Загрузил Лилия Петрищева

диф

реклама
ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ
Учебное пособие
Краснодар
2005
ФГОУ ВПО «КУБАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
КАФЕДРА ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
В.Д. ГУНЬКО, Л.Ю. СУХОВЕЕВА, В.М. СМОЛЕНЦЕВ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
ПРИМЕРЫ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ
Учебное пособие
Краснодар
2005
УДК 517.9
ББК 22.161.
В.Д. Г н о, Л.Ю. С о ее а, В.М. С о ен е . Ди ерен иа н е ра нени . При ер и ипо е адани : Учебное пособие/К бГАУ. – Краснодар, 2005. – 105с.
Пособие содер и и о ение еоре ичес и с едени по осно н
ра де а
рса об но енн ди ерен иа н
ра нени
о носи е но небо
о об е е. И о ение а ериа а сопро о дае с
ре ение ипо
при еро . И е с а е адани ипо
расчео д са ос о е но о ре ени , предс а енн е 30 ариан а .
Учебное пособие сос а ено соо е с ии с ос дарс енн
обра о а е н
с андар о
с е о про ессиона но о обра о ани ,
ер денно о о и е о РФ по
с е
обра о ани , Мос а, 2000, и о е б
испо о ано с ден а и ин енерн
ае о ни ерси е а.
Рецензент:
А.Ф. Бач рс а , . .- . н., до ен а едр ди ерен иа н
ра нени К бГУ,
В.В.
ч о а, а . а едро
а е а и и и ин ор а и и
КВАУ , . .- . н., до ен .
ISBN 5-94672-139-9
© В.Д. Г н о, Л.Ю. С
о ее а, В.М. С о ен е
© К банс и ос дарс енн
а рарн
ни ерси е (К бГАУ), 2005
Оглавление
Предисловие………………………………………………………...
§ 1.
Общие понятия и определения……………………......
§ 2.
Простейшие типы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка
§ 3.
§ 4.
4
5
2.1. Дифференциальные уравнения с разделенными и
разделяющимися переменными……………………...
13
2.2. Однородные дифференциальные уравнения первого
порядка…………………………………………..........
22
2.3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Я. Бернулли……………………..
29
2.4. Уравнения в полных дифференциалах……………...
44
Дифференциальные уравнения высших порядков,
допускающие понижение порядка
( n)
3.1. Уравнения вида y = f ( x ) …………………………....
51
3.2. Уравнения, не содержащие искомой функции…......
58
3.3. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной………………………………………………....
66
Линейные дифференциальные уравнения порядка n
4.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения порядка n с постоянными коэффициентами.......
73
4.2. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения порядка n с постоянными коэффициентами......
83
Литература…………………………………………………………………..
105
-3-
Предисловие
Нас о ее чебно- е одичес ое пособие пос
ено не оор
осно н
ра де а
рса об но енн
ди ерен иа н
ра нени . Особое ни ание де ено е ода ре ени
ра ичн
ипо об но енн ди ерен иа н
ра нени .
Те с пособи сопро о дае с подробн
ре ение ипо
при еро и и
с ра и н и рис н а и, ч о по о е бо ее
бо о и на дно осприни а и а ае
а ериа .
Це пособи – по оч с ден а
рабо е с о и
о ре ени об но енн
ди ерен ипра ичес и на
а н
ра нени , опис а и
о
ионн е про есс
ра ичн об ас
ес ес о нани . При о предпо а ае с ,
ч о необ оди е с едени по ди ерен иа но
и ин ера но
исчис ени чи а е
и ес н . И о ение а ериа а еде с на дос пно , по о о нос и с ро о
е.
Кро е о о, до ное ни ание де ено подбор адани
ипо
расче о д са ос о е но о ре ени пред а ае30 ариан а и содер а и 360 адач.
Пособие сос ои и ре пара ра о , с содер ание оор чи а е
о е о на о и с по о а ени .
Ма ериа пособи рассчи ан на с ден о ин енерн
а
е о ,а а е о е б
по е н
д
се др и
а е ори с ден о , и ча
и
о и и ино об е е рс
об но енн ди ерен иа н
ра нени .
А ор
ра а
б а одарнос
ре ен ен а до ен
а едр ди ерен иа н
ра нени К бГУ Бач рс о А. Ф.
и а ед
е а едро
а е а и и и ин ор а и и КВАУ ,
до ен
ч о о В. В. а по е н е а ечани и со е , способс о а ие
ч ени нас о е о и дани .
А ор
-4-
§1. Общие понятия и определения
Определение 1. Дифференциальным уравнением на
ае с
ра нение, с
а
ее е д собо не а иси е пере енн е, неи ес н
н и
и пере енн
и ее прои одн е (и и ди ерен иа ).
Ес и неи ес на
н и а иси о о о одно пере енно , о ди ерен иа ное ра нение на
ае с обыкновенным. Ес и е неи ес на
н и а иси о нес о и не а иси
пере енн , о ди ерен иа ное ра нение на
ае с уравнением в частных производных.
Определение 2. Пор д о ди ерен иа но о ра нени наае с наи с и пор до прои одно (и и ди ерениа а) неи ес но
н ии, од е
ра нение.
Примеры.
x
= y 2 – об
y
1) 3 x 3 y
но енное ди
ерен иа ное ра -
нение пер о о пор д а, y = y ( x ) – неи ес на
d 2y
2)
dx 2
xy
нение
dy
= 0 – об
dx
но енное ди
(
)
ид об
н
и ;
ерен иа ное ра -
нение ре е о пор д а, y = y ( x ) – неи ес на
4) F x, y, y ,..., y ( n ) = 0 – об и
и ;
ерен иа ное ра -
оро о пор д а, y = y ( x ) – неи ес на
8 y = 4 x 2 1 – об
3) y
но енное ди
н
н
но енно о ди
и ;
е-
рен иа но о ра нени n о пор д а, де F и ес на
н и с ои ар ен о , аданна
не о оро
и сиро анно об ас и, x не а иси а пере енна , y = y ( x ) –
неи ес на
н и ар
одн е неи ес но
ен а x ; y , y , y ,..., y ( n ) прои -
н ии;
-5-
5) x
z
dx
y
z
= 0 – ди
dy
прои одн
н
час н
пер о о пор д а; z = z ( x; y ) – неи ес на
и ;
6) u t = 9 u xx – ди
и одн
н
ерен иа ное ра нение
ерен иа ное ра нение
час н
про-
оро о пор д а; u = u ( t ; x ) – неи ес на
и .
Замечание: В ди ерен иа ное ра нение n о пор д а
об а е но до на оди прои одна (и и ди ерен иа )
n о пор д а неи ес но
н ии, а не а иси е пере енн е, са а неи ес на
н и и ее прои одн е (и и ди ерен иа ) пор д а, ни е, че n , о
и не оди .
Определение 3 Решением (или интегралом) дифференциальае с а а ди ерен ир е а
н ного уравнения на
и , о ора , б д чи подс а ена ди ерен иа ное ра нение, обра ае е о
о дес о, . е. ра енс о, ерное при
се доп с и
начени пере енн .
Ре и , и и проин е риро а ди ерен иа ное ра нение – начи , на и се е о ре ени . Гра и с о о ре ени ди ерен иа но о ра нени на
ае с интегральной
кривой.
Примеры.
1) н и y = sin x ес
иа но о ра нени
ре ение об
но енно о ди
оро о пор д а: y = y .
-6-
ерен-
Де с и е но, пос е подс ано и
ра нение, по
2)
н
ди
чае
н
ии y = sin x
о дес о: sin x
и y = 3x не
данное
sin x .
е с ре ение об
но енно о
ерен иа но о ра нени пер о о пор д а
dy
= y 6.
dx
Де с и е но, пос е подс ано и ее данное ди ерен иа ное ра нение по чи ра енс о: 3 = 3x 6 , о орое не
е с о дес о , . . оно ерно не при се доп с и
начени пере енно x , а и при x = 1.
За е и , ч о ин е риро ание ди ерен иа но о ра нени
об е с чае при оди
бес онечно
но ес
ре ени , о ича
и с др о др а пос о нн и е ичина и. Ле о до ада с , напри ер, ч о ре ение ди ерене с
иа но о ра нени пер о о пор д а y = cos x
н
и y = sin x , а а
и ооб е
с о нна .
об
о он ре
ни е н
Ди
чае апис
н
е
н
ии y = sin x 1, y = sin x
2,
ии ида y = sin x c , де c – прои о на по-
ре ение ди ерен иа но о ра нени приобрен
с с , е о надо подчини не о ор
допо с о и .
ерен иа ное ра нение пор д а n об е с ае с
иде
(
)
F x; y; y ; y ; ..., y ( n ) = 0,
(1.1.)
и и
(
y ( n ) = f x; y; y ; ..., y ( n
ес и е о о но ра ре и
1)
)
(1.2.)
о носи е но с ар е прои одно .
-7-
Определение 4. Начальной задачей и и задачей Коши д об но енно о ди ерен иа но о ра нени (1.2.) пор д а n наае с адача о с ани ре ени
о о ра нени , до еначальным условиям:
ор
е о а на ае
y ( x0 ) = y0,
y ( x0 ) = y0 ,
y ( x0 ) = y0,
(1.3.)
... ... ... ...
y(n
1)
(x ) = y (
0
n 1)
0
.
В час нос и, д ди ерен иа но о ра нени пер о о
о с ании е о
пор д а y = f ( x; y ) адача Ко и сос ои
ре ени , о орое при x = x 0 прини ае
ение,
до е ор
начение y0 , . е. ре-
ее нача но
y ( x0 ) = y0 .
с о и
Гео е ричес и о начи , ч о реб е с на и ин е ра н
ри
, про од
чере данн
оч ( x0 ; y0 ) оордина но п ос ос и XOY .
Определение 5. Общим решением ди ерен иа но о ра нени пор д а n на ае с
н и y = ( x, c1 , c2 , ..., cn ) , а ис а о n прои о н
р
а
с о и
1) Ф н
и
пос о нн
:
( x, c , c , ..., c )
1
2
е с ре ение ди
2) Ка о
б ни б
( x, c
0
1
а
н и ар
и нача н е с о и
ен а x
(1.3.) , с
c1 = c10 , c 2 = c 20 , ..., c n = c n0
, c 20 , ..., c n0 )
иа но о ра нени
о и
n
-
ерен иа но о ра нени .
начени пос о нн
н и
c1 , c2 , ..., cn , и до е о-
е с ре ение
ес
а ие, ч о
ди
(1.2.) и до е ор е нача н
(1.3.) .
-8-
еренс-
Об ее ре ение ди
n , аписанное
иде
ерен иа но о ра нени пор д а
( x, y, c , c , ..., c ) = 0 ,
1
n
2
ае с общим интегралом.
В час нос и, об и
ре ение
ди
ра нени пер о о пор д а y = f ( x, y ) на
на
y=
( x, c ) , содер а а одн прои о н
до е ор
а с о и :
1) Ф н и y = ( x, c ) а
н
ерен иа но о
ае с
н и
пос о нн
и ар
c и
ен а x
-
е с ре ение ди ерен иа но о ра нени ;
2) Ка о о б ни б о нача ное с о ие y ( x 0 ) = y 0 ,
с
ес
н
е
а ое начение пос о нно
y=
и
( x, c 0 )
до е ор е
ча но
с о и .
ре ение ди
Определение 6. ас н
ни пор д а n на
и сиро анн
ас ное ре ение ди
а n , аписанное иде
на
на-
( x, c
0
1
, c 20 , ..., c n0 ) при
c1 = c10 , c 2 = c 20 , ..., c n = c n0 .
пос о нн
( x, y , c
данно
ерен иа но о ра не-
ае с ре ение y =
начени
c = c0 , ч о
ерен иа но о ра нени пор д0
1
, c 20 , ..., c n0 ) = 0 ,
ае с частным интегралом.
еорема Пикара (существования и единственности решения задачи Коши)
Ес и
ра нении (1.2.)
н и f , опреде
а пра
час
ра нени
нача но
(1.2.) непрер на
(
оч и x 0 , y 0 , y 0 , ..., y (0n
1)
не о оро
)
и и ее непрер
о о рес нос и час н е прои одн е по се
-9-
о рес нос и
н е
пере енн
,
начина со
оро , о ра нение (1.2.) и ее единс енное ре-
ение y = y ( x ) , до е ор
Пример. Ре и
ее нача н
с о и
(1.3.)
адач Ко и
y = 2 x, y (1) = 2 .
Решение: Оче идно, ч о ре ение данно о ра нени предс а е собо се е с о се
н и , пер а прои одна
о ор ра на 2x , . е. и ее ид
y = x2
c,
де c – прои о на пос о нна .
y (1) = 2 и ее : 2 = 12 c , о
И нача но о с о и
c=1. То да час ное ре ение, и ее
да
ид yч. р. = x 2 1 .
Гео е ричес и, се е с о ин е ра н
ри
данноо ра нени предс а е собо се е с о парабо с ерина и
оч а ида ( 0; c ) , де c – прои о на пос о нна . А ра и о на денно о час но о ре ени
е с парабо а с ер ина и
оч е ( 0;1) , .е. про од а чере очA (1; 2 ) (рис но 1).
ОРР
- 10 -
ЯР
У
Нар д с нача но адаче ( адаче Ко и) расс а рио оа с а на
ае е граничные (краевые) задачи,
р
допо ни е н е с о и на ис о
н и ада с
не одно оч е, а
о и ее ес о нача но адаче, а на
он а не о оро о ин ер а а a; b и ра с и ае с ре ение,
опреде енное н ри о о ин ер а а. Ус о и , ада ае е на
он а ин ер а а a; b , на
а с граничными (краевыми)
условиями, а адача о с ани ре ени ди ерен иа но о
ра нени , до е ор
е о раничн
с о и , на
ае с граничной (краевой) задачей.
Необ оди о о е и , ч о пос ано а ранично адачи
и ее с с о о д
ра нени пор д а,
е пер о о.
Гранична ( рае а ) адача не се да и ее ре ение, а ес и
и ее , о, ча е се о, не единс енное.
Пример. На и ре ение об но енно о ди ерен иа но о
ра нени
y = 6x ,
до е ор
ее раничн
с о и
y ( 0 ) = 0, y (1) = 1 .
Решение: Ин е рир пос едо а е но данное ди
а ное ра нение д а ра а, и ее
y = 3 x 2 c1 ,
y = x3
ерен и-
c1 x c 2 – об ее ре ение,
де c1 и c2 – прои о н е пос о нн е.
Испо
раничн е с о и , по чи сис е д
а ебраичес и
ра нени о носи е но прои о н
пос онн c1 и c2 , од и об ее ре ение, а и енно:
0 = 0 c1 0 c 2 ,
1 = 1 c1 1 c 2 .
- 11 -
И по
ра нени на оди , ч о c1 = 0 ,
ченно сис е
c 2 = 0 , и, с едо а е
но, ис о ое час ное ре ение и ее
ид
y = x 3.
Ответ. y ( x ) = x 3 – час ное ре ение.
Контрольные вопросы
I.
Ка ие ра нени на
а с об но енн и ди ерен иа н и ра нени и?
II.
о на ае с пор д о ди ерен иа но о ра нени ?
III.
о на ае с ре ение ди ерен иа но о ра нени ?
IV.
о на
ае с ин е ра но
ри о ди ерен иа но о ра нени ?
V. В че а
чае с ео е ричес и с с ре ени адачи Ко и д
об но енно о ди ерен иа но о
ра нени I пор д а?
VI.
е
о ича с об но енн е ди ерен иа н е
ра нени о ди ерен иа н
ра нени
час н
прои одн ?
VII. Ка ие и при еденн
ни е ра нени
с ди ерен иа н и, а и е и пор до :
a ) y x = 1 , б ) ln y = x 2 , в ) dy = xe x dx , г ) sin ( x y ) = 0 ,
d 2x
д) y = 0 , е) 2
dt
2 x = 0 , ж)
dx
dt
2
x = 1.
t
VIII. Я е с и н ии y1 = e 2 x и y 2 = x 2 ре ени и
ди ерен иа но о ра нени y 5 y 6 y = 0 ?
IX. С о о ре ени
об е с чае и ее ди ерен иа ное ра нение?
X.
о на ае с об и ре ение ди ерен иа но о
ра нени ?
XI.
о на
ае с час н
ре ение ди ерен иа но о
ра нени ?
XII. С ор
ир е еоре с ес о ани и единс еннос и ре ени адачи Ко и д ди ерен иа но о ра нени .
- 12 -
- 13 -
§2. Простейшие типы обыкновенных
дифференциальных уравнений первого порядка
2.1. Дифференциальные уравнения с разделенными
и разделяющимися переменными
Определение 1. Дифференциальным уравнением с разделенными переменными на
ае с ра нение ида:
p ( y ) dy = q ( x ) dx ,
( 2.1.)
о оро е а час
а иси о о о одно пере енно , а
пра а – о о о др о .
Ре а с ди ерен иа н е ра нени с ра де енн и пере енн и ин е риро ание обеи час е :
p ( y ) dy = q ( x ) dx
Здес под ин е ра а и пони а
обра н е.
Пример 1. На и ре ение ди
dy
y
ие пер о-
ерен иа но о ра нени
dx
= 0.
x
Решение: Перенесе с а ае ое
по чи ди
с соо е с
( 2.2.)
dx
и
x
е о час и пра
,
ерен иа ное ра нение:
dy dx
= ,
y
x
о орое
е с ра нение с ра де енн и пере енн и.
Ин е рир обе час и пос едне о ра нени , б де и е
dy
dx
,
=
y
x
о
да
ln y
c1 = ln x
c2 ,
де c1 , c2 – прои о н е пос о нн е,
- 13 -
и и
ln y = ln x
c3 ,
( 2.3.)
де c3 = c2 c1 .
В да не е , пос е ин е риро ани обеи час е ра нени , б де писа одн пос о нн ин е риро ани c прао час и ра енс а, о ора б де с ад а с и пос о нн ин е риро ани е о и пра о час и ра нени . За е и
а е, ч о по ченно ра енс е ( 2.3.) прои о н пос онн
c3 добно
о ари
c3 = ln c , с
ичес о
ор е, а и енно,
0, с R ,
ч о а онно, а а с ое де с и е ное чис о о е б
предс а ено а о ари
др о о де с и е но о чис а.
По о ра енс о ( 2.3.) о но аписа
иде
ln y = ln x
ln c ,
де c 0 – прои о на пос о нна , и и
ln y = ln cx ,
о
да, по ен ир , о онча е но по чи об ее ре ение
y = cx , x 0, c 0
( 2.4.)
По ченное об ее
ре ение ( 4 ) , де c –
бое де с и е ное
чис о, ео е ричес и
предс а е собо сее с о по пр
,
ис од и и нача а
оордина , ис
ча
са
оч ( 0; 0 ) (рис но 2).
Ответ. y ( x ) = cx – об ее ре ение, с – прои о на пос о нна .
- 14 -
Определение 2. Дифференциальным уравнением с разделя щимися переменными на
ае с ра нение, о орое о е
б
аписано иде
y = f ( x) g ( x),
и и
y =
f1 ( x)
( 2.5.)
g1 ( x)
иде
M 1 ( x ) N1 ( y ) dx M 2 ( x ) N 2 ( y ) dy = 0
де f ( x ) , M 1 ( x ) , M 2 ( x ) –
н
g ( y ) , N1 ( y ) , N 2 ( y ) –
ии о
н
ии о
( 2.6.)
о пере енно x , а
о пере енно y .
Общая схема решения дифференциального уравнения
с разделяющимися переменными
I. Ра де и пере енн е, . е. с ес и
ра нени с ра де енн и пере енн и. Д
о о надо обе час и данно о ра нени
но и и и ра де и на а ое ра ение, ч об
одн час
ра нени
оди а о о одна пере енна , а
др
– о о др а пере енна .
Замечание. Ес и
с с
е
данно ди
ерен иа но
y , о снача а с ед е
прои ес и ра де ение пере енн
а ени
.
ра нении при-
y на
dy
, а а е
dx
II. Проин е риро а обе час и по ченно о ра нени с ра де енн и пере енн и.
III. На I апе, при де ении обеи час е ра нени на раени , содер а ие пере енн е, о
б
по ер н ре ени , обра а
ие о
ра ение н . По о
с ед е
расс о ре
опрос о с ес о ании а и ре ени данно о
ди ерен иа но о ра нени .
ра нени адано нача ное с оIV. Ес и допо ни е но
ие, о с е о по о
с ед е на и час ное ре ение.
- 15 -
Пример 2. Ре и
ра нение
y
x 2 y = 2 xy
y:
Решение. В ра и
y = x 2 y 2 xy .
За ени
y на
ченно о ра енс а
dy
и одно ре енно
dx
несе
об и
пра о час и по -
но и е
y
а с об и,
по чи
dy
= y(x2
dx
2x) .
Данное ра нение
е с ра нение с ра де
иис пере енн и, . . е о да ос при ес и
ра нени
ида ( 2.5 ) , де о но счи а f ( x ) = x 2 2 x, g ( x ) = y .
Ре и е о.
I. Ра де и пере енн е, д
на dx , по чи
че о снача а
dy = y ( x 2
2 x ) dx, dx
За е ра де и обе час и по
но и обе час и
0
ченно о ра енс а на y
dy
= (x2
y
2 x ) dx, y
0
По чи и ра нение с ра де енн и пере енн и.
II. Проин е рир е обе час и по ченно о ра нени :
dy
=
y
(x
2 x ) dx ,
2
и и
x3
ln y =
3
x2
c,
де c – прои о на пос о нна , о
по чае
y=e
x3
3
x2
- 16 -
да, по ен ир ,
c
,
и и
y=e e
c
x3 2
x
3
e c = c , де c – а
П с
То да о онча е но по
.
е прои о на пос о нна .
чае об ее ре ение
y=c e
x3 2
x
3
( 2.7.)
III. За е и , ч о при ра де ении пере енн
ч о y 0.
Расс о ри о де но с
н
и
y=0 а
е
ча
по а а и,
y = 0 . Ле о беди с , ч о
е с ре ение
данно о ра нени .
Одна о а е и , ч о оно ор а но по
чае с и
ор
( 2.7 ) об е о ре ени при c = 0 .
Ответ: y ( x ) = c e
x3
x2
3
– об ее ре ение, де c – прои -
о на пос о нна .
Пример 3. На и час ное ре ение ди ерен иа но о ра нени , до е ор
ее аданно нача но
с о и :
xydx
Решение.
Данное ди
( 2.6 ) , де
(1
y 2 ) 1 x 2 dy = 0,
ерен иа ное
y
( 8 ) = 1.
ра нение и ее
ид ра нени
M 1 ( x ) = x, N1 ( y ) = y, M 2 ( x ) = 1 x 2 , N 2 ( y ) = 1 y 2 , а
по о
е с ра нение с ра де
и ис пере енн и.
I. Ра де и пере енн е, д че о поде и обе час и ра нени на y
1 x 2 , по а а y
1 x2
0:
1 y2
dx
dy = 0 ,
2
y
1 x
x
и и
- 17 -
1 y2
dx =
dy .
2
y
1 x
x
По чи и ра нение с ра де енн
II. Ин е рир е обе час и, и ее
x
1 x
и пере енн
1
y
dx =
2
и.
y dy ,
де c – прои о на пос о нна , и и
2
1 d (1 x )
=
2
2
1 x
dy
y
ydy ,
О да по чае об и ин е ра данно о ди
о ра нени :
ерен иа но-
y2
,
2
1 x = ln y
2
и и
1 x
2
y2
2
ln y
ñ=0
де c – прои о на пос о нна .
III. При ра де ении пере енн
по а а и, ч о y
1 x2
0,
ч о о о при ес и по ере ре ени .
Расс о ри о де но с ча
y
о
1 x2 = 0,
да с ед е , ч о y = 0, ( 1 x2
0 при се x
). Пос е под-
с ано и y = 0 ис одное ра нение по чи
x 0 dx
о
(1
02 )
1 x 2 d0 = 0,
да и ее 0 = 0 . С едо а е но, y = 0 а
е
е с ре е-
ние данно о ди ерен иа но о ра нени . Одна о а е и ,
ч о оно не о е б
по чено и об е о ре ени ни при ао час но начении прои о но пос о нно c .
- 18 -
IV. Да ее, час ное ре ение, до е ор
ча но
с о и ,y
( 8 ) = 1, по
ее аданно
чи , подс а
на-
об и
ин е ра x = 8 , y = 1 :
1
c = 0, о
2
1 8 ln1
С едо а е но, ис о
1 x
Ответ.
1 x
2
2ln y
час н
2
ln y
y2
2
прои о на пос о нна ;
н
y2
2
7
2
да c = .
ин е ра и ее
ид:
7
= 0.
2
c = 0 – об и ин е ра , де c –
1 x
ин е ра ; y = 0 .
- 19 -
2
2ln y
y2
2
7
= 0 – час 2
Задание 1. айти общее решение (или общий интеграл) дифференциального уравнения с разделяющимися переменными:
1.
4 xdx 3 ydy = 3 x 2 ydy 2 xy 2 dx .
2.
2 x 1 y 2 dx
3.
6 xdx 6 ydy = 2 x 2 ydy 3 xy 2 dx .
4.
x (1 y 2 )
5.
6.
7.
3 y 2 dx
(y
(e
y dy = 0 .
(1
y y
x2 ) = 0 .
y dy = x 2 y dy .
2
x y2 )
(x
y x2 ) y = 0 .
3x
7 ) dy
y e3 x dx = 0 .
2
1 x2
1 y2
1= 0.
8.
y y
9.
6 xdx 6 ydy = 3 x 2 ydy 2 xy 2 dx .
10. y = e x y .
x
x
11. y ( 4 e ) dy e dx = 0 .
12.
4 x2 y
xy 2
x = 0.
13. y tg x y = 1.
14. x 4 y 2 dx y
15.
(e
x
8 ) dy
y
16. e 1
1 x 2 dy = 0 .
ye x dx = 0 .
dy
= 1.
dx
17. 6 xdx ydy = yx 2 dy 3 xy 2 dx .
18. y ln y xy = 0 .
19.
(1
e x ) y = ye x .
20. y = 10 y x .
21. y (1 ln y ) xy = 0 .
- 20 -
22.
(3
e x ) yy = e x .
23. 2 x 2 xy 2
y
24. e
(1
2 x 2 y = 0.
x 2 ) dy 2 x ( 1 e y ) dx = 0 .
25. 2xdx ydy = yx 2 dy xy 2 dx .
26. y xy = 1 x 2 y .
y
2
y
27. e (1 x ) dy 2 x (1 e ) dx = 0 .
2
2
28. x y ( 1 x ) y = 1 y .
29.
(1
2 y ) x dx
(1
x 2 ) dy = 0 .
30. y sin 2 x = y ln y .
- 21 -
2.2. Однородные дифференциальные уравнения
первого порядка
Пон ие однородно о ди ерен иа но о ра нени перо о пор д а с ано с однородн и н и и.
Определение 1. Ф н и
( x; y ) на
цией степени n , ес и д
дес о:
бо о чис а k
( k x; k y )
Пример.
Расс о ри
но оч ен
kn
0 и ее
ес о о -
( x; y ) .
( x; y ) = 2 x 2
однородно
н ие с епени 2.
Де с и е но, а ени ар
ен
на н е е ичин
ае с однородной функ-
3 xy 5 y 2 . Он
е с
x и y на пропор ио-
kx и ky , о да б де и е
( kx; ky ) = 2 ( kx )
2
3 ( kx )( ky ) 5 ( ky ) =
2
= k 2 ( 2 x 2 3 xy 5 y 2 ) = k 2
( x; y ) .
Определение 2. Однородным дифференциальным уравнением
первого порядка на
ае с ди ерен иа ное ра нение, оорое о е б
аписано иде
y = f
а а
е
y
,
x
( 2.8.)
иде
M ( x ; y ) dx N ( x ; y ) dy = 0 ,
де M ( x; y ) и N ( x; y ) – однородн е
с епени.
С по о
подс ано и
y
= t и и y = tx ,
x
- 22 -
н
( 2.9.)
ии одно и о
е
де t = t ( x ) – но а неи ес на
н
и , однородное ди
рен иа ное ра нение пер о о пор д а при оди с
нени с ра де
и ис пере енн и.
Пример 1. Ре и
ера -
ра нение
xy = y 2 x .
Решение. В ра и
y , по
чи
y =
y 2x
,
x
и и
y =
По ченное ди
ра нени
y
x
ерен иа ное
( 2.8.) , де
f
( 2.10.)
2,
ра нение
( 2.10.) и ее
y
y
=
2 . С едо а е но, данное ра x
x
нение
е с однородн
ди ерен иа н
пер о о пор д а.
Д
о о ч об ре и е о, сде ае а ен
y = tx .
На де пер
прои одн
н
ра нение
( 2.11.)
ии y по ар
ен
y = ( tx ) = t x tx = t x t
ра нение ( 2.10.)
Подс а и
ид
чере t и x со асно ра енс а
( 2.12.)
y
и
x
( 2.11.) и ( 2.12.) :
ес о y и
x
ра ени
t x t = t 2,
и и
t x = 2.
dt
и одно ре енно ра де и
dx
с едне о ра енс а на x , по чи ра нение
За ени
t на
- 23 -
обе час и по-
dt 2
= , x
dx x
о орое
е с ди
и ис пере енн
0,
ерен иа н
ра нение
и. Ра де и пере енн е
dt =
с ра де-
2
dx .
x
Проин е рир е обе час и
dt =
о
2
dx ,
x
да
t = 2ln x
ln c , c
0, c R ,
де ln c – прои о на пос о нна ,
и и
t = ln cx .
Во ра а с
пер онача но пере енно , по чи
ние ис одно о ди ерен иа но о ра нени
иде
ре е-
y
= ln cx , и и y = x ln cx .
x
За е и , ч о при ре ении
де и и обе час и ра нени на
x , по а а , ч о x 0 . При x = 0 и данно о ра нени с ед е
y = 0 , . е. и ее оч ( 0; 0 ) , а и обра о , с ча x = 0 не
дае ре ение.
Ответ. y ( x ) = x ln cx – об ее ре ение, де c – прои о на
пос о нна .
Пример 2. По а а , ч о ди
(x
ерен иа ное ра нение
y ) dx xdy = 0
е с однородн , и ре и е о.
Решение. Расс о ри
н ии
M ( x; y ) = x y и N ( x; y ) = x .
На де
- 24 -
M ( kx; ky ) = kx ky = k ( x
y ) = kM ( x; y ) ,
N ( kx; ky ) = kx = kN ( x; y ) .
С едо а е но,
н
ии M ( x; y ) и N ( x; y )
с одно-
родн и пер о с епени, по о данное ра нение однородно. По а ае y = tx , де x – не а иси а пере енна , y = y ( x )
– пер онача на неи ес на
ес на
То да
н
н
и , t = t ( x ) – но а неи -
и .
y =t x t,
и и
dy dt
x t,
=
dx dx
и и
dy = xdt tdx
Подс а
о
( 2.13.)
ра ение данное ра нение, б де и е
( x tx ) dx x ( xdt tdx ) = 0 ,
x 2 dt
x ( 2t 1) dx = 0 .
Ра де и обе час и пос едне о ра енс а на x , по а а x 0 ,
по чи ди ерен иа ное ра нение
xdt ( 2t 1) dx = 0 ,
о орое
е с ра нение с ра де
Ра де и пере енн е
dt
dx
=
.
2t 1
x
Ин е рир
обе час и, по
чае
dt
dx
,
=
2t 1
x
d ( 2t 1)
dx
= 2
,
2t 1
x
о с да на оди
- 25 -
и ис пере енн
и.
ln 2t 1 = 2ln x
ln 2t 1 = ln
ln c ,
c
,
x2
и и
2t 1 =
c
,
x2
де c – прои о на пос о нна .
Верне с
пер онача но пере енно , о да об ее ре ение при е ид
y=
де c1 =
c
– прои о
2
x
2
c1
x
( 2.14.)
на пос о нна .
С ед е а е о е и , ч о про ессе ре ени о ниа а необ оди ос де и на н ии x и 2t 1. Прира ниа и н
, по чае о о н е ре ени :
1) x = 0 ,
2) 2t 1 = 0 , и и y =
x
.
2
Ле о беди с про ер о , ч о обе н ии до е оданно
ди ерен иа но
ра нени ; ора
н -
р
y=
и
н
x
по чае с и об е о ре ени ( 2.14.) при c1 = 0 ;
2
x = 0 не о е б
по чена и об е о ре ени
и
( 2.14.) ни при а о
начении прои о но пос о нно c1 .
x c1
– об ее ре ение, де c1 – прои о
2 x
на пос о нна , x = 0 .
Ответ. y ( x ) =
аме ание: Ура нение при ере 2
(x
о но б
о а
е аписа
y ) dx xdy = 0
иде
- 26 -
-
y
.
x
y = 1
По ченное ра нение и ее
f
и по о
ид ра нени
y
y
= 1
,
x
x
е с однородн
.
- 27 -
( 2.8.) , де
Задание 2. Показать, то данные дифференциальные
уравнения являются однородными и решить их.
1.
x y =y
3.
x 8y
.
y =
8x y
5.
x y y =x
7.
y =
9.
y
xy = y 3 x sin .
x
2
2
2
4 xy 2 x .
2
2
y .
2y x
.
2x y
y2
x2
y
.
x
2.
y = 1
4.
3y 3 2x 2 y
.
xy =
2y 2 x 2
6.
4x 2 y 3y 3
.
xy =
2
2
2x 2 y
8.
xy = 2 x 2
y2
y.
3 y 3 6 yx 2
.
10. xy =
2 y 2 3x 2
x 2 xy y 2
.
11. y = 2
x 2 xy
12. x y
13. x y y = 2 x 2
14. x y
y2 .
x 2 2 xy y 2
.
15. y =
2 x 2 2 xy
y ln
dy
dx
2y
= 0.
x
x2 = 2 y 2 .
16. xy = 3 x 2
y
x
y2
y.
17. x y = y x e .
10 x 2 y 3 y 3
.
18. y x =
5x2 2 y 2
x 2 3 xy y 2
.
19. y =
2
3 x 2 xy
20. xy = 3 2 x 2
21. x y = y
12 x 2 y 3 y 3
.
22. xy =
2 y 2 6 x2
2
23. y =
25.
(y
27.
(y
29. y
2
x2
2
8 xy .
xy 3 y 2
.
x 2 4 xy
xy
2
12 x
2
) dx = x
24. xy = 2 y 2 3 x 2
dy .
2 xy ) dx x 2 dy = 0 .
x y = xyy .
2
y2
26.
(x
28. xy
y.
2 y ) dx xdy = 0 .
y
y = x tg .
x
y
x
30. xy = y x e .
- 28 -
y.
- 29 -
2.3. Линейные дифференциальные уравнения первого
порядка. Уравнение Я. Бернулли
Определение 1. инейным дифференциальным уравнением
первого порядка на
ае с ра нение, о орое о но аписа
иде
y p ( x) y = f ( x) ,
( 2.15.)
де p ( x ) и f ( x ) – аданн е непрер
н е
с и – пос о нн е ( f ( x ) – с ободн
ч ен f ( x ) ра нени
ин ер а е ( a; b ) ,
о оро
ра нени
ии,
час но-
ч ен и и пра а час
ра нени ). Б де по а а , ч о о
и с ободн
н
и иен
ра нени p ( x )
( 2.15.) непрер н на не-
о оро
ра
с и ае с ре ение
( 2.15.) .
ра нении ( 2.15.) ,
Ес и пра а час
о дес енно не ра на н
н
и
f ( x) ,
на ( a; b ) , о ра нение ( 2.15.) на-
ае с линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка.
Ес и е пра а час
ра нении ( 2.15.) , н и f ( x ) ,
на ( a; b ) , о ра нение ( 2.15.) при-
о дес енно ра на н
ни ае
ид:
y
p( x) y = 0
( 2.16.)
