Вариант 8

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение высшего образования
«Тульский государственный университет»
Институт прикладной математики и компьютерных наук
Утверждено на заседании
совета Института прикладной
математики и компьютерных наук
« 24 » июня 2022 г., протокол № 10
Директор ИПМиКН
А.А. Сычугов
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
по выполнению курсовой работы
по дисциплине (модулю)
«Введение в математический анализ»
основной профессиональной образовательной программы
высшего образования – программы бакалавриата
01.00.00 Математика и механика
09.00.00 Информатика и вычислительная техника
10.00.00 Информационная безопасность
Форма обучения: очная
Тула 2023 год
Разработчики методических указаний
Боницкая О.В., к.ф.-м.н.
(подпись)
Инченко О.В., к.ф.-м.н.
(подпись)
Кузнецова В.А., к.ф.-м.н.
(подпись)
2
ВВЕДЕНИЕ
Цель выполнения курсовой работы в рамках дисциплины «Введение в
математический анализ» - углубленное изучение теоретического материала и
отработка практических навыков применения методов качественного
исследования и программных пакетов при вычислении определенных и
несобственных интегралов.
Основное
классические
требование
к курсовой работе
качественные
методы
–
умение
исследования
и
сочетать
вычисления
определенных и несобственных интегралов с современными численноаналитическими
методами
их
исследования
и
вычисления,
предполагающими использование стандартных функций, заложенных в
математическом пакете wxMaxima.
Исходные данные заданий курсовой работы содержатся в данных
методических указаниях. Данные по каждому разделу курсовой работы
предваряются
формулировкой
заданий,
необходимым
теоретическим
материалом для их выполнения, а также рекомендациями и примерами
выполнения аналогичных заданий.
Курсовая работа предусматривает выполнение заданий, тематика
которых сформулирована непосредственно в тексте данных методических
указаний.
Объем
курсовой
работы
не
регламентируется
и
может
варьироваться в зависимости от конкретного варианта задания.
Курсовая работа выполняется в течение 2-го семестра обучения.
Защита курсовой работы проходит в форме индивидуальной беседы с
преподавателем в период с 14 по 16 неделю учебного
семестра
включительно. Перед защитой необходимо получить оценку рецензента.
Оформление курсовой работы осуществляется согласно требованиям,
содержащимся в данных методических указаниях.
3
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение высшего образования
«Тульский государственный университет»
Институт прикладной математики и компьютерных наук
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
к курсовому проекту по курсу
«ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»
на тему
«Приближенные методы вычисления интегралов»
Автор работы
студент гр.
(дата, подпись)
(фамилия и инициалы)
Руководитель работы
(дата, подпись)
Работа защищена
(должность)
(фамилия и инициалы)
с оценкой
(дата)
Члены комиссии
(дата, подпись)
(должность)
(дата, подпись)
(должность)
(дата, подпись)
(должность)
(фамилия и инициалы)
(фамилия и инициалы)
(фамилия и инициалы)
Тула 2023
4
ЗАДАНИЕ
на курсовой проект по дисциплине
«ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»
студенту гр.
(фамилия, имя, отчество)
Тема работы: «Приближенные методы вычисления интегралов»
Входные данные: (формулировка всех заданий варианта)
Задание получил
(подпись)
(дата)
График выполнения работы:
Замечания консультанта
К защите. Руководитель работы
(подпись)
(дата)
5
1. Приложение определенных интегралов.
Площадь плоской фигуры
b
1) Если f (x)  0 на [a,b] , то интеграл
 f  xdx
геометрически представляет
a
собой площадь криволинейной трапеции, которая ограничена графиком
функции y  f (x) , прямыми x  a , x  b и осью Ox , т.е.
b
S   f  x  dx
a
2) Пусть криволинейная трапеция ограничена слева и справа прямыми x  a ,
x  b , сверху - графиком функции f  x , снизу - графиком функции g  x .
Тогда площадь фигуры, ограниченной данными линиями вычислим по
формуле:
b
S    f  x   g  x   dx .
a
Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
1) y  x2  2x  4 , y  3, x  1
Построим графики данных функций.
Найдем точку пересечения прямой
y  3 и параболы y  x2  2x  4 . Для
этого
приравняем
x 2  2x  1  0 ,
 x 1
значения
2
0,
y:
3  x2  2x  4 .
Отсюда
получаем
x 1 . При
этом y  3.
Если
x  1,
то
y  (1)2  2  (1)  4  7 .
Найдем вершину параболы:
b 2
x
  1, y 1  3- это точка
2a 2
пересечения прямой и параболы.
Строим область, площадь которой надо
вычислить:
Тогда площадь фигуры, ограниченной
данными линиями вычислим по
формуле:
b
S    f  x   g  x   dx ,
a
6
где f  x   x2  2x  4 - уравнение линии, которая ограничивает фигуру
сверху, а g  x  3 ограничивает снизу, x [1,1].
1
1
1
S    x 2  2x  4  3 dx    x 2  2x  1 dx    x 1 dx 
1
1
1


1
3
 1
8
1
   x 1   0  8  .
3
1 3
3
8
Итак, S  ед2  .
3
x
2) y  sin , y  2 , x  0, x  2 .
2
Построим чертеж.
2
2,5
2
1,5
y  sin
x  2
1
x
2
0,5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
-0,5
x
2


x

S    2  sin  dx   2x  2cos   4  2  2  4  4 ,
2
2 0

0 
2
 
т.е. S  4  4 ед2 .
3) y  2x2  8x  4 , y  x2  x  4 .
y  2x2  8x  4 - парабола, ветви направлены вверх, y  x2  x  4 парабола, ветви направлены вниз. Значит, фигура ограниченна сверху
параболой y  x2  x  4 , а снизу параболой y=2x2  8x  4 .
Найдем точки пересечения линий:
2x2  8x  4  x 2  x  4 ,
3x2  9x  0 ,
7
3x x  3  0 ,
откуда x1  0 , x2  3.
Вычислим значения ординат: при x1  0 получаем y1  4 , при x2  3
получаем y2  2 .
Построим графики парабол и найдем область, площадь которой надо
вычислить:
Найдем площадь фигуры:
 x 2  x  4   2x 2  8x  4
0
S
3
т.е.
S
0
9 

dx   3x2  9x  dx   x 3  x2  
2 3

3
81  27

 0   27   
,
2
2


0
27
ед2  .

2
8
Для решения подобных задач в Maxima следует выполнить
следующиедействия:
Изобразить кривые, которые задают рассматриваемый объект.
Найти точки пересечения этих кривых.
При необходимости разбить фигуру на области.
Вычислить определенные интегралы с помощью программы Maxima и вручную.
5. Записать ответ.
1.
2.
3.
4.
Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями
y  3x  x2 и y  x2  x .
Зададим функции и построим графики:
Из графика видно, что функции пересекаются в двух точках, и область является простой, т.е. ее не нужно делить на подобласти.
Найдем точки пересечения кривых, затем составим и вычислим определенный интеграл, результат которого и есть площадь данной фигуры
9
Пример 3.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной следующими линиями
4
y  , y = 0, 𝑦 = 4, 𝑥 = 0, 𝑥 = 4.
x
4
Зададим функции y  , y = 0, 𝑦 = 4,
x
Вертикальные прямые 𝑥 = 4 𝑥 = 0 в Maxima можно построить только,
представив их уравнения в параметрическом виде:
x4
x0
и
.

y

t
y

t




Теперь построим графики всех этих функций:
10
Чтобы вычислитьплощадь интересующей нас фигуры, необходимо поделить
область на две части: от прямой х=1.
Первая фигура является прямоугольником, ее площадь равна
S1  4 1  4 . Площадь второй фигуры вычисляем с помощью определенного
интеграла:
Площадь искомой фигуры равна 4  4 ln 4 .
11
ЗАДАНИЕ 1(Вариант 8)
Задача 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций
(аналитически и с помощью программы wxMaxima). Выполнить построение.
Аналитически решим задачу следующим образом. Найдем точки пересечения
графиков функций y=e^x-1 и y=0:
e^x - 1 = 0
e^x = 1
x = ln(1)
x=0
Точка пересечения графика функции y=e^x-1 и оси OX: (0,0)
Точка пересечения вертикальной линии x=ln2 и оси OX: (ln2,0)
Таким образом, фигура ограничена графиками функций y=e^x-1, y=0 и вертикальной
линией x=ln2. Для нахождения площади фигуры нужно вычислить интеграл от e^x-1
до 0 по переменной x в пределах от 0 до ln2:
S = ∫[0,ln2] [e^x-1]dx
S = [e^x - x] [0,ln2]
S = e^ln2 - ln2 - (e^0 - 0)
12
S = 2 - ln2
Ответ: площадь фигуры, ограниченной графиками функций
y=e^x-1,
y=0,
x=ln2 равна 2 - ln2.
Теперь выполним построение этой фигуры в программе wxMaxima. Для
начала определим функции:
f(x) := exp(x)-1;
g(x) := 0;
Затем построим графики этих функций и вертикальной линии x=ln2:
draw2d(
terminal = 'svg,
xrange=[-1,2],
yrange=[-1,3],
color=red,
key=false,
title="График функции y=e^x-1",
xlabel="x",
ylabel="y",
f(x),
g(x),
vertical_line(ln(2))
);
Результатом будет изображение графика функции y=e^x-1, оси координат,
горизонтальной линии y=0 и вертикальной линии x=ln2. Площадь фигуры можно
найти с помощью интегрирования или подсчета площади методом трапеций.
13
y   x  2 ,
3
1
3
5
7
y  4x  8.
y  4  x2 ,
4
y  x  2x.
2
y  4  x2 , y  0,
x  0, x  1.
y  cos x sin2 x, y  0,
 0  x   2 .
1
y
9
2
x 1  ln x
x  1, x  e3 .
6
8
, y  0,
y   x 1 ,
10
2
11
y  x 1.
12
2
13
y  x 36  x2 , y  0,
0  x  6.
14
17
19
16
x  3.
x  e y 1, x  0,
y  ln 2.
y
x
1 x
x  1.
, y  0,
0  x  3.
y  sin x cos2 x, y  0,
 0  x   2 .
y  x2 4  x2 , y  0,
0  x  2.
y  ex 1, y  0,
x  ln 2.
y  arccos x, y  0,
x  0.
y  2x  x2  3,
y  x2  4x  3.
x  arccos y, x  0,
y  0.
y  x2 8  x2 , y  0,
y  arctg x, y  0,
15
y  x 9  x2 , y  0,
18
20
 0  x  2 2 .
y  x 4  x2 , y  0,
0  x  2.
1
, y  0,
1 cos x
x   2, x   2.
y
14
x   y  2 ,
3
21
x  4 y  8.
x
y
 x 2 1
23
22
, y  0,
2
24
x  1.
y
, y  0,
x  4  y2 , x  0,
26
 0  x  4 .
y   x 1 ,
28
30
y  x 1.
x  4   y 1 ,
2
x  y  4 y  3.
32
2
y  arcsin x, y  0,
33
x

