Выстраивание собственного понимания школьного курса

Выстраивание собственного понимания школьного курса математики.
Изучение любого школьного предмета состоит из преодоления ряда противоречий.
Среди них выделим три основные группы:
- противоречия коммуникативного характера;
- противоречия, таящиеся внутри познавательного процесса для всех познающих
вместе и для каждого субъекта в отдельности;
- противоречия, пронизывающие изучаемую науку.
Противоречия третьей группы связаны главным образом с историей становления науки.
Многие из них были решены, хотя и сегодня ребят увлекает когда-то заключенная в них
тайна, путь, которым прошли ученые.
Противоречия коммуникативного характера — часто результат неадекватного выбора
способов и приемов познания, предложенных учителем классу. Поэтому структура
школьного занятия, с одной стороны, создает противоречия коммуникативного характера,
а с другой — способствует их исчезновению. В этом плане наиболее убедительно
выглядит сравнение традиционного урока с мастерской — основой педагогической
технологии Нового образования
В традиционном уроке уже в процессе его планирования заложено стремление учителя к
нивелированию разного рода противоречий, так как их наличие не соответствует логике
урока, педагогической философии учителя, избравшего именно такую форму
познавательного процесса для своих учеников. Но именно противоречия, как
запланированные мастером, так и возникающие спонтанно в поисковом поле, созданном
личностями участников мастерской, временем и самим бытием, являются движущей
силой мастерской, ее тайной, магией, вовлекающей всех ее участников в организацию
собственной деятельности и деятельности своей группы.
Противоречия истинности и ложности; веры говорящего в ясность своих слов и
непонимания обращенного к нему взгляда молчащего; открытости одного участника
диалога и закрытости другого; наполненности смыслами текста и неготовностью читателя
к их восприятию; противоречия интересов, целей, глубины знания субъектов,
участвующих в совместном процессе познания.
Возникновение противоречий немыслимо без присутствия новизны, тайны, чего-то
неизведанного; невозможно без наличия субъекта познания, проектирующего и
организующего свою деятельность. Питательной средой для возникновения противоречий
является знание о своем незнании и желание сделать незнание - знанием, выстроить
собственное понимание в содружестве с такими же познающими. Когда присутствие
знающих не довлеет над поиском, ибо они умеют молчать и лишь
изредка их слово оттеняет динамику поиска, делая заметными для всех те крупицы
истины, которые робко, интуитивно были обнаружены кем-то из участников мастерской,
но не нашли у него логического подтверждения.
Для проявления противоречия необходимо некоторое событие, включающее в действие
субъектов, через сущность которых оно проявляется. Событие позволяет не только
представить себя, но и завязать отношения с Другим на новом, чем это было прежде,
уровне, причем его эмоциональная окраска может быть различной.
Сами по себе противоречия тревожат, настоятельно требуют к себе внимания, не
оставляют даже тогда, когда ритм мастерской вовлекает ее участников в выбор другого
задания. Большинство противоречий все же находит свое решение в процессе активной
жизни мастерской, а остальные — приживаются в сознании ее участников и ждут своего
времени.
Событие, играющее заметную роль в структуре познавательного процесса, на уроке
выстраивает учитель. На мастерской, в силу заложенных в ней принципов, события
случаются и развиваются чаще по инициативе самих школьников. Структура мастерской
во многом решает коммуникативные противоречия познавательного процесса, связанные
с выбором системы отношений учителя и ученика, учеников друг с другом. В то же время
она обнажает противоречия как самой науки, так и процесса познания. Именно они становятся стержнем, вокруг которого развивается все действие на мастерской.
Мастерская «Знание о незнании»
Математические понятия: их происхождение и пути познания
...Смысл всякого знания состоит в устанавливаемом им отношении между
предметом и содержанием.
С.Л.Франк
• Мастер. Процесс познания начинается с осмысления того, что мы чего-то
еще не знаем и не понимаем. Всмотритесь в слово, каким названа наука, к
изучению которой мы сегодня приступаем — «стереометрия».
Задание 1. Работая в группе, проявите смысл, значение слова
«стереометрия», смысл и значение науки - стереометрия.
Выступления групп.
• Мастер. Круг интересов любой науки сосредоточен на некотором
множестве объектов, их свойств, закономерностей, которым они подчинены,
теории, выстроенной в результате поисков, наблюдений, выдвижения гипотез
и их проверки: доказательства или опровержения.
Задание 2. Выделите возможный круг объектов, входящих в интересы науки
стереометрии, и круг задач, которые она призвана решать.
Задание 3. Прочтите во введении в учебник геометрии пункт «О
стереометрии» и внесите коррективы в свои утверждения и выводы.
Мастер : каждой группе выбрать одно из записанных на доске противоречий
и построить свое выступление в его контексте.
