае р направлены по касательным к траекториям относитель­
ного движения. Следовательно, * £ B\\CB;a{.BL C B -,a tD\\CD-,
a cv^ C D .
Графическое решение записанных выше векторных урав­
нений приведено в виде плана скоростей (см. рис. 3 . 1 2 , б) и
плана ускорения (см. рис. 3.12, г).
Искомые величины параметров
отношениями
vq
= pc/Pv]
vq и
а с определяются со­
ас = р'с'/ца■
К звену 2 рассматриваемого механизма присоединена вто­
рая двухповодковая группа, составленная из звеньев 4 и 5,
образующих между собой вращательную пару в точке F. Звено
4 образует со звеном 3 поступательную кинематическую пару.
Звено 5 со стойкой 6 также образует поступательную кинема­
тическую пару. Наличие этих связей определяет относитель­
ное движение звеньев: ползун 5 движется вдоль направляющей
стойки 6, а звено 4 может скользить относительно направля­
ющей ED на звене 3 , совершающей вращательное движение
относительно оси D.
При составлении векторных уравнений для двухповодко­
вой группы из звеньев 4 и 5 рассматривают сложное движение
ползуна 4, т.е. движение точки F на звене 4 относительно
точки Е на звене 3, положение которых в рассматриваемый
момент совпадает. Для этих двух точек F± и £ 3 , принадлежа­
щих разным звеньям, записывают следующие векторные урав­
нения:
для определения скоростей
= VEZ + VF4E3 или VF = VE + VFE\
для определения ускорений
a F
Здесь Tipg =
ное.
=
0,
&р_
—
+
а ,Т
£
+
d p s
+
d p E
^ F E ’
так как относительное движение поступатель­
При построении плана скоростей скорость точки Е опре­
деляют по соотношению V£ = vq + vec или из подобия фигур:
Арсе r\J A D C E .
При построении плана ускорений ускорение точки Е опре­
деляют по подобию фигур на схеме механизма и на плане уско­
рений: Ар'с'е' ~ Д D C E .
Решение векторного уравнения для определения скоростей
приведено на рис. 3 . 1 2 , в.
Вектор е / проведен параллельно линии D E , а вектор р /
— параллельно направляющей стойки 6. Искомая скорость vр
точки F определяется соотношением
Скорость vpp точки F звена 4 относительно точки Е звена
3 находят из соотношения v p p = e / / p u.
Угловые скорости звеньев 3 и 2 вычисляют, используя со­
отношения
_
vc
_ pc/muv _
щ
/ р с\
~ lCD ~ C D /рч ~ pv \ C D ) ’
sgnw3 =
—1
2
(по ходу часовой стрелки);
_ VCB _ bcjpv _ Р± f be \
1ВС
В С /щ
pv \В С ) ’
sgnu>2 = + 1 (против хода часовой стрелки).
Векторные уравнения для определения ускорений следую­
щие:
тгП
I
__
— 71
I
— 71
I
— Г
.
Qc + Qc - а д + ас в + ас в >
аТ
р = ар + йрр + ар р + ар£)
где арр =
0
. Их решение приведено на рис. 3.12, г.
Вектор j/c" параллелен линии CD , его длина определе­
на по соотношению р'с" = раа^. Вектор с1с" направлен пер­
пендикулярно линии D C, & его длина определяется решением
векторного уравнения. Векторы р'Ь" = р аа% и Ь"Ь' = РаАр
проводят параллельно и перпендикулярно звену В А соответ­
ственно с учетом направления углового ускорения Е\. Д л я ре­
шения первого уравнения к вектору pfV = раИр прибавляют
вектор Ь'с* = p aaQQ и вектор с*с1, длина которого находится
из построения. Точка с1представляет собой точку пересечения
двух векторов, пропорциональных а£,р и clq, известных по на­
правлению, но неизвестных по величине. Искомое ускорение
ЪС = Р'с'/РаУскорение точки Е находят из подобия треугольников по
схеме механизма и на плане ускорений: ДC D E ~ Ас'р'е'
Векторное уравнение для определения ускорения точки F
на ползуне 4 и ползуне 5 в правой части содержит два вектора,
известных по величине и направлению: р'с' = ра^Е и е' f* =
= Цаае е ' и один вектор / * / ' = РайрЕ' напРавление которого
параллельно линии ED.
Ускорение а^рр вычисляют по соотношению
ОрЕ = 2^е XVr =
2 cJ3
X Vpp.
Точку / ' на плане ускорений получают как точку пересе­
чения векторов р1/ ' и / * / ' , известных по направлению. Иско­
мое ускорение точки F записывают в виде
ар = Р // //МаУскорения центров масс ^ 2 ,
6 5 звеньев 2, 3, 5, находят
по методу подобия фигур и пропорционального деления отрез­
ков векторов ускорения точек в относительном движении и на
схеме механизма, например:
Vs^ =
пи
и Й£ 2 =
или Acs^e* ~ A C S 3 E.
На рис. 3.12, г показана только одна сторона c V треуголь­
ника а£ 3 = p's^/pa.
Звено 5 совершает поступательное движение, следова­
тельно,
aS5 = “ F = Р 1Г/ИаУгловые ускорения звеньев находят по соотношениям
т
щ с*с*
£2 - ас в / 1 с в - — “Б77; sgn £2 = + 1 ;
-
Ра
и; С*с'
£3 = “ c / ' z > c = - ^
;
sg n c3 = +
1.
При кинематическом исследовании механизмов с трехпо­
водковыми группами, состоящими из базисного звена и трех
поводков, уравнения, составленные для произвольно выбран­
ных точек, непосредственно решить нельзя. Поэтому выби­
рают на базисном звене 3 точки, которые получили название
Рис. 3.15
особых (рис. 3.15, а). Они находятся на пересечении осевых ли­
ний двух поводков или перпендикуляров к осям ползунов. На­
пример, особая точка W находится на пересечении линии ЕН
поводка 5 и перпендикуляра W B к направляющей ED ползуна
2 (второй поводок) (см. рис. 3.15, а). Значит, для каждой трех­
поводковой группы на базисном звене существуют три особые
точки. На рис. 3.15, а особые точки обозначены буквами 1У, W 1,
и W n При кинематическом анализе достаточно найти параме­
тры только одной особой точки, например W Смысл выбора
этих точек, например W , заключается в том, чтобы добиться
одинакового направления скоростей относительного движения
двух точек, для которых записывается векторное уравнение.
Например, направление скорости v q q д л я звена 2 совпадает с
v c w Для базисного звена или направление скорости vjje Для
поводка 5 совпадает с v gw Для базисного звена.
Проанализируем уравнение сложения скоростей:
vc =
vb
+ УСВ-
В соответствии с теоремой о плоскопараллельном движе­
нии базисного звена 3 составляют уравнения скоростей для
особой точки W :
vw — Ус + Ууус — VJ3 + VCB + VWC >
vw = VE_ + VWCВ этих уравнениях совпадают направления векторов ус В и
v w c (перпендикулярно линии Е В ) и векторов vj? и у\уе (пер­
пендикулярно H E W ).
Приравнивая правые части, получают уравнение
vw = v_B_ + VQВ + VWC — VE + VWEЭто векторное уравнение, хотя и содержит четыре неизвестные
величины, позволяет определить вектор У\у скорости особой
точки W , так как в левой и правой частях уравнения векто­
ры vqq и vwCi а также У£ и v\yЕ попарно имеют совпада­
ющие направления. Решение векторного уравнения приведе­
но на плане скоростей (рис. 3.15, б) в виде Apbw со сторонами
pb = flyvB ; pw = fiv(vE + VWE)\ bw = fiyjvcB + v~wc)Отрезок pw пропорционален скорости v\y точки W , при­
надлежащей базисному звену 3: pw — р ууцг. Для нахождения
скорости точки D составляют векторное уравнение:
Ур = Щ/__ +
у\УР'
Здесь скорость точки D направлена вдоль направляющей а —а
звена 4) а относительная скорость vy/p — перпендикулярно
линии W D . Решение этого векторного уравнения приведено на
плане скоростей (рис. 3.15, б) в виде Apdw: dw L D W ; pd\\aa.
Искомая скорость vp = pd/pv.
Скорости остальных точек базисного звена (например, С
и Е) легко найти, используя метод подобия фигур (Awde ~
A W D E и Awed ~ W C D ) или метод пропорционального деле­
ния отрезков (de/ec = D E /E C ).
Аналогичные рассуждения и построения выполняют для
определения ускорений точек в механизме с трехповодковой
группой.
Ниже приведены необходимые соотношения:
аВ = ы Ь в А ; аВ = £ 11ВА\
аС =
+ ^ св-
Последнее уравнение содержит три неизвестных параметра,
так как а[-.д = 0 .
Для особой точки W записывают систему уравнений:
aW — ав + aWE + aWE = ^Е_ + aWE + ^Е_ + аи/Д)
аУУ =
0( 7
+
+ а|у^ = ад + а^д + ауус + аСВ + aWC-
Учитывают, что ад||а^д и а£д||а^С’ и, приравнивая
правые части уравнений, имеют
"*■
+
& w c
+
аС В
+
aW C
=
+ °УК£ +
аЕ
+
aW E
’
в этом уравнении две пары векторов имеют совпадающие направления, что позволяет найти ускорение aw особой точки
W: aw = j/w'/na (рис. 3.15, в).
Далее находят ускорения остальных точек, записав и ре­
шив векторные уравнения:
ад = &W_ + ад РУ' + ^DWj
аЕ + аЕ - ар + а%р + а д д Искомые значения касательных ускорений точек D и Е
вычисляют по длине соответствующих отрезков на плане уско­
рений (см. рис. 3.15, в) с учетом масштаба построения:
ад = tfd'/iia\ ат
Е = е"е'/Ца’, ад = р'е'/МаО пределение кин ем ати чески х п ер едаточн ы х ф унк­
ций граф ическим м етодом . При построении планов скоро­
стей и ускорений, рассмотренных в этой главе, исходили из
предположения, что известен закон изменения обобщенных ко­
ординат механизма во времени. Для механизма с одной степе­
нью свободы {W = 1 ) полагали заданными значения угловой
скорости и\ и углового ускорения £1 . В том случае, когда эти
величины на определенной стадии проектирования машины
еще являются неизвестными, используют планы возможных
и
^Ч 1 гэ
Ьц
См
с к о р о с т е й и в о з м о ж н ы х у с к о р е н и й (при условии, что
= 0 ).
Графические построения аналогичны рассмотренным, но чис­
ловые значения масштабов p v и р а планов скоростей и планов
ускорений неизвестны. Это не является препятствием для вы­
числения п е р е д а т о ч н ы х к и н е м а т и ч е с к и х ф у н к ц и й , являющих­
ся отношениями кинематических параметров для выходного и
входного звеньев. Такие параметры не зависят от масшта­
бов графических построений, в чем легко убедиться на анализе
примеров, рассмотренных ранее.
Например, для механизма транспортера, изображенного
на рис. 3.12, а, передаточные кинематические функции скоро­
сти движения отдельных точек и звеньев определяются из сле­
дующих соотношений.
Передаточные функции скорости точек F, 5 2 , 5з имеют
вид
VF
_ l
P f /P v
_
l Р* v В I 1В А
_
VS2
h
В А Р Ь /Ц у
_
VS 2
_
i
Vs 2
.
pb
’
p b ’
v qS2
UI
v b
/I
b a
,
VS3
v qS3
= —
w\
Ps 3
*1 ~p rb
=
-
Передаточные отношения угловых скоростей звеньев 1, 2
и 3 определяют следующим образом:
_
^2
_ УСВ/1СВ _ ^ВА be _ J_ Ьс,
^1
v B / lB A
_
^2
I C B Pb
pb
’
_ v c / h p _ J_
v i
v b
/ 1b
a
pb
’
где li = lBA; a 2 = h/h - 1в с /1в а \^з = ^з/^i = l p c / h •
Аналогичные выкладки проводят и для передаточных
функций ускорения движения точек и звеньев в предположе­
нии, что касательное ускорение входного звена равно нулю. Из
приведенных соотношений видно, что передаточные кинема­
тические функции выражены через отношения отрезков. При
изменении масштаба построения длина отрезков может изме­
няться, но это не окажет влияния на их отношение, т.е. на
числовое значение передаточных функций.
3.7. Кинематические характеристики
плоских механизмов с высшими парами
Передаточные кинематические функции механизмов с
высшими парами определяют несколькими методами в зави­
симости от поставленной задачи.
М етод ц ен тр ои д. Для образования простейшего меха­
низма с высшей парой достаточно присоединить звено к одно­
му начальному звену и стойке (рис. 3.16, а) или к двум началь­
ным звеньям (рис. 3.16, б). В первом случае получают трех­
звенный механизм с одной степенью свободы (п = 2; рн = 2;
Ръ — 1):
Wn = Зп - 2рн —Рн = 3- 2 - 2- 2 — 1 = 1.
Во втором случае планетарный механизм имеет две сте­
пени свободы (п = 3; рн = 3; рв = 1):
Wn = Зп —2рн —рв = 3*3 — 2 * 3 - 1 = 2.
Неподвижной центроидой называют геометрическое мес­
то мгновенных центров вращения движущейся плоской фигу­
ры в неподвижной плоскости. Подвижной центроидой назы­
вают геометрическое место мгновенных центров вращения в
плоскости, связанной с движущейся плоской фигурой. При
движении плоской фигуры в ее плоскости подвижная центрои­
да катится без скольжения по неподвижной, т.е. длины соот­
ветствующих дуг неподвижной и подвижной центроид равны.
Обратная теорема о центроидах гласит, что всякое движение
плоской фигуры в ее плоскости можно осуществить путем ка­
чения без скольжения подвижной центроиды по неподвижной
с соответствующей в каждый данный момент угловой скоро­
стью.
5 - 11273
Мгновенный центр скоростей Р является точкой плоской
фигуры, скорость которой в данный момент равна нулю. Он
определяется как точка пересечения перпендикуляров, восста­
новленных из любых двух точек фигуры к векторам скоростей
этих точек.
В каждый момент времени с мгновенным центром скоро­
стей совпадает мгновенный центр вращения — точка непо­
движной плоскости, поворотом вокруг которой плоская фигура
перемещается из данного положения в положение, бесконечно
близкое к данному. Метод центроид наиболее часто использу­
ют применительно к передаче вращательного движения между
звеньями с параллельными осями. Отношение угловых скоро­
стей звеньев 1 к 2 является функцией обобщенной координа­
ты <р\:
и>1
d(pi/dt
и 12 = —
= u u fa l)dtp2/dt
U2
На рис. 3.16, а показаны звенья 1 и 2, вращающиеся от­
носительно осей Л и С и образующие между собой высшую
кинематическую пару В в точке контакта (К\ и К 2 — точки
звеньев 1 и 2 соответственно). Найдем центроиды как геомет­
рические места мгновенных центров вращения и мгновенных
центров скоростей.
По отношению к звену 1 звено 2 имеет сложное движе­
ние (см. рис. 3.16, б). Однако, используя метод обращения дви­
жения, можно указать направление относительных скоростей
точек С и К 2 относительно точек неподвижного звена 1] ско­
рость vqa точки С относительно оси А перпендикулярна меж­
осевому расстоянию АС, а точка К 2 в данный момент имеет
скорость vK2_ Kl скольжения, направленную вдоль общей ка­
сательной t — t к соприкасающимся профилям. Мгновенный
центр скоростей Р звена 2 в относительном движении (при
неподвижном звене 1) находится как точка пересечения двух
перпендикуляров к скоростям этих точек. Иначе: мгновенный
центр скоростей Р звена 2 и совпадающий с ним мгновенный
центр вращения в относительном движении находятся в точ­
ке пересечения межосевого расстояния АС и общей нормали
п — п к профилям, проведенным в общей контактной точке К
(К 1 и К 2).
Скорость относительного движения звеньев в точке Р рав­
на нулю, т.е. v \2 — vpi — vp 2 = 0, где vpi и vp 2 — век­
торы скоростей точек Р\ и Р2 при вращении их вокруг осей
А и С соответственно. Значит, можно записать равенство:
\u\PA\ = \u2 PC\y из которого следует, что
«12 = Ы / Ы = P C /РА.
Мгновенный центр скоростей — точку Р — называют по­
люсом зацепления. Термин «зацепление» в данном случае
является синонимом термина «высшая пара». Зубчатым за­
цеплением называют процесс передачи движения поверхностя­
ми звеньев высшей пары, которые при последовательном взаи­
модействии зубьев обеспечивают требуемый закон их относи­
тельного движения.
В ряде случаев оси вращения обозначают буквами О с ин­
дексами 1 и 2: Oi и О 2 (рис. 3.17). При таких обозначениях
соотношение для U12 записывают в виде
«12
(3.38)
= |wi|/|u>2 |= T P O 2 /PO 1 .
п
в
г
Рис. 3.17
Следовательно, полюс зацепления Р звеньев 1 и 2 в от­
носительном движении расположен на межосевой линии АС
(см. рис. 3.16, а) или 0\0ч (рис. 3.17, а) и делит межосевое
расстояние на отрезки АР(РО \) и Р С (Р 0 2 ), отношение кото­
рых обратно пропорционально отношению мгновенных угло­
вых скоростей звеньев (в том числе зубчатых колес). Если по­
люс зацепления Р расположен между осями 0 [ и О 2 , то звенья
вращаются в разных направлениях, т.е. и \2 имеет знак ми­
нус, а зацепление называют внешним (см. рис. 3.17, а). Если
полюс зацепления Р находится вне отрезка O 1 O 2 , то звенья
вращаются в одинаковом направлении и передаточное отноше­
ние и \2 имеет знак плюс, а зацепление называют внутренним
(рис. 3.17, б).
Скорость скольжения vCK профилей в относительном дви­
жении определяется соотношением
v = U2 \Ik p = 1к р ( ш1 Т ^г).
Обозначим межосевое расстояние А С ( 0 \0 2 ) через aw, а
расстояние полюса зацепления Р до осей А ( 0 1 ) и С ( 0 2 ) —
через rwl и rw2.
Тогда
_
_
РО 2
r w2
dw “F Tw\
rwl
(3.39)
или радиусы центроид
dw
u 12
(3.40)
«12 T 1
=F 1 *
Если передаточное отношение u \2 постоянно, то радиусы
центроид rwi и r w2 также постоянны. Следовательно, при пе­
редаче вращательного движения звеньями, оси которых парал­
лельны с постоянным межосевым расстоянием (aw = const) и
постоянным передаточным отношением (и \2 = const) центро­
иды являются окружностями. В теории зацеплений их назы­
вают начальными окружностями.
Расположение начальных окружностей для внешнего (см.
рис. 3.17, а),
внутреннего (см. рис. 3.17,6) и реечного
(рис. 3.17, в) зацеплений с постоянными передаточными отно­
шениями показано на рис. 3.17.
rw1 —
«12
Гm2 — dw
Если передаточное отношение Щ2 переменно, то радиусы
центроид (рис. 3.17, г) являются переменными и их находят из
следующих соотношений:
для колеса 1
Q>w
wl
«12
T
aw
1
« 1 2 (^ 1 ) T l ’
для колеса 2
_
Тw2
_ .
—
aw
иП
T
«12
7
1
« 12 (y i)
aU' « 1 2 (¥’ l ) T l ’
¥>2
=
/
« 1 2 (^ 1 )
Угол ip1 наклона общей касательной к центроидам в точке их касания относительно радиус-вектора rw\ определяется
как угол наклона касательной к кривой, заданной в полярных
координатах:
*8 *
d r widcpi
=dui2/d(pi
<з -
Если некоторые звенья механизма участвуют в сложном
движении, состоящем из суммы двух вращательных движений,
то для определения передаточных отношений можно восполь­
зоваться методом обращения движения.
На рис. 3.18, а изображены центроиды колес 1 и 2 зубчато­
го планетарного дифференциального механизма с водилом Я .
Колесо 2 участвует в двух вращениях: в переносном вместе с
водилом Я со скоростью и д и в относительном вокруг своей
собственной оси со скоростью
, называемой относительной
угловой скоростью.
Сообщим всем звеньям механизма вращения со скоростью,
равной по модулю и противоположной по направлению угло­
вой скорости водила Я , т.е. сообщим механизму угловую ско­
рость —и # (рис. 3.18, б). При таком обращении движения во­
дило можно условно рассматривать неподвижным, колесо 1 —
вращающимся вокруг неподвижной оси А с угловой скоростью
(u>i - и д ) , а колесо 2 — вращающимся вокруг неподвижной
оси В с угловой скоростью (Ш2 —ЧйО*
б
Рис. 3.18
Учитывая соотношения (3.39) между угловыми скоростя­
ми и радиусами центроид, находят соотношения, определяю­
щие связь между угловыми скоростями и радиусами центроид
планетарных зубчатых колес 1 и 2 :
(3.42)
Знак минус относится к внешнему зацеплению, плюс — к внут­
реннему. Это соотношение называют формулой Виллиса.
Т реугол ьники ск ор остей для з у б ч а ты х механиз­
мов. Для исследования зубчатых механизмов, особенно мно­
горядных планетарных редукторов и дифференциалов, проф.
МГТУ им. Н.Э. Баумана Л.П. Смирнов предложил использо­
вать графический метод.
На рис. 3.19, а показана схема планетарного редуктора, с
помощью которого вращательное движение центрального ко­
леса 1 преобразуется во вращательное движение двух валов 6 и
Я , вращающихся в противоположных направлениях. Предста­
вление о распределении скоростей точек получают с помощью
треугольников скоростей (рис. 3.19, б). Вектор скорости точки
А изображается в виде отрезка А А 1 = p vv ^ а распределение
скоростей точек — радиальной прямой колеса 1 : наклонным
лучом 0 А\ проходящим через точки А' и О под углом
к
линии отсчета углов. Прямую А 1С В 1 распределения скоростей
точек колес 2, 3, 5, объединенных в блок (сателлит), прово­
дят через точки А 1 и С (С 1), так как через точку С проходит
ось мгновенного вращения сателлита, поскольку колесо 4 не­
подвижно, сателлит совершает сложное движение: вращение с
в
Рис. 3.19
водилом Я вокруг оси 0 0 и вокруг оси В. Отрезок В В 1 между
линией отчета и прямой распределения скоростей пропорцио­
нален скорости оси В сателлита. Для водила Н прямая В'О
распределения линейных скоростей проходит через точку В 1 и
ось вращения О под углом фц. Линейная скорость точки D —
полюса зацепления колес 5 и 6 — изображается отрезком D D 1
Для получения наглядной картины об угловых скоростях
и частотах вращения зубчатых колес выбирают общую точку
О (рис. 3.19, в), через которую проводят пучок лучей, парал­
лельных соответствующим прямым распределения скоростей,
т.е. лучей с углами наклона ф\, фч> Фн> Фб- Если этот пучок
лучей пересечь какой-либо прямой, перпендикулярной линии
отсчета линейных скоростей, то можно отметить точки пере­
сечения 1 , 2, Я , 6 и отрезки 0 1 , 0 2 , ОН, 0 6 , отсчитываемые от
начала отсчета О. Нетрудно показать, что эти отрезки пропор­
циональны частоте вращения и угловой скорости соответству­
ющих зубчатых колес. Записывают следующие соотношения:
О А
уа
1
w l\
—
rw1
т.е. 01 = Ци,и\.
а а
'/ цу
о а /щ
А А
—
^А
—
т о
~ ць gV l ~ fiv о о
1
о 1
it* ’
(3.43)
Аналогично
ОН =
<36 = // 0,0 *6 ; 0 2 = //о,о*2 ,
где //о, = {iiv/m ) 0 0 — масштаб угловой скорости; [//ы] =
= мм/(рад •с""1) — единица СИ масштаба угловой скорости.
Так как между частотой вращения п\ (с- 1 ) и угловой ско­
ростью
(рад/с) существует соотношение и\ = 27rni, то
щ = o*i / ( 2 tt) =
0 1
/ ( 2717/ 0,) =
0 1
//zn,
где //п = 27г//о, — масштаб частоты вращения; [//п] = м м /с-1
— единица СИ масштаба частоты вращения.
Передаточные отношения определяют из соотношений
г/ б1 =
cj6M
= t g ^ e /t g ^ l = 0 6 /0 1 ;
^71 - ^ 7 / ^ 1 = ЬёФн tg ^ i = ОН /01.
На линии частот вращения зубчатых колес обычно для
наглядности наносят шкалу (см. рис. 3.19, б).
При проектировании сложных зубчатых механизмов, на­
пример коробки передач (рис. 3.20, а), проводят последова­
тельные построения, а результаты представляют в виде со­
вокупности нескольких линий частот вращения для разных
валов, например А , 5 , С.
На рис. 3.20, а приведена схе­
ма шестиступенчатой коробки передач, состоящей из подвиж­
ного блока колес г 1 , Z2 , z 3 на. валу А, подвижного блока
колес Z7 , zg на валу В, колес Z4 , Z5 , zg, закрепленных на валу
Б, и колес zg, zio, закрепленных на валу С.
При проектировании подобных механизмов частота вра­
щения выходного вала С должна изменяться в требуемых пре­
делах по заданному закону, что и отражается в форме графика
— «лучевой диаграммы». На рис. 3.20, б изображен один из
таких графиков, показывающий изменение частоты вращения
вала С в пределах от пс\ = 1 0 0 мин” 1 до riQg = 400 об/мин с
последовательностью частот вращения по закону геометриче­
ской прогрессии с заданным знаменателем прогрессии v^lo =
= 1,25. Шкалу частот вращения принимают логарифмической
с постоянной длиной отрезков между соседними значениями
неравномерной шкалы.
М етод зам еняю щ их р ы ч аж н ы х механизмов.
В
плоских механизмах высшая кинематическая пара образует­
ся путем касания двух кривых, по которым очерчены со­
прикасающиеся элементы звеньев, образующих эту пару (см.
рис. 3.16, а). В частном случае один из элементов пары может
быть точкой.
Для каждой из соприкасающихся кривых в точке контакта
К можно найти радиусы кривизны и центры кривизны. Оба
центра кривизны и контактная точка расположены на общей
прямой, являющейся нормалью п — п к соприкасающимся кри­
вым. Профиль на плоскости может быть заменен в любой его
точке кругом кривизны, т.е. окружностью, которая проходит
через точку и две другие близкие точки кривой. Кривизна
окружности эквивалентна самой кривой до производных вто­
рого порядка включительно. При смене контактной точки двух
кривых с переменной кривизной центры кривизны и радиусы
кривизны меняются. Если же кривизна кривых остается не­
изменной, то положение центров кривизны относительно соот­
ветствующих звеньев и радиусы кривизны остаются постоян­
ными. Это обстоятельство позволяет заменять механизмы с
высшими кинематическими парами эквивалентными механиз­
мами с низшими кинематическими парами. Такие механизмы
называют заменяющими рычажными механизмами. Они экви­
валентны в кинематическом смысле механизму с высшими па­
рами до производных второго порядка включительно.
Рис. 3.21
Для образования заменяющего механизма любую высшую
кинематическую пару заменяют одним звеном (например, зве­
ном ВС на рис. 3.21, а), длина которого равна сумме радиусов
кривизны элементов кинематической пары ( } в с — -®1 + -#2 ),
и двумя низшими кинематическими парами. Вращательные
кинематические пары В и С при замене высшей кинематиче­
ской пары располагают в центрах кривизны соприкасающих­
ся профилей (см. рис. 3.21, а). Если радиус кривизны одного
из элементов равен бесконечности (прямая линия на звене 3
(рис. 3.21,6) и на звене 1 (рис. 3.21, в)), то заменяющим зве­
ном является ползун 2 , направляющая 7 7 которого параллель­
на прямой линии профиля и проходит со смещением а (а = R
на рис. 3.21, б; а = Rp на рис. 3.21, в) через центр кривизны В
другого профиля.
Если радиус кривизны одного из элементов равен нулю
(заострение), то длина заменяющего звена равна радиусу кри­
визны второго профиля. Если радиус кривизны одного из эле­
ментов равен нулю, а другого — бесконечности (прямая ли­
ния), то заменяющим звеном является ползун, направляющая
которого совпадает с профилем и проходит через контактную
точку. Для заменяющих механизмов определяют кинематиче­
ские характеристики изложенными ранее методами.
3.8. Кинематические характеристики
пространственных механизмов
Наибольшее применение для определения кинематических
характеристик пространственных рычажных механизмов в
аналитической форме находят два метода: метод преобразова­
ния координат и геометрический метод, который заключатся
в последовательном проецировании кинематической схемы на
ряд плоскостей с последующим определением неизвестных ве­
личин с помощью тригонометрических формул. Первый метод
наиболее целесообразно применять для открытых кинематиче­
ских цепей со многими степенями свободы (например, механиз­
мов роботов и манипуляторов), а второй — для более простых
механизмов с одной степенью свободы. Одним из таких ме­
ханизмов является универсальный шарнир, применяемый для
передачи вращательного движения от ведущего вала 1 к ведо­
мому валу 5, оси которых расположены под углом (рис. 3.22, а,
б, в). На рис. 3.23, а, б, в показан пример конструкции кардан­
ной передачи и деталей одинарного шарнира Гука грузового
автомобиля.
Г еом етр и ч еск и й м етод. Для составления аналитиче­
ских соотношений между углами <pi и у>з звенья механизма
проецируют на три плоскости (см. рис. 3 .2 2 ): на осевую плос­
кость П, с изображением межосевого угла Р без искажения и
на две плоскости
и Пз, которые перпендикулярны соответ­
ственно оси входного звена 1 и выходного звена 3 с изображе­
нием углов поворота
и
без искажения. Углы отсчиты­
ваются от выбранной системы отсчета xyz, связанной со стой­
кой
— от оси O z, <£>з — от оси Оу.
Проекции на разные плоскости точки В, обозначающей
кинематическую пару между входным звеном 1 и крестовиной
2, обозначены
£ 3 . На проекции справа (плоскость Щ )
отрезок В\Въ изображает без искажения расстояние точки В
от осевой плоскости П.
Рис. 3.22
г
д
Рис. 3.23
tgV l = В 1 В*/ВпВ 1.
(3.45)
Угловая координата у?з выходного звена 3 определяет­
ся соотношением (см. проекцию на плоскость Пз слева на
рис. 3.22, б)
tgy >3 = igv 3 = ВпС/ВпВ3.
(3.46)
Углы у?з и <£>з в проекции на плоскость Пз показаны без
искажения, они равны между собой, так как угол между ося­
ми крестовины, равный 7г/2, изображается на проекции также
без искажения. Отрезок В$Вп равен отрезку В\Вп^ посколь­
ку он характеризует расстояние точки В$ от осевой плоскости
П и изображается в проекции на плоскость Пз без искажения.
Учитывая, что ВпВз = ВпВ\, соотношения (3.45) и (3.46) за­
писывают в виде
tg»>3
Ч4>\
( В п С \ / ( В ХВ*\
в пс
шKm ) / Ыщ) ‘ ъ *'
, _
ч
<3'47>
Соотношение между отрезками ВпС и В\В* находят из
&В1 ОВ 3 , изображенного на осевой плоскости П, в котором
угол В\ОВз равен (3 и изображается без искажения:
cos/? = ОВ 3 /ОВ 1 .
(3.48)
Учитывая, что ОВз = ВпС и ОВ\ = В\В*, соотношение
(3.48) записывают в виде
tg V ^ /tg ^ i = BnC/B\B* = OBz/OBi = cos/?,
или окончательно
tgy>3 = tgv^i cos/?.
(3.49)
Угловую скорость и>з выходного звена находят в резуль­
тате дифференцирования:
dtp?
d
ыз = — = -£[arctg(tg<pi cos/?)] =
cos (3
1
+ cos^ (3tg2<pi cos2 щ
XJj = u\
cos /3
ИЛИ CJ3 = D\ "
1 — sin2 /3sin2 <pi
cos (3
cos2 v7! +
(1
— sin2 /?) sin2 (pi ’
cos/?
W3
и 31 = —
1
«1
(3.50)
— sin2 /? sin2 у?
Согласно (3.50), передаточное отношение карданного ме­
ханизма является величиной переменной, изменяющейся в пре­
делах: максимальное значение дзхшах = 1 / cos/? при <рi =
= 0 ;7г;27г; . .. минимальное значение « 3 i min = cos/? при <р\ =
7Г 3
“
’ 2 *'
Среднее значение U31 = 1 , так как за один оборот вход­
ного звена 1 выходное звено 3 совершает также один оборот.
Неравномерность вращения выходного звена 3 оценивают ко­
эффициентом
2
6
= “ Зшах-ЦЗимп
= _L_
U>3
COS /?
_ cos /3 =
cos р
ИЛИ
= sin/? tg/?.
6
(3.51)
При увеличении межосевого угла (3 коэффициент 8 нерав­
номерности вращения возрастает:
/?, градус
6
5
10
0,0076 0,0306
15
20
25
0,0693 0,1245 0,1971
30
35
40
0,2887 0,4016 0,5394
Угловое ускорение выходного звена 3 находят в результате
повторного дифференцирования функции положения:
^3 =
du з
dt
2 cos Р sin23Р%s'm <Pl cos Vl
1 (1 - sin2 /?sin2 (pi)2
или
2
3
cos /3sin2 /? sin 2 <pi
1 (1
(3.52)
- sin2 /?sin2 v?i) 2
Передаточная функция ускорения выходного звена
£3 _
cos (3 sin2 Р sin 2 ipi
(1
(3.53)
- sin2 (3 sin2 tp\ ) 2
На практике для устранения неравномерности движения
выходного вала применяют двойные карданные механизмы
обычно со свободным шлицевым соединением на одном из ва­
лов (промежуточном, ведущем или ведомом) для устранения
контурных избыточных связей (см. рис. 3.23, б, в).
Углы /3\ и /?2 между осями входного и промежуточного
валов выбирают равными: (3\ = /?2 , а вилки на промежуточ­
ном валу располагают в одной плоскости (рис. 3.23, г). При
этих условиях коэффициент 6 неравномерности движения ра­
вен нулю в силу соотношений, которые, используя соотноше­
ния (3.45), (3.46), можно записать для определения передаточ­
ного отношения гх5 1 :
tg<?l = t g ^ c o s f t ;
t g <£>5 = t g c o s @2!
«51 = w5/wi = tg v?5 tg
= cos/?2 /co s /? i =
1.
Интересным случаем является использование неравномер­
ности движения в двойном карданном механизме с простран­
ственной рамой-крестовиной для различных смесителей, обес­
печивающих эффективное перемешивание жидких и сыпучих
сред с разными компонентами (рис. 3.23, д).
Сложное движение пространственного звена 5, с кото­
рым связан сосуд для смешиваемых компонентов, способству­
ет хорошему перемешиванию смеси. При определенных разме­
рах звеньев коэффициент неравномерности движения достига­
ет значений до 1,5 и более. При S > 2 ведомый вал совершает
возвратно-вращательное движение.
М етод планов у гл ов ы х ск ор остей . При исследова­
нии и проектировании пространственных зубчатых и некото­
рых видов рычажных механизмов эффективным является ме­
тод планов угловых скоростей, основанный на решении век­
торных уравнений типа
й72 =
+ £>2 1 .
(3.54)
Уравнение (3.54) решается, если определены направления
векторов и задан закон изменения одного из этих векторов.
Вектор U21 определяет положение мгновенной оси вращения
ОР в относительном движении звеньев, т.е. при вращении зве­
на 2 из данного положения относительно неподвижного звена 1
в положение, бесконечно близкое к данному.
Рассмотрим применение метода на примере планетарного
зубчатого
конического
механизма,
изображенного
на
рис. 3.24, а и состоящего из конических колес zi, Z2 , Z3 , Z4 , z$ и
водила Я . Колеса Z2 и Z5 объединены в общий блок, а колесо
Z3 закреплено на стойке 6 .
Оси мгновенного относительного вращения обозначены
Pi 2 О , Р2 нО> Р23 О и Р5 4 О. Они пересекаются в общей точ­
ке О.
Можно записать следующую систему уравнений:
CJ2 = U i + й>21; Тол = Щ + Тон 25
^ 2 = ^3+^235
иь=& 2\
^4 = ^ 5 + ^ 4 5 i
= ^5 + ^Я5;
^3 =
(3 55)
0.
Систему уравнений можно записать в виде
Ш2 — СО23 = CJi + CJ2 1 Это уравнение решается относительно Т02 и TJ21 с помо­
щью плана угловых скоростей, приведенного на рис. 3.24, б; в
треугольнике
вектор oJi изображен отрезком p i =
вектор CJ21 проведен параллельно оси Р 1 2 О, а вектор Т02 —
параллельно оси Р2 3 О. Длину искомых векторов находят де­
лением длины отрезков р 2 и р 1 2 на масштаб угловой скорости:
и>2 = р 2 /Ци, W21 = 1 2 /цы.
Уравнение То4 = То5 + То45 = й>2 + £745 также решается
графически: вектор (р 4 ) = \1 jrd4 проведен параллельно оси
вращения колеса 4 > вектор ( 2 4 ) = Ри>^45 — параллельно оси
Р54 О.
Модули искомых векторов угловых скоростей находят по
длине отрезков р 4 и 24 в
= р41Ни', ^ 4 5 = Ц/РиУравнение й ц = 0J2 + и н 2 также решается графически
путем построения треугольника р 2 Н.
Модули искомых векторов находят из соотношений соц =
= pH/цш\и Н 2 = 2Н/цш.
Метод планов угловых скоростей целесообразно, напри­
мер, применить к исследованию карданного механизма. За­
писывают систему векторных уравнений, связывающих меж­
ду собой векторы угловых скоростей:
— входного звена,
572 — промежуточного звена (крестовины),
— выходного
звена и векторов относительного вращения U21 и 5723 кресто­
вины 2 относительно звеньев 1 и 3 (рис. 3.25, а):
£>2 — £>1 + £>21; 57з = 572 + £>32?
ИЛИ
и>3 =
^1
+
^21
Рис. 3.25
+ ^32-
В последнем векторном уравнении число неизвестных па­
раметров равно трем, т.е. уравнение решается графическим
построением в трехмерном пространстве (рис. 3.25, б). Дли­
на отрезка ра выбирается так: ра =
длина осталь­
ных отрезков определяется в результате решения: аЪ =
;
be = ршшз2 \рс = рши 3; рЬ =
Функцию положения находят из совместного рассмотре­
ния трех прямоугольных треугольников:
Aebd
tgy>i = tg(p\4 = bd/de\
Acbd : t g ^ = t g <^34 = cd/bd\
Acde
cos (3 = de/dc.
После подстановки имеют
t g <p3 = cd/bd = d
e
= tg<pi cos/?.
Для определения вектора угловой скорости
выполняют
построение в осевой плоскости входного и выходного звеньев и
записывают соотношения между отрезками:
рс = p f + f c = ра cos Р + ad sin /?;
из Aadb ad = ab sin
;
из Aaeb ab = aes\inp\\
из Apca* ae = pc sin/?.
После подстановки имеют
О
о
рс = ра cos (3 + рс sin (3 sin
,
или
cos в
Рс = ра-------.- 2д . 2— •
1 — sinz (3 smz <рi
Так как отрезки рс и ра пропорциональны угловым скоро­
стям и>3 и ц , то можно записать
cos (3
и 3 = U\
1
—sin2 /3sin2 <pi
(3-56)
Угловую скорость u>2 i находят по соотношению
аЪ = pc sin Р sin</?i
или
^21 =
cos (3 sin /3sin
------- . о
• 2----- •
1 - smz (3 sm^ (pi
Соотношение (3.56) идентично соотношению (3.50), полу­
ченному при решении задачи геометрическим методом.
3.9. Метод преобразования декартовых
прямоугольных координат
Задача метода состоит в том, чтобы по координатам про­
извольно выбранной точки Е (или вектора) на каком-либо зве­
не механизма в одной системе координат (например, в локаль­
ной подвижной системе координат, связанной со звеном) найти
координаты этой же точки или вектора в другой системе ко­
ординат (например, в основной системе отсчета, связанной со
стойкой) (рис. 3.26). Формулы, связывающие координаты про­
извольной точки х ^ \
\ z^) в одной системе И 1 ^ , у £ , ^ в
другой системе, называют формулами преобразования декаргповых прямоугольных координат.
Направляющие косинусы осей обозначают следующим
образом.
Относительно системы Ox yz :
ось 0 \ х имеет направляющие косинусы а ц , агь ази
ось 0 \ у ^ имеет направляющие косинусы ai 2 , а2 2 >а32;
ось 0 \ z имеет направляющие косинусы а\з, агз, азз-
Цифровые индексы соответствуют порядковому номеру
оси: 1 — х\ 2 — у; 3 — г; на первом месте в индексе приво­
дится обозначение оси с индексом (г — 1 ) локальной системы
отсчета; на втором месте в индексе обозначение г-й локальной
системы координат.
Относительно системы С Ц ж ^ у^ М 1):
ось Ох имеет направляющие косинусы а ц , ai2, ai3i
ось Оу имеет направляющие косинусы азь a 22> a 23i
ось Oz имеет направляющие косинусы азь аз2 , аззФормулы преобразования имеют следующий вид:
от локальной системы 1 - х (i); 2 - г /1); з - zW к основной
системе отсчета Oxyz
(1) +, a i 3z (y1) +, ®oi;
х Е = а и х (у1) +, а \ 2 У£
УЕ = «21
+ “ 22 У^Е + « 2 3 * ^ + У01\
( 1) ,
( 1) ,
( 3 -57)
( 1) ( 1 ) ,
zE = а3\ х у + а32 УЕ + “ з з ZE + z0 1 i
от основной системы отсчета к локальной
0 \ x^ y^ z^
=
х ^Е
ап ( х Е ~
* 0 l) + «21 ( У Е — 2/0 1 ) +
системе
a n ( z E ~ z 0 l)>
У^Е = а 12(х Е ~ x 0 l ) + 0-22(УЕ _ У01) + «3 2 ( ZE ~ z 0 l) ;
ZE ^ = а 1 з { х Е ~ * 0l ) + «2 3 (УЕ ~ УОг) + «3 3 ( ZE ~ z 0l ) -
Угловые координаты отсчитывают против хода часовой
стрелки от направления соответствующей координатной оси.
Эти соотношения могут быть записаны в матричной фор­
ме:
(
х е
_
УЕ
ZE
1
/ «11
\
)
tz$\
yУе
{1)
«21
«31
о
«12
«22
*01 \
«32
«13
«23
«33
0
0
1 /
У 01
Z 01
(4Л
У^Е
,
(1)
хЕ = ^ 1 0 + ^ е '
ХЕ =
ZF
f
или
+ *oi;
/
«и
«21
«31 \
«12
022
«32 11 { УЕ — У01) I > и л и
«13
«23
<*33 / \ ( ZE ~ z 0 l ) /
f ( x E ~ x 0l ) \
г2
хе
) = Г 01Г£,
= r E~loi-
Рис. 3.27
На рис. 3.27 приведен пример выбора локальных систем
координат для плоского восьмизвенного механизма. Основная
система отсчета Оху связана со стойкой 8 , а семь подвижных
систем координат связаны с соответствующими подвижны­
ми звеньями 1 , . . . , 7. При вычислениях значений кинемати­
ческих параметров механизма с использованием прикладных
программ, основанных на методе преобразования координат,
вводят информацию о координатах характерных точек на зве­
не в локальной системе координат, размерах звеньев, коорди­
натах элементов кинематических пар на стойке и видах ки­
нематических пар. ЭВМ позволяет единообразно выполнять
последовательные преобразования координат и вычислять зна­
чения функций положения звеньев, координат кинематических
пар, центров масс, а также линейные скорости и ускорения за­
данных точек, угловых скоростей и ускорений звеньев.
Подготовка информации для ввода в компьютер преду­
сматривает, например, обозначения кинематической пары (А ,
АР, В, D, С, Е, Р, F, М, М Р ), ее вид (поступательные А Р и
М Р и вращательные — остальные) и номера звеньев, образу­
ющих пару А — ( 8 , 1 ); А Р — ( 1 , 2 ); В — (2, 3); D — (3,4 ); С —
(3, 8 ); Е — (4, 5); Р - (5,8); F - (5, 6); М - (6, 7); М Р (7, 8 ).
Указываются номер стойки (например, 8 ) и обобщенные
параметры движения начального звена или начальной (при­
водной) пары, например h^A =. 0 , 6 8 м; hgA = 2,5м /с; h gA =
= Ю м /с 2
Для каждого звена выбирают локальную систему коорди­
нат, для которой указывают начало координат, координаты
заданных точек, ориентацию оси 0 {Х(*) в поступательной паре
с помощью параметров нормали R и /Зд*.
Для примера механизм, показанный на рис. 3.27, можно
задать следующими значениями параметров звеньев (длины
(м), углы (градус)):
1)
цилиндр .U ХА = УА = 0 ; R = 0; 0R = 270° .>J
ХБ1 = 0 , 2 ;
J !)
Уб 1 = 0 ;
, ( 2) _
поршень а
0 ; R = 0; Hr = 270°; ХБ2 ~ - 0 , 2 ;
(2 )
VS2 = 0 ;
_ J3) _ 0. -(») .
, ( 3 ) -- = 0,15;
звено 3 : х.(3)
= 0 ; XD
В 2 ~ УВ — и> х с = 0,4; J$
„(з) - и,
0 *x
ж(3)
S3 - =0 , 2 ; ^
= 0;
Ул
_
,.(4)
Г)
T.W
х(4) = 0,3;
шатун 4 : XD ~ УИ _
~ " » ХЕ = 0,52; j$ = С’> х54
v(4) = 0 ;
^54
*(«) коромысло 5: х^} =
= 0;
= о; y f = 0,28; х Е = - 0,4 - y f = 0; * | 5 = 0,115 . J3) = 0,096;
>УБЬ
х(6) = 0,4; у{$ = 0;
= У р = СV
'' х м
поводок 6:
(R\
J 6) =
Уб 6
,(6>х56 “- 0,15;
0;
J 7 ) .=
ползун 7: ХМ = Ум = 0 ; R = 0; Pr = 90°; х57
J 7)
Уб 7 = 0 ;
стойка 8 - — основная система отсчета Оху:
x c = УС = 0;
а
= °>4;
у а
R = УМ
=
= - 0 ,1 ;
о ,5 8 ;
хр = -0 ,4 2 ;
0R
=
0,2;
УР = 0,27;
90°
При проведении вычислений без использования приклад­
ных программ метод преобразования координат для плоских
механизмов оказывается более трудоемким по сравнению с ко­
ординатным и векторным способами. Для пространственных
механизмов метод преобразования координат является наибо­
лее приемлемым и с успехом используется при расчете пара­
метров движения роботов и манипуляторов.
1. К а к ое звено в м ехан и зм е н а з ы в а ю т н а ч а л ь н ы м ? И зоб р а зи те н ачал ь­
ны е звенья, д в и ж ен и е к о т о р ы х х а р а к т е р и з у е т с я одной, д ву м я или
т р е м я о б о б щ е н н ы м и к о о р д и н а т а м и м ехан и зм а.
2. Ч т о н а з ы в а ю т к и н ем а ти ч еск и м и п ер ед а точ н ы м и ф ун к ци ям и м еха­
н и зм а ? В к ак и х е д и н и ц ах СИ и зм ер я ю тся п ер ед а точ н ы е ф ункции
с к о р о с т и и у ск о р е н и я ?
3. И зо б р а зи те к и н е м а т и ч е ск у ю сх е м у ш е ст и з в е н н о го р ы ч а ж н о г о м еха­
низма, за п и ш и те в е к т о р н ы е уравн ен и я м еж д у к и н ем а ти ч еск и м и па­
р а м е т р а м и т о ч е к и п р и в ед и те и х гр а ф и ч еск ое реш ен и е в ф ор м е пла­
нов.
4. И зо б р а зи те в е к т о р н у ю м одель п л оск ого ш е сти зв е н н о го р ы ч а ж н о го
м ех а н и зм а и з а п и ш и те уравн ен и я в к о ор д и н а тн ой ф ор м е, п озв ол я ю ­
щ и е о п р е д е л и ть и ск ом ы е к и н ем а ти ч еск и е п а р а м е т р ы .
Глава
4
ИССЛЕДОВАНИЕ Д В И Ж Е Н И Я
МАШ ИННОГО А Г Р Е Г А Т А
С Ж Е С Т К И М И ЗВЕН ЬЯМ И
В н а сто я щ е й гл а ве р а сс м о т р е н ы с п о со б ы реш ен и я пря м ой за да чи —
д и н а м и ч е ск о е и ссл едован и е м ехан и зм а м а ш и н ы , и о б р а т н о й — его д и н а­
м и ч еск ое п р о е к ти р о в а н и е . П од ч ер к н ем , реш ен и е о б е и х за да ч п р о в о д я т в
п ред п ол ож ен и и , ч т о все звенья м еха н и зм а я в л я ю тся а б с о л ю т н о ж е ст к и м и .
4.1. Динамическая модель машинного агрегата
Закон движения механизма машинного агрегата формиру­
ется под действием сил, приложенных к его звеньям. Прежде
всего это движущие силы и силы сопротивления, а также си­
лы тяжести и многие другие. Характер действия сил может
быть разным: некоторые из них зависят от положения звеньев
механизма, другие — от их скорости, силы могут быть и по­
стоянными.
Кинематические характеристики — скорость, ускорение,
время срабатывания, коэффициент неравномерности и др. —
определяются уравнением движения. Выбор способа решения
уравнения движения зависит от характера действия заданных
сил и передаточных свойств механизма. При этом размеры,
массы и моменты инерции звеньев должны быть известны. Од­
нако распространена и обратная задача, когда заданы кине­
матические характеристики режима движения машины и не­
обходимо найти массы, моменты инерции, а следовательно, и
размеры звеньев, при которых механизм, нагруженный задан­
ными силами, будет двигаться в требуемом режиме.
а
б
Рис. 4.1
Механизм машинного агрегата обычно является сложной
многозвенной системой, нагруженной силами и моментами,
приложенными к различным ее звеньям. Рассмотрим в ка­
честве примера машинный агрегат, в котором ДВС приво­
дит в движение через зубчатую передачу вал рабочей машины
(рис. 4.1, а). Пусть ее роль будет выполнять электрогенера­
тор, вентилятор, центробежный насос или какая-либо другая
роторная машина.
К поршню 3 приложена движущая сила Fд, к ротору 4
рабочей машины — момент сопротивления Мрм, ко всем зве­
ньям — силы тяжести, во всех кинематических парах действу­
ют силы трения. Если ДВС имеет несколько цилиндров, число
подвижных звеньев будет уже больше четырех. При этом на
каждый поршень будет действовать движущая сила, значит,
картина нагружения механизма станет еще более сложной.
Определение закона движения такой сложной многозвен­
ной системы представляет собой трудную задачу. Однако в
рассматриваемом примере механизм имеет одну степень свобо­
ды (Wn = 1). Следовательно, прежде всего нужно определить
закон движения всего лишь одного из его звеньев, которое тем
самым будет являться начальным, а затем, используя обычные
кинематические методы (см. гл. 3), найти закон движения
всех остальных звеньев. Такая постановка задачи позволяет
заменить весь сложный многозвенный механизм одним услов­
ным звеном, движущимся относительно стойки (рис. 4.1, б).
Выберем в качестве начального звена исследуемого меха­
низма коленчатый вал ДВС, т.е. звено 1 (см. рис. 4.1, а) * К
условному звену (см. рис. 4.1, б), заменяющему весь механизм,
предъявим такое требование: пусть его суммарный приведен­
ный момент инерции J^p и суммарный приведенный момент
м £>, которым оно нагружено, будут такими, что закон дви­
жения условного звена получится полностью совпадающим с
законом движения начального звена 1 . Значит, условное зве­
но будет моделировать движение начального звена механизма,
т.е. окажется его своеобразной динамической моделью. Отсю­
да следует, что если определить закон движения этой простой
модели (см. рис. 4 . 1 , 6 ), то автоматически станет известным
искомый закон движения начального звена заданного механиз­
ма, т.е. будет справедливым для любого момента времени
уравнение
w i = w M,
(4.1)
в котором cji — угловая скорость начального звена (во взятом
примере — звена 1 ), а им — угловая скорость модели. Урав­
нение (4.1) будем называть уравнением моделирования.
Итак, при построении модели механизма все силы и мо­
менты, приложенные к нему, оказываются приведенными к од­
ному звену и замененными моментом М^р, т.е. той расчетной
величиной, которую в теоретической механике называют обоб­
щенной силой. Следовательно, М^р является эквивалентом
всей заданной нагрузки, приложенной к механизму. Одновре­
менно массы всех звеньев (точнее говоря, их инертности) ока­
зываются также приведенными к одному звену и замененными
моментом j £ p , который является эквивалентом всей инертно­
сти механизма. Сам же заданный многозвенный механизм (см.
рис. 4.1, а), нагруженный сложной системой сил и моментов,
оказывается замененным простой моделью (см. рис. 4.1, б).
Таким образом, построение динамической модели состоит
в приведении сил (определение М £р) и приведении масс (опре­
деление «/£р). Подчеркнем, динамическая модель обязательно
*
Е сли за д а н н ы й м ехан и зм и м е е т звено, н а ход я щ ееся в н еп р ер ы в н ом
в р а щ а т е л ь н о м д ви ж ен и и , т о и м ен н о его и ц е л есооб р а зн о в ы б и р а т ь в к аче­
с т в е н а ч а л ь н о го .
должна быть построена так, чтобы выполнялось уравнение мо­
делирования (4.1); иначе сам переход от заданного реального
механизма к его модели становится бессмысленным. Уравне­
ние (4.1), как следует из уравнения Лагранжа второго рода,
будет справедливо в том случае, если при приведении сил бу­
дет соблюдено условие равенства элементарных работ, а при
приведении масс — условие равенства кинетических энергий.
4.2. Приведение сил
Рассмотрим приведение сил на примере механизма с одной
степенью свободы (И^п = 1) (рис. 4.2, а). Выберем в качестве
начального звено 1 . Механизм нагружен силами F и F$ и мо­
ментом М 4 . Заменим механизм его моделью и_приведем к ней
обе силы и момент. В результате силы F и F 3 и момент М 4
будут представлены соответствующими приведенными момен­
тами (рис. 4.2, б). Их алгебраическая сумма равна суммарному
приведенному моменту
м £р = M f +
приложенному к модели (рис. 4.2, в).
Рис. 4.2
+ М£
п ,
(4.2)
Приведем силу F к начальному звену, т.е. найдем М £р
Для этого, согласно § 4.1, надо записать исходное условие —
равенство элементарных работ фактически приложенной силы
F и заменяющего ее приведенного момента М £р:
6 A { M f ) = 6 A(F),
или в развернутом виде
МрРё<рм = F 6 sK
cos( jF, 6 s k ),
(4.3)
где 6 срм и 6 sк — возможные перемещения модели и точки
К приложения силы F Учитывая уравнение моделирования
(4.1), из которого следует 6 <рм = 6 <pi, получаем
М *Р = F 6-p t c o s ( F , 6 sK ).
(4.4)
°<Р1
Уравнение (4.4) имеет обобщающий смысл: под F можно
понимать любую силу, известную по модулю и направлению,
приложенную в точке К механизма, начальное звено которого
обозначено номером 1 . Напомним, что приведенный момент
м у заменяет действие силы F
Приведем момент М 4 к начальному звену. Запишем ис­
ходное уравнение — равенство элементарных работ:
6 А ( М Ц ) = 6 А(М4),
откуда
= М 46 щ ,
где 6 срм и 6 ф4 — возможные перемещения модели и звена 4 •
Учитывая, что 6 (рм = 6 (pi, имеем
=
<4 -5 >
Приведенный момент М щ заменяет действие момента М4.
Уравнение (4.5) запишем в общем виде:
М м , = м >6
^
где Mj — момент, фактически приложенный к звену j ■
(«)
Практически использовать для расчетов уравнения (4.4)
и (4.6) можно либо графически (с помощью планов возмож­
ных скоростей), либо аналитически (с помощью аналогов ско­
ростей, или передаточных функций).
Граф ический сп особ. Поскольку Ss^/ 6 (pi = v k /u>\
(см. § 3.1) и и>\ = vq /Ia b , а также имея в виду, что угол
(Г, 6 sj() равен углу (Г ,* ;# ), уравнение (4.4) запишем так:
М^Р = FI a A
cos( F , vk )\.
(4.7)
vB
В это уравнение силу F следует подставлять со знаком, взя­
тым из механической характеристики (см. § 1 .3 ), и модуль
\cos(F,vK )\.
Чтобы найти отношение v k l v B возможных скоростей и
угол (F , v x ), построим план возможных скоростей, который
для механизмов с Wn = 1 выполняется по той же методике,
что и план действительных скоростей (см. § 3.4). При этом
необходимо помнить, что возможные скорости, в отличие от
действительных, не зависят от приложенных сил, т.е. никак
не связаны с законом движения механизма. После построения
(рис. 4.2, г) получим
М]Р = FlAB^ \ c o s (F ,v K )\.
(4.8)
Направление приведенного момента М^Р определяется так:
поскольку составляющая F
направлена навстречу
(см. рис. 4.2, г), то и момент М^Р направлен навстречу uiM
(см. рис. 4.2, 6 ).
Воспользуемся уравнением (4.7) для приведения силы F$,
учитывая, что
cos( jP3 , vq )
— 1> так как Угол (-^з, v c ) =
- F3 lABf s = Р3, л в % .
(4.9)
Направление момента М^Р должно совпадать с направлением
wM, поскольку заменяемая им сила F з действует в направле­
нии VQ.
Для определения приведенного момента
уравнению (4.5), в котором 6 щ / 6 (р\ = ьц /ui =
Получим
=
|«4 il-
р вернемся к
(см. § 3.1).
( 4 -1 0 )
В уравнение (4.10) следует подставлять момент М 4 со знаком,
взятым из механической характеристики, и модуль передаточ­
ного отношения |u4 i| = z i / 2 4 , где z\ и 24 — числа зубьев колес
передачи. Приведенный момент М^р направлен против и м (см.
рис. 4 .2 , б), так как заданный момент М 4 действует навстречу
и>4 (см. рис. 4.2, а).
А н алитический сп особ. Назначим прямоугольную си­
стему координат Аху (см. рис. 4.2, а).
Составим расчетное уравнение для определения М^Р
Возможную р аботу силы F выразим проекциями: 6 A(F) =
= F S sx cos(F, 6 s x ) = Fx 6 sKx + Fy 6 s x y, и, подставив в урав­
нение (4.3), запишем М £р = Fx
+ Fy
. Заметим, что
bs%y
= vQXx и ~l— “ = vqKv — проекции аналога v „ x скоро8<р\
4
о<р1
* s
сти точки К (см. § 3.1). Окончательно получим
6 skx
M ^ = Fx vqKx + FyvqKy.
(4.11)
Подчеркнем, что в уравнение (4.11) все проекции следует под­
ставлять со своими знаками. Если в результате расчета при­
веденный момент M f получится положительным, то он на­
правлен против хода часовой стрелки, если же МрР < 0 , то он
направлен по ходу часовой стрелки.
_
Применим уравнение (4.11) для приведения силы F$:
M f 3 =FzxVqCx.
(4.12)
В заданном механизме точка С движется вдоль оси х (см.
рис. 4.2, а), поэтому vqc y = 0 . Знак момента М^Р укажет его
направление.
Для приведения момента М 4 используем уравнение (4.5).
В нем Sip^/Sipi = W4 /CJ1 = - 2 4 / 2 4 < 0, поскольку при внешнем
зацеплении зубчатые колеса 4 и 1 вращаются навстречу друг
другу. Тогда
M$>4 = M 4 ( - z i / z4).
(4.13)
В уравнение (4.13) подставляем М\ > 0, так как момент М 4
направлен против хода часовой стрелки. Знак момента М щ
определит направление его действия.
В более общем случае, когда звено у, к которому прило­
жен момент M j, не связано какой-либо передачей с начальным
звеном 1 , отношение 6 (pj/S(pi (см. (4.6)) представляет собой
аналог w9y угловой скорости uij, или передаточную функцию
(см. § 3.1). Следовательно, расчетное уравнение в общем виде
записывается так:
М ]£. = MjUqj.
(4.14)
Определив M^F, МрР, М щ (графически или аналитиче­
ски), алгебраически сложим их, согласно уравнению (4.2), и
получим искомый суммарный приведенный момент M^F Та­
ким образом, благодаря приведению сил нагрузка, приложен­
ная к механизму (см. рис. 4.2, а) оказалась замененной одним
суммарным приведенным моментом M^F (см. рис. 4 .2 , в). Ча­
сто М£р является переменной величиной, зависящей как от
скорости ш\ начального звена 1 , так и от его координаты <р\.
Во многих случаях эта зависимость периодическая. Отметим,
что момент М|р можно также определить графически, приме­
нив теорему Жуковского [1, 9].
4.3. Приведение масс
Приведение масс рассмотрим на примере механизма
(рис. 4.3, а), выбрав в качестве начального звено 1.
Заменим заданный механизм его динамической моделью
(рис. 4.3, б) и сосредоточим в ней инертность всех звеньев ме­
ханизма. Обозначим момент инерции модели J^F Он являет­
ся эквивалентом инертности всего механизма и называется его
суммарным приведенным моментом инерции. Как было ука­
зано в § 4.1, величина J^F определяется из условия равенства
кинетических энергий модели Тм и всего механизма Т :
Тм = Т.
(4.15)
Кинетическая энергия модели равна
гм= F S A .
(4.16)
У
Р
б
в
Рис. 4.3
Напомним, что кинетическую энергию звена г в обшем ви­
де можно записать так:
гг
_
m iv Si
,
J iS “ i
(4.17)
где vsi — скорость центра масс 5 ,- звена г;
— момент инер­
ции звена г относительно оси, проходящей через центр масс 5,*.
В случае поступательного движения щ = 0. В случае враща­
тельного движения вокруг оси А уравнение (4.17) принимает
вид
т 1 _ JiA“ i
J« — п
Кинетическая энергия Т заданного механизма (см.
рис. 4.3, а) складывается из кинетических энергий всех его че­
тырех подвижных звеньев: Г = Т\ + T<i + Т3 + Т4 . Звено 1
участвует во вращательном движении, 2 — в плоском, 3 — в
поступательном, 4 — во вращательном. Поэтому
Подставим выражения Тм и Т в исходное уравнение (4.15)
и, учитывая уравнение моделирования ( 4 .1 ), после простых
преобразований получим
•'ЁР= '71Л + ™ г ( ^ )
+J2S( ^ )
+
(4.18)
Практическое использование уравнения (4.18) может быть осу­
ществлено или графически (с помощью планов возможных ско­
ростей), или аналитически (с помощью аналогов скоростей).
Граф ический сп особ . Преобразуем уравнение (4.18),
учитывая, что щ =
4 Р- hA + у Л в
v b /U b ', и 2
( ^
)
=
у с в ! 1СВ\ы* 1 ш1
= «41 =
+ h s (j^ f)
+ т З^Б ( ~ )
+ J4DU41-
(4-19)
В механизме с одной степенью свободы отношения дей­
ствительных скоростей равны отношениям возможных скоро­
стей. Поэтому эти отношения возьмем из плана возможных
скоростей (рис. 4.3, в).
А н алитический сп особ. Согласно § 3 . 1 , отношения, за­
ключенные в скобки (см. (4.18)), представляют собой аналоги
скоростей:
U>4
vS 2
W2
vc
— ^g4)
— VqS2 >
— ^g2 >
^qC >
Ui
CJi
4
U\
4
U\
4
поэтому уравнение (4.18) запишем в виде
JEP = J\A +
( m 2V gS2
+
h s U t f )
+
m 3 VqC +
J4D“ q4-
( 4 -2 0 )
Заметим, что v 2S2 = v2S2x + v2S2y, v2
qC = v2Cx, так как
v q C y = 0. Кроме ТОГО, Uq4 = u^/ui = И41 = — Z \ j z \ — const.
Расчеты при использовании аналитического способа можно
выполнить на компьютере.
6 - I1273
Уравнение (4.20) представим в общем виде, справедливом
для любого механизма:
Jip = £
К » , я + J.SV&,
(4.21)
1=1
где п — число подвижных звеньев механизма. В скобках стоят
аналоги скоростей vq$i и ид{, которые характеризуют переда­
точные свойства механизма и не зависят от его закона движе­
ния. Поэтому приведенный момент инерции механизма J^p от
его закона движения также не зависит и является характери­
стикой самого механизма.
Приведенный момент инерции механизма j £ p можно рас­
сматривать как сумму приведенных моментов инерции отдель­
ных его звеньев. Поэтому уравнения (4.19) и (4.20) запишем в
виде
4 р = J "p + 7 "Р + *^зР + ^4Р»
(4.22)
7 "р = J\a = const,
* Ч й )
= m 2 v 2S2 + J2 Su 22 = var,
= m 3 l2
AB ( ^ )
= m 3 v2c = var,
J "P = J4D 1^4 ! = const.
( t.
(4.23)
(4.24)
(4.25)
Приведенные моменты инерции
и J j P — величины
переменные, так как в выражения (4.23) и (4.24) входят ли­
бо отношения возможных скоростей, либо аналоги скоростей,
которые зависят от положения механизма. Поэтому приведен­
ный момент инерции «/£р всего механизма (см. (4.19) и (4.20))
также будет переменным, зависящим от обобщенной коорди­
наты (р\. Многим механизмам свойствен периодический ха­
рактер этой зависимости. Однако есть механизмы (например,
зубчатые, шарнирный параллелограмм и др.), приведенный
момент инерции которых постоянен.
Из сказанного следует, что модель, которой заменяется ме­
ханизм (см. рис. 4.3, б), является условным телом, поскольку
ее момент инерции (в общем случае) — переменный, тогда как
реальные физические тела имеют постоянные моменты инер­
ции.
В заключение отметим: так как ни планы возможных ско­
ростей, ни аналоги скоростей от закона движения механизма
не зависят, то приведение масс, как и приведение сил, можно
делать и не зная закона его движения. Следовательно, решая
динамическую задачу, возможно (и нужно) сначала построить
динамическую модель механизма, выполнив приведение сил и
масс, а затем уже находить закон ее движения.
4 .4 . У р а в н е н и е д в и ж е н и я м еха н и зм а
Выполнив приведение сил и масс, любой механизм с одной
степенью свободы (рычажный, зубчатый, кулачковый и др.),
сколь бы сложным он ни был, можно заменить его динами­
ческой моделью (рис. 4.4). Эта модель в общем случае имеет
переменный приведенный момент инерции
" , и к ней приложен суммарный приведенный момент М£Р Закон движения
модели такой же, как и закон движения начального звена ме­
ханизма (см. (4.1)).
Основой для составления урав­
нения движения механизма с одной
степенью свободы служит теорема об
изменении кинетической энергии:
4
Г - Г „ ач = ЛЕ.
(4.26)
Работу совершают все активные
силы и моменты и силы трения во
всех кинематических парах механиз­
Рис. 4.4
ма (см. § 1.3).
У равнение движ ения в эн ер гети ческ ой ф орм е. За­
пишем формулу для кинетической энергии модели, учитывая
уравнение (4.1):
Тм = J g u f/ 2 .
(4.27)
Так как вся нагрузка, приложенная к модели, выражается сум­
марным приведенным моментом М^р, то сумма работ равна
Ч>1
J
ЛЕ =
М£рd ^ i.
(4.28)
^1нач
Здесь переменная интегрирования (рм заменена координатой (pi
начального звена, так как
= ip\.
Подставив выражения (4.15), (4.27) и (4.28) в (4.26), полу­
чим уравнение движения в энергетической форме:
7"Р
2
тпр
, ,2
*7
(4.29)
Z
L
J
<Р1нач
где искомой величиной является угловая скорость
началь­
ного звена механизма. В общем случае верхний предел ip\ ин­
тегрирования в уравнении (4.29) считается переменным.
Если вся нагрузка, приложенная к механизму, зависит
только от его положения, то и суммарный приведенный мо­
мент М£р есть функция только координаты (pi. В этом случае
уравнение (4.29) решается непосредственно относительно ис­
комой величины и 1 :
ч>\
2 /
, ,, _
W1 — Л
i
M£p(Y?i)dy?i
пр
^ н а ч _____________________I * Е н а ч . ,2
jnp
Е
+
jnp ^1нач *
Е
(л 401
Укажем, что интеграл под корнем имеет знак, который необ­
ходимо учитывать.
Уравнение движения в дифференциальной форме.
Продифференцируем (4.29) по координате
d (
d V?i l
2
= M ?
Определим производную, стоящую в левой части уравнения,
помня, что в общем случае переменной величиной является не
только угловая скорость u>j, но и j £ p (см. § 4.3). Поэтому
JZ u l \ _ jnpwi dun +
d. </?i
2 d
= 7пР dwi + _l d ^EP 2
—
dt
2 dipi
откуда
j £PT T + 5 T ^ - " i =
^ dt
2 d(/?i 1
m
£p
L
(4.31)
Это и есть уравнение движения в дифференциальной форме,
поскольку искомая переменная величина — угловая скорость
и\ начального звена механизма — стоит под знаком производ­
ной. При пользовании уравнением (4.31) следует помнить, что
суммарный приведенный момент М£р, а также производная
d«/£p/d ^ i суть величины алгебраические и подставляются со
своими знаками.
В том случае, когда исследуется механизм, имеющий
= const (например, зубчатый механизм с круглыми цент­
роидами), уравнение его движения упрощается и приобретает
вид
•'Sp ^ 7 = м ?
(4.32)
Уравнение движения в дифференциальной форме (4.31)
может быть получено также и из уравнения Лагранжа второго
рода [3, 5].
Для определения углового ускорения Е \ начального звена
используем уравнение (4.31) и решаем его относительно Е \ =
du>i
d< ‘
М£р
«1
и\ d j £ p
“ 2J j p dtpi '
(4.33)
Величины M £p и d J^p/d ip\ подставляются в уравнение (4.33)
со своими знаками. Если угловое ускорение Е \ получится со
знаком, противоположным знаку угловой скорости u>i, значит,
начальное звено механизма движется замедленно.
Производную dJ^/dtpi подсчитывают численным диф­
ференцированием или графическим дифференцированием
(см. § 3.2). Другой значительно более точный (но и более
трудоемкий) способ определения производной dJ^?/d(pi мож­
но найти в специальной литературе *
Угловое ускорение Е \ определяют также и способом, опи­
санным в § 3.2 (способом поднормали). Там же изложены спо­
собы построения функций £i(t) и
Далее будут рассмотрены неустановившийся и установив­
шийся процессы движения машинного агрегата (см. § 1.4).
4.5. Закон изменения скорости механизма,
нагруженного силами,
зависящими только от положения
Неустановившийся (или переходный) процесс движения
машинного агрегата имеет место в случае, когда агрегат пус­
кают в ход и он, набирая скорость, выходит на установившийся
режим, а также когда для остановки агрегата его двигатель
выключают и он продолжает двигаться за счет накопленного
запаса кинетической энергии; при этом агрегат постепенно те­
ряет скорость из-за действия сил трения или каких-либо дру­
гих сил сопротивления, в том числе и специальных тормозных
сил. В этих случаях необходимо знать, как быстро происхо­
дят переход из неподвижного состояния в рабочее и обратный
переход до полной остановки. Применительно к транспорт­
ным машинам изучение обратного перехода особенно важно
для надежного расчета длины тормозного пути. Исследование
неустановившегося движения позволяет определить время сра­
батывания механизма, что абсолютно необходимо для проек­
тирования многих приборов, таких, как фотозатворы, средства
автоматической защиты и др.
Разгоны (разбеги) и торможения могут происходить с
большим ускорением. Это вызывает значительное динамиче­
ское нагружение механизма, что, в свою очередь, может при­
вести к перенапряжениям и даже поломкам.
* См.: Минут С.Б. Об определении производной приведенного момен­
та инерции массы звеньев механизма / / Науч. тр. М ВТУ им. Н.Э. Бау­
мана, 1970; Зиновьев В.А., Бессонов А.П. Основы динамики машинных
агрегатов. М., 1964.
Во время разбега и выбега угловая скорость многих агре­
гатов проходит через критическую (резонансную) зону. Во
избежание динамической перегрузки механизма и возможной
аварии проход этой зоны должен быть достаточно быстрым,
что обеспечивается при проектировании путем расчета обеих
фаз неустановившегося движения. Решение многих других ди­
намических задач также связано с исследованием такого дви­
жения.
Таким образом, изучение неу становившихся процессов
весьма существенно для грамотного динамического проекти­
рования механизма машины или прибора.
Для определения закона неустановившегося движения ме­
ханизма должны быть известны следующие исходные данные:
кинематическая схема механизма; характеристики геометрии
масс всех подвижных звеньев; механические характеристики
сил и моментов; начальные условия движения. Последнее важ­
но для исследования именно неустановившегося движения.
Рассмотрим механизм, нагруженный силами и момента­
ми, которые являются функциями только положения его зве­
ньев. Пусть приведенный момент инерции механизма имеет
переменную величину j £ p = var. Требуется определить зави­
симость угловой скорости начального звена (обобщенной ско­
рости) от его угла поворота, т.е.
Подобная задача
является весьма распространенной. В качестве примеров мож­
но привести механизмы дизель-компрессоров, буровых стан­
ков и подъемных кранов, погрузочных машин, гидронасосов
с приводом от двигателей внутреннего сгорания, различных
устройств с пневмоприводом, приборов с пружинными двига­
телями и др.
Для решения поставленной задачи нужно взять уравнение
движения в энергетической форме (см. (4.30)):
(4.34)
где
определяется по уравнению (4.28).
Определение искомой угловой скорости и\ графическим
способом (рис. 4.5) осуществляется в следующем порядке.
ф
1. Выполняется приведение масс и строится диаграм­
ма* приведенного момента инерции механизма
1 ), кото­
рая показана на рис. 4.5 повернутой на 90°. Начальное поло­
жение отмечено как нулевое. Для отсчета углов (pi принято
¥>1нач = ¥>0 = 0.
2. По механическим характеристикам строятся диаграм­
мы приведенного движущего момента и приведенного момента
сопротивления, а затем диаграмма суммарного приведенного
момента
Если в механизме есть пружины, то приведенные момен­
ты их упругих сил должны войти в суммарный приведенный
* Поворот диаграммы */£p(<pi) на 90° нужен для определения угло­
вой скорости Ы1 методом энергомасс, который будет изложен в конце
параграфа.
момент. В том случае, когда силы тяжести и силы трения
значительны, их приведенные моменты также должны войти
слагаемыми в величину
В результате выполнения п. 1 и 2 заданный механизм при­
водится к динамической модели.
3. Графическим интегрированием (см. § 3.2) строится
диаграмма суммы работы А%((рi). Ординаты этой диаграммы
отсчитываются от оси у>\.
4. По уравнению (4.34) с учетом начальных условий под­
считывается для каждого положения механизма угловая ско­
рость
и относительно оси
строится искомая зависимость
А-£ подставляется в (4.34) со своим знаком. Величина
wo = wiHa4 содержится в исходных данных и изображена орди­
натой Oh = /лшио. Величина «/£нач = O&o/MJ есть приведенный
момент инерции механизма в нулевой позиции.
В таком же порядке нужно вести расчет и численным спо­
собом с применением ЭВМ.
Наглядное представление о том, как изменяется скорость,
можно получить графическим методом, разработанным
И.И. Артоболевским. Для этого необходимо построить кривую
энергомасс T (J ^ >) (диаграмму Виттенбауэра).
Сместим вниз ось щ на диаграмме A e ( v?i ) на величину
УТО = /М ?о (см. рис. 4.5), где Го = J^u>%/2. Тогда орди­
наты, отсчитываемые от новой, смешенной оси
, составят
текущее значение кинетической энергии Г в различных поло­
жениях механизма. Затем исключим из зависимостей T{ip\)
и
параметр <р\ (на рис. 4.5 это показано для положе­
ния 1) и, проделав это необходимое число раз, получим диа­
грамму энергомасс T(J^P).
Теперь определим угловую скорость из уравнения (4.27) с
учетом уравнения (4.15):
W1 = ф т / j f
(4.35)
Соединим любую точку диаграммы T(J^P) (например, точ­
ку сх) с Началом координат. Напишем уравнение (4.35) при­
менительно к положению 1 механизма, выразив Г и
через
изображающие их отрезки: Т\ = 2/ri/MA> ^ 1 = VJi/PJ- Тогда
получим
Сравним между собой углы ф. Согласно уравнению (4.36),
угловая скорость
в положении 1 больше угловой скорости
cjq в начальном положении, так как ф\ > ^oi рассуждая та­
ким же образом, получим (и \) 2 < (^ 1 ) 1 , так как Ф2 < Ф\ и
т.д. Следовательно, переходя по кривой энергомасс от пози­
ции к позиции, можно наглядно проследить, как изменяется
угловая скорость начального звена механизма при изменении
его положения.
Метод построения графика
остается в силе и для
механизмов, у которых «/£р = const. При этом графики функ­
ций 4 P(v?i) и Т(«/£Р) будут представлять прямые линии. Из­
ложенный метод пригоден для изучения обеих фаз неустановившегося движения, т.е. и для разбега (разгона), и для выбе­
га. Это же относится и к методам, изложенным в двух после­
дующих параграфах.
4.6. Закон изменения скорости механизма,
нагруженного силами,
зависящими только от скорости
Рассматриваемый случай отличается от предыдущего, вопервых, тем, что силы и моменты не зависят от положения зве­
ньев, а являются функциями только их скорости, и, во-вторых,
тем, что приведенный момент инерции механизма есть вели­
чина постоянная: j £ P = const. Типичными примерами для
таких условий являются турбогенераторы и гидрогенераторы,
многие грузоподъемные машины и станки, прокатные станы,
центробежные насосы и воздуходувки с электроприводом, сле­
дящие системы с электромоторным приводом и ряд других
устройств. Требуется определить, как изменяется угловая ско­
рость начального звена (обобщенная скорость) с течением вре­
мени, т.е.
Для решения поставленной задачи
нужно записать уравнение движения в
дифференциальной форме (см. (4.32)):
Разделим переменные и\ и t и проин­
тегрируем, приняв / Нач = 0:
1=
*/
(4-з7>
^1нач
По уравнению (4.37) определяется за­
кон изменения скорости
Напом­
б
ним, что М£р подставляется в уравне­
ние (4.37) с учетом знака.
В качестве примера неустановившегося движения рассмотрим разгон
турбогенератора из неподвижного со­
стояния; это значит, что при t = 0
угловая скорость и\нач = 0. Механиче­
ские характеристики машин представ­
лены на рис. 4.6, а, б. Примем в ка­
Рис. 4.6
честве начального звена вал одной из
машин и приведем к нему все массы и оба момента, т.е. под­
считаем «/£р = const и М £р = М хР + Мгпр (рис. 4.6, б). Гра­
фик M^ p (cji) близок к прямой, поэтому его можно аппрокси­
мировать уравнением М £р = А — В
Член А равен М£рач,
а коэффициент В характеризует крутизну спада зависимости
M^p (cji). Теперь уравнение (4.37) примет вид
4
_ тпр /
J A -B u n
о
Его решение при заданных начальных условиях
Wi = WyCT( l - е ~ ^ т)
представлено на рис. 4.7, причем шусТ = А/В.
(4.38)
В уравнении (4.38) Г =
/В\ эту величину называют
постоянной времени машинного агрегата. Графически она изо­
бражена на рис. 4.7 отрезком ab. Ее физический смысл состо­
ит в следующем. Если в процессе разгона суммарный момент
м £ р не будет уменьшаться, а останется постоянным, рав­
ным A f ^ a4 = А, то движение тогда получится, равноуско­
ренным, а угловая скорость
достигнет значения иуст через
время Т
Теоретически процесс разгона продолжается бесконечно
долго. Однако уже при t = ЗТ отношение ui/uycT составит
0,95; при t = 4Т оно возрастет до 0,98, а при t = 5Т — до 0,995,
т.е. при t = (4 - 5)Т процесс разгона практически.закончит­
ся. Зная значение Т, можно определить продолжительность
разгона машины. Отсюда следует очевидный результат: чем
больше инертность агрегата (чем больше */^р), тем больше Т,
равное */£р/ 5 , тем более продолжительным будет разгон.
Из сказанного следует, что если задать время разгона, то
можно определить то значение / £ р, при котором процесс разго­
на действительно займет заданное время. Так, если потребо­
вать, чтобы разгон продолжался в течение t = £*, считая, что
он практически завершается через время t = 5Т, то 5Г = t*
Отсюда 5(J^P/B) = t*, или j £ p = (l/5)Bt* Таким образом,
используя изложенную методику, можно не только найти за­
кон изменения скорости механизма (см. (4.38)), но и решить
обратную задачу — по заданным условиям движения (напри­
мер, по времени срабатывания t*) определить, каковы должны
быть параметры механизма (моменты инерции звеньев, а за­
тем и их размеры), т.е. выполнить проектирование механизма
для заданного динамического режима.
В рассматриваемом примере угло­
вая скорость u>i получилась монотонно
возрастающей. Это является результа­
том того, что моменты, приложенные к
валам машин, периодически не изменя­
ются (поскольку они не зависят от угло­
вых координат валов), а приведенный
момент инерции машинной установки
постоянен.
Во многих случаях линейная аппроксимация зависимости
М^Р(и>1 ) невозможна. Так, например, в случае разгона меха­
низма токарного станка асинхронным двигателем зависимость
М^Р{и\) имеет вид, представленный на рис. 4.8. В этом слу­
чае уравнение (4.37) можно решить графически или применить
численное интегрирование (см. § 3.2).
4.7. Закон изменения скорости механизма,
нагруженного силами, зависящими
как от положения, так и от скорости
Рассмотрим более общий случай исследования неустано­
вившегося движения, когда силы и моменты, приложенные к
механизму, являются функциями как положения, так и скоро­
сти, а приведенный момент инерции механизма есть величина
переменная: J^P = var. Примерами могут служить многие
рабочие машины с электроприводом (металлорежущие стан­
ки, прессы, поршневые компрессоры и насосы и др.), различ­
ные приборы с электромагнитным приводом (реле, контакто­
ры, средства автоматической защиты и др.), а также такие
динамические процессы, как запуск двигателей внутреннего
сгорания от электростартера, пуск моторкомпрессорных уста­
новок, станков и т.п.
Пусть требуется определить зависимость скорости на­
чального звена от его угла поворота, т.е. ui((fii).
Поставленную задачу можно решить, используя уравне­
ние движения (4.29):
J^P
£ Ш
1?
J^P
J?1нач
Енач L
_
л_
“ 2----------------2------- “ А £ '
Один из методов решения этого уравнения предложен
М.А. Скуридиным. Особенность метода заключается в том,
что работа сил, не зависящих от скорости, рассматривается
отдельно от работы сил, зависящих от скорости. Значит, и
приведение этих двух видов сил делается раздельно. Пока­
жем метод решения поставленной задачи на конкретном при­
мере пуска в ход кулисного механизма поперечно-строгального
станка (рис. 4.9, а).
Исходные данные перечислены в § 4.5. Так как станок
запускается в режиме холостого хода, т.е. когда нет процес­
са резания, то вся энергия электродвигателя расходуется на
увеличение кинетической энергии машины и на преодоление
потерь в результате трения. Наиболее сильно трение проявля­
ет себя между ползуном 5 и неподвижной направляющей. Си­
лу трения FT в этой поступательной паре можно принять по­
стоянной (рис. 4.9, б). Трение в других кинематических парах
учитывать не будем, поскольку оно относительно мало. Точно
так же опустим влияние сил тяжести. Механическая характе­
ристика асинхронного электродвигателя Мдъ(ирот) изображе­
на на рис. 4.9, в. Пусть начальные условия движения таковы:
при t = ^нач Имеем (pi — ¥>1нач> ^1 — ^1нач = О-
Выберем в качестве начального звена большее колесо 1
зубчатой передачи. Наметим ряд положений механизма: 0, 1,
2 , . . отсчет углов ц>\ будем вести от начального (нулевого)
положения <ро = ^нач (см. рис. 4.9, а).
Приведем массы звеньев механизма и построим диаграмму
(рис. 4.10). Затем выполним приведение силы тре­
ния FT и ее приведенный момент М £р представим графически
(рис. 4.11). Важно отметить, что момент М«£р есть функция
только координаты (р\ начального звена и от скорости не за­
висит. Наконец определим приведенный момент М "р электро­
двигателя (рис. 4.12, а), который представляет собой функцию
угловой скорости *
Запишем уравнение движения в виде
4 4
2
7ПР
, ,2
^Енач^Чнач — Atp + Д^,
(4.39)
где Ар — работа приведенного момента М^р; Аш — работа
приведенного момента М "р
Рассмотрим два близких положения: нулевое, для кото­
рого заданы (y?i)o и (wi)o, и первое; они отделены небольшим
интервалом Л<^]. Для нулевого положения по начальным усло­
виям легко определить величины </£р, То = 4 o ( wl)o/2> -Ц^о
(см. рис. 4.10, 4.12, а). Для первого положения можно опреде­
лить (<^i)i = (^ 1 )0 + Д<^1> a по углу (<^1)1 — и величину j £ p
(см. рис. 4.10).
* В о б щ е м сл у ч а е граф и к за в и си м о ст и M^ , p ( u i ) п р е д ст а в л я е т не одн у
к р и ву ю , а с е м е й ст в о и х с п а р а м е т р о м
т .е . M ^ p (v?i,u>i)
Напишем уравнение дви­
жения (4.39) в интервале от О
до 1, т.е. от (</?i)o до
_
2
2
= А<р01 + Ашох.
(4.40)
Работу A vох определим ин­
тегрированием зависимости
(см. рис. 4.11) на
интервале 0 — 1.
Работу
Аиох оценим следующим об­
разом. Так как скорость
в процессе движения изменя­
ется, то изменяется и при­
веденный момент М "р, как
это видно из рис. 4.12, а. В
каждом новом положении ско­
рость
начального звена и
приведенный момент М £р
приобретают новые значения,
какие — пока неизвестно, сле­
довательно, и вид графика
также неизвестен.
Но приближенно можно при­
нять, что в пределах неболь­
шого интервала 0 — 1 момент
М£р при увеличении угла (р\
изменяется линейно и в конце интервала получит некоторое
значение М^р (рис. 4.12, б); поэтому
AwOl
(4.41)
Ошибка будет тем меньше, чем меньше интервал A(f\.
Подставим в уравнение (4.40) величину Awoi из формуМ 41ч
лы (4.41).
т
4 iM i
~
.
. м "Е + м ” р
Aipi.
Тогда —— — То — А<рoi +
Отсюда
хпр
(
+ м п1 + 2Л-^-1>) = м пр.
A<fil +J “0 + Ду»! )
wl
(4.42)
Обозначим сумму, содержащуюся в скобках, буквой В:
£ ». =
A<pi
A(fi
(4.43)
Тогда уравнение приобретает окончательный расчетный вид:
- *01 = М Ц
(4.44)
Напомним, что в (4.43) и (4.44) нужно учитывать знак величин
М % , А<р01 и B qi. В разбираемом примере A^oi < 0, М^р > 0;
кроме того, То = 0, так как (u>i)o = 0.
Как было указано выше, задавшись интервалом Дф 1 ,
можно определить « /^ и все слагаемые величины B qi - Д л я
данного интервала эта величина является вполне определен­
ной и не зависящей от угловой скорости и\. Следователь­
но, в уравнении (4.44) неизвестными будут только величины
(u>i)i и М " р При этом М "р строго связан с (u»i)i зависимо­
стью M "p(u>i) (рис. 4.12, в). Поэтому уравнение (4.44) мож­
но решить графическим путем, наложив на характеристику
j np
М2Р = f(u>1 ) график функции —^
— w? - Д01 = *01 (wl)- Координаты (w i)i и М Ц точки пересечения 1 являются искомыми
решениями.
Если характеристика Л/"р = /(w j) представлена в виде
формулы, то уравнение (4.44) можно решить аналитическим
или численным путем.
Определив (u>i))i в конце интервала 0 — 1, перейдем к
интервалу 1 — 2. Расчетное уравнение для него имеет вид
7пр
JE2 ы
Дф1
!-* 1 2 =
м
" р,
(4.45)
где
2Т\
2ДУ12
Ду»1
Ду»1
(4.46)
Новое уравнение решается относительно (и \) 2 таким же спо­
собом, как и предыдущее.
Так, последовательно пройдя все интервалы углов y?i, по­
лучим ряд значений угловой скорости u>i, по которым можно
построить график искомого закона изменения скорости и\ =
= Wl(</>l).
В предыдущих параграфах были рассмотрены динамиче­
ские процессы, протекающие в машинных установках, меха­
низмы которых имеют одну степень свободы. Динамика ме­
ханизмов с двумя и более степенями свободы, встречающихся
пока значительно реже, еще только разрабатывается.
4.8. Неравномерность движения механизма
Перейдем к установившемуся режиму движения механиз­
ма. По-прежнему будем рассматривать машины, механизмы
которых имеют одну степень свободы. Для этих механизмов
установившимся движением называют такое, при котором ско­
рость начального звена (обобщенная скорость) является пери­
одической функцией времени (рис. 4.13). Обычно в качестве
начального звена принимают главный вал машины.
В § 1.3 и 4.3 было отмечено, что силы, приложенные к
механизмам целого ряда машин, а также приведенный момент
инерции «/£р периодически изменяются. Если к тому же сумма
работ всех сил за период их действия равна нулю, то угловая
скорость начального звена механизма также неизбежно будет
изменяться периодически. Указанные выше условия являются
необходимыми и достаточными для поддержания установив­
шегося режима.
со.
©min
/ % = const
о
Рис. 4.13
Период изменения скорости начального звена (обобщен­
ной скорости механизма) называют циклом установившегося
движения или сокращенно циклом. Время тц цикла равно или
кратно периоду действия сил. Поэтому при установившемся
режиме сумма работ всех сил за цикл равна нулю:
4 = °(4-47)
Так как работа сил тяжести за цикл равна нулю, то равенство
(4.47) будет выполняться, если работа движущих сил за цикл
Ад равна модулю А£ работы за цикл всех сил сопротивления,
включая трение:
4 = |4|.
(4.48)
Уравнение работ (4.48) (или (4.47)) является основным
энергетическим уравнением установившегося режима. Из него
вытекает (см. (4.26)), что приращения кинетической энергии
механизма за цикл не происходит: Ткон = Тнач; следователь­
но, угловая скорость начального звена в начале и конце цикла
одинакова.
Итак, при установившемся режиме скорость и\ началь­
ного звена хотя и остается в среднем постоянной, но внутри
цикла изменяется, проходя через максимальное wmax и мини­
мальное и>тjn значения (рис. 4.13). Неравномерность враще­
ния, как было указано в § 1.4, оценивается коэффициентом
нерав но мерности
& — (^шах ~ ^тт)Л^ср>
(4.49)
где иср — средняя за цикл скорость. Чем меньше <5, тем отно­
сительно меньше размах колебаний, тем спокойнее вращается
главный вал машины (начальное звено). Величину и>ср (рад/с)
подсчитывают по формуле иср = 27rni, в которой п\ — часто­
та вращения начального звена (с” 1). Для каждого вида машин
имеется свое допустимое значение коэффициента неравномер­
ности [6], выработанное практикой; так, для металлорежущих
станков это 1/25 — 1/50, для прядильных машин — 1/50 —
1/100, для дизельного привода электрогенераторов — 1/100 —
1/200.
Коэффициент неравномерности величина малая, что по­
зволяет принять среднее значение угловой скорости равным
среднему арифметическому его максимального и минимально­
го значений:
(4.50)
^ср — (^max + ^min)/^Совместное решение уравнений (4.49) и (4.50) дает значения
максимальной и минимальной скорости:
(4.51)
Как видно из уравнений (4.51), отличие u;max и ит[п от о;ср,
отнесенное к cjcp, составляет ±<5/2, т.е., как правило, не более
±(2 —3) %.
В установившемся режиме работают очень многие маши­
ны (станки, прессы, прокатные станы, лесопильные рамы, тек­
стильные машины, генераторы электрической энергии, ком­
прессоры, насосы и т.д.). Наилучшее условие-для работы
всех этих машин — равномерное вращение их главного вала.
Колебания скорости главного вала вызывают дополнительные
динамические нагрузки, вследствие чего снижаются долговеч­
ность и надежность машин. Более того, колебания скорости
ухудшают рабочий процесс машины. Так, в металлорежущих
станках снижается точность обработки, в текстильных маши­
нах может происходить обрыв нити, а в счетных — обрыв пер­
фоленты и т.д. Следовательно, поскольку колебания скорости
полностью устранить нельзя, нужно по возможности хотя бы
сократить их размах. Иными словами, значение коэффициен­
та неравномерности надо сделать приемлемо малым. Рассмот­
рим, каким образом можно решить эту задачу.
Все звенья механизма обладают инертностью. Как из­
вестно из физики, это свойство состоит в том, что чем инерт­
нее материальное тело, тем медленнее происходят изменения
его скорости, вызываемые действием приложенных сил. По­
этому, чтобы получить вращение главного вала машины с ци­
клической неравномерностью, не превышающей требуемой ве­
личины, инертность этого вала со всеми жестко связанными с
ним деталями надо сделать достаточно большой. Для этого на
главном валу машины надо закрепить добавочную массу, вы­
полненную в виде колеса с массивным ободом и называемую
маховиком. Его момент инерции должен быть таким, чтобы
неравномерность вращения главного вала машины не превы­
шала заданных пределов.
Итак, основное назначение маховика состоит в ограниче­
нии колебаний угловой скорости главного вала машины в пре­
делах, определяемых заданным значением коэффициента не­
равномерности [6]. Определение момента инерции маховика
по заданным условиям движения (т.е. по заданному значению
[£]) проводится в процессе проектирования машины и соста­
вляет одну из задач ее динамического синтеза. Подчеркнем
при этом, что свое основное назначение маховик может выпол­
нить только при установившемся режиме.
4.9. Динамические синтез и анализ,
выполненные по методу Мерцалова
Динамические синтез и анализ проведем для условий уста­
новившегося режима.
Пусть дана кинематическая схема механизма. Выберем в
качестве начального звено, совершающее непрерывное враща­
тельное движение; им обычно бывает главный вал машины.
Распределим все подвижные звенья по двум группам и выпол­
ним приведение масс. В группу I обязательно входит началь­
ное звено с закрепленным на нем маховиком, а также все те
звенья, которые связаны с ним постоянным передаточным от­
ношением; в группу II войдут все остальные звенья механизма;
они связаны с начальным звеном переменным передаточным
отношением. Так, для примера, рассмотренного в § 4.3 (см.
рис. 4.3), группу I составят начальное звено 1 и звено 4 (так
как Щ1 = const), группу II — звенья 2 и 3. Заметим, что при­
веденные моменты инерции звеньев группы I суть величины
постоянные, а звеньев группы II — переменные (см. уравне­
ния (4.22) — (4.25)). Запишем приведенный момент инерции
всего механизма:
j g = J?p + Jпр,
(4.52)
где 7jnp = const;
= var.
Решим обе задачи — и динамический синтез, и дина­
мический анализ — наиболее простым и наглядным мето­
дом Мерцалова (проф. МВТУ), основанным на применении
диаграммы T\((pi) — кинетической энергии I группы зве­
ньев, и пригодным при вращении главного вала с заведомо
малой неравномерностью. Сначала выполним динамический
синтез, т.е. по допустимому значению [6] определим необ­
ходимый момент инерции маховика. Прежде всего составим
формулу для подсчета
— приведенного момента инерции
I группы звеньев.
Кинетическая энергия I группы звеньев выражается так:
Т[ =
Угловая скорость и\ колеблется внутри цикла
между значениями cjmax и и>т[п (см. рис. 4.13); следовательно,
колеблется и кинетическая энергия Tj, проходя через максимальное TImax = - ^ npw^ax и минимальное TImin = г
значения. Подчеркнем, что момент инерции Jjnp имеет посто­
янную величину, не зависящую от положения механизма.
Определим наибольший перепад кинетической энергии
I группы звеньев: ATjHg = 7 imax — Tjmin. Подставив значе­
ния TImax и TImin, получим
ДГ1нб =
W
i i
2
= лпр
I w lc p
2
(w m ax
w m i'n ) ~
^max + ^min ^max ~ ^min
2
^lcp
Используя формулы (4.49) и (4.50), имеем
АГ1нб = J f V q A
откуда, решая относительно искомой величины J "p, получим
Jjnp =
(4.53)
Формула (4.53) является расчетной для определения при­
веденного момента инерции I группы звеньев, необходимого
для обеспечения вращения начального звена с заданной нерав­
номерностью, выраженной коэффициентом [£], т.е. является
уравнением динамического синтеза при установившемся режи­
ме. Заметим, что чем меньше заданное значение [<5], т -е- чем
равномернее должно вращаться начальное звено д чем меньше,
Рис. 4.14
следовательно, его угловое ускорение, тем больше должен быть
необходимый момент инерции Jjnp, тем массивнее получится
маховик, входящий в I группу звеньев. На рис. 4.14 представ­
лены три тахограммы, снятые с одной и той же машины, но
при разных маховиках: JMX1 < JMX2 < JMX3 .
Частоту вращения п\ начального звена (по которой вы­
числяют с^1Ср = 2 жп\) и коэффициент неравномерности [<$], не­
обходимые для уравнения (4.53), задают при проектировании.
Значение ДТ[Нб определяют следующим образом.
Кинетическая энергия Г всех подвижных звеньев механиз­
ма состоит из слагаемых Т\ и Тц: Т = Т\ + Тц. Отсюда
Т\ = Т —Гц.
(4.54)
Кинетическую энергию Т выразим из уравнения (4.26):
Т = A y + Гнач,
(4.55)
Т\ = A y + ?нач ~ ^ 11*
(4.56)
тогда
По уравнению (4.56) для одного полного цикла строят
диаграмму 2i(</?i) и по этой диаграмме находят величину
ДТ[нб, входящую в расчетное уравнение динамического син­
теза (4.53).
Проиллюстрируем сказанное графиками. Пусть извест­
ны диаграмма A ^ (^ i) (верхняя кривая на рис. 4.15, а, постро­
енная относительно оси (р\) и диаграмма Tn(ipi) (рис. 4.15, б)
м
переменны. Согласно уравнению (4.56), прибавим к сумме
работ
кинетическую энер­
гию ТНач всего механизма в на-
АТШ 1 ?
1 цикл
o'
а
^1
верхняя кривая на рис. 4.15, а
будет относительно оси ^ изо­
бражать кинетическую энер­
гию Т всего механизма, как это
1 цикл_____ _
следует из уравнения (4.55).
Вычтем, согласно Jуравнению
О
J (4.54), из кинетической энер­
гии Г кинетическую энергию
Тп и получим нижнюю кривую на рис. 4.15, а. Нижняя кривая,
отнесенная к оси
и является кривой кинетической энер­
гии
Отметим на этой кривой точку максимума Q и
точку минимума N и по ним определим наибольший перепад
кинетической энергии ATjHg, необходимый для подсчета «7"р
по уравнению (4.53).
Обратим внимание, что для подсчета j " p но формуле
(4.53) необходимо знать наибольшее изменение ДТ[нб. Однако
ДГ1нб не зависит от начального значения ТнаЧ) И, следователь­
но, для определения ДТ[Нб не нужно знать численное значе­
ние Тнач> т.е. не нужно находить положение сдвинутой оси
абсцисс </?!•
Составим порядок определения момента инерции маховика
в соответствии с методом Мерцалова графическим способом:
приведение сил и моментов, построение диаграммы сум­
марного приведенного момента M£p(v?i) ( с м . § 4.2);
построение диаграммы A j](^ i) способом графического ин­
тегрирования (см. уравнение (4.28));
приведение масс;
построение диаграммы «/jnjP(</>i) (см. § 4.3);
п
Х
У1/i. АXVifX^
WA VAU
IVUV
|/U
F
X
«A
A
V
A
11A
A
\/
определение кинетической энергии Тц по формуле Тц =
= ;:^пР^1ср и переход к диаграмме Tn(</?i);
построение диаграммы кинетической энергии Ti(tp\) по
уравнению (4.56) (положение сдвинутой оси абсцисс назнача­
ется произвольно) и определение АТ\К&
подсчет Jjnp по уравнению (4.53) и определение момента
инерции маховика JMX.
В таком же порядке нужно вести расчет и численным спо­
собом.
На рис. 4.16 изображены графики, выполненные для про­
ектирования маховика по методу Мерцалова для машинно­
го агрегата, составленного из ДВС и электрогенератора (см.
рис. 4.1, а). Механические характеристики, необходимые для
расчета, заданы в функции положения (см. рис. 1.8, 1.9,5),
поскольку вал генератора вращается практически равномерно.
Начальным звеном назначим коленчатый вал ДВС — звено 1 .
Рассмотрим особенности расчета.
И =...мм/(Нм)
М
цф=... мм/рад
\Xj=... ммДкг-м2)
цгп=... мм/Дж
г ПР т*
Jn ('и
Ч\
а
в
Т,>Аг т
ЙГ1= VA=•••
N
Я
б
Рис. 4.16
г
Ф/
Сначала сделаем приведение (см. § 4.2) движущей силы
Гд и для одного полного цикла получим зависимость* приве­
денного движущего момента М д Р((^ 1 ). Так как маховик мо­
жет выполнить свое основное назначение только в условиях
установившегося режима, то при его расчете непременно долж­
но быть соблюдено основное энергетическое уравнение (4.48):
Ад = |А с |- Это уравнение обусловливает обязательное равен­
ство за цикл работ движущих сил и сил сопротивления. По2ж
2 тг
скольку Ас ЭТО АрМ, то / МдР (1<£>1 = / |MpMz i /z 4|d</?i. От0
о
сюда, учитывая, что М сР = |MpMz i/z 4| = const, получим
27Г
М"Р = ^ / < P( ^ ) d ^iО
Подсчитав Мспр, нужно определить М^р = М дР — М<?р
(рис. 4.16, а).
Признаком установившегося режима на
рис. 4.16, а является то, что площадки над осью абсцисс и под
ней равновелики, а на рис. 4.16, б — то, что ордината кривой
A j ^ i ) в конце цикла равна нулю.
Так как механизм во взятом примере (см. рис. 4.1, а) та­
кой же, как и рассмотренный в § 4.3, то, используя формулы
(4.22) — (4.25), заключаем, что в состав группы I входят зве­
нья I и | а в состав группы II — звенья 2 и 3. График при­
веденного момента инерции
= J£р +
представлен на
рис. 4.16, б.
Кинетическая энергия Тц определяется уравнением Тц =
и2
=
Пока задача динамического синтеза не завершена,
точное текущее значение
еще не известно. Но вследствие
малости коэффициента неравномерности справедливо прибли­
женное равенство и\ а иср (см. § 4.8). Поэтому можно
J1
принять Тц « -^2-Jj"p Так как и^р/2 = const, то график
* При исследовании установившегося режима начало цикла может
быть выбрано в любом положении начального звена; выберем в качестве
начального (нулевого) положения то, в котором точка С поршня 3 зани­
мает крайнюю правую позицию (см. рис. 4.1, а и 1.8).
jff>(W ) представляет собой одновременно и график 7n(</?i), но
выполненный в другом масштабе (см. рис. 4.16, в); соотноше­
ние между масштабами таково: цти = 2//j/^cp* Таким обра­
зом, метод Мерцалова не является, строго говоря, точным, но
вследствие малости ошибки вполне пригоден для практических
расчетов.
Поскольку Гп подсчитана не вполне точно, график Tj((/?i)
(рис. 4.16,6 и 4.16, г), а вместе с ним и наибольший перепад
ДГ1нб кинетической энергии (см. рис. 4.16, г) содержат неко­
торую ошибку. При [6 ] > 0,10 можно сделать уточнение ве­
личины AT jH5 по формуле, предложенной Д.М. Лукичевым:
д т 1нб = А Т 1нб - №](Гц„ + Тщ ). В этой формуле ТПп и Тщ
— значения кинетической энергии Тц в тех положениях п и q
механизма, в которых кинетическая энергия Т\ проходит через
свои крайние экстремумы; в уравнение (4.53) следует подста­
вить уточненное значение AT j*h6.
Определив AT ih6, подсчитываем Jjnp по уравнению (4.53)
динамического синтеза при установившемся режиме, а затем
Jmx- В большинстве случаев момент инерции маховика JMX
преобладает над остальными моментами инерции I группы.
Поэтому всякие изменения кинетической энергии Т\ проис­
ходят прежде всего за счет изменений кинетической энергии
маховика.
Рассмотрим роль маховика. В процессе расширения газа
(см. рис. 1.8) ДВС вырабатывает энергии больше, чем потреб­
ляет генератор. Избыток ее идет на увеличение Т\ (участок
NQ на рис. 4.16, г), т.е. прежде всего на увеличение кинетиче­
ской энергии маховика. Во время процесса сжатия газа ДВС
сам потребляет энергию на совершение работы сжатия. Гене­
ратор в это время также продолжает забирать энергию с вала
ДВС. Оба эти расхода энергии возмещаются за счет умень­
шения Т\ (участок QN на рис. 4.16, г), т.е. в основном за счет
уменьшения кинетической энергии маховика.
Таким образом, маховик то накапливает кинетическую
энергию, когда работа двигателя оказывается в избытке, то
отдает часть ее. Чем больше JMX (а следовательно, и J "p),
тем выше аккумулирующая способность маховика, тем мень­
ше будут колебания uj\ при колебаниях потока энергии, тем
равномернее будет вращаться вал машины, что видно из урав­
нения (4.53), решенного относительно 6 :
6=
АГ1нб
(4.57)
Аккумулирующая способность маховика используется не
только для обеспечения допустимой неравномерности хода ма­
шин. Так, в автомашинах маховик содействует троганию ав­
томобиля с места. Маховики применяют в машинах ударно­
го действия — молотах, прокатных станах, и др. В настоя­
щее время разрабатывают проекты транспортных машин, в
которых маховик — механический аккумулятор — будет ис­
пользоваться как экологически чистый и автономный источник
энергии.
Выше было изложено решение задачи динамического син­
теза, состоящей в определении момента инерции маховика «/мх,
обеспечивающего требуемое условие движения, заданное коэф­
фициентом неравномерности [6 ]. Теперь решим задачу дина­
мического анализа, обратную по отношению к задаче синтеза:
зная JMX, надо определить закон движения механизма, а за­
тем фактическое значение 6 . Для этого должен быть задан
момент инерции маховика JMX, а также размеры, массы, мо­
менты инерции всех звеньев механизма, шср и механические
характеристики. При решении задачи анализа, как и синтеза,
используется диаграмма
которая строится на основе
метода Мерцалова (см. рис. 4.16) при условии заведомо малой
неравномерности.
Проведем через начальную точку 0 11 кривой
ось (на
рис. 4.16, г показана штрихами). Относительно этой новой оси
кривая изобразит изменение кинетической энергии Д2|, кото­
рое выражается так:
JT
np,
АТ, = Г!—Т1н4Ч= —
2
нач
= ^1 ------ ^------ (^1-««%ач)-
Так как неравномерность вращения начального звена за­
ведомо мала. то можно принять {щ + ^ Нач)/2 ~ ы>ср- Тогда,
обозначив щ —
— А щ ъ получим
АТ\ »
Цю=... ммДрад с 1)
Но Jjnpo;Cp = const. Следовательно, при установившемся дви­
жении с малым значением коэффициента неравномерности 6
изменение кинетической энергии АТ\ приблизительно пропор­
ционально изменению Аш\ угловой скорости начального звена.
Кривая на рис. 4.16, г одновременно изображает как ATi(</?i),
так и Au>i((pi), но в разных масштабах; соотношение между
масштабами таково: /хы = M T I^ W p - График Aui(ipi) изо­
бражен на рис. 4.17.
Коэффициент неравномерности 6 определяют по формуле
6
=
^max “ ^min
k>cp
^ср
Угловое ускорение £\ начального звена при установившем­
ся движении подсчитывают по уравнению (4.33), в котором
= Jjnp + JjnjP Значения Af£p и
берут с соответству­
ющих диаграмм (см. рис. 4.16, а, в); и\ « cjcp. Производную
d j" p
dJT
np
—■ =
определяют графическим или численным дифdcji
аи\
ференцированием функции « ^ ( ^ l ) (поскольку j " p = const)
так, как указано в § 4.4. Нужно учитывать знак величин М£р
<4?
и
а VI
Угловое ускорение начального звена можно также выра­
зить следующим образом:
dwj
dwid<£i
dwi
-widf
dy>i d^
dy>i
В этом случае £\ определяют по диаграмме u\{ip\) (см.
рис. 4.17), применяя графическое или численное дифференци­
рование.
£1 =
4.10. Динамический анализ и синтез с учетом
влияния скорости на действующие силы
Для динамического анализа и синтеза, сделанного в § 4.9
по методу Мерцалова, характерен неучет влияния скорости на
действующие силы и моменты. Так, в примере проектирова­
ния маховика для ДВС (см. § 4.9) момент сопротивления элек­
трогенератора был задан в виде характеристики Мрм(</?) (см.
рис. 1.9, б), а не характеристики Мрм(и) (см. рис. 1.7). Такой
же неучет влияния скорости свойствен и некоторым другим
методам динамического синтеза (например, методам Артобо­
левского, Виттенбауэра [1, 3, 15]).
Пренебрежение влиянием скорости на силы и моменты до­
пустимо по той причине, что скорость начального звена вслед­
ствие малой неравномерности его вращения отклоняется от
своего среднего значения в большинстве случаев не более чем
на ±3 % (см. § 4.8). Поэтому изменения сил и моментов, при­
ложенных к начальному звену и зависящих от скорости, также
будут небольшими, и ими можно пренебречь.
Однако существуют машины, в которых влияние скорости
на силы и моменты выражено очень сильно. К ним относятся,
как известно (см. § 1.3), асинхронные и шунтовые двигатели,
получившие наиболее широкое распространение в промышлен­
ном электроприводе. Механические характеристики этих ма­
шин — в их рабочей части — представляют собой практически
прямую линию, расположенную почти вертикально (например,
рис. 1.5, 1.10, б). Это значит, что даже небольшие колебания
угловой скорости вызывают заметные изменения движущего
момента. Поэтому следует ожидать, что резко выраженная
зависимость момента от скорости должна оказать влияние на
результаты динамического анализа и синтеза.
Рассмотрим машинный агрегат, работающий в устано­
вившемся режиме и состоящий из роторного двигателя ДВ,
передачи П и рабочей машины РМ, механизм которой много­
звенный рычажный (см. рис. 1.1). Примем вал РМ за началь­
ное звено и к нему приведем силы и массы.
Рис. 4.18
Пусть механическая характеристика двигателя изобра­
жается ниспадающей прямой Мдв(и>дв). Приведенный движу­
щий момент* подсчитаем по уравнению Мд = Мдви, где
и = и>дв/и> = const, а и = и ?м. Поэтому график Мд(и>) изо­
бразится также ниспадающей прямой:
Мд = А - Ви
(4.58)
(рис. 4.18, а). Чем больше коэффициент 5 , тем круче спад ха­
рактеристики, тем резче выражена зависимость момента Мд
от скорости и. Напомним, что момент роторного двигателя
Мдв = invar(<£>) (см. § 1.3).
Приведенный момент сопротивления обозначим Мм; у
многих технологических машин он существенно зависит от
* Для упрощения записи здесь и далее опускаем значок « пр » при при­
веденных моментах и приведенных моментах инерции, а также номер 1
начального звена в обозначении его координаты </?, угловой скорости и/ и
углового ускорения е.
угла ip (рис. 4.18, б), но мало зависит от ш. Поэтому примем
Мм = invar(cj). Представим момент Мм как сумму двух сла­
гаемых: постоянного (constante) Ммс и переменного (variable)
MMV:
Мм = Ммс -f MMV.
(4.59)
Слагаемое Ммс есть среднее за цикл значение приведенного
27Г
момента Мм рабочей машины: Ммс = Мср = — / MMd(p =
Z7T
J
О
= const. Переменное слагаемое есть функция только координа­
ты вала РМ, т.е. обобщенной координаты <р: MMV = MMV((p)\
27Г
при этом J MMVd(p = 0.
0
Суммарный приведенный момент инерции всего машин­
ного агрегата также представим как сумму двух слагаемых*
(рис. 4.18, в):
JE = Jc + Jv,
(4.60)
27Г
где Jc = — / J^dip = const. В состав слагаемого Jc входит
Z7T
J
о
момент инерции маховика «7МХ, поэтому ордината Jc, имеющая
заведомо большое значение, показана на рис. 4.18, в с обрывом.
2тг
Переменное слагаемое Jv = Jv(у?); при этом / Jvd ip — 0.
о
Для уравнения движения понадобится производная
d J^/dcp. Из уравнения (4.60) следует, что d J^/d ip = d Jv/dip.
График d Jv/d ip = Jy в функции от обобщенной координаты (р
представлен на рис. 4.18, г. Так как Jv = Jv(<p) есть функция
27Г
периодическая, то
J
Jy d p
=
0.
0
* Обратим внимание, что разложение J e на два слагаемых в уравне­
нии (4.60) сделано несколько иначе, чем в уравнении (4.52), что продик­
товано математическими соображениями.
Напишем уравнение движения в дифференциальной форме
(см. (4.31)):
dcj
I d Jv о
^ d ? + 2 d 7 “ = м- + " ” '
С учетом уравнений (4.58) — (4.60) после несложных преобра­
зований получим
Jcu + Ви — (А + М ыс) +
ММу + (-Л е й -
(4.61)
Двучлен А + Ммс = Ьс есть величина постоянная. Много­
член
у 4“
~
~~ ^ v
периодически и явно зависит от <р, т.е. Lv = Lv(<p). Посред­
ством многочлена Lv((p) математически выражается воздей­
ствие двоякого рода, оказываемое на закон движения началь­
ного звена, т.е. вала рабочей машины; это, во-первых, пери­
одические изменения ее момента сопротивления — слагаемое
MMV] во-вторых, колебательное движение звеньев II группы
(см. § 4.9), т.е. ползунов, шатунов, коромысел, кулис и т.п.,
которые имеют переменный приведенный момент инерции —
слагаемое
Jvu —
Результатом указанного воздей­
ствия, поступающего со стороны рабочей машины, являются
внутрицикловые колебания угловой скорости ее вала, а следо­
вательно, и всего машинного агрегата. Назовем Lv(ip) выну­
ждающим моментом; он характеризует внутреннюю виброак­
тивность рабочей машины.
Так как неравномерность вращения вала рабочей маши­
ны мала, то угловое ускорение е = и тоже мало. К тому
же и момент инерции Jv сравнительно мал. Поэтому, допус­
кая небольшую ошибку, многочлен Lv((p) можно записать так:
Lv((f) = M MV - JyCOcp/2- Но вместе с тем укажем, что исполь­
зовать произведение JcCo и 0 нельзя. Заметная величина \Jcu\
при малом значении со объясняется следующим: чем с мень­
шим угловым ускорением е — Со должен вращаться вал рабо­
чей машины (т.е. начальное звено), тем большим должен быть
момент инерции маховика JMX, а стало быть, и Jc (см. § 4.9);
7 - 11273
поэтому произведение |</сш|, составленное из малой величины
|w| и заведомо большой Jc, отнюдь не мало.
Разложим вынуждающий момент Lv(ip) в ряд Фурье:
TuCv5) = LVl(ip) + LV2 (2ip) + LV3 (3<p) +
(4-62)
В ряду оставим только 1-ю гармонику Lvь поскольку доста­
точно часто именно она бывает наиболее влиятельной. Тогда
Lv{<p) а
cos tp. Так как при вращении с малой неравномер­
ностью Ifi ~ CJCptf, то
Lv{p) a LVl(ip) = Lk i cos(wcp<) = LVl(t).
Решим задачу динамического анализа, т.е. по известным
силовым воздействиям Мд и Мм и динамическим параметрам
механизма Jc и J!v определим закон его движения. Для этого
подставим выражение LVl(t) в уравнение (4.61):
JcCj + Ви = (А + Ммс) + Z a i cos(cjCpt).
(4.63)
Для установившегося режима решение уравнения (4.63)
имеет вид
и — ^ср Н---- - -
sin(u;Cp/ + /?),
(4.64)
y/(Jcb>с р )2 + 5 2
где
ис? = { А + М мс)/В,
(4.65)
tgP = B/(Jcucp).
(4.66)
Напомним, что Ммс < 0. График колебаний угловой скорости
вала рабочей машины относительно ее среднего уровня изобра­
жен на рис. 4.19, а.
Используя уравнения (4.49) и (4.64), определим коэффици­
ент неравномерности 6 вращения вала рабочей машины:
S = wmax “ ^min
Wcp
2 LA i
(4.67)
UcP^(JcUcp)2 + В*
Зная уравнение (4.64) и = w(y>), составим выражение для
движущего момента:
Мд — А - Ви> = А - Ви>Ср -
ВВк\
^ (Л М ф )2 + В 2
sin(y> + /?). (4.68)
Рис. 4.19
Таким образом, движущий момент в течение цикла будет изме­
няться по гармоническому закону, колеблясь около своего сред­
него значения Мдср = А - Виср. Используя (4.65), заключа­
ем, что это среднее значение равно модулю среднего значения
|AfMC|момента сопротивления, что и следовало ожидать, имея
в виду установившийся режим движения. Амплитуда
колебаний движущего момента выразится так:
ВЬА\
(4.69)
-^дЛ1 —
y/(JcU ср)2 +
£2
Результаты, представленные уравнениями (4.64) и (4.68),
можно уточнить, если проделать аналогичные действия, взяв
2-ю гармонику L v2 ряда Фурье (4.62), затем 3-ю L v3 и т.д., и,
используя принцип суперпозиции, все полученные решения ал­
гебраически сложить. После сложения функции и(<р) и М д(</?)
не получаются уже гармоническими. Они будут отражать осо­
бенности механизма рабочей машины и ее механической харак­
теристики.
Рассмотрим динамику вращательного движения вала ра­
бочей машины для случая Lv и Lv\ — ЬуцсоБср. Уравнение
(4.63) запишем в следующем виде:
JcCj = Мд + (М мс + Lv1 ).
Двучлен Ммс + Lv\ содержит постоянное слагаемое М мс
приведенного момента сопротивления рабочей машины. Назо­
вем этот двучлен нагрузочным моментом Мн = Мн(у>), кото­
рый противодействует приведенному движущему моменту Мд.
Тогда
Jcu = MR + Mn.
(4.70)
Рис. 4.20 является иллюстрацией уравнения (4.70).
Изобразим функции Мд((/?) и \Мк\(у>) графически
(рис. 4.19, б). Момент Мд запаздывает по отношению к мо­
менту \Мн\(<р) на фазовый угол г] = 90° - (3. Имея в виду
уравнение (4.66), получим
tg 77 = ctg /3 = JCUCT>/B.
(4.71)
Из рис. 4.19 ясно, что на участке QlN , когда |МН| > Мд,
т.е. когда сопротивление больше движущего воздействия,
угловая скорость и уменьшается. Поскольку момент Мд за­
висит от угловой скорости cj, ее уменьшение, согласно харак­
теристике двигателя (см. рис. 4.18, а), вызывает увеличение
момента Мд (см. рис. 4.19, б). Обратная картина происходит
на участке NQ.
Рис. 4.20
Нетрудно заметить, что заштрихованная площадка, рас­
положенная между точками N и Q (рис. 4.19, б), изображает
избыточную работу движущего момента, которая воплощается
1
2
в наибольший перепад (ДТс)нб = “ Л^шах “
1
о
кинети*
ческой энергии, заключенной в маховой массе Jc.
Рассмотрим, как влияет крутизна характеристики MR(u)
(см. рис. 4.18, а), выражаемая в уравнении Мд — А —Вш коэф­
фициентом В , на угловую скорость и движущий момент, изо­
браженные на рис. 4.19, а, б кривыми и((р) и MR(ip).
При 5 = 0 движущий момент Мд не зависит от ско­
рости. При этом изменения угловой скорости и вала рабо­
чей машины будут происходить с наибольшей амплитудой
ид\ = L /(JсиСр) (см. (4.64)), так что коэффициент нерав­
номерности 8 будет наибольшим (см. (4.67)). При 5 = 0
угол ту (см. рис. 4.19) запаздывания движущего момента Мд
по отношению к нагрузочному моменту |МН|будет равен 90°
(см. (4.71)). Движущий момент Мд = А = const (см. (4.68)),
его амплитуда Млд\ = 0 (см. (4.69)); момент MR(ip) изобра­
зится горизонтальной прямой (штрихпунктир на рис. 4.19).
При 5 > 0 характеристика MR{u) — уже ниспадающая
линия, и тем круче, чем больше 5 . Если 5 > 0 , то при увели­
чении угловой скорости и момент Мд уменьшается и тем ин­
тенсивнее, чем больше 5 . Чем больше 5 , тем меньше ампли­
туда u j4 ], т.е. тем меньше размах колебаний, следовательно,
меньше коэффициент неравномерности <5. Заметим, что если
при 5 = 0 коэффициент 8 обратно пропорционален Jjnp (см.
(4-57)), то при 5 > 0 зависимость коэффициента 8 от момента
инерции Jc маховых масс гораздо более сложная (см (4.67)).
Чем больше 5 , тем больше Мдд !, и тем меньше угол за­
паздывания ту. Иными словами, с увеличением 5 (т.е. при
увеличении крутизны характеристики MR(u)) график Мд(у>)
будет приближаться к графику
Укажем, что такой
результат о сближении графиков справедлив при любой зави­
симости \Мн(<р)\у а, не только при гармонической. Это связано
с тем, что двигатель, обладающий нисходящей характеристи­
кой ( 5 > 0), отслеживает всякое изменение нагрузки и при
увеличении 5 стремится приблизить текущее значение Мд к
текущему значению |МН|.
Если коэффициент В неограниченно увеличивать (В —>
—> оо), то в пределе характеристика двигателя будет верти­
кальной — абсолютно жесткой. Такой характеристикой обла­
дают синхронные двигатели переменного тока, применяемые
в различных агрегатах, особенно в агрегатах большой мощно­
сти. При В -> оо в пределе получим и)д\ = 0, и = о;ср = const.
В то же время при В —> оо амплитуда М д А 1 =
77 = О,
так что графики Мд и |МН|сольются: двигатель будет точно
отслеживать все изменения нагрузки |МН| (в том числе и не­
гармонические), подгоняя под них свой движущий момент Мд.
Чем жестче характеристика Мд(и>) (чем больше Б ), тем
ближе кривые Мл((р) и \MK(ip)\ Друг к другу, тем меньше за­
штрихованная площадка (см. рис. 4.19, б). Следовательно, при
приближении характеристики Мд(и>) к вертикали уменьшает­
ся тот наибольший перепад кинетической энергии (ДТС)Нб? ко­
торый должна воспринять маховая масса J cСделав этот важный вывод, перейдем к решению задачи
динамического синтеза, т.е. к определению момента инерции
7С, обеспечивающего заданный коэффициент неравномерности
[£]. Для этого из уравнения (4.67) определим искомую величи­
ну Jc(4.72)
Напомним, что уравнение (4.72) составлено для случая, когда
вынуждающий момент Lv(ip) = LAi cos<p.
Если расчет маховика ведется классическими методами
Мерцалова, Виттенбауэра, Артоболевского, т.е. не учитыва­
ется влияние скорости на Мд, то В = 0 (см. уравнение (4.58)).
Тогда из уравнения (4.72) получим Jc = Jcо = 2LA\l([b]u%v),
где 2 LAi = (ДТс)нб — тот наибольший перепад кинетической
энергии, который получается при В = 0 и вынуждающем мо­
менте Lv(ip) = LAi cos (р.
Преобразуем подкоренное выражение в уравнении (4.72).
Для этого введем коэффициент крутизны к = и>ср/И) (см.
рис. 4.18, а). Если характеристика Мд(и>) — горизонталь, т.е.
Мд не зависит от скорости, то к = 0 ; если Мд(и ) вертикаль,
то к = 1 . Таким образом, 0 < к < 1, и чем больше крутиз­
на характеристики Ма(ш), т.е. чем больше ее жесткость, тем
больше к.
к
Из рис. 4.18, а следует, что Ви>ср = ----- - М дср. Подставив
±
— АС
Виср под корень уравнения (4.72), получим
h = Jc0] j 1
= Jc0Q’
(4-73)
где 7 = 2 L Jsiil\ M lAC\ — коэффициент, показывающий неравно­
мерность вынуждающего момента Lvi((p), а а — поправочный
коэффициент.
На рис. 4.21 изображен график Jc(k) необходимого момен­
та инерции, подсчитанного по уравнению (4.73) при заданных
L a i , 7 , и)ср, [£]. Если момент Мд не зависит от скорости
(к = 0), то Jc = Jcо- Если момент Мд есть функция скорости,
т.е. к ф 0, но 0 < к < к1 (см. рис. 4.21), то график Jc(k) протекает почти горизонтально, т.е. Jc ^ Jcо. Умеренная крутизна
характеристики Мд(и) практически не влияет на необходимую
величину Jc- Это значит, что для машин, у которых крутизна
выражена не очень резко (к < к'), т.е. характеристика Мд(и>)
далека от вертикали (а таких машин очень много), маховик
можно проектировать, используя классические методы.
Если же крутизна характеристики Ма{ш) выражена очень
сильно ( к > к'), то в протекании графика Jc(k) наступа­
ет резкий спад (см. рис. 4.21). При [£] = 1/20, 7 = 2
к1
Рис. 4.21
1
к
(пример, типичный для многих рабочих машин) спад начи­
нается близ точки с абсциссой к1 = 0,9, для которой Jc =
= 0,974Jco. Если к > к', то даже небольшое ужесточение
характеристики двигателя (т.е. небольшое увеличение коэф­
фициента к) приводит к резкому снижению необходимой вели­
чины Jc, т.е. к уменьшению проектируемого маховика. Такой
результат имеет большое практическое значение: если при­
вод рабочих машин осуществляется от асинхронных или шунтовых электродвигателей, характеристика которых близка к
вертикали (см. рис. 1 .5 , 1 .1 0 , 6 ) и у которых, следовательно,
к > 0,9, то необходимый момент инерции явно меньше JcоЗначит, в указанных случаях классические методы динами­
ческого синтеза дают завышенный результат. Этим и объ­
ясняется тот непонятный, на. первый взгляд, факт, что валы
различных станков, механических пил, прессов и т.п. рабочих
машин, приводимых от асинхронных двигателей и имеющих
сравнительно небольшие маховики, вращаются тем не менее
с небольшой неравномерностью. Расчет с учетом резко вы­
раженной жесткости характеристики Л/Д(и;) (когда к > к1)
позволяет сознательно создавать маховики с небольшим мо­
ментом инерции, а следовательно, компактные и с меньшей
металлоемкостью.
Выше (см. уравнение (4.73)) было рассмотрено влия­
ние жесткости, т.е. крутизны, характеристики двигателя на
значение Jc в случае гармонического нагружения Lv\(p>) =
= Lai costp. Можно показать, что и при других, более слож­
ных видах нагружения характер влияния крутизны Мд(и;) на
значение Jc остается таким же, как он изображен на рис. 4.21.
Величина Jc, подсчитанная по уравнению (4.73), есть по­
стоянная составляющая суммарного момента инерции, приве­
денного к валу рабочей машины. Определив Jc и зная приве­
денные моменты инерции звеньев двигателя, передачи и рабо­
чей машины, находим JMX, т.е. ту часть Jc, которая приходит­
ся на маховик (рис. 4.18, б).
В рассматриваемом примере источником внутренней виб­
роактивности является рабочая машина, а не двигатель. По­
этому маховик целесообразно располагать именно на валу ра­
бочей машины, т.е. на валу источника внутренней виброак­
тивности, а не на валу, удаленном от него, т.е. не на валу
электродвигателя.
1. Какие условия надо соблюсти при приведении сил и масс?
2. Составьте уравнения движения механизма в энергетической и диф­
ференциальной формах.
3. Какие исходные данные должны быть известны при определении за­
кона движения механизма в неустановившемся (переходном) процес­
се?
4. Сформулируйте, в чем состоит основное назначение маховика.
5. Напишите формулу для подсчета необходимого момента инерции
маховой массы, обеспечивающей заданное значение коэффициен­
та неравномерности в случае, когда на действующие силы влияет
скорость движения звеньев механизма, а вынуждающий момент —
гармонический.
ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИ Ж ЕН И Я
МАШИННОГО АГРЕГАТА
С УЧЕТОМ УП РУГО СТИ ЗВЕНЬЕВ
В гл. 4 и ссл едовал ось дви ж ен и е м а ш и н н ого а г р е г а т а . П ри э т о м п р ед ­
пол агал ось, ч т о звенья м ехан и зм а а г р е г а т а а б с о л ю т н о ж е ст к и е . О дн а к о
в д е й ст в и т е л ь н о ст и звенья о б л а д а ю т п о д а т л и в о с т ь ю , в сл е д ств и е ч е го они
д е ф о р м и р у ю тся под д е й ств и ем при л ож ен н ы х сил. П о э т о м у на осн ов н ое
движ ение звеньев м ехан и зм а н а к л а д ы в а ется д об а в оч н ое, п ор ож д ен н ое их
у п р у г о с т ь ю и п р е д ста в л я ю щ ее соб ой к ол еб а тел ь н ы й п р о ц е сс. Э т о т п р о ­
цесс п р и в о д и т не то л ь к о к н а р уш ен и ю закона дви ж ен и я м ехан и зм а, но и
м о ж е т в ы зв а ть д и н ам и ч еск и е п ерегрузки его звен ьев и к и н е м а т и ч е ск и х
пар. И сследуем влияние у п р у г о с т и звеньев на д ви ж ен и е м а ш и н н о го а гр е ­
г а т а по м етоди ке, научн ы е осн овы к о то р о й р а з р а б о т а н ы М .З . К о л о в ск и м .
5.1. Динамическая модель машинного агрегата
Рассмотрим машинный агрегат, состоящий из двигателя
ДВ, передаточного механизма П и рабочей машины РМ, т.е.
потребителя механической энергии (рис. 5.1, а).
Пусть передаточный механизм является зубчатым
(рис. 5.1,5). Его валы подвергаются скручиванию, зубья —
изгибу и сдвигу. Определим ж ест кост ь переда т очн ого ме­
ханизма.
Во время работы механизма в зубчатом зацеплении дей­
ствует сила, деформирующая зубья. Рассмотрим составляю­
щую F T этой силы, касательную начальным окружностям, а
также составляющую 6Т упругого перемещения зубьев по это­
му же направлению т - т (рис. 5 . 1 , в). Сила и упругая де­
формация связаны соотношением F T = с£г, где с — коэффи­
циент линейной ж ест кост и (линейная жесткость) зубчатого
Рис. 5.1
зацепления. Коэффициент линейной жесткости пропорциона­
лен длине I зубьев: с = а/, где а — коэффициент, который для
стальных колес принимают равным 15000 МПа.
В дальнейших расчетах удобнее пользоваться не линей­
ной жесткостью, а угл овой . Чтобы перейти к ней, закрепим
неподвижно ступицу в сечении 2 колеса ^2 , а к валу больше­
го колеса Z3 в сечении 3 приложим момент М 3 . Под его дей-
ствием зубья сдеформируются и сечение 3 повернется на угол
</?3 . Очевидно, что 6Т = <^3 ^ 3 , a F T = Мз/г^з- Подставляя
эти выражения в уравнение F T = с6г, получаем М 3 = сг^3 </?з,
или окончательно М 3 = сз2 <^>з, где С32 = С7*^3. Величина С32
представляет собой коэффициент угловой жесткости зубчатого
зацепления, которая приведена к сечению 3 при неподвижном
сечении 2.
Если же поступить наоборот, т.е. закрепить сечение 5, а
к сечению 2 приложить момент М 2 , то сечение 2 повернется
на угол </?2 - Проделав те же действия, что и ранее, получим
М 2 = С2 3 <^2 >где С2 з = crw2' Здесь необходимо обратить особое
внимание на то, что С23 Ф С3 2 . Можно записать, что С23 —
= с г1 з ( г ги2/ги>з)2 = C3 2 U3 2 , Т.е. С2з = с32^ 2, где U32 =
= rw2/rw3 = z2 lzz — передаточное отношение зубчатого за­
цепления.
Жесткость вала длиной I и диаметром d (например, ва­
ла 3 —
рис. 5.1,6) определяется формулой, известной из
курса «Сопротивление материалов»: С34 = G J p/ l , где G =
= 8 •104 МПа, Jp = 7rd4/32. Для угловой жесткости вала спра­
ведливо соотношение С34 = С4 3 . Отметим также, что угловая
жесткость вала обычно много меньше угловой жесткости зуб­
чатого зацепления.
Определим жесткость всего передаточного механизма (см.
рис. 5.1, 6 ). При этом не будем учитывать инертность зубча­
тых колес и валов, так как она мала по сравнению с инерт­
ностью других звеньев машинного агрегата. Сделаем сечение
1 неподвижным, а к сечению 6 приложим момент M q. Под
действием этого момента участок 6 — 5 скручивается и сече­
ние 6 повернется относительно сечения 5. Аналогично момент
Мб вызовет деформацию зубьев в зацеплении 24 — 2 5 , вслед­
ствие чего сечение 5 повернется относительно сецения
Этот
поворот вызовет добавочное угловое перемещение сечения 6.
Рассуждая и далее так же, придем к заключению, что полное
угловое перемещение
сечения 6 представляет собой сумму
слагаемых, каждое из которых вызвано деформацией соответ­
ствующего участка передачи.
При определении этих слагаемых необходимо придержи­
ваться следующих положений:
1 ) подсчитывая поворот сечения 6 , вызванный деформаци­
ей какого-либо участка (например, участка 4 — 3), все осталь­
ные последовательно включенные участки при этом следует
считать абсолютно жесткими;
2 ) так как участок 4 — 3 связан с сечением 6 через зубча­
тое зацепление Z5 —Z4 , то, определяя угол поворота сечения 6 ,
вызванный скручиванием (^4 3 , нужно этот угол <£>43 умножать
на передаточное отношение и54 = н !
3) по причине, изложенной в п. 2 , момент, скручивающий
участок 4 — 3, не равен M q и поэтому его надо определять как
М 6 ^54Учитывая все это, запишем
м 6 , М 6 , Мб «54
Мб «54
-Мб «52
— н—
+
«54 +
«54 +
С65
С54
С43
с 32
= м
6
^J_ +
(
i с 65
=
С21
1
+
С54
и2
_54. + & + ц 52
с 32
С21
С43
Угловой жесткостью c^i передачи, приведенной к сече­
нию 6 при неподвижном сечении i, назовем отношение сы =
= М б/^б 5 тогда
1
С61
_
1
1
1
1
с 65
с 54
C43/ u |4
Сз 2 / « 5 4
|
1
C2l / t t § 2 '
Если нужно определить жесткость cie передаточного ме­
ханизма, но приведенную к сечению 1 при неподвижном сече­
нии 6 , то ci6 = c6 l^ 5 2j где U52 = ^2z4 /(z3zs) — передаточное
отношение зубчатого механизма.
Таким образом, передачу можно заменить ее моделью —
некоторым условным упругим валом с жесткостью q,a, кото­
рый соединяет двигатель с рабочей машиной (рис. 5.1, г). Угол
скручивания этого вала определяется как разность угловых ко­
ординат его концевых сечений b и а.
Примем, что кинематические характеристики у>м, ф м , ф>м
сечения b вала в точности такие же, как и кинематические ха­
рактеристики выходного сечения В передачи (см. рис. 5.1,6),
т.е.
V^M— V^pM)
Фм =
Фрм>
Фи ~
¥>рм-
(5.1)
Условный вал моделирует только упругие свойства пере­
дачи; ее передаточных свойств он воспроизвести не может. Их
учитывают с помощью уравнений
Фл = (РлвиВА\ Фл = ФлвиВА\ Фл = ФлвиВАч
(5-2)
где <рд, Фл> Фл — кинематические характеристики сечения а
условного вала; <^>дв, фдв, <£дв — кинематические характери­
стики входного сечения А передачи; ura — передаточное от­
ношение, которое для зубчатого механизма (см. рис. 5.1, б')
«52 = 21 Z 4 / ( z 3Z5 ).
Так как именно выходные характеристики передачи при
замене ее упругим валом, согласно уравнениям (5.1), не пре­
терпели изменения, то операции, выполненные по уравнениям
(5.2), условимся называть «пересчетом к выходному сечению
передачи». Однако при этом нельзя забывать, что между се­
чением а с координатой tpa и сечением b с координатой <ри на­
ходится условный упругий вал (рис. 5.1, г), и поэтому пересчет
к выходному сечению передачи не означает равенства коорди­
нат <ра и фм. Такое равенство имело бы место только в случае
абсолютно жесткой передачи.
У гол поворота сечения b упругого вала по отношению к
сечению а составит <рм — у>д. Поэтому упругий момент, при­
ложенный к рабочей машине от передачи, выразится так:
М н у — ~с(</?м — фд)>
(5 - 3 )
где с — жесткость упругого вала, приведенная к выходному се­
чению Ь\ знак минус означает, что реакция упругого элемента
направлена всегда навстречу его деформации.
В соответствии с этим упругий момент Мду, приложен­
ный к двигателю от передачи, равен —Мму, поэтому можно
записать
Мау = —с(у>д — фм)-
(5-4)
Колебательный процесс всегда сопровождается действи­
ем сил сопротивления (так называемых диссипативных сил).
Природа этих сил различна. Их причины — трение в кинема­
тических парах, а также в неподвижных соединениях деталей
(конструкционное трение в резьбе, в стыках и т.п.); внутрен­
нее трение, возникающее между частицами материала (в ме­
таллах — небольшое); наконец, специальные демпферы, уста­
навливаемые на валопроводах для ограничения возникающих
колебаний.
Связь между силой сопротивления и характеристиками
движения — сложная. Однако опыт показывает, что при не­
больших амплитудах — что и свойственно рассматриваемой
задаче — можно считать, что сила сопротивления примерно
пропорциональна скорости относительного движения.
Силы сопротивления проявляют себя в различных местах
механизма. Но все их можно привести к одному сечению и
заменить одним моментом вязкого сопротивления. Поскольку
для передачи, замененной условным валом, скорость сечения Ъ
относительно сечения а составляет (ры — </?д (рис. 5.1, г), мо­
мент сил сопротивления, приложенный к рабочей машине от
передачи, можно представить следующим образом:
Ммт = —&(фм ~ ^д))
(5.5)
где к — коэффициент сопротивления, приведенный к сече­
нию 6; знак минус показывает, что момент сопротивления
направлен всегда против относительной скорости. Аналогич­
но момент сил сопротивления, приложенный к двигателю от
передачи, запишем так:
А^дт =
д — ¥>м)*
(5*6)
Коэффициент сопротивления, приведенный к сечению 1
(см. рис. 5.1, 5), &16 = ^б1 ^5 2) где &61 — коэффициент сопроти­
вления, приведенный к сечению 6 . Отметим также, что значе­
ния коэффициента сопротивления находятся опытным путем.
Составим уравнения движения машинного агрегата. Так
как учитываются упругие деформации звеньев передачи, то
жесткой кинематической связи между ее входными и выход­
ными характеристиками нет, и на основное движение меха­
низма накладывается колебательный процесс. Следовательно,
механизм имеет уже не одну (как при абсолютно жесткой пере­
даче), а две степени свободы, поэтому для его исследования не­
обходимо назначить две обобщенные координаты и составить
два уравнения движения. Как уже было отмечено, инертность
звеньев передачи (вследствие ее малости) учитывать не будем.
Сначала составим уравнение рабочей машины в диффе­
ренциальной форме (см. § 4.4). Выберем в качестве начально­
го звена входной вал рабочей машины с координатой </?рм = tpM.
К нему приведем все массы и силы, приложенные к механизму
рабочей машины (см. § 4.3, 4.2), и запишем
т ..
d «7М . 2
,,
----- 4>ы = М Т,ы2 а (рм
, 1
Jm<Pm +
В суммарный приведенный момент М^м войдут приведенный
момент сопротивления рабочей машины Мм(</?м, (рм) и момент
Ммп, приложенный к валу рабочей машины от передачи. Он
состоит из упругого момента Мму и момента вязкого сопроти­
вления Ммт (см. (5.3) и (5.5)), т.е.
^МП — ММу + Ммх = —с{(Рм ~ ^д) ~ НФм ~ Фд)-
(5*7)
Уравнение рабочей машины принимает вид
J m Vm + 2
Фм = М м(<Рм)фм) — с((Рм — (Рд) — КФм~Фд,)- (5*8)
Составим уравнение двигателя с механизмом любой
структуры. Начальным звеном выберем выходной вал Дви­
гателя с координатой </?дв. Приведя к нему все массы и силы,
приложенные к механизму двигателя, запишем
т •• . 1 d «7ДВ . о
•7дв¥’дв + 2 а ^ дв = Медв'
В суммарный приведенный момент
дв войдут приве­
денный движущий момент Мдв(<^дв, <£>дв) и момент МДВп, при­
ложенный к валу двигателя от передачи.
Заменяя передачу услозным валом (см. рис. 5.1, г), следу­
ет пересчитать к ее выходному сечению кинематически6 ха­
рактеристики двигателя по уравнениям (5.2). Кроме того, пе­
ресчитать приведенный момент инерции */дв двигателе И его
производную d Удв/с1 (/?дв, а также моменты Мдв и Мдвц к вы-
ходному сечению передачи, используя
Jn —
*/дв
d «7д
1
BA
Мп =
м,дв
-Л^ДП —
Для передачи, изображенной
d J,дв
d <^дв
ВА
М;двп
(5.9)
на рис. 5.1,5, и д д = U52 =
= *2*4/(*3*5)Момент Мдп состоит из двух слагаемых: Мду и Мдт (см.
(5.4) и (5.6)). Учитывая это, а также используя уравнения (5.2)
и (5.9), получим после простых преобразований
+ z й(рд
= Мд (^ д .V a)-c(V >a-V b)-k(<P a~V u)- (5.10)
Системой уравнений ( 5 .8 ) и (5.10) описывается динами­
ческий процесс, протекающий в машинном агрегате при уче­
те упругости звеньев передачи. Неизвестными функциями в
этой системе являются обобщенные координаты </?д = </?д(£) и
<Рм “ Vm( 0 Ранее при замене передачи упругим валом предполага­
ли, что кинематические характеристики </?м, </?м, <£м сечения Ь
этого вала такие же, как и кинематические характеристики
выходного сечения В передачи, что и было записано в виде
уравнений (5.1). Но в равной мере можно было предложить
и другое условие: кинематические характеристики у>д, <£д, <£д
сечения а упругого вала такие же, как и кинематические ха­
рактеристики входного сечения А передачи, т.е. </?д = <рдв;
</?д = ^дв; <£д = <£дВ- Тогда уравнения (5.1), (5.2) и (5.9) по­
теряли бы силу. При постановке второго условия все кине­
матические, инерционные и силовые характеристики рабочей
машины надо пересчитать к входному сечению А передачи. К
этому сечению необходимо привести коэффициенты жесткости
и сопротивления, а именно: саЬ = сЬаи2
В А, каЬ = кЬаи2
В А.
Отметим, что в дальнейшем будут использоваться первое
условие и связанные с ним уравнения (5.1), (5.2) и (5.9).
5.2. Установившееся движение
машинного агрегата
Рассмотрим установившееся движение машинного агрега­
та, происходящее с малым коэффициентом неравномерности.
Возьмем типичный пример: двигатель агрегата — роторная
машина, передаточный механизм — зубчатый с передаточным
отношением uqa — иЪ2 = Z2 Z4 /(Z3 Z5 ) (см. рис. 5.1), а рабочая
машина имеет рычажный механизм — допустим, кривошипноползунный.
Пересчитаем по уравнениям ( 5 .2 ) и (5.9) все кинематиче­
ские, инерционные и силовые характеристики двигателя к вы­
ходному сечению В передачи. К этому же сечению приведем
коэффициенты жесткости с = cgi и сопротивления к = к ^.
Пусть двигатель имеет абсолютно жесткую характери­
стику: ид = идс = const (рис. 5.2, а), его движущий момент
не зависит от угла поворота Мд = туаг(</?д), а момент инер­
ции его ротора постоянный: *7Д = const.
Как и ранее (см. § 4.10), момент сопротивления рабо­
чей машины примем не зависящим от скорости вращения:
Мм = invar(<^M). Но момент Мм существенно зависит от угла
поворота (рм (рис. 5.2, б). Представим момент Мм как сумму
двух слагаемых: Мм = Ммс + М ми>в которой
2ж
J
Ммс =
M m( v?m)d
= const;
Muv = var,
0
2 tz
причем J M MV(ipM)d<pM =
0
.
о
Приведенный к валу рабочей машины момент инерции JM
ее механизма и его производная dJM/dp>M представлены на
рис. 5.2, в, г. Примем JM = JMC + Jmv] при этом
2ж
J
Jмс =
«^м(^мМ
= const;
о
2ж
Jmv — Vari j *^Mv(V?M)d
=
0.
Нетрудно заметить, что
2ж
d JM _ d JMV
d <pM
d ipM
^М1л
J
^ M u (V M )d
0.
С учетом этого запишем уравнения движения машинного
агрегата (5.8) и (5.10) в виде
J mc ^
m
+J
mv^ m
+
=
= Ммс + Muv — c(v?M— фд) — к(фм “ ^д)?
/ц^д = Мд — с(<рд — (рм) — к(фд — фм)-
(5-11)
(5.12)
Представим уравнение ( 5 . 1 1 ) следующим образом:
^мсФм = ^ м п + М ис +
М му + ^ —
>
гДе М мп — момент, приложенный к рабочей машине от пе-
Рис. 5.3
редачи и определяемый по уравнению (5.7). Напомним, что
Ммс = const (см. рис. 5 .2 , б). Слагаемые, заключенные в квад­
ратные скобки, зависят явно от угловой координаты <рм (см.
рис. 5.2, б, в, г) и изменяются периодически. Введем обозначе­
ние:
L mv(^Pm) — MMV +
Jmv&m “
(5.13)
Теперь уравнение (5.11) примет вид
Jmc$ m — Ммп + Ммс + ^ mv((/?m)*
(5.14)
Аналогично запишем уравнение (5.12):
= Мд 4~ Мдпэ
(5.15)
где Мдп = Мду + Мдт — момент, приложенный к двигателю
от передачи (см. (5.4) и (5.6)).
Динамическая модель исследуемого машинного агрегата,
построенная по уравнениям (5.14) и (5.15), изображена на
рис. 5.3. Решим уравнения (5.14) и (5.15) относительно иско­
мых функций </?м( 0 и
Так как характеристика двигателя абсолютно Жесткая
(вертикальная линия на рис. 5 .2 , а), то получаем решение для
(^д(^) и ее производных:
Фд = Чдс = const;
у?д = и>дct\ <£д =
(5.16)
Таким образом, вращение вала двигателя равномерное, с
угловой скоростью и>дв = ицс/и52 = const. Движущий Момент
Мд, пересчитанный к выходному сечению передачи, а следова­
тельно, и фактический момент двигателя Мдв = М^и52 будут
переменными величинами. Момент Мд(£) определим из урав­
нения (5.12) после того, как будет найдена </?м(£).
Получив решения (5.16), замечаем, что уравнение (5.11),
являющееся развернутой формой уравнения (5.14), содержит
только одну неизвестную функцию
которую и опреде­
лим из этого уравнения. Ясно, что оно является нелинейным
дифференциальным уравнением с переменными коэффициен­
тами. Для решения таких уравнений в нелинейной механике
используется метод последовательных приближений. Приме­
нительно к задачам динамики машин этот метод был впервые
разработан и эффективно применен М.З. Коловским.
Оставим в правой части уравнения (5.14) только член
Lmv(V m)> зависящий явно от угловой координаты </?м, а осталь­
ные слагаемые перенесем в левую часть и запишем ее с учетом
уравнения (5.7):
^исфм “Ь кфм. + арм — (кфд + с(рЛ+ Ммс) = -^ми(^м))
(5.17)
где JMC, Ммс, /г, с — не изменяющиеся в процессе движения ве­
личины. В то же время член LMV(ipM), стоящий в правой части
уравнения (5.17), периодически изменяется. В математической
постановке он представляет собой воздействие, вынуждающее
колебательный процесс. В уравнении (5.13) первое слагаемое
определяется технологическим процессом, а второе — нали­
чием кривошипно-ползуиного механизма рабочей машины. В
дальнейшем многочлен LMV(<pм) будем называть вынуждаю­
щим моментом.
Искомый закон движения </?M(t) определим методом после­
довательных приближений.
Н ачальное (н ул евое) приближ ение. Так как заведомо
известно, что неравномерность вращения вала рабочей маши­
ны Мала, то вначале положим, что момент LMV((pM), вызыва­
ющий эту неравномерность, примерно равен нулю. С учетом
этого запишем уравнение (5.17), подставив в него (5.16). Тогда
Jmc^Pm + k(<pM—и;дс) + с(у>м —LOj^ct) — Ммс = 0.
Решение этого дифференциального уравнения для устано­
вившегося режима имеет вид </?м = uRCt —Д; Сры — идс = const;
<1Рм = о, где
Д = - М мс/с.
(5.18)
Таким образом, в начальном приближении вал рабочей
машины вращается равномерно; его угловая скорость <рм =
= имс =
с = Ццв'Мбг = const. Координаты выходного сечения
В передачи и ее входного сечения А (см. рис. 5.1, б) связаны
соотношением </?м = ^дв^52 —Д, где Л = const — статическая
деформация передачи, приведенная к ее выходному сечению.
П ервое приближ ение. Теперь учтем влияние вынужда­
ющего момента LMV((pM) y подставив в выражение (5.13) ре­
зультаты начального приближения. Тогда получим LMv =
= MMV - J ^ c/ 2 , где Muv и J'MV периодически зависят от
взятого из начального приближения угла <рм = uMCt — А, т.е.
от времени t. Поэтому LMV = LMV(t) есть периодическая функ­
ция времени.
Решение срм = <pM(t) уравнения (5.17) для первого прибли­
жения представим в виде
= WMC* - А +
77,
(5.19)
где т
] = rj(t) — динамическая деформация. Из уравнения (5.19)
определим <рм = и>мс - 77; ipu = fj. Подставим полученные выражения в уравнение (5.17) и после несложных преобразований
получим
JmcV + ki]+ cr) = L mv (t).
(5.20)
Разложим вынуждающий момент LMV(t) в ряд Фурье:
^ми(0 = LMj\\ cos(cjMCt—Д —0 1 )4"j^mA2 cos( 2 uMCt — 2 Д ~ /?2 )+♦ ••“
oo
= ^ 2 I'MAi cos{iuuct - iA - A );
i=l
амплитуды ZrMi4 ,- и фазы /3j определяются формулами Эйле­
р а — Фурье. Теперь для решения уравнения (5.20) можно ис­
пользовать принцип суперпозиции:
ОО
v = m + *n +
= ^ 2 vit=i
(5-21)
Первое слагаемое щ определим из дифференциального
уравнения ( 5 .2 0 ), в правую часть которого подставим первую
гармонику из разложения в ряд Фурье:
Jucm
+
Ц -l + С7?1 = L uA1 c o s ( w M C < -
а
-
^ i ).
Для установившегося режима достаточно найти только част­
ное решение этого уравнения, хорошо известное из курса тео­
ретической механики:
Я1 = —
^мЛ1
cos (u>Mct — A — Pi —7 1 ) =
m
y/(c ~ u&Juc)* + ( b MC)2
^
= VAicos(u Mct - A - Pi - 7i)> (5-22)
где
i = arctg[/;wMC/(c - wj*cJMC)].
Аналогично получим частное решение гц для слагаемого
с номером г:
7
jmAi
^
: cos(iwMCt - *Д - /3,- - 7 ,) =
V Iе ~ (*wmc) 2 ^mc]2 + {kiu*ic)2
= TfAi cos (iuMCt - гД - P i - 7 ,),
где Ъ = arctg{fo'u;MC/[c - (iwMc)2 A ic]}.
Таким образом, rj = 77( 2) есть динамическая деформа­
ция, вызванная податливостью передаточного механизма, ко­
торая вместе со статической деформацией Д накладывается
на основное движение машинного агрегата (см. (5.19)). Эта
динамическая деформация представляет собой сумму упругих
гармонических колебаний (см. ( 5 .2 1 )), происходящих с угло­
выми частотами, кратными средней угловой скорости имс ра­
бочей машины. Как было отмечено ранее,
С^мс —
с — ^дв^52 — const.
(5.23)
Следует иметь в виду, что ряд ( 5 .2 1 ) обычно быстро схо­
дится, поскольку амплитудные значения Хмлъ £ МЛ2 >
•••
во многих случаях монотонно и быстро убывают при увеличе­
нии номера г члена ряда ( 5 .2 1 ). Поэтому при приближенном
решении задачи часто бывает достаточно рассматривать толь­
ко функцию r/i(t), вызванную воздействием первой гармоники.
5.3. Исследование влияния упругости звеньев
Определим частоту собственных колебаний агрегата.
Будем считать, что вынуждающий момент LMV — 0 и вязкое
трение к = 0. Тогда дифференциальное уравнение (5.20) будет
описывать собственные (свободные) колебания и примет вид
JmcV + сг) =
0
.
Отсюда, согласно положениям теоретической механики, полу­
чим частоту собственных колебаний
Р = \ [у -,
у
(5.24)
J MC
где р — угловая частота, рад/с (а не частота периодического
процесса, измеряемая в герцах).
Рассмотрим, как влияет упругость передачи на закон дви­
жения вала рабочей машины. Согласно уравнению (5.22), ам­
плитуда динамической деформации 77^ при учете только пер­
вой гармоники вынуждающего момента
VA1
__________^мА1__________
\ /(с -
u b cJu c)2
+
(5.25)
( к и м с)2
Функция t j a i = J/>il(c) представлена на рис. 5.4, а при не­
изменном значении угловой скорости и мс рабочей машины*
При статическом нагружении увеличение жесткости ве­
дет к уменьшению деформации. Однако в условиях динами­
ческого колебательного процесса зависимость деформации от
жесткости более сложная. Если жесткость мала (с < срез, где
Срез = ^мс^мс — жесткость, при которой наступает макси­
мум динамической деформации (см. рис. 5.4, а), т.е. насту­
пает явление резонанса), то в случае периодической нагрузки
увеличение жесткости вызывает увеличение (а не уменьшение)
деформации. Если жесткость велика (с > Срез), то при ее уве­
личении деформация будет уменьшаться. Такое влияние жест­
кости конструктор должен обязательно учитывать при про­
ектировании передаточного механизма, чтобы избежать резо­
нанса.
* Очень малые значения жесткости конструктивно нереализуемы; по­
этому в области этих значений (включая с = 0) график т/А1 (с) показан
штриховой линией.
На рис. 5.4, б сплошной линией изображена зависимость
= V A l i ^ M c ) при заданном значении жесткости с передачи.
Резонанс в системе наступает тогда, когда частота v\ первой
гармоники совпадает с собственной частотой: v\ — р. Так как
частота первой гармоники равна средней угловой скорости ра­
бочей машины v\ — ымс, то, следовательно, резонанс насту­
пает, когда и мс = lj MCi = р, или, согласно уравнению (5.24),
u>MС = WMC1 = y/c/JMC. Поэтому при резонансе т
}А 1 = ЬмА1 /(кр)
(см. (5.25)).
Введем известный из курса теоретической механики коэф­
фициент динамичности
VA1
_
_
VA1
т
/ )
^мА1 /с
где L ma i /c — статическая деформация, которую может вы­
звать момент, равный амплитудному значению L Mj41 первой
гармоники вынуждающего момента. Таким образом, коэффи­
циент cji, больший единицы, характеризует перегрузку, вы­
званную динамическими деформациями. При резонансе, когда
С —
Р
—
у /
с / J м с,
_
с
y/eJuc
арез ~ Т р ~ “ I - Ясно, что резонансное значение коэффициента динамич­
ности зависит от коэффициента вязкого трения к. Если бы
сопротивления не было (А: = 0), то арез —►оо, но сопроти­
вление, хоть и небольшое, всегда есть. Следовательно, арез
имеет конечное значение, которое, однако, может достигать
значений 15 — 20. Поэтому эксплуатация машинного агрега­
та в резонансном режиме (cjmc = имс\) недопустима. Если все
же избежать этого режима никак нельзя, то следует поставить
специальный демпфер, который искусственно увеличит сопро­
тивление и снизит сгрез.
Расчеты показывают: если средняя угловая скорость и мс
рабочей машины в 1,5 — 2 раза отличается от собственной
частоты р, то сопротивление обычно практически не влияет
на амплитуду г/ai вынужденных колебаний и ее можно опре­
делить, положив в формуле (5.25) к = 0 (см. Феодосьев В.И.
Сопротивление материалов. М., 1998).
Если угловая скорость имс, при которой эксплуатирует­
ся рабочая машина, меньше собственной частоты р, то сле­
дует проверить отсутствие резонанса, вызываемого второй и
более высокими гармониками. Для второй гармоники, часто­
та которой i/2 = 2 и/мс, резонанс наступит при V2 = р, откуда
^мсг = р/2. График г]А2 (имс) амплитуды колебаний, вынуж­
даемых второй гармоникой, показан на рис. 5.4, б штриховой
линией.
Рассмотрим момент Мпм = —Ммп,
которым рабо­
чая машина нагружает передачу, т.е. момент в сечении В
(см. рис. 5.1, а).
Согласно уравнению (5.7),
х
= к((рм —<рд) + с(<рм — <рд).
Преобразуя это уравнение с учетом уравнений (5.16),
(5.18), (5.19) и (5.23), получаем
МцМ = Ммс ~Ь {ki] + cry).
(5.26)
В уравнении (5.26) первое слагаемое — постоянный мо­
мент Ммс, нагружающий передачу. Двучлен, заключенный в
скобки, есть переменная динамическая составляющая нагру­
жения Muvi = kfj + ст]. Рассмотрим составляющую Mnv, введя
возмущение только от первой гармоники:
Mjivi = кщ + C77i.
Для этого найдем зависимость rji(t).
Из уравнения (5.22) следует, что щ = - tjai^ mc sin(uMCt —
~ a l)> где ol\= Д + ^ 1 + 7 1 - Поэтому Mnv\= -kr)Alu u cs\n(uuct - oli) + ct)a i cos(uMCt —a i). После элементарных тригонометри­
ческих преобразований получим
Mnvi = т
)А 1 \Jс 2 + (ки мс)2 cos(uMCt - ai + Cl) =
=
M nAl
cos(uMCt - ai + Cl)-
Введем, согласно методике Коловского, степень динами­
ческой нагруженности передачи х ь которую определим как
отношение амплитуды первой гармоники М па \ динамической
составляющей Mnv к амплитуде первой гармоники L ma i вы­
нуждающего момента LMV, учитывая уравнение (5.25):
XI =
\Л 2 + (fcwMC) 2
______________________ = .
МцА1
L
m
A1
у/
(с
U
mc
Jmc)2 +
(Ь>мс)2
(5.27)
График xi = XI(с) показан на рис. 5.5 при неизменном зна­
чении и мс. Если x i > 1 , то имеет место динамическая пере­
груженность передаточного механизма. При резонансе, когда
с = Срез = шмс^мс коэффициент x i может достигать значений,
значительно превышающих единицу.
Как следует из уравнения (5.27), при с = срез/ 2 , коэффици­
ент xi принимает значение, равное единице. Можно показать,
что если для значения с = срез/ 2 подсчитать коэффициент х
для гармоник более высокого порядка, чем первая, то х* < 1 Иными словами, если жесткость с < срез/ 2 = ^ CJMC/ 2 , то
амплитуды
всех гармоник динамического момента M nv
будут меньше, чем амплитуды £ мЛг соответствующих гармо­
ник вынуждающего момента LMV, что можно использовать для
улучшения динамической характеристики участка АВ машин­
ного агрегата (см. рис. 5.1, а).
Если на участке АВ последовательно с передачей раз­
местить упругую муфту, подобрав ее жесткость так, чтобы
общая жесткость участка стала меньше срез/ 2 (т.е. меньше
^мс^мс/2), то динамическая составляющая Muv момента, на­
гружающего передачу, станет меньше вынуждающего момен­
та LMV. При этом, однако, следует иметь в виду, что малая
жесткость, защищая передачу от перегрузок, может повлечь
за собой слишком большие деформации.
Кроме того, при с < срез/ 2 выход на рабочий скоростной
режим имс во время пуска машинного агрегата неизбежно бу­
дет связан с проходом зоны резонанса, так как при с < срез/ 2
средняя угловая скорость имс рабочей машины больше часто­
ты р собственных колебаний агрегата (зарезонансный режим).
Проход зоны резонанса сопровождается кратковременными, но
значительными динамическими перегрузками. Особенно опа­
сен в этом отношении процесс выбега, когда после выключения
двигателя машина, будучи предоставлена самой себе, теряет
скорость под действием небольших сопротивлений (трение в
кинематических парах и т.п.). Здесь обратный проход зоны ре­
зонанса может оказаться достаточно длительным, вследствие
чего амплитуды вынужденных колебаний успеют возрасти до
недопустимого предела. В то же время для конструкции, обла­
дающей большой жесткостью (с > срез), средняя угловая ско­
рость имс рабочей машины меньше частоты собственных ко­
лебаний р машинного агрегата (дорезонансный режим), так
что проход зоны резонанса с гармоникой первого порядка (как
прямой, так и обратный) отсутствует.
К он тр ол ьн ы е воп р осы
1. Н ап и ш и те уравнения дви ж ен и я вала д в и га те л я и вал а р а б оч ей м а ­
ш и н ы при у ч е т е у п р у г о с т и звен ьев с в я з ы в а ю щ и х их п ередач и .
2. П о какой ф ор м ул е п о д сч и т ы в а е т ся ч а с т о т а с о б с т в е н н ы х к ол еба н и й
вала ра бочей м а ш и н ы ?
3. Как влияет упругость передачи на динамическую деформацию вала
рабочей машины?
4. Как влияет упругость передачи на степень ее динамической нагруженности?
5. В чем проявляется явление резонанса? При какой жесткости переда­
чи наступает резонанс?
Г л а в а
в
СИЛОВОЙ РАСЧЕТ М ЕХАНИЗМ ОВ
При движении механизма в его кинематических парах действуют
силы взаимодействия между звеньями. Знание этих сил необходимо для
расчета звеньев механизма на прочность, жесткость, вибростойкость, из­
носоустойчивость, для расчета подшипников на долговечность, а также
других расчетов, выполняемых при проектировании механизма. Напом­
ним, что силы в кинематических парах являются внутренними силами по
отношению к механизму в целом (см. § 1.3). Определение внутренних
сил и в ряде задач — сил и пар сил, приложенных к механизму извне,
составляет содержание силового расчета.
6.1. Основные положения
Рассмотрим силовой расчет плоских механизмов. При­
мем, что механизм имеет плоскость симметрии, параллельную
плоскости его движения, в которой действуют все приложен­
ные силы. Указанному условию отвечает очень большое число
механизмов энергетических, технологических, транспортных
машин и различных приборов.
Силовой расчет следует выполнять с учетом ускоренного
движения звеньев, так как их ускорения в современных быст­
роходных машинах значительны. Неучет ускоренного движе­
ния звеньев вызовет недооценку нагружающих сил, что может
привести к ошибкам в дальнейших инженерных расчетах.
Чтобы учесть ускоренное движение звеньев, применим ме_
тод кинетостатики, условно приложив к каждому подвижному
звену механизма главный вектор Фг и главный момент
сил инерции. Эти силовые факторы являются внешними.
Запишем для любого звена с номером г три уравнения ки~
нетостатики:
Fx + Ф,х — 0 ;
( 6 .1 )
Y ^ F y + *iy = 0 -,
(6.2)
t
г
2 2 M 0 (F ) + 2 2 M + Mo ( * i ) + Мфi = о,
г
(6.3)
i
где M q — момент силы F относительно точки О. Два алгеб­
раических уравнения ( 6 . 1 ) и ( 6 .2 ) могут быть заменены одним
эквивалентным векторным уравнением сил:
2 2 р + ф { = о.
i
Главный вектор Ф; и главный момент Мф{ сил инерции
звена г определяют по уравнениям
Ф» — ~ miaSi> Мфх —
(6*4)
Уравнение Мф,- = —Jis^i показывает, что главный вектор сил
инерции Ф, приложен к центру масс 5,- звена г.
Отметим, что сила Ф, и пара сил Мф,- к звену i в дей­
ствительности не приложены. Главный вектор Ф,- и главный
момент Мф; сил инерции не имеют никакого физического со­
держания и в уравнениях (6.1) — (6.3) выполняют роль лишь
математических величин, посредством которых учитывается
влияние ускоренного движения звеньев. Как известно из те­
оретической механики, этими математическими величинами
можно условно пользоваться как силовыми факторами.
Силы в кинематических парах, являющиеся искомыми,
находят из уравнений ( 6 . 1 ) — ( 6 .3 ), в которых они содержатся
в составе сумм £ Fx , Y ,F y , £ M q {F ). Поскольку Ф,г , Ф;у,
г
i
г
Мф{ зависят от ускорений, искомые силы также зависят от
ускорений. Следовательно, для проведения силового расчета
надо знать закон движения механизма.
Рассмотрим действие сил в кинематических парах, счи­
тая, что влияние трения мало и им можно пренебречь.
Рис. 6.1
Сила взаимодействия звеньев, образующих низшую па­
ру, представляет собой равнодействующую элементарных сил,
распределенных по поверхности соприкосновения звеньев. Как
известно из теоретической механики, сила взаимодействия
двух соприкасающихся тел в отсутствие трения направлена
по общей нормали к их поверхности.
В поступательной паре звенья 1 и 2 соприкасаются в кон­
структивных пределах звена 1, т.е. на участке UW Реакция
F 1 2 , действующая на звено 1 от звена 2, приложена в точке D
и_направлена по нормали п — п (рис. 6.1, а). Модуль реакции
F 12 и расстояние 6 неизвестны и должны быть определены в
процессе силового расчета. Сказанное, в силу третьего закона
Ньютона, полностыо_относится к реакции i ^ i , приложенной к
звену 2 от звена 1 : F 21 = ~ ^ 1 2 Рассмотрим особый, но весьма распространенный случай.
Пусть на звено 1 действует активная сила F i (рис. 6 .1 , 6 ).
Формально она должна быть уравновешена силой F 1 2 ? ПРИ~
ложенной в точке D. Однако звено 2 в точке D не может воз­
действовать на звено 1 , поскольку соприкасаются звенья 2 и 1
на участке UW (в конструктивных пределах звена 2), а точ­
ка D находится вне этого участка. В случае, когда^Ь > а, к
звену 1 будут приложены уже две реакции F y 12 и Fyy \2 (см*
рис. 6 . 1 , 6 ), а не одна (как на рис. 6.1, а, где Ь < а). Можно
считать, что эти реакции приложены в крайних точках U и
W Именно они, направленные навстречу и неизвестные по
модулю, и представляют собой реальное силовое воздействие
на стержень 1 от звена 2 , а вектор F 12 является лишь их фор­
мальной равнодействующей. Следовательно, если в процессе
силового расчета размер b получается больше размера а (при
любом внешнем активном нагружении), то в поступательной
паре действуют две реакции.
Таким образом, поступательная пара в любом случае (см.
рис. 6 . 1 , а, б) вносит в расчетные уравнения две неизвестные
величины.
_
Во вращательной паре сила F и направлена нормально к
цилиндрической поверхности соприкосновения обоих звеньев,
т.е. проходит через центр шарнира А (рис. 6 . 1 , в). Положе­
ние центра шарнира всегда известно, но модуль силы F \2 и
угол (3 неизвестны. И эта низшая пара привносит в расчет
две неизвестные. Следовательно, от каждой силы, действую­
щей в низшей кинематической паре, в расчетных уравнениях
(6.1) — (6.3) появляются две неизвестные величины.
Пусть вращательная пара конструктивно выполнена в ви­
де двух подшипников: 0 1 и О" (рис. 6 .2 ). Сила F 1 2 , получен­
ная из расчета, расположена (во взятом примере) в плоскости
В — В зубчатой передачи и является равнодействующей ре­
акций 7^12 и jp ^2 • Эти реакции представляют собой реальное
силовое нагружение подшипников. Именно они нужны для рас­
чета подшипников на долговечность, а вала — на прочность.
В высшей паре контакт звеньев может быть либо точеч­
ный , либо линейным. Силовое взаимодействие звеньев при то­
чечном контакте выражается сосредоточенной силой, при ли­
нейном — в виде нагрузки, распределенной по линии контакта.
8 - П273
В последнем случае под силой взаимодействия понимают рав­
нодействующую элементарных распределенных сил.
Сила F 12 в высшей паре направлена по общей нормали
п — п (рис. 6.3). Следовательно, для силы F 12 известны как
точка приложения (точка К ), так и линия действия, и неиз­
вестным остается только модуль. Таким образом, в расчетных
уравнениях ( 6 .1 ) — ( 6 .3 ) члены, образованные силами взаимо­
действия в высших парах, содержат по одному неизвестному.
Рассмотрим статическую определимость любого плоского
механизма без избыточных связей (q = 0 ), в состав которого
входят п подвижных звеньев, рн низших и рв высших кине­
матических пар. Так как для каждого звена механизма мож­
но записать три расчетных уравнения ( 6 . 1 ) — ( 6 .3 ), то общее
число уравнений для всех его п подвижных звеньев составит
Ny = 3п.
Ранее было показано, что каждая низшая пара вносит
в расчетные уравнения две неизвестные величины, а каждая
высшая — одну. Поэтому все кинематические пары вносят
N f = 2рн + Рв неизвестных. Эти неизвестные относятся к си­
лам в кинематических парах, т.е. к внутренним силам. Кон­
кретно Np неизвестных представляют собой модули этих сил,
линейные координаты точек их приложения, угловые коорди­
наты линий их действия.
Запишем для плоского механизма формулу Чебышева (см.
уравнение ( 2 .2 )):
Зп = (2рн + Рв) + Wn.
Сопоставив с ней выражения для Ny и N p, получим Ny =
= Np + Wn. Таким образом, число уравнений Ny достаточно
для определения всех Np неизвестных. Отсюда следует прин­
ципиально важный вывод: механизм без избыточных связей
статически определим.
Оставшиеся Wn уравнений используют для определения
тех внешних силовых факторов, т.е. сил и пар сил, приложен­
ных к механизму извне, которые не заданы и в силовом расчете
являются искомыми* Следовательно, число этих внешних не­
известных не должно превышать числа степеней свободы меха­
низма. Если же все внешнее нагружение задано, то оставшиеся
Wn уравнений используются как контрольные.
Установим последовательность выполнения силового рас­
чета. Пусть задан механизм (рис. 6.4, а) без избыточных свя­
зей, имеющий Wn = 1 . Допустим, что момент М\ (пара сил),
приложенный к кулачковому валу извне, не задан и является
искомым. Остальными неизвестными будут внутренние силы
в кинематических парах. Чтобы определить их, механизм надо
расчленить.
* В ряде учебников неизвестные внешние силовые факторы называют
уравновешивающими силами и уравновешивающими моментами.
Прежде всего следует выделить двухзвенный механизм,
состоящий из подвижного звена и стойки. Подвижным звеном
двухзвенного механизма должно быть обязательно то, к кото­
рому приложен искомый внешний силовой фактор (в рассмат­
риваемом примере — кулачок i, нагруженный неизвестным
внешним моментом М\\ рис. 6.4, б). Затем оставшуюся часть
заданного механизма необходимо расчленить на структурные
группы Ассура (см. гл. 2). В рассматриваемом механизме
таких групп две: одна состоит из звена 2 , высшей пары 2 / 1 и
вращательной пары 2 / 5 , другая — из звеньев Зи вращатель­
ных пар 3/2 и 3/4 и поступательной пары 4/6. Подчеркнем,
что именно при таком расчленении заданного механизма в си­
ловом нагружении каждой структурной группы неизвестными
будут только силы в кинематических парах. Поэтому число
неизвестных в группе составит Np = 2рн.г + Рв.г> а число рас­
четных уравнений для нее Ny = 3пТ. В то же время, для струк­
турной группы справедливо соотношение 3пг = 2рн.г+Рв.г (см.
§ 2.3). Сопоставляя его с выражениями, полученными для Ny
и А р, заключаем, что Ny == Np. Это значит, что структурная
группа Ассура, сколь бы сложной она ни была, обладает заме­
чательным свойством: она статически определима. При этом
все активные силы (сопротивления, движущие, силы тяжести
и др.), приложенные к звеньям группы Ассура, должны быть
обязательно известными.
Если в механизме имеются структурные группы, которые
содержат избыточные связи, то эти структурные группы явля­
ются статически неопределимыми. Вместе с ними статически
неопределимым становится и весь механизм.
Только после того, как силовой расчет всех структурных
групп проделан, двухзвенный механизм 1 — 5 (сМ- рис.
*0
получает статическую определимость. При этом необходимо
отметить, что если его подвижное звено совершает вращатель­
ное движение, то не обязательно вращение принимать равно­
мерным. Более того, если искусственно задавать враШение
без углового ускорения, то решение уравнения моментов> со­
ставленного для подвижного звена двухзвенного механизм^ во
многих случаях может оказаться далеким от истинного Даже
при вращении с малым коэффициентом неравномерности) а в
иных случаях и попросту абсурдным.
На основании вышеизложенного можно сформулировать
общую методику силового расчета: силовой расчет механиз­
ма без избыточных связей следует проводить по структурным
группам, начиная от группы, наиболее удаленной от подвиж­
ного звена двухзвенного механизма, и заканчивая расчет са­
мим двухзвенным механизмом. Таким образом, силовой рас­
чет проводится в порядке, обратном кинематическому. Струк­
турное расчленение надо проводить так, чтобы неизвестный
внешний силовой фактор оказался приложенным к подвижному
звену именно двухзвенного механизма. Добавим, что если все
внешние силовые факторы, нагружающие заданный механизм,
известны, то выбор двухзвенного механизма для структурно­
го расчленения становится произвольным. Сформулированная
общая методика верна также и для механизмов с Wn > 1 сте­
пенями свободы.
Следует иметь в виду, что не всегда силовой расчет можно
выполнить путем расчленения заданного механизма на двух­
звенный механизм и группы Ассура. Рассмотрим, например,
механизм, в котором внешняя сила F 2 является искомой по мо­
дулю (рис. 6.5, линия действия силы F 2 задана). Если попы­
таться выделить группу Ассура либо 2 — 5, либо 1 — 2 и со­
ответственно двухзвенный механизм, то в любом из этих слу­
чаев неизвестная по модулю внешняя сила F 2 окажется при­
ложенной к выделенной группе (а не к двухзвенному механиз­
му), что сделает группу статически неопределимой. Поэто­
му при заданных условиях, когда искомый внешний силовой
фактор (сила F 2 ) приложен к звену, не связанному со стой­
кой, нельзя выделять группу Ассура, а надо решать статиче­
ски определимую трехзвенную систему 1 — 2 — 3 целиком, а
затем (если нужно) сделать силовой расчет стойки 4• Систе­
мы, более сложные, чем группы Ассура (например, система
1 — 2 — 3 на рис. 6.5), обладающие статической определимо­
стью и содержащие минимальное число звеньев, называют ки­
нематическими группами.
В заключение рассмотрим, что конкретно представляет
собой при Wn = 1 неизвестный внешний силовой фактор, при­
ложенный к подвижному звену двухзвенного механизма. Если
подвижное звено соединено с источником (или потребителем
В
/
4
Рис. 6.5
механической энергии — в зависимости от направления потока
энергии) посредством муфты (рис. 6 .6 , а), то внешним силовым
фактором является неизвестный момент М. Если же подвод
(или отвод) энергии осуществляется через зубчатую или фрик­
ционную передачу (рис. 6 .6 , б, в), то внешним силовым факто­
ром будет неизвестная по модулю сила F Расположение линии
действия силы F определяется либо геометрией зубчатой пе­
редачи (углом зацепления а^), либо проходит через точку со­
прикосновения фрикционных катков касательно к их рабочим
поверхностям. При ременной передаче (рис. 6 .6 , г) внешний си­
ловой фактор представлен уже не одной, а двумя неизвестными
по модулю силами F\ и i^ , связанными между собой формулой
Эйлера. Поэтому внешний силовой фактор по-прежнему один
раз неизвестен. Линии действия сил F\ и F 2 определяются по­
ложением ведущей и ведомой ветвей ременной передачи. Если
же подвижное звено двухзвенного механизма совершает пря­
молинейно поступательное движение (рис. 6 .6 , <?), то внешним
силовым фактором является одна неизвестная по модулю си­
ла F, действующая обычно вдоль направляющей поверхности.
Таким образом, и здесь внешний силовой фактор один раз не­
известен.
а
б
в
Р и с. 6.6
г
д
6 .2 . А налитический метод
силового расчета механизма
Аналитический, или координатный, метод рассмотрим
на примере центрального кривошипно-ползунного механизма.
Исходные данные: 1 ) кинематическая схема (рис. 6.7); 2) мас­
сы и моменты инерции всех звеньев и расположение на них
центров масс; 3) закон движения механизма; 4) внешнее на­
гружение F 3 и М\. Зависимости ^ 3 (^ 1 ), M\((pi) и закон дви­
жения wi(y?i), Ei((pi) принять заданными в табличной форме.
Силами тяжести можно пренебречь, поскольку в механизмах
современных машин они малы по сравнению с другими силами.
Напомним, что в § 6 . 2 силовой расчет проводится без учета сил
трения.
Определение сил в
кинематических парах.
Зададимся системой коорди­
нат А ху (см. рис. 6.7). Ме­
тодами
кинематического
анализа (см. гл. 3) для каж­
дого значения обобщенной
координаты ipi определим
координаты центров масс
XS2 > 2/52)
XS3и координаты
центров шарниров
уд,
х с , а также проекции уско­
рений центров масс
>
a S 2 y ,
aS
и
x угловое ускоре­
3
ние £2 - Обратим внимание,
что все эти величины име­
ют знак, который обязатель­
но надо учитывать в после­
дующих расчетах.
Определим
проекции
главных векторов и главные
моменты сил инерции, заме­
тив, что адзу = 0 , £ 3 = 0 :
Рис. 6.7
$2z = -Т П 2 а $ 2 х \
$2y = -T n 2aS 2y\
Фзх = - m 3aS3x'i
ФзУ = 0;
(6.5)
Мф1 = -J \ a £\'i Мф2 = ~ h s e2\ Мф3 = 0.
(6.6)
Главный вектор сил инерции звена i Ф1 = —mias\ = 0,
так как asi = 0 , поскольку центр масс S\ благодаря противове­
су находится на оси вращения А (см. рис. 6.7). Отметим, что
величины главных векторов и главных моментов сил инерции
зависят от квадрата угловой скорости
начального звена 1 \
это имеет особое значение для быстроходных механизмов.
Для каждого звена механизма составим два уравнения
проекций на оси х и у и одно уравнение моментов. Модуль
искомой силы F в кинематической паре найдем через ее про­
екции: Г =
s i n + Ц , а угол наклона ц>р вектора F к оси
х — по очевидным формулам: cos <рр = Fx/F, sin ipp = Fy/F
Момент относительно точки О силы F, приложенной к некото­
рой точке К, определим из уравнения M q (F) = Fy(xp- —х о ) —
-F x (y K - УоУ Напомним также, что, поскольку силовой рас­
чет выполняется методом кинетостатики, в число реальных
внешних силовых факторов условно вводятся главные векто­
ры Ф, и главные моменты М$,- сил инерции подвижных звеньев
механизма. Поэтому все уравнения проекций и уравнения мо­
ментов формально сводятся к нулю, хотя подвижные звенья
механизма не находятся в равновесии, а движутся усхореННОРасчленим механизм на структурную группу Дссура
3 — 2 и двухзвенный механизм 1 — 4• Сделаем силовой расчет
группы^ 3 — 2. К ее звеньям приложены известные здешние
силы Рз, Фз, Ф2 и момент Мф2 (р и сб .8 , а). НеизвесТИ^ш0
являются модуль и направление силы F 2 1 , модуль сиди Г 34 и
ее плечо 6, модуль и направление сил взаимодействии д шар­
нире С, связанных соотношением F 23 = —Рз2Сумма проекций на ось х сил, приложенных к зве0У
равна нулю:
Fx = 0. Следовательно,
3
Fix + Фз* + Рз2х = 0.
(6-7)
Искомой является проекция
F$2 x • Знаки в этом урав­
нении, как и во всех после­
дующих, имеют алгебраиче­
ский смысл.
Это значит,
что числовые значения про­
екции сил подставляются в
уравнения проекций сил и
моментов со строгим соблю­
дением их знаков. Так, про­
екция F$x имеет знак ми­
нус, поскольку сила F 3 на­
правлена вниз (рис. 6 .8 , а).
Модуль и направление силы
F 3 можно взять из исходных
данных. Модуль и знак про­
екции Фз* определяются из
уравнения (6.5). Очевидно,
что проекция F ^ x = 0 .
Сумма моментов отно­
сительно точки В всех сил,
приложенных к звену 2 ,
равна нулю: ^ М в = 0.
2
Отсюда
Рис.
6 .8
^23у(х С - ХВ ) - FwxiVC - Ув) + $2y(x S2 ~ ХВ ) ~ $ 2 x{yS 2 ~ Ув) + Мф2 = 0.
( 6 .8 )
В уравнении ( 6 .8 ) искомой является ^23у! численное значе­
ние и знак момента Мф2 определяются из уравнения ( 6 .6 ), а
-?23х = —Fz2 x - Теперь определим модуль силы ^23» нагружа­
ющей шарнир (7, и ее угловую координату <рр23 так, как было
указано ранее.
Сумма проекций на ось х для звена 2 :
Fx =
0,
или
2
р23х
+ $2x +
F 21x
откуда определяем проекцию i^lx •
= 0>
( 6 -9)
Сумма проекций на ось у для звена 2: £) Fy = 0, т.е.
2
F-iZy +
$2
у + F 21J, =
( 6 .1 0 )
где искомой является i ^ iy Подсчитаем модуль силы F 2 1 , на­
гружающей шарнир В , и ее угловую координату <PF2 lСоставим сумму проекций на ось у для звена 3:
= 0,
3
учитывая, что
= 0 и Фзу = 0 , имеем
F$2y + F u y
= 0.
(6-11)
Отсюда найдем проекцию F ^ y. Направление силы F 3 4 , при­
ложенной к ползуну 3 от стойки 4 >определяется ее знаком.
Осталось неиспользованным уравнение моментов
Мс =
з_
= 0 , которое употребим для определения плеча 6 силы F 34 (см.
рис. 6 .8 , а):
F u y(xo ~ хс)
= 0,
(6 . 12)
откуда получим b =
- хр = 0 я хр = xq.
Таким образом, для структурной группы 2 — 3 были ис­
пользованы шесть уравнений ( 6 .7 ) — ( 6 . 1 2 ), из которых были
определены все неизвестные.
План сил, приложенных к звеньям структурной группы,
представлен на рис. 6 .8 , б. Этот план наглядно показывает,
как важно учитывать влияние ускоренного движения звеньев.
Если им пренебречь, т.е. положить силы инерции Ф2 и $3
равными нулю (рис. 6 .8 , в), то такой неучет приведется зани­
женным значениям сил в кинематических парах (сил F 2 1 , ^ 32 >
.F3 4 ), что особенно проявит себя в механизмах быстроходных
машин.
Перейдем к силовому расчету двухзвенного механизма, со­
ставленного из подвижного звена 1 и стойки 4 (рис. 6.9). К зве_
ну 1 приложены: ставшая известной сила F \2 = —F 2 I 1 МОМент
Мь направленный, согласно рис. 6.7, по ходу часовой стрелки,
главный момент сил инерции М$\ и неизвестная по моДУлю
и направлению реакция F\^ стойки. Напомним, что главный
вектор сил инерции Фз = 0 .
У
Рис. 6.9
Поскольку
к звену 1 , т.е.
= 0, уравнения проекций сил, приложенных
Fx= 0 , £
Fy=
1
1
F\ix + F\2x = 0;
(6.13)
F u y + F\2y = 0,
(6.14)
отсюда FUx = - F i 2 x , FUy = - F n y.
Составим уравнение моментов для звена 1 относительно
точки А:
(6.15)
M a (F i 2) +
Mi+ Мф1 = 0 .
Момент
M
a
( F 12)
подставим в уравнение с тем знаком, ко­
торый он получает при подсчете по формуле
=
=
Fl2yXB ~ FnxVB-
Уравнение (6.15) является контрольным, поскольку все
три слагаемых в его левой части известны. Однако оно может
быть и расчетным, когда момент М\ неизвестен. Заметим,
если нужно определить только внешний (уравновешивающий)
момент М\ и не обязательно определять силы в кинематиче­
ских парах, то момент М\ можно найти и более коротким пу­
тем, не расчленяя механизм, а применив теорему Жуковского.
При малой неравномерности вращения звена 1 его угловое
ускорение £1 в начале расчета часто не определяют, поскольку
оно мало. Однако принять вследствие этого
1 = —£i J\a ~ О
нельзя (см. § 4.10). Неравенство момента Мф\ нулю вытекает
0
,п
из уравнения (6.15), поскольку моменты М\ и M ^ (F 1 2 ) заве­
домо не равны и сильно различаются. Момент Мф4 может
иметь значительную величину, что существенно для расчета
главного вала машины (звена 1 ) на прочность.
Определение силовы х ф ак тор ов, н а гр у ж а ю щ и х
корпус маш ины и ее основание. Рассмотрим стойку кривошипно-ползунного механизма. Конструктивно это корпус ма­
шины, который устанавливается на специальном основании.
Если машина — автомобильный ДВС, то таким основанием
будет рама автомобиля, если стационарный компрессор или
пресс, то — фундамент, на котором установлен компрессор
или пресс и т.д.
К стойке 4 приложены следующие силы и моменты
(рисб.Ю , а): ставшие известными воздействия звена 1 F\\ =
= —F \ 4 и звена 3 Е 43 = —Е 3 4 , сила F 4p = —F 3 , зависящая
от рабочего процесса машины, и, наконец, реакция основания,
представленная в виде двух силовых факторов, а именно^не­
известного по модулю и направлению главного вектора F 4 и
неизвестного главного момента М 4 . Условимся определять мо­
дуль главного_момента М 4 , полагая, что линия действия глав­
ного вектора F 4 проходит через точку А. Напомним, что в
перечислении сил, действующих на стойку, как ц ранее, услов­
но не включена ее сила тяжести.
Если силовой расчет выполняется для крцвошипно-ползунного механизма поршневой машины (насоса, компрессора,
детандера, ДВС и т.п.), то сила F 4p является силой давле­
ния рабочего тела (жидкости, газа), находящегося внутри Ци­
линдра Ц, на его крышку К (рис. 6.10, б). Если крйвошипноползунный механизм есть главный механизм пресса или стан­
ка, то сила Е4р представляет собой воздействие, которое обра­
батываемое изделие оказывает на стол пресса ици станка.
Составим три уравнения равновесия стойкц:
FИх + ^4рх +
= 0,
(6.16)
0,
(6-17)
■^41у + ^43у + ^4 у =
^ 4 3 у^С
+ М4 =
0
.
(6-18)
Из уравнения (6.16) определим Fi x , из уравнения (6-17) полу­
чаем F^y. Затем подсчитаем модуль вектора F\ и его угловую
координату ipF4. Из уравнения (6-18) найдем
Рис. 6.10
Физический смысл уравнения (6.18) состоит в следующем.
Сила F 43 создает относительно точки А момент
(см.
рис. 6 . 1 0 , а), стремящийся опрокинуть корпус машины. Пре­
пятствует этому опрокидыванию только момент М*, действу­
ющий от основания на корпус (т.е. на стойку), так как осталь­
ные силы, приложенные к стойке, относительно точки А мо­
мента не создают.
Опрокидыванию подвергается корпус и компрессора, и
ДВС, и электродвигателя, т.е. любой машины, независимо
от того, какой рабочий процесс в ней протекает, а также лю­
бой передаточный механизм. Поэтому машину и передаточ­
ный механизм всегда надежно закрепляют на их основании.
Конструктивное исполнение этого закрепления и методика его
расчета излагаются в курсе «Детали машин» и в специаль­
ных машиностроительных курсах.
Выразим проекции F±x , F±y через силовые факторы, толь­
ко внешние по отношению к механизму в целом (см.
рис. 6 .1 0 , 6 ). Для этого сложим уравнения (6.7), (6.9), (6.13),
(6.16), охватывающие все четыре звена механизма. Проекции
F$2 x = --^ 23*1 ? 2 1 х = ~ F l 2 x > Fux = ~F au сил взаимодействия в кинематических парах в суммарное уравненйе не вой­
дут. В него войдут проекции только внешних сил, но, хотя си­
лы F 3 и F 4p и внешние*, их проекции в него также не войдут,
поскольку силы F 3 и F 4p равны и противоположно направлены
(см. рис. 6.10,5). В результате суммарное уравнение примет
вид Ф2 х + Фзх + F^x = 0 , откуда
Fax = - ( ф2х + ф3х)-
(6.19)
Сложим уравнения (6.10), (6.11), (6.14), (6.17). В итоге
получим
F$y = -Ф 2у( 6 .2 0 )
* Силы
F* и F \р — э т о в озд ей ств и я р а б оч его т е л а (н а п р и м ер , газа,
ж и д к о сти в сл у ч а е п орш н евой м а ш и н ы или о б р а б а т ы в а е м о г о изделия для
м аш и н ы те х н о л о ги ч е ск о й ). Н о ра боч ее тел о не я вл я ется звен ом м еха н и зм а
и в его с о с т а в не в х о д и т, а п о э т о м у для м ехан и зм а си л ы
F з и F 4Р — э т о
си лы внеш ние (а не в н утр ен н и е, как э т о м о ж е т п о к а з а т ь ся ).
Составим уравнение моментов относительно точки А для
всех четырех звеньев (см. рис. 6 .8 , а, 6.9, 6.10, а), т.е. для ме­
ханизма в целом. Заметим, что моменты сил взаимодействия
jp23 и F 32 в шарнире С равны и противоположно направлены
(см. рис. 6 .8 , а), а поэтому в уравнение моментов не войдут.
То же самое относится к моментам сил взаимодействия во всех
остальных кинематических парах, т.е. сил, являющихся вну­
тренними для механизма в целом. Следовательно, в уравнение
войдут только моменты сил и пар сил, приложенных к меха­
низму извне (см. рис. 6 . 1 0 , б), кроме моментов внешних сил F з
и i^4 p, равных и противоположно направленных. Поэтому для
механизма в целом уравнение примет вид
М 1 + М А{ Ф2) + М ф2 + М Ф1 + М 4 = 0,
( 6 .2 1 )
откуда выразим момент М 4 через внешние силовые факторы.
Определим, какое давление на свое основание (фундамент)
оказывает машина с кривошипно-ползунным механизмом. Си­
стему нагружения основания со стороны машины можно све­
сти к главному вектору Fo = —^ 4, линия действия которого
проходит через точку А (ось вращения звена i, т.е. вала ма­
шины), и к главному моменту Мо_= - М 4 (рис. 6 . 1 0 , г).
Проекции главного вектора F q на оси х и у:
Fox = -F ± x = Фхх + Ф2х + Фзх = Фе х ;
( 6 .2 2 )
Foy = -F ± y = Ф^ + Ф2 У - $Еу
(6.23)
Главный момент M q, используя ( 6 .2 1 ), представим в виде
M q = [Мф1 + Мф2 + МЛ(Ф\) + МА( Ф2 )] + М\ =
= Мф^ + М\.
(6.24)
В уравнениях ( 6 .2 2 ) — (6.24) буквами Ф% и Мф£ обозначены
общий главный вектор (через его проекции) и общий главный
момент системы сил инерции всех подвижных звеньев меха­
низма. Члены Ф ^, Ф ^, МА(Ф\) входят в состав этих урав­
нений в том случае, когда центр масс звена 1 не находится
на его оси вращения; слагаемые Фзу = 0, МА( Ф3 ) = 0 (см.
рис. 6 .8 , а), Мф3 = 0 (см. ( 6 .6 )).
_
Как видно из уравнений ( 6 .2 2 ) и (6.23), главный вектор F q
определяется силами инерции, а это указывает на то, что он
есть результат ускоренного движения всех подвижных звеньев
механизма, т.е. имеет динамическую природу. Отметим, что
на основание машины передается также воздействие ее силы
тяжести и в ряде случаев воздействия других активных сил
(например, сил затяжки фундаментных болтов), которые в си­
ловом расчете не рассматривались. Следовательно, в общем
случае главный вектор F q складывается из двух составляю­
щих: составляющей, вызванной действием активных сил, и
динамической составляющей, вызванной ускоренным движе­
нием звеньев механизма.
Главный момент Л/ q в общем случае также складывает­
ся из двух составляющих: из составляющей, вызванной дей­
ствием активных сил и моментов (например, момента М\ в
уравнении (6.24)), и динамической составляющей, являющей­
ся результатом ускоренного движения звеньев (см. (6.24)).
Отметим, что силы, нагружающие основание, фактиче­
ски приложены именно в тех местах, где корпус машины (т.е.
стойка 4 механизма) закрепляется на основании (на рис. 6 .1 0
— в местах Q и N). Поэтому главный вектор F q и главный мо­
мент M q — расчетные величины, характеризующие лишь сум­
марный результат воздействия машины на ее основание (см.
рис. 6 . 1 0 , б).
Выполнять силовой расчет следует многократно, для раз­
личных положений механизма. Это значит, что силовой расчет
представляет собой весьма трудоемкую работу. Радикально
снизить трудоемкость можно путем применения компьютера.
Анализ резул ьтатов силового р асч ета, вы полнен­
ного на ком пью тере. На основании методики, изложен­
ной в § 6 .2 , составлена схема алгоритма силового расчета
кривошипно-ползунного механизма. Эта схема, алгоритма, под­
ходит для любой одноцилиндровой двухтактный поршневой
машины, а. также для кривошипного пресса и других двух­
тактных технологических машин, главным механизмом кото­
рых является кривошипно-ползунный.
В соответствии с алгоритмом разработана, программа, и
сделан силовой расчет механизма, дизеля, работающего в уста­
новившемся режиме с малым коэффициентом неравномерно­
сти, который приводит в движение электрогенератор- Шаг
изменения обобщенной координаты (pi в пределах одного обо­
рота коленчатого вала Atpi = 5°
Результаты расчета можно представить_графически. На
рис. 6 .1 1 изображен график изменения силы F 3 4 , приложенной
к поршню 3 со стороны цилиндра (стойки) (см. рис. 6 .8 , а).
Положительные ординаты соответствуют действию силы вле­
во. Как видно, при 0 < <р\ < 180° поршень прижат к зер­
калу цилиндра своей правой образующей; при 180° <
<
< 360° он будет прижат левой образующей. Однако на участ­
ке 290 . .. 320° происходит весьма нежелательное двукратное
перемещение поршня в зазоре, сначала слева направо, а затем
справа налево. Этого перемещения можно избежать, если мас­
сы m 3 и т 2 поршня и шатуна будут иметь меньшие значения.
На годографах сил (рис. 6.12, 6.13), приложенных к шату­
ну 2 от поршня 3 (сила F 2 3 ) и коленчатого вала 1 (сила ^ 2 1 ))
цифрами указаны соответствующие значения обобщенной ко­
ординаты tpi в градусах. Годографы сил и график ^ 3 4 (^ 1 )
нужны для расчета деталей механизма на прочность, жест­
кость и продольную устойчивость, а также для расчета кине­
матических пар 3/4у 2/3, 2 / 1 на износ, долговечность и невыдавливаемость смазочного материала.
График изменения вертикальной составляющей F qx глав­
ного вектора F о, действующего от корпуса ДВС на его основа­
ние (рис. 6 . 1 0 , г), показан на рис. 6.14. Знаком плюс отмечено
действие составляющей вверх. В то же время горизонтальная
составляющая F оу главного вектора изменяется по синусои­
дальному закону. Ее амплитуда равна 6 кН.
На рис. 6.15 изображен главный момент Мо, действующий
на основание от корпуса ДВС. Знак плюс указывает, что глав­
ный момент M q направлен против хода часовой стрелки.
Рис. 6.12
Рис. 6.15
Таким образом, важно отметить, что машина оказывает
на свое основание периодически изменяющееся воздействие в
виде силы F о и момента Мо. Оно вызывает вибрацию основа­
ния и других машин, закрепленных на нем.
Графический, или векторный, метод силового расчета из­
ложен в специальной литературе.
6.3. Действие сил в кинематических парах
с учетом трения
В данном параграфе проведен анализ действия сил в ки­
нематических парах с учетом трения. При наличии трения
изменяются модуль и направление сил, действующих в кине­
матических парах. Согласно положениям теоретической ме­
ханики, при наличии трения скольжения сила взаимодействия
двух соприкасающихся тел отклоняется от общей нормали к
их поверхностям на угол трения. Тангенс угла трения равен
коэффициенту трения скольжения:
t g ¥ ,T
= /r-
(6.25)
В поступательной паре сила F\2 , приложенная к звену 1
от звена 2 , отклоняется от нормали п — п и составляет угол
90° + (рТ с вектором скорости v \2 движения звена 1 относи­
тельно звена 2 (рис. 6.16, а). Как видно из рисунка, касатель­
ная составляющая F T12 — сила трения — направлена против
относительной скорости U1 2 ; в этом проявляется тормозящее
действие трения. Обе составляющие реакции F 12 связаны со­
отношением
F'т! 2 = / t ^ V i 2 (6.26)
Рис. 6.16
Модуль силы F 12 и координата b точки ее приложения
(точка D) неизвестны и определяются в ходе силового расчета.
Сказанное относится и к силе F 21 (на рис. 6.16, а не показана),
приложенной к звену 2 со стороны звена 1 Утак как по третьему
закону Ньютона F 21 = —F\2 Если в результате силового расчета получается, что b > а
(рис. 6.16,6), то это значит, что к звену 1 приложена не од­
на, а две реакции F jj12 и Fyyi 2 >неизвестные по модулю (см.
§ 6 . 1 ). Вследствие трения они отклоняются от нормали и со­
ставляют с вектором относительной скорости v \2 угол 90°+у>т Линии действия этих реакций пересекаются в точке Н. Линия
действия их равнодействующей F \2_ должна проходить через
точки Н и D. Равнодействующая F \2 составляет с вектором
v \2 угол 90° + ф.
__
Когда точки D и W совпадают, то ф = ipT и F y i 2 = 0. Но
чем дальше точка D находится от края направляющего гнезда
(от точки W ), тем большим становится угол ф. Отсюда следу­
ет, что суммарное тормозящее действие трения, оцениваемое
касательной составляющей ,Fxi 2 = F 12 sin^, в поступательной
паре может быть значительным и тем большим, чем дальше
располагается точка D от точки W Ясно также, что чем мень­
ше размер а, тем ближе точка Н к оси гнезда и тем больше угол
-0, т.е. больше влияние трения в поступательной паре. Угол ф
может получиться много больше угла ipT. Все это необходимо
учитывать при проектировании поступательной пары.
__ Во вращательной паре (рис. 6.17, а) силы взаимодействия
F i 2 = - F 21 (сила F 21 на рис. 6.17 не показана) также отклоня­
ются от нормали п —п, а потому проходят не через центр шар­
нира, а по касательной к окружности, центр которой совпадает
с центром шарнира. Круг, ограниченный этой окружностью,
называют кругом трения. Его радиус равен рТ = ( 2 } / 2 )siny>T,
где D — диаметр вала (оси шарнира). Так как угол трения <рт
обычно не превышает 6 .. . 7 °, то sin<£>T « tg ipT = / т . Поэтому
с некоторым допущением можно принять
Рт = j /т.
(6.27)
Модуль силы F 12 и положение точек К и 13, а следова­
тельно, направление линии действия силы F\2, координируе­
мое углом /?, неизвестны и определяются силовым расчетом.
Действие силы F \ 2 (рис. 6.17, а) можно заменить совмест­
ным действием силы F ^2, равной F \ 2 и приложенной в центре
шарнира, и пары сил [F\2, ^
12 ]
(рис. 6.17, б).
Направление
действия пары сил [F 1 2 , ^ 12 ] противоположно угловой скоро­
сти u;i2 , с которой звено 1 вращается относительно звена 2 .
В этом проявляется тормозящее действие трения в шарнире.
Рис. 6.18
Пару сил [F\2 , ^ 12 ]) приложенную к звену 1 от звена 2, будем
называть моментом трения в шарнире:
Мтп = F i 2 Pt -
(6.28)
Очевидно, что Мт21 = - М х1 2 .
Вращательная пара может быть выполнена конструктив­
но в виде двух подшипников. Если подшипники расположены
по разные стороны от плоскости, в которой действует нагру­
жающая сила F (рис. 6.18, а), то реакции обоих подшипников
направлены в одну и ту же сторону и могут быть заменены
равнодействующей F 1 2 , равной их арифметической сумме. По
этой равнодействующей и подсчитывается общий момент тре­
ния обоих подшипников: Мт12 = F i 2 Pt Иная картина будет, если подшипники находятся по од­
ну сторону от плоскости, в которой действует нагружающая
сила F (рис. 6.18,5) (например, при консольном расположе­
нии зубчатого колеса). В таком случае реакции подшипни­
ков направлены в противоположные стороны, и равнодейству­
ющая этих реакций определяется уже их разностью (а не сум­
мой), в то время как общий момент трения обоих подшипников
по-прежнему равен арифметической сумме моментов трения в
каждом подшипнике. Следовательно, общий момент трения
нельзя оценивать посредством момента равнодействующей си­
лы, так как трение при этом было бы недоучтено. При одно-
стороннем расположении подшипников силовой расчет с уче­
том сил трения нужно проводить, рассматривая в отдельности
реакцию каждого подшипника, и нельзя заменять обе реакции
их равнодействующей.
Высшая кинематическая пара (рис. 6.19) в плоском меха­
низме допускает два относительных движения: звенья 1 к 2
могут скользить (^ 1 2 ) и перекатываться друг по другу (^ 1 2 )Поэтому и трение в высшей кинематической паре проявляется
двояко: в виде трения скольжения и трения качения. Тормо­
зящее действие трения качения (М кач) в большинстве случа­
ев весьма невелико, и поэтому его в дальнейшем учитывать
не будем. Конечно, при расчете подшипников качения, иссле­
довании движения тяжелых предметов на подкладных катках
и рольгангах и в других подобных задачах трением качения
пренебрегать нельзя. Но такие задачи относятся к области
специальных расчетов, а поэтому выходят за рамки учебной
дисциплины.
Трение скольжения проявляет себя в высших кинемати­
ческих парах так же, как и в низших: сила F 1 2 , приложенная
к звену 1 от звена 2 , отклоняется от нормали на угол тре­
ния (рТ и составляет с вектором относительной скорости U12
угол 90° + <^т- Угол ipT подсчитывается по уравнению (6.25).
Касательная составляющая F Ti 2 — сила трения — направле­
на навстречу относительной скорости v\2 . В этом проявляет­
ся тормозящее действие трения. Модуль сил взаимодействия
F \2 = —F 21 неизвестен и определяется силовым расчетом.
Если относительное движение в высшей паре сводится к
одному лишь качению (т.е. и \2 ф 0 , но v\2 = 0 ), то сила трения
F T12 не обязательно должна быть равной нулю. В этом случае
она является силой трения покоя.
Сила трения покоя FTn может проявить себя и в низ­
шей кинематической паре. Она подчиняется соотношению
^тп < /тпF tf, где Fn — нормальная составляющая реакции
в кинематической паре. Сила трения покоя, будучи реакцией,
может быть меньше произведения / Тп^7у; ее модуль зависит от
активной силы, вызывающей реактивную силу трения покоя.
Строго говоря, коэффициент сцепления / тп несколько больше
коэффициента трения скольжения / т . Однако, допуская не­
большую ошибку, можно принять /тп ~ /т* Поэтому для угла
трения <^тп, на который при покое фактически отклоняется ре­
акция, можно записать соотношение ipTn < ipT. Если при покое
активные силы не вызывают трения, то (ртп = 0 , и реакция бу­
дет направлена по нормали.
Коэффициенты трения зависят от многих причин (вид ма­
териалов трущихся тел, состояние трущихся поверхностей и
др.), и их определяют опытным путем. Поэтому в справоч­
никах приведены лишь усредненные значения коэффициентов
трения, вследствие чего результаты силового расчета всегда
имеют некоторую погрешность.
Следует иметь в виду, что значение коэффициента трения
/ т , подставляемое в расчетные формулы, зависит от конструк­
тивного исполнения кинематической пары и может заметно от­
личаться от значения / э, получаемого из физического экспери­
мента с плоскими образцами. Так, если поступательная пара
в сечении, перпендикулярном вектору относительной скорости
^ 1 2 , имеет клиновидную форму (например, кинематическая па­
ра, образованная задней бабкой 1 и направляющими стани­
ны 2 токарного станка (рис. 6 .2 0 )), то в формулу FTi 2 = f TF
подставляют расчетное значение коэффициента трения, опре­
деляемое по уравнению / х = / э/ sin (a/ 2 ).
Во вращательной паре расчетное значение / т , подставля­
емое в уравнение (6.27), зависит от степени приработанности
звеньев, составляющих пару. Для неприработавшихся звеньев
принимают / т = 1,57/э, а для приработанных — / т = 1,27/э.
В винтовой паре соотношение между / т и / э определяется
профилем резьбы (см.: Решетов Д.Н. Детали машин. М.:
Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2 0 0 2 ).
Необходимо иметь в виду, что все вышеизложенное о дей­
ствии сил в кинематических парах справедливо в случае от­
сутствия смазки и при граничной смазке. В случае жидкост­
ной смазки существенное влияние на действие сил оказывает
скоростной режим кинематической пары.
6 .4 . С иловой р а с ч е т м еханизм а с у ч е то м тр ен и я
Основные положения силового расчета с учетом трения
такие же, как и расчета без учета трения (см. § 6 . 1 ). Это объ­
ясняется тем, что, согласно анализу действия сил в кинемати­
ческих парах, сделанному в § 6 .3 , наличие трения не изменяет
числа неизвестных в кинематических парах. Следовательно,
структурные группы Ассура. и при учете трения сохраняют
свою статическую определимость. Силовой расчет проводится
по структурным группам с использованием уравнений кинето­
статики ( 6 . 1 ) — ( 6 .3 ), в которые должны быть включены силы
трения и моменты трения. Последнее обстоятельство, однако,
в большинстве случаев усложняет вычисления. Чтобы снизить
их сложность, И.И. Артоболевский предложил применить ме­
тод последовательных приближений. Покажем, как выпол­
няется силовой расчет этим методом на конкретном примере
кривошипно-ползунного механизма (см. рис. 6.7).
Для силового расчета с учетом трения в состав исходных
данных необходимо дополнительно ввести коэффициенты тре­
ния в кинематических парах: / т^, / х£ , / хс , / х3 4 . Кроме того,
из кинематического расчета механизма могут быть получены
направления относительных скоростей во всех кинематических
парах, т.е. cj14, и2ь ^23, ^3 4 Напомним, что силовой расчет кривошипно-ползунного
механизма без учета трения, или в начальном приближении,
был уже проделан (см. § 6 .2 ), в результате чего были полу­
чены силы взаимодействия во всех кинематических парах, т.е.
СИЛЫ
FU ,F
2 1, ? 2 3 ,
Fu-
Теперь выполним расчет в первом приближении. Ддя
этого по заданным диаметрам шарниров А, В, и С опреде­
лим радиусы кругов трения в них: рТд = ( Д д / 2 ) / т>3, РтВ =
= (D B/2)fTB, ртС = (D c /2)frC (см. (6.27)), а затем а момен­
ты трения в этих шарнирах: MTi 4 = F u p rj[, Мт2i = F 2 1 PtB>
M-r2Z = Т23ртС (см. (6.28)). Найдем также силу Трения в
поступательной паре 3/4: FT34 = / T3 4 ^ 3 4 i гДе Г/У34 == Гз4Расчет в первом приближении делается в том же порядке)
что и в начальном приближении. Следовательно, как и прежде,
начнем его со структурной группы 2 — 3 (см. рис. 6 .2 1 , °)- К
ее звеньям приложены известные силы и моменты: двиЖУщая
сила F$, а также Ф2, Мф2, Ф3 . К звеньям 2 и 3 праложяш»1
также подсчитанные выше момент трения М т 21 > сила трения
.FT34 и моменты трения М т 2 3 и Мтз2 = —М т 2 3 в шарнире С (на
рис. 6 .2 1 , а не показаны). Сила и моменты трения направлены
навстречу соответствующим относительным скоростям- Де'
известными являются модуль и направление силы JF2 1 , моДУль
нормальной составляющей f 'n 34 и плечо Ь1, модуль и направле"
ние сил взаимодействия
= —F 32 в шарнире С (рис. 6.2l> &)•
Сумма проекций на ось х сил, приложенных к звену 3,
равна нулю:
Fx— 0. В развернутом виде получим
з
F ix + $ 3 г + -^34! + -?32х
= 0)
где / з 4 Г = Ft34 - И з уравнения (6.29) определим В$2х- На­
помним» что уравнение (6.29) как все последующие уравнения
проекций и моментов, записано в алгебраическом виде. Поэто­
му числовые значения координат точек и проекций сил необ­
ходимо подставлять во все уравнения со строгим соблюдением
их знаков.
Сумма моментов относительно точки В всех сил, прило­
женных к звену 2, равна нулю: £
= 0. Отсюда
2
F 23y(x C ~ х в ) ~ F 2 3 x(VC ~ УВ ) + $ 2 y ( x S2 ~ х в ) ~
~ $ 2 x(yS2 ~ УВ) + Мф2 + Мт21 + Мт23 = 0.
(6.30)
В уравнении (6.30) искомой величиной является F23y
Сумма проекций на ось х звена 2 :
Fx = 0 , или
2
^23х + ^ 2 х + ^ 2 1 х —
(6.31)
откуда определяем проекцию
Сумма проекций на ось у звена 2: ^ Fy = 0, т.е.
2
F23y + ф2 у + П\у =
(6.32)
где искомой величиной является
.
Сумма проекций на ось у звена 3: ]Г Fy = 0, откуда
3
^
+ ^
= 0.
(6.33)
Из уравнения (6.33) найдем / 3 4 , или i ^ 34.
Составим уравнение моментов для звена 3:
М с = 0:
3
FU y(x D ~ х с ) ~ F34х(УВ ~ Ус) + Мт32 = 0,
(6.34)
где у с = 0, yj) = - d / 2 (см. рис. 6.21, о). Из уравнения (6.34)
найдем искомую величину плеча: У = xq — х р , а затем и
координату х р .
Зная проекции сил, определим их модули
, F^, F^ и
угловые координаты < ^ 21, < ^ 2 3 (см- § 6.2).
Далее перейдем к силовому расчету двухзвенного меха­
низма 1 — 4 (рис. 6.21, в). К его подвижному звену 1 прило­
жены следующие силы и моменты: ставшая известной сила
F 12 = —^ 2 1 >главный момент сил инерции Мзд, моменты тре­
ния Мт14 и Мх12 = - М т 21 в шарнирах А и В; неизвестными
являются момент полезного сопротивления М {, а также мо­
дуль и направление реакции
(на рис. 6 .2 1 , в не показана).
в
кинематической паре 1/4
Проекции реакции стойки F*i4 найдем из уравнений
Fx = 0> ^>2 Fy = 0 :
1
1
*14* + * 12 « = 0;
F 'u y
+
F 'u y
= 0,
(6.35)
(6 -3 6 )
а затем модуль силы
и ее угловую координату </?^14.
Момент полезного сопротивления М[ подсчитаем из урав­
нения моментов J2 М а = 0 :
1
Ma ( F 12) +
+ Мф1 + Мт12 + Мт 14 = 0,
(6.37)
где МА(Р 12) = F[ 2 ух в - F[ 2 xyB .
Значение М{ получится меньше значения M i, взятого из
начального приближения, выполненного без учета трения. Та­
кой результат очевиден, так как при наличии трения заданная
движущая сила F 3 должна преодолевать не только полезное
сопротивление М {, но и сопротивление, вызванное трением.
В результате силового расчета, выполненного в первом
приближении, получены уточненные значения сил
^23 > ^ V 3 4 > действующих в кинематических парах, плеча
Ь1 и момента М[. Для этого были использованы уравнения
(6.29) — (6.37), в существе своем такие же, как и уравнения
(6.7) - (6.15).
По полученным в первом приближении значениям сил
можно определить моменты трения в шарнирах и силу тре­
ния в поступательной паре 3/4, а затем проделать расчет во
втором приближении, используя уравнения, подобные (6.29) —
(6.37). В результате получим еще более точные, более близкие
к окончательному результату значения ^ 4 , F 2 1 , ^ 2 3 >^ 7V34 >^
и М{; Процесс последовательных приближений можно продол­
жать и дальше в зависимости от требуемой степени точности
расчета. Однако опыт показывает, что достаточно первого
приближения.
Метод последовательных приближений можно применять
для механизмов, в которых практически не возникает самотор­
можения. В этом случае обеспечивается быстрая сходимость
решения к точному. При самоторможении метод последова­
тельных приближений принципиально непригоден. Явление
самоторможения будет рассмотрено в § 6.5.
6.5. Потери энергии на трение. Механический
коэффициент полезного действия
Энергия, подводимая к механизму в виде работы Аав дви­
жущих сил и моментов за цикл установившегося режима, рас­
ходуется на совершение полезной работы Апс за цикл, т.е. ра­
боты сил и моментов полезного сопротивления, а также на со­
вершение работы Ат за цикл, связанной с преодолением сил
трения в кинематических парах и сил сопротивления среды:
А цв = Апс + Ат. Значения Аис и Ат подставляются в это и
последующие уравнения по модулю.
Механическим коэффициентом полезного действия (или
сокращенно КПД) называют отношение
Как видно, КПД показывает, какая доля механической
энергии, подведенной к машине, полезно расходуется на соНеР'
шение той работы, для которой машина создана (например? на
выполнение технологической обработки изделий, на производ­
ство электроэнергии, на подъем груза и т.п.).
Отношение £ = Дт /Ддв называют механическим коэфФи~
циентом потерь, который характеризует, какая доля мехаНИческой энергии Лдв, подведенной к машине, вследствие наЛи~
чия различных видов трения превращается в конечном счсте
в теплоту и бесполезно теряется, рассеиваясь в окружаюхЛем
пространстве. Так как потери на трение неизбежны, то Все"
г да £ > 0. Между коэффициентом потерь и КПД существУет
очевидная связь: £ = 1 — г/. В современных условиях,
экономное расходование энергии является одной из первоо^е“
редных задач, КПД и коэффициент потерь являются важц^ми
характеристиками механизмов машин.
В уравнение (6.38) вместо работ Лдв и Апс, совершаемых
за цикл, можно подставлять средние за цикл значения соответ­
ствующих мощностей:
(6.39)
Для механизмов различных передач (зубчатых, ременных
и др.), имеющих один ведущий и один ведомый валы, уравне­
ние (6.39) принимает вид
Если с механизма, находящегося в установившемся дви­
жении, снята полезная нагрузка (Апс = 0 ), то такой режим
называют холостым ходом. Очевидно, что rjxx = 0, f xx = 1,
так как вся энергия, подводимая к механизму при холостом
ходе, тратится лишь на преодоление его собственных потерь.
Отсюда следует, что 0 < т / < 1 ; 1 > £ > 0 .
Подчеркнем, что КПД и коэффициент потерь определяют­
ся только тогда, когда механизм находится в установившемся
движении. Если оно является периодически изменяющимся,
то КПД и коэффициент потерь представляют собой средние
за цикл энергетические характеристики механизма. Обычно
КПД отдельных механизмов определяют экспериментально и
указывают в справочниках. Расчетные формулы для определе­
нии КПД системы механизмов, соединенных последовательно
илД параллельно, приведены в специальной литературе.
Рассмотрим, каким образом определяют КПД отдельно­
го механизма расчетным путем, например механизма двойного
клдна (см. рис. 6.22, а). Пусть к клину 1 приложена движу­
щая сила F 1 , перемещающая его вниз вдоль стойки 3. При
этом клин 2 будет отжиматься вправо, преодолевая действие
пружины. Это будет прямым ходом механизма. Перемещения
клДньев связаны векторным соотношением Д $2 = As\ + Дб 21
(рдс. 6 .2 2 , б), откуда
Дз 2 = A si tg 7 -
(6.40)
При примой ходе на_клин _/ кроме движущей силы F i
действуют еще реакции F 12 и F 1 3 , которые вследствие тре­
нии составлнют с относительными перемещениями
и
A li3 =
угол 90° + ipT. Так как КПД определяется в пред­
положении, что звенья движутся равномерно, то силы инерции
принимаются равными нулю. При определении КПД не рас­
сматривают также силы тяжести звеньев.
_
_ По уравнению сил, приложенных к клину 1, F 1 + F 13 +
+ F 12 = 0 строим план сил (рис. 6 .2 2 , в), для которого, исполь­
зуя теорему синусов, записываем
Fn
_
Fi
sin(90° — ¥>т)
sin( 7 + 2<рт) ’
отсюда
F n = F\
COS (^-p
sin( 7 + 2 <fr)
(6.41)
На клин 5 действуют сила F 21 = —F 1 2 , сила полезного
сопротивления F 2_и реакция ^23 (см. рис. 6 .2 2 , а), связанные
уравнением F 21 + F 23 + F 2 = 0. Из плана сил (см. рис. 6 .2 2 , в)
по теореме синусов находим
F2
=
F21
cos( 7 + 2 у т )
cos ipT
(6.42)
КПД при прямом ходе
F2 AS2
или, используя уравнения (6.40) — 6.42), получаем
,лр = tg(7 + 2V t) '
(6'43)
Добавим, что для винтовой пары скольжения и для чер­
вячной зубчатой пары КПД имеет схожее с (6.43) выражение
tg7
tg(7 + <РтУ
где 7 — угол подъема витков винта или червяка.
Допустим, что прямой ход закончился, клинья 1 и 2 оста­
новились, а затем под действием силы F 2 начали свое обрат­
ное движение. При этом изменит свое направление и поток
энергии: сила F 2 станет движущей, а сила 7^ — силой полез­
ного сопротивления (рис. 6 .2 2 , г). Треугольник перемещений
при обратном ходе показан на рис. 6 .2 2 , д : направления всех
перемещений изменились на обратные. Поэтому силы тре­
ния в кинематических парах также изменят свои направления
на противоположные. С учетом этого построим план сил при
обратном ходе (рис. 6.22, е). Нетрудно заметить, что в урав­
нениях знаки при углах трения должны также измениться на
противоположные.
Запишем КПД обратного хода: г)0ь =
Д з х /^ Д з г ) Чтобы раскрыть это выражение, нет необходимости повторять
силовой расчет. Определить 7/0б можно так: взять величину,
ту=
9 - 11273
обратную 77пр (см. (6.43)), и изменить знак при угле трения на
обратный, т.е.
tg ( 7 - 2<рт)
Если выполнить механизм с углом 7 < 2у>т , то прямой ход
будет возможен: сила F i переместит клин 1 вниз, а клин 2
будет отодвинут вправо. Однако обратный ход будет невоз­
можен: если 7 < 2 (/?т , то клин 1 при обратном ходе защемля­
ется между клином 2 и вертикальной стенкой стойки, так что
движущая сила F 2 , сколь бы велика она ни была, не сможет
осуществить обратный ход, даже если с клина 1 снять полез­
ную нагрузку F i . Наступает самоторможение при обратном
ходе. Обратный ход был бы возможен, если силу F ± сделать
также движущей, направив ее вверх. Тогда она будет вытас­
кивать клин 1 вверх, помогая движущей силе F<i осуществлять
обратный ход.
Самоторможение механизма при обратном ходе использу­
ется в малых грузоподъемных машинах, в клиновых соедине­
ниях, а также в эксцентриковых зажимах, винтовых домкратах
и других механизмах.
Если угол 7 назначить в пределах 2(рТ < 7 < 90° — 2</?т>
то будет возможен как прямой, так и обратный ход. Часть
энергии, подведенной к клину 1 при прямом ходе, будет воз­
вращена ему при обратном ходе, другая значительная часть
энергии пойдет на преодоление трения. Это свойство клино­
вых механизмов широко используют в различных поглощаю­
щих устройствах, например в механизмах автосцепок локомо­
тивов и вагонов.
При 7 > 90°-2</?т прямой ход механизма становится невоз­
можным. В этом случае клин 2 защемляется между клином 1
и_горизонтальной опорной плоскостью стойки; движущая сила
F 1 , сколь бы велика она ни была, не может вызвать прямой
ход механизма^ даже если к клину 2 не прикладывать полез­
ную нагрузку F 2 ; наступает самоторможение при прямом ходе.
Механизм в этом случае абсолютно неработоспособен и приме­
нения не имеет.
Для механизма, находящегося в состоянии самоторможе­
ния, КПД теряет физический смысл, так как механизм при
Рис. 6.23
этом неподвижен и силы никакой работы не совершают. Одна­
ко если формально подсчитать КПД при самоторможении, то
получим г] < 0 ; модуль ту характеризует «надеж ность» само­
торможения. Возникновение самоторможения обусловлено обя­
зательным наличием трения. Чем слабее трение (чем меньше
/ т , а следовательно, и <£>т ), тем уже область самоторможения.
При отсутствии трения самоторможение механизма наступить
не может. У такого идеального механизма 7упр = ту0б = 1 во
всем диапазоне углов 7 (кроме 0 и 90°).
Согласно (6.43), коэффициент трения / т , определяющий
значение угла трения </?т , оказывает большое влияние на КПД.
Эта зависимость наглядно показана на рис. 6.23 (при 7 = 30°)
для разных видов трения и смазки: I — трение без смазоч­
ного материала ту = 5 ...4 0 % ; II — граничная смазка ту =
= 50
70%; III — гидродинамическая и гидростатическая
смазка ту = 90 .97 %; IV — трение качения* ту = 98 .99 %.
Рассмотренный пример показывает, что высокие значе­
ния КПД можно получить только при замене трения сколь­
жения трением качения или в условиях совершенной жидкост­
ной смазки. Поэтому в современных конструкциях станков с
программным управлением, в прецизионных станках и дру­
гом технологическом оборудовании, где требуется высокая точ­
ность позиционирования и малые потери мощности на трение,
* При трении качения надо брать приведенный коэффициент трения
/т п Р и приведенный угол трения v?Tnp = a r c tg /xnp.
широкое распространение получили шариковые винтовые па­
ры качения или гидростатические передачи винт — гайка. В
первом случае по винтовым канавкам винта и гайки перекаты­
ваются шарики, а во втором случае между рабочими поверх­
ностями винта и гайки создается масляный слой, давление в
котором поддерживается на требуемом уровне.
К он тр ол ьн ы е воп росы
1. Относятся ли силы инерции к числу сил, действительно приложен­
ных к звеньям механизма? Какую роль выполняют силы инерции в
расчетных уравнениях кинетостатики?
2. Каким важнейшим свойством обладает структурная группа Ассура,
кинематические пары которой не содержат избыточных связей?
3. Какие две составляющие содержат главный вектор и главный мо­
мент системы нагружения основания со стороны машины, закреп­
ленной на нем?
4. Что называют коэффициентом полезного действия механизма?
5. Когда наступает явление самоторможения механизма?
Глава
7
ВИБРОАКТИВНОСТЬ
И ВИБРОЗАЩ ИТА МАШ ИН
Создание высокопроизводительных машин и скоростных транспорт­
ных средств, форсированных по мощностям, нагрузкам и другим рабо­
чим характеристикам, неизбежно приводит к увеличению интенсивности
и расширению спектра вибрационных и виброакустических полей. Этому
способствует также широкое использование в промышленности и строи­
тельстве новых высокоэффективных машин, работающих на основе виб­
рационных и виброударных процессов. Вредная вибрация нарушает пла­
нируемые конструктором законы движения машин, механизмов и систем
управления, порождает неустойчивость рабочих процессов и может вы­
звать отказ и полную расстройку всей системы. Вибрации приводят к
увеличению динамических нагрузок в элементах конструкций (кинемати­
ческих парах механизмов, стыках и др.), в результате чего снижается не­
сущая способность деталей, развиваются трещины, возникают усталост­
ные разрушения. Под действием вибрации могут измениться внутренняя
и поверхностная структура материалов, трение и износ на контактных
поверхностях деталей машин, что может вызвать нагрев конструкций.
Вибрация порождает шум, являющийся важным экологическим по­
казателем среды обитания человека, оказывает и непосредственное влия­
ние на человека, снижая его функциональные возможности и работоспо­
собность. Поэтому особое значение приобретают методы и средства оцен­
ки виброактивности и уменьшения уровня вибрации. Совокупность таких
методов и средств принято называть виброзащитой.
7.1. Источники колебаний и объекты
виброзащиты
При постановке задач виброзащиты в исследуемой меха­
нической системе обычно выделяют две подсистемы: И и О
(рис. 7.1), соединенные между собой связями С. Подсисте­
му И, в которой непосредственно происходят физические про­
цессы, вызывающие колебания, называют источником коле­
баний. Подсистема О представляет ту часть механической
системы, колебания в которой
требуется уменьшить, ее на­
зывают об ъ ек т о м виброзащ и­
ты. Силы, возникающие в свя­
зях
С, соединяющих объект с
Рис. 7.1
источником колебаний, и вызывающие колебания объекта, на­
зывают силовыми (динамическими) воздейст виям и. Силовые
воздействия характеризуются функциями времени составляю­
щих сил F ( t ) (рис. 7.2, а) или моментов сил М (/), действующих
на объект.
Рассмотрим некоторые характерные примеры: двигатель
(турбина, генератор, двигатель внутреннего сгорания, любой
роторный двигатель), установленный на фундаменте, имеет
неуравновешенный ротор. Здесь источником колебаний явля­
ется ротор, а объектом виброзащиты — корпус двигателя, ди­
намические воздействия представляют собой динамические ре­
акции опор ротора. Основная функция виброзащиты — умень­
шение колебаний корпуса двигателя, вызванных неуравнове­
шенностью ротора. При решении задачи о защите человекаоператора от вибрации, например при его работе на автомо­
биле или тракторе, стремятся уменьшить колебания шасси со
всеми установленными на нем агрегатами, кабины водителя
или только сиденья. В каждом случае объект, источник и ди­
намические воздействия будут определяться по-разному.
Иногда бывают заданы не динамические воздействия, а
перемещения точек крепления связей к источнику. Такие воз­
действия называют кинематическими , и они характерны Для
кулачковых механизмов, зубчатых передач и транспортных
машин при их движении по неровной поверхности дорог. Ки­
нематические воздействия характеризуются ускорениями я(0
а
Рис. 7.3
точек источника колебаний, связанных с объектом виброзащи­
ты (рис. 7.2, б) их скоростями v(t) и перемещениями s(t).
Силовые и кинематические воздействия часто объединя­
ются общим термином — механические воздействия.
Механические воздействия принято подразделять на три
класса: линейные перегрузки; вибрационные воздействия;
ударные воздействия.
Линейными перегрузкам и называют кинематические воз­
действия, возникающие при ускоренном движении источника
колебаний. Наиболее значительные линейные перегрузки воз­
никают на транспортных машинах, в особенности на лета­
тельных аппаратах, при увеличении скорости, торможении,
а также при различных маневрах (виражи, разворот и т.д.).
Основными характеристиками линейных перегрузок являют­
ся постоянное ускорение ао (рис. 7.3) и максимальная скорость
изменения ускорения d a /d t .
Вибрационные во зд ей ст ви я (кинематические и силовые)
являются колебательными процессами.
К олебат ельны е процессы можно классифицировать следу­
ющим образом.
Свободные колебания. Колебания, которые соверша­
ются при отсутствии переменного внешнего воздействия и без
поступления энергии извне, называют свободны ми колебания­
ми. Они происходят за счет первоначально накопленной энер­
гии, величина которой определяется перемещениями и скоро­
стями, заданными системе в некоторый начальный момент
времени. Свободные колебания могут происходить лишь в ав­
тономных системах.
В ы нуж денны е колебания. Колебания, вызванные пе­
ременным внешним воздействием, называют вынужденными
колебаниями. Они характерны для неавтономных систем.
П арам етрические колебания. Колебания называют
параметрическими, если они вызываются изменением во вре­
мени параметров системы. Такие колебания возможны лишь
в нестационарных системах.
Автоколебания (сам овозбуж даю щ и еся колебания).
Колебания называют самоеозбуждающимися, или автоколе­
баниями, если они возникают и поддерживаются от источни­
ка энергии неколебательной природы, причем этот источник
включен в систему. Поступление энергии регулируется дви­
жением системы. Параметры установившихся автоколебаний
в существенной степени определяются нелинейными свойства­
ми системы.
В зависимости от того, описываются колебания на основе
детерминистической или стохастической (вероятностной) мо­
дели, различают детерминированные, случайные и хаотиче­
ские колебания.
С лучайны е колебания. Колебания называют случай­
ными, если внешние воздействия и/или параметры системы
являются случайными функциями времени (случайными про­
цессами) или случайными величинами.
Д етерм инированны е колебания.
Колебания назы­
вают детерминированными, если случайные составляющие
внешних сил относительно малы по сравнению с основными,
детерминированными составляющими.
Х а оти ч еск и е колебания. Колебания в детерминисти­
ческой системе называют хаотическими, если в результате
накопления малых возмущений они приобретают запутанный
характер и становятся похожими на случайные колебания.
В колебательных системах возможны процессы смешанно­
го характера, которые представляют собой результат наложе­
ния свободных колебаний, колебаний, возбуждаемых внешни­
ми воздействиями, параметрически возбуждаемых колебаний
и колебаний, возбуждаемых внутренними источниками энер­
гии.
*(0 i
Вибрационные воздействия подразделяют на стационарные, нестационарные и случайные. Простейшим видом стаци­
онарного вибрационного воздействия является гармоническое.
Гармоническими называют периодические процессы, которые
могут быть описаны функцией времени:
x(t) = Хо sin(wo* + ф),
(7.1)
где Хо — амплитуда; и>о — частота; ф — начальная фаза; t —
время.
При анализе гармонического процесса часто пренебрега­
ют начальной фазой и уравнение (7.1) записывают в виде
x(t) = Xosinuot-
(7.2)
Выражение (7.2) может быть представлено графически в
функции времени (рис. 7.4, а) или в виде амплитудно-частот­
ной характеристики — частотного спектра (рис. 7.4, б). Вре­
мя, в течение которого совершается одно полное колебание
материальной точки, называют периодом Т Частота и пе­
риод связаны соотношением Т = 2п/ио- Частотный спектр
характеризуется одной составляющей амплитуды на данной
частоте. Такой спектр называют еще дискретным или линей­
ным. К числу примеров колебательных систем, находящихся
под воздействием гармонических сил, можно отнести вибрации
несбалансированного ротора, поршневых машин, неуравнове­
шенных рычажных механизмов, а также вибрации, вызванные
электромагнитными полями, и др.
В машинах, содержащих цикловые механизмы, при уста­
новившемся движении возникают периодические механические
оо
x(t) = ^ (ад. cos ku$t + Ьд. sin ku^t).
k=l
(7-3)
Часто в таких системах можно пренебречь влиянием всех
гармоник, кроме одной, и считать воздействие гармоническим.
Это возможно в тех случаях, когда одна из гармоник (обычно
первая) превалирует над остальными или когда одна из гар­
моник является резонансной для данного объекта.
Вибрационные возбуждения, с которыми приходится
иметь дело на многих современных технических объектах,
обычно являются полигармоническими, что вызвано существо­
ванием большого числа независимых источников вибрации и
нерегулярностью некоторых физических процессов (например,
процессы горения в реактивном двигателе, обтекание тел тур­
булентным потоком, взрывные и ударные процессы).
Такие вибрационные процессы могут быть представлены
в виде суммы бесконечного (или конечного) числа к гармони­
ческих составляющих
x(t) = ^
^ (ад. cos ku\t + 6jt sin ku\t)>
*=l
( 7 .4 )
где
ak = \ J x(t) cos ku\tdt\ A: = 0 ,1 ,2 ,.
2 f
^k = T /
о
S^n
к — 1 ,2 ,3 ,...
Возможен и другой способ записи полигармони^еского
процесса:
x(t) = Xo + ^ X k S m ik o jit + ^k),
к= 1
где Х 0 =
(7 .5 )
Х к = yja2
k + bj[; фк = arctg(ajt/6jt), к = 1 , 2 ^ . . .
Из анализа формулы (7.5) следует, что полигармонический процесс состоит из постоянной компоненты X q и бесконеч­
ного (или конечного) числа синусоидальных компонент, назы­
ваемых гармоническими, с амплитудами
и начальными фа­
зами фк. Частоты всех гармоник кратны основной частоте
Как правило, виброизолируемые объекты подвергаются имен­
но полигармоническому возбуждению, и поэтому описание ре­
альных процессов простой гармонической функцией оказыва­
ется недостаточным. В действительности, когда тот или иной
процесс относят к типу гармонических, имеют в виду только
приближенное представление процесса, который на самом де­
ле является полигармоническим. Так, например, спектры виб­
раций машин наряду с основной рабочей частотой содержат
интенсивные гармонические составляющие кратных частот.
Нестационарные вибрационные воздействия возбуждают­
ся чаще всего переходными процессами, происходящими в ис­
точниках. Например, силовое воздействие на корпус двигателя
с неуравновешенным ротором, возникающее при разгоне, мо­
жет быть приближенно описано выражением
х = а(ш) cosu(t)t,
(7.6)
где u(t) — закон изменения угловой скорости ротора.
Диапазон, в котором располагаются частоты полигармонических воздействий, возникающих в современных техни­
ческих объектах, широк. Полигармонические воздействия,
охватывающие диапазон, превышающий несколько октав
(^max/^min > Ю), называют широкополосными; если ширина
диапазона мала по сравнению со средней частотой процесса,
воздействие называют узкополосным. Узкополосные воздей­
ствия проявляются в форме биений. При решении задач вибро­
защиты учет ширины полосы механических воздействий имеет
первостепенное значение. В частности, от широкополосности
воздействия зависит выбор динамической модели (расчетной
схемы) защищаемого объекта; она должна выбираться с таким
расчетом, чтобы были учтены собственные частоты объекта,
расположенные в полосе спектра воздействия.
Высокочастотные вибрационные воздействия могут пере­
даваться объекту не только через элементы механических со­
единений его с источником, но и через окружающую среду
(воздух, воду). Такие воздействия, называемые акустически­
ми, оказываются особенно интенсивными на современных ре­
активных летательных аппаратах. Интенсивность акустиче­
ских воздействий характеризуется звуковым давлением аку­
стического поля и интенсивностью звука — отношением пада­
ющей звуковой мощности к площади этой поверхности. Связь
между абсолютным и относительным звуковым давлением вы­
ражается формулой
р = р0Ю£>/20)
где р — звуковое давление, Па; D — относительное звуко­
вое давление, дБ; ро — пороговое давление, соответствующее
D — 0; обычно р = 2 10“ 5 Па.
Примерные значения амплитуд отдельных гармоник полигармонических кинематических воздействий, лежащих в
различных частотных диапазонах, следующие:
Д иапазон ч а с т о т , Г ц
0,1 - 10
А м п л и т у д а <7, ед.
0,001 - 1
10 - 150
0,5 - 5
150 - 500 500 - 2000
4 - 15
7 - 20
Случайные вибрационные возбуждения зачастую не
являются полностью предсказуемыми, подобно гармоническо­
му или полигармоническому возбуждению. Например, такие
процессы, как аэродинамический шум струи газа, пульсация
жидкости при ее движении в трубопроводе, вибрации плат­
формы, на которой установлено несколько агрегатов, вибра­
ции, обусловленные шероховатостями пар трения, являются по
своей природе стохастическими. Эти процессы трудно аппрок­
симировать регулярными функциями. Стохастический сигнал
не может быть представлен графически наперед заданным, так
как он обусловлен процессом, содержащим элемент случайно­
сти.
Ударными называют кратковременные механические
воздействия, в которых максимальные значения сил являются
весьма большими. Функцию, выражающую зависимость силы,
момента силы или ускорения при ударе от времени, называют
формой удара. Основными характеристиками формы являют­
ся длительность удара и его амплитуда — максимальное зна­
чение механического воздействия при ударе.
Возбуждения кинематического ударного типа возникают
при резких изменениях скорости движения источника (напри­
мер, при посадке самолета, запуске ракеты, наезде колеса ав­
томобиля на глубокую выбоину, при сопряжении зубьев зубча­
тых колес и т.п.). Часто эти явления сопровождаются возник­
новением колебаний конструкций источника и возбуждением
вибрационных воздействий.
В некоторых случаях ударное воздействие можно рассмат­
ривать как классический удар, сводящийся к «мгновенному»
изменению скорости движения источника или к приложению
«мгновенных» сил и моментов. В этих случаях
x(t) = A q 6 (t),
где Aq — приращение скорости, импульс силы или момента
силы за время удара. Использование такого представления до­
пустимо лишь в тех случаях, когда продолжительность удара
существенно меньше наименьшего из периодов собственных ко­
лебаний объекта. В остальных случаях необходимо учитывать
форму удара, которая обычно определяется непосредственны­
ми измерениями в натурных условиях.
7.2. Влияние механических воздействий
на технические объекты и человека
Рассмотрим, как влияют механические воздействия на
различные технические объекты (машины, приборы, аппара­
ты) и человека.
1. Действие линейных перегрузок эквивалентно статиче­
скому нагружению объекта. В некоторых случаях, главным
образом при наличии в объекте соединений с силовым замы­
канием, действие линейной перегрузки может вызвать нару­
шение нормального функционирования системы (размыкание
пружины электрических контактов, ложные срабатывания ре­
лейных устройств и т.п.).
2. Наиболее опасными для технических объектов оказы­
ваются вибрационные воздействия. Знакопеременные напря­
жения, вызванные вибрационными воздействиями, приводят
к накоплению повреждений в материале, что обусловливает
появление усталостных трещин и разрушение. Кроме уста­
лостных напряжений в механических системах наблюдаются
и другие явления, вызываемые вибрациями, например посте­
пенное ослабление («разбалтывание») неподвижных соедине­
ний. Вибрационные воздействия вызывают малые относитель­
ные смещения сопряженных поверхностей в соединениях дета­
лей машин, при этом происходит изменение структуры поверх­
ностных слоев сопрягаемых деталей, их износ и, как результат,
уменьшение силы трения в соединении, что вызывает измене­
ние диссипативных свойств объекта, смещает его собственные
частоты и может вызвать резонансные режимы.
Если в механизме имеются подвижные соединения с зазо­
рами (например, кинематические пары в механизмах), вибра­
ционные воздействия могут вызвать соударения сопрягаемых
поверхностей, приводящие к их разрушению и генерированию
шума. В большинстве случаев разрушение объекта при виб­
рационных воздействиях связано с возникновением резонанс­
ных явлений. Поэтому при полигармонических воздействиях
наибольшую опасность представляют те гармоники, которые
могут вызвать резонанс объекта.
3. Ударные воздействия также могут являться причиной
разрушения объекта. Часто повреждения, вызываемые уда­
ром, носят характер хрупких разрушений. Однако многократ­
ные удары могут приводить и к усталостным разрушениям,
особенно в тех случаях, когда периодическое ударное воздей­
ствие оказывается способным вызвать резонансные колебания
объекта.
4. Вибрационные и ударные воздействия, не вызывая раз­
рушений объектов, могут приводить к нарушению их нормаль­
ного функционирования. Например, вибрации металлорежу­
щих станков и другого технологического оборудования, вы­
званные действием различных источников, приводят к сниже­
нию точности и чистоты обработки, а также к другим нару­
шениям технологических процессов.
Механические воздействия существенно влияют на точ­
ность приборов, устанавливаемых в системах управления дви­
жением и служащих для измерения параметров движений. На­
пример, цод действием вибраций и ударов резко увеличивается
« у х о д » гироскопических приборов, а следовательно, и ошибка
измерений; приборы, содержащие измерительное устройство
маятникового типа, обнаруживают склонность к смещению ну­
левого положения.
Нарушение функционирования объекта, не связанное с
разрушениями или с другими необратимыми изменениями,
называют отказом. Способность объекта не разрушаться
при механических воздействиях называют вибропрочностъю, а
способность нормально функционировать — виброустойчиво­
стью. Цель виброзащиты технических объектов — повышение
их вибропрочности и виброустойчивости.
5.
Вибрация, возникающая при работе машин различных
типов и оборудования, оказывает вредное влияние на людей,
находящихся вблизи источника вибрации или в непосредствен­
ном контакте с ним. Вибрация вызывает нарушения физиоло­
гического и функционального состояния человека-оператора.
Стойкие физиологические изменения называют вибрационной
болезнью. Функциональные нарушения могут выражаться в
ухудшении зрения, изменении реакции вестибулярного аппа­
рата (нарушение координации движений; возникновение гал­
люцинаций, относящихся к ориентации тела, и т.п.), а также
к быстрой утомляемости.
В первую очередь вибрация оказывает вредное влияние на
рабочих, использующих ручные механизированные инструмен­
ты, на персонал, обслуживающий вибрационные машины (ви­
бромолоты, виброштамповки свай, труб и т.п., виброконвей­
еры, виброкатки, виброуплотнители, вибросепараторы, виб­
раторы жидкого металла, средства вибрационной очистки и
т.д.), а также многие строительные, дорожные и сельскохозяй­
ственные машины (бульдозеры, грейдеры, скреперы, тракто­
ры, комбайны и т.д.). В несколько меньшей степени действие
вибрации обычно испытывает персонал, связанный с работой
машин и механизмов, содержащих неуравновешенные движу­
щиеся элементы, а также с работой всех видов транспортных
средств. В перечисленных случаях возникает необходимость
ограничения вредного воздействия вибрации на человека. До­
пустимые для человека динамические воздействия регламен­
тируются санитарными нормами и правилами. Создание эф­
фективных методов и средств индивидуальной и комплексной
виброзащиты человек а-оператор а является одной из важнейтих технико-экономических и социальных задач современной
техники.
7.3. Анализ действия вибраций
Характер нарушений условий функционирования объек­
тов (механизмов машин и приборов) под действием вибраций
определяется видом механических воздействий и свойствами
объекта.
Модель объекта должна отражать основные черты реаль­
ной системы, влияющие на оценку ее динамической реакции,
и вместе с тем быть удобной для анализа и интерпретации
результатов. Наиболее приемлемой в этих условиях являет­
ся линейная модель, достаточно передающая свойства широ­
кого класса конструкций при малых колебаниях (см. рис. 7.2).
Удобной формой описания свойств линейного объекта в усло­
виях вибрационных воздействий являются операторы динами­
ческой податливости 1в а (р )> связывающие силу F (t), прило­
женную в заданном направлении в точке В объекта, с проек­
цией перемещения x^(t) точки А на некоторое направление:
ха (1) = lBA(v)F{t). Обратные операторы квА{Р) = 1~в а (р )
называют операторами динамической жесткости. Характе­
ристики 1а (р )> кл(р), связывающие силу, приложенную в точ­
ке Л, с проекцией перемещения этой же точки на направле­
ние действия силы, называют операторами динамической по­
датливости и динамической жесткости в точке А. Частот­
ные характеристики объекта
^Ва ( ^ ) называют со­
ответственно динамической податливостью и динамической
жесткостью.
Примерный вид зависимости модуля динамической по­
датливости от частоты показан на рис. 7.5.
Выражение для оператора динамической податливости
может быть представлено в виде
п
Здесь u v — собственные частоты консервативной системы;
gv — нормированные коэффициенты v-и формы колебаний в
точках А и В\ /3V — безразмерный коэффициент линейного
демпфирования на v-й форме колебаний. При р = го;, опуская
малые величины второго порядка, имеем частотную характе­
ристику объекта:
п
1в а (*>) = Y
9 B
v
9 A
v
(u>2 - u 2 )2 + 4(3vu$u 2
(u>% - ш2 - i2/3vu>vu).
Таким образом, динамическая податливость объекта с п
степенями свободы представлена в виде суммы податливостей
п систем с одной степенью свободы, имеющих собственные ча­
стоты консервативной системы (системы, для которой при ко­
лебаниях полная механическая энергия постоянна). На этих
частотах (и = u>v) динамическая податливость возрастает по
модулю ввиду появления в знаменателе v-ro слагаемого ма­
лого члена 2(3vu v . С увеличением номера v-й формы колеба­
ний максимальная величина модуля динамической податливо­
сти уменьшается.
При рассмотрении математических моделей конкретных
линейных систем значения динамических податливостей мо­
гут быть вычислены непосредственно путем отыскания реше­
ния от действия гармонической силы с единичной амплитудой.
Во многих случаях допустимо пренебрежение всеми фор­
мами колебаний, за исключением одной преобладающей. Та­
кие объекты обычно моделируются системами с одной степе­
нью свободы (см. рис. 7.2, а), имеющими массу т , коэффици­
ент упругости с и коэффициент вязкого трения Ь. При возбуж­
дении системы силой F (t) модуль динамической податливости
имеет следующий вид:
M * w )l = m 4 ( 4 ) - u2)2 + 4/?2Ц ) у 2 ] 1 /2 ;
/3 = b/(2 muo).
Реакция объекта на механическое воздействие может вы­
числяться как во временных, так и в частотных представле­
ниях. Реакцию системы на вибрационное воздействие удобнее
вычислять в частотных представлениях. Для гармонических
и полигармонических воздействий вычисления амплитудных
и фазовых искажений осуществляют для каждой гармониче­
ской компоненты процесса. В силу линейности объекта эффект
от действия нескольких гармонических компонент равен сумме
воздействий от каждой из них.
7.4. Основные методы виброзащиты
Уменьшение интенсивности колебаний объекта может
быть достигнуто следующими способами.
1. Снижение виброактивности источника. Возбуждение
колебаний может быть обусловлено различными причинами.
Удобно разделить возмущающие факторы на две группы. К
первой группе относят явления, связанные с трением в кине­
матических парах. Снижение виброактивности факторов этой
группы связано с изменением свойств материалов трущихся
поверхностей и может быть достигнуто способами, специфи­
ческими для каждого частного случая, например за счет при­
менения специальных смазок. Вторая группа возмущающих
факторов связана с движущимися телами (вращение роторов,
перемещение звеньев механизмов). Снижение виброактивно­
сти источника в этом случае заключается в уменьшении дина­
мических реакций, например, ротора при помощи его балан­
сировки.
2.
Изменение конструкции объекта.
Можно указать
два способа снижения колебаний, общих для всех механиче­
ских систем. Первый способ состоит в устранении резонансных
явлений. Если объект обладает линейными свойствами, то за­
дача сводится к соответствующему изменению его собствен­
ных частот. Для нелинейных объектов должны выполняться
условия отсутствия резонансных явлений. Второй способ за­
ключается в увеличении диссипации механической энергии в
объекте. Этот способ виброзащиты, называемый демпфирова­
нием, будет рассмотрен ниже.
3. Динамическое гашение колебаний. Динамический виб­
рогаситель (кратко — гаситель) формирует дополнительные
динамические воздействия, прикладываемые к объекту в точ­
ках присоединения гасителя. Динамическое гашение осуще­
ствляется при таком выборе параметров гасителя, при кото­
ром эти дополнительные воздействия частично уравновешива­
ют (компенсируют) динамические воздействия, возбуждаемые
источником. В табл. 7.1 даны основные виды динамических
гасителей колебаний.
4. Виброизоляция. Действие виброизоляции сводится к
ослаблению связей между источником и объектом; при этом
уменьшаются динамические воздействия, передаваемые объек­
ту. Ослабление связей обычно сопровождается возникновени­
ем некоторых нежелательных явлений: увеличением статиче­
ских смещений объекта, увеличением амплитуд относитель­
ных колебаний при низкочастотных воздействиях и ударах,
увеличением габаритных размеров системы. Поэтому приме­
нение виброизоляции как метода виброзащиты в большинстве
случаев связано с нахождением компромиссного решения, удо­
влетворяющего всю совокупность требований.
В и бр озащ и тн ы е устр о й ст в а и их эф ф ек ти вн ость.
Демпферы, динамические гасители и виброизоляторы образу­
ют в совокупности виброзащитные устройства. Пассивными
называют устройства, состоящие из инерционных, упругих и
диссипативных элементов. Активные устройства могут кро­
ме перечисленных содержать элементы немеханической приро­
ды и, как правило, обладают независимым источником энер­
гии. Эффективность виброзащитных систем принято оцени­
вать отношением значения какого-либо характерного парамет­
ра колебаний объекта с виброзащитным устройством, к значе­
нию того же параметра при отсутствии виброзащиты. Это
отношение называют коэффициентом эффективности вибра­
ционной защиты.
7.5. Уравновешивание и балансировка роторов
Н еуравновеш ен н ость роторов.
Ротором в теории
уравновешивания, или балансировки, называют любое враща­
ющееся тело. Поэтому ротором является якорь электродвига­
теля, коленчатый вал компрессора, шпиндель токарного стан­
ка, баланс часов и т.п.
Инерционные динамические гасители
12 *
Поглотители колебаний
b
а
У
Рис. 7.6
Из теоретической механики известно, что давление вра­
щающегося тела на его опоры в общем случае складывается
из двух составляющих: статической, вызванной действием
заданных сил (силы тяжести тела и др.), и динамической, обу­
словленной ускоренным движением материальных частиц, из
которых состоит вращающееся тело (т.е. ротор). Если дина­
мическая составляющая не равна нулю, то ротор в этом случае
называют неуравновешенным.
При равномерном вращении ротора вокруг оси z (рис. 7.6)'
проекции динамической составляющей определяются следую­
щим образом: Х А + Х д = Фх, Уд + Yq = Фу, - Х Аа + ХдЪ =
= Мфу, Уда - Yfib = Мфх . Как видно, неуравновешенность
численно оценивается посредством проекций главного вектора
Ф и главного момента Мф центробежных сил инерции ротора.
Эти проекции подсчитываются по таким формулам:
(7.7)
где 7П — масса ротора; Jyz и Jxz — центробежные момен­
ты инерции ротора относительно системы координат O xyz
(рис. 7.6). Плоскость Оху проходит через центр масс S рото­
ра, а вся система координат O xyz вращается вместе с ротором.
Отметим, что в рассматриваемой динамической задаче глав­
ный момент сил инерции ротора Мф есть величина векторная.
Как следует из уравнений (7.7), неуравновешенность ро­
тора возрастает пропорционально квадрату его угловой ско­
рости. Поэтому если быстроходные роторы (рабочие колеса
турбин, шлифовальные круги и многие другие) неуравновешены, то они оказывают на свои опоры внушительные динамиче­
ские давления, вызывающие вибрацию стойки (станины) и ее
основания. Устранение этого вредного воздействия называют
балансировкой (уравновешиванием) ротора. Решение данной
задачи относится к динамическому проектированию машин.
Модуль главного вектора центробежных сил инерции ро­
тора, согласно уравнениям (7.7), составит Ф = u 2 m ^jx2
s + y2
s.
В векторном виде запишем Ф = о;2гаёст, где ёст = Iqs —
радиус-вектор центра масс 5 ротора (см. рис. 7.6), именуемый
эксцентриситетом массы ротора. Обозначим
-Т^ст
—
T n e Q 'Y ,
(7.8)
Вектор DCT называют главным вектором дисбалансов ротора.
Очевидно, что Ф = и 2 DCT.
Модуль главного момента центробежных сил инер­
ции ротора, согласно уравнениям (7.7), составит Мф =
= и2
= и 2 Ml), где
мв= fif,ТЖ-
( 7-9)
Величина Mj) называется главным моментом дисбалан­
сов ротора и имеет векторный смысл, т.е. Мф = и 2 М р. В
дальнейшем неуравновешенность ротора количественно будем
характеризовать не через Ф и Мф, а через пропорциональные
им главный вектор D CT и главный момент М р дисбалансов
ротора.
В и ды неуравн овеш енн ости ротор а.
Статическая
неуравновешенность свойственна такому ротору, центр масс S
которого не находится на оси вращения, но главная централь­
ная ось инерции (ось I —I) которого параллельна оси вращения
(рис. 7.7, а). В этом случае ёст ф 0, JXz — Jyz — 0- Следова­
тельно, согласно уравнениям (7.8) и (7.9), статическаянеуравновешенность выражается только главным вектором DCT Дис­
балансов, в то время как главный момент дисбалансов Mj) = 0.
Рис. 7.7
Вектор DCT направлен радиально и вращается вместе с рото­
ром. Примером может служить одноколенчатый вал. Опоры А
и В нагружены силами FA и Fq , векторы которых врашаются
вместе с валом.
Статическая неуравновешенность может быть устранена,
если к ротору прикрепить тело массой т к, называемой кор­
ректирующей. Его надо разместить с таким расчетом, чтобы
DK = ткёк = - D cт . Это значит, что центр корректирующей
массы должен находиться на линии действия OS вектора DCT,
а вектор ёк должен быть направлен в сторону, противополож­
ную вектору ёсх.
Однако статическую балансировку не всегда удается вы­
полнить с помощью одной корректирующей массы. Так, кон­
струкция одноколенчатого вала (см. рис. 7.7, а) вынуждает
применить две массы, расположенные в плоскостях коррекции
М и N, так как пространство между этими двумя плоскостя­
ми должно быть полностью свободно для движения шатуна. В
этом случае вектор D Kбудет выражать суммарное воздействие
обеих корректирующих масс. Следовательно, число и располо­
жение плоскостей коррекции выбирают сообразно конструкции
и назначению ротора.
Моментная неуравновешенность имеет место в том слу­
чае, когда центр масс S ротора находится на оси вращения,
а главная центральная ось инерции I — I ротора наклонена к
оси вращения ротора под углом 7 (рис. 7.7, б). В этом случае
еСТ = О, Jxz ф О, Jуz ф 0. Следовательно, DCT = 0, так что мо­
ментная неуравновешенность выражается только главным мо­
ментом М р дисбалансов, т.е. парой дисбалансов ( Р м ъ ^ М 2 )?
которая вращается вместе с ротором. Примером может слу­
жить двухколенчатый вал, для которого М р = D^^h. Опоры
А и В нагружены парой сил (Рд, Р #), векторы которых вра­
щаются вместе с валом.
Так как пара уравновешивается только парой, то устра­
нить моментную неуравновешенность можно в том случае,
если применить не менее чем две корректирующие массы. Их
расположение в плоскостях коррекции и их величины должны
быть такими, чтобы дисбалансы корректирующих масс соста­
вили именно пару. Момент М р к этой пары должен быть равен
-М р - Значит, момент М р к должен быть направлен противо­
положно моменту пары (D m ъ ^Л/ 2 )? т -е- применительно к по­
ложению ротора, изображенному на рис. 7.7, б, — против хода
часовой стрелки.
Динамическая неуравновешенность является совокупно­
стью двух предыдущих, т.е. ёст ф 0, Jxz ф 0, Jyz ф 0. Следо­
вательно, динамическая неуравновешенность выражается че­
рез Рст и М р. Из теоретической механики известно, что та­
кая система нагружения эквивалентна двум скрещивающим­
ся векторам. Поэтому динамическая неуравновешенность мо­
жет быть выражена также и другим образом, а именно двумя
скрещивающимися векторами дисбалансов D\ и D 2 , которые
расположены в двух плоскостях, перпендикулярных оси вра­
щения, и вращаются вместе с ротором («кр ест дисбалансов»).
Примером динамически неуравновешенного ротора может слу­
жить двухколенчатый вал с эксцентрично закрепленным на
нем круглым диском (рис. 7.8). Опоры А и В нагружены скре­
щивающимися силами Fa и Fq , векторы которых вращаются
вместе с валом.
Динамическую неуравновешенность можно устранить
двумя корректирующими массами, расположенными в плос­
костях коррекции, перпендикулярных оси вращения.
Из сказанного следует, что в результате ликвидации вся­
кой неуравновешенности — и статической, и динамической —
главная центральная ось инерции ротора совмещается с его
осью вращения, или аналитически D CT = 0, М д = 0. В этом
случае ротор называют полностью сбалансированным. Отме­
тим важное свойство такого ротора: если ротор полностью
сбалансирован для некоторого значения угловой скорости и,
то он сохранит свою сбалансированность при любой другой
угловой скорости, как постоянной, так и переменной.
Д инамическая балансировка р о т о р о в на стад и и
проектировани я. Если эксплуатация машины или прибора
требует применения полностью сбалансированного ротора, а
его конструкция такова, что ротор неуравновешен (см., например, рис. 7.7, 7.8), то балансировку такого ротора необходимо
предусмотреть еще на стадии проектирования.
Пусть ротор представляет собой совокупность несколь­
ких деталей 1 , 2, 3 (рис. 7.9, а), вращающихся как единое це­
лое. Массы тп{ и координаты а,-, е,- и </>,■ центров масс Si всех
У
этих деталей известны. Располагая этими сведениями, следу­
ет подсчитать дисбалансы неуравновешенных масс по формуле
D{ = тп{ё.{.
Выполняя балансировку ротора, можно каждой неуравно­
вешенной массе противопоставить свою корректирующую мас­
су. Однако такое решение не является целесообразным, так
как в системе ротора почти всегда происходит частичное вза­
имное уравновешивание дисбалансов. Поэтому следует приме­
нить другой метод.
Назначим две плоскости приведения
и
перпендику­
лярные оси вращения z. На рис. 7.9, а плоскостью А выбрала
та, в которой движется центр масс 5 i, а плоскость В уда­
лена от нее на расстояние I. Приведем к плоскостям А к В
дисбалансы D\, D 2 , D 3 всех неуравновешенных масс, т.е. за­
меним каждый вектор дисбаланса двумя, параллельными ему
и расположенными в плоскостях приведения
и
Для этого
используем формулы
4 = Dibt/l, D^q = £>,а,//, т.е. приме­
нительно к рис. 7.9, а:
D ia = Dibi/l = D i;
D 2A = D 2 b2 /l]D3A - Dzh/l\
^ ^
^15 = ^ l ^ i / / = 0; Z^2j0 = D 2 a2 /l\ D$b = D^a^/l.
В результате приведения пространственная система дис­
балансов D i, Ъ2, D z получилась замененной двумя плоскими
системами. Сложим дисбалансы, расположенные в каждой из
плоскостей (рис. 7.9, б):
_
=
^ iA =
г : _
^ 1А
_
+
^ 2А
_
^
^ ЗА’
/ V
(7.П )
D B = / 2 D i B = D 2B + D SB-
Таким образом, неуравновешенность заданного ротора
можно представить двумя скрещивающимися векторами дис­
балансов D а и D q (на рис. 7.9, а не показаны), расположенны­
ми в плоскостях приведения А и В. Поэтому заданный ротор,
как и всякий другой, можно сбалансировать также двумя кор­
ректирующими массами. Если позволяет конструкция, разме­
стим эти массы в плоскостях приведения А и В. Тогда они
будут одновременно и плоскостями коррекции.
Условиями полной балансировки будут D kA = —
D KB — — D q . Векторы D ka и D k q показаны на рис. 7.9, а. Их
угловые координаты (ркА и (pKg следует взять с планов дисба­
лансов (см. рис. 7.9, б). Корректирующие массы равны тпка =
= А с л /екЛ> ткВ = D KB/eKв , где екЛ и екВ — их эксцентриситеты (см. рис. 7.9, а), назначаемые сообразно конструктивным
возможностям ротора.
Устранение неуравновешенности ротора состоит в том,
что корректирующие массы ткА и гак£ должны быть разме­
щены в плоскостях коррекции А и В в местах, определяемых
координатами <ркА> екА и ФкВ> екВ• Отметим, что вместо
корректирующих масс (противовесов) можно применить так
называемые «антипротивовесы». Это значит, что на линии
действия вектора D kq размещается не корректирующая мас­
са, а диаметрально противоположно ей из ротора удаляется
соответствующее количество материала (удаляется, как гово­
рят, «тяжелое м есто» ротора). То же самое можно сделать и
в другой плоскости коррекции. Конечно, возможность приме­
нения такого приема непосредственно определяется конструк­
цией ротора.
В заключение рассмотрим ротор, размеры которого вдоль
оси вращения малы по сравнению с его радиальными размера­
ми. Это значит, применительно к рис. 7.9, а, что детали 1 , 2, 3
расположены близко друг к другу, так что размеры а2 и аз ма­
лы. Тогда, согласно формулам (7.10), дисбалансы Б^в и
В
будут также малыми и ими можно пренебречь. Следователь­
но, согласно уравнениям (7.11), D b ~ 0, так что вся неурав­
новешенность ротора будет выражаться практически только
одним дисбалансом Б д и поэтому будет статической. Отсюда
вытекает, что и балансировка такого ротора с малыми разме­
рами вдоль оси вращения должна быть статической. Ее можно
выполнить одной корректирующей массой, назначив плоскость
коррекции так, чтобы она проходила через центр масс ротора.
Добавим, что при малости размеров а2 и аз, т.е. координат z
центров масс S2 и 5з (см. рис. 7.9, а), центробежные моменты
инерции Jxz и Jyz ротора будут также малы. Следователь­
но,, согласно уравнению (7.9), малым будет и главный момент
дисбалансов М р такого ротора, так что им можно пренебречь.
Это еще раз подтверждает, что неуравновешенность ротора,
имеющего малые размеры вдоль оси вращения, практически
будет только статической.
7.6. Статическая и динамическая балансировка
изготовленных роторов
Полностью сбалансированный при проектировании ротор
после изготовления обладает тем не менее некоторой неурав­
новешенностью, вызванной неоднородностью материала и от­
клонениями фактических размеров ротора от их номинальных
значений. Такая неуравновешенность устраняется в процессе
изготовления на специальных балансировочных станках. Ба­
лансировка может быть как автоматической, так и неавтома­
тической. Сначала рассмотрим статическую и динамическую
балансировки, выполняемые в неавтоматическом режиме.
С та ти ч еск а я балансировка. В § 7.5 было показано,
что Для роторов с малыми размерами вдоль оси вращения
(шкивы, маховики, диски и т.п.) допустимо ограничиться ста­
тической балансировкой. При этом определяется только глав­
ный вектор дисбалансов D CT. Если требуется невысокая точ­
ность балансировки, то она выполняется в статическом режи­
ме.
Более точным и перспективным в отношении автоматиза­
ции процесса балансировки является способ определения ста­
тической неуравновешенности в процессе вращения ротора,
т.е. в динамическом режиме* Одним из примеров оборудова­
ния, работающего по этому принципу, служит балансировоч­
ный станок, изображенный на рис. 7.10. Неуравновешенный
ротор i, закрепленный на шпинделе
вращается с постоян­
ной скоростью cjg в подшипниках, смонтированных в плите 2 .
Эта плита опирается на станину посредством упругих элемен­
тов 3 . С плитой 2 с помощью мягкой пружины 5 связана масса
6 сейсмического датчика. Собственная частота колебаний мас­
сы датчика должна быть значительно ниже частоты вращения
ротора. Массе 6 дана свобода прямолинейного перемещения
вдоль оси я, проходящей через центр масс 5о плиты.
При вращении шпинделя вместе с ротором ось z под вли­
янием неуравновешенности ротора описывает коническую по­
верхность, а плита совершает пространственное движение.
Составляющая этого движения, направленная вдоль оси я, вос­
принимается массой 6 . Вынужденные колебания массы отно­
сительно плиты 2 преобразуются датчиком в ЭДС, направляе­
мую в электронное счетно-решающее устройство (на рис. 7.10
не показано), являющееся неотъемлемой частью балансировоч­
ного станка. Это устройство выдает сведения об искомой не­
уравновешенности в виде модуля и угловой координаты глав­
ного вектора DCT дисбалансов ротора. (На рис. 7.10 статиче­
ская неуравновешенность ротора условно представлена в виде
* Отсюда следует, что термин «статическая неуравновешенность»
не только очень неудачен, но и попросту устаревает, поскольку современ­
ные точные и высокопроизводительные балансировочные станки определя­
ю т так называемую «ста ти ч еск ую неуравновешенность» в динамическом
режиме.
Рис. 7.10
неуравновешенности некоторой точечной массы, дисбаланс ко­
торой равен главному вектору DCT дисбалансов ротора.) Пос­
ле определения D CT оператор устраняет неуравновешенность
обычно способом удаления материала (удаления «тяжелого
м еста») (см. § 7.5).
Динамическая балансировка. Роторы, размеры кото­
рых вдоль оси вращения значительны, требуют динамической
балансировки, так как главный момент дисбалансов М р таких
роторов будет существенным (см. § 7.5). Поэтому неуравнове­
шенность будет выражаться не только главным вектором дис­
балансов Дет, но и главным моментом дисбалансов М #, или
двумя скрещивающимися векторами дисбалансов D\ и Ь 2 (см.
§ 7.5), т.е. будет динамической. Такую неуравновешенность
можно условно представить в виде неуравновешенности двух
точечных масс, дисбалансы которых соответственно равны D\
и
Ось вращения ротора в станках, предназначенных для ди­
намической балансировки, может быть или неподвижной, или
может двигаться относительно станины. В зависимости от
числа возможных движений оси вращения (числа ее степеней
свободы) балансировочные станки целесообразно разделить на
три группы. К первой группе относятся станки, когда ось
ю - 11273
Р и с . 7.11
вращения балансируемого ротора совершает пространствен­
ное движение; ко второй — когда ось вращения колеблется
относительно другой, неподвижной оси; к третьей — когда ось
вращения неподвижна.
Пример станка первой группы, когда ось вращения ротора
совершает во время балансировки пространственное движение,
показан на рис. 7.11. Неуравновешенный ротор 1 вращается с
постоянной угловой скоростью cjg в подшипниках, смонтиро­
ванных на плите 2. Она опирается на станину посредством
четырех пружин 3. С плитой 2 связаны два сейсмических дат­
чика 4 и 5.
При вращении ротора под влиянием его неуравновешен­
ности ось z и плита 2 совершают пространственное движение,
которое воспринимается датчиками 4 и 5. Датчики преобра­
зуют вынужденные механические колебания плиты в ЭДС, на­
правляемые в электронное счетно-решающее устройство (на
рис. 7.11 не показано), которое является составной частью ба­
лансировочного станка. Электросхема этого устройства смон­
тирована таким образом, что измеритель дисбаланса D\ на­
страивается на исключение в своих показаниях влияния дисба­
ланса D 2 и дает, таким образом, сведения только о дисбалансе
D\. Точно так же благодаря специальной настройке измери­
тель дисбаланса £>2 дает сведения только об этом дисбалансе.
Следовательно, оба искомых дисбаланса одновременно опреде­
ляются электронным устройством, чем обеспечивается высо­
кая производительность станка. После определения D\ и D 2
оператор балансирует ротор в плоскостях коррекции, обычно
способом удаления материала (см. § 7.5).
Пример рамного балансировочного станка второй группы,
не имеющего электронно-решающих устройств, и описание ра­
боты на нем имеются в литературе.
А втом атическая балансировка. Станок для автома­
тической балансировки называют автоматическим, если обе
фазы балансировки — как измерение неуравновешенности, так
и ее устранение — осуществляются без участия оператора.
Возможны два метода автоматической балансировки: дискрет­
ный метод, когда обе фазы выполняются последовательно, при­
чем вторая фаза — на неподвижном роторе, и*непрерывный
метод, когда обе фазы совмещены во времени и ротор во всем
процессе балансировки не останавливается.
Устранять неуравновешенность можно двумя способами:
добавлением или удалением корректирующих масс тк\ и т к2
в плоскостях коррекции. Автоматические балансировочные
станки, работающие с добавлением корректирующих масс, не­
обходимы для уравновешивания тонкостенных роторов.
Наиболее распространен способ удаления материала, осу­
ществляемый путем сверления углублений или фрезерования
пазов на роторе, а также другими средствами. Станки, исполь­
зующие этот способ, описаны ниже. Ось вращения ротора на
этих станках неподвижна, и поэтому они относятся к третьей
группе.
Автоматический станок для дискретной балансировки
обычно состоит из двух агрегатов: измеряющего И и устра­
няющего У неуравновешенность (рис. 7.12), связанных между
собой электронным устройством ЭУ Сведения о неуравнове­
шенности ротора Р 2 подаются в ЭУ от датчиков а и /3 непо­
движных чувствительных опор А и В. В решающем блоке РБ
эти сведения преобразуются в сигналы, эквивалентные дис­
балансам D\ и
в плоскостях коррекции 1 — 1 и 2 — 2 .
Сигналы направляются в блоки У Б 1 и УБ 2 , которые управля­
ют инструментами, устраняющими дисбалансы в плоскостях
коррекции. Но поступившие сигналы пока сохраняются там в
памяти, так как в это время происходит устранение дисбалан­
сов предыдущего ротора Pi путем удаления материала. При
этом никакой обратной связи между балансируемым ротором
Pi и ЭУ не существует. По завершении балансировки ротор
1
Рис. 7.12
Pi снимается с агрегата У, а на его место автоматически пере­
носится ротор Р 2 , для балансировки которого из памяти У Б 1 и
УБ 2 вызываются очередные импульсы, управляющие инстру­
ментами, которые устраняют дисбалансы ротора Р 2 . Б это
время в измеряющий агрегат И на место ротора Р 2 автомати­
чески подается следующий ротор Р 3 и процесс повторяется.
Основным требованием метода непрерывной балансиров­
ки является наличие ненарушаемой обратной связи меэКДУ ба­
лансируемым ротором и электронным устройством. Одним из
примеров такой балансировки является электрохимические ба­
лансировка, действующая по принципу анодного растворения,
а поэтому пригодная только для металлических роторов и к
тому же нечувствительных к воздействию электролита на со­
ставные части ротора. Схема такого автоматического станка
показана на рис. 7.13. Блок УБ, который управляет удалени­
ем материала ротора, представляет собой коллектор с тремя
электрически изолированными друг от друга соплами? через
которые на ротор непрерывно подается электролит. Струя из
центрального сопла С является общим токопроводящий элек­
тродом; струи из сопл I и II, расположенных в плоскостях
Рис. 7.13
коррекции 1 — 1 и 2 — 2 , выполняют роль токоснимающих
электродов. Кратковременные включения тока г происходят
в те моменты времени, кода «тяжелые места» ротора прохо­
дят под соплами I и II. Команды на включение этих импульсов
формируются в решающем блоке РБ под действием сигналов,
поступающих от специальных датчиков а и (5 и зависящих
от величин реакций неподвижных чувствительных опор А и
В. Короткие импульсы уходящего с ротора тока г вызывают
в нужных местах на его поверхности (в плоскостях коррек­
ции 1 — 1 и 2— 2) растворение металла (см. рис. 7.13). Таким
образом, ротор в процессе балансировки непрерывно подает по
каналам а и Ъобратной связи в ЭУ сведения о своей неуравно­
вешенности, которая постепенно устраняется.
Для удаления корректирующих масс из ротора, изготов­
ленного из любого материала, применяется балансировка с ис­
пользованием лазера. Этот способ стал возможным в связи
с появлением и разработкой мощных оптических квантовых
генераторов. Для повышения производительности применен
лазер непрерывного действия и разработана оптическая си­
стема, обеспечивающая синхронное следование луча лазера за
«тяжелой точкой» ротора в плоскости коррекции. Практиче­
ски это осуществлено, например, в автоматическом лазерном
балансировочном станке ЛБС-3, принципиальная схема кото­
рого приведена на рис. 7.14. Балансируемый ротор Р опирает­
ся на. неподвижные чувствительные опоры А и В и приводится
1
во вращение двигателем Д. От него же подается механиче­
ский сигнал и в блок УБ, приводящий в синхронное с ротором
вращение полый шпиндель с оптической призмой П. Сигна­
лы опорных датчиков
а и /3 перерабатывают
блоке РБ в фазирующий импульс, также посылаемый в упра­
вляющий блок УБ, который обеспечивает требуемое фазовое
положение призмы П относительно ротора Р Луч из оптиче­
ского квантового генератора ОКГ проходит через полый шпин­
дель и, отражаясь от вращающейся призмы П и неподвижного
сферического зеркала 3, фокусируется в «тяжелом м есте» ро­
тора, находящемся в плоскости коррекции 1 — 1 . Из этого
места во время всего процесса балансировки луч удаляет не­
уравновешенный материал ротора, постепенно уменьшал тем
самым дисбаланс D \. Одновременно автоматически уменьша­
ется энергия луча лазера.
Балансировочные автоматические устройства применяют
не только в балансировочных станках, но также и в ротор­
ных машинных установках, когда в процессе их эксплуатации
происходит по тем или иным причинам нарушение сбаланси­
рованности ротора. Например, на вал ротора такой установки
жестко закрепляют автоматический компенсатор в виде обой­
мы со свободно расположенными внутри нее корректирующи­
ми массами (шары, кольца и др.). Эти массы при вращении
ротора (со сверхкритической скоростью) самоустанавливаются относительно обоймы, устойчиво обеспечивая уравновешен­
ное состояние ротора.
7.7. Виброизоляция. Виброзащитные системы
с одной степенью свободы
Виброизоляция — защита сооружений, машин, приборов и
людей от вредного воздействия вибрации путем введения демп­
феров или виброизоляторов между источниками вибрации и за­
щищаемыми объектами. Этой проблеме посвящены ряд работ
отечественных и зарубежных авторов.
Виброизолятор, или амортизатор, — элемент виброзащитной системы, наиболее существенная часть которого —
упругий элемент. В результате внутреннего трения в упру­
гом элементе происходит демпфирование колебаний. Кроме то­
го, в ряде конструкций амортизаторов применяют специальные
демпфирующие устройства для рассеяния энергии колебаний.
Динамические характеристики амортизатора существенно за­
висят от его статических характеристик, причем и те и другие
являются нелинейными. Нелинейность характеристик аморти­
затора определяется рядом причин: нелинейными свойствами
упругого элемента (например, резины), внутренним трением
в упругом элементе, наличием конструктивных особенностей
амортизатора типа ограничительных упоров, демпферов сухо­
го трения, нелинейных пружин и т.д. На рис. 7.15 изображе­
ны различные амортизаторы и их силовые характеристики (по
оси абсцисс — перемещения, по оси ординат — реакции): а —
резинометаллический; б — сетчатый; в — с упругими ограни­
чителями хода; г — демпферный; д — с конической пружиной.
В любом амортизаторе могут быть определены три взаим­
но перпендикулярных направления я, j/, г, такие, что переме­
щение точки крепления амортизатора в одном из этих напра­
влений вызывает силовую реакцию амортизатора в противопо­
Рис. 7.15
ложном направлении. Эти направления называются главны­
ми. Если через X , Y и Z обозначить проекции реакции амор­
тизатора на главные направления и учесть упругие и демпфи­
рующие свойства реальных амортизаторов при малых колеба­
ниях, то можно предположить следующее: реакции по главным
направлениям зависят только от соответствующих перемеще­
ний и их первых производных по времени. Тогда функции
A' = A’ ( z , i ) ,
Y = Y (y ,y ),
Z = Z ( z ,z )
(7.12)
называют динамическими характеристиками амортизатора.
При анализе малых колебаний амортизируемого объекта
вблизи положения равновесия можно считать перемещения я,
у и z малыми и линеаризовать динамические характеристи­
ки ( 7 . 1 2 ), разлагая их в ряд Маклорена и отбрасывая члены,
имеющие порядок выше первого:
A’ ( * ,i ) « схх + bxx, Y (y ,y ) « суу + Ьуу,
Z(z, z) = czz + bzz ,
где
«•-$г<0-0* =f
1
(7-13)
*•=И
<м>
— жесткости амортизатора в главных направлениях, а
61 = Ц ( ° ,0 ) ; 6, = § ( 0 ,0 ) ; 6, = § ( 0 ,0 )
— коэффициенты демпфирования.
Рассмотрим малые колебания амортизированного объекта
(рис. 7.16, а), имеющего массу га. Для вывода уравнения дви­
жения амортизированных систем можно использовать принцип
Даламбера. В произвольный момент времени t при значении
текущей координаты z на массу га действует реакция Z(z, z)
амортизатора. Приравнивая нулю сумму сил, приложенных к
массе га, и силы инерции mz в соответствии с (7.13), получаем
дифференциальное уравнение движения массы га:
mz + bzz + czz — 0.
(7-14)
Соответствующее характеристическое уравнение имеет
вид
ms2 + bzs + с2 = 0.
(7-15)
Его корни равны
s l,2 =
2~
± ф 2
г~ 4 т с*)
Общее решение уравнения (7.14) принимает вид
г = А ^ 1 + A2eS2i,
где А\ и А2 — произвольные постоянные, зависящие от на­
чальных условий; 5^2 — корни характеристического уравне­
ния (7.15), которые для удобства можно представить так:
51,2 = -fwo ±
\J£2 -
1 -^ 0,
где czlrn = cjq; bz/(2^/czm) = £] uq — собственная частота
амортизированной системы; f — безразмерный коэффициент
затухания.
На рис. 7.16, б дана схема системы амортизации при изо­
ляции фундамента от колебаний гф = Z q smut.
Э лем ен ты расчетной модели и их х а р а к т ер и ст и ­
ка. В расчетной модели виброзащитной системы можно выде­
лить три основные части: источник возмущения (И), объект
виброзащиты (О) и виброизолирующее устройство (ВУ). В
простейшем случае источник и объект считаются твердыми
телами, движущимися поступательно вдоль некоторой оси х
(рис. 7.17, а).
Приложенные к системе внешние силы F (возмущения),
а также внутренние силы R и iZ;, с которыми виброизолирую­
щее устройство, расположенное между источником и объектом,
воздействует на них, считаются направленными вдоль оси я,
тем самым ось х служит осью рассматриваемого виброизоли­
рующего устройства.
В большинстве случаев масса одного из тел системы —
источника или объекта — существенно превышает массу дру­
гого тела — соответственно объекта или источника. Тогда
движение тела «больш ой»
И
ВУ
О
массы может считаться не за­
F
П R*r
висящим от движения тела
1_1
X
«м ал ой » массы. Если, в част­
а
ности, «бол ьш у ю » массу име­
ет объект, то его обычно счи­
тают неподвижным; движение
* П
и ' г*
X системы вызывается в этом
случае приложенными к источ­
б
нику внешними силами, пред­
ставляющими силовое возбуж­
J11—1я ,
F = F (t)
(рис. 7.17, б).
X дение
Если «бол ьш у ю » массу име­
ет источник, то закон его дви­
в
жения f = £(t) можно счи­
тать заданным; это движение
играет роль кинематического
Рис. 7.17
г
1
1
возбуждения объекта (рис. 7.17, в). В обоих случаях тело
«больш ой» массы называют несущим, или основанием, тело
«м алой» массы — несомым.
Схему, представленную на рис. 7.17,5, обычно исполь­
зуют тогда, когда речь идет о защите зданий, сооружений,
перекрытий или фундаментов от динамических воздействий,
возбуждаемых установленными на них машинами и меха­
низмами с неуравновешенными движущимися частями или
иным виброактивным оборудованием. Схему, изображенную
на рис. 7.17, в, используют в задачах виброзащиты приборов,
аппаратов, точных механизмов или станков, т.е. оборудования,
чувствительного к вибрациям и устанавливаемого на колеблю­
щихся основаниях или на движущихся объектах.
Виброизолирующее устройство — важнейшая часть виброзащитной системы; его назначение состоит в создании та­
кого режима движения, инициируемого заданными возмуще­
ниями, при котором реализуется цель защиты объекта. Во
многих случаях это оказывается достижимым при использова­
нии безынерционного виброизолирующего устройства, которое
для схем, изображенных на рис. 7.17, представляет одноосный
виброизолятор. Для такого виброизолятора реакции R и R1со­
впадают по модулю (R = R1), причем в рассматриваемом ниже
простейшем случае реакцию R можно считать пропорциональ­
ной деформации 6 и скорости деформации 6 виброизолятора:
R = c6 + b6.
(7.16)
Зависимость (7.16) описывает линейную характеристи­
ку простого безынерционного виброизолятора. При 6 = 0
(7.16) описывает характеристику линейного идеального упру­
гого элемента (пружины); при с — 0 — характеристику линей­
ного вязкого демпфера. Таким образом, модель виброизолято­
ра с характеристикой (7.16) определяет собственную частоту
системы
и>о = у/с/т,
где ж — масса несомого тела.
Ж есткость с определяет также статическую деформацию
6Ст (осадку) виброизолятора, связанную с щ следующей фор­
мулой:
Щ = у/g sina/<5CT,
XI
X i
т
ь
|Х|/
У / / / У \/////z
Рис. 7.19
Рис. 7.18
где а — угол наклона оси виброизолятора к горизонту. Зави­
симость uq = cjo(Sct) приведена на рис. 7.18.
Расчетная модель простейшей виброзащитной системы с
одной степенью свободы дана на рис. 7.19; здесь га, х — со­
ответственно масса и координата несомого тела; F — сила,
приложенная к несомому телу; f — координата основания; с,
Ь— соответственно жесткость и коэффициент демпфирования
виброизолятора. Демпфирующие свойства такой системы ха­
рактеризуются коэффициентом демпфирования
п = 6/(2га)
и относительным демпфированием
v = п/ljq = Ъ/ (2\/сга)
При v = 1 в системе реализуется критическое демпфирование.
Эффективность виброзащиты. Коэффициенты эф­
фективности при гармоническом возбуждении. Под эф­
фективностью виброзащиты понимается степень реализации
виброзащитным устройством целей виброзащиты. При сило­
вом гармоническом возбуждении
F (t) = Fq sinu;*; £(*) = 0,
где Fq и и — соответственно амплитуда и частота выНУжДа_
ющей силы; цель защиты может состоять в уменьшении ам_
плитуды Д0 силы, передаваемой на неподвижный объект:
Ло
Роу/шо + 4п2а,г
■
=>
у (wq —w2)2 + 4n2u>2
/
или в уменьшении амплитуды X q установившихся вынужден­
ных колебаний источника:
*0 =
m\j
Fo
(wo —w2)2 + 4n2w2
При кинематическом гармоническом возбуждении
F (t) = 0; £(t) = fo sinwf
цель защиты может заключаться в уменьшении амплитуды
абсолютного ускорения (перегрузки) объекта
Со
W =
+ 4n2w2
v
(w2 - w2)2 + 4n2u>2
а также в уменьшении амплитуды его колебаний относительно
основания:
x i __________ £о^2________
(и>2 - ц>2)2 + 4п2о;2
Количественно степень реализации виброзащиты можно
охарактеризовать значениями безразмерных коэффициентов
эффективности. Для расчетной модели, изображенной на
рис- 7.19, при силовом возбуждении вводят коэффициенты
kR = Ro/Fo; kx = cXo/Fo.
В случае кинематического возбуждения рассматривают коэф­
фициенты
kR = W/(w2Zo); kx , = X'Q/b.
Величины кл и kx называют соответственно коэффициентом
виброизоляции и коэффициентом динамичности.
Зависимость к;д, к х и кх* от безразмерных параметров v
и z = u;/u>o имеет вид
kR =
^
(1_
1 + 4i/2z2
z 2) 2+ 4 i/2z 2 ;
-^(1 - z2)2 + 4i/ 2z 2 ’
^
\ /(l — z2)2 + 4 i/2z 2
У словия эф ф екти вн ости ви бр оза щ и ты по к р и тер и ­
ям А;д,
^ х 1 Эти условия формулируются в виде нера­
венств
*Л<1>
*х < 1 ,
**'<!•
(7.17)
Посколькууказанные коэффициенты зависят от частоты,
можно говоритьоб эффективности виброзащиты на данной
частоте z или в заданном частотном диапазоне z\ < z < Z2 Анализ соотношений (7.17) приводит к следующим выводам.
1. Эффективность виброзащиты по критерию кл < 1 обес­
печивается при любом уровне демпфирования в частотном диа­
пазоне
z > V2.
(7.18)
При любом z из диапазона (7.18) эффективность тем вы­
ше, чем слабее демпфирование; наилучшей эффективностью
обладает идеально упругий изолятор (у = 0).
2. Эффективность виброзащиты по критерию к х < 1 так­
же обеспечивается в диапазоне (7.18) при любых значениях у.
При v > —р виброзащита эффективна во всем диапазоне чаV2
стот 0 < г < оо; при
у
<
—р
эффективность имеет место в
V2
диапазоне
Z >
^ 2 (1 -2 1 /2 ).
(7.19)
При фиксированном значении z эффективность повыша­
ется с ростом демпфирования.
3. Виброзащита по критерию кх> < 1 эффективна во всем
1
1
частотном диапазоне, если v > —= , а при и < —= — в диапазоне
у/2
rt
О< z <
\/2
1
-\/2(1 —2i/2)
Степень эффективности на фиксированной частоте z по­
вышается с ростом демпфирования; в наихудшем случае (при
v — 0) диапазон эффективности соответствует полосе
0< z <
у/2
Эквивалентные коэффициенты жесткости и демп­
фирования. Виброизолирующее устройство часто выполня­
ют в виде соединения нескольких виброизоляторов, образую­
щих сложный виброизолятор. При определенных условиях
реакция R такого соединения может аппроксимироваться за­
висимостью (7.16), где 6 — деформация соединения в целом.
Тогда рассматриваемый сложный виброизолятор эквивален­
тен (в смысле воздействия на источник и объект) простому,
коэффициенты сэ, Ьэ называют эквивалентными коэффициен­
тами жесткости и демпфирования.
Эффективность виброзащитных систем при полигармонических воздействиях. Полигармоническим назы­
вают процесс, который можно представить в виде конечной
тригонометрической суммы. Например, полигармоническое
возмущение кинематического типа задается суммой:
п
с (0 = Y 1 &°
j=1
+ а>)’
где £;о, u j, a j — соответственно амплитуда, частота и на­
чальная фаза j -й гармоники. Совокупность чисел fyo (3 =
= 1, 2, . . . , п) образует амплитудный спектр воздействия. Ус­
ловие эффективности виброзащиты может при этом отож­
дествляться с совокупностью условий эффективности на ка­
ждой из гармоник воздействия. Так, если виброзащита за­
ключается в уменьшении перегрузки объекта max|i(J)|, усло­
вие эффективности эквивалентно выполнению п неравенств
kpj{v, Zj) < 1 (j = 1, 2, . . . , n), что равнозначно условию огра­
ниченности ординат амплитудно-частотной характеристики
системы в заданных точках z = zj (j = 1, 2, . . . , n).
7.8. Демпфирование колебаний. Диссипативные
характеристики механических систем
Демпфированию колебаний посвящен ряд фундаменталь­
ных работ Г.С. Писаренко, Я.Г Пановко, Г.И. Страхова и др.
Основываясь на этих исследованиях, приведем классификацию
внешних и внутренних сил трения.
Д иссипативны е силы . При колебаниях упругих систем
происходит рассеяние энергии в окружающую среду, а также
в материале при деформации упругих элементов и в узлах со­
членения деталей конструкции. Эти потери вызываются си­
лами неупругого сопротивления — диссипативными силами,
на преодоление которых непрерывно и необратимо расходует­
ся энергия колебательной системы, а следовательно, возбуди­
телей колебаний. Для описания диссипативных сил исполь­
зуются характеристики, представляющие собой зависимость
диссипативных сил от скорости движения масс колебатель­
ной системы или от скорости деформации упругого элемента.
Вид характеристики определяется природой сил сопротивле­
ния. Наиболее распространенные характеристики диссипатив­
ных сил представлены на рис. 7.20.
Вязкое сопротивление (рис. 7.20, а) характеризуется ко­
эффициентом сопротивления
и описывается выражением
Fa(x) =- Ь\х.
*1 - /
S 1^
1 X
.
h - /
S 1ш
1 X
ш ,
Ь0
X
■А)
а\
6
в
Рис. 7.20
* Коэффициент сопротивления обозначают как буквой 6, так и буквой
к (см. гл. 5 и гл. 7).
Такую характеристику имеют диссипативные силы, воз­
никающие при малых колебаниях в вязкой среде (газе или жид­
кости), а также в ряде гидравлических демпферов.
При больших виброскоростях имеет место квадратичная
зависимость (рис. 7.20, б) диссипативной силы от скорости:
Fr (x )
= b2X2sgnx.
(7.21)
Часто в конструкциях демпферов используют элементы
сухого трения, характеристика которого (рис. 7.20, б) имеет
вид
Гд(х) = bosgni,
(7.22)
где 6о = const — сила сухого трения.
Все приведенные зависимости можно представить единой
нелинейной характеристикой
Fji( x ) = b^x^sgnx,
(7.23)
где /х, Ьц — постоянные. При /х, равном 1, 2 и 0, соответственно
получаются характеристики (7.20) — (7.22).
Г и стер ези с. Во многих случаях разделение полной си­
лы на упругую и диссипативную является условным, а зача­
стую и вообще физически неосуществимым. Последнее отно­
сится прежде всего к силам внутреннего трения в материале
упругого элемента и к силам конструкционного демпфирова­
ния, связанного с диссипацией энергии при деформировании
неподвижных соединений (заклепочных, резьбовых, прессовых
и т.д.).
Если провести циклическое деформирование упругодисси­
пативного элемента (рис. 7.21), например, по закону
x = acoscjt,
(7-24)
то обнаруживается различие линий нагрузки и разгрузки на
диаграмме сила — перемещение (рис. 7.22). Это явление на­
зывают гистерезисом. Площадь, ограниченная петлей гисте­
резиса, выражает энергию Ф, рассеянную за один цикл дефор­
мирования, и определяет работу диссипативных сил:
Т
Ф = £ F (x ,x )d x =
J
FR(x)xdt,
о
где Т = 2ж/и — период деформирования.
Рис. 7.21
Рис. 7.22
Пусть, например, динамическая характеристика упруго­
диссипативного элемента имеет вид
F (x ,x ) = Fy(x) + Fa(x),
где Fy(x) = сх — линейная упругая составляющая. Петля
гистерезиса такого элемента с линейной диссипативной си­
лой (7.20) при деформации по закону (7.24) имеет вид эллипса
(рис. 7.22, а). Угол а наклона его большой оси характеризу­
ет жесткость элемента с = tga. Рассеянная за цикл энергия
(7.24)
Т
Ф=
Т
J
b\x2{t)di = b\{au2)
о
J
sin2 utdt = ita2ub\.
(7.25)
0
На рис. 7.22, б показана петля гистерезиса элемента с сухим
трением (7.22). Для него рассеянная энергия
Ф = 4аЬ0.
(7.26)
Для элемента с диссипативной характеристикой вида
(7.23) рассеянная за период энергия
Ф = кцоР+'ыПц,
(7.27)
7Г
где
ниже:
=
/
1 sin
0
kfi
306
г |^+1dr.
Некоторые значения
к^
приведены
0
4,000
0,5
3,500
1,0
3,142
1,5
2,874
2,0
2,666
2,5
2,498
3,0
2,356
Рассеяние энергии при колебаниях упругодиссипативной
системы оценивают коэффициентом поглощения. При упру­
гой линейной характеристике потенциальная энергия П упру­
гого элемента
П = са2/2;
коэффициент поглощения
ф = 2Ф /(са2).
(7.28)
Согласно (7.25) — (7.27), в зависимости от вида характе­
ристики диссипативной силы коэффициент поглощения явля­
ется функцией:
частоты при вязком демпфировании (7.20)
ф = 27rbiu/c\
амплитуды при сухом трении (7.22)
ф = 8Ьо/(са);
амплитуды и частоты в общем случае (7.23)
С
При отыскании периодических колебаний вида (7.24) си­
стемы, диссипативные свойства которой заданы одним из из­
ложенных выше способов, исходную динамическую характери­
стику F (x ,x ) заменяют эквивалентной упруговязкой моделью:
F ( x , х) « сх + Ьх.
(7.29)
Коэффициент Ъ эквивалентного демпфирования подбира­
ют так, чтобы исходная и заменяющая схемы обладали одина­
ковой поглощающей способностью. Энергия (7.25), рассеянная
линейным эквивалентным демпфером,
Ф = тга2иЬ.
(7.30)
Согласно (7.28), исходный диссипативный элемент, име­
ющий коэффициент поглощения ф, рассеивает энергию
ф = j-фса?
(7-31)
Приравнивая (7.30) и (7.31), получаем эквивалентный коэффициент сопротивления
фс
(7.32)
2 тги>'
Коэффициент зависит не только от характеристик дисси­
пативных сил, но и от параметров процесса.
В ы нуж денны е колебания си стем ы с одной с т е ­
пенью свободы . Уравнение движения массы т записывают
в виде
тх + сх + F (x) = Q q cos(ut — ip).
(7.33)
Ь=
Отыскивая решение (7.24) и проводя линеаризацию (7.29) не­
линейной функции F (x ), вместо (7.33) получим при F (x ) = Ъх
тх + Ьх + сх = Q о cos (ut - р).
(7.34)
В результате решения линеаризованного уравнения (7.34) амплитуда
а=
с
где wo = у/с/тп — собственная частота системы.
Величина 6 является функцией амплитуды и частоты, т.е.
b = Ь(а,и). Поэтому это соотношение в общем случае предста­
вляет собой уравнение, решение которого определяет искомую
амплитуду. Для резонансной амплитуды, достигаемой при ма­
лом демпфировании на частоте и w Сс?0 , имеем
Дг> —
Qо
Ьи0
(7.35)
С помощью (7.22) выражению (7.25) можно придать вид
Др —
27г<Зо
сф
(7.36)
Для линейной системы соотношение (7.25) можно запи­
сать в виде
7Г<Э0
(7.37)
Др —
Сб ’
2ТГп
— логарифмический декремент колебаний; п =
и>0
= Ь/(2т) — коэффициент демпфирования.
Из сравнения (7.36), (7.37) видно, что
где 6 =
ф = 26.
(7.38)
Учет внутреннего трения в материалах. Много­
численными экспериментами установлено, что поглощающие
свойства большинства материалов не зависят от частоты де­
формирования. Поэтому диссипативные свойства материала
удобно характеризовать с помощью коэффициента поглоще­
ния ф или связанного с ним равенством (7.38) логарифмиче­
ского декремента колебаний 6. Эти величины, определяемые,
как правило, экспериментально, представляют в виде зависи­
мостей от амплитуд относительных деформаций, нормальных
или касательных напряжений.
Конструкционное демпфирование в неподвижных
соединениях. Наряду с внешними демпфирующими факто­
рами на колебания механических систем заметное влияние мо­
гут оказать энергетические потери внутри самой конструкции
(конструкционное демпфирование). Эти потери происходят
из-за трения в кинематических парах, а также в прессовых,
шлицевых, резьбовых, заклепочных и т.п. соединениях. Хо­
тя такие соединения принято называть неподвижными, в дей­
ствительности при их нагружении неизбежно возникают ма­
лые проскальзывания по контактным поверхностям; на соот­
ветствующих относительных перемещениях силы трения со­
вершают работу.
Лишь в некоторых простых схемах соединений поглоще­
ние энергии за один цикл можно вычислить с помощью теоре­
тического расчета. Более надежные оценки рассеяния энергии
могут быть получены экспериментальным путем — либо по
параметрам резонансного пика в режиме моногармонических
вынужденных колебаний, либо по огибающей свободных зату­
хающих колебаний.
7.9. Динамическое гашение колебаний
Метод динамического гашения колебаний состоит в присо­
единении к объекту виброзащиты дополнительных устройств с
целью изменения его вибрационного состояния. Работа дина­
мических гасителей основана на формировании силовых воз­
действий, передаваемых на объект. Этим динамическое га­
шение отличается от другого способа уменьшения вибрации,
характеризуемого наложением на объект дополнительных ки­
нематических связей, например закреплением отдельных его
точек.
Вопросам динамического гашения колебаний посвящены
работы ряда исследователей И.В. Ананьева, В.И. Бабицкого,
С.П. Тимошенко.
Изменение вибрационного состояния объекта при присо­
единении динамического гасителя может осуществляться как
путем перераспределения колебательной энергии от объекта к
гасителю, так и в направлении увеличения рассеяния энергии
колебаний. Первое реализуется изменением настройки систе­
мы объект — гаситель по отношению к частотам действующих
вибрационных возмущений путем коррекции упругоинерцион­
ных свойств системы. В этом случае присоединяемые к объ­
екту устройства называют инерционными динамическими га­
сителями. Инерционные гасители применяют для подавления
моногармонических или узкополосных случайных колебаний.
При действии вибрационных нагрузок более широкого час­
тотного диапазона предпочтительней оказывается второй спо­
соб, основанный на повышении диссипативных свойств систе­
мы путем присоединения к объекту дополнительных специаль­
ных демпфируемых элементов. Динамические гасители дисси­
пативного типа получили название поглотителей колебаний.
Если они одновременно корректируют упругоинерциойные и
диссипативные свойства системы, то их называют динамиче­
скими гасителями с трением.
Динамические гасители могут быть конструктивно реали­
зованы на основе пассивных элементов (масс, пружин, демпфе­
ров) и активных, имеющих собственные источники энер^ии* ®
последнем случае речь идет о применении систем автоМатиче'
ского регулирования, использующих электрические, гиДравли"
ческие и пневматические управляемые элементы.
Динамическое гашение применимо для всех виД0В ко'
лебаний: продольных, изгибных, крутильных и т.Д*> ПРИ
I
X2 ^
в
б
Рис. 7.23
этом вид колебаний, осуществляемых присоединенным устрой­
ством, как правило, аналогичен виду подавляемых колебаний.
Пружинный одномассный инерционный динамиче­
ский гаситель. На рис. 7.23, а представлен простейший слу­
чай, когда демпфируемый объект моделируется сосредоточен­
ной массой 771, прикрепленной к основанию линейной пружиной
жесткостью с. Колебания объекта возбуждаются либо перио­
дической силой G(t) = G
действующей на объект, либо
вибрациями основания по закону ae(t) = aeoelut.
Под действием приложенного возмущения объект совер­
шает одномерные колебания. Собственная частота демпфи­
руемого объекта uq = ^ с/ т . При и —> колебания объек­
та 1 существенно возрастают. Для их уменьшения к нему при­
соединяется динамический гаситель 2 (рис. 7.23, б), имеющий
сосредоточенную массу гаг, пружину жесткостью сг и вязкий
демпфер с коэффициентом трения ЬТ.
Дифференциальные уравнения продольных колебаний си­
стемы с гасителем имеют следующий вид:
ттхт+ Ьт(х т— х) + сг(яг —х) = U,
где я, хг — абсолютные координаты перемещений масс.
При динамическом гашении крутильных колебаний по
схеме, показанной на рис. 7.23, в, уравнения, записанные отно­
сительно абсолютных углов поворота дисков демпфируемого
объекта и гасителя </?, ipT имеют аналогичный вид:
J(p + Ьт(<р - фг) +
+ cT(tp - (рт) = Moetufi\
JTlpT + bT(<pT - Cp) + cT((pT - <p) = 0.
(7.40)
Здесь «7, Jr — моменты инерции демпфируемого объекта и га­
сителя; с, сг — крутильные жесткости валов; Ьг — коэффи­
циент вязких потерь при парциальных колебаниях гасителя;
M q — амплитуда вибрационного крутящего момента, прило­
женного к диску демпфируемой системы.
Отыскиваем решения системы уравнений (7.39) в форме
x(t) = aetuJt, x T(t) = arelujt,
где a, ar — амплитуды колебаний демпфируемого объекта и
динамического гасителя соответственно.
При настройке парциальной частоты упругих колебаний
гасителя a;r = y/cT/mT на частоту внешнего возбуждения
и у «остаточны е» колебания объекта оказываются пропорци­
ональными потерям в гасителе:
И _
Т
2/?г
= {^ 2C4 + 4/Jr2[l - С2(1 + /i)]2} 1^2 ’
Здесь 6 = Go/с; С = w /wo; V = mT/m; /?г = 6г/&0Таким образом, при указанной настройке при /?г —►0 мо­
дуль |а| —> 0, т.е. колебания демпфируемой системы полностью
устраняются.
На рис. 7.24 приведены (а — для демпфируемого объек­
та, б — для гасителя) амплитудно-частотные характеристи­
ки рассматриваемой системы с гасителем (см. рис. 7.23,6).
Для сравнения на рис. 7.24, а штриховой линией нанесе­
на амплитудно-частотная характеристика объекта (см.
рис. 7.23, а). При выбранной настройке присоединение гаси­
теля образует такую результирующую систему с двумя сте­
пенями свободы, у которой на частоту возбуждения приходит­
ся антирезонанс. При этом частота антирезонанса совпадает
также с частотой резонанса исходной системы.
К а тк овы е инерционные динам ические гаси тели .
Возможности использования инерционных динамических гаси­
телей могут быть расширены при обеспечении компенсирую-
щей реакции гасителя. Это достигается, в частности, при­
менением в качестве гасителей неизохронных элементов, име­
ющих возможность подстраивать частоту своих движений к
частоте возбуждения. Существенной неизохронностью обла­
дают, например, элементы, способные осуществлять обкатку
замкнутых поверхностей: цилиндр в цилиндрической полости,
шар в цилиндрической или сферической полости, кольцо, на­
детое на стержень, и т.п. Прикрепление таких элементов к
вибрирующему объекту приводит к тому, что осуществляемое
ими движение обкатки синхронизируется с внешним возбужде­
нием. При этом периодическая реакция, создаваемая вращаю­
щимся элементом, противодействует вибрационной нагрузке.
В качестве примера рассмотрим демпфируемый объект с
одной степенью свободы, возбуждаемый гармонической силой
G (t) = Go cos(ut + ip) и снабженный шаровым или роликовым
гасителем массой тти радиусом рг, расположенным в цилинд­
рической полости радиусом р (рис. 7.25). Рассматриваемая си­
стема описывается следующими дифференциальными уравне­
ниями:
(га + тт)х + сх =
= Go cos(ut + ф) + (р —Рт)тг(ф2 cos (р + ip sin ip)\
(7.41)
гаг(р —рт)2ф = тпт(р —рт)х sin <р.
Здесь х — продольная координата объекта;
— относитель­
ная угловая координата положения гасителя, отсчитываемая
от вертикальной оси. Найдем усло­
вия стабилизации объекта, полагая
х — х = х = 0. Из (7.41) имее*к
<p = u Tt + (pQ,
(7.42)
т.е. гаситель совершает равномерное
т вращение.
Соотношения для неизвестных
величин cjr и сро определим, подста­
вив (7.42) в (7.41). В результате по­
лучим
т т(р — Р г ) ^ 2 = <2о(ь>г =
^
<ро = Ф + к-
Рис. 7.25
Центробежная реакция, переда­
ваемая равномерно вращающимся
телом демпфируемому объекту, пол­
ностью уравновешивает возбуждение
и обеспечивает стабилизацию объекта. При слежении за ча­
стотой возбуждения катковые гасители рассматриваемого ти­
па чувствительны к изменению амплитуды возбуждения яа ча­
стоте настройки. Если изменение амплитуды и частоты возбу­
ждения осуществляется одновременно и так, что сохраняется
равенство (7.43), то полное подавление колебаний выполняет­
ся во всем диапазоне изменения. Например, при возбужДении
объекта неуравновешенной вращающейся массой Go = £^2?71Д)
где £ — эксцентриситет, а т д — масса дисбаланса, условие
настройки гасителя (7.43) будет
т т(р - рт) = mjyE.
Иногда с увеличением частоты увеличивается эксцентри­
ситет дисбаланса s(u). Необходимое для компенсации увели­
чение радиуса полости р(и) может быть осуществлено тог­
да выполнением конструкции гасителя в виде, показаний на
рис. 7.26. Форма поверхности, по которой происходит обкат­
ка, выполнена таким образом, чтобы при увеличении частоты
и, следовательно, центробежной реакции шарик перемей13"110*
в направлении оси у враще­
ния образующей.
Характе­
ристика пружины выбирает­
ся из условия, позволяющего
обеспечить удержание шари­
ка на требуемом радиусе.
Выбором формы осевого
сечения полости можно регу­
лировать в некоторых преде­
лах спектр периодической ре­
акции гасителя. Например,
вытягивая окружность в эл­
липс (рис. 7.27), можно уве­
личить роль высших гармо­
ник с кратными частотами
в спектре реакции гасителя.
Это полезно в тех случаях,
когда аналогичные гармони­
ки имеются в возбуждении.
Т еоретически,
увеличивая
эксцентриситет эллипса до
единицы, т.е. вытягивая по­
лость в поверхность, допуска­
ющую
лишь
одномерные
Рис. 7.26
перемещения массы гасителя (см. рис. 7.27), приходим к идее
ударного гасителя, реакция которого имеет спектр кратных
гармоник, близкий к равномерному.
Использование одного каткового гасителя требует нали­
чия направляющих у демпфируемого объекта, компенсирую­
щих боковые реакции гасителя. Их применения можно избе­
жать при использовании двух одинаковых гасителей с поло­
винной массой (рис. 7.28), расположенных симметрично отно­
сительно линии действия возмущающей силы. После прохож­
дения резонансной частоты системы гасители синхронизируют
свое вращение в противоположных направлениях, компенсируя
тем самым боковые нагрузки. Таким образом, диапазон эффек­
тивности таких гасителей — область зарезонансных частот.
Рис. 7.27
Рис. 7.28
М аятниковы е инерционны е ди н ам и ч еск и е га си те ­
ли. Поддержание равенства парциальной частоты динамиче­
ского гасителя с частотой возбуждения в широком диапазо­
не может быть обеспечено при использовании гасителей ко­
лебаний маятникового типа, расположенных в поле центро­
бежных сил, образованном вращением, являющимся причиной
колебаний. На рис. 7.29 по­
казаны схемы подобных га­
сителей, предназначенных
для подавления крутильных
(рис. 7.29, а) и продольных
(рис. 7.29, б)
колебаний.
Рассмотрим
принцип их
действия на примере маят­
никового гасителя крутиль­
ных колебаний. Пусть диск
(см. рис. 7.29, а) радиусом
р и с моментом инерции J
упруго связан с валом двига­
теля, совершающим враще­
ние по закону
<^о(0 = ^ 4"
Рис. 7.29
>
где П — средняя угловая
о
скорость вала; т?о — показатель неравномерности вращения;
и — частота крутильных колебаний вала, причем ш = nfi, где
п — 1, 2, . . . — кратность колебаний.
В результате приведенный к диску вибрационный момент
M (t) — с'дoelwt (с — крутильная жесткость участка вала меж­
ду двигателем и диском) возбуждает крутильные колебания
диска. Для подавления указанных колебаний к диску шарнир­
но прикреплен маятник, имеющий массу гаг, расположенную
на конце невесомого стержня длиной I (рис. 7.30). Рассмотрим
колебания маятника относительно диска во вращающейся с
угловой скоростью 12 системе координат, жестко связанной с
диском (рис. 7.30, а). Прикладывая к центру масс маятника
центробежную силу F = rar122d, где d — расстояние от цент­
ра масс маятника до центра вращения диска, разложим ее на
две составляющие:
и Fp — вдоль оси маятника и перпен­
дикулярно ей. Имеем
гу
п
Fjy — mrf2 d cos 7 ; Ер — mTi l d sin у.
Обозначая угловое отклонение маятника относительно
диска через ф = ipT — <£>, где </?, </?г — абсолютные угловые
отклонения диска и маятника, из треугольника на рис. 7.30, б
с учетом малости острых углов найдем
7 = РФ/(Р+ 0В результате при малых колебаниях маятника
Ftf « ттО,2(р + /);
Ft « ттО,2рф.
Дифференциальные уравнения, описывающие колебания
рассматриваемой системы с двумя степенями свободы, имеют
следующий вид:
Jip + bT(<p - <рт) + су? - тпгП2р(р + 1)(<рг ~<р) = t?0e’w<; ^ 44^
mTl2(pT + bT(ipT - у?) + mrSl2pl(<pT - у?) + mTippl = 0.
При составлении второго дифференциального уравнения
не учитывались малые кориолисовы силы, а переносное движе­
ние диска учитывалось с помощью последнего члена. Согласно
этому уравнению, парциальная собственная частота колебания
маятника
ит= tty/p/l = (u/n)y/pfi,
т.е. она пропорциональна угловой скорости вращения вала или
частоте колебаний. Таким образом, при изменении частоты
колебаний автоматически подстраивается частота гасителя.
При гашении чисто крутильных колебаний для компенса­
ции изгибающего действия силы Fjy целесообразно устанавли­
вать два маятника в диаметрально противоположных точках
диска. Создаваемый ими динамический эффект гашения коле­
баний имеет суммарное действие.
Конструктивное обеспечение настройки (7.44) обладает
рядом особенностей. Простейшая схема типа той, что показана
на рис. 7-31, а, оказывается осуществимой, как правило, лишь
при 7 1 = 1 . С увеличением п длина маятников существенно
уменьшается. Для обеспечения подвеса на малом плече I ис­
пользуют конструкции, показанные на рис. 7.31,5 — д. На
рис. 7.31, б приведена схема свободной бифилярной установки
маятника-противовеса 1 на выступе кривошипа 2 коленчато­
го вала, в котором выполнены отверстия радиусом р\. Такой
же радиус имеют круглые отверстия противовеса. Соединение
осуществляется с помощью штифтов 3 радиусом р 2 , меньшим
радиусов отверстий. Описанное крепление обеспечивает по­
ступательное движение противовеса по окружности радиусом
I = 2(Р1 - Р2)Радиус крепления маятника-противовеса в данном случае
р = h — /, где h — расстояние от центра вращения диска До
центра масс противовеса.
Рис. 7.31
Окончательная формула настройки маятника с бифилярным подвесом имеет вид
2n2(pi - p2)/[h - 2(pi - р2)\ = 1.
Гашение колебаний осуществляется роликовым маятни­
ком i, помещенным свободно в цилиндрическом отверстии про­
тивовеса кривошипа 2 (см. рис. 7.31, в). Такая схема имеет
при реализации существенные габаритные ограничения, по­
этому вместо роликов используют иногда кольцевые маятни­
ки 1 (см. рис. 7.31,г, д).
