ПР Арифметические действия над числами, нахождение приближенных значений величин и погрешностей вычислений, сравнение числовых выражений.

ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №1
Арифметические действия над числами, нахождение приближенных значений величин
и погрешностей вычислений, сравнение числовых выражений
Цель: - научиться классифицировать числа, распределять их по множествам, находить
приближенные значений величин и погрешностей вычислений (абсолютной и
относительной), сравнивать числовые выражения;
- закрепить навыки рациональных вычислений;
- определить уровень усвоения знаний, оценить результат деятельности обучающихся.
Оборудование: раздаточный материал к выполнению практической работы, справочные пособия по
алгебре, микрокалькуляторы.
Методические указания по выполнению работы: изучить краткие теоретические и учебнометодические материалы по теме практического занятия; изучить условие заданий практического
занятия; при выполнении работы соблюдать последовательность действий; оформить отчет по
практической работе.
Краткий теоретический материал
Числа вида N = {1, 2, 3, ....} называются натуральными.
Числа вида Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....} называются целыми числами, т.е. целые числа - это
натуральные числа, числа, противоположные натуральным, и число 0.
Натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5.... называют также положительными целыми числами. Числа
-1, -2, -3, -4, -5, ...,противоположные натуральным, называются отрицательными целыми числами.
m
Целые и дробные числа составляют множество рациональных чисел: Q = { },
n
где m - целое число, а n - натуральное число.
Каждое рациональное число представимо в виде конечной или бесконечной периодической
десятичной дроби.
m
Дробь
называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной, если ее
n
числитель больше знаменателя или равен ему.
Последовательно повторяющаяся группа цифр после запятой в десятичной записи числа называется
периодом, а бесконечная десятичная дробь, имеющая такой период в своей записи, называется
периодической.
Числа, не являющиеся целыми или дробными, называются иррациональными.
Каждое иррациональное число представляется непериодической бесконечной десятичной дробью.
Множество всех конечных и бесконечных десятичных дробей называется множеством
действительных чисел: рациональных и иррациональных.
Правила действий над обыкновенными дробями
a c ad  bc
a c ac
a c ad
 
 
: 
b d
bd
b d bd
b d bc
Формулы сокращенного умножения
a  b 2  a 2  2ab  b 2
a 2  b 2  a  ba  b ;


a  b  a 3  3a 2 b  3ab 2  b 3
a 3  b 3  a  b a 2  ab  b 2
Абсолютной погрешностью приближения называется модуль разности между точным значением
величины и ее приближенным значением.
Δ = a  x , где Δ – абсолютная погрешность, x – приближенное значение некоторой величины
(например, полученное путём однократного измерения этой величины), a – ее точное значение
величины, Δ = a  x  a - x=  Δ  a = x  Δ
3
Пример 1 Найти абсолютную погрешность приближения 0,44 числа
4
.
9
4
4 11 100  99
1
 0,44 = 


9
9 25
225
225
На практике во многих случаях точное значение бывает неизвестно, поэтому абсолютную
погрешность найти нельзя. Однако можно дать оценку абсолютной погрешности, если известны
приближения с избытком и с недостатком.
Δ=
Границей абсолютной погрешности Δ приближения называется такое положительное число h
больше которого абсолютная погрешность быть не может.
Δ = ax  h
1
 0,004444... < 0,0045
225
x - Δ – Нижняя граница (Н.Г.)
x + Δ – Верхняя граница (В.Г.)
Приближенные числа, как и точные записываются как правило при помощи десятичных дробей. Но
если в записи точного числа все его цифры верные, то в приближенном некоторые его цифры
верные, а другие являются сомнительными.
Цифра называется верной (точно значащей), если абсолютная погрешность числа не превосходит
единицы того разряда в котором записана эта цифра. В противном случае она называется
сомнительной.
Пример 3
x = 3,7412  0,002 Определить верные и сомнительные цифры.
В.Г. = 3,7412 + 0,002 = 3,7432
Н.Г. = 3,7412 - 0,002 = 3,7392
Верные – 3 и 7, сомнительные 4,1 и 2.
Замечания
В записи приближенного числа сохраняются только верные цифры. x = 3,7
Если в десятичной дроби последние верные цифры нули, то они остаются в записи числа.
x = 0,301  0,001
В.Г. = 0,302 Н.Г. = 0, 300  x = 0,30
В десятичной записи числа значащими цифрами называются все его верные цифры, начиная с
первой слева отличной от нуля.
0, 583; 38,57; 38,507; 29,830
Правило округления чисел: если первая слева отбрасываемая цифра меньше 5, то округляют с
недостатком, если это цифра 5 или больше, то округляют с избытком.
Пример 4
5,739 (с точностью до 0,01)  5,74
3, 53 (с точностью до целых)  4
30253 (с точностью до 1000)  30000
Но абсолютной погрешности не достаточно для полной характеристики приближения. Если измерять
расстояние между двумя городами, которое равно 100 км, с точность до 1 м, то это будет точное
измерение, а если с точность до 1м измерена длина участка земли, которая равна 10м, то это грубое
измерение.
Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности к приближенному
значению измеряемой величины. Обычно выражается в процентах.


