Целевая функция

1
Введение
Цель настоящего сообщения состоит в том, чтобы все участники научноисследовательской работы одинаково понимали термины, которые они используют в своих
исследованиях. Как говорят: прежде, чем спорить, надо договориться о терминах.
Примечание: все определения терминов взяты либо с сайта www.slovopedia.com, где
опубликовано много толковых словарей, либо с сайта ru.wikipedia.org - Всемирная
энциклопедия (Википедия), а также из книг:
А.И. Мальцев Алгебраические системы. М. "Наука", 1970.
П. Кон Универсальная алгебра. М.. "Мир". 1968.
Справочная книга по математической логике в четырех частях. Ч.1. Теория моделей
Под ред. Дж. Барвайса, пер. с англ. М. "Наука". 1982.
Терминология в задачах Оптимизации (математика)
В книге "Охота на овец" японского писателя Мураками я встретил такую сентенцию
главного героя: "Здесь ведь как с дыркой от бублика. Скажем ли мы: "внутри нет ничего",
или будем утверждать: "есть дырка", - все это сплошные абстракции, и вкус бублика от
них не изменится".
Именно этим абстракциям и посвящен мой доклад.
Так вот, интересно, у героя нет ничего или у него все-таки есть дырка от бублика?
Прежде всего требуется определить термин – цель.
В Толковом словаре русского языка В С.И.Ожегова и Н.Ю.Шведовой дается такое
определение: цели в нужном для нас смысле:
Цель - 2. Предмет стремления, то, что надо, желательно осуществить.
Во всемирной Интернет - энциклопедии ( Википедия) этот термин определяется так:
Цель:
1. желаемый результат (предмет стремления); то, что хочется осуществить.
2. чётко описанное желательное состояние, которого необходимо достигнуть.
3. предвосхищаемый в сознании результат деятельности.
Это определение практически совпадает с определением Ожегова.
В Большом бухгалтерском словаре, имеется следующее определение:
Цель:
1. предмет стремления, то что надо осуществить; задача, которую необходимо
решить;
2. характеристика поведения системы, направленного на достижение определенного
конечного состояния.
Обычно формальным выражением Ц. является целевая функция системы. Поведение
системы часто удобно описывать в терминах Ц. и средств ее достижения.
В этом словаре появляется определение цели как задача, которую необходимо
решить. Это полезное для нас определение.
Кроме того, возникает термин целевая функция системы, который тоже подлежит
определению.
В других толковых словарях таких как Большой Энциклопедический словарь (БЭС),
Толковый словарь русского языка под редакцией Т. Ф. Ефремовой определение термина
цель практически совпадает с определением Ожегова.
Приведем теперь определение термина "целевая функция"
Целевая функция
Функция, связывающая цель (оптимизируемую переменную) с управляемыми
переменными в задаче оптимизации.
2
В широком смысле целевая функция есть математическое выражение некоторого
критерия качества одного объекта (решения, процесса и т.д.) в сравнении с другим. Цель –
найти такие оценки, при которых целевая функция достигает минимума.
Важно, что критерий всегда привносится извне, и только после этого ищется правило
решения, которое минимизирует или максимизирует целевую функцию.
Задачей оптимизации в математике называется задача о нахождении экстремума
(минимума или максимума) вещественной функции в некоторой области. Как правило,
рассматриваются области, принадлежащие
и заданные набором равенств и неравенств.
В этом определении подчеркивается, что критерий ( цель) всегда привносится извне,
т.е. цель оптимизации всегда определяет лицо, принимающее решение.
Приведем теперь определение термина "задача оптимизации".
Постановка задачи оптимизации.
Для того, чтобы корректно поставить задачу оптимизации необходимо задать:
1.
Допустимое множество — множество
2.
3.
;
Целевую функцию — отображение
Критерий поиска (max или min).
Тогда решить задачу
1.
Показать, что
;
означает одно из:
.
2.
Показать, что целевая функция
3.
Найти
не ограничена.
.
4.
Если
, то найти
.
Если минимизируемая функция не является выпуклой, то часто ограничиваются
поиском локальных минимумов и максимумов: точек x0 таких, что всюду в некоторой их
окрестности
для минимума и
для максимума.
Если допустимое множество
, то такая задача называется задачей
безусловной оптимизации, в противном случае — задачей условной оптимизации.
В этом тексте определяется не только целевая функция, но также определяются
термины: допустимое множество, критерий поиска, задача безусловной оптимизации,
задача условной оптимизации. Критерий поиска – это описание цели оптимизации в
системе математических обозначений.
Следует сказать, что в приведенном выше тексте определяется постановка задачи
оптимизации в n-мерном пространстве вещественных переменных, но это определение
легко экстраполируется на другие пространства с изменением только некоторых
терминов.
Например, в экономике при определении стратегии поведения производителей на
рынке, когда требуется определить, какой товар и в каком количестве надо производить,
появляется необходимость изучить, каким товарам отдают предпочтение потребители.
Причем, предпочтения надо выразить в каких-то единицах измерения.
Для этого был предложен термин "полезность" (иногда этот термин называют –
"ценность"). При оптимизации уровня полезности предлагаемых благ или выпускаемого
товара используют функцию полезности.
3
Полезность блага или товара — есть способность его удовлетворять какой-нибудь
человеческой потребности.
Полезность блага тем выше, чем большему числу потребителей оно служит, чем
настоятельнее и распространеннее эти потребности и чем лучше и полнее оно их
удовлетворяет. Полезность является необходимым условием для того, чтобы какой-нибудь
предмет приобрел меновую ценность. Некоторые экономисты пытались даже построить на
Полезности теорию меновой ценности (см. Ценность).
Ценность — значимость (польза, полезность) некоторого множества объектов для
множества живых существ.
Употребляется в нескольких смыслах:

«Ценность» — как название предмета, обозначающее признание его
значимости. Разделяют «Материальные ценности» и «Духовные ценности». Известно
понятие «Вечные ценности».

«Ценность» — в экономике — используется как синоним понятию
«потребительная стоимость», т.е. значимость, полезность предмета для потребителя.
Функция полезности — экономическая модель для определения предпочтений
экономических субъектов. Основоположным условием концепта функции полезности
является рациональное поведение потребителя, выражающееся в выборе из многочисленных
альтернатив именно тех, которые выводят его на более высокий уровень полезности. В
микроэкономике концепт функции полезности служит для объяснения поведения
потребителей и производителей, в то время как в макроэкономике им пользуются для
изображения предпочтений государственных интересов. Первая производная функции
полезности по количеству определённого блага
называется предельной полезностью
этого блага. Предельная полезность выражает, сколько дополнительной полезности
приносит дополнительная единица блага i. Предельная полезность, равная 0, означает
достижение насыщенности.
Если эти термины сопоставить с терминами, которые использовались при
постановке задачи оптимизации в математике, то можно сказать, что термин
"полезность" эквивалентен термину "допустимое множество", "функция
полезности" эквивалентна термину "целевая функция". А вот термин "цель" как-то
потерялся в таком определении Это связано с тем, что термин "полезность" начал
использоваться в экономике, когда трудовая теория стоимости не смогла объяснить
производителям те или иные причины поведения потребителя на рынке. Когда и по какой
цене потребитель может приобрести тот или иной товар или услугу? По какой цене
потребитель может приобрести товар, если у него уже есть такая или аналогичная вещь?
А если у него есть уже две такие вещи?...
Обычно, производители продукции заказывают проведение исследования полезности,
чтобы определить, какие инновации можно применить для увеличения полезности своей
продукции потребителям.
Инновации могут быт самые разные. Существует такая трехмерная классификация
инноваций:
- по объекту применения: продукция, процесс, сырье, сбыт, организация,
инфраструктура;
- по глубине инновации: базовая, улучшающая, псевдоинновация;
- по сроку существования производства: новое производство, существующее
производство.
Если представить эту классификацию в виде таксонометрической схемы, то будем
иметь на схеме 36 ячеек.
4
(Таксонометрический метод – это метод многомерного упорядочения и классификации).
Когда производитель товара (или услуги) получает результаты анализа рынка, вот
тогда, на мой взгляд, производитель(лицо принимающее решение) и определяет "цель".
Именно поэтому, опять таки на мой взгляд, термин "цель" как-то потерялся при
использовании функции полезности.
Для этой области науки больше всего термину "цель" удовлетворяет третье
определение, данное в Википедии, (см. выше): "цель - предвосхищаемый в сознании
результат деятельности".
Терминология в алгебраических системах и моделях
Предварительные сведения
Вы все знаете логические функции двух переменных.
Почти все объекты, которые подлежат исследованию в выполняемой НИР, можно
описать в терминах алгебраических систем и моделей.
Это позволяет нам использовать все достижения теории алгебраических систем и
моделей в своей работе
Ниже приводится краткий перечень терминов, применяемых в этой области
математики.
Термины взяты из книги А.И. Мальцев Алгебраические системы. "Наука", М. 1970.
Алгебраической системой (или просто системой) называется объект A=<A,F,P>,
состоящий из трех множеств: непустого множества A, множества операций F = {F0,
…,F,…} и множества предикатов P = {P0,…,P,…}, заданных на множестве A.
Множество A называется носителем или основным множеством системы A.
В отличие от других операций и предикатов, которые могут быть определены на
множестве A, операции Fi и предикаты Pj называются основными или главными. Значения
главных нульарных операций системы называются главными или выделенными
элементами этой системы.
Объединяя множества ,F и P системы A и полагая  = ,F  P, мы можем
записать систему A более кратко: A=<A,>. Очень часто множество  называют
сигнатурой.
Алгебраическая система A=<A,> называется алгеброй, если P = , и моделью или
реляционной системой, если F = .
n-арная операция на A - это отображение прямого произведения n экземпляров
множества в само множество AnA. По определению, 0-арная операция — это просто
выделенный элемент множества. Чаще всего рассматриваются унарные и бинарные
операции, поскольку с ними легче работать. Но в связи с нуждами топологии, алгебры,
комбинаторики постепенно накапливается техника работы с операциями большей арности.
Операция — отображение, ставящее в соответствие одному или нескольким
элементам множества (аргументам) другой элемент (значение). Термин операция как
правило применяется к арифметическим или логическим операциям, в отличие от термина
оператор, который чаще применяется к некоторым отображением множества на себя,
имеющим замечательные свойства
Предикат (n-местный, или n-арный) — это функция с множеством значений {0,1}
(или «ложь» и «истина»), определённая на n-й декартовой степени множества M. Таким
5
образом, каждый набор элементов множества M он характеризует либо как «истинный»,
либо как «ложный».
Предикат можно связать с математическим отношением: если n-ка принадлежит
отношению, то предикат будет возвращать на ней 1.
Высказыванием называется утверждение, о котором совершенно точно можно
сказать, истинно оно или ложно. Если использовать термин "высказывание", то можно дать
другое определение термину "предикат".
Выражение с n переменными, определенными на заданных областях, которое
становятся высказыванием при любой подстановке допустимых значений переменных,
называется n-местным предикатом.
Предикаты часто записывают в виде P(x), Q(x,y).
Прямое или декартово произведение множеств — множество, элементами которого
являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных двух множеств. Данное
понятие употребляется не только в теории множеств, но также в алгебре, топологии и прочих
разделах математики благодаря тому, что прямое произведение часто наследует структуры
(алгебраические, топологические и т. д.), существующие на перемножаемых множествах.
Сейчас термин отображение чаще всего называют функцией.