и на
ае с
о с чае линейным однородным дифференциальным уравнением первого порядка, соо е с
и ине но
неоднородно
ра нени ( 2.15.) ( ине ное однородное ди ерен иа ное ра
с е и а с однородн и ди
пер о о пор д а, содер а и и
р е расс а ри а ис
е). О
нение I пор д а не с ед е
ерен иа н и ра нени и
однородн
н и , о ое и , ч о ине ное однород-
- 29 -
ное ра нение
е с ра нение
енн и.
а
Ино да ра нение ( 2.16.) на
с ра де
и ис пере-
ине н
ра нение
бе пра о час и.
С ес е нес о о
е одо ре ени
ине но о
ди ерен иа но о ра нени пер о о пор д а. Расс о ри
нес о о и ни .
I.
етод
. Бернулли
Ре ение ра нени
( 2.15.) ра с и ае с
иде
( 2.17.)
y=u v
де u = u ( x ) , v = v ( x) – но
е неи ес н е
н ии ар
ен а x .
И ра енс а ( 2.17.) на од
( 2.18.)
y =u v u v
ра нение ( 2.15.)
Подс а
ес о y и y и
ени чере u и v , со асно ра енс а
ра-
( 2.17.) и ( 2.18.) , по-
ча
u v u v
p ( x) u v = f ( x),
Да ее, р ппир
е о час и с а ае е с об и
а с обно и е е v (и и u ), и, нос об и но и е
и, и е
u
В ачес е
н
( 2.19.)
p ( x)u v u v = f ( x)
ии u ( x )
бере одно и ре ени ди -
ерен иа но о ра нени
u
. е.
н
и u ( x ) подбирае с
ра нении ( 2.19.) , б
оди с
p ( x)u = 0
а , ч об
ра ен н
о
. То да
а об ее ре ение ра нени
- 30 -
( 2.20.)
и иен при v
н
и v ( x ) на-
u v = f ( x) ,
( 2.21.)
Подс а
по ченн е ра ени д
н и u = u ( x)
ор
н и y ( x) .
и v = v( x)
( 2.17.) , на од ис о
Та и обра о , с по о
подс ано и ( 2.17.) ре ение
ине но о ди ерен иа но о
о носи е но неи ес но
н
ра нени пер о о пор д а
ре еии y ( x ) с оди с
ни д
ди ерен иа н
ра нени с ра де
и ис
пере енн и, одно – о носи е но но о неи ес но
н ии u ( x ) , др ое – о носи е но др о но о неи ес но
н
ии v ( x ) .
Пример 1. На и ре ение ра нени ,
2y
=x
x
y
до е ор
ее нача но
Решение. Данное ра нение
р д а. Здес
о но счи а
Ре ение данно о ди
а
иде
о
y (1) = 0 .
с о и
е с
p( x) =
ине н
пер о о по-
2
, f ( x) = x .
x
ерен иа но о
ра нени б де
ис-
y = u v,
( 2.17.)
y = u v uv
( 2.18.)
y и y и
( 2.17.) и ( 2.18.) данное
да
Подс а
ра нение, по
ра ени д
чае
u v uv
2uv
= x.
x
Гр ппир
е о час и пер ое и орое с а ае
об и но и е
а с об и, по чи
- 31 -
еи
нос
2u
v uv = x
x
u
Подбере
с об а б
а , ч об
, . е.
н и u
о ра но н
u
( 2.23.)
ра ение
адра н
2u
= 0.
x
Ре ае по ченное ра нение с ра де
и ис пере енн и и на оди
н и u , а е о не о орое нен е ое
ре ение:
du
2u
=
,
dx
x
и и, пос е ра де ени пере енн
,
du
2dx
, u
=
u
x
0.
Ин е рир , на оди
du
dx
= 2
,
u
x
ln u = 2ln x
ln c 0 ,
и и
u=
В бира c 0 = 1 , по
а способ
( 2.23.) и ее ди
x2
.
чае
u=
То да, чи
c0
1
x2
бора
н
ии v ( x ) :
uv = x ,
а
н
ии u ( x ) и
ерен иа ное ра нение д
оро неи ес но
и и, чи
( 2.24.)
( 2.24.)
- 32 -
ра нени
на о дени
1
v = x,
x2
о орое
е с ди ерен иа н
ра нение с ра деи ис пере енн и о носи е но др о неи ес но
н ии v ( x ) . Ре а е о, по чае
dv
= x3 ,
dx
и и
dv = x 3 dx .
Ин е рир
пос еднее ра енс о, на оди
dv = x3 dx ,
и и
x4
v=
4
( 2.25.)
c,
де c – прои о на пос о нна .
Пере но а на денн е ра ени д
н
и u ( x) и v( x) ,
на оди ис о ое ре ение
x4
4
1
y = uv = 2
x
c .
Та и обра о , об ее ре ение данно о ине но о ра нени
и ее ид
x2
y ( x) =
4
c
,
x2
де c – прои о на пос о нна .
Испо
аданное нача ное с о ие, б де и е
0=
о
1
c,
4
да на оди
c=
1
.
4
- 33 -
То да ис о ое час ное ре ение и ее
x2
y=
4
x2
Ответ. y ( x ) =
4
II.
ид
1
.
2
4x
1
– час ное ре ение.
4 x2
етод вариации произвольной постоянной
(метод Лагранжа)
о е од а
чае с с ед
е :
1) на од об ее ре ение соо е с
е о ине
однородно о ра нени , о орое б де содер а
с;
и о н пос о нн
2) ре ение ис одно о неоднородно о ди ерен иа
ра нени с ед е ис а
о
е иде, ч о и ре
соо е с
е о однородно о ра нени , но а
с на
н и с ( x ) . О с а ее, на
пос о нн
об ее ре ение данно о
ра нени .
Пример 2. Ре и
Решение.
1) Ре ае соо е с
о ра нение с ра де
dy
и ра де
dx
но о
ение
ени
од
ине но о неоднородно о
ине ное ди
y
на
но о
про-
ерен иа ное ра нение
y cos x = e sin x .
ее однородное ра нение:
y y cos x = 0 .
и ис пере енн
пере енн е, по чи
dy
= y cos x ,
dx
и и
- 34 -
и. За ен
y
dy
= cos xdx .
y
Пос е ин е риро ани и ее
dy
=
y
о
cos xdx ,
да на оди
ln y = sin x c 0 ,
и и
y=e
sin x
c0
.
c0
По а а e = c , по чае об ее ре ение соо е с
однородно о ра нени
иде
y = c e sin x ,
е о
( )
де c – прои о на пос о нна .
2) Ре ение ис одно о неоднородно о ди ерен иа но о
ра нени б де ис а
о
е иде, ч о и ре ение ( )
соо е с
е о однородно о ди ерен иа но о ра нени , о о а ен пос о нн
c на н и c ( x ) :
y = c( x) e
Проди
( 2.26.)
sin x
ерен ир е ра енс о ( 2.26.) по x :
y = c ( x)e
Подс а и
sin x
( 2.27.)
ра ени ( 2.26.) и ( 2.27.)
c ( x ) cos x e
ис одное ра нение
sin x
ес о y и y б де и е
c ( x)e
Преобра
sin x
c ( x ) cos x e
sin x
c ( x ) cos x e
по ченное ра енс о, по чае
c ( x ) = 1,
и и
dc
= 1,
dx
dc = dx ,
- 35 -
sin x
=e
sin x
.
о
да, пос е ин е риро ани , на оди
dc = dx ,
и и
c ( x) = x c0 ,
де c 0 – прои о на пос о нна .
Подс а
на денное
ра ение д
чи об ее ре ение ис одно о ди
y = ( x c0 )
Ответ: y ( x ) = ( x c0 ) e
sin x
c( x)
( 2.26.) , по -
ерен иа но о ра нени
e sin x .
, де с0 – прои о на пос о нна .
Замечание. Не о ор е ра нени с ано с ине н
и по ен
ро
и ис о
н и и не а иси
енн .
Пример. Расс о ри
о оро
н
Учи
y
е с
ра нение
y = ( 2x
н
и, еспере-
y3) y ,
ие о x . Оно не
е с
ине -
о носи е но y .
а ,ч о y =
1
, б де и е
x
y = ( 2x
y3 )
ра нение
1
,
x
и и
x
2x
= y2 ,
y
о орое
е с ине н
о носи е но пере енно x , . е.
дес x = x( y) – ис о а
н и , y – не а иси а пере енна .
Определение 2. равнением . ернулли на
ае с об ноенное ди ерен иа ное ра нение пер о о пор д а, о орое о но аписа
иде
- 36 -
p ( x) y = f ( x) yn , ( n
y
де y = y ( x ) – неи ес на
и не а иси о о пере ен-
ен а x , p ( x ) , f ( x ) – и ес н е
но о ар
ра нени , y n = y ( x )
иен
н
н
n
( 2.28.)
0, 1)
н
ии, о
и-
– n - с епен неи ес но
ии y ( x ) .
С ес е нес о о способо ре ени
ра нени
Я. Берн и. Один и ни сос ои
о , ч о ес и аписа
иде
ра нение ( 2.28.)
y
о с по о
н
n
p ( x ) y1 n = f ( x ) , y
y
а ен
( 2.28.)
0,
z = y1 n , де z = z ( x ) – но а неи ес на
и , ра нение ( 2.29.) при оди с
ине но
ди
е-
рен иа но
ра нени пер о о пор д а, о орое о но
ре и
б
и
еи о енн способо .
Одна о, ре ение ра нени Я. Берн и ( 2.28.) добне
ис а
е одо И. Берн
и, . е.
иде
y = u v,
не при од е о
Пример 3. Ре и
ине но
ра нени .
ра нение
y
2y = e x y 2.
Решение.
Данное ра нение
е с
ра нение Я. Берн и
( n = 2 ) . Ре и е о по е од И. Берн и, . е. ре ение б де ис а
иде прои едени д
н
и :
y = u v,
де u = u ( x ) , v = v ( x ) – но
е неи ес н е
На де
y =u v u v .
- 37 -
н
ии.
Подс а и
ис одное ра нение
ес о y и y и
ра е-
ни чере u и v , по чи
2u v = e x u 2 v 2 ,
u v u v
и и, пос е р ппиро и с а ае
е о час и по ченноо ра енс а и несени об е о но и е
а с об и, б де и е
u v u v
Ф н
и
v ( x ) на де
( 2.30.)
2v = e x u 2 v 2
а не о орое час ное ре ение
ра нени
v
о ра нение с ра де
ре енн е и ин е рир
2v = 0 .
и ис пере енн и. Ра де
а е обе час и, по чи
пе-
dv
= 2v ,
dx
и и
dv
= 2dx ,
v
о
да и ее
dv
= 2 dx ,
v
ln v = 2 x c 0 ,
v=e
2x c0
.
По а а c0 = 0 , по чи
v=e
При а о
и е
но
боре
ии v ( x ) и
н
( 2.31.)
2x
ра нени
с ед
ее ра нение о носи е но
н ии u ( x ) :
u e
и и, пос е нес о н
2x
= e x u 2 (e
2x
)
2
оро неи ес -
,
преобра о ани , по чи
u = e x u 2,
- 38 -
( 2.30.) б де
ра нение
( 2.32.)
о орое
е с ра нение с ра де
и. Ра де и пере енн е
du
=e
dx
и ис пере енн -
x
u2,
x
dx .
и и
du
=e
u2
Проин е рир е обе час и
du
= e x dx ,
2
u
1
= e x c,
u
де c – прои о на пос о нна ,
и и
1
=e
u
о
x
c,
да на оди
u ( x) =
1
x
e
( 2.33.)
c
За е и , ч о, ро е по ченно о об е о ре ени
н и u = 0 , о о( 2.33.) ра нени ( 2.32.) до е ор е
ра не о е б
по чена и
( 2.33.) ни при а о
ор
прои о но начении пос о нно c .
Та и обра о , ре ени ис одно о ра нени
1. при u = 0 , v = e 2 x , y = 0 .
2. при u ( x ) =
1
x
, v=e
2x
, y=
e
x
а о
:
2x
– об ее ре ение.
e
c
e
c
e 2x
Ответ: y ( x ) = x
– об ее ре ение, де c – прои о
e
c
пос о нна , y = 0 .
- 39 -
на
Задание 3. айти:
а) решение зада и оши для линейного дифференциального уравнения первого порядка.
б) решение уравнения Бернулли, удовлетворяющее заданному на альному условию.
1. а) y
б)
y
= x2 ,
x
dy
dx
2. а) y
y (1) = 0;
xy = (1 x ) e
x
y ( 0 ) = 1.
y2 ,
y ctgx = 2 x sin x,
y
1
y cos x = sin 2 x,
2
б) 2 ( xy y ) = xy 2 ,
y ( 0 ) = 0;
3. а) y
4. а) y
б)
5. а) y
б) x
y (1) = 2.
y tg x = cos 2 x,
dy
dx
y
4x 3 y = 4( 1 x 3 ) e
4x
y = y 2 ln x ,
1
y (1) = .
2
dy
y
=
(1 x ) e x ,
dx x 1
б) 2 ( y xy ) = (1 x ) e x y 2 ,
dy
dx
y
= x sin x,
x
б) 3 ( xy
8. а) y
y ( 0 ) = 1.
y ( 0 ) = 0;
x2
6. а)
7. а)
y 2,
1
= ;
4
2
,
2 xy = 3x 2 e
dy
dx
= 0;
1
y (1) = .
2
y = 2 y 2 ln x,
б) xy
2
y ( 0 ) = 1;
y ( 0 ) = 2.
y
y ) = y 2 ln x,
1
y sin x = 0,
x
= 1;
y (1) = 3.
y(
- 40 -
2
)=
1
;
y cos x = y
б) 2 y
9. а)
dy
=
dx
y
x
1
cos x (1 sin x ) ,
y (1) = 1;
x2 ,
б) y
4x 3 y = 4 y 2 e 4x
10. а) y
2 xy
2x 2
=
,
1 x2 1 x2
б) 3
11. а)
dy
dx
2 xy =
2x
e
y2
(1
3y =
y ( 0 ) = 1.
y ( 0) =
2x 2
2
y ( 2) = 4 ;
3) y 3 ,
13. а) y =
б) 3 ( xy
y
x
2ln x
,
x
y ) = xy 2 ,
1
12
y= 3,
x
x
x
1
1
y ( 0) = .
2
5
y (1) =
;
6
y (1) = 1.
y (1) = 1;
y ( 0 ) = 2.
2 xy = 2 x 3 y 3 ,
2
y ( 0 ) = 1.
y (1) = 4;
dy
1
=
y 3 x,
dx
x
2x
1
,
y
y (1) = 3.
dy
y = 2 xy 2 ,
dx
dy 2 y
= x3 ,
15. а)
dx x
б) 3 xy 5 y = ( 4 x 5 ) y 4 ,
17. а) y
1
;
2
y (1) = 1;
б)
б) y
y (1) =
y (1) = e;
3 y cos x = e 2 x ( 2 3cos x )
б) 2 y
14. а) y
(5x
2
;
3
y ( 0 ) = 1.
,
x
y ( x 1) e
=
,
x
x
dy
12. а)
dx
16. а)
x 3 ),
dy 2 x 5
=
y 5,
dx
x2
б) 2 xy
y ( 0 ) = 1.
y = 1 x2 ,
- 41 -
y (1) = 3;
dy
y = y 2 ln x,
dx
1 2x
y = 1,
18. а) y
x2
dy
1
б) 2
3 y cos x = ( 8 12cos x ) e 2 x ,
dx
y
y (1) = 1 .
б) x
19. а)
dy
dx
y (1) = 1;
y ( 0 ) = 2.
3y
= 2x 3,
x
y (1) = 1;
4 x3 y = ( x3 8) e
б) 4 y
2x
y ( 0 ) = 1.
y2 ,
1
y (1) = ;
e
y ( 0 ) = 1.
dy
2 xy 2 x3 = 0,
dx
б) y xy = ( x 1) e x y 2 ,
20. а)
xy
1
=
x,
2
2 (1 x ) 2
21. а) y
б) 2 x
dy
3y =
dx
22. а) y
б) 2
xy
( 20 x
2
y (0) = ;
3
12 ) y 3 ,
2
x 3 = 0,
dy
3 y cos x = e
dx
2x
(2
dy
2y
2
=
e x (1 x ) ,
dx x 1
б) 2 ( y xy ) = ( x 1) e x y 2 ,
23. а)
2
dy
2 xy = x e x sin x ,
dx
б) 2 ( xy y ) = y 2 ln x ,
24. а)
25. а) y =
y
x
2
.
2
y ( 0 ) = 3;
y (1) =
2
,
x2
3cos x )
1
,
y
y ( 0 ) = 1.
y ( 0 ) = 1;
y ( 0 ) = 2.
y ( 0 ) = 1.
y (1) = 2 .
y (1) = 1;
dy
2 4
y tgx =
y sin x,
dx
3
26. а) y 3 y = e2 x ,
б)
- 42 -
y ( 0 ) = 1.
y ( 0 ) = 3, 2;
б) (1 x 2 )
27. а)
dy
dx
dy
dx
y cos x = sin 2 x,
б) xydy = ( y 2
28. а)
dy
dx
x ) dx,
2 x2
y = 4 y,
30. а) xy
б) 2 ( y
) = 1;
y (1) = 2;
dy
5 y = ( 4 x 5) y 4 ,
dx
y (1) = 1.
3
2
x2
2
y (1) = e ;
x y=e ,
2
y(
1
y (1) = ;
2
y (1) = 0.
y = ln x 1,
29. а) xy
y ( 0 ) = 0.
y (1) = 0.
2y
1
=
2 ,
x
x ex
б) xy
б) 3 x
2 xy = 4 y ( 1 x 2 ) arctg x,
y ( 0 ) = 2.
y ) = x y2 ,
- 43 -
2.4. Уравнения в полных дифференциалах
Определение 1. Ди
ерен иа ное ра нение ида
M ( x, y ) dx N ( x, y ) dy = 0
( 2.34.)
на
ае с уравнением в полных дифференциалах, ес и е о еа час
е с по н
ди ерен иа о не о оро
н ии F ( x, y ) , . е.
dF ( x, y )
dF
dx
dx
Спра ед и о с ед
Д
о о ч об
dF
dy = M ( x, y ) dx N ( x, y ) dy
dy
ее утверждение:
ра нение ( 2.34.) б
( 2.35.)
