Математическое моделирование с помощью дробного уравнения Риккати динамических процессов с насыщением и памятью

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФГБОУ ВО «КАМЧАТСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ВИТУСА
БЕРИНГА»
ИНСТИТУТ КОСМОФИЗИЧЕСКИХ
ИССЛЕДОВАНИЙ И
РАСПРОСТРАНЕНИЯ РАДИОВОЛН
ДАЛЬНЕВОСТОЧНОГО
ОТДЕЛЕНИЯ РОССИЙСКОЙ
АКАДЕМИИ НАУК
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
С ПОМОЩЬЮ ДРОБНОГО УРАВНЕНИЯ РИККАТИ
ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
С НАСЫЩЕНИЕМ И ПАМЯТЬЮ
Д.А. ТВЁРДЫЙ, Р.И. ПАРОВИК
МОНОГРАФИЯ
ПЕТРОПАВЛОВСК-КАМЧАТСКИЙ, 2021
УДК519.622+517.923
ББК22.1
Ϟ
Рецензенты:
Марапулец Ю.В., доктор физико-математических наук, директор Института
космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН.
Псху А.В., доктор физико-математических наук, директор Института
прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, г. Нальчик.
Твёрдый Д. А., Паровик Р. И.
Ϟ
П
18 Математическое моделирование с помощью дробного уравнения
Риккати динамических процессов с насыщением и памятью: монография //
Д.А.Твёрдый,Р.И.Паровик;Петропавловск-Камчатский:КамГУим.ВитусаБеринга—Петропавловск-Камчатский:КамГУим.ВитусаБеринга,2021.—116һ
ISBN978-5-7968-0
Монографияпосвященавопросамисследованиядинамическихпроцессовс
насыщением и памятью с помощью дробного уравнения Риккати. Предложены
численные методы решения с помощью нелокальных явных и неявных конечноразностных схем, исследованы вопросы устойчивости и сходимости методов,
проведены тестовые расчеты и разработҪны копьютерные программы для ҬҲұҽ
ализации результатов расчетов. Приведены некоторые приложения ҹҺүҮҵҸҰүҷ
нойматематическоймоделидляописаниядинамическихпроцессовсҷҪһӅӃүҷҲ
ем.Даннаямонографияможетбытьполезнастудентам,магистрам,аспирантами
научнымсотрудникам,которыеизучаютматематическиеметодымоделирования
наследственныхпроцессов.
Исследование выполнено в рамках гранта Президента РФ № МК-1152.2018.1
по теме: «Применение дробного исчисления в теории колебательных процессов»;
гранта РФФИ № 19-31-50027мол_нр. по теме: «Математическое моделирование
некоторых физических процессов с помощью эредитарного уравнения Риккати»;
при поддержке проекта РФФИ №20-05-00493 и темы № АААА-А19-119072290002
НИР КамГУ им. Витуса Беринга, «Природные катастрофы Камчатки – землетрясения и извержения вулканов.
УДК519.622+517.923
ББК22.1
ISBN978-5-7968-0
© Твёрдый Д. А., Паровик Р. И., 2021
© КамГУ им. Витуса Беринга, 2021
© ИКИР ДВО РАН, 2021
Содержание
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Эредитарность и ее связь с дробным исчислением . . . . . . .
9
1.1.
Понятие эредитарности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2.
Элементы дробного исчисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.
Связь эредитарности с дробным исчислением . . . . . . . . . . . . 14
Глава 1.
Глава 2.
Дробное уравнение Риккати и методы его исследования . . . . 16
2.1.
Постановка задачи для нелинейного дробного уравнения . . . . . . 16
2.2.
Нелокальная неявная конечно-разностная схема (IFDS) . . . . . . 20
2.3.
Модифицированный метод Ньютона (MNM) . . . . . . . . . . . . . 23
2.4.
Метод MNM для численного решения дробного уравнения Риккати 28
2.5.
Явная конечно-разностная схема (EFDS) для дробного уравнения
Риккати . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.6.
Вычислительная точность и тестовые примеры . . . . . . . . . . . . 35
2.7.
Программный комплекс для среды Maple . . . . . . . . . . . . . . . 43
Глава 3.
Приложения дробного уравнения Риккати . . . . . . . . . . . . 46
3.1.
Моделирование динамики солнечной активности . . . . . . . . . . 46
3.2.
Моделирование динамики распространения коронавируса COVID-19 50
3.3.
Моделирование динамики накопления радона в накопительной ка­
мере . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Словарь терминов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Приложение А.
Свидетельства о государственной регистрации программ
для ЭВМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
А.1. программа «NSFDRE» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
А.2. программа «MMDCSA» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
А.3. программа «FDRE» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
А.4. программа «FDREext» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Приложение Б.
Б.1.
Исходный код программы «MMDCSA 2.0» . . . . . . . 89
Исполняемый ([Monthly]_Solar_Sunspot_23_24_25now.mw) файл . 89
Приложение В.
Исходный код программы «MMDIC 1.0» . . . . . . . . . 92
В.1. Исполняемый (UZB (prediction to 31.12.2021)_new_cases.mw) файл
Приложение Г.
Г.1.
Исходный код программы «MMDIC 1.0» . . . . . . . . . 95
Исполняемый (UZB (prediction to 31.12.2021)_new_cases.mw) файл
Приложение Д.
92
95
Исходный код программы «RVAMM» . . . . . . . . . . 98
Д.1. Исполняемый (Code_(RVAMM)_lib,load.mw) файл
. . . . . . . . . 98
Д.2. Исполняемый (Templar_file.mw) файл . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Приложение Е.
Математический аппарат дробного исчисления . . . . 106
Приложение Ж.
Таблица дробных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . 114
Приложение З.
Акты внедрения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
З.1.
ИКИР ДВО РАН, от 28 октября 2021 г. . . . . . . . . . . . . . . . . 115
З.2.
ИПМА КБНЦ РАН, от 26 ноября 2021 г. . . . . . . . . . . . . . . . 116
Введение
В мире, многочисленные теоретические и практические исследования пока­
зывают, что уравнение Риккати представляет большой интерес, так как часто на­
ходит свое применение во многих областях науки от физики - волновые процессы
в средах с неупругим гистерезисом и с насыщением потерь [1], до эпидемиологии логистические модели, целью которых является определения времени насыщения
(выход на плато) и спада эпидемии [2].
Процессы с насыщением могут также обладать эффектами наследственности
(памяти или эредитарности), это указывают на причинно-следственные связи в
динамике процесса. Понятие эредитарности означает, что система сохраняет ин­
формацию о своей предыстории и с точки зрения математики ее можно описать с
помощью интегро-дифференциальных уравнений с разностными ядрами – функ­
циями памяти [3, 4]. При выборе степенных функций памяти мы естественным
образом переходим к хорошо известному математическому аппарату дробного
исчисления [5, 6], в частности к производным дробных порядков [7, 8, 9, 10, 11].
Поэтому уравнение Риккати с дробной производной принято называть дроб­
ным уравнением Риккати. Дробное уравнение Риккати является обобщением клас­
сического уравнения Риккати и за счет дополнительной степени свободы - поряд­
ка дробной производной дает более гибкое описание экспериментальных данных
процессов с насыщением. Поэтому важной задачей является нахождение решения
дробного уравнения Риккати, в силу его нелинейности, с помощью численного ана­
лиза, изучение вопросов устойчивости и сходимости численного решения, а также
его сопоставление с временными рядами экспериментальных данных рассматри­
ваемого процесса.
В настоящее время в мире широко исследуется дробное уравнение Риккати,
предлагаются различные численные методы его решения, которые основаны на
конечно-разностных схемах, различных полиномах, итерационных процедурах.
5
Однако в основном порядок дробной производной здесь является константой, что
может давать неприемлемые результаты при описании экспериментальных дан­
ных. Поэтому введение производной дробного переменного порядка в уравнение
Риккати, позволит еще гибче описывать экспериментальные данные, а задача на­
хождения его численного решения является целевой для научного исследования.
Первые работы по исследованию дробного уравнения Риккати появились
сравнительно недавно в начале 2000-х годов. Например, известна работа 2006
года [12] авторов Momani S., Shawagfeh N., в которой было исследовано дробное
уравнение Риккати с непостоянными коэффициентами с помощью метода деком­
позиции Адомиана. В данной работе производная дробного порядка понималась в
смысле Герасимова-Капуто. В 2008 году авторы Tan Y., Abbasbandy S. [13] приме­
няют метод гомотопного анализа к исследованию дробного уравнения Риккати.
Далее в работе [14] 2010 года Jafari H., Tajadodi H. был предложен метод ва­
риационных итераций для решения того же дробного уравнения Риккати с непо­
стоянными коэффициентами, а в 2011 году авторы Khan N. A., Ara A., Jamil M.
предложили [15] новый метод гомотопического возмущения. Развитие этих ме­
тодов было получено в работе [16] 2012 года авторов Sweilam N. H., Khader M.
M., Mahdy A.M. S. В этой работе для простейшего дробного уравнения Риккати с
производной Герасимова-Капуто и постоянными коэффициентами были описаны
некоторые численные методы его решения: метод Ньютона, вариационно-итераци­
онный метод, Паде-аппроксимации. Необходимо отметить, что дробное уравнение
Риккати с производной Римана-Лиувилля было исследовано в 2013 году Merdan
M., который предложил [17] метод дробных вариационных итераций.
В том же 2013 году автор Khader M. M. в работе [18] развивает методы, осно­
ванные на ортогональных полиномах Чебышева, авторами Khader M. M., Mahdy A.
M. S., Mohamed E. S., в работе [19] на полиномах Лагерра, автором Ezz-Eldien S.
S. в статье [20] на полиномах Якоби. Так же в 2013 году уже известными авторами
6
Khan N. A., Ara A. в статье [21] приводится Паде метод Лапласа-Адомиана (LAPM)
в дифференциальное уравнение Риккати дробного порядка. Этот метод дает точ­
ные и надежные результаты, нежели метод декомпозиции Адомиана (ADM), и
требует меньшего количества вычислений.
Разрабатываются гибридные методы решения дробного уравнения Риккати:
полуаналитические методы [22] в 2016 году авторами Salehi Y., Darvishi M. T.,
преобразование Лапласа с методом гомотопного возмущения [23] в 2018 году
авторами Aminikhah H., Sheikhani A. H. R., Rezazadeh H., неявные гибридные
методы [24] в 2019 году авторами Syam M.I., et al.
В 2020 групой авторов Khader M. M., Sweilam N. H., Kharrat B. N. в статье
[25] вводят численную обработку с использованием обобщенного метода Эйлера
(GEM) для дробных (в смысле Капуто) дифференциальных уравнений Риккати. В
предлагаемом методе авторы инвертируют данную модель как разностное урав­
нение. Численные решения полученые с использованием метода Рунге-Кутта чет­
вертого порядка (RK4) сравниваются с точным решением. Полученные численные
результаты для двух предложенных моделей показывают простоту и эффектив­
ность предложенного метода.
Интерес представляет работа авторов Min Cai и Changpin Li [26, 27], изданная
в том же 2020 г. Она посвящена численным приближениям дробных интегралов и
производных, в частности дробной прозводной в смысле Капуто. Но также вклю­
чает почти все результаты в этом отношении. Существующие результаты, вместе
с некоторыми замечаниями, обобщены для ученых-прикладников и инженерного
сообщества использующих дробное исчисление.
Анализ литературы по тематике исследования показал, что для дробного
уравнения Риккати разработаны различные методы численного решения, но:
• нет или мало информации о численных методах, основанных на конечно–
7
разностных схемах;
• нет сравнений результатов моделирования с реальными экспериментальны­
ми данными процессов с насыщением;
• в основном порядок дробной производной - постоянный, что может дать
неприемлемые результаты при описании экспериментальных данных;
• подходы к численному решению уравнения Риккати с дробной производной
переменного порядка мало изучены.
Поэтому эта монография посвящена устранению этого пробела — численно­
му исследованию дробного уравнения Риккати с непостоянными коэффициентами
и с производной дробного переменного порядка типа Герасимова-Капуто.
Исследование выполнено в рамках гранта Президента Российской Федера­
ции № МК-1152.2018.1 по теме: «Применение дробного исчисления в теории
колебательных процессов». КамГУ им. Витуса Беринга, Россия; гранта РФФИ №
19-31-50027мол_нр. по теме: «Математическое моделирование некоторых физи­
ческих процессов с помощью эредитарного уравнения Риккати». Институт космо­
физических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, Камчатский
край, с. Паратунка, Россия; при поддержке проекта РФФИ №20-05-00493 и темы
№ АААА-А19-119072290002-НИР КамГУ им. Витуса Беринга, «Природные ката­
строфы Камчатки – землетрясения и извержения вулканов (мониторинг, прогноз,
изучение, психологическая поддержка населения)».
Исследование является диссертационным, выполняется в рамках научной ра­
боты соискателя степени кандидата физико-математических наук Твёрдого Д.А.,
некоторые результаты внедрены в научные организации НИИ ПМА КБ НЦ РАН и
ИКИР ДВО РАН (см. Приложение З.).
8
Глава 1
Эредитарность и ее связь с дробным исчислением
1.1. Понятие эредитарности
С физической точки зрения, понятие эредитарности почти эквивалентно та­
ким понятиям как: память, остаток, последствия. В нашем случае речь идёт о
причинно-следственной связи двух процессов: 𝑢(𝑡) – причина, 𝑔(𝑡) – последствие.
Полагаем, как и во многих случаях, временную связь мгновенной. Хотя такая
скорость воздействия представляет собой приближённую модель. Состояние 𝑔(𝑡)
будет определяться другим состоянием 𝑢(𝑡) в один и тот же момент времени, что
находит отражение в формуле:
𝑔(𝑡) = 𝐹 (𝑢(𝑡), 𝑡),
(1.1)
Заметим, что любое воздействие вида (1.1) потребует времени, просто в за­
висимости от модели мы либо учитываем это время, либо нет.
Известный итальянский математик Вито Вольтера, часть научных работ по­
святил развитию понятия эредитарности и его применения в различных отрас­
лях науки, в частности к задачам экологии и физики. В частности, он посвятил
несколько глав в книгах [3, 28], где отмечал, что на самом деле понятие послед­
ствия в физике ввёл Пекар в 1907 году, хотя такие явления как: запаздывания
волн, усталость металлов, а также запаздывание других эредитарных процессов
были известны и раньше, как указано в работе В.В. Учайкина [4].
Математическое отражение эредитарной ситуации состоит в замене функции
𝐹 (𝑢(𝑡), 𝑡) функционалом, иначе говоря эредитарным оператором ℱ(𝑢𝑡 (·); 𝑡) от
9
предыстории процесса {𝑢𝑡 (𝜎); 𝜎 < 𝑡}:
𝑔(𝑡) = ℱ[𝑢𝑡 (·); 𝑡]
(1.2)
В своих исследованиях теории эредитарности и её практического примене­
ния, В. Вольтера установил некоторые ограничения на то как будут выглядеть
функционалы, выделил важные с практической точки зрения, свойства и изучил
их следствия. В работе [3] В. Вольтера сформулировал вышеупомянутое, и назвал
общими законами эредитарности.
Принцип линейности:
∫︁ 𝑡
ℱ(𝑢𝑡 (·); 𝑡) =
𝜑(𝑡, 𝜎)𝑢(𝜎)𝑑𝜎
(1.3)
−∞
учитывая интеграл (1.3), формулу (1.2) можем переписать в виде:
∫︁ 𝑡
𝑔(𝑡) =
𝜑(𝑡, 𝜎)𝑢(𝜎)𝑑𝜎.
(1.4)
−∞
Интеграл вида (1.4) будем называть – функционалом памяти, где 𝜑(𝑡, 𝜎) - функция
памяти и обладает свойствами, описанными в следующих принципах:
Принцип затухания:
𝜑(𝑡, 𝜎) → 0,
𝜎 → −∞.
Принцип инвариантности:
𝜑(𝑡, 𝜎) = 𝜑(𝑡 − 𝛼, 𝜎 − 𝛼) = 𝜑(𝑡 − 𝜎, 0) ≡ Φ(𝑡 − 𝜎).
10
Заметим что, эредитарность называют ограниченной, тогда и только тогда,
когда есть такое 𝜎0 < ∞, что 𝜑(𝜎) = 0 причем 𝜎 > 𝜎0 .
Две эквивалентные эредитарные системы находятся в один определённый
момент в эквивалентных состояниях, только если их динамические переменные
совпадают на всём интервале эредитарности (𝑡 − 𝜎0 , 𝑡), который предшествует
данному моменту.
Замечание 1.1. На самом деле, описанные принципы отражают лишь простей­
ший класс эредитарных явлений. Вито Вольтера в своей работе [3] дает поэто­
му поводу важное замечание, что например: линейной эредитарности "однако
недостаточно для объяснения некоторых явлений электродинамики"[4].
Положим, что рассматриваемая эредитарная система в моменты времени 𝑡 и
𝑡′ будет находится в одном и том же состоянии, при условии совпадения её дина­
мических переменных не только в указанные моменты, но так же и в предыдущих
подобных интервалах: (𝑡1 − 𝜎0 , 𝑡1 ) и (𝑡2 − 𝜎0 , 𝑡2 ), где 𝜎0 – длительность затухания
эредитарного эффекта.
Теорема Вольтеры. Если в конце некоторого периода времени эредитарная
система возвращается к своему первоначальному состоянию, то работа внешних
сил является положительной [4].
Так как с точки зрения динамических систем состояние системы нисколько
не изменилось, то и полная механическая энергия так же не изменится, а положи­
тельная работа 𝐴 будет отражать диссипацию энергии:
∫︁ 𝑡
𝐸𝐷 =
𝑊 𝑑𝑡
𝑡0
Согласно принципу сохранения, энергия должна переходить из одной формы в
другую, но, во-первых в тепловую. На этом основополагающем принципе разви­
11
вается цело направление термодинамических сред с памятью [4].
1.2. Элементы дробного исчисления
Дробное исчисление важная и хорошо развитая часть математической теории,
имеющая множество приложений в самых разных отраслях науки [29]. Изучение
данной темы ведется на протяжении уже более чем трёх веков, продолжаясь и по
ныне, связано с такими именами как: А. Нахушев [5], В. Учайкин [10, 4], A. Псху
[30], А. Килбас [7], О. Мамчуев [31]. Дробное интегрирование и дробное диф­
ференцирование являются обобщениями понятий интегрирования и дифферен­
цирования целочисленного порядка и включают 𝑛-ые производные и 𝑛-свернутые
интегралы, где 𝑛 ∈ 𝑁 , в качестве частных случаев.
Как и понятие эредитарности, дробное исчисление тесно взаимосвязано с
теорией фракталов, а точнее с понятием дробной размерности. В частности, связь
фрактальная (Хаусдорфова) размерность среды и порядков дробных операторов,
что отражено в работах [32, 33, 34]. Но также, дробные порядки, операторов входя­
щие в уравнения эредитарных осцилляторов, в обобщённом случае, есть функции,
так как фрактальная размерность может меняться во времени и по значению. А
значит могут быть разрешены лишь численно некоторыми схемами, например
конечно-разностными, так как это показано в работах [35, 36]. Далее приведём
некоторые необходимые понятия, и понятия теории дробного исчисления. Неко­
торые элементы дробного исчисления приведены в Приложении Е.
Определение 1.1. Гамма-функция Эйлера определяется согласно следующему
интегралу:
∫︁∞
Γ(𝑥) =
𝑒−𝑡 𝑡𝑥−1 𝑑𝑡,
𝑥 ∈ C : R(𝑥) > 0.
(1.5)
0
Замечание 1.2. Необходимо отметить, что гамма-функция Эйлера является
монотонно убывающей на интервале 0 < 𝑥 < 1.
12
Заметим, что определений дробной производной существует более 40, но мы
остановимся на одном, который рассмотрим ниже.
Для данного исследования введём определение дробной производной пере­
менного порядка.
Замечание 1.3. Оператор дробного переменного порядка 0 < 𝛼(𝑡) < 1, действу­
ющий на функцию 𝑢(𝑡) ∈ 𝐶[0, 𝑇 ]:
1
𝛼(𝑡)
𝜕0𝑡 𝑢(𝜎) =
Γ(1 − 𝛼(𝑡))
∫︁ 𝑡
𝑢(𝜎)
˙
𝑑𝜎,
(𝑡 − 𝜎)𝛼(𝑡)
(1.6)
0
где Γ(.) – гамма-функция Эйлера (1.5), производная 𝑢(𝑡)
˙
=
𝑑𝑢
𝑑𝑡 ,
а 𝑡 ∈ [0, 𝑇 ] –
текущее время, 𝑇 > 0 – время моделирования, будем называть производной
дробного переменного порядка 0 < 𝛼(𝑡) < 1 типа Герасимова-Капуто [37, 38].
Замечание 1.4. Полная эредитарность, у В.Вольтера [3] согласно (1.3) и (1.4)
определяется на интервале (−∞, 𝑡). Мы же будем считать эредитарность
определяемой на под интервале (0, 𝑡), т.е. ограниченной.
Замечание 1.5. Некоторые свойства дробного оператора (1.6) можно найти в
работе [11].
Замечание 1.6. Оператор дробного переменного порядка (1.6) также обобща­
ется [29] на случай, когда 𝑛 < 𝛼(𝑡) < 𝑛 + 1.
Замечание 1.7. В случае, когда оператор (1.6) обладает постоянным порядком,
т.е. 𝛼 не зависит от 𝑡, то получаем оператор Герасимова-Капуто [37, 38].
Замечание 1.8. Заметим что у иностранных авторов принято называть опера­
𝛼
тор (1.6) дробной производной в смысле Капуто, и обозначается он как 𝐶 𝜕0𝑡
𝑓 (𝜎)
𝛼
или 𝐶 𝐷0𝑡
𝑓 (𝜎). Такое обозначение ввел и широко использовал сам итальянский
математик М.Капуто в своих работах и монографиях [38, 39]. Но ещё раньше,
13
в 1948 г. Герасимов А.Н., советский механик в своём труде о задачах пластично­
сти [37], ввел понятие частной дробной производной прядка 0 < 𝛼 < 1, которая
имела вид:
1
𝛼
𝐷−∞,𝑡
𝑢(𝑓, 𝜎) =
Γ(1 − 𝛼)
∫︁ 𝑡
𝑢𝜎 (𝑓, 𝜎)
𝑑𝜎
(𝑓 − 𝜎)𝛼
−∞
Однако несмотря на это, у авторов из России и стран постсоветского
пространства принято называть соотношение (1.6), оператором Герасимова–
Капуто. Мы также будем придерживаться данного обозначения.
1.3. Связь эредитарности с дробным исчислением
Рассмотрим следующее наследственное (эредитарное) уравнение:
∫︁ 𝑡
𝐾(𝑡 − 𝜎, 𝑡)𝑢(𝜎)𝑑𝜎
˙
− 𝑏(𝑡)𝑢(𝑡) = 𝑓 (𝑢(𝑡), 𝑡),
(1.7)
0
где 𝑢(𝑡) ∈ 𝐶 1 [0, 𝑇 ] – функция решения, 𝐾(𝑡 − 𝜎, 𝑡) – функция памяти, 𝑡 ∈ [0, 𝑇 ] –
текущее время, 𝑇 > 0 – время моделирования, 𝑏(𝑡) > 0 – непрерывная функция,
𝑓 (𝑢(𝑡), 𝑡) – непрерывная функция, удовлетворяющая условию Липшица (1.8).
Определение 1.2. Непрерывная функция 𝑓 (𝑢, 𝑡) ∈ 𝐶[0, 𝑇 ] удовлетворяет усло­
вию Липшица с константой 𝐿 по переменной 𝑢(𝑡):
|𝑓 (𝑢1 , 𝑡) − 𝑓 (𝑢2 , 𝑡)| < 𝐿 |𝑢1 − 𝑢2 | .
(1.8)
Функцию памяти в уравнении (1.7), можно выбирать исходя из дополнитель­
ных условий. Известно, что при 𝛼 не зависящей от 𝑡, если 𝐾(𝑡 − 𝜎) = 𝛿(𝑡 − 𝜎)
– функция Дирака, то рассматриваемый процесс не обладает памятью, а если
𝐾(𝑡 − 𝜎) = 𝐻(𝑡 − 𝜎) – функция Хевисайда, то процесс обладает полной памятью.
14
Определение 1.3. Промежуточный случай возникает, если функцию памяти
выбрать степенной. Такой выбор может быть обусловлен широким примене­
нием степенных законов в различных областях знаний. Особенностью степен­
ной памяти будет являться то, что процесс постепенно «забывает» о своей
предыстории.
Выберем функцию памяти следующим образом:
(𝑡 − 𝜎)−𝛼(𝑡)
𝐾(𝑡 − 𝜎, 𝑡) =
,
Γ(1 − 𝛼(𝑡))
0 < 𝛼(𝑡) < 1.
(1.9)
где 𝛼(𝑡) – функция, которая отвечает за интенсивность исследуемого процесса.
Более того, зависимость от 𝑡 приводит нас к явлению переменной памяти.
Тогда с учетом (1.9) мы можем уравнение (1.7) записать в терминах произ­
водной типа Герасимова-Капуто (1.6) в виде дробного уравнения:
𝛼(𝑡)
𝜕0𝑡 𝑢(𝜎) − 𝑏(𝑡)𝑢(𝑡) = 𝑓 (𝑢(𝑡), 𝑡),
(1.10)
Определение 1.4. Уравнения вида (1.10), содержащие производные дробного пе­
ременного порядка типа Герасимова-Капуто (1.6), будем называть дробными
уравнениями.
15
Глава 2
Дробное уравнение Риккати и методы его
исследования
2.1. Постановка задачи для нелинейного дробного уравнения
Задача 2.1. Рассмотрим следующую задачу Коши для нелинейного дробного
уравнения (1.10) с непостоянными коэффициентами:
𝛼(𝑡)
𝜕0𝑡 𝑢(𝜎) = 𝑏(𝑡)𝑢(𝑡) + 𝑓 (𝑢(𝑡), 𝑡),
𝑢(0) = 𝑢0 ,
(2.1)
где 𝑢(𝑡) ∈ 𝐶 2 [0, 𝑇 ] – функция решения, 𝑡 ∈ [0, 𝑇 ] – текущее время, 𝑇 > 0 – время
моделирования, 𝑢0 – заданная константа, 𝑏(𝑡) > 0 – непрерывная функция,
𝑓 (𝑢(𝑡), 𝑡) – нелинейная функция, удовлетворяющая условию Липшица (1.8) с
константой 𝐿 по переменной 𝑢(𝑡), а оператор дробного переменного порядка
вида (1.6).
Замечание 2.1. Задача Коши (2.1) описывает широкий класс динамических про­
цессов с переменной памятью в насыщенных средах [40].
В силу нелинейности задачи Коши (2.1), ее решение будем искать с помощью
численного метода конечно-разностных схем [41, 42, 43, 44]. Рассмотрим равно­
мерную сетку. Для этого разобьём отрезок [0, 𝑇 ] на 𝑁 равных частей - узлов сетки
с шагом 𝜏 = 𝑇 /𝑁 . Тогда функция решения 𝑢(𝑡) перейдет в сеточную функцию
решения 𝑢(𝑡𝑘 ) или 𝑢𝑘 , а так же 𝛼(𝑡) перейдёт в 𝛼(𝑡𝑘 ) или 𝛼𝑘 где 𝑘 = 1, ..., 𝑁 .
16
Аппроксимацию производной дробного переменного порядка типа Гераси­
мова-Капуто (1.6) в уравнении в (2.1) можно записать так для 𝑡 ∈ [𝑡𝑘 , 𝑡𝑘+1 ] так:
∫︁ 𝑡
∫︁𝑡𝑘
1
1
𝑢(𝜎)𝑑𝜎
˙
𝑢(𝜎)𝑑𝜎
˙
𝛼(𝑡)
𝜕0𝑡 𝑢(𝜎) =
≈
≈
Γ(1 − 𝛼(𝑡)) (𝑡 − 𝜎)𝛼(𝑡)
Γ(1 − 𝛼(𝑡𝑘 ))
(𝑡𝑘 − 𝜎)𝛼(𝑡𝑘 )
0
0
⎧
(𝑗+1)𝜏
⎪
𝑘−1 ∫︁
⎨ 𝑡𝑘 = (𝑗 + 1)𝜏
∑︁
1
𝑢(𝜎)𝑑𝜎
˙
=
=
⎪
Γ(1 − 𝛼𝑘 ) 𝑗=0
(𝑡𝑘 − 𝜎)𝛼𝑘
⎩ 0 = (𝑗)𝜏
𝑗𝜏
𝑘−1
∑︁ 𝑢𝑗+1 − 𝑢𝑗
1
Γ(1 − 𝛼𝑘 ) 𝑗=0
𝜏
(𝑗+1)𝜏
∫︁
𝑑𝜎
=
(𝑡𝑘 − 𝜎)𝛼𝑘
𝑗𝜏
⎧
⎪
⎪
𝑑𝜂 = −𝑑𝜎
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝜂 = 𝑡𝑘 − 𝜎
=
⎪
⎪
𝜎 → (𝑗 + 1)𝜏 ⇒ 𝜂 → 𝑘𝜏 − (𝑗 + 1)𝜏 = 𝜏 (𝑘 − 𝑗 − 1)
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ 𝜎 → 𝑗𝜏 ⇒ 𝜂 → 𝑘𝜏 − 𝑗𝜏 = 𝜏 (𝑘 − 𝑗)
1
Γ(1 − 𝛼𝑘 )
𝑘−1
∑︁
𝑗=0
𝑢𝑗+1 − 𝑢𝑗
𝜏
(𝑘−𝑗−1)𝜏
∫︁
−1
−𝑑𝜂
𝜏
=
𝜂 𝛼𝑘
Γ(1 − 𝛼𝑘 )
(𝑘−𝑗)𝜏
𝑘−1
∑︁
(𝑘−𝑗)𝜏
∫︁
(𝑢𝑗+1 − 𝑢𝑗 )
𝑗=0
𝑘−1
∑︁
𝜏 −1
|𝑗 → 𝑘 − 𝑗 − 1 =
(𝑢𝑘−𝑗 − 𝑢𝑘−𝑗−1 )
Γ(1 − 𝛼𝑘 ) 𝑗=0
(𝑘−𝑗−1)𝜏
(𝑗+1)𝜏
∫︁
𝑑𝜂
=
𝜂 𝛼𝑘
𝑗𝜏
)︀
𝑘−1
∑︁
((𝑗 + 1)𝜏 )1−𝛼𝑘 − (𝑗𝜏 )1−𝛼𝑘
𝜏 −1
(𝑢𝑘−𝑗 − 𝑢𝑘−𝑗−1 )
=
Γ(1 − 𝛼𝑘 ) 𝑗=0
1 − 𝛼𝑘
(︀
𝑘−1
(︀
)︀
𝜏 −1 𝜏 1−𝛼𝑘 ∑︁
(𝑢𝑘−𝑗 − 𝑢𝑘−𝑗−1 ) (𝑗 + 1)1−𝛼𝑘 − 𝑗 1−𝛼𝑘 =
Γ(2 − 𝛼𝑘 ) 𝑗=0
𝐴𝑘
𝑘−1
∑︁
𝑤𝑗𝑘 (𝑢𝑘−𝑗 − 𝑢𝑘−𝑗−1 ) ,
𝑗=0
−𝛼𝑘
𝐴𝑘 =
𝜏
,
Γ(2 − 𝛼𝑘 )
𝑤𝑗𝑘 = (𝑗 + 1)1−𝛼𝑘 − 𝑗 1−𝛼𝑘 .
