Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Школа – Инженерная школа энергетики НОЦ – И.Н. Бутакова Направление – 13.03.01 Теплоэнергетика и теплотехника КУРСОВАЯ РАБОТА “Математические основы расчета одноконтурной автоматической системы регулирования” Вариант №20 Студент группа ФИО Руководитель должность Ф.И.О. подпись ученая степень,звание Томск 2018 дата подпись дата Министерство образования и науки Российской Федерации федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Школа – Инженерная школа энергетики НОЦ – И.Н. Бутакова Направление – 13.03.01 Теплоэнергетика и теплотехника ЗАДАНИЕ на выполнение курсовой работы по МОТУ Студенту: Группа ФИО Тема работы: “Математические основы расчета одноконтурной автоматической системы регулирования” Срок сдачи студентом выполненной работы: 1 11 декабря 2018 ТЕХНИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ: Ис хо д ные да н н ые к р а б о те стр ук т ур на я с хем а о д н о ко н т ур но й АСР ; пер ед ато ч на я ф ун к ц и я о б ъе кт а р е г ул и р о ва н и я по ка на л у р ег ул и р ую щ его во з де йс т в ия Wоб (P) = гд е п ар ам е тр ы Коб (T1 P + 1)(T2 P + 1) о б ъе к та р е г ул и р о в ан и я с о гл ас но вар иа н т у № 2 0 Коб = 3,4; T1 = 68 с; T2 = 34 с. пер ед ато ч на я ф ун к ц и я ПИ р ег ул я то р а 𝑊𝑝 (𝑃) = Пер еч е нь по д ле жа щ и х ис с ле до в а ни ю, пр о е к т ир о в а н ию и р азр а бо т к е во пр о со в Пер еч е нь гр аф и чес ко го м атер и а ла 𝐾𝑝 ∙ (𝑇и 𝑃 + 1) 𝑇и 𝑃 ан а ли з с тр ук т ур ы АСР ; р асче т и по с тр о е н ие гр аф и ка вр е м ен но й хар ак т ер и с т ик и о б ъе кт а р е г ул и р о в а н и я из выр а ж е ни я п ер е да то ч н о й ф ун к ц и и ; р асче т о п т им а ль н ы х пар ам е тр о в на стр о й к и р ег ул я то р а и нж е нер ны м и м ето дам и ; вы во д ур а в не н и я з ам к н ут о й АСР по ка на л у зад аю ще го во зд е йс тв и я ; о пр е де л е ни е ус то йч и во ст и з ам к н уто й АС Р ; р асче т и по с тр о е н и е пер е хо д но го пр о ц есса в зам к н ут о й АСР ; ан а ли з каче ст в а п ер е х о д но го пр о це сса в з а м к н ут о й АСР Р ез ул ьт ат ы р а сче то в Дата выдачи задания на выполнение выпускной квалификационной работы по линейному графику Задание выдал руководитель: Должность ФИО Ученая степень, звание Задание принял к исполнению студент: Группа ФИО 2 Подпись Дата Подпись Дата Курсовая работа 32 с., 8 рис., 1 табл., 6 источников. Ключевые слова: анализ структуры АСР; параметры настройки регулятора; уравнение замкнутой АСР; переходный процесс, ПИ регулятор; объект управления; закон регулирования. Объектом исследования является: одноконтурная автоматическая система регулирования. Цель работы: анализ и математический расчет одноконтурной автоматической системы регулирования. В процессе исследования проводились: изучение необходимой литературы, применение полученных знаний на практике. Область применения: системы регулирования. 3 автоматического управления и Содержание Введение ........................................................................................ 5 1 Анализ структуры АСР .......... Ошибка! Закладка не определена. 2 Расчёт и построение графика временной характеристики объекта .................................................................................................... 11 3 Расчёт оптимальных параметров настройки регулятора ............ 11 4 Вывод уравнения замкнутой АСР .............................................. 17 5 Определение устойчивости замкнутой АСР ............................... 19 6 Расчёт и построение переходного процесса в замкнутой АСР ... 23 7 Анализ качества переходного процесса в замкнутой АСР ......... 28 Заключение .................................................................................. 30 Список использованных источников ............................................ 