Выбор параметров маятниковых гасителей крутильных
колебаний удобно осуществлять из условия компенсации реак­
тивным моментом Мр{ = Fpjp sin^ « тт0,2(р + 1)рф возбужда­
ющего момента M (t). Приравнивая амплитуды этих величин,
получим
т гП2(/9 + 1)рфо = ст?о(7-45)
Задавшись допустимой амплитудой относительных коле­
баний маятника фо < 0 , 3 5 . . . 0, 4 и конструктивными разме­
рами, получаем из (7.45) для любого известного возбуждения
значение массы гасителя.
Действие маятникового гасителя продольных колебаний
(см. рис. 7.29, б) во многом аналогично. Уравновешенная сис­
тема двух или более маятников приводится во вращение отно­
сительно вертикальной оси. Частота собственных колебаний
определяется выражением cjq = Qy/(p + l)/U где р — расстоя­
ние от центра шарнира до оси вращения; I — длина маятника.
Развиваемая при малых относительных колебаниях маятников
с частотой и = uq (ш = Пп) суммарная реакция с амплитудой
mrjc j2/9V;o (j — число маятников) должна быть равна ампли­
туде возмущающей силы Go«Маятниковые» элементы зачастую конструктивно реа­
лизуются в виде шаровых или цилиндрических тел, свободно
расположенных в полостях объекта. Такие конструкции нахо­
дят, например, применение при гашении изгибных колебаний
коленчатых валов. Одно или два тела 1 (рис. 7.32, а) устана­
вливают в пазах противовеса кривошипа 2, при этом они спо­
собны совершать качательные движения в плоскости изгиба,
обкатываясь по ограниченной цилиндрической или тороидаль­
ной поверхности. Часто также используют установку маят­
ника с бифилярным подвесом 1 (рис. 7.32, б). Установочные
плоскости качаний маятников для гашения изгибных и кру­
тильных колебаний коленчатых валов оказываются взаимно
перпендикулярными.
Рис. 7.32
Инерционные динамические гасители с активны­
ми элементами. Использование в системах динамическо­
го гашения колебаний элементов с собственными источниками
энергии расширяет их функциональные свойства. Появляется
возможность достаточно просто и в широком диапазоне осуще­
ствлять подстройку параметров гасителя в связи с изменением
действующих возмущений, проводить непрерывную настройку
в режиме слежения, отыскивать и реализовывать наилучшие
законы для компенсирующих реакций.
При гашении моногармонических колебаний активные
элементы могут быть применены для регулирования парамет­
ров динамического гасителя при медленных изменениях час­
тоты возбуждения с целью обеспечения равенства парциаль­
ной частоты гасителя и частоты возбуждения:
ит= и.
(7-46)
На рис. 7.33 приведены схемы использования электромаг­
нита в качестве регулятора эквивалентной жесткости динами­
ческого гасителя продольных колебаний. Схемы различаются
прикреплением сердечника 1 и корпуса с катушкой 2 к демпфи­
руемому объекту или неподвижному основанию. Аналогичные
схемы могут быть осуществлены для управляемого динами­
ческого гашения крутильных колебаний. В качестве испол­
нительного элемента удобно использовать модифицированную
11 - 11273
,-------------------
>
--------------
J “
Т -1 ----------------1
-
л
А
Рис. 7.34
конструкцию двигателя постоянного тока (рис. 7.34), устранив
относительный сдвиг полюсов ротора 1 и статора 2 и ликви­
дировав возможность переключения полюсов при колебаниях.
Силовое взаимодействие при относительных смещениях
элементов описанных электромеханических устройств носит
квазиупругий характер, причем коэффициент эквивалентной
упругости сгэ = А;/2, где I — ток в обмотках, а постоянная к
определяется свойствами магнитопроводов и обмоток.
Переписав соотношение (7.46) в виде сгэ = тти 2 для про­
дольных колебаний или сгэ = Jr^ 2 для крутильных, заметим,
что удобным способом регулирования эквивалентной ’ упруго­
сти подвеса электромеханического гасителя является обеспече­
ние тока в обмотках, пропорционального частоте возбуждения.
Жесткость гасителя может изменяться также путем пере­
мещения массы динамического гасителя 1 вдоль упругой бал­
ки с помощью регулируемого электродвигателя (рис. 7.35, а).
Учитывая, что в режиме наилучшего динамического гашения
(антирезонанс) фазы колебаний объекта 2 и гасителя 1 сдвину­
ты на 7г/2, выработка управляющего сигнала осуществляется
фазовым дискриминатором 4 (рис. 7.35, б), в котором сравнива­
ются показания датчиков 5 абсолютных перемещений объекта
и гасителя. При сдвиге фаз, отличающемся от 7г/2, срабаты­
вает реле, включающее электродвигатель 3 в соответствии с
необходимым направлением компенсирующей подстройки.
Эффективность активного динамического гашения огра­
ничивается инерционностью системы управления. Для сниже­
ния массы присоединяемых к объекту частей корпус 1 испол­
нительного устройства (рис. 7.36) активного гасителя устанав­
ливают иногда на неподвижном основании и передают силоцое
Рис. 7.35
2
j - L
3
_______ Ж
шш
Рис. 7.36
воздействие на какие-либо точки упругого объекта 2 по ре­
зультатам измерения колебаний других точек (например, 3),
вибрации которых следует устранить.
В тех случаях, когда осуществляется гашение колебаний
движущихся объектов, например транспортных устройств, не­
подвижная система, относительно которой вырабатываются
компенсирующие силы, передаваемые на объект, может быть
организована с помощью гироскопических устройств.
П руж инн ы й одн ом ассны й динамический гаситель
с трен ием . Расширение частотного диапазона, в котором осу­
ществляется динамическое гашение колебаний, может быть
достигнуто также при рациональном использовании дисси­
пативных свойств пружинного одномассного гасителя. На
рис. 7.37 приведены амплитудно-частотные характеристики
объекта для различных коэффициентов вязкого трения (5Т (см.
рис. 7.23, 5, здесь \а\ — амплитуда).
Наилучшая настройка v = cjr/cJo динамического гасителя
с трением при подавлении моногармонических колебаний, ча­
стота которых может принимать значения в широком диапа­
зоне, будет соответствовать такому выбору параметров, при
котором ординаты точек А и В одинаковы и соответствуют
и*
максимумам амплитудно-частотной характеристики.
1
мальная настройка v — — - — .
Опти-
Для обеспечения максимального значения амплитуды ос­
таточных колебаний следует подобрать затухание (Зт таким
образом, чтобы в точках А или В достигался экстремум
амплитудно-частотной характеристики. На рис. 7.38 приведе­
на амплитудно-частотная характеристика динамического га­
сителя с трением; здесь /х = гаг/га (гаг — масса гасителя;
га — масса объекта); 6 = Go/с (Go — внешнее возбуждение).
Иногда гаситель с трением настраивают на собственную
частоту демпфируемой системы, т.е. устанавливают v = 1.
Такая настройка близка к оптимальной лишь при весьма ма­
лых величинах /х.
Для выяснения габаритов гасителя и напряжений в пру­
жине следует определить амплитуду |ао| колебаний массы га­
сителя относительно демпфируемой системы. В общем случае
эта величина может быть определена из системы дифферен­
циальных уравнений (7.39). На практике, однако, пользуются
простым приближенным соотношением, получаемым с помо­
щью энергетического баланса.
Работа гармонической силы G(t) при гармоническом дви­
жении демпфируемой системы х(2) с амплитудой \а\ определя­
ется соотношением
Еъ = 7г(?оМ sin(р « 7rGo|a|,
где (р — значение фазы, близкое к 7г/2. Энергия, рассеиваемая
в вязком демпфере в результате относительного движения масс
га и гаг ,
Ед = 7гЬги;|ао|2
а
б
Рис. 7.39
Приравнивая величины
Ы
6
_
и
получаем
/Ы _ J _
у 6 2/ii//?rC ’
где С =
v ~ ^г/^о; /?г = Ьт/ ( 2 ^ / с г т г ).
Конструкции динамического гасителя с трением можно
создавать как с параллельным соединением упругого и демп­
фирующего элементов (рис. 7.39, а), так и последовательным
(рис. 7.39, б). Удачным является выполнение упругодемпфирующего элемента в виде единой резиновой детали. На рис. 7.40
приведены примеры подобных
конструкции, предназначен­
сг А
ных для подавления крутиль­
ных колебаний. С помощью
подобных деталей создаются
также резинометаллические
опоры с гасителем колебаний
(рис. 7.41).
Рис. 7.41
Гироскопические гасители колебаний. Для гашения
колебаний транспортных объектов и в некоторых других спе­
циальных случаях находят применение динамические гасите­
ли, основанные на использовании гироскопов. Эквивалентное
действие подобных систем аналогично работе пружинного га­
сителя с трением, хотя устройство и принцип функционирова­
ния различны. На рис. 7.42 приведена схема успокоителя борт­
овой качки судов. Ротор гироскопа 1 смонтирован в кожухе 2,
который может качаться относительно судна вокруг оси 5, пер­
пендикулярной продольной оси корабля. При этом центр тя­
жести кожуха располагается ниже оси качаний- на расстоянии
I Колебания кожуха демпфируются с помощью тормозного ба­
рабана 4 • Масса ротора составляет обычно около 1 % массы
судна.
С помощью двигателя ротор приводится во вращение с
максимально допустимой угловой скоростью П.
Запишем систему дифференциальных уравнений для ма­
лых колебаний:
J(p + ар +
J-£^P-£ ■{”
Н”
=
М (tf),
= О,
где J — момент инерции судна относительно продольной оси;
Jo — момент инерции ротора; Jr — момент инерции относи­
тельно поперечной оси 5; Р — вес кожуха; (рт— угол поворота
кожуха; Ьт— коэффициент, характеризующий вязкое трение в
барабане; с — остойчивость судна; M ( t ) = M o e tut — момент
внешних сил, определяемый волнением моря.
Наряду с рассмотренной схемой для гашения бортовой
качки нашла применение гироскопическая схема с обратной
связью. Кожух 2 исполнительного гироскопа с ротором 1
(рис. 7.43, а) установлен концентрично относительно оси 3 пре­
цессии. Повороты кожуха осуществляются серводвигателем 4
через зубчатую передачу 5 с помощью сигналов малого направ­
ляющего гироскопа (рис. 7.43, б). Последний установлен ана­
логично исполнительному гироскопу и представляет собой его
сильно уменьшенную копию. При бортовой качке в результа­
те поворота кожуха направляющего гироскопа замыкаются со­
ответствующие контакты реле, включающего серводвигатель.
В результате кожух исполнительного гироскопа поворачива­
ется таким образом, что возникающий реактивный момент,
действующий на опоры кожуха, противодействует качке.
В большинстве современных судов для подавления качки
используют устройства, основанные на применении управля­
емых или неподвижных крыльев, меняющих угол атаки при
крене таким образом, чтобы возникающая подъемная сила при
их обтекании водой противодействовала качке. В отличие от
гироскопических успокоителей эти устройства осуществляют
стабилизацию лишь при движении судна.
7 .1 0 . П о г л о т и т е л и колебаний
с вязки м и сухи м тр ен и ем
Поглотители колебаний с вязким трением.
На
рис. 7.44, а — г показаны схемы простейших поглотителей ко­
лебаний вязкого типа, присоединенных к демпфируемому объ-
Рис. 7.44
екту с одной степенью свободы. Поглотители широко исполь­
зуют для гашения как продольных, так и крутильных коле­
баний; при этом они пригодны для демпфирования колебаний,
изменяющихся по любым законам. При подавлении моногармонических колебаний поглотители колебаний менее эффектив­
ны, чем динамические гасители с трением, однако даже в этом
случае зачастую им отдают предпочтение из-за конструктив­
ной простоты и отсутствия упругого элемента, склонного к
усталостным поломкам.
Рассматриваемая система также может быть описана
уравнениями (7.39) в случае продольных колебаний либо (7.40)
в случае крутильных при условии, что сг = 0.
Р о = ° °
I 1
1
1
1
Э о = °
\
1
\
‘
1
\
!
1
\
\
1
\/в
\
/
V
\
X
ч
>
О1--------- 1-----------1------------L------ p
0,6
0,8
1,0
1,2 CO/fflj,
Рис. 7.45
При /?о = bT/(2mTu>o) = 0 и
= oo получим систе­
мы с одной степенью свободы, амплитудно-частотные харак­
теристики которых показаны на рис. 7.45. Наилучшая на­
стройка поглотителя дает максимум амплитуды в точке В.
Величина /?о, обеспечивающая экстремум характеристики в
точке В (сплошная линия), определяется соотношением /?о =
= >/ 1/[ 2(2 + /*)(1 + /0 ].
Простейшая конструкция поглотителя колебаний вязкого
типа приведена на рис. 7.44, а. Втулка 1, жестко связанная с
кожухом 2, насажена на вал 5, крутильные колебания которого
требуется погасить. Внутри кожуха находится маховик 4, спо­
собный проскальзывать относительно втулки благодаря вкла­
дышу 5 с малым коэффициентом трения. Малый зазор между
кожухом и маховиком заполнен жидкостью с большой вязко­
стью.
В схеме, изображенной на рис. 7.44, б, демпфирующий эф­
фект создается при колебаниях жестко насаженной на вал 3
ступицы 1 с лопатками, прокручивающейся относительно ма­
ховика 2\ внутренние камеры заполнены вязкой жидкостью.
На рис. 7.44, в ведущий вал 3 вращает полумуфту 7, имею­
щую торообразную полость с внутренними перегородками 6 и
скрепленный с ней кожух 2, свободно прокручивающийся от­
носительно аналогичной второй полумуфты 4i жестко соеди­
ненной с ведомым валом 5. Полость между полумуфтами за­
полнена жидкостью небольшой вязкости. Вследствие разности
скоростей ведомого и ведущего вала под действием разности
центробежных сил осуществляется круговая циркуляция жид­
кости в направлении, показанном стрелками. Возникающие
при этом кориолисовы силы осуществляют передачу крутяще­
го момента.
В поглотителе на рис. 7.44, г демпфирующая сила возни­
кает при перетекании масла через малые отверстия при ко­
лебаниях диафрагмы 1 относительно заполненного маслом и
свободно насаженного кожуха 2.
П огл оти тел и колебаний с сухи м тр ен и ем . Погло­
тители колебаний с сухим трением получили широкое рас­
пространение благодаря простоте конструкции и обслужива­
ния, а также относительно малым габаритам. Их применяют
для гашения как крутильных, так и продольных колебаний.
Рассмотрим принцип действия такого поглотителя на приме­
ре гашения крутильных колебаний объекта с одной степенью
свободы (рис. 7.46). В этом случае диск с моментом инерции
JT присоединяется к объекту с помощью пары сухого трения,
создающей при относительных колебаниях момент постоянной
величины 0, противодействующий относительному смещению
объекта и поглотителя.
По аналогии с (7.40) дифференциальные уравнения систе­
мы могут быть записаны в таком виде:
Jip + 0sgn(y> - <рг) + с<р = Moe*wt;
JTipT — esgn(<j> — <рт) = 0.
На рис. 7.47 показана конструкция поглотителя с сухим
трением. Ступица 1, жестко соединенная с валом 2, вовлекает
во вращение через фрикционные диски 3 маховик 4> свободно
насаженный на вал. Регулировка величины сил сухого тредия
обеспечивается степенью сжатия пружины 5. При колебаниях
вала происходит относительное проскальзывание маховика и
ступицы, приводящее к рассеянию энергии вследствие тредия
на фрикционных поверхностях.
Оптимальный момент сил сухого трения, дающий макси­
мальное рассеяние энергии за цикл, в = (V2/'k )Jtu>^'3o, Где
i?0 — амплитуда угловых колебаний вала при отсутстдии
демпфера.
Рис. 7.46
Рис. 7.47
Недостатком поглотителей сухого трения является непо­
стоянство момента трения вследствие износа и загрязнения
трущихся поверхностей, а также возможность перекоса и за­
едания дисков.
7.11. Ударные гасители колебаний
Ударным гасителям колебаний посвящен ряд работ
В.И. Бабицкого, В.К. Асташева и др.
Для оценки эффективности нелинейных динамических га­
сителей помимо информации о динамической податливости
или жесткости демпфируемых элементов необходимо знать
уровень их колебаний до установки гасителей. Таким обра­
зом, в случае экспериментального определения характеристик
демпфируемой системы нужно произвести соответствующие
измерения колебаний в условиях нормального функционирова­
ния объекта.
Нелинейный гаситель не может осуществить полную ком­
пенсацию колебаний при моногармоническом возбуждении
zo(tf) = аэo(u>)etu;*, и речь может идти только об их частичном
аео(со)е*>'
подавлении. Уменьшая колебания
на частоте внешнего воздействия,
нелинейный гаситель возбуждает
вместе с тем высокочастотные ко­
лебания системы. Эту особенность
нелинейного динамического гаше­
ния следует иметь в виду в основ­
ном при использовании гасителей
существенно нелинейного типа, на­
пример ударных.
Основу ударного виброгаси­
теля составляет тело массой тТ
(рис. 7.48), соударяющееся с элементом А демпфируемой си­
стемы, колебания которого следует уменьшить. Наибольшее
распространение получили плавающие ударные гасители
(рис. 7.49, а, б, в), выполненные в виде шара, цилиндра, коль­
ца, установленного свободно с зазором 2Д. Плавающие гасите­
ли настраивают на режим двух поочередных соударений тела
Рис. 7.49
АУ)
Ау)
"А |О Д у
а
larctgcr
А У
б
^
-д к
larctgcr
д У
в
Рис. 7.50
о каждый ограничитель за период движений, дающий для та­
ких устройств наибольший эффект. Наряду с этим использу­
ют пружинные (рис. 7.49, г) и маятниковые (рис. 7.49, д) удар­
ные гасители с соответствующей подвеской гасителя. В таких
устройствах реализуют, как правило, режим односторонних
соударений с одним ударом за период. Реже применяют ана­
логичные устройства двустороннего действия (рис. 7.49, е).
На рис. 7.50 приведены статические упругие характери­
стики f { y ) перемещения у гасителя относительно деформиру­
емой точки А объекта для основных вариантов установки га­
сителей (а — плавающий гаситель; б — пружинный односто­
ронний гаситель; в — пружинный двусторонний гаситель).
Непосредственная гармоническая линеаризация описан­
ных статических характеристик невозможна, поскольку их
значения при ударе неоднозначны. Удобным приемом являет­
ся гармоническая линеаризация обратных функций у = <2(Я),
характеризующих зависимость относительного смещения от
«упругой» реакции гасителя. Например, для гасителя пла­
вающего типа (рис. 7.51) у = AsgnR. Осуществляя гармони­
ческую линеаризацию функций с помощью обычных приемов,
имеем у « q(Ro)R, где q(Ro) — коэффициент гармонической
линеаризации, зависящий теперь от
амплитуды До периодической реак­
У
ции гасителя, причем q = с " 1.
Определим зависимость аэо(и>),
А
для которой плавающий ударный га­
ситель обеспечивает полное подавле­
О
R
ние основного тона колебаний в ши­
роком диапазоне частот возмущения:
-А
= 4 W
М
* > ) \
*
(747)
Рис. 7.51
0,85
0,95
1,05
0D/0D0
Рис. 7.52
Левая часть равенства (7.47) характеризует амплитуду
Go гармонической возмущающей силы. Таким образом, если
Go(u>) = ет ди 2, т.е. возбуждение колебаний вызвано разгоном
или торможением вращающейся неуравновешенной массы гп^,
установленной с эксцентриситетом £, то, подобрав параметры
гасителя из условия
гагД = (тг/4)£т^4,
можно обеспечить подавление колебаний в широком частотном
диапазоне существования режима с поочередными ударами об
ограничители.
На рис. 7.52 показаны амплитудно-частотные характери­
стики системы с одной степенью свободы, снабженной пру­
жинным ударным гасителем одностороннего действия. Сис­
тема возбуждается гармонической силой постоянной амплиту­
ды. При этом выполняются условия наиболее эффективной
____
настройки:
______
2 у/сТ/ т Т — \fcjm.
В случае и = 2 у/ст/ т тгашение оказывается наилучщим.
При настройке зазора обычно принимают Д « 0.
7.12. Основные схемы активных
виброзащитных систем
В настоящее время разработано большое количество схем
активных виброзащитных систем. На рис. 7.53 представле­
на схема управляемого электродинамического виброгасителя,
в которой изменение параметров колебательной системы до­
стигается в результате управления электронными элемента­
ми, что позволяет применять эту схему для гашения колеба­
тельной системы, работающей в переходных режимах. Здесь
колеблющийся агрегат массы М опирается на упругие связи
жесткости с и на магнитоэлектрические преобразователи (ди­
намики 5 и 6). Датчик перемещений 1, соединенный с колеблю­
щейся массой, передает сигнал x(t) на усилитель 2 и дальше
на дифференцирующее устройство 3 и усилитель
питающий
магнитоэлектрические преобразователи. Как видно из схемы,
эти элементы образуют петлю электромеханической обратной
связи. Меняя параметры петли, можно изменять параметры
схемы, а следовательно, изменять ее резонансные свойства в
широких пределах.
На рис. 7.54 дана схема пневмомеханической виброзащитной системы с пневматическим возбудителем (силовым ци­
линдром) двойного действия (1 — пневмомеханический воз­
будитель; 2 — механическая обратная связь по смещению;
3 — сервоклапан; 4 — входной канал; 5 — выходной канал;
6 — дроссель; 7 — вспомогательный объем; 8 — изолируемый
объект).
Рис. 7.53
Рис. 7.54
Механическая обратная связь по смещению через золотни­
ковое устройство управляет расходом газа, подаваемого внеш­
ним источником энергии. Вследствие наличия обратной связи
по смещению, перемещающей золотник, выходное усилие воз­
будителя является функцией интеграла относительного смеще­
ния. Управление по интегралу от смещения может быть эф­
фективным только на очень низких частотах. Поэтому обрат­
ная связь по смещению используется лишь для позиционирова­
ния защищаемого объекта. Качество же защиты от вибраций
и ударов определяется жесткостью и демпфированием пассив­
ной пневматической системы.
Система сравнительно мало чувствительна к изменению
изолируемой массы.
Зависимость коэффициента кя по смещению от частоты и
для пневмомеханической виброзащитной системы со вспомога­
тельными объемами показана на рис. 7.55 в логарифмическом
масштабе. Кривая 1 — при нулевом, 2 — бесконечном, 3 —
низком, 4 — высоком, 5 — оптимальном демпфировании.
Кривые 3 и 4 получаются при отсутствии дросселирова­
ния и при полном перекрытии потока газа между возбудителем
и дополнительными объемами. Оптимальное демпфирование
определяется минимизацией резонансного коэффициента дина­
мичности. Довольно большие отклонения демпфирования от
оптимального значения мало влияют на kR.
На рис. 7.56 приведена схема электрогидравлической виброзащитной системы с силовым цилиндром двойного дей­
ствия (1 — датчик ускорения; 2 — датчик относительного
смещения; 3 — сервоусилитель; 4 — электропитание; 5 — сер­
возолотник; 6 — входной канал; 7 — выходной канал; 8 — гид­
равлический возбудитель). В этой схеме сигналы от датчиков
ускорения и относительного смещения подаются в усилитель
с электрическим питанием. Усилитель вырабатывает сигнал,
управляющий движением золотника, который регулирует по­
дачу (от внешнего гидравлического источника энергии) и слив
малосжимаемой рабочей жидкости из силового цилиндра. По­
ток рабочей жидкости через золотник регулируется по уско­
рению, относительной скорости, относительному смещению и
интегралу относительного смещения. Усиление каждого кана­
ла обратной связи настраивается независимо.
Для устранения амплитудного и фазового искажения, вно­
симого люфтами в шарнирных соединениях рычага заслон­
ки, а также его деформацией на высоких частотах в схеме
гидравлической виброзагцитной системы (рис. 7.57) применя­
ют «гидравлический рычаг». Последний представляет собой
соединение двух сильфонов с разными диаметрами, заполнен­
ных несжимаемой жидкостью. С целью стабилизации положе­
ния изолируемого объекта относительно поршня силовой си­
стемы, а также компенсации теплового расширения жидкости
в сильфонах применена система автоматического регулятора
положения, вырабатывающая сигнал обратной связи по отно­
сительному смещению.
Динамическая модель такой виброзащитной системы по­
казана на рис. 7.58 (1 — изолируемый объект М; 2 — упругий
элемент; 3 — обратная связь по положению; 4 — силовой гид­
роцилиндр; 5 — масса; 6 — пружина; 7— сопло; 8 — заслонка;
9 — постоянный дроссель; 10— регулируемый дроссель; И —
питающий насос).
В указанных схемах нижний диапазон эффективности
ограничен значением собственной частоты датчика вибраци­
онных перемещений. Устранение этого ограничения достига­
ется в гидравлической виброзащитной системе, динамическая
модель которой приведена на рис. 7.59 (описание позиций см.
рис. 7.58). Силовая система в виде гидроцилиндра здесь вы­
полнена в одном корпусе с управляющей системой. Управ­
ляющая система содержит механизм регулирования давления
рабочей жидкости, состоящий из датчика в виде чувствитель­
ной мембраны, регистрирующей колебания давления в полости
силового цилиндра, заслонки, жестко укрепленной на мембра­
не и образующей вместе с соплом элемент, вырабатывающий
управляющий сигнал.
Рис. 7.60
На рис. 7.60 приведена схема гидравлической виброзащитной системы кресла 1 человека-оператора, содержащая упру­
гий элемент 2, гидроцилиндр 3, силовой стабилизатор 4 в виде
датчика пульсации давления рабочей жидкости и элемента ти­
па сопло — заслонка, обратные связи 5, 6 по положению и по
ускорению. Обратная связь по положению обеспечивает ста­
билизацию кресла относительно фундамента. Обратная связь
по ускорению введена для предсказания возмущающего воз­
действия с опережением, необходимым для компенсации воз­
мущения и повышения эффективности системы в резонансных
зонах, защищающей тело человека-оператора. Система позво­
ляет свести до минимума вертикальные колебания кресла с
оператором.
1. Какой ротор называется неуравновешенным? Назовите виды неурав­
новешенности ротора и способы их устранения.
2. Когда балансировка ротора называется автоматической? Укажите
два метода автоматической балансировки.
3. Приведите примеры силовых и кинематических воздействий источ­
ника колебаний на объект виброзащиты.
4. Назовите основные методы виброзащиты.
5. Какие силы называются диссипативными? Изобразите наиболее
распространенные характеристики диссипативных сил.
ТРЕНИЕ И ИЗНОС ЭЛЕМЕНТОВ
К И Н ЕМ АТИ Ч ЕСК И Х ПАР
М ЕХАН ИЗМ ОВ И М АШ ИН
При работе машин и механизмов происходит явление, которое сопро­
вождается рассеиванием механической энергии. Э то явление называют
трением. Подсчитано, что около 33 % мировых энергетических ресур­
сов бесполезно затрачивается на работу, связанную с трением. Вполне
закономерно, что эти затраты необходимо сделать минимальными, т.е.
уменьшить силы трения. Для быстроходных машин и механизмов такая
задача становится еще более актуальной. Физические основы явления тре­
ния, силовой расчет механизма с учетом трения и оценка экономичности
механизма посредством его коэффициента полезного действия кратко из­
ложены в настоящей главе.
Трение контактных поверхностей в механизмах и машинах приводит
к изнашиванию — процессу постепенного изменения размеров и формы
элементов кинематических пар, проявляющемуся в удалении с поверхно­
сти трения материала деталей и (или) его остаточной деформации. Ха­
рактер и интенсивность изнашивания зависят от большого числа фак­
торов, которые подробно изучаются в дисциплине «Т р и б о н и к а » (или
«Т р и б о т е х н и к а ») и в других курсах. Важнейшими факторами являются
химико-термические явления в зоне контакта, смазка поверхностей, ме­
ханические явления в условиях высоких локальных температур и др. В
рамках данной дисциплины в гл. 8 обсуждается вопрос влияния на изна­
шивание сил и скорости скольжения в кинематических парах механизмов
и их учет при расчете и прогнозировании износа механизмов.
8.1. Виды и характеристики внешнего трения
При исследовании физических основ явления трения раз­
личают трение внешнее и внутреннее. Внешнее трение —
сопротивление относительному перемещению, возникающее
между двумя телами в зонах соприкосновения поверхностей
по касательным к ним и сопровождаемое диссипацией энер­
гии. Внутреннее трение — процессы, происходящие в твер­
дых телах при их деформации и приводящие к необратимому
рассеянию механической энергии. Силу сопротивления при от­
носительном перемещении одного тела по поверхности другого
под действием внешней силы, тангенциально направленную к
общей границе между этими телами, называют силой трения.
Материал, вводимый на поверхности трения для умень­
шения силы трения и интенсивности изнашивания, называют
смазочным материалом. Подведение смазочного материала к
поверхности трения называют смазыванием, а действие сма­
зочного материала, в результате которого между двумя по­
верхностями уменьшается сила трения и (или) интенсивность
изнашивания, — смазкой.
В зависимости от состояния поверхностей трения различа­
ют два вида трения: трение без смазочного материала (сухое
трение) и трение со смазочным материалом.
Трением без смазочного материала называют трение
твердых тел 1 к 2 при отсутствии на поверхностях трения
введенного смазочного материала любого вида (рис. 8.1, а)*
Трением со смазочным материалом называют трение
твердых тел 1 и 2 при наличии на поверхностях трения уве­
денного смазочного материала любого вида (рис. 8.1, б).
Различают следующие виды смазки: твердую, при ко­
торой разделение поверхностей трения деталей 1 к 2 осуще­
ствляется твердым смазочным материалом (рис. 8.2, а); исидкостную, при которой полное разделение поверхностей трения
Рис.
8.2
деталей 1 к 2 осуществляется жидким смазочным материа­
лом (рис. 8.2, в); газовую, при которой разделение поверхно­
стей трения деталей 1 и 2 осуществляется газовым смазоч­
ным материалом (рис. 8.2, б); полу жидкостную, при которой
частично осуществляется жидкостная смазка; граничную, при
которой трение и износ между поверхностями, находящимися в
относительном движении, определяются свойствами поверхно­
стей и свойствами смазочного материала, отличными от объ­
емных (рис. 8.2, г). Промежуточный слой 1 называют третьим
телом между основными материалами 5 фрикционной пары.
Он состоит из адсорбированного слоя 2, пленки оксидов или
других химических соединений 3 и слоя дефектного основного
материала 4• При толщине слоя жидкости 0,1 мкм ее свойства
уже отличаются от объемных свойств.
Различают также смазку: гидростатическую (газостати­
ческую), при которой полное разделение поверхностей тре­
ния деталей 1 и 2, находящихся в относительном движении
или покое, осуществляется в результате поступления жидко­
сти (газа) в зазор h между поверхностями трения под внешним
давлением р (рис. 8.3, а); гидродинамическую (газодинамиче­
скую), при которой полное разделение поверхностей трения 1
2
и 2 осуществляется в результате давления, самовозникающего
в слое жидкости при относительном движении поверхностей
(рис. 8.3, б); эластогидродинамическую, при которой характе­
ристики трения и толщина пленки жидкого смазочного ма­
териала между двумя поверхностями определяются упругими
свойствами материалов тел и самопроизвольным снижением
напряжений, ползучестью, упругим последействием и необра­
тимыми остаточными деформациями материалов, участвую­
щих в трении.
Трению движения (рис. 8.4, а) предшествуют трение по­
коя (зона I на рис. 8.4, б), т.е. трение между телами 1 и 2 при
относительном предварительном микросмещении двух тел, и
период перехода (зона II) от покоя к скольжению (зона III).
Предварительное смещение равно расстоянию, при котором си­
ла трения покоя FT,n возрастает от нуля до некоторого макси­
мального значения (рис. 8.4, б).
Эти микросмещения перед полным скольжением доста­
точно малы (порядка 0 , 1 ... 1 , 0 мкм) и в ряде случаев могут
быть необратимыми. Силу трения покоя, любое превышение
которой ведет к возникновению движения, называют наиболь­
шей силой трения покоя. Отношение наибольшей силы трения
покоя Fr.п двух тел к силе, нормальной относительно поверхно­
стей трения / 7^1 2 , прижимающей тела друг к другу, называют
коэффициентом сцепления / .
По кинематическому признаку различают следующие ви­
ды трения движения', скольжения, качения, качения с про­
скальзыванием и при виброперемещениях.
б
Рис. 8.4
Процессы трения рассматривают на моделях, позволяю­
щих оценить молекулярное взаимодействие материалов кон­
тактирующих тел с учетом влияния внешней среды (оксиды,
пленка, смазка). Первоначально разработанные теории ме­
ханического сцепления, молекулярного притяжения, сварива­
ния, среза и пропахивания получили значительное развитие
в молекулярно-механической теории трения, нашедшей наи­
более широкое распространение. Согласно этой теории, про­
цесс трения происходит не только на границе раздела твердых
тел, но и в некотором объеме поверхностных слоев, физико­
механические свойства которых отличаются от свойств ма­
териалов в объеме тел. Это связано с деформированием по­
верхностных слоев, с изменением температуры, с образованием
слоев адсорбированных паров влаги или газов, с образованием
пленок оксидов, атомов или молекул окружающей среды и т.п.
Общее представление о значении коэффициентов трения
скольжения / т дают экспериментальные данные для разных
FTi
б
Рис. 8.5
видов трения, приведенные ниже: трение ювенильных поверх­
ностей при отсутствии смазки и оксидов — 0 ,8 .. .6,0; трение
окисленных поверхностей — 0 ,4 .. .0,8; граничное трение при
наличии мономолекулярного слоя смазки на поверхности —
0 ,2 ...0 ,6 ; граничное трение при наличии мультимолекулярного слоя полярных молекул — 0 ,1 ... 0,4; гидродинамическое
трение при наличии слоя неполярных молекул — 0,008 ... 0,02;
гидродинамическое трение при наличии жидкокристалличе­
ской объемной фазы — 0,0001... 0,001.
Для расчетов механизмов, работающих при разных режи­
мах и видах трения, важное значение имеет зависимость силы
трения от скорости Vck относительно движения трущихся по­
верхностей.
Обобщение экспериментальных данных позволяет прини­
мать для тех или иных условий следующие принципиальные
зависимости:
сила сухого трения FT не зависит от скорости скольжения
vCK = х (рис. 8.5, а):
Ft — U F
д
Г,
сила вязкого трения FT линейно зависит от скорости
скольжения х (рис. 8.5, б):
FT — кх\
сила сухого трения FT линейно зависит от скорости сколь­
жения i , но имеет относительно граничной скорости vK пада­
ющую 1 и возрастающую 2 ветви характеристики (рис. 8.5, в).
Резкое падение силы трения с увеличением скорости дви­
жения обычно наблюдается в зоне малых скоростей перемеще­
ний. Это, например, характерно для технологического обо­
рудования (перемещение суппортов по направляющим, пози­
ционирование автооператоров и роботов). При крутопадаю­
щей скоростной характеристике силы трения наблюдаются не­
устойчивость движения, характерное скачкообразное движе­
ние. Это сопровождается неравномерностью подач, снижением
точности обработки, неточностью позиционирования. В связи
с этим снижается производительность оборудования, возраста­
ет износ направляющих и инструментов, ухудшается качество
обработанных на станках поверхностей деталей, возникают до­
полнительные динамические нагрузки в механизмах привода.
Для уменьшения вредных последствий скачкообразного
движения при малых скоростях перемещения используют раз­
ные способы. Широко применяют следующие:
использование разгрузки (механической, пневматической,
гидравлической и т.п.) для уменьшения нормального давле­
ния;
уменьшение коэффициента трения во фрикционной паре
применением фторопласта (кривая 3 на рис. 8.6) взамен чугуна
(кривая 1) и бронзы (кривая 2) и антискачковой смазки (кри­
вая 4);
использование гидростатической смазки;
применение вместо опор скольжения направляющих каче­
ния.
Затраты энергии на внутренний сдвиг материала и внут­
рисхемное выделение теплоты при внутреннем трении оцени­
вают демпфирующей способностью или коэффициентом погло­
щения.
Коэффициентом поглощения ф (или относительным ги­
стерезисом) называют отношение энергии W , рассеиваемой за
один период гармонического колебания, к максимальной упру­
гой энергии U:
ф = W/U.
Для металлов коэффициент поглощения при внутреннем
трении очень мал (около 0 ,0 1 ... 0 ,02 для сталей разных марок)
и при расчете звеньев из металла внутреннее трение обычно не
учитывают. Однако для высокомолекулярных материалов (на­
пример, резины и пластмасс) коэффициент поглощения имеет
порядок в пределах 0 ,1 ... 1,0, т.е. почти в 100 раз больше,
чем для металлов. Поэтому при расчетах деталей из резины
и пластмасс необходимо учитывать потери на внутреннее тре­
ние в материале.
Внутреннее трение в твердых телах используется в основ­
ном для снижения уровня шумов при ударных и вибрационных
нагрузках путем замены металлических материалов пластмас­
сами и композиционными материалами, а также за счет сниже­
ния напряжений в конструкциях, возникающих при колебаниях
вблизи резонанса.
8.2. Основные понятия и определения,
используемые в триботехнике
Износ — изменение размеров, формы и состояния поверх­
ности элементов кинематических пар механизмов, обусловлен­
ное разрушением поверхностного слоя, в процессе их относи­
тельного движения.
Изнашивание — процесс постепенного разрушения поверх­
ностных слоев элементов кинематических пар при трении на
стадии или установившегося режима, или при приработке, или
при катастрофическом износе.
Факторы, влияющие на износ:
Механическое (абразивное, усталостие,
энное)
кулярхани-
в
Рис. 8.7
физико-механические характеристики материалов тру­
щихся элементов;
наличие пленок смазки, оксидов, сульфидов, полимеров и
т.п. соединений между трущимися поверхностями;
силы в зоне контакта;
скорость относительного движения;
тепловой режим в зоне контакта;
геометрия поверхностных слоев.
Виды изнашивания (рис. 8.7):
механическое (абразивное и усталостное), при котором из­
нос происходит вследствие механических взаимодействий в зо­
не контакта;
молекулярно-механическое (адгезионное и избирательное
трение), при котором износ сопровождается воздействием мо­
лекулярных или атомарных сил;
коррозионно-механическое (окислительное и фреттингкоррозия), при котором износ сопровождается химическим вза­
имодействием материала со средой.
8.3. Механика контакта и основные
закономерности изнашивания
Контакт элементов кинематических пар является дис­
кретным в связи с наличием на поверхностях отклонений от
номинальных размеров, расположения и формы и шероховато­
сти, т.е. совокупности неровностей с относительно малыми
шагами и высотой от 0,05 .. .0,10 мкм (гладкие поверхности)
до 100 ... 200 мкм (грубые металлические поверхности). Дис­
кретный контакт происходит на отдельных площадках в кон­
тактной зоне. Поэтому при расчетах износа различают три
вида площади контакта: номинальную Аа, контурную А с и
фактическую Аг . Реальный контакт твердых тел дискретен,
поэтому деформируются микрообъемы материала, к которым
неприменимы классические расчеты на прочность. Свойства
материалов, участвующих в трении, обычно сильно отлича­
ются от свойств исходных материалов деталей и изменяются
в процессе изнашивания поверхностных слоев. Различают три
стадии процесса изнашивания: приработка, установившийся
процесс изнашивания и катастрофический износ, который от­
личается интенсивностью изнашивания. Составить простую
модель изнашивания не удается, так как следует учитывать
огромное число факторов: скорости относительного движения,
нормальные и тангенциальные составляющие силы, вид де­
формации (упругая, пластическая, упругопластическая), меха­
нические свойства тел (твердость, модули упругости и т.д.),
топографию шероховатых поверхностей, макрогеометрию эле­
ментов пар (плоские и пространственные контакты), темпера­
турный режим, химическое взаимодействие и т.д.
В связи с этим инженерные расчеты по износу элемен­
тов кинематических пар проводят с помощью интегральных
характеристик: скорость изнашивания и интенсивность изна­
шивания.
Различают износ линейный И/^ (в направлении, нормаль­
ном к поверхности трения), износ по массе Ит и износ объем­
ный ttv.
Отношение износа к пути трения Z r , на котором произо­
шел этот износ, называют интегральной интенсивностью из­
нашивания соответственно:
линейной /д = Ид/Хт (мкм/км);
массовой 1т = Иm/LT (г/м );
объемной Iv = ИV/LT (мм3/м ).
Отношение линейного износа ко времени, в течение кото­
рого он произошел, называют скоростью линейного изнаши­
вания (мкм/ч):
d }h
7 Л= ДИЛ/Д * =
dt
Отношение объема изношенного материала
к работе
сил трения FT, вызвавших это изнашивание за время t , называ­
ют энергетической интенсивностью изнашивания (мм3/Дж):
J FxVcxdt
о
Свойство материала оказывать сопротивление изнашива­
нию в определенных условиях трения называют износостойко­
стью. Износостойкость — величина, обратная скорости изна­
шивания или интенсивности изнашивания. В расчетах иногда
используют удельную работу сил трения на единицу объема
изношенного материала в мм3 или массы в г, или толщины
слоя в мкм:
t
f FTvCKdt
_ 1 _ о
7w — J —
тг
J-W
XLy
Единицы измерения: [7 ^ ] = Дж/мм3; [7 и>т ] = Дж/г;
[iwh] = Дж/мкм.
Линейная интенсивность изнашивания меняется в широ­
ких пределах: от 10~ 3 до 10-1 3 . Конкретные значения для
разных условий получают на основе накопленного опыта и экс­
периментальных исследований.
Для примера можно проанализировать следующие харак­
терные значения интенсивности изнашивания некоторых де­
талей машин (безразмерный коэффициент, например: 1 0 - 1 2 =
= 0 , 0 0 1 мкм на 1 км пути трения).
1 . Коленчатые валы автомобилей:
шатунные шейки — 4 •10~п . . . 5 •10-12;
коренные шейки — ( 1 , 6 ... 1 , 8 ) 1 0 -1 2 .
2. Гильзы цилиндров двигателей автомобиля —
( 1 ,1 ... 5,6)10-1 1 .
3. Поршневые кольца двигателей — ( 0 , 6 ... 1 , 2 ) 1 0 11.
4. Направляющие станин станков — (0 ,4 .. .2,0)10- 1 °.
5. Зубчатые колеса экскаватора — 5 10- 1 2 . . . 1 , 5 - 10-11.
6 . Зуб ковша экскаватора — 10- 4
.. 10- 3
7. Режущий инструмент из твердого сплава —
Ю- 1 0 .. .(1 ,3 .. .2,9)Ю - 1 0
8.
Фрикционные элементы тормозов (колодочно-диско­
вые) — 2 •К Г 6 . .. 4 •И Г 10.
Основные факторы, влияющие на скорость изнашивания,
следующие:
Удельная нагрузка (номинальное давление ра). Для неприработанных поверхностей /д
для приработанных
/д р а, т.е. можно принимать /д пропорциональным давлению
в зоне контакта.
Упругие свойства материала. Показатель степени мо­
дуля упругости Е в зависимости влияния на интенсивность
изнашивания изменяется в широких пределах, например для
направленной шероховатой поверхности 0,6 ... 7,0.
Прочность материала. Чем прочнее материал при испы­
тании на разрыв, тем выше его износостойкость.
Коэффициент трения. Коэффициент трения зависит от
многих условий (свойств материала, нагрузки, шероховатости,
молекулярного взаимодействия на контакте и др.). Показатель
степени при коэффициенте трения изменяется в пределах от 2
до 10.
Шероховатость и волнистость поверхности оказывают
на износ значительное влияние на стадии приработки (иног­
да до 2—4 порядков). После приработки поверхности исход­
ная микрогеометрия шероховатой поверхности практически не
оказывает влияния.
Вид относительного движения. Износ деталей машин
связан с четырьмя основными видами относительного движе­
ния: скольжением, качением, ударом и вибрацией. На прак­
тике часто наблюдается сочетание этих движений, например
скольжение с качением, скольжение с вибрацией, качение с
ударами и т.д.
Действующие при этих движениях механизмы поверх­
ностного изнашивания очень сложны и взаимосвязаны.
Механическое изнашивание обусловлено механическим
взаимодействием между материалами трущихся тел. Это —
все виды абразивного изнашивания в результате режущего или
царапающего действия твердых частиц и включений; эрози­
онное изнашивание при воздействии потока газов, жидкостей
или твердых частиц; кавитационное изнашивание при движе­
нии тела в жидкости в условиях кавитации; усталостное из­
нашивание в результате повторного деформирования микро­
объемом материала, приводящего к возникновению трещин и
отделению частичек материала.
Молекулярно-механическое изнашивание происходит в ре­
зультате одновременного механического воздействия и дей­
ствия молекулярных и (или) атомарных сил. Закономерности
этого вида изнашивания установлены молекулярно-механиче­
ской (адгезионно-деформационной) теорией трения, построен­
ной на основе заданной модели контактирующих поверхностей.
По этой теории трение обусловлено деформированием матери­
ала неровностей (механическая составляющая силы трения) и
преодолением молекулярных (адгезионных) связей в зоне кон­
такта (молекулярная составляющая силы трения).
Коррозионно-механическое (механохимическое) изнаши­
вание материала, вступившего в химическое взаимодействие со
средой (например, образование пленок, химических соединений
кислорода и металла при окислительном изнашивании). Осо­
бенно часто проявляется при наличии в зоне трения химиче­
ски активных специальных материалов, газовых сред, охлаж­
дающих жидкостей.
Вид изношенных поверхностей в зависимости от вида из­
нашивания:
абразивное — царапины, канавки, полосы;
усталостное — трещины, выкрашивание;
адгезионное — чешуйки, выступы, выкрашивание;
коррозионно-механическое — пленки, частицы, продукты
реакций.
Отметим, что в обычных условиях наблюдается сочетание
разных видов изнашивания; это крайне затрудняет выполне­
ние надежных расчетов с учетом разных факторов. Практиче­
ски при определении сроков службы кинематических пар меха­
низмов и машин используют интегральные показатели, осно­
ванные на обобщении опыта эксплуатации машин в разных
условиях.
12 - 11273
8.4. Методика расчета износа элементов
кинематических пар
Расчет износа деталей машин при упругом, пластиче­
ском контакте и микрорезании поверхностей трения основан
на усталостной теории, учитывающей давление р на поверхно­
сти трения, относительную скорость v и время t работы узла
трения. Линейный износ И выражают соотношением
t
0
где fc, т , и п — коэффициенты, характеризующие узел тре­
ния при заданных условиях работы узла трения. Предель­
ные значения коэффициентов: т = 0 ,5 ... 3 , 0 ; п = 0 , 9 . .. 1 , 2 ;
к — коэффициент линейного износа, принимаемый по опыт­
ным данным.
Для упрощения расчетов степенную функцию заменяют
t
линейной: И = J kpvdt. В этом случае [к] = мкм/(МПа* км),
о
Иногда используют данные о скорости изнашивания 7 =
= kpv при средних режимах эксплуатации, полученные опыт­
ным путем в зависимости от вида контактного взаимодействия
поверхности: упругое (зубчатое колесо, калибры, поршневые
кольца) 5 10~5 . ..2 10” 4; упругопластическое (подшипники
скольжения, направляющие, ходовые винты) 2 •10“ 4 ... 4 •10 4;
пластическое (фрикционные муфты, диски и колодки тормо­
зов) 4 •1СГ4 . .. 64 •10- 4 ; хрупкое, вязкое разрушение, микроре­
зание 6,4* К Г 3 ...12,5* 1СГ3
Здесь единицей скорости изнашивания принят линейный
износ в микрометрах за один час изнашивания (мкм/ч).
Объем учебника не позволяет привести необходимые вы­
числения, и приходится ограничиться только обсуждением
трех примеров.
П ример 1 . Износ цилиндропоршневых деталей двигате­
ля (рис. 8 .8 , а).
Поршень 1 имеет поршневые кольца 2 и совершает воз­
вратно-поступательное движение в гильзе 3 цилиндра двига­
теля.
и
О
/Г Г 1 Г Л П Т г т > ^
г
s
Рис. 8.8
Скорость движения поршня переменная (рис. 8.8, б). Наи­
более неблагоприятные условия работы — в левом крайнем
положении, где наблюдаются максимальное давление в камере
сжатия, высокие температуры и наименьшая толщина масля­
ной пленки, так как масло выгорает при воспламенении смеси
и выдувается из-под поршневых колец вплоть до полного раз­
рушения масляной пленки. Коэффициент трения изменяется
по ходу поршня в пределах 0 ,2 0 ...0 ,02. Наилучшие условия
смазки — в средней части хода. Продукты сгорания ускоряют
усталостно-коррозионные явления. На поверхностях гильзы и
колец наблюдаются молекулярное схватывание, усталостные
и абразивные повреждения.
Эпюры
линейного
износа
гильзы
показаны
на
рис. 8.8, в-ж. Эпюра износа на рис. 8.8, г характеризует почти
равномерный абразивный износ по длине цилиндра и умерен­
ный коррозионный износ. На рис. 8.8, д показан износ с пре­
обладающим абразивным износом в средней части гильзы в
условиях загрязненной смазки. На рис. 8.8, в, е показана эпю­
ра износа, когда в сильной мере проявляется коррозионный
износ в левой части гильзы в связи с недостаточной смазкой и
напряженным тепловым режимом работы.
На рис. 8.8, ж приведена эпюра для случая, когда сильная
коррозия проявляется по всей длине гильзы.
Поршневые кольца изнашиваются в основном в радиаль­
ном направлении. Наибольший износ наблюдается у первых
двух поршневых колец. Среднее значение максимального из­
носа колец тепловозного дизеля* при испытаниях колебалось в
пределах ( 1, 6. . . 5)10“ 3 мкм/км.
П ример 2. Износ зубьев цилиндрической зубчатой пере­
дачи (рис. 8.9).
Рис. 8.9
Трение, изнашивание и смазка: Справочник. Кн. 2. М*: Машино­
строение, 1979.
Экспериментальные наблюдения показывают, что харак­
терными видами износа являются абразивное изнашивание,
фрикционная усталость и контактное усталостное выкраши­
вание (питтинг). Малонагруженные передачи и передачи с хо­
рошей смазкой изнашиваются равномерно в пределах активной
части профиля зуба. Для тяжелонагруженных передач эпюра
износа по профилю зуба (рис. 8.9, а) свидетельствует о нерав­
номерном износе и коррелируется с графиками скорости сколь­
жения vCK профилей (рис. 8.9, б) и коэффициентов скольжения
Aj = vCK/v'Kl и А7
2 = Vck/ ( ^ 2 ^2 i ) (рис. 8.9, б). Наибольший
износ наблюдается у ножек зубьев. При испытании зубчатых
передач четырехступенчатого редуктора силы в зацеплении из­
менялись от 200 Н в ступени I до 10000 Н в ступени IV, износ
зубьев — от 15 до 45 мкм в ступени I, от 25 до 100 мкм в сту­
пени IV, а интенсивность изнашивания при смазке маслом с
химически активными присадками составляла от 5 Ю“ 10 до
3 10“ 9 в ступени I и от 1,5 •10-8 до 3 •10” 7 в ступени IV
П рим ер 3. Износ профиля дискового кулачка (рис. 8.10).
Профиль
кулачка
изнашивается
неравномерно
(рис. 8.10, а) из-за переменности контактных напряжений в по­
верхностных слоях кулачка 1 и толкателя 2 в связи с изменени­
ем нормальной силы F21 и радиусов кривизны р профилей, ско-
рости скольжения vCK) угла давления 0, скорости толкателя
V2 (рис. 8.10, б). Линейный износ профиля (рис. 8.10, в) можно
t
ч>
рассчитать по формуле И = f kpvCKdt = f kp^d<p\.
0
0
К он тр ол ьн ы е воп р осы
1. Какие виды трения различают по кинематическому признаку?
2. Какие виды трения различают по виду смазки поверхностей трения?
3. В каких пределах изменяются коэффициенты трения скольжения при
различных видах смазки?
4. К акие и н те гр а л ь н ы е х а р а к т е р и ст и к и и зн аш и ван и я п р и м е н я ю т при
и н ж ен ерн ы х р а сч е т а х и зн оса д ета л ей ?
5. Н азови те о сн овн ы е ф а к то р ы , вл и я ю щ и е на и н т е н с и в н о с т ь и зн а ш и ­
вания.
Раздел
II
МЕТОДЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ СХЕМ
ОСНОВНЫХ ВИДОВ М ЕХАНИЗМ ОВ
Глава
9
МЕТОДЫ СИНТЕЗА МЕХАНИЗМОВ
С ВЫСШИМИ ПАРАМ И
Осуществление требуемых движений механизмами, содержащими
только низшие кинематические пары (т.е. рычажными механизмами), не
всегда бывает целесообразным ввиду сложности кинематической схемы. В
таких случаях применяют механизмы с высшими кинематическими пара­
ми, которые воспроизводят требуемое движение при малом числе звеньев.
Минимальное их число равно трем: входное и выходное звенья и стойка.
Другое существенное достоинство механизмов с высшими парами состоит
в том, что они преобразуют движения теоретически точно, чего механиз­
мы с низшими парами иногда выполнить не могут.
Поверхности элементов высшей кинематической пары, обеспечиваю­
щие заданный закон движения, называются сопряженными поверхностя­
ми* Механизмы могут иметь либо одну, либо несколько пар сопряженных
поверхностей. Первый случай используется, например, в кулачковых ме­
ханизмах, воспроизводящих возвратное движение выходного звена в со­
ответствии с заданным законом, задаваемым посредством передаточной
функции. Второй случай используется в зубчатом зацеплении, в кото­
ром непрерывное движение выходного звена обеспечивается путем после­
довательного взаимодействия нескольких пар сопряженных поверхностей.
Передаточная функция зубчатых механизмов, как правило, постоянна и
называется передаточным отношением. Наличие высшей кинематической
пары вносит существенные особенности в методы синтеза механизма.
9.1. Основные понятия и определения
При синтезе механизмов с высшими парами используют
следующие основные понятия.
Сопряженные поверхности — поверхности элементов
высшей кинематической пары, геометрическая форма которых
позволяет при взаимодействии получить заданный закон их
относительного движения.
Сопряженные профили зубьев — кривые в сечении сопря­
женных поверхностей плоскостью движения звеньев высшей
пары, геометрия которых позволяет получить заданное пере­
даточное отношение.
Основная теорема высшей пары — при линейном и точеч­
ном касании поверхностей звеньев высшей пары в точке кон­
такта должна быть общая нормаль, а векторы скоростей отно­
сительного движения должны совпадать с общей касательной
плоскостью.
Зубчатое звено — звено, имеющее один или несколько вы­
ступов (зубьев) определенной формы, предназначенных для пе­
редачи движения посредством взаимодействия с зубьями пар­
ного звена.
Зубчатое зацепление — кинематическая пара с точечным
или линейным контактом, образованная зубчатыми звеньями.
Линия зацепления — геометрическое место точек касания
сопряженных профилей зубьев.
9.2. Основная теорема зацепления
Основная теорема зацепления устанавливает связь между
геометрией сопряженных поверхностей и законом относитель­
ного движения элементов высшей кинематической пары. При
зацеплении в плоскости основная теорема зацепления устанав­
ливает связь между геометрией сопряженных профилей и их
относительным движением.
Для задач синтеза сопряженных поверхностей и сопряжен­
ных профилей закон относительного движения является задан­
ным. В соотношениях
U2 = U i + U21
или
wi2 = CJ] - CJ2
(9.1)
векторы угловых скоростей и\ и cJ2 известны, что позволяет
найти векторы относительной угловой скорости: й i 2 = —й>21.
Векторы ZJi и lJ2 могут быть параллельными, пересекать­
ся в одной точке или скрещиваться (рис. 9.1).
Геометрическое место по­
ложений мгновенных осей вра­
щения в основной системе от­
счета называют неподвижным
аксоидом, а в движущемся теле
— подвижным аксоидом. При
параллельных
неподвижных
осях вращения (рис. 9.1, а) ак­
сон дами являются цилиндры с
радиусами rw\ и гш2, соприка­
сающиеся между собой по обра­
зующей и перекатывающиеся
друг по другу без скольжения.
Если векторы и\ и cj2 направ­
лены в разные стороны, то аксоидные цилиндры касаются
внешним образом. Если век­
торы щ и и 2 имеют одина­
ковое направление, то аксоидные цилиндры касаются вну­
тренним образом (меньший ци­
линдр
расположен
внутри
большего).
В случае пересекающихся
неподвижных осей (рис. 9.1, б)
аксоидами являются два кону­
са с углами при вершине 2 Swi
и 26W2 . Углы аксоидных кону­
сов <5^1 и 6W2 определяют поло­
жение мгновенной оси враще­
ния в основной системе отсче­
та. Их значения можно найти,
Рис. 9.1
используя теорему синусов из треугольника, являющегося век­
торным решением соотношения (9.1) (см. рис. 9.1, б):
_
Pl\
sin
1^21
sin
2
Передаточное отношение Щ2 = |^i|/|^2| выражается со­
отношением
__ |cji| _ sin ^ 2 _ sin(E — 6wi) _ sinE
— cosE.
sin 6Wi
Ul2
\u>2\ s i n ^ i
(9.2)
При скрещивающихся осях (рис. 9.1, в) относительное
движение звеньев является винтовым, т.е. движение тела со­
стоит из его вращения вокруг некоторой оси и поступательного
движения со скоростью, параллельной этой оси. В этом слу­
чае находят мгновенную винтовую ось. Если угловые скоро­
сти Ul и и 2 постоянны, то аксоидами звеньев в относительном
движении являются однополостные гиперболоиды вращения с
прямолинейной образующей, которые катятся друг по другу,
касаясь, по мгновенной винтовой оси, со скольжением вдоль
этой оси.
Линия кратчайшего расстояния между осями на рис. 9.1, в
обозначена O 1 O 2 , а ее длина — aw. На этой линии располо­
жена точка Р, через которую проходит мгновенная винтовая
ось.
В сечении, перпендикулярном мгновенной винтовой оси
винта, составляющие скорости точки Р равны, т.е.
^1 1^11cos 6wi = rw2 \u2 \cos6w2 ,
откуда следует, что передаточное отношение можно опреде­
лить из соотношения
“ 12 = |wi|/|w2|=
tW2 cosSw2 /(rw\ cos 6W\).
(9.3)
Согласно теореме косинусов, модуль вектора относитель­
ной угловой скорости вращения по (9.1)
и>21 =
+
<*>2
+ 2щи>2 cos Е.
При заданном законе относительного движения звеньев,
элементы которых образуют высшую кинематическую пару, в
общем случае формулируют основную теорему зацепления в
следующем виде: сопряженные поверхности в любой точке
контакта имеют общую нормаль к этим поверхностям, ко­
торая перпендикулярна вектору скорости точки контакта
в заданном относительном движении поверхностей.
Доказательство этой теоремы заключается в том, что если
сформулированное условие не выполняется, то имеется состав­
ляющая относительной скорости элементов высшей кинемати­
ческой пары, направленная вдоль общей нормали. В этом слу­
чае элементы высшей пары либо отрываются друг от друга,
либо взаимно внедряются, что противоречит условию образо­
вания контакта в высшей паре. Так как подобное предположе­
ние является невозможным, то это является доказательством
основной теоремы зацепления. Краткая запись основной тео­
ремы зацепления в аналитической форме основана на условии
перпендикулярности векторов vr и п, записанном в форме ска­
лярного произведения векторов: vr X п = 0, где vr — вектор
скорости относительного движения в касательной плоскости
к элементам высшей кинематической пары; п — единичный
вектор общей нормали в точке контакта.
Основная теор ем а пл оского зацепления. Идея основ­
ной теоремы плоского зацепления была высказана английским
ученым Р. Виллисом (см.: Willis R. Principles of mechanism.
London, 1841) при разработке классификации механизмов на
основе анализа отношения скоростей звеньев. В современной
интерпретации эту теорему (называемую теоремой Виллиса)
формулируют в следующей форме: общая нормаль в точке
контакта сопряженных профилей в любой момент зацепления
должна проходить через полюс зацепления Р, положение ко­
торого на межосевой линии O 1 O 2 определяется заданным от­
носительным движением звеньев (рис. 9.2). Из соотношения
(3.40) следует, что положение полюса Р однозначно определя­
ется радиусом rw\, если заданы межосевое расстояние aw и
передаточное отношение Щ2 Для доказательства сформулированной теоремы в точке
контакта К профилей Щ и П2 рассматривают векторы скоро­
стей точек А и В у принадлежащих соответственно звеньям 1
и 5, и соотношения между ними:
VB =
va
+
vba-
Рис. 9.2
Направление векторов определяют из условий движения
точек: v ^ ± A O и v q L B 0 2 \
~ * или ^ВА^-п ~~ п>Где < “ <
и п —п — общая касательная и общая нормаль к сопряженным
профилям П1 и П2 соответственно. Далее через ось 0\ прово­
дят линию 0\D, параллельную общей нормали (п; —п'Цп —п),
и отмечают точку D на пересечении с радиусом O 2 K D . Полу­
ченный AO\DK подобен АаЬК, образованному векторами
^ВАИз подобия треугольников следует:
аК
ЪК
О^К ~ Ш '
\v a \ 0\К
и \та
ТА
ИЛИ И
= ~D K' ИЛИ
~ m D K ■ (9
Так как D K /K O 2 = О 1 Р/РО 2 (что следует из условия
пересечения сторон угла DO 2 O 1 двумя параллельными пря­
мыми), то после подстановки получают соотношение
^ _ {гв/щ ) _ К 0 2 = РОг
ш2
DK
DK
РО г'
/ д 5ч
К' }
Соотношение (9.5) идентично соотношению (9.4), что
является доказательством прохождения общей нормали п — п
через полюс зацепления Р Иногда используют и иную фор­
му доказательства, рассматривая проекции абсолютных ско­
ростей уд и vg точек А и В в момент их контактирования
в положении К > которые должны быть равны друг другу по
условию контактирования профилей Щ и П2 без размыкания
контакта и без внедрения одного профиля в другой.
Из анализа основной теоремы зацепления следует, что при
заданном законе изменения передаточной функции, т.е. при
заданных центроидах, определяющих положение полюса Р на
межосевой линии O 1 O 2 , конструктор располагает свободой вы­
бора геометрии контактируемых профилей. Любой паре цент­
роид соответствует множество сопряженных профилей, обеспе­
чивающих заданное изменение отношения угловых скоростей
звеньев.
Целесообразность выбора той или иной пары профилей с
определенной геометрией конструктор увязывает с технологи­
ей изготовления (с методом изготовления, станочным оборудо­
ванием, режущим инструментом, методами контроля и т.п.), с
работоспособностью передачи («несущая способность», высо­
кий КПД, малый износ профилей, надежность и долговечность
и т.п.), с чувствительностью передачи к погрешностям, возни­
кающим при изготовлении, монтаже и эксплуатации.
Из основной теоремы зацепления следует, что сопряжен­
ные профили должны располагаться относительно центроид
так, чтобы в любой точке контакта общая нормаль проходила
через полюс зацепления Р Если это требование не выпол­
няется, то такие профили не могут быть сопряженными. На
рис. 9.3, а показаны центроида Ц и профиль П, к которому про­
веден ряд нормалей ть-п. На участке АВ профиля П нормали
пересекают центроиду Ц, а на участке ВС нормали не име­
ют общих точек с центроидой Ц. Следовательно, для участка
АВ профиля П возможно найти сопряженный профиль, а для
участка ВС сопряженный профиль спроектировать невозмож­
но. В этом случае высота головки зуба должна быть ограниче­
на (на рис. 9.3, а пунктирной линией условно показана линия
вершин зубьев, проходящая через точку В).
Аналогичные рассуждения можно распространить на
настный случай профиля П, очерченного по прямой линии
(рис. 9.3,6): на участке АВ нормали пересекают центроиду
III, а на участке ВС нормали не имеют общих точек с цен'Гроидой Hj. Однако если выбрать другую центроиду Щ (или
иначе расположить прямолинейный профиль по отношению к
центроиде), то можно добиться, чтобы нормали к профилю на
всем участке АС пересекали центроиду Щ , т.е. для всего про­
филя АС найти другой сопряженный профиль. Это условие,
вытекающее из основной теоремы зацепления, является необ­
ходимым, но иногда оказывается недостаточным, так как воз­
можны и другие ограничения.
Ранее в гл. 3 было показано, что важной кинематической
характеристикой любого механизма, не зависящей от времени
и закона изменения обобщенной координаты, является переда­
точная функция vqQ скорости движения, представляющая со­
бой первую производную перемещения Sв какой-либо точки В
по обобщенной координате <ру
vqB = dSe/difi 1 = VB/u)1При передаче вращательного движения высшей парой ки­
нематической передаточной функции vqB можно придать опре­
деленный геометрический образ. Пусть в качестве обобщен­
ной координаты выбран угол поворота щ звена 1, а в ка­
честве функции — перемещение SB точки В ведомого звена
2 (см. рис. 9.2). Передаточная функция vqB = vB/u>i име­
ет единицу СИ [vqB] = м рад- 1 . Ее можно изобразить на
схеме механизма в виде некоторого отрезка D K в масштабе
fj,q = [мм/(м •рад- 1 )].
Геометрический образ передаточной функции скорости
движения формулируют в следующем виде: отрезок D K , рас­
положенный на прямой, соединяющей контактную точку К с
осью вращения О2 ведомого звена, между общей нормалью
п — п в контактной точке К и прямой п1 - п', проведенной
параллельно через ось вращения 0\ ведущего звена, пропор­
ционален передаточной функции vqB =
Для доказательства этой теоремы рассматривают подобие
треугольников A D K O \ ~ АКаЬ (см. рис. 9.2):
KD
АО г
KD
А0г
А01
щ
= — — , или ----- = --------= ------- = — •
Во
Аа
vq
уд
ита
и\
После преобразования получают
K D = fii(vB/ui), или K D = mvqB.
Это соотношение и требовалось обосновать. Кинематиче­
ская передаточная функция vqB при произвольн9 выбранной
геометрии контактируемых профилей изменяете# и ее мож­
но представить в виде графиков в координатах (vqB, SB) или
( v q B > <Ы -
Обратим внимание, что расположение отрезка K D , про­
порционального кинематической передаточной функции vqB,
относительно контактной точки зависит от схемы зацепления.
При внешнем зацеплении, когда полюс зацепления Р распо­
ложен между осями вращения 0\ и О 2 , отрезок K D по линии
0 2D расположен также с внешней стороны по отношению к от­
резку 0 2К . При внутреннем зацеплении, когда полюс зацепле­
ния Р расположен вне отрезка 0 \ 0 2, отрезок K D расположен
внутренним образом на линии 0 2D , т.е. от точки К в сторону
оси О2. Иногда пользуются правилом: вектор скорости vB вы­
ходного звена 2 будучи повернут на 90° в направлении угловой
скорости и\ входного звена показывает расположение вектора
D K , пропорционального кинематической передаточной функ­
ции относительно контактной точки К.
9 .3 . С к о р о ст ь скольж ен ия сопряж енны х профилей
Соотношение между угловыми скоростями u>i, и2 звеньев,
скоростью скольжения профилей и расстоянием контактной
точки К от полюса зацепления Р формулируется в следу­
ющем виде: скорость скольжения сопряженных профилей в
высшей паре равна произведению расстояния 1#р между кон­
тактной точкой К и полюсом зацепления Р на угловую ско­
рость UJi2 = й>1 —й>2 в относительном движении профилей (см.
рис. 9.2).
Для доказательства рассматривают подобие треугольни­
ков: AKab ~ AO\KD, следовательно,
ab
_
Кa
Ъ о [ = ~к о['
vCK _
Уд
(9.6)
или ~D0[ = ~KOi
A D 0 \ 0 2 ~ А К Р О 2 , следовательно,
DOl _ O 1 O 2 _ 0\Р + РО 2 _ 0\Р , ,
КР ~ Р 02 ~
Р02
~ Р02 +
-г^2
,
(9.7)
Соотношение (9.6) с учетом соотношения (9.7) преобразу­
ют в следующем виде относительно искомой скорости сколь­
жения:
^ск
—
VA
DO 1
Ul1'A D 0 1 = — К Р
ко 1
гАщ
ИЛИ
V CK
—
КР
М/
( cji т
^
2)
=
Й
1кр(и 1
Т
4
ш2)-
(9.8)
Соотношение (9.8) соответствует сформулированной вы­
ше теореме о скорости скольжения контактируемых профилей.
В полюсе зацепления Р между профилями скольжение отсут­
ствует. Чем дальше расположена контактная точка К отно­
сительно полюса зацепления Р, тем больше скорость сколь­
жения. Учитывая, что износ контактируемых поверхностей
является функцией скорости скольжения, конструктор должен
выбирать такое расположение сопряженных профилей относи­
тельно центроид, при котором скорость скольжения находи­
лась бы в допустимых пределах.
Наиболее распространенными являются передачи с сопря­
женными профилями, имеющими головку и ножку зуба, т.е.
профилями, расположенными по обе стороны от центроид.
В ряде случаев можно использовать сопряженные профи­
ли, имеющие только ножки или только головки зубьев, т.е.
проектировать передачи с дополюсным, заполюсным или внеполюсным зацеплениями.
Рис. 9.4
Несмотря на то что скорость vCK = vj^2K\ — vВА скольже­
ния профилей П1 и П2 одинакова, они изнашиваются с разной
интенсивностью. В связи с этим полезно рассмотреть движе­
ние каждого профиля Щ и П2 относительно общей контактной
точки К (рис. 9.4):
vА — vк + vAK,
=
~
z
V j l = v_K + VBK
или *К1 = vK + vK l K ]
=
?
или
Г"
I
VK 2 = Ч { _ + VK 2 K •
(9.9)
Направление вектора скорости
общей контактной точ­
ки совпадает с касательной к линии зацепления (ЛЗ) — геомет­
рическому месту контактных точек К на неподвижной плоско­
сти при взаимодействии профилей Щ и П2 (см. рис. 9.2).
Направление векторов скоростей
\K — v А К и v К 2 К =
= VQK совпадает с общей касательной t —t к профилям Щ и
П2 в точке контакта К.
Векторным соотношениям (9.9) соответствуют построе­
ния на рис. 9.4 в виде планов скоростей.
Скорость скольжения удк = ak/iiv профиля Щ относи­
тельно контактной точки К при заданной на рис. 9.4 геометрии
высшей пары существенно меньше, чем скорость скольжения
^ВК = kb/nv профиля П2 относительно той же контактной
точки К . Это означает, что за один и тот же промежуток вре­
мени на профиле П2 будет контактировать участок большей
длины, чем на профиле Щ. В силу отмеченного при прочих
v
k
постоянных условиях профиль Их на данном участке будет из­
нашиваться больше, чем участок на профиле П2 , даже если
материал профилей одинаков по износостойкости.
Скорость скольжения vj(2K\ профилей друг относитель­
но друга и скорости скольжения V jn /f и ^К2К профилей отно­
сительно общей контактной точки в процессе взаимодействия
профилей все время меняются: уменьшаются до нуля при дви­
жении контактной точки К к полюсу Р и далее увеличиваются,
меняя при этом свое направление. Такой характер скольжения
профилей влияет на интенсивность износа на разных участках
профилей элементов высшей кинематической пары в том слу­
чае, если основным видом износа является абразивный износ.
Производить оценку скольжения профилей в относитель­
ном движении только по скорости скольжения недостаточ­
но: необходимо еще учитывать скорость движения контакт­
ной точки по каждому профилю, т.е. скорости v b k и v a k ( см *
рис. 9.4).
Отношения скорости скольжения v CK = и в А профилей к
относительным скоростям иа к и йв К точек А к В профилей
при перемещении относительно общей контактной точки К на­
зывают коэффициентами скольжения
и Ав соответствен­
но:
=
v c k
/ v A K
и
— v c k / VBK'
(9.10)
Если скорость точки на профиле совпадает со скоростью
перемещения контактной точки по линии зацепления, то в этом
случае коэффициент скольжения теоретически равен бесконеч­
ности. Такой случай имеет место в кулачковых механизмах,
когда один из элементов высшей кинематической пары вырож­
дается в точку (острие).
9.4. Угол давления при передаче
движения высшей парой
Положение общей нормали п —п в точке контакта К вза­
имодействующих профилей может быть зафиксировано разны­
ми способами. Угол между нормалью п —п и радиус-вектором
г а , проведенным от оси 0\ в контактную точку К , называют
углом ведущего профиля (см. рис. 9.2). Угол между нормалью
7i —п и радиус-вектором г#, проведенным от оси О2 в контакт­
ную точку К , называют углом передачи р. Угол между нор­
малью п —п и вектором скорости v£ ведомого звена называют
углом давления д. При проектировании механизмов с высшей
парой эти углы играют большую роль. Особенно приходится
учитывать условия передачи сил и моментов сил и назначать
в связи с этим определенные ограничения. Например, часто
применяют ограничения по углу давления д < т?доп >при кото­
ром изменяющиеся углы давления д не должны превосходить
определенный допускаемый уровень ^доп*
Связь между углом давления д и кинематическими па­
раметрами механизма находят в следующем виде: схема на
рис. 9.2 позволяет записать такие соотношения:
DC
g
“ COi ~
AD-А С
A D - ( C 0 2 - B 0 2)
COi
~
COi
где CO i — перпендикуляр к лучу 0 2D , опущенный из цен­
тра 0\.
В это выражение можно подставить значения отрезков
AD = m {yBlui)\
В 0 2 = ЩГВ]
СО\ = 0 \ 0 2 sin <р2 = inaw sin (р2\
С 0 2 = 0 \ 0 2 cos <р2 = maw cos <р2
и получить формулу в следующем виде:
tg # = (У в М -(* и ,™ < Р 2 -г в )'
avj sin ip2
(9П)
В формуле (9.11) величины Vjj/wi, ТВ и ^2 являются пе­
ременными.
Если в механизме с высшей парой в частном случае ведо­
мое звено совершает прямолинейно-поступательное движение,
то формула (9.11) также приобретает частное значение:
( vb M ) т е
(9.12)
*5н + § в
где е — внеосность — смещение оси ведомого звена относи­
тельно оси вращения ведущего звена; 5Н + Sq = у£ — коор­
дината точки Sb на ведомом звене в направлении его посту­
пательного движения относительно координатных осей, имею­
щих начало координат 5Н на оси вращения ведущего звена.
tgi? =
Теорему об угле давления $ можно сформулировать так:
угол давления при передаче вращательного движения в про­
стом плоском механизме с высшей парой зависит от переда­
точной функции vqB = vq /u \, межосевого расстояния aw и
координат Tfi2 и у>2 контактной точки ведомого звена и опре­
деляется соотношением (9.11).
В некоторых частных случаях передача движения сопря­
женными профилями может осуществляться с постоянными
углами давления.
9.5. Графические методы синтеза
сопряженных профилей
М етод последовательны х полож ений проф иля. Оп­
ределение сопряженного профиля Щ по заданному профилю Щ
(рис. 9.5, а) методом последовательных положений заключает­
ся в обращении движения центроиды Щ относительно непо-
Колесо
Р и с. 9.5
движной центроиды Ц2 , вычерчивании ряда положений профи­
ля Щ и построении к ним огибающей кривой, которая является
искомым профилем Щ .
Так как центроиды I]j и Ц2 перекатываются друг по
другу без скольжения, то длина соответствующих участков
центроид должна быть одинаковой: P I 1 = Р 1 П\ Р 2 1 = Р 2 П\
РЗ' = Р3"\ . . . ] Р 8 ' = Р 8 "\ Р 9 ] = Р 9 " или 1'2' = 1 П2 " ;
2 *8 ' = 2"3"\
При обращении движения лучи O i l 1] 0\2!] 0\3*\. . . ; 0\8*\
0x9* будут последовательно занимать положения 1 П1 , 2 П2 ,
3й5, . . . , 8 П<9, 9П9. Зафиксировав профиль Щ относитель­
но линии O 1 O 2 , можно вычертить ряд его последователь­
ных положений. Так, положение линии O 1 O 2 ПРИ обраще­
нии движения соответственно совпадает с 0 2 l n 1 , 0 2 2 й2 ,
0 2 3 " 5, . . . , 0 2 8 й 8 , 0 2 9 п9 и т.д. Огибающая ряда последо­
вательных положений профиля П1 является искомым профи­
лем П2 .
Пример выполненного построения для исследования ста­
ночного зацепления исходного контура инструмента и эвольвентного зубчатого колеса показан на рис. 9.5, б.
М етод построения сопряж енного профиля по поло­
жениям нормалей (способ Р ел о ). Данный метод основан
на основной теореме зацепления и используется в тех случаях,
когда можно легко определить положение нормалей к заданно­
му профилю Щ (рис. 9.6).
На профиле Щ выбирают ряд точек 1 , 2 , 3) ..., 6 и про­
водят в каждой точке нормаль к профилю до пересечения с
центроидой в точках соответственно t\ 2 1 57, . . . , 6 1 Центро­
иды Щ и Ц2 перекатываются друг по другу без скольжения,
поэтому на центроиде Ц2 можно найти соответствующие точки 1 ", 2 " 3 " , . . . , 6 " по условию: P i " = P i ’ ) Р 2 " = Р 2 '\
РЗ" = РЗ']
Р 6 " = Р б 1, которые будут контактировать
при прохождении полюса Р с точками l \ 2 \ З7, . . . , б 1 центро­
иды Ц^. Положение точек контакта профилей на неподвижной
плоскости легко найти поворотом треугольников I I 10 1 ; 2 2 *0 1 ;
33*О\ \. . . ; 6 6 *0 1 вокруг оси 0 \ до положений, при которых бы
соответствующая нормаль I I 1] 2 2 1] 33' ] . . . ; 66 1 неизменно про­
ходила бы через полюс Р: РЮ\] Р1Ю\] PllIO i] . . . ; PlVO\.
Р и с. 9.6
Геометрическое место точек контакта I, II, III,
VI является
линией зацепления.
В этих положениях соответствующие нормали к профи­
лям IIi и П2 являются общими. Если их повернуть относи­
тельно оси О 2 на соответствующие углы, то они займут по­
ложения 1*1"\ 2*2"] . . . ; 6*6" При этом происходит поворот
треугольников 1Р 02, IIР О 2 , . . . VIPO 2 До положения 1* 1" О 2 \
2 * 2 " 0 2\
6 * б "0 2.
Соединив полученные при построении точки
. . . , 6* плавной кривой, получают искомый профиль П2 , сопря­
женный с заданным профилем Щ.
Следовательно, построение сопряженного профиля по ме­
тоду Рело основано на использовании понятия о линии з&цепле-
ния — геометрическом месте контактных точек в неподвижной
системе координат, связанной со стойкой.
9 .6 . Д и ф ф е р е н ц и а л ь н а я ф о р м а осн ов н ого
у р а в н ен и я за ц еп л ен и я п р о ф и л ей
Условия взаимодействия сопряженных профилей, опреде­
ляемые основной теоремой зацепления, могут быть представле­
ны в аналитической форме. Такая форма оказывается полезной
и даже предпочтительной при проектировании и исследовании
зацеплений, являющихся теоретической основой нестандарт­
ных передач разнообразного назначения, профилирования ре­
жущего инструмента, работающего согласно методу огибания,
и т.п.
Р а сч ет коорди н ат сопряж енного профиля и линии
зацепления . Теоретические поверхности взаимодействую­
щих зубьев, обеспечивающие заданный закон изменения пе­
редаточного отношения, называются сопряженными поверхно­
стями зубьев.
При плоском зацеплении обычно один из профилей (напри­
мер, Щ на рис. 9.7) задан уравнением в той или иной форме:
У1 =
или F ( x ^ \ y ^ ) = 0, или
= f\(u)\
У(1) = /г (« )Система координат 0 \ х ^ у ^ связана с профилем Щ.
Если на профиле Щ выбрать произвольную точку К\^ то на
профиле Щ можно найти сопряженную точку #2, если суще­
ствуют нормали К\Р\ и К 2 Р2 , пересекающие центроиды
и Ц2 . Участки РР\ и РР 2 центроид перекатываются друг по
другу без скольжения. Обязательными условиями являются
равенство длины дуг на центроидах: РР\ = РР 2 и равенство
длин нормалей: К\Р\ = К 2 Р2 > так как в общей точке К кон­
такта профилей должна существовать общая нормаль п — п,
проходящая через полюс зацепления Р.
Углы поворота координатных осей
и 0 2 ^ \ со­
ответственно (^ю и (^20> зависят от передаточного отношения
^12 = cji/ u;2 , т.е. (р20 = ¥>10 /^ 1 2 » а углы (рп наклона нормалей
Р ис. 9.7
К\Р\ и К 2 Р2 должны быть одинаковы и равны углу наклона
нормали п — п в общей контактной точке К .
В момент контакта профилей линейные скорости точек
профилей П1 и П2 определяются соотношениями
vKl = UKi X rKioi и
vk2
= й к2 X гк20 2 -
Вектор относительной скорости %2к1 = %2 — *>к1 Должен
быть перпендикулярен вектору нормали п к профилям в кон­
тактной точке К . Два ненулевых вектора vK2Ki и п, взаимно
перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное
произведение равно нулю: vK2k1 х п = 0, или
V k 2k 1 X
П
=
=
°>
(9 1 3 )
проекции n(Xl) и п ^ 1) орта нормали
nixi) = cosipn;
= sin</?n.
Угол ipn наклона нормали к оси 0\х№ определяется соот­
ношением
I
t g l p n = {
dx(')\
-
^
)
l
dy(l) )
Ki
(9.14)
К
Проекции вектора скорости скольжения vK2k1 на коорди­
натные оси 0 \ х и 0 \ у ^ можно найти из соотношений
^2к1 =
«к 2 к 1
=
= “ w2(2/k^ + a^sin^io) +
vk2^
“
v iy i^ =
W 2 (lK ^
+
aw C O S
(9.15)
¥>10) -
После подстановки уравнение зацепления сопряженных
профилей получают в виде
[~ш2(!/к^ + aw sin v?io) +
cos<рп + [a>2( x ^ - aw c o s ^ io )sin*/5»» = 0.
Учитывая, что u>i/u>2 =
dyM \
«12
и u>2 = a>i
« 2 1 ; C° St?— =
Sin (pn
записывают в виде
-
[»ж^ -
«21
(Ук1^+ а^апую)]
~ u 21
+ *^ “
-
a w C O S (P20)
= 0.
(9.16)
Это соотношение позволяет определить значение угловой
координаты оси О ^ 1), при которой заданная точка К на про­
филе П| вступит в контакт с искомой точкой K<i на профиле Щ
после его поворота на угол </?20- Точки К\ и К 2 перемещаются
по окружностям радиусов К\0\ и К 2 О 2 соответственно.
Геометрическое место точек контакта К при их движении
относительно основной системы отсчета
связанной
с осями колес, называют линией зацепления (на рис. 9.7 — ЛЗ).
Уравнение линии зацепления легко выразить из формы пре­
образования координат точки К :
(0) - Як
(1) cos </?ю - yi
(1) sin
• ¥>ю,
Як
(0)
(1) •
, (1)
Ук - я}< ' s i n + Ук cos v?i0.
(9.17)
Уравнения сопряженного профиля Щ также выражают по
формулам преобразования координат точки К :
х к = х к C O S </?20 ” Ук ' S i n <Р20 - aw C O S </?2(h
(2)
(0) .
, (0)
.
Vi = x K sin </?20 + Ук cos w o + aw sin (p2o •
(9.18)
9.7. Производящие поверхности
При расчете геометрических параметров элементов выс­
шей кинематической пары учитывают технологические воз­
можности изготовления деталей на формообразующих стан­
ках (металлорежущих, прокатных станах, прессах и т.д.).
Геометрия соответствующего формообразующего инструмен­
та тесным образом связана с производящими поверхностями.
Для инструментов, осуществляющих процесс формообразова­
ния путем срезания стружки, такой производящей поверхно­
стью является воображаемая поверхность, содержащая режу­
щие кромки инструмента или образуемая при их главном дви­
жении, необходимом для резания. Если режущие кромки пря­
мые, а главное движение прямолинейное, то производящей по­
верхностью является плоскость. Если режущие кромки криво­
линейные, а главное движение прямолинейное, то производя­
щей поверхностью является цилиндрическая поверхность (на­
пример, эвольвентная поверхность для долбяков).
Зацепление проектируемой поверхности зубьев с произво­
дящей поверхностью по аналогии с зацеплением нарезаемого
колеса с производящей поверхностью режущего инструмента
называют станочным зацеплением. Этот термин был предло­
жен В.А. Гавриленко, крупным ученым, обобщившим и раз­
вившим основные положения теории зацепления эвольвентных
передач.
Сущность станочного зацепления заключается в том, что
производящая поверхность (поверхность режущих кромок ин­
струмента) и проектируемая поверхность зуба («нарезаемо­
г о » колеса) имеют такое же относительное движение, какое
имели бы зубчатые колеса при зацеплении друг с другом при
взаимодействии аксоидных поверхностей.
При нарезании цилиндрических зубчатых колес оси произ­
водящего колеса (т.е. воображаемого зубчатого колеса, у кото­
рого боковые поверхности являются производящими поверхно­
стями) и проектируемого («нарезаемого») колеса параллель­
ны между собой, и аксоидами являются цилиндры. Если про­
изводящее колесо имеет конечное число зубьев, то режущими
инструментами являются долбяк (рис. 9.8, е), абразивный хон
(рис. 9.8, ж), которыми можно обрабатывать боковые поверх­
ности зубьев колес с различными числами зубьев (рис. 9.8. з).
При бесконечно большом радиусе аксоида производящего ко­
леса инструмент должен иметь бесконечно большое число зу­
бьев, т.е. превратиться в рейку. В этом случае инструмен­
том обычно являются червячная фреза (рис. 9.8, 6) или абра­
зивный червячный круг (рис. 9.8, г), у которых реечный произ­
водящий контур (рис. 9.8, д) расположен на винтовой поверх­
ности. Частным случаем является инструмент, называемый
зуборезной гребенкой (рис. 9.8, а), или пара тарельчатых шли­
фовальных кругов (рис. 9.8, в). Главным движением резания у
долбяка, гребенки и абразивного хона является поступатель­
ное движение, а у червячной фрезы и шлифовальных кругов
— вращательное.
В процессе движения огибания (обкатки) основной шаг ин­
струмента по профильной нормали соответствует основному
шагу проектируемого («нарезаемого») колеса. Процесс пере­
хода от формообразования одного зуба к другому в процессе
обкатки осуществляется автоматически при непрерывном от­
носительном движении (рис. 9.8, д, з).
Реечный контур, принятый в качестве базового для опре­
деления теоретических форм и размеров зубьев семейства зуб­
чатых колес, представителем которого он является, называ­
ют исходным контуром. Исходный контур является объектом
стандартизации, так как он определяет геометрию зуборезного
инструмента и зубчатых колес.
При проектировании конических передач используют ста­
ночные зацепления, у которых аксоидами производящих по­
верхностей являются конические поверхности. Оси аксоидных
конусов пересекаются. Наиболее употребительным при расче­
тах является частный случай, когда аксоидом производящего
Рис. 9.9
колеса является плоскость, имеющая ось вращения, проходя­
щую через вершину аксоида.
Колесо с плоским аксоидом называют теоретическим ис­
ходным плоским колесом. Развертка торцового сечения такого
исходного плоского колеса имеет контур зубьев условной рейки,
называемый торцовым теоретическим (номинальным) исход­
ным контуром.
Расчет любого зубчатого зацепления предполагает ис­
пользование двух станочных зацеплений с соответствующими
производящими колесами и производящими механизмами оги­
бания. Если производящие поверхности могут быть приведены
в такое положение, что они совпадают между собой при нало­
жении один на другой во всех точках, то такие поверхности
называют конгруэнтной производящей парой. На рис. 9.9 по­
казаны конгруэнтные исходные контуры 1 и 2 реечного профи­
ля. Использование принципа конгруэнтной производящей па­
ры упрощает анализ сопряженности боковых поверхностей в
зацеплении, рода контакта, наличия или отсутствия интерфе­
ренции профилей. Размеры профилей стандартизованы ГОСТ.
Идея построения теории зацепления на базе производя­
щей пары была выдвинута французским ученым Т. Оливье
в работе «Геометрическая теория зацеплений» (1842 г.), раз­
вита российским ученым Х.И. Гохманом, опубликовавшим в
1886 г. работу «Аналитический метод решения вопросов о
зацеплениях», и четко и последовательно использована при
разработке теории эвольвентного зацепления научной школой
МВТУ им. Н.Э. Баумана под руководством проф. В.А. Гав­
риленко.
Интерференция в рабочем зацеплении отсутствует, если
использовать конгруэнтную производящую пару. Производя­
щая пара обеспечивает касание боковых поверхностей зубьев
по линии, так как совпадают станочные мгновенные контакт­
ные линии. В случае использования пар с неконгруэнтными
производящими поверхностями в передаче возможны как то­
чечный, так и линейный контакт, но не исключена и интерфе­
ренция боковых поверхностей зубьев. В таких случаях необхо­
дим дополнительный анализ проектируемой передачи по тем
или иным показателям.
Контрольные вопросы
1. Как называют поверхности и профили взаимодействующих зубьев
зубчатых колес, форма которых позволяет получить заданное пере­
даточное отношение?
2. Дайте определение геометрического места положений мгновенных
осей вращения зубчатых колес при параллельных, пересекающихся
или скрещивающихся неподвижных осях вращения колес.
3. Изобразите схему плоского зацепления сопряженных профилей, ука­
жите положение общей нормали в точке контакта и полюса зацеп­
ления. Напишите векторное уравнение, связывающее скорости кон­
тактирующих точек сопряженных зубьев.
4. Что представляет собой исходный производящий контур в станочном
зацеплении?
Г л а в а
10
М ЕХАН И ЗМ Ы ПРИВОДОВ МАШИН
Привод является одной из основных частей любой машины. Пра­
вильный выбор типа привода, его рациональная компоновка и проектиро­
вание в значительной степени определяют возможность получения наилуч­
ших технико-экономических и эксплуатационных характеристик будущей
машины. Зубчатые механизмы, являющиеся составной частью привода,
при выполнении одинаковых функций по сравнению с другими механиз­
мами более экономичны в изготовлении, надежны в эксплуатации, имеют
малые габаритные размеры и высокий КПД. С помощью этих механиз­
мов можно изменять модуль и направление скорости и момента, получать
несколько скоростей, разделять и суммировать движения. Зубчатые ме­
ханизмы могут быть как плоскими, так и пространственными. Их под­
разделяют на механизмы с неподвижными осями всех колес и механизмы,
оси отдельных колес которых перемещаются относительно стойки. К та­
ким механизмам относятся планетарные и волновые зубчатые передачи.
При их применении существенно снижаются габаритные размеры и масса
привода в результате распределения нагрузки между несколькими пара­
ми взаимодействующих зубчатых колес или между несколькими зонами
зацепления. Для одних и тех же условий может быть составлено большое
число возможных вариантов исполнений механизмов, поэтому в настоящей
главе рассмотрены основные схемы простых и многозвенных зубчатых ме­
ханизмов, методы их структурного и кинематического анализа.
10.1. Основные понятия и определения
Любая современная машина, как известно, имеет рабочие
(исполнительные) органы и привод. Приводом машины на­
зывают устройство, предназначенное для преобразования под­
водимой первичной энергии в механическую работу, выпол­
няемую исполнительными органами машины, связанными с
выходными звеньями привода. По виду первичной энергии
различают приводы электрические, гидравлические, пневма­
тические, паровые и т.д. В машиностроении в основном при­
меняют приводы первых трех видов и особенно электропри­
воды. Электроприводом называют устройство, состоящее из
Рис. 10.1
электродвигателя Д, передаточного устройства ПУ, силового
преобразователя П, управляющего устройства УУ и предна­
значенного для преобразования электроэнергии источника пи­
тания ИП в механическую энергию, передаваемую рабочему
механизму РМ и исполнительному органу ИО, при контроле
работы которого подаются сигналы на управляющее устрой­
ство, воздействующее на электродвигатель и силовой преобра­
зователь (рис. 10.1).
По уровню автоматизации управления различают приво­
ды неавтоматизированные, автоматизированные (с автомати­
чески регулируемыми параметрами) и автоматические (с ав­
томатическим выбором управляющего воздействия).
Конструкция и вид рабочих органов определяются целе­
вым назначением машины. Для большинства современных ма­
шин движение рабочих органов является вращательным. К та­
ким машинам относятся транспортные машины, разнообраз­
ное станочное оборудование, вспомогательные устройства и
средства механизации различных работ (стенды, установки,
приспособления с машинным приводом). Приводы большей
части этих машин допускают применение стандартных дви­
гателей и однотипных механических передач.
По способу распределения механической энергии приводы
подразделяют на три основных вида: групповой, индивидуаль­
ный (однодвигательный) и взаимосвязанный.
Групповой привод обеспечивает движение от одного дви­
гательного устройства целой группы исполнительных органов
одной или нескольких рабочих машин через передаточные ме­
ханизмы — трансмиссии. Исторически этот привод был пер­
вым типом привода, нашедшим применение в промышленно­
сти. Но из-за сложности трансмиссий, их громоздкости и низ­
кого КПД от него отказались и перешли к индивидуальному
(однодвигательному) приводу, в котором каждое рабочее дви­
жение обслуживается своим двигательным устройством. Од­
нодвигательный привод наиболее широко распространен, осо­
бенно при использовании электродвигателей.
Взаимосвязанный привод состоит из двух или более свя­
занных двигательных устройств, обеспечивающих выполнение
одного движения. При наличии механической связи между
двигательными устройствами привод называют многодвига­
тельным. Его применяют в исполнительных механизмах гру­
зоподъемных, транспортных, строительных машин и оборудо­
вания, где устанавливают более двух электродвигателей или
гидромоторов для равномерного распределения статических и
динамических нагрузок, уменьшения мощности двигательного
устройства.
По способу передачи движения от двигательного устрой­
ства к исполнительному органу машины различают приводы
прямого действия (безредукторные) и приводы с передаточны­
ми (в большинстве случаев зубчатыми) механизмами.
Зубчатые механизмы передают вращение от одного вала
другому и изменяют модуль и направление угловой скорости.
Их называют также зубчатыми передачами, где с изменения­
ми угловой скорости одновременно меняется и вращающий мо­
мент на ведомых валах. В зубчатых передачах осуществляется
контакт боковых поверхностей специально спрофилированных
зубьев. Давление зубьев вращающегося ведущего колеса пере­
дается зубьям ведомого колеса, при этом осуществляется его
вращение.
Зубчатые механизмы, в которых происходит уменьшение
угловых скоростей при передаче движения от входного звена
к выходному, называют понижающими передачами, или ре­
дукторами. Зубчатые механизмы, в которых увеличиваются
угловые скорости, называют повышающими передачами или
мультипликаторами. В машиностроении значительно чаще
возникает необходимость понижения скорости, т.е. использо­
вания редуктора, поэтому расчету и проектированию редукто­
ров уделяется особое внимание. Требования, которым должен
удовлетворять зубчатый редуктор, заключаются в получении
необходимых передаточных отношений (часто очень больших)
при высоких показателях качества, каковыми являются КПД,
кинематическая точность, крутильная жесткость, при возмож­
но малых габаритных размерах, массе и высокой надежности
редуктора.
10.2. Строение и классификация
зубчатых механизмов
Зубчатые механизмы по геометрическому признаку под­
разделяют на плоские и пространственные. В плоских зуб­
чатых механизмах оси вращения параллельны и все звенья
вращаются в параллельных плоскостях. В пространственных
зубчатых механизмах оси вращения звеньев пересекаются или
перекрещиваются. В соответствии с признаком расположения
осей вращения зубчатых колес простые трехзвенные механиз­
мы можно разбить на следующие четыре группы.
1. Реечные механизмы, в которых одно из зубчатых зве­
ньев — зубчатая рейка.
2. Механизмы с параллельными осями вращения зубча­
тых колес, положение осей вращения которых определяется
межосевым расстоянием aw.
3. Механизмы с пересекающимися осями вращения зубча­
тых колес, относительное положение осей вращения которых
определяется межосевым углом Е.
4. Механизмы со скрещивающимися осями вращения зуб­
чатых колес, относительное положение осей вращения кото­
рых определяется межосевым расстоянием aw и межосевым
углом Е.
Внутри каждой из этих групп, кроме первой, можно выде­
лить две подгруппы, включающие схемы внешних и внутрен­
них зацеплений.
Схемы зубчатых зацеплений простых трехзвенных меха­
низмов с параллельными осями приведены на рис. 10.2. Вари­
анты зацеплений (рис. 10.2, а) основаны на схеме с цилиндри­
ческими колесами, имеющими линии зубьев в виде прямых,
Рис. 10.2
винтовых линий, дуг окружностей и двух винтовых линий
правого и левого направлений. Для построения механизмов
рассматриваемой группы можно использовать и более слож­
ные геометрокинематические схемы зацепления (рис. 1 0 .2 , б,
в). На рис. 10.2, б показана схема с коническими расчетными
поверхностями и наклонными зубьями; на рис. 1 0 .2 , в — схема
с цилиндрическими расчетными, но тороидальными делитель­
ными поверхностями зубьев арочной формы; на рис. 1 0 .2 , а —
схемы червячных зацеплений с коническим и цилиндрическим
червяками.
Многообразие возможностей построения кинематических
схем зацеплений с пересекающимися осями проиллюстрирова­
но примерами на рис. 10.3, где Р — полюс зацепления. Вари­
анты а — г, е, к, л характеризуют подгруппу внешних кони­
ческих зацеплений, а варианты д, ж, з, и — подгруппу внут­
ренних зацеплений. Зацепление, изображенное на рис. 10.3, к,
составлено из цилиндрического червяка и конического червяч­
ного колеса; зацепление, показанное на рис. 10.3, л, составлено
из колес, имеющих конические расчетные, но тороидальные
делительные поверхности.
Возможности построения простых трехзвенных механиз­
мов со скрещивающимися осями проиллюстрированы на
рис. 10.4. Варианты а — в характеризуют соответственно вин­
товое зацепление, гипоидное зацепление с коническими колеса­
ми и гипоидную передачу с цилиндрическим и плоским колеса­
ми. Варианты г — з иллюстрируют возможности построения
Рис. 10.4
червячных зацеплений с различными по форме делительных
поверхностей червяками. На рис. 10.4, г, ж показаны схемы
червячных зацеплений с цилиндрическим и глобоидным червя­
ком, на рис. 10.4, д) е — спироидного зацепления с коническим
и цилиндрическим червяком соответственно. Схема червячно­
го зацепления, составленного из плоского червяка и цилиндри­
ческого колеса с арочными зубьями, показана на рис. 10.4, з.
Передачу вращательного движения с заданным переда­
точным отношением осуществляют с помощью зубчатых, а
иногда фрикционных механизмов. Представленные выше про­
стейшие зубчатые механизмы имеют постоянное значение пе­
редаточного отношения Щ2 = k>i/^2 - Иногда в технике ис­
пользуются зубчатые механизмы с переменным передаточным
отношением. В простейшем виде они состоят из некруглых
зубчатых колес.
По кинематическому признаку различают зубчатые меха­
низмы с неподвижными осями всех колес (рядовые передачи) и
механизмы, оси отдельных колес которых перемещаются отно­
сительно стойки. Такие механизмы называют планетарными
и дифференциально-планетарными (зубчатыми дифференциа­
лами). Они могут иметь несколько звеньев, которые соеди­
няются с двигателями, другими механизмами, рабочими орга­
нами машины и неподвижными звеньями. Обычно механизм
имеет одно ведущее звено, соединенное с двигателем непосред­
ственно или через другой механизм, одно ведомое звено, соеди­
ненное с рабочим органом, и неподвижное звено. Такой ме­
ханизм имеет одну степень подвижности. Дифференциальные
механизмы имеют два и более ведущих или ведомых звеньев
— это механизмы с двумя и более степенями свободы.
Схемы планетарных механизмов с одной парой взаимодей­
ствующих колес показаны на рис. 10.5. Зубчатые передачи, в
которых подвижны два звена, изображены на рис. 10.6. В диф­
ференциальном механизме подвижным должно быть третье
звено — корпус, в котором располагаются опоры. Можно сде­
лать корпус (рис. 1 0 .5 , а) с геометрической осью вращения, со­
впадающей с осью вращения одного из колес, например колеса
2 . Ось колеса 1 при этом будет перемещаться в пространстве,
оставаясь параллельной оси другого колеса (положения 1 \ 1 п).
Рис. 10.6
Это механизм с тремя подвижными звеньями, в котором, за­
давая движения двух звеньев, можно получить движение тре­
тьего звена. Сложность использования такого механизма за­
ключается в осуществлении связи звена 1 с ведущим или ведо­
мым валом передачи. Можно, например, расположить двига­
тель 4-> приводящий в движение колесо 1 , на звене 5.
Намного проще придать подвижность третьему звену в
передаче с внутренним зацеплением. Схема механизма с по­
движным звеном 3 показана на рис. 10.5, б. Так как расстоя­
ние между осями е может быть небольшим, то сравнительно
просто осуществить связь звена 1 с валом, геометрическая ось
которого совпадает с осями двух других звеньев. Для этой це­
ли пригоден любой механизм передачи движения между парал­
лельными валами, например двойной универсальный шарнир
5 (рис. 10.5, в) или так называемый механизм параллельных
кривошипов 6 (рис. 1 0 .5 , г, д).
Механизм, показанный на рис. 1 0 .5 , б, может быть исполь­
зован в качестве преобразователя вращательного движения в
поступательное и наоборот. Для этого, например, к сателли­
ту присоединяют поступательно движущуюся штангу 7. Для
осуществления передачи движения в этом механизме необхо­
димо выдержать соотношение делительных диаметров колес
d2 /d\ = 2 (рис. 10.5, ж).
Колесо 1 с одним из выходных валов соединено при по­
мощи гибкого тонкостенного стакана (рис. 10.5, е). Колесо вы­
полнено также тонкостенным. Такую передачу называют вол­
новой.
По аналогии с приведенными выше схемами может быть
применена схема с подвижным третьим звеном, например,
в реечном механизме (рис. 1 0 .5 , з) и конической передаче
(рис. 10.5, и). Практически это можно осуществить, разместив
один из двигателей на подвижном звене 3 .
Наиболее просто можно осуществить связь звена 1 с валом
при помощи пары зубчатых колес, установленных, как показа­
но на рис. 1 0 .6 , а. Вращение колеса 1 в этом случае передается
жестко связанному с ним колесу 4 и далее через зубчатое за­
цепление — на звено 5 .
На рис. 10.6, б показана схема, полученная соединением
колеса 1 (см. рис. 10.5, б) со звеном 5 при помощи зубчатой
пары. Конструктивно эта схема может быть упрощена при
выполнении колес 1 и 4 одинакового диаметра и с одинаковым
числом зубьев (рис. 1 0 .6 , в).
В рассмотренных схемах содержатся три звена, которые
могут быть соединены с двигателями, рабочими органами и
звеньями других механизмов. Эти звенья называют основны­
ми.. По числу основных звеньев механизмы называют трех­
звенными. Промежуточные зубчатые колеса называют сател­
литами.
10.3.