17
(2.2)
𝑑𝜂
=
𝜂 𝛼𝑘
Подставляя (2.2) в (2.1), мы получим дискретный аналог задачи Коши:
𝐴𝑘
𝑘−1
∑︁
𝑤𝑗𝑘 (𝑢𝑘−𝑗 − 𝑢𝑘−𝑗−1 ) = 𝑏𝑘 𝑢𝑘 + 𝑓𝑘 ,
𝑢0 = 𝐶,
(2.3)
𝑗=0
где 𝐶 – известная константа, 𝑏𝑘 = 𝑏(𝑡𝑘 ), 𝑓𝑘 = 𝑓 (𝑢𝑘 , 𝑡𝑘 ).
Для дискретной задачи Коши (2.3) справедлива следующая Лемма.
Лемма 2.1. Коэффициенты 𝐴𝑘 и 𝑤𝑗𝑘 дискретной задачи Коши (2.3) для любого
фиксированного 𝑘 обладают следующими свойствами:
1. 1 < 𝐴𝑘 < 𝜏1 , причем функция 𝐴𝑘 монотонна, если функция 𝛼𝑘 монотонна
на интервале (0, 1);
2.
𝑘−1
∑︁
𝑤𝑗𝑘 = 𝑘 1−𝛼𝑘 ;
𝑗=0
3. 𝑤0𝑘 = 1 > 𝑤1𝑘 > 𝑤2𝑘 > ... > 0.
Доказательство. Первое свойство следует из свойства гамма-функции Эйлера
Γ(1) = Γ(2) = 1, тогда для любого фиксированного 𝑘:
1
= 1,
𝛼𝑘 →0 𝜏 𝛼𝑘 Γ(2 − 𝛼𝑘 )
lim
1
1
=
.
𝛼𝑘 →1 𝜏 𝛼𝑘 Γ(2 − 𝛼𝑘 )
𝜏
Далее пусть задана функция 𝐴(𝑡) =
производная:
𝑑𝛼(𝑡)
𝐴 (𝑡) = 𝐾(𝑡)
,
𝑑𝑡
′
lim
1
, 0 < 𝜏 , 𝛼(𝑡) < 1. Ее
− 𝛼(𝑡))
𝜏 𝛼(𝑡) Γ(2
(ln 𝜏 −1 + Ψ(2 − 𝛼(𝑡)))
𝐾(𝑡) =
,
𝜏 𝛼(𝑡) Γ(2 − 𝛼(𝑡))
Заметим, что функция Ψ(2 − 𝛼(𝑡)) =
𝑑Γ(2−𝛼(𝑡))
𝑑𝑡
монотонно возрастает на отрезке
[1, 2], знаменатель и числитель 𝐾(𝑡) положительны и поэтому 𝐾(𝑡) > 0. Следова­
𝑑𝛼(𝑡)
тельно, монотонность функции 𝐴(𝑡) зависит от знака производной
.
𝑑𝑡
18
Второе свойство весовых коэффициентов 𝑤𝑗𝑘 следует из раскрытия суммы:
𝑘−1
∑︁
𝑗=0
𝑤𝑗𝑘
=
𝑘−1
∑︁
[︀
]︀
(𝑗 + 1)1−𝛼𝑘 − 𝑗 1−𝛼𝑘 = 1 − 0 + 21−𝛼𝑘 − 1 + 31−𝛼𝑘 − 21−𝛼𝑘 +
𝑗=0
+... + (𝑘 − 1)1−𝛼𝑘 + 𝑘 1−𝛼𝑘 − (𝑘 − 1)1−𝛼𝑘 = 𝑘 1−𝛼𝑘 .
Третье свойство весовых коэффициентов 𝑤𝑗𝑘 докажем следующим образом:
рассмотрим функцию: 𝜂(𝑧) = (𝑧 + 1)1−𝛼𝑘 − 𝑧 1−𝛼𝑘 , 𝑧 > 0 при каждом фиксирован­
ном 𝑘 производная функции: 𝜂 ′ (𝑧) = (−1 + 𝛼𝑘 ) [−(𝑧 + 1)−𝛼𝑘 + 𝑧 −𝛼𝑘 ] < 0, поэтому
функция 𝜂(𝑧) является монотонно убывающей и весовые коэффициенты 𝑤𝑗𝑘 обла­
дают свойством 3. Ч.т.д. □
𝛼(𝑡)
Далее исследуем порядок аппроксимации дробного оператора 𝜕0𝑡 𝑢(𝜎). Пусть:
𝛼(𝑡)
𝜕¯0𝑡 𝑢(𝜎)
= 𝐴𝑘
𝑘−1
∑︁
𝑤𝑗𝑘 (𝑢𝑘−𝑗 − 𝑢𝑘−𝑗−1 ) ,
𝑗=0
𝛼(𝑡)
это оператор, аппроксимирующий дробный оператор 𝜕0𝑡 𝑢(𝜎). Тогда справедлива
следующая лемма.
𝛼(𝑡)
𝛼(𝑡)
Лемма 2.2. Аппроксимация 𝜕¯0𝑡 𝑢(𝜎) оператора типа Герасимова-Капуто 𝜕0𝑡 𝑢(𝜎)
вида (1.6) удовлетворяет следующей оценке:
⃒
⃒
⃒ 𝛼(𝑡)
⃒
𝛼(𝑡)
¯
⃒𝜕0𝑡 𝑢(𝜎) − 𝜕0𝑡 𝑢(𝜎)⃒ ≤ 𝐶𝜏 2−̂︀𝛼 ,
𝛼
̂︀ = max(𝛼(𝑡𝑘 )),
𝑘
(2.4)
где 𝐶 - константа, не зависящая от шага 𝜏 .
Доказательство. Необходимо отметить, что в литературе [26] и [27] ап­
проксимация оператора Герасимова-Капуто, предложенная выше, называется 𝐿1
аппроксимацией. В этих работах доказывается оценка (2.4) для постоянного дроб­
ного порядка 𝛼. Однако используя ту же методику можно обобщить результаты и
19
на непостоянный дробный порядок 𝛼 (𝑡). □
Лемма 2.3. Дискретная задача Коши (2.3) аппроксимирует исходную диффе­
ренциальную задачу (2.1) с порядком:
max |𝑢(𝑡𝑗 ) − 𝑢𝑗 | = 𝑂(𝜏 2−̂︀𝛼 ).
1≤𝑗≤𝑘
(2.5)
Доказательство. Действительно, с учетом условия (2.4) Леммы 2 мы легко
получаем оценку (2.5). □
2.2. Нелокальная неявная конечно-разностная схема (IFDS)
Задачу Коши (2.3) запишем в виде нелокальной неявной конечно-разностной
схемы (IFDS):
𝐴𝑘
𝑘−1
∑︁
𝑤𝑗𝑘 (𝑢𝑘−𝑗 − 𝑢𝑘−𝑗−1 ) − 𝑏𝑘 𝑢𝑘 = 𝑓𝑘 ,
𝑗=0
−𝛼𝑘
𝐴𝑘 =
𝜏
,
Γ(2 − 𝛼𝑘 )
𝑤𝑗𝑘 = (𝑗 + 1)1−𝛼𝑘 − 𝑗 1−𝛼𝑘 ,
𝑘 = 1, ..., 𝑁,
(2.6)
𝑢0 = 𝐶.
Рассмотрим вопросы сходимости и устойчивости для схемы (2.6).
Определение 2.1. Для любой начальной ошибки 𝑒0 существует положительная
константа 𝐶0 , которая не зависит от шага 𝜏 и выполняется неравенство:
||𝑒𝑘 || ≤ 𝐶0 ||𝑒0 || .
(2.7)
Теорема 2.1. Нелокальная неявная конечно-разностная схема (2.6) безусловно
сходится с порядком 2 − 𝛼
̂︀
20
Доказательство. Запишем конечно-разностную схему в матричном виде:
(2.8)
𝑀 𝑈 𝑘 = 𝐹𝑘 ,
)︂𝑇
𝑓1
𝑓𝑘−1
где 𝑈𝑘 = (𝑢0 , 𝑢1 , ..., 𝑢𝑘−1 ) , 𝐹𝑘 = 𝐶, , ...,
, 𝑘 = 1, ..., 𝑁 , а матрица
𝐴1
𝐴𝑘−1
𝑀 = (𝑚𝑖𝑗 ), 𝑖 = 1, ..., 𝑘, 𝑗 = 1, ..., 𝑘 имеет структуру нижнетреугольного вида:
𝑇
(︂
⎧
⎪
⎪
⎪
0, 𝑗 ≥ 𝑖 + 1,
⎪
⎪
⎨
𝑏𝑖−1
𝑚𝑖𝑗 =
1
+
, 𝑗 = 𝑖 = 3, ..., 𝑘,
𝐴
𝑖−1
⎪
⎪
⎪
⎪
𝑗
𝑗
⎪
⎩ 𝑤𝑖−𝑗
− 𝑤𝑖−𝑗−1
, 𝑗 ≤ 𝑖 − 1,
(2.9)
𝑗−1
, 𝑖 = 3, ..., 𝑘.
𝑚1,1 = 1, 𝑚2,1 = −1, 𝑚𝑖,2 = −𝑤𝑖−2
(︃
Норма матрицы 𝑀 из (2.9): ||𝑀 || = max
𝑖
𝑘
∑︁
)︃
|𝑚𝑖𝑗 |
≥ 1. Отметим, что
𝑗=1
определитель матрицы 𝑀 отличен от нуля и следовательно существует обратная
⃒⃒
⃒⃒
матрица 𝑀 −1 . Следовательно ⃒⃒𝑀 −1 ⃒⃒ ≤ 1 и для любого вектора выполняется
⃒⃒ −1 ⃒⃒
⃒⃒𝑀 𝑌 ⃒⃒ ≤ ||𝑌 ||.
Пусть 𝑈¯𝑘 = (𝑢¯0 , 𝑢¯1 , ..., 𝑢¯𝑘−1 ) – точное решение (2.8) и вектор ошибок 𝑒𝑘 =
𝑈¯𝑘 − 𝑈𝑘 . Поэтому систему (2.8) можно переписать в виде с учетом Леммы 1, 2 и
3, а также соотношения (1.8):
𝑒𝑘 = 𝑀 −1 𝐹𝑒,𝑘−1 + 𝑀 −1 𝑂(𝜏 2−̂︀𝛼 ),
(︂
)︂
⃒
⃒
⃒ 𝑇
1 ⃒⃒
1
⃒𝑓𝑘−1 − 𝑓¯𝑘−1 ⃒
𝐹𝑒,𝑘−1 = 0,
𝑓1 − 𝑓¯1 ⃒ , ...,
≤
(2.10)
𝐴1
𝐴𝑘−1
(︂
)︂
(︂
)︂
𝐿0
𝐿1
𝐿𝑘−1
𝐿0
𝐿𝑘−1
≤
𝑒0 , 𝑒1 , ...,
𝑒𝑘−1 = Δ𝐹𝑘−1 𝑒𝑘−1 ,
Δ𝐹𝑘−1 = 𝑑𝑖𝑎𝑔
, ...,
,
𝐴0 𝐴1
𝐴𝑘−1
𝐴0
𝐴𝑘−1
где 𝐿0 , ..., 𝐿𝑘−1 – константы, такие, что ∀𝑘 выполняется условие 𝐿𝑘−1 < 𝐿.
1
Введем норму ошибки ||𝑒𝑘 || = max |𝑒𝑘 |. В силу Леммы 1 (свойства 1): 𝐴𝑘−1
<𝜏
𝑘
21
в уравнении (2.10) для любой константы 𝐶 > 0 независимой от шага 𝜏 , имеет место
оценка:
⃒⃒
⃒⃒
⃒⃒
⃒⃒
||𝑒𝑘 || ≤ ⃒⃒𝑀 −1 Δ𝐹𝑘−1 ⃒⃒ ||𝑒𝑘−1 || + ⃒⃒𝑀 −1 ⃒⃒ 𝐶𝜏 2−̂︀𝛼 ≤ 𝐿𝜏 ||𝑒𝑘−1 || + 𝐶𝜏 2−̂︀𝛼 . (2.11)
Введем обозначения в (2.11): 𝑠1 = 𝐿𝜏 , 𝑠2 = 𝐶𝜏 2−̂︀𝛼 , тогда получим оценку:
||𝑒𝑘 || ≤ 𝑠1 ||𝑒𝑘−1 || + 𝑠2 ≤
𝑠1 (𝑠1 ||𝑒𝑘−2 || + 𝑠2 ) + 𝑠2 = 𝑠21 ||𝑒𝑘−2 || + 𝑠2 (𝑠1 + 1) ≤
(︀
)︀
𝑠21 (𝑠1 ||𝑒𝑘−3 || + 𝑠2 ) + 𝑠2 (𝑠1 + 1) = 𝑠31 ||𝑒𝑘−3 || + 𝑠2 𝑠21 + 𝑠1 + 1 ≤
(︀
)︀
𝑠41 ||𝑒𝑘−4 || + 𝑠2 𝑠31 + 𝑠21 + 𝑠1 + 1 ≤
(︀
)︀
≤ ... ≤ 𝑠𝑟1 ||𝑒𝑘−𝑟 || + 𝑠2 𝑠𝑟−1
+
...
+
𝑠
+
1
.
1
1
(2.12)
В соотношение (2.12) сделаем подстановку: 𝑟 = 𝑘 и с учетом оценок (2.7) и
(2.11) и неравенства (1 + 𝐿𝜏 )𝑘 ≤ 𝑒𝐿𝜏 𝑘 = 𝑒𝐿𝑇 , получим:
(︀
)︀
||𝑒𝑘 || ≤ 𝑠𝑘1 ||𝑒0 || + 𝑠2 𝑠𝑘−1
+
...
+
𝑠
+
1
=
1
1
(︀
)︀
= (𝐿𝜏 )𝑘 ||𝑒0 || + 𝐶𝜏 2−̂︀𝛼 (𝐿𝜏 )𝑘−1 + ... + 𝐿𝜏 + 1 ≤
≤ 𝑒𝐿𝑇 ||𝑒0 || ≤ 𝐶0 ||𝑒0 || + 𝑂(𝜏 2−̂︀𝛼 ).
Следовательно численное решение (2.6) сходится к точному с порядком 2 − 𝛼.
̂︀
Теорема доказана. □
Рассмотрим вопросы устойчивости. Пусть 𝑈𝑘 , 𝑊𝑘 два различных решения
матричного уравнения (2.8) с начальными условиями 𝑈0 , 𝑊0 . Тогда справедлива
теорема об устойчивости схемы (2.6).
Определение 7. Нелокальная неявная конечно-разностная схема (2.6) назы­
вается условно устойчивой, если справедлива оценка |𝑈𝑘 − 𝑊𝑘 | ≤ 𝐶 |𝑈0 − 𝑊0 |,
∀𝑘, где 𝐶 > 0 константа, независящая от шага 𝜏 .
22
Теорема 2.2. Нелокальная неявная конечно-разностная схема (2.6) безусловно
устойчива.
Доказательство. Введем обозначение: 𝑒𝑘 = 𝑈𝑘 − 𝑊𝑘 , тогда уравнение (2.8)
можно записать в форме: 𝑒𝑘 = 𝑀 −1 𝐹𝑒,𝑘−1 .
Для того, чтобы нелокальная неявная схема была устойчивой необходимо
показать выполнение оценки (2.7). Тогда справедлива оценка:
⃒⃒
⃒⃒
||𝑒𝑘 || ≤ ⃒⃒𝑀 −1 Δ𝐹𝑘 ⃒⃒ ||𝑒𝑘−1 || ≤ 𝜏 𝐿 ||𝑒𝑘−1 || =
= 𝑠 ||𝑒𝑘−1 || ≤ 𝑠2 ||𝑒𝑘−2 || ≤ 𝑠3 ||𝑒𝑘−3 || ... ≤ 𝑠𝑟 ||𝑒𝑘−𝑟 || .
Обозначим: 𝑟 = 𝑘 и с учетом (2.7), а также неравенства (1 + 𝐿𝜏 )𝑘 ≤ 𝑒𝐿𝜏 𝑘 =
𝑒𝐿𝑇 , мы получим:
||𝑒𝑘 || ≤ (𝐿𝜏 )𝑘 ||𝑒0 || ≤ 𝑒𝐿𝑇 ||𝑒0 || ≤ 𝐶0 ||𝑒0 || .
Теорема доказана. □
2.3. Модифицированный метод Ньютона (MNM)
В качестве метода решения (2.6) выберем метод модифицированный метод
Ньютона (MNM). Для этого сначала дадим несколько определений.
Определение 2.2. Функцию 𝐹 : 𝑅𝑁 → 𝑅𝑁 будем называть итерационной, если
можно построить последовательность {𝑥𝑖 }∞
𝑖=0 согласно итерационной проце­
дуре (методу):
𝑥𝑖+1 = 𝐹 (𝑥𝑖 ),
(2.13)
Замечание 2.2. Итерационный метод (2.13) позволяет найти численно решение
23
𝜉 = {𝜉1 , ..., 𝜉𝑁 } системы нелинейных алгебраических уравнений:
⎧
⎪
⎪
𝑓 (𝑥) = 0,
⎪
⎨ 1
...
⎪
⎪
⎪
⎩ 𝑓𝑁 (𝑥) = 0,
(2.14)
где 𝑓𝑖 (𝑥) - i-ая компонента функции 𝑓 (𝑥), которая в общем случае является
нелинейной.
Определение 2.3. Точка 𝜉 называется фиксированной точкой для итерацион­
ной функции 𝐹 : 𝑅𝑁 → 𝑅𝑁 , если 𝑥𝑖 → 𝜉 ∈ 𝑅𝑁 и в окрестности фиксированной
точки 𝜉 функция 𝐹 непрерывна:
𝜉 = lim 𝑥𝑖+1 = lim 𝐹 (𝑥𝑖 ) = 𝐹 ( lim 𝑥𝑖 ) = 𝐹 (𝜉).
𝑖→∞
𝑖→∞
𝑖→∞
(2.15)
Рассмотрим вопросы сходимости и устойчивости.
Определение 2.4. Итерационный метод (2.13) для фиксированной точки 𝜉 ∈
𝑅𝑁 назовем локально устойчивым [45], если ∃𝛿 > 0, такой что для любого
{︀
}︀
начального значения 𝑥0 ∈ Ω = 𝑦 ∈ 𝑅𝑁 : ||𝑦 − 𝜉|| < 𝛿 выполняется:
lim ||𝑥𝑖 − 𝜉|| → 0 ⇒ lim 𝑥𝑖 = 𝜉.
𝑖→∞
𝑖→∞
(2.16)
Замечание 2.3. Если начальное значение 𝑥0 достаточно близко к корню 𝜉, то
последовательность {𝑥𝑖 }∞
𝑖=0 сходится к корню 𝜉.
Определение 2.5. Итерационный метод (2.13) называется локально устойчи­
вым порядка 𝑝 ≥ 1, если ∃𝛿 > 0 и 𝐶 > 0 (0 < 𝐶 < 1 для 𝑝 = 1), такие, что для
любого начального значения 𝑥0 ∈ Ω выполнено неравенство:
|𝑥𝑖+1 − 𝜉| ≤ 𝐶|𝑥𝑖 − 𝜉|𝑝 , 𝑖 = 0, 1, 2, ....
24
(2.17)
Замечание 2.4. В определении 11 локальная устойчивость означает, что при
произвольной стартовой итерации сходимость метода гарантирована только
в окрестности корня 𝜉.
Теорема 2.3. Пусть 𝐹 : 𝑅𝑁 → 𝑅𝑁 итерационная функция с фиксированной
точкой 𝜉 : 𝑅𝑁 → 𝑅𝑁 , которая имеет производную по 𝜉. Тогда итерационный
метод (2.13) является локально устойчивым первого порядка (𝑝 = 1) и
выполняется неравенство:
|𝐹 ′ (𝜉)| < 1, 𝑝 = 1.
(2.18)
и порядка 𝑝 ≥ 2, если итерационная функция 𝐹 , 𝑝 раз дифференцируемая по 𝜉,
а также выполнено условие:
|𝐹 (𝑘) (𝜉)| = 0, ∀𝑘 < 𝑝.
(2.19)
Доказательство. Разложим итерационную функцию 𝐹 в окрестности корня
𝜉 в ряд Тейлора в форме Пеано:
𝐹 (𝑥𝑖 ) = 𝐹 (𝜉) + 𝐹 ′ (𝜉)(𝑥𝑖 − 𝜉) + 𝑜 (|𝑥𝑖 − 𝜉|) ,
или
|𝐹 (𝑥𝑖 ) − 𝐹 (𝜉)| ≤ |𝐹 ′ (𝜉)| |(𝑥𝑖 − 𝜉)| + 𝑜 (|𝑥𝑖 − 𝜉|) .
В силу (2.15), так как 𝜉 является фиксированной точкой 𝐹 , то
|𝐹 (𝑥𝑖 ) − 𝐹 (𝜉)| |𝑥𝑖+1 − 𝜉|
𝑜 (|𝑥𝑖 − 𝜉|)
=
≤ |𝐹 ′ (𝜉)| +
|𝑥𝑖 − 𝜉|
|𝑥𝑖 − 𝜉|
|𝑥𝑖 − 𝜉|
следовательно
|𝑥𝑖+1 − 𝜉|
≤ |𝐹 ′ (𝜉)| .
𝑖→∞ |𝑥𝑖 − 𝜉|
lim
25
Если последовательность {𝑥𝑖 }∞
𝑖=0 сгенерирована итерационным методом (2.13), то
она сходится к 𝜉. Поэтому должно существовать значение 𝑘 > 0, такое что
|𝑥𝑖+1 − 𝜉| ≤ |𝐹 ′ (𝜉)| |(𝑥𝑖 − 𝜉)| , ∀𝑖 ≥ 𝑘.
Тогда для 𝑚 ≥ 1
2
|𝑥𝑖+𝑚 − 𝜉| ≤ |𝐹 ′ (𝜉)| |(𝑥𝑖+𝑚−1 − 𝜉)| ≤ |𝐹 ′ (𝜉)| |(𝑥𝑖+𝑚−2 − 𝜉)| ≤
𝑚
≤ ... ≤ |𝐹 ′ (𝜉)| |(𝑥𝑖 − 𝜉)| .
Положим, что |𝐹 ′ (𝜉)| < 1, тогда
𝑚
lim |𝑥𝑖+𝑚 − 𝜉| ≤ lim |𝐹 ′ (𝜉)| |(𝑥𝑖 − 𝜉)| → 0.
𝑖→∞
𝑖→∞
Тогда итерационный метод (2.13) локально сходится с первым порядком и
справедливо неравенство (2.18). Для оценки (2.19), раскладывая в ряд Тейлора
итерационную функцию 𝐹 в окрестности корня 𝜉:
𝐹 (𝑥𝑖 ) = 𝐹 (𝜉) +
𝑝
∑︁
𝐹 (𝑘) (𝜉)
𝑘=1
или
|𝐹 (𝑥𝑖 ) − 𝐹 (𝜉)| ≤
𝑘!
(𝑥𝑖 − 𝜉)𝑘 + 𝑜 (|𝑥𝑖 − 𝜉|𝑝 ) ,
𝑝
∑︁
𝐹 (𝑘) (𝜉)
𝑘=1
𝑘!
(𝑥𝑖 − 𝜉)𝑘 + 𝑜 (|𝑥𝑖 − 𝜉|𝑝 ) ,
В силу того, что 𝜉 является фиксированной точкой 𝐹 и выполняется неравенство
(2.19), мы получим:
|𝐹 (𝑥𝑖 ) − 𝐹 (𝜉)| |𝑥𝑖+1 − 𝜉| 𝐹 (𝑝) (𝜉) 𝑜 (|𝑥𝑖 − 𝜉|𝑝 )
=
≤
+
,
|𝑥𝑖 − 𝜉|𝑝
|𝑥𝑖 − 𝜉|𝑝
𝑝!
|𝑥𝑖 − 𝜉|𝑝
|𝑥𝑖+1 − 𝜉| 𝐹 (𝑝) (𝜉)
lim
.
𝑝 ≤
𝑖→∞ |𝑥𝑖 − 𝜉|
𝑝!
Если последовательность {𝑥𝑖 }∞
𝑖=0 сгенерирована итерационным методом (2.13), то
26
она сходится к 𝜉. Поэтому должно существовать значение 𝑘 > 0, такой что
|𝑥𝑖+1 − 𝜉| ≤
⃒ (𝑝) ⃒
⃒𝐹 (𝜉)⃒
𝑝!
|𝑥𝑖 − 𝜉|𝑝 , ∀𝑖 ≥ 𝑘.
□
Определение 2.6. Если итерационная функция 𝐹 : 𝑅𝑁 → 𝑅𝑁 имеет вид:
𝐹 (𝑥𝑖 ) = 𝑥𝑖 − 𝑓 ′ (𝑥0 )−1 𝑓 (𝑥𝑖 ), 𝑖 = 1, 2, 3, ...,
(2.20)
то итерационный метод (2.13) называется модифицированным методом Нью­
тона (MNN).
Замечание 2.5. Модифицированный метод Ньютона (MNM) отличается от
обычного метода Ньютона тем, что матрица Якоби вычисляется только в
начальном приближении 𝑥0 , что позволяет не решать на каждом итерацион­
ном шаге систему (2.14). Однако такая модификация приводит к понижению
до первого порядка сходимости метода.
Теорема 2.4. Модифицированный метод Ньютона (2.20) локально сходится с
первым порядком.
Доказательство. Итерационная функция имеет вид: 𝐹 (𝑥) = 𝑥−𝑓 ′ (𝑥0 )−1 𝑓 (𝑥),
а ее производная: 𝐹 ′ (𝑥) = 1 − 𝑓 ′ (𝑥0 )−1 𝑓 ′ (𝑥). Согласно результату теоремы 3, мы
можем записать для 𝑝 = 1:
|𝑥𝑖+1 − 𝜉| ≤ |𝐹 ′ (𝜉)| |(𝑥𝑖 − 𝜉)| ,
Покажем, что |𝐹 ′ (𝜉)| < 1.
⃒
⃒
⃒
′
⃒
⃒
𝑓
(𝑥
)
𝑚 ⃒⃒
⃒
𝑖
⃒
⃒
|𝑥𝑖+1 − 𝜉| ≤ ⃒1 − ′
|(𝑥𝑖 − 𝜉)| ≤ ⃒1 − ⃒ |(𝑥𝑖 − 𝜉)| = 𝐶 |(𝑥𝑖 − 𝜉)| ,
𝑓 (𝑥0 ) ⃒
𝑀
27
где 𝑚 = min |𝑓 ′ (𝑥)|, 𝑀 = max |𝑓 ′ (𝑥)|.
𝑥∈[0,𝑇 ]
𝑥∈[0,𝑇 ]
Следовательно условие теоремы 3 выполняется, 𝐶 < 1. □
2.4. Метод MNM для численного решения дробного уравнения
Риккати
Рассмотрим дробное уравнение Риккати [46]. Для этого в задаче Коши (2.1)
положим 𝑓 (𝑢(𝑡), 𝑡) = −𝑎(𝑡)𝑢(𝑡)2 + 𝑐(𝑡), причём 𝑎(𝑡), 𝑐(𝑡) ∈ 𝐶[0, 𝑇 ] – заданные
функции. Тогда задачу (2.1) можно переписать в виде:
𝛼(𝑡)
𝜕0𝑡 𝑢(𝜎) + 𝑎(𝑡)𝑢2 (𝑡) − 𝑏(𝑡)𝑢(𝑡) − 𝑐(𝑡) = 0,
𝑢(0) = 𝑢0 ,
(2.21)
где 𝑢(𝑡) ∈ 𝐶 2 [0, 𝑇 ] – функция решения, 𝑢0 – заданная константа, 𝑡 ∈ [0, 𝑇 ] –
текущее время, 𝑇 – модельное время, 0 < 𝑎(𝑡) < 𝑎
¯, 0 < 𝑏(𝑡) < ¯𝑏, 0 < 𝑐(𝑡) < 𝑐¯ –
непрерывные функции, причём 𝑏(𝑡) > 𝑎(𝑡), 𝑎
¯, ¯𝑏, 𝑐¯ – константы.
Определение 2.7. Уравнение в (2.21) будем называть дробным уравнением Рик­
кати.
В силу нелинейности задачи Коши (2.21), ее решение будем искать с помощью
численного метода конечно-разностных схем [41, 42, 43, 44]. Рассмотрим равно­
мерную сетку. Для этого разобьём отрезок [0, 𝑇 ] на 𝑁 равных частей - узлов сетки
с шагом 𝜏 = 𝑇 /𝑁 . Тогда функция решения 𝑢(𝑡) перейдет в сеточную функцию
решения 𝑢(𝑡𝑘 ) или 𝑢𝑘 , а так же 𝛼(𝑡) перейдёт в 𝛼(𝑡𝑘 ) или 𝛼𝑘 где 𝑘 = 1, ..., 𝑁 .
Аппроксимацию производной дробного переменного порядка типа Гераси­
мова-Капуто (1.6) в уравнении (2.21) запишем согласно (2.2).
Подставляя (2.2) в (2.21), получим дискретный аналог задачи Коши для дроб­
ного уравнения Риккати, для которой нелокальная неявная конечно-разностная
28
схема (2.6) имеет вид:
𝐴𝑘
𝑘−1
∑︁
𝑤𝑗𝑘 (𝑢𝑘−𝑗 − 𝑢𝑘−𝑗−1 ) + 𝑎𝑘 𝑢2𝑘 − 𝑏𝑘 𝑢𝑘 − 𝑐𝑘 = 0,
𝑗=0
𝜏 −𝛼𝑘
,
𝐴𝑘 =
Γ(2 − 𝛼𝑘 )
𝑤𝑗𝑘 = (𝑗 + 1)1−𝛼𝑘 − 𝑗 1−𝛼𝑘 ,
𝑘 = 1, ..., 𝑁,
(2.22)
𝑢0 = 𝐶,
где 𝐶 – известная константа.
Схема (2.22) представляет собой систему нелинейных алгебраических урав­
нений, которую решим модифицированным методом Ньютона (MNM).
Составим итерационную функцию:
𝐹 (𝑢𝑘 ) = 𝐴𝑘
𝑘−1
∑︁
𝑤𝑗𝑘 (𝑢𝑘−𝑗 − 𝑢𝑘−𝑗−1 ) + 𝑎𝑘 𝑢2𝑘 − 𝑏𝑘 𝑢𝑘 − 𝑐𝑘 ,
(2.23)
𝑗=0
согласно которой, составим итерационный процесс:
𝑈 𝑚+1 = 𝑈 𝑚 −
𝐹 (𝑈 𝑚 )
,
𝐽 (𝑈 0 )
(2.24)
(︀
)︀
𝑚+1 𝑇
𝑚 𝑇
𝑚
𝑚
𝑚
, 𝑈 𝑚 = (𝑢𝑚
где 𝑈 𝑚+1 = 𝑢𝑚+1
,
...,
𝑢
1 , ..., 𝑢𝑁 ) , 𝐹 (𝑈 ) = (𝑓1 (𝑢1 ) , ..., 𝑓𝑁 (𝑢𝑁 )),
1
𝑁
(︀ )︀
а матрица Якоби: 𝐽 𝑈 0 = (𝐽𝑖𝑗 ) , 𝑖 = 1, ..., 𝑁, 𝑗 = 1, ..., 𝑁 имеет нижнетреуголь­
ную структуру вида:
⎧
⎪
⎪
⎪
0, 𝑗 ≥ 𝑖 + 1,
⎪
⎪
⎨
𝐽𝑖𝑗 =
𝐴𝑖 𝜔1𝑖 − 𝑏𝑖 + 2𝑎𝑖 𝑢0𝑖 , 𝑗 = 𝑖,
⎪
⎪
⎪
(︀ 𝑖
)︀
⎪
⎪
𝑖
⎩ 𝐴𝑖 𝜔𝑖−𝑗
− 𝜔𝑖−𝑗−1
, 𝑗 ≤ 𝑖 − 1.
