Загрузил mafioznik.no.one

Kollokvium 2

реклама
В помощь иностранному студенту
Формулы ко 2-му коллоквиуму
1. Система материальных точек. Внутренние и внешние силы. Закон сохранения импульса
изолированной системы.
Закон сохранения импульса системы: импульс системы остается постоянным, если на нее не действуют
внешние силы.
2. Работа силы. Связь работы и энергии. Мощность. Закон сохранения механической энергии.
Превращение энергии из одного вида в другой. Примеры. Кинетическая энергия поступательного
движения. Потенциальная энергия упруго деформированного тела.



Работа A   F  dS , где F – сила,

S – перемещение. Если сила постоянна, то в частном случае:
A  FS cos , где S – путь,  – угол между направлением скорости и силой.
dA
Мощность N 
.
dt
Закон сохранения (изменения) энергии: E  A , где A – работа всех сил, кроме консервативных (сила
тяжести, сила упругости).
m 2
Кинетическая энергия поступательного движения: Ek 
, где m – масса,  – скорость.
2
kx 2
Потенциальная энергия упруго деформированного тела: E p 
, где k – коэффициент упругости, x –
2
растяжение (сжатие).
3. Потенциальная энергия в однородном поле силы тяжести.
E p  mgh, где g – ускорение свободного падения, m – масса, h – изменение высоты.
4. Абсолютно упругий и абсолютно неупругий удары (столкновения). Превращение энергии в
процессе столкновения. Законы сохранения энергии и импульса. Связь между скоростями
соударяющихся тел до и после удара. Убыль механической энергии в неупругом ударе.
При абсолютно упругом ударе тела после соударения разлетаются, а при абсолютно неупругом ударе
движутся как единое целое. В неупругом ударе происходит выделение теплоты.
Законы сохранения импульса и энергии для упругого удара:




m11  m2 2  m11  m2 2

 m112 m2 22 m112 m1 22 ,




 2
2
2
2
 
 
где 1 ,  2 – скорости соударяющихся тел до удара, а 1 ,  2 – скорости соударяющихся тел после удара.
Законы сохранения импульса и энергии для неупругого удара:



m11  m22  m1  m2  

,
 m112 m222 m1  m2  2



Q

 2
2
2
где Q – выделившаяся в процессе удара теплота.
5. Понятие абсолютно твердого тела. Поступательное, вращательное и плоскопараллельное
движения твердого тела. Связь между угловой и линейной скоростями точек твердого тела.
Абсолютно твердым называется тело, которое ни при каких условиях не деформируется. В абсолютно
твердом теле расстояние между любыми двумя точками остается постоянным.


 

Векторная формула:   , r  , где  – вектор угловой скорости, r – радиус-вектор.
Необходимо уметь находить направление и модуль вектора векторного произведения (см. лекции по
механике или по аналитической геометрии).
Скалярная формула:   R , где R – радиус окружности, по которой движется точка.
6. Центр инерции твердого тела. Связь координат и масс точек твердого тела в системе координат,
связанной с центром масс.
Лемма о центре масс:
n

 mi ri   0 , где mi
i 1

– массы точек твердого тела, ri  – их радиус-векторы в системе
центра масс.
7. Центр инерции твердого тела. Координаты центра инерции. Закон движения центра инерции
твердого тела.

n

Радиус-вектор центра масс: RC 
 mi ri
i 1
m
, где m – масса всего тела.



d0 
Закон движения центра масс: m
 F , где  0 – скорость центра масс, F – результирующая сила.
dt
Центр инерции движется так, как если бы в нем была бы сосредоточена вся масса и к нему были бы
приложены все силы.
8. Момент силы. Закон динамики вращения тела вокруг неподвижной оси. Момент инерции.
Момент силы относительно оси: M  Fl , где l – плечо силы (правило определения плеча см. в
лекциях или в материалах занятий по решению задач).
Закон динамики вращения тела вокруг неподвижной оси (уравнение вращательного движения):
M  I , где I – момент инерции тела,  – угловое ускорение.
Момент инерции материальной точки: I  mr , где r – расстояние от точки до оси.
2
n
Момент инерции твердого тела: I   mi ri 2 , где ri – расстояние от i-той точки до оси.
i 1
9. Момент импульса. Уравнение моментов (относительно оси). Закон сохранения момента
импульса.
Момент импульса точки относительно оси: N  mr , где r – радиус окружности, которую описывает
точка.
Момент импульса тела относительно оси: N  I , где I – момент инерции тела, где  – угловая
скорость вращения.
Уравнение моментов относительно оси: M 
dN
, где M – момент силы относительно оси, N –
dt
момент импульса относительно оси .
Закон сохранения момента импульса: момент импульса остается постоянным, если момент внешних сил
равен нулю.
10. Момент импульса и момент силы относительно точки. Уравнение моментов (относительно
точки).

