СМК Ф 7.5.0-01-33 МИНОБРНАУКИ РОССИИ федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «ЧЕРЕПОВЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» Институт (факультет) Кафедра Институт Информационных Технологий Автоматизации и управления КУРСОВАЯ РАБОТА по дисциплине Теория автоматического управления на тему Синтез и исследование свойств линейной САУ Выполнил студент группы 1АПпб-00-31зп группа направления подготовки (специальности) 15.03.04 Автоматизация технологических процессов и производств шифр, наименование Миронов Даниил Андреевич фамилия, имя, отчество Руководитель Чижов Антон Сергеевич фамилия, имя, отчество ассистент должность Дата представления работы «______»__________________2022 г. Заключение о допуске к защите Оценка _______________, _______________ количество баллов Подпись преподавателя_________________ Череповец, 2022 Год СОДЕРЖАНИЕ ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ 2 ВВЕДЕНИЕ 5 1 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 6 1.1 Замкнутые и разомкнутые САУ. Структурные преобразования 6 1.2 Устойчивость САУ и критерии её определения 8 2 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 19 2.1 Преобразование структурной схемы системы 19 2.2 Анализ переходной характеристики системы 22 Исследование устойчивости системы 24 2.3 ЗАКЛЮЧЕНИЕ 25 СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 26 1 ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ Целью курсовой работы является изучение принципов преобразования структурных схем САУ и критериев определения устойчивости. Задание на теоретическую часть: как выполняются структурные преобразования САУ чем отличаются замкнутая и разомкнутая системы; что понимают под устойчивостью САУ; как определяется устойчивость с помощью корневого метода; как определяется устойчивость с помощью критерия Найквиста; Задание на практическую часть: 1. Изучите свой вариант структурной схемы САУ. Вариант схемы указан буквой в таблице 1, сами схемы приведены ниже, после таблицы. Обратите внимание на то, что сигналы, приходящие в закрашенный сектор блока суммирования, берутся со знаком «-», а в незакрашенный – со знаком «+». Постройте в программе SyAn/Matlab/SimInTech/Scilab переходную характеристику системы в текущем виде. Настраивайте время в параметрах моделирования так, чтобы переходный процесс занимал большую часть временной шкалы. Если же значение бесконечно растет, то это также должно быть видно. Приведите скриншот с моделью системы и переходной характеристикой. 2. С помощью правил структурных преобразований сведите структурную схему своего варианта модели системы к одному звену, охваченному отрицательной обратной связью: 2 3. Подставив выражения передаточных функций в преобразованную модель, получите общую передаточную функцию разомкнутой и замкнутой систем. Функции нужно привести к полиномиальному виду 𝑝 𝜇 ⋅ 𝐵(𝑝) 𝑊(𝑝) = 𝑘 𝑝𝜈 ⋅ 𝐴(𝑝) , например, 𝑊раз (p) = 200 𝑝(0,5𝑝 + 1) (300𝑝4 + 230𝑝3 + 120𝑝2 + 20𝑝 + 1) 4. Постройте в программе SyAn/Matlab/SimInTech/Scilab переходную характеристику полученной замкнутой системы и оцените по ней показатели качества. Приведите скриншот с моделью системы и переходной характеристикой. С помощью любого графического редактора на скриншоте с переходной характеристикой отметьте значения и вспомогательные линии, которые вы использовали при определении показателей качества, чтобы проиллюстрировать этот процесс. Сравните полученную характеристику с аналогичной из пункта 1. Оцените устойчивость замкнутой системы по виду переходной характеристики. 5. Определите устойчивость системы с помощью корневого критерия. 6. Определите устойчивость системы с помощью критерия Найквиста (построив частотные характеристики в программе SyAn/Matlab/SimInTech/Scilab). 7. Определите по частотным характеристикам запасы устойчивости по амплитуде и фазе (если система устойчива). 8. Сделайте выводы о соответствии результатов, полученных при анализе переходной характеристики с помощью корневого критерия и критерия Найквиста. 