29
(2.25)
Лемма 2.4. Определитель матрицы Якоби (2.25) отличен от нуля:
𝑁
⃒ (︀ 0 )︀⃒ ∏︁
(︀
)︀
⃒𝐽 𝑈 ⃒ =
𝐴𝑖 𝜔1𝑖 − 𝑏𝑖 + 2𝑎𝑖 𝑢0𝑖 ̸= 0.
(2.26)
𝑖=1
Доказательство. Согласно свойствам 1 и 3 Леммы 2.1, а также условиям
задачи (2.21): 𝑎𝑖 > 0, 𝑢0𝑖 > 0 и 𝐴𝑖 𝜔1𝑖 + 2𝑎𝑖 𝑢0𝑖 > 𝑏𝑖 следует соотношение (2.25).
Согласно условию (2.26) матрица Якоби невырожденная и, следовательно
(︀ )︀−1
существует обратная матрица 𝐽 𝑈 0
и итерационный процесс (2.24) согласно
Теореме 2.4 локально сходится с первым порядком. □
Замечание 2.6. Если итерационная функция (2.23) имела бы сингулярность в
нуле, то тогда итерационный процесс (2.24) перестал бы работать. В этом
случае можно придать малое возмущение начальному приближению, например,
по аналогии с работой [47].
2.5. Явная конечно-разностная схема (EFDS) для дробного
уравнения Риккати
Рассмотрим явную конечно-разностную схему для решения задачи Коши
(2.21).
По аналогии со статьёй [48], аппроксимацию производной дробного перемен­
ного порядка типа Герасимова-Капуто (1.6) в уравнении в задаче (2.21) можно
записать так:
1
𝛼(𝑡)
𝜕0𝑡 𝑢(𝜎) =
Γ(1 − 𝛼(𝑡))
∫︁ 𝑡
𝑢(𝜎)𝑑𝜎
˙
1
≈
Γ(1 − 𝛼(𝑡𝑘+1 ))
(𝑡 − 𝜎)𝛼(𝑡)
0
∫︁𝑡𝑘+1
0
30
𝑢(𝜎)𝑑𝜎
˙
=
(𝑡𝑘+1 − 𝜎)𝛼(𝑡𝑘+1 )
⎧
⎪
⎪
𝑑𝜎 = −𝑑𝜂
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨ 𝜂 = 𝑡𝑘+1 − 𝜎
𝑘
⎪
⎪
𝜎 → 𝑡𝑗+1 ⇒ 𝜂 → 𝑡𝑘+1 − 𝑡𝑗+1 = 𝑡𝑘−𝑗
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩ 𝜎 → 𝑡𝑗 ⇒ 𝜂 → 𝑡𝑘+1 − 𝑡𝑗 = 𝑡𝑘−𝑗+1
1
Γ(1 − 𝛼(𝑡𝑘+1 ))
∑︁
1
≈
Γ(1 − 𝛼(𝑡𝑘+1 )) 𝑗=0
𝑡𝑘−𝑗+1
𝑡𝑘−𝑗+1
∫︁
𝑘
∑︁
𝑢(𝑡𝑗+1 ) − 𝑢(𝑡𝑗 )
𝜏
𝑗=0 𝑡
𝑘−𝑗
⎧
⎪
⎨
𝑡𝑘−𝑗+1 = (𝑘 − 𝑗 + 1)𝜏
⎪
⎩
𝑡𝑘−𝑗 = (𝑘 − 𝑗)𝜏
1
Γ(1 − 𝛼𝑘+1 )
𝑘
∑︁
𝑢𝑗+1 − 𝑢𝑗
𝑗=0
∫︁𝑡𝑘−𝑗
·
𝑑𝜂
𝜂 𝛼(𝑡𝑘+1 )
˙
(−𝑢)𝑑𝜂
=
𝜂 𝛼(𝑡𝑘+1 )
(2.27)
=
=
(𝑘−𝑗+1)𝜏
∫︁
𝑑𝜂
𝜂 𝛼𝑘+1
𝜏
=
(𝑘−𝑗)𝜏
⃒(𝑘−𝑗+1)𝜏
𝑘
∑︁
𝜂 1−𝛼𝑘+1 ⃒⃒
𝜏 −1
=
(𝑢𝑗+1 − 𝑢𝑗 )
Γ(1 − 𝛼𝑘+1 ) 𝑗=0
(1 − 𝛼𝑘+1 ) ⃒(𝑘−𝑗)𝜏
𝑘
∑︁
(︀
)︀
𝜏 −1
(𝑢𝑗+1 − 𝑢𝑗 ) ((𝑘 − 𝑗 + 1)𝜏 )1−𝛼𝑘+1 − ((𝑘 − 𝑗)𝜏 )1−𝛼𝑘+1 =
(1 − 𝛼𝑘+1 )Γ(1 − 𝛼𝑘+1 ) 𝑗=0
𝑘
(︀
)︀
𝜏 −1 𝜏 1−𝛼𝑘+1 ∑︁
(𝑢𝑗+1 − 𝑢𝑗 ) (𝑘 − 𝑗 + 1)1−𝛼𝑘+1 − (𝑘 − 𝑗)1−𝛼𝑘+1 = |𝑗 → 𝑘 − 𝑗 =
Γ(2 − 𝛼𝑘+1 ) 𝑗=0
𝑘
∑︁
(︀
)︀
𝜏 −𝛼𝑘+1
(𝑢𝑘−𝑗+1 − 𝑢𝑘−𝑗 ) (𝑗 + 1)1−𝛼𝑘+1 − 𝑗 1−𝛼𝑘+1 =
Γ(2 − 𝛼𝑘+1 ) 𝑗=0
𝐴𝑘
𝑘
∑︁
𝑤𝑗𝑘 (𝑢𝑘−𝑗+1 − 𝑢𝑘−𝑗 ) ,
𝑗=0
𝜏 −𝛼𝑘+1
𝐴𝑘 =
,
Γ(2 − 𝛼𝑘+1 )
𝑤𝑗𝑘 = (𝑗 + 1)1−𝛼𝑘+1 − 𝑗 1−𝛼𝑘+1 .
Подставляя (2.27) в (2.21), мы получим дискретный аналог задачи Коши, ко­
31
торый согласно методу Эйлера можно записать в виде явной конечно-разностной
схемы:
)︀
)︀
1 (︀(︀
𝐴0 (1 − 𝑤10 ) + 𝑏0 𝑢0 − 𝑎0 𝑢20 + 𝑐0 ,
𝐴0
)︀
)︀
)︀
1 (︀(︀ (︀
𝑢2 =
𝐴1 1 − 𝑤11 + 𝑏1 𝑢1 + 𝐴1 𝑤11 𝑢0 − 𝑎1 𝑢21 + 𝑐1 ,
𝐴1
)︀
)︀
)︀
1 (︀(︀ (︀
𝑢𝑘+1 =
𝐴𝑘 1 − 𝑤1𝑘 + 𝑏𝑘 𝑢𝑘 + 𝐴𝑘 𝑤1𝑘 𝑢𝑘−1
𝐴𝑘
𝑘
∑︁
𝑎𝑘 2
𝑐𝑘
𝜏 −𝛼𝑘+1
𝑘
−
𝑤𝑗 (𝑢𝑘−𝑗+1 − 𝑢𝑘−𝑗 ) −
𝑢𝑘 +
, 𝐴𝑘 =
,
𝐴
𝐴
Γ(2
−
𝛼
)
𝑘
𝑘
𝑘+1
𝑗=2
𝑢1 =
𝑤𝑗𝑘 = (𝑗 + 1)1−𝛼𝑘+1 − 𝑗 1−𝛼𝑘+1 , 𝑘 = 2, ..., 𝑁 − 1,
(2.28)
𝑢0 = 𝐶.
Лемма 2.5. Дискретная задача Коши (2.28) аппроксимирует дифференциаль­
ную задачу Коши (2.21) с первым порядком.
Доказательство. Согласно определению (1.6), аппроксимации (2.27), а также
второго свойства Леммы 2.1, а также заметим, что аппроксимация 𝑢¯˙ производной
¯˙ ≤ 𝐶1 𝜏 , где 𝐶1 – константа.
первого порядка имеет вид: |𝑢˙ − 𝑢|
𝛼(𝑡
)
𝜕0𝑡 𝑘+1 𝑢(𝜎)
1
=
Γ(1 − 𝛼(𝑡𝑘+1 ))
∫︁ 𝑡
(𝑡𝑘+1 − 𝜎)−𝛼(𝑡𝑘+1 ) 𝑢(𝜎)𝑑𝜎
˙
=
0
𝑘
∑︁
1
Γ(1 − 𝛼(𝑡𝑘+1 )) 𝑗=0
𝑡𝑘−𝑗+1
∫︁
(𝑡𝑘+1 − 𝜎)−𝛼(𝑡𝑘+1 ) 𝑢(𝜎)𝑑𝜎
˙
=
𝑡𝑘−𝑗
𝑡𝑘−𝑗+1
(︂
)︂
∫︁
𝑘
∑︁
𝑢(𝑡
)
−
𝑢(𝑡
)
1
𝑘−𝑗+1
𝑘−𝑗
(𝑡𝑘+1 − 𝜎)−𝛼(𝑡𝑘+1 )
+ 𝐶1 𝜏 𝑑𝜎 =
Γ(1 − 𝛼(𝑡𝑘+1 )) 𝑗=0
𝜏
𝑡𝑘−𝑗
𝑘
∑︁
𝜏 −𝛼(𝑡𝑘 )
𝑤𝑗𝑘+1 [𝑢𝑘−𝑗+1 − 𝑢𝑘−𝑗 ] + 𝑅𝑗𝑘+1 ⇒
Γ(2 − 𝛼(𝑡𝑘+1 )) 𝑗=0
𝛼(𝑡
)
𝛼(𝑡
)
𝜕0𝑡𝑘 𝑘+1 𝑢(𝜎) = 𝜕¯0𝑡𝑘 𝑘+1 𝑢(𝜎) + 𝑅𝑗𝑘 ,
32
𝑘
𝑅𝑗𝑘+1
∑︁
1
=
Γ(1 − 𝛼(𝑡𝑘+1 )) 𝑗=0
𝑡𝑘−𝑗+1
∫︁
𝐶1 𝜏 (𝑡𝑘+1 − 𝜎)−𝛼(𝑡𝑘+1 ) 𝑑𝜎 =
𝑡𝑘−𝑗
𝑘
𝐶1 𝜏 2−𝛼(𝑡𝑘+1 ) ∑︁ 𝑘+1 𝐶1 𝜏 2−𝛼(𝑡𝑘+1 ) (1 + 𝑘)1−𝛼(𝑡𝑘+1 )
𝑤
=
Γ(2 − 𝛼(𝑡𝑘+1 )) 𝑗=0 𝑗
Γ(2 − 𝛼(𝑡𝑘+1 ))
𝐶1 𝜏 2−̂︀𝛼 𝑁 1−̂︀𝛼
𝐶1 (𝑇 /𝜏 )1−̂︀𝛼 2−̂︀𝛼
≤
≤
·𝜏
≤ 𝐶𝜏.
Γ(2 − 𝛼)
̂︀
Γ(2 − 𝛼)
̂︀
□
Рассмотрим вопросы сходимости и устойчивости для схемы (2.28).
Теорема 2.5. Нелокальная явная конечно-разностная схема (2.28) сходится с
21−̂︀𝛼 − 1
первым порядком при условии 𝜏 ≤
.
¯𝑏
Доказательство. Запишем конечно-разностную схему в матричном виде:
𝑈𝑘+1 = 𝑀 𝑈𝑘 − 𝐵𝑈𝑘2 + 𝑃,
(2.29)
)︀𝑇
(︀
где 𝑈𝑘+1 = (𝑢1 , 𝑢2 , ..., 𝑢𝑘 )𝑇 , 𝑈𝑘 = (𝑢0 , 𝑢1 , ..., 𝑢𝑘−1 )𝑇 , 𝑈𝑘2 = 𝑢20 , 𝑢21 , ..., 𝑢2𝑘−1 ,
(︁
)︁𝑇
)︁𝑇
(︁
𝑎𝑘−1
𝑐𝑘−1
𝑎0 𝑎1
𝑐0 𝑐1
𝐵 = 𝐴0 , 𝐴1 , ..., 𝐴𝑘−1 , 𝑃 = 𝐴0 , 𝐴1 , ..., 𝐴𝑘−1 , 𝑘 = 1, ..., 𝑁 − 1 а матрица
𝑀 = (𝑚𝑖𝑗 ), 𝑖 = 1, ..., 𝑘, 𝑗 = 1, ..., 𝑘 имеет вид:
⎧
⎪
⎪
⎪
0, 𝑗 ≥ 𝑖 + 1,
⎪
⎪
⎨
𝑚𝑖𝑗 =
1 + 𝐴𝑏𝑖−1
− 𝑤1𝑖−1 , 𝑗 = 𝑖 = 1, ..., 𝑘,
𝑖−1
⎪
⎪
⎪
⎪
𝑗
𝑗
⎪
⎩ 𝑤𝑖−𝑗
− 𝑤𝑖−𝑗+1
, 𝑗 ≤ 𝑖 − 1,
𝑚𝑖,1 = 0, 𝑖 = 2, ..., 𝑘,
(2.30)
𝑗−1
𝑚𝑖,2 = 𝑤𝑖−1
, 𝑖 = 3, ..., 𝑘.
21−̂︀𝛼 − 1
Пусть выполнено условие: 𝜏 ≤
¯𝑏)︃ , тогда с учетом Леммы 1 норма
(︃ 𝑘
∑︁
матрицы 𝑀 (2.30): ||𝑀 || = max
|𝑚𝑖𝑗 | ≤ 1.
𝑖
𝑗=1
33
Пусть 𝑈¯𝑘+1 = (𝑢¯1 , 𝑢¯2 , ..., 𝑢¯𝑘 ) – точное решение (2.29) и вектор ошибок 𝑒𝑘+1 =
𝑈¯𝑘+1 − 𝑈𝑘+1 , 𝑒0 = 0. Поэтому систему (2.29) можно переписать с учетом Леммы 3
и 5, а также соотношения (1.8) в виде:
𝑒𝑘+1 = 𝑀 𝑒𝑘 − 𝐹𝑒,𝑘 + 𝑂(𝜏 ),
𝐹𝑒,𝑘
(︂
)︂𝑇
⃒
⃒
⃒
𝑎1 ⃒⃒ 2
𝑎
𝑘−1
⃒𝑢2𝑘−1 − 𝑢¯2𝑘−1 ⃒
= 0,
𝑢1 − 𝑢¯21 ⃒ , ...,
≤
𝐴1
𝐴𝑘−1
(︂
)︂
𝐿 1 𝑎1
𝐿 𝑘 𝑎𝑘
≤ 0,
𝑒1 , ...,
𝑒𝑘 = Δ𝐹𝑘 𝑒𝑘 ,
𝐴1
𝐴𝑘
(︂
)︂
𝐿1 𝑎1
𝐿𝑘 𝑎𝑘
Δ𝐹𝑘 = 𝑑𝑖𝑎𝑔 0,
, ...,
,
𝐴1
𝐴𝑘
(2.31)
где 𝐿1 , ..., 𝐿𝑘 – константы, такие, что ∀𝑘 выполняется условие 𝐿𝑘 < 𝐿.
Введем норму ошибки ||𝑒𝑘 || = max |𝑒𝑘 |. В силу Леммы 1 (свойства 1) в урав­
𝑘
нении (2.31) для любой константы 𝐶 > 0, независимой от шага 𝜏 оценка ошибки
имеет вид:
||𝑒𝑘+1 || ≤ ||𝑀 − Δ𝐹𝑘 || ||𝑒𝑘 || + 𝐶𝜏 ≤ ||𝑀 || ||𝑒𝑘 || + 𝐶𝜏 ≤ ||𝑒0 || + 𝐶𝜏.
(2.32)
21−̂︀𝛼 − 1
, численное решение
¯𝑏
(2.28) сходится к точному с первым порядком. Теорема доказана. □
Следовательно при выполнении условия 𝜏 ≤
Определение 2.8. Нелокальная явная конечно-разностная схема (2.28) называ­
ется условно устойчивой, если справедлива оценка |𝑈𝑘 − 𝑊𝑘 | ≤ 𝐶 |𝑈0 − 𝑊0 |, ∀𝑘,
где 𝐶 > 0 константа, независящая от шага 𝜏 .
21−̂︀𝛼 − 1
Теорема 2.6. Нелокальная явная конечно-разностная схема (2.28) при 𝜏 ≤
¯𝑏
устойчива.
Доказательство. Введем обозначение: 𝑒𝑘+1 = 𝑈𝑘+1 − 𝑊𝑘+1 , тогда уравнение
(2.29) можно записать в форме: 𝑒𝑘+1 = 𝑀 𝑒𝑘 − 𝐹𝑒,𝑘 , где 𝐹𝑒,𝑘 – определено согласно
34
(2.31). Тогда справедлива оценка:
||𝑒𝑘+1 || ≤ ||𝑀 − Δ𝐹𝑘 || ||𝑒𝑘 || ≤ ||𝑀 || ||𝑒𝑘 || ≤ 𝑠2 ||𝑒𝑘−1 || ≤ 𝑒0 .
Теорема доказана. □
Определение 2.9. Так как, рассмотренная нелокальная явная конечно-разност­
ная схема (EFDS) (2.28) условно сходится с первым порядком [44, 49]. То можем
взять в качестве начального приближения для модифицированного метода Нью­
тона (MNM) (2.24), последнее значение 𝑢𝑘 полученное по схеме EFDS (2.28), при
выполнении условия сходимости EFDS.
2.6. Вычислительная точность и тестовые примеры
Рассмотрим некоторые примеры работы: нелокальной неявной конечно-раз­
ностной схемы (IFDS) (2.22) разрешаемой модифицированным методом Ньютона
(MNM) (2.24), а так же явной конечно-разностной схемы (EFDS) (2.28), которые
были реализованы в среде символьной компьютерной математики Maple 2021.
Пример 2.1. Рассмотрим случай, когда 𝑎(𝑡), 𝑏(𝑡), 𝑐(𝑡) и 𝛼(𝑡) являются констан­
тами: 𝑏 = 0.5, 𝑎 = 𝑐 = 0.05 и 𝛼 = 0.9. Остальные параметры возьмем сле­
дующими: 𝑢(0) = 0, 𝑁 = 300, 𝑇 = 30. Действительно, при таких значениях
21−̂︀𝛼 − 1
параметров выполняется условие из теоремы 5: 𝜏 <
выполняется:
¯𝑏
0.1 < 0.143.
Тогда по (IFDS) (2.22) и EFDS (2.28) мы получаем расчетные кривые рис. 2.1.
Из рисунка 2.1 видно, что расчетная кривая имеет s-образную форму, харак­
терную для динамических процессов в насыщенных средах. А также, что тренд
расчетных кривых - возрастающий с выходом на установившийся режим. При уве­
личении значения параметра 𝑏 и уменьшении значения параметра 𝑎, s-образная
35
Рис. 2.1. Численные решения дробного уравнения Риккати с постоянными коэффициентами и
𝛼 = 0.9 с учетом выполнения условия
форма становится более ярко выраженной.
Произведем оценку вычислительной точности EFDS и IFDS. Для
(︂ этого рас­
)︂
|𝑢𝑖 − 𝑢2𝑖 |
считаем максимальную ошибку 𝜉 по правилу Рунге, т.е. 𝜉 = max 𝑝𝐴𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟
,
𝑖
2
−1
где 𝑢𝑖 и 𝑢2𝑖 - расчетные значения, полученные по формулам (2.22) и (2.28) на шаге
𝜏 и 𝜏 /2 соответственно, 𝑝𝐴𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟 = 2 − 𝛼 – теоретический порядок сходимости для
IFDS, 𝑝𝐴𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟 = 1 – для EFDS. Вычислительная точность определяется по формуле:
𝑝 = log2 (𝜉𝑖 /𝜉𝑖+1 ). Результаты приведены в таблице 2.1.
Таблица 2.1. Вычислительная точность EFDS и IFDS, при 𝑇 = 30
i
1
2
3
4
5
6
7
N
𝜏
EFDS
𝜉
20
3/2 3.84086
40
3/4 2.25311
80
3/8 1.21857
160 3/16 0.64976
320 3/32 0.34048
640 3/64 0.17676
1280 3/128 0.09126
𝑝
0.76951
0.88671
0.90720
0.93231
0.94577
0.95368
IFDS
𝜉
2.17611
1.10581
0.48416
0.22022
0.10018
0.04548
0.02056
𝑝
0.97664
1.19153
1.13650
1.13630
1.13917
1.14522
Из таблицы 2.1 видно, что при увеличении узлов расчетной сетки, макси­
мальная ошибка уменьшается, а вычислительная точность для EFDS стремиться
к единице, что соответствует условию Теоремы 2.5, а для IFDS стремиться к тео­
ретической согласно (2.5) Лемме 2.3.
36
Необходимо также отметить, что схема IFDS имеет лучшую точность, а мак­
симальная ошибка на порядок меньше чем у EFDS.
Рассмотрим так же для этого примера случай, когда условие из Теоремы 2.5:
21−̂︀𝛼 − 1
𝜏 <
нарушается. Для этого достаточно взять значения 𝑏 на порядок
¯𝑏
больше, например, 𝑏 = 17 тогда: 0.1 ≮ 0.004, а значения других параметров мы
оставляем без изменения. Расчетные кривые: для EFDS полученная по формуле
(2.28), и для IFDS по формуле (2.22), приведены на рис. 2.2.
Рис. 2.2. Численные решения дробного уравнения Риккати с постоянными коэффициентами и
𝛼 = 0.9, когда условие нарушается
C помощью свойства дробного интеграла покажем (см. Приложение Ж), что
решением задачи Коши:
𝛼(𝑡)
𝜕0𝑡 𝑢(𝜏 ) + 𝑎(𝑡)𝑢2 (𝑡) − 𝑏(𝑡)𝑢(𝑡) − 𝑐(𝑡) = 0,
𝑢(0) = 𝑢0 = 0,
является функция 𝑢 (𝑡) = 𝑡3 . Действительно при:
1
𝛼(𝑡)
𝜕0𝑡 𝑡3 =
Γ(1 − 𝛼(𝑡))
∫︁ 𝑡
(𝜏 3 )′ 𝑑𝜏
3
=
Γ(1 − 𝛼(𝑡))
(𝑡 − 𝜏 )𝛼(𝑡)
0
∫︁ 𝑡
0
37
𝜏 2 𝑑𝜏
3Γ(3)𝑡3−𝛼(𝑡)
=
,
Γ(4 − 𝛼(𝑡))
(𝑡 − 𝜏 )𝛼(𝑡)
Получаем что:
𝛼(𝑡)
𝜕0𝑡 𝑢(𝜏 ) + 𝑎(𝑡)𝑢2 (𝑡) − 𝑏(𝑡)𝑢(𝑡) − 𝑐(𝑡) = 0,
𝑢(0) = 𝑢0 = 0,
3Γ(3)𝑡3−𝛼(𝑡)
𝑐(𝑡) =
+ 𝑎(𝑡)𝑢6 (𝑡) − 𝑏(𝑡)𝑢3 (𝑡).
Γ(4 − 𝛼(𝑡))
(2.33)
Заметим что 𝛼(𝑡) = 𝛼(𝑡𝑘 ) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡, а значит для схемы EFDS (2.28) 𝛼(𝑡) =
𝛼(𝑡𝑘+1 ) = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
Пример 2.2. Рассмотрим (2.33) с параметрами, когда: 𝑐(𝑡) =
3Γ(3)𝑡3−𝛼(𝑡)
6
Γ(4−𝛼(𝑡)) +𝑎(𝑡)𝑢 (𝑡)−
𝑏(𝑡)𝑢3 (𝑡), 𝑏 = 0.7, 𝑎 = 0.005 и 𝛼 = 0.8. Остальные параметры: 𝑢(0) = 0, 𝑁 =
21−̂︀𝛼 − 1
100, 𝑇 = 7. Условие из Теоремы 2.5: 𝜏 <
выполняется: 0.07 < 0.2124.
¯𝑏
Расчетные кривые приведены на рисунке 2.3.
Рис. 2.3. Точное решение EX: 𝑢(𝑡) = 𝑡3 и численные решения дробного уравнения Риккати с
постоянными коэффициентами и 𝛼 = 0.8, с учетом выполнения условия
Произведем оценку вычислительной точности: точного решения EX: 𝑢(𝑡) =
𝑡3 , IFDS и EFDS. Для этого рассчитаем максимальную ошибку 𝜉 по между полу­
ченными решениями, т.е. 𝜉 = max𝑖 (|𝑢𝑖,𝑀 1 − 𝑢𝑖,𝑀 2 |), где 𝑢𝑖,𝑀 1 и 𝑢𝑖,𝑀 2 – расчетные
значения, полученные одним и вторым методом соответственно. 𝑝 = log2 (𝜉𝑖 /𝜉𝑖+1 )
– вычислительная точность, где 𝜉𝑖 и 𝜉𝑖+1 – максимальная ошибка на шаге 𝜏 и 𝜏 /2
38
соответственно.
Таблица 2.2. Вычислительная точность: точное решение EX, EFDS и IFDS, при 𝑇 = 1
i
1
2
3
4
5
6
7
|𝐸𝑋 − 𝐸𝐹 𝐷𝑆|
𝜉
𝑝
20
1/20 0.14430
40
1/40 0.07790 0.88928
80
1/80 0.04112 0.92166
160 1/160 0.02140 0.94215
320 1/320 0.01103 0.95550
640 1/640 0.00565 0.96457
1280 1/1280 0.00288 0.97105
N
𝜏
|𝐸𝑋 − 𝐼𝐹 𝐷𝑆|
𝜉
𝑝
0.05206
0.02274 1.19515
0.00993 1.19410
0.00434 1.19527
0.00189 1.19671
0.00082 1.19788
0.00035 1.19870
Из Табл. 2.2 как мы видим, что для схем EFDS и IFDS в сравнении с точным
решением EX, при увеличении 𝑁 узлов расчетной сетки, максимальная ошибка 𝜉
уменьшается, а для IFDS значение ошибки на порядок меньше. Вычислительная
точность 𝑝 для EFDS стремиться к единице, что соответствует условию Теоремы
2.5, а для IFDS стремиться к теоретической 𝑝𝐴𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟 = 2 − 𝛼 согласно (2.5) Лемме
2.3.
Аналогично Примеру 2.1 рассмотрим случай когда условие из Теоремы 2.5:
21−̂︀𝛼 − 1
𝜏<
нарушается. Берём 𝑏 на порядок больше, 𝑏 = 18 тогда: 0.07 ≮ 0.008,
¯𝑏
а значения других параметров мы оставляем без изменения. Расчетные кривые
приведены на рис. 2.4.
Рис. 2.4. Точное решение EX и численные решения дробного уравнения Риккати с постоянными
коэффициентами и 𝛼 = 0.8, когда условие нарушается
39
Из рис. 2.4 видим что схема EFDS (2.28) разваливается при нарушении усло­
21−̂︀𝛼 − 1
вия 𝜏 <
, аналогично случаю из Примера 2.1.
¯𝑏
Пример 2.3. Рассмотрим случай, когда в модельном дробном уравнении Рикка­
ти (2.21) перемененный порядок дробности: 𝛼(𝑡) = 0.9 − 0.1𝑡/𝑇 – монотонно
убывающая функция, коэффициенты уравнения: 𝑎(𝑡) = cos2 (𝑡)/𝑇 , 𝑏(𝑡) = 1 −
0.1𝑡/𝑇 , 𝑐(𝑡) = sin2 (𝑡)/𝑇 , а остальные параметры: 𝑢(0) = 0.9, 𝑁 = 2000, 𝑇 = 20.
21−̂︀𝛼 − 1
для EFDS выполняется: 0.01 < 0.07. Результаты моде­
Условие: 𝜏 <
¯𝑏
лирования по формулам IFDS (2.22) и EFDS (2.28) дают расчетные кривые на
рис. 2.5.
Рис. 2.5. Численные решения дробного уравнения Риккати с непостоянными коэффициентами и
𝛼(𝑡) = 0.9 − 0.1𝑡/𝑇 – монотонно убывающей функцией
Расчетные кривые на рис. 2.5, полученные по численным методам IFDS и
EFDS практически совпали. В силу того, что коэффициенты в модельном уравне­
нии (2.21) изменяются по гармоническому закону, то их форма напоминает форму
кривых для колебательных процессов [50, 51]. Также отметим, общий тренд рас­
четных кривых - возрастающий с выходом на установившийся режим. Подобная
динамика встречается в экономике при описании циклов и кризисов [52].
Произведем оценку вычислительной точности EFDS и IFDS, аналогично При­
меру 2.1.
Для случая 𝛼(𝑡) и 𝑎(𝑡), 𝑏(𝑡), 𝑐(𝑡) – функций, мы видим из табл. 2.3 что, при
40
Таблица 2.3. Вычислительная точность IFDS и EFDS, при 𝑇 = 10
i
1
2
3
4
5
6
7
N
𝜏
EFDS
𝜉
20
1/2 16.9716
40
1/4 4.10786
80
1/8 2.83581
160 1/16 1.70580
320 1/32 0.95277
640 1/64 0.51645
1280 1/128 0.27275
𝑝
2.04666
0.53462
0.73330
0.84024
0.88350
0.92105
IFDS
𝜉
21.8875
5.21343
2.14741
0.90911
0.39496
0.17357
0.07673
𝑝
2.06980
1.27963
1.24006
1.20272
1.18613
1.17768
увеличении узлов расчетной сетки, максимальная ошибка 𝜉 уменьшается, а для
IFDS значение ошибки на порядок меньше. Вычислительная точность 𝑝 для EFDS
стремиться к единице, что соответствует условию Теоремы 2.5, а для IFDS стре­
миться к теоретической 𝑝𝐴𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟 = 2 − max(𝛼(𝑡)) = 2 − 0.9 = 1.1 согласно (2.5)
𝑡
Лемме 2.3.
Пример 2.4. Рассмотрим случай, когда в модельном дробном уравнении Рикка­
ти (2.21) перемененный порядок дробности: 𝛼(𝑡) = 0.4 + 0.5𝑡/𝑇 - монотонно
возрастающая функция. Далее аналогично Примеру 2.3: коэффициенты уравне­
ния 𝑎(𝑡) = cos2 (𝑡)/𝑇 , 𝑏(𝑡) = 1−0.1𝑡/𝑇 , 𝑐(𝑡) = sin2 (𝑡)/𝑇 , а остальные параметры:
21−̂︀𝛼 − 1
𝑢(0) = 0.9, 𝑁 = 2000, 𝑇 = 20. Условие: 𝜏 <
для EFDS выполняется:
¯𝑏
0.01 < 0.07.
Результаты моделирования по формулам IFDS (2.22) и EFDS (2.28) дают расчетные
кривые на рис. 2.6.
Произведем оценку вычислительной точности EFDS и IFDS, аналогично При­
меру 2.3.
Мы видим из табл. 2.4 что, при увеличении узлов расчетной сетки, макси­
мальная ошибка 𝜉 уменьшается, а для IFDS значение ошибки на порядок мень­
ше. Вычислительная точность 𝑝 для EFDS стремиться к единице, что соответ­
ствует условию Теоремы 2.5, а для IFDS стремиться к теоретической 𝑝𝐴𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟 =
41
Рис. 2.6. Численные решения дробного уравнения Риккати с непостоянными коэффициентами и
𝛼(𝑡) = 0.4 + 0.5𝑡/𝑇 – монотонно возрастающей функцией
Таблица 2.4. Вычислительная точность IFDS и EFDS, при 𝑇 = 10
i
1
2
3
4
5
6
7
N
𝜏
EFDS
𝜉
20
1/2 4.62978
40
1/4 3.95342
80
1/8 3.04877
160 1/16 1.93859
320 1/32 1.16042
640 1/64 0.64893
1280 1/128 0.34560
𝑝
0.22784
0.37487
0.65321
0.74036
0.83850
0.90893
IFDS
𝜉
18.3955
4.11895
1.65080
0.66586
0.27601
0.11415
0.04734
𝑝
2.15900
1.31910
1.30986
1.27050
1.27376
1.26961
2 − max(𝛼(𝑡)) = 2 − 0.9 = 1.1 согласно (2.5) Лемме 2.3.
