   

Иррациональные неравенства
Определение. Неравенство называется иррациональным, если оно содержит переменную под знаком радикала или дробного показателя степени.
Теорема 1. При возведении обеих частей неравенства f  x   g  x  в четную степень 2m , полученное неравенство  f  x  
2m
  g  x 
2m
будет являться
следствием исходного неравенство, при условии, что обе части его были неотрицательны.
Теорема эта является следствием возрастания функции y  x 2 на множе-
стве 0;  . Действительно, если 0  x1  x2 , то x12  x22 .
Школьники обычно формулируют эту терему в виде правила: обе части неравенства можно возводить в квадрат, если каждая из них неотрицательна.
Теорема 2. При возведении обеих частей неравенства f  x   g  x  в нечетную степень 2m  1 , полученное неравенство  f  x  
2 m 1
  g  x 
2 m 1
будет
равносильно исходному неравенству.
Приведем некоторые равносильные переходы, позволяющие избавиться от
радикала в иррациональных неравенствах. Как и в случае уравнений эти переходы даны для понимания сути метода решения, а не для механического запоминания.
1.
 f  x  g 2  x,

f  x   g  x    f  x   0,

 g  x   0.
2.
  f  x   g 2  x  ,

 g  x   0.
f  x  g  x  
  f  x   0,
  g  x   0.
 
3.
  g  x   0,

  f  x   0.
f  x  0  
  f  x   0,
 x  D g x .
  
 
g  x
14
Примеры решения задач.
Пример 1. Решить неравенство
x2  x  3  2 x  5 .
Т.к. обе части неравенства неотрицательны на ОДЗ, возведем обе части в
квадрат.
x 2  x  3   2 x  5 .
2
Из последнего неравенства следует, что подкоренное выражение не может
быть отрицательным. Следовательно, нахождение ОДЗ является лишним и по-
7

лученное неравенство равносильно исходному. Ответ:  ; 4  .
3 
Пример 2. Решить неравенство
2  x  x2  2 .
Из определения арифметического корня следует, что это неравенство верно
на всей ОДЗ, следовательно, ОДЗ и составит ответ. ОДЗ найдем из неравенства
2  x  x 2  0 . Ответ:  2;1 .
Пример 3. Решить неравенство
x2  x  12  x .
Рассмотрим два вариант знака правой части неравенства.
1) x  0 . Согласно теореме 1 возведем обе части в квадрат: x 2  x  12  x 2
или x  12 . ОДЗ искать не нужно, т.к. из неравенства x 2  x  12  x 2
следует, что подкоренное выражение не может быть отрицательным. Т.к.
x  0 , неравенство в этом случае решений не имеет.
2) х<0.
Неравенство верно на ОДЗ, т.е. x 2  x  12  0 . Ответ:  ; 3 .
15
x3  x2 5 .
Пример 4. Решить неравенство
Неравенство можно решать аналогично примеру 2 , но поскольку подкоренное
выражение и правая часть неравенства линейны, они легко изображаются графически.
Абсцисса точки пресечения x  2 легко угадывается. Из графиков следует ответ:  3;2 .
Пример 5. Решить неравенство
4
2 x2  1  x .
Из знака неравенства следует, что x  0 и неравенство равносильно систе-
 2 x 2  1  0,
 1


; .
ме:  x  0,
Решив систему, получим ответ: 
 2 
2 x 2  1  x 4 .

Пример 6. Решить неравенство
3
x  1  3 5x .
Согласно тереме 2 возведем неравенство в третью степень и получим равно-
1

сильное неравенство x  1  5 x , решение которого дает ответ:  ;   .
4 
16
Пример 7. Решить неравенство
3
x  2  x  1  1.
Возведем обе части неравенства в третью степень. После преобразования получим 4  x  1   x  2  x  1 . Поскольку ОДЗ неравенства x  1 обе части неотрицательны и неравенство можно возвести в квадрат. После преобразования
получаем  x  1 x  2  x  10   0 . Метод интервалов дает ответ:  2;10  .
Пример 8. Решить неравенство x  5x  4  5 x  5x  28 .
2
2
Сделаем замену переменной x2  5x  28  t  0 . После преобразований неравенство приобретает вид t 2  5t  24  0 . Найдя корни квадратного трехчлена
получим двойное неравенство 3  t  8 или 3  x2  5x  28  8 . Так как
x2  5x  28  0 , то достаточно решить x2  5x  28  8 . Получаем систему
 x 2  5 x  28  0,
решение которой дает ответ:  9;4 .
 2
 x  5 x  28  64
Пример 9. Решить неравенство
4
 2 x  2.
2 x
ОДЗ неравенства x  2 . Домножим обе части неравенства на
2  x  0 . Полу-
чим 4  2  x  2 2  x или 2  x  2 2  x . Последнее неравенство решается
аналогично примеру 3. Ответ: [; 4  2 5]
Пример 10. Решить неравенство
x2  7 x  10  x2  3x  2  2 2 x2  7 x  6 .
ОДЗ неравенства  ;1  2  5;   . Разложим подкоренные выражения на
множители ( x  2)( x  5)  ( x  2)( x  1)  2 ( x  2)(2 x  3) и возведем обе части неравенства в квадрат:
17
( x  2)( x  5)  2 ( x  2)2 ( x  5)( x  1)  ( x  2)( x  1)  4( x  2)(2 x  3) . Преобразуем к виду
2 ( x  2)2 ( x  5)( x  1)  ( x  2)(4(2 x  3)  ( x  5)  ( x  1)) или
2 ( x  2)2 ( x  5)( x  1)  6( x  2)( x  1) .
Правая часть полученного неравенства на ОДЗ неотрицательна. Возведем
обе его части в квадрат, и получим равносильное неравенство:
 x  2  x  5 x  1  9  x  2  x  1
2
2
2
. После преобразований:
 x  2  x 1 4  8x   0 , откуда методом интервалов получаем:
x
2


1
, x 1
2
1
С учетом ОДЗ получаем ответ:  ;   1  2  5;  
2

Задачи для самостоятельного решения
Решить неравенства


Ответ:  4;  2  0   2; 3 .
1.
12  x  x2 x4  4 x2  0 .
2.
x2  2x  8  0 .
Ответ:  2 ; 4.
3.
6  x  x2  5  0 .
Ответ: [3; 2] .
4.
2x 1
 1.
x3
Ответ: [0,5; 4] .
5. 2 x  1  x  5 .
Ответ:  1;  .


1
3
Ответ: (2;  3]  [ 3; 2) .
6.
x2  3  1 .
7.
х  33  х  3.
Ответ:  33; 3  .
8.
2 x2  3x  5  х  1.
Ответ:  5 ;3 .
 2 
18
9.
х2  4 х  5  х  3.
Ответ:   ;  5  1;   .
5

Ответ:  ;    0 .
2 
10. (5  2 х) х  0 .
11.
х  64 х  5  0 .
Ответ: [0; 1]  625;   .
12.
x  1  8  3x  1 .
Ответ: (8;  ) .
13. x 4  2 x 2  1  1  x .
14.
15.
1
1

.
1 x 2 x 1
 2 x  3
x7
x2

5 x2
.
x5
Ответ: ( ;  2)  (0;1)  (1;  ) .
Ответ: 0  (1;  ) .
Ответ: 2   5; 7  .
19