Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет Строительный факультет Кафедра механики ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК Санкт-Петербург 2017 Министерство образования и науки Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет Строительный факультет Кафедра механики ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК Методические указания Санкт-Петербург 2017 0 1 УДК 624.04 ВВЕДЕНИЕ Рецензент д-р техн. наук, профессор В. М. Петров (СПбГАСУ) Теория расчета пластин и оболочек: метод. указания / сост. А. А. Лукашевич; СПбГАCУ. – СПб., 2017. – 24 c. Приводятся схемы заданий и исходные данные для выполнения расчетно-графических работ по курсу «Теория расчета пластин и оболочек». Изложены примеры выполнения расчетно-графических работ по темам «Расчет изгибаемой плиты численными методами» и «Расчет оболочки методом конечных элементов». Предназначены для студентов специальности «Строительство уникальных зданий и сооружений». Табл. 7. Ил. 19. Библиогр.: 3 назв. Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, 2017 2 При изучении учебной дисциплины «Теория расчета пластин и оболочек» студенты выполняют две расчетно-графические работы (РГР) по темам «Расчет изгибаемой плиты численными методами» и «Расчет оболочки методом конечных элементов». Целью выполнения расчетно-графических работ является освоение численных и численно-аналитических методов решения задач теории пластин и оболочек, построения соответствующих расчетных схем и вычислительных алгоритмов, проведения практических расчетов изгибаемых плит и оболочек по определению их напряженно-деформированного состояния. Исходные данные для выполнения расчетно-графических работ выбираются из таблиц в соответствии с номером учебной группы и порядковым номером студента в списке группы. Расчетно-графические работы должны быть оформлены на стандартных листах белой бумаги формата А4 (на одной стороне листа) с полями и нумерацией страниц в соответствии с действующим ГОСТ. Рисунки и таблицы также должны быть пронумерованы и подписаны. Структура каждой расчетно-графической работы должна включать следующие обязательные пункты: титульный лист; постановку задачи (с исходными данными и заданной схемой конструкции); основную (расчетную) часть; заключение (выводы и результаты). Титульный лист оформляется согласно общим требованиям с обязательным указанием названия факультета, кафедры и учебной дисциплины, наименования расчетно-графической работы, фамилии и инициалов студента, его учебной группы и шифра (порядкового номера в списке), а также фамилии и инициалов преподавателя, проверяющего работу. Перед выполнением расчетно-графической работы необходимо выписать из таблицы исходные данные и вычертить в масштабе заданную расчетную схему с указанием на ней всех исходных числовых данных. Расчетная часть работы должна сопровождаться краткими пояснениями, всеми необходимыми для понимания формулами и расчетами, четкими схемами и графиками. 