МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Рубцовский институт (филиал) федерального государственного бюджетного
образовательного учреждения высшего образования
«Алтайский государственный университет»
Кафедра математики и прикладной информатики
Курсовой проект
Дисциплина: Методы и средства проектирования
информационных систем
Тема: Разработка модуля «Транспортная задача линейного
программирования» с использованием системы
компьютерной алгебры «Maple».
Выполнил
студент 3 курса
группы 1275с9-1
Плехов К.С.
____________________________
Научный руководитель:
Старший преподаватель
Рязанова О.В.
Оценка_____________
«_____»________ 2019г.
Подпись руководителя:
_____________________
Рубцовск 2020
РЕФЕРАТ
Курсовой проект: 23 страниц, 9 рисунков, 1 таблица, 10 источников.
Ключевые слова: Maple, Транспортные задачи, Simplex, Компьютерная
алгебра, правило минимального элемента.
Объектом курсового проекта является программный пакет Maple.
Предметом курсового проекта является решение транспортных задач с
использованием системы компьютерной алгебры Maple.
Цель данной работы состоит разработка модуля с использованием
Maple которая позволит решать поставленные транспортные задачи.
Для достижения поставленной цели работы необходимо решить следу
ющие задачи:
1.
Провести анализ предметной области, в которой требуется
применение данного пакета.
2.
Разработать
модуль
транспортной
программирования.
2
задачи
линейного
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ .............................................................................................................. 4
1
2
Системы компьютерной алгебры .................................................................... 5
1.1
Основные понятия ...................................................................................... 5
1.2
Обзор Maple................................................................................................. 7
1.3
Библиотека «simplex» ............................................................................... 12
Постановка транспортной задачи.................................................................. 14
2.1
Пример решения Транспортной задачи ................................................. 14
2.2
Решение способом минимальной стоимости......................................... 16
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ..................................................................................................... 22
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ ........................................... 23
3
ВВЕДЕНИЕ
Сейчас невозможно представить себе жизнь без использования
компьютера. Сфера его деятельности пронизывает многие виды деятельности
человека. Раньше для подсчета численных выражений нужно было затратить
немало времени для написания программы на алгоритмическом языке. За
последние годы ситуация резко изменилась, так как с ростом возможностей
вычислительной техники соответственно совершенствовалось и программное
обеспечение. Появилось очень много математических пакетов, таких как
MathCad, Matlab, Maple и т.д. Которые позволили решать задачи разного
характера.
Классическая транспортная задача - задача о наиболее экономном
плане перевозок однородного продукта или взаимозаменяемых продуктов из
пунктов производства в пункты потребления, встречается чаще всего в
практических
приложениях
программирование
программирования
численные
линейного
является
области
методы
одним
программирования.
из
математики,
решения
разделов
математического
разрабатывающей
многомерных
Линейное
экстремальных
теорию
и
задач
с
ограничениями.
Огромное количество возможных вариантов перевозок затрудняет
получение достаточно экономного плана эмпирическим или экспертным
путем.
Применение
планировании
математических
перевозок
дает
методов
большой
и
вычислительных
экономический
в
эффект.
Транспортные задачи могут быть решены симплексным методом, однако
матрица системы ограничений транспортной задачи настолько своеобразна,
что для ее решения разработаны специальные методы. Эти методы, как и
симплексный метод, позволяют найти начальное опорное решение, а затем,
улучшая
его
получить
4
оптимальное
решение.
1
Системы компьютерной алгебры
1.1 Основные понятия
Термин компьютерная алгебра выражает способность компьютеров
манипулировать математическими выражениями, заданными символьно, а не
численно, по аналогии с алгеброй высказываний. Используя символьное
представление точных чисел и алгебраических выражений, системы
компьютерной алгебры помогают в вычислениях, сокращая количество
численных ошибок. Компьютерная алгебра используется при решении
широкого круга проблем.
Базовые типы данных систем компьютерной алгебры: числа и
математические
выражения.
Кроме
того,
в
компьютерной
алгебре
рассматриваются такие объекты, как функциональные, дифференциальные
поля, допускающие показательные, логарифмические, тригонометрические
функции; матричные кольца и др.
Системы компьютерной алгебры работают следующим образом:
1.
Математические объекты и указания, что с ними делать, задаются
пользователем на входном языке системы в виде символьных выражений.
2.
Интерпретатор анализирует и переводит символьные выражения
во внутреннее представление.
3.
Символьный
процессор
системы
выполняет
требуемые
преобразования или вычисления и выдает ответ в математической нотации.
Выделяют системы компьютерной алгебры общего назначения и
специализированные. Наиболее известные системы из первой группы: Derive,
Mathematica, Maple, Macsyma и ее потомок Maxima, Scratchpad и ее потомок
Axiom, Reduce, MuPAD, Mathcad, MATLAB, Sage, SMath Studio, Yacas,
Scientific WorkPlace, Kalamaris [1].
5
Составляющие систем компьютерной алгебры:
1.
Ядро системы.
2.
Интерфейсная оболочка.
3.
Библиотеки
специализированных
программных
модулей
и
функций.
4.
Пакеты расширения.
5.
Справочная система.
Системы
компьютерной
алгебры
позволяют
выполнять
аналитической форме:
1.
Упрощение выражений или приведение к стандартному виду.
2.
Подстановки символьных и численных значений в выражения.
3.
Выделение общих множителей и делителей.
4.
Раскрытие произведений и степеней, факторизацию.
5.
Разложение на простые дроби.
6.
Нахождение пределов функций и последовательностей.
7.
Операции с рядами.
8.
Дифференцирование в полных и частных производных.
9.
Нахождение неопределенных и определенных интегралов.
10.
Анализ функций на непрерывность.
11.
Поиск экстремумов функций и их асимптот.
12.
Операции с векторами.
13.
Матричные операции.
14.
Нахождение решений линейных и нелинейных уравнений.
15.
Символьное решение задач оптимизации.
16.
Алгебраическое решение дифференциальных уравнений.
17.
Интегральные преобразования.
18.
Прямое и обратное быстрое преобразование Фурье.
19.
Интерполяцию, экстраполяцию и аппроксимацию.
20.
Статистические вычисления.
6
в
21.
Машинное доказательство теорем.
Также большинство систем компьютерной алгебры обеспечивают:
1.
Числовые операции произвольной точности.
2.
Целочисленную арифметику для больших чисел.
3.
Вычисление
фундаментальных
констант
с
произвольной
точностью.
4.
Поддержку функций теории чисел.
5.
Редактирование математических выражений в двумерной форме.
6.
Построение графиков аналитически заданных функций.
7.
Построение графиков функций по табличным значениям.
8.
Построение графиков функций в двух или трех измерениях.
9.
Анимацию формируемых графиков разных типов.
10.
Использование пакетов расширения специального назначения.
11.
Программирование на встроенном языке.
12.
Автоматическую формальную верификацию.
13.
Синтез программ.
К
особенностям
систем
компьютерной
алгебры
относят
преимущественно интерактивный характер работы – пользователь не знает
заранее ни размера, ни формы результатов и поэтому должен иметь
возможность корректировать ход вычислений на всех этапах, задавать режим
пошагового выполнения с выводом промежуточных результатов [2].
1.2 Обзор Maple
Типичная интегрированная программная система. Она объединяет в
себе следующие составляющие:
1.
Редактор
для
подготовки
программных модулей.
7
и
изменения
документов
и
2.
Ядро алгоритмов и правил преобразования математических
выражений.
3.
Численный и символьный процессоры.
4.
Язык программирования.
5.
Многооконный пользовательский интерфейс с возможностью
работы в диалоговом режиме.
6.
Справочную систему с пояснениями всех функций и опций.
7.
Систему диагностики.
8.
Библиотеки встроенных и дополнительных функций.
9.
Пакеты функций сторонних производителей.
10.
Поддержку нескольких других языков программирования.
Как и в большинстве систем компьютерной алгебры, в интерфейсе
Maple соединены функции текстового и командного процессоров.
Система Maple, интегрирует в себе три языка: входной или язык
общения с системой, реализации, программирования.
Ядро системы Maple и все ее составляющие улучшаются от версии к
версии. Многие встроенные в систему функции, как и функции ядра, могут
использоваться
без
какого-либо
объявления,
другие
нуждаются
в
объявлении. Имеется ряд подключаемых проблемно ориентированных
пакетов, тематика которых охватывает множество разделов классической и
современной математики. Общее число функций в системе Maple, с учетом
встроенных в ядро и размещенных в пакетах, превышает 3000.