3 Таблица 1 – Варианты заданий № ФИО Схема W1(p) W2(p) W3(p) W4(p) W5(p) 10 Миронов Даниил Андреевич г 0.5 𝑝 1 2𝑝 + 1 3 𝑝+1 4𝑝 0.2𝑝 + 1 2𝑝 0.1𝑝 + 1 Схемы САУ: Рисунок 4 – Схема «г» 4 ВВЕДЕНИЕ Широкое развитие систем автоматического управления, систем и средств автоматизации во всех областях техники и отраслях современного производства связано с разработкой, модернизацией и выпуском в больших количествах разнообразных технических средств автоматики, к которым относятся функциональные элементы и различные автоматические устройства. Постоянное развитие науки и техники и интенсивное внедрение научнотехнических достижений в производство обеспечивают непрерывное пополнение арсенала технических средств автоматики, вытесняя устаревшие элементы новыми, более современными конструкциями. Главной задачей данной работы является ознакомление с основными методами построения и преобразования схем САУ, а также освоение методов технического расчета, проведения анализа устойчивости системы. 5 1 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 1.1 Замкнутые и разомкнутые САУ. Структурные преобразования … 6 Замкнутая система 7 1.2 Устойчивость САУ и критерии её определения Критерии устойчивости линейных САУ. Прямой анализ устойчивости САУ, основанный на вычислении корней характеристического уравнения, связан с необходимостью вычисления корней, что является непростой задачей. Поэтому в инженерной практике важное значение приобретают правила, позволяющие определять устойчивость системы без вычисления корней характеристического уравнения. Способы определения устойчивости САУ без вычисления корней характеристического уравнения называются критериями устойчивости САУ. Различают две группы критериев устойчивости: алгебраические – основанные на анализе коэффициентов характеристического уравнения, и частотные – основанные на анализе частотных характеристик САУ. Алгебраический критерий Гурвица Этот критерий позволяет определить устойчивость САУ, если характеристическое уравнение замкнутой системы представлено в виде: Для этого строится главный определитель Гурвица по следующему правилу: по главной диагонали выписываются все коэффициенты от до в порядке возрастания коэффициентов. Столбцы вверх от главной диагонали заполняются коэффициентами характеристического уравнения с последовательно возрастающими индексами, а столбцы вниз – коэффициентами с последовательно убывающими индексами. На месте коэффициентов с индексами, большими порядка характеристического уравнения и меньшими нуля, проставляют нули. 8 Выделяя в главном определителе Гурвица диагональные миноры, получаем определитель Гурвица низшего порядка. Номер определителя Гурвица определяется номером коэффициента по диагонали, до которого составляют данный определитель. , , . Определение: чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы определитель Гурвица и его диагональные миноры имели знаки, одинаковые со знаком первого коэффициента характеристического уравнения замкнутой САУ. При для устойчивости САУ необходимо и достаточно выполнение условий: ;. Рассмотрим замкнутую САУ, состоящую из трех последовательно включенных апериодических звеньев, охваченных 100% обратной связью. Передаточная разомкнутой САУ функция имеет вид: . Передаточная функция замкнутой САУ определяется как . Главный определитель Гурвица имеет вид: . Первый определитель Гурвица . Это условие выполняется для всех возможных комбинаций параметров САУ. Второй определитель Гурвица определяется как . 