31 4 Введение Данная курсовая работа представляет собой ознакомление с автоматической системой регулирования, математический расчет одноконтурной автоматической системы регулирования. В ходе ее выполнения приобретает опыт работы со специальной литературой, приобретается навык решения конкретных инженерных задач, развивается работа со средствами вычислительной техники Современная теория автоматического регулирования является основной частью теории управления. Система автоматического регулирования состоит из регулируемого объекта и элементов управления, которые воздействуют на объект при изменении одной или нескольких регулируемых переменных. Под влиянием входных сигналов (управления или возмущения), изменяются регулируемые переменные. Цель же регулирования заключается в формировании таких законов, при которых выходные регулируемые переменные мало отличались бы от требуемых значений. Формирование систем автоматического регулирования, как правило, выполняют на основе аналитических методов анализа или синтеза. На этом этапе проектирования систем регулирования на основе принятые допущений составляют математическую модель системы и выбирают предварительную ее структуру. В зависимости от типа модели (линейная или нелинейная) выбирают метод расчета для определения параметров, обеспечивающих заданные показатели устойчивости, точности и качества. После этого уточняют математическую модель и с использованием средств математического моделирования определяют динамические процессы в системе. При действии различных входных сигналов снимают частотные характеристики и сравнивают с расчетными. Затем окончательно устанавливают запасы устойчивости системы по фазе и модулю и находят основные показатели качества. 5 1. Анализ структуры АСР Совокупность воздействий, направленных на поддержание функционирования какого-либо процесса в соответствии с поставленной целью, называется управлением. Управление, осуществляемое без участия человека, называется автоматическим, а системы – автоматическими системами регулирования (АСР)[1]. АСР выполняет задачу изменения какой-либо величины по требуемому алгоритму. Эта величина носит название регулируемой. Технический агрегат, в котором осуществляется управление, называется объектом управления[3]. Автоматическое управление осуществляется путем подачи на вход объекта управления специального воздействия, именуемого управляющим воздействием. Управляющее воздействие вырабатывается специальным техническим устройством, именуемым управляющим устройством, или автоматическим регулятором. Характер и цели управления, необходимые регулятору для выработки управляющего воздействия, определяются задающим воздействием, поступающим на вход регулятора от специального задающего устройства или задающего элемента. Таким образом, АСР можно представить в виде соединения задающего элемента S, управляющего устройства УУ и объекта управления (рисунок 1) [3]. Рисунок 1 – Структурная схема АСР Рассмотрим схему на рисунке 1 подробнее. В левой части структурной схемы буквой S обозначен задающий элемент (входное 6 воздействие) – воздействие, подаваемое на вход системы или устройства. Далее идёт сумматор. Его действие заключается в суммировании поступающих к нему сигналов. Если какой-либо сектор сумматора зачернен, то сигнал, поступающий в данный сектор, берется со знаком «-». В данном случае все секторы светлые, следовательно, все сигналы берутся в сумму со знаком «+». Линию между сумматором и управляющим устройством (УУ) можно назвать ошибкой управления. Управляющее устройство – устройство, осуществляющее воздействие на объект управления с целью обеспечения требуемого режима работы. Линию между УУ и объектом управления называется управляющее воздействие – воздействие управляющего устройства на объект управления. Буквой x на схеме обозначено возмущающее воздействие – воздействие, стремящееся нарушить требуемую функциональную связь между задающим воздействием и регулируемой величиной. Математическое выражение функциональной зависимости