Определение и свойства функции
Определение функции. Если даны числовое множество Х и правило f
позволяющее поставить в соответствие каждому элементу х из множества Х
определенное число у, то говорят, что задана функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) с областью
определения Х; пишут:
𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝑋
При этом переменную х называют независимой переменной или
аргументом, а переменную у – зависимой переменной. Для области
определения функции используют также обозначение 𝐷(𝑓). Множество всех
значений функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝑋, называют областью значений функции и
обозначают 𝐸(𝑓).
Аналитическое задание функции
Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для
каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение
функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с
помощью формулы 𝑦 = 𝑓(𝑥), где 𝑓(𝑥)некоторое выражение с переменной х.
В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана
аналитически.
Если функция задана аналитически, то допускается ее задание в виде
𝑦 = 𝑓(𝑥) без условия 𝑥 ∈ 𝑋 в случае, когда область определения выражения
𝑓(𝑥).
Пример 1. 𝑦 = 𝑥 2 + 5𝑥 − 1, где 𝑥 ≥ 0. Область определения этой
функции – луч [0; +∞). Чтобы найти значение функции в любой точке 𝑥 ≥ 0,
достаточно найти числовое значение выражения 𝑥 2 + 5𝑥 − 1 в выбранной
точке. Функция задана аналитически.
Пример 2. Найти область определения функции 𝑦 = √𝑥 − 1.
Решение. Выражение √𝑥 − 1 определено при тех х, при которых 𝑥 − 1 ≥
0, т. е. при 𝑥 ≥ 0. Значит, область определения функции – луч [1; +∞).
1
Иногда функция задается на различных промежутках различными
формулами. Такую функцию называют кусочной.
Пример 3. 𝑦 = 𝑓(𝑥), где
𝑓(𝑥) = {
2𝑥 + 3, если − 1 ≤ 𝑥 ≤ 0,
𝑥 + 2, если 0 < 𝑥 ≤ 1.
Эта функция определена на отрезке [-1; 1]. Для вычисления ее значений
нужно точно определить, какой формулой следует воспользоваться для
заданного конкретного значения аргумента. Например, если нужно вычислить
𝑓(0,5), воспользуемся равенством 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 (поскольку число х = 0,5
удовлетворяет условию 0 < 𝑥 ≤ 1) и получим 𝑓(0,5) = 2,5. Если же нужно
вычислить 𝑓(−0,5), то воспользуемся равенством 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3 (поскольку
число х = 0,5 удовлетворяет условию −1 ≤ 𝑥 ≤ 0) и получим 𝑓(−0,5) = 2.
Табличное задание функции
На практике часто используют табличный способ задания функции. При
этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для
имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания
функции являются таблица квадратов, таблица кубов, таблица квадратных
корней.
Во многих случаях табличное задание функции оказывается удобным.
Оно позволяет найти значения функции для значений аргумента, имеющихся
в таблице, без всяких вычислений.
Числовая плоскость. Координатная плоскость, оси координат
Определение. Множество всех пар действительных чисел называют
числовой плоскостью.
Как для множества всех действительных чисел есть геометрическая
модель – координатная прямая, так и для множества всех пар действительных
чисел есть геометрическая модель – координатная плоскость. Координатная
плоскость
ху
определяется
двумя
взаимно
перпендикулярными
координатными прямыми с общим началом О и одинаковым масштабом (рис.
1).
2
Рис.1
Точка О – начало координат. Горизонтальную прямую называют осью
абсцисс или осью х, вертикальную – осью ординат или осью у.
Если отметить на координатной плоскости все точки с абсциссой х = а,
то получится прямая, параллельная оси у (рис. 1); говорят, что х = а –
уравнение этой прямой. Если отметить на координатной плоскости все точки
с ординатой у = b, то получится прямая, параллельная оси х (рис. 1); говорят,
что у = b – уравнение этой прямой.
График функции, заданной аналитически.
Пусть функция задана аналитически формулой 𝑦 = 𝑓(𝑥). Если на
координатной плоскости отметить все точки, обладающие следующим
свойством: абсцисса точки принадлежит области определения функции, а
ордината равна соответствующему значению функции, то получится
множество точек (𝑥; 𝑓(𝑥)) – график функции.
