ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. II СЕМЕСТР Домашнее задание к семинару №1 1 . Определить, является ли данная совокупность векторов линейно зависимой. Найти базис данной системы векторов и разложение каждого из векторов данной совокупности в этом базисе. 1 1 1 10 a1 2 , a 2 3 , a3 1 , a 4 22 . 4 5 3 42 2 Найти собственные числа и собственные векторы матрицы 1 2 А = 1 4 3 Показать, что матрицы 1 2 1 и B = А = 1 4 2 4 Найти собственные векторы матрицы В. 5 Показать, на примере матрицы В, что 1 4 - подобны. А)сумма собственных значений матрицы равна сумме ее диагональных членов. В)произведение собственных значений матрицы равно ее Определителю. 6 7 8 Показать на примере матрицы А, что, если матрица An имеет n попарно различных собственных чисел, ее ранг равен числу отличных от нуля собственных значений матрицы. 2 3 7 А = 1 2 4 1 1 3 1 2 - линейно независимы. Показать, что собственные векторы матрицы А = 1 4 1 2 что, если матрица An имеет n различных Показать на примере матрицы А = 1 4 V 1 An V , собственных чисел, справедливо равенство: где V – матрица, столбцами которой служат n собственных векторов матрицы - диагональная матрица, составленная из всех собственных чисел матрицы 0 , где Здесь = 1 0 2 1 , 2 - собственные значения матрицы А An , An . ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА. II СЕМЕСТР Домашнее задание к семинару №2-3 1. . Комплексные числа в алгебраической форме изобразить векторами на плоскости и представить в тригонометрической форме. Z1 4 4i ; Z 2 3 i 3 . А)Записать в алгебраической форме Z 0 Z1 Z 2 . В)Записать в алгебраической и тригонометрической формах. Z 3 Z1 Z 2 ; Z 4 Z14 . С)Записать в тригонометрической форме. Z Z5 1 ; Z 6 3 Z1 Z2 2. Комплексные числа в алгебраической форме изобразить векторами на плоскости и представить в тригонометрической форме. Z1 3 i ; Z 2 9 9 i . А)Записать в алгебраической форме Z 0 Z1 Z 2 . В)Записать в алгебраической и тригонометрической формах. Z 3 Z1 Z 2 ; Z 4 Z15 . С)Записать в тригонометрической форме. Z Z5 1 ; Z 6 4 Z1 Z2 3 Задана структурная матрица торговли трех стран: 2 4 1 4 6 12 2 3 1 А= 4 6 12 3 5 1 6 12 4 Требуется найти вектор национальных доходов этих трех стран, обеспечивающий бездефицитную торговлю между ними. 4 Записать квадратичную форму в матрично-векторном виде. Выяснить, является ли квадратичная форма положительно определенной, отрицательно определенной, неопределенной. 2 x22 4 x32 12 x1 x2 4 x1 x3 2 x2 x3 . 5 Записать квадратичную форму в матрично-векторном виде. Выяснить, является ли квадратичная форма положительно определенной, отрицательно определенной, неопределенной. x12 3x22 3x32 8x1 x2 6 x1 x3 4 x2 x3 .