3 Примеры выполнения обоих расчетно-графических работ приведены в настоящих методических указаниях. Небрежно оформленная работа или работа, выполненная не в соответствии с данными методическими указаниями, к проверке и защите не принимается. Расчетно-графические работы должны быть сданы и защищены в сроки, определенные учебным планом. При изучении рассматриваемой учебной дисциплины и выполнении расчетно-графических работ рекомендуется пользоваться указанной ниже литературой. Расчетно-графическая работа № 1 РАСЧЕТ ИЗГИБАЕМОЙ ПЛИТЫ ЧИСЛЕННЫМИ МЕТОДАМИ Задание на РГР № 1 Прямоугольная плита размерами a b и толщиной h закреплена по всем сторонам (шарнирно-оперта – «О», либо защемлена – «З») и загружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью q = 25 кН/м2 и сосредоточенной силой F, приложенной в узле k (рис. 1). Требуется: 1. Рассчитать плиту методом конечных разностей (МКР) на сетке 4×4: найти прогибы и внутренние усилия во всех узлах сетки; по результатам расчета изобразить изогнутую поверхность пластины; построить эпюры изгибающих и крутящих моментов в характерных сечениях плиты; вычислить наибольшие значения напряжений, действующих в плите. 2. Рассчитать плиту МКР с помощью программы на ЭВМ, последовательно сгущая конечно-разностную сетку от 4×4 до 12×12 (используя при этом не менее пяти различных сеток). Построить графики сходимости решения для прогиба в середине плиты и максимального изгибающего момента в соответствующем сечении. 3. Рассчитать плиту методом конечных элементов (МКЭ) с помощью программы на ЭВМ, последовательно сгущая сетку конечных элементов от 4×2 до 8×8 (используя не менее пяти сеток). Построить график сходимости решения для прогиба в середине плиты и максимального изгибающего момента. 4. Сопоставить решения, полученные двумя приближенными методами – МКР и МКЭ. Исходные данные принять в соответствии с номером группы (табл. 1) и порядковым номером в списке группы (табл. 2). a 0 1 4 7 2 5 8 3 x 6 9 b y z Рис. 1. Конечно-разностная схема для расчета плиты 4 5 Таблица 1 Исходные данные по группам a, м b, м 1 3,1 ∙ 107 0,17 7 5 2 3,2 ∙ 107 0,18 6 9 3 3,3 ∙ 107 0,19 9 7 4 3,4 ∙ 107 0,20 7 10 Таблица 2 Исходные данные по порядковому номеру в списке группы № h = 0,26 м, Fk = 160 кН x = 0/a y = 0/b № k h = 0,22 м, Fk = 120 кН № x = 0/a y = 0/b k h = 0,24 м, Fk = 140 кН x = 0/a y = 0/b k 1 О/З О/О 2 11 О/О З/О 4 21 О/О З/З 4 2 О/О З/О 4 12 О/З З/З 5 22 З/О О/З 6 3 З/О З/З 6 13 О/О О/З 2 23 О/З О/О 2 4 З/З О/З 8 14 З/О З/О 8 24 О/О З/О 8 5 О/З З/О 5 15 О/О З/З 6 25 З/О З/З 6 6 О/О З/З 4 16 О/З О/З 4 26 О/О О/З 2 7 З/О О/З 2 17 З/О О/О 5 27 О/З З/О 5 8 З/З О/О 8 18 З/О О/З 6 28 О/О З/О 4 9 О/З О/З 5 19 З/З О/З 2 29 З/О З/О 8 10 З/О З/О 6 20 О/З О/О 8 30 О/З О/З 5 6 Выполним расчет железобетонной прямоугольной плиты с размерами сторон a = 8 м, b = 6 м и толщиной h = 0,2 м, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой q = 20 кН/м2 и сосредоточенной силой F = 100 кН, приложенной в узле 4 (рис. 2). Края плиты при x = 0, y = b – шарнирно оперты, при x = a, y = 0 – заделаны. Требуется: 1. Рассчитать плиту методом конечных разностей (МКР) на сетке 4×4: найти прогибы и внутренние усилия во всех узлах сетки; показать изогнутую поверхность плиты; построить эпюры изгибающих моментов для средних сечений плиты, эпюру крутящих моментов для сечения y = b; вычислить наибольшие значения напряжений, действующих в плите. 2. Рассчитать плиту МКР с помощью программы на ЭВМ, используя конечно-разностные сетки 4×4, 4×6 (или 6×4), 4×8 (8×4), 8×8, 8×12 (12×8) и 12×12. Построить график сходимости решения для прогиба w в середине плиты и наибольшего изгибающего момента в соответствующем сечении. 3. Рассчитать плиту МКЭ с помощью компьютерной программы на сетках 4×2 (или 2×4), 4×4, 4×6 (6×4), 8×4 (4×8), 8×6 (6×8) и 8×8. Построить график сходимости решения для прогиба w в середине плиты и наибольшего изгибающего момента в заделке. 4. Сопоставить решения, полученные МКР и МКЭ. +1 +2 T +3 x –1 1 2 3 –4 4 5 6 –7 7 8 9 –7 –8 –9 +3 R +9 S y a/2 = 4 м +6 ∆x a/2 = 4 м Рис. 2. Расчетная схема плиты 7 b/2 = 3 м b/2 = 3 м E, кН/м2 ∆y Номер группы Пример расчета изгибаемой плиты Расчет плиты методом конечных разностей Нанесем на плиту сетку 4×4 и пронумеруем внутренние узлы сетки от 1 до 9 (см. рис. 2). Величины шагов сетки ∆x = a/4 = 2 м; ∆y = b/4 = 1,5 м, при этом 2x 2y 1,778 ; 1 0,553. Примем для железобетона E = 3,2 ∙ 104 МПа = 3,2 ∙ 107 кН/м2; ν = 0,16, тогда цилиндрическая жесткость плиты D E h3 3,2 10 7 0,23 21,88 103 кН м . 12 (1 2 ) 12 (1 0,16 2 ) Перенесем знаменатель 2x 2y из левой в правую часть конечно-разностного оператора дифференциального уравнения для q k-го узла сетки 4 w k , k 1, ... , 9 (рис. 3, а) и, подставив k D в бигармонический оператор Лапласа коэффициенты μ, η и ν, запишем этот оператор в числовом виде (рис. 3, б). а) 4 k η –4(1+μ) 2 –4(1+η) 8+6(μ+η) –4(1+η) 2 –4(1+μ) 2 η ∆x μ б) ∆y 1,771 2 –11,11 2 0,563 –6,25 22,04 –6,25 0,563 2 –11,11 2 1,771 Рис. 3. Бигармонический оператор Лапласа 8 q 2x 2y D F 2x 2y 100 2 1,5 20 2 2 1,52 3 8 , 23 10 м ; 13,71 103 м . 3 3 D x y 21,88 10 21,88 10 Запишем равенства, вытекающие из граничных условий рассматриваемой плиты. Во всех узлах на контуре плиты значения прогибов равны нулю. Для законтурных узлов вдоль шарнирно опертых сторон w–k = –wk, вдоль защемленных сторон w+k = wk. Используя конечно-разностный оператор (см. рис. 3, б) и учитывая граничные условия, составим уравнения МКР для внутренних узлов сетки. Узел 1: 22,04 ∙ w1 – 6,25 ∙ w2 – 11,11 ∙ w4 + 2 ∙ w5 + 1,78 ∙ w1 – – 0,56 ∙ w1 + 0,56 ∙ w3 + 1,78 ∙ w7 = 8,23 ∙ 10–3. Узел 2: 22,04 ∙ w2 – 6,25 ∙ w1 – 6,25 ∙ w3 – 11,11 ∙ w5 + 2 ∙ w4 + + 2 ∙ w6 + 1,78 ∙ w2 + 1,78 ∙ w8 = 8,23 ∙ 10–3. Узел 3: 22,04 ∙ w3 – 6,25 ∙ w2 – 11,11 ∙ w6 + 2 ∙ w5 + 0,56 ∙ w1 + + 0,56 ∙ w3+ 1,78 ∙ w3 + 1,78 ∙ w9 = 8,23 ∙ 10–3. μ 2 Подсчитаем величины, входящие теперь в правую часть дифференциального уравнения изгиба пластины: 1 2 2 x y Узел 4: 22,04 ∙ w4 – 6,25 ∙ w5 – 11,11 ∙ w1 – 11,11 ∙ w7 + 2 ∙ w2 + + 2 ∙ w8 – 0,56 ∙ w4 + 0,56 ∙ w6 = (8,23 ∙ 10–3 + 13,71 ∙ 10–3) = 21,94 ∙ 10–3. Аналогичным образом составляем уравнения для остальных узлов. После преобразований получаем систему линейных алгебраических уравнений (в матричной форме) A w B , решив которую, получаем значения прогибов w в узлах сетки. 0 1,78 0 0 23,26 6,25 0,56 11,11 2 6,25 23,82 6,25 2 11,11 2 0 1,78 0 0 2 11,11 0 0 1,78 0,56 6,25 24,38 0 21,45 6,25 0,56 11,11 2 0 11,11 2 А 2 11,11 2 6,25 22,04 6,25 2 11,11 2 ; 2 11,11 0,56 6,25 22,6 0 2 11,11 0 1,78 0 0 11,11 2 0 19,7 6,25 0,56 1,78 0 2 11,11 2 6,25 20,26 6,25 0 0 0 1,78 0 2 11,11 0,56 6,25 20,83 9 8 ,23 8 ,23 8 ,23 21,94 B 8 ,23 10 3 ; 8 ,23 8 ,23 8 ,23 8 ,23 w1 3 ,03 3 ,03 w 3 ,27 3 ,27 2 w3 2 ,02 2 ,02 w4 5 ,54 5 ,54 w w5 5 ,77 10 3 м 5 ,77 мм . 