управляющего воздействия от входного воздействия на регулятор называется алгоритмом (законом) регулирования. В данной работе рассматривается пропорционально интегральный закон регулирования. Помимо задатчика, объекта регулирования и регулятора в состав АСР входят вспомогательные устройства (рисунок 2) [3]. Рисунок 2 – Структурная схема одноконтурной АСР. 7 В системах автоматического управления все элементы соединяются между собой либо последовательно, либо параллельно, либо встречнопараллельно. Последнее соединение называется обратной связью[1]. Элементы автоматического регулирования: 1. Объект управления Вследствие физическая большого природа разнообразия различна. Это объектов могут быть управления их технологические, экономические и организационные объекты и процессы. Различаются также динамические свойства объектов управления. Некоторые объекты обладают так называемым чистым запаздыванием, которое выражается в том, что при изменении нагрузки или управляющего воздействия U выходная величина изменяется не сразу, а через некоторый промежуток времени. Изучением свойств объектов управления и построением их моделей занимается теория идентификации. 2. Исполнительный элемент Под исполнительным элементом понимается совокупность элементов системы управления обеспечивающая передачу от управляющего устройства и воздействие на объект управляющего воздействия. Исполнительный элемент может включать в себя исполнительное устройство (исполнительный механизм) и исполнительный орган. Исполнительный орган часто относят к объекту управления. Природа ИЭ определяется природой объекта управления 3. Измерительное устройство Назначением измерительного устройства является измерение действительных значений управляющих и возмущающих воздействий. Измерительные устройства могут быть самыми разнообразными в зависимости от природы измеряемых величин. Всякое измерительное устройство является преобразователем измеряемой величины в величину удобную для дальнейшего использования. Измерительное устройство 8 обладает собственными динамическими свойствами и может достаточно сильно искажать измеряемую величину. 4. Управляющее устройство Управляющее устройство формирует управляющее воздействие на объект управления в соответствии с заданным алгоритмом управления (законом регулирования) с учетом фактических Y и заданных Y* значений выходной переменной и контролируемых возмущений W. Управляющее устройство может представлять собой как отдельное специализированное устройство (регулятор - регулирующее устройство) так и комплекс вычислительных средств, решающих задачи идентификации, оценки состояния и оптимизации в темпе с управляемым процессом. В простейших случаях управляющее устройство отсутствует и измерительное устройство выходной переменной непосредственно соединено с исполнительным механизмом (исполнительным органом). Такие системы называются системами автоматического регулирования прямого действия. 5. Задающее устройство – задатчик Предназначено для установления необходимого значения управляемой выходной величины. Это значение может устанавливаться либо постоянным, либо формироваться в соответствии с некоторыми правилами, обеспечивающими достижение поставленной цели или как результат решения оптимизационной задачи. Величина на выходе задающего устройства должна быть одинаковой природы с измеренным значением выходной переменной. 6. Усилитель Усилитель принимает сигнал от датчика и передает его после усиления на специальный элемент, который реализует заключительную операцию автоматического контроля — представление контролируемой величины в форме, удобной для наблюдения или регистрации. Усилитель, не изменяющий принципа действия системы, необходим для ее практической 9 реализации, когда мощность сигнала, поступающего от элемента сравнения, недостаточна для воздействия на рабочий орган. 