Нестрогое определение: функция — это «закон», по которому каждому
элементу x из некоторого множества X ставится в соответствие единственный элемент y из
множества Y.

Теоретико-множественное определение: функция или отображение — это
кортеж множеств F = (f,X,Y), обладающий следующими свойствами:



f  X  Y (декартово произведение X и Y)
(x,y)  f, (x',y')  f, x = x'  y = y'.
x  X y  Y : (x,y)  f.
Для обозначения отображения используются такие формулы:
F = (f, X, Y), F:X  Y



для отображения F множества X в множество Y.
Множество X называется областью определения отображения F.
Множество Y называется областью значений отображения F.
(x,y)  f, y=F(x)

Элементы x называют аргументами функции, а соответствующие элементы
y — значениями функции.
------------------------------------------- Конец слайда 11
В этом определении следует обратить сейчас внимание на то, что здесь дано
описание функции и ее свойств, а также введен термин "формула", который указывает,
как при записи в тексте может отображается эта функция.
В математике корте́ж — последовательность конечного числа элементов. Многие
математические объекты формально определяются как кортежи. Например, граф
определяется как кортеж (V,E), где V — это набор вершин, а E — подмножество V × V,
обозначающее рёбра.
o
Отношение — математическая структура, которая формально определяет
свойства различных объектов и их взаимосвязи. Отношения обычно классифицируются по