Рядовые зубчатые механизмы
и механизмы со ступенчато изменяющимися
передаточными отношениями
Зубчатые механизмы приводов машин выполняют не
только в виде элементарных зубчатых механизмов (пары зуб­
чатых колес) того или иного вида зацепления, но и в более
сложных комбинациях, содержащих десятки, а иногда сотни
зубчатых колес. При расчете и анализе такого рода механиз­
мов сталкиваются, как правило, с задачами двух видов, а имен­
но: с необходимостью выражения передаточного отношения
или угловых скоростей через заданные числа зубьев колес и
необходимостью определения чисел зубьев колес по заданным
передаточным отношениям. Первая задача достаточно про­
ста; вторая же вызывает обычно затруднения вследствие бес­
численного множества решений, из которых следует выбрать
наилучшее. В некоторых случаях точное решение вообще от­
сутствует и проектировщику приходится останавливаться на
решении, при котором с наименьшей ошибкой может быть ре­
ализовано заданное передаточное отношение.
В случае, если передаточное отношение, которое требу­
ется обеспечить механизмом привода, очень велико или очень
мало, конструктивно удобно иметь между входными и выход­
ными звеньями промежуточные оси с соответствующими зуб­
чатыми колесами, вращающимися вокруг них. Передавая вра­
щение с входного звена на промежуточные звенья и с них на
выходное звено, можно последовательно отдельными ступеня­
ми изменять передаточные отношения, получая в результате
требуемое передаточное отношение.
Таким образом, сложный зубчатый механизм привода
можно разделить на отдельные ступени, каждая из которых
представляет собой элементарный зубчатый механизм (см.
рис. 10.2— 10.4). В соответствии с указанным различают однои многоступенчатые зубчатые механизмы (передачи). Много­
ступенчатые механизмы, у которых оси вращения зубчатых
колес неподвижны, называют рядовыми зубчатыми механиз­
мами. Они могут быть соосными, когда оси входного и выход­
ного звеньев располагаются на одной линии (рис. 10.7), либо
несоосными (рис. 1 0 .8 ).
Условимся называть отношение угловой скорости одного
звена к угловой скорости другого звена в зубчатом механизме
с одной степенью подвижности передаточным отношением и
обозначать буквой и с цифровыми индексами, соответствую­
щими номерам рассматриваемых звеньев. Если оси вращения
Рис. 10.7
параллельны (см. рис. 1 0 .2 ) и заданы постоянные угловые ско­
рости и>1 и и>2 зубчатых колес 1 и 2, то передаточное отноше­
ние и \2 равно « 1 2 = u>i/a>2 = i r w2 /rw\ = Z2 /z\ = const, где
rw\, t w 2 —- радиусы начальных окружностей зубчатых колес;
z\, Z2 — число зубьев шестерни и колеса соответственно. Знак
минус в приведенном выше выражении показывает, что угло­
вые скорости u>i и и>2 - во внешнем зацеплении имеют разные
направления, знак плюс — угловые скорости и>\ и и>2 во вну­
треннем зацеплении имеют одно направление.
Рассмотрим соединение зубчатых колес, в котором имеет­
ся к параллельных валов; на каждом из к - 2 промежуточных
валов закреплено по два зубчатых колеса, зацепляющихся: од­
но — с колесом, закрепленным на предыдущем валу, другое —
с колесом, закрепленным на последующем валу (см. рис. 10-7).
Такое рядовое зацепление зубчатых колес называют последо­
вательнымВыпишем для каждой из пар зубчатых колес передаточное
отношение, не учитывая пока их знака (в дальнейшем будем
называть его простым передаточным отношением):
^1
и2
__ *2 .
_
>
*1
U>2
-
.
и23 = — =
/ ) • • •;
CJ3
Z2
щ - 1 ,к
и кик
1
_
Ч_
1
Если вал 1 ведущий, то колеса z \ , z'2 , z'3 , . . . , z'k_^ — веду­
щие, a z2, 2 3 , . . . , zjt — ведомые зубчатые колеса. Если вал
1 ведомый, то соответственно изменяется роль перечисленных
зубчатых колес. Перемножив почленно выражения простых
передаточных отношений, получим
wi
*2*3 . . . Z k
“ 21 “ 23 •• •ик—1,к = —
Шк
*1*2 •••**_!
(10.1)
Отношение угловых скоростей первого и последнего валов
сложной зубчатой передачи называют полным передаточным
отношением механизма.
Полное передаточное отношение последовательного ря­
дового зацепления, как это следует из ( 1 0 .1 ), равно произве­
дению всех простых передаточных отношений. При ведущем
вале 1 полное передаточное отношение равно отношению про­
изведений чисел зубьев всех ведомых зубчатых колес к произ­
ведению чисел зубьев всех ведущих зубчатых колес. Числа зу­
бьев для простых передаточных отношений (^ 1 2 , U2 з, •. •) вы­
бирают дробными, при этом каждый зуб входит в зацепление
с различными зубьями другого колеса. Износ их поверхностей
при этом более равномерный.
Полному передаточному отношению можно присвоить оп­
ределенный знак. Если в рядовом зацеплении т внешних и
к —т внутренних зацеплений, то при переходе от одного вала
передачи к другому происходит т раз изменение знака угло­
вой скорости. Таким образом, об окончательном знаке угловой
скорости можно судить по числу т внешних зацеплений, т.е.
по множителю ( —1 )ш, вследствие чего полное передаточное от­
ношение можно представить как
ui
z2z3 •••Ч
( 10.2)
и1 к =
(- 1 Г
и>2
ггг2 . . . гj к_ г
Если при подсчете иц. окажется отрицательным, то знак ми­
нус покажет, что последнее колесо вращается противоположно
первому.
Последовательное рядовое зацепление называют рядом с
промежуточными колесами, если на каждом из валов закреп­
лено по одному колесу, входящему одновременно в зацепление с
колесами на предыдущем и последующем валах (см. рис. 1 0 .8 ).
Полное передаточное отношение такого ряда можно получить
из ( 1 0 .2 ), приняв Z2 = z2, Z3 = z'3, Z4 = z\ и т.д.,
«и = - = - ( - 1 ) ”
Шк
Ч
(10.3)
Последнее выражение показывает, что промежуточные ко­
леса не влияют на передаточное отношение, однако их включе­
ние может изменить знак передаточного отношения. Если чис­
ло промежуточных колес четное, то знак передаточного отно­
шения будет такой же, как если бы колеса z-\ и z зацеплялись
непосредственно. При нечетном числе таких колес знак пере­
даточного отношения меняется на противоположный. Переда­
точное отношение таких зубчатых механизмов можно опреде­
лить графически с использованием метода планов скоростей
(см. § 3.7). Треугольники скоростей можно построить, если
известны по модулю и направлению линейные скорости не
менее двух точек звена. Построив треугольники скоростей
0 \А!В'С'О^ (см. рис. 1 0 .8 , а, ломаная линия), будем иметь на­
глядное представление о характере изменения скоростей от од­
ного вала к другому. Угловую скорость любого зубчатого ко­
леса, согласно формуле (3.43), можно определить так:
W4
_ vc_ _ с с ’ щ _
“
Г4
fly О 4 С
щ
fly t g V>4 ’
Тогда передаточное отношение всего механизма
_
Wl _
W4
tg V > i^
Цу _
Цу t g V>4 fll
tg
ф{
t g V>4 ’
или в общем случае
ulk
tg -01
ЧФк
Знак передаточного отношения определяется знаками тан­
генсов соответствующих углов ф.
Промежуточные зубчатые колеса применяют в тех случа­
ях, когда расстояние между первым и последним валом велико
и непосредственно зацепляющиеся колеса увеличивают габа­
ритные размеры механизма, или же в тех случаях, когда нуж­
но соответственно изменить направление вращения последнего
вала. В качестве примера, иллюстрирующего последнее требо­
вание, можно указать на трензель (рис. 10.9), применяемый в
токарных станках. Поворотом рукоятки а может быть включе­
но одно (zi) или два (z 2 и 2 3 ) промежуточных колеса. В соот­
ветствии с этим направление вращения вала 4 будет совпадать
Рис. 10.9
Р ис. 10.10
или будет противоположным вращению вала 1. Пунктиром по­
казано положение колес трензеля, при котором включено одно
промежуточное колесо и направления вращения валов 1 к 4
совпадают.
Последовательное рядовое зацепление может быть постро­
ено не только из цилиндрических зубчатых колес, но и из кони­
ческих или может представлять собой смешанную передачу, в
которую включены зубчатые колеса, передающие вращатель­
ное движение между параллельными и непараллельными ва­
лами.
Последовательное рядовое зацепление, составленное из ко­
нических зубчатых колес, показано на рис. 10.10. Полное пере­
даточное отношение, как и в предыдущем случае, равно про­
изведению простых передаточных отношений:
и\
22^3
sin ^2 *sin ^3
и 13 = ^12^23 = — = ----- г = “
U$
Z\Z< 1
Г----- г -7 Г
Sindi-Sind2
(10.4)
где
Z2
z\
sin 62
sin 6 1
Z3 _ sin ^3
z *2
sin 6*2
Для рядового зацепления, включающего в себя кониче­
ские зубчатые колеса, знак передаточного отношения не имеет
смысла, если оси первого и последнего колес не параллельны.
При наличии конических колес направление вращения послед­
него вала следует определять при помощи стрелок так, как это
показано на рис. 10.10. Если первый и последний валы кони­
ческой передачи параллельны, то при совпадении направлений
стрелок для первого и последнего колес передаточное отноше­
ние положительно.
При совпадении направлений осей первого и последнего
колес последовательного рядового зацепления ряд называют
возвратным (рис. 10.11, а, б и в), а передачу — соосной. Воз­
вратный ряд широко применяют в металлорежущих станках.
Возвратный ряд может быть составлен как из цилиндри­
ческих, так и из конических колес. Схема возвратного ряда из
конических колес с одним промежуточным колесом показана
на рис. 1 0 . 1 1 , в.
Возвратный ряд зубчатых колес применяют в редукторах,
многоскоростных зубчатых передачах, планетарных и дру­
гих механизмах. Если ведомый вал эпизодически требуется
вращать с различными угловыми скоростями при неизменной
угловой скорости ведущего вала, то применяют многоскорост­
ные зубчатые механизмы с неподвижными осями колес, назы­
ваемые коробками скоростей.
Зубчатые передачи и планетарные механизмы применяют
не только в качестве редукторов (мультипликаторов) с посто­
янным передаточным отношением, но и как многоскоростные
зубчатые передачи (коробки скоростей), где осуществляется
ступенчатое изменение передаточного отношения (рис. 1 0 -1 2 ).
Многоскоростная зубчатая передача (механизм) с непо­
движными осями — зубчатая передача с несколькими (чаще
двумя) валами, с помощью которой получают несколько пере­
даточных отношений между ведомым и ведущим валами* Пе­
редаточные отношения рядовых зацеплений, включенных в та­
кую передачу, определяются теми угловыми скоростями, кото­
рые должен иметь ведомый вал.
Рис. 10.11
На практике применяется большое количество многоско­
ростных зубчатых передач, отличающихся одна от другой ко­
личеством валов, возможных передаточных отношений и неко­
торыми конструктивными особенностями. На рис. 10.12 при­
ведены схемы двухвальных ( 1 0 . 1 2 , а, б, в, д) и трехвальной
( 1 0 . 1 2 , г) многоскоростных зубчатых передач.
На валу 1 (см. рис. 10.12, а) установлены зубчатые колеса
5, которые могут свободно вращаться, а на валу 2 закрепле-
Рис. 10.12
ны зубчатые колеса 3. При перемещении штока 4 загДелка 6
зацепляется поочередно с колесами 5. Колесо, с которым за­
цепляется защелка, вращается вместе с валом 1, и в передаче
движения участвует зубчатая пара 5 — 3. Перемещая шток 4,
можно заставить вращаться с валом 1 другое зубчатое колесо
и получить иное передаточное отношение.
На валу 2 (см. рис. 10.12, 6) жестко установлено кониче­
ское колесо с несколькими зубчатыми венцами 7. Зубчатые
венцы различаются числом зубьев. Шестерню 8 перемещают
вдоль вала 1, вводя в зацепление с тем или иным венцом. Для
удобства переключения с одного режима на другой предусмот­
рено перемещение шестерни 8 в положение, где зубья или впа­
дины зубчатых венцов 7 совпадают.
В схеме на рис. 10.12, в оси валов 1 и 2 параллельны. Ко­
лесо 11 перемещают вдоль вала 1 и через промежуточную ше­
стерню 9 вводят в зацепление с одним из колес, установлен­
ных на валу 2. Ось промежуточной шестерни 9 размещена
в поворотной каретке 10. Путем поворота каретки получают
требуемое расстояние между осью шестерни 9 и осью вала 2.
На каждом режиме (см. рис. 10.12, а — б) участвуют в
зацеплении зубчатые колеса с разными числами зубьев, благо­
даря чему получаются различные передаточные отношения.
На рис. 10.12, г приведена кинематическая схема трехвальной многоскоростной передачи с двумя блоками а и b зуб­
чатых колес, связанных с валами I и III при помощи сколь­
зящих шпонок. При различных положениях блоков на валах
возможны следующие зацепления зубчатых колес: ziz^; z'jZ^,
ji jh . jn rn. j\ j . j //
Z1z2 » z2 z3) z2 z3>Z2Z3 *
В зависимости от положения блоков а и 6 можно получить
девять различных передаточных отношений, поэтому при од­
ной и той же угловой скорости вала 1 вал 3 может иметь де­
вять различных значений угловых скоростей, укладывающих­
ся в ряд с заданной закономерностью.
В коробке скоростей (рис. 1 0 . 1 2 , д) осуществляется связь
между зубчатыми колесами, закрепленными на ведущем ва­
лу 0\0\ и зубчатыми колесами, закрепленными на шпоноч­
ном или шлицевом ведомом валу 02^2- Перемещая блок ше­
стерен с зубчатыми колесами 4>
6 с помощью механизма
« заскакивающей шпонки » или винтовыми механизмами мож­
но осуществить зацепление зубчатых колес 1 —
2 — 5 или
3 — 6 и получить различные передаточные отношения и угло­
вую скорость ведомого вала U2 .
10.4. Планетарные зубчатые механизмы
Планетарным называют зубчатый механизм для переда­
чи и преобразования вращательного движения, составленный
из цилиндрических или конических зубчатых колес, одно из
которых (или группа) совершают сложное вращательное дви­
жение, состоящее из вращений вокруг собственной геометри­
ческой оси и вместе с осью — вокруг оси зацепляющихся с ним
зубчатых колес. Планетарный механизм содержит централь­
ные колеса, оси которых неподвижны, сателлиты — колеса с
перемещаемыми осями, и водило — звено, в котором установ­
лены сателлиты. Неподвижное центральное колесо называют
опорным. Планетарные механизмы подразделяют на механиз­
мы с одной степенью подвижности W = 1 ( планетарные ре­
дукторы и мультипликаторы) и имеющие опорное колесо и
зубчатые дифференциальные механизмы, число степеней по­
движности которых W > 2. Планетарный механизм с одним
водилом считается простым, а с числом водил более одного —
сложным. Простые планетарные механизмы могут быть обра­
зованы сочетанием цилиндрических зубчатых колес с внешним
и внутренним зацеплением, конических зубчатых колес, эл­
липтических колес, винтовых колес, червячных зацеплений, а
также из фрикционных передач. Наиболее широко распростра­
нены планетарные механизмы с цилиндрическими зубчатыми
колесами.
Типичный пример планетарного редуктора — соосный ме­
ханизм с цилиндрическими колесами, конструкция которого
представлена на рис. 10.13, а кинематическая схема изображе­
на на рис. 10.14, а. Этот механизм состоит из центрального
колеса 1 и водила Я , вращающихся вокруг неподвижных осей,
трех сателлитов, составленных из двух жестко связанных в
единый блок колес 2 и 5, опорного колеса 4 и стойки. При
вращении колеса 1 сателлиты 2 — 3 поворачиваются как ры­
чаг относительно мгновенного центра вращения В (колесо 4
неподвижно) и заставляют вращаться водило Я . При этом
планетарные колеса (сателлиты) совершают сложное движе­
ние: вращаются вокруг собственной оси (относительно води­
ла) с угловой скоростью и>2 ; и вместе с водилом обкатываются
*з=35;т=2
Рис. 10.13
с угловой скоростью ojjj вокруг оси О (переносное движение).
Число степеней подвижности этого механизма равно единице.
Обычно у реального механизма имеется несколько симметрич­
но расположенных сателлитов к (колеса 2, 3 на рис. 10.14, а, в).
Их вводят с целью уменьшения габаритных размеров механиз­
ма, снижения сил в зацеплении, разгрузки подшипников цен­
тральных колес, улучшения уравновешивания водила.
Если в рассмотренном механизме освободить от закреп­
ления опорное колесо 4 (корпус редуктора) и сообщить ему
Рис. 10.14
вращение, то все центральные колеса станут подвижными и
механизм превратится в дифференциальный (рис. 10.15), так
как число степеней подвижности W его будет равно двум.
Число степеней подвижности механизма показывает, скольким
звеньям дифференциала необходи­
мо сообщить независимые движе­
ния для получения заданного дви­
жения всех остальных звеньев.
Здесь в зависимости от направле­
ния вращения наружных валов
можно либо раскладывать движе­
ние (одного ведущего на два ве­
домых), либо суммировать. Ве­
дущим считается такой вал, на­
правление скорости вращения и
момента сил которого совпадают.
Планетарный
редуктор
(или
мультипликатор), имеющий непо­
движное колесо, можно преобразо­
вать в дифференциал, если осво-
бодить неподвижное (опорное) колесо и сообщить ему враще­
ние. Наоборот, любой дифференциал можно превратить в пла­
нетарный редуктор, если закрепить одно (при W = 2) или не­
сколько из его центральных колес. Это так называемое свой­
ств о обратимости планетарных механизмов, которое позво­
ляет применять одинаковые методы исследования и проекти­
рования для редукторов и дифференциалов. При этом каждо­
му элементарному дифференциалу будут соответствовать два
планетарных механизма, получаемых при остановке одного из
центральных колес. Планетарные механизмы применяются
либо для воспроизведения заданной траектории (направляю­
щие механизмы), либо для изменения скоростей вращения (вос­
произведение заданного передаточного отношения).
А н алитический м етод исследования. Метод осно­
ван на способе обращения движения, устанавливающего связь
между геометрическими и кинематическими параметрами пла­
нетарных механизмов.
Мысленно всем звеньям механизма сообщается угловая
скорость, равная по модулю и противоположная по направле­
нию угловой скорости водила ujj. Тогда водило становит­
ся неподвижным и механизм из планетарного обращается в
зубчатый механизм с неподвижными осями колес (обращен­
ный механизм), состоящий из нескольких последовательно со­
единенных пар зубчатых колес ( 1, 2 , и 3 , 4 Для схемы на
рис. 10.14, а). Однако скорости этих колес будут иными: вме­
сто
будет
(индекс в скобках указывает
(4)
(4)
номер неподвижного звена); аналогично вместо
~ и \ бу(Я)
,
№)
,
,(4)
_
J
*
)
дет и,
, вместо и>4 = 0 будет
- /и.12 -- /.1
и>н -- U/n —
(Н )
_
= 0 — и.(4)
д 1 Для каждой планетарной пары обращенного механизма по формуле Виллиса (3.42) можно записать
(wl4) " w^ ) / ( 4 4) -
ы$)
= " г2 /п ; Й 4) - ^ ) / ( 0 “
шн\ =
= +Г2 /г. Здесь rj — rw — радиусы начальных окружностей.
В итоге получается система уравнений, связывающих от­
носительные угловые скорости отдельных планетарных пар
при остановленном водиле; решая ее, находим искомое значе­
ние и) или и. При этом число уравнений системы должно со­
ответствовать числу искомых величин. Перемножая последние
два выражения, имеем (wj4 ^ - w ^ ) / ( 0 —w $ ) = -(^ 2 r4 ) /( rl / r3)i
но [ - ( r 2 r 4 ) / ( r i / r 3)] = ( - r 2 / r i )
X
( + г 4 / г 3) = « ^ 4 ? = 4 ?
Тогда [(wj4 V w^ ) “ 1]/(0 - 1) = ui 4^ Откуда передаточное
отношение реального механизма при W4 = О
«1Я = 1 “ UW
( 10-5)
Эта формула справедлива для любой схемы планетарно­
го редуктора при наличии неподвижного центрального колеса.
Значит, и передаточное отношение от любого планетарного
колеса г к водилу Н при неподвижном опорном колесе j рав/ и\
но единице минус передаточное отношение
} от этого же
колеса к опорному в обращенном механизме, т.е.
=
или
+
=
( 10-6)
Итак, для планетарных механизмов с круглыми колесами
сумма передаточных отношений при различных останавлива­
емых звеньях всегда равна единице. Передаточное отношение
обращенного механизма подсчитывают для планетарного
механизма (см. рис. 10.14, а):
для всего механизма по формуле
= —7*2 ^4 / (г1гз), a
Г2 Г4
(Ю
1 — и 14 = 1 +
Г1 Г3
*2*4
(10.7)
21*3
В отличие от механизма с неподвижными осями переда­
точное отношение планетарного механизма зависит не только
от числа зубьев и знака их отношения, но и от числа ступеней
между колесами (при остановленном водиле). Поэтому каждая
конкретная схема планетарного редуктора имеет вполне опреи(4)
1Н
1+
(i)
деленное передаточное отношение
записанное через чис­
ла зубьев (или радиусы). При определении угловой скорости
промежуточного колеса рекомендуется пользоваться формулой
( 10. 6 ).
Граф ический м етод исследования. Сводится к по­
строению треугольников линейных скоростей каждого колеса
(см. гл. 3) и нахождению с их помощью
или и щ - Для
этого переносят на вертикаль (см. рис. 10.14, б) характерные
точки схемы {О А В С ) и откладывают отрезок А А1 = Уд^у,
соответствующий вектору скорости точки А колеса 1. Соеди­
няя точки А1 и О наклонным лучом (под углом ф\), получаем
треугольник скоростей этого колеса, в котором О А1 — прямая
распределения линейных скоростей первого колеса.
Треугольник скоростей колес 2 — 3 строится по извест­
ным линейным скоростям двух точек: точки А (где Уд 2 = Уа \)
и точки В (мгновенный центр скоростей колес 2 — 3), где
Ув = 0* Соединяя точки А1 и В , получаем прямую распреде­
ления скоростей колес 2 —^ 3 (под углом fo)- На этой прямой
лежит точка С — конец вектора С С 1, который соответствует
линейной скорости центра сателлитов 2 — 3 и точки С води­
ла. Проводя луч ОС1 (под углом Фн)> получаем треугольник
скоростей для водила (А О С С ,). Отношение тангенсов углов
наклона линий скоростей входного и выходного звеньев опреде­
ляет значение передаточного отношения данной схемы редук­
тора:
„.(4) _ ^ 1 _ tg
_ АА1 ОС
UlH = ^H = tg фн = О А С С '
Учитывая, что АА' = СС'(АВ/ВС), имеем и^
__ (r4 - r i ) ( r i + r3)
, г2г4
- ------------------------- = 1 -\-------- ; и>2 = CJ3 = ----tg -02 •
Г1Г3
Т\г 3
=
flv
Строя план угловых скоростей (см. рис. 10.14, г), можно
определить
кац
ка2
U2 -------- ; и н =
(pw = — рк)
Ни
/iu;
ка\
кан
W или пц = ------; у!
и 1Н ~ кац
Цп
Если известны моменты сил М\ и М 2 на входном и выход­
ном валах редуктора и если считать, что трение отсутствует и
звенья движутся равномерно, то передаточное отношение мож­
но определить из соотношения
(4) _ w l 4) _
U1* ~ J 4 ) ШН
МН
Ml
( 10. 8 )
Кинематическое исследование дифференциального меха­
низма с целью нахождения скоростей вращения звеньев про­
водится аналогично.
Любой элементарный дифференциал с W = 2 , который
нельзя разложить на более самостоятельные механизмы (см.
рис. 10.15), в отличие от редуктора имеет три наружных ва­
ла: Л, Б, С . Положение каждого звена в таком механизме
определяется двумя независимыми обобщенными координата­
ми (углами поворота двух валов), т.е. ip = / ( ^ л ^ б )*
Тогда угловая скорость ведомого звена, согласно формуле
(3.3), будет равна
( 10-9)
и с = и(С А и Л + ^ С В ЫВ ’
Используя эту формулу, можно определить и # для меха­
низма, изображенного на рис. 10.15 (при известных и , z,*, и±)\
и>н
= 0J1U ^\ +
(
10. 10)
Частное передаточное отношение (w4 = 0)
(4) _
1
1
_
z iz 3
“Я1' «М ~ 1 + 1?§Г *1*3 + W
Аналогично при остановленном первом колесе (c^i = 0)
имеем
( 1) _ 1 _
1
__
z2 4
“й4' « Ц
_ 1 + 1 ё - *2*4 + *1*з'
Подставляя эти значения в (10.10), получаем
W \Z \Z 3 + w4 z2 z4
Uff = ----------------------- •
z2 z4 + Z4 Z3
Дифференциал c W = 2 позволяет реализовать шесть раз­
личных передаточных отношений от одного вала к другому
(С)
( С)
( В)
( В)
(А)
(А)
при остановленном третьем: иАВ\иВА, иА£\ и'СА; ив с \ ис в тт
(С)
, / (С)
ua b
Но все эти значения взаимосвязаны, поскольку иВА = 4
т п •иАВ
и
4 - иАС —
- 1,1- ив с 4+- и
^ -— 1и т.д.,
+
иВА
I, iSB^
иСА + и^
ис в =
—1
1 . Кроме
лриме
того, среди этих шести значений всегда есть одно наибольшее
(> 2) и положительное, которым удобно пользоваться для ха­
рактеристики механизма в целом.
Кинематический расчет пространственных планетарных
передач, составленных из конических зубчатых колес, осу­
ществляется аналитическим или графическим методом, но при
исследованиях оперируют вектором угловой скорости. Такие
механизмы широко применяют в качестве дифференциалов с
двумя степенями свободы (рис. 10.16, а).
Этот механизм состоит из центральных колес i, 3 и води­
ла Я , вращающихся вокруг оси A O F , планетарного колеса 2,
участвующего в двух вращательных движениях в простран­
стве (вместе с водилом вокруг оси O F и относительно водила
вокруг оси ОС). Следовательно, ось ОС является осью вра­
щения колеса 2 относительно водила Я , линия О В — осью
мгновенного вращения колеса 2 относительно колеса i, линия
OD — осью мгновенного вращения колеса 2 относительно ко­
леса 3.
Графический метод основан на построении плана угловых
скоростей (см. г л. 3). Задавшись модулем и направлением
cjj и и>з (так как W = 2), строим план угловых скоростей
(рис. 10.16,6), из которого определяем искомую скорость во­
дила СОц.
Останавливая водило, получаем обращенный механизм, у
которого скорость соответствует разности векторов первого
второго LJ2 —
, третьего из — Iоц колес. Но эти
векторы не параллельные, поэтому их следует брать по моду­
лю. Тогда для колес 1 — 2 и соответственно 2 — 3 будем
иметь
1^1 ~ й н \ _ £2. р2 ~ й Н \ _ £3
р 2 ~ й Н \ z\
р з - Ъ Н\ z2
После перемножения получим \и\ —
1/1^3 —^я1 = гз / г1*
Но так как векторы uJi, й7я>
направлены по одной пря­
мой, то разности скоростей в последнем уравнении являют­
ся алгебраическими. Знак определяется правилом стрелок,
Доказывающим направление вращения колес при остановлен­
ном водиле. Тогда (u>i - и н )И иЪ “ и н ) = “ z3 /zl* Ми­
нус справа означает, что направления стрелок на колесах 1
и 3 (рис. 10.16, а) не совпадают. Таким образом определя­
ем и н = (u>i + ^ з ^ з М ) /( 1 + W zl)* Это же решение мо­
жет быть получено и из рассмотрения треугольников abc и bed
(рис. 10.16, б).
Дифференциальный механизм данной схемы с z\ — Z3 и
£ Ф 90° широко используется в автомобилях, станках, счетно­
решающих устройствах. При этом
= 0 ,5(cji + и>з). При
с^з = 0 колесо 1 будет вращаться в два раза быстрее во­
дила. Если cj# = 0, то
= —и 3 и колеса будут вра­
щаться только в противоположные стороны. Если это ре­
дуктор, т.е. и з = 0, то, используя те же уравнения, будем
иметь план угловых скоростей (рис. 10.16, б). Из отношения
а'с'/с'р1 = (cji —и>н) / { и3 —u r ) получим
значение кото­
рого положительно. Используя (10.6), находим аналитически
^1Н = 1 -
UW
= 1 - ( - ^ з М ) = 1 + zz l zi •
Кинематические особенности некоторых схем пла­
нетарных механизмов. В инженерной практике получили
распространение четыре схемы простейших планетарных ме­
ханизмов, в которых сателлиты (двойные — рис. 10.14, 10.17,
одинарные — рис. 10.18) зацепляются одновременно с двумя
центральными колесами. На рис. 10.18 нумерация звеньев со­
ответствует принятой в формулах. Все они имеют три соосных
вала, один их которых неподвижный. Поочередное затормажи­
вание одного из валов позволяет получать в каждом механизме
на выходе три различные скорости. Передаточное отношение
всех этих редукторов определяется формулой (10.6), из которой
следует, что в зависимости от знака u^j
механизмы облада­
ют разными кинематическими возможностями. Если
> 0,
то передаточное отношение реального планетарного механиз­
ма 'Мред =
может быть значительно больше передаточного
а
Рис. 10.17
отношения обращенного механизма и ^ \
составленного из тех же колес. Если
/ ii\
' < 0, то передаточное отношение
(Я лишь на
планетарного механизма чУд
Рис. 10.18
единицу больше
обращенного меха­
низма. Динамические качества и КПД
в значительной мере предопределяются
принципом образования структурных
схем простейших планетарных механиз­
мов. Схемы простейших механизмов в
зависимости от их свойств подразделя­
ют на две основные группы: механизмы
с положительным передаточным отношением обращенного механизма (uj • ; > 0) — рис. 10.17, а, б, и механизмы с отрица­
тельным передаточным отношением обращенного механизма
(и\Р < 0) — рис. 10.14 и 10.18.
Механизмы первой группы имеют двойные сателлиты и
могут быть составлены из колес однотипного только внешне­
го (рис. 10.17, а) либо только внутреннего (рис. 10.17, ^'зацеп­
ления. Передаточное отношение реального механизма ч^д =
= l - ( z 2 Z^/z\z^). Как правило, такие механизмы работают как
понижающие передачи, т.е. ведущим является водило. Следо­
вательно, получим и^ = 1 /^ 1Я “ zl W ( zl z3 - 2 2 *4 )Так как приведенный механизм (см. рис. 10.17, а) двух­
рядный (колеса 1 — 2 и 3 — ^), то за счет подбора чисел
зубьев колес можно получить большие значения передаточных
отношений. Так, например, если в схеме на рис. 10.17, а принять Z! = z 3 = 100; z2 = 99; z4 = 101, то и
= 1 /(1 - u [ f >) =
= 1(1 - (9999/100 000)) = 10 000, при этом КПД < 1 %.
Передаточное отношение в таких механизмах тем боль­
ше, чем меньше и [ ^ отличается от 1. Но при увеличении
(4)
Чд^ одновременно значительно снижается КПД. Обычно в
таких механизмах, когда необходимо получить большое пере­
даточное отношение, не взирая на низкий КПД (в несиловых
передачах) используют один сателлит. Особенностью меха­
низмов этих схем является то, что за счет изменения размеров
закрепленного центрального колеса (см. рис. 10.17) можно по­
лучить вращение наружных валов, либо одного направления,
либо разных. При очень больших передаточных отношениях
значительнее проявляется влияние неточности изготовления и
сборки на постоянство передаточного отношения в пределах
оборота. Поэтому, несмотря на большие кинематические воз­
можности, планетарные механизмы этой группы используют
лишь в тех случаях, когда полезные нагрузки невелики. Обыч­
но здесь Up = 30 ... 100 при достаточно высоком значении КПД,
а в маломощных передачах ир = 1500 ... 1700.
Преимущество имеют механизмы с двумя внутренними
зацеплениями, обладающие меньшими габаритными размера­
ми и большими КПД (см. рис. 10.17, б).
Механизмы второй группы составляют обязательно из ко­
лес разнотипного зацепления с двойным (см. рис. 10.14) или
одинарным (см. рис. 10.18) сателлитом. В соответствии с
этим обращенный механизм получается либо двухрядным (см.
рис. 10.14), у которого
= ( - 2 2 / zl ) ( + z4 /* 3 ) < 0, либо
однорядным (см. рис. 10.18). Поэтому у реального механиз­
ма для первой схемы и^
=
1
+ (z 2 4 /zizz), Для второй (где
*2 = *з)
= 1 + 2 4 / 2:1 , а направление вращения выходного и
входного валов всегда одинаково. Механизмы этих схем широ­
ко применяют в силовых многосателлитных редукторах сред­
ней и большой мощности при u p j = 3 . . . 15 и высоком КПД
(0,96.. .0,98). Наличие нескольких сателлитов (к > 1 ) по­
зволяет значительно снизить габаритные размеры, улучшить
динамические качества, разгрузить опоры центральных колес
и водила и уменьшить массу по сравнению с другими вида­
ми зубчатых передач при тех же передаточных отношениях.
При ведущем колесе 1 эти механизмы являются редукторами.
Однорядный механизм (см. рис. 10.18), обычно применяемый
(4 )
при
= 3 . . . 8 , имеет те же достоинства, что и вышеупо­
мянутые механизмы, но выгодно отличается малыми осевы­
ми размерами. Наименьшие радиальные размеры получаются
при
(4 )
< 4.
Механизм такой схемы широко используется
Рис. 10.19
в силовых передачах, многоступенчатых планетарных короб­
ках скоростей или как самостоятельная передача и особенно в
качестве встроенных редукторов электроприводов, установок
дистанционного управления, приводов летательных аппаратов
и т.д.
Дальнейшим развитием планетарных механизмов явля­
ются планетарные передачи с тремя центральными колесами.
Одна из наиболее часто применяемых передач этого типа пока­
зана на рис. 10.19. Ее достоинствами являются высокий КПД
в широком диапазоне изменения ир. Водило здесь свободно
вращается в опорах, не передавая движения. При кинемати­
ческом исследовании этот механизм расчленяется на два про­
стых: первый включает в себя центральные колеса 1, 5} сател­
лит 2 и водило Н (рис. 10.19, а); второй состоит из централь­
ного колеса
сателлита 3 и водила Н . При неподвижном
колесе 5 W = 1 и общее передаточное отношение редуктора
(5) _ ^
- . «14
=
_
и (5)
14 -
U>4
-
_ J 5)
Шц U>4
1 , *в\
(5) _ (
-
и1Н ин 4
1
=
—
^1
(Я),
« 15
z2z4(zi + г 5)
J
\
(Я) ’
1 - «45
Рис. 10.20
Это позволяет за счет подбора соответствующих чисел зу­
бьев получать большие передаточные отношения (ир > 100)
при высоком КПД. Из построенных треугольников скоро­
стей (рис. 10.19,6) и плана угловых скоростей (рис. 10.19, в)
видно, что ведущее и ведомое колеса вращаются в разные
стороны. Наиболее рациональной является конструкция при
ир = 20... 100, несмотря на то, что КПД несколько ниже, чем
в планетарных передачах с двумя центральными колесами.
Для получения сложных траекторий точек сателлитов или
определенного сочетания относительных движений применяют
бипланетарные зубчатые механизмы (рис. 10.20), которые со­
стоят из основного планетарного механизма (ОПМ) (звенья 1,
2, Я , 4) и сателлитного планетарного механизма (СПМ) со зве­
ньями (а, Ь, с, 3, К). Сателлит 2 ОПМ скреплен с централь­
ным колесом а СПМ, сателлит 3 — с водилом h СПМ, а водило
Я — с колесом с. Условно останавливая водило Я (a)jj = 0),
получаем планетарный механизм а — b — с — Ли две пары
колес 1 — 2 т
л. 3 — 4 с неподвижными осями, для которого
= Ui 2^ ua/Pu34^ (Рис- Ю.20, а). Полагая
= 0 только
для СПМ, получаем (при и с = 0)
= 1—
= 1 + ( 2 c/z a).
Передаточное отношение всего бипланетарного механизма
(Я) _
=1
,(4) -
11Н = 1 - “ 14
(ЬК,(Я)
U(Я)
12 (1 - « £ > 34
( 10. 11)
или
Д (4 )
и 1Н -~
1
1 -
- — ) ( l + — ) ( + — ) = i + Z24
Z1Z3
*3
Za + zc
Обычно
= 17... 85 при высоких КПД. Угловые скорости промежуточных звеньев: относительная скорость водила h
_
(Я)
(Я)
, (4)
будет u hH = и гн =и>3 - и н = - и ^4 ' ин = -и \ А Щ/и1Н\во­
дила: и д =
ведущего звена. СПМ и а = W2 - и я =
= ( w i / « i ? ) ( l - « S i ) и т.д.
Графические построения треугольников скоростей для
определения передаточного отношения (рис. 1 0 .2 0 , б) удобно
начинать с линии О М 1 (соответствующей водилу Я ); зада­
ваясь (jJjj, получают скорость vц = и ^ О \ 0 1, а затем проводят
линию Oj/iO^ (скорость оси сателлита O 4 O 4 ), линию О А' (по
VQ4 и v m )> линии 0 ^ 0 и АА
(4) _
1Я
«Я
tg У>1 =
tg *0 Я
A
Lic
.
= — tg фа •
Из плана угловых скоростей (рис. 10.20, б) видно, что
входное 1 и выходное Я звенья вращаются в одном и том же
направлении. Такие механизмы в основном применяются для
получения сложного движения исполнительных органов в тех­
нологических машинах.
Если два соосных вала зубчатого дифференциала соеди­
нить (замкнуть) с ведущим или ведомым валом через какуюлибо передачу (простую зубчатую или планетарную), то полу­
чим замкнутый планетарный дифференциал (рис. 1 0 .2 1 , а, б).
Такой механизм будем иметь, если в однорядном дифференци­
але с тремя вращающимися соосными валами замкнуть звено
3 и Я через зубчатые передачи, состоящие из двух пар колес
4 — 5 и 6 — 7. Тогда ведомое звено 7 получает вращение от
звена 3 через колеса 4 — 5 и параллельно от звена Н через
пару колес 6 — 7. Механизм имеет одну степень подвижности
W =l.
Построение плана скоростей удобнее начинать с конечно­
го звена 7, а затем строить линии 0 С \ 0 \ В В 1С1 и 0\А .
Передаточное отношение всего механизма иц = tgipi/tg-07*
Для аналитического определения передаточного отноше­
ния следует пользоваться формулой Виллиса. Останавливая
водило, имеем для колес 1 — 3: (c^i - ы н ) / ( и3 ~ и н ) — ~ гз/г1\
для колес 4 — 5 ^4/^5 = —ть1т±\ для колес 6 — 7
=
= +Г7 /Г 6 . Заменяя в первом выражении
= CJ4 = —^б(г 7 / г4 )
и Ufj = uq = ^ 7 ('г7/'г6) ? получаем
- ^{ г т / г ъ )
_ _гз
-W S(r5/7-4) - W7(r7/ r 6)
Делим на
cj7
т{
и определяем передаточное отношение
Wl
Г3
(
Г5
Г7 \
Г7
Г 3Г 5
г3г7
г7
U>7
7-1 \
г4
Г6 /
Гб
Г1Г4
Г 1Г 6
Гб
«17 = — = ----- I ---------------Н ------ — --------- 1---------- 1-----•
Замкнутые дифференциальные механизмы имеют более
высокий КПД, чем у обычных планетарных механизмов, что
14 - 11273
объясняется возможностью разделения передаваемой мощно­
сти на два параллельных потока и позволяет реализовать зна­
чительно большие крутящие моменты на выходе при малых
габаритных размерах привода. При этом необходимо, чтобы
потоки мощности не были встречными, чтобы не вызвать ее
циркуляцию. Такие передачи используются, как правило, в
силовых приводах.
Для реализации больших передаточных отношений при­
меняют многоступенчатые планетарные механизмы, образуе­
мые последовательным соединением простейших планетарных
механизмов (рис. 10.22, а). Такой многоступенчатый редуктор,
составленный из трех однорядных механизмов в соответствии
с рис. 10.18, будет иметь передаточное отношение
«общ = «1ЯЗ = « Э 1 и4Я 2и7ЯЗ = { 1 + ^ ) { 1 + 5 )
( Х+ 5 )
Если
= u f x 2 = ^7^3 =
то ПРИ КПД = 0,88.. .0,94
^общ = 73 = 343, что больше, чем у редуктора с неподвижны­
ми осями (при таком же г^0бщ)- Соединение звеньев с тормоза­
ми позволяет получать различные значения угловой скорости
ведомого звена
при неизменной скорости ведущего вала,
т.е. иметь многоскоростную планетарную передачу (коробку
скоростей).
Механизм, включающий две планетарные ступени с об­
щим водилом (рис. 10.22, б), называют сдвоенным планетар­
ным механизмом. Такие механизмы также используются в ко­
робках скоростей (транспортные, грузоподъемные машины).
Затормаживая в них по очереди различные звенья, можно по­
лучить несколько скоростей вращения ведомого звена при по­
стоянной скорости ведущего. Так, в схеме, приведенной на
рис. 10.22, б, при затормаживании звена 3 (тормозной барабан
А) получается двухступенчатый редуктор: первая планетар­
ная ступень составлена из звеньев 1, 2, 3, Н и вторая — из
звеньев Н , 3, 4, 5. Общее передаточное отношение механизма
«о б щ = « 1 Я « Я 5 = С1 - « 1 ? * )
(я)
1 — и53
•*5*6
<
В
Т77777\
|T S S //A
а
6
Р и с. 10.22
При затормаживании звена Н получается ступенчатый
механизм с неподвижными осями, составленный из колес 1 ,
2, 4) 5) У которого и0 бЩ = -Z 2 Z5 /Z1 Z4 , и колесо 3 при этом
вращается вхолостую.
Увеличивая число планетарных ступеней, можно полу­
чить трехскоростную, четырехскоростную и т.д. коробки ско­
ростей, исследование которых проводят аналогично, КПД при
этом составляет 0 ,9 ... 0 , 8 .
О пределение чисел зубьев колес планетарны х ме­
ханизмов. После выбора схемы планетарной передачи, назна­
чения числа сателлитов (к) и модуля зацепления (га) определя­
ют числа зубьев колес так, чтобы наиболее точно обеспечить
заданное передаточное отношение, а также условия соосности,
соседства, сборки и отсутствия заклинивания колес передачи.
Заданное передаточное отношение обеспечивают подбо­
ром чисел зубьев так, чтобы при подстановке их значений в
выражение ( 1 0 .6 ) получаемое фактическое значение передаточ­
ного отношения максимально приближалось к заданному. До­
пустимое отклонение фактического от заданного 1 .. .4 %.
Условие соосности входного и выходного валов указывает
на то, что оба центральных зубчатых колеса и водило должны
иметь общую геометрическую ось вращения, благодаря чему
14*
обеспечивается зацепление сателлитов с центральными коле­
сами и г д = const.
Для этого (см. рис. 10.14, а; 10.17, а, 5, 10.18) должны вы­
полняться соотношения
ТН1 = П +
^2
= гг +
ГН2 = г\ - т2 = г± - г 3 ;
ТН3 = Т1 + г2 = г4 - ^з;
ГЯ 4 = Г1 + Г2 = г 3 - г2;
*1 + ^2 = *3 + 24;
zi - г 2 = г4 - z3;
Z1 + z 2 = z4 - z3;
( 10 . 12)
Z1 + z 2 = ^3 “ *2 -
Это условие ограничивает выбор размеров (или z ) одного из
четырех колес при произвольном назначении трех остальных.
Условие соседства (условие совместного размещения не­
скольких сателлитов по общей окружности в одной плоско­
сти) требует, чтобы при многосателлитной конструкции со­
седние сателлиты не задевали своими зубьями друг друга.
Для этого необходимо назначать числа зубьев (радиусы) ко­
лес так, чтобы расстояние между осями соседних сателлитов
ас было больше диаметра окружности вершин da3 наиболь­
шего из сателлитов 3 (см. рис. 10.14, в), т.е. ас > da3 или
ас = da3 + Дс, где Дс — зазор между окружностями вершин
соседних сателлитов, величина которого определяется допус­
ками на точность сборки. Из треугольника С\ОС2 этого ри­
сунка ас = 2(ri + r2) sin(7r/fc), где к — число сателлитов. Тогда
sin(7r/fc) > da3 /[2(ri + г2)]. Для колес без смещения это условие
имеет вид
sin(7r/A;) > —
^.
(10.13)
Z1 + z 2
Если в механизме z2 > z3, то берется z2, если z2 < z 3 >то
ставят z3. В знаменателе берется плюс при внешнем и минус
при внутреннем зацеплении колес 1 , 2 .
Условие сборки (собираемости) при равных углах между
сателлитами учитывает необходимость одновременного зацеп­
ления всех сателлитов с центральными колесами при симме­
тричной геометрии зон зацепления. После установки перво­
го сателлита подвижное центральное колесо принимает стро­
го определенное положение, и если не выполнить некоторых
требований, то при установке следующих сателлитов их зубья
могут не оказаться точно против впадин одного из централь­
ных колес и тогда осуществить сборку механизма невозможно.
Избежать этого можно выбором чисел зубьев колес таким
образом, чтобы зубья сателлитов (колеса 2 и 3 на рис. 10.14, в)
точно вошли во впадины центральных колес ( 1 и ^).
Наиболее просто сборка осуществляется, если сателлиты
равномерно располагаются по окружности г# , т.е. если цен­
тральные углы между радиусами-векторами центров сателли­
тов одинаковы и равны 360/А;. Это упрощает изготовление
и эксплуатацию механизма (позволяет избежать применения
противовесов). Чтобы сформулировать искомое условие, рас­
смотрим процесс сборки редуктора (см. рис. 10.14, в). При­
чем условимся ставить сателлиты на свою ось в водиле в од­
ном и том же положении, когда центр сателлита располагает­
ся на вертикали, проходящей через ось центральных колес и
ось симметрии впадины зуба этих колес. Обычно оба колеса
блока сателлитов имеют одинаковую ориентацию зубьев друг
относительно друга у всех к блочных сателлитов. Установив
первый сателлит на ось, когда она занимает «вертикальное»
= 2 к/к. В этом
положение, поворачиваем водило на угол
случае первое колесо повернется также на некоторый угол
Vl = Ч>Ни\Н •
Как правило, середина его впадины между зубьями не со­
впадает с вертикалью и установить второй сателлит на свою
ось, находящуюся теперь на том месте, которое занимал пер­
вый сателлит до поворота водила («вертикальное» положе­
ние), оказывается невозможно. Тогда надо повернуть води­
ло дополнительно на один полный оборот (27т) или несколь­
ко полных поворотов П водила, т.е. взять ipjj = 2тгк + 27гП
так, чтобы совместилась ось впадины первого колеса с верти­
калью. При одинаковых сателлитах второй сателлит войдет
на свое место в том же «вертикальном» положении только
тогда, когда сцепляющееся с ним центральное колесо (веду­
щее) повернется на целое число угловых шагов т\ (целое число
зубьев zi), т.е. когда <р\ = L[27r/zi, где Ц — любое целое
число. Делая подстановку, получаем Ц 27т/ zrj = Р н и\Н^ или
U,27r/zi = (27гА; + 27гП)п1^. Откуда
^ ^ • ( 1 + ЛП) = Ц.
/С
(10.14)
В простейшем случае при П = О (ziu u j)/ k = До- Тогда
окончательно условие сборки имеет вид
Ц0 (1 + А; П) = Ц.
(10.15)
Выполнение этого условия означает, что если один из са­
теллитов установить в выбранном вертикальном положении,
то все последующие сателлиты свободно войдут в зацепление
с соответствующими центральными колесами в том же поло­
жении при повороте водила на угол
Очг
<рн = т ( 1 + кП).
(10.16)
Если при назначенном числе зубьев До окажется не це­
лым числом, то надо подобрать П ф 0 таким, чтобы выраже­
ние (1 + А?П) стало кратным знаменателю, а Ц обращалось в
целое число. Если До равно целому числу, то для установ­
ки сателлитов достаточно повернуть водило только на угол
<РН = 2 т
гк. Можно также использовать условие сборки в виде
^1 ^3 ^ 1 я / ( * Д 2 ,з) = Д) где z\ — число зубьев ведущего колеса;
Д2}3 — наибольший общий делитель чисел зубьев колес z<i и Z3
сателлита.
Условие правильного зацепления — условие отсутствия
заклинивания передачи (при назначенном числе зубьев колес,
выполненных без подреза и среза зубьев). Чтобы избежать за­
клинивания передач внутреннего зацепления, составленных из
эвольвентных нулевых колес с прямыми зубьями, необходимо
для колес с внутренними зубьями при а = 2 0 ° и h* = 1 , 0 вы­
брать zminBH = 85; при /г* = 0,8 должно быть zminBH = 58;
для сцепляющихся колес с внешними зубьями соответственно
г1шпвш — 2 0 или 18 зубьев, а для всей передачи разность чисел
зубьев сцепляющихся колес zBH - zBU1 должна быть не менее 8
при Л* = 1 , 0 и не менее 7 при Л* = 0 , 8 . Во избежание подреза­
ния зубьев эвольвентных нулевых колес для передач внешнего
зацепления при а = 2 0 ° и h* = 1 , 0 следует выбирать число зу­
бьев колес без смещения, нарезанных без подрезания zm[n = 17;
при /г* = 0 ,8 соответственно zm-1П = 14 (см. далее гл. 11).
Таким образом, задача определения чисел зубьев сводится
к составлению исходных уравнений, отражающих указанные
условия для каждой конкретной схемы, и их совместному ре­
шению. Разработано несколько методов решения, а значит, и
методов подбора чисел зубьев, обеспечивающих эти условия.
Так, для однорядного механизма (см. рис. 10.18), соста­
вленного из эвольвентных прямозубых нулевых колес, исход­
ными уравнениями вышеперечисленных условий будут: урав­
нение передаточного отношения и^ == 1 + Z4 /Z 1 , условие со­
осности z\ + Z2 = Z4 — Z2 , условие равного угла между сател­
литами (условие сборки) zl* 4 # (l + кИ)/к = Ц, условие со­
седства (для нулевых колес) sin(7r/к) > (z 2 + 2h*)/(zi + Z2 );
условие правильного зацепления (при /i* = 1 , 0 и а = 2 0 °) в
виде неравенств z\ > 17; Z4 > 85; Z4 - Z2 > 8 ; Z2 > 20.
Из первого условия определим Z4 = z i ( u ^ -
1 ),
а из вто-
рого — z2 = (z 4 - z\)l 2 = [z\{v$j - 1 ) - Zi] / 2 = Z i( u ^ - 2 ) / 2 .
Для определения чисел зубьев колес составим систему от­
ношений:
(4)
z\ Zi
z4 Ц = z\
2 l ( ul н
~
2)
ru(4)
<-и1 Я -
1)
2 i ( ui я
-1 )
~ ^ J L ( 1 + k u )>
или
Zi
z2
z4
Ц=
2 1(ц5я
-
2)
U(4)
1Я
(1 + *П )
*1 -
(10.17)
Уравнение (10.17) позволяет подобрать числа зубьев этих
колес при выполнении первых трех условий. Назначая z\ > 17,
получаем Z2 > 20; Z4 > 85; Z4 - Z3 > 8 и Ц — целое число
(для заданного числа сателлитов). Если Ц не целое число, то
условие сборки следует расширить, приняв Ц = Ц(1 + А: Ц),
при этом подобрать П так, чтобы Ц было целым числом при
назначенном z\. Если эта попытка не дает решения, следует
выбрать новое значение z\. Полученные значения z 1 , Z2 , Z4
необходимо проверить по условию соседства.
Пусть известно для этой схемы механизма и^
к = 3. Составим основное уравнение на базе (10.17):
= 18/5;
4
5
13
5
Зададим ряд значений z\. Пусть z\ — 20(> 17), тогда
24 = 13zi/5 = 52(< 85). Так как z\
и 24 меньше допустимых значений, то этот вариант отпадает.
Зададим новое значение z\ = 35 и получим 22 = 35 •4/5 = 28;
24 = 91(> 85) и Ц = (6/5) 35 (1 + 377) = 42• ( 1 + ЗП). Зна­
чит, правая часть этого соотношения является целым числом
уже при П = 0. Поэтому и угол поворота водила для установ­
ки следующего сателлита <рд = 120° Полученные значения
проверяем по условию соседства sin(7r/fc) > (28 + 2)/(35 + 28)
и убеждаемся, что неравенство выполняется. Таким образом,
по второму варианту при z\ — 35, 22 = 28, 24 = 91 получа­
ем наименьшие габаритные размеры и обеспечиваем 23 > 2 0 и
24 > 85.
Наиболее распространенным методом подбора чисел зу­
бьев является метод сомножителей, согласно которому числа
зубьев определяются только по двум условиям — передаточно­
му отношению и условию соосности, а проверки — по условию
сборки и соседства.
Рассмотрим сущность этого метода на примере механиз­
ма, изображенного на рис. 10.17, а, составленного из нулевых
колес. Из уравнения передаточного отношения этой схемы
z 2 — 2 i 4 / 5 = 16(< 20);
u fy =
1
- ( 2 2 2 4 / 2 1 2 3 ) находится значение дроби ( 2 2 2 4 / 2 1 2 3 ) =
= 1 — и^ = M/N
Каждое из этих двух взаимно про­
стых чисел М и N можно представить в виде сомножителей
(C2C4) /( C i C 3). ® свою очередь, каждое из Сг должно быть
пропорционально 2 ,-. Полагая С 2 /С 1 пропорциональным 2 2 / 2 1 ,
получаем 22 = ^ (C ^ /C l). Аналогично имеем 24 = 2 з(С 4 /Сз).
Подставляя эти значения в условия соосности 21 + 22 =
= 24 + 2 3 , получаем (при одинаковых модулях) z\+Z 2 (C 2 /Ci) =
= 2 3 (С 4 /С 3 ) + 2 3 , или 2 i(C i + Сг)Сз = 2 3 (С 4 + Сз)Сь
Чтобы это соотношение было тождественно, полагаем 21 =
= C i(C 4 + С 3 ) и 23 = Сз(С 1 + С 2 ). Аналогичные рассуждения
дают 2 2 = Сг(С 4 + Сз) и 24 = C4 (Ci + С 3 ).
Для выполнения условия правильного зацепления введем
множитель 7 (любое положительное число). Тогда оконча­
тельно имеем для этой схемы
zi = Ci(C4 + Сз)т; z2 = С*2(С4 + Сз)7;
z3 = С з (С г + С 2)7 ; *4 = С 4(С ! + с 2)7 .
Полученные значения z\, z2, Z3 , z4 следует проверить по усло­
вию сборки и соседства.
Подбор чисел зубьев планетарных зубчатых механизмов
по заданному передаточному отношению требует выполне­
ния большого числа математических операций. Такую зада­
чу практически решают на. компьютере, используя програм­
му разложения заданного др на сомножители и последующе­
го определения z с учетом ограничений и наименьших габа­
ритных размеров. Иногда в программу вводят требуемые
Up = M / N ) z t m in , z i m ax?
ограничения и путем перебора
определяют комбинации чисел зубьев, из которых выбирают
нужное сочетание z 1 , z2, Z3 , z4 при минимальных габаритах,
сохранении заданного соотношения передаточного отношения
но ступеням.
Приведем пример. Пусть требуется определить zi, z2, Z3 ,
z4 для механизма (см. рис. 10.17, а), у которого
= -1 /2 4 ;
к = 3; т = 1 . Находим соотношение (^2 z4 )/(ziZ 3 ) = 1 - ( - 1 / 2 4 ) = 25/24, которое раскладывается на сомножители:
С2С4
55
55
5 -5
55
С 1 С 3 “ 6 ~ 4 _ 8~~3 “ 4 - 6 “ 3 - 8 ‘ И Т'Д'
Поскольку таких комбинаций сомножителей может быть мно­
го, то и возможных вариантов решений, удовлетворяющих ука­
занным условиям, тоже много. Подсчитывая по формулам
(10.18) числа зубьев для четырех вариантов сочетаний сомно­
жителей, имеем
1
= 6
2
=
5
• 97 =
*з =
4
• II7 =
Z2
3
97 = 5 4 7 zi = 8 • 8 7 = 64 7 п
4
= 4 - 1 1 7 = 447
si = 3 • 1 З 7 = 3 9 7
4 5 7 22 =
5 • 8 7 = 4 0 7 22 = 5 • 1 17 = 557
22 = 5 • 137 = 6 6 7
4 4 7 23 =
3 • 1 З 7 = 3 97 2 3 =
6 • 97 = 547
23
=
z \ = 5 - 1 1 7 = 5 5 7 24 = 5 ■ 1 З 7 = 6 6 7 *4 = 5 * 9 7 = 4 5 7
24
= 5 * 8 7 = 4O7
8 • 87 =
647
По условиям правильного зацепления во всех вариантах
можно выбрать 7 = 1 . Наименьшими будут габаритные раз­
меры для варианта 1 и 3. Проверяем их по условию сборки:
(4)
ц =
^
(
1
+ *П ) = ^
( - 1 ) (1 + ЗП) = - | ( 1 + ЗП).
Для его выполнения необходимо, чтобы ( 1 + ЗП) было
кратным 4, что имеет место при П = 1 . Это означает,
что при сборке водило необходимо повернуть на угол
=
= (27г / 3)(1 + 3 •1) = 27г /3 + 27Г, т.е. на угол 120° + 27т, и тогда
обеспечивается сборка механизма с тремя равномерно распре­
деленными по окружности сателлитами. Проверяем условие
соседства: sin(7r/к) > (45 + 2)/(54 + 45); оно также выполняет­
ся. Для третьего варианта (4 х 44/3)( —1 /24)(1 + 3 П) ^ Ц, т.е.
левая часть не обращается в целое число и вариант отбрасы­
ваем. Поэтому выбираем z\ = 54; z 2 = 45; z$ = 44; z± = 55.
Для схемы механизма с двумя внутренними зацеплениями
(см. рис. 10.17, б) при известных и
тп, к получаем аналогич­
ные формулы для определения г,-, но с учетом особенностей
условия соосности рассматриваемой схемы: z\ - z 2 = Z4 - 2 3 .
В этом случае формулы имеют вид
z\ - Ci(c4- £3)7; Z2 = с2(с± - £3)7;
z*
=
Cb(C 1 - C 2 )r,
Z 4 =
(10.19)
C4 (C 1 - C 2 ) 7 -
Для механизма со смешанным зацеплением (см.
рис. 10.14), учитывая условие соосности z\ — z 2 = 24 — 2 3 , по­
лучаем следующие формулы:
* i = C i ( C 4 - C 3)7;
ч = С2(С4- С 3)ъ
^
ч
= C 3 ( C i + C 2 )7 ;
= С ^ {С \ + С 2 ) 7 .
Общий множитель 7 выбирается так, чтобы все числа
зубьев были целыми и выполнялось условие правильного за­
цепления. Полученные 2 ,- обязательно проверяют по условию
сборки (10.14) и соместности (10.13), а также на соответствие
заданным ограничениям.
10.5. Волновые зубчатые передачи
Волновая зубчатая передача — механизм, содержащий за­
цепляющиеся между собой гибкое и жесткое зубчатые колеса
и обеспечивающий преобразование и передачу движения бла­
годаря деформированию гибкого колеса (рис. 10.23). Волновая
зубчатая передача (ВЗП) состоит из трех основных элементов:
гибкого колеса 1 (рис. 10.23, а, б, в), жесткого колеса 2 и гене­
ратора волн Л. Ее можно рассматривать как конструктивную
разновидность планетарной передачи с внутренним зацепле­
нием, характерной особенностью которой является использо­
вание сателлита (гибкого колеса), деформируемого в процес­
се передачи движения. Гибкое зубчатое колесо представляет
собой тонкостенную оболочку, один конец которой соединен с
валом и сохраняет цилиндрическую форму, а на другом наре­
зан зубчатый венец с числом зубьев zT. При сборке этот конец
оболочки деформируется на 2 wq генератором волн. Контур
деформированного гибкого колеса образует относительно недеформированного две волны деформации (рис. 10.23, г). Размер
по сечению Б — Б называют большой осью, а по В — В — ма­
лой осью кривой деформации. В зоне большой оси деформации
происходит зацепление зубьев гибкого и жесткого колес. Для
обеспечения симметрии нагружения волновой зубчатой переда­
чи обычно используют две волны деформации и четные числа
зубьев колес, которые связаны соотношением гж - zT = 2 .
Гибкое колесо 1 поджато к жесткому 2 роликами 5, рас­
положенными на водиле h. Такой генератор называют роли­
ковым. Роликовый генератор волн может быть преобразован
в дисковый генератор волн при значительном увеличении диа­
метров роликов 3 (рис. 10.24, а) и расположении их в парал­
лельных плоскостях. Чтобы задать зубчатому венцу гибкого
колеса определенную принудительную форму деформации, ге­
нератор нужно выполнить в виде симметричного кулачка спе­
циального профиля. Такой генератор называют кулачковым
(рис. 10.24, б). На кулачок 1 напрессовывают гибкий подшип­
ник 2 , чтобы уменьшить трение между гибким колесом 3 и
генератором волн. Дисковые и кулачковые генераторы волн
Рис. 10.23
применяют в высоконагруженных передачах. Кроме механи­
ческих генераторов волн применяют также электромагнитные,
пневматические и гидравлические генераторы.
К инем атика волновой передачи. При вращении гене­
ратора волн обе волны деформации перемещаются по перимет­
ру гибкого колеса. В результате каждый зуб гибкого колеса за
один оборот генератора волн дважды входит в зацепление с
зубьями жесткого колеса. Если числа зубьев колес равны гж
и zr , а угловые шаги тж = 27г/гж и тг = 27г/тг, то передаточ­
ное отношение такой передачи можно подсчитать следующим
образом. При остановленном жестком колесе после полного
оборота генератора волн
вал гибкого колеса повернет­
ся в противоположном движению генератора волн направлении
на угол, равный </?г = 27г(гг - гж)/гт.
Переходя от углов поворота к угловым скоростям, получа­
ем передаточное отношение ВЗП от генератора волн к гибкому
колесу при неподвижном жестком:
(ж) _
Лг
ит
<£h _
2 жгт
ipT
2 ж(гт- гж)
Z T
( 10.21)
Z-ж~ ZT
В ВЗП с остановленным гибким колесом при повороте ге­
нератора волн на угол (рж = 2 т
г жесткое колесо повернется в
том же направлении на угол </?ж = 27г(гж —zT)/гж. В этом слу­
чае передаточное отношение от генератора волн к жесткому
колесу при неподвижном гибком
(г) _
икж
2 тггж
Uh_
и»
4>ж
2 тг(гж
— ^г)
_
гж ~
( 10. 22)
zt
Волновая передача может
быть
двухступенчатой
(рис. 10.24, б). В этом случае гибкое колесо 1 выполняется в
виде кольца с двумя зубчатыми венцами zT\ и гг2 , которые
входят в зацепление с жесткими колесами 2 и | имеющими
соответственно гж\ и г Ж2 зубьев. Если жесткое колесо 2 непо­
движно, то движение от вала генератора волн преобразуется с
помощью двух волновых зацеплений и передается на выходной
вал, соединенный с жестким колесом 4- Передаточное отноше­
ние двухступенчатой ВЗП определяется формулой
и(ж1)
Ы
____ гт1%ж2____
(10.23)
%т1г ж2 ~ г ж1г т2
О собен н ости вол н ового зацепления. Гибкое колесо
ВЗП при его нагружении изменяет свою начальную форму.
Это происходит из-за наличия зазоров и упругости элементов,
взаимодействующих с гибким колесом. Изменение формы гиб­
кого колеса 1 ограничено с внешней стороны жестким колесом
5, а с внутренней генератором волн h. Гибкое колесо, опи­
рающееся на генератор волн в пределах участков постоянной
кривизны 2/3 (рис. 10.25), стремится принять форму жестко­
го колеса. С увеличением момента закручивающего гибкое
колесо зоны выбранных зазоров в зацеплении увеличиваются,
что приводит к увеличению числа пар зубьев в зацеплении.
Благодаря многопарности зацепления (нагрузку могут переда­
вать до 40 % всех пар зубьев) нагрузочная способность ВЗП
выше, чем планетарной. КПД волновой передачи также вы­
ше, потому что в зацеплении зубья почти не перемешаются
при прилегании гибкого колеса к жесткому. При стальных
гибких колесах в одноступенчатых волновых передачах мож­
но получить передаточное отношение 60 — 320, а КПД рав­
ным 0 ,8 5 ...0 ,8 0 . Двухступенчатые ВЗП обеспечивают пере­
даточные отношения от 2 103 до 104 и более при КПД от 0,7
до 0 , 1 .
Многопарность и многозонность волнового зацепления
приводят к значительному усреднению ошибок изготовления
и сборки, в результате чего обеспечивается высокая кинемати­
ческая точность ВЗП.
Относительно небольшая величина радиальной деформа­
ции гибкого колеса позволяет выполнить его в виде колоколо­
образной оболочки и изготовить герметичные ВЗП, передаю­
щие вращение через герметичную перегородку без подвижных
уплотнений.
Наиболее ответственные детали ВЗП — гибкий подшип­
ник и гибкое колесо. Гибкое колесо имеет тонкостенное до­
нышко, допускающее осевые перемещения торца цилиндриче­
ской оболочки при ее деформировании с другого края. Дли­
ну гибкого колеса выбирают от 0,5dcr до l , l d cr, где dCT —
диаметр недеформированной серединной поверхности гибкого
колеса. Толщину hc гибкого колеса под зубчатым венцом вы­
бирают примерно равной 0 , OlderМ етод и к а проектирования ВЗП .
Существует не­
сколько методов расчета геометрических параметров волновых
зубчатых передач. Настоящая методика, разработанная на ка­
федре теории механизмов и машин МГТУ им. Н.Э. Баумана,
основывается на предположении, что конструкции генерато­
ров волн рассматриваемых передач обеспечивают постоянную
кривизну серединного слоя деформированного гибкого колеса в
пределах зон зацепления, ограниченных центральными углами
2(3 (см. рис. 10.25, а). Вне этих зон гибкое колесо имеет сво­
бодную форму деформации. На участке постоянной кривизны
зацепление в волновой передаче рассматривается как внутрен­
нее эвольвентное зацепление жесткого колеса с числом зубьев
гж и условного, имеющего параметры гибкого и расчетное чи­
сло зубьев zy .
Исходными параметрами для расчета являются переда­
точное отношение передачи, ее схема, номинальный крутящий
Рис. 10.25
момент на выходном валу, частота вращения генератора волн,
срок службы передачи, прочностные характеристики гибкого
колеса. Проектировочный расчет заключается в определении
диаметра серединной поверхности гибкого колеса по изгибной
прочности, из расчета на выносливость или из расчета задан­
ного коэффициента крутильной жесткости [16]. Больший из
вычисленных диаметров берется за основу для определения мо­
дуля зацепления т! = dCT/zT, который округляется до ближай­
шего стандартного значения.
Делительные диаметры колес и толщина hc обода гибкого
колеса под зубчатым венцом определяются по формулам
dp — TYIZг,
— 771гжj
hc = (60 + zT/5)mzT 10- 4
(10.24)
Основным варьируемым параметром является относи­
тельная радиальная деформация гибкого колеса по большой
оси:
wо
~ ZT
(10.25)
7,
zr
г ст
где 7 = 0,9. . 1 , 2 — коэффициент относительной радиальной
деформации. Расчетное число зубьев условного колеса равно
Zy = l ± K 0 (wo/ r CTy
(10'26)
В формуле (10.26), как и во всех последующих, содержа­
щих двойные знаки арифметических действий, верхний знак
относится к внутреннему деформированию гибкого колеса дис­
ковым или кулачковым генератором волн, нижний — к внеш­
нему деформированию кольцевым генератором (рис. 10.25, б):
( 4 /?/ 7г) sin/? - ( 4 / 7r)cos/? - 2 sin/?
7г/2 - /? - sin/?cos/?
(10.27)
где /? — угловая координата участка постоянной кривизны
(40° < /? < 65°).
Далее определяем радиус серединной окружности дефор­
мированного гибкого колеса (см. рис. 10.25):
гсу = m (z T/
2
+ Л* + с* + hc/2 m + хг),
(10.28)
где h*, с* — параметры исходного контура; хг — коэффициент
смещения исходного контура:
хг = (h* + с* + hc/2 m ) 6 ,
(10.29)
6 = 1,0 ... 1,4 — коэффициент изменения смещения.
При изменении величин /3, 7 и 6 в указанных диапазонах
варьирования можно провести оптимизацию качества зацепле­
ния. Целевой функцией является теоретический коэффициент
перекрытия. Радиус серединной окружности недеформированного гибкого колеса
гсг =:
^су*
(10.30)
zy
Межосевое расстояние передачи, равное эксцентриситету
установки деформирующих дисков, равно
aw = e = ± г с г ( 1 + гоо/гсг) + гсу.
(10.31)
Тогда угол зацепления волновой передачи
olw
— arccos
(^ж
Zy)m
cos а
2 dw
(10.32)
Жесткое колесо в передачах с дисковым или кулачковым
генератором внутреннего деформирования, имеющее внутрен­
ние зубья, обрабатывается долбяком с числом зубьев zq. Угол
станочного зацепления жесткого колеса и долбяка
inva^Q^K = inva —
(inva - шуд^Хгж - zy ) — 2 x Tt g a
(10.33)
~ z0
и коэффициент смещения жесткого колеса
х ж
z>
k
(cos а/ cos а^оЖ) -
1
(10.34)
Остальные параметры и исполнительные размеры элемен­
тов волновой передачи рассчитывают так же, как зубчатой пе­
редачи внутреннего эвольвентного зацепления.
О бл асти применения В З П . Отмеченные достоинства
волновой передачи определяют наиболее рациональные обла­
сти ее применения: силовые и кинематические приводы обще­
го назначения с большим передаточным отношением, задаю­
щие и исполнительные механизмы повышенной кинематиче­
ской точности, быстродействующие приводы систем автома­
тического управления и регулирования, электромеханические
приводы промышленных роботов, приводы для передачи дви­
жения в герметизированное пространство в химической, атом­
ной и космической технике.
10.6.
Кинематические схемы зубчатых
механизмов приводов и распределение
передаточных отношений между ступенями
Выбор кинематической схемы зубчатого механизма приво­
да машины — первый этап проектирования. Кинематическую
схему строят в зависимости от назначения и условий работы
машины. Зубчатые механизмы, устанавливаемые между дви­
гателем и рабочим органом машины, призваны выполнять ряд
основных функций, главными из которых являются:
понижение или повышение скорости на рабочем органе;
увеличение или уменьшение крутящего момента;
изменение траектории или характера движения;
изменение направления движения (реверсирование);
регулирование скорости;
суммирование или разделение движений и моментов от не­
скольких двигателей;
предохранение деталей машины от поломок при перегруз­
ках.
Выбор кинематической схемы во многом зависит от двига­
теля, используемого в приводе, и требований, предъявляемых
к машине. Двигатели в зависимости от формы траектории
движения его ведущего органа могут быть с вращательным,
прерывисто-вращательным или возвратно-поступательным
движением. Рабочие органы по форме траектории подразделя­
ют на вращательные, возвратно-поступательные, возвратновращательные и имеющие сложное движение, а по характе­
ру движения — с монотонным, циклическим и разнообразным
движениями.
В машинах с монотонным движением рабочего органа ско­
рость постоянная и длительное время направлена в одну сторо­
ну. Двигатель в таких машинах или непосредственно соединен
с рабочим органом или между ними устанавливается какаялибо передача (зубчатая, цепная, ременная и т.д.). Примера­
ми таких машин служат вентиляторы, транспортеры и т.д.
Машины с разнообразным движением имеют переменные ско­
ростной и силовой режимы. В них между двигателем и рабо­
чим органом должна быть установлена управляемая передача
(многоскоростная зубчатая передача, вариатор и т.д.). При­
мерами таких машин служат транспортные (колесные и гусе­
ничные) машины, станки и т.д. Изменение скорости движения
и момента от двигателя к рабочему органу определяется пере­
даточным отношением, которое и является одним из основных
параметров передачи. Если скорость рабочего органа постоян­
на, то и передаточное отношение постоянно.
В ряде машин в процессе работы скорость рабочего органа
может меняться, в этом случае и передаточное отношение бу­
дет переменным. Оно может меняться плавно или ступенчато
(при изменении режима работы машины), сохраняясь постоян­
ным длительное время при работе машины в заданном режиме;
в последнем случае отношение наибольшей скорости рабочего
органа к наименьшей называют диапазоном регулирования.
Таким образом, различные варианты передач выбирают
в зависимости от предъявляемых к ним требований, переда­
точных отношений, передаваемой мощности и предполагаемой
компоновки. Требования, предъявляемые к приводу, могут
быть выполнены с использованием различных кинематических
схем и вариантов зубчатых передач. Разработка кинематиче­
ской схемы обычно осуществляется на основе расчетной (функ­
циональной) схемы машины, на которой представляются все
элементы машины (двигатель, передаточные, исполнительные
механизмы и др.), элементы передачи, выполняющие требуе­
мые функции, и кинематические связи.
Например, задана машина, в которой рабочий орган, со­
вершающий вращательное движение, должен изменять напра­
вление вращения и иметь две скорости. Функциональная схема
этой машины начинается с двигателя, далее идет реверс, име­
ющий кинематическую связь с двигателем (рис. 10-26). За ре­
версом располагается двухскоростной зубчатый механизм (ко­
робка скоростей) и далее рабочий орган.
При выборе типа двигателя необходимо учитывать усло­
вия работы машины, режим ее работы, условия дагружения,
обеспечивающие реализацию технологического процесса рабо­
ты машины. После этого рабочую характеристику двигателя
Рис. 10.26
согласовывают с рабочей характеристикой машины и опреде­
ляют его мощность (см. § 1.4; 1.5; 4.7). По найденной мощно­
сти из каталогов выбирают двигатель.
Затем выбирают один или несколько вариантов взаимного
расположения двигателя и рабочего органа в пространстве. В
зависимости от требуемого передаточного отношения относи­
тельного расположения передачи в пространстве и специаль­
ных требований выбирают несколько вариантов комбинаций
передач. Кинематические схемы приводов следует рассматри­
вать как предварительные, подлежащие уточнению в процессе
проектирования.
Выбор схем передач, используемых в приводах, зависит
от требуемых габаритных размеров, массы, КПД, кинема­
тической точности, крутильной жесткости и инерционности.
Для передачи движения между валами машины с большим
межосевым расстоянием и передаточным отношением |и| < 5
часто применяют ременные (плоскоременные, клиноременные
или зубчатоременные) передачи. Цепные передачи использу­
ют для тех же целей, но они позволяют получить меньшие га­
баритные размеры, работают без относительного скольжения
звеньев, могут обеспечить |м| < 10. По сравнению с ремен­
ными передачами цепные являются более шумными и имеют
циклически изменяемое передаточное отношение. КПД цеп­
ных и ременных передач достаточно высок и может достигать
0 ,93 ... 0 ,95. Эти передачи подробно изучаются в дисциплине
«Детали машин».
Зубчатые цилиндрические одноступенчатые передачи при
передаче одинаковых нагрузок имеют в 2 — 3 раза меньшие
размеры, чем цепные передачи, и КПД = 0 ,9 7 ... 0,98.
Коническую передачу применяют только в тех случаях,
когда необходимо передать вращение между пересекающимися
под различными углами осями. Ее КПД может достигать 0,97.
Рис. 10.27
Планетарная одноступенчатая передача (см. рис. 10.18)
имеет в 1,5 — 2 раза меньшие габариты и массу, чем односту­
пенчатая цилиндрическая передача и КПД = 0 ,9 7 ... 0 ,98.
При передаточных отношениях более 8 ... 1 2 целесообраз­
но использовать многоступенчатые рядовые или планетарные
передачи. Преимущество по габаритным размерам, массе и
КПД здесь так же на стороне планетарных передач. Для иллю­
страции на рис. 10.27 приведены различные виды механизмов,
используемых в качестве редукторов, которые сравниваются
по массе в зависимости от момента нагрузки на выходном зве­
не. Кинематические схемы редукторов и соответствующие им
зависимости обозначены так: Ц — редуктор с и = 5, состо­
ящий из одной цилиндрической зубчатой пары; П1 — плане­
тарная одноступенчатая передача с и = 5; П2 — двухступен­
чатая планетарная передача с и = 2 0 ... 60 и одновенцовыми
сателлитами; ПЗ — планетарная передача с двумя внутрен­
ними зацеплениями с и = 5 0 ... 300 и двухвенцовым сателли­
том; П4 — кривошипно-планетарная, В — волновая передачи
с и = 125 ...250.
В промышленности широко распространены редукторы
с передаточными отношениями и = 1 0 ...5 0 (около 70%),
и = 5 0 ...3 2 0 (около 20%). Передаточное отношение и < 10
используется примерно в 5 % случаев.
Цилиндрические редукторы с неподвижными осями ( 2 <
< и < 250) используют в машиностроении, особенно в ме­
таллургическом, подъемно-транспортном, химическом, в су­
достроении и т.д. Наиболее распространенные схемы таких
редукторов показаны в табл. 10.1. При передаточных отно­
шениях и < 8 применяют одноступенчатые редукторы (схе­
ма а). При передаточных отношениях 6,3 < и < 50 наиболь­
шее распространение получили двухступенчатые цилиндриче­
ские и коническо-цилиндрические редукторы (схемы б, в, г,
ж). При передаточных отношениях и = 40 .. .250 применяют
трехступенчатые редукторы (схемы д, е), но в тех случаях,
где требуются минимальные габаритные размеры и масса, их
заменяют на планетарные, волновые зубчатые и комбиниро­
ванные многоступенчатые редукторы. Из двухступенчатых ре­
дукторов наиболее широко распространены редукторы (схема
б), выполненные по развернутой схеме. Они наиболее просты,
имеют меньшую ширину и массу. Соосные редукторы (схе­
ма б) имеют малые габаритные размеры по длине. В целях
улучшения работы тихоходной ступени применяют редукторы
с раздвоенной быстроходной ступенью (схема г).
При необходимости взаимной перпендикулярности вход­
ного и выходного валов и при больших передаточных отноше­
ниях применяют комбинированные коническо-цилиндрические
редукторы (схема ж). Трехступенчатые редукторы выполня­
ют по развернутой схеме д или по схеме е с раздвоенной про­
межуточной ступенью, которая обеспечивает благоприятные
условия для работы быстроходной и тихоходной ступеней.
Кинематические схемы основных типов планетарных пе­
редач и обозначения их звеньев даны в § 10.4. Планетар­
ные передачи отличаются от передач с неподвижными осями
Кинематические схемы цилиндрических редукторов
с неподвижными осями
Обозна­
чение
схем
Диапазон рекомендуемых
значений передаточных
отношений
Схема
Б
a Zl
U= ~T£> ZZ* Z1
1 *и <8
Г Т ? " .у )
dfc
п х
«общ “ « б
|1Л
6,3 s «общ
*
50
Ix IT
« общ — Иб « j
6 ,3 s «общ * 50
'"Т ”---- Ч1--------1
1 « 1 «1/1
1 1«1
> 1X1
1 к Г i 14 1
____.1.___—
Б 7ТГ
тгТ
-ч1—
» I
rz_
v------- 1
«i / i
I
«общ —«Б «Т
6 ,3 s «общ * 50
иобщ— ИБИПИТ
7 /1
I---—1|1—— |||———1№
I» I
Ш
I
7U
I
Ж]
I« I
3 = -
40 < «общ5 250
«общ — « б «П «
т
40 < « общ s 250
«общ ~ « б «Т
6 ,3 s «общ * 50
Пр и м е ч а н и я :
1. На схемах обозначено: Б - быстроходная и Т - тихоходная ступени.
2. Указан диапазон рекомендуемых значений передаточных отношений редук­
торов, при котором их конструкция оказывается наиболее рациональной.
Для редукторов, встраиваемых в агрегат, диапазон передаточных отношений
при необходимости может быть изменен.
3. В высоконагруженных и быстроходных редукторах не рекомендуется выби­
рать сочетания чисел зубьев колеса и шестерни *1 , имеющие общие мно­
жители.
существенно меньшими габаритами и массой, так как явля­
ются многопоточными (по количеству сателлитов). Наиболее
распространенным является редуктор, выполненный по схеме
рис. 10.18, с одновенцовым сателлитом. Наибольший кинема­
тический эффект достигается при использовании в редукторе
кинематической схемы рис. 10.17, у которой КПД существенно
уменьшается при увеличении |и|:
м
КПД
50
0,90
100
0,85
200
0,75
300
0,65
500
0,60
1000
0,45
Если соединить последовательно несколько однорядных
планетарных механизмов по схеме рис. 10.18, то при этом
можно получить кинематические схемы (рис. 10.28), обла­
дающие высоким КПД, интересными компоновочными воз­
можностями и динамическими преимуществами. Для схемы
(рис. 10.28, а) передаточное отношение
= uiti ^4^2 ’ для
(2 )
(3)
схемы (рис. 10.28, б) передаточное отношение
= 1 — и \2
Передаточное отношение (по модулю) для схемы
рис. 10.28, б несколько уменьшилось, КПД практически не из­
менился. Эта схема хорошо компонуется при встраивании ее в
барабан лебедки или колесо машины. В схеме рис. 10.28, в бы­
строходное водило первого ряда неподвижно, и поэтому инер­
ционные нагрузки на подшипники сателлитов равны нулю.
Рис. 10.29
На рис. 10.29 изображены примерные зависимости диаме­
трального размера Д (в относительных единицах) от переда­
точного отношения при одинаковом моменте на ведомом звене.
Показано, что с увеличением передаточного отношения разме­
ры увеличиваются у различных передач по-разному. Для схе­
мы П5 (рис. 10.14) минимальные размеры получаются при наи­
большей разности в диаметрах венцов сателлитов. Штриховая
линия характеризует габаритные размеры волновой зубчатой
передачи.
Используя табл. 10.1, рис. 10.27 и 10.29, разработчик мо­
жет выбрать наименьшую по массе и габаритным размерам
конструкцию передачи для заданного диапазона передаточных
отношений и нагрузок на выходном валу.
Разбивка общего передаточного отношения по сту­
пеням. Целью разбивки общего передаточного отношения ре­
дуктора, которое было определено на стадии предварительных
расчетов и общей компоновки привода, является удовлетворе­
ние заданным критериям (минимальные ширина и высота ре­
дуктора, минимальный объем и т.д.).
Для силовых редукторов общего назначения критерием
оптимальности разбивки общего передаточного отношения яв­
ляется минимальная масса. Если заданное и обеспечивается
редуктором с разным числом ступеней, то руководствуются
следующим правилом: если высота, ширина и масса редукто­
ра не имеют существенного значения, то принимают меньшее
число ступеней, редуктор будет проще и дешевле; если высота,
ширина и масса редуктора должны быть возможно меньшими,
то берут большее число ступеней (п), что соответствует тен­
денциям современного редукторостроения. Передаточное от­
ношение быстроходной ступени и\ = ug рекомендуется брать
3
------ l iCSVhagKPT
8
10
20
30
----- ------ ------------— —
50 70
100
200 ир
Рис. 10.30
больше, чем передаточное отношение u<i — иттихоходной сту­
пени в 1,25; 1,4; или в 1,6 раза, т.е. из ряда чисел геометриче­
ской прогрессии со знаменателем 1,25. Эти рекомендации по
выбору и каждой ступени приведены на рис. 10.30.
При малых передаваемых мощностях расчеты на проч­
ность не лимитируют размеров зубчатых колес. Такие пере­
дачи проектируют, исходя из конструктивных и технологиче­
ских соображений. При этом часто все зубчатые колеса имеют
одно значение модуля. Для подобных передач выбор оптималь­
ного количества ступеней иопт и распределение передаточного
отношения между ними целесообразно проводить, выдерживая
условие обеспечения минимальных габаритных размеров. Эти
значения 7гОПт как функция общего передаточного отношения
сведены в график на рис. 10.31 (линия 2 ).
При увеличении числа ступеней масса редуктора будет
увеличиваться за счет массы дополнительных валов, поэтому
Целесообразно ориентироваться на нижнюю границу зоны, ко­
торая показана на графике рис. 10.31 как линия оптимальных
значений числа ступеней при минимизации массы (линия 1 ).
Из расчета зубчатых передач на точность следует, что
суммарная кинетическая погрешность передачи будет тем
меньше, чем меньше число ступеней в передаче. Если при­
нять, что максимально возможное передаточное отношение
Лопт
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
10
20 30 50
100
1000
10000
Рис. 10.31
отдельной пары цилиндрических зубчатых колес и — 8 , то
можно определить необходимое число ступеней из выражения
п0ПТ = lg глр/ lg 8 . Эта зависимость приведена на рис. 10.31 в
виде линии, ограничивающей число ступеней попт при условии
минимизации суммарной кинетической погрешности (линия 3).
При проектировании многоступенчатых планетарных и
комбинированных механизмов первостепенное значение имеет
распределение общего передаточного отношения и0^т по сту­
пеням, так, чтобы в каждой ступени оно не превышало раци­
онально допустимого значения и чтобы в тихоходной передаче
оно было бы меньше, чем в быстроходной. От выбора пере­
даточных отношений отдельных ступеней зависят габаритные
размеры механизма, КПД, точность передачи движения, усло­
вия изготовления и т.д. При этом должны учитываться и кон­
кретные условия, в которых будет работать механизм. В ко­
робках скоростей транспортных машин д0бщ разбивается так,
чтобы наибольшие размеры ступеней по диаметру были оди­
наковыми.
Для приборных устройств, где требуется точность пово­
рота выходного вала, следует назначать большее передаточное
отношение для последней ступени.
Таким образом, заданное передаточное отношение можно
обеспечить множеством различных схем планетарных и комби­
нированных передач, которые будут значительно отличаться
по размерам, КПД, динамическим качествам. Схемы должны
выбираться как с учетом качества простых планетарных (вол­
новых) передач, из которых компонуется зубчатый редуктор,
так и назначения механизма, условий и режимов его работы,
места установки, а также учета типа передачи, вида зацеп­
ления, распределения г^общ по ступеням и выбора числа ступе­
ней, оценки инерционности, потерь на трение, кинематической
погрешности, крутильной жесткости и пр. Поэтому в общем
случае выбор схемы с учетом множества факторов может быть
выполнен только методами оптимизации с применением ком­
пьютера. Рекомендации по разбивке передаточного отношения
по ступеням при главенствующей роли других специальных
требований можно найти в специальной технической литера­
туре.
Контрольные вопросы
1. Для каких целей используют зубчатые механизмы?
2. По каким основным признакам классифицируют зубчатые механиз­
мы?
3. Как определяется передаточное отношение сложного соосного или
несоосного зубчатого механизма?
4. Когда в технике применяются механизмы с промежуточными зубча­
тыми колесами? Как определяется их передаточное отношение?
5. Какую передачу называют планетарной?
6. Расскажите об особенностях планетарных механизмов с одной или
несколькими степенями свободы, изобразите их кинематические схе­
мы.
7. Какие основные схемы планетарных механизмов применяют в тех­
нике?
8. Изобразите схему однорядного планетарного механизма и определите
его передаточное отношение.
9. Какова цель применения метода обращения движения при кинема­
тическом анализе планетарных механизмов?
10. В чем отличие волновой зубчатой передачи от планетарной? Досто­
инства и недостатки ВЗП.
ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ
ЗУБ Ч А Т А Я ПЕРЕДАЧА
Передача непрерывного вращения о т одного вала к другому с задан­
ным передаточным отношением чаще всего осуществляется с помощью
зубчатых механизмов. Зубчатые механизмы широко распространены как
в машиностроении, так и в приборостроении благодаря компактности,
большой надежности и точности в воспроизведении заданного закона дви­
жения. Если оси вращения валов механизма параллельны, то аксоидами
его зубчатых колес являются цилиндры (см. § 9.1), вследствие чего такую
зубчатую передачу называют цилиндрической; она относится к плоским
механизмам. В данной главе изложены основы синтеза цилиндрической
зубчатой передачи по заданному передаточному отношению. Э то т синтез
называют геометрическим расчетом зубчатой передачи.
11.1. Передачи внешнего
и внутреннего зацепления
Цилиндрической зубчатой передачей называют механизм,
который посредством зубчатого зацепления передает вращение
с одного вала на другой, оси которых параллельны. Такие ме­
ханизмы широко распространены в технике; их применяют в
различных технологических и транспортных машинах, при­
борах и устройствах. Пример простой цилиндрической зубча­
той передачи внешнего зацепления схематически изображен на
рис. 1 1 . 1 : посредством зубчатых колес 1 и 2 вращение переда­
ется с ведущего вала (вщ) на ведомый (вм), оси которых 0 \0 \
и O 2 O 2 параллельны и неподвижны (стойка 3). При внешнем
зацеплении колеса 1 и 2 вращаются в противоположные сторо­
ны (см. рис. 2.18, а).
Простую цилиндрическую зубчатую передачу можно
сформировать также и на основе внутреннего зацепления
(рис. 1 1 .2 ). Большее (охватывающее) колесо 2 такой переда­
чи имеет форму кольца, причем зубья расположены с его вну­
тренней стороны (так называемые внутренние зубья); зубчатое
кольцо соединяется со ступицей колеса с помощью диска или
спиц. Стойка 3 имеет оси 0\ и О 2 . При внутреннем зацеплении
оба колеса 1 и 2 вращаются в одну сторону (см. рис. 2.18, б).
Боковые поверхности взаимодействующих зубьев соприка­
саются по линии, следовательно, зубчатые колеса 1 и 2 обра­
зуют высшую кинематическую пару. Крайние плоскости Т\
и Гп , перпендикулярные осям вращения (см. рис. 1 1 . 1 ), на­
зывают торцовыми. В сечении боковых поверхностей зубьев
плоскостью Т\ образуются торцовые профили зубьев. Такие же
профили образуются в сечении любой плоскостью, параллель­
ной плоскости Т\. В дальнейшем при изучении процесса зацеп­
ления необязательно рассматривать взаимодействие боковых
поверхностей зубьев, достаточно лишь рассмотреть взаимодей­
ствие их профилей, расположенных в плоскости Т\. Внешнее и
Рис. 11.2
внутреннее зацепление цилиндрических зубчатых колес назы­
вают плоским.
Отметим, что применяют передачи с циклоидальным, це­
вочным, часовым зацеплениями, но в машиностроении наибо­
лее широко распространены эвольвентные передачи, профили
зубьев которых очерчены по эвольвенте.
11.2. Эвольвента, ее свойства и уравнение
Проведем окружность г^, называемую основной, далее
проведем к ней касательно производящую прямую пп и пока­
тим ее по окружности без скольжения сначала по ходу, а затем
против хода часовой стрелки (рис. 11.3). Любая точка прямой,
например точка М у, опишет при этом кривую Э, называемую
эвольвентой. Из рисунка ясно, что эвольвента имеет две сим­
метричные ветви и точку Мъ возврата, находящуюся на основ­
ной окружности. Эвольвента не имеет точек внутри основной
окружности.
Отметим основные свойства эвольвенты, наиболее важ­
ные для расчета зубчатых передач.
1 . Нормаль к эвольвенте есть производящая прямая пп,
т.е. нормаль к эвольвенте касательна к основной окружности.
2. Форма эвольвенты зависит только от радиуса основной
окружности, при увеличении радиуса гь основной окружности
Рис. 11.3
эвольвента постепенно теряет свою кривизну; в пределе при
г& —►оо эвольвента превращается в прямую линию.
3.
Радиус кривизны ру эвольвенты в текущей точке Му
равен отрезку NyMy . Отсюда следует, что в точке М * (см.
рис. 11.3), более удаленной от точки
чем точка Му, ра­
диус кривизны р* = NyM* больше, чем радиус кривизны
Ру — M y N y .
Укажем полярные координаты точки Му: полярный угол
ву и полярный радиус-вектор ту (отрезок ОМу), а также про­
фильный угол ОМ уС , обозначаемый а у. Составим уравнение
эвольвенты, т.е. установим аналитическую связь между коор­
динатами ву , Ту и профильным углом а у.
Так как прямая тьп катится по основной окружности без
скольжения, то отрезок MyNy равен дуге M^Ny:
M^Ny = M^Ny
( 11. 1)
Из первого свойства эвольвенты следует, что LMyONy =
= /.ОМуС = а у. Поэтому M yNy = r^tgay, a M^Ny = гъ(Оу +
+с*у). Подставив эти выражения в (11.1), получим tg ау =
= 0у + а у , откуда
ву = tg а у — а у.
( 1 1 *2 )
15 - 11273
Исключив из системы уравнений (11.2), (11.3) параметр
а у, найдем зависимость между координатами ву и ту. Таким
образом, система уравнений (11.2), (11.3) представляет собой
уравнение эвольвенты в параметрической форме.
Согласно уравнению ( 1 1 .2 ), имеем ву = f(oty). Эту зави­
симость называют эвольвентной и символически записывают
так:
(11.4)
ву = invay.
Зависимость (11.4) сведена в таблицы эвольвентной функ­
ции [15].
Если взять на производящей прямой тьп другую точку (на­
пример, Му) и покатить прямую тьп по основной окружности
без скольжения, то точка М*у опишет эвольвенту Э', такую же,
как и эвольвента Э, но несколько сдвинутую относительно нее.
Из уравнения (11.1) следует, что
МуМ'у = МЬМ [ .
(11.5)
11.3. Эвольвентное прямозубое колесо
Условимся, что в дальнейшем изложении, вплоть до
§ 1 1 . 1 1 , будем рассматривать передачи, составленные только
из прямозубых колес. Познакомимся с основными элементами
эвольвентного прямозубого колеса, зубья которого расположе­
ны параллельно его оси, перпендикулярной плоскости чертежа
(рис. 11.4).
К элементам эвольвентного колеса относятся прежде всего
число зубьев z и радиус гь основной окружности, на базе ко­
торой построен эвольвентный профиль зубьев. Окружность,
ограничивающую зубья по их вершинам, называют окружно­
стью вершин (радиус та). Проведем еще одну окружность про­
извольного радиуса гу между окружностями вершин и основ­
ной.
Рис. 11.4
Дуговое расстояние между двумя соседними зубьями на­
зывают шагом. Шаги пропорциональны радиусам: ра-Рь'-Ру =
= га гь гу. Угловой шаг зубьев составляет т = 360°/z .
В точке Му эвольвенты, расположенной на произвольной
окружности, покажем профильный угол а у (см. рис. 11.4). Со­
гласно уравнению (11.3), cosa^ = г^/ту. Поэтому в точке М&,
лежащей на основной (гу — гъ) окружности, cosa& = r&/r& = 1 ,
т.е. аъ = 0. По мере удаления по эвольвенте от точки Afj
профильный угол растет от нуля, приобретая наибольшее зна­
чение а а в точке Ма, находящейся на окружности вершин.
Окружность, проходящую через точку М , в которой про­
фильный угол имеет строго определенное значение а, называ­
ют делительной. Согласно ГОСТ 13755-81, для делительной
окружности прямозубого колеса профильный угол а = 2 0 ° (см.
рис. 11.4).
Длина делительной окружности 7г</ = zp, где р — шаг по
делительной окружности, d — ее диаметр. Отсюда получим
Р/ 7Г — d/z — 771.
(11.6)
Доля делительного диаметра d, приходящаяся на один зуб
и обозначаемая буквой т , называется модулем. Значения мо­
дуля также стандартизованы, они определяются из прочност­
ного расчета зубчатых передач. Чем больше нагружена пере­
дача, тем выше значение модуля. Так как различные передачи
нагружены неодинаково, то ГОСТ 9563-80 предусматривает
не одно, а серию значений модуля.
Составим расчетные формулы для эвольвентного прямо­
зубого колеса. Радиус делительной окружности получим из
уравнения ( 1 1 .6 ):
г — raz/ 2 .
(11.7)
Так как модуль есть прочностная характеристика и его
произвольно уменьшать нельзя, то сокращать радиус г, а сле­
довательно, размер зубчатого колеса и передачи в целом мож­
но прежде всего за счет уменьшения числа зубьев z. На это
важное для конструктора соображение необходимо обратить
особое внимание.
Применив уравнение ( 1 1 .3 ) к делительной окружности, по­
лучим г — гь/ cos а. Отсюда
mz
( 11.8)
П = г cos а = —— cos а.
2
Из уравнений (11.3) и (11.8) следует, что
mz cos а
Ту —
•
2 cos а у
(11.9)
Согласно уравнению ( 1 1 .6 ), запишем
р — 7ГШ.
( 11.10)
Так как шаги пропорциональны радиусам, то имеем
р ь = 7Г771 cos а ,
cos а
ру = 7Г771------------
cos oty
(п и )
( 11 . 12)
Введем обозначения толщины s зуба и ширины е впади­
ны по делительной окружности, высоты h зуба и радиуса r j
окружности впадин (см. рис. 11.4).
11.4. Эвольвентная прямозубая рейка
Зубчатое колесо, число зубьев которого бесконечно вели­
ко, называют рейкой (z = оо). Конечно, реально можно из­
готовить не всю бесконечно длинную рейку, а лишь часть
ее (рис. 11.5), но она может
быть такой длинной, как
нужно. Радиус делительной
но велик:
----
V^AJ.
J.JL
г =
0. WiVl у
(mz)/2 =
J. C J1 Г»Л.СЬЛ
окружность рейки, а также
окружности вершин и впадин ее зубьев превратились
в параллельные прямые лиНИИ.
р=ТСт
v с*т
_ s _ __ е _
/
А
- 7О
Г—------------, Ь :
\
Л А/
w
,
,\tirn
Ь
Рис. 11.5
Радиус основной окружности рейки также бесконечно ве­
лик: rjj = (mz/ 2 ) cos а = оо. Следовательно, согласно вто­
рому свойству эвольвенты (см. § 1 1 .2 ), эвольвентный про­
филь рейки приобрел прямолинейное очертание. Такое свой­
ство эвольвенты оказалось наиболее ценным при изготовлении
зубчатых колес. Подчеркнем, что указанное свойство прису­
ще эвольвенте, в то время как эпициклоида, гипоциклоида и
другие кривые, используемые для профилирования некоторых
цилиндрических передач, таким свойством не обладают.
Прямолинейная (т.е. эвольвентная) часть CD профиля
рейки наклонена под углом а; неэвольвентная часть АС может
иметь произвольное очертание. Делительной прямой UU рей­
ки является та, по которой толщина s зуба рейки равна шири­
не е впадины, т.е. равна половине шага: s = е = р / 2 = тгт/2.
Согласно ГОСТ 13755-81, а = 20°, h*a = 1 , h] = 2 , с* = 0,25;
для модуля га, которым определяется прочность зуба рейки, в
ГОСТ 9563-80 предусмотрен ряд значений.
11.5. Эвольвентное зацепление
Рассмотрим элементы и свойства внешнего зацепления,
образованного эвольвентными профилями 9 i и Э 2 (рис. 1 1 .6 ).
Эти профили базируются на основных окружностях радиусов
Т Ы и Г Ъ2 • Поскольку в технике преимущественно распростране­
ны зубчатые передачи с постоянным передаточным отношени­
ем, прежде всего выясним, способны ли эвольвентные профили
обеспечить это постоянство.
Рис. 11.6
Пусть в некоторый момент своего движения с угловыми
скоростями и\ и U2 профили находятся в положениях
и Э^Согласно первому свойству эвольвенты (см. § 11.2), нормаль
к профилю Э 71 , проведенная через точку контакта К\ должна
быть касательной к первой основной окружности, а нормаль
к профилю Э 72 — ко второй основной окружности. Поэтому
общая к обоим профилям нормаль должна быть касательной к
обеим основным окружностям, т.е. ею является прямая
Рассуждая аналогично, для другого момента времени, ко­
гда профили находятся в новых положениях Э ; , 1 и Э,;2 , устана­
вливаем, что и в этот новый момент времени общей нормалью
будет по-прежнему прямая N\N<i- Следовательно, общая нор­
маль в процессе движения взаимодействующих эвольвентных
профилей своего положения не изменяет и пересекает межосе­
вую линию всегда в одном и том же месте, т.е. полюс зацеп­
ления Р неподвижен. Отсюда из основной теоремы зацепления
(см. § 9.2) следует, что в эвольвентном зацеплении передаточ­
ное отношение в процессе движения профилей не изменяется:
1^12
|= |tJi|/|cJ2 |= О 2 Р/О 1 Р = Const.
(11.13)
Благодаря этому свойству эвольвентные профили и смог­
ли найти широкое применение в технике.
Проведем через полюс Р две окружности, которые назы­
вают начальными (см. рис. 11.6). Жестко свяжем их соответ­
ственно с эвольвентными профилями, т.е. заставим их вра­
щаться с угловыми скоростями их и CJ2 - В § 3.7 было показано,
что начальные окружности катятся друг по другу без сколь­
жения. Это является их основным физическим свойством.
Теперь запишем уравнение (11.13) в виде
rw2
,
Т л~5
=
Т
—
=
const>
г
rw
i
/Лл лл\
(11Л4)
^2
где rwi и r W2 — радиусы начальных окружностей; знак ми­
нус относится к внешнему зацеплению, в котором и\ и о>2
направлены в разные стороны (см. рис. 1 1 . 1 ), знак плюс —
к внутреннему, в котором
и и>2 направлены одинаково (см.
рис. 1 1 .2 ).
В процессе зацепления точка К касания двух эвольвентных профилей движется вдоль прямой N 1 N 2 , нормальной к
профилям. Следовательно, именно на этой прямой, называе­
мой линией зацепления, эвольвентные профили касаются друг
друга. Рассмотрим, как располагаются эвольвентные профили
друг относительно друга вне участка N 1 N 2 , например в точке
х (см. рис. 1 1 .6 ). Нормалью к профилю ЭШ1 * является прямая
xN i, нормалью к профилю Э,П2 — прямая xN X2 - Как видно,
профили ЭШ1 и Э,П2 не имеют общей нормали, поэтому не име­
ют и общей касательной, т.е. они пересекаются. Это значит,
что они не являются сопряженными, а потому в правильном
зацеплении находиться не могут. То же самое произойдет за
пределами N 1 N 2 , «в ы ш е» точки N\. Таким образом, правиль­
ное внешнее зацепление двух эвольвентных профилей может
иметь место только на участке N 1 N 2 , так что линия внешнего
эвольвентного зацепления представляет собой ограниченный
отрезок N 1 N 2 .
Угол а^, составленный линией зацепления N 1 N 2 и пря­
мой PC , перпендикулярной межосевой линии O 1 O 2 , называют
углом зацепления. Угол зацепления a w численно равен про­
фильному углу a Hi и а „2 в тех точках hi и Н2 эвольвентных
Щ 2
=
—
=
* Эвольвента может быть сколь угодно длинной.
профилей 3 i и Э 2 , которые расположены на соответствующих
начальных окружностях:
olw
— <2 н1 = Лн2 -
(11.15)
Отметим важное свойство, присущее только эвольвентному зацеплению: если по какой-либо причине межосевое рас­
стояние a w изменится по отношению к своему проектному зна­
чению, то это не приведет к нарушению запроектированного
передаточного отношения, т.е. в эвольвентном зацеплении пе­
редаточное отношение и\2 не зависит от межосевого расстоя­
ния.
