Загрузил Rte Rte

Лекция 7 КФ 1 2015

реклама
Кузьмичев Сергей Дмитриевич
1
СОДЕРЖАНИЕ ЛЕКЦИИ №7
1. Закон всемирного тяготения. Напряжённость
гравитационного поля.
Потенциальная
энергия.
2. Теорема Гаусса.
3. Гравитационное поле Земли: напряжённость,
потенциал.
4. Движение в центральном поле тяготения.
Искусственные спутники и планеты. Законы
Кеплера. Космические скорости. Параметры
орбит.
5. Примеры.
2
Закон всемирного тяготения
Закон всемирного тяготения:
любые два тела (материальные
точки) притягиваются друг к другу с силами, пропорциональными произведению их масс и
обратно пропорционально квадрату расстояния между ними:
Fтяг
m1m2
G 2
r
Гравитационная постоянная
G  6 , 673  1011 Н  м2 / кг 2
3
Напряжённость поля тяготения
Fтяг
M
r
Fтяг
g
Mm
 G 3  r
r
Напряжённость поля
точечной массы M
m
тяготения
массы
Fтяг
M
g
 G 3  r
m
r
4
Принцип суперпозиции
Гравитационное
поле,
возбуждаемое
какой-либо
массой, не зависит от нали- m1
чия других масс.
Напряжённость гравитационного поля создаваемого
несколькими телами, равно
геометрической сумме напряженностей полей, возбуждаемых этими телами в отдельности:
g Σ  g1  g2 
g1
g2
gΣ
m2
 gN
5
Потенциальная энергия
гравитационного взаимодействия
Потенциальная энергия гравитационного
взаимодействия двух точечных масс
m1m2
П  G
r
Полная энергия «легкой» материальной точки массой m , движущейся в поле
тяготения «тяжелой» материальной точки
массой M  M m 
mv 2
Mm
EKП 
G
2
r
6
2. Теорема Гаусса
Поток вектора напряжённости
g гравитационного поля через
замкнутую поверхность равен
Φ
 gdS   4πGm,
масса внутри замкнутой
поверхности.
m -
7
Примеры применения теоремы Гаусса
g
а) Сферическая симметрия:
однородный шар радиусом
R , массой m и постоянной
плотности ρ
- при r  R (внутри шара)
-
4πGρ
r
g
 r , g  g0 ,
3
R
при r  R (вне шара)
g0
0
r=R
r
Gm
g0  2
R
2
Gm r
R
g   2  , g  g0 2
r
r
r
8
б) Симметрия относительно
плоскости: однородный слой
толщиной d и постоянной
плотности ρ
при
x  d / 2 (внутри
слоя)
g x  4πGρx, g0  2πGρd
-
при
x d / 2
(вне слоя)
x
gx
g0
d/2
-d/2
0
-g0
x
g x   g0 , x  d / 2 ,
g x  g0 , x   d / 2
9
3. Гравитационное поле Земли:
напряженность и потенциал.
Напряженность
GM З r
g   2  , r  RЗ
r
r
GM З
2
gЗ 
 9 ,8 м / с
2
RЗ
Потенциал и потенциальная энергия
GM З
φ
, r  RЗ ,
r
GM З m
П  mφ  
r
10
11
4. Движение в центральном поле
тяготения. Искусственные
спутники и планеты. Законы
Кеплера. Космические скорости.
Параметры орбит.
Полная энергия планеты (или спутника)
массой m в поле
тяготения «неподвижного
m
тяжелого центра» массой M  M
mv GMm
E

 const
2
r
2
12
Момент импульса L планеты относительно
«центра тяготения» сохраняется .
L   r , mv    r , m  vr  vφ    const ,
vr  r , vφ  rφ, v 2  vr2  vφ2 ,
L  L  mr φ  const
2
Полную энергию можно записать как сумму
кинетической энергии «радиального» движения и
«эффективной» потенциальной энергии
E  K r  П эфф ,
mv
Kr 
,
2
2
r
2
П эфф
mM
L
 G

r
2mr 2
13
Условия эллиптического, параболического и
гиперболического движений
E 0
Π r 
-
гиперболическое
движение,
E 0
параболическое
движение,
E0
эллиптическое
движение
E 0
2
L
2mr
0
r1
2
r
r2
E 0
G
mM
r
14
Параметры эллиптической орбиты
Большая полуось
эллипса
a  GMm /  2 E  ,
E0
Малая полуось
эллипса
bL/
 2 Em 
a
F1
r1
b
F2
r2
Период обращения по эллипсу
S
πab
T