7. Регулирующий орган Регулирующий орган как элемент АСР представляет собой пропорциональное (безынерционное) звено. Он не вносит в систему никаких динамических отклонений. На результате работы системы, на качестве процесса регулирования отражается только величина передачи, определяемся статической характеристикой коэффициента регулирующего органа. Для осуществления автоматического регулирования к регулируемому объекту подключается автоматический регулятор, вырабатывающий управляющее воздействие на регулирующий орган. Это управляющее воздействие вырабатывается регулятором в зависимости от разности между текущим значением регулируемой величины (температуры, давления, уровня жидкости и т. д.), измеряемой датчиком, и желаемым её значением, устанавливаемым задатчиком. Регулируемый объект и автоматический регулятор вместе образуют систему автоматического регулирования. Основным признаком АСР, является наличие главной обратной связи, по которой регулятор контролирует значение регулируемого параметра[1]. 10 2. Расчёт и построение графика временной характеристики объекта Задание: Вывод математического дифференциального уравнения объекта регулирования по его передаточной функции. Нахождение решения полученного дифференциального уравнения при единичном входном воздействии и нулевых начальных условиях Различают статические и динамические характеристики элементов системы. Статической характеристикой называют зависимость выходного сигнала элемента от входного в установившемся состоянии. Динамическая характеристика – это реакция системы на возмущение (зависимость изменения выходных переменных, входных и от времени). Переходной характеристикой называют реакцию системы на ступенчатое единичное входное воздействие при нулевых начальных условиях (из установившегося состояния). В качестве математической модели объекта управления используются обыкновенные дифференциальные уравнения или их различные преобразования. Дифференциальное уравнение звеньев и систем в общем виде можно представить, как dn d n-1 y dy an n + an-1 n-1 +…a1 + a0 y = b0 x dt dt dt где ai(i=1,2…n), b0– постоянные коэффициенты; x,y – величины входного и выходного сигналов[1]. Другим математическим описанием динамики звеньев и систем является аппарат передаточных функций. Методика получения передаточной функции объекта регулирования по дифференциальному уравнению приведена в приложении Б. Согласно ей возможно решение обратной задачи: получение дифференциального уравнения из передаточной функции. Для расчета и построения временной характеристики объекта регулирования следует найти решение его дифференциального уравнения. 11 В полученном выражении решения дифференциального уравнения задается значение времени t и строим графи временной характеристики объекта. Составим математическое дифференциальное уравнение объекта регулирования по его передаточной функции. Дано дифференциальное уравнение 𝑑2𝑦 𝑑𝑦 𝑎2 ⋅ 2 + 𝑎1 ⋅ + 𝑎0 ⋅ 𝑦(𝑡) = 𝑏0 ⋅ 𝑥(𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Определим математическое выражение передаточной функции Решение Применим Лапласа. При к дифференциальному нулевых начальных уравнению условиях преобразование справедливы формулы преобразования операций дифференцирования: d2 y dy Р2 Y(P); Р Y(P); y t Y 2 dt dt x t X P Дифференциальное уравнение, преобразованное по Лапласу, записывается в виде a 2 P 2 a1 P a 0 Y P b 0 X P Отношение изображений выходного сигнала Y(P) к входномуX(P) при нулевых начальных условиях называется передаточной функцией W(P): W P b0 Y ( P) 2 X ( P) a2 P a1 P a0 По условию нам даны следующие значения: К об 3,4 12 Т1 68с. Т 2 34с. Таким образом, передаточная функция объекта регулирования примет вид: 𝑊об (Р) = Составим объекта W(Р) 𝐾об 3,4 = (𝑇1 𝑃 + 1) ⋅ (𝑇2 𝑃 + 1) (68𝑃 + 1) ⋅ (34𝑃 + 1) математическое регулирования дифференциальное по его уравнение передаточной функции: Y(Р) 3,4 X(P) 3,4 Y(P) X(Р) (68P 1) (34P 1) (68P 1) (34P 1) Если применить обратное преобразование Лапласа: Y(P) (68P 1) (34P 1) 3,4 X(P) Упростим: 𝑌(𝑃) ⋅ (2312Р2 + 102Р + 1) = 3,4 ⋅ 𝑋(𝑃) Y(P) 2312Р2 Y(P) 102Р Y(P) 3,4 X(P) d2 y dy 2312 2 102 y(t) 3,4 x(t) dt dt Решим дифференциальное коэффициентами: уравнение с постоянными d2 y dy 2312 2 102 y(t) 3,4 x(t) dt dt С нулевыми начальными условиями y(t) t 0 0; y(t) t 0 0; 1. Дифференциальное уравнение неоднородное, поэтому его решение состоит из двух составляющих y(t) y св (t) y вын (t), где yсв (t); yвын (t) - свободная и вынужденная составляющая решения 2. yвын (t) Вынужденная составляющая решения находится по выражению b0 3,4 3,4 a0 1 13 3. Свободная составляющая решения определяется видами корней характеристического уравнения a 2 P 2 a1 P a 0 0 2312 P2 102 P 1 0 D 1022 4 2312 1 1156 P1 102 1156 1 2 * 2312 68 P2 102 1156 1 2 * 2312 34 3.1 Вещественным различным корням характеристического уравнения соответствует свободная составляющая решения yсв (t) с1 еP1t с2 еP2 t yсв (t) с1 е 4. 1 t 68 с2 е 1 t 34 Записываем решение дифференциального уравнения и находим постоянные интегрирования y(t) y св (t) y вын (t) с1 е 1 t 68 с2 е 1 t 34 3,4 При t 0 y(t) 0 с1 с 2 3,4 0 При t 0 y(t) 0 y(t) (с1 е 1 t 68 с2 е 1 t 34 1 t 1 t 3,4) c1 е 68 с2 е 34 0 68 34 1 1 1 c2 0 c1 68 34 c1 c2 3,4 0 Выразим с1 с1 3,4 с 2 14 1 1 1 (3,4 с2 ) с2 0 68 34 1 34 1 ( с2 ) с 2 0 68 10 34 34 1 1 с2 с2 0 680 68 34 1 34 с2 = 68 680 с2 = 3,4 с1 = −3,4 − 3,4 = −6,8 5. Подставим коэффициенты и получим решение уравнения 1 1 𝑦св (𝑡) = −6,8 ⋅ е−68⋅𝑡 + 3,4 ⋅ е−34⋅𝑡 1 1 𝑦(𝑡) = 𝑦св (𝑡) + 𝑦вын (𝑡) = −6,8 ⋅ е−68⋅𝑡 + 3,4 ⋅ е−34⋅𝑡 + 3,4 Построим график (рисунок 3), задавая значения t (таблица 1) 1 1 𝑦(𝑡) = 𝑦св (𝑡) + 𝑦вын (𝑡) = −6,8 ⋅ е−68⋅𝑡 + 3,4 ⋅ е−34⋅𝑡 + 3,4 Таблица 1 – Зависимость значения y от значения t. t, с y 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 2,149 2,23 2,397 2,579 2,748 2,891 3,008 3,101 3,173 3,229 3,271 3,304 3,328 3,346 3,36 3,37 3,377 3,383 3,387 15 380 400 420 440 460 480 500 520 540 560 580 600 3,391 3,393 3,395 3,396 3,397 3,398 3,398 3,399 3,399 3,399 3,4 3,4 3,4 3,2 3 Y 2,8 2,6 2,4 2,2 2 0 100 200 300 400 500 t, c Рисунок 3 - График временной характеристики объекта регулирования 16 600 3. Расчёт оптимальных параметров настройки регулятора Задание: 1. Определение динамических характеристик объекта управления по графику переходной характеристики. 2. Расчет оптимальных параметров настройки регулятора (ОПН) инженерным методом. Исхо݀д݀н݀ы݀м݀и да݀н݀н݀ы݀м݀и д݀л݀я расчета ОПН регулирующего устройства с݀лу݀жит график пе݀рехо݀д݀но݀й характеристика объекта управления. Воспользуемся аппросимацией – замена графика математической моделью объекта, состоящей, например, из последовательно соединенных звеньев запаздывани я и одноемкостного инерционного [4]. Величины, которые характеризуют динамические свойства объекта: коэффициент усиления K о б , постоянную времениT об , время запаздывания τ о б . На графике временной характеристики объекта регулирования проводим касательную в максимальной точке скорости (рис. 4). Y 4 Tоб 3,5 3 2,5 2 1,5 ∆𝑌 1 0,5 0 0 𝜏об 100 200 300 400 500 600 t, c 700 Рисунок 4 – график переходной характеристики зависимости Y(t) Строим график зависимости X(t) (рис 5). 17 1,2 X 1 0,8 0,6 ΔX 0,4 0,2 0 0 100 200 300 400 500 600 700 t, c Рисунок 5 – график зависимости X(t) Находим величины, которые характеризуют динамические свойства объекта: ∆𝑌 = 3,4; Единичный ступенчатый сигнал, значит ∆𝑋 = 1, отсюда следует, ∆𝑌 Коб = = 3,4. ∆𝑋 Определяем по графику T о б = 149,7141 с; 𝜏об = 10,9489 с. Находим соотношение: 𝜏об 10,9489 с = = 0,073132. Tоб 149,7141 с Выбираем расчетные формулы из методички, приложе ние «Д». Формулы выбираются согласно параметрам ПИ -регулятора. 