ПРОТИВОРЕЧИЯ
1. Знание и незнание: их взаимодействие, взаимное проникновение и
влияние друг на друга.
2. Новый круг объектов, новые задачи и привычная, выработанная
годами система представлений.
Выступления групп.
• Мастер: предлагаю группам изучить следующий текст.
В эпоху Евклида математические объекты воспринимались как
идеализированные, более точные и совершенные образцы реальных вещей.
Платон считал, что они априорны, неизменны, вечны и существуют в
некотором абсолютном, независимом, сверхчувственном мире идей.
Аристотель не соглашался с Платоном и утверждал, что математические
понятия являются лишь эмпирическими абстракциями от реальных вещей и
поэтому, в определенном смысле, уже заранее существуют в вещах. Он
считал, что простейшие первичные истины, характеризующие эти понятия
(то есть аксиомы), могут непосредственно усматриваться и поэтому
являются априорными. Относительно всего остального научного знания
философ утверждал, что оно должно выводиться дедуктивным путем из первичных посылок.
Рене Декарт считал, что всеобщий и необходимый характер
математического знания вытекает из природы самого ума. Декарт полагал,
что существуют врожденные, вполне достоверные, интуитивно постигаемые
идеи, из которых дедуктивным путем может быть выведено все
математическое знание.
Задание 4. Прокомментируйте высказывания математиков, философов.
Определите свою позицию по проблеме возникновения математических
понятий, в частности таких геометрических понятий, как точка, прямая и
плоскость.
Мастер: Для представления итогов своих рассуждений группам выбрать
одно из записанных на доске противоречий и выстраить свою речь в его
контексте.
ПРОТИВОРЕЧИЯ
1. «Другие» и мое знание: «Другие» помогают выстраивать мое знание,
но могут и тормозить процесс его становления.
2. Форма выражения мыслей «Другого» не совпадает с моим
собственным стилем мышления; требуется время на осмысление,
принятие или аргументированный отказ от принятия позиции
«Другого».
Выступления групп.
• Мастер цитирует строки из книги В.В.Мадера «Введение в методологию
математики»:
«...с одной стороны, определения точек и прямых сводятся к описанию их
роли в геометрии; с другой -при построении геометрии мы должны уже
заранее каким-то образом обладать понятиями точки и пря мой: нельзя же
описывать то — не знаю что».
Задание 5. Выполните рисунки, иллюстрирующие различные случаи
расположения двух плоскостей. Дайте названия и определения
изображенным фигурам.
Формулируются определения параллельных и пересекающихся плоскостей.
Ребята задают вопросы, приходят к необходимости определиться с понятием
плоскости, «придумывают» определение плоскости, погружаясь тем самым в
процесс творения геометрических объектов.
• Мастер прерывает исследование экскурсом в историю теории познания.
Джон Локк категорически отвергал учение Декарта о врожденных идеях и
источником всех идей объявил опыт. Согласно теории Локка сначала
складываются эмпирические представления, которые затем перерабатываются рассудком, в результате чего и возникают понятия. По Локку,
процесс познания идет от чувственного, эмпирического, недостаточно
ясного — к умозрительному, достоверному, определенному. Каждое понятие,
по мнению философа, образуется в результате эмпирического рассмотрения
«одинаковых» в некотором смысле предметов путем выделения «общего».
Но подбор «одинаковых» предметов возможен только при условии, что
заранее известен критерий одинаковости, т.е. известно то понятие, которое и
позволяет отождествлять отобранные предметы. Поэтому эмпирическая
теория не может обходиться без некоторого пред пони мания, т.е. без
априорного знания. Смыслообразующая деятельность рассудка в концепции
Локка игнорируется, поэтому возникает обманчивое представление, что опыт
дает уже готовое знание в элементарной, исходной форме.
Лейбниц утверждал, что источником знания может быть только разум; что
душа человека от рождения уже содержит в себе начала различных понятий и
положений, которые затем пробуждаются при столкновении с внешним
миром. По Лейбницу, врожденными являются не сами идеи, а их зачатки,
которые заключены в разуме «подобно прожилкам камня в глыбе мрамора».
К положению Локка «нет ничего в уме, чего бы не было в чувстве», Лейбниц
добавил: «кроме интеллекта».
Самое важное, существенное в концепции рационалистов заключалось в том,
что математические понятия рассматривались ими как порождение человеческого интеллекта; предположение же о существовании врожденных идей
(или их зачатков) понадобилось только для того, чтобы объяснить источник
возникновения понятий. Но именно это предположение было совершенно
фантастическим и ничем не обоснованным.
Задание 6. Сопоставьте взгляды Локка и Лейбница на происхождение и
возникновение понятий и сравните их с взглядами Платона, Аристотеля и
Декарта.
