Курсовая работа по дисциплине ТЭС

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ ИМ. ПРОФ. М.А. БОНЧ-БРУЕВИЧА»
(СПБГУТ)
Факультет Фундаментальной подготовки
Кафедра теоретических основ телекоммуникаций
КУРСОВАЯ РАБОТА
По дисциплине
Тема работы:
Общая теория связи
(наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)
Расчёт основных характеристик цифровой системы связи
с квадратурной модуляцией
Выполнил: студент гр.
РМ-03
(шифр группы)
(подпись)
Оценка:
Дата:
Номер варианта: 39
Проверил руководитель работы:
(должность)
(подпись)
(Ф.И.О.)
Санкт-Петербург
2022г
Чуменко Н.А.
(Ф.И.О.)
Оглавление
1. Структурная схема системы цифровой связи........................................................3
2. Исходные данные .........................................................................................................5
3. Расчёт основных характеристик системы передачи цифровой информации. 6
3.1. Источник сообщения................................................................................................6
3.2. Аналого-цифровой преобразователь ..................................................................10
3.3. Кодер .........................................................................................................................12
3.4. Формирователь модулирующих сигналов ........................................................14
3.5. Модулятор ................................................................................................................23
3.5.1. Сглаживающий формирующий фильтр .........................................................23
3.5.2. Блоки перемножителей, инвертор, сумматор ................................................30
3.6. Непрерывный канал ..............................................................................................32
3.7. Демодулятор ............................................................................................................33
3.8. Декодер......................................................................................................................38
Заключение .....................................................................................................................45
Список использованных источников ........................................................................46
2
1. СТРУКТУРНАЯ СХЕМА СИСТЕМЫ ЦИФРОВОЙ СВЯЗИ
Цель курсовой работы (КР) – изучить принципы работы системы
цифровой передачи аналоговых сообщений и рассчитать основные
характеристики входящих в неё функциональных узлов.
Система связи предназначена для передачи аналоговых сообщений по
цифровому каналу связи. Структурная схема для КАМ-16 и КФМ-4
представлена на рис. 1.1.
Рис. 1.1. Структурная схема системы цифровой связи.
Назначение всех функциональных узлов цифровой системы связи
(ЦСС):
1 – источник сообщений создает реализации a(t) случайного процесса
A(t);
2 – аналого-цифровой преобразователь (АЦП) преобразует аналоговый
сигнал от источника сообщения в последовательность его двоичных цифровых
отсчётов;
3
3 – кодер (К) включает в цифровой поток от АЦП дополнительные
символы, предназначенные для повышения помехоустойчивости системы
связи;
4 – формирователь модулирующих сигналов (ФМС) служит для
получения модулирующих сигналов I(t) и Q(t), соответствующих заданному
виду модуляции;
5 – сглаживающие формирующие фильтры (СФФ1, СФФ2) необходимы
для оптимизации ЦСС в отношении межсимвольной помехи;
6 – перемножители, используются для получения БМ сигналов:
синфазного I(t)cosωсt и квадратурного Q(t)sinωсt;
π
7 – фазовращатель на угол φ = - модулятора служит для получения
2
второго несущего колебания, ортогонального по отношению к первому;
8 – генератор гармонических колебаний предназначен для получения
несущего колебания;
9 – инвертор изменяет знак перед сигналом;
10 – сумматор модулятора нужен для объединения синфазного и
квадратурного сигналов в единый сигнал с квадратурной модуляцией S КАМ(t)
= I(t)cosωсt + Q(t)sinωсt;
11 – непрерывный канал является средой распространения сигнала
SКАМ(t);
12 – демодулятор (ДМ) нужен для анализа приходящего сигнала,
искаженного помехами, и принятии решения о переданном сообщении;
13 – декодер (ДК) предназначен для исправления части ошибок,
возникших при приёме сообщений вследствие влияния помех;
14 – получатель сообщений (ПС).
4
2. ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ
Номер выполняемого варианта m определяется двумя последними
цифрами в номере зачетной книжки студента. Мой вариант – 39. Исходные
данные указаны в таблице 1.