𝑡
Пример 2.5. Рассмотрим случай, когда в модельном дробном уравнении Рикка­
ти (2.21) перемененный порядок дробности: 𝛼(𝑡) = 0.4 + sin2 (𝑡)/2 - периодиче­
ская функция. Далее аналогично Примерам 2.4 и 2.5: коэффициенты уравнения
𝑎(𝑡) = cos2 (𝑡)/𝑇 , 𝑏(𝑡) = 1 − 0.1𝑡/𝑇 , 𝑐(𝑡) = sin2 (𝑡)/𝑇 , а остальные параметры:
21−̂︀𝛼 − 1
𝑢(0) = 0.9, 𝑁 = 2000, 𝑇 = 20. Условие: 𝜏 <
для EFDS выполняется:
¯𝑏
0.01 < 0.07.
Результаты моделирования по формулам IFDS (2.22) и EFDS (2.28) дают
расчетные кривые на рис. 2.6.
Произведем оценку вычислительной точности EFDS и IFDS, аналогично При­
42
Рис. 2.7. Численные решения дробного уравнения Риккати с непостоянными коэффициентами и
𝛼(𝑡) = 0.4 + sin2 (𝑡)/2 – периодической функцией
мерам 2.3 и 2.4.
Таблица 2.5. Вычислительная точность IFDS и EFDS, при 𝑇 = 10
i
1
2
3
4
5
6
7
N
𝜏
EFDS
𝜉
20
1/2 4.53506
40
1/4 3.23887
80
1/8 2.65104
160 1/16 1.71817
320 1/32 1.01576
640 1/64 0.56034
1280 1/128 0.29775
𝑝
0.48562
0.28893
0.62568
0.75831
0.85818
0.91215
IFDS
𝜉
23.0946
4.58889
1.64571
0.64363
0.26495
0.11185
0.04785
𝑝
2.33133
1.47942
1.35441
1.28046
1.24414
1.22502
Мы видим из табл. 2.5 что, при увеличении узлов расчетной сетки, макси­
мальная ошибка 𝜉 уменьшается, а для IFDS значение ошибки на порядок мень­
ше. Вычислительная точность 𝑝 для EFDS стремиться к единице, что соответ­
ствует условию Теоремы 2.5, а для IFDS стремиться к теоретической 𝑝𝐴𝑝𝑟𝑖𝑜𝑟 =
2 − max(𝛼(𝑡)) = 2 − 0.9 = 1.1 согласно (2.5) Лемме 2.3.
𝑡
2.7. Программный комплекс для среды Maple
Была разработана [53] библиотека «FDREext» (сокращение от Fractional Derivative
in Riccati Equation Extended) иначе («FDRE» версии 2.0) в рамках программного
комплекса для решения задач численного моделирования с использованием урав­
43
нения Риккати с оператором дробного дифференцирования Герасимова–Капуто.
Программный комплекс реализован в среде символьной компьютерной математи­
ки Maple 2021, и является развитием и обобщением разработанных ранее: про­
граммы «NSFDRE» версии 1.0 [54, 55] реализованной на языке С++, и программы
«FDRE» версии 1.0 [56] на языке Maple.
Основное отличие разработанного нового программного комплекса от преды­
дущего, является возможность использовать широкий функционал среды Maple
2021, что отразилось в следующем:
• реализация нелокальной явной конечно–разностной схемы (EFDS), рассмот­
ренной в [57, 44, 49];
• реализация нелокальной неявной конечно–разностной схемы (IFDS);
• реализация модифицированного метода Ньютона (MNM), для решения схе­
мы IFDS;
• реализация модификаций дробного оператора Герасимова–Капуто вида 𝛼(𝑡−
𝜏 ) и 𝛼(𝜏 ), рассмотренных в [58, 59, 60, 61, 62, 63, 64];
• возможность задания коэффициентов 𝑎(𝑡), 𝑏(𝑡), 𝑐(𝑡) функций от 𝑡;
• возможность задания непостоянного 𝛼(𝑡) как функции от 𝑡.
Основой разработанной библиотеки (модуля) «FDREext» является: модуль
(функция) 𝐴𝑝𝑝𝑟𝑜𝑥𝐹 𝑟𝑎𝑐𝑡𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣() – реализующий численные методы для решения
дробного уравнения Риккати с производной в смысле Герасимова–Капуто.
Так же реализован ряд вспомогательных рис. 2.8 процедур (функций) для:
• 𝐶𝑙𝑒𝑎𝑟𝑆𝑒𝑞() – чистка передаваемых данных от заданных элементов;
• 𝐶𝑟𝑒𝑎𝑡𝑒𝐹 𝑖𝑙𝑒𝑁 𝑎𝑚𝑒() – создание имени для пользовательского файла;
44
• 𝐶𝑟𝑒𝑎𝑡𝑒𝐹 𝑖𝑙𝑒𝑃 𝑎𝑡ℎ() – вывод пути к .𝑚𝑤 файлу, где вызвана функция;
• 𝐸𝑥𝑐𝑒𝑙𝐸𝑥𝑡𝑟𝑎𝑐𝑡𝐶𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛() – извлечение столбца из .𝑥𝑙𝑠𝑥 файла;
• 𝐸𝑥𝑡𝑒𝑛𝑑𝑒𝑑𝐷𝑎𝑡𝑎() – сглаживание данных кубическим сплайном;
• 𝑁 𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙𝑖𝑧𝑒𝑂𝑛𝑀 𝑎𝑥() – нормировка передаваемых данных на максимум;
• 𝑃 𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑖𝑐𝐹 𝑢𝑛𝑐() – периодическая функция 0 < 𝑥 < 1;
• 𝑃 𝑙𝑜𝑡𝐷𝑎𝑡𝑎() – вывод графика по передаваемым данным;
• 𝑅𝑒𝑠𝑒𝑎𝑟𝑐ℎ𝑂𝑛𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟() – исследование решения на вычислительную точность
и максимальную ошибку;
• 𝑇 𝑒𝑥𝑡𝐸𝑥𝑡𝑟𝑎𝑐𝑡𝐶𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛() – извлечение столбца из .𝑡𝑥𝑡 файла;
• 𝑊 𝑟𝑖𝑡𝑒𝐹 𝑖𝑙𝑒_𝑡𝑥𝑡() – вывода результатов в .𝑡𝑥𝑡 файл;
• 𝑊 𝑟𝑖𝑡𝑒𝐹 𝑖𝑙𝑒_𝑥𝑙𝑥𝑠() – вывода результатов в .𝑥𝑙𝑠𝑥 файл.
Рис. 2.8. Вызов библиотеки «FDREext»
Свидетельства Роспатента на регистрацию программ для ЭВМ приведены в
Приложении А, а коды программ в Приложениях Б,В,Г и Д.
45
Глава 3
Приложения дробного уравнения Риккати
Для моделирования динамических процессов с насыщением и эффектами
памяти [65], будем использовать модельное уравнение Риккати с переменными
коэффициентами и с дробной производной перемененного порядка вида (2.21).
Для которого задача Коши имеет вид:
𝛼(𝑡)
𝜕0𝑡 𝑢(𝜎) + 𝑎(𝑡)𝑢2 (𝑡) − 𝑏(𝑡)𝑢(𝑡) − 𝑐(𝑡) = 0,
𝑢(0) = 𝑢0 ,
(3.1)
где 𝑢(𝑡) ∈ 𝐶 2 [0, 𝑇 ] – функция решения, 𝑡 ∈ [0, 𝑇 ] – текущее время, 𝑇 – модельное
время, 𝑢0 – заданная константа, 𝑎(𝑡), 𝑏(𝑡), 𝑐(𝑡) – непрерывные функции на отрезке
[0, 𝑇 ], а оператор дробного переменного порядка 0 < 𝛼(𝑡) < 1 имеет вид (1.6).
Решение будем искать с помощью модифицированного метода Ньютона (MNM)
[66] описанного ранее (2.24).
Алгоритмы реализующие расчёты по модели (3.1), численные методы, об­
работку результатов, сопоставление с экспериментальными данными и визуали­
зацию реализованы в среде символьной компьютерной математики Maple 2021,
с использованием разработанной в рамках научного исследования библиотеки
«FDREext».
3.1. Моделирование динамики солнечной активности
Исследования Солнечно-земных связей – реакции внешних оболочек Земли
включая биосферу, на изменение солнечной активности, активно ведутся на про­
тяжении всего 20-го века. Земля получает от Солнца не только свет и тепло, но
и подвергается воздействию УФ- и рентгеновского излучения, солнечного ветра,
46
и т.д [67]. Вариации мощности этих факторов при изменении уровня солнечной
активности вызывают цепочку явлений в межпланетном пространстве, внешних
оболочках Земли и особенно заметны изменения магнитосферы [68].
Статистически установлена связь: роста количества аварий в энергосетях
США близких к аврориальной зоне в след за уровнем геомагнитной активности.
Однако в годы минимума активности вероятности аварий в опасных и безопас­
ных областях практически уравниваются [69]. Так же предполагается связь между
уровнем солнечной и геомагнитной возмущенности и ходом ряда процессов в био­
сфере Земли таких как: динамика популяций животных, эпидемий, количеством
сердечно-сосудистых кризов и др.
Изучение Солнечно-Земных связей является не только фундаментальной на­
учной проблемой, но и имеет большое прогностическое значение. Прогнозы со­
стояния магнитосферы и других оболочек Земли крайне необходимы для решения
практических задач в области космонавтики, радиосвязи, транспорта, метеороло­
гии и климатологии, сельского хозяйства, биологии и медицины.
Самым сильным и заметным проявление солнечной активности (СА) являет­
ся – мощная вспышка на Солнце, а последствия вспышки начинают сказываться в
околоземном пространстве почти мгновенно. В частности, ускоренные во вспыш­
ке частицы, вторгаясь в ионосферу и стратосферу полярных широт, вызывают
длительное ухудшение коротковолновой-радиосвязи, на десятки часов, и способ­
ствуют опустошению озонного слоя. К самой же солнечной вспышке приводит
неожиданное сжатие плазмы под действием магнитного поля, отсюда и возникает
интерес к наблюдению за активностью магнитосферы Солнца.
Пятна на Солнце – очевидный признак его активности, образование которых
связано с магнитным полем Солнца. После семнадцатилетних наблюдений Генрих
Швабе установил, что количество пятен на Солнце с течением времени меняется.
В годы минимума пятен на поверхности Солнца может не быть совсем, в годы
47
максимума их число измеряется десятками. Максимумы и минимумы чередуются
в среднем каждые 11 лет (от 7 до 17 лет), однако возможно, существуют и более
длительные циклы СА.
Так как изменение числа солнечных пятен – наиболее изученный вид солнеч­
ной активности, то применим описанную модель (3.1) для аппроксимации данных
по средне-месячному числу солнечных пятен в период с мая 1996 г. по август 2021
г., т.е. 23, 24 и начало 25 – циклов СА, с шагом в 1 месяц.
Данные по процессу СА, представленные на графике рис. 3.1, были получены
из базы данных World Data Center for the production, preservation and dissemination
of the international sunspot number, с сайта Бельгийской королевской Обсерватории,
проекта: Sunspot Index and Long-term Solar Observations [70], и опубликованы на
сайте www.sidc.be.
Рис. 3.1. Данные по количеству солнечных пятен в месяц, с мая 1996 г. по август 2021 г. шагом в
1 месяц
Заметим, что подобные исследования уже проводились, например, в работе
[71]. Однако в этой работе модельное уравнение Риккати с производной дроб­
ного порядка было с постоянными коэффициентами, а также была исследована
динамика солнечной активности в период 1998-2010 гг., и установлена ее связь с
селевыми потоками в Кабардино-Балкарской Республике. А так же показано, что
подъем и падение солнечной активности происходят по кривой, очень близкой к
48
обобщенной логистической кривой [72], и этот процесс нелинеен и фрактален.
И исходя из физических предположений нелинейности и фрактальности про­
цесса, строится математическая модель (3.1) динамики солнечной активности,
основанная на дробном Уравнении Риккати, так как уравнение Риккати хорошо
описывает процессы, которые подчиняются логистическому закону [73, 74], а про­
извольный порядок дробной производной дает широкий диапазон для уточнения
математической модели и учитывает эффект переменной памяти динамической
системы.
Для входных данных проведём нормировку количества солнечных пятен на
максимум, поэтому экспериментальные данные в относительных единицах. Ре­
зультаты моделирования не нормировались.
Будем аппроксимировать (рис. 3.2, синяя кривая) входные данные моделью
(3.1), с параметрами: 𝑁 = 304, 𝑇 = 304, 𝑢(0) = 0.031109. Остальные параметры
(︂ )︂
(︂
)︂2
2.85𝑡
−𝑡
2.2𝜋𝑡
возьмём: 𝑎(𝑡) =
, 𝑏 = 0.01, 𝑐(𝑡) = −0.5𝑒𝑥𝑝
𝑐𝑜𝑠
+ 0.25 −
𝑇
𝑇
(︂ 𝑇 )︂
0.125𝑡
−𝑡
, а показатель дробности:
+ 0.25𝑒𝑥𝑝
𝑇
𝑇
(︂ )︂
(︂
)︂2
(︂ )︂
−𝑡
2.2𝜋𝑡
0.125𝑡
−𝑡
𝛼(𝑡) = −0.5𝑒𝑥𝑝
𝑐𝑜𝑠
.
+ 0.25 −
+ 0.25𝑒𝑥𝑝
𝑇
𝑇
𝑇
𝑇
Рис. 3.2. Численный эксперимент для СА. Коэффициент корреляции 87.4%
Проведем предложенной моделью (3.1), прогнозирование (рис. 3.2, красная
49
кривая) средне-месячного числа солнечных пятен на 10 лет, с августа 2021 г. по ав­
густ 2031 года. Основные параметры: 𝑁 = 424, 𝑇 = 424, 𝑢(0) = 0.031109. Осталь­
(︂
)︂
2.85𝑡
−1.3947𝑡
ные параметры возьмём: 𝑎(𝑡) = 1.394
, 𝑏 = 0.01, 𝑐(𝑡) = −0.5𝑒𝑥𝑝
𝑇
𝑇
)︂2
(︂
(︂
)︂
3.068𝜋𝑡
−1.3947𝑡
0.1743𝑡
𝑐𝑜𝑠
+ 0.25 −
, а показатель дробности:
+ 0.25𝑒𝑥𝑝
𝑇
𝑇
𝑇
)︂
(︂
)︂2
(︂
)︂
(︂
3.068𝜋𝑡
0.1743𝑡
−1.3947𝑡
−1.3947𝑡
𝑐𝑜𝑠
+0.25𝑒𝑥𝑝
.
𝛼(𝑡) = −0.5𝑒𝑥𝑝
+0.25−
𝑇
𝑇
𝑇
𝑇
Показано что при оптимальном подборе соответствующих параметров моде­
лирования: 𝛼(𝑡) и 𝑎(𝑡), 𝑏(𝑡), 𝑐(𝑡) расчетные кривые хорошо согласуются со сгла­
женными экспериментальными данными для циклов СА. А также, модель (3.1)
способна и дать некоторый прогноз по возможному количеству числа солнечных
пятен, и как следствие примерные границы текущего и будущего цикла СА. По­
казано, что солнечная активность уменьшается [75].
Ранняя версия программного кода «MMDCSA» для решения аналогичной
задачи [76, 77, 78], имеет свидетельство [79] о государственной регистрации про­
граммы для ЭВМ.
3.2. Моделирование динамики распространения коронавируса
COVID-19
По сообщениям ВОЗ (Всемирной организации здравоохранения) Китайские
власти города Ухань 7 января 2020 года определили новый вирус (2019-nCoV) вы­
зывающий пневмонию неизвестной этиологии. Вирус был назван коронавирусом-2
тяжелого острого респираторного синдрома (SARS -CoV-2).
11 февраля 2020 года, международным комитетом по таксономии вирусов,
исследование [80] было направлено на разработку математической модели для
расчета трансмиссивности вируса. В данном исследовании авторами была разра­
ботана модель для исследования потенциальной передачи инфекции от источника
50
инфекции (вероятно, летучих мышей) к инфекции человека. Было показано, что
трансмиссивность SARS-CoV-2 была выше, чем у MERS (респираторного син­
дрома Ближнего Востока) в странах Ближнего Востока, но ниже, чем у MERS в
Республике Корея.
В статье [81] авторами предлагается графическое моделирование распро­
странения инфекции COVID-19. Предлагается концептуальная модель эпидемии
COVID-19 с учетом множества факторов, влияющих на увеличение числа случа­
ев заражения, хотя и исследование не могло учесть все факторы. Преимущество
такого подхода оправдано тем, что он позволяет проводить обратный анализ рас­
пространения в результате динамической записи выявленных случаев заражения
согласно модели. Такой подход позволяет определять не выявленные случаи зара­
жения.
В исследовании [82] на основе дробной производной Капуто-Фабрицио, раз­
работана модель для передачи COVID-19 в Ухане, Китай. Для численного модели­
рования производной дробного порядка использована схема Адамаса-Башфорта.
Проведен сравнительный анализ классической модели и дробной модели, и экс­
периментальных данных.
В статье [83] авторами изучена модель эпидемии коронавируса с экспери­
ментальными данными Индии, используя схему Predictor-Corrector. Для предло­
женной модели Covid-19 численное и графическое моделирование выполняется в
рамках новой обобщенной производной нецелого порядка в смысле Капуто. По­
казана применимость новой обобщенной версии нецелого оператора типа Капуто
в математической эпидемиологии.
В настоящее время широкий интерес представляет дальнейшее развитие ма­
тематических моделей динамики распространения COVID-19. Одно из направле­
ний исследований основывается на привлечении математического аппарата дроб­
ного исчисления для учета эффектов памяти в модели динамике коронавируса
51
[82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89]. Эффекты памяти характеризуют свойство дина­
мической системы помнить предыдущие ее состояния. Эффекты памяти можно
описать с помощью производных дробных порядков, причем порядки отвечают
на интенсивность динамического процесса. Для динамики распространения коро­
навируса эффект памяти означает, что симптомы заболевания у человека могут
проявляются не сразу, а через некоторый период времени.
Применение дробного исчисления к изучению процесса распространения
эпидемии коронавируса отражены в работах [82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89]. В
основном это теоретические работы, в которых рассматриваются вопросы суще­
ствование и единственности решения задачи Коши для модельного уравнения или
системы уравнений с различными операторами дробного постоянного порядка, а
также исследуются методы ее решения. К сожалению, в большинстве этих работ
не приводится сопоставления результатов моделирования с экспериментальными
данными по эпидемической обстановке COVID-19 в различных странах, а предла­
гаемые модели достаточно сложны для численной реализации.
Из обзора исследований можно сделать вывод об обоснованности применения
дробного исчисления к задачам эпидемиологии, что в свою очередь определяет
актуальность данного исследования.
В настоящей работе [65, 90] мы предлагаем достаточно простую математи­
ческую модель (3.1), основанную на уравнении Риккати с производной дробного
переменного порядка с непостоянными коэффициентами. Уравнение Риккати хо­
рошо описывает процессы, которые подчиняются логистическому закону [73, 74],
что справедливо для динамики COVID-19, а произвольный порядок дробной про­
изводной дает широкий диапазон для уточнения математической модели и учи­
тывает эффект переменной памяти динамической системы.
Целью данного исследования является описания тенденций: по новым слу­
чаям заражения COVID-19, и по общему числу зараженных, в Республике Узбе­
52
кистан рис. 3.3, и Российской Федерации рис. 3.4. Исходные экспериментальные
данные [91] для сопоставления, предоставлены проектом "Our World in Data"при
поддержке "Center for Systems Science and Engineering (CSSE) at Johns Hopkins
University (JHU)".
Рис. 3.3. Экспериментальные данные процесса распространения COVID-19 в Республике Узбеки­
стан, с 15 марта 2020 года по 16 сентября 2021 года, с шагом в 1 день
Данные представляют собой замеры по множеству параметров с шагом в один
день. JHU обновляет данные несколько раз каждый день, и делает общедоступ­
ными. Эти данные поступают от правительств, национальных и субнациональных
агентств по всему миру - полный список источников данных для каждой страны
опубликован на сайте ourworldindata.org [91, 92].
Рис. 3.4. Экспериментальные данные процесса распространения COVID-19 в Российской Федера­
ции, с 31 января 2020 года по 16 сентября 2021 года, с шагом в 1 день
Для входных данных и результатов моделирования далее проведена норми­
ровка количества инфицированных на максимум, поэтому экспериментальные
данные и результаты моделирования указаны в относительных единицах.
53
Пример 3.1. Новые случаи заражения в Республике Узбекистан. Сопоста­
вим результат моделирования с данными о новых случаях заражения в Респуб­
лике Узбекистан с 15 марта 2020 года по 16 сентября 2021 года, с шагом в 1 день
(рис. 3.5, синяя кривая). Будем аппроксимировать входные данные моделью (3.1)
с параметрами:
параметры возьмём:
(︂𝑁 = 551,
)︂2 𝑇 = 551, 𝑢0 = 0.0001. Остальные (︂
)︂2
1.64𝜋𝑡
𝑡
𝑒𝑥𝑝(7𝑡/𝑇 )𝑡
𝛼(𝑡) = 0.98 sin
, 𝑎(𝑡) = , 𝑏 = 0.25, 𝑐(𝑡) = 0.5 sin
.
𝑇
𝑇
𝑇2
Рис. 3.5. Республика Узбекистан. Модельная кривая (синяя) с коэффициентом корреляции: 82, 5%
– для модели (3.1). Модельная кривая (красная) – прогноз до 31 декабря 2021 г.
Проведем предложенной моделью (3.1), прогнозирование (рис. 3.5, красная
кривая) по новым случаям заражения в республике Узбекистан с 16 сентября по
31 декабря 2021 года. Основные параметры: 𝑁 = 657, 𝑇 = 657, 𝑢(0) = 0.0001.
(︂
)︂2
1.96𝜋𝑡
1.1923𝑡
Остальные параметры возьмём: 𝛼(𝑡) = 0.98 sin
, 𝑎(𝑡) =
,𝑏 =
𝑇
𝑇
(︂
)︂2
𝑒𝑥𝑝(8.78𝑡/𝑇 )𝑡
0.25, 𝑐(𝑡) = 0.5 sin
.
𝑇2
Пример 3.2. Общее число зараженных в Республике Узбекистан. Сопоста­
вим результат моделирования с данными по общему числу заражённых в респуб­
лике Узбекистан, с 15 марта 2020 года по 16 сентября 2021 года, с шагом в 1 день
(рис. 3.6, синяя кривая). Будем аппроксимировать входные моделью (3.1), с па­
раметрами: 𝑁 = 551, 𝑇 = 551, 𝑢0 (︂
= 6.000816111·
10−6 . Остальные(︂параметры
)︂2
)︂2
2𝜋𝑡
0.5𝜋𝑡
, 𝑏 = 0.15, 𝑐(𝑡) = 0.25 sin
.
возьмём: 𝛼(𝑡) = 0.15, 𝑎(𝑡) = 0.4 sin
𝑇
𝑇
Проведем предложенной моделью (3.1), прогнозирование (рис. 3.5, красная
кривая) по общему числу заражённых в республике Узбекистан с 16 сентяб­
54
Рис. 3.6. Республика Узбекистан. Модельная кривая (синяя) с коэффициентом корреляции: 98, 3%
– для модели (3.1). Модельная кривая (красная) – прогноз до 31 декабря 2021 г.
ря по 31 декабря 2021 года. Основные параметры: 𝑁 = 657, 𝑇 = 657, 𝑢0 =
(︂
)︂2
2.385𝜋𝑡
6.000816111· 10−6 . Остальные параметры: 𝛼(𝑡) = 0.15, 𝑎(𝑡) = 0.4 sin
,
𝑇
)︂2
(︂
0.595𝜋𝑡
.
𝑏 = 0.15, 𝑐(𝑡) = 0.25 sin
𝑇
Пример 3.3. Новые случаи заражения в Российской Федерации. Сопоставим
результат моделирования с данными о новых случаях заражения в Россий­
ской Федерации с 31 января 2020 года по 16 сентября 2021 года, с шагом в 1
день (рис. 3.7, синяя кривая). Будем аппроксимировать входные данные моделью
(3.1) с параметрами: 𝑁 = 595,
парамет­
(︂ 𝑇 =)︂2595, 𝑢0 = 0.00006.
)︂2
(︂ Остальные
2.7𝜋𝑡
2𝜋𝑡
ры возьмём: 𝛼(𝑡) = 0.98 sin
, 𝑎(𝑡) = 0.8 sin
− 0.1, 𝑏 = 0.2,
𝑇
𝑇
)︂2
(︂
1.82𝜋𝑡
𝑐(𝑡) = 0.5 sin
+ 0.25.
𝑇
Рис. 3.7. Российская Федерация. Модельная кривая (синяя) с коэффициентом корреляции: 76, 2%
– для модели (3.1). Модельная кривая (красная) – прогноз до 31 декабря 2021 г.
Проведем предложенной моделью (3.1), прогнозирование (рис. 3.7, красная
55
кривая) по новым случаям заражения в республике Узбекистан с 16 сентября по 31
декабря 2021 года. Основные параметры: 𝑁 = 701, 𝑇 = 701, 𝑢0 = 0.00006. Осталь­
(︂
)︂2
)︂2
(︂
3.181𝜋𝑡
2.356𝜋𝑡
ные параметры возьмём: 𝛼(𝑡) = 0.98 sin
, 𝑎(𝑡) = 0.8 sin
−
𝑇
𝑇
)︂2
(︂
2.14𝜋𝑡
0.1, 𝑏 = 0.2, 𝑐(𝑡) = 0.5 sin
+ 0.25.
𝑇
Пример 3.4. Общее число зараженных в Российской Федерации. Сопоставим
результат моделирования с данными по общему числу заражённых в Российской
Федерации с 31 января 2020 года по 16 сентября 2021 года, с шагом в 1 день (рис.
3.8, синяя кривая). Будем аппроксимировать входные данные моделью (3.1) с па­
раметрами: 𝑁 = 595, 𝑇 = 595, 𝑢0(︂= 2.812680012·
10−7 . Остальные
)︂2
)︂2
(︂ параметры
3𝜋𝑡
0.33𝜋𝑡
возьмём: 𝛼(𝑡) = 0.2, 𝑎(𝑡) = 0.2 sin
, 𝑏 = 0.05, 𝑐(𝑡) = 0.25 sin
.
𝑇
𝑇
Рис. 3.8. Российская Федерация. Модельная кривая (синяя) с коэффициентом корреляции: 99, 4%
– для модели (3.1). Модельная кривая (красная) – прогноз до 31 декабря 2021 г.
Проведем предложенной моделью (3.1), прогнозирование (рис. 3.8, красная
кривая) по новым случаям заражения в Российской Федерации с 16 сентяб­
ря по 31 декабря 2021 года. Основные параметры: 𝑁 = 701, 𝑇 = 701, 𝑢0 =
(︂
)︂2
3.534𝜋𝑡
−7
2.812680012· 10 . Остальные параметры: 𝛼(𝑡) = 0.2, 𝑎(𝑡) = 0.2 sin
,
𝑇
(︂
)︂2
0.3887𝜋𝑡
𝑏 = 0.05, 𝑐(𝑡) = 0.25 sin
.
𝑇
Как видно из рис. 3.5 - 3.8 (синяя кривая) математическая модель (3.1) при
подборе соответствующих параметров моделирования: 𝛼(𝑡) и 𝑎(𝑡), 𝑏(𝑡), 𝑐(𝑡) спо­
собна давать результаты, близкие к реальным данным. Это указывает на потен­
циальную возможность применения дробных уравнений для описания процессов
56
подобного типа [90].
Так же из рис. 3.5 - 3.8 (красная кривая) видно, что модель при подборе
соответствующих параметров, также способна и дать некоторый прогноз по воз­
можному количеству новых случаев заражения, так и по возможному общему
числу заражённых [90].
Следует заметить, что подобранные параметры модели могут не отражать в
достаточной мере действительности. Фактически рассчитывался ряд модельных
кривых с различными значениями параметров моделирования, из которых по мак­
симуму коэффициента корреляции с экспериментальными выбиралась наиболее
подходящая комбинация.
Дальнейшее продолжение работы может состоять в уточнении параметров
модели в результате решения соответствующей обратной задачи, а также в их
дальнейшем осмыслении.
3.3. Моделирование динамики накопления радона в
накопительной камере
Наблюдение за полем радона в верхнем слое почвы представляет интерес
как в связи с биологической активностью этого газа при накоплении в подвалах
и на первых этажах зданий, так и с точки зрения разработки методики прогно­
за сильных землетрясений, основанной на непрерывном мониторинге объемной
активности радона в подпочвенном воздухе с высокой степенью детальности. На
сток радона в атмосферу оказывают влияние изменения метеорологических вели­
чин, обводненность и промерзание верхнего слоя грунта, изменения напряженно–
деформированного состояния геосреды.
Согласно современным представлениям, вариации региональных полей на­
пряжений, связанные с подготовкой будущего очага землетрясения, приводят к
57
изменению пористости, проницаемости, градиентов температуры и давления в
верхнем слое земной коры и, как следствие, к изменению скорости миграции ра­
дона к дневной поверхности. Таким образом, мониторинг параметров поля радона
на границе литосфера - атмосфера позволяет говорить о процессах, происходя­
щих в земной коре, которые могут вызывать аномальные вариации концентрации
радона, а также изменение плотности потока радона RFD (Radon Flux Density) с
поверхности грунта [93, 94].
На Петропавловск-Камчатском геодинамическом полигоне с 1997 г. ведется
мониторинг объемной активности радона (OA Rn) с целью поиска предвестников
сильных землетрясений [95]. Концентрация OA Rn внутри камер, установленных
на земле, регистрируется газоразрядными счетчиками.
В данной работе с помощью математического моделирования исследуется
процесс накопления радона в камере с газоразрядными счетчиками, для опреде­
ления RFD с поверхности грунта под ней.
Концентрация радона внутри камер, установленных на земле, является ре­
зультатом двух основных конкурирующих процессов: притока радона и его стока.
В этом случае процессы обусловлены наличием градиента концентрации радона в
среде и градиента давления. В первом случае формируется процесс диффузионно­
го переноса, во втором - конвективный (перенос газа в газе) или фильтрационный
(перенос газа в пористой среде).
При организации пунктов мониторинга радона необходимо знать значение
RFD с поверхности в выбранной точке, где будет установлена камера. Кроме того,
участки повышенного стока радона в атмосферу характеризуются узко локализо­
ванными зонами, поиск которых определяет необходимость быстрой оценки RFD
простым и доступным методом. Этот метод, основанный на математическом опи­
сании накопления Rn в камере согласно подходу из [96], подробно описан в [95] и
был опробован на пунктах мониторинга подпочвенных газов на Камчатке [95].
58
При математическом описании процесса накопления радона в камере в [95]
был использован ряд допущений для упрощения решения задачи, а сам процесс
накопления предполагался стационарным, когда нет резко изменяющихся условий
AER (Air Exchange Rate) и RFD с поверхности под ним. Следовательно, возмож­
ные факторы, влияющие на скорость потока, не были приняты во внимание, в
первую очередь изменения атмосферного давления и температуры. В камере, ис­
пользуемой в работе, воздухообмен с атмосферным воздухом присутствует, но
минимизирован. Из-за погодных условий (в основном из-за колебаний температу­
ры) AER будет значительно меняться.