о ра нение
по н ди ерен иа а , необ оди о и дос а очно, ч об
по н ос с о ие
об ре и
н и
M ( x, y )
N ( x, y )
y
x
ра нение ( 2.34.) , необ оди о на и а
F ( x, y ) , по н
час и ра нени
( 2.36.)
ди
ерен иа
( 2.34.) , о ес , ч об
о оро ра ен е о
по н ос
с о ие
( 2.35.) . То да, ч о оче идно с ед е и ра нени ( 2.34.) , б де
по н с ра енс о
dF ( x, y ) = 0 ,
и, с едо а е но, се ре ени
е ор
ра нени
( 2.34.) б д
до -
с о и
F ( x, y ) = c ,
де c – прои о на пос о нна .
Д на о дени
н ии F ( x, y ) оспо
F
= M ( x, y ) ,
x
F
= N ( x, y )
y
- 44 -
е с ра енс а и
( 2.37.)
Ин е рир
пер ое и
и ра енс
по x , счи а y пос о н-
но е ичино по о но ени
пере енно ин е риро ани
н и F ( x, y ) с очнос
до прои о но
x , опреде и
ди
ерен ир е о
н
( y) ( н и
ии
( y ) и рае
о с чае ро пос о нно ин е риро ани , очнее, пос онно по о но ени
пере енно ин е риро ани x , . е. не
а ис е о x )
F ( x, y ) = M ( x, y ) dx =
( x, y )
( y),
( 2.38.)
н и ; ( x, y )
де ( y ) – прои о на ди ерен ир е а
– пер ообра на о M ( x, y ) . Да ее, ди ерен ир е ( 2.38.) по
y и с че о
оро о ра енс а и ( 2.37.) по чае ра нение
д опреде ени
н ии ( y ) :
( x, y ) d = N x, y .
( )
y
Пример. Ре и
( 2 xy
Решение.
В данно с
dy
ра нение
3 y 2 ) dx
(x
2
6 xy 3 y 2 ) dy = 0 .
чае и ее
M ( x, y ) = 2 xy 3 y 2 , N ( x, y ) = x 2
6 xy 3 y 2 .
На оди
M ( x, y )
y
N ( x, y )
y
Та и обра о ,
=
=
( 2 xy
y
x
(
y
2
3 y2 ) = 2x 6 y ,
6 xy 3 y 2 ) = 2 x 6 y .
по нено с о ие
M
N
,
=
y
x
- 45 -
с едо а е но, данное ра нение
е с ра нение
по н ди ерен иа а , . е. е о е а час де с и е но е с по н
ди ерен иа о не о оро
н ии F ( x, y ) .
Д
ис о о
ии F ( x, y ) и ее
н
F
F
= 2 xy 3 y 2 ,
= x2
y
x
Ин е рир
( 2 xy
F ( x, y ) =
Д
( 2.39.) по x ,счи а
пер ое и ра енс
нно , по чи
опреде ени
н
3 y 2 )dx = x 2 y 3 y 2 x
( y ) ди
ии
y пос о-
( y).
ерен ир е пос еднее
ра енс о по y , счи а x пос о нно , и, с че о
ра енс
( 2.39.)
6 xy 3 y 2
оро о и
( 2.39.) , и ее
F
= x2
y
6 xy
y
= x2
6 xy 3 y 2 ,
о с да
y
= 3y 2 ,
о да
= 3y 2 y ,
и и, ин е рир
= 3 y2 y ,
( y) =
y 3 c1 ,
де c1 – прои о на пос о нна .
По о
F ( x, y ) = x 2 y 3 xy 2
Все ре ени ис одно о ра нени
x 2 y 3xy 2
Ответ: x 2 y 3 xy 2
y3
c1 .
апи
y3 = c .
с
иде
y 3 = c – об и ин е ра , де c – прои -
о на пос о нна .
- 46 -
Задание 4. Проверить, то данные уравнения являются уравнениями в полных дифференциалах и решить их.
1.
2.
3.
4.
( x e 1) dy = 0.
(1 y sin 2 x ) dx 2 y cos x dy = 0 .
( 3x 4 y ) dx (8 xy e ) dy = 0.
e dx ( 2 y x e ) dy = 0 .
3x 2 e y dx
2
2
y
y
dx
cos 2 x
( 2 xy
y 2 y 3) dx
(x
6.
( 3x
7.
2x 1
8.
( sin 2 x
3x
2
(
2
10.
11.
e y dx
14.
x2
(1
1
x2
13.
y
y
y2
12.
2
2
5.
9.
y
3
tg x ) dy = 0.
2 x 3 y 2 ) dy = 0.
3
) dx
y
x2
y ) ) dx 2cos ( x
2cos ( x
x3
y
ln y ) dy = 2 y
3y2
dx
x4
(2y
y dy = 0.
y ) dy = 0.
dy.
2y
dy = 0.
x3
y
xe
) dy = 0.
y
dx ( y 3 ln x ) dy = 0.
x
( x cos 2 y 1) dx x 2 sin 2 y dy = 0 .
1 xy
1 xy
dx
dy = 0.
2
2
x y
xy
x
y
15.
1 e
16.
y
dx
x2
17.
xe x
dx e
x
y
1
x
y
dy = 0.
xy 1
dy = 0.
x
y
1
dx
=
dy.
2
x
x
- 47 -
18.
19.
(
x2
2x 1
y
x2
21.
(y
22.
xe y dx
23.
x dy
x2
26.
3
27.
(
x
x2y ey
2
dy = 0
y
)
tg 2 y dy = 0
y dx
= 0.
2
y
2
y
sin y
2
y dy
1 dy
x
1
dx
x
y sin x
2
y
2
= 0.
x cos y cos x
1
dy = 0.
y
y 2 sin 2 x ) dx 2 y cos 2 x dy = 0.
(1
2
28.
x
sin y
29.
3x 2
30.
xdy
= 0.
x2 y2
2
x
3x
y dy
y
2
(1
x2
( cos y xe ) dy = 0
cos x ) dx ( 3 xy e )
e y dx
25.
) dx =
e x dx
y2
20.
24.
y2
ln y ) dx = 2 y
2 dx
x
x
(x
y
2
2
1) cos y
cos 2 y 1
2
2x
cos
y
y
2
x3
dy.
y
1
x
dx
1
y
dy = 0.
2x
2x
cos
dy = 0.
y2
y
y
dx
x
- 48 -
2
y
2
1
y
x
y2
dy = 0.
Контрольные вопросы
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
VIII.
Ка ое ра нение на
ае с ди ерен иа н
ра нение с ра де енн и и ра де
и ис пере енн и? При еди е при ер .
Ка ое ра нение на
ае с однородн
ди ерен иа н
ра нение пер о о пор д а? Ка на и е о
об и ин е ра ?
Ка ое ра нение на ае с ине н
ди ерен иа н
ра нение пер о о пор д а? При еди е при ер.
На о и е осно н е е од ре ени ине н
ди ерен иа н
ра нени пер о о пор д а, че они ача с ?
Ка ое ди ерен иа ное ра нение на
ае с
ра нение Я. Берн и? У а и е е од е о ре ени .
Ка ое ра нение на
ае с ди ерен иа н
ра нение
по н ди ерен иа а ?
С ор
ир е с о ие, при о оро аданное ра нение
е с ра нение
по н ди ерен иа а .
Опреде и е
а о
ип о нос с ди ерен иа н е ра нени :
1.
x (1 y 2 )
2.
( 2 xy
3.
dy
dx
4.
x y
5.
x
y (1 x 2 )
3 y 2 ) dx
2 xy = 3 x 2
(x
dy
= 0;
dx
6 xy 3 y 2 ) dy = 0;
2
2 x4 ;
y
y = x tg ;
x
dt
t = 1;
dx
- 49 -
6.
xy 2 y = x 2
7.
(x
8.
y
dx
x
9,
y 2 ) y = 2 xy;
2
( xy
10. y
y3 ;
( y ln x ) dy = 0 ;
e ) dx x dy = 0 ;
3
x
2
y
= x4 ex y3 .
x
- 50 -
§ 3. Дифференциальные уравнения высших
порядков, допускающие понижение порядка
3.1. Уравнения вида y ( n ) = f ( x )
Расс о ри
ра нение ида
( 3.1.)
y ( n ) = f ( x) ,
де f ( x ) – непрер
н и , y = y ( x ) – неи ес на
на
н и , y ( n ) – прои одна пор д а n неи ес но
н ии
y.
Д
по
чени об е о ре ени
ра нени
ра проин е риро а е о обе час и,
ре ение ра нени ( 3.1.) б де и е
y = dx dx... f ( x ) dx = F ( x ) c1 x n
1
ре
ид:
c2 x n
2
( 3.1.) с ед е
а е че о об ее
... c n
1
x c n , ( 3.2.)
де c1 , c 2 , ..., c n – прои о н е пос о нн е.
Пример 1. Ре и
ра нение
y = sin x .
Решение.
Оче идно, данное ра нение о носи с расс а ри ае о
ид ( n = 3) . Запи е данное ра нение иде
(y )
= sin x ,
d(y
) = sin x ,
и и
dx
и и
d ( y ) = sin x dx ,
- 51 -
n
о да, проин е риро а обе час и пос едне о ра енс а, почи
d ( y ) = sin x dx ,
и и
y = cos x c1 ,
де c1 – прои о на пос о нна .
Пос па ана о ично, по чи да ее
(y )
= cos x c1 ,
и и
d(y
dx
и и
)=
cos x c1 ,
d ( y ) = ( cos x c1 ) dx ,
ин е рир
пос еднее ра енс о, по чи
d(y )=
(
cos x c1 ) dx ,
и и
y = sin x c1 x c 2 ,
де c 2 – прои о на пос о нна .
Пос па
а
е, а и ранее, б де и е
dy
= sin x c1 x c 2 ,
dx
и и
о
dy = ( sin x c1 x c 2 ) dx ,
да
dy =
(
sin x c1 x c 2 ) dx ,
о да об ее ре ение данно о ра нени б де и е
y = cos x c1
x2
2
- 52 -
c2 x c3 ,
ид
и и
x2
2
y = cos x c1
де c1 =
c1
2
, c1 , c 2 , c 3 – прои о
Ответ: y ( x ) = cos x c1
c1 , c 2 , c 3 – прои о
c2 x c3 ,
н е пос о нн е.
x2
2
c 2 x c 3 – об ее ре ение, де
н е пос о нн е.
Пример 2. На и ре ение адачи Ко и
y IV = e 2 x , y ( 0 ) = 0, y ( 0 ) = 2, y ( 0 ) = 3, y ( 0 ) = 1 .
Решение.
1) На де об ее ре ение данно о ра нени че
н
ин е риро ание е о обеи час е :
d(y
dx
ре ра -
) = e 2x ,
d(y
) = e 2 x dx ,
d ( y ) = e 2 x dx ,
1
y = e 2x
2
c1 ,
( 3.3.)
да ее,
d(y
dx
) = 1 e 2x
d(y )=
d(y )=
2
1 2x
e
2
1 2x
e
2
c1 ,
c1 dx ,
c1 dx ,
1
y = e 2 x c1 x c 2 ,
4
d ( y ) 1 2x
c1 x c 2 ,
= e
dx
4
- 53 -
( 3.4.)
d(y )=
d(y )=
1
y = e 2x
8
dy 1 2 x
= e
dx 8
1
dy = e 2 x
8
dy =
о
1 2x
e
8
1 2x
e
4
c1 x c 2 dx ,
1 2x
e
4
c1 x c 2 dx ,
c1
x2
2
c2 x c3,
c1
x2
2
c 2 x c3 ,
x2
2
c1
c1
x2
2
c 2 x c 3 dx ,
c 2 x c 3 dx ,
да об ее ре ение ис одно о ра нени и ее
1
y = e 2x
16
c1
x3
6
x2
2
c3 x c4 ,
c1 x 3 c 2 x 2
c3 x c4 ,
c2
( 3.5.)
ид
и и
y=
де c1 =
c1
6
, c2 =
c2
2
1 2x
e
16
, c1 , c 2 , c 3 , c 4 – прои о
( 3.6.)
н е пос о нн е.
Прои о н е пос о нн е c1 , c 2 , c 3 , c 4 на де
и сис е
ра нени :
1 20
e
c1 0 3 c 2 0 2 c 3 0 c 4 ,
16
1 20
02
c1
c2 0 c3,
2= e
8
2
1
3 = e 2 0 c1 0 c 2 ,
4
1
1 = e 2 0 c1 ,
2
0=
- 54 -
( 3.7.)
о ора
н
( 3.3.) , ( 3.4.) , ( 3.5.) , ( 3.6.) и аданс о и . Ре а сис е ( 3.7.) , б де и е
е ае и ра енс
нача н
1
,
16
17
,
c3 =
8
11
c2 = ,
4
3
c1 =
,
2
c
c
а , ч о c1 = 1 , c 2 = 2 , по
6
2
1
,
c1 =
4
11
c2 = ,
8
17
,
c3 =
8
1
c4 =
.
16
c4 =
и и, чи
То да ре ение данно
чи
адачи Ко и и ее
ид:
1 2 x 1 3 11 2 17
1
.
e
x
x
x
16
4
8
8
16
1 2 x 1 3 11 2 17
1
– час ное реОтвет: y ( x ) =
e
x
x
x
16
4
8
8
16
y=
ение (ре ение адачи Ко и).
- 55 -
Задание
1.
5. Решить зада у оши:
y ( 0 ) = 0, y ( 0 ) = 2, y ( 0 ) = 1
y = 3 cos 2 2 x ,
(
)
4 x
1
2
y (1) = 0, y (1) = 1, y (1) = 1, y (1) = 2
2.
y IV =
3.
y =
4.
y =2
cos x
,
sin 3 x
y
5.
sin 3 x 4
,
y =
sin 2 x
y
6.
y = 27e 3 x 120 x 3 ,
y ( 0 ) = 3, y ( 0 ) = 1, y ( 0 ) = 2
7.
y = x e x,
y ( 0 ) = 3, y ( 0 ) = 2
8.
y = x cos3 x ,
y ( 0 ) = 0, y ( 0 ) = 1
9.
y = 2sin x cos 2 x sin 3 x , y ( 0 ) = 0, y ( 0 ) = 1
x
1
( x 1)
3
,
,
y ( 2 ) = 3, y ( 2 ) = 2, y ( 2 ) =
2
2
= 0, y
= 1, y
2
= 0, y
=
2
1
2
2
4
sin x
,
3cos3 x
1
11. y = ,
x
12. y = x ln x ,
y (1) = 1, y (1) = 2, y (1) = 2
13. y = x e x ,
y ( 0) = 1, y ( 0) = 0
14. y =
ln x
,
x2
y ( e ) = 4, y ( e ) =
15. y =
1
,
2
2
sin x cos x
y
10. y =
16. y
IV
x4
,
=
1 x2
17. y = sin 2
3x
,
2
y ( 0 ) = 3, y ( 0 ) = 0, y ( 0 ) = 7
y (1) = 1, y (1) = 0
4
= 3, y
y ( 1) = 0, y
y
( 1) =
4
2
e
=0
( 1) = 2,
3, y
( 1) = 7
y ( 0 ) = 0, y ( 0 ) = 1, y ( 0 ) = 3
- 56 -
=2
18. y =
4 x3
2
4 x
x5
2
y ( 0 ) = 2, y ( 0 ) = 5
,
19. y = ( 2 3 x ) ,
y ( 2 ) = 1, y ( 2 ) = 3, y ( 2 ) = 6
20. y sin 4 x = sin 2 x ,
y
5
21. y
IV
x
x
= sin
cos
2
2
22. y =
x2
2
,
5x 6
,
x 3
e 6x
2
= ,y
2
= 2, y
2
= 1
y ( 0 ) = 1, y ( 0 ) = 5, y ( 0 ) = 3, y ( 0 ) = 8
y ( 1) = 0, y
( 1) = 1, y ( 1) = 2
25. y = tg 2 3 x ,
4
1
, y ( 0) = , y ( 0) = 1
27
9
3
y ( 0 ) = 6, y ( 0 ) = , y ( 0 ) = 2, y ( 0 ) = 5
2
y ( 0 ) = 9, y ( 0 ) = 5
26. y = sin 4 x cos 6 x ,
y ( 0 ) = 1, y ( 0 ) = 2, y ( 0 ) = 4
27. y = cos 3 2 x ,
y
23. y =
e 3x 1
y (0) =
,
24. y IV = 64sin 2 x cos 2 x ,
28. y
( )
=
x
1
2
3
1
x 1
1 cos 2 x
29. y =
,
1 cos 2 x
x2
,
30. y =
1 x2
,
4
= 0, y
4
=
4
3
y ( 4 ) = 1, y ( 4 ) = 2, y ( 4 ) = 3
y ( 0 ) = 5, y ( 0 ) = 2
y ( 0 ) = 1, y ( 0 ) = 1, y ( 0 ) = 0 .
- 57 -
3.2. Уравнения, не содержащие искомой функции
I. Ди ерен иа ное ра нение n - о пор д а, не содер а ие
ис о о
н ии, и ее ид
(
)
( 3.8.)
F x, y , y ,..., y ( n ) = 0 ,
Пор до е о о е б
ен
пони ен на едини
с по о
y = p( x) ,
де p ( x ) – но а ис о а
Та а
н
( 3.9.)
и .
ра нение ( 3.8.)
а ена при оди
а-
(
F x, p, p , p ,..., p ( n
1)
ра нени
)=0
( 3.10.)
II. Ди ерен иа ное ра нение о орое не содер и ни ис очио
н ии y , ни ее прои одн до пор д а ( k 1)
е но, . е. и ее
ид
(
F x, y ( k ) , y ( k
1)
)
( 3.11.)
,..., y ( n ) = 0 ,
пони ен на k едини
Е о пор до о е б
подс ано и
ре
а е
( 3.12.)
н и . То да ра нение ( 3.11.)
y( k ) = p ( x ) ,
де p ( x ) – но а ис о а
прини ае
ид
(
F x, p, p , p ,..., p ( n
Пос е опреде ени
од
и
ра нени
k
)
) = 0.