Таблица 1
Предельные уровни
аналогового сигнала
aмин , aмакс (В)
aмакс = 25,6 (В)
aмин = -25,6(В)
Верхняя частота
спектра
аналогового сигнала
fB
𝑓в
= (1 + 𝑚 ∗ 10−2 )104 (Гц)
𝑓в = 13900(Гц)
Заданный уровень
квантования
𝑗 = 500 − 3 ∗ 𝑚
j  383
Номер варианта m
в пределах
𝑁0
= 2,3 ∗ 10−7 В2 ⁄Гц
1…33
3,0∙ 10−7
34…66
2,3∙ 10−7
67…99
1,85∙ 10−7
𝑞 = (𝑚 𝑚𝑜𝑑 3) + 1
q 1
Вид модуляции
Вид модуляции
по числу l
КАМ-16
+
Спектральная
плотность
мощности
флуктуационной
помехи
– номер тактового
интервала ошибки
q
№ вида модуляции
l  m mod 2
1
Кодирование и декодирование – свёрточное.
5
3. РАСЧЁТ ОСНОВНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМЫ ПЕРЕДАЧИ
ЦИФРОВОЙ ИНФОРМАЦИИ.
3.1. ИСТОЧНИК СООБЩЕНИЯ
Источник сообщения (ИС) вырабатывает реализации 𝑎(t) стационарного
случайного процесса A(t) типа квазибелого шума с параметрами 𝑎мин, 𝑎макс и 𝑓в.
Мгновенные значения сообщения равновероятны в интервале от значения 𝑎мин
до значения 𝑎макс.
1) Аналитическое выражение плотности вероятности 𝑤(𝑎) мгновенных
значений сообщения будет равно:
𝑤(𝑎) =
1
1
=
= 0,0195
𝑎макс − 𝑎мин 51,2
0
𝑤(𝑎) =
𝐶=
{ 0
, при − ∞ ≤ 𝑎 < 𝑎мин ;
1
, при 𝑎мин ≤ 𝑎 ≤ 𝑎макс ;
𝑎макс − 𝑎мин
, при 𝑎макс < 𝑎 ≤ ∞.
Подставим значения:
0
𝑤(𝑎) = { 𝐶 = 0,0195
0
, при − ∞ ≤ 𝑎 < −25,6 ;
, при − 25,6 ≤ 𝑎 ≤ 25,6 ;
, при 25,6 < 𝑎 ≤ ∞.
Рис. 2. График плотности вероятности
6
Определим функцию распределения вероятности 𝐹(𝑎) мгновенных
значений сообщения:
0
, при − ∞ ≤ 𝑎 < 𝑎мин ;
𝑎 − 𝑎мин
, при 𝑎мин ≤ 𝑎 ≤ 𝑎макс ;
𝐹(𝑎) = {
𝑎макс − 𝑎мин
1
, при 𝑎макс < 𝑎 ≤ ∞.
Подставим значения:
0
𝑎 + 25,6
𝐹(𝑎) =
51,2
{ 1
, при − ∞ ≤ 𝑎 < −25,6 ;
, при − 25,6 ≤ 𝑎 ≤ 25,6 ;
, при 25,6 < 𝑎 ≤ ∞.
Рис. 3. График функции распределения
2) Определим математическое ожидание 𝑀[𝐴(𝑡)] и дисперсию 𝐷[𝐴(𝑡)]
случайного сообщения A(t).
Математическое ожидание сообщения 𝑀[𝐴(𝑡)]:
25,6
25,6
−25,6
−25,6
1
1 𝑎2 25,6
𝑀[𝐴(𝑡)] = ∫ 𝑎 ∙ 𝑤(𝑎)𝑑𝑎 = ∫ 𝑎 ∙
𝑑𝑎 =
∙ |
=
51,2
51,2 2 −25,6
=
1
∙ (25,62 − (−25,6)2 ) = 0 [В]
102,4
7
Дисперсия сообщения 𝐷[𝐴(𝑡)]:
25,6
25,6
1
∫ (𝑎 − 𝑀)2 ∙ 𝑤(𝑎)𝑑𝑎 =
∙ ∫ 𝑎2 𝑑𝑎 =
51,2
𝐷[𝐴(𝑡)] =
−25,6
−25,6
1
𝑎3 25,6
1
1
=
∙( |
∙ ( ∙ (25,63 − (−25,6)3 )) =
)=
51,2 3 −25,6
51,2 3
=
1
1
1
∙ ( ∙ 33 554,432) =
∙ 11 184,81 = 218,453 [В2 ]
51,2 3
51,2
3) Определим спектральную плотность мощности сообщения 𝐺𝐴 (𝑓):
𝐷
218,453 [В2 ]
[В2 ]
𝐺𝐴 (𝑓) = 𝐺0 =
=
= 0,008
2 ∙ 𝑓𝐵 2 ∙ 13900 [Гц]
[Гц]
0
, при − ∞ ≤ 𝑓 < −𝑓в ;
𝐺𝐴 (𝑓) = 𝐺0 =
{0
𝐷
, при − 𝑓в ≤ 𝑓 ≤ 𝑓в ;
2 ∙ 𝑓в
, при 𝑓в < 𝑓 ≤ ∞.