3 ,49 w 3 ,49 6 4 ,03 w7 4 ,03 4 ,49 w 4 ,49 8 2 ,77 w9 2 ,77 Mx –0,267 k –1 2,533 0 0 0 0 0 3,03 3,27 2,02 0 0 5,54 5,77 3,49 0 0 4,03 4,49 0 0 0 –0,084 H 2,169 ×5,47∙103 –0,084 ×9,7∙103 –1 –1 ×1,53∙103 0 k ∆y ∆x –1 1 Рис. 5. Операторы для вычисления моментов Последовательно накладываем эти операторы на узлы сетки. Изгибающие моменты Mx, My посредине защемленных сторон: 2,0 3,0 5,5 2,77 0 0 –1 k 1 x 4,0 0 –1 –0,267 Числовое поле прогибов в узлах сетки, а также изогнутая поверхность плиты изображены на рис. 4. 0 My 3,3 5,8 4,5 3,5 MyT = 9,7 ∙ 103 (2,17 ∙ wT – 2 ∙ w2) = 9,7 (–2 ∙ 3,27) = –63,4 кН∙м/м. Крутящий момент H в углу шарнирно-опертых сторон (узел S): 2,8 w, мм y Рис. 4. Значения прогибов в узлах сетки С помощью конечно-разностных операторов внутренних усилий определяем изгибающие и крутящие моменты в узлах характерных сечений плиты. Вычислим значения множителей этих операторов: D 21,88 103 D 21,88 103 3 9,7 103 кН/м ; 5 , 47 10 кН/м ; 2 2 2 2 x y 1,5 2 D (1 ) 21,88 103 (1 0,16) 1,53 103 кН/м . 4 x y 4 2 1,5 Запишем конечно-разностные операторы для вычисления моментов в числовом виде (рис. 5). 10 MxR = 5,47 ∙ 103 (2,53 ∙ wR – 2 ∙ w6) = 5,47 (–2 ∙ 3,49) = –38,2 кН∙м/м. HS = 1,53 ∙ 103 (–w7 – w7 – w7) = 1,53 ∙ 3 (–4,03) = –18,5 кН∙м/м. Аналогично вычисляются изгибающие и крутящие моменты в остальных узлах сетки. Числовые поля внутренних усилий Mx, My и H представлены на рис. 6, 7. 0 –8,8 –9,5 –5,9 0 15,9 9,3 5,0 0 34,8 19,2 0 23,1 0 0 y –58,7 –63,4 –39,3 –22,1 0 7,3 8,7 6,0 –3,3 9,8 –38,2 0 43,4 38,8 22,3 –5,7 16,6 8,7 –30,2 0 27,4 32,9 20,7 –4,5 0 0 0 0 0 0 0 x y My, кН∙м/м Рис. 6. Значения изгибающих моментов в узлах сетки 11 0 x 0 Mx, кН∙м/м 0 0 4,7 0 0 0 17,1 8,9 –3,2 –8,9 0 3,1 1,9 –0,4 –1,9 0 –17,1 –8,9 3,2 8,9 0 –18,5 –13,9 3,9 13,9 4,3 y 3,1 Расчет плиты МКР на ЭВМ x Выполним расчет плиты на разных сетках узлов с помощью компьютерной программы, реализующей метод конечных разностей. Результаты расчета: прогибы в середине плиты и наибольшие значения моментов в соответствующих узлах приводятся в табл. 3. По приведенным результатам построены графики сходимости решения МКР для прогиба wср и изгибающего момента MyT (рис. 9). Таблица 3 H, кН∙м/м Результаты расчета плиты МКР Рис. 7. Значения крутящих моментов в узлах сетки Результаты расчета, а именно эпюры прогибов w и изгибающих моментов Mx, My для средних сечений плиты, эпюра крутящих моментов H в сечении по нижней грани плиты (y = b), а также величины наибольших напряжений в плите приведены на рис. 8. x T F 1 2 4 3 5 7 6 8 9,5 b/2 R 9,3 3,3 b/2 9 8,7 19,2 S 38,8 32,9 16,6 a/2 y a/2 4,5 0 0 5,8 w, мм Mx, кН∙м/м My, кН∙м/м 5,8 0 19,2 34,8 38,8 43,4 3,9 13,9 wср, мм 4×4 9 5,77 –38,2 –63,4 –18,5 4×6 15 5,31 –35,5 –71,5 –19,2 4×8 21 5,12 –34,4 –74,5 –19,4 8×8 49 5,08 –51,3 –74,7 –22,3 8×12 77 4,95 –50,2 –77,1 –22,5 12×12 121 4,92 –54,9 –77,9 –23,1 38,2 Mx, кН∙м/м 9,8 My, кН∙м/м 22,3 4,3 MxR, кН∙м/м MyT, кН∙м/м w, мм 5,8 5,7 0 Число ненулевых неизвестных HS, кН∙м/м MyT, кН w, мм 3,5 5,5 18,5 63,4 Сетка узлов H, кН∙м/м 13,9 x max y max max 6 38,2 0,2 2 103 6 63,4 0,2 2 103 6 18,5 2 0,2 10 3 5,7 МПа 9,5 МПа 2,8 МПа 5,77 80 5,6 75 5,4 70 77,1 77,9 74,5 74,7 71,5 5,31 5,2 65 63,4 5,12 5,08 5,0 60 4,95 4,92 Сетка узлов Сетка узлов 4×4 4×6 4×8 8×8 4×4 8×12 12×12 4×6 4×8 Рис. 8. Результаты расчета плиты Рис. 9. Графики сходимости решения МКР 12 13 8×8 8×12 12×12 Расчет плиты МКЭ на ЭВМ Сопоставление решений, полученных МКР и МКЭ Выполним расчет плиты на разных сетках узлов с помощью компьютерной программы, реализующей метод конечных элементов. Результаты расчета: прогибы в середине плиты и наибольшие значения моментов в соответствующих узлах приводятся в табл. 4. По приведенным результатам построены графики сходимости решения МКЭ для прогиба wср и момента MyT (рис. 10). Сравним точность и сходимость решений, полученных МКР и МКЭ. Для этого изобразим графики сходимости решения для прогиба w в середине плиты в зависимости от числа ненулевых узловых неизвестных (рис. 11). При определении числа неизвестных необходимо учитывать, что в МКР каждый узел содержит одно неизвестное (прогиб w), а в МКЭ – три неизвестных (прогиб и два угла поворота). Таблица 4 w, мм Результаты расчета плиты МКЭ Сетка узлов Число ненулевых неизвестных 4×2 wср, мм 13 MxR, кН∙м/м MyT, кН∙м/м 5,45 –56,3 HS, кН∙м/м –67,7 –22,6 4×4 33 5,18 –50,0 –79,3 –24,3 4×6 53 5,12 –48,9 –81,7 –25,4 8×4 73 4,96 –57,7 –75,4 –26,5 8×6 117 4,91 –56,2 –77,8 –27,3 8×8 161 4,89 –55,7 –78,7 –27,8 5,77 5,8 МКР 5,6 5,45 5,4 5,31 5,2 МКЭ 5,18 5,12 5,12 5,0 4,96 5,08 0 10 20 30 40 50 60 4,92 4,95 Число ненулевых неизвестных 70 80 4,91 90 100 110 120 Рис. 11. Графики сходимости решения МКР и МКЭ w, мм MyT, кН 5,8 80 5,6 75 Выводы 79,3 81,7 Рис. 10. Графики сходимости решения МКЭ 1. В рассматриваемом случае решения задачи изгиба плиты точность определения основных неизвестных (прогибов плиты) методами конечных разностей и конечных элементов практически одинакова. 2. Сходимость решения по МКЭ более равномерная и стабильная, чем по МКР. 3. Скорость сходимости решения по МКЭ при увеличении числа неизвестных также лучше, чем МКР. 4. Применительно к расчету изгибаемых плит прямоугольного очертания с закрепленными краями МКР менее сложен в реализации, чем МКЭ. 14 15 75,4 5,45 5,4 70 5,18 5,2 4,96 Сетка узлов 4×4 4×6 67,7 65 5,12 5,0 4×2 77,8 78,7 8×4 60 4,91 4,89 8×6 Сетка узлов 8×8 4×2 4×4 4×6 8×4 8×6 8×8 Таблица 5 Исходные данные по группам Расчетно-графическая работа № 2 РАСЧЕТ ОБОЛОЧКИ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Задание на РГР № 2 Тонкая прямоугольная в плане оболочка размерами 2a×2b и толщиной h шарнирно оперта по всем четырем сторонам и загружена собственным весом (γ = 25 кН/м3), а также сосредоточенной силой F (рис. 12). Рассмотреть следующие варианты загружения: 1) сила посередине оболочки (x = 0, y = 0); 2) сила в середине верхней (или нижней) половины (x = 0, y = ±b/2); 3) сила в середине правой (или левой) половины (x = ±a/2, y = 0). Требуется: 1. Рассчитать оболочку методом конечных элементов в ПВК SCAD или Лира-САПР. Для каждого варианта загружения выписать максимальные значения прогибов и напряжений. Выбрать невыгодный вариант загружения (по наибольшим растягивающим напряжениям). 