Загрузил temur_182002

TChMK

реклама
Задача 1.
Условие.
Пользуясь свойствами функции Эйлера, вычислить 𝜙(10800).
Решение.
Число 10800 = 24 ∗ 33 ∗ 52 . Двойка, тройка, пятёрка - простые числа,
значит, пользуясь свойством функции Эйлера:
Если 𝑝 - простое, 𝑎 - натуральное числа, то 𝜙(𝑝𝑎 ) = 𝑝𝑎−1 (𝑝 − 1).
Данное свойство подходит под наше условие, значит
𝜙(10800) = 𝜙(24 ) ∗ 𝜙(33 ) ∗ 𝜙(52 ) = (23 ∗ 1) ∗ (32 ∗ 2) ∗ (51 ∗ 4) = 2880
Ответ: 𝜙(10800) = 2880
Задача 2.
Условие.
Выяснить, верно ли сравнение: 32 = 5 (𝑚𝑜𝑑 7)
Решение.
Если 2 целых числа 𝑎 и 𝑏 имеют одинаковый остаток от деления от m, то они
называются сравнимыми по 𝑚𝑜𝑑 𝑚 и пишут 𝑎 = 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑚).
В нашем случае: 𝑎 = 32, 𝑏 = 5, 𝑚 = 7.
Воспользуемся свойством сравнений: 𝑎 = 𝑏(𝑚𝑜𝑑 𝑚) ↔ 𝑏 = 𝑎(𝑚𝑜𝑑 𝑚):
5 = 32 (𝑚𝑜𝑑 7)
7
5−32
=
7
−27
– не верно, следовательно, сравнение 32 = 5 (𝑚𝑜𝑑 7) неверно.
Ответ: Сравнение неверно.
Задача 3.
Условие.
Вычислить обратный элемент, если он существует: 77−1 𝑚𝑜𝑑 101.
Решение.
Чтобы найти 77−1 𝑚𝑜𝑑 101 будем использовать расширенный алгоритм
Евклида:
101 = 77 ∗ 1 + 24
77 = 7 ∗ 11
Обратный ход:
1 = 22 − 3 ∗ 7 = 22 − 7 ∗ (25 − 22) = 22 − 7 ∗ 25 + 7 ∗ 22
= −7 ∗ 25 + 8 ∗ 25
𝑥 = 8,
𝑦 = −7
Проверим полученный ответ:
22 ∗ 8 = 176
176 𝑚𝑜𝑑 25 = 1
Решение верно.
Ответ: 22−1 𝑚𝑜𝑑 25 = 8.
Скачать