0 ≤ 0,073132 ≤ 0,2 следовательно, воспользуемся формулой для нахождения оптимальных параметров настройки (ОПН) регулирующего устройства: 0,9 0,9 Кр = 𝜏об = 10,9489 с = 5,59. ∙ Коб ∙ 2,2 T об 149,7141 с 𝑇и = 3,3 ∙ 𝜏об = 3,3 ∙ 10,9489 с = 36,13 с. 18 4. Вывод уравнения замкнутой АСР Задание: 1. Нахождение эквивалентной передаточной функции замкнутой АСР. 2. Расчет устойчивости замкнутой АСР при помощи алгебраического критерия Гурвица. Под устойчивостью линейной системы понимают ее способность возвращаться к исходному состоянию после снятия возмущающих воздействий. С точки зрения устойчивости системы могут быть устойчивыми, неустойчивыми и нейтральными [3, 4, 6]. Для исследования устойчивости можно воспользоваться двумя методами: прямым и косвенным. Прямой метод предусматривает получение переходного процесса экспериментальным путем на действующей установке, что требует больших затрат вре мени на проведение эксперимента[3,4]. Косвенные методы позволяют судить об устойчивост и системы без экспериментального определения переходных процессов. Такими методами являются алгебраические критерии устойчивости Гурвица и Льенара-Шипара [3, 4, 6]. Алгебраические критерии требуют получения характеристического уравнения для замкнутой АСР. Это наиболее просто выполнить, исходя из анализа соединения звеньев АСР. В системах автоматического управления все элементы соединяются между собой либо последовательно, либо параллельно, либо встречно-параллельно. Математическое выражение знаменателя эквивалентной передаточной функции, приравненное к нулю, представляет собой характеристическое уравнение замкнутой АСР Критерий Гурвица формулируется следующим образом: для устойчивости линейной системы автоматического регулирования необходимо и достаточно, чтобы при положительных 19 коэффициентах уравнения главные диагональные миноры определителя Гурвица были положительны. Решение: 1. Нахождение эквивалентной передаточной функции замкнутой АСР. Схема из задания: Преобразовываем совокупности данную схему: последовательного представляем и ее в виде встречно -параллельного соединений. Параллельное соединение: WЭКВ 12 ( р) Wр ( р) Wоб ( р) Встречно-параллельное соединение: Отрицательная обратная связь (следовательно, в знаменателе ставится «+»). 𝑊ЭКВ (𝑝) = 𝑊𝑝 (𝑝) ∙ 𝑊об (𝑝) 𝑊ЭКВ 1−2 (𝑝) = . 1 + 𝑊ЭКВ 1−2 (𝑝) 1 + 𝑊𝑝 (𝑝) ∙ 𝑊об (𝑝) Из условия: 𝑊об (𝑝) = Коб 3,4 = (𝑇1 𝑃 + 1)(𝑇2 𝑃 + 1) (68𝑃 + 1)(34𝑃 + 1) 20 𝑊𝑝 (𝑝) = К𝑝 (𝑇и 𝑃 + 1) 5,59 ∙ (36,13 ∙ 𝑃 + 1) = . 𝑇и 𝑃 36,13 ∙ 𝑃 Подставим полученное выражение в формулу для WЭКВ ( p ) : 𝑊ЭКВ (𝑝) = 𝑊𝑝 (𝑝) ∙ 𝑊об (𝑝) 1 + 𝑊𝑝 (𝑝) ∙ 𝑊об (𝑝) 5,59∙(36,13∙𝑃+1) 𝑊ЭКВ (𝑝) = 1+ 3,4 ∙ 36,13∙𝑃 (68𝑃+1)(34𝑃+1) 5,59∙(36,13∙𝑃+1) 3,4 36,13∙𝑃 ∙ = (68𝑃+1)(34𝑃+1) 686,68∙𝑃+19 = 76163,04∙𝑃3 +3576,87∙𝑃2 +36,13∙𝑃 686,68∙𝑃+19 1+ . 76163,04∙𝑃3 +3576,87∙𝑃2 +36,13∙𝑃 Разделим числитель и знаменатель на 1 𝑊ЭКВ (𝑝) = 1 686,68∙𝑃+19 76163,04∙𝑃3 +3576,87∙𝑃2 +36,13∙𝑃 1 = 76163,04∙𝑃3+3576,87∙𝑃2+36,13∙𝑃 686,68∙𝑃+19 = +1 686,68∙𝑃+19 76163,04∙𝑃3 +3576,87∙𝑃2 +36,13∙𝑃 : = = +1 1 76163,04∙𝑃3 +3576,87∙𝑃2 +36,13∙𝑃+686,68∙𝑃+19 = 686,68∙𝑃+19 = 686,68 ∙ 𝑃 + 19 . 76163,04 ∙ 𝑃3 + 3576,87 ∙ 𝑃2 + 722,81 ∙ 𝑃 + 19 Получаем характеристическое (математическое уравнение выражение знаменателя замкнутой АСР эквивалентной придаточной функции): 76163,04 ∙ 𝑃3 + 3576,87 ∙ 𝑃2 + 722,81 ∙ 𝑃 + 19 = 0. 2. Расчет устойчивости замкнутой АСР при помощи алгебраического критерия Гурвица. Правила составления определителя Гурвица 21 n a n 1 а n 3 ... 0 an a n 2 ... 0 ... ... ... ... 0 0 ... a 0 По главной диагонали записываем элементы начиная с an-1 и заканчивая а0; Ниже от главной диагонали записываем элементы с записываем элементы с последовательно-возрастающими индексами; Выше от главной диагонали последовательно-убывающими индексами Если число индекса превышает nили меньше нуля, то в матрице ставятся нули. 76163,04 ∙ 𝑃3 + 3576,87 ∙ 𝑃2 + 722,81 ∙ 𝑃 + 19 = 0. Определитель Гурвица: 𝑎2 ∆3 = |𝑎3 0 𝑎0 𝑎1 𝑎2 0 19 0 3576,87 0 | = |76163,04 722,81 0| 𝑎0 3576,87 19 0 Главные миноры: ∆1 = 3576,87 > 0; 19 3576,87 ∆2 = | | = 3576,87 ∙ 722,81 − 19 ∙ 76163,04 = 76163,04 722,81 = 2439799,6 > 0. 