Sсек L / 2m
2
4
π
T2 
a3
GM
15
Законы Кеплера
I. Каждая планета движется
по эллипсу, в одном из
фокусов которого находится
Солнце.
II. Радиус-вектор планеты в
равные времена описывает
равные площади.
III.
Квадраты
времен
обращения планет относятся
как кубы больших осей
эллиптических
орбит,
по
которым они движутся вокруг
Солнца.
T22 a23
 3
2
T1
a1
16
Космические скорости
I. Первая космическая скорость - скорость
движения спутника по круговой орбите радиусом,
равном радиусу Земли
v1,К
GM

 gRЗ  7 , 9 км / с
RЗ
II.
Вторая
космическая
скорость
–
минимальная скорость, которую нужно сообщить
телу, чтобы оно никогда не вернулось на Землю*
v2 ,К
GM
 2
 2 gRЗ  11, 2 км / с
RЗ
17
5. Примеры.
Пример 1. На большом расстоянии от Земли метеорит движется относительно неё со скоростью v0 .
При каком наибольшем расстоянии l
метеорит
будет «захвачен» Землей?
2
mv0 mv 2
Закон сохранения энергии:

 mgR
2
2
Закон сохранения момента импульса
(для касательной траектории):
mv0 l  mvR
v
2 gR
l  R 1 2  R 1
v0
v
2
2 ,К
2
0
18
19
Пример 2. Кто дальше? С полюса Земли
запускают две ракеты, одну вертикально вверх,
другую горизонтально. Начальные скорости
обеих ракет равны v0 , причем больше первой
космической скорости и меньше второй. Какая из
ракет удалится дальше от центра Земли?
Сопротивлением воздуха пренебречь.
а) Первая ракета. Из закона сохранения энергии
mv02
RЗ2
 mgRЗ   mg
,
2
r1
2
З
2 gR
r1 
.
2
2 gRЗ  v0
20
б) Вторая ракета.
Точка
удаления от центра Земли – апогей.
Из закона сохранения энергии
наибольшего
mv02
RЗ2
mv22
 mgRЗ 
 mg
2
2
r2
Из закона сохранения момента импульса
mv0 RЗ  mv2 r2
v RЗ
r2 
2
2 gRЗ  v0
2
0
2
r1 2 gRЗ  v2 ,К 
 2 
1

r2
v0
 v0 
21
Пример 3. Орбита космического корабля «ВОСТОК»,
на котором летал Ю. Гагарин, имела высоту в
перигее rп  181 км , а в апогее – rа  327 км .
Определите период обращения
корабля вокруг
Земли.
Период обращения спутника вокруг Земли
при движении с первой космической скоростью
2 RЗ
RЗ
T0 
 2
 1 ч 24 ,4 мин
v1,К
g
По третьему закону Кеплера
2a1 
2 RЗ  rп  rа 


T
T  T0
 T0
3/ 2
3/ 2
T
 2a0 
 2 RЗ 
2
1
2
0
3/ 2
3/ 2
 1 ч 29 ,1 мин
22
Пример 4. Космический корабль движется вокруг
Солнца по той же круговой орбите, что и Земля,
причем настолько далеко от Земли, что её влиянием можно пренебречь. Какую дополнительную
скорость в направлении своего движении нужно
сообщить кораблю, чтобы он смог достичь орбиты
Марса, двигаясь по траектории, касающейся орби8
ты Марс? Радиус орбиты Земли R1  1,5  10 км ,
радиус орбиты Марса R2  2 ,28  108 км .
1) Скорость корабля на круговой орбите вокруг
Солнца
GM с
v1 
 30 км / с,
R1
GM с m
E1  
2 R1
23
2) Так как отношение длин больших осей
эллипсов
орбит
обратно
пропорционально
отношению энергий, то
GM m

с
2a2 R1  R2 E1
2 R1
=
=

2a1
2 R1
E2 mv22 GM с m

2
R1
2GM с R2
v2 
v  v2  v1  2 ,9 км / с
R1  R1  R2 
Время перелёта   0 ,5TЗМ . По третьему закону
Кеплера
R1  R2 

TЗМ  2aЗМ 


3/ 2
3/ 2
TЗ
 2 aЗ 
 2 R1 
3/ 2
3/ 2
, τ  260 суток
24
25
Скачать