Подставим значения:
0
, при − ∞ ≤ 𝑓 < −13900;
2
𝐺𝐴 (𝑓) =
𝐺0 = 0,008
{ 0
[В ]
, при − 13900 ≤ 𝑓 ≤ 13900;
[Гц]
, при 13900 < 𝑓 ≤ ∞.
8
Рис. 4. График спектральной мощности сообщения
4) В соответствии с теоремой Винера-Хинчина корреляционная функция
BA(τ) стационарного случайного процесса A(t) определяется по формуле:
∞
𝑓в
𝐵𝐴 (𝜏) = ∫ 𝐺𝐴 (𝑓) ∙ 𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝜏 𝑑𝑓 = ∫ 𝐺0 (𝑓) ∙ 𝑒 𝑗2𝜋𝑓𝜏 𝑑𝑓 =
−∞
−𝑓в
𝑓в
𝑓в
= ∫ 𝐺0 (𝑓) ∙ cos(2𝜋𝑓𝜏) 𝑑𝑓 = 2𝐺0 ∫ 𝑐𝑜𝑠(2𝜋𝑓𝜏)𝑑𝑓 =
−𝑓в
0
2𝐺0
sin(2𝜋𝑓в 𝜏)
∙ sin(2𝜋𝑓𝜏) = 2𝐺0 𝑓в ∙
=
2𝜋𝜏
2𝜋𝑓в 𝜏
[В2 ]
sin(2𝜋 ∙ 13900[Гц] ∙ 𝜏)
= 2 ∙ 0,012
∙ 18100 [Гц] ∙
[Гц]
2𝜋 ∙ 13900[Гц] ∙ 𝜏
=
9
Рис. 5. График корреляционной функции сообщения
Так как
lim 𝐵𝐴 (𝜏) = 0, следовательно, сообщение A(t) является
|𝜏|→∞
эргодическим случайным процессом.
3.2. АНАЛОГО-ЦИФРОВОЙ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЬ
Аналого-цифровой преобразователь (АЦП) преобразует реализации
аналогового (непрерывного) сообщения A(t) в цифровую форму, в поток
двоичных символов: нулей и единиц, т. е. в последовательность
прямоугольных импульсов, где «0» имеет нулевое напряжение, а «1» –
прямоугольный импульс положительной полярности. Амплитуда импульсов
U равна 1 В.
Преобразование аналогового сигнала в цифровую форму осуществляется
в три этапа:
На первом этапе производится дискретизация реализации 𝑎(t) сообщения
A(t) по времени. В моменты времени ti берутся непрерывные по уровню
отсчеты 𝑎(ti) мгновенных значений реализации 𝑎(t). Расстояние между
отсчетами равно интервалу t, величина которого определяется в
соответствии с теоремой Котельникова:
𝑓д =
1
≥ 2𝑓в ;
Δt
10
На втором этапе выполняется квантование точных отсчетов 𝑎(ti) по
уровню. Для этого интервал , равный разности   𝑎макс – 𝑎мин , разбивается
на уровни квантования с постоянным шагом   0,1 В. Уровни квантования
нумеруются целыми числами 0, 1, 2, 3, ..., 𝐿 – 1. Нумерация уровней начинается
с уровня, которому соответствует значение 𝑎мин , и заканчивается на уровне,
которому соответствует значение 𝑎макс . Обычно величина шага квантования 
выбирается так, чтобы число уровней квантования 𝐿 можно было представить
в виде 𝐿 = 2𝑘  , где k – целое число.
Каждый аналоговый отсчет 𝑎(ti) заменяется значением ближайшего к
нему уровня квантования j в виде целого числа, удовлетворяющего
неравенству 0 ≤ j  𝐿 – 1. Получаем квантованный отсчет j10(ti) в виде целого
числа в десятичной форме счисления.