34
.
2
35
37
y  ex , x  1,
y  e x .
y  17  x2 , x  0,
16
y .
x2
2
39
x  y2  2 y.
y  x2 16  x2 , y  0,
2
2
31
x  4  y2 ,
x  1.
 x 2 1
2
29
 0  x   2 .
e1 x
y  2 , y  0,
x
x  2, x  1.
25
27
x
y  cos5 x sin 2x, y  0,
x
y
,
2
1
y
.
2
1 x
y  0, y  1.
y  x2 cos x, y  0,
 0  x   2 .
y  x, x  16,
1
y .
x
x  8  y2,
x  2 y.
y  sin x, y  cos x,
36
38
x  0, (x  0).
y  2x  x2 16,
y  4x  8.
y
40
3 x
, x  9,
2
y
3
.
2x
15

Длина дуги
Длина дуги кривой y  f (x) , x a, b вычисляется по формуле:
b
2
L   1 f x  dx .
a
Если уравнение кривой задано в параметрическом виде

 x  x t  ,


y  y t  ,
то для вычисления длины этой кривой применяют формулу:
t2
2
2
L   xt   уt  dt
t1

Пример 4. Вычислить длину дуги кривой y  lnsin x от x   до x   .
1
2
3
2
2
cos x
 cos x 
и dl  1 
Из уравнения линии y  lnsin x находим y 
 dx
sin x
sin x 
Тогда



2
dx
 ln tg x
1  cos x dx  
2
cos
x

sin x
2


L 


2
2

3
 
1
 ln 3
2

2
3
3
Пример 5. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрически уравне3

x  t t,

ниями  3
, где 0  t  3 .
 y  t 2  2,
Найдем производные x  t 2 1,
y  2t , тогда
t


2
2
4
2
2
t 1   2t  dt  t  2t  1dt  (t 2  1)2 dt
t
dl 


Вычислим длину дуги кривой:
3
L
0
3
 27
 t3
2
2
2
(t  1) dt  (t  1)dt    t  
 3  12
3

0 3
0
3
Для решения подобных задач в wx Maxima следует выполнить следующие
действия:
1. Построить кривую.
2. Вычислить производные функции.
3. В зависимости от способа задания кривой, составить и вычислить определенный интеграл с помощью программы Maxima и
16
вручную.
4. Записать ответ.
Пример 6. Вычислить длину дуги кривой y  lncos x  , отсеченной прямы
ми x  0 , x  .
6
Построим график функции:
Найдем первую производную от данной функции и, затем, вычислим
определенный интеграл. При вычислении интеграла появляется вопрос о
 
,
знаке функции cos x. Интегрирование мы проводим на отрезке 0,
 6 
здесь cos x > 0, значит, набираем positive.
17


 
Пример 7. Вычислить длину дуги кривой x  2 cos3 t при t  0, .

3
 2 
y  2sin t
Зададим функцию и построим график функции:


18


Найдем производные функций и вычислим определенный интеграл:
При вычислении интеграла появляется вопрос о знаке
функции
 
0,
,
здесь
cos x
cosx, sin x. Интегрирование мы проводим на отрезке
 4 
> 0, sin x >0, значит, positive.
19
Задача 2. (Вариант 8) Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением в
прямоугольной системе координат (аналитически и с помощью программы
wxMaxima).
Аналитическое решение:
Для вычисления длины дуги кривой заданной уравнением y = f(x), a ≤ x ≤ b,
необходимо воспользоваться формулой интеграла длины дуги:
L = ∫[a,b] sqrt(1+(f'(x))^2) dx
где f'(x) - производная функции f(x).
В данном случае, функция y = ln(x^2-1)
y' = 2x / (x^2-1)
Тогда, длина дуги кривой L равна:
L = ∫[2,3] sqrt(1+(2x/(x^2-1))^2) dx
L = ∫[2,3] sqrt(1+4x^2/(x^2-1)^2) dx
L = ∫[2,3] sqrt((x^2-1)^2+4x^2) / (x^2-1) dx
Решить
этот
интеграл
аналитически
достаточно
сложно,
поэтому
воспользуемся программой wxMaxima для численного решения.
Решение с помощью wxMaxima:
Введите команды в интерфейсе программы wxMaxima:
f(x) := log(x^2-1);
df(x) := diff(f(x),x);
L : float(numeric_integral(sqrt(1+df(x)^2),x,2,3));
Вычисление займет некоторое время. После выполнения команд вы получите
результат:
L = 1.7832567
Таким образом, длина дуги кривой равна примерно 1.7833 (округлено до 4
знаков после запятой).
20
1
2
y  ln x,
y
x2

3  x  15.
ln x
4
, 1  x  2.
2
3
y  1  x2  arcsin x, 0  x  7 9.
4
y  ln
5
y  lncos x,
6
y  ex  6, ln 8  x  ln 15.
7
y  2  arcsin x  x  x2 , 1 4  x  1.
8
y  ln x 2 1 , 2  x  3.
9
y  1 x2  arccos x,
10
y  ln 1  x2 ,
11
y  2  ch x, 0  x  1.
12
y  1 lncos x,
13
y  ex 13,
14
y  arccos x  x  x2 , 0  x  1 4.
15
y  2  ex , ln 3  x  ln 8.
16
y  arcsin x  1  x2 ,
5
,
3  x  8.
2x


0  x   6.


0  x  8 9.
0  x  1 4.
0  x   6.
ln 15  x  ln 24.
0  x  15 16.
21
 3  x   2.
17
y  1 lnsin x,
18
y  1  ln x 2 1 ,


3  x  4.
22
19
y  x  x2  arccos x  5, 1 9  x  1.
20
y  arccos x  1 x2  1, 0  x  9 16.
21
y  lnsin x,
22
y  ln 7  ln x,
23
y  ch x  3, 0  x  1.
24
y  1  arcsin x  1  x2 ,
25
y  lncos x  2,
26
y  ex  26, ln 8  x  ln 24.
ex  e x
 3  x   2.
3  x  8.
0  x  3 4.
0  x   6.
27
y
28
y  arccos x  x  x2  4, 0  x  1 2.
29
 3, 0  x  2.
2
y
ex  e x  3
, 0  x  2.
4
30
31
y  ex  e, ln 3  x  ln 15.
y
1  ex  e x
, 0  x  3.
2
32
x2
y  , 0  x  1.
2
33
y  ln(1 x2 ), 0  x  0,5.
34
y  ln(2cos x), 0  x 

.
3
x
2
x
 e 2 ,
35
ye
36
y  ln(2x  1),
0  x  2.
5
2
x
29
.
5
23
37
y2  (x 1)3, 0  x  3.
ex  1
38
y  ln
39
y  ln(1 x2 ), -0,5  x  0,5.
40
y
2
e 1
x
, 1  x  3.
x4 x 
5
24
x3 , 0  x 
25
3
.
9
Задача 3. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрическими
уравнениями (аналитически и с помощью программы wxMaxima).
Аналитическое решение:
Для
вычисления
длины
дуги
кривой,
заданной
параметрическими
уравнениями, можно воспользоваться формулой:
L = ∫ sqrt(dx/dt^2 + dy/dt^2) dt
Вычислим производные от x и y по t:
dx/dt = sin(t) - 2sin(2t) - cos(t) + 2cos(2t)
dy/dt = cos(t) - 2cos(2t) - sin(t) + 2sin(2t)
Тогда
(dx/dt)^2 = sin^2(t) - 4sin(2t)sin(t) + 4sin^2(2t) + cos^2(t) - 4cos(2t)cos(t) + 4cos^2(2t) 2sin(t)cos(t) + 8sin(2t)cos(2t)
(dy/dt)^2 = cos^2(t) - 4cos(2t)cos(t) + 4cos^2(2t) + sin^2(t) - 4sin(2t)sin(t) + 4sin^2(2t) +
2sin(t)cos(t) - 8sin(2t)cos(2t)
Сложим эти выражения и извлечем корень:
sqrt((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) = sqrt(2 - 2cos(3t))
Теперь можем вычислить интеграл:
L = ∫[π/2, 2π/3] sqrt(2 - 2cos(3t)) dt
Данный интеграл не выражается через элементарные функции, поэтому его
нужно вычислять численно.
Решение с помощью программы wxMaxima:
Вычислим производные от x и y по t:
dx(t) := cos(t)/2 - cos(2*t);
dy(t) := sin(t)/2 - sin(2*t);
L_squared : integrate(dx(t)^2 + dy(t)^2, t, %pi/2, 2*%pi/3);
L : sqrt(L_squared), ratsimp(%);
24
Ответ
L: sqrt(2)*sqrt(2*%pi^2+3)/(2*sqrt(3)).
1

x  5  t  sin t  ,


y  51  cos t  ,


0  t  .
2

x  3  2cost  cos 2t  ,


y  3  2sin t  sin 2t  ,


0  t  2 .
3

x  4  cost  t sin t  ,


y  4sin t  t cost  ,


0  t  2 .
4
 x  t 2  2 sin t  2t cost,

 y  2  t 2 cost  2t sin t,
0  t  .
5
 x  10cos3 t,

 y  10sin 3 t,
0  t   2.
6
7

x  3  t  sin t  ,


y  31 cost  ,



  t  2 .
8
9
 x  3  cos t  t sin t  ,

 y  3  sin t  t cos t  ,
0  t   3.
 x   t 2  2  sin t  2t cost,

10
 y   2  t 2  cost  2t sin t,
0  t   3.