н ии p ( x ) ис о
( 5) k - ра н
( 3.13.)
н и
y ( x ) на-
ин е риро ание е о обеи
час е .
III. Ди ерен иа н е ра нени , о ор е содер а о о
д е пос едо а е н е прои одн е неи ес но
н ии, . е.
ра нени ида
- 56 -
(
F y(n
Ес и
1)
)
ид
(y( ))
y(n) =
и ре ае с с по о
де p ( x ) – но а ис о а
1)
= p( x)
н
и .
Та а подс ано а ( 3.16.) при оди
Опреде и и
ра нение ( 3.16.) , на од
( 3.16.)
ра нение ( 3.15.)
dp
= ( p).
dx
ра нени ( 3.17.) н
Пример 1. Ре и
( 3.15.)
n 1
подс ано и
y(n
ее
о носи е но y ( n ) , о
о ра нение дае с ра ре и
оно прини ае
( 3.14.)
, y(n) = 0.
( 3.17.)
и
p ( x ) и подс а и
неи ес н
н
и
y ( x) .
ра нение.
y =5 y
1
.
x
Решение.
Данное ра нение не содер и ис о о
д
ид
а ен
y = p( x) и y = p ( x)
н
ии y , по о
е о ре ени про еде
де p ( x ) – но а ис о а
при е
н
( 3.18.)
и . То да данное ра нение
ид
p =5 p
1
,
x
и и
dp
1
=5 p .
dx
x
Ра де и пере енн е, по чи
dp
dx
,
=5
p
x
- 57 -
о
да, ин е рир , б де и е
dp
dx
,
=5
p
x
и и
ln p = 5ln x
ln c1 ,
и и
p ( x ) = c1 x 5 ,
де c1 – прои о на пос о нна .
Подс а
на денн
ра енс
( 3.18.) , по чи
нача но ис о о
p( x)
пер ое ра нение и
ра нение д
опреде ени пер о-
н
и
ии y ( x ) :
н
y = c1 x 5 ,
ре а
о орое, б де и е
dy
= c1 x 5 ,
dx
и и, ра де и пере енн е,
dy = c1 x 5 dx .
Пос е ин е риро ани по чи
dy = c1 x 5 dx ,
и и
y=
c1
x6
c2 ,
y = c1 x 6
c2 ,
6
и и
де c1 =
c1
6
, c 2 – прои о
н е пос о нн е.
Ответ: y ( x ) = c1 x 6 c 2 – об ее ре ение, де c1 , c 2 – прои о н е пос о нн е.
- 58 -
Пример 2. На и об ее ре ение ди
нени
ерен иа но о ра -
2 y = x 3.
xy
Решение.
Данное ра нение не содер и ис о о
о прои одно y . Сде ае
н
ии y и ее пер-
а ен
y = p( x) ,
де p ( x ) – но а неи ес на
н
То да данное ра нение при е
( 3.19.)
и .
ид
2 p = x3 ,
x p
и и
2
p = x2
x
p
( 3.20.)
Пос еднее ра нение
е с ине н
ди ерен иа н
ра нение пер о о пор д а о носи е но но о неи ес но
н ии p ( x ) , о орое ре и
е одо И. Берн и. Неи ес н
н
и
p ( x ) б де ис а
иде
( 3.21.)
p = u v,
де u = u ( x ) , v = v ( x ) – неи ес н е
И
н
ии.
( 3.21.) и ее
p=u v u v ,
Подс а и
ра нение ( 3.20.)
чере u и v и
( 3.21.) и ( 3.22.) , по чи
u v u v
ес о p и p и
( 3.22.)
ра ени
2
u v = x2 ,
x
и и, пос е р ппиро и с а ае
е о час и по ченноо ра енс а и несени об е о но и е
а с об и,
u v u v
- 59 -
2
v = x2.
x
( 3.23.)
Ф н
и
v ( x ) на де
а одно и ре ени
2
v = 0,
x
v
о орое
е с
и. И а , и ее
ра нени
ра нение с ра де
и ис пере енн -
dv 2
= v,
dx x
и и
dv 2
= dx ,
v x
пос е ин е риро ани
dv
dx
=2
,
v
x
о
да
ln v = 2ln x ,
и и
v( x) = x 2 .
То да д
опреде ени
н
( 3.24.)
ии u ( x ) б де и е
ра нение
u v = x2 .
Пос е подс ано и
пос еднее
на денно
н ии v ( x ) по чи
ра нение
ра ени
д
u x2 = x2,
и и
du
= 1,
dx
и и
du = dx ,
о
да, ин е рир ,
du = dx ,
u ( x ) = x c1 ,
- 60 -
( 3.25.)
де c1 – прои о на пос о нна .
То да, чи
и ес на
а ра енс а ( 3.24.) и ( 3.25.) , по
н
и p ( x ) и ее
ид
p ( x ) = x 3 c1 x 2 .
Подс а
ра ение ( 3.26.) д
на денное
ра енс о ( 3.19.) , б де и е
чае , ч о не-
с ед
ее ди
( 3.26.)
н ии p ( x )
ерен иа ное
ра нение д опреде ени пер онача но неи ес но
н ии y ( x ) , а и енно, ра нение
y = x3
о орое ре и д
И ее
ра н
c1 x 2 ,
ин е риро ание обеи час е .
d(y
dx
) = x3
и и, пос е ра де ени пере енн
d ( y ) = (x3
c1 x 2 ,
,
c1 x 2 ) dx .
Ин е рир , по чи ,
y =
c1
1 4
x
4
3
x3
c2 .
Да ее, пос па ана о ично, б де и е
dy 1 4
= x
dx 4
c1
3
x3
c2 ,
и и
dy =
о
1 4
x
4
c1
3
x3
c 2 dx ,
да
dy =
1 4
x
4
c1
3
и и
- 61 -
x3
c 2 dx ,
1 5 c1 4
x
x
20
12
y=
и и, по а а
c1
12
= c1 , по
ис одно о ра нени
c2 x c3 ,
чи о онча е но об ее ре ение
иде
y=
1 5
x
20
c1 x 4
c2 x c3,
де c1 , c 2 , c 3 – прои о н е пос о нн е.
Ответ: y =
1 5
x
20
c1 , c 2 , c 3 – прои о
Пример 3. Ре и
c1 x 4
c 2 x c 3 – об ее ре ение, де
н е пос о нн е.
адач Ко и д
ра нени
y = 2 y , y ( 0 ) = 0, y ( 0 ) = 1, y ( 0 ) = 2 .
Решение. Данное ра нение содер и о о д е пос едо ае н е прои одн е неи ес но
н ии y и y . Пони и
е о пор до с по о
а ен
y = p( x) ,
де p ( x ) – но а неи ес на
( 3.27.)
н
и .
То да ис одное ра нение при е
ид
p = 2p,
и и
dp
= 2p,
dx
То да
dp
= 2dx ,
p
о
да, ин е рир , по чи
dp
= 2 dx ,
p
ln p = 2 x c 0 ,
- 62 -
и и
p=e
2x c0
,
c0
де c 0 – прои о на пос о нна , и и по а а , e = c1 , и ее
( 3.28.)
p = c1 e 2 x ,
де c1 – прои о на пос о нна .
То да, подс а
на денное
ра енс о ( 3.28.) , по чи
о
н
ра ение д
ра нение д
н
ии p ( x )
опреде ени ис о-
ии y ( x )
y = c1 e 2 x .
Проин е рир е пос еднее ра енс о пос едо а е но д а
ра а. По чи
d(y
dx
) =c
1
e 2x ,
и и
d ( y ) = c1 e 2 x dx .
То да
d ( y ) = c1 e 2 x dx ,
о
да
1
y = c1 e 2 x
2
c2 ,
де c 2 – прои о на пос о нна .
Да ее, пос па ана о ично, б де и е
dy 1
= c1 e 2 x
dx 2
c2 ,
и и
dy =
о
1
c1 e 2 x
2
c 2 dx ,
да
1
y = c1 e 2 x
4
c2 x c3 ,
- 63 -
де c 3 – прои о на пос о нна .
1
4
По а а c1 = c1 , о онча е но по чи об ее ре ение исодно о ди
ерен иа но о ра нени
y = c1 e 2 x
иде
( 3.29.)
c2 x c3,
де c1 , c 2 , c 3 – прои о н е пос о нн е.
Д
опреде ени пос о нн
c1 , c 2 , c 3 оспо
н и нача н и с о и и и по чи с ед
ра нени о носи е но c1 , c 2 , c 3 :
е с
адансис е
1
0 = c1 e 2 0 c 2 0 c 3 ,
4
1
1 = c1 e 2 0 c 2 ,
2
2 = c1 e 2 0 .
И по
ченно сис е
опреде е :
c1 = 2,
c 2 = 0,
c3 =
1
,
2
1
c1 = .
2
То да, подс а
с о нн
на денн е начени д
c1 , c 2 , c 3
1
y = e2 x
2
1
2
по-
об ее ре ение ( 3.29.) , по чи час ное
ре ение и и ре ение адачи Ко и,
Ответ: y ( x ) = e2 x
прои о н
иде
1
.
2
1
– час ное ре ение (ре ение адачи
2
Ко и).
- 64 -
Задание 6. айти общее решение дифференциального
уравнения:
1.
(1
x2 ) y
2.
y
x ln x = y ,
3.
x y
4.
2xy = y ,
5.
xy
6.
y tg x
7.
x2 y
8.
y
9.
x3 y
y = 1,
y = x 1,
y
1
= 0,
sin x
x y = 1,
ctg 2 x 2 y = 0 ,
10. y
x2 ) y
14. x 5 y
15. x y
x3 y = 1 ,
2y = 0,
12. x y
(1
x2 y = 1,
tg x = 2 y ,
11. x 4 y
13.
x y = 2,
2 x y = x3 ,
x4 y = 1,
y
1
= 0,
x
x = 0,
16. x y
y
17. x y
y = x,
18. y
tg x = y
19. y
tg5 x = 5 y ,
1,
x2 y = x ,
20. x3 y
21.
(x
1) y
22.
(1
sin x ) y = y cos x ,
y = x 1,
1
,
x
23. x y
y =
24. x y
2y =
25. x 4 y
26. y
2
,
x2
x3 y = 4 ,
2x
x2 1
y = 2x ,
27.
(1
x2 ) y
28.
(x
2 ) y IV = y ,
29. x y
30.
- 65 -
( cos x
2 xy = 12 x3 ,
y = 5x2 ,
2 ) y = y sin x .
3.3. Уравнения, не содержащие явно независимой
переменной
Ди ерен иа н е ра нени , не содер а ие но не а иси о пере енно , и е с ед
и об и ид
(
)
( 3.30.)
F y, y , y , ..., y ( n ) = 0 .
С по о
а ен
y = p( y) и и
( де p ( y ) – но а ис о а
ре енна ), пор до
Та
о
а
ора , ре
( 3.30.) пони ае с на едини .
пере енн
и се пос ед
до н б
преобра о ан
енно б а y , а и енно,
y =(y
= p ( y ( x ))
)
y =(y
)
d2p 2
=
p
dy 2
= p p
dp
dy
x
x
=
прини ае с не x , а y ,
ие прои одн е ( y , y , ... )
а , ч об не а иси о пере-
dp dp dy
=
= p p,
dx dy dx
dp
=
p
dy
y
2
p= p
( 3.31.)
н и , y – но а не а иси а пе-
ра нени
а не а иси
dy
= p( y),
dx
dy
d 2p
=
p
dx
dy 2
(p )
p2
2
dp dp
dy dy
p,
… … … … … … … … … … … …
(
y ( n ) = g p, p , ..., p ( n
де p
(i)
1)
),
dip
, i = 1, 2, ..., n 1 .
=
dy i
- 66 -
p=
( 3.32.)
Подс ано и ( 3.31.) и ( 3.32.)
ди
ра нение ( 3.30.) при од
( n 1) - о пор д а о носи е н ии p ( y ) :
ерен иа но
ра нени
но но о неи ес но
(
F1 y, p, p , ..., p ( n
1)
Ес и дае с на и об и ин е ра
)=0
( 3.33.)
ра нени
( 3.33.)
( y, p, c , c , ..., c ) = 0 ,
1
о соо но ение
2
( y, y , c , c , ..., c ) = 0
1
2
е с ди ерен иа н
о оро о и на од ис о
ра нени
n 1
( 3.34.) , и е
( 3.34.)
n 1
ра нение пер о о пор д а, и
н и y ( x ) . Об и ин е ра
и
ид
( x, y, c , c , ..., c ) = 0 ,
1
2
n
де c1 , c 2 , ..., c n – прои о н е пос о нн е,
( 3.30.) .
ин е ра о ис одно о ра нени
За е и
а
е, ч о при ос
о на по ер ре ени
но о
ре ени
е с об и
ес
ении а ен
( 3.31.) о -
y = const . Непосредс енно
необ оди о про ери
на ичие
ра нени
подс а-
( 3.30.)
а о о ида.
Пример. Ре и
(y )
адач Ко и
2
2 y y = 0, y (1) = 1, y (1) = 1.
Решение. Данное ра нение не содер и
но не а иси о
ип .
пере енно x , а по о о носи с расс а ри ае о
По а ае
y = p,
де p = p ( y ) – но а неи ес на
си а пере енна .
- 67 -
н
и , y – но а не а и-
( 3.32.) и ее
И ра енс
dp
p.
dy
y = p p=
То да данное ра нение при е
ид
p2
2y p p = 0,
p2
2 yp
и и
dp
= 0.
dy
Ра де и обе час и пос едне о ра нени на p (с ед е не
аб
ре ение p = 0 ):
допо ни е но исс едо а
p 2y
о ра нение с ра де
dp
= 0.
dy
и ис пере енн
2y
2
dp
= p,
dy
dp
dy
,
=
p
y
2ln p = ln y
о
и. Ре и е о
ln c12 ,
да, по ен ир , на оди , ч о
p =
2
c12
y
,
и и
p=
c1
y
,
де c1 – прои о на пос о нна .
Учи
де ени
а
а ен p = y =
н
ии y ( x ) :
dy
, по
dx
- 68 -
чае
ра нение д
опре-
c1
dy
=
,
dx
y
о орое
и. Ра де
е с ра нение с ра де
пере енн е, и ее
( 3.35.)
и ис пере енн -
y dy = c1 dx .
Ин е рир , по
чае об ее ре ение
2 32
y = c1 x c 2 ,
3
иде
( 3.36.)
де c2 – прои о на пос о нна .
И аданн
нача н
с о и на оди , ч о прои о н е
пос о нн е c 1 и c 2 до е ор
сис е е ра нени :
2
1 = c1 1 c 2 ,
3
1 = c1 ,
о
да на оди
c1 = 1,
c2 =
1
.
3
Подс а
на денн е начени д прои о н пос о нc1 и c 2 об ее ре ение ( 3.36.) , по чае час ное ре ен
ние, ре ение адачи Ко и,
иде
2 23
1
,
y =x
3
3
и и
3
2
2 y = 3 x 1,
и и
3
2
y =
3x 1
.
2
- 69 -
Во од обе час и пос едне о ра енс а
2
, по
3
с епен
-
чи о онча е но ис о ое ре ение адачи Ко и
2
1
y=
( 3x 1) 3 .
3
4
Та
а
о исс ед е
про ессе ре ени при оди ос де и
допо ни е но с
ча
p = 0 , . е.
y = const . Оче идно ре ение y = c ( де c = const )
по
dy
= 0, и и
dx
о е б
чено и об е о ( 3.36.) при c1 = 0 .
2
1
Ответ: y ( x ) =
( 3x 1) 3 – ре ение адачи Ко и.
3 4
- 70 -
на p ,
Задание
7.
айти решение зада и оши:
1.
4 y 3 y = y 4 1,
y ( 0 ) = 2, y ( 0 ) =
2.
y = 128 y 3 ,
y ( 0 ) = 1, y ( 0 ) = 8 .
3.
y y3
4.
y
5.
y = 32 sin 3 y cos y ,
6.
y = 98 y 3 ,
7.
y y3
8.
4 y 3 y = 16 y 4 1,
9.
y
64 = 0 ,
2sin y cos3 y = 0 ,
49 = 0 ,
8sin y cos3 y = 0 ,
1
2 2
y ( 0 ) = 4, y ( 0 ) = 2 .
y ( 0 ) = 0, y ( 0 ) = 1 .
y (1) =
, y (1) = 4 .
2
y (1) = 1, y (1) = 7 .
y ( 3) = 7, y ( 3) = 1 .
y (0) =
2
1
.
, y ( 0) =
2
2
y ( 0 ) = 0, y ( 0 ) = 2 .
10. y = 72 y 3 ,
y ( 2 ) = 1, y ( 2 ) = 6 .
11. y y 3 36 = 0 ,
y ( 0 ) = 3, y ( 0 ) = 2
12. y = 18 sin 3 y cos y ,
y (1) =
13. 4 y 3 y = y 4 1 6,
y ( 0 ) = 2 2, y ( 0 ) =
14. y = 50 y 3 ,
y ( 3) = 1, y ( 3) = 5 .
15. y y 3
16. y
25 = 0 ,
18 sin 3 y cos y = 0 ,
2
, y (1) = 3 .
y ( 2 ) = 5, y ( 2 ) = 1.
y ( 0 ) = 0, y ( 0 ) = 3 .
18. y = 32 y 3 ,
, y (1) = 2 .
2
y ( 4 ) = 1, y ( 4 ) = 4 .
19. y y 3 16 = 0 ,
y (1) = 2, y (1) = 2 .
17. y = 8 sin y cos3 y ,
20. y
32sin y cos3 y = 0 ,
1
.
2
y (1) =
y ( 0 ) = 0, y ( 0 ) = 4 .
- 71 -
y (1) =
22. y = 18 y 3 ,
, y (1) = 5 .
2
y (1) = 1, y (1) = 3 .
23. y y 3 9 = 0 ,
y (1) = 1, y (1) = 3 .
3
4
24. y y = 4 ( y 1) ,
y ( 0 ) = 2, y ( 0 ) = 2 .
21. y = 50 sin 3 y cos y ,
25. y
y ( 0 ) = 0, y ( 0 ) = 5 .
50sin y cos3 y = 0 ,
y ( 0 ) = 1, y ( 0 ) = 2 .
