Преобразование выражений, содержащих квадратные корни

МОУ «Сосновская основная общеобразовательная школа»
(д. Васькино Моргаушского района Чувашской республики)
Максимова Светлана Степановна
Урок проводится в 8 классе, УМК Алгебра – 8 под редакцией
С.А. Теляковского.
Тема урока: Преобразование выражений, содержащих
квадратные корни
Цели урока:
1.Повторить определение арифметического квадратного корня, свойства арифметического
квадратного корня. Формулы сокращённого умножения.
2.Обобщить и систематизировать знания учащихся по этой теме.
3.Ознакомиться и закрепить навыки и умения решения примеров на тождественные
преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни.
4.Дать возможность каждому ученику как можно более полно раскрыть свои
возможности.
5.Расширять кругозор и познакомить учащихся с математиком среднего века.
I. Организационный момент – 1 минута.
(Нацелить учащихся на урок).
— Здравствуйте, садитесь. Зовут меня Светлана Степановна. Откроем тетради и запишем
сегодняшнее число: 8. 12. 10г.
Запишем тему урока: Преобразование выражений, содержащих квадратные корни.
Цели и задачи: повторить определение и свойства арифметического квадратного корня;
формулы сокращённого умножения; ознакомиться и закрепить некоторые способы
преобразования выражений, содержащих квадратные корни.
Надеюсь, все будут плодотворно, активно и коллективно работать в течение урока.
II. Устный опрос по теории (Актуализация опорных знаний).
– Дайте определение арифметического квадратного корня.
(Арифметическим квадратным корнем из числа а, называется неотрицательное число, квадрат
которого равен а).
– Перечислите свойства арифметического квадратного корня.
(Арифметический квадратный корень из произведения неотрицательных множителей
равен произведению корней из этих множителей).
(Арифметический квадратный корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а
знаменатель положителен, равен корню из числителя, делённому на корень из
знаменателя).
– Чему равно значение арифметического квадратного корня из х²? (|х|).
– Чему равно значение (
)²? (х)
III. Устная работа. (ИКТ).
Найдите значение: √16, √100, √49, √81, √0,25,
√25*36,
√4/9,
√2²,
(√5)²,
√25*81,
√0,09; √400, √121, √3600
√2500*49,
√1/64,
√0,64*25,
√36/49,
√3,8²,
√4,3²,
(√8)²,
√81/100,
√(-1,3)²,
(√100)²,
√0,81*0,04
√9/25,
√36/121
√(-3,1)²
(√а)²,
(√в)².
— На предыдущих уроках вы изучали вынесение множителя из-под знака корня.
– Как можно вынести подкоренное выражение за знак корня?
(Подкоренное выражение нужно представить в виде произведения множителей и применить теорему о
корне из произведения).
Вынесите множитель за знак корня:
√20,
√75,
√5²*3,
√4²*5,
√25х²у²,
√с³,
√600,
√28,
√2²*7²,
√99
√3³*7²
√32а³в⁸,
√5х⁴,
√3в⁵,
√36а⁷,
√11а².
– Как нужно внести множитель под знак корня?
(Если множитель положительное число, множитель возводим в квадрат и вносим под корень).
(Если множитель отрицательное число, преобразуем его и внесём под корень положительный
множитель).
Внесите множитель под знак корня:
6√2,
2√а,
5√6,
1/2√8х,
-8√10,
Приведите подобные слагаемые:
3√2
6√1/6m
-10√0,2р,
-4√а
7√3 + 2√3 - 6√3 = 3√3
6√7 - 5√7 + √7 = 2√7
5√х
+
11√х
- 6√х = 10√х
IV. Здоровьесберегающие технологии.
– Быстро поморгаем, закроем глаза и посидим спокойно, медленно считая до 5. (2 раза)
V.
Изучение нового материала.
Первый способ.
— Сейчас ознакомимся преобразованием выражений, содержащих квадратные корни.
Откроем книгу на страницу 95, пункт 19.
Мы рассмотрели ряд преобразований выражений, содержащих квадратные корни. К ним
относятся (все вместе читаем) преобразования корней из произведения, дроби и степени,
умножение и деление корней, вынесение множителя за знак корня, внесение множителя под
знак корня. (Учитель) Рассмотрим другие примеры преобразований выражений,
содержащих квадратные корни.
Пример 1.
Упростим выражение 3√5а - √20а + 4√45а (письменно) =
= 3√5а - √4*5а + 4√9*5а = 3√5а - 2√5а + 12√5а = √5а (3-2+12) = 13√5а
Первый способ: Выражение, содержащее квадратные корни преобразуется в сумму
подобных слагаемых и выполняется суммирование.
Тренировочные упражнения (формирование навыка тождественных
преобразований иррациональных выражений).
№421. (у доски учитель с подробным объяснением).
а) √75 + √48 - √300= √25*3 + √16*3 - √100*3 = 5√3 + 4√3 - 10√3 = √3 (5+4-10)= -√3
г) (ученик) √75 – 0,1√300 - √27 = √25*3 - 0,1√100*3 - √9*3 = 5√3 – 0,1*10√3 - 3√3 =
= √3 (5-1 -3) = √3
д) (ученик) √98 - √72 + 0,5√8 = √49*2 - √36*2 + 0,5√4*2 = 7√2 - 6√2 + 0,5*2√2 =
= √2 (7 – 6 +1) = 2√2
№422. (у доски ученик).