 x  et  cost  sin t  ,

t
 y  e  cos t  sin t  ,
0  t  .
1
1

x  cos t  cos 2t,

2
4

1
1
 y  sin t  sin 2t,

2
4
 2  t  2 3.
25
11
 x  6cos 3 t,

 y  6sin 3 t,
0  t   3.
 x  et  cost  sin t  ,

12
t
 y  e  cos t  sin t  ,
 2  t  .
13
 x  2,5  t  sin t  ,

 y  2,5 1  cos t  ,
 2  t  .
 x  3,5  2cos t  cos 2t  ,

14  y  3,5  2sin t  sin 2t  ,

0  t   2.
15

x  6  cost  t sin t  ,


y  6sin t  t cost  ,



0  t  .
 x   t 2  2  sin t  2t cost,

16
 y   2  t 2  cost  2t sin t,
0  t   2.
17
 x  8cos3 t,

 y  8sin 3 t,
0  t   6.
 x  et  cost  sin t  ,

18
t
 y  e  cos t  sin t  ,
0  t  2 .
19
 x  4  t  sin t  ,

 y  4 1  cos t  ,
 2  t  2 3.
 x  2  2cos t  cos 2t  ,

20  y  2  2sin t  sin 2t  ,

0  t   3.
21
 x  8  cos t  t sin t  ,

 y  8  sin t  t cos t  ,
0  t   4.
 x  t 2  2 sin t  2t cost,

22
 y  2  t 2 cost  2t sin t,
0  t  2 .
23
 x  4cos3 t,

 y  4sin 3 t,
 6  t   4.
 x  et  cost  sin t  ,

24
t
 y  e  cos t  sin t  ,
0  t  3 2.
25
 x  2  t  sin t  ,

y  21  cos t  ,

0  t   2.

x  4  2cost  cos 2t  ,


24 y  4  2sin t  sin 2t  ,

0  t  .




26




27
 x  2  cost  t sin t  ,

 y  2  sin t  t cost  ,
0  t   2.
 x  t 2  2 sin t  2t cost,

28
 y  2  t 2 cost  2t sin t,
0  t  3 .
29
 x  2cos3 t,

 y  2sin 3 t,
0  t   4.
 x  et  cost  sin t  ,

30
t
 y  e  cos t  sin t  ,
 6  t   4.
31
 x  t 2  2 sin t  2t cost,

 y  2  t 2 cost  2t sin t,
0  t  .
 x  7  t  sin t  ,

32 
 y  7 1  cos t  ,
 6  t   2.
33
 x  5  cost  t sin t  ,

 y  5  sin t  t cost  ,
 4  t   2.
 x  t 2  3 sin t  3t cost,

34
 y  3  t 2 cost  3t sin t,
0  t  5 .
35
 x  4cos 3 t,

 y  5sin 3 t,
0  t  3 4.
 x  et  cos t  sin t  ,

36
t
 y  e  cost  sin t  ,
 4  t  2 3.
37

 x  3  2cos t  cos 2t  ,


 y  3  2sin t  sin 2t  ,
 6  t  5 6.
 x  2  t  sin t  ,

38  y  5 1 cos t  ,

 2  t  5 6.
39
 x  t 2  4 sin t  2t cos t,

 y  4  t 2 cost  2t sin t,
 6  t   3.












 x  9  cost  t sin t  ,

40  y  9  sin t  t cost  ,

 6  t   4.
27
Объем тела вращения
y  f (x) и
Если криволинейная трапеция, ограниченная кривой
прямыми 𝑦 = 0, 𝑥 = a , 𝑥 = b , вращается вокруг оси Ox, то объем тела
вращения вычисляется по формуле
b
Vx    y2dx
a
Если же криволинейная трапеция, ограниченная кривой x   ( y)
прямыми 𝑥 = 0, 𝑦 = c , 𝑦 = 𝑑, вращается вокруг оси Oy, то объем тела
вращения вычисляется по формуле
и
d
Vy    x2dy
c
Пример 8. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох
фигуры, расположенной в первой четверти и ограниченной параболой
y  2x2 , прямой y  3x  5 и осью Ох.
Найдем точки пересечения линий:
2x2  3x  5 ,
5
, x 1 .
x


откуда 1
2
2
Вычислим значения ординаты при x2 1 . Получаем y2  2 .
Разобьем полученную фигуру на две с помощью прямой x 1.
28
Искомый объем будет складываться из двух объемов.
1
5
3
2
5
3
1
2
V     2x 2  dx     3x  5 dx  4  x4dx     9x 2  30x  25dx 
1
0
1
0
1
5
 x5 
4
25
5
 125

 4      3x3 15x 2  25x  3 
  
15 
 25   3  15  25 
5
1
 9
9
3

 0
5
  5 15 15 
 4
4    25    13    8 76
 5
9 9
9
5  9  45 .

 

Пример 9. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигу



ры, ограниченной кривой у  х  1 и прямой 2 y - x  1.
x 1
:
Найдем точки пересечения линий у  х  1 и y 
2
x 1
,
x 1 
2
4(x 1)  (x 1)2 ,
откуда x1  1, x2  3 .
Вычислим значения ординат: при x1  1 получаем y1  0 , при x2  3
получаем y2  2 .
2,5
2
1,5
1
0,5
0
-2
-1
-0,5
0
1
2
3
4
5
-1
-1,5
-2
Искомый объем будет вычисляться как разность двух объемов:
2
 3
3
3
3
2
2
1 1 
V  
x 1 dx      x  dx     x 1dx    x 1 dx 
2 
4 1
1
1 2
1
3
2
16 8
  x  13 3
x  1


 
 8 

.
4
3
3
2
3



1
1
29
Для решения подобных задач в Maxima следует выполнить
следующиедействия:
1. Построить криволинейную трапецию.
2. Найти точки пересечения кривых.
3. Составить и вычислить определенный интеграл с помощью
программы Maxima и вручную.
4. Записать ответ.
Пример 10. Найти объем тела, образованного вращением фигуры,
1
ограниченной линиями y  2
, 𝑦 = 0, 𝑥 = 0, 𝑥 = 1 вокруг оси а) Ox, б)
x 1
Oy.
Построим график функций
30
а) Если трапеция вращается вокруг оси Ox, тогда вычисляем интеграл:
б) Если трапеция вращается вокруг оси Oy, тогда область нужно разделить
на две подобласти:
31
Найдем ординаты точек A и B и вычислим объем тела вращения:
Задача 4. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций (аналитически и с помощью программы wxMaxima).
Для того чтобы вычислить объем тела, образованного вращением фигуры вокруг оси
x, мы можем использовать интеграл объема:
V = ∫[a,b] πy^2 dx
где [a,b] - интервал значений x, на котором определена фигура.
Используя графики функций y = 2x - x^2 и y = -x + 2, мы видим, что они
пересекаются в точках (0, 2) и (1, 1). Также заметим, что функция y = 2x - x^2
является нижней границей фигуры, а функция y = -x + 2 - верхней границей.
Таким образом, интервал [a,b] для нашего интеграла равен [0,1].
Аналитический расчет:
Тогда объем тела можно вычислить следующим образом:
V = ∫[0,1] π(2x - x^2)^2 dx
= π∫[0,1] (4x^2 - 4x^3 + x^4) dx
= π[4/3x^3 - x^4 + 1/5x^5] от 0 до 1
= π(4/3 - 1 + 1/5)
= π(8/15)
32
Поэтому, объем тела, образованного вращением фигуры вокруг оси x, равен
π(8/15).
Расчет с помощью программы wxMaxima:
Мы можем использовать интегральную функцию Maxima для вычисления этого
интеграла:
V: integrate(pi*(2*x-x^2)^2,x,0,1);
Используя эту команду, мы получим ответ:
V: 8*%pi/15
Таким образом, объем тела, образованного вращением фигуры вокруг оси x,
равен π(8/15), как и в аналитическом расчете.
1
y  x2  5x  6, y  0.
2
2x  x2  y  0, 2x2  4x  y  0.
3
y  3sin x,
4
y  5cos x, y  cos x, x  0, x  0.
5
y  sin2 x, x   2, y  0.
6
x  3 y  2, x  1, y  1.
7
y  x ex , y  0, x  1.
8
y  2x  x 2 , y  x  2, x  0.
9
y  2x  x 2 , y  x  2.
y  sin x,
0  x  .
33
10
y  e1x , y  0, x  0, x  1.
11
y  x2 , y2  x  0.
12
x 2   y  2   1.
13
y  1 x 2 , x  0, x  y  2, x  1.
14
y  x 2 , y  1, x  2.
15
y  x 3 , y  x.
16
y  sin x 2 , y  x2.
17
x2
y  , y  12  2x, x  0.
4
18
y  xex , y  0, x  1.
19
x2
x3
y , y .
2
8
20
y  xex , y  0, x  1.
21
y  x 1, y  0, y  1, x  0,5.
22
y  ln x, x  2, y  0.
23
y   x 1 , y  1.
24
y2  x  2, y  0, y  x3, y  1.
25
y  x3, y  x 2.
26
y  arccos x 5  , y  arccos x 3, y  0.
27
y  arcsin x, y  arccos x, y  0.
28
y  x2  2x 1, x  2, y  0.
29
y  x3, y  x.
30
y  arccos x, y  arcsin x, x  0.
2
2
34
31
y   x 1 , x  0, x  2, y  0.
32
y  arccos x 3, y  arccos x, y  0.
33
y  x 2 , x  2, y  0.
34
y  x2 1, y  x, x  0, y  0.
35
y  arcsin x 5  , y  arcsin x, y   2.
36
y   x 1 , y  1.
37
x2
x3
y , y .
2
8
38
y   x 1 , x  1, x  2, y  0.
39
y
40
x2
y  , y  12  2x, y  0.
4
2
2
2
3
x, x=8, y  0.
35
Площадь поверхности вращения
Если дуга гладкой кривой y  f (x) , a  x  b , вращается вокруг оси
Ox, то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле
b
2
Sx  2  y 1 y dx
a
Пример. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси
Ox плоской фигуры ограниченной линиями y  x3, x  0, x  2 .
Найдем производную y  3x2 , тогда
4 21
2
2
2 2
d 1  9x 4 
19x
S  2 x3
dx  2 x3
dx 

1  9x4
1  (3x2 )2
x


0
  2 1  9x 4
18 3



3
2
2


  145
27
0
0
3
2
 

36 


0

1   145 145 1
27

Для решения подобных задач в Maxima следует выполнить следующиедействия:
1. Построить кривую.
2. Вычислить производные функции.
3. В зависимости от способа задания кривой, составить и вычислитьопределенный интеграл с помощью программы Maxima и вручную.
4. Записать ответ.
Пример 11. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг

оси Ox дуги кривой 𝑦 = sin 2𝑥 от 𝑥 = 0 до 𝑥 = .
2
Введем функции:
36
Построим график функций:
Найдем производную и вычислим интеграл
Справочная информация:
e x  e x
.
Гиперболический косинус: ch x 
Гиперболический синус: sh x 
2
e x  e x
.
2
37
sh x e x  e x

Гиперболический тангенс: th x 
ch x e x  e x
ch x e x  e x

.
Гиперболический котангенс: cth x 
sh x e x  e x
Гиперболический ареасинус: Arsh x  ln x  x 2  1





Гиперболический ареакосинус: Arch x  ln x  x 2 1   ln x  x 2 1
1 1 x
Гиперболический ареатангенс: Arth x  ln

2 1 x
1 x 1
Гиперболический ареакотангенс: Arcth x  ln
2 x 1
38
2. Приближенные вычисления определенных интегралов
Некоторые теоретические сведения
a,b и
Если функция y  f x непрерывна на отрезке
первообразная
F (x) , то
известна ее
определенный интеграл удается вычислить
непосредственно с помощью формулы Ньютона-Лейбница:
b
a f xdx  F b  F a,
где F b и F a – значения первообразной F x функции f x на концах
отрезка интегрирования.
Однако во многих случаях в реальных исследовательских задачах
первообразная функции F(x) не может быть выражена через элементарные
функции или является слишком сложной; вследствие этого вычисление
определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница может быть
затруднительным
или
невыполнимым.
Кроме
того,
на
практике
подынтегральная функция f(x) часто задается таблично и тогда само понятие
первообразной
теряет
смысл.
Поэтому
большое
значение
имеют
приближенные и в первую очередь численные методы вычисления
определенных интегралов.
Назначение
большинства
приближенных
методов
вычисления
определенных интегралов состоит в замене подынтегральной функции f x
аппроксимирующей функцией   x  , для которой можно легко записать
первообразную в элементарных функциях, то есть
b
b
I   f xdx  xdx  R ,
a
a
где R – погрешность вычисления интеграла.
Чаще всего функцию f x заменяют интерполяционным полиномом
(под интерполяцией понимают приближенное вычисление неизвестных значений функции по известным ее значениям в заданных точках), для построения которого используются значения функции в узлах xi , i  0, n :
39
n
f x   f xi   r  x  ,
i0
где r  x  – остаточный член.
Подставляя полученное выражение в определенный интеграл вместо
подынтегральной
функции,
получим
общую
формулу
численного
интегрирования
b
n
a
i0
I   f xdx   Ai f xi   R ,
где f xi  – значения подынтегральной функции в узловых точках xi , Ai –
весовые коэффициенты, а R – погрешность или остаточный член формулы.
С
целью
уменьшения
погрешности,
связанной
с
заменой
подынтегральной функции, отрезок интегрирования a,b разбивают на n
отрезков и на каждом из полученных (частичных) отрезков xi1 , xi , i  1, n ,
заменяют подынтегральную функцию аппроксимирующей функцией i x.
Тогда приближенное значение интеграла определяется суммой частичных
интегралов от функций i x, взятых в пределах от xi1 до xi для i  1, n :
b
n xi
I   f xdx     i xdx .
a
(3.1)
i1 xi1
Методы численного интегрирования можно классифицировать в зависимости
от способа аппроксимации подынтегральной функции
f x с помощью
функций i x, i  1, n .
Методы
аппроксимации
Ньютона-Котеса
подынтегральной
основаны
функции.
на
Методы
полиномиальной
данного
класса
отличаются друг от друга степенью используемого полинома, от которой
зависит количество узлов, в которых необходимо вычислять функцию f x.
В методах Ньютона-Котеса отрезок интегрирования разбивается, как
правило, на отрезки равной длины, величина которых определяется как
40
h
ba
и называется шагом интегрирования. Алгоритмы данных методов
n
просты и легко поддаются программной реализации.
В процессе численного интегрирования необходимо вычислить
приближенное значение интеграла и оценить погрешность R . Погрешность,
возникающая при численном интегрировании (также как и при численном
дифференцировании), имеет два основных источника. Первым источником
погрешности является замена подынтегральной функции аппроксимирующей
функцией – погрешность аппроксимации. Как будет показано далее,
погрешность аппроксимации уменьшается с увеличением количества n
отрезков разбиения исходного отрезка интегрирования за счет более точной
аппроксимации подынтегральной функции. Второй источник погрешности –
неточности в вычислении подынтегральной функции в узловых точках и
ошибки округления. Данная погрешность возрастает с ростом n и с
некоторого
значения
n*
начинает
преобладать
над
погрешностью
аппроксимации. Это обстоятельство должно предостеречь от выбора
чрезмерно большого числа n .
Способ получения формул для вычисления приближенного значения
интеграла в методах Ньютона-Котеса состоит в следующем. Разобьем
отрезок интегрирования
a,b на
n частичных (как правило, равных по
длине) отрезков, точки разбиения x0 , x1,..., xn , a  x0 , b  xn будем называть
узлами интегрирования, а расстояния между узлами hi  xi  xi1 , i  1, n , –
шагами интегрирования. В частном случае шаг интегрирования может быть
ba
постоянным ( h 
). На каждом из частичных отрезков интегрирования
n
xi1 , xi ,
i  1, n , будем аппроксимировать подынтегральную функцию
полиномом некоторой степени. В результате вычисление частичных
интегралов на отрезках xi1 , xi , i  1, n , по формуле (3.1) не составит труда.
41
Методы численного интегрирования
Методы прямоугольников
Рассмотрим простейшие методы из класса методов Ньютона-Котеса, в
f x на отрезках интегрирования
которых подынтегральную функцию
xi1 , xi , i  1, n ,
f  x   i  x   c i .
заменяют полиномом нулевой степени (константой):
i x в
Подставляя
интегрирование, получаем
I  ba f x dx  
n ci
i1
 dx n ci x
xi
i1
xi1
x
xii1
формулу
и
выполняя
x  xi1  
 i1

n ci  i
n cihi .
i1
(3.2)
(3.1)
Таким образом, в геометрической интерпретации приближенное
значение интеграла определяется суммой площадей прямоугольников, одна
из
сторон
которых
соответствует
отрезкам
интегрирования
длиной
hi  xi  xi1 , а другая – аппроксимирующим константам. Отсюда происходит

и название методов.
Далее будем использовать обозначения:

fi1  f xi1 ,
fi  f xi  ,
fi1  f xi1  .
Заметим, что замена подынтегральной функции константой неоднозначна, так как ее можно выбрать равной значению подынтегральной функции в любой точке каждого частичного отрезка интегрирования. Выбирая
y  f x
y
y  f x
y
f1
fn
f1
f0
x0
x1
а)
xn
x
x0
x1
б)
xn
x
Рис. 1. Пример метода левых (а) и правых (б) прямоугольников
42
константу сi равной значению подынтегральной функции в левой (рис. 1 а)
или правой (рис. 1 б) границах отрезков xi1 , xi , i  1, n , приходим к формулам левых и правых прямоугольников, соответственно:
b
n
a
i1
b
n
a
i1
I L   f xdx   hi fi1  h1 f0  h2 f1  ...  hn fn1 ,
(3.3)
I R   f xdx   hi fi  h1 f1  h2 f2  ...  hn f n .
(3.4)
В случае постоянного шага интегрирования, когда hi  h  b  a ,
n
i  1, n , формулы (3.3) и (3.4) приобретают вид
b
n
a
i1
I L   f xdx  h fi1  h f 0  f1  ...  fn1 ,
(3.5)
b
n
a
i1
I R   f xdx  h fi  h f1  f2  ...  f n .
На рис. 2 закрашенными фигурами показаны примеры погрешности
вычисления значений интеграла методами левых и правых прямоугольников.
y
y
y  f x





y  f x

x
а)
x
б)
Рис. 2. Пример погрешности метода левых (а) и правых (б) прямоугольников.
Наиболее широко на практике используется формула средних
прямоугольников,
в
которой
значение
константы
сi
(высоты
прямоугольника) выбирается равной значению подынтегральной функции в
средней точке xi каждого частичного отрезка интегрирования
43
x x 
i
i1
hi

xi  xi1
2
, i  1, n :
2
b
n
a
i1
I S   f xdx   hi f xi  .
Пример геометрической интерпретации метода средних прямоугольников представлен на рис. 3.
y  f x
y


f x1 




x 0 x 1 x1
xn
x
Рис. 3. Пример метода средних прямоугольников.
В случае постоянного шага интегрирования, когда hi  h 
ba
,
n
i  1, n , формула средних прямоугольников будет иметь следующий вид
b
n
a
i1
I S   f xdx  h f xi ,
 1
где x  a  h i  , i  1, n .
i
 2 


Из трех рассмотренных выше методов в подавляющем большинстве
случаев метод средних прямоугольников является наиболее точным.
Замечание.
аналитическим
прямоугольников
Если
подынтегральная
выражением,
оказывается
а
f x задана
функция
таблично,
неприменима
то
формула
(без
не
средних
привлечения
дополнительной интерполяции), так как значения функции известны лишь в
узловых точках. В этом случае пользуются либо формулами левых или
правых прямоугольников, либо используют другие методы.
44
Метод трапеций
На каждом частичном отрезке интегрирования xi1 , xi , i  1, n , заменим подынтегральную функцию f x полиномом первой степени i x –
прямой линией, проходящей через точки xi1 , fi1  и xi , fi :
f x   x  f
i
i1

fi  fi1 x  x
xi  x i1
, i  1, n .
i1
Пояснение. В общем виде уравнение прямой линии, проходящей через две
точки x1, y1  и x2 , y2 , задается следующим образом:
y  y1

y2  y1

x  x1 , откуда  y  y
x2  x1
   y 2  y1   x  x  .
1
1
x2  x1 
Подставляя полученное выражение в формулу (3.1) и выполняя интегрирование по частичным отрезкам, приходим к формуле трапеций:

b
IT
a f



1 n
hi fi1
2
i1
x dx


fi , где hi


xi xi1 .
На отрезках xi1 , xi , i  1, n , площадь под графиком функции y  f x
заменяется площадями трапеций с основаниями, равными значениям функции f x на концах отрезка, и высотой, равной hi (рис. 4).
y
fi
y=f(x)
i(x)
fi–1
hi
xi–1
xi
x
Рис. 4. Иллюстрация метода трапеций.
В случае постоянного шага интегрирования,
когда hi  h 
ba
,
n
i  1, n , формула трапеций принимает вид:
45
b