Maple – система компьютерной алгебры, в основу которой были
положены исследования группы ученых, организованной в 1980 году в
университете Waterloo (Канада) К. Геддом (Keith Geddes) и Г. Гонэ (Gaston
Gonnet).
Интерфейс Maple. Рабочие окна (листы) системы Maple могут быть
использованы либо как интерактивные среды для решения задач, либо как
система для подготовки технической документации. Исполнительные группы
и электронные таблицы упрощают взаимодействие пользователя с движком
8
Maple, выполняя роль тех первичных средств, при помощи которых в
систему Maple передаются запросы на выполнение конкретных задач и вывод
результатов. Оба эти типа первичных средств допускают возможность ввода
команд Maple.
Система Maple позволяет вводить электронные таблицы, содержащие
как числа, так и символы. Они совмещают в себе математические
возможности системы Maple с уже знакомым форматом из строк и столбцов
традиционных электронных таблиц. Электронные таблицы системы Maple
можно использовать для создания таблиц формул.
Для
облегчения
документирования
и
организации
результатов
вычислений имеются опции разбиения на параграфы и разделы, а также
добавления гиперссылок. Гиперссылка является навигационным средством.
Одним щелчком мыши по ней вы можете перейти к другой точке в пределах
рабочего листа, к другому рабочему листу, к странице помощи, к рабочему
листу на Web-сервере или к любой другой Web-странице.
Рабочие листы можно организовать иерархически, в виде разделов и
подразделов. Разделы и подразделы можно как расширять, так и сворачивать.
Система Maple, подобно другим текстовым редакторам, поддерживает опцию
закладок.
Вычисления в Maple. Систему Maple можно использовать и на самом
элементарном уровне ее возможностей — как очень мощный калькулятор
для вычислений по заданным формулам, но главным ее достоинством
является способность выполнять арифметические действия в символьном
виде, то есть так, как это делает человек. При работе с дробями и корнями
программа не приводит их в процессе вычислений к десятичному виду, а
производит необходимые сокращения и преобразования в столбик, что
позволяет избежать ошибок при округлении. Для работы с десятичными
эквивалентами
в
системе
Maple
имеется
специальная
команда,
аппроксимирующая значение выражения в формате чисел с плавающей
запятой. Система Maple вычисляет конечные и бесконечные суммы и
9
произведения, выполняет вычислительные операции с комплексными
числами, легко приводит комплексное число к числу в полярных
координатах, вычисляет числовые значения элементарных функций, а также
знает много специальных функций и математических констант (таких,
например, как «е» и «пи»). Maple поддерживает сотни специальных функций
и чисел, встречающихся во многих областях математики, науки и техники.
Приведем лишь некоторые из них:
1.
Функция ошибок;
2.
Эйлерова константа.
3.
Экспоненциальный интеграл.
4.
Эллиптическая интегральная функция.
5.
Гамма-функция.
6.
Зета-функция.
7.
Ступенчатая функция Хевисайда.
8.
Дельта-функция Дирака.
9.
Бесселева и модифицированная бесселева функции.
Система
Maple
предлагает
различные
способы
представления,
сокращения и преобразования выражений, например, такие операции, как
упрощение и разложение на множители алгебраических выражений и
приведение их к различному виду. Таким образом, Maple можно
использовать для решения уравнений и систем.
Maple также имеет множество мощных инструментальных средств для
вычисления выражений с одной или несколькими переменными. Программу
можно использовать для решения задач дифференциального и интегрального
исчисления, вычисления пределов, разложений в ряды, суммирования рядов,
умножения, интегральных преобразований (таких как преобразование
Лапласа, Z-преобразование, преобразование Меллина или Фурье), а также
для исследования непрерывных или кусочно-непрерывных функций.
Maple может вычислять пределы функций, как конечные, так и
стремящиеся к бесконечности, а также распознает неопределенности в
10
пределах.
В
этой
системе
можно
решать
множество
обычных
дифференциальных уравнений (ODE), а также дифференциальные уравнения
в частных производных (PDE), в том числе задачи с начальными условиями
(IVP) и задачи с граничными условиями (BVP).