19 0 3576,87 ∆3 = |76163,04 722,81 0| 3576,87 19 0 Разложим по третьему столбцу. ∆3 = 19 ∙ (−1)3+3 ∙ ∆2 = 19 ∙ 2439799,6 = 46356192,4 > 0. Автоматическая система регулирования коэффициенты дифференциального положительными и определители, устойчивая, уравнения составленные так являются как главные миноры матрицы Гурвица, тоже являются положительными. 22 как 5. Определение устойчивости замкнутой АСР Расчет устойчивости замкнутой АСР при помощи алгебраического критерия Гурвица. Правила составления определителя Гурвица n a n 1 а n 3 ... 0 an a n 2 ... 0 ... ... ... ... 0 0 ... a 0 По главной диагонали записываем элементы начиная с an-1 и заканчивая а0; Ниже от главной диагонали записываем элементы с записываем элементы с последовательно-возрастающими индексами; Выше от главной диагонали последовательно-убывающими индексами Если число индекса превышает nили меньше нуля, то в матрице ставятся нули. 76163,04 ∙ 𝑃3 + 3576,87 ∙ 𝑃2 + 722,81 ∙ 𝑃 + 19 = 0. Определитель Гурвица: 𝑎2 ∆3 = |𝑎3 0 𝑎0 𝑎1 𝑎2 0 19 0 3576,87 0 | = |76163,04 722,81 0| 𝑎0 3576,87 19 0 Главные миноры: ∆1 = 3576,87 > 0; 19 3576,87 ∆2 = | | = 3576,87 ∙ 722,81 − 19 ∙ 76163,04 = 76163,04 722,81 = 2439799,6 > 0. 19 0 3576,87 ∆3 = |76163,04 722,81 0| 3576,87 19 0 Разложим по третьему столбцу. ∆3 = 19 ∙ (−1)3+3 ∙ ∆2 = 19 ∙ 2439799,6 = 46356192,4 > 0. 23 Автоматическая система регулирования коэффициенты дифференциального положительными и определители, устойчивая, урав нения составленные так являются как главные миноры матрицы Гурвица, тоже являются положительными. 24 как 6.Расчёт и построение переходного процесса в замкнутой АСР Задание: Расчет и построение переходного процесса в замкнутой АСР корневым методом. Поведение замкнутой АСР описывается дифференциальным уравнением: an dny dt n bm Его an1 d mx dt m d n 1 y dt n1 bm1 можно a1 d m1x dt m1 получить dy a0 y dt b1 dx b0 x. dt из математического выражения передаточной функции замкнутой АСР. Решение дифференциального уравнения состоит из двух составляющих: y (t ) yсв (t ) yвын (t ), где yсв (t ), yвын (t ) - соответственно свободная и вынужденная составляющие решения. Особенностью полученного дифференциального уравнения является содержание производных от входного воздействия в его правой части. Для его решения необходимо выполнить пересчет начальных условий 𝑦(0), 𝑦 ′ (0), 𝑦 ′′ (0) – начальные ′ (+0), ′′ (+0) условия; 𝑦(+0), 𝑦 𝑦 – пересчитанные начальные условия. Из системы уравнений находим значения c1, c2 , c3 и окончательное выражение уравнения для переходного процесса в АСР. Задавая в нем значения времени t, получаем значения регулируемой величины y, согласно которым строится график переходного процесса в замкнутой АСР. Решение: 1. Передаточная функция замкнутой системы: 𝑊экв (𝑃) = 𝑌экв (𝑃) 686,68 ∙ 𝑃 + 19 = 3 𝑋экв (𝑃) 76163,04 ∙ 𝑃 + 3576,87 ∙ 𝑃2 + 722,81 ∙ 𝑃 + 19 25 2. Характеристическое уравнение: 𝑌экв (𝑃) ∙ [76163,04 ∙ 𝑃3 + 3576,87 ∙ 𝑃2 + 722,81 ∙ 𝑃 + 19] = 𝑋экв (𝑃) ∙ ∙ [686,68 ∙ 𝑃 + 19] 𝑌экв (𝑃) ∙ 76163,04 ∙ 𝑃3 + 𝑌экв (𝑃) ∙ 3576,87 ∙ 𝑃2 + 𝑌экв (𝑃) ∙ 722,81 ∙ 𝑃 + 𝑌экв (𝑃) ∙ 19 = 𝑋экв (𝑃) ∙ 686,68 ∙ 𝑃 + 𝑋экв (𝑃) ∙ 19 𝑑 3 𝑦(𝑡) 𝑑 2 𝑦(𝑡) 𝑑𝑦(𝑡) 76163,04 + 3576,87 + 722,81 + 19𝑦(𝑡) 𝑑𝑡 3 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 𝑑𝑥(𝑡) = 686,68 + 19𝑥(𝑡) 𝑑𝑡 3. Вынужденная составляющая выходной величины АСР: 𝑏0 ∙ 1(𝑡) = 1 ∙ 1(𝑡) = 1(𝑡) 𝑎0 4. Для нахождения свободной составляющей приравняем знаменатель к нулю и найдём корни характеристического уравнения: 𝑦вын = 76163,04 ∙ 𝑃3 + 3576,87 ∙ 𝑃2 + 722,81 ∙ 𝑃 + 19 = 0 Воспользуемся программой MathCad: Рисунок 1 – нахождение корней характеристического уравнения в программе MathCad В результате получаем: 𝑃1 = −0.028; 𝑃2 = −0.0095 + 0.094𝑖; 𝑃3 = −0.0095 − 0.094𝑖 5. Т.к. корни вещественные и комплексные свободная составляющая выходной величины АСР (𝑦пер (𝑡)) примет вид: 𝑦св (𝑡) = 𝑐1 ∙ 𝑒 𝑃1𝑡 + (𝑐2 sin(𝛽𝑡) + 𝑐3 cos(𝛽𝑡)) ∙ 𝑒 𝛼𝑡 , где 𝑃2,3 = 𝛼 ± 𝑖𝛽 Подставим значения 𝑃1,2,3 : 𝑦св (𝑡) = 𝑐1 ∙ 𝑒 −0.028𝑡 + (𝑐2 sin(0.094𝑡) + 𝑐3 cos(0.094𝑡)) ∙ 𝑒 −0.0095𝑡 6. Тогда решение дифференциального уравнения примет вид: 26 𝑦(𝑡) = 𝑦св (𝑡) + 𝑦вын (𝑡) = = 𝑐1 ∙ 𝑒 −0.028𝑡 + (𝑐2 sin(0.094𝑡) + 𝑐3 cos(0.094𝑡)) ∙ 𝑒 −0.0095𝑡 + 1 7. Найдём постоянные интегрирования исходя из начальных условий: 𝑦(0) = 𝑦(+0); 𝑦 ′ (0) = 𝑦 ′ (+0); 𝑏𝑚 , 𝑎𝑚 где m, n – порядок производной левой и правой частей дифференциального уравнения; 𝑦(0), 𝑦 ′ (0), 𝑦 ′′ (0) – начальные условия; 𝑏 𝑦(+0), 𝑦 ′ (+0), 𝑦 ′′ (+0) + 𝑚 – пересчитанные начальные условия 𝑦 ′′ (0) = 𝑦 ′′ (+0) + 𝑎𝑚 𝑦(0) = 𝑐1 + 𝑐3 + 1 𝑦 ′ (0) = −0.028 ∙ 𝑐1 + 0.094 ∙ 𝑐2 − 0.0095 ∙ 𝑐3 𝑏1 𝑏𝑚 686,68 = = = 0,00901 𝑎3 𝑎𝑛 76163,04 𝑦 ′′ (0) = 𝑦 ′′ (+0) + 0,00901 𝑦 ′′ (0) = 0,000784 ∙ 𝑐1 + 0,186 ∙ 𝑐2 − 0,008752 ∙ 𝑐3 = 0,00901 Составим систему для нахождения постоянных интегрирования : 𝑐1 + 𝑐3 + 1 = 0 −0.028 ∙ 𝑐1 + 0.094 ∙ 𝑐2 − 0,0095 ∙ 𝑐3 = 0 0,000784 ∙ 𝑐1 + 0,186 ∙ 𝑐2 − 0,008752 ∙ 𝑐3 = 0,00901 Тогда 𝑐1 = 0,4129 ; 𝑐2 = −0,0197; 𝑐3 = −1,41 . 8. В результате получим окончательное выражение для переходного процесса: 𝑦(𝑡) = 0,4129 ∙ 𝑒 −0.028𝑡 + (−0,0197 ∙ sin(0.094𝑡) − 1,41 ∙ cos(0.094𝑡)) ∙ ∙ 𝑒 −0.0095𝑡 + 1 9. График переходного процесса: y(t) 27 y(t) 1,8 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 100 200 300 400 500 600 t t, c Рисунок 6 – график переходного процесса y(t) 7.Анализ качества переходного процесса в замкнутой АСР По графику переходного процесса взамкнутой АСР найти прямые оценки качества работы системы управления. На графике переходного процесса, вызванного ступенчатым изменением задающего воздействия, найдём следующие показатели качества: 28 1,80 1,60 1,40 𝑦(∞) 1,20 A2 A1 1,00 y(t) A3 0,80 0,60 0,40 0,20 0,00 0,00 100,00 200,00 300,00 400,00 500,00 600,00 700,00 t, c Рисунок 7 – График переходного процесса с параметрами для расчета показателей качества 1. Перерегулирование𝜎 (%): A1 0,67 100 100 67% y() 1 2. Статическая ошибка: 𝜀ст = 𝑆 − 𝑦(∞) = 1 − 1 = 0. 3. Степень затухания ψ: 𝐴1 − 𝐴2 0,67 − 0,28 ψ= = = 0,13. 𝐴1 0,67 4. Время регулирования 𝑡р – время, по истечению которого отклонение регулируемой величины от установившегося состояния не будет превышать величины 𝛿 = 0,05 ∙ 𝑦(∞) = 0,05 ∙ 1 = 0,05. Для точности расчётов возьмём график в увеличенном масштабе в интервале 𝑡 = 160 ÷ 240 (рисунок 2). 29 1,30 1,25 1,20 1,15 𝛿 1,10 y(t) 1,05 1,00 𝛿 0,95 0,90 tр 0,85 0,80 300,00 365,00 430,00 495,00 560,00 625,00 690,00 755,00 t, c Рисунок 8 – увеличенный фрагмент графика переходной характеристики y(t) для определения t р Из графика видно, что время регулирования равно :𝑡р = 612 с. 5. Максимальная динамическая ошибка :𝐴1 = 0,67. 30 Заключение Данная работа позволила ознакомиться с автоматической системой регулирования, а также с математическим расчетом одноконтурной автоматической системы регулирования. Кроме того, позволила приобрести опыт работы со специальной литературой, навыки решения конкретных инженерных задач, также повысить уровень работы со средствами вычислительной техники. Хочется подчеркнуть одно из самых главных, что цель регулирования заключается в формировании таких законов, при которых выходные регулируемые переменные мало отличались бы от требуемых значений. Не маловажным вопросом является формирование систем автоматического регулирования оно, как правило, выполняют на основе аналитических методов анализа или синтеза. 31 Список использованных источников 1. В.А. Бескекерский. Теория автоматического управления / В. А. Бескекерский, Е. П. Попов, -СПБ.: Профессия, 2008. -752 с. 2. А.А. Первознанский. Курс теории автоматического управления. – М.:Наука, 2010.- 624с. 3. А.С. Востриков. Теория автоматического регулирования / А. С. Востриков, Г. А. Французова, -М.: Высшая школа,2006.- 365 с. 4. А.С. Андык. Теория автоматического управления: учебное пособие.Томск: изд-во ТПУ, 2003.- 108 с. 5. В.Я. Ротач. Теория автоматического управления теплоэнергетических процессами.- М.: Энергоатомиздат, 1985. – 366 с. 6. Г.П. Плетнев. Автоматическое управление и защита теплоэнергетических установок электрических станций.- М.: Энергоатомиздат, 1986. 344 с. 32