На третьем этапе число j10(ti) в десятичной форме переводится в двоичную
форму счисления j2(ti) в виде последовательности k двоичных символов и на
выходе АЦП появляется сигнал в виде двоичной цифровой
последовательности из k информационных символов.
1) Определим интервал дискретизации Δt на основе теоремы отсчётов:
Δt =
1
1
=
= 36 [мкс]
2 ∙ 𝑓в 2 ∙ 13900 (Гц)
2) Найдём частоту дискретизации 𝑓д :
𝑓д = 2 ∙ 𝑓в = 27800 [Гц]
𝑓д = 28 [кГц]
3) Число уровней квантования L определяется по формуле:
𝐿 = 2𝑘 , где k – разрядность АЦП, k = 9, L = 29 = 512
4) Рассчитаем мощность шума квантования:
𝑃шк
(0,1 [В])2
Δ2
=
=
= 8,3 ∙ 10−4 [В]2
12
12
5) Минимальное число k двоичных разрядов, требуемое для записи
двоичной форме любого номера j из 𝐿 − 1 номеров уровней квантования
равняется 9.
11
6) Переведём число 383 в двоичную форму при k = 9:
j = 38310 = 1011111112
7) Временная осциллограмма отклика АЦП bАЦП(t) на уровень с заданным
номером j выполняется с помощью использования уровней напряжения
интерфейса Centronics. Амплитуда U импульсов равна 1 В.
Рис. 6. Осциллограмма сигнала на выходе АЦП
3.3. КОДЕР
Используется помехоустойчивый свёрточный код.
1) Зададим ему следующие параметры:
Степень кодирования:
𝑘 1
=
𝑛 2
Длина кодового ограничения: 𝐾 = 3
Векторы связи: ̅̅̅
𝑔1 = 111, ̅̅̅
𝑔2 = 101
2) Структурная схема кодера, соответствующая заданным параметрам:
12
Рис. 7. Структурная схема кодера
3) Решётчатая диаграмма свёрточного кодера:
Рис. 8. Решётчатая диаграмма свёрточного кода
4) По решётчатой диаграмме свёрточного кодера определим
последовательность кодовых символов (КС) 𝑢̅ на выходе кодера при условии,
когда на вход кодера поступает 9-разрядная двоичная последовательность
информационных символов (ИС) 𝑚
̅, соответствующая заданному уровню
квантования j = 101111111. На выходе кодера получена последовательность
КС:
𝑢̅ = 11 10 00 01 10 10 10 10 10
13
5)
Построим
путь,
соответствующий
полученным
КС:
Рис. 9. Решетчатая диаграмма свёрточного кодера от момента времени t1 до
момента времени t10
3.4. ФОРМИРОВАТЕЛЬ МОДУЛИРУЮЩИХ СИГНАЛОВ
Формирователь модулирующих сигналов (ФМС) предназначен для
преобразования двоичного цифрового потока от кодера C(t) в модулирующие
сигналы I(t) и Q(t), которые необходимо подавать на синфазный и
квадратурный входы модулятора для получения заданного сигнального
созвездия на его выходе. Он должен содержать:
1) регистр сдвига для деления входного потока бит от кодера на группы,
передаваемые одним сигналом sКАМ(t) дибиты при QPSK;
2) преобразователи уровней битовых сигналов (униполярной кодировки в
биполярную: при QPSK «0» → h, «1» → –h.
1) Изобразим сигнальное созвездие для заданного вида модуляции:
14
Рис. 10. Сигнальное созвездие для КАМ-16
2) Изобразим график реализации c(t) случайного процесса C(t) на входе
блока ФМС (выходе свёрточного кодера) для первых 16 бинарных интервалов:
Рис. 11. График реализации c(t) случайного процесса C(t), формируемого с выхода блока
свёрточного кодера
Длительность двоичного символа
последовательном формате) равна:
𝑇𝐵 =
𝑇𝐵
на
выходе
кодера
(в
∆𝑡
36 мкс
=
= 2 [мкс]
2∙𝑘
2∙9
Напишем аналитическое выражение для случайного процесса C(t):
𝐶(𝑡) = ∑∞
𝑛=−∞ 𝐶𝑛 ∙ 𝑔1 (𝑡 − 𝑛𝑇в ),
где 𝑔1 (𝑡) – прямоугольный импульс длительностью 𝑇𝐵 :
1, при 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇𝐵
𝑔1 (𝑡) = {
,
0, при 𝑡 < 0, 𝑡 > 𝑇𝐵
А 𝑔1 (𝑡 − 𝑛𝑇𝐵 ) прямоугольный импульс такой же формы, как 𝑔1 (𝑡), но
сдвинутый вправо относительно импульса 𝑔1 (𝑡) на величину 𝑛𝑇в , если 𝑛 > 0,
или влево, если 𝑛 < 0; 𝐶𝑛 - случайная величина.