9 Раскрывая определитель получаем . Решая это уравнение относительно суммарного коэффициента усиления САУ , определяемого как , получаем, что Из этого следует, что суммарный коэффициент усиления САУ не может превышать некоторую величину. Следовательно, пределы уменьшения погрешности стабилизации регулируемой координаты в такой системе ограничены. Частотный критерий Михайлова. Критерий Михайлова – это частотный критерий, позволяющий судить об устойчивости замкнутой системы по поведению ее характеристического вектора на комплексной плоскости. Характеристический вектор получают путем подстановки в выражение для характеристического полинома , Значения . Тогда характеристический вектор представляется комплексной величиной, определяемой как: , где Если задаваться различными значениями горизонтальной, а и откладывать значения по – по вертикальной осям декартовой системы координат, то будет получена кривая, называемая годографом характеристического вектора или годографом Михайлова. Другая формулировка: годографом Михайлова 10 называется множество точек, образованных при движении характеристического вектора САУ при изменении частоты от 0 до . То есть для устойчивости САУ необходимо выполнение условия вида: . Для вывода этого утверждения представим характеристический полином в виде , где – корни характеристического уравнения . На комплексной плоскости каждому корню соответствует определенная точка. Подставив , получаем . Каждый вектор может быть представлен в виде вектора, начало которого лежит в точке, определяющей корень Следовательно, а конец лежит на мнимой оси. можно представить суммарным вектором, равным произведению элементарных векторов. Модуль суммарного вектора будет равен произведению модулей отдельных векторов, а фаза – сумме фаз этих векторов. При изменении частоты конец каждого вектора будет перемещаться вдоль мнимой оси. При изменении частоты от до каждый составляющий вектор, начало которого лежит на вещественной оси, повернется на угол, равный , если его начало лежит в левой полуплоскости, и равный – , если его начало лежит в правой полуплоскости. Каждая пара комплексно-сопряженных корней – соответственно на угол + . Если характеристическое уравнение имеет m корней в правой полуплоскости, то в левой полуплоскости число этих корней будет равно n-m. При изменении частоты от до суммарный угол поворота вектора характеристического полинома определяется как . 11 Для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения лежали в левой полуплоскости, то есть чтобы . Таким образом, если вектор характеристического полинома замкнутой САУ порядка "n" при изменении частоты от до описывает в положительном направлении угол n , то такая система регулирования будет устойчива. В противном случае САУ будет неустойчива. В силу симметричности кривой, описываемой концом вектора характеристического полинома, можно ограничиться рассмотрением лишь ее части, соответствующей положительным значениям частоты. При этом угол, описываемый вектором характеристического полинома при изменении частоты от 0 до , уменьшится вдвое и будет определяться как . Формулировка критерия: для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы ее характеристический вектор при изменении частоты от 0 до повернулся в положительном направлении (против часовой стрелки), начиная с положительной вещественной оси на число квадрантов, равное порядку характеристического уравнения. На рис. 3 приведены годографы Михайлова для устойчивых и неустойчивых САУ. Изменение коэффициента вызывает сдвиг годографа Михайлова вдоль горизонтальной оси без его деформации. Это дает возможность оценить предельное значение этого коэффициента, при котором сохраняются условия устойчивой работы САУ. 12 Рис. 3. Годографы Михайлова для устойчивых и неустойчивых САУ Частотный критерий Найквиста. Критерий Найквиста – это частотный критерий, позволяющий судить об устойчивости САУ, замкнутой единичной обратной связью, по виду амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы. Для формулировки критерия рассмотрим САУ, которая в разомкнутом состоянии характеризуется передаточной функцией вида , где – некоторые полиномы от , причем степень знаменателя выше или равна степени числителя. Знаменатель этого выражения является характеристическим полиномом разомкнутой САУ. Передаточная функция такой системы, охваченной 100% отрицательной обратной связи, определяется как , где – характеристический полином замкнутой систем. Обратное этому выражение определяется как . 