Одним из наиболее часто используемых в системе Maple пакетов
программ является пакет линейной алгебры, содержащий мощный набор
команд для работы с векторами и матрицами. Maple может находить
собственные значения и собственные векторы операторов, вычислять
криволинейные координаты, находить матричные нормы и вычислять
множество различных типов разложения матриц.
Для технических применений в Maple включены справочники
физических констант и единицы физических величин с автоматическим
пересчетом формул. Особенно эффективна Maple при обучении математике.
Высочайший интеллект этой системы символьной математики сочетается с
прекрасными средствами математического численного моделирования и с
просто потрясающими возможностями графической визуализации решений.
Такие системы, как Maple, можно применять как в преподавании, так и для
самообразования при изучении математики от самых азов до вершин.
Графика в Maple. Система Maple поддерживает как двумерную, так и
трехмерную графику. Таким образом, можно представить явные, неявные и
параметрические функции, а также многомерные функции и просто наборы
данных в графическом виде и визуально искать закономерности.
Графические средства Maple позволяют строить двумерные графики
сразу нескольких функций, создавать графики конформных преобразований
функций с комплексными числами и строить графики функций в
логарифмической, двойной логарифмической, параметрической, фазовой,
полярной и контурной форме. Можно графически представлять неравенства,
неявно заданные функции, решения дифференциальных уравнений и
корневые годографы.
11
Maple
может
строить
поверхности
и
кривые
в
трехмерном
представлении, включая поверхности, заданные явной и параметрической
функциями, а также решениями дифференциальных уравнений. При этом
представлять можно не только в статическом виде, но и в виде двух- или
трехмерной анимации. Эту особенность системы можно использовать для
отображения процессов, протекающих в режиме реального времени.
Отметим, что для подготовки результата и документирования
исследований в системе имеются все возможности выбора шрифтов для
названий, надписей и другой текстовой информации на графиках. При этом
можно варьировать не только шрифты, но и яркость, цвет и масштаб графика
[3].
1.3 Библиотека «simplex»
Библиотека «simplex» — предназначена для оптимизации линейных
систем с использованием симплексного алгоритма. Особенность ее в том, что
имеется
возможность выполнять
оценки
промежуточных
этапов
симплексного алгоритма, например, определять базисные переменные [4].
Все функции и опции представлены в табл. 1.
Таблица 1 – Функции и опции simplex
basis
Находит базисные переменые
cterm
Находит базисные переменые
display
Представляет систему в матричной форме
dual
Преобразует данную задачу в двойственную задачу
линейного программирования
feasible
Возвращает true–если решение существует, и false–если нет
maximize
Находит максимум целевой функции
12
Продолжение таблицы 1.
minimize
Находит минимум целевой функции
NONNEGATI
VE
Опция: указание на условие не отрицательности всех
переменных
setup
Приводит систему ограничений к стандартной форме
standardize
Превращает систему ограничений в пары неравенств
13
2
Постановка транспортной задачи
2.1 Пример решения Транспортной задачи
Рассмотрим задачу формирования плана транспортной задачи. Пусть
имеется несколько поставщиков однородной продукции и несколько
потребителей
этой
продукции.
Задана
также
сеть
коммуникаций,
связывающая каждого поставщика с каждым потребителем. На каждой
коммуникации задана цена перевозки – стоимость перевозки единицы
продукции. Если какая – либо коммуникация отсутствует, то считаем, что
она есть, но цену перевозки на ней устанавливаем равной бесконечности. Это
соглашение сделает невыгодным перевозку по ней и автоматически
исключит
данную
коммуникацию
из
плана
перевозок.
Таким образом, требуется составить план перевозок продукции от
поставщиков к потребителям так, чтобы потребности потребителей были бы
удовлетворены за счет вывоза запаса от поставщиков. Цель – минимизация
суммарной стоимости всех перевозок [5].
Транспортные задачи бывают:
1.
Открытые m ≠ n (суммарный запас продукции, имеющейся у
поставщиков, не совпадает с суммарной потребностью в продукции у
потребителей).
2.
Закрытые m = n (суммарный запас продукции, имеющейся у
поставщиков, совпадает с суммарной потребностью в продукции у
потребителей).
Существует несколько способов нахождения начального решения:
1.
Правило минимального элемента;
2.
Метод северо-западного угла.
Я буду пользоваться правилом минимального элемента.
14
Для начала мне потребуется создать модуль для построения начального
решения.
Вводим команду with(simplex) теперь мне доступны функции из
таблице 1.
Теперь нужно создать таблицу, туда я буду вписывать начальный план
перевозок.
В таблицу вписываем Цены перевозок, запасы и потребности.
Рисунок 2.1 – Готовый модуль для решения транспортных задач
линейного программирования
Построить начальный план перевозок означает - назначить объемы
перевозок в клетки таблицы таким образом, чтобы:
1.
Число заполненных клеток было (m+n-1).
2.
Сумма перевозок в любой строке должна быть равна запасу
соответствующего поставщика, а сумма перевозок в каждом столбце равна
потребности потребителя.
i -номер поставщика, j- номер потребителя.
Алгоритм нахождения начального решения:
1.
Определенным способом выбираем клетку в текущей таблице.
2.
В качестве перевозок в эту клетку назначаем наименьшую из ai и
потребности bj. ( xij = min{ai,bj} ).
15
3.
Уменьшим запас ai и потребность bj на величину перевозки xij (ai
= ai - xij) (bj =bj –xij).
4.
При исчерпании запаса (ai = 0) запрещаем к перевозке оставшиеся
свободные клетки i-ой строки, а при исчерпании потребности ( (bj =0)
запрещаем такие же клетки в j-ом столбце).
2.2 Решение способом минимальной стоимости
Когда мы разработали модуль для решения попробуем решить одну из
задач.
На рисунке 2.2 изображен первый этап. Далее следуем следующим
этапам:
1.
Находим минимальную цену.
2.
В качестве перевозок в эту клетку назначаем наименьшую из ai и
потребности bj (x32= min{50,60} = 50).
3.
Уменьшим запас ai и потребность bj на величину перевозки xij (a'3
=50-50=0, b'2 = 100-50=50).
4.
Запретим 3 строку.
Рисунок 2.2 – Первый этап решения способом минимальной стоимости
16
На рисунке 2.3 изображен второй шаг. Далее следуем следующим
этапам:
1.
Находим минимальную цену.
2.
x23 = min{70,80} = 70.
3.
a2=70-70=0, b'3 = 80-70=10.
4.
Запретим 2 строку.
Рисунок 2.3 – Второй этап решения способом минимальной стоимости
На рисунке 2.4 изображен третий шаг. Далее следуем следующим
этапам:
1. Находим минимальную цену.
2. x 11=min{120,60} = 60.
3. a 1'=120-60 = 60, b1'= 0.
Рисунок 2.4 – Третий этап решения способом минимальной стоимости
17
На рисунке 2.5 изображен четвертый шаг. Далее следуем следующим
этапам:
1. Выбираем клетку (1,2).
2. x12 =min{110,100} = 100.
3. a1 =110-100 = 10, b'1 = 0.
Рисунок 2.5 – Четвертый этап решения способом минимальной стоимости
На рисунке 2.6 изображен пятый шаг. Далее следуем следующим
этапам:
1. Выбираем последнюю клетку.
2. x13=min{10,10} = 10.
3. a1' = b3 = 0.
Рисунок 2.6 – Пятый этап решения способом минимальной стоимости
18
Признаком того, что текущий план перевозок является оптимальным,
служит условие (1)ui +vj -cij≤ 0 которое выполняется для всех клеток
таблицы. Неизвестные здесь величины ui и vjn определяются из условий (2)ui
+ vj = cij
Условие означает невозможность появления "спекулятивной" цены.
Само же название "потенциалы" заимствовано из физического закона о том,
что работа по перемещению заряда в электростатическом поле равна
разности потенциалов в данных точках поля.
Переходим к проверке условий оптимальности. Достаточно проверять
их для незаполненных клеток, так как для клеток, заполненных эти условия
выполняются как равенства. Для проверки берется незаполненная клетка,
складываются соответствующие ей потенциалы и из них вычитается цена
перевозки в данной клетке. Если полученное число отрицательное или ноль,
то оптимальность в данной клетке не нарушается. Если же в таблице
встретилась хотя бы одна клетка, для которой это число положительно, тогда
решение не является оптимальным и может быть улучшено.
Улучшаем план перевозок.