Выступления групп.
• Мастер завершает экскурс в историю теории познания, знакомя учеников с
позицией И.Канта.
По Канту, познание имеет два источника: «эмпирический» и «априорный».
Философ считал, что абстрактные понятия формируются в результате
конструктивной деятельности разума, основанной на априорных формах
«чистого созерцания» и на априорной интуиции пространства и времени. Можно предполагать, что интуиция
времени может быть почерпнута человеком «из самого себя», является
врожденной и не зависит от всякого опыта. По-видимому, аналогичным
образом человек «черпает из себя» и априорную интуицию пространства.
Задание 7. Опираясь на собственный опыт изучения планиметрии и свою
геометрическую интуицию, придумайте аксиомы, которые позволят
«заселить пространство» геометрическими объектами (фигурами), в
частности точками, отрезками и плоскостями.
• Мастер. Выполняя это задание, прислушайтесь к высказываниям
А.Пуанкаре:
«Попытка сведения математики к логике равносильна сведению
бесконечного к конечному, а это — затея совершенно безнадежная».
«Новые результаты в математике нельзя получить только при помощи логики
— нужна еще и интуиция».
«Понимание доказательств невозможно без интуиции».
Мастер: Группам предлагается выстраить свои выступления, анализируя
записанное на доске ПРОТИВОРЕЧИЕ
«Я» и знания: «Я» - творец знаний; знания выстраивают мое «Я»;
знания, превращаясь в незнание, тормозят развитие моего «Я».
Задание 8. Прочтите и обсудите аксиомы стереометрии, сформулированные
авторами учебника.
Выступления групп.
• Мастер. А теперь напишите о своем отношении к проблеме познания в
науке, в частности в математике.
(На эту работу отводится 5-10 минут.)
Приведем текст, написанный учеником X класса.
«Но плоскость существует только в том случае, если есть три точки. Фраза [взятая из
учебника геометрии] сама по себе непонятная и потому привлекает. Сразу возмущает ее
общий смысл. Как же так? «Королева» плоскость оказывается в зависимости от какой-то
точки?! Ведь точка — ее мельчайшая часть, составляющая и на первый взгляд не может
ставить под вопрос все существование плоскости. Казалось бы, даже человек не может
зависеть от одной клетки, из которых он весь состоит. Но это впечатление обманчивое.
Мы же говорили не об уже существующей плоскости, а об ее создании! Для нее главная
характеристика не длина, не ширина и не толщина. Плоскость определяется своим
положением в пространстве относительно других плоскостей. Но если у нас будут только
две точки или их вообще не будет, разве сможем мы говорить об этом, сможем ли мы
представить ее, единственную? Нет, для этого требуются по крайней мере три точки, а
значит, именно они являются основополагающими и определяющими, они обеспечивают
нам представление о плоскости».
А вот что написал тот же ученик через три дня.
«Плоскостями называют фигуры, на которых выполняются законы планиметрии и для
которых верны аксиомы стереометрии.
Не привыкнуть! Как это: плоскость - фигура?! Что же происходит! То, что было для нас
всем, величайшим «существом» геометрии целых два (а то и три) года, то, что никто не
осмелился бы определить или классифицировать, вмиг рушится. Плоскость — самое
главное и общее понятие геометрии, считал я, но жестоко ошибался. Теперь она стала
одним из наименьших понятий стереометрии, «ее прислугой». Падение «титана» не так
уж и легко переосмыслить. Долго еще я не смогу привыкнуть к этому...
А в голову уже лезут другие мысли: а не могла ли прямая — аналог плоскости в
планиметрии раньше тоже быть титаном, иметь собственную геометрию? И уж боюсь, не
падет ли впоследствии пространство так же низко, как теперь пала плоскость?»
Отметим, что чаще всего название мастерской отражает суть противоречий, вынесенных
в ней для детального рассмотрения, при этом многие из них носят глобальный характер.
Порой же ребята лишь прикасаются к смыслу противоречий, не производя их
обстоятельных исследований. Серьезная разноплановая работа с философской и психологической составляющими заявленных противоречий требует многократного обращения к
ним. Поэтому мастерские с одним и тем же названием и набором противоречии могут
быть выстроены на теоретическом материале, изучаемом в разных классах.
Школьники вдруг осознают, что изучавшиеся ими ранее объекты,
заполняющие плоскость, составляют лишь часть всех объектов
пространства, да и сама плоскость теперь исследуется как один из
них.
Литература:
Окунев А. Л. «Как учить не уча». - СПб.: Питер-Пресс, 1996;
Окунев АЛ. «Урок? Мастерская? Или...» — М.: Просвещение, 1998;
Окунев А.А. «Речевое взаимодействие учителя и ученика в структуре Нового
образования». — СПб.: Скифия, 2006).