Задание и исходные данные:
Функция общих издержек совершенно конкурентной фирмы имеет вид:
TC = 2 750 + 100Q–1,5Q2 + 0,01Q3
В рамках работы необходимо:
- провести анализ издержек в краткосрочном периоде;
- определить оптимальный по издержкам объем производства;
- определить объем выпуска и максимальную прибыль фирмы при
заданных параметрах рыночной цены (P = 150ден. ед.);
- сформировать графические модели;
- сделать выводы о проделанной работе.
Описание хода решения:
1. Определим для заданной функции алгебраические выражения для
издержек, характеризующих краткосрочный период:
По условию
ТС = 2 750 + 100Q – 1,5Q2 + 0,01Q3
Постоянные издержки (FC) – это затраты, которые не зависят от объема
производства(Q):
FC= 2 750
Переменные издержки (VC) – это затраты, которые изменяются при
изменении объема выпускаемой продукции или услуги: Так как общие
затраты предприятия (ТС) состоят из постоянных (FC) и переменных (VC)
издержек, то
VС =ТС –FC= 100Q – 1,5Q2 + 0,01Q3
Средние постоянные издержки (AFC) – это постоянные издержки в
расчете на единицу продукции:
AFC=FС/ Q=2 750/ Q
Средние переменные издержки (AVC) – это переменные издержки в
расчете на единицу продукции:
AVC =VC /Q= (100Q – 1,5Q2 + 0,01Q3) / Q = 100 – 1,5Q + 0,01Q2
Далее, средние общие затраты– общие издержки в расчете на единицу
продукции, или сумма средних постоянных издержек и средних переменных
издержек:
2
АТС = ТС/Q = AFC + АVC= 2 750/ Q+ 100 – 1,5Q + 0,01Q2
Предельные издержки (MC) – это прирост затрат, связанный с
выпуском дополнительной единицы продукции:
МС =dТC/dQ= (2 750 + 100Q – 1,5Q2 + 0,01Q3)' =100 – 3Q + 0,03Q2
Проведем расчет значений издержек (расчет реализован в MSOExcel)
на интервале изменения объема выпуска от 0 до 150 с шагом равным 10.
Расчетные таблицы представлены ниже (Таблицы 1 и 2).
Таблица 1 –Расчетные значения общих издержек
Q
TC
FC
VC
0
2 750
2 750
0
10
3 610
2 750
860
20
4 230
2 750
1 480
30
4 670
2 750
1 920
40
4 990
2 750
2 240
50
5 250
2 750
2 500
60
5 510
2 750
2 760
70
5 830
2 750
3 080
80
6 270
2 750
3 520
90
6 890
2 750
4 140
100
7 750
2 750
5 000
110
8 910
2 750
6 160
120
10 430
2 750
7 680
130
12 370
2 750
9 620
140
14 790
2 750
12 040
150
17 750
2 750
15 000
Таблица 2 – Расчетные значения средних и предельных издержек
Q
ATC
AFC
AVC
MC
0
-
-
-
100
10
361,0
275,0
86
292
20
211,5
137,5
74
288
3
30
155,7
91,7
64
308
40
124,8
68,8
56
352
50
105,0
55,0
50
420
60
91,8
45,8
46
512
70
83,3
39,3
44
628
80
78,4
34,4
44
768
90
76,6
30,6
46
932
100
77,5
27,5
50
1120
110
81,0
25,0
56
1332
120
86,9
22,9
64
1568
130
95,2
21,2
74
1828
140
105,6
19,6
86
2112
150
118,3
18,3
100
2420
На основе рассчитанных данных построим графики указанных
издержек (Рисунки 1 и 2).
TC
FC
VC
20 000
18 000
16 000
14 000
12 000
10 000
8 000
6 000
4 000
2 000
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
Q (объем производства)
Рисунок 1 – График общих издержек
4
ATC
AFC
AVC
MC
300
250
200
150
100
min ATC
A
min AVC
50
B
Qopt
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
Q (объем производства)
Рисунок 2 – График средних и предельных издержек
2. На основании анализа графика средних и предельных издержек
фирмы
определим
оптимальный
по
издержкам
объем
выпуска,
соответствующий минимуму средних издержек (AТC). Минимум AТC
помогает определить кривая предельных издержек (МС), пересекающая
кривую средних издержек в точке минимального значения. Проецируя точку
пересечения на ось объема определим графически оптимальный объем
выпуска.