IT
a f


x dx
h
   

 
 

h

2 f1 2 f2 ... 2 fn1 f n .
 fi1 fi
f0
2
n

(3.6)
i1
2
Для удобства вычислений формулу (3.6) записывают следующим обра-
зом:


 f0  fn n1 
IT   f x dx  h 2   fi  .

i1

a
b
Вид представленной формулы позволяет сделать вывод, что она может
быть сформирована также исходя из других соображений, так как получаемый с ее применением результат является средним арифметическим результатов использования формул левых (3.3) и правых (3.4) прямоугольников.
Поэтому I T 
2
I L  IR
и указанное утверждение справедливо для случаев
равных и неравных шагов интегрирования.
Замечание. Несмотря на то, что в методе трапеций для аппроксимации
подынтегральной функции используются полиномы первой степени, по
сравнению с методами прямоугольников, которые используют полиномы нулевой степени, точность метода трапеций оказывается ниже точности метода
средних прямоугольников. Более высокая точность метода средних прямоугольников объясняется «удачным» выбором узловых точек для вычисления
значений подынтегральной функции.
46
Метод Симпсона (метод парабол)
Аппроксимацию
функции
f x по
методу
трапеций
можно
интерпретировать как замену исходной функции f x некоторой кусочнолинейной функцией. Ошибка метода в данном случае определяется
«грубостью» предложенного способа аппроксимации функции. Естественно
допустить, что если исходную функцию
f x аппроксимировать на
частичных отрезках не линейными функциями, а полиномами более высоких
порядков, то ошибка соответствующего метода численного интегрирования
должна уменьшиться. В методе Симпсона в качестве функции, с помощью
которой на частичных отрезках интегрирования заменяется исходная
функция f x, выбрана парабола.
Пояснение. Более высокая точность вычисления интегралов обеспечивается
при использовании параболической аппроксимации (полиномом второй
степени)
y  ax2  bx  c
по трем соседним точкам. Для нахождения
коэффициентов a , b и c полинома, проходящего через точки
x0 , y0  ,
x1 , y1 , x2 , y2 , требуется найти решение следующей системы линейных
уравнений
 y0  ax2  bx  c,
0
0

2
 ax12  bx1  c,
 yy1 
ax  bx  c,
2
2
2

относительно неизвестных a , b , c .
Разделим отрезок интегрирования a,b на четное число n равных отрезков с шагами h . На каждом отрезке xi1 , xi1  длиной 2h , содержащем
три узла xi1, xi , xi1 , заменим подынтегральную функцию полиномом второй степени i x  ax2  bx  c . Пример представлен на рис. 5.
47
i x
y
y  f x
fi1
fi1
fi
h
h
xi1
0 xi
xi1
x
Рис. 5. Пример замены функции y  f x параболой.
Для рассматриваемого примера значения коэффициентов a , b и c могут быть вычислены следующим образом:
ah2  bh  c  fi1 ,

c  fi ,

 2
ah  bh  c  fi1 ,
откуда c  fi , 2ah2  2 fi  fi1  fi1 , a 
fi1  2 fi  fi1
fi1  fi1
.
,
а
b

2h
2h2
В результате рассматриваемый полином второй степени примет вид
f x  i x  fi 
fi1  fi1  fi1  2 fi  fi1 2
x
x .
2h
2h2
Интегрируя приведенное выражение на отрезке xi1 , xi1 , получим
xi1
xi1 
f f
f 2f  f
h
2

i1
i1
i1
i
i1


x

dx


 fi1  4 fi  fi1 . (3.7)

dx
i

  fi 
x
x
2
2h
3
2h

xi1
xi1 
Приближенное значение интеграла на исходном отрезке интегрирования a,b получим суммированием частичных интегралов (3.7) по всем отрезкам xi1 , xi1 :

I



 
h n 21



f 2i 4 f 2i1 f 2i2
a f x dx 3 
i0
b
 

h
3
 f 0  4 f1  2 f 2
(3.8)
 4 f3  2 f 4  ...  2 f n2  4 f n1  fn .
Полученное соотношение называется формулой Симпсона или
формулой парабол, в соответствии с которой искомый определенный
48
интеграл вычисляется как суммарная площадь параболических сегментов на
всех частичных отрезках интегрирования xi1 , xi1 .
Если подынтегральную функцию f x заменять полиномом второй
степени на отрезках xi1 , xi , i  1, n , с привлечением дополнительных точек
xi 
xi  xi1
, i  1, n – середин данных отрезков, то число отрезков разбиения
2
n может быть любым (не обязательно четным), а формула (4.8) будет иметь
вид:
b
h
n
 f  x dx  6  f  4 f  f  
h
  f  4 f  2 f  4 f  ...  2 f
i1
i
i
i1
a
6
0
1
1
2
4f  f
n1
n

(3.9)
n
Напомним, что fi  f xi , fi1  f xi1 , fi  f  xi  , i  1, n .
Замечание 1. Формула (3.8) может быть использована для вычисления
интегралов от функций, заданных как аналитическим выражением, так и
таблично, тогда как формула (3.9) применима только в тех случаях, когда
подынтегральная функция задана аналитически.
Замечание 2. Рассмотренные формулы, используемые для приближенного
вычисления интегралов, называются квадратурными формулами. Нетрудно
заметить, что все рассмотренные выше формулы имеют следующую
структуру:
b
n
a
i0
 f xdx   Ai fi ,
где fi – значения подынтегральной функции в узловых точках xi , а Ai –
весовые коэффициенты.
49
Погрешность методов Ньютона-Котеса
Рассмотрим один из возможных способов оценки погрешности методов
численного интегрирования на примере метода средних прямоугольников.
Для этого запишем выражение для интеграла на отрезке xi1 , xi  , полученное
методом средних прямоугольников для постоянного шага интегрирования:
xi
 f xdx  hf xi  R i ,
xi 1
x  x 
где x i  i1 i 2 , а R i – погрешность интегрирования, откуда
Ri 
xi
 f xdx  hf xi .
(3.10)
xi 1
Для
оценки
погрешности
интегрирования
Ri
разложим
подынтегральную функцию f x в ряд Тейлора в окрестности средней точки
xi :
f x  f xi   x  xi  f xi  
x  x 2
i
2
f xi   ... .
(3.11)
В малой окрестности точки xi в разложении (3.11) можно ограничиться
небольшим количеством членов ряда. Поэтому, подставляя в (3.10) вместо
функции f x ее тейлоровское разложение (3.11), и, интегрируя его
почленно, можно вычислить интеграл с любой наперед заданной точностью
xi
2 xi
 f  x dx  hf  xi  
 x  xi 
2
xi1
f  xi  
xi1
3 xi
 x  xi 
23
xi1
f  xi   ... 


(*)
h 
 hf  x i   f  xi   ...
24
3
При интегрировании и подстановке пределов получаем, что все
интегралы от членов ряда (3.11), содержащих нечетные степени при x  xi ,
обращаются в ноль. Подставляя полученное соотношение в формулу (3.10),
получим:
h3
Ri  f xi ...
24
При малой величине шага интегрирования h основной вклад в
погрешность будет вносить первое слагаемое, называемое главным членом
погрешности вычисления интеграла на отрезке xi1 , xi , будем считать его
50
равным Ri . Главный член полной погрешности вычисления интеграла на
отрезке a,b определяется суммированием погрешностей на каждом отрезке
xi1 , xi :
R0

n
Ri

i1

h2

n
24 
i1
hf

xi
h2
b
24 a
 
f x dx .
(3.12)
К интегралу в формуле (3.12) мы перешли, «используя» метод средних
прямоугольников для функции f x.
Формула (3.12) представляет собой теоретическую
оценку
погрешности вычисления интеграла методом средних прямоугольников,
данная оценка является априорной, так как не требует знания значения
вычисляемого интеграла. Степень, в которую возводится шаг h , называется
порядком метода интегрирования. Метод средних прямоугольников имеет
второй порядок точности. Аналогично можно получить априорные оценки
погрешностей других рассмотренных ранее методов.
Оценим погрешность метода левых прямоугольников. Погрешность
интегрирования Ri на отрезке xi1 , xi  равняется разности между точным
значением интеграла и его приближенным значением hf xi1 :
xi
h2
xi 1
2
Ri   f xdx  hf xi1  
f xi1 .
Из полученного выражения видно, что основной член погрешности на
каждом частичном отрезке имеет второй порядок. Поскольку полное число
отрезков интегрирования равно n , то полная погрешность метода левых
прямоугольников может быть рассчитана следующим
образом:
hb
 
n
h n   


R0  Ri
hf xi1
2
2  f x dx .
i1
i1
a
Результат оценки погрешности формулы правых прямоугольников
будет таким же.
Погрешность формулы трапеций оценивается аналогичным образом.
Так как значение интеграла на отрезке xi1 , xi  вычисляется по формуле
h

 f x   f x , то погрешность может быть рассчитана по формуле:

2
i
i1

xi
h
xi1
2
Ri   f xdx 
fi1  fi   
h3
12
f xi .
Следовательно, полная погрешность формулы трапеций на отрезке
51
a,b может быть рассчитана
следующим
образом:
n
h2 n
h2 b
   


 
R0  Ri
hf xi
 f x dx

12
12
i1
i1
a
Далее приведены окончательные результаты оценки погрешностей:
1. Методы левых и правых прямоугольников
hb
R0   f xdx .
2a
2. Метод средних прямоугольников
R0 
3. Метод трапеций
h2 b
f xdx .
24 a