13 Обозначим корни характеристического уравнения разомкнутой системы – . Корни характеристического уравнения замкнутой системы обозначим как — . В плоскости корней, каждый корень может быть представлен вектором, проведенным из начала координат. Если выбрать значение независимой переменной в произвольной точке комплексной плоскости, то комплексное число вида может быть представлено в виде разностного вектора, как показано на рис. 4. Рис. 4. Графическое представление разности векторов Если , то разностный вектор будет иметь свое начало в точке окончания вектора , а окончание – на мнимой оси. В этом случае выражение для обратной передаточной функции замкнутой САУ можно представить как При изменении частоты от до будет скользить по мнимой оси и повернется на угол . Поворот будет происходить против часовой стрелки, если корень лежит слева от мнимой оси, и по часовой стрелке, если корень расположен в правой полуплоскости. Числитель и знаменатель этого выражения могут быть представлены как некоторые вектора, модуль которых равен произведению модулей сомножителей, а угол поворота – как сумма углов поворота векторов сомножителей. Поэтому можно записать, что 14 Таким образом полный угол поворота рассматриваемого вектора при изменении частоты от и до равен разности углов поворота векторов . Для САУ устойчивой в разомкнутом состоянии все корни характеристического полинома лежат в левой полуплоскости. Поэтому суммарный угол поворота вектора знаменателя при изменении частоты от до равен n . В общем случае характеристический полином замкнутой САУ имеет корней в правой полуплоскости и корней в левой полуплоскости. Поэтому суммарный угол поворота вектора числителя при изменении частоты от равен или до . Суммарный угол поворота вектора будет определяться как . Для устойчивой САУ все корни характеристического полинома должны располагаться в левой полуплоскости, то есть . Следовательно суммарный угол поворота вектора устойчивой системы при рассмотренных ранее условиях равен нулю. То есть будет выполняться условие . При выполнении этого условия вектор будет располагаться справа от мнимой оси. Этот вектор определяется АФЧХ разомкнутой САУ, но его начало находится в точке (–1,j0). Исходя из этого, формулируется критерий устойчивости Найквиста. Формулировка критерия. САУ устойчива в замкнутом состоянии, если годограф АФЧХ устойчивой разомкнутой системы не охватывает точки с 15 координатами (-1, j0) на комплексной плоскости. Эта формулировка справедлива как для статических, так и астатических САУ, то есть систем, характеристическое уравнение которых содержит нулевой корень той или иной степени кратности. На рис. 5 приведены АФЧХ устойчивых и неустойчивых САУ. Устойчивые САУ Неустойчивые САУ Рис. 5. АФЧХ устойчивых и неустойчивых САУ Логарифмический частотный критерий. Логарифмический критерий – это частотный критерий, позволяющий судить об устойчивости замкнутой САУ по виду логарифмической характеристики разомкнутой системы. Этот критерий основан на однозначной связи ЛФЧХ и АФЧХ систем автоматического управления. При этом рассматриваются САУ, базирующиеся на использовании устойчивых разомкнутых систем. Кроме того, рассматриваются системы с астатизмом не выше второго порядка. Как следует из критерия устойчивости Найквиста в устойчивых САУ фазовый сдвиг может достигать значения только при модулях комплексной передаточной функции, меньшем чем единица. Это позволяет легко определить устойчивость по виду ЛАЧХ и ЛФЧХ. Формулировка критерия: для устойчивости системы в замкнутом состоянии необходимо и достаточно, чтобы в диапазоне частот, где ЛАЧХ разомкнутой системы больше нуля 16 число переходов фазовой характеристики прямой снизу верх превышало на число переходов сверху вниз, где а – число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости. В частном необходимым и случае для достаточным устойчивой условием разомкнутой замкнутой системы системы (а=0) является необходимость выполнения следующего условия. В диапазоне частот, где , фазовая частотная характеристика не должна пересекать прямой , или пересекать ее одинаковое число раз снизу вверх и сверху вниз. Рис. 6. ЛФЧХ устойчивой и