2. Для невыгодного загружения изобразить эпюры прогибов, изгибающих моментов и нормальных сил по линиям главных кривизн, проходящих через точку приложения силы. 3. Выписать наибольшие значения компонент напряжений, действующих в опасном сечении оболочки ( вx , нx , вy , нy ) . Построить эпюры нормальных напряжений. Определить вклад нормальных и изгибающих усилий в суммарные напряжения. Исходные данные принять в соответствии с номером группы (табл. 5) и порядковым номером в списке группы (табл. 6). z 3 y 1 2 F f2 b x 0 b a f1 a Номер группы E, кН/м2 a, м b, м 1 3,6 ∙ 107 0,20 16 12 2 3,7 ∙ 107 0,20 12 18 3 3,8 ∙ 107 0,20 18 14 4 3,9 ∙ 107 0,20 14 20 Таблица 6 Исходные данные по порядковому номеру в списке группы № п/п F = 150 кН f1, м f2, м h, м № п/п F = 200 кН f1, м f2, м F = 250 кН f1, м f2, м h, м 1 5 –3 0,45 11 5 3 0, 45 21 –4 6 0, 50 2 –2 5 0,40 12 –2 5 0,50 22 3 5 0,55 3 4 2 0,45 13 –3 6 0, 55 23 6 –3 0, 60 4 –3 6 0,50 14 –2 6 0,45 24 5 –3 0,55 5 5 3 0,40 15 6 –3 0,50 25 4 3 0, 50 6 6 –3 0, 50 16 5 3 0, 55 26 3 4 0, 60 7 –3 5 0,45 17 3 6 0, 50 27 –3 6 0,55 8 2 5 0,50 18 5 –2 0, 45 28 6 –4 0,50 9 –2 5 0, 45 19 3 5 0, 50 29 4 5 0,55 10 6 –2 0,40 20 6 –3 0,55 30 5 –3 0, 60 Рис. 12. Прямоугольная в плане оболочка 16 h, м № п/п 17 Пример расчета оболочки Выполним расчет железобетонной прямоугольной в плане оболочки размерами 2a = 32 м, 2b = 24 м и толщиной h = 0,5 м. Стрелы подъема оболочки по сторонам: f1 = –3 м, f2 = 5 м. Параметры упругости: E = 3,8 ∙ 107 кН/м2, ν = 0,2. Оболочка шарнирно оперта по контуру и загружена собственным весом γ = 25 кН/м3, а также сосредоточенной силой F = 200 кН, которая может быть приложена в одной из трех точек: 1, 2, 3 (рис. 13). Требуется: рассчитать оболочку для трех вариантов загружения; для невыгодного загружения изобразить эпюры прогибов, изгибающих моментов и нормальных сил по линиям главных кривизн; для опасного сечения построить эпюры нормальных напряжений. z 3 200 y 1 f2=5 м b=12 м Рис. 14. Изополя перемещений для загружения № 1 x 0 2 Изополя перемещений по оси z (прогибы оболочки) для каждого варианта загружения показаны на рис. 14–16. b=12 м f1=–3 м a=16 м a=16 м Рис. 13. Схема заданной оболочки Расчет оболочки в ПВК SCAD Создаем поверхность оболочки согласно формуле 200 z ( x, y ) f1 2 2 2 2 x y x y f 2 2 f 0 3 2 5 2 2 (м ) , 2 a b 16 12 где f0 = f1 + f2 = –3 + 5 = 2 м. Начало системы координат x, y, z размещаем в центре плоскости проекции оболочки. Сетку конечных элементов назначаем 16×16 с разбиением каждой четырехугольной ячейки на четыре трехузловых плоских элемента. Рис. 15. Изополя перемещений для загружения № 2 18 19 200 200 Рис. 17. Расчетная схема для второго варианта загружения На рис. 18 строим эпюры прогибов и внутренних сил для невыгодного загружения. Рис. 16. Изополя перемещений для загружения № 3 Максимальные (по модулю) значения прогибов и наибольшие растягивающие напряжения по каждому варианту загружения сведены в табл. 7. w, мм My, кН∙м/м Таблица 7 Результаты расчета оболочки по вариантам загружения Номер загружения wmax , мм вx max , МПа 0,11 0,09 0 0,41 0,17 0,58 0,18 0,78 2 0,49 0,22 0,66 0,22 0,86 3 0,39 0,15 0,54 0,16 0,73 Как видно, наибольшие растягивающие напряжения в оболочке имеют место при приложении сосредоточенной силы в точке 2 (см. рис. 13) (координаты узловой нагрузки: x = 0, y = –6 м). Таким образом, наиболее невыгодным является вариант загружения № 2 (расчетная схема для этого варианта изображена на рис. 17). 