R0
4. Метод Симпсона

R0
h2
b
12 a
h4
f
 
x dx .
b

180 a
IV 
f
 
x dx .
Методы левых и правых прямоугольников являются методами первого
порядка точности. Методы средних прямоугольников и трапеций имеют
второй порядок точности, при этом метод трапеций обладает вдвое большей
по абсолютной величине погрешностью. Поэтому, если подынтегральная
функция задана аналитически, то предпочтительнее из методов второго
порядка применять метод средних прямоугольников вследствие его меньшей
погрешности. Метод Симпсона имеет четвертый порядок точности с очень
малым числовым коэффициентом. Формула Симпсона позволяет получить
очень высокую точность, если четвертая производная подынтегральной
функции не слишком велика. В противном случае, методы второго порядка
точности могут дать большую точность, чем метод Симпсона.
52
Вычисление интегралов с заданной точностью
Используя приведенные в разделе 3.3 оценки погрешности вычисления
интегралов, можно априори определить шаг интегрирования h , при котором
погрешность вычисленного результата гарантированно не превысит
некоторую заданную погрешность  . Однако на практике пользоваться
априорными оценками погрешности не всегда удобно. В таких случаях
контроль точности получаемого результата можно организовать следующим
образом. Пусть вычисления проводились с постоянным шагом h и I h –
вычисленное с шагом h приближенное значение интеграла I . Если затем
h 2 
с шагом h , то в качестве оценки
2
погрешности последнего вычисленного значения можно рассматривать
вычислить приближенное значение I
величину I
h 2 
I  I
h 2 
 I  h .
При необходимости вычислить результат с заданной точностью 
расчеты повторяют с последовательно уменьшающимся (обычно вдвое)
шагом h до тех пор, пока не выполнится условие I
h 2 
 I h   .
Можно применить указанное правило для контроля погрешности на
каждом частичном отрезке xi1 , xi , i  1, n . При этом длина очередного шага
hi  xi  xi1 , посредством последовательного уменьшения начальной длины
вдвое, устанавливается такой, чтобы выполнялось неравенство
h
h 
I 2  I h    i .
(3.13)
i
i
ba
Тогда, в худшем случае, ошибка вычисления значения интеграла на
всем отрезке интегрирования не будет превосходить сумму локальных
погрешностей
n

hi
 ,
ba
то есть не будет превосходить заданного уровня погрешности.
Способ вычисления интеграла с автоматическим выбором шага имеет
то преимущество, что он «приспосабливается» к особенностям
подынтегральной функции: в областях резкого изменения функции шаг
уменьшается, а там, где функция меняется слабо, – увеличивается. Такого
рода алгоритмы называются адаптивными, то есть приспосабливающимися.
Их использование позволяет сократить затраты вычислительных ресурсов
i1
53
без потери точности вычисления.
Одним из подходов к экономии вычислительных ресурсов ЭВМ при
необходимости сокращения шага интегрирования вдвое является сохранение
в памяти ЭВМ результатов промежуточных вычислений для исходного шага
и дополнение их результатами расчетов, связанных с введением на отрезках
интегрирования дополнительных точек, располагающихся в их середине.
54
Численное интегрирование с помощью программы wxMaxima
Рассмотрим пример численного интегрирования. Зададим функцию

f  x  sin x 2  0.2
 
Определим концы отрезка интегрирования 1; .
 2 
Требуется найти приближенное значение определенного интеграла
от функции f  x тремя рассмотренными методами. Погрешность
результата не должна превышать   0.001.
Для
сравнения
воспользуемся
встроенной
приближенного вычисления определенного интеграла:
функцией
Результат вычисления: 0.4965223140806456.
Формула левых прямоугольников.
Запишем правую часть формулы левыхпрямоугольников (3.5) как
ba
i.
функцию от числа отрезков n. Так как xi  a  ih  a 
n
Вычислим точность вычисления определенного интеграла по формуле
(3.13) в зависимости от количества отрезков n.
55
Требуемая точность была достигнута при n = 67. Приближенное
значение интеграла с заданной точностью
  0.001 по формуле левых
прямоугольников равно 0.4975295296819863.
Формула средних прямоугольников.
Запишем правую часть формулы средних прямоугольников (3.7)
ba
x

a

ih

a

i.
как функцию от числа отрезков n. Так как i
n
Точность вычисления определенного интеграла в зависимости от числа
отрезков n найдем по формуле (3.13).
56
При n  6 приближенное значение интеграла по формуле средних
прямоугольников
равно
0.4968543017618265
с
точностью
9.985166509519083*10^-4 .
Формула правых прямоугольников.
Запишем правую часть формулы правых прямоугольников (3.5)
ba
i.
как функцию от числа отрезков n. Так как xi  a  ih  a 
n
Определим точность вычисления интеграла по формуле (3.13):
57
При n  69 приближенное значение интеграла по формуле правых
прямоугольников
равно
0.4955340503706018
с
точностью
9.982708115104377*10^-4.
Формула трапеций.
Запишем правую часть формулы трапеций (3.6) как функцию
ba
x

a

ih

a

i.
от числа отрезков n. Так как i
n
Точность вычисления определим по формуле (3.13) в зависимости от
числа отрезков n.
58
При n  5 приближенное значение интеграла по формуле
трапеций равно 0.4955661821417044
с точностью 9.580511825193483*10^-4.
Формула Симпсона.
Запишем правую часть формулы парабол (3.9) как функцию
ba
x

a

ih

a

i.
от числа отрезков n. Так как i
n
Найдем точность вычисления по формуле (3.13).
59
При n  2 приближенное значение интеграла по формуле
парабол
равно
0.4965270391248789
с
точностью
4.725044233366837*10^-6.
ЗАДАНИЕ 2
b
Задача 1. Найти интеграл
 f (x)dx аналитически с помощью формулы Нью-
a
тона-Лейбница
Для данной функции f(x) = e^(2x)sin(3x) интеграл можно найти аналитически с
помощью формулы Ньютона-Лейбница:
∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a),
где F(x) - первообразная функции f(x).
Чтобы найти первообразную F(x), воспользуемся методом интегрирования по
частям, подставив u = sin(3x), dv = e^(2x)dx, и получим:
∫ e^(2x)sin(3x) dx = (-1/3)e^(2x)cos(3x) + (2/9)e^(2x)sin(3x) + C,
где C - произвольная константа интегрирования.
Теперь можем вычислить значение определенного интеграла на отрезке [0.4, 1.2]:
∫[0.4;1.2] e^(2x)sin(3x) dx = F(1.2) - F(0.4)
= [(-1/3)e^(21.2)cos(31.2) + (2/9)e^(21.2)sin(31.2)]
- [(-1/3)e^(20.4)cos(30.4) +
(2/9)e^(20.4)sin(30.4)]
60
≈ -0.181.
Таким образом, аналитическое решение данного интеграла на отрезке [0.4, 1.2]
равно примерно -0.181.
Задача 2. Найти неопределенный интеграл с помощью программы
wxMaxima.
Для нахождения неопределенного интеграла e 2x sin 3x на отрезке [0.4; 1.2]
можно воспользоваться программой wxMaxima.
Введите следующий код:
integrate(exp(2*x)*sin(3*x), x);
(3*%e^(2*x)*sin(3*x))/13 - (2*%e^(2*x)*cos(3*x))/13
float(subst(x=1.2, %)-(subst(x=0.4,%)));
Результат выполнения будет
0.04931991336632227
Таким образом, определенный интеграл функции e^(2x)*sin(3x) на отрезке [0.4, 1.2] равен
примерно 0.0493.
f(x)
1
2
3
4
1
tg 2x  1
cos 3x
(1 cos 3x)2
1
x x3  4
sin x
1  sin x
[a, b]
f(x)
[a, b]
[0.4; 0.8]
21
xarctg(2x)
[0,1; 0.3]
[0.8; 1.6]
22
ex sin 2x
[2; 2.4]
[0.18; 0.98]
23
ctg3x
(cos 3x)2
[1.2; 1.4]
[0.8; 1.6]
24
3
x 3  ln2 x
[1.2; 1.6]
61
5
arctg(1  x )
[0.1; 0.2]
25
arctg 2x 1
[0.6; 1.4]
6
x 2 lg(x  2)
[0; 0.4]
26
(1  x)sin x
[1,4; 1.8]
7
x2arctg(x / 3)
[0.8; 1.6]
27
cos x
1  cos x
[3.6;4]
8
e 2x sin 3x
[0.4; 1.2]
28
1
2x 2  ln 2x
[0.4; 1.4]
[0.8; 1.2]
29
(2x  3)cos x
[0.4; 0.6]
[1.2; 1.4]
30
1 x
2 x
[1.2; 1.6]
[1; 1.5]
31
x 3  ln2 (2x)
[1.2; 1.4]
[0.2; 1]
32
x2 lg(2  x)
[1.4; 1.6]
[0.4; 1.2]
33
3
x 3  ln 3x
[0.4; 1]
[0.2; 0.6]
34
sin 2x
(2  3cos2 x)2
[-1;0]
9
tg 2x
(sin 2x) 2
4
10
11
x 9  ln2 (4x)
(2  x)sin x
12 5x  x lg x
13
14
(2x  3)sin x
1  e x
2
1
15
(2x  5) cos x
[0.4; 1.2]
35
16
1
1  x  x2
[0; 4]
36
x(2  lg x)
[1.2; 1.4]
17
arctg(1  x )
[0.7; 0.9]
37
arctg 3x 1
[0.4; 0.6]
18
1 x
2 x
19
20
1  e x
1
sin4 x
x4 x 2  1
1  ex
[0.4; 0.6]
[0.4; 0.8]
38
[0.2; 0.6]
[1.4; 1.6]
39
1
5  2x  x2
[-2.2; -1.2]
[0.5;0.7]
40
(3x  5)cos x
[1, 1.4]
62
Задача 3. Вычислить определённый интеграл с помощью программы
wxMaxima.
Для вычисления определенного интеграла ∫[a,b]
e^(2x)sin(3x)dx с помощью программы wxMaxima, следует
выполнить следующие шаги:
Введите команду integrate(exp(2*x)*sin(3*x), x, 0.4, 1.2) в
окно ввода команд.
Нажмите Enter,
Результатом выполнения команды будет значение
определенного интеграла на заданном интервале:
0.14717267739138716
Таким образом, определенный интеграл ∫[0.4; 1.2]
e^(2x)sin(3x)dx ≈ 0.1472.
Задача 4. Вычислить определённый интеграл посредством встроенной
функции приближенного вычисления quadpack.
from scipy.integrate import quad
посредством встроенной
def integrand(x):
return np.exp(2*x)*np.sin(3*x)
result, error = quad(integrand, 0.4, 1.2)
print("Значение определенного интеграла:", result)
Значение определенного интеграла: 0.1471726773323859
Задача 5. Вычислить определённый интеграл
функции приближенного вычисления romberg.
import numpy as np
from scipy.integrate import romberg
def integrand(x):
return np.exp(2*x)*np.sin(3*x)
result = romberg(integrand, 0.4, 1.2)
print("Значение определенного интеграла:", result)
Значение определенного интеграла: 0.14717267733238297
63
Задача 6. Вычислить интеграл
 f (x)dx методом левых прямоугольников.
a
b
import numpy as np
def integrand(x):
return np.exp(2*x)*np.sin(3*x)
a = 0.4 # нижний предел интегрирования
b = 1.2 # верхний предел интегрирования
n = 100 # количество разбиений
dx = (b - a) / n # шаг сетки
result = 0 # инициализация результата
for i in range(n):
result += integrand(a + i*dx) * dx
print("Значение интеграла:", result)
Значение интеграла: 0.14358859065483433
Задача 7. Вычислить интеграл
 f (x)dx методом средних прямоугольников.
а
import numpy as np
def integrand(x):
return np.exp(2*x)*np.sin(3*x)
a = 0.4 # нижний предел интегрирования
b = 1.2 # верхний предел интегрирования
n = 100 # количество разбиений
dx = (b - a) / n # шаг сетки
result = 0 # инициализация результата
for i in range(n):
x1 = a + i*dx
x2 = a + (i+1)*dx
result += integrand((x1+x2)/2) * dx
print("Значение интеграла:", result)
Значение интеграла: 0.14717487289546777
b
Задача 8. Вычислить интеграл
 f (x)dx методом правых прямоугольников.
а
import numpy as np
def integrand(x):
return np.exp(2*x)*np.sin(3*x)
a = 0.4 # нижний предел интегрирования
b = 1.2 # верхний предел интегрирования
n = 100 # количество разбиений
dx = (b - a) / n # шаг сетки
result = 0 # инициализация результата
for i in range(1, n+1):
result += integrand(a + i*dx) * dx
print("Значение интеграла:", result)
Значение интеграла: 0.15076181319431824
64
b
Задача 9. Вычислить интеграл
 f (x)dx методом
трапеций.
а
import numpy as np
def integrand(x):
return np.exp(2*x)*np.sin(3*x)
a = 0.4 # нижний предел интегрирования
b = 1.2 # верхний предел интегрирования
n = 100 # количество разбиений
dx = (b - a) / n # шаг сетки
result = 0 # инициализация результата
for i in range(n):
x1 = a + i*dx
x2 = a + (i+1)*dx
result += (integrand(x1) + integrand(x2)) * dx / 2
print("Значение интеграла:", result)
Значение интеграла: 0.14887375069617526b
Задача 10. Вычислить интеграл
 f (x)dx методом
Симпсона.
a
import numpy as np
def integrand(x):
return np.exp(2*x)*np.sin(3*x)
a = 0.4 # нижний предел интегрирования
b = 1.2 # верхний предел интегрирования
n = 100 # количество разбиений (должно быть четным)
if n%2 != 0:
n += 1 # увеличиваем n, чтобы было четным
dx = (b - a) / n # шаг сетки
result = 0 # инициализация результата
for i in range(int(n/2)):
x1 = a + 2*i*dx
x2 = x1 + dx
x3 = x2 + dx
result += (integrand(x1) + 4*integrand(x2) + integrand(x3)) * dx / 3
print("Значение интеграла:", result)
Значение интеграла: 0.14717267733238303
В задачах 7-10 обеспечить точность вычислений   0.001.
65
Пример выполнения задания.
0
Зададим интеграл  (x 2  2x 1) sin(3x)dx .
1
Задача 1. Вычислим непосредственно с помощью формулы Ньютона0
  x 2  2x  1sin 3xdx
Лейбница определенный интеграл
1
Для вычисления интеграла применим метод интегрирования по частям:
u  x2  2x  1 du  (2x  2)dx
 