 


Момент импульса точки относительно точки: N  r , p , где r – радиус-вектор точки, p – импульс


 dN
точки. Уравнение моментов относительно точки: M 
, где M – момент силы относительно точки,
dt

N – момент импульса относительно точки.
11. Кинетическая энергия вращающегося тела. Работа по повороту твердого тела.
I 2
, где I – момент инерции,  – угловая
2
скорость вращения. Работа по повороту твердого тела: A   Md , где M – момент силы относительно
Кинетическая энергия вращающегося тела: Eвращ 
оси,
 – угол поворота.
12. Аналогия между поступательным движением материальной точки и вращательным
движением твердого тела.
Поступательное движение
N
1
2
Путь S , перемещение
Линейная скорость 
3
Сила
4
5
Линейное ускорение
6

S
Угол

Угловая скорость

F
Масса
Вращательное движение

M ,
Момент силы относительно точки M

Угловое ускорение 
Момент силы относительно оси

a
m
Момент инерции I

Импульс p
N ,
Момент импульса относительно точки N

dN  dN
Уравнение моментов M 
, M 
dt
dt
Момент импульса относительно оси
Второй закон Ньютона, первая формулировка
 dp
F
dt
Второй закон Ньютона, вторая формулировка


8
F  ma
m 2
9 Кинетическая энергия Eк 
2
 
10 Работа A   FdS
7
Уравнение вращательного движения
M  I
Кинетическая энергия вращательного движения
Работа по повороту
A   Md
I 2
Eвращ 
2
13. Момент инерции. Вычисление моментов инерции тел (на примере моментов инерции
цилиндра, кольца и тонкого кольца, стержня и шара).
Сплошной цилиндр: I 
1
mR2
2
1
mR12  R22 
2
2
Шар: I  mR2
5
Полый цилиндр (и кольцо): I 
Тонкостенный цилиндр (и тонкое кольцо): I  mR
2
Стержень: I 
1 2
ml
12
14. Момент инерции. Теорема Гюйгенса-Штейнера.
I  I O  ma2 , где
I – момент инерции относительно произвольной оси, I O – момент инерции
относительно оси, проходящей через центр масс параллельно данной, a – расстояние между осями.
15. Момент импульса относительно точки. Связь между моментом импульса относительно точки и
угловой скоростью вращения твердого тела. Тензор инерции.
Связь между моментом импульса относительно точки

и угловой скоростью вращения твердого тела: N  Iˆ
Тензор инерции – квадратная матрица 3 на 3:
 I xx I xy I xz 


ˆI   I yx I yy I yz 


I
I
I
zx
zy
zz


n

Диагональные: I xx   mi Ri  xi
i 1
2
2

n
Недиагональные: I xx   mi xi yi
i 1
Ri – модуль радиус-вектора точки, xi , yi – координаты точки.
16. Теорема о главных осях.
Теорема: Для любого тела имеются три взаимно перпендикулярных направления, при вращении вокруг
которых вектор момента импульса относительно точки сонаправлен с вектором угловой скорости:


N   . Такие направления называются главными.
17. Диагонализация тензора инерции. Главные моменты инерции твердого тела.
Диагонализация – приведение тензора инерции к диагональному виду. Диагональный вид матрицы –
когда вне главной диагонали нули. Тензор инерции принимает диагональный вид, если в качестве
координатных осей выбраны главные направления твердого тела.
Главные моменты инерции – моменты инерции относительно главных направлений, диагональные
элементы тензора, приведенного к диагональному виду.
18. Связь момента инерции твердого тела относительно произвольной оси, проходящей через
центр масс, с тензором инерции относительно системы координат, связанной с центром масс.
 
I n  n IˆO n , где I n – момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс и задаваемой

единичным вектором n , IˆO – тензор инерции в системе, связанной с центром масс.
19. Гироскопы. Гироскоп под действием сил (приближенная теория). Прецессия гироскопа.
Гироскопические силы. Нутации.
Гироскоп – быстро вращающееся симметричное тело, ось которого может менять свое направление в
пространстве. Прецессия – вращение оси гироскопа в горизонтальной плоскости.
Угловая скорость прецессии:  
M
.
N
20. Законы Кеплера. Закон всемирного тяготения. Опыт Кавендиша.
1-й закон Кеплера: Орбиты всех планет являются эллипсами, в одном из фокусов которых находится
Солнце.
2-й закон Кеплера: Движение каждой планеты происходит так, что радиус-вектор, проведенный из
центра Солнца к планете, за равные промежутки времени «ометает» равные площади.
3-й закон Кеплера:
T12 a13
 , где T – период обращения планеты, a – большая полуось эллипса орбиты
T22 a23
(что такое фокус и полуось эллипса – см. в литературе)
Закон всемирного тяготения: F  G
m1m2
, где G – гравитационная постоянная, m1 , m2 – массы
r2
взаимодействующих тел, r – расстояние между центрами этих тел.
Скачать