неустойчивой САУ Критическим значением коэффициента преобразования называется такое его значение, при котором АФЧХ проходит через точку (-1, j0) и система находится на границе устойчивости. Запасом по модулю называется величина в децибеллах, на которую нужно изменить коэффициент преобразования САУ, чтобы привести ее к границе устойчивости. , где — частота, при которой фазовая характеристика равна 17 . Запасом устойчивости по фазе называется угол, на который нужно повернуть амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы, чтобы замкнутая САУ оказалась на границе устойчивости. , где – значение ФЧХ на частоте среза системы, для которой выполняется условие . 18 2 ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 2.1 Преобразование структурной схемы системы Схемы САУ: Рисунок 4 – Схема «г» 𝑊1 = 0.5 𝑝 𝑊2 = 1 2𝑝 + 1 𝑊3 = 3 𝑝+1 𝑊4 = 4𝑝 0.2𝑝 + 1 𝑊5 = 2𝑝 0.1𝑝 + 1 19 Свертывание последовательного соединения: 𝑊14 = 𝑊1 ∙ 𝑊4 = 𝑊25 = 𝑊2 ∙ 𝑊5 = 0.5 4𝑝 2 ∙ = 𝑝 0.2𝑝 + 1 0.2𝑝 + 1 1 2𝑝 2𝑝 ∙ = 2𝑝 + 1 0.1𝑝 + 1 0.2𝑝2 + 2.1𝑝 + 1 Свертывание параллельного соединения: 𝑊раз = 𝑊14 + 𝑊25 + 𝑊3 … В пакете MATLAB имеется ряд функций, с помощью которых можно выполнять структурные преобразования (используется эквивалентная схема): – series(w1,w2) – последовательное соединение звеньев; – parallel(w1,w2) – параллельное соединение звеньев; – feedback(w1,w2) – включение звена w2 в контур отрицательной обратной связи к w1; – feedback(w1,w2,sign) – включение звена w2 в контур обратной связи звена w1 с указанием знака + или – (очевидно, feedback(w1,w2)= =feedback(w1,w2,-1)); 20 >> w1=tf([0.5],[1 0]) Transfer function: 0.5 --s >> w4=tf([4 0],[0.2 1]) Transfer function: 4s --------0.2 s + 1 >> w2=tf([1],[2 1]) Transfer function: 1 ------2s+1 >> w5=tf([2 0],[0.1 1]) Transfer function: 2s --------0.1 s + 1 >> w3=tf([3],[1 1]) Transfer function: 3 ----s+1 >> w14=series(w1,w4) Transfer function: 2s ----------0.2 s^2 + s >> w25=series(w2,w5) Transfer function: 2s ------------------0.2 s^2 + 2.1 s + 1 >> w1245=parallel(w14,w25) Transfer function: 0.8 s^3 + 6.2 s^2 + 2 s --------------------------------0.04 s^4 + 0.62 s^3 + 2.3 s^2 + s >> W=parallel(w1245,w3) Transfer function: 0.92 s^4 + 8.86 s^3 + 15.1 s^2 + 5 s -------------------------------------------0.04 ^5 + 0.66 s^4 + 2.92 s^3 + 3.3 s^2 + s 21 2.2 Анализ переходной характеристики системы >> W=parallel(w1245,w3) Transfer function: 0.92 s^4 + 8.86 s^3 + 15.1 s^2 + 5 s -------------------------------------------0.04 s^5 + 0.66 s^4 + 2.92 s^3 + 3.3 s^2 + s >> bode(W) Рисунок ЛЧХ разомкнутой системы 22 >> W=parallel(w1245,w3) Transfer function: 0.92 s^4 + 8.86 s^3 + 15.1 s^2 + 5 s -------------------------------------------0.04 s^5 + 0.66 s^4 + 2.92 s^3 + 3.3 s^2 + s >> step(W) График переходного процесса 23 2.3 Исследование устойчивости системы >> nyquist(W) Диаграмма Найквиста Используя ЛАЧХ и ЛФЧХ, можно оценить запасы устойчивости системы по амплитуде и по фазе с помощью команды: >> margin(W) Определение запасов устойчивости по амплитуде и по фазе 24 ЗАКЛЮЧЕНИЕ В ходе выполнения данной работы исследования режимов автоматического управления, построены: временные, логарифмические и фазовые характеристики. Построена диаграмма Найквиста. Определены запасы устойчивости системы по амплитуде и по фазе. Курсовая работа выполнялась программного обеспечения MatLAB. 25 с использованием прикладного СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 1. Агравал, Г.П. Системы автоматического управления: теория, применение, моделирование в MATLAB: Учебное пособие / Г.П. Агравал. - СПб.: Лань, 2013. - 208 c. 2. Бесекерский, В.А. Теория систем автоматического управления / В.А. Бесекерский. - М.: Профессия, 2007. - 752 c. 3. Борисевич А.В. Теория автоматического управления: элементарное введение с применением MATLAB. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2011. 200 с. 4. Власов, К.П. Теория автоматического управления. Основные положения. Примеры расчета: Учебное пособие / К.П. Власов. - Харьков: Гуман. Центр, 2013. - 544 c. 26