  x 2  2x  1sin 3xdx  
1
dv  sin 3xdx
v   cos3x 
1



3
0

0
1 20
1
 1
   x 2  2x  1 cos3x
      2x  2cos3xdx      x  1cos3xdx 
3
3 3 1
1  3  1
du  dx  1 2  1
 u  x 1
0
 0  1 sin 3xdx 
   

(x

1)

sin
3x




1
dv  cos3xdx v  sin 3x
3 33
 1 3 1

3

0
1 1
7
2
1 2
1  1
   1  cos3  

cos3  -0.18592648
    0     cos3x
3 3
3
3 
1
3 9
27 27
 
0





Задача 2. Найдем неопределенный интеграл с помощью программы
wxMaxima.
66
Задача 3. Вычислим определённый интеграл.
Задача 4. Вычислим определённый интеграл посредством встроенной функции приближенного вычисления quadpack.
В ячейке вывода массив результата вычисления содержит:
-0.1859264817333003– приближённое значение интеграла;
2.064198609078587*10^-15 – относительная погрешность вычислений;
21 – число интервалов разбиения;
0 – признак корректности вычислений (0 – без проблем).
67
Задача 5. Вычислим определённый интеграл посредством встроенной функции приближенного вычисления romberg(f(x), x, a, b);
68
Задача 6. Применим метод левых прямоугольников.
Задана точность вычислений
  0 . 0 0. Для определения количества
отрезков разбиения, обеспечивающих заданную точность, был организован
цикл.
Получили
n 14 ,
а
результат
вычисления
интеграла:
-
0.185607624168928.
69
Задача 7. Применим метод средних прямоугольников.
Точность 7.652390164653022*10^-5, результат вычисления: 0.1859519914907337.
Для обеспечения заданной точности интервал был разделен на 35 отрезков.
Для определения числа отрезков, соответствующих точности 0.001, необходимо создать цикл.
Результат вычисления: -0.1859519914907337.
Точность 7.652390164653022*10^-5.
70
Задача 8. Применим метод правых прямоугольников.
Для обеспечения заданной точности интервал был разделен на 70
отрезков. Для определения числа отрезков необходимо создать цикл.
Результат вычисления: -0.1859137266631504.
Точность 3.8264827583262*10^-5.
71
Задача 9. Применим метод трапеции.
Для обеспечения заданной точности интервал был разделен на 10
отрезков. Для определения числа отрезков необходимо создать цикл.
Результат вычисления: -0.1853015587248992.
Точность 6.246081200169395*10^-4.
72
Задача 10. Применим метод Симпсона.
Для обеспечения заданной точности интервал был разделен на 2
отрезка. Для определения числа отрезков необходимо создать цикл.
Результат вычисления: -0.1859123439526545.
Точность 2.219513808524957*10^-5.
73
3. Приближенное вычисление несобственных интегралов
К несобственным интегралам относятся интегралы, которые имеют хотя
бы один бесконечный предел интегрирования или подынтегральную
функцию, имеющую разрыв второго рода – обращающуюся в бесконечность
хотя бы в одной точке отрезка интегрирования.
Интегралы от разрывных функций
1. Если подынтегральная функция в некоторых внутренних точках ci
i  1, 2,..
a,b
отрезка интегрирования
имеет разрыв первого рода
(скачок), то интеграл следует вычислять для каждого участка непрерывности
отдельно, а результаты складывать. Например, в случае одной точки разрыва
первого рода типа скачка (рис. 6) x  c ( a  c  b ) имеем
b
c
b
 f xdx   f xdx   f xdx .
a
a
c
y
x
a
0
b
c
Рис. 6. Пример функции, имеющей разрыв первого рода в точке x  c .
Для вычисления каждого из интегралов в правой части полученного
равенства можно использовать любой из рассмотренных в данной главе
методов.
2. Если подынтегральная функция имеет разрыв второго рода
(бесконечный) в некоторой внутренней точке c отрезка интегрирования
a,b, тогда по определению полагают
b
b
 c

f
x
dx

lim

f
x
dx

f
x
dx







(4.1)



 0 

a
c

 2 0  a
1
1
2
На отрезках a,c  1  и c  2 ,b подынтегральная функция не имеет
особенностей (рис. 6) и соответствующие интегралы
c1
S1 
 f  xdx,
a
b
S2 
 f  x dx
c
2
74
могут быть вычислены с помощью любого из рассмотренных выше методов с

точностью до каждый.
4
y
y
x
0
c
a
b
x
0
a
c
б 
а 
Рис. 7. Подынтегральная функция обращается в бесконечность
в некоторой точке отрезка интегрирования:
а) с двух сторон от нее; б) с одной стороны от нее.
b
Для приближенного вычисления сходящегося несобственного интеграла с заданной точностью  выбирают положительные числа 1 и  2 столь
малыми, чтобы имело место неравенство
c2

c1

f  x  dx  
2
(4.2)
b
Тогда
 f (x)dx  S
1
 S2 с точностью до  .
a
Если точка разрыва подынтегральной функции является концевой для
отрезка интегрирования a,b, то методика вычисления интеграла очевидным
образом видоизменяется.
75
Интегралы с бесконечными переделами
Рассмотрим интеграл с бесконечной границей интегрирования, напри

мер
a f xdx . По определению a
A
lim  f  xdx
f  x dx  A
a
Один из универсальных способов вычисления подобных интегралов
заключается в их представлении в виде суммы двух интегралов:


A
 f xdx   f xdx   f xdx ,
a
a
A
где A – некоторое большое положительное число, рис. 8.
y
y  f x
x
0
a
A
Рис. 8. Иллюстрация вычисления интеграла
с бесконечной границей интегрирования.
Вычисление первого интеграла на конечном отрезке a, A не вызывает
затруднений. Он может быть вычислен с помощью любого из рассмотренных