0,28 0,34 0,49 0 0,33 Mx, кН∙м/м 0,34 0 0,22 0,21 6,1 0,28 1,9 2,9 4,9 50 70 0,7 0 0,26 0,24 в н нx max , МПа y max , МПа y max , МПа 1 Ny, кН/м 0 80 0,24 55 0 4,9 75 40,6 95 0 0 4,3 2,0 3,6 3,6 Nx, кН/м 2,0 4,3 37,7 50 50 80 85 90 125 90 85 80 Рис. 18. Эпюры прогибов и внутренних сил 20 21 75 55 120 Определение нормальных напряжений в опасном сечении оболочки Опасное сечение совпадает с точкой приложения силы F по второму варианту загружения (x = 0, y = –6 м). Выписываем значения нормальных напряжений на верхних и нижних волокнах: вx 1,16 МПа; нx 0,66 МПа; вy 1,08 МПа; нy 0,86 МПа. Определяем напряжения от нормальных усилий: xN ср x Рекомендуемая литература 1. Александров А. В. Основы теории упругости и пластичности / А. В. Александров, В. Д. Потапов. М. : Высшая школа, 2002. 400 с. 2. Александров А. В. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы : учебник для вузов / А. В. Александров, Б. Я. Лащеников, Н. Н. Шапошников; под ред. А. Ф. Смирнова. – М. : Стройиздат, 1983. – 488 с. 3. Ильин В. П. Численные методы решения задач строительной механики : учеб. пособие / В. П. Ильин, В. В. Карпов, А. М. Масленников. – М. : АСВ, 2005. 425 с. 0,66 1,16 0,86 1,08 0,25 МПа; yN ср 0,11 МПа. y 2 2 Напряжения от изгибающих моментов: xM (вx xN ) (1,16 0,25) 0,91 МПа; yM (вy yN ) (1,08 0,11) 0,97 МПа. Проверим величины напряжений по формулам теории пологих оболочек: N 6 M x 6 37,7 0,125 0,91 МПа; xN x 0,25 МПа; 2 2 3 h 0,5 h 0,5 10 N y 0,055 6 M y 6 40,6 2 0,97 МПа; yN 0,11 МПа. 2 3 h 0,5 h 0,5 10 xM yM Распределение нормальных напряжений по толщине оболочки приведено на рис. 19. 1,16 1,08 0,11 0,25 σx, МПа σy, МПа 0,66 0,86 Рис. 19. Эпюры нормальных напряжений по толщине оболочки 22 23 ОГЛАВЛЕНИЕ Введение ................................................................................................................ 3 Расчетно-графическая работа № 1. Расчет изгибаемой плиты численными методами ......................................................................................... 5 Задание на РГР № 1 .......................................................................................... 5 Пример расчета изгибаемой плиты ................................................................ 7 Расчетно-графическая работа № 2. Расчет оболочки методом конечных элементов ............................................................................................. 16 Задание на РГР № 2 ........................................................................................... 16 Пример расчета оболочки ................................................................................ 18 Рекомендуемая литература .................................................................................. 23 Учебное издание ТЕОРИЯ РАСЧЕТА ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК Методические указания Составитель Лукашевич Анатолий Анатольевич Редактор О. Д. Камнева Корректор К. И. Бойкова Компьютерная верстка И. А. Яблоковой Подписано к печати 13.09.2017. Формат 6084 1/16. Бум. офсетная. Усл. печ. л. 1,4. Тираж 100 экз. Заказ 82. «С» 61. Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4. Отпечатано на ризографе. 190005, Санкт-Петербург, ул. Егорова, д. 5/8, лит. А. 24