Для более точного описания процесса накопления существующая модель бы­
ла доработана с использованием нелинейной функции, отвечающей за механизмы
поступления Rn в камеру, а также с учетом наследственности.
Математическое моделирование переноса Rn в пористой почве за счет меха­
низмов диффузии и конвекции с учетом наследственных свойств среды рассмотре­
но в [97, 98]. Такие механизмы переноса Rn в литературе называют субдиффузией
и супердиффузией или аномальной диффузией [10]. В этой работе мы рассмотрим
несколько иной наследственный процесс миграции радона в камере.
Рассмотрим следующий закон накопления объемной активности радона RVA
(Radon Volumetric Activity) в камере:
𝑑𝑢
=
𝑑𝑡
∫︁ 𝑡
𝐾(𝑡 − 𝜎)𝐹 (𝑢, 𝜎)𝑑𝜎,
𝑢(0) = 𝑢0 ,
(3.2)
0
где 𝑢(𝑡) – 𝐵𝑞/𝑚3 RVA; 𝐹 (𝑢, 𝜎)𝑑𝜎 – функция, отвечающая за механизмы поступ­
ления Rn в камеру, в общем случае может быть нелинейной; 𝐾(𝑡 − 𝜎) – функция
памяти, определяет степень влияния функции 𝐹 (𝑢, 𝜎)𝑑𝜎 на процесс накопления;
𝑢0 – в начальный момент времени 𝑡.
59
Как уже было замечено в Главе 1, когда 𝐾 – функция Дирака, в этом слу­
чае эффект памяти по аналогии с марковскими процессами отсутствует, и когда
𝐾 – функция Хевисайда, в этом случае характеризует наличие идеальной памя­
ти. В общем, функция памяти в уравнении (3.2) может быть выбрана на основе
экспериментальных данных или свойств среды.
В связи с тем, что скорость поступления радона со временем уменьшается,
чем быстрее, тем меньше AER камеры с атмосферой, то динамическую систему
(3.2) будем считать диссипативной. Здесь под диссипацией мы подразумеваем,
что система постепенно «забывает» механизмы поступления радона в камеру, т.е.
RVA со временем переходит в устойчивое состояние (насыщение). Для этого, в
диссипативной системе (3.2) функцию памяти 𝐾(𝑡 − 𝜎) можно выбрать в виде:
𝐾(𝑡 − 𝜎) =
1
,
Γ(𝛼)(𝑡 − 𝜎)1−𝛼
0 < 𝛼 ≤ 1.
(3.3)
где 𝛼 – определяет интенсивность диссипации, Γ(.) – гамма функция Эйлера (1.5),
𝑡 ∈ [0, 𝑇 ] – время, 𝑇 – модельное время.
Подставляя соотношение (3.3) в уравнение (3.2), получаем:
𝑑𝑢
𝛼
= 𝐼0𝑡
𝐹 (𝑢, 𝜎),
𝑑𝑡
1
𝛼
где 𝐼0𝑡
𝐹 (𝑢, 𝜎) =
Γ(𝛼)
∫︁ 𝑡
𝑢(0) = 𝑢0 ,
(3.4)
𝐹 (𝑢, 𝜎)
𝑑𝜎 – дробный интеграл порядка 𝛼. Если мы
(𝑡 − 𝜎)1−𝛼
0
обратим уравнение (3.4) с учетом композиционного свойства дробного интеграла
[7], мы получим следующее уравнение:
𝛼
𝜕0𝑡
𝑢(𝜎) = 𝐹 (𝑢, 𝜎),
60
𝑢(0) = 𝑢0 ,
(3.5)
где
1
𝛼
𝜕0𝑡
𝑢(𝜎) =
Γ(1 − 𝛼)
∫︁ 𝑡
𝑢(𝜎)
˙
𝑑𝜎,
(𝑡 − 𝜎)𝛼
(3.6)
0
это дробная производная Герасимова-Капуто постоянного 0 < 𝛼 < 1 порядка
[37, 38], согласно замечанию определения 2, а 𝑢˙ =
𝑑𝑢
𝑑𝑡 .
Отметим, что если в (3.5) выбрать функцию 𝐹 (𝑢, 𝜎) = 𝑆𝐷 − 𝜆0 𝑢(𝑡), где 𝜆0
– кратность воздухообмена AER, 𝑆𝐷 = 𝜆0 𝑢𝑚𝑎𝑥 – диффузионный механизм про­
(︁
)︁
^
никновения RVA, 𝑢𝑚𝑎𝑥 = max 𝑢(𝑡) – максимальное наблюдаемое значение RVA
𝑡
^ мы получим
на некотором [0, 𝑇 ] времени, получаемое из входных данных 𝑢(𝑡),
результаты работы [99, 100, 101].
Теперь же, выберем более общую функцию: 𝐹 (𝑢, 𝜎) = −𝑎(𝑡)𝑢(𝑡)2 + 𝜆0 𝑢(𝑡) +
𝑐(𝑡), где 𝑎(𝑡) = 𝑐(𝑡) – функции непрерывные на отрезке [0, 𝑇 ]. Необходимо от­
метить, первое слагаемое в функции 𝐹 (𝑢, 𝜎) отвечает за замедление накопление
радона в камере. Тогда приходим к следующей задаче Коши:
𝛼
𝜕0𝑡
𝑢(𝜎) + 𝑎(𝑡)𝑢2 (𝑡) − 𝑏(𝑡)𝑢(𝑡) − 𝑐(𝑡) = 0,
𝑢(0) = 𝑢0 ,
(3.7)
рассмотренной в работе [102].
Также необходимо отметить известную классическую модель накопления ра­
дона с рядом допущений для упрощения решения задачи, за авторством Фирстова
П.П. и Макарова Е.О. [95]:
(︀
)︀
𝑢(𝑡) = 𝑢𝑚𝑎𝑥 1 − 𝑒−𝜆0 𝑡 + 𝑢0 𝑒−𝜆0 𝑡 .
(3.8)
Теперь проведём сопоставление: исходных данных, предложенной модели
(3.7) и классической модели (3.8).
В качестве исходных данных для моделирования использовались данные о
61
накоплении радона в камерах во многих точках наблюдения. В частности: в точке
PRTR (Камчатка), точке YSSR на острове Сахалин [103] а также ГЛЛ (Камчатка)
[95]. В этих точках велась непрерывная регистрация радона в камерах на глу­
бине от 1 до 3 м [95]. Камеры представляют собой ведро объемом 10 литров. В
эту камеру через специальную трубу помещается датчик радона. Минимальный
воздухообмен между камерой и атмосферой также осуществляется через трубу.
Для исходных данных и результатов моделирования проведена нормировка ОА Rn
(𝐵𝑞/𝑚3 ) на максимум, поэтому величины на графиках указаны в относительных
единицах.
Пример 3.5. Точка наблюдения МР3, камера 1. Будем аппроксимировать вход­
ные данные при общих параметрах: 𝑁 = 46, 𝑇 = 46, 𝑢𝑚𝑎𝑥 = 1, 𝑢0 = 0.2979249012,
𝜆0 = 0.1. Предлагаемой моделью (3.7) при 𝛼 = 0.95 с остальными параметрами:
𝑎 = 𝜆0 𝑢𝑚𝑎𝑥 , 𝑏 = 0.001, 𝑐 = 𝜆0 𝑢𝑚𝑎𝑥 . И классической моделью (3.8).
Рис. 3.9. Пример 3.5. Коэффициент корреляции: 89.9% – для предлагаемой (3.7) модели (синяя),
и 86.9% – для классической (3.8) модели (черная)
Пример 3.6. Точка наблюдения МР3, камера 2. Будем аппроксимировать вход­
ные данные при параметрах: 𝑁 = 46, 𝑇 = 46, 𝑢𝑚𝑎𝑥 = 1, 𝑢0 = 0.3353140047,
𝜆0 = 0.085. Предлагаемой моделью (3.7) при 𝛼 = 0.85 с остальными параметра­
ми: 𝑎 = 𝜆0 𝑢𝑚𝑎𝑥 , 𝑏 = 0.001, 𝑐 = 𝜆0 𝑢𝑚𝑎𝑥 . И классической моделью (3.8).
62
Рис. 3.10. Пример 3.6. Коэффициент корреляции: 98.6% – для предлагаемой (3.7) модели (синяя),
и 99% – для классической (3.8) модели (черная)
Пример 3.7. Точка наблюдения ПРТ, камера 1. Будем аппроксимировать вход­
ные данные при параметрах: 𝑁 = 2700, 𝑇 = 45, 𝑢𝑚𝑎𝑥 = 1, 𝑢0 = 0.2554126137,
𝜆0 = 0.1. Предлагаемой моделью (3.7) при 𝛼 = 0.95 с остальными параметрами:
𝑎 = 𝜆0 𝑢𝑚𝑎𝑥 , 𝑏 = 0.001, 𝑐 = 𝜆0 𝑢𝑚𝑎𝑥 . И классической моделью (3.8).
Рис. 3.11. Пример 3.7. Коэффициент корреляции: 97.9% – для предлагаемой (3.7) модели (синяя),
и 96% – для классической (3.8) модели (черная)
Пример 3.8. Точка наблюдения ПРТ, камера 2. Будем аппроксимировать вход­
ные данные при параметрах: 𝑁 = 2640, 𝑇 = 44, 𝑢𝑚𝑎𝑥 = 1, 𝑢0 = 0.3813700918,
𝜆0 = 0.1. Предлагаемой моделью (3.7) при 𝛼 = 0.95 с остальными параметрами:
𝑎 = 𝜆0 𝑢𝑚𝑎𝑥 , 𝑏 = 0.001, 𝑐 = 𝜆0 𝑢𝑚𝑎𝑥 . И классической моделью (3.8).
63
Рис. 3.12. Пример 3.8. Коэффициент корреляции: 98% – для предлагаемой (3.7) модели (синяя), и
95% – для классической (3.8) модели (черная)
Пример 3.9. Точка наблюдения ПРТ, камера 3. Будем аппроксимировать вход­
ные данные при параметрах: 𝑁 = 2700, 𝑇 = 45, 𝑢𝑚𝑎𝑥 = 1, 𝑢0 = 0.3081783500,
𝜆0 = 0.1. Предлагаемой моделью (3.7) при 𝛼 = 0.95 с остальными параметрами:
𝑎 = 𝜆0 𝑢𝑚𝑎𝑥 , 𝑏 = 0.001, 𝑐 = 𝜆0 𝑢𝑚𝑎𝑥 . И классической моделью (3.8).
Рис. 3.13. Пример 3.9. Коэффициент корреляции: 98.2% – для предлагаемой (3.7) модели (синяя),
и 96.4% – для классической (3.8) модели (черная)
Пример 3.10. Точка наблюдения ПРТ 21, камера 1. Будем аппроксимировать
входные данные при параметрах: 𝑁 = 97, 𝑇 = 97, 𝑢𝑚𝑎𝑥 = 1, 𝑢0 = 0.7189650259,
𝜆0 = 0.045. Предлагаемой моделью (3.7) при 𝛼 = 0.85 с остальными параметра­
ми: 𝑎 = 𝜆0 𝑢𝑚𝑎𝑥 , 𝑏 = 0.001, 𝑐 = 𝜆0 𝑢𝑚𝑎𝑥 . И классической моделью (3.8).
64
Рис. 3.14. Пример 3.10. Коэффициент корреляции: 96.1% – для предлагаемой (3.7) модели (синяя),
и 96.8% – для классической (3.8) модели (черная)
Пример 3.11. Точка наблюдения ПРТ 21 т.поток, камера 1. Будем аппрок­
симировать входные данные при параметрах: 𝑁 = 121, 𝑇 = 121, 𝑢𝑚𝑎𝑥 = 1,
𝑢0 = 0.7189650259, 𝜆0 = 0.045. Предлагаемой моделью (3.7) при 𝛼 = 0.85 с
остальными параметрами: 𝑎 = 𝜆0 𝑢𝑚𝑎𝑥 , 𝑏 = 0.001, 𝑐 = 𝜆0 𝑢𝑚𝑎𝑥 . И классической
моделью (3.8).
Рис. 3.15. Пример 3.11. Коэффициент корреляции: 96.5% – для предлагаемой (3.7) модели (синяя),
и 97.1% – для классической (3.8) модели (черная)
Пример 3.12. Точка наблюдения ПРТ 21 т.поток, камера 2. Будем аппрок­
симировать входные данные при параметрах: 𝑁 = 121, 𝑇 = 121, 𝑢𝑚𝑎𝑥 = 1,
𝑢0 = 0.8117815770, 𝜆0 = 0.04. Предлагаемой моделью (3.7) при 𝛼 = 0.8 с осталь­
ными параметрами: 𝑎 = 𝜆0 𝑢𝑚𝑎𝑥 , 𝑏 = 0.001, 𝑐 = 𝜆0 𝑢𝑚𝑎𝑥 и классической моделью
(3.8).
65
Рис. 3.16. Пример 3.12. Коэффициент корреляции: 92.5% – для предлагаемой (3.7) модели (синяя),
и 93.7% – для классической (3.8) модели (черная)
Пример 3.13. Точка наблюдения Сахалин, камера 1. Будем аппроксимиро­
вать входные данные при параметрах: 𝑁 = 320, 𝑇 = 160, 𝑢𝑚𝑎𝑥 = 1, 𝑢0 =
0.2383330133, 𝜆0 = 0.06. Предлагаемой моделью (3.7) при 𝛼 = 0.9 с остальными
параметрами: 𝑎 = 𝜆0 𝑢𝑚𝑎𝑥 , 𝑏 = 0.001, 𝑐 = 𝜆0 𝑢𝑚𝑎𝑥 . И классической моделью (3.8).
Рис. 3.17. Пример 3.13. Коэффициент корреляции: 98.6% – для предлагаемой (3.7) модели (синяя),
и 98.9% – для классической (3.8) модели (черная)
Пример 3.14. Точка наблюдения ГЛЛ поток, камера 2. Будем аппроксими­
ровать входные данные при параметрах: 𝑁 = 657, 𝑇 = 1314, 𝑢𝑚𝑎𝑥 = 1,
𝑢0 = 0.2407407407, 𝜆0 = 0.01. Предлагаемой моделью (3.7) при 𝛼 = 0.85 с
остальными параметрами: 𝑎 = 𝜆0 𝑢𝑚𝑎𝑥 , 𝑏 = 0.001, 𝑐 = 𝜆0 𝑢𝑚𝑎𝑥 . И классической
моделью (3.8).
66
Рис. 3.18. Пример 3.14. Коэффициент корреляции: 92% – для предлагаемой (3.7) модели (синяя),
и 90% – для классической (3.8) модели (черная)
Пример 3.15. Точка наблюдения ГЛЛ поток, камера 1. Будем аппроксими­
ровать входные данные при параметрах: 𝑁 = 657, 𝑇 = 1314, 𝑢𝑚𝑎𝑥 = 1,
𝑢0 = 0.4844827586, 𝜆0 = 0.1. Предлагаемой моделью (3.7) при 𝛼 = 0.25 с осталь­
(1 − 𝜆0 𝑢𝑚𝑎𝑥 )𝑡
(1 − 𝜆0 𝑢𝑚𝑎𝑥 )𝑡
ными параметрами: 𝑎(𝑡) =
, 𝑏 = 0.001, 𝑐(𝑡) =
.И
𝑇
𝑇
классической моделью (3.8).
Рис. 3.19. Пример 3.15. Коэффициент корреляции: 89.7% – для предлагаемой (3.7) модели (синяя),
и 17% – для классической (3.8) модели (черная)
Показано, что предложенная модель из [102] с учётом нелинейности (3.7),
может за счет дополнительных параметров: интенсивности диссипации механиз­
ма накопления - давать результаты [102], более близкие к реальным данным, по
сравнению с известной моделью (3.8) из [95].
67
Заключение
В заключение монографии можно сделать следующие выводы по результатам
исследований:
1. Предложена математическая модель для описания процессов с насыщением
на основе дробного уравнения Риккати с непостоянными коэффициентами
и производной дробного переменного порядка типа Герасимова-Капуто;
2. Предложены численные методы решения математической модели: нелокаль­
ная явная конечно-разностная схема (EFDS), нелокальная неявная конечно–
разностная схема (IFDS) и модифицированный метод Ньютона (MNM) для
решения IFDS;
3. Исследуются вопросы аппроксимации, устойчивости и сходимости методов.
Показано, что EFDS условно сходятся с первым порядком точности 𝑂(𝜏 ).
IFDS устойчив и имеет порядок сходимости 𝑂(𝜏 2−̂︀𝛼 );
4. Проведена оценка порядка вычислительной точности предложенных чис­
ленных методов по правилу Рунге, а также в сравнении с точным решением.
Показано, что порядок расчетной точности численных методов приближа­
ется к теоретическому порядку точности с увеличением узлов расчетной
сетки;
5. Разработана библиотека в среде символьной математики Maple 2021, ко­
торая содержит процедуры для численного анализа дробного уравнения
Риккати с производной переменного дробного порядка типа Герасимова–
Капуто и непостоянными коэффициентами с возможностью визуализации
результатов моделирования;
6. Рассмотрены различные приложения дробного уравнения Риккати для мо­
68
делирования динамических процессов с насыщением: динамика солнечной
активности, динамика накопления радона в накопительной камере и динами­
ка распространения короновирусной инфекции Covid-19 в Республике Уз­
бекистан и Российской Федерации. С помощью экспериментальных данных,
описанных выше процессов, были наилучшим образом определены парамет­
ры предложенной математической модели, что указывает на ее адекватность
и применимость к процессам насыщения с учетом динамической памяти.
69
Словарь терминов
MNM — Модифицированный метод Ньютона.
EFDS — Явная конечно-разностная схема.
IFDS — Неявная конечно-разностная схема.
SA — Солнечная активность.
RVA — Объёмная активность Радона.
RFD — Плотность потока радона.
AER — Коэффициент воздухообмена.
70
Список литературы
1. В. Е. Назаров, С. Б. Кияшко. Волновые процессы в средах с неупругим гисте­
резисом с насыщением нелинейных потерь // Изв. вузов. Радиофизика. 2016.
Т. 59, № 2. С. 124–136.
2. А. А. Куркин, О. Е. Куркина, Е. Н. Пеленовский. Логистические модели
распространения эпидемий // Труды НГТУ им. Р.Е. Алексеева. 2020. Т. 129,
№ 2. С. 9–18. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=43017878.
3. V. Volterra. Functional theory, integral and integro-differential equations.
Moscow: Science, 1982.
4. В. В. Учайкин. Метод дробных производных. Ульяновск: Артишок, 2008.
С. 510. ISBN: 9785904198015.
5. А. М. Нахушев. Дробное исчисление и его применение. Физматлит, 2003.
С. 272. ISBN: 5-9221-0440-3.
6. M. D. Ortigueira, J. T. Machado. What is a fractional derivative? // Journal of
computational Physics. 2015. Vol. 321. P. 4–13.
7. A. A. Kilbas, H. M. Srivastava, J. J. Trujillo. Theory and Applications of Fractional
Differential Equations. Amsterdam: Elsevier Science Limited, 2006. Vol. 204.
P. 523. ISBN: 9780444518323.
8. K. Oldham, J. Spanier. The fractional calculus theory and applications of differen­
tiation and integration to arbitrary order. London: Academic Press, 1974. P. 240.
ISBN: 9780125255509.
9. K. S. Miller, B. Ross. An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Dif­
ferential Equations. New York, United States: A Wiley-Interscience publication,
1993. P. 384. ISBN: 9780471588849.
10. V. V. Uchaikin. Fractional Derivatives for Physicists and Engineers. Vol. I.
Background and Theory. Berlin, Heidelberg: Springer, 2013. P. 373. IS­
BN: 978-3-642-33911-0.
11. M. D. Ortigueira, D. Valerio, J. T. Machado. Variable order fractional systems //
71
Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2019. Vol. 71.
P. 231–243.
12. S. Momani, Shawagfeh N. Decomposition method for solving fractional Riccati
differential equations // Applied Mathematics and Computation. 2006. Vol. 182.
P. 1083–1092.
13. Y. Tan, Abbasbandy S. Homotopy analysis method for quadratic Riccati differential
equation // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation.
2008. Vol. 13. P. 539–546.
14. H. Jafari, Tajadodi H. He’s variational iteration method for solving fractional
Riccati differential equation // International Journal of Differential Equations.
2010. Vol. 2010. P. 1–8.
15. N. A. Khan, A. Ara, M. Jamil. An efficient approach for solving the Riccati equation
with fractional orders // Computers and Mathematics with Applications. 2011.
Vol. 61, no. 9. P. 2683–2689.
16. N. H. Sweilam, M. M. Khader, A.M. S. Mahdy. Numerical studies for solving
fractional Riccati differential equation // Applications and Applied Mathematics.
2012. Vol. 7, no. 2. P. 595–608.
17. M. Merdan. On the solutions fractional Riccati differential equation with modified
Riemann-Liouville derivative // International Journal of differential equations.
2012. Vol. 2012. P. 1–17.
18. M. M. Khader. Numerical treatment for solving fractional Riccati differential
equation // Journal of the Egyptian Mathematical Society. 2013. Vol. 21, no. 1.
P. 32–37.
19. M. M. Khader, A. M. S. Mahdy, E. S. Mohamed. On approximate solutions for
fractional Riccati differential equation // International Journal of Engineering and
Applied Sciences. 2014. Vol. 4, no. 9.
20. S. S. Ezz-Eldien. On solving fractional logistic population models with appli­
cations // Computational and Applied Mathematics. 2018. Vol. 37, no. 5.
P. 6392–6409.
72
21. N. A. Khan, A. Ara, N. A. Khan. Fractional-order Riccati differential equation: an­
alytical approximation and numerical results // Advances in Difference Equations.
2013. Vol. 185, no. 2013.
22. Y. Salehi, M. T. Darvishi. An investigation of fractional Riccati differential equa­
tion // International Journal for Light and Electron Optics. 2016. Vol. 127, no. 23.
P. 11505–11521.
23. H. Aminikhah, A. H. R. Sheikhani, H. Rezazadeh. Approximate analytical so­
lutions of distributed order fractional Riccati differential equation // Ain Shams
Engineering Journal. 2018. Vol. 9, no. 4. P. 581–588.
24. M. I. Syam, A. Alsuwaidi, A. Alneyadi et al. Implicit hybrid methods for solving
fractional Riccati equation // Journal of Nonlinear Sciences and Applications
(JNSA). 2019. Vol. 12, no. 2. P. 124–134.
25. M. M. Khader, N. H. Sweilam, Kharrat B. N. Numerical Simulation for Solving
Fractional Riccati and Logistic Differential Equations as a Difference Equation //
Applications and Applied Mathematics. 2020. Vol. 15, no. 1. P. 37. URL:
https://digitalcommons.pvamu.edu/aam/vol15/iss1/37/.
26. M. Cai, C. Li. Numerical approaches to fractional integrals and derivatives: a
review // Mathematics. 2020. Vol. 8, no. 1. P. 43.
27. M. Cai, C. Li. Theory and numerical approximations of fractional integrals and
derivatives. Society for Industrial and Applied Mathematics, 2020. P. 317. IS­
BN: 9781611975888.
28. В. Вольтера. Математическая теория борьбы за существование // Успехи
физических наук. 1928. Т. 8, № 1. С. 13–34.
29. Р. И. Паровик. Математическое моделирование линейных эредитарных ос­
цилляторов. Петропавловск-Камчатский: КамГУ имени Витуса Беринга,
2015. С. 137. ISBN: 978-5-7968-0672-2.
30. А. В. Псху. Уравнения в частных производных дробного порядка. Москва:
Наука, 2005. С. 199. ISBN: 5020337218.
31. М. О. Мамчуев. Краевые задачи для уравнений и систем уравнений с част­
73
ными производными дробного порядка. Нальчик: Изд-во КБНЦ РАН, 2015.
С. 200.
32. В. Х. Шогенов, А. А. Ахкубеков, Р. А. Ахкубеков. Метод дробного дифферен­
цирования в теории броуновского движения // Известия высших учебных
заведений. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2004. № 1.
С. 46–50.
33. A. L. Méhauté, R. R. Nigmatullin, L. Nivanen. Flèches du temps et géométrie
fractale. Hermes, 1998. P. 348. ISBN: 9782866016821. URL: https://books.
google.ru/books?id=uS44PQAACAAJ.
34. Я. Л. Кобелев. Феноменологические модели описания больших систем
с фрактальными структурами: дисс. канд. физ.-мат. наук / УРГУ им.
А.М.Горького. 2001.
35. H. Sun, W. Chen, H. Wei, Y. Q. Chen. A comparative study of constant-order and
variable-order fractional models in characterizing memory property of systems //
The European Physical Journal-Special Topics. 2011. Vol. 193, no. 1. P. 185–192.
36. H. Sun, W. Chen, C. Li, Y. Chen. Finite difference schemes for variable-order time
fractional diffusion equation // International Journal of Bifurcation and Chaos.
2012. Vol. 22, no. 04. P. 1250085.
37. A. N. Gerasimov. Generalization of linear deformation laws and their application
to internal friction problems // AS USSR. Applied Mathematics and Mechanics.
1948. Vol. 12. P. 529–539.
38. M. Caputo. Linear models of dissipation whose Q is almost frequency independent
– II // Geophysical Journal International. 1967. Vol. 13, no. 5. P. 529–539.
39. M. Caputo. Elasticita e Dissipazione. Zanichelli, Bologna, 1969. P. 150. URL:
https://lccn.loc.gov/76393473.
40. R. I. Parovik. Mathematical models of oscillators with memory // Oscillators-Re­
cent Developments. 2019. P. 3–21.
41. Parovik R. I. On a finite-difference scheme for an hereditary oscillatory equation //
Journal of Mathematical Sciences. 2021. Vol. 253, no. 4. P. 547–557.
74
42. Parovik R. I. Explicit finite-difference scheme for the numerical solution of the
model equation of nonlinear hereditary oscillator with variable-order fractional
derivatives // Archives of Control Sciences. 2016. Vol. 26, no. 3. P. 429–435.
43. Parovik R. I. Mathematical modeling of linear fractional oscillators // Mathematics.
2020. Vol. 8, no. 11. P. 18–79.
44. R. I. Parovik, D. A. Tverdyi. Some Aspects of Numerical Analysis for a Model
Nonlinear Fractional Variable Order Equation // Mathematical and Computational
Applications. 2021. Vol. 26, no. 3. P. 55.
45. A. Torres-Hernandez, et al. Fractional Newton–Raphson Method Accelerated with
Aitken’s Method // Axioms. 2021. Vol. 10, no. 2. P. 47.
46. D. A. Tvyordyj. Hereditary Riccati equation with fractional derivative of variable
order // Journal of Mathematical Sciences. 2021. Vol. 253, no. 4. P. 564–572.
47. R. Garrappa. Numerical Solution of Fractional Differential Equations: A Survey
and a Software Tutorial // Mathematics. 2018. Vol. 6, no. 2. P. 16.
48. H. Sun, et al. Finite difference schemes for variable-order time fractional diffusion
equation // International Journal of Bifurcation and Chaos. 2012. Vol. 22, no. 04.
P. 1250085.
49. Р. И. Паровик, Д. А. Твёрдый. Некоторые аспекты численного анализа для
модельного нелинейного уравнения дробного переменного порядка // Тезисы
докладов Республиканской научной конференции с участием зарубежных
ученых «Сарымсаковские чтения», г.Ташкент, Узбекистан, 16 сентября.
2021. С. 115–117.
50. Д. А. Твёрдый, Р. И. Паровик, О. Д. Липко. Исследование свойств широкого
класса фрактальных осцилляторов и их возможные приложения // отчет о
НИР/НИОКР по гранту АААА-А17-117031050058-9. 2018. С. 71. URL:
https://elibrary.ru/item.asp?id=37078706.
51. Д. А. Твёрдый, Р. И. Паровик, О. Д. Липко, В. А. Ким. Применение дробного
исчисления в теории колебательных процессов // отчет о НИР/НИОКР по
гранту МК-1152.2018.1. 2019. С. 85. URL: https://elibrary.ru/item.
75
asp?id=42819877.
52. A. V. Korotayev, L. E. Grinin. Kondratieff waves in the world system perspective //
Kondratieff waves. Dimensions and prospects at the dawn of the 21st century.
2012. P. 23–64.
53. Программа для численного решения задачи Коши для дробного уравне­
ния Риккати с непостоянными коэффициентами и производной переменного
дробного порядка FDRE 2.0 [Программа]: свидетельство о государственной
регистрации программы для ЭВМ 2021666570 Рос. Федерация / . . Твёр­
дый ; ФГБОУ ВО «Камчатский государственный университет имени Витуса
Беринга»; Бюл. № 1. 24 с. : ил.
54. Д. А. Твёрдый, Р. И. Паровик. Программа численного расчета задачи Ко­
ши для уравнения Риккати c производной дробного переменного поряд­
ка // Фундаментальные исследования. 2017. Т. 1, № 8. С. 98–103. URL:
http://www.fundamental-research.ru/ru/article/view?id=41628.
55. Программа для численного решения задачи Коши для дифференциального
уравнения Риккати с производной переменного дробного порядка NSFDRE
1.0 [Программа]: свидетельство о государственной регистрации програм­
мы для ЭВМ 2018666891 Рос. Федерация / . Д. А. ; ФГБОУ ВО «Камчат­
ский государственный университет имени Витуса Беринга»; Бюл. № 1. URL:
https://elibrary.ru/item.asp?id=39308282. 40 с. : ил.
56. Программа для численного решения задачи Коши для эредитарного уравне­
ния Риккати с непостоянными коэффициентами и производной переменного
дробного порядка FDRE 1.0 [Программа]: свидетельство о государственной
регистрации программы для ЭВМ 2021617317 Рос. Федерация / . . Твёр­
дый ; ФГБОУ ВО «Камчатский государственный университет имени Витуса
Беринга»; Бюл. № 1. 23 с. : ил.
57. Д. А. Твёрдый. Задача Коши для уравнения Риккати с непостоянными коэф­
фициентами и учетом переменной степенной памяти // Вестник КРАУНЦ.
Физико-математические науки. 2018. Т. 23, № 3. С. 148–157.
76
58. Д. А. Твёрдый. Задача Коши для уравнения Риккати с модифицированной
дробной производной Герасимова-Капуто переменного порядка // Пробле­
мы вычислительной и прикладной математики, Научно-инновационный
центр информационно-коммуникационных технологий (Ташкент, Узбеки­
стан). 2020. Т. 27, № 3. С. 90–103. URL: https://elibrary.ru/item.asp?
id=43031262.
59. Д. А. Твёрдый. Исследование эредитарной динамической системы риккати
с модификацией дробно-дифференциального оператора типа Герасимова–
Капуто // Abstracts of the Uzbekistan-Malaysia international online conference
«Computational models and technologies», Tashkent, Uzbekistan, 24-25 autumn.
2020. С. 60–61. URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=43935217.
60. Д. А. Твёрдый. Исследование эредитарной динамической системы Рикка­
ти с модификацией дробно-дифференциального оператора Герасимова –
Капуто // Сборник материалов VIII Международной научно-технической
конференции «Информационные технологии в науке, образовании и про­
изводстве», г. Белгород, 20–25 сентября.
2020.
С. 444–451.
URL:
https://www.elibrary.ru/item.asp?id=44512672.
61. Д. А. Твёрдый. Численный анализ задачи Коши для эредитарного уравнения
Риккати с непостоянными коэффициентами на основе производной перемен­
ного порядка Грюнвальда-Летникова // Тезисы докладов республиканской
научной конференции с участием зарубежных ученых «Cовременные ме­
тоды математической физики и их приложения», г.Ташкент, Узбекистан,
17-18 ноября. 2020. С. 283–287. URL: https://www.elibrary.ru/item.
asp?id=44229247.
62. Д. А. Твёрдый, Р. И. Паровик. Исследование задачи Коши для эредитар­
ного уравнения Риккати с непостоянными коэффициентами // отчет о
НИР/НИОКР по гранту АААА-А20-120102690002-5. 2021. С. 26. URL:
https://www.elibrary.ru/item.asp?id=44833167.
63. Твёрдый Д. А. Численный анализ эредитарного уравнения Риккати с моди­
77
фицированными дробными операторами Герасимова-Капуто // Тезисы меж­
дународной научно-практической конференции «Cовременные проблемы
прикладной математики и информационных технологий», г.Бухара, Узбе­
кистан, 15 апреля. 2021. С. 28–30.
64. D. A. Tverdyi, R. I. Parovik. Research of the Hereditary Dynamic Riccati System
with Modification Fractional Differential Operator of Gerasimov-Caputo // AIP
Conference Proceedings. 2021. Vol. 2365. P. 020011.
65. D. A. Tverdyi, R. I. Parovik. Application of the fractional Riccati equation to the
description of dynamic processes with saturation and heredity // Abstract of the
VII international scientific conference conference modern problems of applied
mathematics and information technologies Al-Khwarizmi 2021 dedicated to the
100th anniversaryof the academician Vasil Kabulovich Kabulov, 15-17 November,
2021, Fergana, Uzbekistan. 2021. P. 65.
66. Д. А. Твёрдый, Р. И. Паровик. Применение модифицированного метода нью­
тона к решению дробного уравнения Риккати с производной дробного пере­
менного порядка // Сборник докладов республиканской научно-технической
конференции «Современное состояние и перспективы применения цифро­
вых технологий и искусственного интелекта», г.Ташкент, Узбекистан, 6
сентября. 2021. Т. 2. С. 72–83. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=
46568782.
67. В. Д. Кокоуров. Особенности солнечно-земных связей в 1900-2000 гг // Сол­
нечно-земная физика. 2005. № 7. С. 76–82.
68. М. И. Пудовкин. Влияние солнечной активности на состояние нижней ат­
мосферы и погоду // Соросовский образовательный журнал. 1996. № 10.
С. 106–113.
69. В. Феллер. Физика земли. Космические воздействия на геосистемы 2-е изд.
Litres, 2021. С. 268.
70. Royal Observatory of Belgium (ROB) Av. Circulaire 3 B-1180 Brussels. Sunspot
Index and Long-term Solar Observations. URL: http://www.sidc.be/silso/
78
home.
71. А. В. Бураев. Некоторые аспекты математического моделирования регио­
нальных проявлений солнечной активности и их связи с экстремальными
геофизическими процессами // Доклады Адыгской (Черкесской) Между­
народной Академии Наук. 2010. Т. 12, № 1. С. 88–90. URL: https:
//elibrary.ru/item.asp?id=16950585.
72. М. Я. Постан. Обобщенная логистическая кривая: ее свойства и оценка
параметров // Экономика и математические методы. 1993. Т. 29, № 2.
С. 305–310.
73. Д. А. Твёрдый, Р. И. Паровик. Математическое моделирование некоторых ло­
гистических законов с помощью эредитарной динамической системы Рикка­
ти // Материалы XI Всероссийской научной конференции с международным
участием «Математическое моделирование и краевые задачи», Самара,
27-30 мая. 2019. Т. 1. С. 348–352. URL: https://elibrary.ru/item.asp?
id=38559786.
74. Drozdyuk A. V. Logistic curve.
Toronto: Choven, 2019.
P. 270.
IS­
BN: 978-0-9866300-2-6.
75. Д. А. Твёрдый, Р. И. Паровик. Математическое моделирование динамики
солнечной активности c помощью дробного уравнения Риккати с переменной
эредитарностью // Материалы VI Международной научной конференции.
ИПМА КБНЦ РАН, г. Нальчик, Россия, 5-9 декабря. 2021. С. 155. URL:
https://www.elibrary.ru/item.asp?id=47344602.
76. Д. А. Твёрдый. Нелокальная задача Коши для уравнения риккати с производ­
ной дробного порядка как математическая модель динамики солнечной ак­
тивности // Известия Кабардино-Балкарского научного центра РАН. 2020.
Т. 93, № 1. С. 57–62.
77. Д. А. Твёрдый, Р. И. Паровик. Математическое моделирование некоторых
физических процессов с помощью эредитарного уравнения Риккати // отчет
о НИР/НИОКР по гранту 19-31-50027молнр. 2020. С. 33. URL: https:
79
//elibrary.ru/item.asp?id=43103724.
78. Д. А. Твёрдый. Нелокальная математическая модель Риккати и показатель
Херста для исследования динамики 23 и 24 циклов солнечной активности
на стадии подъема // Тезисы докладов 15 владикавказской молодежной ма­
тематической школы, г. Владикавказ, ЮМИ ВНЦ РАН, 20–25 сентября.
2020. Т. 13. С. 330–331. URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=
44822328.
79. Программа MMDCSA - математическое моделирование динамики циклов
солнечной активности [Программа]: свидетельство о государственной реги­
страции программы для ЭВМ 2020610672 Рос. Федерация / . Д. А. ; ФГБУН
Институт космофизических исследований и распространения радиоволн
ДВО РАН; Бюл. № 1. URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=42498534.
20 с. : ил.
80. T.M. Chen, J. Rui, Q.P. Wang. A mathematical model for simulating the
phase-based transmissibility of a novel coronavirus // Infectious diseases of pover­
ty. 2020. Vol. 9, no. 24. P. 1–8.
81. R. Alguliyev, R. Aliguliyev, F. Yusifov. Graph modelling for tracking the COVID-19
pandemic spread // Eurasian journal of clinical sciences. 2021. Vol. 3, no. 1.
P. 1–14.
82. R. P. Yadav, R. Verma. A numerical simulation of fractional order mathematical
modeling of COVID-19 disease in case of Wuhan China // Chaos Solitons Fractals.
2020. Vol. 140. P. 110124.
83. P. Kumar, V. Suat Erturk. A case study of Covid-19 epidemic in India via new
generalised Caputo type fractional derivatives // Math Methods Appl Sci. 2021.
84. Z. Ahmad, M. Arif, A. Farhad et al. A Report on COVID-19 Epidemic in Pakistan:
An SEIR Fractional Model // Scientific Reports. 2020. Vol. 10, no. 22268. P. 1–14.
85. M. Mohammad, A. Trounev. On the dynamical modeling of COVID-19 involv­
ing Atangana–Baleanu fractional derivative and based on Daubechies framelet
simulations // Chaos, Solitons and Fractals. 2020. Vol. 140. P. 110171.
80
86. D. Baleanu, H. Mohammadi, S. Rezapour. A fractional differential equation mod­
el for the COVID-19 transmission by using the Caputo–Fabrizio derivative //
Advances in difference equations. 2020. no. 299. P. 1–27.
87. M. Higazy, F. M. Allehiany, E. E. Mahmoud. Numerical study of fractional order
COVID-19 pandemic transmission model in context of ABO blood group // Results
in Physics. 2021. Vol. 22. P. 103852.
88. F. Ndairou, D. F. M. Torres. Mathematical Analysis of a Fractional COVID-19
Model Applied to Wuhan, Spain and Portugal // Axioms. 2021. Vol. 10, no. 3.
P. 135.
89. M. Mohammad, A. Trounev, C. Cattani. The dynamics of COVID-19 in the UAE
based on fractional derivative modeling using Riesz wavelets simulation // Ad­
vances in Difference Equations. 2021. Vol. 2021, no. 115. P. 1–14.
90. D. A. Tverdyi, R. I. Parovik. Fractional Riccati equation to model the dynamics of
COVID-19 coronovirus infection // Journal of Physics: Conference Series. 2021.
Vol. 2094, no. 3. P. 032042.
91. for Systems Science Center, at Johns Hopkins University (JHU) Engineer­
ing (CSSE). Data on COVID-19 (coronavirus) by Our World in Data. URL:
https://github.com/owid/covid-19-data/tree/master/public/data.
92. H. Ritchie, E. Mathieu, L. Rod’s-Guirao et al. Coronavirus Pandemic
(COVID-19) // Our World in Data. 2020. URL: https://ourworldindata.
org/coronavirus.
93. E. O. Makarov, P. P. Firstov. Reaction of radon in soil and groundwater to stress-s­
train state of the Earth’s crust // Seismic instruments. 2015. Vol. 51, no. 4.
P. 58–80.
94. R. D. Cicerone, J. E. Ebel, J. Beitton. A systematic compilation of earthquake
precursors // Tectonophysics. 2009. Vol. 476, no. 3-4. P. 371–396.
95. П. П. Фирстов, Е. О. Макаров. Динамика подпочвенного радона на Кам­
чатке и сильные землетрясения. Петропавловск-Камчатский: Камчатский
государственный университет им. Витуса Беринга, 2018. С. 148. URL:
81
https://elibrary.ru/item.asp?id=37194498.
96. A. V. Vasilyev, M. V. Zhukovsky. Determination of mechanisms and parameters
which affect radon entry into a room // Journal of Environmental Radioactivity.
2013. Vol. 124. P. 185–190.
97. R. I. Parovik, B. M. Shevtsov. Radon transfer processes in fractional structure
medium // Mathematical Models and Computer Simulations. 2010. Vol. 2, no. 2.
P. 180–185.
98. R. I. Parovik. Mathematical modeling of radon sub diffusion into the cylindrical
layer in ground // Life Science Journal. 2015. Vol. 11, no. 9. P. 281–283.
99. Д. А. Твёрдый, Р. И. Паровик, Е. О. Макаров, П. П. Фирстов. Математическая
модель Риккати для исследования динамики концентрации радона в накопи­
тельной камере // Тезисы докладов Международной научной конференции
«Современные проблемы дифференциальных уравнений и смежных разде­
лов математики», Фергана, Узбекистан, 12-13 марта. 2020. С. 230–231.
URL: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=42596802.
100. Д. А. Твёрдый, Р. И. Паровик, Е. О. Макаров, П. П. Фирстов. Математиче­
ская модель накопления радона в измерительной камере с учетом эредитар­
ности // XI международная конференция «Солнечно-земные связи и физика
предвестников землетрясений», Партунка, 22-25 сентября. 2020. С. 46–47.
URL: https://elibrary.ru/item.asp?id=44061725.
101. D. A. Tverdyi, R. I. Parovik, E. O. Makarov, P. P. Firstov. Research of the pro­
cess of radon accumulation in the accumulating chamber taking into account the
nonlinearity of its entrance // E3S Web Conf., XI International Conference "So­
lar-Terrestrial Relations and Physics of Earthquake Precursors". 2020. Vol. 196,
no. 02027. P. 1–6.
102. D. A Tverdyi, R. I Parovik, E. O. Makarov, P. P. Firstov. Application of the Rikkati
ereditary mathematical model to the study of the dynamics of Radon accumulation
in the storage chamber // EPJ Web Conf., XII International Conference "Solar-Ter­
restrial Relations and Physics of Earthquake Precursors". 2021. Vol. 254, no.
82
03001. P. 1–5.
103. E. O. Makarov, P. P. Firstov, D. V. Kostylev et al. First results of subsurface
radon monitoring by network of points, operating in the test mode on the south
of Sakhalin iseland // Vestnik KRAUNC. Fiz.-Mat. Nauki. 2018. Vol. 5, no. 25.
P. 99–114.
104. А. М. Нахушев. Дробное исчисление и его применение. 2003. P. 272.
105. Псху А. В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука,
2005. 199 с.
106. Мамчуев О. М. Краевые задачи для уравнений и систем уравнений с частны­
ми производными дробного порядка. г. Нальчик: КБНЦ РАН, 2013. 200 с.
107. Потапов А. А. Фракталы в радиофизике и радиолокации: Топология выборки.
М.: Университетская книга, 2005. 848 с.
108. Нахушева В. А. Дифференциальные уравнения математических моделей
нелокальных процессов. М.: Наука, 2006. 173 с.
109. Сербина Л. И. Нелокальные математические модели переноса в водоносных
системах. М.: Наука, 2007. 167 с.
110. Учайкин В. В. Метод дробных производных. Ульяновск: Артишок, 2008.
512 с.
111. Головизин В. М., Кондратенко П. С., Матвеев Л. В. и др. Аномальная диф­
фузия радионуклидов в сильнонеоднородных геологических формациях. М.:
Наука, 2010. 342 с.
112. Тарасов В. Е. Модели теоретической физики с интегродифференцированием
дробного порядка. М.–Ижевск: Ижевский институт компьютерных исследо­
ваний, 2011. 586 с.
113. Uchaikin V. V. Fractional derivatives for physicists and engineers. Volume II.
Applications. Berlin: Springer, 2013. 476 p.
114. Сербина Л. И. Нелокальные математичесие модели процессов в водонос­
ных природных системах с фрактальной структурой: Автореф. дис.... д-ра.
физ.-мат. наук: 05.13. 18. г. Таганрог, 2004. 30 с.
83
115. Нахушева В. А. Математическое моделирование нелокальных физических
процессов в средах с фрактальной структурой: Автореф. дис.... д-ра.
физ.-мат. наук: 05.13. 18. г. Таганрог, 2008. 32 с.
116. Бейбалаев В. Д. Математическое моделирование нелокальных физических
процессов в средах с фрактальной структурой: Автореф. дис.... канд.
физ.-мат. наук: 05.13. 18: Кандидатская диссертация / г. Таганрог. 2009.
19 с.
117. Федотов Г. Н., Третьяков Ю. Д., Иванов В. К. и др. Фрактальные коллоидные
структуры в почвах различной зональности // Доклады Академии наук. 2005.
Т. 405, № 3. С. 351–354.
118. Méhauté A. Le, Nigmatullin R., Laurent N. Flèches du temps et géométrie fractale.
Paris: Hermes, 1998. 348 p.
119. Кобелев Я. Л. Феноменологические модели описания больших систем с фрак­
тальными структурами: Автореф. дис.... канд. физ.-мат. наук: 01.04. 07: Кан­
дидатская диссертация / Изд-во Урал. гос. ун-та. 2001. 25 с.
120. D. Valerio, J. S. Da Costa. Variable-order fractional derivatives and their numer­
ical approximations // Signal Processing. 2011. Vol. 91, no. 3. P. 470–483.
121. С. Г. Самко, А. А. Килбас, О. И. Маричев. Интегралы и производные дробного
порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. С. 688.
URL: http://elib.bsu.by/handle/123456789/8343.
122. Hilfer R. Applications Of Fractional Calculus In Physics. Singapore and New
Jersey and London and Hong Kong: World Scientific Publishing Company, 2000.
472 p.
123. Чуриков В. А. Краткое введение в дробный анализ целочисленных порядков.
Томск: ТПУ, 2011. 72 с.
84
Приложение А
Свидетельства о государственной регистрации
программ для ЭВМ
А.1. программа «NSFDRE»
МЗХООТЙСЖАЖ Ф1ДШРАЩШЖ
жжжжжж
ЖЖ ЖЖЖЖ
Ж
Ж
Ж
Ж
Ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
Ж
ж
ж
ж
ж
СВИДЕТЕЛЬСТВО
о государственной регистрации программы для Э В М
№ 2018666891
Программа для численного решения задачи Коши для
дифференциального уравнения Риккати с производной
переменного дробного порядка NSS DRE 1.0
ж
ж
ж
ж
ж
Правообладатель:
Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение высшего образования «Камчатский
государственный университет имени Витуса Беринга» (RU)
Автор:
Твёрдый Дмитрий Александрович (RU)
2018664574
Дата поступления 17 д е к а б р я 2018
Заявка №
Г.
Дата государственной регистрации
в Реестре программ для
эвм 24 декабря 2018 г.
Руководитель Федеральной службы
по интеллектуальной собственности
Г.П. Ивлиев
»жжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжж
85
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
А.2. программа «MMDCSA»
86
А.3. программа «FDRE»
жжжжж
СВИДЕТЕЛЬСТВО
о государственной регистрации программы для ЭВМ
№ 2021617317
Программа для численного решения задачи Коши для
эредитарного уравнения Риккати с непостоянными
коэффициентами и производной переменного дробного
порядка FDRE 1.0
Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреж дение высшего образования
«Камчатский государственный университет имени
Витуса Беринга» (RU)
Правообладатель:
Автор(ы):
Твёрдый Дмитрий Александрович (RU)
Заявка №2021616372
Дата поступления 26 апреля 2021
Дата государственной регистрации
в Реестре программ для ЭВМ
г.
13 М О Я 2021 г.
Руководитель Федеральной службы
по интеллектуальной собственности
Г. П. Ивлиев
>жжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжж
87
жжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжж
ЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖЖ
ЗР©ОТЖЙ©ЕАЖ ФЕДЕРАЩЖЖ
А.4. программа «FDREext»
ф щ зи ра щ ш ш
ж жжжжж
жжжжж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
ж
СВИДЕТЕЛЬСТВО
о государственной регистрации программы для ЭВМ
№ 2021666570
«Программа для численного решения задачи Коши для
дробного уравнения Риккати с непостоянными
коэффициентами и производной переменного дробного
порядка FDRE 2.0»
Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреж дение высшего образования
«Камчатский государственный университет имени
Витуса Беринга» (RU)
Правообладатель:
Автор(ы):
Твёрдый Дмитрий Александрович (RU)
Заявка №2021665776
Дата поступления 08 О К ТЯ брЯ
Дата государственной регистрации
в Реестре программ для ЭВМ
2021
Г.
15 Октября 2021 г.
Руководитель Федеральной службы
по интеллектуальной собственности
'' '" У
—
Г.П. Ивлиев
^жжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжжж
88
ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж ж жж
зроеш зй еж А я
Приложение Б
Исходный код программы «MMDCSA 2.0»
Б.1. Исполняемый ([Monthly]_Solar_Sunspot_23_24_25now.mw)
файл
restart;
with(FDREext);
currentdir(worksheetdir);
Path := cat(CreateFilePath(), "[Monthly]_Solar_Sunspot_23_24_25now.xlsx");
key_column := "Sun_spot";
input_data := ExcelExtractColumn(key_column, set_emptycell = undefined);
input_data := seq(parse(input_data[i]), i = 1 .. nops([input_data]));
num_elems := nops([input_data]);
set_labels := ["t (месяцы)", "Число солнечных пятен"];
set_color := blue;
set_linestyle := solid;
set_type_plot := line;
set_legend := typeset("[%1]. Input data from (.xlxs) file. Num point = %2.",
key_column, num_elems);
plot_new_cases := PlotData([input_data], num_elems, num_elems, type_plot = set_type_plot,
type_linestyle = set_linestyle, type_color = set_color, type_labels = set_labels,
type_legend = set_legend);
plots[display](plot_new_cases, labeldirections = [horizontal, vertical]);
data_norm := NormalizeOnMax([input_data]);
num_elems := nops([data_norm]);
data := data_norm;
printf("done!");
set_labels := ["t (месяцы)", "Отн. \n Ед."];
set_color := purple;
set_linestyle := solid;
set_type_plot := line;
set_legend := typeset("[%1]. (Normalize on max) data from file.
Num point = %2.", key_column, num_elems);
plot_norm := PlotData([data_norm], num_elems, num_elems, type_plot = set_type_plot,
type_linestyle = set_linestyle, type_color = set_color, type_labels = set_labels,
type_legend = set_legend);
plot_data := plot_norm;
printf("done!");
need_extend := "No";
if need_extend <> "No" then
num_elems_before := nops([data_norm]);
set_dimension_interpolation := 150;
data_extended := ExtendedData([data_norm], set_dimension_interpolation,
type_interpolation = cubic);
num_elems := nops([data_extended]);
data := data_extended;
printf("done!");
set_labels := ["t (месяцы)", "Число солнечных пятен"];
set_color := green;
set_linestyle := solid;
set_type_plot := line;
set_legend := typeset("[%1]. (Extended) data from file. Num point = %2.",
key_column, num_elems);
plot_extrapolaton := PlotData([data_extended], num_elems, num_elems_before,
type_plot = set_type_plot, type_linestyle = set_linestyle, type_color = set_color,
type_labels = set_labels, type_legend = set_legend);
89
plot_data := plot_extrapolaton;
printf("done!");
plots[display](plot_norm, plot_extrapolaton);
print(%);
end if;
set_T := nops([data_norm]);
set_N := nops([data]);
set_h := evalf(set_T/set_N);
epsilon := evalf[1](10^(-4));
start_point := data[1];
unassign(’k’, ’h’, ’T’, ’N’):
a_Func := -k*h*(1 + 1.85)/T
T := set_T;
h := set_h;
PlotData([evalf(seq(a_Func, k = 1 .. set_N))], set_N, set_T,
type_legend = typeset("min = %1. max = %2", min([evalf(seq(a_Func, k = 1 .. set_N))]),
max([evalf(seq(a_Func, k = 1 .. set_N))])));
unassign(’T’, ’h’, ’k’);
b_Func := 0.01;
T := set_T;
h := set_h;
PlotData([evalf(seq(b_Func, k = 1 .. set_N))], set_N, set_T,
type_legend = typeset("min = %1. max = %2",
min([evalf(seq(b_Func, k = 1 .. set_N))]), max([evalf(seq(b_Func, k = 1 .. set_N))])));
unassign(’T’, ’h’, ’k’);
c_Func := 0, seq(data[k], k = 1 .. set_N - 1):
T := set_T;
h := set_h;
PlotData([evalf(seq(c_Func, k = 1 .. set_N))], set_N, set_T,
type_legend = typeset("min = %1. max = %2", min([evalf(seq(c_Func, k = 1 .. set_N))]),
max([evalf(seq(c_Func, k = 1 .. set_N))])));
unassign(’T’, ’h’, ’k’);
c_Func_1 := PeriodicFunc(set_function = [cos, 2], set_delta = (1 - 0.64*k*h/T)*0.58,
set_theta = -1.1*exp(-k*h/T), set_mu = 2.1*Pi/T, validation = "no");
Mult := 0.5;
c_Func := c_Func_1*Mult;
T := set_T;
h := set_h;
PlotData([evalf(seq(c_Func, k = 1 .. set_N))], set_N, set_T,
type_legend = typeset("min = %1. max = %2", min([evalf(seq(c_Func, k = 1 .. set_N))]),
max([evalf(seq(c_Func, k = 1 .. set_N))])));
unassign(’T’, ’h’, ’k’);
Mult_1 := 0.5;
Alpha_Func := Mult_1*PeriodicFunc(set_function = [cos, 2],
set_delta = (1 - 0.64*k*h/T)*0.58, set_theta = -1.1*exp(-k*h/T),
set_mu = 2.1*Pi/T, validation = "no");
T := set_T;
h := set_h;
PlotData([evalf(seq(Alpha_Func, k = 1 .. set_N))], set_N, set_T,
type_legend = typeset("min = %1. max = %2", min([evalf(seq(Alpha_Func, k = 1 .. set_N))]),
max([evalf(seq(Alpha_Func, k = 1 .. set_N))])));
unassign(’T’, ’h’, ’k’);
set_method := Newton_Raphson:
approx_result := ApproxFractDeriv(numerical_method = set_method, set_N, set_T,
start_point, info_print = yes, graphics_print = yes):
num_elems_approx_result := nops([approx_result]);
coorelation_approx_result_with_data := Float(round(Float(
evalf(Statistics[Correlation]([data],[approx_result])),4)),-4):
set_labels := ["t (месяцы)", "Отн. \n Ед."];
set_color := red;
set_linestyle := solid;
set_type_plot := line;
unassign(’T’, ’h’, ’k’);
set_legend := typeset("[Approx (%1)]. (Correlaton = %2). N = %3, T = %4,
[alpha = %5], a = %6, b = %7, c = %8. ", set_method, coorelation_approx_result_with_data,
num_elems_approx_result, set_T, Alpha_Func, a_Func, b_Func, c_Func, Mult, Mult_1);
90
plot_approx := PlotData([approx_result], num_elems_approx_result, set_T,
type_plot = set_type_plot, type_linestyle = set_linestyle,
type_color = set_color, type_labels = set_labels, type_legend = set_legend);
plots[display](plot_approx, plot_data);
num_elems_approx_result := nops([approx_result]);
approx_result_1 := NormalizeOnMax([approx_result]);
coorelation_approx_result_with_data := Float(round(Float(
evalf(Statistics[Correlation]([data],[approx_result])),4)),-4);
set_labels := ["t (месяцы)", "Отн. \n Ед."];
set_color := red;
set_linestyle := solid;
set_type_plot := line;
unassign(’T’, ’h’, ’k’);
set_legend := typeset("[Approx (%1)]. (Correlaton = %2). N = %3, T = %4,
[alpha = %5], a = %6, b = %7, c = %8. ", set_method, coorelation_approx_result_with_data,
num_elems_approx_result, set_T, Alpha_Func, a_Func, b_Func, c_Func, Mult, Mult_1);
plot_approx := PlotData([approx_result], num_elems_approx_result, set_T,
type_plot = set_type_plot, type_linestyle = set_linestyle, type_color = set_color,
type_labels = set_labels, type_legend = set_legend);
plots[display](plot_approx, plot_data);
num_elems_approx_result := nops([approx_result]);
approx_result_1 := NormalizeOnMax([approx_result]);
coorelation_approx_result_with_data := Float(round(Float(evalf(
Statistics[Correlation]([data],[approx_result_1])),4)),-4);
set_labels := ["t (месяцы)", "Отн. \n Ед."];
set_color := red;
set_linestyle := solid;
set_type_plot := line;
unassign(’T’, ’h’, ’k’);
set_legend := typeset("[Approx (%1)]. (Correlaton = %2). N = %3, T = %4,
[alpha = %5], a = %6, b = %7, c = %8", set_method, coorelation_approx_result_with_data,
num_elems_approx_result, set_T, Alpha_Func, a_Func, b_Func, c_Func);
plot_approx := PlotData([approx_result_1], num_elems_approx_result, set_T,
type_plot = set_type_plot, type_linestyle = set_linestyle, type_color = set_color,
type_labels = set_labels, type_legend = set_legend);
plots[display](plot_approx, plot_data);
91
Приложение В
Исходный код программы «MMDIC 1.0»
В.1. Исполняемый (UZB (prediction to
31.12.2021)_new_cases.mw) файл
restart;
with(FDREext);
Path := cat(CreateFilePath(), "Covid-Select-Data-UZB.xlsx");
key_column := "new_cases";
key_column := "new_cases"
input_data := ExcelExtractColumn(key_column, set_emptycell = undefined);
num_elems := nops([input_data]);
input_data_new_cases := input_data;
set_labels := ["Days", key_column];
set_color := blue;
set_linestyle := solid;
set_type_plot := line;
set_legend := typeset("[data]. Num point = %1. (Input data from (.xlxs) file). %2",
num_elems, key_column);
plot_new_cases := PlotData([input_data], num_elems, num_elems,
type_plot = set_type_plot, type_linestyle = set_linestyle, type_color = set_color,
type_labels = set_labels, type_legend = set_legend);
data_norm := NormalizeOnMax([input_data_new_cases]);
num_elems := nops([data_norm]);
data := data_norm;
printf("done!");
set_labels := ["Days", key_column];
set_color := grey;
set_linestyle := solid;
set_type_plot := line;
set_legend := typeset("[data]. Num point = %1. (Normalize on max). %2",
num_elems, key_column);
plot_norm := PlotData([data_norm], num_elems, num_elems, type_plot = set_type_plot,
type_linestyle = set_linestyle, type_color = set_color, type_labels = set_labels,
type_legend = set_legend);
plot_data := plot_norm;
printf("done!");
need_extend := "No";
if need_extend <> "No" then
num_elems_before := nops([data_norm]);
set_dimension_interpolation := 200;
data_extended := ExtendedData([data_norm], set_dimension_interpolation,
type_interpolation = cubic);
num_elems := nops([data_extended]);
data := data_extended;
printf("done!");
set_labels := ["Days", key_column];
set_color := green;
set_linestyle := solid;
set_type_plot := line;
set_legend := typeset("[%1]. (Extended) data from file. Num point = %2.",
key_column, num_elems);
plot_extrapolaton := PlotData([data_extended], num_elems, num_elems_before,
type_plot = set_type_plot, type_linestyle = set_linestyle, type_color = set_color,
type_labels = set_labels, type_legend = set_legend);
plot_data := plot_extrapolaton;
printf("done!");
plots[display](plot_norm, plot_extrapolaton);
92
print(%);
end if;
set_T := nops([data_norm]);
set_N := nops([data]);
set_h := evalf(set_T/set_N);
epsilon := evalf[1](10^(-4));
start_point := data[1];
unassign(’k’, ’h’, ’T’, ’N’);
a_Func := -k*h*(1 - 0.)/T;
T := set_T;
h := set_h;
PlotData([evalf(seq(a_Func, k = 1 .. set_N))], set_N, set_T, type_legend =
typeset("min = %1. max = %2", min([evalf(seq(a_Func, k = 1 .. set_N))]),
max([evalf(seq(a_Func, k = 1 .. set_N))])));
unassign(’T’, ’h’, ’k’);
b_Func := 0.25;
T := set_T;
h := set_h;
PlotData([evalf(seq(b_Func, k = 1 .. set_N))], set_N, set_T,
type_legend = typeset("min = %1. max = %2",
min([evalf(seq(b_Func, k = 1 .. set_N))]),
max([evalf(seq(b_Func, k = 1 .. set_N))])));
with(FDREext);
unassign(’T’, ’h’, ’k’);
c_Func := PeriodicFunc(set_function = [sin, 2], set_delta = 0.25,
set_theta = 0.5, set_mu = exp(7*k*h/T)/T^2);
T := set_T;
h := set_h;
set_legend := typeset("min = %1. max = %2",
min([evalf(seq(c_Func, k = 1 .. set_N))]), max([evalf(seq(c_Func, k = 1 .. set_N))]));
PlotData([evalf(seq(c_Func, k = 1 .. set_N))], set_N, set_T, type_legend = set_legend);
unassign(’T’, ’h’, ’k’);
Alpha_Func := PeriodicFunc(set_function = [sin, 2], set_delta = 0.49,
set_theta = 0.98, set_mu = 1.64*Pi/T);
T := set_T;
h := set_h;
PlotData([evalf(seq(Alpha_Func, k = 1 .. set_N))], set_N, set_T,
type_legend = typeset("min = %1. max = %2", min([evalf(seq(Alpha_Func, k = 1 .. set_N))]),
max([evalf(seq(Alpha_Func, k = 1 .. set_N))])));
unassign(’T’, ’h’, ’k’);
set_method := Newton_Raphson;
approx_result := ApproxFractDeriv(numerical_method = set_method, set_N, set_T,
start_point, info_print = yes, graphics_print = yes);
approx_result := start_point, seq(approx_result[i], i = 1 .. nops([approx_result]) - 1);
num_elems_approx_result := nops([approx_result]);
approx_result := NormalizeOnMax([approx_result]);
coorelation_approx_result_with_data := Float(round(Float(evalf(
Statistics[Correlation]([data],[approx_result])),4)),-4);
set_labels := ["t (дни)", "Отн.\n Ед."];
set_color := blue;
set_linestyle := solid;
set_type_plot := line;
unassign(’T’, ’h’, ’k’);
set_legend := typeset("[model curve]. (Correlaton = %2). N = %3, T = %4,
[alpha = %5], a = %6, b = %7, c = %8", set_method, coorelation_approx_result_with_data,
num_elems_approx_result, set_T, Alpha_Func, a_Func, b_Func, c_Func);
set_tickmarks := [[1 - 1 = "15.03.20", 294 - 1 = "01.01.21", 551 - 1 = "16.09.21"], default];
plot_approx := PlotData([approx_result], num_elems_approx_result, set_T,
type_plot = set_type_plot, type_tickmarks = set_tickmarks, type_linestyle = set_linestyle,
type_color = set_color, type_labels = set_labels, type_legend = set_legend);
plots[display](plot_approx, plot_data);
max_elem := max([input_data]);
data := seq(data[i]*max_elem, i = 1 .. nops([data]));
approx_result := seq(approx_result[i]*max_elem, i = 1 .. nops([approx_result]));
num_elems_approx_result := nops([approx_result]);
set_labels := ["t (дни)", "Новые случаи заражения"];
93
set_color := grey;
set_linestyle := solid;
set_type_plot := line;
set_legend := typeset("[data]. Num point = %1. (Normalize on max). %2", num_elems, key_column);
plot_data_de_norm := PlotData([data], nops([data]), set_T, type_plot = set_type_plot,
type_linestyle = set_linestyle, type_color = set_color, type_labels = set_labels,
type_legend = set_legend);
sprintf, "out of memory";
set_labels := ["t (дни)", "Новые случаи заражения"];
set_color := blue;
set_linestyle := solid;
set_type_plot := line;
unassign(’T’, ’h’, ’k’);
set_legend := typeset("[model curve]. (Correlaton = %2). N = %3, T = %4, [alpha = %5],
a = %6, b = %7, c = %8", set_method, coorelation_approx_result_with_data,
num_elems_approx_result, set_T, Alpha_Func, a_Func, b_Func, c_Func);