Например, графиком функции 𝑦 = 𝑥 является множество точек вида (х;
х), т.е. точек, имеющих одинаковые координаты. Это множество точек есть
биссектриса координатных углов I и III (рис. 2).
3
Рис. 2
На практике для построения графика функции составляют таблицу
значений функции при некоторых значениях аргумента, наносят на плоскость
соответствующие точки и соединяют полученные точки линией. При этом
предполагают, что найденные точки достаточно точно показывают ход
изменения функции.
Пример 4. Построить график функции 𝑦 = 𝑥 2 .
Решение. Составим таблицу некоторых значений функции:
x
y
Полученную линию называют параболой.
Пример 5. На графике показано изменение температуры воздуха на
протяжении трех суток. На оси абсцисс отмечается время суток в часах, на оси
ординат – значение температуры в градусах. Определите по графику
наибольшую температуру воздуха 15 августа (рис. 3).
4
Рис. 3
Четные и нечетные функции
Определение. Функцию 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝑋, называют четной, если для
любого х из области определения функции выполняется равенство 𝑓(−𝑥) =
−𝑓(𝑥).
Определение. Функцию 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝑋, называют нечетной, если для
любого х из области определения функции выполняется равенство 𝑓(−𝑥) ≠
−𝑓(𝑥).
Пример 6. Например, 𝑦 = 𝑥 2 , 𝑦 = 𝑥 4 , 𝑦 = 𝑥 6 – четные функции, 𝑦 =
𝑥 3 , 𝑦 = 𝑥 5 , 𝑦 = 𝑥 7 – нечетные функции.
Определение. Если функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) такова, что хотя бы для одной
пары значений х и - х оказалось, что 𝑓(−𝑥) ≠ −𝑓(𝑥), и хотя бы для одной пары
значений х и -х оказалось, что 𝑓(−𝑥) ≠ 𝑓(𝑥), то функция не является ни
четной, ни нечетной (функция общего вида).
Из определения следует, что область определения Х как четной, так и
нечетной функции должна обладать следующим свойством:
Свойство: если 𝑥 ∈ 𝑋, то и −𝑥 ∈ 𝑋 (т.е. Х – симметричное
относительно О множество).
Пример 7. Исследовать на четность функции:
5
а) 𝑦 = 𝑥 20
б) 𝑦 = 𝑥 13
в) 𝑦 =
𝑥−4
𝑥 2 −9
.
Решение.
а) Имеем
𝑓(𝑥) = 𝑥 20 , 𝑓(−𝑥) = (−𝑥)20 = 𝑥 20 .
Следовательно, 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) для всех x и функция 𝑦 = 𝑥 20 является
четной.
График четной функции. График нечетной функции.
Графики
четной
и
нечетной
функций
обладают
следующими
свойствами:
Свойство 1. Если функция является четной, то ее график симметричен
относительно оси ординат.
Свойство 2. Если функция является нечетной, то ее график
симметричен относительно начала координат.
Пример 8. Построить график функции 𝑦 = |𝑥|
Решение. Имеет 𝑓(−𝑥) = |−𝑥| = |𝑥| = 𝑓(𝑥). Следовательно, функция
четна, а потому ее график симметричен относительно оси ординат.
Если 𝑥 ≥ 0, то |𝑥| = 𝑥, т.е. при 𝑥 ≥ 0 имеем 𝑦 = 𝑥.
Графиком функции 𝑦 = 𝑥 при 𝑥 ≥ 0
служит биссектриса первого
координатного угла. Подвергнув ее преобразованию симметрии относительно
оси Oу, получим график функции 𝑦 = |𝑥| (рис. 4).
Рис. 4
Пример 9. Построить график функции 𝑦 = 𝑥|𝑥|
6
Периодические функции
Определение. Функцию 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝑋, называют периодической,
если существует такое отличное от нуля число Т, что для любого х из области
определения функции справедливо равенство
𝑓(𝑥 + 𝑇) = 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥 − 𝑇).
Число Т называют периодом функции 𝑦 = 𝑓(𝑥).
Из этого определения сразу следует, что если Т – период функции 𝑦 =
𝑓(𝑥), то 2Т, ЗТ, 4Т, -Т, -2Т, -ЗТ, -4Т – также периоды функции. Значит, у
периодической функции бесконечно много периодов. Если Т – период
функции, то и число вида 𝑘𝑇, где T – любое целое число, также является
периодом функции.