1 1 .6 . О сн о в н ы е п о л о ж е н и я с т а н о ч н о г о
за ц е п л е н и я
Наиболее технологичным, а поэтому и самым распростра­
ненным способом изготовления зубчатых колес в настоящее
время является способ обкатки. Суть его состоит в следую­
щем.
Рассмотрим прямозубую рейку ПР (рис. 11.7), которую бу­
дем называть производящей. Возьмем цилиндрическую заго­
товку, сделанную из податливого, пластичного материала. По­
катим заготовку вдоль производящей рейки, сильно прижимая
ее к рейке. В результате такого обката зубья рейки выдавят
впадины на заготовке, и она получит зубчатую форму. Не­
трудно заметить, что зубья производящей рейки и зубья, фор­
мируемые на заготовке при обкате, находятся в зацеплении.
Отсюда следует принципиальный вывод: в основу способа об­
катки положен процесс зацепления.
Рис. 11.7
Отметим, если зубья про­
изводящей рейки имеют прямо­
линейный (т.е. эвольвентный)
профиль (как на рис. 11.5), то
зубья изготавливаемого колеса
также будут иметь эвольвент­
ный профиль.
Формирование зубьев мож­
но осуществить и на неподвиж­
ной заготовке, но тогда обка-
•тывать вокруг нее надо рейку. Можно, наконец, рейке сооб­
щить прямолинейное поступательное движение, а заготовку
вращать с соответствующей скоростью вокруг ее оси. Таким
образом, для образования зубьев не имеют значения абсолют­
ные движения звеньев производящей рейки и колеса К; важно,
чтобы их относительное движение представляло собой процесс
зацепления, во время которого происходит взаимное огибание
зубчатой поверхности производящей рейки и формируемой по­
верхности зубьев колеса (см. § 9.5). Способ обкатки имеет и
второе название — способ огибания.
Если заготовка выполнена из непластичного или малопла­
стичного материала (например, из металла), то к движению
обкатки необходимо добавить движение резания. Делается это
следующим образом.
Режущий инструмент, имеющий форму зубчатой рейки,
называют гребенкой* (рис. 11.8). На нижней стороне гребен­
ки Г по контуру ее зубьев затачивается режущая кромка РК
(рис. 11.9, а). Заготовка нарезаемого колеса совершает слож­
ное движение обката, состоящего из движения 1 перпенди­
кулярно оси 0 0 вдоль гребенки и вращения 2 вокруг оси
0 0 . Гребенка совершает возвратно-поступательное движение
3, параллельное оси 0 0 колеса для снятия стружки по всей
Ширине его обода. Движение обката
1, 2 выполняется прерывисто и вся­
кий раз с малым перемещением; оно
Чередуется с движением резания 3.
При технологическом движении
гребенки вниз ее режущие кромки
описывают зубчатую поверхность,
которую называют производящей
(см. § 9.7). На рис. 11.9 производя­
щая поверхность показана схематич­
но в виде вертикально проецирую­
щих линий. Рассечем эту вообража­
емую поверхность торцовой плоско­
стью Т нарезаемого колеса, перпен* Помимо гребенки в качестве режущего инструмента применяют чер­
вячную фрезу и долбяк.
Рис. 11.9
дикулярной его оси 0 0 (рис. 11.9, а) б). В сечении получим
линию зубчатой формы, называемую исходным производящим
контуром (ИПК).
Посмотрим сверху вертикально вниз на гребенку и наре­
заемое колесо (см. рис. 11.8). Тогда движения резания 3 видно
не будет, поскольку оно осуществляется в вертикальном на­
правлении, но движение обката 1, 2, выполняемое в горизон­
тальном направлении (вместе со столом станка С, рис. 11.9),
будет видно без всякого искажения. Если зубчатую производя­
щую поверхность, расположенную вертикально, мысленно сде­
лать материальной, то движение обката будет воспринимать­
ся как качение изготовляемого колеса по некоторой воображае­
мой прямозубой производящей рейке* (рис. 11.9, в). Зубья этой
* На рис. 11.9, б, в гребенка Г и производящая рейка ПР изображены
в двух проекциях.
рейки образованы производящей поверхностью, а их сечение
плоскостью П, перпендикулярной оси 0 0 колеса представляет
собой ИПК.
Из сказанного следует, что заготовка и инструмент дви­
жутся на станке друг относительно друга так, как будто про­
исходит зацепление профиля нарезаемых зубьев с ИПК. Это
зацепление называют станочным. Оно сводится к качению из­
готовляемого колеса по производящей рейке (см. рис. 11.9, в).
На рис. 11.9,б показан ИПК, имеющий очертания зубча­
той рейки. Эвольвентные кромки реечного ИПК прямолиней­
ны (см. § 11.4). Поэтому режущий инструмент (червячная
фреза или гребенка), образующий своим движением эвольвентный реечный ИПК, обладает очень ценным свойством: его
можно изготовить сравнительно дешево и достаточно точно.
Это свойство, присущее только эвольвентному режущему ин­
струменту, является его главнейшим достоинством, благодаря
которому именно эвольвентные зубчатые передачи получили
столь широкое применение в машиностроении.
1 1 .7 . Р е е ч н о е с т а н о ч н о е за ц еп л ен и е
На рис. 11.10 изображено станочное зацепление реечного
ИПК с профилем зуба нарезаемого колеса. Реечный ИПК
обладает геометрическими свойствами зубчатой рейки (см.
рис. 11.5), с зубьями большей высоты. Главной линией ИПК
является делительная прямая t/{7, на которой шаг р делится
точно пополам между толщиной зуба so и шириной впадины ео:
sq = ео =
ИПК имеет прямолинейную, т.е. эвольвентную, часть CD и плавно сопряженную с ней неэвольвентную
часть — скругление DE. Прямолинейная часть наклонена под
углом а. Через граничную точку D, разделяющую обе части
ИПК, проходит прямая QQ граничных точек. Скругление DE
выполняется по дуге окружности радиусом pf. Участок АС
может иметь произвольное очертание.
Согласно ГОСТ 13755-81, а = 2 0 °, h* = 1, h] = 2 ,
с* = 0,25, модуль т равен модулю нарезаемого колеса. Ра­
диус скругления p f — с*т/( 1 - sin а) = 0,380т. Таким обра­
зом, реечный ИПК характеризуется четырьмя стандартными
.параметрами: га, a, /г*, с* Физический смысл ИПК состоит
в том, что он является тем следом, который режущая кром­
ка инструмента оставляет на материале изготавливаемого
колеса.
Реечное станочное зацепление, как и всякое зацепление,
имеет начальные линии. Ими являются станочно-начальная
прямая W W рейки и станочно-начальная окружность колеса
(см. рис. 11.10). Напомним, что эти линии катятся друг по
другу без скольжения (см. § 11.5). Можно показать, что в
реечном станочном зацеплении радиус rwо станочно-начальной
окружности равен радиусу г делительной окружности: rwo=r.
Линия реечного станочного зацепления начинается в точке
N ее касания с основной окружностью колеса и через полюс Pq
уходит вверх в бесконечность (см. рис. 11.10). Левее точки N
линии зацепления быть не может (см. § 11.5). Угол реечного
станочного зацепления awо равен углу а (как углы с взаимно
перпендикулярными сторонами).
Отметим также, что профильный угол зуба в точке, на­
ходящейся на делительной окружности, в процессе нарезания
получается равным профильному углу а реечного ИПК, т.е.
у прямозубого колеса он равен стандартному значению 2 0 °
Длина активной части линии станочного зацепления ограни­
чена. точками В1 и Б ", расположенными на ее пересечении с
граничной прямой QQ и окружностью вершин.
В процессе нарезания на профиле зуба колеса получается
Как эвольвентная, так и неэвольвентная части. Переход эвольвентной части в неэвольвентную происходит в точке D1, на
окружности граничных точек колеса, радиус которой г/ = О D1
(см. рис. 11.10). Граничные точки D1 зуба колеса и D зуба
ЙПК в процессе станочного зацепления контактируют друг с
Другом на линии N Pq в точке В1
На станке инструмент можно устанавливать относитель­
но нарезаемого колеса по-разному. Поэтому в станочном за­
цеплении делительная прямая UU может быть расположена
различным образом по отношению к делительной окружности:
1 ) может касаться делительной окружности — нулевая уста­
новка инструмента; 2 ) быть отодвинутой от нее — положи­
тельная установка; 3 ) пересекать ее — отрицательная уста­
новка.
Расстояние между делительной прямой и делительной
окружностью называют смещением инструмента. Его выра­
жают в виде произведения модуля т на коэффициент смещения
х и ему присваивают знак. При нулевой установке инструмен­
та смещение тх = 0 , х = 0 ; при положительной установке
тх > 0 , х > 0 ; при отрицательной установке смещением явля­
ется стрелка сегмента, которую делительная прямая UU от­
секает от делительной окружности, и в этом случае тх < 0 ,
х < 0. На рис. 11.10 изображено реечное станочное зацепление
при нарезании зубчатого колеса с положительным смещением.
Расстояние между окружностью вершин зубьев колеса и
прямой впадин ИПК представляет собой станочный зазор со
(рис. 11.10). Величина его складывается из двух частей: с*т
и А у •7П, где А у — коэффициент уравнительного смещения.
Составим расчетные формулы для определения основных
размеров колеса, вытекающих из чертежа станочного зацепле­
ния (рис. 11.10). Радиус окружности вершин
ra = г + mx + h*m — А у •т — т (г /
2
+ h* + х - А у). (11.16)
Высота зуба
h = m(2/i* + с* - А у).
(11.17)
Радиус окружности впадин
г j — га — h — m {z j 2 — h* — с* + х).
(11.18)
Коэффициент смещения х подставим в уравнения (11.16),
(11.18) с учетом его знака. Если х = 0 (смещения инструмента
нет) и А у = 0, то при стандартных значениях h* = 1,0, с* =
= 0,25 получим h - 2,25m, ra = m (z /2 + l),r y = m(z/2 -1 ,2 5 ).
Станочно-начальная окружность (она же делительная) пе­
рекатывается по станочно-начальной прямой W W без сколь­
жения. Поэтому толщина зуба s по делительной окружно­
сти нарезаемого колеса равна ширине ab впадины ИПК по
станочно-начальной прямой (рис. 1 1 . 1 1 ):
s = 7rm / 2 + 2xm tga.
(11.19)
Отрезок ab складыва­
ется из ширины впадины
ИПК по делительной пря­
мой ео = жт/2 и двух ка­
тетов, каждый из которых
равен хт tga. В случае,
если инструмент установ­
лен без смещения (хт =
= 0), то 5 = 7гга/2, зна­
чит, толщина зуба s по де­
лительной окружности на­
резаемого колеса равна ши­
рине впадины е, так как
S + е =
р =
7Г 7П .
В этом
случае получается колесо с равноделенным шагом s = е. Если
тх > 0, то s > 7rm/2 и, следовательно, s > е (см. рис. 11.4).
Если тх < 0, то s < жга, и поэтому s < е.
11.8. Подрезание и заострение зуба
Согласно свойствам эвольвентного зацепления (см.
§ 11.5), парямолинейная часть ИПК и эвольвентная часть про­
филя зуба нарезаемого колеса касаются друг друга только на
линии станочного зацепления, начинающейся в точке N (см.
рис. 11.10). Левее этой точки прямолинейный участок ИПК не
касается эвольвентного профиля зуба колеса, а пересекает его.
Так как ИПК физически является тем следом, который кромка
режущего инструмента оставляет на материале изготовляемо­
го колеса, то указанное пересечение приводит к подрезанию зу­
ба у его основания (рис. 1 1 . 1 2 ), а впадина между зубьями наре­
заемого колеса получается более широкой. Подрезание умень­
шает эвольвентную часть профиля зуба (что приводит к со­
кращению продолжительности зацепления каждой пары зубьев
проектируемой передачи) и ослабляет зуб в его опасном сече­
нии F — F Поэтому подрезание недопустимо. Подрезания не
происходит, когда граница В1 активной части линии станочно­
го зацепления располагается правее точки N (см. рис. 11.10),
т.е. когда выполняется условие
P0N > Р 0в '
( 1 1 .2 0 )
Используя условие (11.20),
определим минимальное число зу­
бьев колеса, при котором они не
будут подрезаны. Из A P qON ( с м .
рис. 11.10) следует, что PqN =
= г sin а = (m z ) / 2 sin а, а из
A P qH B 1 следует, что PqB 1 =
— РоН/ sina^o == (K l ~ х )т / sina.
Подставляя РоН и РоВ! в (11.20)
и решая его относительно z, по­
лучаем
Z—
2(/ia х
-2 a
sm
( 11 .21 )
При х = 0 из (11.21) можно найти минимальное число
зубьев колеса, нарезанного без смещения, которые не будут
подрезаны реечным инструментом:
*min =
2 /i*/sin 2
a.
( 1 1 .2 2 )
При проектировании колес без смещения число зубьев
z > zmin необходимо брать равным или больше zmin. В случае
стандартного инструмента (/г* = 1,0, а = 20°) zm[n « 17.
Для уменьшения габаритных размеров зубчатых передач
колеса следует проектировать с малым числом зубьев. Поэто­
му при z < 17, чтобы не произошло подрезания, колеса долж­
ны быть изготовлены со смещением инструмента. Выясним,
каково же то минимальное смещение, при котором не получа­
ется подрезания зубьев. Оно определяется также из условия
( 1 1 .2 0 ), на основании которого составлено выражение ( 1 1 .2 1 ).
Представим его так: ( z / 2 ) sin2 a > /i* — x. Подставляя сюда
значение sin2 а из уравнения ( 1 1 .2 2 ) и решая относительно я,
запишем х > /i*(zm-т - z)/zmjn, а переходя к минимальному
значению z mjn, получим формулу
^a(^min
z)
(11.23)
^min
При проектировании зубчатых колес коэффициент смеще­
ния х надо назначать равным или большим х т[п. Уравнение
^min
(11.23) показывает, что колеса с малым числом зубьев, у кото­
рых г < 2rmjn, можно нарезать только с положительным сме­
щением инструмента, соблюдая соотношение х > хт[п.
Здесь следует отметить, что подрезания можно избежать,
применив способ изготовления зубчатых колес, отличный от
способа обкатки. Однако и в этом случае условия z > гт\п
(для колес без смещения) и х > rcmin (для всех колес) нужно
обязательно соблюдать. При несоблюдении этих условий впа­
дины между зубьями меньшего колеса могут получиться столь
тесными, что зубьям большего колеса изготовленной передачи
будет недостаточно места для их движения и передача закли­
нится.
Пусть дано зубчатое колесо (рис. 11.13), параметры кото­
рого составляют г, я, т , а. Требуется определить толщину
sy зуба по окружности, радиус гу которой имеет произволь­
ную величину, но не меньшую г
Согласно рис. 11.13, за­
пишем sy = Гу2фу. Центральный угол 2фу составит 2^у =
= 2ф + 20 —2ву , где 2ф = s/r, а в = inva, ву = mvay (см. урав­
нение (11.4)). Подставив эти выражения в исходное уравнение,
получим
sy = ry(s/r + 2inva - 2invay).
(11.24)
sa
Радиус Гу возьмем из уравнения (11.9), дугу s — из урав­
нения (11.19), а радиус г — из уравнения (11.7). Тогда искомая
формула приобретает вид
cos a 7Г
I
Sy — ш
— + 2х tg a - z(invaj, - inva) ,
(11.25)
cos a y L2
где, согласно уравнению (11.3), а у = arccos(r&/ry) =
= arccos[m zcosa/(2ry)]. Значения invay и inva определяют­
ся по углам а у и а с помощью таблиц эвольвентной функции.
Толщина зуба sa на его вершине составит
cosa a L2
Здесь важно обратить внимание на то, что при увеличе­
нии коэффициента смещения х толщина зуба sa будет умень­
шаться вследствие быстрого, прогрессирующего роста invaa.
При некотором значении х толщина зуба становится равной
нулю: sa = 0. Опасность заострения особенно велика у колес
с малым числом зубьев (менее 17). Для предотвращения ска­
лывания вершины заостренного зуба коэффициент смещения
х ограничивают верхним значением хтах так, чтобы толщи­
на зуба sa, подсчитанная по уравнению (11.26), была не менее
0,2 т .
На рис. 11.14 показаны зубья трех колес, имеющих одина­
ковое число z и нарезанных одним и тем же инструментом, но
с различными смещениями: х1 < х11 < хш Колеса имеют оди­
наковые радиусы делительных г и основных
окружностей,
следовательно, профили зубьев всех трех колес очерчены по
одной и той же эвольвенте. Однако толщины зубьев s1 (дуга
a6), sn (дуга ac), sm (дуга a f) и радиусы окружностей вершин
у колес будут разные.
По мере увеличения х толщина зуба у основания увеличи­
вается, а у вершины уменьшается, т.е. коэффициент смещения
х существенно влияет на форму зуба. Таким образом, из зу­
бьев трех рассматриваемых колес зуб третьего колеса будет
самым прочным. Кроме того, для эвольвентной части про­
филя зуба третьего колеса используется участок эвольвенты,
наиболее удаленный от ее основания Мь и обладающий поэто­
му большими радиусами кривизны, что способствует умень­
шению контактных напряжений и износа боковой поверхности
а
Рис. 11.14
зуба. Следовательно, назначая при проектировании тот или
иной коэффициент смещения, можно влиять на форму зубьев
колес и на качество зубчатой передачи, наделяя ее необходимы­
ми свойствами. Заметим, что указанная зависимость формы
зубьев и свойств зубчатой передачи от коэффициента смеще­
ния х проявляется при малых числах зубьев и существенно
ослабляется по мере увеличения z.
11.9. Эвольвентная зубчатая передача
Зубчатая передача внешнего зацепления, составленная из
двух эвольвентных колес*, изображена на рис. 11.15. Окруж­
ности вершин их зубьев пересекают линию зацепления N 1 N 2
в точках В1 и Вп В точке В1 зубья шестерни и колеса пер­
вый раз касаются друг друга — это точка начала зацепления.
Далее, в процессе вращения колес место контакта зубьев дви­
жется вдоль линии зацепления к точке Вп, являющейся точкой
конца зацепления, поскольку здесь зубья шестерни и колеса ка­
саются друг друга последний раз. Отрезок В1Вп, на котором
взаимодействуют сопряженные профили зубьев, называют ак­
тивной частью линии зацепления.
Так как правильное зацепление может иметь место только
в пределах отрезка N 1 N 2 (см. § 11.5), то зубчатую передачу
* В технической литературе меньшее колесо принято называть ше­
стерней, а большее — просто колесом.
Рис. 11.15
следует проектировать так, чтобы участок В1Бп обязательно
укладывался в этих пределах. В противном случае неправиль­
ное взаимное расположение зубьев вне отрезка N\N2 приведет
к изменению передаточного отношения, повышенному износу и
увеличению усталостных напряжений в зубьях, а в некоторых
случаях их поломке или заклиниванию передачи.
Пусть шестерня является ведущей и вращается по ходу
часовой стрелки (см. рис. 11.15). Тогда в работе будет нахо­
диться «ниж няя» сторона зуба I шестерни и «верхняя» сто­
рона зуба II колеса. Именно этими сторонами зубья прижаты
друг к другу, и они будут изнашиваться в процессе эксплуа­
тации; другая сторона каждого из зубьев I и II не будет нагру­
жена. Линия зацепления N\N2 нормальна к рабочим сторонам
зубьев, поэтому, если не учитывать трение между зубьями, си­
ла, приложенная от шестерни к колесу, и сила, взаимообратная
ей, будут действовать вдоль линии зацепления.
Отметим, зубчатые колеса имеют толщину, поэтому,
строго говоря, на рис. 11.15 изображена не зубчатая переда­
ча, а ее проекция на плоскость, перпендикулярную осям вра­
щения. Следовательно, начальные окружности, изображенные
на чертеже, являются проекциями начальных цилиндров, оси
которых совпадают с осями вращения колес. Напомним, что
начальные цилиндры* (или аксоидные цилиндры) в процессе
зацепления перекатываются друг по другу без скольжения (см.
§ 9.2). Заметим, что движение одного колеса относительно
другого в цилиндрической передаче является плоским, а про­
цесс зацепления сопряженных профилей зубьев происходит в
плоскости, перпендикулярной осям вращения.
Перейдем к составлению уравнений, необходимых для
проектирования эвольвентной зубчатой передачи. Эти урав­
нения основаны на условии, что зубья одного колеса входят во
впадины другого колеса номинально без бокового зазора (см.
рис. 11.15). Учитывая это, а также то, что начальные окруж­
ности катятся друг по другу без скольжения (см. § 11.5), запи­
шем: sw1 = e w2 и ew\ - sw2 , где sw\ и sw2 — толщина зубьев;
* Именно поэтому передачу на параллельных осях и называют цилинд­
рической.
ew\ и e w2 — ширина впадин по начальным окружностям колес
зубчатой передачи (см. рис. 11.15).
Так как начальные окружности перекатываются без
скольжения, то шаги pw\ и p w 2 равны между собой: pw\ =
—
Pw2
=
Pw
• Ш аг
ИЛИ, ПОСКОЛЬКУ
Рц) —
Pw
=
Sw1
ёц )\
~
+ sw2.
$ w l
)
(11.27)
Запишем развернутые выражения для величин pw, sw1 ,
5 ^ 2 - Применяя к начальным окружностям уравнения (11.12),
(11.25) и учитывая (11.15), получаем
pw = irm(cosa/ cosa^ ),
cos а
— + 2 tg a x\ — z\ (inva^ —inva)
— ттьCOS O L w
cos a
$w2 — ТТЬ~
7Г
COS O t y j
- + 2 tg a •X2 - Z2 (inva^ - inva)
Подставив эти выражения в уравнение (11.27) и выполнив не­
сложные преобразования, получим окончательно
2(xi + х 2) tg a
inva^ = inva Н— 1-----------------z\ + z2
(11.28)
После подсчета inva^ по уравнению (11.28) угол a w следует
определить по таблицам эвольвентной функции.
В общем случае Х1 + Х 2 Ф 0, поэтому, как следует из урав­
нения (11.28), inva^ ф inva, a w ф а. Значит, в общем случае
угол зацепления a w ф 20°
Межосевое расстояние зубчатой передачи (см. рис. 11.15)
O'W — Тw\ ”1“ Тw2•
(11.29)
Применяя уравнение (11.9) к начальным окружностям и учи­
тывая (11.15), запишем
mz\ cos a
rw l
—
2 cos a w ’
r w2
—
mz 2 cos a
2 cos a w
(11.30)
После подстановки этих выражений в (11.29) получим
dw
m(z\ + Z2 ) cos a
2
cos a w
(11.31)
Используя
уравнение
(11.7), представим межосе­
вое расстояние aw через ра­
диусы ri и 7*2 делительных
окружностей: aw = (г\ +
+ r 2 )(cos а/ cos a w). Так как
в общем случае a w ф а, то
aw ф= П + Г2 . Поэтому пред­
ставим межосевое расстоя­
ние так (рис. 11.16):
aw = n + г2 + утп.
ут
с
Рис. 11.16
(11.32)
Здесь у — коэффициент воспринимаемого смещения.
Решая совместно (11.31) и (11.32) относительно у, полу­
чаем уравнение
(11.33)
При у — 0 делительные окружности колес касаются друг
друга. Такую передачу называют нулевой, ее можно полу­
чить при х\ = О, Х2 = 0 (передача без смещения) или при
Х1 = —%2 (равносмещенная передача). Равносмещенная пе­
редача возможна в том случае, когда числа зубьев z\ и Z2
ее колес подчиняются условию z\ + z^ > 2zmin (см. § 11.8).
При у > 0 (положительная передача) делительные окружно­
сти колес отодвинуты друг от друга на расстояние ут (см.
рис. 11.16). Если же у < 0 (отрицательная передача), то дели­
тельные окружности пересекаются.
Подчеркнем, если угол зацепления a w и межосевое рас­
стояние aw подсчитываются по уравнениям (11.28), (11.32) и
(11.33), то передача номинально не будет иметь бокового зазо­
ра между зубьями.
Составим формулу для коэффициента уравнительного
смещения Ау. При определении номинальных размеров пе­
редачи должны быть выполнены два условия: 1) зубья колес
должны находиться в зацеплении друг с другом без бокового
зазора; 2) между окружностями вершин и впадин зубчатых ко­
лес должен быть радиальный зазор с = с*т (см. рис. 11.16),
где, согласно ГОСТ 13755-81, с* = 0,25. Выполнение первого
условия обеспечивается тем, что межосевое расстояние aw вы­
ражается через воспринимаемое смещение ут по уравнению
(11.32).
Согласно второму условию, имеем
aw = г а1 + с*т + r f 2
(11.34)
(или aw = r a2 + c*m + r fi). Решая совместно уравнения (11.32)
и (11.34), получаем г\ + утл + г 2 = га\ + с + гу2- Радиусы
в последнем равенстве подставим из уравнений (11.7), (11.16),
(11.18), а с = с*ж. После подстановки и простых преобразова­
ний получим
Ау = х 1 + х2 - У
(11.35)
Итак, уравнительное смещение Д у т (см. рис. 11.10) вво­
дится для получения зубчатой передачи без бокового зазора, но
со стандартным значением радиального зазора. Отметим, что
в передаче, колеса которой нарезаны реечным инструментом,
всегда А у > 0.
Если зубчатая передача составлена из колес без смеще­
ний (х\ = 0, Х2 = 0), то, согласно уравнениям (11.28), (11.33),
(11.35), (11.32), такая передача будет характеризоваться сле­
дующими параметрами: a w = а = 20°, у — 0, А у — 0,
aw = ri + Т2 — m (zi + ^2 ) / 2 , т.е. межосевое расстояние
равно сумме радиусов делительных окружностей. В переда­
че без смещений в соответствии с (11.30) rw\ = mz\/2 = 7 4 ,
rw2 = 771Z2 / 2 = 7*2 , т.е. начальные окружности колес совпада­
ют с делительными окружностями. Такие же параметры будет
иметь и равносмещенная передача (х 2 = —£ i).
1 1 .1 0 . К а ч е с тв е н н ы е показатели
зуб чатой передачи
Свойства спроектированной зубчатой передачи характе­
ризуются ее качественными показателями, главнейшим из ко­
торых является коэффициент перекрытия.
Коэффициент перекрытия характеризует такие важней­
шие свойства процесса зацепления, как его непрерывность и
продолжительность. Рассмотрим зацепление прямых зубьев.
Рис. 11.17
На рис. 11.17 изображена линия зацепления N\N2 , на ней В1 —
точка начала зацепления, Вп — точка конца зацепления (см.
§ 11.9). Пунктиром (см. рис. 11.17,5) показано то место, где
эвольвентные профили зубьев шестерни 1 начинают зацепле­
ние с зубьями колеса 2. Зубья а/b изображены в момент конца
их зацепления. Зубья c/d соседние зубьям а/Ь, поэтому угол
т\ является угловым шагом шестерни 1. Угол ц>а\ поворота
шестерни 1 за время полного зацепления одной пары зубьев
называют углом торцового перекрытия.
Рассмотрим три по-разному спроектированные передачи.
Для первой передачи характерно, что фа\ > т\у т.е. <ра\!т\ > 1
(см. рис. 11.17). Это означает, что к тому моменту времени,
когда зубья а/b выходят из зацепления, зубья с/d уже прошли
точку В ' Следовательно, некоторое время две пары зубьев,
а/b и c/d, работали совместно, т.е. имело место двухпарное
зацепление, или, как говорят иначе, имело место перекрытие
работы пары зубьев а/b работой соседней пары зубьев c/d.
Вторая передача (ее изображение отсутствует и его надо
представить мысленно) спроектирована так, что ipai = t i , т.е.
(fial/ri = 1. Это значит, что в тот момент времени, когда зу­
бья а/b выходят из зацепления, зубья c/d только входят в него:
совместной работы пар зубьев нет, а имеет место однопарное
зацепление, но процесс зацепления в такой передаче теорети­
чески прерываться не будет.
Третья передача (ее изображение также отсутствует)
спроектирована так, что <раi < ri, т.е. 4>al/Tl < 1- Это озна­
чает, что в тот момент времени, когда зубья а/Ъ выходят из
зацепления, зубья c/d еще не успели соприкоснуться, так что
неизбежно будут перерывы в процессе зацепления.
Таким образом, отношение еа = <раi / t i , называемое коэф­
фициентом перекрытия прямозубой передачи, указывает на
непрерывность процесса зацепления (если еа > 1), характери­
зует продолжительность двухпарного зацепления (если£а > 1)
и предупреждает о перерывах в зацеплении (если еа < 1). Так
как перерывы в процессе зацепления абсолютно неприемлемы,
то минимально допустимое значение еа = 1,05 обеспечивает
непрерывность зацепления с 5 %-ным запасом.
Составим расчетную формулу для определения еа =
= фа! /7*1 • Запишем следующее соотношение, вытекающее из
рис. 11.17: еа = ipal/Tl = (v'v11/иип). Согласно уравнению
(11.5), v'v11 = В 1ВП; дуга uv" = рц есть шаг по основной
окружности шестерни, равный шагу по основной окружности
колеса: рц = р^ = Рь• Поэтому
В1в п
еа = --------.
(11.36)
РЬ
Отметим, что ipa\lTl — 4>a2lT2, так что уравнение (11.36) мож­
но также получить, исходя из формулы еа = ipa2/T2Далее запишем В 1В" = Р В " + Р В 1 (рис. 11.18). Первое
слагаемое выразим так: Р В " = N\B" — N\P = r t it g a ai —
- гл t g a w = (m z i/2 ) •c o s a (tg a „i — tgau,). Аналогично полу­
чим Р В 1 = (m z2/2) •c o s a (tg a a2 — tgaiu,). В этих выражениях
a ai и a a2 — профильные углы на вершинах эвольвентных зу­
бьев шестерни 1 и колеса 2. Как следует из уравнения (11.11),
Рис. 11.18
шаг pi по основным окружностям шестерни 1 и колеса 2 равен
Р
1=
7Г771COSO'.
Подставим составленные выражения в исходное уравнение
(11.36) и после простых сокращений получим
£“ = £ ( tg * al ~
+ Ц ( * ё а а2 ~
(П-37)
Укажем главные свойства коэффициента перекрытия еа .
Он растет при увеличении числа зубьев z\ и z<i, но не беспре­
дельно, поскольку одновременно уменьшаются разности, сто­
ящие в скобках уравнения (11.37). Если зубчатые колеса на­
резаны стандартным инструментом (а = 20°, h* = 1), то те­
оретически максимально возможное для прямозубой передачи
значение £тах = 1,98 « 2.
Коэффициент перекрытия еа уменьшается при увеличе­
нии коэффициентов смещения xi и Х2 - Поэтому при проекти­
ровании прямозубой передачи коэффициенты смещения необ­
ходимо ограничивать значениями z maxi и z max2 так, чтобы
еа не получился меньше 1,05.
Кратко рассмотрим еще два качественных показателя.
Коэффициент удельного давления учитывает влияние геомет­
рии зубьев (радиусов кривизны их профилей) на контактные
напряжения, возникающие в местах соприкосновения зубьев.
Чем больше радиусы кривизны, тем меньше контактные на­
пряжения. Коэффициент удельного давления д = т/р, где
р — приведенный радиус кривизны эвольвентных профилей
в точке К контакта, определяемый так: 1/р = 1/р\ + 1/р2Используя третье свойство эвольвенты (см. § 11.2), запишем
1/р = N\N2 /(N\K N 2 K ) (см., например, рис. 11.17).
Коэффициент д принято подсчитывать для того момента
зацепления, когда зубья соприкасаются в полюсе Р Тогда
дР =
mN\N2
2( zi + z2)
z\z2 c o s a tg a ^
N\P N2P
(11.38)
Коэффициент 'дp уменьшается при увеличении коэффициентов
смещения х\ и х 2. Поэтому конструктор может снизить кон­
тактные напряжения, назначая коэффициенты смещения
и
х 2 так, чтобы коэффициент удельного давления имел возможно
меньшее значение.
Коэффициенты скольжения учитывают влияние геомет­
рических и кинематических факторов на проскальзывание про­
филей в процессе их зацепления (см. § 9.2) и выражаются фор­
мулами (9.10). Чем интенсивнее проскальзывание, тем зна­
чительнее износ зубьев. Коэффициент скольжения AipaC4 ше­
стерни 1 принято подсчитывать для того момента зацепления,
когда зубья соприкасаются в точке В1 линии зацепления, т.е.
когда в зацеплении находится ножка зуба шестерни; коэффици­
ент скольжения Л2расч колеса 2 — когда зубья соприкасаются
в точке Вп (см. рис. 11.17), т.е. когда в зацеплении находится
ножка зуба колеса. Тогда расчетные формулы применительно
к внешнему эвольвентному зацеплению примут вид
А1расч
—
В 'Р
N iP - В 'Р
z2(^1=>0ca2 tgQ:w)
(z! + z2) tg a w - z2 tg a a2’
(11.39)
B "P
А2расч
—
n 2p
- B "P -
1 _|_ £l \
^(tgQql - tgQw)
Z2 ) (*1 + z2) tg a w - zi tg a ai '
(11.40)
Коэффициенты скольжения А] расч и А2расч зависят от ко­
эффициентов смещения х\ и х 2. Изменяя х\ и х 2, получаем
значения коэффициентов Aipac4 и А2расч> отвечающие услови­
ям эксплуатации.
Отметим, что большой вклад в теорию и практику
проектирования зубчатых передач внес профессор МВТУ
им. Н.Э. Баумана Л.Н. Решетов.
11.11.
Цилиндрическая передача,
составленная из колес с косыми зубьями.
Выбор коэффициентов смещения
Переходя к изучению косозубых передач, отметим прежде
всего, что косые зубья располагаются на цилиндрах обоих ко­
лес по винтовым линиям (рис. 11.19). Если цилиндры развер­
нуть на плоскость, то косые зубья (в развертке) окажутся рас­
положенными по наклонным параллельным прямым. Так же
будут расположены и косые зубья рейки.
Косозубые колеса, как и прямозубые, изготавливают спо­
собом обкатки (см. § 11.6), в основу которого положен про­
цесс станочного зацепления. Для нарезания применяют тот
же стандартный инструмент, но устанавливают его на стан­
ке наклонно, под углом (3 (рис. 11.20). Поэтому производящая
зубчатая поверхность, которую в своем технологическом дви­
жении 3 описывают кромки инструмента — гребенки Г, тоже
будет наклонной. На рис. 11.20 производящая поверхность по­
казана схематично в виде наклонно проецирующих линий. А
так как эта поверхность (если ее мысленно сделать матери­
альной) образует зубья воображаемой производящей рейки ПР
то, следовательно, зубья рейки получаются косыми. Нагляд­
но процесс обкатки можно представить себе как качение изго­
тавливаемого колеса по производящей рейке, имеющей косые
зубья, наклоненные под углом (3.
Такой же наклон получат зубья изготавливаемого коле­
са на его станочно-начальном цилиндре. А так как в рееч­
ном станочном зацеплении делительный цилиндр совпадает со
станочно-начальным (см. § 11.7), то именно на делительном
цилиндре зубья получатся расположенными под углом (3 (см.
рис. 11.19), на который наклонен инструмент на станке.
Из сравнения рис. 11.9 и 11.20 ясно, что движения обката
1 к 2 при изготовлении как прямозубых, так и косозубых колес
одинаковы. А отсюда следует важный вывод: все принципи­
альные положения, касающиеся станочного зацепления прямо­
зубого колеса с прямозубой производящей рейкой (см. § 11.6—
11.8), справедливы также для станочного зацепления косозу­
бого колеса с косозубой производящей рейкой.
Рис. 11.19
Вместе с тем процесс изготовления косозубых колес имеет,
конечно, и свои особенности, вытекающие из того, что инстру­
мент установлен на станке наклонно. Определим, каким будет
в этих новых условиях ИПК, вступающий в станочное зацеп­
ление с профилем нарезаемых зубьев. Для этого рассечем на­
клонную зубчатую производящую поверхность плоскостью П,
перпендикулярной оси 0 0 колеса; в сечении получим искомый
ИПК (см. рис. 11.20).
Нетрудно заметить, что благодаря наклону инструмента
параметры полученного ИПК будут отличаться от параметров
стандартного ИПК, который образуется при пересечении про­
изводящей поверхности плоскостью П, ей перпендикулярной
(см. рис. 11.9, в). Например, шаг р% нового ИПК составит
Vi — v ! cos(3 (см. рис. 11.20), где р — шаг стандартного ИПК.
Поэтому тх — тп/ cos /?, где тп — стандартный модуль инстру­
мента. Чтобы в дальнейшем отличать стандартные парамет­
ры тп, а, /г*, с* от расчетных, будем присваивать последним
значок t: m*, о /, h*t, с£. Особенность станочного зацепления
при изготовлении косозубых колес состоит в том, что благода­
ря наклонной установке инструмента ИПК не является больше
стандартным, а становится расчетным.
р
Техноло­
гическая
схема
Схема
обката
Р и с . 11.20
Отметим, что расчетный реечный ИПК (см. рис. 11.20),
как и стандартный (см. рис. 11.19), имеет прямолинейные, т.е.
эвольвентные кромки. Поэтому в торцовой плоскости Т ко­
созубого колеса, как и в любой, ей параллельной, зубья при
изготовлении получают эвольвентный профиль. Но именно в
этих плоскостях, перпендикулярных осям вращения колес про­
ектируемой передачи, и происходит сам процесс зацепления
профилей ее зубьев. Значит, косозубая цилиндрическая пере­
дача является эвольвентной передачей. Отсюда следует еще
один важный вывод: все теоретические положения и зависимо­
сти, полученные ранее для прямозубой эвольвентной передачи,
полностью справедливы и для косозубой, но сформированной
на базе расчетного ИПК. Поэтому математическая структура
всех ранее составленных формул сохранится, но написание их
будет иметь ту особенность, что всюду вместо стандартных
параметров га, а, Л*, с* в них надо подставлять расчетные
параметры га*, a*, h*t , с£, зависящие от угла /?.
Например,
прямозубая передача:
T Y IZ
rj = — cos a,
h = m(2hl + с* - Ay)]
косозубая передача:
rfc = —
COS a*, h = mt(2hat + ct - A y)
И Т.П.
Укажем (без вывода) формулы перехода от стандартных
параметров к расчетным:
га* — га/ cos/?,
tga* = t g a / cos/?,
K t = K cos/3, ct = c*cos/3.
(11.41)
Косое направление зубьев наделяет цилиндрическую пе­
редачу особыми свойствами. Рассмотрим их. Благодаря на­
клону зуба он выходит из зацепления не сразу весь целиком, а
постепенно. После того, как профиль
выйдет из зацепле­
ния, шестерня 1 повернется на угол <ppi по момента выхода из
зацепления профиля
(см. рис. 11.19). Продолжительность
зацепления одной пары зубьев в косозубой передаче большая,
чем в прямозубой, в которой зуб выходит из зацепления од­
новременно по всей своей длине. Поэтому угол поворота </?7 1
шестерни 1 за время полного зацепления одной пары косых зу­
бьев составит уже не <pai, как в зацеплении прямых зубьев (см.
§ И.Ю ), а
¥>7l =
¥>al + ¥>01-
Коэффициентом перекрытия косозубой передачи называ­
ют отношение е1 —
— ¥>7 2 / r 2 > т -е- £у ^
~
= ¥>ai/n + ¥>0 i M =
+ ер.
Слагаемое £<*, называемое коэффициентом торцового пере­
крытия, рассчитаем по уравнению (11.37).
Слагаемое
Ер — коэффициент осевого перекрытия — определим так:
ер = 4>рl/Tl = А'С/АЕ = btg/3/pt (см. рис. 11.19)* Под­
ставив P t = T T T T l f , получим
(11.42)
irmt
Окончательно запишем формулу для определения коэффициен­
та перекрытия косозубой передачи в виде
zi .
Ч =
.
Г
Z2 /
Z7T
2Л
ч Ьtg /3
“ tg<*w) + -------
7ГШ^
(11.43)
В прямозубой передаче (где /3 = 0) коэффициент осевого
перекрытия Е р = 0, так что £7 = Е а . Следовательно, коэффи­
циент перекрытия косозубой передачи (где (3 ф 0) больше, а
иногда и значительно больше коэффициента перекрытия пря­
мозубой, что является достоинством косозубой передачи. Угол
(3 (по Л.Н. Решетову) следует назначать так, чтобы получить
для Е р целое значение: 1, реже 2; это уменьшит износ зубьев.
Для косозубых передач уравнение (11.22) приобретает вид
zm°in “
sin2 щ. Так как, согласно формулам (11.41), h*t <
< /1*, щ > a, то z™£ < zmin, т.е. косозубые колеса меньше
подвержены подрезанию, чем прямозубые.
Проектируя зубчатую передачу, косозубую или прямозу­
бую, конструктор должен грамотно назначить коэффициенты
смещения х\ и х 2 - При этом должны быть выполнены три
обязательных условия: 1) отсутствие подрезания; 2) отсут­
ствие заострения; 3) непрерывность зацепления. Первое усло­
вие применительно к шестерне выполняется, если ее коэффици­
ент смещения х\ превышает свой минимальный уровень xm[ni
(см. § 11.8). Согласно второму и третьему условиям, коэф­
фициент смещения х\ ограничивается предельным значением
*m axl ПРИ
^
0 ,2 т
(см -
§ П -8 ) и * т а х 1 ПРИ е ~Г =
1?05
(см. § 11.10и 11.11). Э ти значения неодинаковые, и для расче­
та зубчатой передачи используется меньшее. Таким образом,
коэффициент смещения х\ шестерни необходимо назначать
так, чтобы соблюдалось соотношение xmjni < х\ < жтаХ1То же можно сказать и о коэффициенте смещения Х2 колеса:
* Винтовые линии А С и E D проведены на делительном цилиндре.
16 - 11273
x min2 < я 2 < жшах2- Внутри указанных пределов коэффициен­
ты смещения х\ и Х2 целесообразно назначать, руководствуясь
рекомендациями ГОСТ 16532-81 или используя блокирующие
контуры, приведенные в его приложениях, а также с помощью
графиков качественных показателей.
11.12. Особенности точечного круговинтового
зацепления Новикова
В эвольвентном зацеплении взаимодействие рабочих по­
верхностей зубьев происходит по прямой линии. Поэтому не­
точность взаимного расположения колес и их деформация под
нагрузкой приводят к концентрации напряжений на опреде­
ленных участках контактных линий. Чтобы увеличить на­
грузочную способность зацепления, необходимо увеличить ра­
диусы кривизны рабочих поверхностей зубьев, т.е. увели­
чить диаметры зубчатых колес. Для устранения указанных
недостатков эвольвентных передач М.Л. Новиков обосновал
область возможных решений и предложил способы образова­
ния сопряженных поверхностей зубьев, имеющих точечный
контакт. Им разработаны и реализованы на практике цилин­
дрические передачи, в которых выпуклые поверхности началь­
ных головок зубьев одного колеса взаимодействуют с вогну­
тыми поверхностями начальных ножек зубьев другого колеса
(рис. 11.21). Такие колеса образуют зацепление Новикова с од­
ной линией зацепления.
В отличие от цилиндрических эвольвентных передач на­
чальный контакт таких криволинейных поверхностей зубьев
осуществляется лишь в одной точке К на линии зацепления
К К , расположенной параллельно осям колес и полюсной линии
Р Р Линия зацепления проецируется на торцовую плоскость в
точку К\ в этих пределах поле зацепления не существует. Так
как начальный контакт зубьев осуществляется в одной точке
(£а = 0), то для обеспечения непрерывности зацепления пере­
дачи Новикова выполняются только косозубыми (Р — 8 .. .22°)
с коэффициентом осевого перекрытия £р > 1.
Другое отличие передачи Новикова от эвольвентных со­
стоит в том, что перекатывание зубьев в процессе зацепления
Р и с . 1 1 .2 1
происходит не по высоте, а по их длине (направление пере­
мещения точки К на рис. 11.21 показано стрелкой) и скорость
перемещения точки начального контакта значительно больше
ее окружной скорости. Последнее утверждение обусловливает
образование в контакте относительно толстого гидродинами­
ческого масляного слоя, снижение потерь на трение и уменьше­
ние износа. В действительности вследствие упругой контакт­
ной деформации зубьев под нагрузкой их взаимодействие про­
исходит через площадку, размеры которой быстро увеличива­
ются в результате приработки.
С целью увеличения нагрузочной способности зацепления
Новикова круговинтовые зубья на каждом колесе выполняют
таким образом, чтобы головки зубьев обоих колес были вы­
пуклыми, а ножки — вогнутыми, и связаны между собой не­
большим участком, очерченным переходной кривой. Такие
передачи имеют две линии зацепления К К и К 1 К\ располо­
женные параллельно осям вращения колес и полюсной линии
(рис. 1 1 .2 2 ). Одна линия зацепления К 1 К 1 находится перед по­
люсом, другая К К — за полюсом. Каждая линия зацепления
образуется за счет перемещения общей точки контакта началь­
ной ножки зуба одного зубчатого колеса с начальной головкой
зуба парного колеса. Этот вариант зацепления Новикова с дву­
мя линиями зацепления называют дозаполюсным.
Геометрия зубьев зацепления Новикова определяется ис­
ходным контуром зацепления. Параметры элементов исходных
контуров, радиусы кривизны и другие размеры зубьев выби­
раются в таких соотношениях, чтобы обеспечить наивыгод­
нейшие условия работы зацепления и требуемую прочность
зубьев. Для зацепления Новикова с одной линией зацепления
(рис. 11.23, а) необходимы два исходных контура: один для вы­
пуклых, другой для вогнутых зубьев. Боковые стороны конту­
ра очерчены дугами окружности. Исходные контуры выпукло­
го и вогнутого профилей (контур зубьев рейки) по делительной
прямой аа образуют плотное сопряжение. Необходимый боко­
вой зазор в зацеплении достигается за счет утонения зубьев
выпуклого зуба.
Параметры исходного контура зацеплений Новикова с
двумя линиями зацепления (рис. 11.23, б) регламентируются
ГОСТ 15023-76. Как и в исходном контуре с одной линией
зацепления, профили зубьев в нормальном сечении очерчены
дугами окружности и сопрягаются между собой прямолиней­
ным участком. Геометрические параметры определяются че­
рез нормальный модуль тп. Модули выбирают в соответствии
со значениями, установленными ГОСТ 14186-69.
Непрерывность вращения ведомого колеса в зубчатом ме­
ханизме с зацеплением Новикова обеспечивается за счет осе­
вого перекрытия. Коэффициент осевого перекрытия опреде­
ляется отношением рабочей ширины зацепления bw к осевому
шагу рх \
byj
byj sin (5
рх
птх
В механизме с одной линией зацепления в контакте будет
находиться то одна, то две пары зубьев. Двухпарное зацеп­
ление будет иметь место на участках зубьев, имеющих длину
(bw — птп)^ расположенных вблизи торцов. Для обеспечения
необходимого коэффициента перекрытия ер = 1,15 ... 1,35 ча­
ще всего принимают углы наклона зубьев (5 = 10 .. .20°
В дозаполюсном зацеплении при коэффициенте перекры­
тия ер = 1 ,1 5 ...1 ,2 обеспечивается как минимум две зоны
контакта. Это позволяет ширину зубчатых венцов делать на
3 0 ... 40 % меньше, чем в зацеплении с одной линией зацепле­
ния.
При проектировании зубчатого механизма с круговинто­
выми зубьями и параллельными осями вращения задаются
межосевым расстоянием aw, передаточным отношением и\2 и
вариантом зацепления. Формулы для определения основных
размеров передач Новикова и эвольвентных косозубых передач
совпадают.
Диаметр делительного цилиндра, совпадающего с началь­
ным,
,
rnnz
d—
п>
cos р
диаметры окружностей вершин
da 1 =
d\
2/1д^Шп
И d a2 = {^2 4" 2 /la2 ^ n i
диаметры окружностей впадин
dfi = d i + 2h*f1mn и da2 = d2 +
2 Л*2 топ;
межосевое расстояние передачи
____% 21n+ z 2
aW
—
2
cosp
ширина зубчатого венца шестерни
b — b-ц) — Р%£ft •
В данной главе была кратко изложена геометрическая те­
ория цилиндрической зубчатой передачи, которую с исчерпы­
вающей полнотой разработал профессор МВТУ им. Н.Э. Бау­
мана В.А. Гавриленко — основатель научной школы по зуб­
чатым передачам.
Контрольные вопросы
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
Что называют цилиндрической зубчатой передачей?
Что такое основная окружность?
Что такое производящая прямая?
Что такое эвольвента? О т чего зависит радиус кривизны эвольвен­
ты?
Расскажите об основных элементах эвольвентного зубчатого колеса.
Что такое станочное зацепление?
Расскажите о методах нарезания зубьев колес. Из каких условий
определяется минимальное число зубьев колеса, нарезаемого без под­
резания?
Перечислите основные параметры эвольвентной зубчатой передачи.
Выведите уравнение угла зацепления эвольвентной зубчатой переда­
чи.
Что показывает коэффициент торцового перекрытия?
В чем состоят особенности геометрии косозубых колес я передачи?
Перечислите достоинства косозубых передач.
В чем отличие передач с зацеплением Новикова от эвольвентных пе­
редач?
ПРОСТРАНСТВЕННЫ Е ЗУБЧАТЫ Е
ПЕРЕДАЧИ
Во многих машинах осуществление требуемых движений механизмов связано с необходимостью передать вращение с одного вала на другой
при условии, что оси этих валов либо пересекаются, либо скрещиваются.
В таких условиях применяют соответственно или коническую, или гиперболоидную зубчатую передачу. Аксоидами колес первой являются конусы,
аксоидами второй — однополостные гиперболоиды (см. § 9.1). Обе пере­
дачи относятся к категории пространственных механизмов. Изложению
основ их синтеза (геометрического расчета) по заданному передаточному
отношению посвящена данная глава.
12.1. Коническая зубчатая передача
Если угол между осями равен 90°, то коническую зубча­
тую передачу называют ортогональной. В общем случае в
неортогональной передаче угол, дополненный до 180° к углу
между векторами угловых скоростей
и й 2 звеньев 1 и 2 ,
называют межосевым углом Е (рис. 12.1, а).
Связь между векторами й\ и и 2 угловых скоростей 1 и 2
характеризуется соотношением
W 2=W i+W i2.
(12-1)
Положение вектора й>21 относительно векторов
и и2
определяется углами 6W\ и 6W2 , сумма которых равна межосе­
вому углу Е:
5wl + $w2 — £.
( 1 2 .2 )
Если через точку О пересечения осей 0\ 0 и О 2 О провести
вектор CJ21 , то он совпадет с мгновенной осью ОР относитель­
ного движения ведущего и ведомого звеньев и будет определять
конические поверхности аксоидов, называемых начальными ко­
нусами. При обозначении параметров, относящихся к началь­
ному конусу, используют индекс w. Углы 6W\ и 6W2 началь­
ных конусов вычисляют при решении векторного соотношения
( 1 2 . 1 ) с использованием теоремы синусов (рис. 1 2 . 1 , а):
sin $%])\
р2\
sin
|wi|
Отношение модулей угловых скоростей |tJi| и |а721 пред­
ставляет собой передаточное отношение:
\ui\
sin 6W2
U\2 —- ----- — --------- ,
|W2 | s in ^ i
(12.3)
При заданных межосевом угле Е и передаточном отноше­
нии и \2 углы начальных конусов определяют, совместно решая
соотношения (12.2) и (12.3):
sin ^„,2
s in (E -^ « ,i)
= ------:— 7-------- =
sin о—
jjji
sin 0uji
sin E cos
—cos E sin £^,1 _ sinE
sin 6W\
u 12 =
cos E.
Искомые углы 6W\ и 6W2 начальных конусов находят по
формулам
f>w\ = arctg
(
sinE
\
(
sinE
\
----- --------- = arctg — ------------ -- ;
\ u i2 + c o s E /
\ 2 2 /^l + c o s E /
f>w2 = S — 6wi .
,
j4
(12.4)
(12.5)
Для ортогональной передачи при Е = 90° эти соотношения
имеют вид
&wl = arctg(l/ui2) = arctg(2i/z 2);
6w2 = arctg «12 = arctg(z2/zi).
g
Частным случаем неортогональной передачи является
плоская коническая передача, в которой поверхность одного
из начальных колес является плоскостью и угол при верши­
не 6WC = 90° (рис. 12.1, б).
Параметры, относящиеся к плоскому коническому колесу,
обозначают с добавлением индекса с (например, число зубьев
плоского колеса zc, угловая скорость ис). Формирование колес,
размеров зубьев и расположение их элементов проводят отно­
сительно базовой конической поверхности на каждом колесе,
называемой делительным конусом. При проектировании ко­
нических передач углы 6 \ и 62 делительных конусов принима­
ют совпадающими с углами <5^1 и <5^,2 начальных конусов, что
упрощает расчетные соотношения. Зубья образуют на колесе
зубчатый венец, который располагается между конусом вер­
шин с углом 6а и конусом впадин с углом Sf (рис. 1 2 .2 ). При
изготовлении заготовок колес используют базовое расстояние
А и размеры В до вершины конуса и С — до базовой плос­
кости. Поверхность, отделяющую зуб от впадины, называют
боковой поверхностью зуба. Пересечение боковой поверхности
зуба с соосной поверхностью называют линией зуба. Линия зу­
ба может совпадать с образующей делительного соосного ко­
нуса (прямые зубья) или иметь угол (3 наклона линии зуба на
делительной поверхности. Различают виды конических колес,
отличающихся по форме линий зубьев на развертке делитель­
ного конуса (рис. 1 2 .3 ): а — с прямыми; б — тангенциальными;
б — круговыми; г, д, е — криволинейными зубьями. Прямо­
зубые передачи используют для работы при легких нагрузках
и невысоких скоростях (обычно при частоте вращения менее
Рис. 12.2
100 об/мин). Для работы в режиме максимальных нагрузок,
при высоких скоростях и для обеспечения максимальной плав­
ности работы и бесшумности применяют передачи с криволи­
нейными зубьями.
Образование боковой поверхности зубьев можно просле­
дить по рис. 12.4. Плоскость П касается основного конуса и
перекатывается по нему без скольжения. Любая прямая K L
на обкатывающей плоскости П в пространстве опишет кони­
ческую эвольвентную поверхность, а любая точка ( К > L или
другая) описывает траекторию, расположенную на сфере опре­
деленного радиуса и называемую сферической эвольвентой.
В каждом сферическом сечении на боковой поверхности зуба
можно выделить линию пересечения, называемую профилем
зуба. Профили зубьев в сечениях конического колеса разли­
чаются. Торцовые сечения подразделяют следующим образом:
внешнее, среднее, внутреннее и текущее. При обозначении па­
раметров в том или ином сечении добавляют соответствую­
щий индекс (см. рис. 1 2 .2 ), например для внешнего сечения —
е, для среднего — га, для внутреннего — г, для текущего — х.
Радиус Re внешнего торцового сечения называют внеш­
ним конусным расстоянием. Расстояние между внешним и
Рис. 12.3
Рис. 12.4
внутренним торцовыми сечениями конического колеса называ­
ю т шириной зубчатого венца и обозначают Ь (см. рис. 1 2 .2 ).
Взаимодействие сопряженных эвольвентных конических
поверхностей при заданных начальных конусах представляет
собой коническое эвольвентное зацепление (рис. 12.5).
Полюсная прямая РО , лежащая в плоскости N 1 ON 2 , каса­
тельной к основным конусам, можно рассматривать как обра­
зующую боковых поверхностей зубьев. Любые сопряженные
сферические эвольвенты имеют линию зацепления, располо­
женную на сфере (например, N 1 P N 2 ) и являющуюся дугой
большого круга сферы.
Взаимодействие сферических эвольвент описать в анали­
тической форме довольно сложно. Учитывая, что высотные
размеры зубьев невелики по сравнению с радиусом сферы и
профили зубьев расположены на узком сферическом поясе, ис­
пользуют инженерную методику расчета, которая заключается
в построении дополнительных конусов (рис. 1 2 .6 ).
Дополнительным делительным конусом называют соос­
ную коническую поверхность, образующая которого (напри­
мер, P 0 V1 или Р 0 е2 на рис. 12.6) перпендикулярна образую-
о
Р и с . 12.5
щей делительного конуса конического зубчатого колеса. Вве­
дение дополнительных конусов позволяет рассматривать вза­
имодействие профилей зубьев не на сфере, а на поверхности
соприкасающихся со сферой дополнительных конусов. Если
дополнительные конусы развернуть на плоскость, то профи­
ли зубьев становятся плоскими кривыми, достаточно близки­
ми к обычным эвольвентам, соответствующим определенным
размерам основных окружностей, радиусы OveiN i и 0 Ve2-^2
которых находят для эквивалентной цилиндрической переда­
чи. Параметры эквивалентной цилиндрической передачи име­
ют дополнительный индекс vt. Каждое из зубчатых колес та­
кой передачи называют эквивалентным цилиндрическим зуб­
чатым колесом с числами зубьев zv%\ и zv%2 в отличие от чисел
зубьев z\ и Z2 на конических колесах.
Связь между числами зубьев z\ и zvt\ или Z2 и zvt2 лег­
ко установить при рассмотрении размеров концентрических
окружностей конического и эквивалентного цилиндрического
колес:
0 , 5mez\
О>5c?el
0,5 m 6zv n \
r vte 1
cos <5i
cos £1
0 , bmt z\
0 , 5 d e2
0 , ^Tn^Zyf2‘
r vte2
cos 62
cos 62
Внешний окружной модуль me , соответствующий рассто­
янию между одноименными профилями соседних зубьев по дуге
концентрической окружности конического колеса на внешнем
торце, равен модулю эквивалентной цилиндрической передачи.
Поэтому числа зубьев гуц и zvt2 можно выразить соотношени­
ями
zvi\ = z\ / cos <5i;
= z2/cos<S2-
В общем случае zvt\ и zvt2 являются дробными числами
и в процессе расчета не округляются, а вычисляются с точно­
стью не ниже 0 ,0 1 .
(
Передаточное отношение эквивалентной цилиндрической
передачи определяется следующим соотношением:
z vt2
u vl2
=
------- =
z2/cos62
--- ------ Т ~ =
u l2
Zl/C O SO i
Zv t l
cos6\
----- 7“ •
COS 02
/1Л .
(12.8)
Угол зацепления awvte эквивалентной цилиндрической пе­
редачи, радиусы raviei и r avte2 окружностей вершин, радиусы
r f v t e l и r f v t e 2 окружностей впадин (см. рис. 1 2 .6 ) рассчитыва­
ют по формулам, аналогичным выведенным ранее для цилинд­
рических эвольвентных передач.
При расчете конических передач с криволинейной лини­
ей зуба (см. рис. 12.3) эквивалентная цилиндрическая переда­
ча является не прямозубой, а имеет винтовые зубья. Поэтому
профили зубьев рассматривают в соответствующих нормаль­
ных сечениях. Прямозубое цилиндрическое зубчатое колесо,
размеры и форма зубьев которого в главном сечении практи­
чески идентичны размерам и форме зубьев конического зуб­
чатого колеса с тангенциальными и криволинейными зубьями
в сечении, нормальном к средней линии зуба, называют биэквивалентным цилиндрическим колесом, число зубьев кото­
рого обозначают zvn (соответственно zvn\ и zvn2).
С достаточной для практических расчетов точностью ко­
эффициент формы зубьев таких конических колес оценивают
по аналогии с биэквивалентным цилиндрическим колесом, чис­
ло зубьев которого
z vn\
=
-------с ~ ' з Д- ;
COS Oi COS'1 р
п
z vn2
=
-------г
2
3 д ")
COS 0 2 COS'3 p n
(12.9)
где (Зп — угол наклона средней линии зуба, соответствующей
внешнему, среднему, внутреннему или другим расчетным нор­
мальным сечениям зуба конического зубчатого колеса.
Геометрия боковых поверхностей и профилей зубьев тес­
нейшим образом связана с технологией изготовления кониче­
ских колес. Способ копирования фасонного профиля инстру­
мента для образования профиля на коническом колесе не мо­
жет быть использован, так как размеры впадины конического
колеса изменяются по мере приближения к вершине конуса.
В связи с этим такие инструменты, как модульная дисковая
фреза, пальцевая фреза, фасонный шлифовальный круг, мож­
но использовать только для черновой прорезки впадин или для
образования впадин колес не выше восьмой степени точности.
Для нарезания более точных конических колес используют
способ обкатки в станочном зацеплении нарезаемой заготовки с
воображаемым производящим колесом. Боковые поверхности
производящего колеса образуются за счет движения режущих
кромок инструмента в процессе главного движения резания,
обеспечивающего срезание припуска. Преимущественное рас­
пространение получили инструменты с прямолинейным лез­
вием. При прямолинейном главном движении прямолинейное
лезвие образует плоскую производящую поверхность. Такая
поверхность не может образовать эвольвентную коническую
поверхность со сферическими эвольвентными профилями. По­
лучаемые сопряженные конические поверхности, отличающие­
ся от эвольвентных конических поверхностей, называют квазиэвольвентными (по старой терминологии — октоидальными).
Производящие колеса могут быть плоскими С 6 Woc — 90°
(рис. 12.7, а, б) или плосковершинными с 6W0C = 90° — 0 fwo\
(рис. 12.7, б) при одном и том же угле Swoj при вершине аксоидного конуса станочного зацепления. В первых двух слу­
чаях образуемые квазиэвольвентные конические колеса будут
сопряженными, поскольку производящие плоские колеса обра­
зуют совпадающую пару, боковые производящие поверхности
зубьев которой могут совпадать при наложении во всех своих
точках (как отливка и форма или шаблон и контршаблон). Од­
нако станок, реализующий схему станочного зацепления в со­
ответствии с рис. 12.7, а, должен иметь поворотные направля­
ющие, допускающие установку резцовых направляющих под
углом (90° - 0 fwoi ), где вj wo\ — угол ножки зуба нарезаемого
колеса в станочном зацеплении. Это усложняет конструкцию
станка и используется ограниченно.
В случае движения резцов без учета угла Qfwol (см*
рис. 12.7, б) высота ножки зуба по мере приближения к верши­
не конуса остается неизменной, что ослабляет зуб И приводит
иногда к подрезу ножки.
Большинство моделей станков построены на использова­
нии плосковершинного производящего колеса, у которого вер­
шины зубьев расположены в плоскости, а угол аксоидного ко­
нуса в станочном зацеплении рассчитывается с учетом угла
ножки зуба нарезаемого колеса. Два плосковершинных
колеса не образуют совпадающую производящую пару, и по­
этому нарезаемые квазиэвольвентные колеса будут несопря­
женными. Эти погрешности обычно являются незначитель­
ными и ими обычно пренебрегают.
Расчетная схема, приведенная на рис. 12.8, позволяет на
базе станочного зацепления конического колеса с производя­
щим плосковершинным колесом перейти к эквивалентному
станочному зацеплению с теоретическим исходным контуром.
Исходный контур, совпадающий с реечным контуром, приня­
тым в качестве базового для определения теоретических форм
и размеров зубьев конических колес, регламентирован по ряду
параметров: а = 20°; /i* = 1 , 2 ; с* = 0 , 2 ; ру- < 0,3. Однако
O fw oi
Рис. 12.8
с учетом особенностей методов нарезания зубьев эти параме­
тры можно изменять в пределах использования стандартного
инструмента. Так, например, можно допускать неравенство
толщины зуба и ширины впадины по делительной прямой за
счет относительного расположения соседних резцов; не требу­
ется строгого соответствия номинального модуля резцов моду­
лю нарезаемого колеса. Внешний модуль может быть нестан­
дартным и даже дробным. Можно изменять угол а за счет
наклона резцов.
Расчет параметров конической передачи. Проводят
в такой последовательности (см. рис. 1 2 .8 ):
число зубьев плоского колеса
гс -
. _ \/zi + z\ + 2ziz 2 cos E;
smJjV 1
z
( 1 2 .1 0 )
при E = 90°
=
( 1 2 .1 1 )
внешнее конусное расстояние
Re = 0,5 mezc;
( 1 2 .1 2 )
ширина зубчатого венца b < 0,3Ле, или Ъ < 10гае; коэф­
фициент ширины зубчатого венца кье = b/Rwe = 0 ,2 ... 0,3;
угол делительного конуса
6i
— arctg ( Z2/ 2i ^ c o s s ) ’
62 = E -
(12.13)
(12.14)
61;
90°
(12.15)
<5i = arctg(zi/z2);
коэффициент смещения исходного контура х\ = 0 ... 0 , 6
в зависимости от числа зубьев z\ и передаточного отношения
передачи (Х2 = —x i)
_ ^ _
1 псо
— ®1 min — 1)068
®1
0,058*1.
г )
COS dl
Мо 1вЧ
(12.16)
коэффициент изменения расчетной толщины зуба исход­
ного контура
х т\ = 0,03 - 0,008( z2 / zi - 2,5); х Т2 = - х т\.
(12.17)
Расчет параметров зубчатых колес проводят с использо­
ванием следующих расчетных формул, вывод которых основан
на расчетной схеме (см. рис. 1 2 .8 ):
внешняя высота головки зуба
hael ~ {ha
х\^те, hac2 —
hae\,
(12.18)
^ 777-6)
(12.19)
внешняя высота ножки зуба
hfel = hae2 Н” ^ TTiej hfe2 — ^ael
внешняя высота зуба
he = hae -f h fe\
( 1 2 .2 0 )
внешняя окружная толщина зуба
5ei = (0,б7г + 2 ii tg a + Жг1 )” ге; s e2 = тгте - sei;
(12.21)
угол ножки зуба
0 /1
0 /2
= arctg(/iyel/J?e);
= arctg(/iye2 / i 2e);
0al < 0/2!
&a2 < 0/1 >
( 1 2 .2 2 )
(12.23)
(12.24)
угол конуса вершин
<5ai = <5i + 0ai;
ba2 = h + @а2;
(12.25)
угол конуса впадин
<S/i =
- 0 / i ; <5/2
-
h
-
0/2;
(12.26)
внешний делительный диаметр
d ei = m ez i ;
d e2 = m eZ2;
(12.27)
внешний диаметр вершин зубьев
d ael
= del +
2 /iaei
cos^i; dae2 = de2 + 2hae2 cosS2.
(12.28)
При проверке качества зацепления по геометрическим по­
казателям рассчитывают коэффициент еа торцового перекры­
тия, внешнюю окружную толщину зуба sae на поверхности
вершин и проверяют отсутствие подрезания зубьев с исполь­
зованием эквивалентного цилиндрического зацепления.
Рекомендуемые значения показателей следующие: ко­
эффициент торцового перекрытия еа > 1,3; относительная
окружная толщина зуба на поверхности вершин s*e = sae/me >
> 0 , 3 — при однородной структуре металла; s*e > 0,4 — при
поверхностном упрочнении зубьев.
При выборе исходных данных учитывают заданное пере­
даточное отношение и\2 и его допустимое отклонение в связи
с тем, что числа зубьев — целые числа. Рекомендуется числа
зубьев колес назначать в пределах от 1 2 до 1 0 0 .
Для прямозубой конической пары рекомендуется назна­
чать передаточные отношения: щ 2 < 5 — для замедляющей,
и\2 > 0 , 3 5 — для ускоряющей передач.
Межосевой угол Е назначают в пределах от 10 до 170°,
для ортогональной передачи его назначают равным 90°
Параметры исходного контура стандартизованы.
На
рис. 12.8 они приведены в соответствии с ГОСТ 13754-81.
Коэффициент ширины зубчатого колеса /tye = b/Rwe реко­
мендуется выбирать в пределах 0 , 2 ... 0 , 8 . Увеличение длины
зуба за эти пределы на практике приводит к краевому кон­
такту зубьев вследствие погрешностей монтажа и деформаций
их под нагрузкой, т.е. не способствует повышению несущей
способности передачи.
Рис. 12.9
При проектировании быстроходных передач, работающих
при переменных нагрузках, числа зубьев z\ и z<i должны быть
взаимно простыми числами, т.е. не иметь общих делителей.
Если передача работает при постоянной нагрузке и умеренных
линейных скоростях, то стремятся к тому, чтобы числа z\ и Z2
были бы кратны друг другу, или имели возможно большее чис­
ло общих делителей, что способствует ускоренной приработке
рабочих поверхностей зубьев. При расчете соосных кониче­
ских передач необходимо согласовывать числа зубьев, углы их
начальных конусов и углы между осями. Например, для пла­
нетарного механизма с коническими колесами, схема которого
изображена на рис. 1 2 .9 , должны выполняться следующие со­
отношения:
£ 1 2 + S 23 = 180°;
+_ с _
sin S 12
z\ /Z2 + COS 2j 12
. ,
2
sin E 23
Z3 /Z 2 + COSE23
Решая эти соотношения совместно, получают соотноше­
ние для межосевого угла £ 1 2 :
V,
*3 - *1
cos £12 = — ----- .
2z2
Из последнего соотношения легко установить нижний пре­
дел для чисел Z2 IZ2 > 0 , 5 (z 3 —z\).
Гиперболоидпой зубчатой передачей называют переда­
чу со скрещивающимися осями, аксоидами ее зубчатых ко­
лес являются однополостные гиперболоиды вращения (см.
рис. 9.1, в), оси которых не пересекаются.
Для обеспечения точечного касания линий зубьев можно
применить более простые по форме поверхности, чем гипербо­
лоиды вращения, что упрощает изготовление зубчатых колес.
Например, круглые цилиндры, соприкасающиеся только в од­
ной точке, лежащей на линии кратчайшего расстояния между
осями колес, или конусы с несовпадающими вершинами.
Гиперболой дну ю зубчатую передачу, начальные поверх­
ности зубчатых колес которой — круглые цилиндры, назы­
вают винтовой зубчатой передачей (см. рис. 2.18, д). Если
в качестве начальных поверхностей зубчатых колес выбрать
конусы с несовпадающими вершинами, то получим гипоид­
ную зубчатую передачу (см. рис. 2.18, ж ). Червячная переда­
ча представляет собой гиперболой дну ю передачу, начальные
и делительные поверхности зубчатых колес которой отличны
от конических, и шестерня (червяк 1) (см. рис. 2.18, е) имеет
винтовые зубья, а звено 2 называется червячным колесом.
Винтовая зубчатая передача (рис. 12.10) представляет
собой гиперболой дну ю передачу, начальные поверхности зуб­
чатых колес которой сливаются с делительными, а оси скрещи­
ваются под произвольным межосевым углом £. В большинстве
случаев применяют передачи с Е = (5W\ ± (5W2 = 90°, где (3wl
и flw2 — углы наклона линий зубьев (винтовых линий) по на­
чальным цилиндрам; верхний знак соответствует одноименно­
му направлению винтовых линий, нижний — разноименному.
В отличие от косозубых цилиндрических передач для вин­
товых зубчатых колес не является обязательным равенство
углов наклона винтовых линий и разноименность их напра­
влений.
На рис. 12.10, a-в показаны три проекции начальных ци­
линдров винтовой передачи с радиусами rw\ и r W2 и концент­
ричные им основные цилиндры с радиусами г в\ и г в2 . Вин­
товые линии на начальных цилиндрах показаны в положении
Рис. 12.10
касания в полюсе Р зацепления, п - п — нормаль к ним. Об­
щая касательная т—тсоставляет с осями колес соответственно
углы (iw\ и /3 ^ 2 , сумма которых равна Е.
Через полюс Р зацепления проходят образующие плоско­
сти Ец и Ei 2 , касательные к основным цилиндрам, в которых
расположены прямолинейные образующие, боковые поверхно­
сти зубьев, составляющие углы /Зц и 2 с осями колес. В пе­
редачах со скрещивающимися осями производящие плоскости
пересекаются по прямой, представляющей собой геометриче­
ское место точек контакта боковых поверхностей зубьев, на­
зываемых линией зацепления. Предельные точки N\ и N 2 ли­
нии зацепления отмечены на основных цилиндрах. Активная
длина линии зацепления определяется точками В\ и В 2 пере­
сечения линии зацепления поверхностями цилиндров вершин
зубьев колес радиусами га\и т
а
2.
Для колес 1 и 2 , вращающихся соответственно с угловы­
ми скоростями и\ и ^ 2 , на рис. 1 2 . 1 0 , в представлен план ско­
ростей, построенный при расположении колеса 1 над колесом
2. Исходя из равенства нормальных составляющих v™2 окруж­
ных скоростей в точке касания начальных цилиндров,’ справед­
ливо соотношение vn = u\rw\ cosj3w\ = U2rw2cos Pw2> откуда
^1
r w2 COS Pw2
Ш2
1*w l C O S (3w i
(12.29)
Из этого следует положение, характерное для винто­
вых передач: заданное передаточное отношение и \2 можно
осуществить, выбирая произвольно отношения rw2 /rwi или
cos(3W2/ cospwi. Если передача образована винтовыми колеса­
ми с правым и левым направлением винтовых линий, то знак в
равенстве (12.29) будет отрицательным. Формула (12.29) сви­
детельствует о многозначности решения задачи осуществле­
ния заданного передаточного отношения. Из множества вари­
антов следует выбрать тот, который дает лучшие качествен­
ные показатели зацепления винтовых линий.
В нормальном сечении шаг и модуль колес винтовой пере­
дачи одинаковы, поэтому для передачи, у которой начальные
и делительные цилиндры сливаются, имеем р = pw\ = p w2 =
= р = 7Г7п; в торцовых же сечениях модули разные: га/ cos/?i
и га/ cos/? 2 Радиусы делительных и начальных цилиндров определя­
ются следующими формулами:
mz\
rriZ2
(12.30)
&w — Тw\ "1“ Тw2
— ( Zl
. Z2 \
2 \COS/?i
COS /?2 /
(12.31)
Все исполнительные размеры определяются по формулам
для косозубых колес (см. § 1 1 .6 ). Скорость скольжения боко­
вых поверхностей зубьев в направлении общей касательной к
винтовым поверхностям зубьев для контактной точки, совпа­
дающей с полюсом (см. рис. 1 2 . 1 0 ) можно найти по формуле
rw
u\mz\
vi
(12.32)
V CK
sin
sin (3W\ 2 cos pwi sin (3Wi '
Вследствие точечного контакта рабочих поверхностей рас­
сматриваемых передач в сочетании со значительным скольже­
нием их нагрузочная способность мала, поэтому винтовые пе­
редачи применяют большей частью в приборостроении.
Червячную зубчатую передачу, являющуюся частным
случаем гиперболойдной, используют для передачи вращения
между скрещивающимися осями с постоянным отношением
скоростей звеньев. В большинстве случаев угол скрещивания
осей выбирается равным 90°.
Известны две разновидности червячного зацепления:
а) с цилиндрическим червяком (рис. 1 2 . 1 1 , б) (поверхность вит­
ков такого червяка является геликоидом); б) с глобоидным
червяком (рис. 1 2 . 1 1 , в), по форме которого зацепление назва­
но глобоидным. В зависимости от направления линии витка
червяка червячные передачи бывают с правым и левым на­
правлением линии витка. В зависимости от формы винтовой
поверхности червяка передачи бывают с архимедовым (архи­
медова спираль), конволютным (удлиненная или укороченная
эвольвента) или эвольвентным червяком. Червячное колесо
представляет собой косозубое колесо с зубчатым венцом спе­
циальной горловидной формы, охватывающим червяк и обра­
зующим как бы бесконечную гайку. Работу червячной пере­
дачи можно представить как непрерывное ввинчивание винта
— червяка в бесконечную гайку — червячное колесо. Чер­
вяк, как правило, является ведущим звеном, а червячное ко­
лесо — ведомым. Обратная передача движения (за редким
исключением) неосуществима из-за эффекта самоторможения.
щ
щ
Рис. 12.11
На рис. 12.11, а представлена червячная зубчатая передача с
червяком цилиндрической формы.
В отличие от винтовой передачи, составленной из цилинд­
рических колес с винтовыми зубьями, в червячном зацепле­
нии поверхности зубьев имеют не точечное, а линейное каса­
ние, что позволяет использовать такое зацепление для пере­
дачи значительных нагрузок. Другим важным достоинством
червячной передачи является возможность обеспечения пере­
даточного отношения от 20 до 500. Кроме того, червячная
передача, как и другие косозубые передачи, обладает высокой
плавностью и бесшумностью вращения.
Червячные передачи имеют и существенные недостатки:
1 ) КПД этих передач по сравнению с КПД других передач
низок и составляет 0 , 5 . .. 0 , 7 ;
2 ) повышенное скольжение контактирующих профилей
вызывает их износ и требует применения для венцов червяч­
ных колес антифрикционных материалов;
3) значительное выделение теплоты в зоне зацепления чер­
вяка с колесом требует интенсивного охлаждения передачи;
4) большая осевая сила, действующая на червяк, требует
постановки его на подшипники, способные воспринимать эти
реакции.
Н арезание червяков и червячны х колес. В соответ­
ствии с ГОСТ 18498-73 введены обозначения различных видов
червяков. Например, архимедов червяк обозначается как чер­
вяк ZA , конволютный — червяк ZJV, эвольвентный — червяк
ZJ и т.д. Каждый из них требует особого способа нарезания.
Нарезание червяков осуществляется либо резцами на токарно­
винторезных станках, либо модульными фрезами на резьбо­
фрезерных станках.
Резец, имеющий в сечении форму трапеции (рис. 1 2 . 1 2 , а),
устанавливают на токарно-винторезном станке так, что верх­
няя его плоскость А — А проходит через ось червяка (положе­
ние 7), и при нарезании образует винтовую поверхность, ко­
торая в сечении, перпендикулярном оси червяка, дает кривую
— архимедову спираль. В этом случае червяк называют архи­
медовым. Архимедов червяк в осевом сечении имеет прямоли­
нейный профиль витка, аналогичный инструментальной рейке.
А-А
Рис. 12.12
Угол между боковыми поверхностями профиля витка у стан­
дартных червяков, согласно ГОСТ 19036-81, а = 20°. Если
же резец повернуть на угол подъема винтовой линии червяка
7 (положение 2) так, чтобы верхняя плоскость резца А - А
была перпендикулярна винтовой линии, то при нарезании по­
лучится винтовая поверхность, которая в сечении, перпенди­
кулярном оси червяка, дает кривую — конволюту, а червяк
соответственно называют конволютным.
Для нарезания эвольвентных червяков используют два
резца (рис. 1 2 . 1 2 , б). Резец 1 с правой режущей кромкой, уста­
новленный выше оси червяка на расстоянии радиуса основного
цилиндра (dj,o/ 2 ), образует левую поверхность витка. Резец 2,
установленный ниже оси червяка на расстоянии радиуса основ­
ного цилиндра, образует правую поверхность витка червяка.
Режущие кромки а ^ - Д и а д - /д совпадают с образующими
прямыми, а в результате при нарезании получается винтовая
поверхность, которая в сечении, перпендикулярном оси червя­
ка, дает кривую — эвольвенту окружности.
Червячные колеса чаще всего нарезают червячными фре­
зами, причем червячная фреза должна представлять собой ко­
пию червяка, с которым будет зацепляться червячное коле­
со. Станочное зацепление червячного колеса и фрезы воспро­
изводит рабочее зацепление червячной передачи. Работоспо­
собность червячной передачи зависит от твердости и чистоты
винтовой поверхности червяка, поэтому после нарезания резь­
бы и термообработки червяки шлифуют, а иногда и полируют.
Кинематические и геометрические соотношения в
червячной передаче. Червячная передача характеризуется
передаточным числом гб = ^2 /^ 1 , где Z1 — число зубьев колеса
(обычно z\ — 18...300); z<i — число витков червяка (обычно
z2 = 1. ..4).
Геометрические размеры червячной передачи опреде­
ляются межосевым расстоянием а^, которое зависит от
диаметров червяка и колеса (рис. 12.13) и регламентируется
ГОСТ 2144-76.
Главными параметрами червяка являются модуль т и ко­
эффициент диаметра q. Модулем червяка называют линейную
величину, в q раз меньшую расчетного шага червяка. Расчет­
ным шагом червяка является делительный осевой шаг витков.
Рис. 12.13
Расчетным шагом одновиткового червяка является делитель­
ный ход витка, равный расстоянию между одноименными про­
филями данного витка по образующей делительного цилиндра.
Коэффициент диаметра qравен отношению делительного диа­
метра червяка к его модулю: q= di/m.
Модули и коэффициенты диаметра регламентируются
стандартом в соответствии с ГОСТ 19672-74. Чтобы червяк
не был слишком тонким, коэффициент диаметра увеличивают,
а модуль уменьшают.
Окружности, определяющие размеры червяка в средней
торцовой плоскости, называют средними концентрическими.
Различают окружности: делительную, диаметром di, началь­
ную, диаметром dw1 , вершин витков — da1 , впадин — dyj, при­
надлежащие соответственно поверхностям делительной, на­
чальной, вершин витков и впадин.
Диаметр делительного цилиндра червяка выбирают крат­
ным осевому модулю червяка: d\ = mq. Начальный диаметр
червяка без смещения dw\ равен делительному. Если коэф­
фициент смещения исходного производящего контура инстру­
мента при нарезании червячного колеса х ф 0 , то начальный
цилиндр червяка не сливается с его делительным цилиндром:
d
w
1 = m
(q + 2х).
Наклон винтовой линии витка по делительному цилиндру
определяют делительным углом подъема 7 и находят его из
соотношения
^
tg7
~ ird1 ~
^
q'
Высоту ГОЛОВКИ hal И НОЖКИ hfi витков вычисляют по
формулам
hai — h*am ; hfi =
где коэффициент высоты головки h* = 1 , коэффициент высоты
ножки для архимедовых и конволютных червяков равен
-2 , а
для эвольвентных ( 1 + 0 , 2 cos 7 ).
Диаметр вершин витков червяка равен
dal = ™(q + 2Ла);
диаметр цилиндра впадин —
dfi = d\ —2hfi;
п - 11273
толщина витка по делительному цилиндру составляет
жт
51 = ^ - '
На основании ранее выведенных в § 11.3 формул для
эвольвентной цилиндрической зубчатой передачи основные
размеры червячного колеса в среднем сечении и червячной пе­
редачи рассчитывают с использованием следующих формул:
диаметр делительной окружности
d2 = rriZ2\
диаметр окружности вершин зубьев
da2 = rn(z2 + 2х +
2 /i*);
диаметр окружности впадин
d f2 = m {z 2 + 2х -
2 h*f);
высота зуба
h = m(h* + h*j);
толщина зуба по делительной окружности
S2 = m
+ 2 a :tg a ) ;
межосевое расстояние зубчатой передачи
aw = m[(q +
^ ) /2
+ х].
Смещение червяка выполняют с целью вписывания пере­
дачи в стандартное межосевое расстояние. Коэффициент сме­
щения х исходного производящего контура инструмента выби­
рают в пределах ± 1 . Предпочтительно использовать положи­
тельные смещения, при которых повышается прочность зубьев
колеса.
Контрольные вопросы
1. Какую форму имеют сопряженные поверхности прямозубых колес
при коническом эвольвентном зацеплении с заданными начальными
конусами?
2. В чем заключается сущ ность метода дополнительных конусов и экви­
валентной цилиндрической передачи при расчете конической переда­
чи?
3. Какую форму имеют боковые поверхности производящих плоских и
плосковершинных колес в станочном зацеплении?
4. Каковы особенности кинематики и геометрии конической передачи?
5. Расскажите об инженерной методике расчета конической прямозубой
передачи.
6. В чем состоит различие между винтовой, гипоидной и червячной
зубчатыми гиперболоидными передачами?
7. Для каких случаев используются гиперболоидные передачи?
8. Какие механизмы называют гиперболоидными и каковы их разно­
видности?
9. Какие виды червячных передач используют в механизмах машин?
10. Какими особенностями кинематики вызвано скольжение зубьев чер­
вячной передачи?
11. Расскажите об основных достоинствах и недостатках червячных пе­
редач.
Глава
13
М ЕХАН И ЗМ Ы С НИЗШИМИ
П АРАМ И
В гл. 3 было показано, как, располагая структурной схемой механиз­
ма и размерами его звеньев, определить функцию положения и переда­
точную функцию различных точек и звеньев механизма, т.е. определить
его кинематические характеристики. При проектировании механизма не­
обходимо решать и обратную задачу: по выбранной структурной схеме
и заданной кинематической характеристике определить размеры звеньев
проектируемого механизма, при которых они совершали бы требуемые
движения. Такую задачу называют синтезом кинематической схемы ме~
ханизма.
Кинематический синтез плоских механизмов с низшими кинематиче­
скими парами (рычажных механизмов) содержит ряд конкретных задач,
среди которых следует указать: синтез по нескольким заданным дискрет­
ным положениям звеньев; синтез по заданной аналитически функции положения или по отдельным заданным кинематическим параметрам (средней скорости, отношению средних скоростей при прямом и обратных ходах
и т.п.); синтез по заданной траектории точки звена.
В настоящей главе рассмотрены методы кинематического синтеза
рычажных механизмов.
13.1. Основные этапы синтеза
Плоские рычажные механизмы, звенья которых образуют
вращательные и поступательные кинематические Дары, щи_
роко распространены в современном машино- и приборостро­
ении. К достоинствам таких механизмов относятся высокая
технологичность изготовления, возможность выполнения Шар­
нирных соединений на подшипниках качения, долговечность и
надежность в работе. Важное функциональное качество — это
возможность воспроизвести с заданной степенью приближения
практически любой закон движения или траекторию исполни­
тельного органа при соответствующем выборе структуры ме­
ханизма и размеров его звеньев. К недостаткам рычажных
механизмов необходимо отнести их меньшую универсальность
по сравнению с кулачковыми и зубчатыми механизмами.
Проектирование механизмов — сложная комплексная про­
блема, решение которой разбивается на несколько этапов. Пер­
вым этапом проектирования является выбор кинематической
схемы механизма, которая может обеспечить требуемый вид
движения и его закон. Ко второму этапу проектирования от­
носится разработка конструкторских форм механизма, обес­
печивающих его прочность и долговечность. Третий этап
проектирования — разработка технологических и технико­
экономических показателей проектируемого механизма.
В теории механизмов в основном рассматриваются и ре­
шаются задачи первого этапа проектирования, с помощью ко­
торых разрабатываются кинематические схемы механизмов,
воспроизводящих требуемый закон движения. Проектирова­
ние механизма начинается с выбора структурной схемы. Ее
выбирают из справочных материалов или разрабатывают на
основе анализа видов движения, которые должны быть реали­
зованы. Этот этап проектирования называют структурным
синтезом.
При наличии нескольких структурных схем различных
механизмов, пригодных для реализации требуемых парамет­
ров, следует выбирать наиболее подходящую. Разработчик
должен в первом приближении оценить кинематические, си­
ловые, точностные и другие характеристики механизма, что
заранее сделать достаточно трудно. На практике выбор струк­
турной схемы проводят чаще всего на основе предшествующе­
го опыта, знаний или интуиции проектировщика. При огром­
ном многообразии схем одних только рычажных механизмов
такой эвристический подход к выбору оправдан. Однако дале­
ко не всегда проектировщик выбирает удачную структурную
схему, о чем свидетельствуют конструкции некоторых суще­
ствующих механизмов, применяемых в машинах и приборах.
Вопрос о рациональном выборе структуры проектируемого ме­
ханизма сравнительно сложен, поскольку он трудно поддается
формализации.
После выбора структурной схемы механизма определяют
геометрические размеры звеньев. При этом учитываются в
основном кинематические функции, которые должен реализо­
вать механизм. Этот этап проектирования называют этапом
кинематического синтеза механизма, в рамках которого опре­
деляют относительные размеры звеньев, т.е. отношение гео­
метрических размеров звеньев к размеру одного из них. Отно­
сительные геометрические размеры звеньев называют геоме­
трическими параметрами механизма.
Структурный и геометрический синтез позволяет полу­
чить кинематическую схему механизма, соответствующую
требованиям, предъявляемым к проектируемому механизму.
Кинематические функции, которые должен реализовать проек­
тируемый механизм, воспроизводятся им с определенной точ­
ностью. Точность определяется условиями работы механизма,
а также требованиями, обусловленными технологическим про­
цессом. На основании анализа спроектированного механизма
по степени точности воспроизведения заданной функции реша­
ют, пригоден ли полученный механизм или необходимо прове­
сти корректировку предыдущих этапов проектирования с из­
менением исходных данных. Если и повторные расчеты не да­
ют удовлетворительных результатов, то необходимо перейти
к другой структурной схеме механизма и выполнить для нее
соответствующие расчеты. Этот этап проектирования назы­
вают этапом точностного проектирования.
Таким образом, задача проектирования механизма явля­
ется сложной, многопараметрической, причем число исходных
параметров механизма, как правило, больше числа исходных
данных, поэтому частью параметров приходится варьировать.
По принципу использования рычажные механизмы под­
разделяют на следующие группы.
1. Передаточные механизмы, реализующие заданную
функциональную зависимость между положениями входного и
выходного звеньев механизма или между их перемещениями.
2. Направляющие механизмы, в которых точка на звене,
совершающем сложное движение, перемещается при движении
механизма по заданной траектории.
Указанные задачи синтеза рычажных механизмов с низ­
шими парами можно решить как графическими, так и ана­
литическими методами. Выбор метода в значительной мере
зависит от тех условий, которые поставлены при проектирова­
нии (в частности, точность). Графические методы нагляднее
и проще с точки зрения их усвоения, но недостаточно точны. В
последние годы широко развиты аналитические методы синте­
за механизмов с низшими парами, с использованием которых
разработаны системы алгоритмов и программное обеспечение
автоматизированного проектирования рычажных механизмов.
13.2. Выбор методов синтеза
Для многозвенных механизмов задача кинематического
синтеза ставится редко. Чаще всего эту задачу решают для
основного механизма, который определяет работоспособность
всей машины в целом, так, например, в двигателях внутренне­
го сгорания, компрессорах, насосах и т.п. — для кривошипноползунных механизмов, в подъемно-транспортном оборудова­
нии, манипуляторах — для шарнирных четырехзвенных меха­
низмов.
Кинематический синтез механизма заключается в опреде­
лении постоянных параметров его кинематической схемы, ис­
ходя из условий задачи синтеза. Условия синтеза могут быть
самыми разнообразными по содержанию, но аналитически они
представляют собой некоторые условия связей, накладывае­
мых на параметры механизма, и имеют форму уравнений или
неравенств. В ряде случаев условие синтеза формулируется в
виде требования минимизации некоторой функции параметров
механизма, принимающей неотрицательные значения.
Независимые между собой постоянные параметры схемы
механизма называют параметрами синтеза механизма. Раз­
личают входные, выходные и свободные параметры синтеза.
Входные устанавливаются заданием на его синтез, а выходные
определяются в процессе его синтеза. Кроме параметров ме­
ханизма в условиях синтеза обычно используют и задаваемые
величины или функции, например заданная для воспроизведе­
ния функция перемещения механизма, заданный угол размаха
выходного звена, допускаемый угол давления и т.д.
Из задаваемых условий синтеза, определяющих свойства
механизма, обычно выбирают одно основное условие: получе­
ние заданной траектории, воспроизведение закона движения,
обеспечение минимального давления на стойку и т.п. Все
остальные условия (кроме основного) называют дополнитель­
ными. Например, ограничение длин звеньев, минимальные
или заданные габаритные размеры, минимальная масса, на­
личие одного или двух кривошипов и т.д.
Основное условие обычно выражают в виде целевой функ­
ции, экстремум которой определяет выходные параметры син­
теза. Если целевую функцию нельзя выразить в явном виде
через параметры синтеза, то ее задают алгоритмом вычисле­
ния. Если выделить одно условие синтеза затруднительно, то
составляют несколько целевых функций и ищут компромисс­
ное решение.
Задачи синтеза решаются точными или приближенными
методами. Точные методы применяются к малозвенным меха­
низмам, имеющим простую структурную схему. Для сложных
схем усложняются функции положения, передаточные функ­
ции, увеличивается число параметров синтеза. При синтезе
многозвенных механизмов часто требуется удовлетворить не
только кинематические, но и динамические требования к ме­
ханизму. В этих условиях более предпочтительными оказыва­
ются приближенные методы кинематического синтеза.
Кроме того, во многих случаях методы приближенного ки­
нематического синтеза более приемлемы, так как истинные ки­
нематические характеристики механизмов отличаются от рас­
четных, полученных точным методом. Это объясняется тем,
что в реальных механизмах вследствие погрешностей изгото­
вления и сборки, упругости звеньев всегда появляются зазо­
ры в кинематических парах, поэтому траектории точек, скоро­
сти и ускорения звеньев неизбежно отличаются от расчетных.
Если для сложных задач синтеза использовать приближенные
методы, то при обеспечении допустимых пределов отклонения
от заданных параметров затраты на расчеты окажутся значи­
тельно меньшими, чем при использовании точных методов.
Достаточная для инженерной практики точность функций
положения и передаточных функций достигается при приме­
нении приближенных методов кинематического синтеза. Сте­
пень приближения оценивается на основе теории приближения
функции Чебышева. Задача приближенного синтеза механиз­
мов (по Чебышеву) может быть разделена на три этапа. Пер­
вый этап — выбор основного условия синтеза и его ограни­
чений — заключается в определении целевой функции и ана­
литического выражения отклонений от нее в явном или неяв­
ном виде. Второй этап — упрощение аналитического выра­
жения основного условия синтеза в виде отклонения от задан­
ной функции. Одним из наиболее удобных способов упрощения
аналитического выражения отклонения от заданной функции
является использование метода взвешенной разности (взвешен­
ного отклонения):
Дд = ?Д,
(13.1)
где Дд — отклонение от заданной функции, выраженное функ­
ционально; q — непрерывная функция аргумента х и парамет­
ров приближающей функции Д, не обращающаяся в нуль на
рассматриваемом отрезке изменения аргумента х.
Например, для механизма шарнирного четырехзвенника
(рис. 13.1) отклонение от функции положения ipsivi) звена 3
при синтезе определяется по достаточно сложной зависимости.
Более простую зависимость можно получить, если это откло­
нение оценивать разностью Д /2 между длиной шатуна /2 и
выходным значением его / при синтезе, т.е. Д /2 = /2 — ^2 *
Очевидно, чем меньше Д / 2 , тем меньше отклонение от задан­
ной функции ^ 3 (^ 1 )- Если в качестве непрерывной функции
Рис. 13.1
аргумента выбрать q = I2 +
~
2 /2 ,
то получим Aq = q •Д /2 =
= 2>h(h — ^2 “ ( ^ ) 2* Так как AI 2 = h A ^ c o s t f, то с
учетом (14.1) получим А<^3 = A ^ K h cos т9) = Aq/(2l2h cos 1?),
где т? — угол давления звена 2 на звено 3 .
Третий этап приближенного синтеза — вычисление пара­
метров синтеза из условия минимума отклонения от заданной
функции. Этот этап выполняется сравнительно просто, если
получено простое аналитическое выражение для отклонения
от заданной функции или для функции, заменяющей это откло­
нение (взвешенной разности). Обычно он сводится к решению
системы линейных уравнений.
13.3. Условие существования кривошипа
в плоских четырехзвенных механизмах
Важной кинематической характеристикой при синтезе ме­
ханизма является проворачиваемость его звеньев (наличие в
нем одного или двух кривошипов), которая зависит от соотно­
шения длин звеньев. Рассмотрим плоский шарнирный четырехзвенник A B C D (рис. 13.2, а) с длинами звеньев а, 6, с и d.
Для того чтобы звено АВ могло стать кривошипом, оно долж­
но при вращении последовательно пройти через крайние левое
(АВ 1 ) и правое (А В 3 ) положения.
Предполагая, что а — длина самого короткого звена, d —
самого длинного, и используя известное соотношение между
длинами сторон треугольника (длина стороны треугольника
меньше суммы длин двух других его сторон), запишем следующие неравенства,
из AB\C\D
(13.2)
d + а < b + с,
из ABzCzD
d —о, < Ь-(- с.
(13.3)
Независимо от соотношения длин б и с неравенство (13.2)
всегда обеспечит выполнение неравенства (13.3). Если же
самым длинным является звено ВС или CD (b>c>d или
c>b>d), то неравенство (13.2) только усиливается.
Позиции АВ\ и АВ$ характеризуют крайние положения
коромысла CD. Звено ВС> согласно рис. 13.2, а, не делает пол­
ного оборота относительно стойки AD и потому является ша­
туном.
Неравенство (13.2) позволяет дать общую формулировку
Условия проворачиваемости звена плоского шарнирного четырехзвенника: самое короткое звено шарнирного четырехзвенНика может быть кривошипом, если сумма длин самого корот­
кого и самого длинного звеньев меньше суммы длин остальных
звеньев. Это положение носит название правила Грасгофа.
Применяя это правило, шарнирные четырехзвенники раз­
бивают на три группы:
механизм кривошипно-коромысловый (см. рис. 13.2, а) —
размеры его звеньев удовлетворяют правилу Грасгофа и за
стойку принято звено, расположенное рядом с самым корот­
ким;
механизм двухкривошипный, если сумма длин самого ко­
роткого и самого длинного звеньев меньше суммы длин осталь­
ных звеньев и за стойку принято самое короткое его звено; это
следует из того, что если кривошип при выполнении правила
Грасгофа делает полный оборот относительно стойки и шату­
на, то и эти звенья совершают полный оборот относительно
кривошипа;
механизм двухкоромысловый, если размеры его звеньев не
удовлетворяют правилу Грасгофа, а также в том случае, ко­
гда сумма длин самого короткого и самого длинного звеньев
меньше суммы длин остальных звеньев, но самое короткое его
звено является шатуном (рис. 13.2, б) и, следовательно, оно не
может быть кривошипом, поскольку не является звеном, рас­
положенным рядом со стойкой.
В предельном случае, когда неравенство (13.2) превраща­
ется в равенство, все звенья механизма в одном из крайних
положений располагаются по одной прямой. В результате по­
явится неопределенность движения выходного звена (оно смо­
жет двигаться либо в одном, либо в другом направлении).
Во внеосном кривошипно-ползуином механизме звено 1 бу­
дет кривошипом (рис. 13.2, в), если при вращении пройдет по­
ложения ip = 90 и 270°, что возможно при выполнении условия
h < h - И,
где е — внеосность ползуна (или дезаксиал). Пунктирной ли­
нией изображена схема при е < 0. Если 1\ > 1ч — |е|, звено
1 будет коромыслом, и такой механизм правильнее называть
коромыслово-ползунным.
В кулисном механизме (рис. 13.2, г) звено 1 всегда может
быть кривошипом; звено CD (кулиса) — кривошипом, если
при вращении пройдет положение </? = 270°, что возможно при
выполнении условия
^1 > ^4 + е,
где е — внеосность кулисы; в этом случае имеем механизм с
вращающейся кулисой. Если 1\ < /2 + е>кулиса CD будет коро­
мыслом (механизм с качающейся кулисой). Наиболее распро­
странены схемы кулисных механизмов, в которых внеосность
равна нулю.
13.4. Синтез четырехзвенных механизмов
по двум положениям звеньев
К ривош ипно-ползунны й м еханизм . Для централь­
ного кривошипно-ползунного механизма (внеосность е = О,
рис. 13.3, а) ход ползуна 3 (его максимальное перемещение) ра­
вен удвоенной длине кривошипа: h = 21\. Крайние положе­
ния ползуна соответствуют угловым координатам кривошипа
ip = 0 и 180°.
Как уже отмечалось, при проектировании механизмов
нужно учитывать весьма важный параметр, характеризую­
щий условие передачи сил и работоспособность механизма, —
угол давления д (угол между вектором силы, приложенной к
ведомому звену, и вектором скорости точки приложения дви­
жущей силы; трение и ускоренное движение масс при этом
пока не учитываются). Угол давления не должен превышать
Рис. 13.3
допустимого значения: tfmax < ^доп- Угол г? при передаче силы
на ведомое звено отмечают на схеме механизма в зависимости
от того, какое его_ звено является ведомым. Если им будет
ползун 3, то сила F 32 передается на него с углом давления $ 3 2 ,
а если кривошип J, то сила F 12 составит угол ^ 1 2 с вектором
скорости VQ.
При ведомом кривошипе угол давления i?i2 два раза за
цикл (когда шатун и кривошип располагаются по одной пря­
мой) получает максимальное значение, равное 90°. Эти поло­
жения кривошип проходит только благодаря инерции враща­
ющихся масс деталей, жестко связанных с кривошипом 1.
Наибольший угол давления ^З2 шах определяют путем ис­
следования функции $ 3 2 =
на максимум. Для централь­
ного механизма (е = 0 ) максимальное значение угла давления
^32 max = arcsin/i / / 2 будет при </? = 90 и 270°. Следовательно,
чем меньше значение Л2 = h/h> тем меньше размеры меха­
низма (по отношению к длине кривошипа), но больше углы
давления. А с возрастанием значения i?32max независимо от
того, какое звено является ведомым, увеличивается сила взаи­
модействия между ползуном и направляющей (между поршнем
и стенкой цилиндра поршневой машины). Поэтому, например,
для механизмов двигателей внутреннего сгорания отношение
Л2 принято выбирать в пределах А2 = 3 . .. 5, что соответству­
ет значению ^з2 шах = 1 9 ... 11° (см.: Баранов Г.Г. Курс тео­
рии механизмов и машин. М., 1967).
Во внеосном кривошипно-ползунном механизме (см.
рис. 13.2, в) ход ползуна (его максимальное перемещение) из
А А С гС[ и Д АС2С1
2
h
=
lC i C 2
=
y /i h
+
h ) 2
- e2 -
y /( h
~
h ) 2
~ e2,
(13.4)
откуда при заданных ft, e и A2 = h/h можно найти l\ (на­
пример, методом интерполяционного приближения — задава­
ясь рядом значений 1\, близких к Л/2 , и проверяя равенство
левой и правой частей уравнения). Максимальный угол давле­
ния т?з2 шах ПРИ е > 0 будет в положении, когда ср = 270°; если
же е < 0 , то при <р = 90°.
Если заданы два положения кривошипа (рис. 13.3, б), оп­
ределяемые координатами
и <^2 ? перемещение ползуна sc (с
учетом знака — на рис. 13.3, б sc < 0) и отношения А2 = h/h
и Ае = e/Zi, то длины звеньев 1\ и /2 определяют следующим
образом.
Проецируя цепь l\ + I2 на ось у, имеем для любого поло­
жения /1 sin ip + /2 sin 0 = е, откуда угловая координата звена 2
в положениях 1 и 2
01,2
= arcsin[(Ae - siny>1)2 )/A 2].
Аналогично проецируя ту же цепь на ось я, имеем
SC = ХС2 ~ х Сг = (h cos ip2 +
откуда после подстановки
/2
/2
cos 02) -
(/1
c o s ^ + I2 cos0i),
= A2/1 получаем
h = ----------------------- ^ ----------------=
— .
COS i f i 2 — COS i f i I + A2 ( cOS 62 — cos 0 \ )
Затем по заданному значению A2 находим / 2 *
К ри вош и пн о-кором ы словы й механизм (рис. 13.4).
По заданным длине стойки / 4 , длине ведомого коромысла /3
и его координатам 7 ь 7 2 в крайних положениях неизвестные
длины звеньев 1\ и /2 находят следующим образом. Соединяя
прямыми точки С\ и С 2 с точкой А, имеем
lACi =
*1
+ h\ Ia c 2 = h -
откуда
, _ lACx ~ lAC2 , _ lACi + lAC2
h - ------- j
; h j
«С
(13.5)
Угол давления t?32max будет максимальным при
или 180°.