Улучшение плана происходит путем назначения перевозки θ>0 в ту
клетку таблицы, в которой нарушилось условие оптимальности. Но
назначение ненулевой
перевозки нарушает
условия
баланса
вывоза
продукции от поставщика i и условия баланса привоза продукции к
потребителю j. Условия баланса восстанавливают путем уменьшения вывоза
от i-поставщика к какому-то другому потребителю j. При этом нарушается
баланс привоза продукции к потребителю j. Восстанавливают баланс в
столбце j, тогда он нарушается в некоторой строке i и т.д. до тех пор, пока
цикл перемещения перевозок не замкнется на клетке, в которой нарушалось
условие оптимальности. Продемонстрируем эти рассуждения на нашем
примере.
Оптимальность нарушена в клетке (3,3) Это изображено на рисунке 2.7.
Назначим в нее перевозку θ>0.
19
Рисунок 2.7 – Первый этап улучшения плана перевозок
Нарушается баланс вывоза от поставщика. Это изображено на рисунке
2.8. Уменьшаем на θ перевозку в заполненной клетке строки 3.
Рисунок 2.8 – Второй этап улучшения плана перевозок
Рассмотрим те клетки цикла, в которых уменьшаем на θ перевозку и
берём минимум из вычетаемых, у нас это min{10- θ ,50- θ} =10. Это
20
изображено на рисунке 2.9. И данное число надо подставить в цикл.
Рисунок 2.9 – Третий этап улучшения плана перевозок
21
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В
результате
программный
выполнения
модуль
по
курсового
решению
проекта
транспортных
я
разработали
задач
линейного
программирования, следовательно, поставленные цели достигнуты и задачи
выполнены.
В настоящее время
программирование претерпевает серьезную
трансформацию: развиваются интегрированные среды, основанные на
алгоритмических
языках,
и
растет
применение
универсальных
математических систем таких как Maple, Mathematica, MATLAB, MatCad и
другие.
Эти системы имеют дружественный интерфейс, реализуют множество
стандартных и специальных математических операций, снабжены мощными
графическими
средствами
и
обладают
собственными
языками
программирования. Все это предоставляет широкие возможности для
эффективной работы специалистов разных профилей, о чем говорит активное
применение математических пакетов в научных исследованиях и в
преподавании. С помощью этих пакетов проще готовить и выполнять
задания,
устраивать
демонстрации
и
гораздо
быстрее
решать
исследовательские и инженерные задачи.
Компьютерная алгебра Maple вошла составной частью в ряд
современных пакетов. Пакет Maple хорошо организованная система,
надежная и простая в работе. Освоение даже части возможностей даст
несомненный эффект, а по мере накопления опыта придет настоящая
эффективность от взаимодействия с ней.
22
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1.
Матвеев В.А. Конечные бескоалиционные игры и равновесия.
Псков, 2016,176с.
2.
Кpаткое пособие Maple [Электронный ресурс]. – Режим доступа:
http://mif.vspu.ru/books/mapletut/index.html – Загл. с экран.
3.
Аладьев
В.З.,
Богдявичюс
М.А.
MAPLE
6:
Решение
математических, статистических и физико – технических задач – М.:
Лаборатория Базовых Знаний,2017 – 824с.
4.
Сдвижков О.А Математика на компьютере: Maple 8. - M.:
СОЛОН-Пресс, 2017. - 176.
5.
Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр. М.: ВШ,
Книжный дом «Университет», 2016.
6.
Шевченко А.С. Применение математического пакета Maple к
решению вариационных задач // Молодой ученый. − 2015. − №22. − С. 33-37.
7.
Воробьёв Н.Н. Основы теории игр. Бескоалиционные игры. М.:
Наука, 2015.
8.
Прохоров
Г.В.,
Колбеев
В.В.,
Желнов
К.И.,
Леденев
пакета
MAPLE
М.А..Математический пакет MapleVRelease 4. М. 2018.
9.
Основы
[Электронный
использования
математического
ресурс].
–
Режим
доступа:
http://window.edu.ru/catalog/pdf2txt/929/53929/26309?p_page=1 – Загл. с экран.
10.
Решение задач линейного программирования в среде Maple
[Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://smekni.com/a/314008/resheniezadach-lineynogo-programmirovaniya-v-srede-maple/ – Загл. с экран.
23
