Уравнение касательной и нормали к графику функции. Цель урока: 1)узнать как составлять уравнение касательной к графику 2)Подготовиться к самостоятельному распознаванию типа ключевых задач для решения задач, требующих исследовательских умений. 3)научиться решать задачи по теме. Планируемый результат урока: Уметь составлять уравнение касательной и нормали к графику функции. Научиться распознавать опорные типы задач, для решения более сложных. y tg x k B у A х0 х f(x) С y y0 k x x0 х0 х Касательной к графику функции f(x) в точке А(х;f(х)) называется прямая, представляющая предельное положение секущей АВ, (если оно существует) когда В стремится к А. A B у С х х0 k кас. х0+ х Угловой коэффициент касательной получается из углового коэффициента секущей в процессе предельного перехода от В k А kкас. lim kсек f(x) но условие В -> А можно заменить условием х 0 k f ( x0 ) tg / y lim k сек. lim x x 0 x 0 f ( x0 ) / - Геометрический смысл производной Значение производной функции y= f(x) в точке касания Х0 равно угловому коэффициенту касательной к графику ф-ии y=f(x) в т Х0. k f ( x0 ) / k tg tg f ( x0 ) Пусть в точке А ( х 0 ; у 0 ) проведена касательная Уравнение любой прямой проходящей через данную точку имеет вид 0 0 у у k(x x ) k f ( x0 ) / Или y y 0 f ( x0 )( x x0 ) y0 f ( x0 ) y к f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 1 3 f ( x) х 4 х 1 3 х0 у0 М(3;-2) Задача: Составить уравнение прямой, имеющую с графиком функции f(x),одну общую точку М(3; -2) f ( x) Решение исходной задачи. Составьте уравнение касательной к графику функции в точке M(3; – 2). 1 3 1 3 f ( x) х 4 х 1 ( х )'(4 x)'1' 3 3 1 2 3x 4 *1 0 3 ( x n )' n * x n1 C' ' 0 1 3 х 4х 1 3 Решение. у к f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) Алгоритм составления уравнения касательной: 1. 2. 3. 4. f (3) 2 2 f ( x) x 4 f (3) 5 у к 2 5( х 3); ответ : ук 5х 17; Типы задач. 1.Задачи на касательную, заданную точкой. А 2.Задачи на касательную, заданную её угловым коэффициентом. tg f (x ) Если функция дифференцируема в т х=а, то в этой точке к графику можно провести касательную и обратно: если в х=а к графику y=f(x) можно провести невертикальную касательную, то, функция дифференцируема в т х=а Это позволяет по графику ф-ии находить точки, в которых ф-ия имеет или не имеет производную. Написать уравнения всех касательных к графику ф-ии у х 3 3х 2 3 параллельных прямой у = 9х +1 Решение. 3 -1 1. х0 = а у (1) (1) 3 3 * (1) 2 3 1 y ' 3x 2 6 x y ' (1) 3(1) 2 6 * (1) 9 yk 1 9( x 1) yk 9 x 8 k 9 2. у(а) 3a 2 6a 9 3. а= -1 а=3 4.По алгоритму Ответ: ук 9 х 24, yk 9 x 8 Уравнение нормали. В А Нормалью к графику функции в т.А называется прямая, проходящая через данную точку перпендикулярно касательной. условие перпендикулярности двух прямых kn у у 0 k ( x x0 ) 1 k kn 1 f ( x0 ) 1 у n у0 ( x x0 ) f ( x0 ) 1 у f ( x0 ) ( x x0 ) f ( x0 ) Решить самостоятельно. 1). Составить уравнение касательной и нормали к кривой у х 3 в точке (2; 8). Ответ. 2). При каком значении параметра «р» касательная к графику функции в точке (1;1) образует с осью ОХ угол равный 3 Ответ: у рх2 Решение задач (устно) Найти значение производной в точке х, если угловой коэффициент касательной к графику этой функции в т.х равен 0,18. Найти тангенс угла наклона к оси абсцисс касательной в точке (2;2) к графику функции f ( х ) 4 х 2 7 х Что называется касательной к графику функции? Что называется нормалью к графику функции? Назвать алгоритм составления уравнения касательной и нормали.