= О
Механизм с возвратно-вращающимся (качающим­
ся) цилиндром. Этот механизм, применяемый в гидропри­
водах, изображен на рис. 13.5, а в крайних положениях АВ\С
и АВ 2 С. При переходе из одного крайнего положения в другое
поршень 2 перемещается на расстояние h (ход поршня), а ведо­
мое коромысло 1 длиной 1\ поворачивается на нужный угол /3.
Чтобы полностью использовать цилиндр 3 при перемещении
поршня, задаются отношением длины цилиндра /3 и 1в1С к
ходу поршня h в виде коэффициента к = / 3 / / 1 > 1 , определяе­
мого конструктивно; например, к = 1 , 3 ; 1 ,4 и т.д.
Необходимо также учитывать угол давления т? как угол
между_осью цилиндра, по направлению которой передается
сила F 1 2 , и вектором скорости v^2 точки приложения силы.
Этот угол переменный, поэтому при проектировании задают­
ся допускаемым углом давления ^доп? с тем чтобы при работе
механизма не превысить его.
Синтез оптимальной по углам давления схемы такого ме­
ханизма при заданных 11 , А;, (5 ведут следующим образом (см.
рис. 13.5, а). Построив положения АВ\ и АВ 2 ведомого звена
1, примем ход поршня h = 1в\В2- Отложив на продолжении
Рис. 13.5
•прямой В 2 В 1 отрезок /3 = 1в\С — kh, получим точку С.
В крайних положениях механизма, как это видно из AAB\N
и A A N В 2 , угол давления по модулю будет наибольшим:
^шах — /3/2.
Во всех остальных положениях угол давления будет мень­
ше, поскольку при переходе точки В из положения В-[ в по­
ложение
он меняет знак и, следовательно, проходит через
нулевое значение. Из AAB\N находим
h = 2 li sin(/3/2).
Из ААВ\С, согласно теореме косинусов, длина стойки
При небольших углах /? ^щах может быть в данной схе­
ме значительно меньше ^доп и этот вариант кинематической
схемы можно улучшить с точки зрения габаритов механизма
путем уменьшения длины стойки /4 .
Оптимальную по габаритам схему механизма при условии
^шах = ^доп получим следующим образом (рис. 13.5, б). Пусть
заданы / 1 , к, /?, ^доп- Вычертив первый вариант схемы, пе­
реместим точку С в новое положение Со, для которого угол
давления в положении 2 механизма увеличится и будет равен
допускаемому: •в11 = ^доп- При перемещении точки С угол да­
вления в положении 1 также меняется: сперва он уменьшается,
а затем может, пройдя через нулевое значение, поменять знак
и снова увеличиваться.
Теперь ход поршня h = Ib 2D < 1в1В2> его можно най­
ти, решая квадратное уравнение, полученное из ДС 0 -В1 -В2 по
теореме косинусов:
(Б 1С 0)2 = (Я 1Б 2)2 +
(С 0 В 2 ) 2 - <1 В \В 2 •С 0 в 2 cos(i? - /3/2),
где B i C q = kh, В \В 2 —2 1 \ sin(/3/2), C qB 2 = kh + h = (к + l)h.
Отсюда
где
b = - 4 li(k + 1) sin(/3/2) cos(i?flon - /3/2)/(2k + 1);
c = [2l\ sin(/3/2 ) ] 2 / (2k +
1 ).
/4 —
^ /J + (/3 + h)^ ~ 2/х(/з + h ) sin 1?доп*
Данный вариант кинематической схемы целесообразен
для случая, когда нужно преодолевать большую нагрузку на
ведомом звене в начале движения, поскольку угол давления
= ^доп, в результате чего увеличивается момент дви­
жущей силы F[2 относительно оси А и уменьшаются потери
на трение в кинематических парах.
Кинематические пары следует подобрать так, чтобы меха­
низм был статически определимым, или же, если это затруд­
нительно, свести к минимуму число избыточных связей. В
данном случае механизм будет статически определимым (без
избыточных связей), если пара А вращательная, пары В и
С сферические, пара поршень-цилиндр цилиндрическая. Т о­
гда, учитывая, что число степеней свободы механизма W =
= W q + W м = 1 + 2 = 3 (две местные подвижности — незави­
симые вращения поршня со штоком и цилиндра относительно
своих осей), по формуле Малышева получим q = 0.
13.5. Синтез четырехзвенных механизмов
по трем положениям звеньев
Шарнирный четырехзвенник. Пусть заданы длина
стойки / 4 , угловые координаты входного звена 1 в трех положе­
ниях р = <pi,
рз и соответствующие угловые координаты
выходного звена 3: 7 = 7 1 , 7 2 , 7 3 (рис. 13.6, а).
Требуется найти длины звеньев / 1 , /2, /3.
Рассмотрим векторный контур A B C D A , для которого в
любом положении механизма 7i + \ = h + h • Проецируя этот
контур на координатные оси х и у, имеем
/ 1 co s
<р +
/2 co s
/1 s in
v? +
/2 s in
в=
в=
/4
+
/3 co s 7
/3 s in 7
(13.6)
;
(13.7)
.
Исключим угол 0, решив уравнения (13.6) и (13-7) относи­
тельно слагаемых, содержащих в, возведя полученные равен­
ства в квадрат и сложив их:
/^ = /^ + ^ + /2 +
2 / 3 /4
cos 7 -
2 / 1/4
cos Ч>-
2 / 1 /3
cos(v? -
7
).
в
Рис. 13.6
После деления на 2 / 3 /4 и замены текущих значений углов <р
и 7 на заданные щ и 71 (г = 1 , 2 , 3) получим систему трех
линейных уравнений:
h cos(<pi
, - 7,)s + —
h cos ifii + ------l2
2 - ll—- -------ll - ll = cos 7,-,
T
/4
^‘ 3 4
/3
или
Pi
cos(v?i -
7 ,)
+
P2
(13.8)
cos (fii + P3 = cos 7 i, г = 1 ... 3,
где неизвестными являются безразмерные параметры
pi =
*1.
h. _
Р2 =
рз
=
^2
^1
^3
^4*
(13.9)
2 / 3 /4
Из системы (13.8) находим p i, рг, Рз, а затем, согласно
(13.9), находим искомые длины звеньев по формулам
/1
= Р1 / 4 ;
/3
=
/1
/р г ;
h
=
\ J ^ h h p z + 1\
+
/3
+
l\-
Задачу синтеза шарнирного четырехзвенника по трем по­
ложениям выходного звена и соответствующим углам поворо-
та входного звена решают методом обращения движения. В
этом случае заданы длины звеньев / 4 , / 3 , координаты выход­
ного звена 3 в трех положениях 7 ь 72 > 7 з и углы поворота
входного звена ((р2 — </?i) и (<£>3 — ipi). Требуется найти дли­
ны звеньев / 1 , /2 и начальную угловую координату (в положе­
нии 1) (pi.
Положение шарнира В по заданным условиям находят пу­
тем сообщения всему механизму относительно центра А угло­
вой скорости ( —^ 1 ). В результате звено А В в системе коорди­
нат Аху станет неподвижным, а вместо него в противополож­
ном направлении будет вращаться стойка AD\ (рис. 13.6,6).
Для положений 2 и 3 механизма угловыми координатами стой­
ки по отношению к оси абсцисс будут —{ч>2 —Ч>\) и —( ^ 3 —ф\).
Положение шарнира С является определенным по отношению
к стойке и его можно найти путем построения заданных углов
7 ь 725 7 3 (точки С ь С 2 , Сз). Длина шатуна ВС для трех
заданных положений одна и та же (ВС = ВС{> i = 1 , 2 , 3), по­
этому точки С должны находиться на окружности, описанной
из центра В . Следовательно, положение неизвестной точки В
можно определить, если точки С{ соединить двумя прямыми
С 1 С 2 и С 2 С 3 , провести через их середины £ 1 2 , #23 перпенди­
куляры и найти точку пересечения последних. При аналитиче­
ском решении для получения формул координат ж,*, у{ точек С{
кинематическая цепь AD{C{ представлена в виде суммы двух
векторов: /4 и / 3 . Координаты точек С{ определяются проек­
циями указанной цепи на координатные оси:
Х{
=
Vi =
/4 c o s ( v ? j
-/4
- (pi) + h
c o s [
7i - (Pi
-
¥ > 1 )];
sin(v?i - (pi) + h sin[7 ,- - {(fii ~ ‘Pi)]-
Координаты точки В найдем из системы уравнений ок­
ружности, описанной из центра В радиусом / 2 :
(xt - хв
)2 +
(Vi - У В ? = l l
г = 1,2, 3.
(13.10)
Система (13.10) трех уравнений с тремя неизвестными х #,
у В и h после несложных преобразований для исключения х^
и у ^ сводится к линейной.
По координатам х в ^ У в определяют исходные параметры
кинематической схемы механизма:
(13.11)
длину шатуна ВС
(13.12)
(как расстояние между точками В (х в ,у в ) и C i(z b ffi));
начальную координату входного звена
(13.13)
Ч>\ = arctg(2/5 /a:5 ).
К ривош и пн о-пол зунны й механизм. Проектирование
схемы данного механизма по трем положениям входного и
выходного звеньев производят в системе координат Ах у
(рис. 13.7) аналогично синтезу четырехшарнирного механиз­
ма. Задача сводится к определению неизвестных длин звеньев
/l и / 2 , а также угловой координаты у>\ звена 1 при заданных
внеосности (эксцентриситете) е, трех линейных координатах
точки С ползуна x q i , ^С2> х СЗ и углах поворота звена 1 по
отношению к его начальному (первому) положению <^2 - <£1 и
¥>3 - ¥>1 В
х
Рис. 13.7
Чтобы найти положение шарнира В по этим условиям,
применяют метод обращения движения, сообщая всему меха­
низму относительно центра А угловую скорость —и\. В ре­
зультате чего звено А В станет неподвижным, а вместо него в
противоположном направлении будут вращаться стойка и, сле­
довательно, ось направляющей ползуна. При наличии эксцен­
триситета е эта ось во всех положениях касается окружности
радиусом е.
Графически центр шарнира В находят как точку пересече­
ния перпендикуляра В Е \2 и ВЕ23 к серединам отрезков С1С2
и С 2 С3. При аналитическом решении определяют координаты
Х{ и у{ точек ползуна С{ (г = 1 .. .3) из уравнений проекций на
координатные оси суммы векторов x q { + ё:
Xi
=
x C i COS[-(tpi
- y?i)] + ecos[90° - (у>; — V»i)];
Vi = x a s in [-(w - V l)] + e sin[90° - (w — V»i)].
или после преобразования
Xi = *c»cos(v>i - <p i ) + esin(v5,- - y>i);
Vi = ~ x a sm(<fii - <pi) + e cos(v?j - <pi).
Дальнейшее решение аналогично решению четырехшар­
нирного механизма и проводят по формулам (13.10)— (13.13).
13.6. Синтез механизмов по средней скорости звена
и по коэффициенту изменения средней скорости
выходного звена
Кривошипно-коромысловый механизм. Даны длина
выходного звена Iз и координаты 71 и 7 2 крайних Положений
(рис. 13.8). Разность 7 1 —7 2 = 0 является угловым Ходом (раз­
махом) выходного звена. Кривошип А В вращается равномер­
но, а его центр вращения находится в некоторой, Пока неиз­
вестной, точке А на оси х.
Движение коромысла из положения 1 в положение 2 при­
мем за прямой ход, а движение в противоположном направле­
нии — за обратный ход.
Требуется спроектировать кинематическую схему меха­
низма, для которого отношение средних угловых скоростей Вы­
ходного звена при обратном и прямом ходах равно некоторой
Рис. 13.8
заданной величине К ш = w06 p/wnp (коэффициент изменения
средней скорости выходного звена).
На рис. 13.8 изображены два крайних положения механиз­
ма, в каждом из которых кривошип и шатун находятся на од­
ной прямой; угол между этими двумя прямыми АС\ и АС%
обозначен буквой в. Из рисунка следует, что за время прямого
хода <Пр кривошип повернется на угол (180° + в), а за время
обратного хода 20 бР на угол (180° — в). Следовательно, при
равномерном вращении кривошипа
к
/? Л о б Р
ш
/?/*пр
180° + в
180° - 0 ’
откуда
в = 180°
К ш- 1
К ш+ 1
Если угловой ход (3 поделить прямой DE пополам и через
точку С 2 провести прямую C 2 F, составляющую угол в с напра­
влением D E , то она пересечется с последним в некоторой точке
F Окружность радиусом If C2 = г будет геометрическим ме­
стом искомых центров вращения кривошипа А, поскольку в
любой точке этой окружности вписанный угол LC\AC2 равен
половине центрального угла LC\FC2 — 2 0 , опирающегося на
ту же дугу С 1 С 2 , и, следовательно, равен 0. Точка А пересече­
ния указанной окружности с осью абсцисс, согласно исходным
Данным задачи, будет центром вращения кривошипа. После
этого задача сводится к синтезу механизма по двум крайним
положениям звена 3 (см. § 13.3); длины кривошипа li и шату­
на /2 определяются по формулам (13.5).
Если в спроектированном механизме максимальный угол
давления больше допускаемого, следует выбрать другое поло­
жение центра вращения кривошипа на окружности радиусом
г (выше точки А).
К р ивош и пн о-пол зунны й механизм. При проектиро­
вании машин иногда задают среднюю скорость ползуна (порш­
ня) vCp (м /с). Для центрального кривошипно-ползунного меха­
низма (см. рис. 13.3, а) двойной ход ползуна, соответствующий
одному обороту кривошипа, 2h = А1\.
Если частота вращения кривошипного вала равна п
(об/с), то vcp = 2 hn = 4 /iп, откуда длина кривошипа (м)
^1 = ^ср/(4п).
Затем по заданному значению А2 = h/h можно найти и
длину шатуна / 2 .
М еханизм с качаю щ ейся кулисой. Шестизвенный ку­
лисный механизм (рис. 13.9, а) преобразует вращательное дви­
жение кривошипа 1 в возвратно-поступательное движение пол­
зуна 5, при этом средняя скорость vQ6 p ползуна при обратном
ходе больше в K v раз средней скорости vnp прямого хода. Ис­
ходными данными обычно служат ход h выходного звена 5 и
коэффициент изменения его средней скорости K v = v0Qp/vnp.
Например, в строгальных и долбежных станках изделие
обрабатывается в одном направлении с заданной скоростью
резания, а холостой (обратный) ход режущего инструмента
осуществляется с большей средней скоростью; в этом случае
K v > 1.
Коэффициент K v и угол (3 размаха (угловой ход) кулисы
связаны (при
= const) зависимостью
т* _ h/toQp _ 180° -f- (3
v ~ _r7T
h / t пр_ ~ 180°- / Г
откуда
о Kv ~ 1
(3 = 180'
Kv + 1 *
Длину кулисы находят из рассмотрения ее крайнего поло­
жения по формуле
*3 = I c d = V[2sin(/?/2)].
Рис. 13.9
В среднем (вертикальном) положении кулисы CD длины
звеньев
/3 ,
Ц = 1Aq ( стойки )
^3
=
= 1Ав связаны соотношением
и
^6
+
^1
+ а>
(13.14)
где размер а выбирают конструктивно с целью наиболее пол­
ного использования длины кулисы. С другой стороны, из пря­
моугольного А АВС находим
h = /6 sin(/J/2).
(13.15)
Подстановка значения 1\ в выражение (13.14) дает длину
стойки (межосевое расстояние)
/3 - а
1 + sin(/3/2)
6
После вычисления Iq можно по формуле (13.15) найти /и
для механизмов данного типа обычно le/h > 2.
При ведущем кривошипе угол давления при передаче уси­
лия от кулисного камня (ползуна) 2 к кулисе 3 i?32 = 0, что
является достоинством кулисных механизмов. Для обеспече­
ния наименьших углов давления при передаче усилия от зве­
на 4 к ведомому ползуну 5 целесообразно положение оси хх
выбрать так, чтобы она делила стрелку сегмента / пополам.
Тогда из прямоугольного A N D E длина звена 4
к = Ь
е
> / / ( 2 sin ^доп)>
где / = / 3 - / 3 cos(/?/ 2 ); в этом случае будет обеспечено соот­
ношение 1?т ах < 1?допРасстояние между осью вращения кулисы и осью напра­
вляющей ползуна 5 определяют по формуле
Ь= h ~ / / 2 .
Применяют и другой вариант двухповодковой группы зве­
ньев 4ч 5 с двумя поступательными и одной вращательной
парами (рис. 13.9, б). Этот вариант лучше предыдущего, по­
скольку $ 5 4 = 0 .
М еханизм с вращ аю щ ейся кулисой. Схема наиболее
часто встречающегося варианта такого механизма изображена
на рис. 13.9, б'. Исходные данные: длина /1 =
кривошипа,
ход h ползуна 5 и коэффициент изменения его средней скорости
К v = ^обр / ^пр ^ 1 •
Прямой ход ползуна 5 совершается при повороте криво­
шипа 1 на угол </>Пр = 180° + 0 , обратный — при повороте
кривошипа на угол <р0бр = 180° - в. Поэтому при и\ = const
к
v
h/to6p
180° + в
h/tnp
1 8 0 °-0 ’
откуда
в = 180°
Kv -
1
Kv + г
Расстояние Ц = 1дс между осями вращения кривошипа 1
и кулисы 3 из ААВ\С определяется формулой
/б
=
/i s in (i? /2 );
обычно для механизмов данного типа 1\/1ь > 2 .
Крайние положения точки Е ползуна ( Е\ и Е 2 ) соответ­
ствуют положениям точки В (В\ и В 2 ), когда направления
кулисы 3 и шатуна 4 совпадают, поэтому длина кривошипа
CD Ic d = h/2.
Длина шатуна 4 должна быть такой, чтобы максимальное
значение угла давления 3 = 1^54 не превышало допускаемого
значения г?доп, поэтому
/4
> Л/(2 sin 1?Доп)-
Удлинять шатун 4 сверх полученного предела не следует,
так как это увеличит габаритные размеры всего механизма.
Для получения наименьших сил в кулисной паре 2-3 (каменькулиса) желательно выбрать длину кривошипа 1 как можно
большей, однако следует учитывать, что при этом возрастают
габаритные размеры механизма.
13.7. Построение оптимизационной модели
и выбор метода оптимизации
В общем случае задачу оптимального проектирования
можно сформулировать как задачу математического програм­
мирования. При этом требуется найти вектор оптимальных
значений переменных проектирования x opt = (x°pt,
■
■■■, ®п>*)т >при котором достигается экстремум целевой функ­
ции Extr F( x, z, с). Чаще всего в качестве экстремума прини­
мается минимум целевой функции m inF(a;,z,c). (Впрочем, за­
дача поиска экстремума всегда может быть сведена к поиску
Р и с . 13.10
минимума, если учесть, что m inF(a:,z,c) = —m axF (x, z , с).
При этом предполагается, что функциональные ограничения
gj ( x, z, c) < 0 и параметрические ограничения
< 0 опре­
деляют область допустимых значений переменных проектиро­
вания х Е X.
Тогда оптимизационная модель может быть представлена
в следующем виде:
x opt = ArgExtrl€A'.F(:E,z,c);
9j(,x >z,c) <
0;
j = 1 ) 2 ,3 ,..., 77i,
9kix ) < 0; к = 1,2,3,.
dj
GA , x
—
(^ 1 )^ 2 ) **
В качестве примера рассмотрим построение оптимиза­
ционной модели восьмизвенного рычажного механизма пресса
(рис. 13.10).
Механизмы подобного типа широко применяют как меха­
низмы прессового оборудования, они требуют достаточно точ­
ного воспроизведения заданной функции положения выходного
звена. Поэтому в качестве основного условия синтеза может
быть выбрано условие близости реальной функции положения
Sj f oi ) к требуемой функции положения. Эту функцию мож­
но выразить в различной форме. Например, она может быть
представлена как среднее квадратичное отклонение реальной
функции от требуемой за рабочий цикл механизма, т.е. в виде
^Ikoh
Рис. 13.11
или в удобном для вычисления на компьютере виде
т
F(x,z,c) =
\
«=1
где Д,[5,Ы ] = S^(<pi) - S?'b(<pi).
В данном случае требуется минимизировать функцию от­
клонения, т.е. найти m inF(a:,z,c). На рис. 13.11 она пред­
ставлена заштрихованной областью. Эта функция является
целевой функцией (критерием оптимизации).
Дополнительные условия можно представить в следую­
щем виде.
1 . Условия существования однокривошипного четырех­
шарнирного механизма (для звеньев 1дв, 1вс> IC D и ^ A d ) :
\ U b ~ lCD\ <
lA B <
min[(/,4£> -
\Ib C ~
Ic
lAD
d
+
lCD\
\)\( lB C +
lC D ~ U
d
)]-
2 . Условие допустимости углов давления для всех враща­
тельных кинематических пар:
tijivu) < [tfj]-
Эти функции представляют собой функциональные огра­
ничения.
Вектор переменных проектирования можно записать как
вектор, представляющий длины звеньев, т.е.
х =
( x i , Х2 , Хз, Х4, Х 5, X 6 ) X j ) T =
=
{1 а В> 1В С > lB E
>Ic
e
* I c D , Ie
h
J
h e
V
Следует учесть, что переменные проектирования долж­
ны быть знакоположительными и, кроме того, на них также
могут накладываться определенные ограничения. Такие огра­
ничения будем называть параметрическими ограничениями.
Например: х\ < х\ < х\\ х^ < £ 2 < х^\
< х$ к
т.д. Здесь Х{ =
— нижняя граница переменной проектиро­
вания; Х{ — /, — текущие варьируемые значения переменной
проектирования; Х{ = 1{ — верхняя граница переменной проек­
тирования.
Вектор переменных сост ояния можно представить как
вектор кинематических параметров входного звена механизма:
Z
=
( z i , Z 2 ,z 3)T =
(¥>1,¥ >2,<?з)Т
Вектор пост оянных параметров — это вектор параме­
тров, которые необходимы в процессе оптимизации, но их зна­
чения в этом процессе не существенны. Такими параметрами
могут быть заданные расстояния между кинематическими па­
рами, расположенными на стойке (или их координаты):
С =
(ci,C
2 , C 3, c 4 ) T
=
{ lA D JD F, x FG, yFG)T
Если нужно, то эти параметры могут вводиться как пе­
ременные проектирования. Таким образом, оптимизационная
модель описана и может быть представлена как задача мате­
матического программирования:
x ° pt
= ArgExtrx & X F ( x , z , c ) \
m
9ll(x,z,c)
= |ci - *з| - ci -
9n ( x , z , c )
92 l ( x , z , c )
= ■dc( x , z , c )
= c i-
хз <
min[(ci - \х2 - *з|);(*2 + *3 - ci)] < 0;
- [fy] < 0;
922 (x, z, с) = 1?н(а:, г, c) - [tfj] < 0;
53l(z) = x\ - xi < 0;
9Z2{x) = *i - x\ < 0;
0;
< 0;
9Al ( x) = x 2 - x 2 <
9A2(x)
и т.д.
=
X2 - x 2
0;
При синтезе рычажных механизмов, как правило, приме­
няют методы оптимизации, основанные на использовании ме­
тодов математического программирования. Не касаясь глубо­
ко теории экстремальных задач, рассмотрим один из наибо­
лее популярных и, вместе с тем, один из наиболее простых
— метод штрафных функций. Он является достаточно уни­
версальным для решения широкого класса задач нелинейного
программирования.
Предположим, что исходную задачу оптимального проек­
тирования удалось сформулировать как задачу математиче­
ского программирования:
x 0pt = ArgExtri e ;f
9 j { x , z , c ) < 0;
Z,
с);
j = 1,2,3,. ..,m ;
9k(x)<
0; k = 1 ,2 ,3 ,...,n ;
x£X]
x = ( x i , X 2 , . . . x n )T
Тогда штрафная функция в общем виде может быть запи­
сана следующим образом:
Ф( R, x , z , c ) =
= F( x, z, с) + -
aj[gj(x, z, с)] + j=
1
J=m+ 1
где R — параметр штрафа; F( x, z , c ) — целевая функция;
gj ( x , z , c ) — функциональные ограничения, gj{x) — парамет­
рические ограничения, aj[gj(x,z,c)] — штрафной терм, кото­
рый приобретает положительные значения только тогда, когда
нарушаются функциональные ограничения.
Таким образом, если gj ( x, z, c) > 0 , то aj[ gj ( x, z, c)] > 0;
если gj ( x , z , c ) < 0 , то aj [ gj ( x, z , c )] = 0 .
Штрафную функцию можно представить, например, в ви­
де квадратичной, «работаю щ ей» только вне области допусти­
мых значений:
aj[gj(x ,z,c)} = [gj(x,z,c)]2H[gj(x,z,c)],
где H[ g j ( x, z , c )] — функция Хевисайда.
Второй штрафной терм обладает теми же свойствами, что
и первый. Однако он может «р а б о та т ь » и тогда, когда значе­
ния переменных проектирования не выходят за пределы допу­
стимой области. В этом случае он носит название барьерной
функции. При приближении к границе допустимой области ба­
рьерная функция резко возрастает:
Pj[9j{x)] =
щ + 6H[gj{xj)] + j\gj(x)\H[sj(xj)]t
где H[gj(xj)\ — функция Хевисайда от параметрических огра­
ничений в области допустимых параметров х£Х\ H[gj(xj)\ —
функция Хевисайда вне области допустимых параметров
х £ X ; 6 — допустимая относительная погрешность парамет­
ров проектирования. Этот параметр позволяет регулировать
степень влияния нарушенных ограничений на результирую­
щую штрафную функцию Ф (Л,ж,г,с). Процесс решения за­
дачи оптимизации состоит в минимизации результирующей
штрафной функции т т Ф ( Д ,ж ,г ,с ) каким-либо методом без­
условной минимизации. Простейшими среди них являются
метод покоординатного спуска и градиентный метод (метод
«наискорейшего спуска»). Первый метод используется толь­
ко в тех случаях, когда результирующая штрафная функция
Ф(Д, x ,z ,c ) недифференцируема, использование второго мето­
да возможно в тех случаях, когда функция Ф (Д ,ж ,г,с) имеет,
по крайней мере, первую производную.
Идея этих методов состоит в том, что на каждом шаге
итерации S = S + 1 метода минимизации штрафной функции,
значение переменной проектирования х 3 = (ж*,ж^, . . . , ж* )т из­
меняется на некоторую величину Дж5* 1, при этом ж5 + 1 =
= x s + Дх*5"1"1. Величина Д х *5-1" 1 = е 5 + 1 <Р+ 1 должна быть
выбрана так, чтобы Ф (Д ,х 5 + 1 ,г ,с ) < Ф (Л,х 5 ,г ,с ) на ка­
ждой итерации, где С5 + 1 — длина шага на итерации 5 + 1
a d5 + 1 — вектор направления поиска на этом шаге.
Если для решения задачи применяется метод покоор­
динатного спуска, то вектор направления поиска совпадает
с одной из компонент вектора переменных проектирования
те - d1 = ( z b 0 , 0 , . . . , 0 )T; d2 = ( 0 , 1 2 . 0 , 0 , . . . , 0 )т ,
=’
= ( 0 ,0 ,..., хп)т
Направление
на каждой итерации
выбирается таким образом, чтобы результирующая штраф­
ная функция уменьшалась.
При использовании градиент­
ного метода на каждом шаге в качестве вектора направле­
ния поиска вычисляется отрицательный градиент функции
ds + 1 = —У а;Ф (Д,х‘5 + 1 ,г ,с ). Критерием окончания проце­
дуры минимизации может быть либо ||Дх5+1|| < 6, либо
|Ф(Л, ж5+1, z, с) —Ф(Л, ж5 , z, с)| < £, где 6 и е выбираются в за­
висимости от требуемой точности решения и характера функ­
ций.
В качестве упражнения можно предложить составить ре­
зультирующую штрафную функцию Ф(Д,ж,г,с) по получен­
ной выше оптимизационной модели.
В общем случае задача оптимизации может быть поста­
влена как многокритериальная. Тогда F(x,z>c) = ( / i ( z , 2 ,c),
/ 2 ( 2 , z, с ) , . . . , / v(x, z, с))т представляет собой векторный кри­
терий, состоящий из частных критериев /i(x ,z ,c ). В этом слу­
чае задача также может решаться методом штрафных функ­
ций с учетом важности каждого из критериев. Весовые коэф­
фициенты /х/ (коэффициенты важности) определяются экспер­
тами в соответствии с их опытом и интуицией. Обобщенную
штрафную функцию можно представить следующим образом:
ф( ц, Л, х, г, с) =
v
D m
1
Р
= y} 2 ^ t f l ( x , z , c ) + - ' %2<*j [ gj ( x, z, c) ]+ Y
t= 1
j= l
j=m +
1
Решение задачи многокритериальной оптимизации явля­
ется в некотором смысле компромиссом. Таких решений может
быть некоторое множество, зависящее от конкретных значений
вектора весовых коэффициентов fit. Это множество решений
носит название Парето-оптимального множества решений (по
имени итальянского экономиста начала XX в.). Суть Паретооптимального решения состоит в том, что все критерии в ком­
промиссной точке являются не улучшаемыми.
Может встретиться и другая ситуация, когда целевая
функция имеет несколько экстремумов. Такая задача носит на­
звание многоэкстремальной. В этом случае необходимо отыс­
кать глобальный экстремум. Чаще всего в таких ситуациях
18 - 11273
используется метод «м ультистарта». Он состоит в том, что
методом случайного поиска и математического программиро­
вания осуществляется нахождение нескольких локальных экс­
тремумов, а затем выбирается глобальный экстремум, кото­
рый и соответствует решению задачи.
Контрольные вопросы
1. Перечислите основные этапы синтеза плоских механизмов с низшими
парами.
2. Сформулируйте условия существования кривошипа в плоских че­
тырехзвенных механизмах.
3. Как осущ ествляют синтез четырехзвенных механизмов по двум и
трем положениям звеньев?
4. Назовите методы оптимизации.
Глава
14
КУЛАЧКОВЫ Е М ЕХАНИЗМ Ы
Рабочий процесс многих, машин вызывает необходимость иметь в их
составе механизмы, движение выходных звеньев которых должно быть вы­
полнено строго по заданному закону и согласовано с движением других ме­
ханизмов. Наиболее простыми, надежными и компактными для выполне­
ния такой задачи являются кулачковые механизмы. Воспроизведение дви­
жения выходного звена — толкателя — они осуществляют теоретически
точно. Их входное звено называют кулачком. Закон движения толкате­
ля, задаваемый передаточной функцией, определяется профилем кулачка
и является основной характеристикой кулачкового механизма, от которой
зависят его функциональные свойства, а также динамические и вибраци­
онные качества. Проектирование кулачкового механизма разделяется на
ряд этапов: назначение закона движения толкателя, выбор структурной
схемы, определение основных и габаритных размеров, расчет координат
профиля кулачка. Методы выполнения этих этапов изложены в настоя­
щей главе.
14.1.
Виды кулачковых
механизмов и их особенности
Общее представление о кинематических схемах кулачко­
вых механизмов можно получить на примере газораспредели­
тельных механизмов двигателей внутреннего сгорания, пока­
занных на рис. 14.1. Эти механизмы служат для открытия и
закрытия клапанов, что позволяет наполнять цилиндры дви­
гателей горючей смесью (или воздухом), выпускать отрабо­
танные газы и надежно изолировать камеру сгорания от окру­
жающей среды во время тактов сжатия и рабочего хода.
Кинематические схемы механизмов газораспределения
приведены на рис. 14.1, а, б, в, а конструктивное оформление
их звеньев 1 и 2 — на рис. 14.1, г, д, е, ж, з, и.
ш ш
Рис. 14.1
Рис. 14.2
В зависимости от особенностей конструкции, функцио­
нального назначения машины и ряда других факторов приме­
няют разные виды кулачков (рис. 14.2), основными из которых
являются: а, б — плоские с поступательным перемещением
кулачка; в, г — цилиндрические; д, е, ж — дисковые; з —
конические; и — гиперболоидные; к — коноидные. Толкатель
кулачкового механизма (см. рис. 14.2) совершает движение: а,
б, г, д, ж, з — поступательное; б, е, и — вращательное; к: —
сочетание двух поступательных.
Контакт элементов в высшей кинематической паре может
обеспечиваться геометрическим замыканием за счет наличия
пазов (см. рис. 14.2, б) ж, и), охватывающих роликов (см.
рис. 14.2, г) и т.п. или силовым замыканием пары путем воз­
действия силы: тяжести, упругости пружин (см. рис. 14.1,5,
б, е,
з), давления жидкости или воздуха и т.п.
Рабочая поверхность толкателей, воспринимающая на­
грузку от кулачка, подвержена износу. Чтобы уменьшить из­
нос и увеличить надежность и долговечность механизма, ис­
пользуют башмаки различной конструкции; наибольшее при­
менение получили (см. на рис. 14.1): а, г — роликовые; в, ж —
тарельчатые с плоской; 5, е — цилиндрической и з, и — сфе­
рической контактными поверхностями, а также остроконечные
со сферой малого радиуса (ибо конец толкателя не может быть
выполнен абсолютно острым, т.е. точечным). При выпол­
нении башмака в виде роликов частично исключается трение
скольжения, заменяя его трением качения, уменьшается износ
элементов высшей кинематической пары и повышается надеж­
ность механизма.
Общее число возможных сочетаний кулачков, толкате­
лей, башмаков, способов замыкания кинематической пары и их
конструктивного оформления велико. Наиболее целесообраз­
ное сочетание выбирается с учетом большого числа факторов.
Удачное решение получают на основе опыта эксплуатации и
данных о надежности и долговечности кулачковых механизмов
разнообразных машин. Однако есть основные факторы и По­
казатели, которые необходимо учитывать при проектировании
конкретных кулачковых механизмов.
Единого универсального критерия, учитывающего весь
сложный комплекс вопросов, связанных с выбором закона дви­
жения толкателя, не существует. Поэтому при оценке эффек­
тивности профиля кулачка устанавливают комплекс заданных
условий и ограничений и располагают их в порядке убываю­
щей важности. На первых этапах проектирования находят ре­
шение для обязательных условий, а затем проводят уточнения,
исходя из экономических, технологических, эксплуатационных
и других практических соображений.
14.2. Закон перемещения толкателя и его выбор
Наиболее типичным графиком зависимости между переме­
щением толкателя и углом поворота кулачка является кривая,
приведенная на рис. 14.3, б для кулачкового механизма с по­
ступательно движущимся толкателем (рис. 14.3, а). На этом
графике внутри цикла (угол </?ц) можно выделить четыре фазы
и соответствующие им фазовые углы поворота кулачка: угол
удаления (</?у), угол дальнего стояния (<рд), угол сближения
(<рс) и угол ближнего стояния (<^б)- При геометрическом замы­
кании контакта в высшей кинематической паре кулачок явля­
ется ведущим звеном на обоих фазах движения толкателя: как
при удалении, так и при сближении. При силовом замыкании
контакта (см. рис. 14.1, б) движение толкателя на фазе сбли­
жения происходит под действием приложенной силы пружины
(или силы тяжести, или давления воздуха и т.п.), а на фазе
удаления — под действием профиля кулачка, который возбу­
ждает силу в контакте, направленную по общей нормали п —п
(см. рис. 14.3, а). Угол между нормалью п - п и направлени­
ем движения выходного звена 2 называют углом давления д.
Текущий угол давления
является величиной переменной и
может иметь знак (плюс или минус) в зависимости от распо­
ложения нормали относительно вектора скорости толкателя.
Сумма фазовых углов (ру + (ра + <рс = <^1р определяет ра­
бочий профильный угол £р = (flip на кулачке, равный цент­
ральному углу, внутри которого расположен профиль кулачка
(см. рис. 14.3, б).
Координаты
у ^ точки В на профиле кулачка опре­
деляют положение толкателя в неподвижной системе коорди­
нат
Координата х ^ = е определяет смещение оси
толкателя 2 относительно оси А вращения кулачка 1. Коорди­
ната у ^ может быть представлена в форме суммы (5Н+ S^i),
в которой первое слагаемое
5
Н = y rjj +
е2
является величиной
постоянной, а второе —
— функцией угла поворота
кулачка (р\. Радиус го называют начальным радиусом цент­
рового профиля, являющегося траекторией оси ролика в отно­
сительном качении по конструктивному профилю с начальным
Рис. 14.3
радиусом Ro. Обратим внимание, что полярный угол ф{ точки
В{ на. профиле кулачка в общем случае не равен углу поворота
кулачка
= Vli + Xi,
где х« = arctg[5„ + Sgi)/e] — arctg(S„/e). В частном случае
при е = 0 угол Xi = 0 И 1рц =
Радиус-вектор АВ точки В и его наибольшее значение
определяются из соотношений
U =
\ J ( S H + S B i) 2 + е2 ;
гНаиб = > J ( S H + Я ) 2 + е2 .
Координаты точки В в подвижной системе координат
связанной с кулачком 1, находят из соотношений
(!)
,
(1)
* В = ri cos Vi] Ув
.
,
= г«sin Vi ■
В практике проектирования наибольшее применение полу­
чили относительно простые законы движения толкателя, по­
казанные на рис. 14.4 для фазы удаления толкателя: а — ли­
нейный; б — параболический; г — косинусоидальный; д —
синусоидальный; в, е, ж — описанные полиномами. Функции
О
0,5
д
1
о
0,5
1
е
0
0,5
1
*
ж
Рис. 14.4
перемещения приведены в табл. 14.1 в зависимости от безраз­
мерного параметра &, значения которого на фазе удаления на­
ходятся в пределах 0 < ку < 1 .
При линейном законе скорость движения толкателя v =
= ds/dt на фазе удаления постоянна, ускорение аг = dv/dt
равно нулю, но в начале и конце фазы ускорение равно беско-
«j
xX
4
"8
н
нечности, что проявляется в форме «ж есткого» удара. Такой
закон допустим при малых массах толкателя и малых скоро­
стях движения.
В точках разрыва кривой ускорений (см. рис. 14.4), ха­
рактерных для параболического (б, в) и косинусоидального (г)
законов движения, ускорение и силы инерции толкателя изме­
няются наконечную величину («мягкий» удар). При плавных
кривых изменения ускорения ( д, е, ж) удары теоретически от­
сутствуют, если погрешности изготовления профилей доста­
точно малы.
Наибольшее применение имеют кулачки, обеспечивающие
плавную и безразрывную кривую ускорения толкателя (см.
рис. 14.3, ^ е, ж). Иногда безударный профиль задается тремя
плавными кривыми: полуволной синусоиды на участке поло­
жительного ускорения, четвертьволновой синусоиды и квад­
ратной параболой на участке отрицательных ускорений. В
табл. 14.1 приведены числовые значения для относительного
коэффициента максимальных скоростей /^AjyJmax и ускорений
f N(k y ) m a x толкателя.
14.3.
Угол давления и коэффициент
возрастания сил в кинематических парах
Угол давления $ определяет положение нормали в выс­
шей кинематической паре относительно вектора скорости и
контактной точки ведомого звена (см. рис. 9.2). Его значе­
ние определяется размерами механизма, передаточной функ­
цией vqQ = v b /u i скорости движения и скорости перемещения
Sb толкателя (см. (9.11) и (9.12)).
При заданной внешней статической нагрузке на толка­
теле, например силе FnС2 полезного сопротивления, силе Fn
упругости пружины для силового замыкания и силе тяжести
(?2 толкателя (рис. 14.5, а), реакции в кинематических парах
являются зависимыми от угла давления, т.е. от закона движе­
ния толкателя и габаритных размеров механизма. Этот вывод
легко установить из анализа плана сил, приложенных к толка­
телю (рис. 14.5, а, б) и формул (9.11) и (9.12). Чем больше угол
давления tf, тем больше реакции F23 и F21 в кинематических
Рис. 14.5
парах, а следовательно, тем больше силы трения при задан­
ных коэффициентах трения:
/ х 21
— между башмаком толка­
теля 2 и кулачком i, / Х2 з — между толкателем 2 и напра­
вляющими 3. При расчетах сил в кинематических парах для
поступательной кинематической пары между толкателем и на­
правляющими используют приведенный коэффициент трения
>который рассчитывают по величине угла (/р^ з >°пределяющего положение реакции F23 относительно перпендикуляра
к направлению перемещения толкателя.
/"2 3
Можно написать следующие соотношения между силами,
приложенными к звену 2 (см. рис. 14.5, а):
F с2 = F Пс2 + С?2 + F n + $ 2 i
F
23 + F е2 + F 21 = 0;
23 + -^23 =
F 23.
Так как сила F 21 должна проходить через узлы сил D и
В, координаты которых легко найти, то
/3
+ 0,5/п — 5Н+ Sg(ifii)
0,5/n/tgv?T23
Принимая <р"%3 = arctg /" | 3 и /"| 3; tpr23 = arctg / T23 »
~ /х 2 з, соотношение (14.2) записывают окончательно в следу­
ющем виде:
,пр
J т23
<
■
( h ~
= /т23 =
{
+
----------------
0 , 5/п
о Ж
—
----------------- )
В качестве параметра, оценивающего влияние угла да­
вления на условия передачи сил в кулачковых механизмах,
Л.Н. Решетов предложил использовать отношение up =
* с2
названное коэффициентом возрастания сил.
Аналитическое соотношение для определения up в случае
плоского кулачкового механизма с поступательно движущим­
ся толкателем легко найти из плана сил (см. рис. 14.5, 6) по
теореме синусов:
___________ Fc2___________ _ ______ ^ 21 ______
sin(90° - ^ 3 - д - <рт21) - sin(180° - ^ 3)
ИЛИ
*21. =
Fc2
с°
COs(lM-
5 У т 23
^
3
+ ^ T 2 l)
На рис. 14.5, г показаны кривые изменения коэффициента
vp возрастания усилий для трех случаев при различных зна­
чениях коэффициентов трения ( / T2i + /"23) ’ кРивая 1 — 0,1;
2 — 0 ,2 ; 8 — 0,5. Задаваясь допустимым коэффициентом vp,
можно рассчитать значение допустимого угла давления:
Чем меньше коэффициенты трения / х 21 и / " 2 3 и больше
допустимое значение коэффициента vp, тем большие углы дав­
ления 1? возможно использовать при проектировании кулачко­
вых механизмов.
При ориентировочных расчетах принимают следующие
значения допускаемых углов давления '1?ДОп: для поступатель­
но движущегося толкателя т?доп = 30 ... 15°; для вращающего­
ся толкателя ^ on = 45 .. .20°.
Если габариты механизма позволяют, то для уменьшения
потерь на трение целесообразно принимать меньшие значения
угла: 1?доП = 15 .. .20° Это оказывает положительное влияние
на коэффициент полезного действия т/, оценивающий отноше­
ние работы сил трения к работе движущих сил за какой-то
промежуток времени. Для механизма с поступательно дви­
жущимся толкателем на рис. 14.5, в приведены три графика,
показывающие изменение мгновенного КПД в зависимости от
угла давления при разных сочетаниях коэффициентов трения
/т 2 1 и / т 2 3 :
Кривая .
1
2
3
/т 2 1 .
0,2
0,2
0,01
/т 2 3 •
0,4
0
0,2
Графики показывают, что максимальные значения КПД
соответствуют определенным углам давления.
14.4. Определение размеров кулачкового механизма
по заданному допускаемому углу давления
Габаритные размеры механизма (радиус кулачка го, сме­
щение е осей толкателя и кулачка, межосевое расстояние а и
т.п.), обеспечивающие эффективную работу спроектированно­
го механизма, зависят от заданных условий и ограничений.
Оптимальным решением при заданных ограничениях называ­
ют такое, при котором выходные параметры синтеза, в данном
•случае габаритные размеры механизма, будут наименьшими.
Следовательно, математическая модель оптимизации с уче­
том соотношений (9.11) и (9.12) может быть записана в такой
форме:
для поступательно движущегося толкателя
nrrt(r (vB M )sgnw i т е ^
,0
’,_arctg s. + sBfo)
.
5 доп'
(14.1)
для вращающегося толкателя
^ = arctg ( vb M *S>*> 1 ~ (a co sy 2 ~ h ) <
a sin у>2
доп-
(14.2)
Эти соотношения представляют собой ограничения по углу
давления, который является величиной переменной, зависящей
от заданного закона изменения кинематических параметров
движения толкателя sgnwi = ± 1 (функция знака).
При проектировании кулачковых механизмов конструктор
стремится выбрать закон движения толкателя, который бы
наилучшим образом удовлетворял заданным требованиям. Во
многих случаях в качестве исходного принимают график изме­
нения ускорения толкателя ад (или относительных значений
ускорения va = aj3i/аВна.ч) в функции угла поворота кулачка
(рис. 14.6, а). Остальные кинематические параметры получа­
ют в аналитической форме или путем численного или графи­
ческого интегрирования. Например, график скорости толка­
теля vg или кинематической передаточной функции скорости
vqB = vb /u>1 (рис. 14.6, б) при графическом интегрировании
находят по соотношениям
т
d v g _ d vg dip\ _
dt
d <p\ d t
dvg
d (pi ’
откуда
vb
=
Связь между масштабами графиков (см. рис. 14.6, а, 6)
следующая: /х„ = цат/К\\ pqv = цдаЦ<р/Къ где [/*„] =
= мм/(м •с- 1 ); [nqv\ = мм/(м •рад- 1 ).
Рис. 14.6
Аналогичен переход к графику перемещений толкателя
(рис. 14.6, в):
VB ~
dSfi
d5^ d
d t ~~ d tpi d t
откуда
Sb
=
J
<п
v B & t\
SB =
/
¥>ln
dSB
Ul d <pi ’
J
Pin
v g B d<P i -
При этом связь между масштабами графиков определяют
из соотношений /i£ = ^V^t/K 2 и /2$ = ^Яу ^ / К 2 , где [//5 ] =
= мм/м.
Записанным выше ограничениям по углу давления 1? мож­
но придать геометрическую интерпретацию. Используя за­
данные (рис. 14.7, а) или вычисленные (см. рис. 14.6, б, в)
функции положения Sb (^Pi ) и передаточную функцию скоро­
сти VgBiv 1 ) строят график в координатах vqQy 5#, т.е. анало­
гично построению на фазовой плоскости: скорость х — пере­
мещение х.
При вращающемся толкателе выбирают полярную систе­
му координат с началом в точке С (рис. 14.7, в), при посту­
пательно движущемся толкателе — прямоугольную систему
координат
с началом в точке B q на начальной окруж­
ности кулачка (рис. 14.7,6). Система координат — правая:
поворот от положительного направления перемещения 5# к
отрезкам, изображающим положительные величины кинема­
тической передаточной функции vqg проводят против хода ча­
совой стрелки. Следовательно, при отсчете Sq вправо от ниж­
него положения ролика В положительные значения vqQ откла­
дывают вверх, отрицательные — вниз (см. рис. 14.7, а). При
этом кулачок 1 вращается в положительном направлении, т.е.
против хода часовой стрелки (см. рис. 14.7, б). Значения мас­
штабов по осям координат [//5 ] = мм/м и [fiqv\ = ммДм-рад"”1)
принимают одинаковыми, что позволяет изображать углы да­
вления $ без искажения. Максимальные значения передаточ­
ной функции vqB max на фазе удаления для краткости обозна­
чают через Цдз, на фазе сближения — через vq±.
На рис. 14.7, б, в эти величины изображены отрезками
= nqvvqz и 4 !4* = Hqvvqi- Принимая условие, что этим
значениям vqQ соответствуют углы давления, равные допус­
каемому ^доп, находят предельное положение оси 0\ вращения
кулачка в точке А пересечения ограничивающих лучей (см.
рис. 14.7, б). Каждый из этих лучей определяет «допустимую
полуплоскость», лежащую по одну ее сторону. Часть плос­
кости, которая принадлежит всем этим полуплоскостям, обра­
зует область допустимых решений (ОДР), в которой наверня­
ка выполняются ограничения по соотношениям (14.1) и (14.2).
t; ф
%
%
ф1
ф1
1
vtB;ym
и
Рис. 14.7
В этой области (см. рис. 14.7, б, в) можно выбирать ось 0\
вращения кулачка по условию б < баоп.
Такая геометрическая интерпретация соотношений (14.1)
и (14.2) используется для графического определения искомых
габаритных размеров кулачкового механизма: межосевого рас­
стояния а = Iq o i и радиуса го > гот щ = 1а В0 пРи вращаю­
щемся толкателе (см. рис. 14.7, в) или смещения осей « е » и
радиуса го > romin = Ia BO пРи поступательно движущемся
толкателе (см. рис. 14.6, б).
При использовании аналитических методов синтеза и ком­
пьютера для вычисления координат профиля необходимо рас­
полагать соответствующими зависимостями, представленны­
ми в аналитической форме. Обозначения необходимых па­
раметров показаны на рис. 14.7, в для вращающегося и на
рис. 14.7, б — для поступательно движущегося толкателя.
Перемещения Sq оси ролика относительно начального по­
ложения B q, соответствующие передаточным функциям скоро­
сти vg3 и Vg4 , обозначают для краткости записи S3 я S4 . Их
находят по графику перемещений при графическом интегриро­
вании заданной функции или с помощью стандартных подпро­
грамм нахождения максимума при интегрировании с исполь­
зованием ЭВМ.
Перемещениям S3 и S4 соответствуют углы поворота тол­
кателя Рз = S3 /I2 и /?4 = S4 H2 , где /2 — длина толкателя.
Угол Х2 в треугольнике С 3*4* (см. рис. 14.7, в) определя­
ют по теореме синусов, так как известны длины двух сторон
этого треугольника: С 4 * = h ~ vg4 sEnul и С5* = h ~ v?3 Sgnu>i
(обозначения масштабов опущены); здесь vq4 < 0, тогда
СЗ* _
sinx 2
3*4*
-------— г ИЛИ
sm(p4 - Рз)
(h ~ vg3 Sgnu;i) sin(flt - Рз)
(14.3)
sinx 2 =
hi
Функция sgnwi = ± 1 в зависимости от направления ы\.
Расстояние между точками 3* и 4 *, обозначенное через
/ 3 4 , определяют по теореме косинусов:
/34
= 3*4* = y / (h ~ Vq3 sgnu^i)2 +
( /2
- u^sgnwi)2-
- 2 ( /2 - vg3 Sgnu>i )(/г - t>g4 Sgnwi) cos(/?4 - Рз).
(14.4)
В случае поступательно движущегося толкателя соотношения
(14.3) и (14.4) приобретают частные значения (см. рис. 14.7, б):
* fS 4 -S 3 \
Х2 = arctg ------------- ;
\ vg3
~ vg4 )
- о* /» - V*3 ~ V*4
Далее, рассматривая треугольник АЗ*4*, в котором известна
одна сторона 3*4* и угол Хб> находят углы Х3 >Х4 и угол x i :
Хб = Х2 + (Pi - Рз);
(14.5)
хз = 90° - 1?доп + (04 - 0з) + Х2 ;
(14.6)
Х4 = 90 —1?доп —Х2 )
(14-7)
XI = 180° - (хз + Х4 )= 20доп~ (04 “ 0з)-
(14-8)
Для поступательно движущегося толкателя углы 04 и 0з
в пределе равны нулю и формулы (14.6) и (14.8) приобретают
частное значение:
Хз = 90° — 1?доп + Х2 ;
Х4 = 90° — ^доп —Х2 )
Xi =
21?доп.
Одну из сторон АЗ* = /31 рассматриваемого треугольника
АЗ*4* находят по теореме синусов:
АЗ*
3 *4 *
sinx4
sin x i
или
/3 1 =
АЗ*
sin Х
= /34
4
s in X I
’
Межосевое расстояние а = 1с а ->согласно теореме косину­
сов, вычисляют из треугольника СЗ* А (см. рис. 14.7, в):
а = y/(h -
v g3 S g n w i)2 +
lj j
+
2
(l2 - vq3sgnui)l3i
s i n г?д о п •
(14.9)
Угол <p2o, определяющий ближнее положение оси толкате­
ля С B q относительно межосевого расстояния С А, находят из
треугольника СЗ* А по теореме синусов:
А
З * _________ а
sin(<£>20 + 0з)
sin(90° + 1?доп) ’
или
а
откуда
Радиус го начальной окружности кулачка определяют из
треугольника C B qA :
(14.11)
В случае поступательно движущегося толкателя находят
смещение е оси его направляющей относительно оси А враще­
ния кулачка, координату 5 Н нижнего положения толкателя и
радиус го начальной окружности (см. рис. 14.7, б):
е — /31 sin 1?доп —
(14.12)
5„ = ^3 i cos 1?доп — 53;
(14.13)
(14.14)
При выборе оси вращения кулачка в точке А пересече­
ния граничных лучей график изменения углов 1? в функции
угла
поворота кулачка касается в двух точках прямых, со­
ответствующих углам ^доп (рис. 14.8, кривая J), и решение
считается оптимальным по критерию минимальных размеров
кулачка. Если ось 0\ расположить вне области ОДР, то в не­
которых положениях толкателя угол $ превышает угол т?Д(Ш
(см. рис. 14.8, кривая 2).
При жестких ограничениям по габаритным размерам ме­
ханизма принимают во внимание тот факт, что опасность за­
клинивания толкателя при ведущем кулачке и силовом замы­
кании контакта характерна только для фазы удаления. На фа­
зе сближения толкатель движется под действием силы упруго­
сти пружины или силы тяжести и заклинивание невозможно.
Это позволяет расширить границы ОДР для положения оси
вращения кулачка с учетом допускаемого угла давления ^доп
и направления вращения кулачка.
о, град
Рис. 14.8
На рис. 14.9, а, б показано несколько областей ОДР для
механизма с вращающимся толкателем, а на рис. 14.9, в — для
механизма с поступательным движением толкателя:
ОДР — направление вращения кулачка реверсивное, до­
пускаемые углы давления при удалении и сближении одинако­
вы и равны 1?Доп (рис. 14.9, а, б, в);
0ДР1 — направление вращения кулачка реверсивное, зна­
чения допускаемых углов на фазе удаления и фазе сближения
различные;
0ДР2 — удаление толкателя осуществляется при враще­
нии кулачка против хода часовой стрелки; предельное зна­
чение угла давления при сближении не регламентировано
(см. рис. 14.9, а, б);
ОДРЗ — удаление толкателя осуществляется при вра­
щении кулачка по ходу часовой стрелки, предельное значе­
ние угла давления при сближении не регламентировано (см.
рис. 14.9, б).
На рис. 14.9, в показано расположение оси Ох кулачка при
разных частных ограничениях: при е = 0 : О ц ; Охг; O n и при
е ф 0: O i 5 ; 0\%\ 0\$.
Соответственно ограничениям на движение звеньев полу­
чают разные габаритные размеры кулачкового механизма. На
рис. 14.10 показаны три центровых профиля кулачков, оси вра­
щения которых были выбраны так: профиль а — в ОДР при
Рис. 14.9
sgnwj = ±1 и
е= 0; профиль б — в ОДР при sgnwi = ±1 и
е ^ 0; профиль в — в ОДР при sgnwj = +1.
Соответствующие аналитические зависимости получают
как частные случаи ранее выведенных соотношений (14.3)—
(14.9).
Рис. 14.10
Для режима движения механизма, соответствующего об­
ласти ОДР (см. рис. 14.9, а) принимают и?4 и S4 равными ну­
лю.
Если область допустимых решений ограничивается лу­
чами 5* А и 6* А (рис. 14.11, а, б), то в расчетные формулы
Р и с . 14.11
(14.3)— (14.9) подставляют значения vqs и vqе, s$ и sq взамен
vg3 >tfyb
и 5 4 соответственно.
При вращающемся толкателе имеют место следующие со­
отношения:
03 = S 3 / I 2 ; 04 = 0;
sinx2 = [(*2 “ Vj3)/f34]sm03;
^34
=
\J{h - vq3)2 +
2(^2
“
vqz)h cos 03',
X3 = 90° — 1?доп — 03 + X2;
X 3 = 90° - 1?доп - X 2 ;
Xi = 180° — (хз + X4) = 2i? — 03.
При поступательно движущемся толкателе зависимости
будут следующими:
Х2 = arctg(-s 3 /v g3);
^34 = U?3/C0SX2;
l
_ v
1
?3
sin(90° — т?Доп —X2 )
co s X 2 s in 2 1?Доп
или
co s (г?доп +
^31 =
v q3
хг)
co s X 2 s in 21?д0П ’
Остальные формулы (14.9)— (14.14) остаются без измене­
ний. Расчеты по изложенной методике рекомендуется выпол­
нять на компьютере.
14.5. Определение габаритных размеров кулачка
по условию выпуклости профиля
Угол давления остается постоянным в любой момент взаи­
модействия кулачка с толкателем, если башмак толкателя вы­
полнен плоским. В частном случае, когда плоскость башмака
перпендикулярна оси толкателя, угол давления д становится
равным нулю (рис. 14.12, а, б). Это позволяет направляющие
толкателя выполнить в виде цилиндрической пары и распре­
делить износ башмака на большую поверхность за счет пере­
мещения контактной точки В вдоль башмака. Для такой кон­
струкции элементов высшей кинематической пары ограниче­
нием является условие выпуклости профиля кулачка, которое
можно записать в форме ограничения на радиус кривизны р
профиля:
Pmin ^ 0.
в
Рис. 14.12
(14.15)
В соответствии с обозначениями, приведенными на
рис. 14.12, а, это условие можно выразить следующим неравен­
ством:
Pi = SH + SBi(<Pl) - IcD-
(14.16)
Здесь SH = го; S
— текущие значения функции пере­
мещения; l c d — отрезок, имеющий определенный геометриче­
ский смысл, который легко выяснить сопоставлением AO\CD
на схеме механизма с АраС^с^ плана ускорений (рис. 14.12, в),
построенного для заменяющего рычажного механизма из зве­
ньев 1 *, 3, 2, по уравнению
аС2 ~
аЪ\ + аС2С1 + аС2С1 >
в котором а ?с2 С \ = 2oJe х v T
треугольников следует, что
=
2Щ
х
= 0. Из подобия
VQ2C1
ОС
CD
---т lo c
иС2
т
Ч
— = — , или lCD = аС2^ - = - ¥ = « ?С2 >
СХ/Пг-1
*С1
^Л 1
“ Cl
UC 2
L
J
1
т.е. расстояние между точками С и D численно равно переда­
точной функции ускорения точки С2 (или В) толкателя 2:
а дС2 = а д В -
а С 2 / и 1 ~ *C D ■
Следовательно, соотношение (14.16) можно записать так:
Pi = г0 + SBi(<Pi) ~ Ч ,в № i),
или решить его относительно радиуса го начальной окружно­
сти кулачка:
го = Pi ~ S siW i) + o.gBii'Pl)-
В частном случае при р{ — 0 и
значение радиуса tq минимально.
тах при 5#, = Я
1 4 .6 . О пределение коорди нат профиля
ди сковы х кулачков
В технической документации или на рабочих чертежах
необходимо приводить данные о координатах профиля кулач­
ка. Координаты рассчитывают либо для центрового, либо для
конструктивного профилей в зависимости от технологии изго­
товления кулачков.
Если размер ролика отличается от размеров инструмен­
та — фрезы или шлифовального круга, то рассчитывают ко­
ординаты технологического профиля, определяющего положе­
ние оси инструмента, необходимое для настройки станка, на­
пример с числовым программным управлением. Для контроля
точности профиля рассчитывают координаты измерительного
профиля, соответствующего размерам индентора измеритель­
ной машины.
К оор д и н а ты ц ен тр ового профиля ди ск ов ого кулач­
ка с п осту п а тел ь н о дви ж ущ и м ся тол к ател ем . Расчет­
ная схема изображена на рис. 14.13, а. Координаты текущей
точки В{ на центровом профиле: в полярной системе координат
Т{ и ф; в декартовой подвижной системе координат А х ^ у ^ \
1 Хд-,
(1) у (д1-.
)
связанной с кулачком 1:
Координаты текущей точки С{ на конструктивном профи­
ле: в полярной системе координат
и фа = ф
{ + 7,-; в де­
картовой системе координат А х ^ у ^ — Xq J, y^j (на чертеже
не обозначены). Габаритные размеры r0, Др, 5Н, е принимают
заданными или вычисленными ранее. Перемещение толкате­
ля {S q { — текущее значение и Н — ход толкателя) заданы
в функции обобщенной координаты cpi либо в аналитической
форме, либо в форме массива (таблицы) значений. Анализируя
расчетную схему (см. рис. 14.13, а), можно записать следую­
щие соотношения:
координаты точки В{ на центровом профиле
ri = \Je2 + (5 „ + SBi)2;
(14.17)
r„ =
(14.18)
e2 + (S„ + H )2
(следует учитывать, что при переходе от системы координат
x ^ B o y W к системе х М А у М меняется знак смещения: eW =
= —е(2));
/? 0 = arctg(e/5„);
Xi = arctg[(S„ + SBi)/e] - arctg(5„/e).
(14.19)
При отсчете углов по ходу часовой стрелки от оси А х (*)
(см. рис. 14.12, а) и смещении оси толкателя е > О
1>i = 4 > li-X i’,
(14.20)
*2» = г *'сов^»;
(14.21)
Ув} = -r.s in V ’,'.
(14.22)
Координаты точки С{ на конструктивном профиле:
1?,-
= arctg[(vg5l- - е )/(5 н + 5д,)];
(14.23)
R d = \]Щ, + г? - 2Лрг, cos(i?j + Ро - х»);
(14.24)
7» = arccos[(r? + R ci - Д р)/(2г,Д с ,)];
(14.25)
‘Фа = Ф{
г С«' =
+
7 «;
cos феи
«С,- = -■Rc.sinV’c».
(14.26)
(14.27)
(14.28)
Расчеты координат по формулам (14.17)— (14.28) прово­
дят с использованием ЭВМ и стандартных подпрограмм из ма­
тематического обеспечения системы автоматизированных рас­
четов по курсовому проектированию.
Ч а стн ы е случаи профилей ди ск ов ого кулачка. В
практике проектирования широко используют кулачковые ме­
ханизмы без смещения оси толкателя (е = 0). В этом случае
формулы (14.11)— (14.14) приобретают частный вид:
Г,- = г 0 + Sbu
(14.29)
0i = 0;
(14.30)
= <ри .
(14.31)
Для некоторых законов движения толкателя (например,
движение с постоянными скоростью, ускорением и углом дав­
ления) уравнение профиля легко выразить в аналитической
форме.
Так, для случая движения толкателя с постоянной ско­
ростью (v£ = const) кинематическая передаточная функция
скорости vqB = vB/иi является величиной постоянной, а пере­
мещение толкателя определяется соотношением
j
VB
V q B * < P l = — <PliU»1
Подставляя это соотношение в формулы (14.29) и (14.31),
имеем
Гг = г 0 + (vB/ui )фг(14.32)
Соотношение (14.32) представляет собой уравнение архимедо­
вой спирали.
Для случая движения толкателя с постоянным ускорением
(iат
в = const) кинематическая передаточная функция ускорения
(aqB = аТв ! и 1) является величиной постоянной, а перемещение
толкателя определяется в результате двойного интегрирова­
ния:
Подставляя это соотношение в формулы (14.29) и (14.31), име­
ем уравнение кривой 2 -го порядка
Г,- = го + (aT
B /uj)ipf/2.
(14.33)
Для случая передачи движения от кулачка к ролику с по­
стоянным углом давления 1? формула (14.23) приобретает част­
ное значение:
tg г? =
УдВ
vВ
Sh + SB{
b>l(rQ + S B i)
_
VB
Ш\Г{
S B /d < p i _
dr,r fitp i
или
d Ti/ri = tg i?d <pi.
(14.34)
Принимая
= 1?Доп> после интегрирования уравнения
(14.34) получаем уравнение профиля:
Гг = гое^‘ *б<,доп
(14.35)
Соотношение (14.35) является уравнением логарифмиче­
ской спирали.
Граф ический м етод профилирования. В этом случае
используют метод обращения движения, описанный в гл. 3.
Построение выполняют в такой последовательности
(рис. 14.13, б). Вычерчивают окружности радиусами е, го и
Ro = tq + Rp с общим центром в точке А. На начальной
окружности радиуса го выбирают начальную точку 0 профиля
и отмечают дуговые шаги 01 /, V21, 2'3' , . . . , равные Ду^го в со­
ответствии с заданным углом ¥>ip рабочего профиля и выбран­
ным числом N шагов (Д <^1 = tp\H/N). Через отмеченные точки
1/, 2 ', 3; проводят положения 1 , 1 ; 2'2; 373; 4' 4; . .. оси толкателя
в обращенном движении стойки ( —wi) с учетом направления
вращения кулачка. Эти линии проходят через точки 0 , I1, 2',
3' , . . . касательно к окружности, радиус которой равен величи­
не смещения е. Сумма углов Дф 01 + Д ¥>12 + Ду^гз +
равна
заданному углу y>ip. В направлении относительного движения
толкателя от начальной окружности (точки 0, Р, 2', 3/, . . . )
откладывают с учетом масштаба длины звеньев перемещения
Sgi толкателя отрезки P i , 2'2, 3,3, —
Через точки 0, 1, 2, 3 , . . . проводят плавную кривую, явля­
ющуюся центровым профилем кулачка. Конструктивный про­
филь получают как огибающую относительных положений ро­
лика, ось которого последовательно движется по центровому
профилю (см. рис. 14.13, б).
Координаты центрового профиля дискового кулач­
ка с вращающимся толкателем. Расчетная схема изобра­
жена на рис. 14.14, а. Координаты текущей точки В{ на цент­
ровом профиле кулачка обозначены: в полярной системе коор­
динат Т{ и
в декартовой системе
— x^j) и у
(ось Оха^1) направлена через начальную точку профиля).
Радиус г,- текущей точки .В, на центровом профиле кулач­
ка выражают из АО\С{В{ по теореме косинусов:
(14.36)
где
Ч>И = <Р20 + Pi',
Pi = Ssi/h ',
¥>20 = &TCs\n[(ro/l2)smipo]i
(14.37)
(14.38)
(14.39)
(14.40)
Рис. 14.14
•Л19 - 11273
Полярный угол
ле кулачка
текущей точки В{ на центровом профи­
1>i = (PU-Xi>
(14.41)
Xi = Фо~ arcsin[(/2 / r 0) sin <^2|].
(14.42)
где
Декартовы координаты текущей точки В{ выражают че­
рез полярные координаты:
(1)
/
х у = ricosipi]
( 1)
.
,
у у = -rising.
При графическом методе профилирования используют ме­
тод обращения движения, т.е. вращают стойку (линию С О \)
(рис. 14.14, б) относительно неподвижного кулачка. Для ря­
да фиксированных положений СО\ линии стойки:
0 , 1, 2 ,
3 , 4 , . . . , определяемых числом шагов A<pi = <fiip/Ny находят
на окружности радиуса го методом засечек размером 12 (дли­
на толкателя) точки 0 , 1 , 2 , 3 , . . . , от которых откладывают
дуги 1 1 ', 22', 33', изображающие в масштабе чертежа переме­
щения
•••оси В ролика толкателя. Точки 0 , 1 ',
2 7, З'у. .. соединяют кривой, являющейся центровым профилем
кулачка. Выбрав радиус ролика Rp, графически строят.кон­
структивный профиль кулачка, как огибающую относитель­
ных положений ролика, ось которого занимает последователь­
ные положения на центровом профиле.
В ы бор р ади уса ролика. Радиус Rp ролика в сило­
вых механизмах назначают по условию контактной прочно­
сти, т.е. с учетом ширины ролика, механических свойств ма­
териалов рабочих поверхностей ролика и кулачка и заданной
долговечности. В кинематических передачах геометрическим
ограничением являются допустимые ошибки положения и от­
сутствие самопересечения конструктивного профиля, когда ра­
диус ролика ошибочно назначают больше, чем минимальный
радиус кривизны ртjn на каком-либо участке центрового про­
филя 1 (рис. 14.15). Подобное самопересечение профиля по­
казано на рис. 14.15 для профиля 4 ПРИ -Йр4 > Pmin- При
Др3 = pmin на конструктивном профиле 3 имеет место тео­
ретическое заострение профиля (р\ = 0 ). При выполнении
условия R p2 < ртin кривизна конструктивного профиля 2 во
Рис. 14.15
всех точках не достигает предельного значения. На практи­
ке принимают Rp < 0 , 7 /9min, назначая конкретные значения в
соответствии со стандартным рядом диаметров и длин в ма­
шиностроении (ГОСТ 6636-69). Кроме того, радиус ролика
ограничивают условием
Rp < 0,4г0.
Координаты дискового кулачка с плоским толка­
телем. Расчетная схема изображена на рис. 14.12, а. По­
лярные координаты текущей точки В{ на профиле кулачка
обозначены г,- и
Смещение BE контактной точки В от­
носительно оси толкателя легко находят из подобия ACO\D
на схеме механизма и треугольника на плане скоростей (см.
рис. 14.12, в), построенному согласно векторному уравнению:
^В = v c 2 ~ v c i + VC2C1 •
Точка D совпадает с полюсом Р зацепления высшей кине­
матической пары: 0 \ D / vq = СОi/^C7l , откуда BE = 0\D =
— v b / u \ = vqBi т.е. расстояние BE численно равно кинемати­
ческой передаточной функции удв скорости толкателя.
Угол х% смещения контактной точки В{ находят из соот­
ношения
BE
VqBi
_
v qBi
g X i ~ EOi ~ SH+ SBi ~ tq + SBi
Полярные координаты
=
<PU
+ Xi\ ri = y j(r 0 + SBl)2 + v2
qBi.
При графическом способе профилирования используют ме­
тод обращенного движения стойки относительно неподвижного
кулачка (см. рис. 14.12, б).
От начального положения стойки 0 \ 0 откладывают углы
Д ^ п , Д<^1 2 ) Д<£>13 поворота стойки при ее вращении в напра­
влении, противоположном вращению кулачка. От начальной
окружности радиусом R q в направлении перемещения толка­
теля откладывают от точек 1, 2, 3, 4,
в соответствующем
масштабе перемещения Sq i , 5 # 2 >
толкателя, заданные
таблицей или графиком перемещений, и вычерчивают поло­
жение башмака (тарелки) толкателя. Огибающая семейства
прямых (положений башмака) является конструктивным про­
филем кулачка (т.е. R{ = гг).
14.7. Механизмы с цилиндрическими кулачками
В технологических машинах-автоматах и полуавтоматах
широкое применение получили кулачки i, выполненные в-форме цилиндров (или барабанов), имеющих паз и совершающих
вращательное движение с угловой скоростью и\ (рис. 14.16, а).
Толкатель 2 совершает либо поступательное (см. рис. 14.2, в
г), либо вращательное движение.
При графическом профилировании используют разверт­
ку цилиндра кулачка на плоскость (рис. 14.16, б). Исполь­
зуя метод обращения движения, считают, что развертка не­
подвижна, а ось С качания толкателя 2 движется со скоро­
стью vq — —увъ гДе vBi = и \т\ — скорость точки центрового
профиля на барабане. Заданные перемещения оси В ролика
откладывают по дугам 5#,-,
радиусом 12 = I s c • Наи­
больший подъем толкателя — ход Н — также откладывают
по дуге радиусом / 2 Угол
между вектором скорости толкателя v^ 2 и нормалью п — п к профилю кулачка на развертке является углом
давления. В векторном треугольнике скоростей углы xi и Х2
Рис. 14.16
выражают в следующем виде: х\ = $ + Pi\ Х2 = 90° — х • По
теореме синусов записывают соотношение
vBi/ s m x 2 = V0 2/ sinXl или w in /c o s 1? = V£2 /sin (# + /3i).
Так как sin(T? + /?,•) = sin
подстановки получают
cos Pi + cost? s i n то после
r. = _____-------------------------------------------------.
tg d cos Pi + sin Pi
tg t? cos Pi + sin Pi
П4.43,
v
'
Ограничивая угол давления t? по условию t? < 1?доп, мож­
но вычислить (или построить графически) изменение величи­
ны r\(Pi) и принять ее наибольшее значение за минимальный
радиус цилиндрического кулачка, обеспечивающий работу ме­
ханизма без заклинивания. Частным случаем является меха­
низм, в котором толкатель перемещается поступательно. В
этом случае кривая профиля кулачка на развертке аналогична
графику перемещения толкателя при равенстве соответству­
ющих масштабов. Угол Pi в любом положении равен нулю и
выведенное выше соотношение (14.43) принимает частное зна­
чение:
_
П ~
v b i/u i _
tg т?
vqB2
_ tg г? ‘
Из последнего соотношения следует r i mjn
vgB2 m a x
tg ^доп
14.8. Влияние упругости звеньев кулачкового
механизма на закон движения толкателя
и форму профиля кулачка
При синтезе быстроходных кулачковых механизмов прихо­
дится учитывать характеристики реальных звеньев, которые
отличаются от характеристик абсолютно твердых тел. Напри­
мер, низкая жесткость, значительные массы и высокие ускоре­
ния при движении звеньев газораспределительных механизмов
ДВС (см. рис. 14.1, ж, з; 14.17, а) приводят к возникновению
упругих колебаний, которые накладываются на закон движе­
ния выходных звеньев. Считается, что в этом механизме по
С,
Ж
X
х п
Y////S//U
С
£-5
S
тпр
С,л
]
Ш1
МО
.J
А*М
1
(&
)
0),
а
Рис. 14.17
крайней мере четыре звена обладают податливостью: распре­
делительный вал
штанга 2, коромысло 3 и клапан 4 с кла­
панной пружиной (см. рис. 14.17, а). В период, когда клапан
4 закрыт, все звенья механизма разгружены и можно принять,
что каждый следующий подъем ведомых звеньев не связан с
предыдущим и не зависит от него.
При выборе динамической модели механизма, которая от­
ражала бы влияние упругости звеньев реального механизма,
стремятся учесть инерционные свойства механизма в форме
конечного числа приведенных масс, которые соединены безы­
нерционными геометрическими, кинематическими или упру­
годиссипативными связями. На рис. 14.17 показаны две ди­
намические модели: трехмассная (рис. 14.17, б) и одномассная
(рис. 14.17, в), отличающиеся уровнем идеализации рассма­
триваемого механизма.
При приведении масс и моментов инерции звеньев к той
или иной модели стремятся сохранить баланс кинетической
энергии. При учете упругости звеньев эта задача решается
приближенно. При трехмассной модели к массе m "p относят
массу клапана
треть массы клапанных пружин и часть
массы от момента инерции коромысла. При расчете массы
учитывают одну треть массы штанги 2У оставшуюся часть
массы от момента инерции коромысла. При расчете массы
m f учитывают оставшиеся две трети массы штанги 2, массу
башмака и часть массы распределительного вала, соответству­
ющую участку между соседними опорами.
При одномассной динамической модели (см. рис. 14.17, в)
масса т пр учитывает инерционные характеристики всех зве­
ньев механизма, приведенные к одной точке с учетом соответ­
ствующих кинематических передаточных функций. Аналогич­
ные рассуждения проводят относительно коэффициентов жест­
кости ci, С2, сз, С4 в трехмассной модели, cq и с — в одномасс­
ной модели и соответствующих коэффициентов демпфирования
Аь к2, h и ко- Коэффициенты жесткости ci и с соответствуют
коэффициенту жесткости клапанной пружины; С2 — коэффи­
циенту жесткости коромысла; сз — приведенному коэффици­
енту жесткости штанги 2\ С4 — приведенному коэффициенту
жесткости участка распределительного вала; со — приведен­
ной жесткости механизма. Для упрощения расчетной схемы
коэффициенты демпфирования к принимают в первом прибли­
жении равными нулю.
Вынужденные колебания масс в трехмассной системе опи­
сываются системой дифференциальных уравнений (верхний
индекс « п р » у приведенных масс опущен для краткости за­
писи):
m i i i i + ( c i + С 2 ) у \ - С2 У 2 = 0 ;
ГП2 У2 -
С 2У 1 + (С 2 + С з ) у 2 -
^ зУ з = 0 ;
тзУЗ - ЧУ2 + (с3 + С4)УЗ = -FX0В правой части последнего уравнения функция F (t) описывает изменение возбуждающей силы, учитывающей силу
предварительной затяжки клапанных пружин, силу упругости
вследствие перемещения ведомого звена, задаваемого профи­
лем кулачка.
Вынужденные колебания массы т в одномассной системе
описывают дифференциальным уравнением:
ту + коу + (с 0 + с)у = F (t).
•Если ординаты у\, 2/2 >Уз и У соответствуют перемещениям зве­
на приведения за счет упругости звеньев, а ордината x(t) соот­
ветствует номинальному перемещению за счет профиля кулач­
ка, то разность соответствующих величин выражает деформа­
цию z(t) звеньев кинематической цепи механизма. Например,
для одномассной модели
z(t) = x(t) - y(t).
Решение написанных дифференциальных уравнений при
произвольном виде функции F(t) проводят одним из численных
методов на компьютере.
Не приводя в учебнике подробных выкладок, можно оста­
новиться только на важнейших выводах, которые характери­
зуют динамические качества кулачкового механизма с учетом
упругости звеньев.
В момент разрыва кинематической цепи (при z < 0) штан­
га 2 отрывается от кулачка 1, возникают дополнительные ди­
намические нагрузки на звенья, и клапан 4 становится неупра­
вляемым. При интенсивных отрывах наблюдается повторный
отскок клапана за счет ударного восстановления контакта. Все
эти явления нежелательны и их следует устранять на стадии
проектирования профиля кулачка.
Упругие колебания вызывают изменение действительной
скорости в момент посадки клапана на седло по сравнению со
скоростью, определяемой профилем кулачка. Это приводит к
преждевременной посадке клапана на седло или к повторному
отскоку клапана.
Особое внимание при синтезе следует уделять выбору по­
ложительных значений ускорений толкателя, соответствую­
щих концевым участкам профиля кулачка, так как эти участ­
ки вызывают наибольшие расчетные деформации в механиз­
ме. Наибольшая амплитуда упругих колебаний соответствует
Концу участка положительных ускорений и она возрастает с
Увеличением частоты вращения распределительного вала, по­
этому максимальное ускорение связано с частотой вращения
квадратичной зависимостью.
1. И зо б р а зи те гр аф и к и к и н е м а т и ч е ск и х п е р е д а т о ч н ы х ф ун кци й у ск о ­
рения, с к о р о с т и и п ерем ещ ен и я т о л к а т е л я к у л а ч к ов ого м ех а н и зм а в
ф ун к ц и и у гл а п о в о р о т а д и ск о в о г о кул ачка. К а к и е со о т н о ш е н и я о п р е­
д е л я ю т свя зь м е ж д у эт и м и гр а ф и к а м и ?
2. Ч т о п р е д с т а в л я е т с о б о ю у гол давлен и я в к ул а ч к овом м ехан и зм е?
О б ъ я сн и т е , п оч ем у о г р а н и ч и в а ю т значения у гл а давлен и я д о п у ск а е ­
м ы м и п ределам и .
3. И зо б р а зи те в ф а зо в ы х к о о р д и н а т а х ( v gB , зв) граф и к, на к о т о р о м
п о к а ж и те о б л а с т ь д о п у ск а е м ы х п ол ож ен и й оси вращ ен и я к ул а ч к а по
к р и т е р и ю д о п у с т и м о г о значения у гл а давлен и я.
4. О х а р а к т е р и з у й т е м е то д и к у определения к о о р д и н а т ц е н т р о в о г о п р о­
филя д и ск о в о г о к ул ачк а при за да н н ом законе д ви ж ен и я т о л к а т е л я .
М ЕХАН И ЗМ Ы С ПРЕРЫВИСТЫМ
ДВИ Ж ЕН И ЕМ ВЫХОДНОГО ЗВЕНА
В м а ш и н а х а в т о м а т и ч е с к о г о и п ол у а в том а ти ч еск ого дей стви я ш и­
роко и с п о л ь з у ю т с я м еха н и зм ы , к о т о р ы е п озв ол я ю т в пределах рабочего
цикла и м е т ь о с т а н о в к и в ы х о д н о го звена заданной п р од ол ж и тел ь н ости при
н еп р ер ы в н ом д ви ж ен и и в х од н ого звена. Т а к и е механизм ы н а зы в а ю т ме­
хан и зм а м и с о ст а н о в к а м и или м еханизм ам и с п р ер ы в и сты м движ ением
в ы х о д н о го звена. О ст а н о в к а м о ж е т б ы т ь полной или поч ти полной (ква­
з и о с т а н о в к а ), а ее п р о д о л ж и т е л ь н о ст ь — как заданной, та к и неопределен­
ной. О ц ен к у долей д ви ж ен и я и оста н ов к и в общ ем ра бочем цикле меха­
низм а о с у щ е с т в л я ю т п о с р е д ст в о м о т н о си т е л ь н ы х коэф ф ициентов времени
д ви ж ен и я и врем ен и о ст а н о в к и в ы х од н ого звена. Для сообщ ен и я преры ­
в и ст о г о д ви ж ен и я в ы х од н ом у звену п р и м ен я ю тся разны е механизм ы : хра­
повы е, м а л ь т и й ск и е , з у б ч а т ы е с неполны м и колесам и и др.
15.1. Зубчатые и храповые механизмы
На рис. 15.1, а приведена схема зубчатого механизма пре­
рывистого движения, где ведущее звено 1 представляет собой
зубчатый сектор с z\ зубьями, который может входить в за­
цепление с зубчатым колесом 2, число зубьев которого z<i — z\.
После поворота зубчатого сектора 1 на угол
звено 2 остаЦ&вливается и фиксируется в неподвижном состоянии запира­
ющими дугами: выступом 4 на ведущем звене 1 и вырезом 3 на
ведомом звене 2. Состояние остановки соответствует повороту
ведущего колеса на угол </?1П.
Коэффициент кп времени остановки (рис. 15.1, б):
кп
Та
Тп
Ч>1п
27Г
Угол </?1Д содержит целое число угловых шагов 27r/zi, ко­
торое соответствует целому числу угловых шагов 27r/z2 на ко­
лесе 1. Однако коэффициент перекрытия в зубчатой передаче
сектор 2 — колесо 1 обычно больше 1 и это может вызвать
дополнительный поворот колеса 2 по сравнению с углом 27т,
что нарушит условие сопряжения зубьев в начале следующей
фазы движения. Для устранения этого явления на стадии про­
ектирования механизма предусматривают обеспечение коэф­
фициента перекрытия последней пары зубьев равным 1. Это
наиболее просто достигается уменьшением высоты последнего
зуба на сегменте 1 на расчетную величину.
Недостатком зубчатых механизмов с неполным числом зу­
бьев является наличие удара в моменты начала зацепления и
начала фиксации остановки запирающими дугами. Поэтому их
используют в тихоходных машинах при невысоких значениях
ускоряемых масс.
Более широко применяют рычажные механизмы в сочета­
нии с муфтами свободного хода или с храповыми колесами.
В муфте свободного хода (рис. 15.2, а) ролики или шари­
ки 4 расположены между элементами звеньев 3 и 5. В зави­
симости от направления относительного поворота звеньев 3 и
5 ролики или шарики 4 могут заклиниваться между поверхно­
стями или проскальзывать. Для удержания роликов или шари­
ков в постоянном контакте с поверхностью звена 3 применяют
пружины, натяжения которых можно регулировать винтами
(на схеме не показаны). Непрерывное вращение кривошипа 1
преобразуется в одностороннее прерывистое движение звена 5
посредством шатуна 2, коромысла 3 и роликов или шариков 4Угловая скорость
звена 5 является переменной.
Храповые механизмы (рис. 15.2, б) б), допускающие дви­
жение выходного звена только в одном направлении с оста­
новками, имеют в своем составе ведомое храповое колесо 4 с
Рис. 15.2
зубьями, в рабочие поверхности которых упираются элементы
рабочей 5 и стопорной 6 собачек (см. рис. 15.2,6). Рабочая
собачка 5 шарнирно закрепляется на коромысле 3 шарнирного
четырехзвенника ABC D с кривошипом 1 и шатуном 2. При
постоянном угле качания коромысла 3 число захватываемых
собачкой зубьев можно регулировать щитком 7 , передвигая его
по наружной дуге. Стопорная собачка 6 не допускает поворота
храпового колеса 4 под действием сил полезного сопротивле­
ния.
В некоторых устройствах входное звено 2 может совер­
шать поступательное движение (см. рис. 15.2, в), а храповое
колесо 1 — вращательное движение с остановками. Для надеж­
ного контакта собачек с зубьями храпового колеса использу­
ют принудительное замыкание силой упругости пружины (см.
рис. 15.2, б).
Профили зубьев храповых колес могут иметь различное
исполнение: нормальное с заострением (см. рис. 15.2, б) и уси­
ленное с фаской (рис. 15.2, г); без поднутрения (а = 0) и с под­
нутрением (а ф 0 ), где а — угол поднутрения профиля.
Основным размерным параметром храповых колес явля­
ется стандартный модуль т (ГОСТ 9563-80) по окружности
вершин радиусом ra = rnz. Высота зуба h = ra — r j зависит
от формы зуба. Для нормального профиля без поднутрения
высота зуба определяется по формуле
h=
mz s i n ( 7r / - 2r )
cos ( 7 — 7г/-гг).
sin 7
Для нормального профиля с поднутрением высота зуба
определяется аналогично:
,
m z s i n (
7r / 2: )
,
/rt4
а = ------ ;----------cos( 7 + а — 7г/2) cosa.
sin 7
Угол впадины 7 по нормали станкостроения в зависимо­
сти от модуля равен 55 или 60°. Угол головки собачки выпол­
няется меньшим, чем 7 на угол ф — 5° Остальные размеры /,
УЕ1 ХЕ> ХП назначаются в зависимости от выбранных значений
ш и г.
Храповые механизмы редко применяют в быстроходных
машинах из-за большого уровня шума при их работе и малой
надежности вращения на их выходе при отсутствии тормозной
системы.
Значительно большее распространение по сравнению с
храповыми механизмами получили мальтийские механизмы
из-за более благоприятных кинематических характеристик и
надежного обеспечения заданного времени покоя, связанного
с выполнением многократно повторяющихся операций опреде­
ленной продолжительности.
15.2. Мальтийские механизмы
В станках-автоматах, обрабатывающих центрах и авто­
матических линиях нашли широкое применение устройства,
преобразующие непрерывное вращательное движение входно­
го звена в одностороннее прерывистое движение выходного зве­
на, называемого шаговыми механизмами. С помощью этих ме­
ханизмов транспортируются заготовки, происходит смена ин­
струментов и приспособлений на один линейный или угловой
шаг, т.е. с одной фиксированной позиции на другую позицию.
Рис. 15.3
Среди шаговых механизмов простейшими являются мальтий­
ские механизмы, получившие свое название от сходства очер­
таний выходного звена с эмблемой духовно-рыцарского Маль­
тийского ордена. Некоторые разновидности мальтийских ме­
ханизмов приведены на рис. 15.3: а — с поступательным и б, в,
г — вращательным движением выходного звена; б — с внеш­
ним и в — внутренним зацеплением; б, в — между параллель­
ными и г — пересекающимися осями.
Выходное звено 2 мальтийского механизма выполняется
в виде диска или стола, на котором расположено несколь­
ко пазов. Наиболее часто число пазов z равно четырем (см.
рис. 15.3, в и 15.4, а) или шести (см. рис. 15.3,6). В паз мо­
жет входить палец 5 , расположенный на ведущем кривошипе
1, вращающемся относительно оси 0\. Палец В входит в паз
по касательной к окружности радиуса 0\В, совпадающей с
направлением оси паза, что необходимо для устранения жест­
кого удара. Начальное положение диска с пазами должно быть
фиксированным. Для этого применяют различные стопорные
устройства. Например, на рис. 15.4, а стол 2 фиксируется в
определенном положении фиксатором 5, движение которого со­
гласовано с вращением входного звена 1 с помощью цилиндри­
ческого кулачка 5 и рычага 4• При повороте диска 2 на угол
^ 2 фиксатор не имеет связи с диском 2. После выхода пальца
В из паза наступает окончание поворота диска 2 и он надежно
фиксируется в заданном положении фиксатором. Для этой же
цели можно использовать стопорные устройства типа запира­
ющих дуг С и D равного радиуса (см. рис. 15.3, б, в). В мо­
мент, когда центры кривизны поверхностей С и D совпадают
и находятся на оси O j, запирающие дуги обеспечивают надеж­
ное фиксирование выходного звена 2 в неподвижном состоянии.
Это состояние сохраняется в период поворота входного звена
на угол (/Pin (см. рис. 15.4, б).
Механизмы, радиальные пазы которых расположены на
диске равномерно, называют правильными (или однородными)
мальтийскими механизмами.
Коэффициент времени движения мальтийского механизма
определяют по соотношению
_
Тд
Тц
</Р1д
_
7Г — ^ 2
27 г
_
27 г
7Г
— 2 tt/
z
__ z - 2
27 г
2z
коэффициент времени остановки
Т\I
Гц
27Г — у>1д _ 7Г + <ф2 _ К + 27r /z _
27г
27г
27г
Z
+ 2
2z
Для двухпазового диска (z = 2 ) кД = 0 и кЛ = 1 , т.е. такой
механизм является неработоспособным. Поэтому наименьшее
число пазов на диске мальтийского механизма равно трем.
При увеличении числа пазов коэффициенты &д и кп меня­
ются в следующих пределах:
Z
2
8
10
ка
кп
0
0,167
0,25
0,30
0,33
0,375
0,40
1
0,833
0,75
0,70
0,67
0,625
0,6 0
3
4
5
6
Следовательно, для технологических машин, у которых
рабочий процесс или операция производится в период останов­
ки диска, применяют диски с малым числом пазов. Это позво­
ляет снизить потери времени на вспомогательный ход, соот-
Р и с. 15.4
ветствующий повороту выходного звена. Однако этот крите­
рий является не единственным, и в ряде случаев он может ока­
заться не определяющим окончательный выбор числа пазов.
Это связано с динамикой привода, так как поворот ведомых
звеньев происходит неравномерно. Для определения кинема­
тических передаточных функций мальтийского механизма рас­
сматривают расчетную схему, представленную на рис. 15.4, в
в виде заменяющего кулисного механизма (см. гл. 3 ): кулиса
2 совпадает с осью паза на диске 2 , а ползун 6 заменяет палец,
скользящий вдоль паза при вращении входного звена 1 длиной
/ 1 - Длину межосевого расстояния 0\02 обозначают буквой а.
Угол (р2 поворота кулисы определяют по соотношению
(pi
a — l\ co s (pi
/ 1 s in
tg¥>2 =
A i s in < /?i
1— Ai
co s
sin < /?i
(pi
Xa — co s
(15.1)
’
где Aa — a/1\ — относительная длина межосевого расстоя­
ния a; Ai = l\/a — относительная длина радиуса входного
звена /ц отсюда
ip2 = 7Г -
a rctg
s in
ipi
(15.2)
\ а — co s (fil
или
<P2 = тг -
X,
где
X—
A i s in
(p\
a r c s in
y
j l 1 -
2Ai cos(/?i + A^
Угловую скорость u>2 выходного звена мальтийского ме­
ханизма определяют путем дифференцирования выражения
(15.2) по обобщенной координате (р\:
dtp2
d(f2
Ai(cosv?i - Ai)
~ CJj----- = —U\------------------------- к •
U2 = dt
d<pi
1 — 2\\ cos ip\ + Aj
(15.3)
Угловая скорость u>2 достигает максимального значения
при угле
= 0:
w 2 m a x — —W 1
1
Ai
- Ai
s in ( 7 r /z )
W l 1 — s i n ( 7r / z )
Максимальные
значения
передаточного
отношения
u2 lmax = W2 max/Wl в зависимости от числа z пазов следую­
щие:
Z
U 21 m ax
3
-6,46
4
-2,41
5
-1,43
6
-1,0
8
-0,62
10
-0,45
12
-0,35
Угловое ускорение £2 выходного звена мальтийского ме­
ханизма определяют путем дифференцирования выражения
(15.3):
A i(l - A2) sin<pi
2
2
1 (1
-
2 Ai
cos <p\ + A2 ) 2
Кинематическая передаточная функция (£2 /u>J) углового
ускорения выходного звена достигает максимального значения
при значениях угла ц>\, определяемых по соотношению
1
(< ? l)e m a x
= arccos
+ А2
2
+2
4Ai
Максимальные значения кинематической передаточной
функции (£2 / ^ 1 ) т а х в зависимости от числа z пазов следую­
щие:
z
(£2/u>?)max
(у ч е т а х
4
5
б
8
10
12
31,44 5,41
3
2,30
1,35
0,70
0,46
0,35
4,71
11,46
17,58 22,92 31,65
38,49 44,00
Из приведенных данных следует, что при малом числе
пазов выходное звено мальтийского механизма имеет плохие
динамические характеристики. Например, если сравнить два
механизма, диски которых имеют 3 и 8 пазов, а кривоши­
пы вращаются с одинаковой постоянной частотой, то макси­
мальное значение углового ускорения у трехпазового диска в
45 раз больше, чем у восьмипазового диска. Соответственно
возрастают и динамические нагрузки в кинематических па­
рах. Если сравнение провести для случая равенства продол­
жительности периодов остановки за счет изменения частоты
вращения входного звена, то различие в угловых ускорениях
выходного звена для сравниваемых чисел пазов достигает 80.
Оптимальное сочетание требуемого коэффициента време­
ни остановки, коэффициента времени движения и допусти­
мых значений динамических нагрузок в кинематических парах
выбирают на основе анализа конкретных условий работы ме­
ханизма. На практике чаще всего применяют диски с числом
пазов 4, 6 , и 8 . Следует обратить внимание, что угловое уско­
рение диска в начале периода движения и при остановке из­
меняется скачком от нулевого значения до некоторой конечной
величины. Величина этого скачка определяет интенсивность
«м ягкого» удара.
Если нет жестких ограничений на коэффициент време­
ни движения, то можно применять мальтийские механизмы
с внутренним зацеплением (см. рис. 15.3, в), которые имеют
более благоприятные динамические свойства. При внутрен­
нем зацеплении максимальные ускорения выходного звена зна­
чительно меньше, чем при внешнем зацеплении, однако время
Рис. 15.5
поворота
выходного
звена всегда больше
времени
остановки,
так как кд > 0 ,5.
Представление об
особенностях
маль­
тийских механизмов с
внешним и внутрен­
ним зацеплением дают
графики, приведенные
на рис. 15.5: а — функ­
ций положения X zivi)
и кинематических пе­
редаточных функций;
б — скорости ^21 и б
— ускорения £2 / ^ 1 вы­
ходного звена. Линии
на графиках относят­
ся либо к внешнему за­
цеплению (левый уча­
сток) либо к внутрен­
нему зацеплению (пра­
вый участок).
15.3. Рычажные механизмы с квазиостановками
В тех случаях, когда необходимо передавать большие на­
грузки с высокой надежностью и с плавным законом измене­
ния ускорений ведомого звена, в качестве механизмов прерыви­
стого движения применяют рычажные механизмы с низшими
кинематическими парами или зубчато-рычажные механизмы,
используя некоторые особенности кривых, описываемых точ­
ками звеньев, совершающих плоское движение.
На рис. 15.6, а приведена схема планетарно-рычажного ме­
ханизма с длительной квазиостановкой (кажущейся останов­
кой) выходного звена ползуна 5 в крайнем правом положе­
нии.
Этот эффект достигается тем, что палец С шату­
на 4 установлен не на оси В кривошипа J, как это име­
ет место в обычном кривошипно-ползунном механизме, а на
некотором расстоянии ВС вдоль радиуса планетарного ко­
леса 2У обкатывающегося по неподвижному колесу 3 с вну­
тренними зубьями, закрепленному на стойке 6. Числа зу­
бьев колес Z2 и zs в планетарном зубчатом механизме под­
бирают такими, чтобы точка С описывала требуемую тра­
екторию. В описываемом механизме (см. рис. 15.6, а) от­
ношение чисел зубьев колес 3 и 1 подобрано равным трем.
2
а
б
Рис. 15.6
В этом случае точка С описывает замкнутую гипоциклоиду.
Каждая из ветвей этой гипоциклоиды (например, С,С,\ ко­
торая на рис. 15.6, а показана тонкой линией) на некотором
участке имеет кривизну, близкую к постоянной. Если длину
шатуна CD выбрать равной радиусу кривизны этого участка
траектории точки С, то точка D будет почти неподвижной,
т.е. ползун 5 будет иметь продолжительную квазиостановку.
Аналогичное свойство шатунной кривой используется и в
механизме прерывистого действия, схема которого приведена
на рис. 15.6, б. Спаренные кривошипно-ползунные механизмы
из звеньев 1, 2, 3, 4> 5 имеют ту особенность, что один из
ползунов — звено 5 — имеет длительную квазиостановку в
крайнем правом положении. Это достигается тем, что палец
D шатуна 4 соединен не с кривошипом 1 , а с шатуном 2 . Точ­
ка D описывает сложную шатунную кривую, но ее можно на
некотором участке, например D D 1 (см. рис. 15.6,6), аппрок­
симировать дугой постоянной кривизны. Назначая длину ша­
туна D E равной радиусу кривизны этой дуги в пределах угла
2^4, получают механизм 5 с квазипрерывистым движением
ползуна.
Иногда используют участки кривых, имеющие •прямоли­
нейные очертания. Если по такой квазипрямой перемещать
ползун кулисного механизма, то кулиса будет иметь квази­
остановку во время движения ползуна в пазу кулисы на этом
участке траектории. Конструктивным недостатком подобных
механизмов с квазиостановками часто является значительная
длина звеньев и, как следствие, увеличение габаритов.
Контрольные вопросы
1. К ак и е м ехан и зм ы п р и м е н я ю тся для сооб щ ен и я в ы х о д н о м у звен у п ре­
р ы в и с т о г о д ви ж ен и я с о ст а н о в к о й в н у т р и ци кла?
2. В чем за к л ю ч а ю т ся о с о б е н н о с т и х р а п о в ы х м ехан и зм ов и м у ф т с в о ­
б о д н о го ход а ?
3. К ак о п р е д е л я ю т к оэф ф и ц и ен т врем ен и дви ж ен и я в ы х о д н о г о звен а
м а л ь т и й ск и х м ех а н и зм ов?
Глава
16
УПРАВЛЕНИЕ ДВИЖ ЕНИЕМ
СИСТЕМЫ МЕХАНИЗМОВ
Совокупность механизмов, соединенных между собой определенным
образом и предназначенных для выполнения взаимосогласованных дви­
жений, подчиненных общим для данной совокупности закономерностям,
называют системой механизмов. Система механизмов является основой
практически любых современных машин. Разнообразные механизмы обес­
печивают требуемое движение звеньев, связанное с преобразованием энер­
гии, состояния, свойств или положения объектов и материалов, с управле­
нием, контролем и регулированием движения рабочих органов машины.
Системы механизмов бывают достаточно сложными.
В любой системе механизмов должны быть согласованы параметры
функционирования, т.е. положения, скорости и ускорения исполнитель­
ных звеньев отдельных механизмов, управляющих и контролирующих
устройств. Достижение требуемой цели путем преднамеренного управля­
ющего воздействия на объект или систему называют управлением. Со­
вокупность предписаний (т.е. последовательность и содержание команд),
обеспечивающих заданное функционирование системы механизмов, назы­
вают программой управления или алгоритмом управления.
16.1. Система программного управления
движением механизмов
К системе программного управления относятся средства,
на которые возложена задача управления работой в заданном
режиме функционально взаимосвязанных механизмов. Сово­
купность средств программного управления, участвующих в
выработке по заданной программе управляющих воздействий
на исполнительные органы машины и другие механизмы,
включает в себя технические средства (приводы, аппараты
электроавтоматики, измерительные преобразователи, устрой­
ства контроля, адаптации и диагностики, вычислительно­
логические устройства, каналы связи и т.п.) и программное
Рис. 16.1
обеспечение, осуществляющее организацию процесса управле­
ния и реализацию задач управления применительно к конкрет­
ной системе механизмов. Для примера на рис. 16.1 представ­
лена принципиальная схема системы механизмов технологи­
ческой машины, на которой выделены механизмы, предназна­
ченные для обеспечения функционирования машины и выпол­
нения совокупности действий, необходимых для обработки за­
готовки (материала) и получения изделия с заданными пара­
метрами.
Систему, обеспечивающую согласованность перемещений
всех исполнительных органов в соответствии с заданной про­
граммой управления, называют системой управления машин.
Если система управления обеспечивает требуемую согласован­
ность всех исполнительных устройств в зависимости от време­
ни, то ее называют системой управления машины по времени.
Если система управления обеспечивает требуемую согласован­
ность движения всех исполнительных устройств в зависимости
от их положения, то ее называют системой управления маши­
ны по пути.
В системе автоматического управления (САУ) все уп­
равляющие воздействия осуществляются без непосредствен­
ного участия человека. При полуавтоматическом и ручном
управлении управляющие воздействия выполняются или вы­
рабатываются с участием человека-оператора.
Рис. 16.2
По виду начальной (априорной) информации, включае­
мой в программу управления механизмами, САУ подразделяют
на две группы: с полной и неполной начальной информацией
(рис. 16.2). В первом случае заданная программа является не­
изменной («ж естк ой ») и выполняется независимо от получае­
мых результатов. Только в экстремальных условиях ее выпол­
нение может быть приостановлено, если по каким-либо при­
чинам контролируемые параметры достигли пороговых (пре­
дельно допустимых) значений.
Во втором случае с целью оптимального управления не­
полная начальная информация дополняется текущей инфор­
мацией, вырабатываемой с помощью различных измеритель­
ных и контролирующих устройств и датчиков и используемой
для корректировки программы управления. Такие САУ мо­
гут быть самоприспособляющимися (адаптивными), самона­
страивающимися, самоорганизующимися и самообучающими­
ся (см. рис. 16.2).
В самоприспособляющихся системах оптимальное управ­
ление обеспечивается за счет изменения только управляющего
20 -
11273
воздействия. Например, в системах управления металлорежу­
щими станками самоприспособляюшиеся устройства обеспечи­
вают автоматическое приспособление работы станка к изме­
няющимся условиям обработки: снижают продольную подачу
суппорта с целью уменьшения прогиба обрабатываемой заго­
товки, когда текущее значение силы резания превысит задан­
ное пороговое значение.
Адаптивные системы имеют датчики, позволяющие полу­
чать информацию от внешней среды и в зависимости от этой
информации осуществлять те или иные движения. Например,
адаптивные роботы снабжены помимо основной программы до­
полнительными подпрограммами, позволяющими роботу ори­
ентироваться в окружающей обстановке и изменять режим ра­
боты с помощью обратной связи.
В более сложных системах управления достаточно задать
конечную цель работы. Используя компьютер и информацию
о состоянии машины, такие САУ логически оценивают ситуа­
цию и находят оптимальное решение с учетом конкретной об­
становки в соответствии с разработанными алгоритмами по­
иска. Перечень функций конкретной системы программного
управления зависит от уровня сложности управляемой систе­
мы механизмов. Например, системы числового программного
управления металлообрабатывающим оборудованием (станка­
ми) в зависимости от функциональных возможностей (количе­
ства осей координат) подразделяют на системы:
для станков с прямоугольным формообразованием по од­
ной оси координат;
для станков с контурным формообразованием по двум или
трем осям координат;
для обрабатывающих центров и станков со сложным объ­
емным формообразованием по четырем-пяти осям координат;
для тяжелых и уникальных станков и станочных модулей
со специальными задачами управления по десяти-двенадцати
осям координат.