6
количеству связываемых объектов (арность) и собственным свойствам (симметричность,
транзитивность и пр.). .
Формальное определение отношения.
n-местным (n-арным) отношением, заданным на множествах
,
называется подмножество прямого произведения этих множеств.
Иногда понятие отношения определяется только для частного случая
для отношения R. Тогда факт принадлежности n-ки этому
отношению можно записать как:
x1,x2,…,xn  R
Когда алгебраисты начали рассматривать теорию моделей, то по необходимости,
начали использовать термины аксиома, теорема и другие сопутствующие термины,
включая и сам термин теория.
Потребовалось различать понятие "функция" и понятие "формула".
Неформально можно сказать, что формула есть изображение функции, записанное
на некотором "языке". Значит требовалось формально описать эти термины. Затем
потребовалось описать алгебраические свойства таких языков.
Формулы и первичные символы
Прежде чем рассматривать теорию моделей, следует рассмотреть, какие
первичные символы могут использоваться при записи формул в алгебраической системе.
Это прежде всего числа, переменные, символы арифметических операций: +, -,
*(умножить), /(разделить); символы логических операций: , ,  , (если то), (тогда и
только тогда, равнозначность, эквивалентность); символы операций отношения:  ,  ,  ,
 ,  ,  , ; кванторы предикатов: (для всех), (существует); символы операций над
множествами: , , , , , , , (если то), (тогда и только тогда, равнозначность,
эквивалентность) ; круглые скобки (, ) для определения последовательности выполнения
операций; и др.
Примеры записи и чтения
Высказывание xP(x) означает, что область истинности предиката P(x)
совпадает с областью значений переменной x.
(«Его можно читать так: Для все значений (x) высказывание P(x) верно»).