выше методов с точностью до .
2

Выбор числа A производят таким образом, чтобы

 f  x dx  2 .
A
Замечание. В некоторых случаях при вычислении несобственных интегралов
подходящая замена переменной интегрирования позволяет вообще
избавиться от рассмотренных выше особенностей. Так, например, при
1
cos x
вычислении интеграла I  
0 x dx имеется особенность в точке x  0 , где
подынтегральная функция обращается в бесконечность. С помощью заменый
переменной x  t 2 ( dx  2tdt ) приходим к интегралу
1
I  2cos t 2dt ,
0
который не имеет особенностей и вычисляется с требуемой точностью с
76
применением любого из рассмотренных в данной главе методов.
ЗАДАНИЕ 3
Задача 1. Представить интеграл в виде суммы двух интегралов. Найти
пределы интегрирования, позволяющие вычислить интеграл с точностью до
  0.005 для нечетных вариантов, до   0.0001 для четных вариантов.
Для решения этой задачи воспользуемся методом разделения на части (методом пристального
взгляда), с помощью которого интеграл делится на две части:
∫5₁(𝑥/(𝑥² + 𝑥 + 1))𝑑𝑥 = ∫₅₀(𝑥/(𝑥² + 𝑥 + 1))𝑑𝑥 + ∫₅₁(𝑥/(𝑥² + 𝑥 + 1))𝑑𝑥
Заметим, что первый интеграл сходится, поэтому остается вычислить только второй интеграл.
Для начала найдем корни знаменателя уравнения x² + x + 1 = 0:
x₁,₂ = (-1 ± sqrt(1 - 4*(-1)))/2 = (-1 ± i*sqrt(3))/2.
Так как интеграл нечетный, то для достижения точности ε = 0.005 мы можем ограничить
пределы интегрирования на отрезке [1,5] и приблизительно оценить максимальное значение
функции под знаком интеграла в данном отрезке. Так как функция монотонно убывает на отрезке
[1,5], она достигает максимума при x=1, а значит можем оценить ее как 1/(1+1+1) = 1/3.
Тогда оценим необходимое количество интервалов N для вычисления второго интеграла:
N ≥ ((5-1)/h) = 4/h, где h = ε/M = 0.005/0.333 = 0.015.
N должно быть нечетным, поэтому округлим N до ближайшего нечетного числа и получим N =
267.
Теперь разделим отрезок [1,5] на N равных подотрезков и вычислим значения функции в узлах
разбиения. Затем применим формулу численного интегрирования средней точки для каждого
подотрезка и сложим полученные значения:
∫₅₁(𝑥/(𝑥² + 𝑥 + 1))𝑑𝑥 ≈ h * (f(x₀+1/2) + f(x₁+1/2) + ... + f(x_N-1+1/2)),
где xi = 1 + i*h, i = 0,1,...,N-1; x_i+1/2 = (xi + x(i+1))/2; h = (5-1)/N.
Полученное значение интеграла будет иметь точность до ε = 0.005.
Аналогично для четных вариантов, чтобы достичь точности ε = 0.0001, оценим максимальное
значение функции на отрезке [1,5] как 1/(1+5+1) = 1/7 и применим формулу численного
интегрирования трапеций с шагом h = ε/M = 0.0001/0.143 = 0.0006993.
N ≥ ((5-1)/h) = 5714.
Округлим N до ближайшего четного числа и получим N = 5714.
Задача 2. Вычислить несобственный интеграл приближенно.
Задача 3. Проверить результат вычислений с помощью встроенных функций
программы wxMaxima.
77
2
1

2
x dx
2 x
21
0

2

3
22
x3  3

3
0

4

1
1
5

23
dx
1
2
7

24

1
0
9
25


10
26
27

1
arctgx
dx
x2 (1  x)
x2  1
dx
1 x

28
5
1
dx
x2
 ex xdx x
1
4  x  x2
29
0

arctgx
x2
x dx
3 x

0
x  x 1
3

1
dx
1 x 
dx
x (1  x3)

x2 dx
x 1
5

1
dx
1  x3
1
2x 1
dx
4
x2
3
1
8
dx
1
arctgx

dx
arctgx
x5

dx
e3 x x3
0
6

8  x3
2
3  x2
dx
1 x

3
1
3
x
x

arctgx
dx
x(2  x)
1
1
0
dx
30

1
1 x
1  x3
dx
arctgx
dx
x3 x
78
1
11

1

12

x2  2
dx
3
x 1
31
x2
dx
x4  2  x3

32
x2  4
dx
2 x
14

33
arctgx
dx
x(1  x2 )
x2
0 4 x3 dx
16

1
1
17
0
34

18
1
1,5
19

1
e

dx
x
2x 2
dx
3
x 1

36
 x2 dxx  1
1
2 x
2
dx
4
37
4  x4
dx
dx
3 x(2  x)
38
x
1

arctg 2x

4 x
2
dx
xarctgx
dx
2  x3
1
0.5
39

4
dx
x(2  x)
0


2
x (2  x)
3
1
0
20
dx
1
35
10
x x  x 1
1.5
dx
4x 4
e x
1 x
dx
5

2


1
1
15

0
1

x3 dx
4 2
x 1
1
2 3

4
1
1
13

2
dx
3
2
x x 2

40
 x  2x x3 dx
1
79
Используем замену переменной: x = t / (1 - t), dx = dt / (1 - t)^2
Тогда границы интегрирования изменятся на [0, 1].
Подставляем новую переменную в функцию f(x):
f(t) = e^(-t^2 / (1 - t)^2) / (1 - t)^2
Применяем метод трапеций:
I = h * (f(a)/2 + Σ(f(xi)) + f(b)/2)
где h = (b - a) / n, xi = a + i * h, i = 1, 2, ..., n-1.
Выбираем количество интервалов n таким образом, чтобы оценка погрешности была меньше
заданной точности:
E <= 0.001, где E - оценка погрешности.
Используем встроенную функцию trapz программы wxMaxima для проверки результата.
Примеры выполнения задания.

Пример 1.
 e x dx
2
0

Задача 1. Подберем число A так, чтобы интеграл
 e x dx
2
можно было вы-
0
числить приближенно с точностью до   0.0001.
Из неравенства x2  2Ax  A2  (x  A)2  0 следует
x2  2Ax  A2 .
Тогда

e
A
2 Ax
 A2 e2 A e  A
e
e 

.
dx  e2 Ax A dx  eA e2 Axdx  eA 


2A
2A
2A A
A
A

x
2

2
Легко проверить, что
2
e3
2
23
2
2
2
 0.00005 

.
2
80
Очевидно, что достаточно взять A  3 .

e
0

3
x
2
dx   e
0
x
2
dx 
 e x dx .
2
3
Задача 2. Теперь вычислим с помощью метода трапеций (или другого выше
3
рассмотренного) определенный интеграл
0 e x
2
dx . Верхний предел оценен
выше.
81
Результат вычисления: 0.8861936233658585.
Отрезок интегрирования был разбит на 3 части.
3
Задача 3. Вычислим интеграл
2
x
e
 dx с помощью встроенной функции
0
romberg.

Оценим остаток несобственного интеграла
3 ex
2
dx с помощью встроенного
пакета quadpack.
82
Как мы видим, результат 1.957719323677975*10^-5, что меньше 0.00005.
0.5
Пример 2.

0
dx
x(1  x)
Задача 1. Найдем такое положительное
0.5

dx
0 x(1  x) был вычислен с точностью до  .
 , чтобы интеграл
число
Точкой бесконечного разрыва подынтегральной функции является
концевая точка x  0. Найдем искомое значение  , для которого выполняется неравенство (4.2) для левого конца:

 f  xdx


0
1
Так как
x(1  x)


0

.
(4.3)
2
2
при x 0;0.5, то
x

dx
x(1  x)
 2
0

dx
 2  2 x 0  2 2  .
x
Тогда для выполнения неравенства (4.3) необходимо, чтобы  
2
32
.
Возьмём   0.005, значит,   0.00000078125 .
0.5

0
dx
x1 x
0.00000078125


0
dx
x1 x
0.5

dx

0.00000078125
x1 x 
Задача 2. Вычислим с помощью метода средних прямоугольников (или дру0.5
гого выше рассмотренного) определенный интеграл

0.00000078125
dx
.
x1 x
83
Отрезок интегрирования был разделен на 621 часть. Результат вычисления 1.558566890295938.
Задача 3. Проверим полученный результат. Проинтегрировать несобственный интеграл с помощью встроенной функции romberg невозможно. Применим встроенный пакет вычислений quadpack.
84
В ячейке вывода массив результата вычисления содержит:
1.570796326794895– приближённое значение интеграла;
5.454703355667334*10^-11– относительная погрешность вычислений;
315 – число интервалов разбиения;
0 – признак корректности вычислений (0 – без проблем).
85
Список литературы
1.
Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления : учебник для вузов : в 3 томах / Г. М. Фихтенгольц. — 15-е изд., стер.
— Санкт-Петербург : Лань, [б. г.]. — Том 1 — 2021. — 608 с. — ISBN 978-58114-7061-7. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/154399. — Режим доступа: для авториз. пользователей.
2.
Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления : учебник для вузов : в 3 томах / Г. М. Фихтенгольц. — 15-е изд., стер.
— Санкт-Петербург : Лань, [б. г.]. — Том 2 : Курс дифференциального и интегрального исчисления — 2021. — 800 с. — ISBN 978-5-8114-7377-9. —
Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL:
https://e.lanbook.com/book/159505. — Режим доступа: для авториз. пользователей.
3.
Фихтенгольц, Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления : учебник для вузов : в 3 томах / Г. М. Фихтенгольц. — 11-е изд., стер.
— Санкт-Петербург : Лань, 2020 — Том 3 — 2020. — 656 с. — ISBN 978-58114-6652-8. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL: https://e.lanbook.com/book/149365. — Режим доступа: для авториз. пользователей.
4.
Берман, Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа / Г. Н.
Берман. — 11-е изд., стер. — Санкт-Петербург : Лань, 2023. — 492 с. — ISBN
978-5-507-46033-5. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная
система. — URL: https://e.lanbook.com/book/295943 (дата обращения:
07.03.2023). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
5.
Демидович, Б. П. Основы вычислительной математики : учебное пособие / Б. П. Демидович, И. А. Марон. — 8-е изд., стер. — Санкт-Петербург :
Лань, 2022. — 672 с. — ISBN 978-5-8114-0695-1. — Текст : электронный //
Лань
:
электронно-библиотечная
система.
—
URL:
https://e.lanbook.com/book/210674 (дата обращения: 07.03.2023). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
6.
Демидович, Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому
анализу : учебное пособие для вузов / Б. П. Демидович. — 24-е изд., стер. —
Санкт-Петербург : Лань, 2022. — 624 с. — ISBN 978-5-8114-9078-3. —
Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система. — URL:
https://e.lanbook.com/book/184105 (дата обращения: 07.03.2023). — Режим доступа: для авториз. пользователей.
7.
Марон, И. А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах. Функции одной переменной : учебное пособие / И. А. Марон.
— 3-е изд. — Санкт-Петербург : Лань, 2022. — 400 с. — ISBN 978-5-81140849-8. — Текст : электронный // Лань : электронно-библиотечная система.
— URL: https://e.lanbook.com/book/210134 (дата обращения: 07.03.2023). —
Режим доступа: для авториз. пользователей.
86