Компоненты устройств, входящих в систему программно­
го управления (СПУ), по своему информационному назначению
подразделяют на ранги определенных уровней, которые связа­
ны между собой информационными каналами.
На уровне 1 -го ранга СПУ формируется информация с по­
мощью соответствующих преобразователей о положении ис­
полнительных органов, о состоянии системы механизмов и па­
раметрах возмущений, действующих в системе, о правильном
ходе рабочих процессов и возникающих неполадках и спосо­
бах их устранения. Например, на металлорежущих станках по
информационным каналам 1 -го ранга передается информация
датчика обратной связи о положении исполнительных орга­
нов; датчиков, измеряющих температурные и силовые дефор­
мации, силовые параметры процесса резания, текущий износ
инструмента, колебания в системе станок — приспособление —
инструмент — заготовка, колебания припуска на заготовке, ко­
лебания твердости материала.
Уровень 2 -го ранга СПУ — это совокупность исполнитель­
ных регулируемых приводов и механизмов: основных, осуще­
ствляющих программное перемещение исполнительных орга­
нов; вспомогательных, выполняющих различного рода вспо­
могательные команды; дополнительных, предназначенных для
корректирующих и подналадочных перемещений.
Уровень 3-го ранга СПУ — это технические средства, вхо­
дящие в состав системы программного управления, алгоритмы
работы которых реализуются схемным путем или с помощью
программ, вводимых в их запоминающие устройства.
Уровень 4 -го ранга и выше выходит за пределы СПУ кон­
кретного станка, а используется при управлении гибкими про­
изводственными системами (ГПС).
По характеру управляющих сигналов САУ подразделяют
на две группы: дискретные и непрерывные (аналоговые).
В дискретных САУ обязательно наличие устройств, в ко­
торых управляющие воздействия изменяются дискретно, т.е.
скачками (импульсами) даже при плавном изменении входных
величин. Примерами дискретных САУ являются системы,
содержащие элементы релейного или импульсного действия.
При импульсном действии скачки выходной величины проис­
ходят через заданные интервалы времени; при релейном дей­
ствии — при достижении входной величиной определенных по­
роговых значений.
20*
Программа в дискретных САУ реализуется в виде сово­
купности дискретных величин, задаваемых обычно в алфа­
витно-цифровой форме, зафиксированной на специальных про­
граммоносителях (перфорированных картах и лентах, магнит­
ных дисках, лентах и картах или специальных коммутаторах).
Траекторию перемещения звена представляют в виде оп­
ределенной последовательности элементарных перемещений
вдоль координатных осей.
Пример системы механизмов, движение которых осуще­
ствляется с помощью дискретных управляющих сигналов,
приведен на рис. 16.3, б. Движение точки А по заданной траек­
тории /3—/3 осуществляется с помощью электродвигателей M l
и М 2 , которые могут вращаться одновременно или иметь оста­
новки. Сложная траектория (3 — (3 обеспечивается совместной
и согласованной работой двух винтовых механизмов с винта­
ми 2 и 5, получающими вращение от электродвигателей 3 и 4
в соответствии с программой управления. Характерный вид
подобной траектории показан на рис. 16.3, б при движении зве­
на из начальной точки с координатами х^н, удн Д° конечной
точки с координатами х д к, уд к. Последовательность управ­
ляющих воздействий для перемещения по осям координат в
соответствии с функциональной связью между координатами
опорных точек, заданных программой управления, вырабаты­
вается с помощью специальных вычислительных устройств,
например интерполяторов в системах числового программно­
го управления.
В аналоговых САУ значения непрерывных сигналов явля­
ются непрерывными функциями времени, которые реализуют­
ся в виде изменения каких-либо физических элементов. Приме­
рами аналоговых САУ являются системы с кулачками, распре­
делительными валами, с устройствами изменения угла сдвига
по фазе двух напряжений и т.д.
Пример системы механизмов с аналоговой системой упра­
вления приведен на рис. 16.3, а. Движение точки А но заданной
траектории осуществляется в результате сложения перемеще­
ний: звена 1 (например, продольное перемещение стола метал­
лообрабатывающего станка) и звена 8 (перемещение суппор­
та), осуществляемых посредством цилиндрического кулачка 4
и вращающегося толкателя 3 и дискового кулачка £, в контакте
с которым находится ролик 7 , закрепленный на поступатель­
но движущемся толкателе 8. Источником движения является
электродвигатель 5. В качестве программоносителя в данной
системе являются профили кулачков, являющиеся аналогами
относительных перемещений звеньев 1 и 8. Подобные системы
управления называют незамкнутыми САУ с одним априорным
потоком информации прямого действия (без усилителей).
Во многих случаях используют смешанную систему зада­
ния алгоритма управления, в которой часть программы реа­
лизуется в аналоговой форме, а часть программы — в число­
вой форме. Например, смешанный способ задания алгоритма
управления используется в ряде станков-автоматов для обра­
ботки заготовок.
Управление системой механизмов может быть централи­
зованным, децентрализованным и смешанным.
При централизованном управлении обеспечивается вы­
полнение заранее установленной программы, независимой от
положения звеньев тех или иных механизмов. Такое управле­
ние осуществляется в функции времени программным упра­
влением.
Система механизмов при программном управле­
нии функционирует достаточно надежно, но при ее проекти­
ровании предусматривают определенные предохранительные
устройства, гарантирующие выключение механизмов, тормо­
жение или останов двигателей при перегрузках или аварий­
ных ситуациях. При таком управлении команды подаются от
распределительных валов, командоаппаратов или с помощью
пультов.
При децентрализованном управлении движением меха­
низмов в функции положения звеньев информация передается
от упоров, путевых и конечных переключателей и выключа­
телей или иных датчиков положения или перемещения. На­
дежность функционирования системы механизмов при децент­
рализованном управлении зависит от надежности датчиков и
других элементов системы управления. Децентрализованное
управление может быть также с регулированием по заданным
режимам работы (например, по давлению, предельной нагруз­
ке, скорости и т.д.).
При смешанном управлении движением системы механиз­
мов используются отдельные элементы централизованного и
децентрализованного управления, что обеспечивает большую
надежность и универсальность. При смешанном управлении
можно уменьшить количество предохранительных устройств,
заменив их установкой датчиков, контролирующих выполне­
ние команд или положение звеньев. Например, при работе ав­
томатической линии при смешанном управлении невыполнение
какой-либо команды о перемещении звена в определенное по­
ложение фиксируется путевым датчиком, по сигналу которого
отключается командоавтомат, вал которого при нормальной
работе вращается равномерно. При устранении неисправно­
стей командоаппарат включается, что обеспечивает дальней­
шее функционирование системы механизмов по системе про­
граммного управления.
При смешанном управлении осуществляется наиболее оп­
тимальное сочетание разнообразных требований, обеспечива­
ющих управление по времени, по положению и перемещению
звеньев, по ограничиванию режимов движения звеньев и на­
грузок на звенья и в кинематических парах.
Одним из методов программирования промышленных ро­
ботов (ПР) является программирование методом обучения,
при котором в памяти устройств программного управления
(УПУ) формируются данные, определяющие автоматическое
функционирование ПР в рабочем режиме. Процесс обучения
состоит из четырех фаз: приведение системы в требуемое со­
стояние; запоминание состояния систем ПР; преобразование
запомненных данных; воспроизведение движения. В процессе
обучения формируется либо линейная управляющая програм­
ма, либо управляющая программа с ответвлениями, обеспечи­
вающая адаптивное поведение ПР (поисковые движения, конт­
рольные операции, реакция на сбои и отказы и т.п.).
Структуру системы управления движением промышлен­
ного робота можно проследить по схеме, приведенной на
рис. 16.4, отражающей определенные уровни управления. На
первом уровне автоматизированные приводы для всех степеней
подвижности обеспечивают движение исполнительных звеньев
и механизмов робота в пределах рабочей зоны с помощью упра­
вляющих программ по каждому частному циклу. Информация
о положении исполнительных звеньев, характеристиках внеш­
ней среды и объекта манипулирования вырабатывается датчи­
ками и по каналам обратной связи передается оператору или
в специальные устройства более высоких уровней управления
для внесения коррективов в движение, если в этом возникает
необходимость. Формирование сигналов управления движени­
ем приводов и устройствами автоматики обычно осуществля­
ют на втором уровне, обеспечивающем согласование движения
звеньев робота во взаимодействии с окружающей средой, т.е.
с другими устройствами, в частности с технологическим обо­
рудованием.
При отработке управления программированием ПР мето­
дом обучения устройствами памяти (оперативными запомина­
ющими устройствами — ОЗУ) запоминаются все параметры
движения, осуществляемого при ручном управлении циклом, и
в последующем многократно воспроизводятся в рабочем режи­
ме. В блоке памяти на магнитной ленте или барабане записы­
вается кодовая информация о координатах звеньев для каждой
заданной позиции, о скорости движения, о временных задерж­
ках, о сигналах об исполнении команд управления, о комби­
нации и порядке переходов элементарных операций и шагов
программы.
Р и с . 1 6 .4
В блок памяти также записываются внешние сигналы об
обслуживаемой среде (команды передачи и разрешения приема
сигналов обслуживаемых устройств, технологического обору­
дования и т.д.), сигналы о скорости движения, о временных
интервалах, о вспомогательных операциях по захвату объекта,
о последовательности переходов при выполнении цикла работы
и т.п.
Удобство разработки управляющих программ в режиме
обучения по сравнению с аналитическим методом программи­
рования заключается в простоте принципа, возможности ис­
пользования любой системы координат, уточнения позицио­
нирования при наличии зазоров в кинематических парах, по­
датливости звеньев и деформации их под нагрузкой.
Программное управление движением может быть цикло­
вым, позиционным, контурным или комбинированным.
При цикловом управлении задают координаты, скорости
и другие параметры, необходимые для выполнения последова­
тельности движения в пределах частных циклов, и временные
интервалы между частными циклами. Информация о выпол­
нении частных циклов вырабатывается обычно средствами пу­
тевой автоматики для предельных значений по каждой из ко­
ординат (концевые выключатели и т.п.).
При позиционном управлении задают независимые пере­
мещения по каждой координате, соответствующие требуемой
точке рабочей зоны манипулятора.
При контурном управлении обеспечивается одновремен­
ное, непрерывное и согласованное движение приводов зве­
ньев манипулятора, обеспечивающее движение исполнитель­
ного звена по заданной траектории в рабочей зоне с требуе­
мыми скоростью и ускорением. Контурное управление требу­
ет сложного программного обеспечения, связанного с циклами
интерполяции участков траектории и с отработкой команд в
реальном масштабе времени. Обычно при контурном управ­
лении используют мини-ЭВМ, цифровые дифференциальные
анализаторы и другие устройства.
При комбинированном управлении используют методы
циклового, позиционного и контурного управления, сочетая их
возможности и преимущества при решении конкретных задач.
Информация о положении рабочих органов машин, о режиме
движения звеньев механизмов, о параметрах и характеристи­
ках процессов, необходимая для автоматического функциони­
рования системы механизмов в соответствии с алгоритмами
управления, вырабатывается датчиками.
По характеру создаваемых импульсов различают датчи­
ки: механические, электрические, фотоэлектрические, элек­
тронные, пневматические, гидравлические и т.д.
Различают следующие причины, вызывающие появление
импульса датчика: силовые, когда давление рабочей среды или
сила, действующая на определенные элементы звеньев меха­
низма, достигают заданной величины; размерные, когда раз­
мер, определяющий требуемое положение, достигает заданной
величины; путевые, когда движущееся звено механизма зани­
мает определенное (предусмотренное) положение; скоростные,
когда скорость движения звена механизма достигает заданно­
го значения величины; временные, когда сигналы подаются по
заданному промежутку цикла работы.
По виду используемой энергии различают исполнитель­
ные устройства: механические, электрические, электромеха­
нические, гидравлические и пневматические.
В качестве электрических исполнительных устройств ис­
пользуют электродвигатели (асинхронные с короткозамкну­
тым ротором с двумя скоростями: рабочей и «ползучей», и
шаговые), электромагниты и электромагнитные муфты (дис­
ковые, асинхронные и порошковые).
В качестве гидравлических приводов используют гидро­
цилиндры (поступательное движение выходного звена), гидро­
моторы (вращательное движение выходного звена), поворот­
ные гидродвигатели (ограниченный угол поворота выходного
звена).
В качестве пневматических двигателей используют порш­
невые и диафрагменные.
16.2. Циклограмма системы механизмов
Большинство механизмов используется в машинах и уст­
ройствах, имеющих цикловой характер работы. За период
цикла осуществляется определенная совокупность работ и про­
цессов, в результате которой система приходит в точно такое
же состояние, в котором она находилась в начале цикла.
Различают разные виды циклов. Периодическое совпаде­
ние положений и направления движения точек всех звеньев ме­
ханизма или системы механизмов называют кинематическим
циклом. Периодически повторяющееся изменение мощности
действующих сил и моментов сил характеризует энергетиче­
ский цикл.
Периодически повторяющаяся совокупность операций тех­
нологической машины называется рабочим циклом. По истече­
нии технологического цикла заканчивается изготовление дета­
ли или изделия. Период времени с момента подачи сырья или
материала на первую операцию до получения готового изделия
называют производственным циклом.
Графическое изображение последовательности движения
перемещений исполнительных звеньев механизма или согласо­
ванности перемещений исполнительных органов за цикл назы­
вают графиком цикличности или циклограммой.
В основу разработки циклограмм принимают синхронные
во времени графики перемещений исполнительных органов ме­
ханизмов или устройств. Для примера на рис. 16.5, показаны:
а — изменение угла поворота коленчатого вала; б, в — пере­
мещение поршня, впускного и выпускного клапанов одного из
цилиндров ДВС и соответствующие д — линейные, г — пря­
моугольные и е — круговые циклограммы.
На линейной циклограмме графики перемещений исполни­
тельных органов условно изображают наклонными прямыми,
а периоды остановки («в ы сто й ») — горизонтальными прямы­
ми.
На прямоугольной и круговой циклограммах графики пе­
ремещений не изображают, а интервалы отдельных этапов
движения или операций выделяют штриховкой или толстыми
линиями (прямая или дуга окружности), протяженность ко­
торых соответствует определенным этапам движения. Такие
циклограммы обычно дополняют названиями отдельных эта­
пов движения или операций.
Циклограммы используют для анализа требуемой синхро­
низации перемещений исполнительных звеньев и последова­
тельности относительных положений звеньев внутри цикла,
при этом определяют время отдельных интервалов движения
(рабочих и вспомогательных), оценивают возможности совме­
щения технологических и транспортных операций, сокращения
времени некоторых операций, разбивки операций на менее про­
должительные переходы и т.п. Такой анализ часто позволяет
уплотнить циклограмму, т.е. уменьшить время цикла и повы­
сить производительность технологических машин.
Согласование перемещений исполнительных звеньев меха­
низма проводят в зависимости или от времени, или от положе­
ния звеньев. В первом случае используют систему управления
по времени, во втором случае — систему управления по пути.
Промежуток времени, по истечении которого повторяется по­
следовательность перемещения всех исполнительных звеньев
механизма, называют временем цикла. На циклограммах ино­
гда указывают не время движения, а угол поворота главного
вала основного механизма. Условно считают, что этот вал
вращается равномерно. За цикл установившегося движения
Рис. 16.5
принимают период изменения обобщенной скорости механизма
в функции времени. Например, для кривошипно-ползунного
механизма двухтактного или четырехтактного ДВС цикловые
углы поворота будут разными: в двухтактном ДВС соответ­
ствует повороту коленчатого вала на один оборот, а в четы­
рехтактном — повороту на два оборота.
В пределах каждого цикла различают такты или фазы, ко­
торые позволяют выделить основное состояние механизма или
машины. Например, можно выделить такты движения и так­
ты покоя исполнительных звеньев, такты впуска, сжатия, рас­
ширения воздуха или рабочей смеси и выпуска отработавших
газов в четырехтактном карбюраторном ДВС, такт продувки
и сжатия и такт рабочего хода и выпуска в двухтактном дизе­
ле (см. рис. 16.5, г). В течение такта движения состояние ни
одного из исполнительных механизмов не изменяется, т.е. со­
стояние движения звеньев либо сохраняется, либо отсутствует.
Схему согласованности перемещений исполнительных ор­
ганов в зависимости от их положений называют тактограммой. Например, на циклограмме или тактограмме кулачкового
механизма выделяют четыре основные фазы: удаления, даль­
него покоя, сближения и ближнего покоя толкателя.
Фазовые углы назначают на основе анализа рабочих цик­
лов машины. Например, в ДВС интервалы тактов принимают
по положению поршня в предельных положениях: в верхней и
нижней «мертвых точках» (ВМТ и НМТ), т.е. угол поворо­
та коленчатого вала за время одного такта равен 180°. Мо­
менты открытия и закрытия клапанов в ДВС называют фаза­
ми газораспределения. Они обеспечиваются кулачками на рас­
пределительном валу. Впускной клапан должен открываться
до прихода поршня в ВМТ, т.е. с опережением на некоторый
угол а, а закрываться с некоторым запаздыванием на угол 6
(см. рис. 16.5, е). Выпускной клапан открывается до прихода
поршня в НМТ, т.е. с опережением на угол 7 , а закрывается с
запаздыванием на угол (3. Конкретные значения углов опере­
жения и запаздывания зависят от марки двигателя. Например,
для ВАЗ-2106 а = 1 2 °; 6 = 40°; 7 = 42°; (3 = 1 0 °; для ЗИЛ-130
а = 31°; 6 = 83°; 7 = 67°; /3 = 47°
Кулачковый распределительный вал представляет собой
совокупность кулачков, установленных на общем валу, но
предназначенных для передачи движения или команд на дви­
жение разным исполнительным органам. Один из радиусвекторов на распределительном валу принимают за начало
Рис. 16.6
отсчета (базовый), относительно которого определяют углы
установки отдельных кулачков. Эти углы достаточно просто
определяют аналитически или графически с использованием
метода обращения движения. Для примера на рис. 1 6 .6 пока­
зано определение угла установки £21 кулачка К 2 относительно
кулачка К 1 при заданном смещении фаз начала движения тол­
кателей по углу поворота (р2 \ распределительного вала.
Вначале определяют углы ^ 0 1 и -002? характеризующие
начальное положение толкателей В 1 О 21 и В2 О 22 относительно
межосевой линии 0 1 0 2 1 0 2 2 Угол установки £21 кулачка К 2 относительно кулачка К\
определяют по соотношению
^21
=
^21
+
Ф
01
+ V>0 2 -
В этом соотношении учтено, что оси В\ и В2 располо­
жены до разным сторонам относительно линии 0\ O2 1 Q 22 (см.
рис. 16.6).
Для выяснения особенностей основ управления системой
механизмов с несколькими двигателями на рис. 16.7 приведены
принципиальные схемы ряда, устройств агрегатного станка, на
поворотном столе 2 которого установлена деталь 1. В детали
1 обрабатывается одно (или несколько отверстий) с помощью
сверлильной головки #, перемещаемой по направляющим с по­
мощью цилиндра Ц1 . Перемещение головки осуществляется по
трем режимам: быстрый подвод инструмента к детали а ^ ,
рабочая подача при сверлении а\а![ и быстрый отвод а!{а\, го­
ловки в исходное положение. Положения силовой головки 8
фиксируются переключателями: К 1 и КЗ — в крайних поло­
жениях, К2 — при изменении скорости подачи с быстрой на
рабочую. Во время обработки планшайба занимает определен­
ное положение, фиксируемое фиксатором 0 , перемещаемым с
помощью цилиндра ЦЗ. Положения фиксатора контролируют­
ся переключателями К4 и К5. В фиксированном положении
планшайба надежно закрепляется тормозом 4у приводимым в
действие цилиндром Ц2 . Положение штока цилиндра Ц2 конт­
ролируется переключателями Кб и К7.
Рис. 16.7
Целевой механизм
Основные ф някг д н и ж в н и я
исполнительных органов
Цилиндр
Вращение инструмента
Вращение режущих
инструментов
Рабочая
Подача сверлильной
головки
1
Захим планшайбы
2
3
Поворот планшайбы
4
Перемещение рейки
в механизме поворота
Бысгт]
подвс|£5&,
4
Исходное /
/ " “" О " ™ /
^ \
О, \ _
!д 2^ Р азж и м 0 2 ]
L
^
V
Гг;
З аж и м
/
Фиксации
планшайбы
Быстрый отвод
|«2
:
а% \
;аз
Ф и к са ц и я
-------------------- i
j04
Ход рейки!
вперед
1ИГЯНТТШЙбм
А
[!
1
! |
/—
\<*ъ!
Подвод
фиксатора
nПоворот планшайбы
— Ход рейки
назад
fl4
Рис. 16.8
После окончания обработки отверстия планшайба повора­
чивается вокруг своей оси с помощью зубчатой передачи 5,
зубчатореечной передачи 6 и цилиндра Ц4. После поворота и
фиксации положения планшайбы шток цилиндра Ц4 возвраща­
ет рейку в исходное положение. Положения штока фиксируют­
ся переключателями К 8 и К9. Положения зажима планшайбы
обозначают а2 , а разжима — а2 . Положения фиксатора обо­
значают: при отводе — аз, а при фиксации — аз. Состояния
планшайбы во время поворота планшайбы и при обратном ходе
рейки (останов) соответственно обозначают а± и aj.
Цилограмма работы целевых механизмов станка приве­
дена на рис. 16.8. Наклонными линиями на циклограмме по­
казаны интервалы смещения исполнительных органов и соот­
ветствующих им штоков силовых цилиндров. При разработ­
ке циклограммы учитывают необходимые блокировки: цикл
может начаться после включения вращения режущих Инстру­
ментов; обработка может проводиться только после зажима
планшайбы в фиксированном положении; разжим планшайбы
и отвод фиксатора возможен лишь после вывода инструмента
из обрабатываемого отверстия; при поломке инструмента вы­
ключаются вращение и подача силовой головки; после выпол­
нения операции все механизмы (за исключением планшайбы,
поворачивающейся в заданном направлении) занимают исход­
ные положения.
Иногда используют видоизмененные циклограммы рабо­
ты системы механизмов, в которых не учитывается масштаб
времени. Такая циклограмма отражает только последователь­
ность включений тех или иных механизмов и управляющих
устройств и ее принято называть тактограммой или таблицей
включений.
Тактом работы системы механизмов и устройств называ­
ется промежуток времени между двумя соседними изменения­
ми его полного состояния. Такты обозначают числами 1 , 2 , 3,
4,
Положение исполнительных звеньев механизмов и уст­
ройств фиксирует в определенных положениях. Обычно вы­
бирают два положения: включено — выключено, движется —
заторможено, намагничено — размагничено и т. п.
Переход от одного положения к другому происходит за
очень короткие промежутки времени, на тактограммах
(рис. 16.9) он изображается толстой вертикальной линией в
пределах строки. Эти линии являются границами тактов.
Фиксированным положениям исполнительных звеньев соответ­
ствуют горизонтальные линии в соответствующих строках:
толстая линия — для одного положения (единичный входной
сигнал), штриховая (или тонкая) — для другого положения
(нулевой входной сигнал).
В ряде случаев для одного исполнительного звена необ­
ходимо различать несколько положений, например: включено
на быстрый подвод вперед, включено на ход вперед с рабочей
скоростью, включено на быстрый обратный ход, выключено.
Устройства, имеющие два состояния, относятся к классу
релейных устройств. Они характеризуются входными кана­
лами ai, а2 , аз,
и выходными каналами / ь / 2 , /з,
По
каждому каналу могут подаваться дискретные сигналы, при­
нимающие значения 0 и 1. Комбинации значений сигналов в
один и тот же момент времени во входных каналах релейного
Движение
исполнительного
звена
Целевой
механизм
1
'll
I
ш
CU fcj
Номер такта
1
подачи
сверлильной
головки
зажима
планшайбы
фиксации
планшайбы
поворота
планшайбы
1
2
Быстрый подвод
1=2?
0\
Рабочая подача
2=2*
о{
Быстрый отвод
4=22 а[
Зажим
Разжим
8-2 3
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12
13
14
"2
02
Отвод фиксатора
3
Фиксация
Поворот планшайбы
4
16-4
32=25
Обратный ход рейки
Сумма весов с учетом памяти
—
—
—
—
..... —
04
04
17
1
9
8 10 10 8 12 12
44 40
59 17
1
9
8 10
44 40
41 33 59
Включено
Выключено
—
—•
ог
Сумма весов (состояния)
Память Ш
2
X
64
X
41 33
Р ис. 16.9
74 72 16
12
ОТВОД ГОЛОВКИ
Изменение состояния
устройства называют входом, а в выходных каналах — выхо­
дом. Операции над дискретными сигналами выполняются по
правилам алгебры логики.
Для полного описания состояния дискретных многотакт­
ных систем включают также элемент памяти (например, триг­
геры).
Для каждого такта необходимо иметь разные значения
входа, которые оцениваются десятичными эквивалентами. С
этой целью каждый входной канал имеет определенный вес:
2 °, 2 1, 2 2, 2 3 и т.д. Для определения веса такта умножают вес
входного канала на значение сигнала ( 0 или 1 ) и полученные
значения суммируют.
Например, на рис. 16.9 разным состояниям целевых меха­
низмов присвоены веса 1, 2, 4, 8 , 16, 32 и определена сумма
весов для всех состояний, различаемых тактами в пределах от
1 до 14: 41, 33, 59,17,1 и т.д. Для 7 и 10 тактов, а также тактов
8 и 9, 11 и 12 эквивалентные суммы весов оказались одинако­
выми (соответственно равными 8 , 10 и 1 2 ). В таких случаях
для реализации системы управления вводят дополнительный
входной канал — элемент памяти П1 , которому присваивают
соответствующий вес (на рис. 16.9 вес элемента памяти равен
64). Такие элементы памяти вводят до тех пор, пока каж­
дому входному сигналу не будет соответствовать отличный
от предшествующих суммарный вес. Оказалось достаточным
включить один элемент памяти, чтобы в строке «сумма ве­
сов с учетом памяти» появились для всех 14 тактов разные
значения десятичного эквивалента.
Контрольные вопросы
1. Как осуществляется управление движением системы функционально
взаимосвязанных механизмов?
2. Как влияет вид начальной информации об управляемом движении
механизмов на выбор системы программного управления совокупно­
стью механизмов?
МАНИПУЛЯЦИОННЫ Е М ЕХАН И ЗМ Ы
Робототехника — новое направление науки и техники, связанное с
созданием и применением робототехнических систем. Робот, являющийся
одним из основных объектов изучения в этой науке, представляет собой ав­
томатическую машину для воспроизведения двигательных и интеллекту­
альных функций человека. Сущ ествуют различные классы роботов, среди
которых важнейшими являются автоматические манипуляторы. Частный
вид этих роботов — промышленные манипуляционные механизмы.
На сегодняшний день промышленные роботы и подобное им обору­
дование являются практически единственным средством автоматизации
мелкосерийного производства. Важная особенность промышленных ро­
ботов состоит в том, что они позволяют наиболее просто совместить в
едином цикле как транспортные, так и основные технологические опера­
ции, что позволяет создать на базе универсального оборудования гибкие
автоматизированные производства.
Среди всех частей промышленного робота исполнительное устрой­
ство — механизм, обеспечивающий движение рабочего органа, — имеет
определяющее значение. Именно от этого устройства во многом зави­
сят такие важные характеристики робота, как быстродействие, манев­
ренность, точность позиционирования, возможность работы в стесненных
пространствах.
17.1. Классификация, назначение
и области применения
История механики богата примерами, которые свидетель­
ствуют о постоянном стремлении человека создать механизмы
и устройства, подобные живым существам. Это стремление
обусловлено многими причинами, среди которых не последнее
место занимает желание заменить человека при выполнении
сложной и вредной работы. В 40-х годах в связи с потребно­
стями атомной технологии появились манипуляторы, основное
назначение которых — выполнение разнообразных технологи­
ческих операций с радиоактивными веществами. Применение
таких устройств позволило удалить человека из опасной зо­
ны, за ним остались только функции дистанционного управ­
ления. Первыми такой манипулятор разработали сотрудни­
ки Аргонской национальной лаборатории США. Манипулятор
под названием «Master-Slave» состоял из исполнительной ме­
ханической руки (Slave), помещаемой в опасную зону, и зада­
ющей механической руки (Master), которой в безопасной зоне
манипулировал оператор. Исполнительная рука отличалась
от задающей только наличием схвата. Связь между ними осу­
ществлялась кинематическими передачами так, что звенья ис­
полнительной руки копировали движения задающей. Отсюда
название манипулятора — копирующий.
В наше время на смену малоэффективным устройствам
прошлого пришли более эффективные автоматически дей­
ствующие робототехнические устройства. В основе созда­
ния современных робототехнических устройств лежат новые
технологии, получившие развитие лишь во второй половине
XX в.: вычислительная техника и информатика. Робототех­
нические устройства стали важным средством комплексной
автоматизации промышленного производства, они позволяют
наиболее просто совместить в едином цикле как погрузочноразгрузочные, так и основные технологические операции. Наи­
более важные применения автоматических роботов связывают
с разработкой и созданием автоматизированных участков, це­
хов и заводов.
Точного и однозначного определения робота не существу­
ет. Скорее всего, можно говорить о целой группе опреде­
лений. Наиболее полно сущность роботов можно отразить,
определив их как программируемые устройства (машины),
предназначенные для воспроизведения рабочих функций ру­
ки человека в процессе его трудовой деятельности. Понятие
«программируемые» играет немаловажную роль: оно показы­
вает, что действие робота не сводится к решению какой-то од­
ной задачи — его функции можно целенаправленно изменять.
Большинство современных роботов включают в себя компью­
теры, которые помогают реализовать заданные программные
действия.
В данной главе рассмотрены манипуляционные механиз­
мы. Манипуляционным механизмом называют техническое
устройство (машину), предназначенное для выполнения ра­
бот универсального характера, исполнительными устройства­
ми которого служат манипуляторы (механические руки). В
зависимости от степени участия человека в управлении мани­
пуляционные роботы подразделяются на три типа: автомати­
ческие, биотехнические и интерактивные.
Автоматические манипуляционные механизмы возникли
и развились из систем программного управления станками.
Процесс управления их действиями может происходить с уча­
стием и без непосредственного участия человека. Функцио­
нальная схема автоматического манипуляционного механизма
представлена на рис. 17.1. Манипуляционный робот состоит
из манипулятора, исполнительных устройств, устройств очув­
ствления, устройств связи с оператором и компьютером. Ма­
нипулятор имитирует движения руки человека и представля­
ет собой многозвенный разомкнутый механизм с одиоподвижными вращательными и поступательными кинематическими
парами. Число степеней подвижности манипуляторов изменя­
ется в пределах от 3 до 10. Функцию кисти в манипулято­
ре выполняет так называемый схват, конструкция которого
предусматривает выполнение операций с определенным типом
объектов манипулирования. Информационная система пред­
назначена для сбора информации о состоянии внешней среды.
В качестве ее элементов используются телевизионные, ультра­
звуковые, тактильные и другие датчики. Управляющая сис­
тема служит для выработки законов управления приводами
исполнительных органов на основании созданных алгоритмов
и собранной информации.
В автоматических манипуляционных механизмах мож­
но выделить три разновидности в зависимости от связи с
человеком-оператором: программные, адаптивные и интеллек­
туальные.
Программные манипуляционные механизмы работают по
жесткой программе, заложенной в устройстве памяти, одна­
ко их можно перенастраивать на работу с другой жесткой
программой действий. Их также называют автоматически­
ми программными манипуляторами или промышленными ро­
ботами. Простота изменения программы, т.е. возможность
переобучения промышленных роботов новым операциям, сде­
лала эти роботы достаточно универсальными и гибко перена­
страиваемыми на различные классы задач.
Адаптивные манипуляционные механизмы отличаются от
программных большим количеством внешних (оптических, те­
левизионных, тактильных) и внутренних датчиков. Системы
управления роботами этого типа более сложные, не ограни­
чиваются только работой по жесткой программе движения и
могут в зависимости от внешних условий несколько коррек­
тировать ее. Как правило, они требуют для своей реализа­
ции управляющую ЭВМ. Важной частью адаптивных мани­
пуляционных механизмов является их развитое программное
обеспечение, предназначенное для обработки информации, по­
ступающей от внешних и внутренних датчиков и оператив­
ного изменения программы движения. Благодаря способности
воспринимать изменения во внешней среде и приспосабливать­
ся к существующим условиям функционирования, адаптивные
манипуляционные механизмы могут манипулировать с неори­
ентированными деталями произвольной формы и производить
сборочные операции.
Характерной особенностью интеллектуальных роботов
является их способность вести диалог с человеком, распозна­
вать и анализировать сложные ситуации, планировать движе­
ния манипулятора и осуществлять их реализацию в условиях
ограниченной информации о внешней среде. Все это обеспечи­
вается совершенством управляющих систем, включающих в
себя элементы искусственного интеллекта, способность к обу­
чению и адаптации в процессе работы.
Биотехнические манипуляционные механизмы берут свое
начало от копирующих и командных механических систем.
Операции, которые могут выполнять роботы этого типа, явля­
ются менее определенными, чем технологические операции,
осуществляемые автоматическими роботами. Широкое рас­
пространение они получили при работе с радиоактивными ма­
териалами.
Управление манипуляторами этого типа роботов осуще­
ствляется оператором, а ЭВМ используется для облегчения его
работы. Различают три разновидности управления биотехни­
ческими манипуляционными механизмами: копирующее, ко­
мандное и полуавтоматическое. Копирующее управление осу­
ществляется с помощью задающего устройства, кинематиче­
ски подобного исполнительной руке робота. Такие системы
называют копирующими манипуляторами. Человек-оператор
перемещает задающее устройство, а манипулятор повторяет
эти движения одновременно по всем степеням подвижности. В
случае командного управления оператор с командного устрой­
ства дистанционно задает движение звеньям манипулятора
путем поочередного включения соответствующих приводов.
При полуавтоматическом управлении оператор, манипулируя
управляющей рукояткой, имеющей несколько степеней свобо­
ды, задает движение схвата манипулятора. ЭВМ по сигналу
от управляющей рукоятки формирует сигналы управления на
приводы всех звеньев манипулятора. Существуют также био­
технические системы, в которых управление осуществляется
при помощи биоимпульсов от соответствующих мышц челове­
ческой руки.
Интерактивные манипуляционные механизмы отличают­
ся активным участием человека в процессе управления, ко­
торое выражается в различных формах взаимодействия его с
ЭВМ. Здесь также различают три разновидности управления:
автоматизированное, супервизорное и диалоговое.
При автоматизированном управлении простые операции
робот выполняет без управляющего воздействия со стороны
оператора, а остальные — при участии оператора в биотех­
ническом режиме. Супервизорное управление отличается тем,
что весь цикл операций разбивается на части, выполняемые
манипуляционным роботом автоматически, но переход от од­
ной части к другой осуществляется оператором путем подачи
соответствующих команд. При диалоговом управлении опера­
тору предоставляется возможность совместно принимать ре­
шения и управлять манипулятором в сложных ситуациях.
17.2.
Кинематические схемы, структура
и технические характеристики манипуляторов
Первый вопрос, с которым сталкивается создатель мани­
пулятора, — выбор его кинематической и структурной схемы.
В процессе выполнения операций с объектом манипулирова­
ния в большинстве случаев манипуляторы имитируют движе­
ние рук человека. Поэтому структурная схема манипулятора
должна обладать кинематическими характеристиками, анало­
гичными характеристикам руки человека. Подвижности, име­
ющиеся у руки человека (без учета подвижностей пальцев),
можно обеспечить с помощью пространственной кинематиче­
ской цепи, у которой к неподвижному звену 4 (аналог лопатка)
посредством различных кинематических пар присоединяются
звенья (рис. 17.2, а, б): трехподвижной парой А — звено 1 (пле­
чо), через одноподвижную пару В — звено 2 (предплечье) —
и трехподвижной парой 3 (кисть). Используя для оценки сте­
пени подвижности руки человека формулу Малышева (3.1) без
учета движения кисти (пальцев и фаланг), получим W — 7; с
учетом всех звеньев и в самой кисти имеем W = 27.
Опыт работы с неориентированными объектами показы­
вает, что манипулятор должен иметь по крайней мере семь (и
более) степеней подвижности. Три степени необходимы для
перемещения инструмента в любую точку зоны обслуживания,
а три — для ориентации инструмента, например схвата элек­
трода, краскораспылителя и т.п. Как минимум одна степень
подвижности должна быть у схвата.
Каждая степень подвижности манипуляционного механиз­
ма управляется индивидуальным приводом, в результате чего
Рис. 17.2
исполнительный орган получает вполне определенное движе­
ние. В современных манипуляторах используют электромеха­
нические, гидравлические, пневматические или комбинирован­
ные приводы.
Манипулятор предназначен для замены физических функ­
ций руки человека, поэтому у него можно выделить три основ­
ные группы движений: глобальные, региональные и локаль­
ные.
Глобальные движения осуществляются путем перемеще­
ния подвижного основания манипулятора с помощью двига­
тельной системы. В стационарных манипуляторах глобальные
движения отсутствуют. Их станины неподвижно крепятся к
полу, кронштейну или потолку возле технологического обору­
дования.
Региональные движения — перемещения схвата робота в
различные зоны рабочего пространства, определяемого разме­
рами звеньев манипулятора.
Локальные движения — перемещения схвата, соизмеряе­
мые с его размерами, в частности ориентация в малой зоне
рабочего пространства.
Иногда глобальные и региональные движения называют
транспортирующими движениями, а локальные — ориентиру­
ющими.
Существует большое количество схем манипуляторов,
различным образом реализующих региональные движения, но
наиболее распространенными в промышленности являются
пять следующих схем с одноподвижными кинематическими па­
рами:
манипулятор (рис. 17.3), функционирующий в декартовой
(прямоугольной) системе координат, прост в управлении и от­
личается высокой точностью действий. Схват манипулятора
поступательно перемещается вдоль трех основных осей: ж, у и
z (т.е. слева-направо, вперед-назад и вверх-вниз);
г
Z
манипулятор (рис. 17.4), работающий в цилиндрической
системе координат. Его схват может выдвигаться и втяги­
ваться, а также перемещаться вверх и вниз вдоль стойки. Кро­
ме того, весь узел манипулятора может поворачиваться вокруг
оси основания, но не на полный оборот, что позволяет ему вы­
полнять операции в окружающей цилиндрической зоне;
манипулятор (рис. 17.5), действующий в сферической (или
полярной) системе координат. Его схват может выдвигать­
ся и втягиваться. Вертикальные перемещения манипулятора
достигаются путем поворота его в вертикальной плоскости и
«плечевом» суставе. Весь узел манипулятора может также
Рис. 17.6
поворачиваться вокруг оси основания. Зона действия подобно­
го манипулятора представляет усеченную сферу. Первые мо­
дели промышленных роботов были сконструированы именно
по этому принципу;
шарнирный манипулятор (рис. 17.6), действующий в ангулярной системе координат, не имеет поступательных кине­
матических пар, а имеет только вращательные кинематиче­
ские пары. Манипулятор такого типа очень напоминает руку
человека, поскольку имеет «плечевое» и «локтевое» сочле­
нения, а также «запястье». Его зона обслуживания значи­
тельно больше, чем у роботов других типов. Он способен об­
ходить препятствия гораздо более разнообразными путями и
даже складываться, но вместе с тем он исключительно сложен
в управлении.
Манипулятор системы SCARA (рис. 17.7), имеющий свое­
образную схему, представляет собой вариант манипулятора с
цилиндрической системой координат. Все кинематические па­
ры этого манипулятора располагаются в горизонтальной плос­
кости, благодаря чему механизм способен разворачиваться по­
добно складной ширме. Его зона обслуживания имеет цилинд­
рическую форму.
Перспективными представляются манипуляционный ме­
ханизм еще двух типов. Первый из них «Spine» (рис. 17.8)
спроектирован специалистами фирмы «Спайн роботикс».
В нем используется длинный хоботоподобный манипулятор,
Рис. 17.8
состоящий из множества чечевицеобразных дисков, которые
соединены между собой двумя парами тросов, обеспечиваю­
щих натяжение. Тросы соединены с поршнями гидравличе­
ских цилиндров, которые, создавая натяжение, вызывают ле-
ремещение манипулятора. Специальные датчики передают на
систему управления информацию о положении манипулятора и
его кисти. Такой манипулятор отличается чрезвычайно боль­
шой гибкостью, значительным радиусом действия и высокой
маневренностью.
Другой манипуляционный механизм маятникового типа IR
В1000 разработан специалистами фирмы ASEA; его манипуля­
тор подвешен подобно маятнику с двойным карданным подве­
сом и может перемещаться по направляющим относительно
продольной и поперечной осей. По утверждению специалистов
фирмы ASEA, это устройство движется в 1,5 раза быстрее,
чем традиционные манипуляторы, что обеспечивает высокую
производительность.
Кинематическую цепь, реализующую локальные движе­
ния, называют кистью манипулятора, поскольку она выполня­
ет функции, аналогичные функциям кисти руки человека. На­
значение кисти — обеспечить ориентирующие движения. Для
удержания объекта манипулирования кисть снабжается схватом. Существует столько же типов схватов, сколько и обла­
стей применения манипуляторов. Конструкции схватов могут
представлять собой устройства от обыкновенных клещей для
захвата предметов двумя или несколькими губками до специ­
ально сконструированных схватов, в гнезда которых устанав­
ливаются сменные инструменты для выполнения ряда техно­
логических операций, таких, как сверление, нарезание резьбы,
сварка, резка, окраска и т.д.
Рассмотрим основные геометро-кинематические и струк­
турные характеристики манипуляторов, к которым прежде
всего относят число степеней подвижности, форму и размеры
рабочей зоны, маневренность, угол и коэффициент сервиса.
Число степеней подвижности схвата манипулятора можно
подсчитать как сумму подвижностей всех пар открытой кине­
матической цепи. Сказанное не противоречит формуле Малы­
шева (3.1) для пространственных механизмов, так как в от­
крытых цепях число подвижных звеньев всегда равно числу
кинематических пар.
Для рассмотренных механизмов манипуляторов с однопо­
движными парами (см. рис. 17.3— 17.7) можно использовать
формулу
W = 6п - 5р! = 6 •3 — 5 •3 = 3,
где п — число подвижных звеньев; р — число одноподвижных
пар.
Под маневренностью манипулятора понимают число его
степеней подвижности при неподвижном схвате 3. Маневрен­
ность характеризует возможность кинематической цепи ма­
нипулятора занимать разные положения при одном и том же
положении схвата. Маневренность манипулятора зависит не
только от вида и числа кинематических пар, но и от их рас­
положения. Так, манипулятор, изображенный на рис. 17.9, а,
имеет маневренность, равную единице, — это групповая по­
движность, означающая возможность совместного вращения
звеньев 1, 2 вокруг оси АС, проходящей через центры сфе­
рических пар. Маневренность, равная единице, в этом случае
означает, что к заданной точке Е в заданном направлении СЕ
схват может подойти при различных положениях остальных
звеньев 1, 2, геометрическим местом которых будут кониче­
ские поверхности с вершинами в точках А и С и образующими
АВ и СВ.
Если пары А и Б поменять местами (рис. 17.9, б), то число
степеней подвижности, согласно формуле Малышева, останет­
ся прежним:
W =
6п
- ^
(6
- i)pi =
6
2
— 5 1 — 3 -2 =
1,
но это местная подвижность, означающая возможность вра­
щения звена 2 вокруг оси ВС. При этом маневренность будет
равна нулю, поскольку в данном случае схват может подойти
к заданной точке Е рабочей зоны в заданном направлении СЕ
только при одном единственном положении звеньев 1, 2.
Повышенная маневренность увеличивает возможности
для выполнения сложных операций с объектом манипулиро­
вания наиболее рациональным путем в условиях наличия Пре­
пятствий в рабочей зоне, но усложняет задачу управления та­
ким роботом, поскольку приводит к неоднозначному решению
задачи расчета обобщенных координат.
в
21 -
11273
Для некоторых геометрических характеристик промыш­
ленных манипуляторов ГОСТ 25686-85 вводит ряд определе­
ний.
Исполнительным устройством называют устройство,
выполняющее все двигательные функции манипуляционного
механизма.
Рабочий орган — составная часть исполнительного уст­
ройства для непосредственного выполнения технологических
операций или вспомогательных переходов.
Рабочее пространство манипулятора — часть физическо­
го пространства, в котором может находиться исполнительное
устройство при функционировании манипулятора.
Рабочая зона — пространство, в котором может находить­
ся рабочий орган.
Не в любой точке рабочей зоны схват может занимать
произвольное положение из-за конструктивных ограничений
на углы поворота в шарнирах, поэтому рабочая зона реально
уменьшается до зоны обслуживания.
Зона обслуживания — пространство, в котором рабочий
орган выполняет свои функции в соответствии с назначением.
Для манипулятора, изображенного на рис. 17.9, а, рабочая
зона — пространство между сферами радиусом 74 = A D 1 и
радиусом г 2 = A D n, а зона обслуживания — лишь часть та­
кого пространства (штриховая линия на рис. 17.9, а); для ма­
нипулятора, изображенного на рис. 17.9, б, рабочая зона— тор
(кольцо кругового сечения) с размерами r\ = A D 1 и г = & D 1
(рис. 17.9, в), а зона обслуживания — часть такого тора (штри­
хованная линия на рис. 17.9, б).
Манипулятор с тремя поступательными парами (см.
рис. 17.3) имеет рабочую зону в виде прямоугольного парал­
лелепипеда. Для манипулятора с одной вращательной и ДНумя
поступательными парами (см. рис. 17.4) рабочая зона— Коль­
цевой цилиндрический сектор.
В общем случае для каждой точки рабочей зоны манипу­
лятора существует некоторый телесный угол ф — угол сер­
виса, внутри которого схват может подойти к этой точке.
Как известно, величина телесного угла определяется отноше­
нием площади сферы, вырезанной телесным углом, к Квад­
рату радиуса сферы, поэтому максимальное значение угла
Фтъх = 47гг2 / г 2 = 4тг ср (стерадиан).
Отношение угла ф к его максимальному значению в =
= ф(4тг) называют коэффициентом сервиса в данной точке. Ве­
личина в может изменяться от нуля для точек на Гранине ра­
бочей зоны, где схват может быть подведен в единственном
направлений, до единицы для точек зоны полного сервиса, где
схват может быть подведен в любом направлении.
Определение значения коэффициента сервиса ф связано с
анализом движения звеньев механизма манипулятора при раз­
личных фиксированных положениях центра схвата.
Методику вычисления в рассмотрим на примере манипу­
лятора с двумя сферическими и одной вращательной парами
(см. рис. 17.9, а). Для определения угла сервиса ф в некото­
рой точке Е рабочей зоны рассмотрим механизм манипулятора
как пространственный четырехзвенник со сферическими пара­
ми Л, С, D и вращательной парой В ; точка D центра схва­
та совпадает с заданной точкой Е на линии 4 (рис. 17.10, а).
Сперва определим возможные положения звена CD (схвата) в
плоскости чертежа, а затем все его возможные положения в
пространстве путем вращения плоского четырехзвенника от­
носительно условной стойки AD длиной г, совпадающей с осью
х пространственной системы координат Oxyz.
В области, где коэффициент сервиса 0 = 1 , угол сервиса
ф — 47г. Следовательно, точка С должна иметь возможность
занять любое положение на сфере радиусом DC = /3 с центром
в точке D . Для этого в плоском четырехзвеннике звено CD
должно быть кривошипом, т.е. поворачиваться на полный обо­
рот. Как известно (см. § 13.3), условие существования криво­
шипа состоит в том, что сумма длин самого короткого и самого
длинного звеньев должна быть меньше суммы длин остальных
звеньев. Если, например, звено 1 самое длинное, а звено 3 са­
мое короткое, то /1 + /3 < г + /2) откуда rm[n = r\ = 1\ - 12 + 1$
(рис. 17.10, б).
Если самое длинное звено AD1 = г, а самое короткое звено
5, то г + / 3 < /1 + 12, откуда rmax = r2 = h + h В пределах от г i до т2 коэффициент сервиса в = 1 (см.
рис. 17.10, 5, зона II).
Если же звено 3 является коромыслом, то в < 1 . В пре­
дельных положениях, когда звенья 1, 2, 3 находятся на одной
Р и с . 17.10
прямой Ах, 0 = 0. Это имеет место при г = го = l\ — I2 — h
и при г = гз = /1 + /2 + / 3 . Следовательно, в зонах I и III на
рис. 17.10, б в < 1.
В любой промежуточной точке зон I или III, например в
точке D 1, можно определить коэффициент сервиса в следую­
щим образом. Найдя максимально возможный угол поворота
срт коромысла С1D 1, когда звенья А В 1 и В1С1 находятся на од­
ной прямой, определим поверхность сферического сектора ра­
диусом R = /3 и углом р = р т (рис. 17.10, в). Формулу по­
верхности 5 шарового сектора получим путем суммирования
элементарных поверхностей dS = 2nR sin pRdp в пределах от
Ч> = 0 ДО р = р т :
Рт
S=
J
о
2ttR2 sin pdp = 27гД2(1 — cos р т).
В нашем случае R =
/3
и 5 = 27г/2(1 - cos</?т ), следовательно,
д _ Ф_ _ S/lj _ 1 - COS ifim
47г
47г
2
На рис. 17.10, а при г = AD 1соырт « 0,24 коэффициент
сервиса в = 0,38. График зависимости в = в(г) для манипу­
лятора с размерами звеньев, изображенными на рис. 17.10, а,
представлен на рис. 17.10, б). Подобные графики нужны не
только при исследовании имеющегося манипулятора, но и при
проектировании кинематических схем манипуляторов по за­
данным условиям.
К техническим показателям, характеризующим промыш­
ленные роботы, также относятся грузоподъемность, быстро­
действие, точность позиционирования, энергетические затра­
ты и т.д.
17.3. Задачи о положениях манипуляторов
При решении задач проектирования и управления про­
мышленными роботами приходится определять как положения
его звеньев относительно неподвижной системы координат (аб­
солютные положения звеньев), так и их относительные поло­
жения (например, обобщенные координаты). Соответственно
эти задачи известны в робототехнике как прямая и обратная
задачи о положениях.
Для исследования движения исполнительного механизма
манипулятора в пространстве наибольшее распространение
получил метод преобразования координат с матричной фор­
мой записи. Он позволяет упорядочить выполняемые действия
и сократить математические выкладки. При этом методе вы­
бирают число систем координат, равное числу элементов зве­
ньев, образующих кинематические пары. Неподвижная систе­
ма координат z(°), 2/(°), z(°) обычно связывается со стойкой, а
с каждой кинематической парой связывается подвижная сис­
тема координат, одна из осей которой связана с характерны­
ми признаками звена, например осевой линией. Для примера
на рис. 17.2, а показаны координатные оси О ^ М 1), 0 ( 2)®(2),
0 (з )* (з ),о ( 4 М 4) ( ИЛИ о (° Ы ° )) четырехзвенной открытой ки­
нематической цепи из звеньев 1, 2, 3, 4 , моделирующей струк­
туру руки человека (см. рис. 17.2, б). Ось z
направляют
вдоль оси кинематической пары, а ось
дополняет правую
систему координат
Применение метода преобразования координат для реше­
ния прямой задачи о положениях проиллюстрируем на приме­
ре кинематической схемы промышленного робота (рис. 17.11).
Четыре подвижных звена 1, 2, 3 и 4 образуют четыре однопо­
движные пары, из которых три вращательные и одна поступа­
тельная. Число степеней подвижности робота равно четырем:
W = 6п — 5pi =
6
- 4 — 5*4 = 4.
Поэтому для решения прямой задачи о положениях долж­
ны быть заданы четыре обобщенные координаты: относитель­
ные углы поворота звеньев
= <7i(*), ^ 2 1 = <72(0> ¥>43 = <7 4 ( 0
и относительное перемещение вдоль оси звена 3 S32 = <7 3 (0
(см. рис. 17.11).
Требуется определить
радиус-вектор р^) точки Е
схвата относительно неподвижной системы координат
О(°)х( 0 ) 2/(°)г(0), связанной со стойкой 5 (или О). Оси систем
координат ориентированы относительно элементов кинемати­
ческих пар следующим образом:
ось z(°) неподвижной системы координат стойки направ­
лена вдоль оси вращательной пары А\
со звеном 1 связана система 0 (l)*(l)y(l)z(l) , имеющая смещение /ю начала координат О (2) вдоль оси
Ось z^1) со­
впадает с осью z(°), а ось
направлена по оси вращательной
кинематической пары В ;
со звеном 2 связана система 0 (2 )ж(2 )у(2 М 2), имеющая на­
чало координат 0 (2) , совпадающее с точкой 0 ( 1). Ось у(2) со­
впадает с осью у(1), т.е. с осью вращательной кинематической
пары В ;
начало координат системы 0(3)а;(3)у(3)г (3) имеет смеще­
ние /32 относительно точки 0 (2) вдоль оси z(2). Ось z(3) вы­
брана совпадающей с осью z(2);
координата z(4) точки Е схвата 4 задана в системе
0 (4 )x( 4 )y( 4 )z(4), ось ?/(4) которой направлена по оси вращатель­
ной кинематической пары D.
Для определения радиуса-вектора р^) необходимо раз­
решить матричное уравнение перехода к системе координат
О (°Ы 0 )у( 0 )г(°):
Р{Е = Т*0Р{Е = Г4зТз2721Т10/44)
(17Л)
Достоинство метода проявляется в случае специального
выбора подвижных систем координат. Если координатные оси
совмещать с осью вращательной пары или направлением по­
ступательной пары, то матрицы перехода существенно упро­
щаются.
Координаты точки Е в трехмерном пространстве записы­
ваются в виде матриц
д(4) —
Ре ~
Здесь
|Ч4Ч
yf
U4)J
х< \е
-(0)
=
( , °
\Ie
ИЛИ p g ' =
)
d
U°v
J
— матрица перехода от системы
к
системе
(элементарная матрица поворота во­
круг оси z) и перемещения вдоль оси z:
COSV?10
7i(z) _
i l0 “
sin <pw
0
V
0
0
1
0
- sin v?io
c o s <pw
0
0
о
0
0
ko
1
— матрица перехода от системы
к системе
(элементарная матрица поворота относительно
оси у):
0
1
0
0
COS V?21
0
гр(у) —
i 21
-
- sin
<£>21
0
Sin
<£>21
0
°\
COS <^21
0
0
0
1/
Т^2 — матрица перехода от системы О ^ М 3) ^ 3) ^ 3) к сцстеме 0 (2 )a:(2 )y( 2 )z(2) (элементарная матрица перемещения ^доль
оси г):
/0
r (x) _ I 0
32
“ 0
\0
0
0
0 0
0 0
0
0
0
\
5зг
0
1
.
/
— матрица перехода от системы O ^ x ^ y ^ z ^ к системе
0
(3 )z( 3 )y( 3 ).z(3) (элементарная матрица поворота вокруг о^и у)'
<£>43
0
sin <£>43
0
cos
-
0
1
0
0
Sin
<£>43
0
c o s ЩЗ
0
°\
0
0
1/
Подставив эти матрицы в формулу (17.1), получим коор­
динаты точки Е в системе O(0 )z( 0 ) 2/(0 )z(0). Развернутые фор­
мулы, определяющие положение точки Е схвата ввиду гро­
моздкости не приведены. При решении конкретных задач на
ЭВМ целесообразно воспользоваться библиотекой стандарт­
ных подпрограмм для выполнения элементарных операций с
матрицами.
Для определения скорости и ускорения точек звеньев про­
странственных механизмов манипуляторов при использовании
метода преобразования координат имеют в виду, что радиусвектор р^\ например точки Е , есть векторная функция обоб­
щенных координат:
=
P e ( Q 1 ’ Q2 i
93> •••>9п)>
поэтому скорость V£ точки Е определяется по соотношению
г>£ = ^Ре
dt
Е
=
1
(17.2)
1
или
.( 0 )
VEx = ХЕ
.( 0 )
vEy =
*>Ez =
Уе
.( 0 ) _
ZE
dtс (p0 )
dt
dV(E .
dt
(17.3)
(o )
dzE
dt
v E - \ /4 x + v Ey
+
4,-
Абсолютную угловую скорость j -то звена относительно
стойки находят сложением угловых скоростей при относитель­
ном движении звеньев:
<17'4)
1=1
индекс г/(г — 1 ) указывает на порядковые номера звеньев,
участвующих в относительном движении, например:
6J40 = £7ю + ^21 + ^32 + ^43*
Решения обратных задач о положениях манипуляторов в
явном виде имеют важное значение как при проектировании,
так и при управлении. При проектировании такие решения
позволяют оценить влияние конструктивных параметров на
процесс движения, при управлении — построить быстродей­
ствующие алгоритмы управления.
Сложность задачи о положениях связана с ее нелинейно­
стью, поэтому точные решения не всегда возможны. Однако
особенность исполнительных механизмов промышленных ро­
ботов, состоящая в том, что оси соседних кинематических пар
или параллельны, или перпендикулярны между собой, позво­
ляет получать в таких случаях явное решение. После решения
задачи о положениях задачи о скоростях и ускорениях стано­
вятся линейными и решаются известными методами.
17.4. Задачи уравновешивания и динамики
Решение задач кинематики манипуляторов, рассмотрен­
ные в § 17.3, позволяют найти фактическое движение схвдта в
зависимости от относительного движения в управляемых ки­
нематических парах от обобщенных координат. Для исследо­
вания механизмов манипуляторов промышленных роботов мо­
гут использоваться все известные методы теории механизмов.
Так, для определения всех сил и моментов в управляющих ки­
нематических парах при заданном движении звеньев манипу­
лятора. можно воспользоваться методами кинетостатики. При
этом под внешним силовым фактором, рассматриваемом в этом
методе, подразумевают управляющие моменты (во вращатель­
ных парах) или управляющие силы (в поступательных). В
процессе движения промышленного манипуляционного Меха­
низма управляющие силы изменяются и, для того чтобы вос­
произвести заданное движение схвата, управляющая система
приводами должна обеспечить переменные моменты и силы,
закон изменения которых как раз и определяется методами ки­
нетостатики.
Требования по быстродействию, предъявляемые к Мани­
пуляционному механизму, приводят, как правило, к значитель­
ным управляющим силам. Более того, анализ показывает,
что при рассмотрении кинетостатики реальной конструкции
любой из рассмотренных ранее схем (см. рис. 17.3— 17.7)
управляющие моменты оказываются существенно большими,
чем можно предположить исходя из массы манипулируемо­
го объекта и размеров манипулятора. Эта разница, неблаго­
приятно сказывающаяся на конструкциях приводов и систе­
мах управления ими, возникает главным образом из-за того,
что приводам приходится кроме силы тяжести полезного гру­
за «удерж ивать» и силы тяжести звеньев, и силы тяжести
самих приводов, как правило, размещаемых непосредственно
на звеньях ПР.
Так,
при рассмотрении сил для схемы ПР по
рис. 17.12, а, б видно, что если момент М 32 при неподвижном
схвате зависит от силы веса G 3 звена 3 и его абсолютного по­
ложения
= ( G n l c D + ^З^С5з) cos ^32?
то момент М 21 зависит не только от массы звена 2, что есте­
ственно, но и от момента М 23 (рис. 17.12, в);
М 21 = [G2 IBS2 + (&п + G z)Ib c \cos^21 + ^23>
здесь M{j — управляющие моменты, действующие между зве­
ньями %и j (первый индекс i = 1 , 2 ,3 ,... указывает номер зве­
на, к которому приложен момент сил);
— угловая коорди­
ната звена i в неподвижной системе координат.
Эти дополнительные переменные момента, зависящие от
положения звеньев, безусловно вредны. Они фактически мас­
кируют полезную нагрузку и требуют более мощных двигате­
лей. Однако более мощные двигатели более тяжелые. Это в
свою очередь требует дополнительных усилий на преодоление
их увеличившейся массы и т.д. Поэтому конструкции манипу­
ляторов получаются громоздкими, их масса становится значи­
тельно больше массы груза.
Рассмотрим статическое уравновешивание звеньев мани­
пулятора путем введения дополнительных корректирующих
масс на примере схемы манипулятора рис. 17.13. Уравнове­
сим вначале массу третьего звена. Статический момент кор­
ректирующей массы т # з , необходимый для этого, С # з г/Г3 =
= G 3 /cS 3 - Можно уравновесить и сам полезный груз, увеличив
корректирующую массу и выполнив условие
G>KZTKZ
=
Gzhsz
+
GJ
c d
-
Однако этого, как правило, не делают, так как заранее не­
известно, с грузом какой массы будет работать робот. После
3 = G'K3/g момент М 32
введения корректирующей массы
становится равным нулю (или из него исключается составля­
ющая от силы тяжести G 3 ).
Корректирующие массы на втором и первом звеньях мож­
но определить, исходя из аналогичного условия равенства нулю
статических управляющих моментов M2i и Мю:
G k 2 t K 2 = G2IBS2 + (Gn + G 3 + G k z )Ib c ,
G k \tk \ - G\Ia s \ + (Gn + G 3 + G k 3 + G 2 + G k 2)Ia b Здесь стоит обратить внимание на то обстоятельство,
что при определении корректирующих масс га^2 = G ^ I q
и тк± = Gj(i/g приходится учитывать не только собствен­
ные массы звеньев 1 и 2, но и уже найденные корректирующие
массы, т.е. уравновешивать также и корректирующие массы
предыдущих звеньев.
Если, например, принять, что массы всех звеньев рассмат­
риваемого манипулятора одинаковы, центры масс их располо­
жены посередине звеньев (l$i = /г/ 2) и г#,- =
то корректи­
рующая масса на первом звене в 17 раз больше массы любого
из звеньев. При этом происходит суммарное увеличение массы
всего манипуляционного механизма более чем в 8 раз. Такое
достаточно простое решение не может быть признано рацио­
нальным, не говоря уже о том, что сами корректирующие мас­
сы располагаются в рабочем пространстве ПР и уменьшают
его.
Иногда удается использовать в качестве корректирующих
масс сами двигатели, смещая их так, чтобы центры масс не
проходили через центры вращения кинематических пар. На
практике редко используют полное статическое уравновеши­
вание звеньев манипулятора, ограничиваясь одним-двумя наи­
более массивными, т.е. проводят неполное уравновешивание.
Значительно более перспективным представляется ста­
тическое уравновешивание звеньев манипулятора с помощью
пружин. Однако непосредственное их использование затруд­
нительно, так как обычная пружина имеет линейный закон из­
менения силы от деформации, тогда как значения необходимых
статических моментов уравновешивания зависят от тригоно­
метрических функций углов положения звеньев манипулятора.
Тем не менее на практике известен ряд пружинных механиз­
мов, дающих необходимую зависимость «сила-перемещение»,
что и позволяет с их помощью точно решить задачу уравнове­
шивания.
Один из наиболее простых механизмов показан на
рис. 17.14, а. Пружина растяжения одним концом в точке А
жестко закрепляется на качающемся звене, а другим концом
через трос и блок В неподвижно закрепляется в точке Е. Если
сила тяжести звена G и расстояние до его центра масс от
точки О равно Iq $ , то, выбрав жесткость пружины равной
G =
Glos
1с
в
1о
(Н /м ), мы полностью уравновесим его силу тя­
е
жести, т.е. достигнем эффекта, аналогичного эффекту приме­
нения корректирующей массы (противовеса).
В случае уравновешивания многозвенной кинематической
цепи каждое звено уравновешивают отдельно, а «неподвиж­
н ую » точку для каждого звена создают искусственно, исполь­
зуя, например, механизм транслятора — последовательность
параллелограммных механизмов (рис. 17.14, б).
Для определения фактического движения звеньев ПР под
действием приложенных управляющих сил и моментов необ­
ходимо составить уравнения динамики. Для этого можно вос­
пользоваться традиционными методами динамики, например
уравнениями Лагранжа, или рассмотреть равновесие каждого
звена с использованием принципа Даламбера. Каждый из ме­
тодов имеет свои достоинства и недостатки, и поэтому нельзя
однозначно рекомендовать какой-либо из них.
Так, в методе Лагранжа необходимо вначале найти пол­
ную кинетическую энергию всего механизма, выражая ее через
обобщенные координаты и скорости. Затем составить систему
уравнений:
Число этих уравнений W равно числу степеней подвижно­
сти манипулятора, и это является одним из достоинств метода.
Обобщенные силы
могут быть найдены методами приведе­
ния (из условия равенства элементарных работ всех внешних
сил на возможных перемещениях работе обобщенной силы Q,
при изменении только одной обобщенной координаты gt). Как
правило, это будут сами неизвестные управляющие моменты
или силы. Силы же реакций в кинематических парах манипу­
лятора в уравнения не входят — и это также является досто­
инством метода.
Однако само аналитическое выражение кинетической
энергии звеньев манипулятора очень громоздко. Полная кине­
тическая энергия складывается из суммы кинетических энер­
гий каждого из звеньев, которые можно записать в общем слу­
чае так:
где v3i — абсолютная скорость центра масс звена; и± — угловая скорость звена; га,- — масса звена; J > 7 — момент инерции
звена относительно оси, совпадающей с мгновенной осью угло­
вой скорости.
Этот момент инерции для звена произвольной несиммет­
ричной формы вычислить очень сложно. Некоторого упроще­
ния можно добиться, если взять звено симметричной формы
с главными центральными осями инерции, совпадающими с
осями координат.
Но это лишь часть проблемы. Кинематические зависимос­
ти, приведенные в § 17.3, определяющие зависимость скорости
центра масс и его угловой скорости, достаточно громоздки.
Эта громоздкость многократно увеличивается при выполнении
необходимых в методе Лагранжа дифференцирований кинети­
ческой энергии. Все это даже для манипулятора с нескольки­
ми звеньями приводит к сложным многостраничным записям
точных аналитических выражений для W дифференциальных
уравнений движения, как правило, не дающих какой-либо воз­
можности найти их аналитическое решение.
Поэтому чаще всего прибегают к численному анализу уже
на этапе получения самих уравнений движения путем числен­
ного выполнения процедур дифференцирования. Полученные
уравнения затем решают также численными методами.
При использовании принципа Даламбера механизм разби­
вают на отдельные звенья и рассматривают равновесие каждо­
го звена, т.е. записывают систему уравнений:
= £ * ’» + £ * у >
= £
м,- + £
i=
MsiFij) + £ M y ,
где qs{ и
— подлежащие определению ускорение центра масс
г-го звена и его угловое ускорение;
М{ — внешние силы и
моменты, приложенные к звену; F{j — реакции в кинематиче­
ских парах; М г;*, M 3(F{j) — моменты сил реакции и момедты
от сил реакции на звено относительно центра масс звена.
Проецируя каждое из этих векторных дифференциальных
уравнений на оси координат, получим систему из 6W скаляр­
ных уравнений.
Таким образом, хотя сами уравнения и существенно про­
ще, их в шесть раз больше. Кроме того, в эти уравнения вхо­
дят силы и моменты реакций, которые при определении закона
движения необходимо из системы уравнений исключить.
Должно быть понятно, что и метод Лагранжа и принцип
Даламбера описывают движение одной и той же системы 5 по­
этому результирующая система уравнений после исключения
реакций будет одинаковой, хотя для численного анализа пол­
ная система уравнений, согласно принципу Даламбера, б0лее
благоприятна. Общая форма дифференциальных уравнений
движения, полученных любым способом, имеет вид
{ A ( q m + {B(q,q)} + {C(q)} = Q.
Здесь { А } — инерционная матрица; { В } — вектор сил
и моментов сил инерции; { С } — вектор сил и моментов сил
тяжести; Q — обобщенная сила; [q] — матрица-столбец обоб­
щенных ускорений.
Эта система W нелинейных дифференциальных уравне­
ний в общем случае не имеет аналитического решения и может
быть проанализирована только численными методами. Так,
для манипулятора с одной вращательной и двумя поступатель­
ными парами (рис. 17.15), т.е. с тремя обобщенными коорди­
натами Г3 2 , <£10 и ^2 Ъ система уравнений движения имеет вид
а\
О
О
(
О
аг(г)
0
О
О
аз
г 32 \
Vio
/
+
£>1( г 3 2 > Ф ю )
Ы^зг, ^зг, £ю)
\
+
О
Последнее из трех уравнений независимо от других, чего
нельзя сказать о первых. В первом уравнении есть член
зависящий не только от выдвижения звена 5, но и от скоро­
сти его поворота. Такое явление называют взаимовлиянием
приводов друг на друга, и оно безусловно вредно.
Исключения этого взаимовлияния, т.е. динамической раз­
вязки, иногда удается достичь таким подбором коэффициен­
тов, чтобы система дифференциальных уравнений движения
представляла собой W независимых уравнений. Такое реше­
ние позволяет при тех же приводах существенно увеличить
ускорение и, следовательно, быстродействие робота.
И наконец, еще на одном нетрадиционном методе улучше­
ния динамики некоторых манипуляторов следует остановить­
ся. Очень часто, работая в технологической цепи, манипу­
ляционный механизм совершает одни и те же повторяющиеся
движения: при работе циклически — взять деталь, перенести
ее на стеллаж, вернуться за следующей и т.д. Работа цикли­
ческого привода в этом случае происходит в такой последова­
тельности: разгон, торможение, останов, реверс, снова разгон,
торможение, останов, реверс и т.д. Таким образом, дважды за
цикл робот останавливается, его энергия полностью теряет­
ся. Кроме бесполезного расхода энергии это сказывается и на
быстродействии — ведь дважды за цикл приходится разгонять
значительные инерционные массы звеньев.
Представляется целесообразным энергию торможения в
конце цикла не рассеивать на тормозе, а запасать в какомлибо устройстве накопления потенциальной энергии (напри­
мер, пружине), с тем чтобы использовать ее при разгоне сис­
темы. Это должно существенно уменьшить мощность и массу
привода, так как основной универсальный цикл система будет
совершать под действием пружины, т.е. совершать колебания,
а привод (весьма небольшой) потребуется только для компен­
сации неизбежных потерь на трение, т.е. для создания режима
автоколебаний. Общая схема такого привода приведена в [16].
Контрольные вопросы
1. Ч т о т а к о е м а н и п ул яц и он н ы й м ехан и зм , п р ом ы ш л ен н ы й м а н и п ул я ­
тор, автооператор?
2. В чем о с о б е н н о с т и с и с т е м п р ом ы ш л ен н ы х м а н и п у л я т о р о в ?
3. К ак и е дви ж ен и я р е а л и з у ю т и зв е стн ы е вам м а н и п у л я т о р ы ?
4. Ч т о т а к о е п о д в и ж н о с т ь м а н и п у л я тор а ? К а к он а о п р ед ел я ется ?
5. Д а й т е опред елен и е р а б о ч е го п р о с т р а н с т в а , зон ы об сл у ж и в а н и я м а ­
н и п у л я то р а и его м а н ев р ен н ости (н а л ю б о м п р и м е р е ).
6. К а к ов план п ри м ен ен и я м е т о д а п р еоб р а зов а н и я к о о р д и н а т при иинем а т и ч е с к о м анализе м а н и п у л я тор а с W = 5?
7. Д ля чего п р о в о д и т ся ур а в н овеш и ва н и е м ехан и зм ов м а н и п у л я т о р о в ?
1. А р т о б о л е в с к и й И .И . Теория механизмов и машин. М., 1988.
2. Вибрации в технике: Справочник. В б т. М ., 1979-1981.
3. Га вр и л ен к о В . А . и др. Теория механизмов. М., 1973.
4. Га вр и л ен к о В . А .
дачи. М., 1969.
Основы теории эвольвентной зубчатой пере­
5. К о ж е в н и к о в С .Н . Теория механизмов и машин. М ., 1973.
6. К о л о в с к и й М . З . Динамика машин. Л., 1989.
7. К о л о в с к и й М . З .
М ., 1966.
8. К р а й н ев А . Ф .
М ., 2000.
Нелинейная теория виброзащитных систем.
Механика машин.
Фундаментальный словарь.
9. Л е в и т с к и й Н .И . Теория механизмов и машин. М., 1979.
10. Механика промышленных роботов. В 3 т. / Под ред. К.В. Фро­
лова, Е.И. Воробьева. М ., 1988.
11. Механика машин /П од ред. Г.А . Смирнова. М ., 1996.
12. Основы балансировочной техники. В 2 т. / Под ред. В.А. Щепетильникова. М., 1975.
13. П рон и к ов А . С . Надежность машин. М ., 1978.
14. П о п о в С . А . Курсовое проектирование по теории механизмов и
механике машин. М., 1986.
15. П о п о в С . А . , Ти моф еев Г . А . Курсовое проектирование по те­
ории механизмов и механике машин. 4-е изд., перераб. и доп.
М .: Высш. шк., 2002.
16. Р е ш е т о в Л .Н . Самоустанавливающиеся механизмы. Справоч­
ник. М ., 1979.
17. Трение, изнашивание и смазка: Справочник. В 2 т. / Под ред.
И.В. Крагельского и В.В. Алисина. М., 1979.
18. Теория механизмов и машин / Под ред. К.В. Фролова. М., 1987.
19. Фролов К . В . Методы совершенствования машин и современные
задачи машиноведения. М ., 1984.
20. Ю д и н В . А . , П ет р о к а с Л .В . Теория механизмов и машин. М.,
1977.
А
А к со и д н еп од ви ж н ы й 361
- п од ви ж н ы й 361
А м п л и т у д а к ол ебан и й 218
А м о р т и з а т о р 295
А н а л и з м еха н и зм а к и н е м а ти ч е ­
ски й 82
А н а л о г с к о р о с т и т о ч к и 82
- уск ор ен и я т о ч к и 83
Б
Б а л а н си р о в к а р о т о р а 274, 281
- а в т о м а т и ч е ск а я 291
- д и н а м и ч еск а я 289
- с т а т и ч е с к а я 287
В
Вал
- к о л е н ч а ты й 48
- р а сп р е д е л и те л ь н ы й 48
- у п р у ги й 205
В е к т о р гл а вн ы й д и сб а л а н сов р о ­
т о р а 281
сил инерции 180, 202
п ер ем ен н ы х
п р о е к ти р ов а н и я
541
с о ст о я н и я 542
- п о с т о я н н ы х п а р а м е т р о в 542
В и бра ц и я 261, 272
В и б р о г а си т е л ь
д и н а м и ч еск и й
у д а р н ы й 332
В и б р о з а щ и т а 261, 274
В и б р о з а щ и тн а я с и с т е м а 335
п н ев м ом ех а н и ч еск а я 335
----- э л е к т р о г и д р а в л и ч е с к а я с си ­
л о в ы м ц и л и н д р о м 337
эл е к тр о д и н а м и ч е ск а я 338
В и б р о и з о л я т о р 295
— б езы н ер ц и он н ы й 299
— о д н о о сн ы й 299
— п р о с т о й 299
— сл ож н ы й 303
В и бр ои зол я ц и я 295
В и б р о п р о ч н о с т ь 271
— в и б р о у с т о й ч и в о с т ь 271
В од и л о 48, 402
В о з д е й ст в и е ви бр а ц и он н ое 263
— га р м о н и ч е ск о е 265
-----к и н ем а ти ч еск ое 262
— н еста ц и он а р н ое 265, 267
— си л ов ое (д и н а м и ч е ск о е ) 262
— сл у ч а й н ое 265
— ст а ц и о н а р н о е 265
— у д а р н ое 268
В р ем я цикла 611
Г
Г а с и т е л ь к ол еба н и й г и р о ск о п и ч е ­
ски й 326
— д и н а м и ч еск и й 275, 310
------- с а к ти в н ы м и э л ем ен т а м ^ 321
— -и н ерц и он н ы й 310
к а тк ов ы й 312
— м а я тн и к овы й и н е р ц и о н н е й
(д и н а м и ч еск и й ) 316
— нелин ейны й 331
----- од н ом а ссн ы й с т р е н и е м 311,
323
— пруж инны й 3 Ю
— у д а р н ы й 332
Г а ш ен и е к р у т и л ь н ы х к ол ебан и й
321
Г и с т е р е з и с 305
Г о д о гр а ф си л 241
Группа стр ук тур н ая 61
д
Д в и га т е л ь 13, 202
Д ви ж ен и я м а н и п у л я то р а
- гл о б а л ь н ы е 626
- л ок а л ь н ы е 627
- р е ги о н а л ь н ы е 627
Д в и ж ен и е о б р а щ е н н о е 119
- у ст а н о в и в ш е е ся м а ш и н н ого аг­
р е г а т а 210
Д е м п ф и р ова н и е к олебан и й 274
к о н ст р у к ц и о н н о е 305
к р и т и ч е с к о е 300
о т н о с и т е л ь н о е 300
ц и к л и ч еск ое 305
Д е ф о р м а ц и я д и н а м и ч еск а я 214
- с т а т и ч е с к а я 214, 299
- у п р у га я 207
Ж
Ж е с т к о с т ь д и н а м и ч еск а я
- линейная 202, 203
- п е р е д а т о ч н о го м ехан и зм а 202
- угл ова я 203
3
З а о ст р е н и е з у б а 463
З ам ы к ан и е си л о в о е 550
Зац епление вн еш н ее 132
- в н у тр е н н е е 132
п л оск ое 448
- з у б ч а т о е 131, 360
- п о сл е д о в а т е л ь н о е 394
- р е е ч н о е 132
- с т а н о ч н о е 378
р е е ч н о е 459
- эв о л ь в е н т н о е к о н и ч еск ое 494
З вен о м ех а н и зм а 20
вед ом ое 23
в е д у щ е е 48
з у б ч а т о е 360
н а ч а л ьн ое 47, 61
о сн о в н о е 392
п о д в и ж н о е 47
З он а о б сл у ж и в а н и я м а н и п у л я то­
ра 634
И
И зн аш и ва н и е 348
- абр а зи в н ое 353
к оррози он н о-м еха н и ч еск ое 349,
353
- м ехан и ч еск ое 349, 352
- м ол ек ул я рн о-м ехан и ческ ое 349,
353
И знос 348
И з н о со ст о й к о ст ь м а тери ал ов 351
И сточн и к вн утрен н ей ви броак ­
т и в н о ст и 200
- возм ущ ен и я 298
- колебаний 261
И н тен си в н ость изнаш ивания ин­
тегр ал ьн ая 350
- эн ер гети ч еск а я 351
К
К ам ен ь к улисн ы й 48
К ол ебан и я вы н уж ден н ы е 264
- детер м и н и р ова н н ы е 264
- гарм он и ч еск и е 265
- п а р а м етр и ч еск и е 264
- са м ов озб у ж д а ю щ и еся 264
- св об од н ы е 263
- сл у ч а й н ы е 264
- х а о ти ч е ск и е 264
К ол есо з у б ч а т о е 48, 447
- к осозу б ое 477
- плоск ое 381, 498
- п л оск оверш и н н ое 498
- в ооб р а ж а е м о е прои зводящ ее 498
- п р я м озу б ое 450
----- ц и л и н дри ч еск ое экви вал ен т­
ное 495
К о н т у р 49
- и сход н ы й 379
для в о г н у т ы х зубьев 484
для в ы п у к л ы х зубьев 484
прои зводящ и й 458
- тор ц ов ы й те о р е ти ч е ск и й 381
К о н у с д ел и тел ьн ы й 491
д оп ол н и тел ьн ы й 494
- начальны й 490
К о о р д и н а т а обобщ ен н а я 94
К ор о м ы сл о 48
К оэф ф и ц и ен т
- ви броизоляции 301
- возр а ста н и я сил 557
- демпф ирования 300
- д и н а м и ч н ости 301
- ж е с т к о с т и ли ней ной 202
у гл о в о й 203
- н е р а в н о м е р н о ст и вращ ен и я 179
- п е р е к р ы ти я 472
к о со з у б о й перед ач и 481
п р я м о зу б о й перед ач и 474
п огл ощ ен и я 307, 348
- п ол езн ого д е й ств и я м ех а н и ч е­
ски й 254
- п о т е р ь м е х а н и ч е ск и х 254
- ск ол ь ж ен и я 370, 476
- см ещ ен и я 464
- со п р о т и в л е н и я эк в и в а л ен тн ы й
308
- сцепления 344
- тр е н и я 352
- у д е л ь н о го давлен и я 475
К р и в о ш и п 48
К у л а ч о к 48
- ги п е р б о л о и д н ы й 549
- д и ск о в ы й 549
- к он и ч еск и й 549
- к он ои д н ы й 549
- пл оск и й 549
- ц и л и н д р и ч еск и й 549
К у л и са 48
- ц ен т р о и д 129
- сом н о ж и те л е й 424
- ш т р а ф н ы х ф ун к ци й 543
М еха н и зм 20
- д в у х зв е н н ы й 228
- д и ф ф ер ен ц и а л ь н о-п л а н ета р н ы й
386
- з у б ч а т ы й 385
- к ва зи п л оск и й 65
- к р и в о ш и п н о -к о р о м ы сл о в ы й 527,
534
- к р и в о ш и п н о -п о л зу н н ы й вн еосны й 524
- к ул и сн ы й 524
- м а л ь т и й ск и й 592
- м а н и п ул я ц и он н ы й 621
а в т о м а т и ч е с к и й 622
а д а п ти в н ы й 623
б и о т е х н и ч е ск и й 624
и н т е р а к т и в н ы й 624
п р о г р а м м н ы й 623
- п е р е д а то ч н ы й 13, 202
- п л а н ета р н ы й 389, 402
- р о т о р н ы й 20
- рычажный заменяющий 137
- р я довой з у б ч а т ы й 393
- самоустанавливающийся 67
Л
Л иния зацепления 360, 374, 377
- зу б а 491
- с т а н о ч н о г о зацепления 378
М
М а н и п у л я то р
(п р о м ы ш л ен н ы й
р о б о т ) 623
М а с са к о р р е к т и р у ю щ а я 282
М а те р и а л см а зо ч н ы й 342
М а хови к 180, 187
М а ш и н а 7, 13
- ра боч ая 13, 202
М е т о д л о ж н ы х пол ож ен и й 63
- М е р ц а л о ва 181
- об р а щ ен и я д ви ж ен и я 118
- п о сл е д о в а т е л ь н ы х п р и бл и ж ен и й
213, 250
- п р еоб р а зов а н и я к о о р д и н а т 147
- п р и бл и ж ен н ы й 520
- т о ч н ы й 520
- с в о з в р а т н о -в р а щ а ю щ и м ся ци­
л и н д р ом 528
- с к а ч а ю щ ей ся к ул и сой 536
- с к в а з и п р е р ы в и с т ы м д ви ж ен и ­
ем п ол зун а 598
- с т р е х п о в о д к о в ы м и гр у п п а м и
124
- с т а т и ч е с к и оп р ед ел и м ы й 227
- т р е х зв е н н ы й 392
- х р а п ов ой 588
- ш а гов ы й 590
Модель механизма вектоРн** 94
- м а ш и н н ого а г р е г а т а 152
- экви ва л ен тн а я у п р у гов я зк а я 307
М од у л ь зу б ь ев 451
М о м е н т а к ти в н ы й 24
- в ы н у ж д а ю щ и й 213
-
главный
дисбалансов
Ротора
281
- движ ущ ий 23
- инерции су м м а р н ы й п р и е д е н ­
ны й 154
М у л ь т и п л и к а т о р 385, 402
М у ф т а у п р у га я 220
Н
Н е у р а в н о в е ш е н н о ст ь р о т о р а 286
д и н а м и ч е ск а я 283
м ом ен тн а я 283
с т а т и ч е с к а я 281
О
О б ъ е к т в и б р о з а щ и т ы 262, 298
О гр а н и ч е н и я
- п а р а м е т р и ч е ск и е 542, 543
- ф у н к ц и о н а л ь н ы е 541, 543
О к р у ж н о с т ь в ерш и н 450
- в п ад и н 450
- д ел и тел ьн а я 451
- начальн ая 455
- осн овн а я 450
О п е р а т о р 272
- д и н а м и ч е ск о й ж е с т к о с т и 272
- д и н а м и ч е ск о й п о д а т л и в о с т и 272
О п р е д е л и м о с т ь ст а т и ч е с к а я
г р у п п ы А с с у р а 228
м ех а н и зм а 227
О р га н р а б о ч и й 634
О сь в и н това я м гн овен н ая 362
О т к а з 271
О т н о ш е н и е п е р е д а т о ч н о е 395
П
П ара
- в р а щ а те л ь н а я 49, 225, 245
- в ы сш а я 49, 225, 247
- к и н е м а ти ч е ск а я 20, 48
низш ая 49
- п о с т у п а т е л ь н а я 224, 243
- п р о и зво д я щ а я к о н гр у эн тн а я 381
П а р а м е т р ы м ехан и зм а
- г е о м е т р и ч е с к и е 518
- си н т е з а 519
в х о д н ы е 519
в ы х о д н ы е 519
с в о б о д н ы е 519
- ш т р а ф а 543
П е р е гр у з к и л и н ей н ы е 263
П ер ед а ч а зу б ч а т а я 385
в и н това я 504
вол н овая 427
ги п е р б о л о и д н а я 504
гипоидная 504
ци л и н дри ческая 446
червячная 504, 507
- м н огоск ор остн а я 401
п овы ш аю щ ая
(м у л ь ти п л и к а ­
т о р ) 385
- пон и ж аю щ ая 385
- соосн а я 398
- нулевая 471
- ортогон а л ьн а я 489
- экви вален тн ая цили н дри ческая
495
План в озм ож н ы х ск ор остей 127
- м еханизм а 114, 116
- у гл ов ы х ск о р о сте й 134
- ускорений 128
П ов ер хн ости плоские 498
прои зводящ и е 378
- соп ряж ен н ы е 360, 375
П ов ер хн ость зуба боковая 491
- к ва зи эвол ьвен тн а я 498
П о гл о т и т е л ь колебаний 310
с вязким тр ен и ем 327
с су х и м тр ен и ем 330
П од в и ж н ость к и н ем ати ч еск ой па­
ры 58, 61
П одрезание зуба 463
П олзун 48
П ол ю с зацепления 131
П равило Г р а сгоф а 523
П ривод м аш и н ы 383
- гр уп п овой 384
- и н ди ви дуа л ьн ы й 385
- взаи м освяза н н ы й 385
- м н огод ви га тел ь н ы й 385
П р о с т р а н с т в о р а бочее манипуля­
т о р а 634
П роф или
зубьев
сопряж ен н ы е
360, 492
П роф иль кулачка 120
Р
Р а б о т а удельная сил трен и я 351
Р а сстоя н и е внеш нее к он усн ое 492
Реакция 24
Р е гу л я т о р 43
- вн ереж и м н ы й 43
- н епря м ого д ей стви я 45
- од н ореж и м н ы й 43
- п р я м ого д ей стви я 44
Р е д у к т о р з у б ч а т ы й 385
- п л а н е та р н ы й 402
Р ей к а зу б ч а та я 452
- п р ои звод я щ а я 456
Р о б о т п р о м ы ш л е н н ы й 606
Р отор
- н е у р а в н овеш ен н ы й 280
- п о л н о с т ь ю сба л а н си р ова н н ы й
281
Р я д в о з в р а т н ы й 398
- оги ба н и я 307
С теп ен ь с в о б о д ы
п а р а м е тр и ч е ск а я 74
с т р у к т у р н а я 74
- стати ческой
н еоп р ед ел и м ости 53, 574
С т о й к а 47
С хем а
- м еха н и зм а осн овн а я 265
с т р у к т у р н а я 49, 65
С
Т
С а м о т о р м о ж е н и е при о б р а т н о м
ходе 258
С вя зь и зб ы то ч н а я локал ьн ая 48
- к и н ем а ти ч еск а я 310
- о б р а тн а я 602
С а т е л л и т 48, 392, 402
С и л а а к ти вн ая 24
внеш няя 24
в н утр ен н я я 24
д в и ж у щ а я 23
д и сси п а ти в н а я 304
тр ен и я покоя 344
С и н те з к и н е м а ти ч е ск и й 518
- с т р у к т у р н ы й 70, 517
С и с т е м а а в т о м а т и ч е ск о й с т а б и ­
лизации 43
Т а к т о г р а м м а м а ш и н ы 613
Т е о р е м а В и л л и са 363
- зацепления осн овн а я 360, 363
- п л оск ого зацепления 363
Т о л к а т е л ь к у л а ч к о в о го м ехан и з­
м а 48
Т о ч к а осо б а я 125
- А с с у р а 63
Т р а в е р с а 48
Т р е н и е вн еш н ее 341
- в н у тр ен н ее 305, 342
- без см а з о ч н о го м а т е р и а л а 342
- дви ж ен и я 344
- покоя 344
- с о см а зо ч н ы м м а т е р и а л о м 342
- управлен и я м аш и н 600
- аналоговая 605
- д и ск р е тн а я 603
- са м о н а ст р а и в а ю щ а я ся 601
- са м о о б у ч а ю щ а я ся 601
- са м о о р га н и зу ю щ а я ся 601
С к о р о с т ь звена
угл ова я 82
- л и н ей н ого и зн а ш и ван и я 350
- обо б щ е н н а я 82
- ск ол ь ж ен и я 367
С м ещ ен и е и н с т р у м е н т а 462
С оед и н ен и е 47
- к и н е м а ти ч е ск о е 49
- н ера зъ ем н ое 47
- р а зъ ем н ое 47
С о п р о т и в л е н и е вязкое 304
С п и р а л ь ар хи м ед ова 509
С п особ
- к о о р д и н а тн ы й 94
- л о ж н ы х пол ож ен и й 117
У
У го л давлен и я 371, 551
- зацепления 455
- м еж осев ой 489
- передач и 371
- т о р ц о в о г о п е р е к р ы ти я 473
У п р а в л ен и е к ом б и н и р ов а н н ое 609
- к о н т у р н о е 609
- п ози ц и он н ое 609
- п о л у а в т о м а т и ч е с к о е 600
- р у ч н о е 600
- си ст е м о й м ех а н и зм ов д е ц е н тр а ­
л и зова н н ое 605
-------- см еш а н н ое 605
-------- ц ен тр а л и зов а н н ое 605
- ци к л овое 608
У си л и т е л ь 45
У ск ор ен и е о б о б щ е н н о е 82
- у гл о в о е 83
У сл ов и е и сп о л н и т е л ь н о е 634
- п р а в и л ь н ого зацепления 422
- сб о р к и 420
- с о о с н о с т и 419
- с о с е д с т в а 420
- си н т е з а о сн о в н о е 520
д о п о л н и т е л ь н о е 520
У с т р о й с т в а в и б р о з а щ и т н ы е 275
- в и б р о и з о л и р у ю щ и е 298
- а к т и в н ы е 275
- д е м п ф и р у ю щ и е 295
- п а сси в н ы е 275
У р а в н ен и е д ви ж ен и я м ехан и зм а
163
- м од ел и р ов а н и я 154
- о сн о в н о е э н е р г е т и ч е с к о е 186
- р а б о т о й м а ш и н ы 208
Ф
Ф а к т о р у с т о й ч и в о с т и м а ш и н н ого
а г р е г а т а 34
Ф о р м у л а В и л л и са 134
- Ч е б ы ш е в а 9, 58
п р е о б р а зо в а н и я
декартовы х
п р я м о у го л ь н ы х к о о р д и н а т 147
Ф ун кц и я п ер ед а точ н а я к и н ем а ти ­
ческая 128
- с к о р о с т и т о ч к и п ер ед а точ н а я 82
- уск ор ен и я т о ч к и п ер ед а точ н а я
82
- целевая 541
- ш тр а ф н а я р е з у л ь т и р у ю щ а я 544
вращ ен ия 130
ск о р о сте й 130
Ц ен тр ои да 129
- неподвиж ная 129
- подвиж ная 129
Ц епь кин ем ати ч еск ая 49
Цикл к и н ем ати ч еск и й 610
- рабочи й 610
- прои звод ствен н ы й 610
- тех н ол оги ч еск и й 610
- у ста н ов и в ш егося движ ения 165
Ц и кл огр а м м а (граф и к циклично­
с т и ) 610
- линейная 611
- круговая 611
- пря м оугол ьн ая 611
Ц илиндр аксоидны й 469
Ч
Ч а с т о т а с о б ст в е н н ы х колебаний
216
Ч а с т ь линии зацепления а к ти в­
ная 467
Ч и сл о степен ей св о б о д ы 48
Ш
Ш аг 451
Ш а ту н 48
Ш и ри н а з у б ч а т о г о венца 494
Ш ток 48
X
Э
Х а р а к т е р и с т и к а к и н ем а ти ч еск а я
24
Х о д с в о б о д н ы й 588
- х о л о с т о й 255
Э в о л ь в е н т а 448
- о к р у ж н о ст и 511
- сф ери ческ ая 492
Э к сц е н т р и с и т е т м а ссы 281
Э л ем ен т 48
- ч у в с т в и т е л ь н о с т и 45
ц
Ц е н тр м гн ов ен н ы й 130
Предисловие
5
Введение
7
РАЗДЕЛ I. М Е Х А Н И К А МАШИН .
13
ГЛАВА 1. О б щ и е сведени я о м ехани ке м а ш и н .
1.1. Структура машинного агрегата..
1.2. Машина и механизм .
1.3. Силы, действующие в машинах, и их характеристики
1.4. Управление движением машинного агрегата .
1.5. Структурные схемы системы автоматического регулиро­
вания хода маш ин.
13
13
17
22
30
Контрольные вопросы
46
ГЛАВА 2.
47
С т р о е н и е м ехани зм ов
39
2.1. Основные определения
2.2. Кинематические пары и соединения
2.3. Структурный анализ механизма .
2.4. Контурные избыточные связи в квазиплоских механизмах
и их исключение .
2.5. Структурный синтез механизмов
2.6. Классификация механизмов .
47
49
56
Контрольные вопросы
81
ГЛАВА 3. Кинематические характеристики механизмов
82
3.1. Основные понятия . . .
.
3.2. Графики движения (дуговой координаты), скорости, уско­
рения и кинематических передаточных функций .
3.3. Координатный способ определения кинематических ха­
рактеристик плоских рычажных механизмов .
.9
3.4. Векторный способ определения скоростей и ускорений
плоских механизмов
3.5. Модульная система кинематического анализа механизмов
3.6. Примеры графического исследования механизмов
3.7. Кинематические характеристики плоских механизмов с
высшими парами
82
65
70
75
84
3
103
106
114
129
3.8. Кинематические характеристики пространственных ме­
ханизмов .................................
....
..
.
3.9. Метод преобразования декартовых прямоугольных коор­
динат
Контрольные вопросы
139
147
151
ГЛ АВ А 4. Исследование движения машинного агрегата
с жесткими звеньями
152
4.1. Динамическая модель машинного агрегата
4.2. Приведение сил
4.3. Приведение масс
4.4. Уравнение движения механизма
4.5. Закон изменения скорости механизма, нагруженного си­
лами, зависящими только от положения
4.6. Закон изменения скорости механизма, нагруженного си­
лами, зависящими только от скорости
4.7. Закон изменения скорости механизма, нагруженного си­
лами, зависящими как от положения так и от скорости
4.8. Неравномерность движения механизма
4.9. Динамический синтез и анализ, выполненные по методу
Мерцалова
.
4.10. Динамический анализ и синтез с учетом влияния скоро­
сти на действующие силы
152
155
159
163
Контрольные вопросы
201
166
170
173
178
181
190
ГЛ АВ А 5. Исследование движения машинного агрегата
с учетом упругости звеньев
202
5.1. Динамическая модель машинного агрегата
5.2. Установившееся движение машинного агрегата
5.3. Исследование влияния упругости звеньев
202
210
216
Контрольные вопросы
220
ГЛАВА 6. Силовой расчет механизмов
222
6.1. Основные положения
6.2. Аналитический метод силового расчета механизма
6.3. Действие сил в кинематических парах с учетом трения
6.4. Силовой расчет механизма с учетом трения
6.5. Потери энергии на трение. Механический коэффициент
полезного действия
222
231
243
249
Контрольные вопросы
260
254
ГЛАВА 7. Виброактивность и виброзащита машин
261
7.1. Источники колебаний и объекты виброзащиты
7.2. Влияние механических воздействий на технические объ­
екты и человека
.
7.3. Анализ действия вибраций
7.4. Основные методы виброзащиты
261
269
272
274
7.5. Уравновешивание и балансировка роторов
7.6. Статическая и динамическая балансировка изготовлен­
ных роторов
.
.
7.7. Виброизоляция. Виброзащитные системы с одной степе­
нью свободы
.
. .
7.8. Демпфирование колебаний. Диссипативные характери­
стики механических систем
.
.
7.9. Динамическое гашение колебаний
7.10. Поглотители колебаний с вязким и сухим трением
7.11. Ударные гасители колебаний .
7.12. Основные схемы активных виброзащитных систем
275
304
309
327
331
335
Контрольные вопросы
340
287
295
ГЛАВА 8. Трение и износ элементов кинематических
пар механизмов и машин
341
8.1. Виды и характеристики внешнего трения
8.2. Основные понятия и определения, используемые в трибо­
технике
8.3. Механика контакта и основные закономерности изнаши­
вания .
8.4. Методика расчета износа элементов кинематических пар
341
348
349
354
Контрольные вопросы
358
РАЗДЕЛ II. МЕТОДЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ СХЕМ
ОСНОВНЫХ ВИДОВ М ЕХАН ИЗМ ОВ
359
ГЛАВА 9. М етоды синтеза механизмов с высшими
парами
359
9.1. Основные понятия и определения
9.2. Основная теорема зацепления
.
9.3. Скорость скольжения сопряженных профилей
. .
9.4. Угол давления при передаче движения высшей парой
9.5. Графические методы синтеза сопряженных профилей
9.6. Дифференциальная форма основного уравнения зацепле­
ния профилей
9.7. Производящие поверхности
360
360
367
370
372
Контрольные вопросы
382
ГЛАВА 10. Механизмы приводов машин
383
10.1. Основные понятия и определения
10.2. Строение и классификация зубчатых механизмов
10.3. Рядовые зубчатые механизмы и механизмы со ступенча­
то изменяющимися передаточными отношениями
10.4. Планетарные зубчатые механизмы
10.5. Волновые зубчатые передачи
383
386
375
378
392
402
427
1 0 .6 . К и н е м а т и ч е с к и е с х е м ы з у б ч а т ы х м е х а н и з м о в п р и в о д о в
и распределение передаточных отношений между ступенями
435
Контрольные вопросы
445
ГЛ АВ А 11. Цилиндрическая зубчатая передача
446
11.1. Передачи внешнего и внутреннего зацепления
446
11.2. Эвольвента, ее свойства и уравнение
448
11.3. Эвольвентное прямозубое колесо
450
11.4. Эвольвентная прямозубая рейка
452
11.5. Эвольвентное зацепление
453
11.6. Основные положения станочногозацепления
456
11.7. Реечное станочное зацепление
459
11.8. Подрезание и заострение зуба
463
11.9. Эвольвентная зубчатая передача
467
11.10. Качественные показатели зубчатой передачи
472
11.11. Цилиндрическая передача, составленная из колес с ко­
сыми зубьями. Выбор коэффициентов смещения
477
11.12. Особенности точечного круговинтового зацепления
Новикова
482
Контрольные вопросы
488
ГЛ АВ А 12. Пространственные зубчатые передачи
489
12.1. Коническая зубчатая передача
12.2. Гиперболоидные зубчатые передачи
489
504
Контрольные вопросы
514
ГЛ АВ А 13. Механизмы с низшими парами
516
13.1. Основные этапы синтеза
516
13.2. Выбор методов синтеза
519
13.3. Условия существования кривошипа в плоских четырех­
звенных механизмах
522
13.4. Синтез четырехзвенных механизмов по двум положени­
ям звеньев
525
13.5. Синтез четырехзвенных механизмов по трем положени­
ям звеньев
..
530
13.6. Синтез механизмов по средней скорости звена и по ко­
эффициенту изменения средней скоростивыходного звена
534
13.7. Построение оптимизационной модели и выбор метода
оптимизации
539
Контрольные вопросы
546
ГЛ АВ А 14. Кулачковые механизмы
547
14.1. Виды кулачковых механизмов и их особенности
14.2. Закон перемещения толкателя и его выбор
14.3. Угол давления и коэффициент возрастания сил в кине­
матических парах
14.4. Определение размеров кулачкового механизма по задан­
ному допускаемому углу давления
14.5. Определение габаритных размеров кулачка по условию
выпуклости профиля
547
551
555
558
570
14.6. Определение координат профиля дисковых кулачков
571
14.7. Механизмы с цилиндрическими кулачками
580
14.8. Влияние упругости звеньев кулачкового механизма на
закон движения толкателя и форму профиля кулачка
582
Контрольные вопросы
586
ГЛ АВА 15. М е х а н и зм ы с п р е р ы в и с т ы м д ви ж е н и е м в ы ­
х од н о го звен а
587
15.1. Зубчатые и храповые механизмы
15.2. Мальтийские механизмы
15.3. Рычажные механизмы с квазиостановками
587
590
597
Контрольные вопросы
598
ГЛ АВА 16. У п р а в л е н и е д ви ж е н и е м с и с т е м ы м ех а н и зм о в
599
16.1. Система программного управления движением механиз­
мов . . .
16.2. Циклограмма системы механизмов
599
610
Контрольные вопросы
619
ГЛАВА 17. М а н и п у л я ц и о н н ы е м ех а н и зм ы
620
17.1. Классификация, назначение и области применения
17.2. Кинематические схемы, структура и технические харак­
теристики манипуляторов
17.3. Задачи о положениях манипуляторов
17.4. Задачи уравновешивания и динамики
620
625
637
642
Контрольные вопросы
650
Список литературы
651
Предметный указатель.
652
Константин Васильевич Фролов
Сергей Александрович Попов
Александр Константинович Мусатов
Геннадий Алексеевич Тимофеев
Василий Александрович Никоноров
ТЕО РИ Я М Е Х А Н И З М О В И М Е Х А Н И К А МАШ ИН
Редактор Г .А . Нилова
Корректор О.В. Калашникова
Художник С.С. Водчиц
Компьютерная верстка В.И. Товст оног
Оригинал-макет подготовлен
в Издательстве МГТУ им. Н.Э. Баумана
С а н и т а р н о -эп и д е м и о л о ги ч е ск о е за к л ю ч ен и е
N° 7 7 .9 9 .0 2 .9 5 3 .Д .005683.09.04 о т 13.09.2004 г.
П о д п и са н о в п е ч а т ь 24.11.20 04 .
П е ч а ть о ф се тн а я .
П еч. л. 41,5.
Ф о р м а т 60 х 9 0 /1 6 .
Б у м а г а оф сетная.
Г а р н и т у р а “ C om p u ter m o d e rn ”
У ч .-и зд . л. 41 ,2.
Т и р а ж 3000 экз.
Зак. № 11273
И з д а т е л ь с т в о М Г Т У и м . Н .Э . Б аум ан а .
105005, М оск ва , 2-я Б аум ан ска я, 5.
О т п е ч а т а н о с г о т о в о г о о р и ги н а л -м а к е т а
в ГУП ППП « Т и п о г р а ф и я « Н а у к а » .
121099, М оск ва , Ш уби н ск и й пер., 6.
ISBN 5 -7 0 3 8 -1 7 6 6 -8