15
3) В соответствии с модуляцией КАМ-16 изобразим графики:
Рис. 12. а) График реализации с(t) случайного процесса C(t), поступающие на вход блока
ФМС; б) График прямоугольного импульса длительностью 𝑇𝑠 ; в) График реализации i(t)
случайного процесса I(t) на выходе блока ФМС; г) График реализации q(t) случайного
процесса Q(t) на выходе блока ФМС
Напишем аналитические выражения для случайных процессов I(t) и Q(t):
∞
𝐼(𝑡) = ∑ 𝐼𝑛 ∙ 𝑔2 (𝑡 − 𝑛𝑇𝑆 );
−∞
∞
𝑄(𝑡) = ∑ 𝑄𝑛 ∙ 𝑔2 (𝑡 − 𝑛𝑇𝑆 ),
−∞
16
где 𝑔2 (𝑡) – прямоугольный импульс длительностью 𝑇𝑠 = 𝑇𝐵 ∙ 4 =
2 [мкс] ∙ 4 = 8 [мкс].
𝑔2 (𝑡) = {
1, при 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇𝑠
,
0, при 𝑡 < 0, 𝑡 > 𝑇𝑠
А 𝑔2 (𝑡 − 𝑛𝑇𝑠 ) прямоугольный импульс такой же формы, как 𝑔2 (𝑡), но
сдвинутый вправо относительно импульса 𝑔2 (𝑡) на величину 𝑛𝑇𝑠 , если 𝑛 > 0,
или влево, если 𝑛 < 0; 𝐼𝑛 и 𝑄𝑛 независимые случайные величины, заданные на
символьном интервале с номером n , которые согласно сигнальному
созвездию (рис. 10) принимают четыре дискретных значения 3h , h , h , 3h с
вероятностью 0,25 каждое, т. е.
𝑃(−3ℎ) = 𝑃(−ℎ) = 𝑃(ℎ) = 𝑃(3ℎ) = 0,25.
4) Напишем аналитические выражения для корреляционной функции
𝐵𝐶 (𝜏):
|𝜏|
ℎ2 ∙ (1 − ) , при |𝜏| ≤ 𝑇𝐵
𝐵𝐶 (𝜏) = {
𝑇𝐵
0
, при |𝜏| > 𝑇𝐵
Подставим значения:
12 [В]2 ∙ (1 −
𝐵𝐶 (𝜏) = {
0
|𝜏|
) , при |𝜏| ≤ 2 [мкс]
2 [мкс]
, при |𝜏| > 2 [мкс]
17
Рис. 13. График корреляционной функции BC(τ) случайного процесса C(t)
Напишем аналитические выражения для спектральной плотности
мощности функции 𝐺𝐶 (𝜔):
𝜔𝑇
𝑠𝑖𝑛2 ( 𝐵 )
2
𝐺𝐶 (𝜔) = 𝑇𝐵 ∙ ℎ2 ∙
𝜔𝑇𝐵 2
( 2 )
𝜔 ∙ 2 [мкс]
𝑠𝑖𝑛2 (
)
2
2
2
𝐺𝐶 (𝜔) = 2 [мкс] ∙ 1 [В ] ∙
𝜔 ∙ 2 [мкс] 2
(
)
2
18
Рис. 14. График спектральной плотности мощности GC(ω) случайного процесса C(t)
5) Напишем аналитические выражения для корреляционных функций
𝐵𝐼 (𝜏) и 𝐵𝑄 (𝜏):
𝐵𝐼 (𝜏) = 𝐵𝑄 (𝜏) = {
ℎ2 ∙ (1 −
0
|𝜏|
) , при |𝜏| ≤ 𝑇𝑆
𝑇𝑆
, при |𝜏| > 𝑇𝑆
Подставим значения:
𝐵𝐼 (𝜏) = 𝐵𝑄 (𝜏) = {
0
12 [В2 ] ∙ (1 −
19
|𝜏|
) , при |𝜏| ≤ 8 [мкс]
8 [мкс]
, при |𝜏| > 8 [мкс]
Рис. 15. График корреляционной функции случайных процессов I(t) и Q(t) на выходе ФМС
Напишем аналитические выражения для корреляционных функций GQ(ω)
и GI(ω):
𝜔𝑇𝑆
2 )
𝐺𝐼 (𝜔) = 𝐺𝑄 (𝜔) = 𝑇𝑆 ∙ 5 ∙ ℎ2 ∙
𝜔𝑇𝑆 2
( 2 )
𝑠𝑖𝑛2 (