Чаще всего (но не всегда) среди множества положительных периодов
функции можно найти наименьший. Его называют основным периодом.
Графики периодических функций обладают следующим свойством:
если Т – основной период функции 𝑦 = 𝑓(𝑥), то для построения ее графика
достаточно построить ветвь графика на одном из промежутков оси Ох длиной
Т, а затем осуществить параллельный перенос этой ветви по оси Ох на T, 2T,
3T, … (рис. 5).
Рис. 5
Чаще всего в качестве такого промежутка длиной Т выбирают
−𝑇
промежуток с концами в точках (
2
𝑇
; 0) и ( ; 0) или (0; 0) и (𝑇; 0).
2
Примеры периодических функций с основным периодом:
𝑦 = sin 𝑥 , 𝑇 = 2𝜋
𝑦 = cos 𝑥 , 𝑇 = 2𝜋
7
𝑦 = tg 𝑥 , 𝑇 = 𝜋
𝑦 = ctg 𝑥 , 𝑇 = 𝜋
Монотонные функции
Определение. Функцию 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝑋,называют возрастающей на
промежутке 𝑋1 ⊂ 𝑋 – знак включения одного множества в другое), если для
любых х1 и х2 из 𝑋1 таких, что 𝑥1 < 𝑥2 , выполняется неравенство
𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 ) или 𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 ).
Определение. Функцию 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝑋, называют убывающей на
промежутке 𝑋1 ⊂ 𝑋, если для любых х1 и х2 из 𝑋1 таких, что 𝑥1 < 𝑥2 ,
выполняется неравенство
𝑓(𝑥1 ) > 𝑓(𝑥2 ) или 𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1 ) > 𝑓(𝑥2 ).
Иными словами, функция возрастает (убывает) на промежутке, если,
какие бы два значения аргумента, принадлежащие этому промежутку, ни
взять, окажется, что большему значению аргумента соответствует большее
(меньшее) значение функции.
При движении вдоль оси абсцисс слева направо ордината графика
возрастающей функции увеличивается (рис. 6), а ордината графика
убывающей функции уменьшается (рис. 7).
Рис. 6
Возрастающие
и
Рис. 7
убывающие
функции
объединяют
термином
«монотонные функции».
Пример 10. Исследовать на монотонность функцию 𝑦 = 2𝑥 3 + 3
8
Решение. Пусть 𝑥1 < 𝑥2 . Тогда по свойствам числовых неравенств
имеем:
𝑥13 < 𝑥23 ,
2𝑥13 < 2𝑥23
2𝑥13 + 3 < 2𝑥23 + 3,
т.е. 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 ).
Итак, 𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1 ) < 𝑓(𝑥2 ), а это значит, что функция 𝑦 = 2𝑥 3 + 3
возрастает на всей числовой прямой.
Ограниченность функции
Определение. Функцию 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝑋 называют ограниченной снизу,
если ∃𝑎, что ∀𝑥 ∈ 𝐷(𝑥) 𝑓(𝑥) > 𝑎.
Определение. Функцию 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ 𝑋 называют ограниченной сверху,
если ∃𝑏, что ∀𝑥 ∈ 𝐷(𝑥) 𝑓(𝑥) < 𝑏.
Определение. Если функция ограничена и сверху, и снизу, то ее
называют ограниченной.
Расположение графика функции.
1.
Если функция ограничена снизу, то график функции полностью
расположен выше прямой 𝑦 = 𝑎.
2.
Если функция ограничена сверху, то график функции полностью
расположен ниже прямой 𝑦 = 𝑏.
3.
Если функция ограничена, то график функции полностью
расположен внутри полосы, ограниченной прямыми 𝑦 = 𝑎, 𝑦 = 𝑏.
Пример 11. Ограничена ли функция 𝑦 = √1 − 𝑥 2 ?
Решение.
√1 − 𝑥 2 ≥ 0 ограничена снизу 𝑦 = 0
1 − 𝑥2 ≥ 0
−𝑥 2 ≥ −1
𝑥2 ≤ 1
𝑥 ≤ 1, ограничена сверху 𝑦 = 1
9
10