а) √8р - √2р + √18р = √4*2р - √2р + √9*2р = 2√2р - √2р + 3√2р = √2р (2-1+3) = 4√2р
VI . Здоровьесберегающие технологии.
Вытянули правую руку вперёд. Следим глазами, не поворачивая головы, за медленными
движениями указательного пальца вытянутой руки влево и вправо. Вверх и вниз. Затем
вытянули левую руку и повторим.
VII . Повторение формул сокращённого умножения (ИКТ).
Вспомним формулы сокращённого умножения.
•
a ² – b ² = ( a + b )( a – b ) - разность квадратов
•
•
( a + b ) ² = a ² + 2 ab + b ² - квадрат суммы
( a – b ) ² = a ² – 2 ab + b ² - квадрат разности
Выполнение на доске №423 (ученик).
а) (х + √у)(х - √у) = х² - у ;
б) (√а -√в)(√а + √в) = а – в ; в) устно - (√11 – 3)( √11 + 3) ;
г) устно - (√10 +√7)( √7 - √10) ;
д) письменно у доски (√а + √в)² = (√а)² + 2√а√в +(√в)²= а +2√а√в + в ;
е) письменно у доски (√m - √n)² = (√m)² - 2√m√n + (√n)² = m - 2√m√n + n ;
ж) (√2 + 3)² = 2 + 6√2 + 9 ;
з) (√5 - √2)² = 5 - 2√10 + 2 = 7 + 2√10 ;
— А теперь устно выполним № 426 (а –е) и № 427.
VIII . Работа в парах.
Каждой паре раздаются листочки с формулами, надо стрелками указать соответствующие
формулы.
25 - х²
(а – 4)(а + 4)
8 - в²
(√а - √в)( √а + √в)
а² - 16
(√8 – в)( √8 + в)
d² - 7
(5 – х)(5 + х)
а - в
(d - √7)(d + √7)
Второй способ.
—
Ознакомимся вторым способом преобразования выражения, содержащих
квадратные корни.
— Открыли книгу на страницу 95, нашли
Пример 2.
Сократим дробь
.
Так как 3 = (√3)², то числитель данной дроби можно представить в виде разности квадратов
двух выражений. Поэтому
Второй способ: Числитель или знаменатель дроби раскладываются на множители
и дробь сокращается на общий множитель.
Закрепим тренировочными упражнениями.
Открыли страницу 97, нашли № 429.
Выполнение на доске №429 (учитель).
а) , в) , е).
IX . Здоровьесберегающие технологии.
— Вверх рука и вниз рука.
Потянули их слегка.
Быстро мы размяли руки!
Нам сегодня не до скуки.
(Одна прямая рука вверх, а другая вниз, рывком менять руки).
X. Отработка знаний по данной теме.
— Сейчас разделимся на группы и выполним тест на закрепление изученного материала.
Если вы правильно выполните задания, то узнаете, кто впервые ввёл современный знак
корня во всеобщее употребление. (Работа в группах).
Написание теста.
1. Упростите выражение 2√а + 6√а - 7√а
1) 15а — Ш
2) √а — Д
3) 15√а — Л
2. Упростите выражение √20 + √45 — Е
1) 4
— У
2)
—И
3) 10
Преобразуйте выражение (√х – 1)( √х + 1)
3.
1) 1 – х
4.
— М
2) х – 2
Разложите на множители
1) (
– х)(
+ х)
— О
— Ф
1)
—К
х² - 7
2) (х - √7)(х + √7)
Разложите на множители выражение
5.
3) х – 1
(√10 – 2)( √10 + 2) — Ц
— А
3) (х -√1)(х + √9)
—Я
10 - 2√10
2) √2 (√10 - √2) — Б
3) √10 (√10 – 2) — Р
6. Сократите дробь
1)
—Т
2)
—Ь
3) (
- а)(
+ а) — Г
XI . Историческая справка (ИКТ).
В 1626 году нидерландский математик А. Ширар ввел близкое к современному
обозначение корня V. Если над этим знаком стояла цифра 2, то это означало корень
квадратный, если 3 – кубический. Это обозначение стало вытеснять знак Rx.
Лишь в 1637 году Рене Декарт соединил знак корня с горизонтальной чертой,
применив в своей «Геометрии» современный знак корня
всеобщее употребление лишь в начале XVIII века.
. Этот знак вошёл во
Отработка знаний по теме.
— Итак, сегодня мы познакомились с некоторыми преобразованиями выражений,
содержащих квадратные корни. Ещё раз повторим способы, которые изучили на
уроке.
Выражение, содержащее квадратные корни преобразуется в сумму
подобных слагаемых и выполняется суммирование.
1 способ:
Числитель или знаменатель дроби раскладываются на множители
и дробь сокращается на общий множитель.
2 способ:
XII. Домашнее задание.
П. 19
Стр.96 № 421 (б, в), 422(б, в).
Стр. 97 № 424 (в, г, д), 429 (б, г, д).
XIII. Итоги урока.
— Сегодня мы повторили определение и свойства арифметического квадратного
корня; вынесение множителя за знак корня, внесение множителя под знак корня, формулы
сокращённого умножения; ознакомились и закрепили некоторые способы преобразования
выражений, содержащих квадратные корни. Расширили свой кругозор и узнали, кто
впервые ввёл современный знак корня во всеобщее употребление.
Все работали плодотворно, активно и коллективно в течение урока.
Урок окончен.