Подшивалова Кира, 53415/1 В однородное электрическое поле Е0 помещен металлический шар радиуса R. Найти: 1) распределение потенциала по углу и электрическое поле внутри и вне шара. 2) Максимальную поверхностную плотность электрического заряда 3) Индуцированный дипольный момент P Решение. Замечание. Развернутый поясняющий рисунок см. в конце решения. Пусть начало координат - центр шара. Потенциал 𝜑 = 𝜑0 + 𝜑1 , где 𝜑0 =- Е𝟎 𝒓 - потенциал внешнего поля, а 𝜑1 -искомое изменение потенциала, вызываемое шаром. Из-за симметричности шара функция 𝜑1 может зависеть лишь от одного постоянного вектора. Единственное такое решение уравнение Лапласа, обращающееся в нуль на бесконечности, 1 Е𝟎 ∗ 𝒓 𝜑1 = −𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 ∗ Е𝟎 ∗ 𝜵 = const ∗ 𝐫 𝐫𝟑 На поверхности шара 𝜑 должно быть постоянным, это значит, что const=𝑅 3, отсюда получаем: 𝜑 = − Е𝟎 ∗ 𝑟 ∗ 𝑐𝑜𝑠𝜃 ∗ (1 − 𝐑𝟑 ) 𝐫𝟑 Где 𝜃 − угол между веторами напряженности поля и 𝒓. Вычислим распределение зарядов на поверхности. Нормальная к поверхности компонента весьма просто связана с плотностью распределения по поверхности заряда. Эта связь получается из общего электродинамического уравнения div 𝐞 = 4πρ, где е- истинное «микроскописческое» значение напряженности электрического поля. И т.к. у нас однородное поле и е̅ = Е, тогда после усреднения получаем: div Е = 4πρ̅ где ρ̅- средняя плотность заряда. Замечание. Напоминаю, что дивергенция - дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное, т.е. 𝑑𝑖𝑣 Е = 𝜕𝐸𝑥 𝜕𝐸𝑦 𝜕𝐸𝑧 + + 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Итак, это уравнение означает, что поток электрического поля через замкнутую поверхность равен полному заряду, находящемуся в ограниченном этой поверхностью объеме (умноженному на 4π). Таким образом, распределение зарядов по поверхности проводника задается формулой: 𝜎= 1 1 ∂𝜑 𝑬 =− 4𝜋 𝒏 4𝜋 ∂𝒏 Где 𝜎 называется поверхностной плотностью заряда, а n- внешняя нормаль к поверхности. Распределение зарядов по поверхности шара для нашего случая: 𝜎=− 1 ∂𝜑 | 4𝜋 ∂𝒓 В любом электрическом поле распределение потенциала обладает «замечательным свойством»: функция 𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧) достигает максимума или минимума на границах области поля. Таким образом, для рассматриваемого шара справедливо: 𝜎(𝑟 = 𝑅) = 3Е0 𝑐𝑜𝑠𝜃 4𝜋 Полный заряд проводника 𝜎=− 1 ∂𝜑 ∮ 𝑑𝑓, 4𝜋 ∂𝒏 Где интеграл берется по всей поверхности. Учитывая «замечательное свойство» потенциала получаем, что полный заряд 0. Ответим на третий вопрос задачи и найдем дипольный момент шара, для этого в начале рассмотрим его энергию. Полная энергия электростатического поля заряженных проводников: 1 𝑈 = ∑ 𝑒𝑖 𝜑𝑖 2 Т.к. в нашем случае поле однородно, то можем считать, что заряды, создающие это поле, находятся на бесконечности. И, если е- удаленный заряд, создающий поле, а 𝜑-потенциал этого поля, создаваемого рассматриваемым проводником в точке нахождения заряда е. Замечание. Энергия самого заряда е, не будет учтена в формуле для U, как не имеющая отношения к интересующей нас энергии самого шара. Итак, энергия рассматриваемого шара: 1 𝑈 = 𝑒𝜑 2 Заряд проводника 0, но под влиянием внешнего поля проводник приобретает дипольный электрический момент Р. Потенциал поля электрического диполя на большом расстоянии r от него, есть, как известно 𝜑 = Pr . r3 Поэтому энергия шара: 1 Pr 𝑈= 𝑒 3 2 r А дипольный момент: Замечание. При решении задачи можно было воспользоваться тем, что при помещении проводника в поле происходит перераспределение и разделение заряда таким образом, что шар можно представить как диполь и при этом решение будет следующим. 𝑞 𝑞 1 2 𝜑 =𝑟 +𝑟 = 𝜃 𝑞(𝑟2 −𝑟1 ) 𝑟1 𝑟2 = {т. к. ∆𝑟 ≫ 𝑙} = 𝑞𝑙𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑟2 Пусть 𝜑(𝑟 = 0) = 0, но поверхность металла эквипотенциальная => 0 = 𝜑0 + 𝜑инд и находим дипольный момент 𝜕𝜑 | = Е𝑹 = 4𝜋𝑡, где 𝑡 = 3 Е𝟎 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝜕𝒓