объем

Тема 7. Объемы тел
Тема урока:
Объем
прямоугольного
параллелепипеда
Величина части
пространства,
занимаемого
геометрическим
телом , называется
объемом этого тела
Английские меры объема
• Бушель - 36,4 дм3
• Галлон -4,5 дм3
• Баррель (сухой)• 115,628 дм3
• Баррель (нефтяной)• 158,988 дм3
• Английский баррель
для сыпучих веществ
163,65 дм3
Русские меры объема
•
•
•
•
Ведро - 12 дм3
Бочка - 490 дм3
Штоф - 1,23 дм3 = 10 чарок
Чарка -0,123 дм3=0,1 штофа=
= 2 шкалика
• Шкалик -0,06 дм 3 = 0,5 чарки
АРХИМЕД (ок. 287-212 гг. до н.э.)
• На могильной плите
Архимеда, как завещал
ученый, был изображен
цилиндр с вписанным шаром,
а эпитафия говорила о
величайшем открытии
Архимеда - о том, что объемы
этих тел относятся как 3: 2.
•
Когда Римский оратор и
общественный деятель
Цицерон, живший в 1 в. до н.э.,
был в Сицилии, он еще видел
этот заросший кустами и
терновником памятник с
шаром и цилиндром.
Понятие объема
За единицу измерения
объемов примем куб,
ребро которого равно
единице измерения
отрезков.
Куб с ребром 1 см
называют кубическим
сантиметром и
обозначают см3.
Равенство двух тел, в стереометрии
определяется так же, как и в
планиметрии:
• Два тела называют
равными, если их
можно совместить
наложением.
20. Если тело составлено из нескольких тел, то его объем
равен сумме объемов этих тел.
Объем прямоугольного параллелепипеда.
Теорема.
Объем прямоугольного параллелепипеда равен
произведению трех его измерений.
Дано: параллелепипед, а, b, c его измерения.V объем
Доказать: V = abc.
•
Доказательство:
1 сл. Пусть а, b, c - конечные десятичные
дроби ( n  1) . Числа а ·10n , b ·10 n,
c·10 n - целые .
Разобьем каждое ребро параллелепипеда
на равные части длины 1n и через
10
точки разбиения
проведем плоскости, перпендикулярные к
этому ребру. Параллелепипед разобьется
На abc·103 n равных кубов с ребром 1 n
10
Т.к.
1
объем каждого такого куба равен 103n , то
объем всего параллелепипеда равен
V  abc 103n 
1
 abc
103n
Итак, V = abc.
2 сл.Пусть a, b, c –бесконечные десятичные дроби.
Рассмотрим конечные десятичные дроби an, bn, cn
anbncnabc an’bn’cn’, где
Объем V параллелепипеда Р
заключен между
Vn=anbncn и V’n= an’bn’cn’ т.е.
anbncnV an’bn’cn’
Неограниченно увеличим n.
Тогда число an’bn’cn’ будет
мало отличаться от числа
anbncn .
V=abc.
Ч.т.д
Следствие 2. Объем прямой призмы, основанием
которой является прямоугольный треугольник,
равен произведению площади основания на
высоту.
Дано: АВС - треугольная призма.
Доказать: V призмы= S ABC·h
Доказательство:
1. Достроим треугольную призму до
прямоугольного параллелепипеда.
2. По сл.2 V= 2 S ABC·h.
3. (В1ВС) разбивает параллелепипед
на две равные прямые призмы, одна
из которых данная.
4. Следовательно V иск. равен
половине объема параллелепипеда,
т.е. V призмы= S ABC·h
ч.т.д
Задача 1
• Сколько пакетов с соком войдет в коробку?
Задача 2
• Найдите объем тела
Задача 3
Сколько литров воды вмещает бак, имеющий форму куба с ребром
6 дм?
Задача 4
За сутки человек совершает вдох и выдох примерно 23 000 раз. За
один вдох в легкие поступает 500 см3 воздуха. Какой объем воздуха
( в литрах) проходит через легкие человека за сутки?
Задача 5
Больному прописали глазные капли, по 2 капли 3 раза в день в оба
глаза. Во флаконе 10 мл лекарства. Объем капли 1/9 мл. Хватит ли
одного флакона на неделю?
№ 650. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 8
см, 12 см и 18 см. найдите ребро куба, объем которого равен
объему этого параллелепипеда
B1
Дано: прямоугольный
параллелепипед.
а = 8см, b = 12см, с = 8см
Vпар= Vкуба
Найти: d - ребро куба.
• Решение:
D1
A1
C1
B
D
A
C
B1
D1
A1
C1
V пар = abc=8·12·18=1728 cм 3.
Vпар.=Vкуба= 1728 cм3= d3,
d 3= 23·22·3·32·2=26·33,
d=12 см.
Ответ: 12 см.
B
A
D
C
№ 653. Диагональ
прямоугольного параллелепипеда равна 18 см и
составляет угол в 30 0 с плоскостью боковой грани и угол в 45 0 с
боковым ребром. Найдите объем прямоугольного
Дано: ABCDA1B1C1D1 - прямоугольный параллелепипед,.
параллелепипеда.
B1D - диагональ, B1D = 18 см,  (B1D; (АВВ1)) = 30 0,
 B1D D 1 = 450
Найти: V параллелепипеда
•
B1
C1
A1
Решение
1 )Δ В1ВА – прямоугольный, т.к. В1ВАВ (по
условию АВСDA1B1C1D1 – прямоугольный
параллелепипед). ABAD



   AB1AD
 B1BAB 
Δ B1AD -прямоульный, т.е. В1А = ПР (АА1В) B1D,
 (B1D; (AA1B1)) =  DB1A = 300.
1
2) Δ B1AD - прямоугольный c углом в 300: AD  B1 D
2
AD= 9 см.
D1
3) Δ B1D1D – прямоугольный, т.к.
18
 DD1 A1B1C1  
DD1 
9 2

  B1D1DD1 ,
2


B
D

A
B
C
1 1 1 
 1 1
4)По свойству диагонали прямоугольного
параллелепипеда B1D2=AD2+DC2+DD12.
 
2
B
182  9 2  9 2  DC 2 ,
C
DC9
V  AD  DC  D1 D  9  9  9 2  729 2
Ответ:
A
D
729 2
см3
Домашнее задание
•п. 63, п. 64
учить
•№654, №656
Домашнее задание
• п. 63, п. 64
• №643, №648(А)
• №657, №660(В)
!
•
Придумать задачу с практическим
содержанием на нахождение объема прямоугольного
параллелепипеда, решить ее