26. y = 8 y 3 ,
27. y y 3
y ( 0 ) = 1, y ( 0 ) = 2 .
4 = 0,
28. y = 2 sin 3 y cos y ,
y (1) =
29. y 3 y = y 4 16 ,
y ( 0 ) = 2 2, y ( 0 ) = 2 .
30. y = 2 y 3 ,
y ( 1) = 1, y
2
, y (1) = 1 .
( 1) = 1.
Контрольные вопросы
I. Ка и способо ре а
с
ра нени
ида y ( n ) = f ( x ) ? О -
е по сни е на он ре н при ера .
II. Ка о об и ид и е
ра нени n го пор д а, не содер а ие ис о о
н ии? При еди е при ер и аи е способ ре ени .
III. Ка о об и ид и е
ди ерен иа н е ра нени
n го пор д а, не содер а ие
но не а иси о пере енно ? При еди е при ер
а и
ра нени и
а и е
способ и ре ени .
IV. Ка ие и перечис енн
ди ерен иа н
ра нени
о но ре и пони ение и пор д а? У а и е соо е с
и способ ре ени .
a ) y = 2sin x , б ) y
д) x 3 y
2 y = 6 x , в) y = ( y
4 x 2 y = 10 , е) y =
- 72 -
) , г) 3 y
y
, ж) y
x
3
y2 = x ,
y
= cos x .
x2
- 73 -
§4. Линейные дифференциальные уравнения
порядка n
4.1. Линейные однородные дифференциальные уравнения порядка n с постоянными коэффициентами
Определение 1. инейным однородным дифференциальным
уравнением порядка n с постоянными ко ффициентами наае с ра нение ида
a n y( n )
an
y( n
1
1)
( 4.1.)
a0 y = 0,
... a1 y
де a n , an 1 , an 2 , ..., a1 , a 0 – и ес н е пос о нн е о
, приче
0; y = y ( x ) – неи ес на
an
н
и иен-
и ар
ен а
x , y ( n ) , y ( n 1) , …, y – ее прои одн е пор д а n, ( n 1) , ..., 1
соо е с енно.
При еде осно н е свойства решений ине но о однородно о ра нени ( 4.1.) .
I. Ес и y1 , y2 , ..., ym – ре ени
и
ине на
( 4.1.) , о и
ра нени
о бина и
( 4.2.)
c1 y 1 c 2 y 2 ... c m y m ,
а
е
ба
е с ре ение
ра нени
( 4.1.) , де c1 ,
c2 , ..., cm
– не о ор е пос о нн е.
II. Ес и ине ное однородное ра нение ( 4.1.) с де с ие н
и о
y = u i v, о
и иен а и и ее о п е сное ре ение
н ии u = Re y и v = Im y о де нос и
с ре ени
и ра нени
Определение 2. Ф н ии
1
( 4.1.) .
( x ) , 2 ( x ) , ...,
m
нейно зависимыми на но ес е A, ес и с
н е 1 , 2 , ..., m , а ие, ч о
1
1
( x)
2
2
( x)
...
- 73 -
m
m
( x)
( x ) на
а
ес
0, x
с ли-
пос о нA,
( 4.3.)
приче
2
1
Ес и
1
=
2
= ... =
е
m
2
2
2
m
...
0.
ес о и
при
( 4.2.) и ее
н ии 1 ( x ) , 2 ( x ) , ..., m ( x ) на
а-
о дес о
= 0, о
с линейно независимыми.
Определение 3. Л ба сис е а и n ине но не а иси
реени y1 ( x ) , y2 ( x ) , ..., yn ( x ) ине но о однородно о ра не-
( 4.1.) на ае с фундаментальной системой решений
ра нени ( 4.1.) .
III. Об ее ре ение ине но о однородно о ра нени ( 4.1.)
ни
предс а е собо
ине н
о бина и
а н ре ени , . е. и ее ид
нда ен-
y ( x ) = c1 y1 ( x ) c2 y2 ( x ) ... cn yn ( x ) ,
( 4.4.)
де c1 , c2 , ..., cn – прои о н е пос о нн е, а y1 ( x) , y2 ( x ) ,
y3 ( x ) , ..., yn ( x ) –
нда ен а на сис е а ре ени
ра -
( 4.1.) .
Фор
а ( 4.4.) опреде е с р
р об е о ре ени ине но о однородно о ра нени ( 4.1.) .
IV. Лине ное однородное ра нение ( 4.1.) се да и ее ренени
ение y 0 , о орое на
ае с тривиальным решением.
V. Задача Ко и д
ине но о однородно о ди ерен иа но о ра нени n- о пор д а с пос о нн и о
ииен а и a n y ( n ) an
1
y(n
1)
... a1 y
a0 y = 0,
y ( x0 ) = y0 ,
y ( x0 ) = y0 ,
y ( x0 ) = y0 ,
... ... ... ...
y ( n 1) ( x0 ) = y0( n 1) .
- 74 -
( 4.5.)
се да и ее и при о единс енное ре ение при
нача н
с о и ( 4.5.) .
б
Определение 4. арактеристическим уравнением д
ине но о однородно о ди ерен иа но о ра нени пор д а n с
пос о нн и о
и иен а и
an y (
на
n)
an 1 y (
n 1)
... a1 y
a0 y = 0
ае с а ебраичес ое ра нение с епени n ида
an k n an 1 k n 1 ... a1 k a0 = 0 .
Та и
обра о , ч об
ние ( 4.6.) , надо
сос а и
( 4.6.)
ара ерис ичес ое ра не-
ра нении ( 4.1.) а ени
y ( n 1) , …, y соо е с енно с епен
прои одн е y ( n ) ,
и неи ес но
е ичин
k, очнее, по а а е с епени с осно ание k до ен б
раен пор д
соо е с
е прои одно неи ес но
н ии y , а са а ис о а
н и y а енена едини е
( . е. k 0 ).
Здес о о н с ед
ие с чаи:
1. Ес и се орни ара ерис ичес о о ра нени
( 4.6.)
k 1 , k 2 , k 3 , ..., k n – чис а е ес енн е и не ра н е ( . е.
среди ни не ра н
y1 ( x ) = e
обра
k1 x
е д собо ), о
, y2 ( x) = e
k2 x
нда ен а н
н
, ..., yn ( x ) = e
сис е
ии
( 4.7.)
kn x
ре ени
ра нени
( 4.1.) .
2. Ес и се орни ара ерис ичес о о ра нени
чис а е ес енн е, но среди ни ес
ра н е е д собо ), о а до
орн
p соо е с
y1 ( x ) = e
и
ра н е ( . е.
ki ра нос и
е p ине но не а иси
ki x
, y2 ( x) = x e
ki x
нда ен а но сис е
- 75 -
н
, ..., y p ( x ) = x p
ре ени
( 4.6.) –
и
ида
( 4.8.)
ра нени ( 4.1.) .
1
e
ki x
3. Ес и среди орне
( 4.6.)
ара ерис ичес о о ра нени
и е с о п е сн е, но не ра н е е д собо ( и
орни се да од
о п е сно сопр енн и пара и
i ), о а до паре о п е сно сопр енн
орне
i соо е с
е д е ине но не а иси
y1 ( x ) = e
и
x
cos x и y2 ( x ) = e
нда ен а но сис е
x
е
н
ии
( 4.9.)
ра нени ( 4.1.) .
sin x
ре ени
4. Ес и е среди о п е сн
орне ара ерис ичес о о
ра нени ( 4.6.) и е с ра н е, о а до паре о п е сно сопр
енн
i ра нос и p ( о -
орне
п е сно сопр енн е орни ара ерис ичес о о ра нени се да и е одн и
е ра нос ) соо е с е 2 p ине но не а иси
н и ида
e
x
cos x; x e
x
cos x; x 2 e
e
x
sin x; x e
x
sin x; x2 e
x
x
cos x; ...; x p
sin x; ...; x p
1
1
e
e
x
x
cos x;
sin x;
( 4.10.)
Та и обра о , ине н е однородн е ра нени с пос онн и о
и иен а и се да о но ре и
е енарн
н и , приче ре ение с оди с
а ебраичес и опера и .
Пример 1. Ре и
адач Ко и д
ди ерен иа но о ра нени
y
Решение.
Сос а е
9y
ине но о однородно о
20 y = 0, y ( 0 ) = 0, y ( 0 ) = 1.
ара ерис ичес ое ра нение ида ( 4.6.)
k2
9k
20 = 0 .
На оди е о орни k 1 = 4, k 2 = 5 , о ор е е ес енн и не
ра н
сис е
е д собо ( . е. не ра н е). То да нда ен а н
ре ени ( ра о ФСР) обра
н ии
y1 ( x ) = e 4 x , y2 = e 5 x .
- 76 -
С едо а е но, об ее ре ение ис одно о ди ерен иа ноо ра нени ес
ине на о бина и
нда ен а н
ре ени y1 ( x ) и y2 ( x ) , а и енно
y ( x ) = c1 e
4x
5x
c2 e
( 4.11.)
,
де c1 , c 2 – прои о н е пос о нн е.
Да ее по аданн
нача н
с о и опреде и пос о нн е c1 и c2 , д че о, пре де се о, на де прои одн о
об е о ре ени
( 4.11.) :
y ( x) =
4c 1 e
сис е
5c 2 e
5x
,
( 4.12.)
( 4.11.) , ( 4.12.) и по чи
Подс а и нача н е с о и
с ед
4x
ра нени д
опреде ени c1 и c2 :
0 = c1 c 2 ,
1 = 4c1 5c 2 ,
о
да на оди
и ее
c1 = 1,
То да ис о ое ре ение адачи Ко и
c 2 = 1.
ид
y ( x) = e
Ответ: y ( x ) = e
4x
Пример 2. Ре и
5x
e
и и
e
5x
.
.
ра нение
y
Решение. Сос а
4x
е
2y
y = 0.
ара ерис ичес ое ра нение
k 3 2k 2 k = 0 ,
k (k 2
2k 1) = 0 .
Е о орни k 1 = 0, k 2 = 1, k 3 = 1 – е ес енн , но среди ни
ес
ра н е ( k 2 = k 3 ) . По о
ре ени сос ои и
н
и
- 77 -
нда ен а на сис е а
y 1 ( x ) = e 0 x = 1,
y2 ( x) = e x ,
y3 ( x) = x e x.
С едо а е но, об ее ре ение данно о ра нени ес
не на о бина и
нда ен а н
y ( x ) = c1 1 c 2 e x c 3 x e x ,
и-
де c1 , c 2 , c 3 – прои о н е пос о нн е.
Ответ: y ( x ) = c1 c 2 e x c 3 x e x , де c1 , c2 , c3 – прои о н е пос о нн е.
Пример 3. На и час ное ре ение ине но о однородно о
ра нени с пос о нн и о
и иен а и, до е ор ее аданн
нача н
с о и :
y 6 y 10 y = 0, y ( 0 ) = 1, y ( 0 ) = 0 .
Решение. Хара ерис ичес ое ра нение
k 2 6k 10 = 0
и ее одн пар
о п е сно сопр
То да
нда ен а на
н и
орне k 1,2 = 3 i .
енн
сис е а ре ени
y1 ( x ) = e 3 x cos x,
y2 ( x ) = e
3x
sin x.
сос ои и д
.
С едо а е но, об ее ре ение данно о ди
ра нени и ее ид
ерен иа но о
y ( x ) = c1 e 3 x cos x c 2 e 3 x sin x ,
и и
y ( x ) = e 3x
Д
(c
1
cos x c 2 sin x ) .
опреде ени прои о н
ча н
пос о нн
( 4.13.)
c1 и c 2 и на-
с о и надо на и y :
y ( x ) = e 3x
( c1
c 2 ) cos x
- 78 -
( c2
c1 ) sin x .
( 4.14.)
( 4.13.) и ( 4.14.) нача н е с о и , по чи сис е-
Подс а
ра нени д
опреде ени прои о н
пос о нн
c1 , c 2 :
c1 = 1,
c1 c 2 = 0,
о
да
c1 = 1,
c 2 = 1.
То да ис о ое ре ение, до е ор
ее аданн
нача н
с о и , по чи , подс а
на денн е начени д
c1 и c2 об ее ре ение ( 4.13.) :
y ( x ) = e 3 x ( cos x sin x ) .
Ответ: y ( x ) = e 3 x ( cos x sin x ) .
Пример 4. Ре и
ра нение
yV
y = 0.
Решение. Хара ерис ичес ое ра нение и ее
k 5 k 3 = 0,
и и
ид
k 3 ( k 2 1) = 0 .
Е о орни k 1 = 0, k 2 = 0, k 3 = 0, k 4,5 = i .
Среди
и
орне ес
о п е сно сопр
енн
ра н е ( k 1 = k 2 = k 3 ) и одна пара
k 4,5 = i = 0 i .
С едо а е но, нда ен а на сис е а ре ени ис одно о
ди ерен иа но о ра нени сос ои и
н и
y 1 ( x ) = e 0 x = 1,
y 2 ( x ) = x,
,
y3 ( x) = x 2.
y 4 ( x ) = e 0 x ` cos x = cos x,
y 5 ( x ) = e 0 x ` sin x = sin x .
- 79 -
По о
ис о ое об ее ре ение и ее
y ( x ) = c1 c 2 x c 3 x 2
ид
c 4 cos x c 5 sin x ,
де c1 , c 2 , c 3 , c 4 , c 5 – прои о н е пос о нн е.
Ответ: y ( x ) = c1 c 2 x c 3 x 2 c 4 cos x c 5 sin x , де c1 , c2 , c3 ,
c4 , c5 – прои о н е пос о нн е.
- 80 -
Задание
8. Решить зада у оши для линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
1.
y
8y
16 y = 0;
y ( 0 ) = 1; y ( 0 ) = 0;
2.
y
7y
6 y = 0;
y ( 0 ) = 2; y ( 0 ) = 0;
3.
y
4y
17 y = 0;
y
4.
y
8y
15 y = 0;
y ( 0 ) = 1; y ( 0 ) = 2;
5.
y
4y
4 y = 0;
y ( 0 ) = 2; y ( 0 ) = 1;
6.
y
y = 0;
7.
y
2y
y = 0;
) = 1;
y ( 2 ) = 0;
8.
y
2y
10 y = 0;
y
9.
y
7y
10 y = 0;
y ( 0 ) = 1; y ( 0 ) = 1;
10. y
6y
9 y = 0;
y ( 0 ) = 2; y ( 0 ) = 1;
11. y
6 y = 0;
12. y
10 y
13. y
16 y = 0;
14. y
8y
15. y
9 y = 0;
16. y
7y
12 y = 0;
17. y
2y
5 y = 0;
18. y
5y
6 y = 0;
19. y
9 y = 0;
= 0; y
2
y(
25 y = 0;
7 y = 0;
2
2
= 1;
( ) = 4;
y ( 2 ) = 6;
y
= 0; y
2
= 1;
y ( 0 ) = 2; y ( 0 ) = 2;
y ( 0 ) = 5; y ( 0 ) = 3;
y(
) = 1; y ( ) = 2;
y ( 0 ) = 1; y ( 0 ) = 2;
y ( ) = 0; y ( ) = 1;
y ( 0 ) = 2; y ( 0 ) = 2;
y ( 0 ) = 0; y ( 0 ) = 1;
y ( 0 ) = 5; y ( 0 ) = 0;
y ( 0 ) = 2; y ( 0 ) = 3;
- 81 -
20. y
3y
2 y = 0;
y ( 0 ) = 0; y ( 0 ) = 2;
21. y
2y
8 y = 0;
y ( 0 ) = 0; y ( 0 ) = 5;
22. y
y
23. y
y = 0;
24. y
y
25. y
4y
26. y
y
27. y
4 y = 0;
28. y
4y
29. y
16 y = 0;
30 y
6y
2 y = 0;
6 y = 0;
5 y = 0;
2 y = 0;
3 y = 0;
9 y = 0;
y ( 0 ) = 1; y ( 0 ) = 2;
y(
) = 1; y ( ) =
y ( 0 ) = 3; y ( 0 ) = 5;
y ( 0 ) = 0; y ( 0 ) = 1;
y ( 0 ) = 1; y ( 0 ) = 2;
4;
= 2; y
= 1;
y
2
2
y ( 0 ) = 3; y ( 0 ) = 7;
y
2
= 3; y
2
y ( 0 ) = 1; y ( 0 ) = 3;
- 82 -
= 1;
20. y
3y
2 y = 0;
y ( 0 ) = 0; y ( 0 ) = 2;
21. y
2y
8 y = 0;
y ( 0 ) = 0; y ( 0 ) = 5;
22. y
y
23. y
y = 0;
24. y
y
25. y
4y
26. y
y
27. y
4 y = 0;
28. y
4y
29. y
16 y = 0;
30 y
6y
2 y = 0;
6 y = 0;
5 y = 0;
2 y = 0;
3 y = 0;
9 y = 0;
y ( 0 ) = 1; y ( 0 ) = 2;
y(
) = 1; y ( ) =
y ( 0 ) = 3; y ( 0 ) = 5;
y ( 0 ) = 0; y ( 0 ) = 1;
y ( 0 ) = 1; y ( 0 ) = 2;
4;
= 2; y
= 1;
y
2
2
y ( 0 ) = 3; y ( 0 ) = 7;
y
2
= 3; y
2
y ( 0 ) = 1; y ( 0 ) = 3;
- 82 -
= 1;
4.2. Линейные неоднородные дифференциальные
уравнения порядка n с постоянными коэффициентами
Определение 1. инейным неоднородным дифференциальным
уравнением порядка n с постоянными ко ффициентами на ае с ра нение ида
a n y( n )
an
y( n
1
1)
a0 y = f ( x) ,
... a1 y
де a n , a n 1 , a n 2 , ..., a1 , a 0 – и ес н е пос о нн е о
ен
, приче
0; y = y ( x ) – неи ес на
an
н
( 4.15.)