х
ω =
; ω% =
 100% либо  ( х) 
x
x
х0
Таким образом для более полной оценки точности измерений необходимо определить, какую часть,
или сколько процентов, составляет абсолютная погрешность от значения данной величины.
Пример 5 Сравнить точность двух измерений.
d = 4  0,3; H = 600  0,3
0,3 3
3 1
3

4   
 0,075  7,5%
ω(d) =
4 10
10 4 40
0,3
3
3 1
3
1

 600  


 0,5  0,001  0,0005  0,05%
ω(H) =
600 10
10 600 6000 2000
Второе измерение более точное.
1 вариант
Выполните задания
1 уровень
Задание 1. Ответьте на вопросы теста.
1. Какое из чисел является целым?
А) 4,3; Б) 0,33; В) -12; Г) 13,7.
2. Какое из чисел является иррациональным?
А) 1,34; Б) 3,4(85); В) 5,1011011101111…; Г) 1560.
Пример 2
3. Какое из чисел является натуральным?
А) -17;
Б) 2,56 ;
В) 0 ;
Г) 325;
4. Иррациональные числа – это…
А) числа, представимые в виде обыкновенной несократимой дроби;
Б) числа представимые в виде десятичной дроби;
В) числа, представимые в виде бесконечной периодической дроби;
Г) числа, представимые в виде бесконечной непериодической дроби.
5. Действительные числа обозначаются буквой
А) Z ;
Б) Q;
В) R ;
Г) N.
6. Рациональные числа обозначаются буквой?
А) Z;
Б) Q ;
В) R ;
Г) N.
7. Какое из чисел не является ни положительным, ни отрицательным?
А) -12;
Б) - ( - 45);
В) 0;
Г) 78,2.
Задание 2. Выполните действия и запишите результат в виде десятичной дроби:
1
7
1)   3 ;
2) ─ 7,4 ─ 2,9;
3) ─ 3,7 ∙ (─ 0,6); 4) ─ 7,5 + 4,2; 5) 3,57 : 21.
5
9
Задание 3 Начертите в тетради таблицу, выберите числа из списка и разнесите их по столбцам
согласно определениям, указанным в теоретической части.
N
Z
R
2 уровень
5
.
8
Задание 5. x = 4,7452  0,003. Определить верные и сомнительные цифры.
Задание 6. Сравнить точность двух измерений: d = 5  0,3; H = 500  0,3
3 уровень

 8
5
1
Задание 7. Вычислите значение выражения   2,15  1  : 33,5  5  3,85  15,7    2,25 .
16 
7

 11
2 вариант
Выполните задания
1 уровень
Задание 1. Ответьте на вопросы теста.
1. Какое из чисел является целым?
А) 4,3; Б) 33 ; В) -1,2; Г) 13,7.
2. Какое из чисел является иррациональным?
А) 1,34003004444…; Б) 3,4(85); В) 5,(1); Г) 1560.
3. Какое из чисел является натуральным?
А) 17;
Б) 2,56;
В) 0;
Г) - 325;
4. Иррациональные числа – это…
А) числа, представимые в виде обыкновенной несократимой дроби;
Б) числа представимые в виде десятичной дроби;
В) числа, представимые в виде бесконечной периодической дроби;
Г) числа, представимые в виде бесконечной непериодической дроби.
5. Целые числа обозначаются буквой
А) Z ;
Б) Q;
В) R ;
Г) N.
6. Натуральные числа обозначаются буквой?
А) Z;
Б) Q;
В) R;
Г) N.
7. Какое из чисел является положительным?
А) -12;
Б) - ( - 45);
В) 0;
Г) - 78,2.
Задание 4. Найти абсолютную погрешность приближения 0,55 числа
Задание 2. Выполните действия и запишите результат в виде десятичной дроби
2
1
3
1) - 3,57 : 21; 2) ─ 7 + 4,5;
3) 4  (  ) ;
4) -1,91 − 3,27; 5) ─ 1,7 ∙ (─ 0,6);
5
5
7
Задание 3. Начертите в тетради таблицу, выберите числа из списка и разнесите их по столбцам
согласно определениям, указанным в теоретической части.
N
Z
R
2 уровень
7
.
9
Задание 5. x = 5,7462  0,002. Определить верные и сомнительные цифры.
Задание 6. Сравнить точность двух измерений: d = 4  0,2; H = 400  0,2
3 уровень
1
9  5
11 

Задание 7. Вычислите значение выражения  75 : 4  3  3 1  0 ,35   : 1,4
6
23  18
15 

Задание 4. Найти абсолютную погрешность приближения 0,77 числа
Критерии оценки практической работы
Задания
1-6
7
Баллы
12
3
Примечание
Каждый правильный ответ 1 балл
Каждый правильный ответ 3 балла
Максимальный балл за работу – 15 баллов
Шкала перевода баллов в отметки
Отметка
« 5» (отлично)
« 4» (хорошо)
« 3» (удовлетворительно)
« 2 « (неудовлетворительно)
Число баллов, необходимое для получения отметки
15 - 14
13 - 11
10 - 9
менее 9