Qграф ≈ 91
Для расчета значения, воспользуемся равенством в точке A средних и
предельных издержек:
АТС = MС
5
2 750/ Q + 100 – 1,5Q + 0,01Q2 = 100 – 3Q + 0,03Q2
2 750+ 100Q – 1,5Q2 + 0,01Q3 = 100Q – 3Q2 + 0,03Q3
Переносим все члены уравнения в одну сторону, группируем и
получаем уравнение 3-й степени.
0 = 100Q – 3Q2 + 0,03Q3 – 2 750 – 100Q +1,5Q2 – 0,01Q3
0 = 0,03Q3– 0,01Q3 – 3Q2 + 1,5Q2 – 2 750
0,02Q3– 1,5Q2– 2 750 = 0 или Q3– 75Q2 – 137 500 = 0
Решим данное приведенное уравнение при помощи инструмента
«Подбор параметра» MSOExcel. Зададим подбор значения равного 0,
варьируя параметр Q. Получаем:
Qрасч=91,4
Проведем анализ оптимального объема производства, полученного
графическим и расчетным способами. Для этого рассчитаем относительную
погрешность в %:
∆отн =
∆отн =
𝑸граф − 𝑸расч
∙ 𝟏𝟎𝟎%
𝑸расч
𝟗𝟏 − 𝟗𝟏, 𝟒
∙ 𝟏𝟎𝟎% = −𝟎, 𝟒𝟗%
𝟗𝟏, 𝟒
Из анализа полученных величин следует, что графический способ
позволяет
найти
оптимальный
объем
практически
точно,
так
как
относительная погрешность составляет всего лишь 0,49%.
3. Определим объем выпуска и максимальную прибыль фирмы при
заданных параметрах рыночной цены (P = 150ден. ед.). В краткосрочном
6
периоде цена будет определять возможности конкурентной фирмы по
получению прибыли. Чем выше цена, тем большую прибыль получит фирма.
Функция прибыли имеет следующий вид:
Pr = TR – TC = PQ – (2 750 + 100Q – 1,5Q2 + 0,01Q3)
Pr = 150Q– 2 750 – 100Q+ 1,5Q2– 0,01Q3
Pr = – 2 750 + 50Q + 1,5Q2– 0,01Q3
Используя условие максимизации прибыли (MC=МR=P), определим,
какой объем выпуска выберет фирма для максимизации прибыли. Для этого
необходимо приравнять функцию предельных издержек к заданной цене
продукта (P = 150ден. ед.).
MC = 150
100 – 3Q + 0,03Q2=150
Получаем квадратное уравнение
0,03Q2– 3Q– 50 = 0 или 3Q2– 300Q–5 000= 0
Решим его при помощи инструмента «Подбор параметра» MSOExcel.
Зададим подбор значения, равного 0, варьируя параметр Q. Получаем:
Qрасч= 114,5
Анализ
графической
модели
равновесия
конкурентной
фирмы
подтверждает наши выводы, на графике (Рисунки 3 и 4) место пересечения
MC и MR (P) соответствует значению Q, при котором значение функции Pr
достигает максимума и Qграф ≈ 115.
Рассчитаем прибыль при данном объеме выпуска по формуле:
Pr = – 2 750 + 50Q + 1,5Q2– 0,01Q3=7 629,1
7
Pr
MR
MC
10 000
max Pr
8 000
6 000
4 000
2 000
Qopt
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
-2 000
-4 000
Q (объем производства)
Рисунок 3 – Равновесие конкурентной фирмы. Максимум прибыли
MR
MC
AC
300
250
200
MC = MR = P
150
Экономическая прибыль конкурентной фирмы
в ситуации краткосрочного равновесия
100
50
Qкраткосроч
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
Q (объем производства)
Рисунок 4 – Графическая модель равновесия конкурентной фирмы
8
Выводы по работе
1. Графическим и расчетным методами получен оптимальный объем
производства, составляющий 91,4. Графический способ позволяет найти
оптимальный объем с погрешностью не более 0,5%.
2. Графическим и расчетным методами определен объем выпуска и
максимальная прибыль фирмы при заданных параметрах рыночной цены
(P = 150ден. ед.). Оптимальный объем производства составляет 114,5, а
соответствующая этому уровню цен и объему производства прибыль фирмы
– 7 629,1 ден. ед.
9