Высказывание xP(x) означает, что область истинности предиката P(x)
непуста.
(«Его можно читать так: Существует (x) при котором высказывание P(x) верно»).
Пример записи высказывания с использованием предикатов:
A=B(x)[xAxB]
Квадратные скобки [
] задают область определения.
Здесь приведена аксиома равенства двух множеств A и B.
Аксиома читается так: Множества A и B равны, тогда и только тогда, когда для
всех x в области определения выполняется условие: x принадлежит A тогда и только тогда,
когда x принадлежит B.
Другой пример. Определение декартова произведения через предикаты.
7
A  B = {(x,y)x A  yB}
Определение читается так: Декартово произведение множеств A и
B
- это
множество (фигурные скобки) пар (x,y) таких, что x принадлежит A и y принадлежит B.
Всеми вопросами теории алгебраических систем занимается раздел математики –
Формальная теория.
Формальная (аксиоматическая) теория
Формальная (аксиоматическая) теория, формальное исчисление — это понятие,
разработанное в рамках формальной логики в качестве основы для формализации теории
доказательства. Формальная теория — разновидность дедуктивной теории, где множество
теорем выделяется из множества формул путем задания множества аксиом и правил вывода.
Определение
Формальная теория T— это:
1.
2.
формулами;
3.
A символов, образующих алфавит;
конечное множество F слов в алфавите A, F  A*, которые называются
конечное множество
подмножество B формул, B
F, которые называются аксиомами;
множество R отношений R на множестве формул, R  R, R Fn+1,
4.
которые называются правилами вывода.
Можно сказать, что формальная теория T это четверка:
T=<A, F,B, R>
где A – алфавит,
F – множество формул, F  A*;
B – множество аксиом, B F;
R – множество правил вывода, R  R, R Fn+1.
Множество символов A может быть конечным или бесконечным. Обычно для
образования символов используют конечное множество букв, к которым при необходимости
приписываются в качестве индексов целые числа или выражения.
Множество формул F обычно задаётся индуктивным определением, например, с
помощью формальной грамматики. Как правило, это множество бесконечно. Множества A и
F в совокупности определяют язык или сигнатуру формальной теории.
Множество аксиом B может быть конечным или бесконечным. Если множество
аксиом бесконечно, то, как правило, оно задаётся с помощью конечного числа схем аксиом и
правил порождения конкретных аксиом из схемы аксиом. Обычно аксиомы делятся на два
вида: логические аксиомы (общие для целого класса формальных теорий) и нелогические
или собственные аксиомы (определяющие специфику и содержание конкретной теории).
Множество правил вывода R, как правило, конечно.
Математическая формула (от лат. formula — уменьшительное от forma — образ, вид
) — всякая символическая запись (в виде выражения, равенства или неравенства),
содержащая какую-либо информацию. По сути это символьные выражения либо точного,
либо приближенного, либо неверного соответствия между математическими выражениями.
8
Аксиома (др.-греч. ἀξίωμα — утверждение, положение) или постулат —
утверждение (факт), принимаемое истинным без доказательства, а также как «фундамент»
для построения доказательств.
Теорема (др.-греч. θεώρημα — «зрелище, вид; взгляд; представление, положение»)
— утверждение, для которого в рассматриваемой теории существует доказательство (иначе
говоря, вывод). Частным случаем теорем являются аксиомы, которые принимаются
истинными без всяких доказательств или обоснований. Для аксиом доказательством служит
пустой вывод.
В математических текстах теоремами обычно называют только достаточно важные
утверждения. При этом требуемые доказательства обычно кем-либо найдены (исключение
составляют в основном работы по логике, в которых изучается само понятие доказательства,
а потому в некоторых случаях теоремами называют даже неопределённые утверждения).
Менее важные утверждения-теоремы обычно называют леммами, предложениями,
следствиями, условиями и прочими подобными терминами. Утверждения, о которых
неизвестно, являются ли они теоремами, обычно называют гипотезами.
Пример использования аксиоматической теории для выяснения определения термина
"информация"в смысле ее связи со специальной теорией относительности, использованное
Ю. Н. Теслей в докладе на семинаре кафедры компьютерных систем ЧДТУ 15.10.09г.
В ответ на вопрос, какие аксиомы и постулаты он использовались при обосновании
своей теории, он ответил, что единственной аксиомой является признание того, что
скорость света в вакууме — предельная скорость движения частиц и распространения
взаимодействий в пространстве.
На самом деле, в его теории используется, по крайней мере, еще несколько аксиом:
информация является свойством всех живых и неживых объектов, объект есть
физическое тело со всеми его свойствами.
Если теперь обратиться к неживым объектам и рассмотреть множество аксиом
формальной модели его теории , то это множество аксиом является подмножеством
аксиом модели "материя"в специальной теории относительности.
В физике термин материя определяется так:
Материя — фундаментальное физическое понятие, связанное с любыми объектами,
существующими в природе, о которых можно судить благодаря ощущениям.
Можно сказать, что когда Ю.Н. Тесля жестко связал термин "информация" с
термином "объект" и в качестве аксиомы принял скорость света в вакууме как предельную
достижимую скорость, то, используя верные правила вывода, он получил результаты,
совпадающие с результатами, полученными ранее в другой модели, в специальной теории
относительности.
На мой взгляд, определение термина "информация" в приложении к понятию
"материя" (к неживым объектам) лучше искать во второй части приведенного выше
определения материи, а именно в подчеркнутых словах.
Если Ю.Н. применит к объектам алгебраической системы "материя" правила вывода
своей алгебраической системы и получит при этом новые ранее не известные результаты,
это будет громадным успехом его теории.
В математике доказательством называется цепочка логических умозаключений,
показывающая, что при каком-то наборе аксиом и правил вывода верно некоторое
утверждение. В зависимости от контекста, может иметься в виду доказательство в рамках
некоторой формальной системы (построенная по специальным правилам последовательность
утверждений, записанная на формальном языке) или текст на естественном языке, по
которому при желании можно восстановить формальное доказательство. Доказанные
утверждения в математике называют теоремами (в математических текстах обычно
9
подразумевается, что доказательство кем-либо найдено; исключения из этого обычая в
основном составляют работы по логике, в которых исследуется само понятие
доказательства); если ни утверждение, ни его отрицание ещё не доказаны, то такое
утверждение называют гипотезой. Иногда в процессе доказательства теоремы выделяются
доказательства менее сложных утверждений, называемых леммами.
Заключение
Из выше сказанного можно сделать вывод, что формальную теорию можно
охарактеризовать, используя следующие главные компоненты:
1)
Основные символы (алфавит);
2)
правила образования слов (формул);
3)
аксиомы;
4)
правила вывода.
Множество основных символов содержит символы для обозначения констант,
операторов и т.д. Из этих символов, согласно правилам образования, строятся
утверждения (формулы).
Первичные утверждения, истинность которых принимается без доказательства,
называются аксиомами системы.
В соответствии с правилами вывода из истинных утверждений выводятся новые
истинные утверждения – теоремы.
Если требуется доказать истинность утверждения в той или иной формальной
системе, то соответствующее доказательство представляет собой такую
последовательность утверждений, в которой:
каждое утверждение является аксиомой или его можно получить из одного или
более предыдущих утверждений с помощью ряда правил вывода;
последнее утверждение является тем утверждением, которое надо доказать.
Для сокращения длины доказательств используют следующие приёмы:
а) утверждения, ранее доказанные как теоремы, вставляются в доказательства без
доказательства их истинности;
б) некоторые достаточно очевидные утверждения могут быть опущены
(использованы неявно).