Урок (2 часа) по теме "Иррациональные уравнения и неравенства". 11-й класс

Урок (2 часа) по теме "Иррациональные уравнения и
неравенства". 11-й класс
Цели занятия: обобщение изученного материала по иррациональным
уравнениям и неравенствам.
Задачи
 обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала темы.
 создать условия контроля (самоконтроля) усвоения знаний и умений.
 способствовать развитию математического кругозора, мышления, речи,
внимания, памяти.
 содействовать воспитанию интереса к математике, активности,
мобильности, умения общаться в группах.
Тип занятия: урок обобщения и систематизации знаний.
Формы организации учебной деятельности учащихся:

фронтальная;

групповая, парная и индивидуальная работы.
Оборудование: компьютер, медиапроектор, тесты.
ПЛАН ЗАНЯТИЯ
1.
Организационный момент.
2.
Актуализация опорных знаний.
3.
Мотивация учебной деятельности.
4.
Систематизация учебного материала:
а) Сообщение с презентацией по теме: “Иррациональные уравнения” (1
группа учащихся). Закрепление знаний, умений и навыков (практикум).
б) Сообщение с презентацией по теме: “Иррациональные неравенства” (2
группа учащихся). Закрепление знаний умений и навыков (практикум).
5.
Проверочные тесты.
6.
Подведение итогов.
7.
Домашнее задание.
1. Организационный момент
Вступительное слово учителя, который сообщает о том, что сегодня
заключительное занятие по теме “Иррациональные уравнения и неравенства”.
Повторяем, обобщаем, приводим в систему изученные методы и приёмы
решения иррациональных уравнений и неравенств.
Затем учитель сообщает порядок проведения занятий, рекомендует, на что
необходимо обратить особое внимание, что следует записать в тетрадь.
2. Актуализация опорных знаний (устно)
1.
Подберите графическую интерпретацию решения неравенства: x2 + 2x < 0.
2.
Для каждого неравенства подберите рисунок, соответствующий его
решению на координатной прямой:
:
;
,
,
3. Мотивация учебной деятельности
В условиях экзамена наиболее высокие результаты показывают учащиеся,
которые за отведённое время решают большее число задач. Многие задачи
могут быть решены несколькими способами. Поэтому очень важно уметь для
каждой задачи выбирать наиболее рациональный способ решения. Научиться
этому можно только путём решения таких задач и последующего анализа
проведённого решения.
4. Систематизация изученного материала.
а) Сообщение с презентацией по теме «Иррациональные уравнения» (1 группа)
Приложение 1. Презентация 1. Закрепление изученного материала с
последующим контролем (практикум – парная работа)
Выполнить три решения одного уравнения. (Приложение 2)
1 решение: возведение обеих частей в квадрат.
2 решение: вве6дение новых переменных.
3 решение: использование свойства монотонности функций.
б) Сообщение по теме «Иррациональные неравенства» (2 группа учащихся)
Приложение 3. Презентация 2
Закрепление изученного материала с последующим контролем (практикум –
парная работа)
Выполнить два решения одного неравенства (Приложение 4)
1 решение: с переходом к равносильной системе.
2 решение: методом интервалов.
6. Подведение итогов
Сообщение с презентациями, подготовленными учащимися были правильно
структурированы, в них были представлены типы, методы и особенности
решения иррациональных уравнений и неравенству, проведен теоретический
анализ методик и технологий решения..
Решение уравнений и неравенств различными способами, по мнению учащихся,
помогает восполнить пробелы знаний, найти, свой, понятный путь решения
задачи.
С тестами учащиеся справились успешно: «5» - 8 уч.; «4» - 12 уч.; «3» - 4 уч.
Ученики пользовались различными способами, что особенно важно в оценки
эффективности обучения.
Рефлексия.
Учитель предлагает учащимся закончить предложения:
«Сегодня на уроке……»,
«Я повторил…»,
«Теперь я знаю…»,
«В результате поисковой групповой работы я…».
7. Домашнее задание
1. Попробуйте решить задачу с параметрами
Для каждого значения a решите уравнение:
1) a x  1  0 ;
3) a x 1  a ;
2) (a  1) x  0 ;
4) x  2  a .
2. Решить уравнение √2x+a=x+1 выбрав приемлемый для себя способ решения.
Литература
[1] П.В. Чулков. “Уравнения и неравенства в школьном курсе математики”.- М.:
Педагогический университет “Первое сентября”, 2006г.
[2] А. Г. Мордкович “Алгебра и начала анализа. Профильный уровень”.- М.:
Мнемозина, 2011г.
Приложение № 2
Три решения одного уравнения
Решение 1. Возведем обе части уравнения в квадрат и преобразуем полученное
уравнение:
x  x 1  3 


2
x  x 1  9 
2 x  1  2 x( x  1)  9,


 x  0
 x( x  1)  4  x,

 x  0.
Вновь возведем обе части уравнения в квадрат:
 x 2  x  x 2  8 x  16,


4  x  0,
x  0

16
.
9
Решение 2. Пусть a 
9 x  16,
16
x .

9
4  x  0
Ответ:
x, b
x 1.
Получим систему:
a  b  3,

 2
2
b

a

1

4
3
Следовательно, a  , откуда x 
Проверка показывает, что
a  b  3,

1 

b

a


3
8

2a  3 ,

2b  10 .

3
4
16
и x
.
3
9
16
- корень исходного уравнения.
9
x  x 1 .
Решение 3. Пусть f ( x) 
Заметим, что f (x) - возрастающая функция на своей области определения.
Из курса алгебры и начал анализа известно, что возрастающая функция
принимает каждое из своих значений только при одном значении аргумента, а
следовательно, имеет не более одного корня:
16
16
4 5
 16 
f 

 1    3.
9
9
3 3
9
Следовательно,
16
- единственный корень исходного уравнения.
9
Приложение № 4
Два решения одного неравенства
Решить неравенство
х 2  3х  6  3х  4
Решение 1. Исходное неравенство равносильно системе:
5

 x 2  3x  6  (3x  4) 2 ,
8 x 2  21x  10  0,
8( x  2)( x  )  0,

 2


8


 x  3x  6  0,
4
3x  4  0
x 
x  4 .
3



3
Условие x 2  3x  6  0 можно не учитывать, поскольку оно выполнено для всех x .
5
8
Первое неравенство системы выполнено, если x  2 x  .
Далее рассмотрим два случая:
 x  2,

1)
4  x  2;
 x  3

 x 
2) 
x 

5
,
8
- противоречие.
4
3
Ответ: 2; .
Решение 2. Решим данное неравенство методом интервалов.
Рассмотрим функцию f ( x)  x 2  3x  6  3x  4 .
1) D( f )  R , поскольку x 2  3x  6  0 для любого x ;
2) функция f (x) - непрерывна на R;
3) найдем корни уравнения f ( x)  0 .
Данное уравнение равносильно системе:
8 x 2  21x  10  0,
 x 2  3x  6  (3x  4) 2 ,



4
3x  4  0
x  .
3

Получаем единственный корень x  2 . Таким образом, f (x) сохраняет знак на
промежутках  ;2 и 2; .
Определим знак f (x) на каждом из указанных промежутков:
1) f ( x)  0 на  ;2 , так как f (0)  6  4  0 ;
2) f ( x)  0 на 2; , так как f (3)  27  9  6  9  4  24  5  0 .
Ответ: 2;