1 Ýëåìåíòû òåîðèè  áîëüøèíñòâå êîíòóðîâ ìîæíî âûäåëèòü òðè îñíîâíûõ âèäà ñîïðîòèâëåíèé: èíäóêòèâíîå, ¼ìêîñòîå è àêòèâíîå. Íàïðÿæåíèå è ñèëà òîêà íà êàæäîì òàêîì ýëåìåíòå ñâÿçàíû ñîîòâåòñòâåííî u(t) = Ri(t), (1) äëÿ àêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ R; u(t) = L di(t) , (2) dt äëÿ èíäóêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ L; 1 u(t) = C Zt i(τ )dτ + q0 , (3) 0 äëÿ ¼ìêîñòíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ C.  îáùåì âèäå â äëÿ ðàñ÷åòà íàïðÿæåíèÿ â öåïè íåîáõîäèìî ðåøèòü èíòåãðî-äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå, ñîñòàâëåííîå èç âûðàæåíèé (1), (2) è (3). ×òîáû îáîéòè ýòî, ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ìåòîäàìè îïåðàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ: ïðèìåíèòü ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà ê íàøèì ôóíêöèÿì, ò.å. çàìåíèòü èõ íà îïåðàòîðíûå àíàëîãè; ðåøèòü óðàâíåíèå, â êîòîðîì íåò íåîáõîäèìîñòè ðàáîòàòü ñ ïðîèçâîäíûìè è èíòåãðàëàìè: õâàòàåò îáû÷íîé àëãåáðû; ïðèâåñòè îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà íàä ïîëó÷åííîé ôóíêöèåé. Çàìå÷àíèå: ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà èìååò ïðåäñòàâëåíèå Z∞ e−st f (t)dt = F (p), (4) 0 Îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà ñîîòâåòñòâåííî 1 lim 2πi ω→∞ σZ 2 +iω est F (s)ds, (5) σ1 −iω Ïðèìåíèì (4) ê (1), (2) è (3): U (p) = RI(p); U (p) = L(pI(p) − i0 ); U (p) = 1 (I + q0 ), (6∗) Cp Îáóñëîâèìñÿ, ÷òî ìû ðàññìàòðèâàåì ñèñòåìó òàêèì îáðàçîì, ÷òî â ìîìåíò âðåìåíè t0 â ñèñòåìå îòñóòñòâóåò òîê (i0 ðàçðÿæåí (q0 Òîãäà (6∗) = 0, ãäå q0 = 0), à êîíäåíñàòîð ïîëíîñòüþ - çàðÿä íà îáêëàäêàõ êîíäåíñàòîðà). ïðèíèìàåò âèä U = RI; U = LpI; U = 1 I, (6) Cp Î÷åâèäíî, ÷òî èç (6) ñëåäóåò çàêîí Îìà äëÿ îïåðàòîðíûõ âåëè÷èí: U = IZ, (7) 1 Èñïîëüçóÿ (7), âûðàçèì îïåðàòîðíûå ñîïðîòèâëåíèÿ äëÿ èíäóêöèè, ¼ì- êîñòè è ðåçèñòîðà: ZR = R; ZL = Lp; ZC = 1 , (8) Cp Íåñëîæíî ïîíÿòü, ÷òî ïðàâèëà ðàñ÷¼òà ïàðàìåòðîâ öåïè äëÿ îïåðàòîðíûõ àíàëîãîâ ðåàëüíûõ âåëè÷èí îñòàþòñÿ òàêèìè æå: ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ñîåäèíåíèè òîê îñòà¼òñÿ ïîñòîÿííûì, à ñîïðîòèâëåíèå ÿâëÿåòñÿ ñóììîé ñîïðîòèâëåíèé ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèí¼ííûõ ýëåìåíòîâ, ïðè ïàðàëëåëüíîì íàïðÿæåíèå ïîñòîÿííî, à îáðàòíàÿ ñîïðîòèâëåíèþ âåëè÷èíà ÿâëÿåòñÿ ñóììîé îáðàòíûõ ñîïðîòèâëåíèþ âåëè÷èí íà êàæäîì ýëåìåíòå. 2 Êîììåíòàðèè ê âàðèàíòó  ìî¼ì çàäàíèè ÿ âñòðåòèë öåïü, ñîñòàâëåíóþ èç èñòî÷íèêà ïîñòîÿííîãî òîêà è ïàðàëëåëüíî ïîäêëþ÷åííûõ ê íåìó êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè çèñòîðà R è êîíäåíñàòîðà L, ðå- C. Òóò ñòîèò ñðàçó æå îãîâîðèòü îäíó äåòàëü - êàòóøêà â áîëüøèíñòå ìîäåëåé ïðåäñòàâëÿåòñÿ èäåàëüíîé - å¼ çíà÷åíèå àêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ðàâíî íóëþ.  