и и-
и ар
ен-
а x , y ( n ) , y ( n 1) , …, y – ее прои одн е пор д а n, ( n 1) , ..., 1
соо е с енно, f ( x ) – и ес на
и и пра а час
н
, непрер
с чаи a =
Ес и
и (с ободн
ч ен
( 4.15.) ) о дес енно не ра на
не о оро про е
е ( a; b ) , приче ,
ра нени
на
и b=
не ис
ча
ра нении ( 4.15.) с ар и
нение ( 4.15.) прини ае
y( n )
н
an
1
с .
и иен a n = 1 , о ра -
о
ид
y( n
1)
... a1 y
a0 y = f ( x) ,
( 4.16.)
и на
ае с ине н
неоднородн
ди ерен иа н
ра нение пор д а n канонической форме.
Ес и
ра нении ( 4.15.) f ( x ) 0 при се x
( a; b ) , о ра -
нение
a n y( n )
an
1
y( n
1)
... a1 y
a0 y = 0 ,
( 4.17.)
на
ае с линейным однородным дифференциальным уравнением порядка n, соответству щим неоднородному уравнени
( 4.15.) .
- 83 -
Основные свойства решений линейного неоднородного
дифференциального уравнения ( 4.15.)
I. Общее решение y O.H. ( x ) ине но о неоднородно о ра -
( 4.15.) ра но с
нени
е об е о ре ени y O.O. ( x ) соо -
е с
е о е
ине но о однородно о ра нени
( 4.17.) и а о о-ниб д час но о ре ени y ×.H. ( x ) дан-
( 4.15.) , . е. на оди с по
но о неоднородно о ра нени
ор
е:
y O.H. ( x ) = y O.O. ( x )
( 4.18.)
y ×.H. ( x ) .
II. Принцип суперпозиции решений
Ес и пра а час
ине но о неоднородно о ра нени
( 4.15.) ес с а m н и , . е., ра нение ( 4.15.) и ее
ид:
an y ( n )
an
1
y(n
1)
... a1 y
a 0 y = f1 ( x ) ...
f m ( x ) ( 4.19.)
и y1 ( x ) , y2 ( x ) , ..., ym ( x ) – соо е с енно час н е ре ени
ра нени
an y (
n)
an y (
n)
an
y(
n 1)
1
an
y(
n 1)
1
... a1 y
a 0 y = f1 ( x ) ,
... a1 y
a 0 y = f2 ( x ) ,
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
an y ( n )
an
1
y(n
1)
... a1 y
о час ное ре ение y ( x )
час н
ор
ре ени
a 0 y = fm ( x ) ,
ра нени
ра нени
( 4.20.)
( 4.19.) ес
с
а
( 4.20.) , . е. на оди с по
е:
y ( x ) = y1 ( x )
y2 ( x ) ...
ym ( x ) .
III. Задача Ко и д
ине но о неоднородно о ди ерен иа но о ра нени с пос о нн и о
и иен а и ( 4.15.)
an y ( n )
an
1
y(n
1)
... a1 y
- 84 -
a0 y = f ( x) ,
y ( x0 ) = y0 ,
y ( x0 ) = y0 ,
y ( x0 ) = y0 ,
( 4.21.)
... ... ... ...
y(n
1)
(x ) = y (
0
n 1)
0
.
се да и ее и при о единс енное ре ение при
нача н
с о и .
A.
б
етод вариации (изменения) произвольных
постоянных (метод Лагранжа)
С нос
ре ае с
о о е ода сос ои с ед
е . Пер онача но
ине ное однородное ра нение
y( n)
соо е с
нени
an
1
y(n
1)
ее данно
y( n)
an
1
y(n
1)
... a1 y
( 4.22.)
a0 y = 0,
ине но
неоднородно
ра -
... a1 y
a0 y = f ( x)
( 4.16.)
Здес , не о раничи а об нос и,
по о и и a n = 1 , . .
о о се да о но доби с , ра де и обе час и ра нени
( 4.15.) на a n 0 .
По чи об ее ре ение y O.O. ( x ) соо е с
о однородно о ра нени
е о ине но-
( 4.22.)
y O.O. ( x ) = c1 y 1
c2 y2
... c n y n
( 4.23.)
( де c1 , c2 , ..., cn – прои о н е пос о нн е, y1 , y2 , ..., yn –
н-
да ен а на сис е а ре ени ине но о однородно о ра нени ( 4.22.) ), пос па
а : по а а , ч о ре ении ( 4.23.) еичин
c1 , c2 , c3 , ..., cn
с не пос о нн
- 85 -
и, а
н и
и
не а иси о пере енно x , и ре ение ине но о неоднородиде:
но о ра нени ( 4.16.) и
y O.H. ( x ) = c1 ( x ) y 1
де
н
c2 ( x) y2
... c n ( x ) y n ,
ии c1 ( x ) , c 2 ( x ) , ..., c n ( x ) опреде
( 4.24.)
с и сис е
ра нени :
c1 ( x ) y 1
c2 ( x) y 2
c1 ( x ) y 1
c2 ( x) y 2
... c n ( x ) y n = 0,
... c n ( x ) y n = 0,
( 4.25.)
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
c1 ( x ) y 1( n
2)
c 2 ( x ) y (2n
2)
c1 ( x ) y 1( n
1)
c 2 ( x ) y (2n
1)
О носи е но
н
и
... c n ( x ) y (nn
... c n ( x ) y (nn
2)
1)
= 0,
= f ( x),
c1 ( x ) , c 2 ( x ) , ..., c n ( x ) сис е а ( 4.25.)
е с сис е о n ине н неоднородн а ебраичес и
ра нени , приче
а н
опреде и е
о сис е
– определитель ронс о о
=W =
y1
y 2 ... ... y n
y1
y 2 ... ... y n
... ... ... ... ...
y 1( n 1) y (2n 1) ... y (nn
д
( 4.26.)
1)
( a; b ) .
сис е а ( 4.25.) и ее единс енное ре ение:
бо о x
По о
c1 ( x ) =
( x),
2 ( x),
1
c2 ( x ) =
... ... ... ...
cn ( x ) =
о
0
да
- 86 -
n
( x),
( 4.27.)
c1 ( x ) =
1
( x )dx
c2 ( x) =
2
c1 ,
( x ) dx
c2,
( 4.28.)
... ... ... ... ... ... ...
cn ( x) =
n
( x ) dx
cn,
де c1 , c2 , ..., cn – прои о н е пос о нн е.
Учи
а ра енс о ( 4.24.) , об ее ре ение y O.H. ( x ) ине но-
о неоднородно о ра нени
риа ии прои о н
y O.H. ( x ) = c1 y1
( 4.16.) , на денное е одо
пос о нн
c2 y2
, по
чае
n
... cn yn
i =1
y O.O.
(
i
а-
иде
( x)
dx
)
yi
( 4.29.)
y ×.Í .
Пример 1. Ме одо ариа ии прои о н пос о нн реи
ине ное неоднородное ди ерен иа ное ра нение:
y 2 y 3 y = e4 x .
( 4.30.)
Решение.
1) Соо е с
ее однородное ра нение
y 2 y 3y = 0.
( 4.31.)
Хара ерис ичес ое ра нение:
k2
и ее д а ра ичн
2k 3 = 0
де с и е н
орн
k 1 = 1, k 2 = 3 .
То да
нда ен а на сис е а ре ени ине но о однородно о ди ерен иа но о ра нени ( 4.31.) сос ои и
н и
y1 ( x ) = e x , y 2 ( x ) = e 3 x .
С едо а е но, об ее ре ение y O.O. ( x )
но о ра нени
( 4.31.) и ее ид:
y O.O. ( x ) = c1 e x
- 87 -
c 2 e 3x ,
ине но о однород-
де c1 , c 2 – прои о н е пос о нн е.
2) Об ее ре ение ис одно о ине но о неоднородно о
ра нени ( 4.30.) , со асно е од Ла ран а, б де иса
иде
y O.H. ( x ) = c1 ( x ) e
де
ии c1 ( x ) и c2 ( x ) опреде
н
c1 ( x ) e
опреде и е
=W =
e
x
e
x
e 3x
3e 3 x
с и сис е
3x
4x
– опреде и е
Вронс о о
бо о x R , по о
сис е-
единс енное ре ение,
о орое
0 д
а ( 4.33.) и ее и, при о
( 4.33.)
3c2 e = e .
x
о сис е
= 4e 2 x
( 4.32.)
c2 e3 x = 0,
x
c1 ( x ) e
Г а н
c 2 ( x ) e 3x ,
x
на де по е од Кра ера:
1 =
0
e 3x
e 4 x 3e 3 x
= e ,
7x
2
=
e
x
e
x
0
e 4x
= e 3x .
То да
c1 ( x ) =
1 5x
e ,
4
( 4.34.)
1
c2 ( x ) = e x ,
4
Ин е рир
ра енс а ( 3.69.) , на оди
1 5x
1 5x
e dx =
e
4
20
1 x
1
c2 ( x ) =
e dx = e x c2 ,
4
4
c1 ( x ) =
де c1 , c2 – прои о н е пос о нн е.
- 88 -
c1 ,
( 4.35.)
Подс а
на денн е
ра ени д
н
и c1 ( x ) и c2 ( x )
ра енс о ( 4.32.) , по чи ис о ое ре ение данно о ине -
( 4.30.)
но о неоднородно о ра нени
y O.H. ( x ) = c1 e
x
c2 e3 x
y o.o.
Ответ: y O.H. ( x ) = c1 e
x
c 2 e 3x
иде
1 4x
e .
5
y ÷.í .
1 4x
e , де c1 , c 2 – прои о 5
н е пос о нн е.
Ме од ариа ии прои о н
пос о нн
( е од Ларан а) – ни ерса н . Он по о е при по о и адрар на и час ное ре ение ине но о неоднородно о ди ерен иа но о ра нени ( 4.15.) , ес и и ес но об ее ре ение
соо е с
ео е
ине но о однородно о ди
а но о ра нени ( 4.17.) .
ерен и-
Ни е расс о ри
е од, по о
и на оди час ное
ре ение ине но о неоднородно о ди ерен иа но о ра нени ( 4.15.) бе при енени е ода ариа ии прои о н
пос о нн
B.
, . е. бе
чис ени ин е ра о .
етод неопределенных коэффициентов для нахождения
астного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
П с
ра нении
a n y( n )
де о
пра а час
an
и иен
н
f ( x) = e
1
y(n
1)
... a1 y
a0 y = f ( x) ,
( 4.15.)
an , an 1 , ..., a1 , a 0 – де с и е н е чис а,
ии f ( x ) , и ее
x
ид:
Pn ( x ) cos x Qm ( x ) sin x ,
- 89 -
( 4.36.)
де ,
– и ес н е де с и е н е пос о нн е, Pn ( x) , Qm ( x)
но оч ен соо е с енно с епени n и m с де с и е н и
о
и иен а и о носи е но пере енно x . То да ине ное
неоднородное ра нение ( 4.15.) и ее единс енное час ное
ре ение ида:
y ×.Í . = x r e
x
( 4.37.)
M l ( x ) cos x N l ( x ) sin x ,
де r 0 – ра нос
он ро но о чис а ( очнее, о п е сноi пра о час и а орн ара есопр енно пар ) z =
рис ичес о о ра нени соо е с
е о ине но о однородно о ра нени ( 4.17.) ( r 0 – ре онансн с ча , r = 0 –
нере онансн
с ча ), M l ( x ) , N l ( x ) –
l = max n, m с неи ес н
но оч ен с епени
и де с и е н
и о
и иен-
а и, о ор е о
б
на ден методом неопределенных
ко ффициентов.
Та и обра о , ине н е неоднородн е ди ерен иа н е ра нени с пос о нн и о
и иен а и се да
о
б
проин е риро ан
адра ра , приче
с чае, о да пра а час , с ободн
ч ен f ( x ) , и ее спе иа н
ид ( 4.36.) , ин е риро ание по с
а ебраичес и опера и
ес
с оди с
.
Пример 1. На и об ее ре ение ине но о неоднородно о
ди ерен иа но о ра нени с пос о нн и о
и иен а и
y 7 y 12 y = 5 .
( 4.38.)
Решение.
Об ее ре ение данно о неоднородно о ра нени и ее
y Î .Í . ( x ) = y Î .Î . ( x )
y ×.Í . ( x )
1) На де снача а y Î .Î . ( x ) – об ее ре ение соо е с
е о однородно о ра нени
y
7y
12 y = 0 .
- 90 -
ид
( 4.18.)
-
Хара ерис ичес ое ра нение
и ее
( 4.39.)
7 k 12 = 0
k2
орни
k 1 = 3, k 2 = 4 .
То да
нда ен а на сис е а ре ени сос ои и
y1 ( x ) = e 3 x и y 2 ( x ) = e 4 x ,
н
с едо а е но, ис о ое об ее ре ение соо е с
ине но о однородно о ра нени
y O.O. ( x ) = c1 e 3 x c 2 e 4 x ,
и
ео
де c1 , c 2 – прои о н е пос о нн е.
2) На де
y ×.Í . ( x ) – час ное ре ение данно о
неоднородно о ра нени
( 4.38.) .
Расс о ри пра
данно о ра нени
час
ине но о
f ( x) = 5
( 4.40.)
и сра ни ее с ( 4.37.) .
Та
( 4.40.) данно о ра нени ( 4.37.) не со-
а пра а час
дер и
но и е
e x , о надо счи а , ч о
= 0 (e
x
= e0 x =
= e 0 = 1).
( 4.40.) не содер и а е ни cos x , ни
о начи , ч о = 0 ( cos x = cos 0 x = 1; sin x = sin 0
Пра а час
sin x .
x = 0) .
ис о 5 пра о час и данно о ра нени надо расс а ри а
а но оч ен н е о с епени, . е. P0 ( x ) = 5 ( n = 0 ) .
Та и обра о , он ро ное чис о пра о час и ( 4.40.) и ее
ид
z=
и не
е с
орне
i = 0 0 i = 0,
ара ерис ичес о о ра нени
о о начае , ч о r = 0 (нере онансн
и ,ч о
о с чае l = 0 ( l = n ) .
- 91 -
с ча ). Та
( 4.39.) .
е а е-
С едо а е но, час ное ре ение y ×.Í . ( x ) данно о ине но о
неоднородно о ра нени б де
( 4.37.) = 0, = 0, r = 0, l = 0 ):
ис а
иде (подс а и
( 4.41.)
y ×.Í . ( x ) = A ,
де A – неи ес н
На де пер
и
де с и е н
о
и иен .
ор прои одн е y ×.Í . ( x ) :
y ×.Í . = 0, y ×.Í . = 0 .
Подс а и
ра ени д
y ×.Í . , y ×.Í . , y ×.Í .
данное ра нение
0 7 0 12 A = 5 ,
о
да
A=
5
.
12
Подс а и на денное начение д
A
( 4.41.) и по чи ча-
с ное ре ение данно о неоднородно о ра нени
y ×.Í . ( x ) =
С ад
5
.
12
а y ×.Í . ( x ) с y Î .Î . ( x ) , на оди об ее ре ение адан-
но о ра нени
y Î .Í . ( x ) = c1 e 3 x
c2 e 4x
5
,
12
де c1 , c 2 – прои о н е пос о нн е.
Ответ: y ( x ) = c1 e 3 x c 2 e 4 x
5
, де c1 , c 2 – прои о н е
12
пос о нн е.
Пример 2. Ре и
ра нение
y
y = 3x 2 5 .
( 4.42.)
Решение.
y Î .Í . ( x ) = y Î .Î . ( x )
1) Соо е с
y ×.Í . ( x ) .
ее однородное ра нение
- 92 -
( 4.18.)
y
y = 0.
Хара ерис ичес ое ра нение
k3 k2 = 0 ,
и и
k 2 ( k 1) = 0
и ее
( 4.43.)
орни
k 1 = k 2 = 0, k 3 = 1 .
То да
нда ен а на сис е а ре ени сос ои и
y1 ( x ) = e 0 x = 1,
н
и
y2 ( x ) = x ,
y3 ( x ) = e x .
С едо а е но, об ее ре ение y Î .Î . ( x ) соо е с
ео
однородно о ра нени
( 4.44.)
y Î .Î . ( x ) = c1 c 2 x c 3 e x ,
де c1 , c2 , c3 – прои о н е де с и е н е пос о нн е.
2) Д
о
с ани час но о ре ени
однородно о
y ×.Í . ( x )
ра нени
расс о ри
f ( x ) = 3x 2 5 ,
аданно о не-
е о пра
час
( 4.45.)
о ора предс а е собо
но оч ен с епени 2. Сра ни а
= 0, = 0, n = 2 . Кон ро ное чис о
( 4.45.) с ( 4.37.) , и ее
пра о час и
z=
е с
орне
i=0 0 i=0
ара ерис ичес о о ра нени
нос и 2, с едо а е но, r = 2 (ре онансн
о l = 2 (l = n) .
Подс а
( 4.37.)
= 0,
( 4.43.) ра -
с ча ). Здес чис-
= 0, l = 2, r = 2 , по
чае
об и
ид час но о ре ени y ×.Í . ( x ) ис одно о неоднородно о ра нени
- 93 -
( Ax
y ×.Í . ( x ) = x 2
Bx C ) ,
2
( 4.46.)
и и
y ×.Í . ( x ) = Ax 4
( 4.47.)
Bx 3 Cx 2 ,
де A, B, C – неи ес н е де с и е н е о
( 4.47.) пер
На де и
,
ор
y ×.Í . ( x ) = 12 Ax 2
.
прои одн е y×.Í . ( x)
и ре
y ×.Í . ( x ) = 4 Ax 3 3Bx 2
и иен
2Cx ,
6 Bx 2C ,
( 4.48.)
y ×.Í . ( x ) = 24 Ax 6 B .
Подс а и
ра ени
по чи
( 24 Ax
6B )
( 4.48.)
(12 Ax
2
ис одное ра нение ( 4.42.) ,
6 Bx 2C ) = 3 x 2 5 ,
и и
(
12 A ) x 2
( 24 A
6B ) x
( 6B
2C ) = 3 x 2 5 .
Сра ни а пос едне ра енс е о
и иен при одина ос епен x е о и пра о час и, по чи сис е
ра нени д опреде ени о
и иен о A, B, C :
12 A = 3,
24 A 6 B = 0,
6 B 2C = 5,
о
да на оди
1
,
4
B = 1,
1
C=
.
2
A=
Подс а
на денн е начени д
о
и иен о A, B, C
( 4.47.) , по чае час ное ре ение неоднородно о ра нени
y ×.Í . ( x ) =
1 4
x
4
- 94 -
x3
1 2
x .
2
( 4.49.)
С ад
а
ра ени
( 4.44.) и ( 4.49.) д
y Î .Î . ( x ) и y ×.Í . ( x ) ,
по чае ис о ое об ее ре ение данно о ине но о неоднородно о ра нени ( 4.42.)
иде
y Î .Í . = c1 c 2 x c 3 e x
1 4
x
4
x3
1 2
x ,
2
де c1 , c2 , c3 – прои о н е де с и е н е пос о нн е.
Ответ: y ( x ) = c1 c2 x c3 e x
1 4
(x
4
4 x3
2 x 2 ) , де c1 , c2 , c3 –
прои о н е де с и е н е пос о нн е.
Пример 3. Ре и
ра нение
y
6y
( 4.50.)
8 y = 3e 2 x .
Решение.
y Î .Í . ( x ) = y Î .Î . ( x )
1) Соо е с
( 4.18.)
y ×.Í . ( x ) .
ее однородное ра нение
y 6 y 8y = 0.
Хара ерис ичес ое ра нение
и ее
( 4.51.)
6k 8 = 0
k2
орни
k 1 = 2, k 2 = 4 .
То да
нда ен а на сис е а ре ени сос ои и
y1 ( x ) = e 2 x , y 2 ( x ) = e 4 x .
С едо а е но, об ее ре ение y Î .Î . ( x ) соо е с
однородно о ра нени и ее
н
и
ео
ид
y Î .Î . ( x ) = c1 e 2 x
( 4.52.)
c2 e 4x ,
де c1 , c2 – прои о н е де с и е н е пос о нн е.
2) Расс о ри пра
час
данно о ра нени
f ( x ) = 3e 2 x .
- 95 -
( 4.50.) :
( 4.53.)
Сра ни а
( 4.53.) с ( 4.37.) , на оди
= 2,
= 0, n = 0 . То да
l = 0 l = n.
Кон ро ное чис о пра о час и ( 4.53.)
z=
е с
орне
i=2 0 i=2
ара ерис ичес о о ра нени
нос и 1, по о r = 1 .
Подс а
= 2, = 0, r = 1, l = 0
( 4.51.) ра -
( 4.37.) , по чи
час ное ре ение данно о неоднородно о ра нени ( 4.50.)
ор
иде
y ×.Í . ( x ) = x 1 e 2 x A ,
и и
y ×.Í . ( x ) = Ax e 2 x ,
де – неи ес н
И ( 4.54.) на оди
де с и е н
( 4.54.)
о
и иен .
y×.Í . ( x ) = ( Axe2 x ) = Ae2 x 2 Axe2 x = Ae2 x (1 2 x )
y×.Í . ( x ) = ( Ae
(1
2 x ) ) = 2 Ae
( 4.55.)
(1 2x ) 2 Ae = 4 Ae (1 x )
y ×.Í . ( x ) , y ×.Í . ( x ) ,
Подс а и
ра ени ( 4.54.) и ( 4.55.) д
y ×.Í . ( x ) ис одное ра нение ( 4.50.) , по чи
4 Ae 2 x (1 x ) 6 Ae 2 x (1 2 x ) 8 Axe 2 x = 3e 2 x .
2x
2x
2x
Ра де и обе час и пос едне о ра енс а на e 2 x
x R , по чи
4 A (1 x ) 6 A (1 2 x ) 8 Ax = 3 ,
и и, рас р
о
с об и и при од подобн е,
2 A = 3,
да
A=
3
.
2
- 96 -
2x
0 при се
Подс а и на денное начение д
A
( 4.54.) , по-
ор
чи час ное ре ение ис одно о неоднородно о ра нени
иде
3 2x
xe .
2
( 4.18.) , ( 4.52.) , ( 4.56.) , по
y ×.Í . ( x ) =
То да,
чи
ре ение
а
( 4.56.)
чае
ис одное
иде
y Î .Í . ( x ) = c1 e 2 x
c2 e 4x
3 2x
xe ,
2
де c1 , c2 – прои о н е де с и е н е пос о нн е.
Ответ: y ( x ) = c1 e 2 x c 2 e 4 x
3 2x
xe , де c1 , c 2 – прои о 2
н е де с и е н е пос о нн е.
Пример 4. На и об ее ре ение ди
ни
ерен иа но о ра не-
( 4.57.)
y = 5sin 2 x .
y
Решение.
y Î .Í . ( x ) = y Î .Î . ( x )
1) Соо е с
y ×.Í . ( x ) .
( 4.18.)
ее однородное ра нение
y y = 0.
Хара ерис ичес ое ра нение
( 4.58.)
k2 1= 0
и ее пар
о п е сно сопр
енн
орне
k 1,2 = i = 0 i .
То да
нда ен а на сис е а ре ени сос ои и
y 1 ( x ) = e 0 x cos x = cos x ,
н
и
y 2 ( x ) = e0 x sin x = sin x .
С едо а е но, об ее ре ение однородно о ра нени и ее ид
- 97 -
( 4.59.)
y Î .Î . ( x ) = c1 cos x c 2 sin x ,
де c1 , c2 – прои о н е де с и е н е пос о нн е.
2) Расс о ри пра
ра нени ( 4.57.)
час
данно о ди
ерен иа но о
f ( x ) = 5sin 2 x .
( 4.60.) и ( 4.37.) , и ее
= 2; Pn ( x ) = P0 ( x ) = 0 ( n = 0 ) ;
( 4.60.)
Сра ни а
= 0;
Qm ( x ) = Q0 ( x ) = 5
( m = 0) .
С едо а е но, l = max n; m = 0 .
То да он ро ное чис о пра о час и ( 4.60.)
z=
не
е с
орне
i = 0 2i = 2i
ара ерис ичес о о
по о r = 0 (нере онансн
Подс а и
( 4.37.) = 0,
ид час но о ре ени
нени
( 4.58.) ,
ра нени
с ча ).
= 2, r = 0, l = 0 , по
чи
об и
y ×.Í . ( x ) данно о неоднородно о ра -
( 4.57.)
( 4.61.)
y ×.Í . ( x ) = A cos 2 x B sin 2 x ,
де A, B – неи ес н е де с и е н е о
И
и иен
.
( 4.61.) на оди
y ×.Í . ( x ) = 2 A sin 2 x 2 B cos 2 x,
( 4.62.)
y ×.Í . ( x ) = 4 A cos 2 x 4 B sin 2 x.
Подс а и
ис одное ра нение ( 4.57.)
и y ×.Í . ( x ) и
( 4.61.) и ( 4.62.) , по чи :
ра ени д
y ×.Í . ( x )
A cos 2 x B sin 2 x = 5sin 2 x,
4 A cos 2 x 4 B sin 2 x
и и
(
3 A ) cos 2 x
(
3B ) sin 2 x = 5sin 2 x,
Сра ни а
пос едне ра енс е о
sin 2x е о и пра о час и по чи
- 98 -
и иен
при cos 2x и
3 A = 0,
3B = 5,
о
да на оди
A = 0,
B=
Подс а
5
.
3
на денн е начени д
AиB
( 4.61.) , по чае
5
sin 2 x .
( 4.63.)
3
а ра енс а ( 4.18.) , ( 4.59.) , ( 4.63.) , на оди обy ×.Í . ( x ) =
То да, чи
ее ре ение ис одно о неоднородно о ра нени
y Î .Í . ( x ) = c1 cos x c 2 sin x
( 4.57.)
5
sin 2 x ,
3
де c1 , c2 – прои о н е де с и е н е пос о нн е.
Ответ: y ( x ) = c1 cos x c 2 sin x
5
sin 2 x , де c1 , c2 – прои 3
о н е де с и е н е пос о нн е.
- 99 -
Задание
1.
2.
3.
а) y
3y
2 y = 1 x2 ,
б) y
4y
5 y = (16 12 x ) e x ,
) y
2y
y = 4e x ( sin x cos x ) .
а) y
y = 6x2
б) y
2y
2 y = (1 2 x ) e x ,
) y
4y
4 y = e 2 x sin 6 x.
y = x2
x,
б) y
y
y = ( 3x 7 ) e2 x ,
) y
6.
7.
а) y IV
2y
3y
y = 2 x,
2 y = ( 2 x 5) e2 x ,
y = 2cos7 x 3sin 7 x.
y = 5( x 2) ,
2
б) y
3y
4 y = (18 x 21) e x ,
) y
2y
5 y = sin 2 x.
IV
2y
а) y
y = 2 x (1 x ) ,
б) y
5y
4 y = ( 2 x 5) e x ,
) y
4y
8 y = e x ( 5sin x 3cos x ) .
а) y IV 2 y
б) y
) y
8.
y
2 y = 2e x ( sin x cos x ) .
а) y IV 3 y
б) y
5.
3 x,
а) y
) y
4.
9. Решить дифференциальные уравнения.
4y
y = x2
x 1,
8 y = ( x 1) e x ,
2 y = e x ( sin x cos x ) .
а) yV
y IV = 2 x 3,
б) y
2y
5 y = (18 x 21) e2 x ,
) y
4y
3 y = e 2 x sin 3 x.
- 100 -
9.
10.
y
y
) y
6y
13 y = e
13.
17.
y = 2cos3 x 3sin 3 x.
б) y
3y
2 y = ( 4 x 9 ) e2 x ,
) y
2y
5 y = 2sin x.
а) y IV 4 y
4 y = x x2 ,
б) y
4y
5 y = (12 x 16 ) e x ,
) y
4y
3 y = ( 3sin x 4cos x ) e x .
y = 12 x,
а) 7 y
y
2 y = ( 6 x 11) e x ,
8 y = 10e x ( sin x cos x ) .
а) y
3y
2 y = 3x 2
б) y
6y
18 y = ( 6 x 5 ) e x ,
) y
4y
4 y = e x sin 5 x.
а) y
y = 3x 2
б) y
4y
) y IV
16.
2 y = 4x ex ,
y = 5 x 2 1,
) y
15.
cos 4 x.
а) y
б) y
14.
3y
3x
y = 4 x2 ,
а) y IV 2 y
) y
12.
y = (8x 4) e x ,
б) y
б) y
11.
y = 6 x 1,
а) 3 y IV
2 x,
2 x 1,
4 y = ( 9 x 15 ) e x ,
y = 2cos5 x 3sin 5 x.
а) y
y = 4 x 2 3 x 2,
б) y
3y
y
) y
2y
5 y = 17 sin 2 x.
а) y IV 3 y
3 y = ( 4 8x ) ex ,
y = x 3,
3y
4 y = (7 6x ) ex ,
б) y
y
4y
) y
6y
13 y = e
3x
cos x.
- 101 -
18.
19.
а) y IV 2 y
y = 12 x 2
6 x,
б) y
3y
2 y = (1 2 x ) e x ,
) y
4y
8 y = e x ( 3sin x 5cos x ) .
а) y
4 y = 32 x 384 x 2 ,
б) y
5y
4 y = ( 20 16 x ) e x ,
IV
x
) y 16 y = 6e ( sin x cos x ) .
20.
21.
22.
а) y IV 2 y
б) y
4y
3 y = 4x ex ,
) y
4y
8 y = e 2 x sin 4 x.
а) y
y = 49 24 x 2 ,
б) y
5y
6y = e
) y
6y
13 y = e
а) y
б) y
) y
23.
24.
25.
y = 2 3x 2 ,
( 32 x
x
3) ,
3x
cos5 x.
2y
3 y = 3x 2
x 4,
6y
9 y = 4x ex ,
9 y = 2cos7 x 3sin 7 x.
12 y = x 1,
а) y
13 y
б) y
8y
16 y = ( 8 x 12 ) e 2 x ,
) y
2y
5 y = cos x.
а) y IV
y = x,
(8x
б) y
y
2y =
) y
4y
8 y = e3 x
а) y
2 y = 6 x 5,
б) y
5y
4) e x ,
( 2sin x
cos x ) .
4 y = (16 x 1) e x ,
IV
x
) y 16 y = 3e ( sin x cos x ) .
26.
а) y
3y
б) y
10 y
) y
2 y = x2
2 x 3,
25 y = ( 8 x 3) e5 x ,
4 y = e 2 x sin 4 x.
- 102 -
27.
28.
а) y
2y
б) y
6y
) y
2y
а) y IV 6 y
б) y
) y
29.
30.
y = ( x 1) ,
2
13 y = (1 7 x ) e3 x ,
3y = e
cos8 x.
9 y = 3 x 1,
27 y = e
y
2x
x
( 2x
5) ,
6 y = 10cos x.
12 y = 18 x 2
а) y
13 y
б) y
y
9y
) y
4y
8 y = 2cos 4 x 3sin 4 x.
7,
9 y = 16 x e x ,
а) y IV 2 y = 12 x 1,
б) y
4y
3 y = 4e
) y
2y
5 y = e2 x
x
(1
x),
(
sin x 2cos x ) .
- 103 -
Контрольные вопросы
I.
II.
III.
IV.
V.
VI.
VII.
VIII.
Ка о ид и ее ине ное ди ерен иа ное ра неи иен а и? е
ние пор д а n с пос о нн и о
о ичае с однородное ине ное ра нение о неоднородно о?
о на
ае с ара ерис ичес и
ра нение , соо е с
и
ине но
однородно
ди ерен иа но
ра нении?
о а ое нда ен а на сис е а ре ени однородноо ине но о ди ерен иа но о ра нени n го пор д а?
о а ое опреде и е Вронс о о ре ени
ине но о
однородно о ди ерен иа но о ра нени n го пор д а?
Ка с рои с об ее ре ение ине но о однородно о
ди ерен иа но о ра нени n го пор д а по нда ена но сис е е ре ени ?
Ка
с р
р и ее об ее ре ение ине но о неоднородно о ди ерен иа но о ра нени n го пор д а?
В че сос ои е од ариа ии прои о н
пос о нн
( е од Ла ран а) ин е риро ани ине но о ди ерен иа но о ра нени n го о пор д а?
В че сос ои
е од неопреде енн
о
и иен о
д на о дени час н
ре ени
ине но о неоднородно о ди ерен иа но о ра нени n го пор д а?
- 104 -
Литература
1. Арно д В. И. Об но енн е ди ерен иа н е ра нени . – М.: На а, 1984. – 271с.
2. Дан о П. Е., Попо А. Г., Ко е ни о а Т. Я. В с а ае а и а пра нени и адача . ч. II – М.: В с а
о а, 1986. – 463с.
3. Ер ин Н. П., Ш о а о И.З., Бондарен о П.С. К рс
об но енн ди ерен иа н
ра нени . – Кие :
Ви а
о а, 1974. – 471с.
4. Кисе е А. И., Красно М. Л., Ма арен о Г. И. Сборни
адач по об но енн
ди ерен иа н
ра нени .
– М.: В с а
о а, 1978. – 278с.
5. К не о Л. А. Сборни адани по с е а е а и е.–
М.: В с а
о а, 1983.–175с.
6. Ма ее Н. М. Ме од ин е риро ани об но енн
ди ерен иа н
ра нени . – Минс : В
а
о а, 1974. – 766с.
7. Ма ее Н. М. Сборни адач и пра нени по об ноенн
ди ерен иа н
ра нени : Учебное пособие.– СПб: И да е с о «Лан », 2002. – 432с.
8. Ма ее Н. М. Ди ерен иа н е ра нени . – М.: Прос е ение, 1988. – 254с.
9. Пе ро с и И. Г. Ле ии по еории об но енн ди ерен иа н
ра нени . – М.: На а, 1970. – 279с.
10. Фи иппо А. Ф. Сборни адач по ди ерен иа н
ра нени . – М.: На а, 1985. – 126с.
11. Шипаче В. С. Задачни по с е а е а и е.–М.:
В с а
о а, 2001. – 304с.
- 105 -
Литература
1. Арно д В. И. Об но енн е ди ерен иа н е ра нени . – М.: На а, 1984. – 271с.
2. Дан о П. Е., Попо А. Г., Ко е ни о а Т. Я. В с а ае а и а пра нени и адача . ч. II – М.: В с а
о а, 1986. – 463с.
3. Ер ин Н. П., Ш о а о И.З., Бондарен о П.С. К рс
об но енн ди ерен иа н
ра нени . – Кие :
Ви а
о а, 1974. – 471с.
4. Кисе е А. И., Красно М. Л., Ма арен о Г. И. Сборни
адач по об но енн
ди ерен иа н
ра нени .
– М.: В с а
о а, 1978. – 278с.
5. К не о Л. А. Сборни адани по с е а е а и е.–
М.: В с а
о а, 1983.–175с.
6. Ма ее Н. М. Ме од ин е риро ани об но енн
ди ерен иа н
ра нени . – Минс : В
а
о а, 1974. – 766с.
7. Ма ее Н. М. Сборни адач и пра нени по об ноенн
ди ерен иа н
ра нени : Учебное пособие.– СПб: И да е с о «Лан », 2002. – 432с.
8. Ма ее Н. М. Ди ерен иа н е ра нени . – М.: Прос е ение, 1988. – 254с.
9. Пе ро с и И. Г. Ле ии по еории об но енн ди ерен иа н
ра нени . – М.: На а, 1970. – 279с.
10. Фи иппо А. Ф. Сборни адач по ди ерен иа н
ра нени . – М.: На а, 1985. – 126с.
11. Шипаче В. С. Задачни по с е а е а и е.–М.:
В с а
о а, 2001. – 304с.
- 103 -
НУ ЕН ДРУГОЙ ПОСЛЕДНИЙ ЛИСТ
В ади ир Дани о ич Г н о, Л д и а Юр е на С
Ви а и Ми а о ич С о ен е
Ди
ерен иа н е ра нени . При ер и ипо
Подписано печа
60 84 116 . Тира 500
.
о ее а,
е адани
.2005 . Б а а ипо ра ичес а . Фор а
. П. . –
, че . – и д. – 6,1. За а
Реда ионно-и да е с и о де и ипо ра и К банс о о ос дарс енно о а рарно о ни ерси е а
350044, . Краснодар, . Ка инина, 13
Скачать