set_tickmarks := [[1 - 1 = "15.03.20", 294 - 1 = "01.01.21", 551 - 1 = "16.09.21"], default];
plot_approx_de_norm := PlotData([approx_result], num_elems_approx_result, set_T,
type_plot = set_type_plot, type_tickmarks = set_tickmarks, type_linestyle = set_linestyle,
type_color = set_color, type_labels = set_labels, type_legend = set_legend);
plots[display](plot_approx_de_norm, plot_data_de_norm,
labeldirections = [horizontal, vertical]);
94
Приложение Г
Исходный код программы «MMDIC 1.0»
Г.1. Исполняемый (UZB (prediction to 31.12.2021)_new_cases.mw)
файл
restart;
with(FDREext);
Path := cat(CreateFilePath(), "Covid-Select-Data-UZB.xlsx");
key_column := "new_cases";
key_column := "new_cases"
input_data := ExcelExtractColumn(key_column, set_emptycell = undefined);
num_elems := nops([input_data]);
input_data_new_cases := input_data;
set_labels := ["Days", key_column];
set_color := blue;
set_linestyle := solid;
set_type_plot := line;
set_legend := typeset("[data]. Num point = %1. (Input data from (.xlxs) file). %2",
num_elems, key_column);
plot_new_cases := PlotData([input_data], num_elems, num_elems,
type_plot = set_type_plot, type_linestyle = set_linestyle, type_color = set_color,
type_labels = set_labels, type_legend = set_legend);
data_norm := NormalizeOnMax([input_data_new_cases]);
num_elems := nops([data_norm]);
data := data_norm;
printf("done!");
set_labels := ["Days", key_column];
set_color := grey;
set_linestyle := solid;
set_type_plot := line;
set_legend := typeset("[data]. Num point = %1. (Normalize on max). %2",
num_elems, key_column);
plot_norm := PlotData([data_norm], num_elems, num_elems, type_plot = set_type_plot,
type_linestyle = set_linestyle, type_color = set_color, type_labels = set_labels,
type_legend = set_legend);
plot_data := plot_norm;
printf("done!");
need_extend := "No";
if need_extend <> "No" then
num_elems_before := nops([data_norm]);
set_dimension_interpolation := 200;
data_extended := ExtendedData([data_norm], set_dimension_interpolation,
type_interpolation = cubic);
num_elems := nops([data_extended]);
data := data_extended;
printf("done!");
set_labels := ["Days", key_column];
set_color := green;
set_linestyle := solid;
set_type_plot := line;
set_legend := typeset("[%1]. (Extended) data from file. Num point = %2.",
key_column, num_elems);
plot_extrapolaton := PlotData([data_extended], num_elems, num_elems_before,
type_plot = set_type_plot, type_linestyle = set_linestyle, type_color = set_color,
type_labels = set_labels, type_legend = set_legend);
plot_data := plot_extrapolaton;
printf("done!");
plots[display](plot_norm, plot_extrapolaton);
95
print(%);
end if;
set_T := nops([data_norm]);
set_N := nops([data]);
set_h := evalf(set_T/set_N);
epsilon := evalf[1](10^(-4));
start_point := data[1];
unassign(’k’, ’h’, ’T’, ’N’);
a_Func := -k*h*(1 - 0.)/T;
T := set_T;
h := set_h;
PlotData([evalf(seq(a_Func, k = 1 .. set_N))], set_N, set_T, type_legend =
typeset("min = %1. max = %2", min([evalf(seq(a_Func, k = 1 .. set_N))]),
max([evalf(seq(a_Func, k = 1 .. set_N))])));
unassign(’T’, ’h’, ’k’);
b_Func := 0.25;
T := set_T;
h := set_h;
PlotData([evalf(seq(b_Func, k = 1 .. set_N))], set_N, set_T,
type_legend = typeset("min = %1. max = %2",
min([evalf(seq(b_Func, k = 1 .. set_N))]),
max([evalf(seq(b_Func, k = 1 .. set_N))])));
with(FDREext);
unassign(’T’, ’h’, ’k’);
c_Func := PeriodicFunc(set_function = [sin, 2], set_delta = 0.25,
set_theta = 0.5, set_mu = exp(7*k*h/T)/T^2);
T := set_T;
h := set_h;
set_legend := typeset("min = %1. max = %2",
min([evalf(seq(c_Func, k = 1 .. set_N))]), max([evalf(seq(c_Func, k = 1 .. set_N))]));
PlotData([evalf(seq(c_Func, k = 1 .. set_N))], set_N, set_T, type_legend = set_legend);
unassign(’T’, ’h’, ’k’);
Alpha_Func := PeriodicFunc(set_function = [sin, 2], set_delta = 0.49,
set_theta = 0.98, set_mu = 1.64*Pi/T);
T := set_T;
h := set_h;
PlotData([evalf(seq(Alpha_Func, k = 1 .. set_N))], set_N, set_T,
type_legend = typeset("min = %1. max = %2", min([evalf(seq(Alpha_Func, k = 1 .. set_N))]),
max([evalf(seq(Alpha_Func, k = 1 .. set_N))])));
unassign(’T’, ’h’, ’k’);
set_method := Newton_Raphson;
approx_result := ApproxFractDeriv(numerical_method = set_method, set_N, set_T,
start_point, info_print = yes, graphics_print = yes);
approx_result := start_point, seq(approx_result[i], i = 1 .. nops([approx_result]) - 1);
num_elems_approx_result := nops([approx_result]);
approx_result := NormalizeOnMax([approx_result]);
coorelation_approx_result_with_data := Float(round(Float(evalf(
Statistics[Correlation]([data],[approx_result])),4)),-4);
set_labels := ["t (дни)", "Отн.\n Ед."];
set_color := blue;
set_linestyle := solid;
set_type_plot := line;
unassign(’T’, ’h’, ’k’);
set_legend := typeset("[model curve]. (Correlaton = %2). N = %3, T = %4,
[alpha = %5], a = %6, b = %7, c = %8", set_method, coorelation_approx_result_with_data,
num_elems_approx_result, set_T, Alpha_Func, a_Func, b_Func, c_Func);
set_tickmarks := [[1 - 1 = "15.03.20", 294 - 1 = "01.01.21", 551 - 1 = "16.09.21"], default];
plot_approx := PlotData([approx_result], num_elems_approx_result, set_T,
type_plot = set_type_plot, type_tickmarks = set_tickmarks, type_linestyle = set_linestyle,
type_color = set_color, type_labels = set_labels, type_legend = set_legend);
plots[display](plot_approx, plot_data);
max_elem := max([input_data]);
data := seq(data[i]*max_elem, i = 1 .. nops([data]));
approx_result := seq(approx_result[i]*max_elem, i = 1 .. nops([approx_result]));
num_elems_approx_result := nops([approx_result]);
set_labels := ["t (дни)", "Новые случаи заражения"];
96
set_color := grey;
set_linestyle := solid;
set_type_plot := line;
set_legend := typeset("[data]. Num point = %1. (Normalize on max). %2", num_elems, key_column);
plot_data_de_norm := PlotData([data], nops([data]), set_T, type_plot = set_type_plot,
type_linestyle = set_linestyle, type_color = set_color, type_labels = set_labels,
type_legend = set_legend);
sprintf, "out of memory";
set_labels := ["t (дни)", "Новые случаи заражения"];
set_color := blue;
set_linestyle := solid;
set_type_plot := line;
unassign(’T’, ’h’, ’k’);
set_legend := typeset("[model curve]. (Correlaton = %2). N = %3, T = %4, [alpha = %5],
a = %6, b = %7, c = %8", set_method, coorelation_approx_result_with_data,
num_elems_approx_result, set_T, Alpha_Func, a_Func, b_Func, c_Func);
set_tickmarks := [[1 - 1 = "15.03.20", 294 - 1 = "01.01.21", 551 - 1 = "16.09.21"], default];
plot_approx_de_norm := PlotData([approx_result], num_elems_approx_result, set_T,
type_plot = set_type_plot, type_tickmarks = set_tickmarks, type_linestyle = set_linestyle,
type_color = set_color, type_labels = set_labels, type_legend = set_legend);
plots[display](plot_approx_de_norm, plot_data_de_norm,
labeldirections = [horizontal, vertical]);
97
Приложение Д
Исходный код программы «RVAMM»
Д.1. Исполняемый (Code_(RVAMM)_lib,load.mw) файл
Worksheet
restart;
currentdir(worksheetdir);
mylibdir := cat(kernelopts(homedir), kernelopts(dirsep), "maple", kernelopts(dirsep),
"toolbox", kernelopts(dirsep), "personal", kernelopts(dirsep), "lib");
FileTools:-MakeDirectory(mylibdir, ’recurse’);
LibraryTools:-Create(cat(mylibdir, kernelopts(dirsep), "packages.mla"));
libname := mylibdir, libname;
libname := libname[1], libname[2];
libname[1];
LibraryTools:-Save(’RVAMM’, libname[1]);
restart;
with(RVAMM);
Edit startup code
##MODULE Radon Volumetric Activity Mathematical Model (RVAMM)
##
##DESCRIPTION
##- A package containing commands for calculate and plot model graph for experemental data.
RVAMM:=module()
description " commands for calculate and plot model graph for experemental data";
option package;
global BestResult_LARVA, BestResult_ACARVA;
export MakarovModelRVA, LambdaAnalysisRVA, AlphaConstAnalysisRVA;
# PROCEDURE - Makarov RVA (Radon volumetric activity) model.
MakarovModelRVA:= proc(A_0_local::anything:=0.0, A_max_local::anything:=1.0,
lambda_0::anything:=0.001, N_local::integer:=1, T_local::integer:=1)
local i,j, h_local, u_local;
#
h_local:= T_local/N_local;
for i from 1 to N_local do
u_local[i]:= simplify( A_max_local*(1-exp(-lambda_0*i*h_local)) +
A_0_local*exp(-lambda_0*i*h_local) ):
end do:
return seq(u_local[j],j=1..N_local);
end proc;
# PROCEDURE - lambda analysis with help Makarov RVA (Radon volumetric activity) model.
LambdaAnalysisRVA:= proc(data::list, bottom_bound_correlation::anything:= 0.01,
A_0_local::anything:=0.0, A_max_local::anything:=1.0, N_local::integer:=1,
T_local::integer:=1, lambda_changeing_step::anything:=0.01,
bottom_top_bound_lambda::list:=[], print_graphics::string:="NO", print_table::string:="NO")
uses Statistics, plots;
local i,j,k,n,m,l, top_bound, bottom_bound, count, temp, seq_temp, num_iteration,
seq_value_lambda, lambda_0, u, u_temp, result_solving_local, corr_local,
table_result_local, max_elem_corr, best_result, line_plot_table_res_LARVA,
point_plot_table_res_LARVA, time_check_1_all, time_check_2_all, time_check_1_iter,
time_check_2_iter;
#
if (print_table = "YES")or(print_table = "Yes")or(print_table = "yes") then
time_check_1_all := Value(Time());
print(printf("-- Table Result’s --"));
end if:
98
top_bound:= bottom_top_bound_lambda[2];
bottom_bound:= bottom_top_bound_lambda[1];
#- mass probably value’s lambda_0 count:= 0;
temp:= bottom_bound;
while temp <= top_bound do
seq_temp[count]:= evalf(temp);
temp:= temp + lambda_changeing_step;
count:= count + 1;
end do:
num_iteration:= count - 1;
seq_value_lambda:= [ seq(seq_temp[i], i= 1..num_iteration) ];
unassign(’count’, ’temp’, ’seq_temp’);
#- main cycle. Solve check correlaton. for j from 1 to num_iteration do
time_check_1_iter := Value(Time());
lambda_0:= seq_value_lambda[j];
u_temp:= MakarovModelRVA(A_0_local, A_max_local, lambda_0, N_local, T_local);
u[0]:= data[1];
for n from 1 to N_local do
u[n]:= u_temp[n]:
end do:
#- find correlation result_solving_local:= [seq(u[k], k= 0..N_local-1)];
corr_local:= Float(round(Float(evalf(Correlation(data,result_solving_local)),4)),-4);
table_result_local[j] := [corr_local, evalf(lambda_0)];
unassign(’lambda_0’, ’u’, ’u_temp’, ’result_solving_local’, ’corr_local’);
#- print table if (print_table = "YES")or(print_table = "Yes")or(print_table = "yes") then
time_check_2_iter := Value(Time());
print(printf("(iter %g: calc time (%f s.))
sell [%g] | Correlaton = %g |
lambda_0 = %g ",j , (time_check_2_iter - time_check_1_iter)/1000, j,
table_result_local[j][1], table_result_local[j][2]));
end if:
end do:
#- find best result max_elem_corr:= max( seq(table_result_local[l][1],l=1..num_iteration) );
for j from 1 to num_iteration do
if (table_result_local[j][1] = max_elem_corr) then
best_result:= table_result_local[j]:
end if:
end do:
BestResult_LARVA:= best_result:
#- print graphics if (print_graphics = "YES")or(print_graphics = "Yes")or(print_graphics = "yes") then
line_plot_table_res_LARVA:= plot([seq(table_result_local[j][2], j = 1 .. num_iteration)],
[seq(table_result_local[j][1], j = 1 .. num_iteration)], color = blue, labels = [lambda[0],
"Correlation"], axis = [gridlines = [num_iteration, color = grey, majorlines = 2]]);
point_plot_table_res_LARVA:= pointplot([seq(table_result_local[j][2],
j = 1 .. num_iteration)], [seq(table_result_local[j][1], j = 1 .. num_iteration)],
color = red, labels = [lambda[0], "Correlation"]);
print(display(line_plot_table_res_LARVA, point_plot_table_res_LARVA));
end if:
#- print Best result if (print_table = "YES")or(print_table = "Yes")or(print_table = "yes") then
time_check_2_all := Value(Time());
if (best_result[1] <= bottom_bound_correlation) then
print(printf(" WARNING! With (lambda_0 = %g) finded best ( Correlaton = %g)
<= %g [bottom Correlation]", best_result[2], best_result[1], bottom_bound_correlation));
else if (best_result[1] > bottom_bound_correlation) then
printf("\n--- Calc time (All): %f second ", (time_check_2_all - time_check_1_all)/1000);
printf("\n--- (Best result) | Correlaton = %g |
lambda_0 = %g ", best_result[1],best_result[2]);
end if:
end if:
end if:
return seq(table_result_local[m],m=1..num_iteration);
end proc;
# PROCEDURE - alpha (const) analysis with help Herededity Riccati model.
AlphaConstAnalysisRVA:= proc(data::list, bottom_bound_correlation::anything:= 0.01,
99
top_bound_correlation::anything:= 0.01, fract_deriv_changeing_step::anything:=0.01,
bottom_top_bound_fract_deriv::list:=[], N_local::integer:=1, T_local::integer:=1,
numerical_method_local::anything:="MNM", start_iter_MNM_local::anything:="Last_EFDS",
type_operator_local::anything:="alpha(t)", start_point_local::anything:=0.0,
acccuracy_local::anything:=evalf(10^(-4)), print_graphics::string:="NO",
print_table::string:="NO", {print_info::coerce(string, (print_info::name)->
convert(print_info,string)):="No"})
uses Statistics, plots, FDREext, CodeTools;
global Alpha_Func;
local i,j,k,n,m, top_bound, bottom_bound, count, temp, seq_temp, num_iteration,
seq_fract_deriv, u, u_temp, result_solving_local, corr_local, table_result_local,
max_elem_corr, best_result, line_plot_table_res_ACARVA, point_plot_table_res_ACARVA,
time_check_1_all, time_check_2_all, time_check_1_iter, time_check_2_iter;
#
if (print_table = "YES")or(print_table = "Yes")or(print_table = "yes") then
time_check_1_all := Value(Time());
print(printf("-- Table Result’s --"));
end if:
top_bound:= bottom_top_bound_fract_deriv[2];
bottom_bound:= bottom_top_bound_fract_deriv[1];
#- mass probably value’s alpha(t)-const count:= 0;
temp:= bottom_bound;
while temp <= top_bound do
seq_temp[count]:= evalf(temp);
temp:= temp + fract_deriv_changeing_step;
count:= count + 1;
end do:
num_iteration:= count - 1;
seq_fract_deriv:= [ seq(seq_temp[i], i= 1..num_iteration) ];
unassign(’count’, ’temp’, ’seq_temp’);
#- main cycle. Solve check correlaton. for j from 1 to num_iteration do
time_check_1_iter := Value(Time());
Alpha_Func := seq_fract_deriv[j]:
u_temp:= ApproxFractDeriv(numerical_method = numerical_method_local,
start_iter_MNM = start_iter_MNM_local, type_operator = type_operator_local,
N_local, T_local, start_point_local, acccuracy = acccuracy_local,
info_print = print_info, graphics_print = "no"):
u[0]:= start_point_local:
for n from 1 to N_local do
u[n]:= u_temp[n]:
end do:
#- find correlation result_solving_local:= [seq(u[k], k= 0..N_local-1)];
corr_local:= Float(round(Float(evalf(Correlation(data,result_solving_local)),4)),-4);
table_result_local[j] := [corr_local, evalf(seq_fract_deriv[j])];
unassign(’u’, ’u_temp’, ’result_solving_local’, ’corr_local’);
#- print table if (print_table = "YES")or(print_table = "Yes")or(print_table = "yes") then
time_check_2_iter := Value(Time());
print(printf("(iter %g: calc time (%f s.))
sell [%g] | Correlaton = %g
| alpha(t) = %g ",j , (time_check_2_iter - time_check_1_iter)/1000, j,
table_result_local[j][1], table_result_local[j][2]));
end if:
end do:
unassign(’Alpha_Func’);
#- find best result max_elem_corr:= 0:
for j from 1 to num_iteration do
if (table_result_local[j][1] <= top_bound_correlation)and
(table_result_local[j][1] > max_elem_corr) then
max_elem_corr:= table_result_local[j][1]:
end if:
end do:
for j from 1 to num_iteration do
if (table_result_local[j][1] = max_elem_corr) then
best_result:= table_result_local[j]:
end if:
end do:
BestResult_ACARVA:= best_result:
#- print graphics if (print_graphics = "YES")or(print_graphics = "Yes")or(print_graphics = "yes") then
100
line_plot_table_res_ACARVA:= plot([seq(table_result_local[j][2],
j = 1 .. num_iteration)], [seq(table_result_local[j][1], j = 1 .. num_iteration)],
color = blue, labels = [type_operator_local, "Correlation"],
axis = [gridlines = [num_iteration, color = grey, majorlines = 2]]);
point_plot_table_res_ACARVA:= pointplot([seq(table_result_local[j][2],
j = 1 .. num_iteration)], [seq(table_result_local[j][1],
j = 1 .. num_iteration)], color = red, labels = [type_operator_local, "Correlation"]);
print(display(line_plot_table_res_ACARVA, point_plot_table_res_ACARVA));
end if:
#- print Best result if (print_table = "YES")or(print_table = "Yes")or(print_table = "yes") then
time_check_2_all := Value(Time());
if (best_result[1] <= bottom_bound_correlation) then
print("\n");
print(printf(" WARNING! With (alpha(t) = %g) finded best ( Correlaton = %g)
<= %g [bottom Correlation]", best_result[2], best_result[1], bottom_bound_correlation));
else if (best_result[1] > bottom_bound_correlation) then
printf("\n--- Calc time (All): %f second ", (time_check_2_all - time_check_1_all)/1000);
printf("\n--- (Best result) | Correlaton = %g |
alpha(t) = %g ", best_result[1],best_result[2]);
end if:
end if:
end if:
return seq(table_result_local[m],m=1..num_iteration);
end proc;
end module;
Д.2. Исполняемый (Templar_file.mw) файл
Worksheet
restart;
with(FDREext);
with(RVAMM);
with(ExcelTools);
WorkbookData(Path);
workbook := %[1][6];
input_data_matrix := Import(Path, workbook, "C2:C321");
dimension_input_data := rhs(ArrayDims(input_data_matrix)[1]);
dimension_input_data := 320
input_data := seq(input_data_matrix[i][1], i = 1 .. dimension_input_data);
nops([%]);
key_column := "OA Rn (Бк/м3)";
time_dimm := "t (1 час)";
numer_gas_camer := 1;
use_custom_time_modeling := "YES";
custom_time_modeling := N/2;
print(’use_custom_time_modeling; -1; %;’);
if use_custom_time_modeling = "YES" then
DEC := denom(custom_time_modeling/N);
if dimension_input_data mod DEC <> 0 then
for i to dimension_input_data - (dimension_input_data mod DEC) do
temp_mass[i] := input_data[i];
print(%);
end do;
input_data := seq(temp_mass[i], i = 1 .. dimension_input_data (dimension_input_data mod DEC));
dimension_input_data := nops([input_data]);
sprintf("(T) will be not integer, then (cut data)");
sprintf("Now (dimension_input_data) = %d", dimension_input_data);
end if;
end if;
set_N := dimension_input_data;
101
if use_custom_time_modeling = "YES" then
set_T := subs(N = set_N, custom_time_modeling);
else
if use_custom_time_modeling = "NO" then set_T := dimension_input_data; end if;
end if;
set_h := evalf(set_T/set_N);
epsilon := evalf[1](10^(-4));
set_labels := [time_dimm, key_column];
set_color := blue;
set_linestyle := solid;
set_type_plot := line;
set_legend := typeset("[data] - %2 (%3) Num point = %1. (Input data from (.xlxs) file).",
num_elems, workbook, numer_gas_camer);
plot_new_cases := PlotData([input_data], set_N, set_T, type_plot = set_type_plot,
type_linestyle = set_linestyle, type_color = set_color, type_labels = set_labels,
type_legend = set_legend);
plots[display](%, labeldirections = [horizontal, vertical]);
data_norm := NormalizeOnMax([input_data]);
num_elems := nops([data_norm]);
data := data_norm;
printf("done!");
set_labels := [time_dimm, "Отн.\n ед."];
set_color := grey;
set_linestyle := solid;
set_type_plot := line;
set_legend := typeset("[data] - %2 (%3) Num point = %1. (Normalize on max).",
num_elems, workbook, numer_gas_camer);
plot_norm := PlotData([data_norm], set_N, set_T, type_plot = set_type_plot,
type_linestyle = set_linestyle, type_color = set_color,
type_labels = set_labels, type_legend = set_legend);
plot_data := plot_norm;
printf("done!");
start_point := data[1];
A_0 := data[1];
print(’A_0 = %’);
A_max := max([data]);
print(’A_max = %’);
S_D := A_max*lambda[0];
#------ Define paremeter’s for calculate OPTIMAL value*(alpha) ’index fract.
#derivative’ ------(Select [comment\uncomm])
#------ Make analysis"? ------"
#--If "NO" -#make_analysis := "NO"
#fract_deriv := 0.5 #--- define const value (alpha)
#for (Riccati) model, if without analysis ---‘
#lambda[0] := 0.05 #--- define if without analysis --#--If "YES" -make_analysis := "YES";
set_dimension_interpolation := 50;
set_fract_deriv_changeing_step := 0.05;
set_bottom_top_bound_fract_deriv := [0, 1];
set_lambda_changeing_step := 0.005;
set_bottom_top_bound_lambda := [0, 0.1];
set_top_bound_correlation := 1.0;
set_bottom_bound_correlation := 0.3;
if make_analysis = "YES" then
num_elems_before := nops([data_norm]);
data_extended := ExtendedData([data_norm], set_dimension_interpolation,
type_interpolation = cubic);
num_elems := nops([data_extended]);
set_labels := [time_dimm, "Отн.\n ед."];
set_color := green;
set_linestyle := solid;
set_type_plot := line;
set_legend := typeset("[data] - %2 (%3) Num point = %1. (Extended)
(Normalize on max).", num_elems, workbook, numer_gas_camer);
plot_extrapolaton := PlotData([data_extended], num_elems, set_T,
type_plot = set_type_plot, type_linestyle = set_linestyle,
type_color = set_color, type_labels = set_labels, type_legend = set_legend);
102
set_N_anl := nops([data_extended]);
plots[display](plot_norm, plot_extrapolaton);
print(%);
else
set_N_anl := set_N;
end if;
if make_analysis = "YES" then
LambdaAnalysisRVA_result := LambdaAnalysisRVA([data_extended], set_bottom_bound_correlation,
A_0, A_max, set_N_anl, set_T, set_lambda_changeing_step,
set_bottom_top_bound_lambda, "yes", "yes");
print("Best result", BestResult_LARVA);
print("Now parameters define:");
lambda[0] := BestResult_LARVA[2];
print(’lambda[0] = %’);
S_D;
print(’S_D = %’);
end if;
unassign(’k’, ’h’, ’T’, ’N’):
a_Func := -S_D;
T := set_T;
h := set_h;
PlotData([evalf(seq(a_Func, k = 1 .. set_N))], set_N, set_T, type_legend =
typeset("min = %1. max = %2", min([evalf(seq(a_Func, k = 1 .. set_N))]),
max([evalf(seq(a_Func, k = 1 .. set_N))])));
unassign(’T’, ’h’, ’k’);
b_Func := 0.001;
T := set_T;
h := set_h;
PlotData([evalf(seq(b_Func, k = 1 .. set_N))], set_N, set_T,
type_legend = typeset("min = %1. max = %2", min([evalf(seq(b_Func,
k = 1 .. set_N))]), max([evalf(seq(b_Func, k = 1 .. set_N))])));
unassign(’T’, ’h’, ’k’);
c_Func := S_D;
T := set_T;
h := set_h;
set_legend := typeset("min = %1. max = %2", min([evalf(seq(c_Func, k = 1 .. set_N))]),
max([evalf(seq(c_Func, k = 1 .. set_N))]));
PlotData([evalf(seq(c_Func, k = 1 .. set_N))], set_N, set_T, type_legend = set_legend);
unassign(’T’, ’h’, ’k’);
set_method := MNM;
set_start_iter_MNM := "EFDS";
set_type_operator := "alpha(t)";
if make_analysis = "YES" then
AlphaConstAnalysisRVA_result := AlphaConstAnalysisRVA([data_extended],
set_bottom_bound_correlation, set_top_bound_correlation, set_fract_deriv_changeing_step,
set_bottom_top_bound_fract_deriv, set_N_anl, set_T, set_method, set_start_iter_MNM,
set_type_operator, start_point, epsilon, "yes", "yes", print_info = "no");
if set_bottom_bound_correlation < BestResult_ACARVA[1] then
best_value_const_fract_deriv := BestResult_ACARVA[2];
print("Best result", BestResult_ACARVA);
print("Now parameters (alpha(t)) define:");
fract_deriv := BestResult_ACARVA[2];
elif BestResult_ACARVA[1] < set_bottom_bound_correlation then
print("alpha Const Analysis propose ’Not stonks’ solve,
then must try another (a,b,c) parameters for analysis");
end if;
end if;
Alpha_Func := fract_deriv;
T := set_T;
h := set_h;
PlotData([evalf(seq(Alpha_Func, k = 1 .. set_N))], set_N, set_T, type_legend =
typeset("min = %1. max = %2", min([evalf(seq(Alpha_Func, k = 1 .. set_N))]),
max([evalf(seq(Alpha_Func, k = 1 .. set_N))])));
unassign(’T’, ’h’, ’k’);
approx_result := ApproxFractDeriv(numerical_method = set_method,
start_iter_MNM = set_start_iter_MNM, type_operator = set_type_operator,
set_N, set_T, start_point, info_print = yes, graphics_print = yes);
approx_result := start_point, seq(approx_result[i], i = 1 .. nops([approx_result]) - 1);
num_elems_approx_result := nops([approx_result]);
103
approx_result := NormalizeOnMax([approx_result]);
coorelation_approx_result_with_data := Float(round(Float(
evalf(Statistics[Correlation]([data],[approx_result])),4)),-4);
set_labels := [time_dimm, "Отн.\n Ед."];
set_color := blue;
set_linestyle := solid;
set_type_plot := line;
unassign(’T’, ’h’, ’k’);
set_legend := typeset("[Fract model curve]. (Correlaton = %1). N = %2, T = %3,
[lambda;[0]=%4], [alpha = %5], a = %6, b = %7, c = %8", coorelation_approx_result_with_data,
num_elems_approx_result, set_T, lambda[0], Alpha_Func, a_Func, b_Func, c_Func);
set_tickmarks := [default, default];
plot_approx := PlotData([approx_result], num_elems_approx_result, set_T,
type_plot = set_type_plot, type_tickmarks = set_tickmarks, type_linestyle = set_linestyle,
type_color = set_color, type_labels = set_labels, type_legend = set_legend);
approx_result := start_point, seq(approx_result[i], i = 1 .. nops([approx_result]) - 1);
num_elems_approx_result := nops([approx_result]);
approx_result := NormalizeOnMax([approx_result]);
coorelation_approx_result_with_data := Float(round(Float(
evalf(Statistics[Correlation]([data],[approx_result])),4)),-4);
set_labels := [time_dimm, "Отн.\n Ед."];
set_color := blue;
set_linestyle := solid;
set_type_plot := line;
unassign(’T’, ’h’, ’k’);
set_legend := typeset("[Fract model curve]. (Correlaton = %1). N = %2, T = %3,
[lambda;[0]=%4], [alpha = %5], a = %6, b = %7, c = %8", coorelation_approx_result_with_data,
num_elems_approx_result, set_T, lambda[0], Alpha_Func, a_Func, b_Func, c_Func);
NULL;
set_tickmarks := [default, default];
plot_approx := PlotData([approx_result], num_elems_approx_result, set_T,
type_plot = set_type_plot, type_tickmarks = set_tickmarks, type_linestyle = set_linestyle,
type_color = set_color, type_labels = set_labels, type_legend = set_legend);
name_output_cut := convert(cat("Res_(norm)_", set_method, "_(", set_N, "-p)_", workbook,
"(", numer_gas_camer, ")_"), string);
Path_output := cat(CreateFilePath(), name_output_cut, ".xlsx");
head := cat("Отн. Единицы");
ExcelTools[Export](head, Path_output, workbook, "A1");
ExcelTools[Export](Vector([approx_result]), Path_output, workbook, "A2");
input_data_time := Import(Path, workbook, "B2:B321");
head := cat("t (hour)");
ExcelTools[Export](head, Path_output, workbook, "B1");
ExcelTools[Export](input_data_time, Path_output, workbook, "B2");
max_elem := max([input_data]);
set_labels := [time_dimm, key_column];
set_color := grey;
set_linestyle := solid;
set_type_plot := line;
set_legend := typeset("[data]. Num point = %1. (Normalize on max). %2",
num_elems, key_column);
plot_data_de_norm := PlotData([input_data], nops([input_data]), set_T,
type_plot = set_type_plot, type_linestyle = set_linestyle, type_color = set_color,
type_labels = set_labels, type_legend = set_legend);
approx_result_de_norm := seq(approx_result[i]*max_elem, i = 1 .. nops([approx_result]));
num_elems_approx_result := nops([approx_result_de_norm]);
coorelation_approx_result_with_data := Float(round(Float(evalf(
Statistics[Correlation]([input_data],[approx_result_de_norm])),4)),-4);
set_labels := [time_dimm, key_column];
set_color := blue;
set_linestyle := solid;
set_type_plot := line;
unassign(’T’, ’h’, ’k’);
set_legend := typeset("[Fract model curve]. (Correlaton = %1). N = %2, T = %3,
[lambda;[0]=%4], [alpha = %5], a = %6, b = %7, c = %8", coorelation_approx_result_with_data,
num_elems_approx_result, set_T, lambda[0], Alpha_Func, a_Func, b_Func, c_Func);
NULL;
set_tickmarks := [default, default];
plot_approx_de_norm := PlotData([approx_result_de_norm], num_elems_approx_result, set_T,
type_plot = set_type_plot, type_tickmarks = set_tickmarks, type_linestyle = set_linestyle,
104
type_color = set_color, type_labels = set_labels, type_legend = set_legend);
set_labels := [time_dimm, key_column];
set_color := blue;
set_linestyle := solid;
set_type_plot := line;
unassign(’T’, ’h’, ’k’);
set_legend := typeset("[Fract model curve]. (Correlaton = %1). N = %2, T = %3,
[lambda;[0]=%4], [alpha = %5], a = %6, b = %7, c = %8", coorelation_approx_result_with_data,
num_elems_approx_result, set_T, lambda[0], Alpha_Func, a_Func, b_Func, c_Func);
NULL;
set_tickmarks := [default, default];
plot_approx_de_norm := PlotData([approx_result_de_norm], num_elems_approx_result, set_T,
type_plot = set_type_plot, type_tickmarks = set_tickmarks, type_linestyle = set_linestyle,
type_color = set_color, type_labels = set_labels, type_legend = set_legend);
name_output_cut := convert(cat("Res_(", "OA Rn", ")_", set_method, "_(", set_N, "-p)_",
workbook, "(", numer_gas_camer, ")_"), string);
Path_output := cat(CreateFilePath(), name_output_cut, ".xlsx");
head := cat(key_column);
ExcelTools[Export](head, Path_output, workbook, "A1");
ExcelTools[Export](Vector([approx_result_de_norm]), Path_output, workbook, "A2");
head := cat("t (hour)");
ExcelTools[Export](head, Path_output, workbook, "B1");
ExcelTools[Export](input_data_time, Path_output, workbook, "B2");
105
Приложение Е
Математический аппарат дробного исчисления
Несмотря на 300-летнюю историю, дробное исчисление активно развивается
как у нас в стране [104, 105, 106] так и за рубежом [7, 10]. Это вызвано прило­
жениями дробного исчисления в различных областях знаний. Например, широкое
применение дробного исчисление получило в монографиях [107, 108, 109, 110,
111, 112, 113]. В последнее десятилетие стало развиваться математическое мо­
делирование нелокальных фрактальных процессов, которые описываются диффе­
ренциальными уравнениями дробного порядка [114, 115, 116]. Это обусловлено
тем, что создание математических моделей, которые характеризуют фрактальные
системы не возможно традиционными подходами и поэтому прибегают к дробно­
му исчислению.
Дробное исчисление связано с понятием фрактала, с помощью которого опи­
сываются сильно неоднородные среды. Фрактал является самоподобной структу­
рой, которая имеет дробную (фрактальную) размерность. Почвогрунты обладают
такой размерностью, а их классификация дана в работе [117]. Порядки дробных
операторов связаны с фрактальной размерностью среды [118, 32]. Функциональ­
ная зависимость между ними устанавливается экспериментально как в работе
[119].
С другой стороны фрактальная размерность среды может изменяться как по
времени так и пространственной координате. Поэтому дробные порядки операто­
ров, входящие в исходные уравнения в общем случае представляют собой функ­
ции от них. Такие уравнения решаются с помощью численных методов, например
конечно-разностными схемами [35, 120, 36].
В этом разделе мы дадим основные положения математического аппарата
106
дробного исчисления, к которому мы часто будем обращаться в настоящей моно­
графии.
Определение дробного интегрирования и дифференцирования связано с ин­
тегральным уравнением Абеля [121].
Определение Е.1. Пусть 𝑥 (𝑡) ∈ 𝐿 (0, 𝑇 ). Интеграл
𝛼
𝐼0𝑡
𝑥 (𝜏 ) =
1
Γ (𝛼)
∫︁ 𝑡
0
𝑥 (𝜏 ) 𝑑𝜏
,
(𝑡 − 𝜏 )1−𝛼
(Е.1)
где 𝛼 > 0 и Γ (𝑧) – гамма-функция Эйлера называется интегралом дробного
порядка 𝛼.
С помощью формулы (Е.1) естественным образом введем определение дроб­
ного дифференцирования как обратную операцию интегрирования.
Определение Е.2. Для функции 𝑥 (𝑡) ∈ 𝐿 (0, 𝑇 ) справедливо соотношение
1
𝑑
𝛼
𝐷0𝑡
𝑥 (𝜏 ) =
Γ (1 − 𝛼) 𝑑𝑡
∫︁ 𝑡
𝑥 (𝜏 ) 𝑑𝜏
,
(𝑡 − 𝜏 )𝛼
(Е.2)
0
которое называется производной дробного порядка 0 < 𝛼 < 1.
Формулы (Е.1) и (Е.2) называются интегралом и производной Римана-Лиувилля
[?].
Формулу (Е.2) можно обобщить на случай, когда [𝛼] < 𝛼 < [𝛼] + 1, где [𝛼] –
целая часть числа 𝛼. В этом случае обобщение имеет вид:
[𝛼]+1
𝛼
𝐷0𝑡
𝑥 (𝜏 ) =
1
𝑑
Γ (1 + [𝛼] − 𝛼) 𝑑𝑡[𝛼]+1
∫︁ 𝑡
0
𝑥 (𝜏 ) 𝑑𝜏
(𝑡 − 𝜏 )𝛼−[𝛼]
,
(Е.3)
Если считать [𝛼] = 𝑛 − 1, то мы получим другое представление дробной произ­
107
водной порядка 𝑛 − 1 < 𝛼 < 𝑛:
1
𝑑𝑛
𝛼
𝐷0𝑡 𝑥 (𝜏 ) =
Γ (𝑛 − 𝛼) 𝑑𝑡𝑛
∫︁ 𝑡
0
𝑥 (𝜏 ) 𝑑𝜏
,
(𝑡 − 𝜏 )𝛼−𝑛+1
(Е.4)
Введем другое определение производной дробного порядка.
Определение Е.3. Пусть 𝑥 (𝑡) ∈ 𝐶 𝑚−1 [0, 𝑇 ], 𝑚 ≥ 1 и 𝑥(𝑛) (𝑡) ∈ 𝐿 [0, 𝑇 ]. Тогда
оператор следующего вида
1
𝛼
𝜕0𝑡
𝑥 (𝜏 ) =
Γ (𝑛 − 𝛼)
∫︁ 𝑡
0
𝑥(𝑛) (𝜏 ) 𝑑𝜏
,
(𝑡 − 𝜏 )𝛼−𝑛+1
(Е.5)
𝑑𝑛 𝑥 (𝜏 )
где 𝑥 (𝜏 ) =
, называется регуляризованной дробной производной Ри­
𝑑𝜏 𝑛
мана-Лиувилля или дробной производной в смысле Герасимова-Капуто порядка
(𝑛)
𝑛 − 1 < 𝛼 < 𝑛.
Замечание Е.1. Необходимо отметить, что в зарубежной литературе оператор
𝛼
𝑥 (𝜏 ).
(Е.5) называется дробной производной по Капуто и обозначается так 𝐶 𝐷0𝑡
Эта математическая конструкция была введена итальянским математиком М. Ка­
путо в 1967 году в работе [38] и широко использовалась в его монографии [39].
Однако советский механик А.Н. Герасимов в 1948 году в своей работе [37], по­
священной задачам пластичности, ввел частную дробную производную порядка
0 < 𝛼 < 1:
𝛼
𝐷−∞,𝑡
𝑢 (𝑥, 𝜏 ) =
1
Γ (1 − 𝛼)
∫︁ 𝑡
𝑢𝜏 (𝑥, 𝜏 ) 𝑑𝜏
.
(𝑡 − 𝜏 )𝛼
−∞
Поэтому в дальнейшем, в монографии, мы будем оператор (Е.5) называть опера­
тором Герасимова-Капуто.
Замечание Е.2. Оператор Герасимова-Капуто порядка 𝑛 − 1 < 𝛼 < 𝑛 связан с
108
оператором Римана-Лиувилля соотношением:
𝛼
𝜕0𝑡
𝑥 (𝜏 )
=
𝛼
𝐷0𝑡
𝑥 (𝜏 )
𝑛−1
∑︁
𝑥(𝑘) (0) 𝑡𝑘−𝛼
−
.
Γ (𝑘 − 𝛼 + 1)
(Е.6)
𝑘=0
Согласно соотношению (Е.6) оператор Герасимова-Капуто совпадает с оператором
Римана-Лиувилля, если выполняется соотношение 𝑥(𝑛) (0) = 0. Введем несколько
важных определений.
Определение Е.4. Для произвольного 𝛼 ∈ 𝑅 и 𝛽 ≤ 0 справедлив закон компози­
ции
𝛼+𝛽
𝛼 𝛽
𝐷0𝑡
𝐷0𝑡 𝑥 (𝜏 ) = 𝐷0𝑡
𝑥 (𝜏 ) .
(Е.7)
Определение Е.5. Для 𝑛 − 1 < 𝛽 ≤ 𝑛, 𝑛 ∈ 𝑁 справедлива обобщенная формула
Ньютона-Лейбница
𝛼 𝛽
𝐷0𝑡
𝐷0𝑡 𝑥 (𝜏 )
=
𝛼+𝛽
𝐷0𝑡
𝑥 (𝜏 )
−
𝑛
∑︁
𝑡−𝛼−𝑘
𝛽−𝑘
lim 𝐷0𝑡
𝑥 (𝜏 ).
Γ (1 − 𝛼 − 𝑘) 𝑡→0
𝑘=1
(Е.8)
Определение Е.6. Справедлива формула интегрирования по частям для 𝛼 ≤ 0
∫︁ 𝑡
𝛼
𝑥 (𝜏 ) 𝐷0𝜏
𝑦 (𝜏1 ) 𝑑𝜏 =
0
∫︁ 𝑡
𝛼
𝑦 (𝜏 ) 𝐷𝑡𝜏
𝑥 (𝜏1 ) 𝑑𝜏.
(Е.9)
0
Определение Е.7. Дробное дифференцирование произведения двух функций мож­
но найти по обобщенному правилу Лейбница
⎛ ⎞
𝛼
𝛼
𝛼−𝑘
⎝ ⎠ 𝐷0𝑡
𝐷0𝑡
[𝑥 (𝜏 ) 𝑦 (𝜏 )] =
𝑥 (𝜏 ) 𝑦 (𝑘) (𝑡) ,
𝑘
𝑘=0
∞
∑︁
⎛ ⎞
𝛼
Γ (𝛼 + 1)
.
где коэффициент ⎝ ⎠ =
Γ
(𝑘
+
1)
Γ
(𝛼
−
𝑘
+
1)
𝑘
109
(Е.10)
Рассмотрим дробные операторы от некоторых элементарных функций. Дробная
производная Римана-Лиувилля от единицы отлична от нуля:
𝛼
𝐷0𝑡
1
𝑡−𝛼
=
, 𝛼 > 0, 𝑡 > 0.
Γ (1 − 𝛼)
(Е.11)
Однако дробная производная Герасимова-Капуто от единицы равна нулю.
𝛼
𝜕0𝑡
1 = 0, 𝛼 > 0, 𝑡 > 0.
(Е.12)
Согласно соотношениям (Е.11) и (Е.12) справедливо:
𝛼
𝐷0𝑡
𝐶=
𝐶𝑡−𝛼
𝛼
, 𝜕0𝑡
𝐶 = 0, 𝐶 − 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.
Γ (1 − 𝛼)
Дробная производная Римана-Лиувилля от степенной функции имеет вид
𝑑𝑛
1
𝛼 𝛽
𝐷0𝑡 𝑡 =
Γ (𝑛 − 𝛼) 𝑑𝑡𝑛
∫︁ 𝑡
𝜏 𝛽 (𝑡 − 𝜏 )𝑛−𝛼−1 𝑑𝜏 =
(Е.13)
0
1
𝑑𝑛 𝑡𝑛−𝛼+𝛽
=
Γ (𝑛 − 𝛼) 𝑑𝑡𝑛
∫︁ 𝑡 (︁ )︁𝛽 (︁
𝜏
𝜏 )︁𝑛−𝛼−1 (︁ 𝜏 )︁
1−
𝑑
=
𝑡
𝑡
𝑡
0
1
𝑑𝑛 𝑡𝑛−𝛼+𝛽
=
Γ (𝑛 − 𝛼) 𝑑𝑡𝑛
∫︁1
𝜉 𝛽 (1 − 𝜉)𝑛−𝛼−1 𝑑𝜉 =
0
=
Γ (𝛽 + 1) 𝛽−𝛼
𝑡 .
Γ (𝛽 + 1 − 𝛼)
Здесь мы воспользовались определением бета-функции [121]. Аналогично можно
показать, что дробная производная Герасимова-Капуто от степенной функции
совпадает с (Е.13).
𝛼 𝛽
𝜕0𝑡
𝑡 =
Γ (𝛽 + 1) 𝛽−𝛼
𝑡 .
Γ (𝛽 + 1 − 𝛼)
110
(Е.14)
Решение линейных дифференциальных уравнений дробных порядков можно
найти с помощью интегральных преобразований Фурье и Лапласа. Для оператора
Римана-Лиувилля преобразование Лапласа имеет вид:
𝛼
𝐿 [𝐷0𝑡
𝑥 (𝜏 )] (𝑝) =
⎧
𝑛
∑︀
𝛼−𝑗
⎪
⎨ 𝑝𝛼 𝑥 (𝑝) −
𝑝𝑗−1 lim 𝐷0𝑡
𝑥 (𝜏 ), 𝛼 ≥ 1.
𝑡→0
𝑗=1
(Е.15)
⎪
⎩ 𝑝𝛼 𝑥 (𝑝) , 𝛼 < 0.
Для оператора Герасимова-Капуто справедлива следующая формула преоб­
разования Лапласа:
𝛼
𝐿 [𝜕0𝑡
𝑥 (𝜏 )] (𝑝)
𝛼
= 𝑝 𝑥 (𝑝) −
𝑛−1
∑︁
𝑝𝛼−𝑗−1 𝑥(𝑛) (0), 𝛼 ≥ 1,
(Е.16)
𝑗=0
Преобразование Фурье дробной производной Римана-Лиувилля имеет вид:
𝛼
𝐹 [𝐷0𝑡
𝑥 (𝜏 )] (𝑝) = 𝑥 (𝑝) (−𝑖𝑘)𝛼 , 𝛼 < 1.
(Е.17)
Замечание Е.3. Формула (Е.17) не распространяется в случае, когда 𝛼 ≥ 1, по­
тому что ее правая часть может не существовать в обычном смысле [?]. Поэтому
иногда вводят другое определение дробной производной.
Определение Е.8. Дробной производной Рисса называется следующий опера­
тор
𝛼
𝑥 (𝜏 )
𝜕0𝑡
1
𝑑𝑛
=
2Γ (𝑛 − 𝛼) cos (𝜋 (𝑛 − 𝛼) /2) 𝑑𝑡𝑛
∫︁∞
𝑥 (𝜏 ) 𝑑𝜏
, 𝑛 − 1 < 𝛼 < 𝑛.
|𝑡 − 𝜏 |𝛼−𝑛+1
(Е.18)
−∞
Преобразование Фурье производной Рисcа:
𝛼
𝐹 [𝜕0𝑡
𝑥 (𝜏 )] = |𝑘|𝛼 𝑥 (𝑘) .
111
(Е.19)
Рассмотрим разностный аналог оператора Римана-Лиувилля.
Определение Е.9. Дробной производной Грюнвальда-Летникова называется сле­
дующий оператор
[𝑡/𝜏 ]
𝛼
𝐷0𝑡
𝑥 (𝜏 )
Γ (𝛼 + 1)
1 ∑︁
(−1)𝑘
= lim 𝛼
𝑥 (𝑡 − 𝑘𝜏 ) ,
𝜏 →0 𝜏
𝑘!Γ (𝛼 − 𝑘 + 1)
(Е.20)
𝑘=0
где 𝜏 =
𝑡
– шаг дискретизации, 𝑁 – количество точек.
𝑁
С помощью формулы (Е.20) можно аппроксимировать оператор Римана-Лиувилля
следующим образом:
𝑛
𝛼
𝐷0𝑡
𝑥 (𝜏 )
1 ∑︁
Γ (𝛼 + 1)
≈ 𝛼
(−1)𝑘
𝑥 (𝑡𝑛−𝑘 ) ,
𝜏
𝑘!Γ (𝛼 − 𝑘 + 1)
(Е.21)
𝑘=0
где 𝑡𝑛−𝑘 = 𝑡𝑛 − 𝑘𝜏 . Оператор Герасимова-Капуто аппроксимируется иначе [?]:
1
𝛼
𝜕0𝑡
𝑥 (𝜏 ) =
Γ (1 − 𝛼)
∫︁ 𝑡
0
=
1
Γ (1 − 𝛼)
=
𝑘
∑︁
1
𝑥′ (𝜏 ) 𝑑𝜏
≈
(𝑡 − 𝜏 )𝛼
Γ (1 − 𝛼) 𝑗=0
(𝑗+1)𝜏
∫︁
𝑘
∑︁
𝑥 (𝑡𝑗+1 ) − 𝑥 (𝑡𝑗 )
𝜏
𝑗=0
1
Γ (1 − 𝛼)
(𝑗+1)𝜏
∫︁
𝑥′ (𝜏 ) 𝑑𝜏
=
(𝑡𝑘+1 − 𝜏 )𝛼
𝑗𝜏
𝑑𝜏
=
(𝑡𝑘+1 − 𝜏 )𝛼
𝑗𝜏
𝑘
∑︁
𝑥 (𝑡𝑗+1 ) − 𝑥 (𝑡𝑗 )
𝑗=0
(𝑘−𝑗+1)𝜏
∫︁
𝜏
𝑑𝜂
=
𝜂𝛼
(𝑘−𝑗)𝜏
𝑘
∑︁ 𝑥 (𝑡𝑘−𝑗+1 ) − 𝑥 (𝑡𝑘−𝑗 )
1
=
Γ (1 − 𝛼) 𝑗=0
𝜏
𝑘
(𝑗+1)𝜏
∫︁
𝑑𝜂
=
𝜂𝛼
𝑗𝜏
[︁
]︁
𝜏 −𝛼 ∑︁
=
[𝑥 (𝑡𝑘−𝑗+1 ) − 𝑥 (𝑡𝑘−𝑗 )] (𝑗 + 1)1−𝛼 − 𝑗 1−𝛼 , 0 < 𝛼 < 1.
Γ (2 − 𝛼) 𝑗=0
112
(Е.22)
Здесь (𝑘 + 1) 𝜏 = 𝑡. В случае 1 < 𝛼 < 2 аппроксимация имеет вид:
𝑘
𝛼
𝜕0𝑡
𝑥 (𝜏 )
𝜏 −𝛼 ∑︁
≈
𝑎𝑗 [𝑥 (𝑡𝑘−𝑗+1 ) − 2𝑥 (𝑡𝑘−𝑗 ) + 𝑥 (𝑡𝑘−𝑗−1 )] ,
Γ (3 − 𝛼) 𝑗=0
(Е.23)
где 𝑎𝑗 = (𝑗 + 1)2−𝛼 − 𝑗 2−𝛼 .
В общем случае, когда 𝑛 − 1 < 𝛼 < 𝑛 формулы (Е.22) и (Е.23) обобщаются:
−𝛼
𝛼
𝜕0𝑡
𝑥 (𝜏 ) ≈
𝜏
Γ (𝑛 + 1 − 𝛼)
𝑘 ∑︁
𝑛
∑︁
𝑗=0 𝑖=0
⎛ ⎞
𝑛
⎝ ⎠ (−1)𝑖 𝑎𝑗 𝑥 (𝑡𝑘−𝑗−𝑖+1 ) ,
𝑖
(Е.24)
где 𝑎𝑛𝑗 = (𝑗 + 1)𝑛−𝛼 − 𝑗 𝑛−𝛼 .
Замечание Е.4. Отметим, что все выше перечисленные формулы справедливы
для функций многих переменных. В этом случае будем работать с частными про­
изводными дробного порядка.
Замечание Е.5. Существуют другие определения дробных производных и инте­
гралов. Некоторые являются модификациями операторов Римана-Лиувилля или
Герасимова-Капуто. Другие определяются иначе. Вопрос в выборе того или иного
дробного оператора для решения прикладной задачи является открытым. Обычно
выбирают дробные операторы из соображения простоты в математических преоб­
разованиях и интерпретации результатов моделирования. Например для уравне­
ния с оператором Герасимова-Капуто ставятся традиционные начальные и крае­
вые условия, что важно для физических приложений. Оператор Рисса удобен для
интегрального преобразования Фурье.
Более подробно дробное исчисление рассмотрено в книгах [8, 9, 121, 122,
5, 105, 7]. Необходимо отметить, что существуют различные направления теории
дробного исчисления, например, дробный анализ на основе 𝑑-оператора [123] или
дробные устойчивые распределения (стохастический подход) [110].
113
Приложение Ж
Таблица дробных интегралов
№
𝜙 (𝑡) , 𝑡 > 0
1
exp (𝜆𝑡)
2
𝑡𝛽−1 exp (𝜆𝑡)
3
𝑡𝛽−1
4
(︀ √ )︀
sin 𝜆 𝑡
5
𝑡𝛼−1 sin (2𝜆𝑡)
6
(︀ √ )︀
𝑡−1/2 cos 𝜆 𝑡
7
𝑡𝛼−1 cos (2𝜆𝑡)
8
(︀ √ )︀
sinh 𝜆 𝑡
9
(︀ √ )︀
𝑡−1/2 cosh 𝜆 𝑡
10
11
12
13
14
1 ∫︀𝑡 𝜙 (𝜏 ) 𝑑𝜏
=
, 𝑡 > 0, 𝛼 ∈ C
Γ (𝛼) 0 (𝑡 − 𝜏 )1−𝛼
exp (𝜆𝑡)
𝛾 (𝛼, 𝜆𝑡) = 𝑡𝛼 𝐸1,𝛼+1 (𝜆𝑡)
𝜆𝛼 Γ (𝛼)
Γ (𝛽) 𝛼+𝛽−1
𝑡
1 𝐹1 (𝛽, 𝛼 + 𝛽, 𝜆𝑡) , Re𝛽 > 0
Γ (𝛼 + 𝛽)
Γ (𝛽) 𝑡𝛼+𝛽−1
, Re𝛽 > 0
Γ (𝛼 + 𝛽)
(︂ )︂1/2−𝛼
(︀ √ )︀
√
𝜆
𝜋
𝑡(2𝛼+1)/4 𝐽𝛼+1/2 𝜆 𝑡
2
(︂ )︂−1/2+𝛼
√
𝑡
𝜋
sin (𝜆𝑡) 𝐽𝛼−1/2 (𝜆𝑡)
2𝜆
(︂ )︂−1/2+𝛼
(︀ √ )︀
√
𝜆
𝑡(2𝛼−1)/4 𝐽𝛼−1/2 𝜆 𝑡
𝜋
2
(︂ )︂−1/2+𝛼
√
𝑡
𝜋
cos (𝜆𝑡) 𝐽𝛼−1/2 (𝜆𝑡)
2𝜆
(︂ )︂1/2−𝛼
(︀ √ )︀
√
𝜆
𝑡(2𝛼+1)/4 𝐼𝛼+1/2 𝜆 𝑡
𝜋
2
(︂ )︂−1/2+𝛼
(︀ √ )︀
√
𝜆
𝜋
𝑡(2𝛼−1)/4 𝐼𝛼−1/2 𝜆 𝑡
2
𝛼
𝐼0𝑡
𝜙 (𝜏 )
𝑡𝛼+𝛽−1 𝐸𝜈,𝛼+𝛽 (𝑡𝜈 ) , Re𝜈 > 0, Re𝛽 > 0
(︀ √ )︀
(2/𝜆)𝛼 𝑡(𝛼+𝜇)/2 𝐽𝜇+𝛼 𝜆 𝑡 , Re𝜇 > −1
𝑡𝛼
ln (𝑡)
[ln (𝑡) + 𝜓 (1) − 𝜓 (𝛼 + 1)]
Γ (𝛼 + 1)
Γ (𝛽) 𝑡𝛼+𝛽−1
𝑡𝛽−1 ln (𝑡)
[ln (𝑡) + 𝜓 (𝛽) − 𝜓 (𝛼 + 𝛽)], Re𝛽 > 0
Γ (𝛼 + 𝛽)
Γ (𝛽) 𝛼+𝛽−1
𝑡𝛽−1 2 𝐹1 (𝜈, 𝜇, 𝛽, 𝜆𝑡)
𝑡
2 𝐹1 (𝜈, 𝜇, 𝛼 + 𝛽, 𝜆𝑡) , Re𝛽 > 0
Γ (𝛼 + 𝛽)
𝑡𝛽−1 𝐸𝜈,𝛽 (𝑡𝜈 )
(︀ √ )︀
𝑡𝜇/2 𝐽𝜇 𝜆 𝑡
114
Приложение З
Акты внедрения
З.1. ИКИР ДВО РАН, от 28 октября 2021 г.
Mll1Hll1CTEPCTBO HAYKll1 111 BblCWEro 05PA30BAHll15'1
POCCll1iilCKOiil <t>E,QEPAL.\111111 (Mll1H05PHAYKll1 POCCll1111)
IIpe.n:ce,n:aTemo Hayc:1Horo CoBeTa
DSC 27.06.2017 .FM.0 1.02
~EAEPAJ1bHOErOCY,IJ,APCTBEHHOE
6IO.Q>KETHOE Y4PE>K,QEHv1E HAYKv1
1,1HCT1,1TYT KOCMO<l>1,13HYECKl,1X
1,1CCI1E.QOBAHl,1VI 1,1 PACnPOCTPAHEHl,1~
PAA1,10BOI1H
npH HaI.JJIOHanbHOM YmrnepcHTeTe
Pecny6JIHKH Y36eKHCTaH no
npHcy)K)];eHHIO yqeHOH CTeneHH
AAJ1bHEBOCT04HOro OTAEJ1EHv1fl
POCCv1VICKOL11 AKA,QEM111111 HAYK
.n:oKTopa HayK ,n:.T.H, npo<peccopy
(l.'IKl.'IP .QBO PAH)
MapaxHMOBY A P.
684034 C. naparyttKa, KaMY8TCKl-1H KpaH,
Em13oacK1-1H p-H, yn. M1-1ptta~. 7,
Ten.: (415-31) 33-1 -93, Ten./cpaKc: (415-31) 33-7-18,
e-mail: ikir@ikir.ru, caHT: www.ikir.ru
oKno 02703668, orPH 1024101222639,
111HH/Knn 4105015026/410501001
_
Ha
_
NQ
_
_
_ NQ
- - - - - -
OT
3G3
- -- - - -
YBa)KaeMbIM ABa.3)KOH PaxHMOBHq!
<l>e.n:epanbttoe rocy.n:apcTBeHttoe 610.n:)KeTttoe yqpe)KnettHe HaYKH HHCTHTYT
KOCMOQ?H3lfqecKHX HCCJienoBaHHH H pacnpocTpaHeHH.SI pa,n:HOBOJIH
,[{BO
p AH
no,n:TBep)K,n:aeT, qTo npH BblilOJIHeHHH HayqHo-Hccne,n:oBaTeJibCKHX pa6oT no
rpaHTY P<l><l>H
NQ 19-31-50027 Mon_ Hp no TeMe «MaTeMan1qecKoe Mo,n:en11pOBa-
H11e HeKOTOpbIX <p1n11qecKHX npou:eccoB C IlOMOII(blO 3pe,n:11Tapttoro ypaBHeHIDI P11K-
KaT11» fo>rna pa3pa6oTaHa KOMTibIOTepHa.SI nporpaMMa «I1porpaMMa MMDCSA - MaTeMaTwqecKoe Monen11pOBam1e n11HaMI1Kl1 U:HKJIOB COJIHeLIHOH aKTMBHOCTH» M 3a-
per11cTpMpOBaHa B PocnaTeHTe
25.12.2019 N22019667403 .
IIporpaMMa nO3BOJI.SieT MO,n:enupoBan, ,n:HHaMMK)' COJIHeqHoii aKTHBHOCTli Ha
CTa,n:HH no,n:'heMa, npoBO.Ll:HTh BM3YaJIH3aIJ;RIO MO,n:eJIMpOBaHH.SI.
B
KaqecTBe MO,n:emr
Horo ypaBHeHJUI 6epeTC.SI .n:po6Hoe ypaBHeHHe PttKKan1 C npOM3BO.l(HblMM .n:po6HbIX
nop.SI,n:KOB repaCMMOBa-KanyTO. C TIOMOI.l(b}O qlfcJieHHOro anropHTMa nonyqeHbl p~
llleHIDI MO,n:em-1. EbIJili MCCJie,n:oBaHbI
23 tt 24 U:HKJihl COJIHeqffOH aKTHBHOCTH, napa-
MeTpbI Mo,n:eJIH 6blJil1 yToqHeHhl C noMOI.l(hlO 3KcnepttMeHTanbHbIX .Ll:aHHbIX, IlOKa.3a-
,[(npeKTop I1Kl1P ,[(BO PAH,
IO.B. Maparryneu
,ll.Q?.-M.H.
115
З.2. ИПМА КБНЦ РАН, от 26 ноября 2021 г.
116
НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ
Роман Иванович Паровик,
Дмитрий Александрович Твердый
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
С ПОМОЩЬЮ ДРОБНОГО УРАВНЕНИЯ
РИККАТИ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
С НАСЫЩЕНИЕМ И ПАМЯТЬЮ
Монография
НАУЧНОЕ ИЗДАНИЕ
Роман Иванович Паровик,
Дмитрий Александрович Твердый
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
С ПОМОЩЬЮ ДРОБНОГО УРАВНЕНИЯ
РИККАТИ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
С НАСЫЩЕНИЕМ И ПАМЯТЬЮ
Монография
В авторской редакции
Издательство
ФГБОУ ВО «Камчатский государственный
университет имени Витуса Беринга»
683032, Петропавловск-Камчатский, ул. Пограничная, д. 4
тел. 8 (415-2) 427-078, e-mail: nio@kamgu.ru, www.kamgu.ru
Подписано в печать 29.12.2021. Формат 60×84 1/16
Бумага офсетная. Печать цифровая. Гарнитура «TimesNewRoman»
Уч.-изд. л. 3,12. Усл. печ. л. 6,97. Тираж 50 экз. Заказ № 3280
Отпечатано в РПФ «ЩOРС!»,
г. Петропавловск-Камчатский, ул. Чехова, 1а.