òàêîì ñëó÷àå, ÷òî äàæå ìàòåìàòèêà ïîäâåðæäàåò, ïðè çàìûêàíèè êëþ÷à òîê âîçðàñòàåò â öåïè ëèíåéíî, è âñÿ ýíåðãèÿ ÷åëîâå÷åñòâà ïîñòåïåííî ïåðåõîäèò â ýòó öåïü. Ñ òî÷êè çðåíèÿ ôèçèêè ýòî àáñîëþòíûé áðåä, ïîýòîìó ñòîèò ïðèáëèçèòü öåïü ê äåéñòâèòåëüíîñòè.  íàøåì ìèðå ó ëþáîãî ñîëåíîèäà åñòü íåáîëüøîå, íî âñ¼-òàêè ñîïðîòèâëåíèå RL . Ïîýòîìó ÿ äîáàâèë â öåïü ðåçèñòîð ñ òàêèì ñîïðîòèâëåíèåì ïîñëåäîâàòåëüíî ê êàòóøêå. Ïîñëå òàêîé ïîïðàâêè âñå çàêîíû ñîõðàíåíèÿ îïÿòü âûïîëíÿþòñÿ. Òåïåðü ê âûïîëíåíèþ ðàáîòû. 2.1 Ìèíèìóì Ïåðâûì äåëîì ÿ âû÷èñëèë èìïåäàíñ ïî ïðàâèëàì äëÿ îáû÷íûõ öåïåé: îáðàòíóþ åìó âåëè÷èíó ÿ ïðåäñòàâèë â âèäå ñóììû îáðàòíûõ âåëè÷èí. 1 1 1 1 = + + , (9) Z ZR Z L + Z RL ZC Cp + (8) → (9) → (7) ⇒ I(p) = U (p) 1 1 + R Lp + RL p Äàëåå, èñïîëüçóÿ ôóíêöèþ InverseLaplaceTransform ÿ âåðíóëñÿ ê âðåìåííûì òîêó, íàïðÿæåíèþ è ñîïðîòèâëåíèþ è ïîëó÷èë çàâèñèìîñòü ñèëû òîêà îò îñòàëüíûõ ïàðàìåòðîâ öåïè. Äàëåå îñòàëîñü ñäåëàòü èíòåðàêòèâíîå ãðàôè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå äàííîé çàâèñèìîñòè, ñ âîçìîæíîñòüþ ìåíÿòü ïàðàìåòðû öåïè èñïîëüçóÿ ñîîòâåòñòâóþùèå ïîëçóíêè. Ïðåäåëû, â êîòîðûõ èçìåíÿþòñÿ âåëè÷èíû ÿ ñòàðàëñÿ ïîäîáðàòü ïîáëèæå ê ðåàëüíûì çíà÷åíèÿì ýòèõ âåëè÷èí â âñòðå÷àþùèõñÿ öåïÿõ (õîòÿ ñ òî÷êè çðåíèÿ ìàòåìàòèêè îíè ìîãóò áûòü ëþáûìè). Íà ýòîì ÷àñòü minimum çàêîí÷åíà. 2 2.2 Ìåäèóì Òóò âñ¼ ñîâåðøåííî î÷åâèäíî, ïîýòîìó íå áóäó çàîñòðÿòü íà ýòîì ìíîãî âíèìàíèÿ. Åñëè âêðàòöå, èñïîëüçóÿ ñòàíäàðòíûå äëÿ öåïåé ïðåäñòàâëåíèÿ íàõîæó çíà÷åíèå äëÿ îïåðàòîðíîãî òîêà, à ïîñëå ýòîãî ïðîèçâîæó îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà, ÷òîáû íàéòè âðåìåííîé òîê. Ïðåäñòàâëÿþ ýòî ãðàôè÷åñêè òàêèì æå îáðàçîì. Íà ýòîì ÷àñòü medium çàêîí÷åíà. 2.3 Ìàêñèìóì À âîò òóò âñ¼ íåìíîæêî èíòåðåñíåé. Òåïåðü ó íàñ íàïðÿæåíèå ïðåäñòàâëåíî êàê u(t) = u0 coswt Ïðîèçâåäåì ïðÿìîå ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà ôóíêöèåé LaplaceTransform. Ïîëó÷àåì u(t) → U (p) = p2 pU + w2 ðàññ÷èòàåì âñå ïàðàìåòðû öåïè òåìè æå ìåòîäàìè, ÷òî è â ïðîãðàììå ìèíèìóì. Èòîãîâàÿ çàâèñèìîñòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå èíòåðàêòèâíîãî ãðàôèêà ñ ïîëçóíêàìè, ïîçâîëÿþùåìè èçìåíÿòü èñõîäíûå ïàðàìåòðû öåïè â çàäàííûõ ïðåäåëàõ. 3 Âûâîä  ðåçóëüòàòå âûïîëíåíèÿ äàííîãî êîëëîêâèóìà ÿ íàó÷èëñÿ ðàññ÷èòûâàòü ýëåêòðè÷åñêèå öåïè îïåðàöèîííûì ìåòîäîì, à òàêæå íàó÷èëñÿ ïðèìåíÿòü ïðåîáðàçîâàíèå Ëàïëàñà â ñðåäå Mathematica. 3