Подставим значения:
𝐺𝐼 (𝜔) = 𝐺𝑄 (𝜔) = 8 [мкс] ∙ 5 ∙ 12 [В2 ] ∙
20
𝜔 ∙ 8 [мкс]
)
2
𝜔 ∙ 8[мкс] 2
(
)
2
𝑠𝑖𝑛2 (
Рис. 16. График спектральной плотности мощности случайных процессов I(t) и Q(t)
6) Сравним графики корреляционных функций и спектральных
плотностей мощности сигналов на входе и выходе блока ФМС:
Рис. 17. Сравнение графиков корреляционных функций сигналов на входе и выходе
блока ФМС
21
Отличие BI(τ) и BQ(τ) от корреляционной функции BС(τ) проявляется в
том, что вместо параметра TB используется параметр TS, где TS – символьный
интервал.
Рис. 18. Сравнение графиков спектральных плотностей мощности сигналов на входе
и выходе блока ФМС
Форма графика функций GQ(ω) и GI(ω) будет похожа на форму графика
GC(ω). Величина главного максимума станет больше и будет равна TS ∙ 5h2 и в
точках 𝜔 = ±
2𝜋
𝑇𝑆
,±
4𝜋
𝑇𝑆
, … график этих функций будет касаться оси абсцисс ω.
В случае КАМ-16 величина TS = 4∙ TВ, где TВ – бинарный интервал, и
поэтому график функций GQ(ω) и GI(ω), оставаясь нефинитным, станет в 4
раза уже, чем график GC(ω).
22
3.5. МОДУЛЯТОР
В состав модулятора структурной схемы цифровой системы связи (ЦСС),
рис. 22, между блоками ФМС и перемножителями входят сглаживающие
формирующие фильтры СФФ, необходимые для оптимизации ЦСС в
отношении межсимвольной помехи, а также инвертор и сумматор, на выходе
которого получаем сигнал заданного вида модуляции.
3.5.1. СГЛАЖИВАЮЩИЙ ФОРМИРУЮЩИЙ ФИЛЬТР
1) Изобразим структурную схему модулятора в составе ЦСС:
Рис. 19. Структурная схема модулятора в составе ЦСС
2) Напишем аналитические выражения для сигнала x(t) со «спектром
приподнятого косинуса» (импульса Найквиста) и его спектральной плотности
Sx(f) для значений коэффициента сглаживания 01:
𝜋∙𝑡
𝜋𝛽𝑡
𝑠𝑖𝑛 (
)
𝑐𝑜𝑠
𝑇 ∙
𝑇 ;
𝑥(𝑡) =
𝜋∙𝑡
4𝛽 2 𝑡 2
1
−
𝑇
𝑇2
1−𝛽
;
2∙𝑇
𝑇
𝜋𝑇
1−𝛽
1−𝛽
1+𝛽
𝑆𝑥 (𝑓) =
∙ {1 + 𝑐𝑜𝑠 [ ∙ (|𝑓| −
≤ |𝑓| ≤
;
)]} , при
2
𝛽
2∙𝑇
2∙𝑇
2∙𝑇
1+𝛽
|𝑓|
0
,
при
≥
,
{
2∙𝑇
, при 0 ≤ |𝑓| ≤
𝑇
23
где β – коэффициент сглаживания, который может принимать значения в
интервале 0 ≤ β ≤ 1.
Изобразим графики импульсов Найквиста x(t) и их спектральных
плотностей 𝑆𝑥 (𝑓) для значений коэффициента β = 0; 0,25; 0,5; 1:
Рис. 20. Импульсы Найквиста x(t)
24
Рис. 21. Спектральные плотности Sx(f) импульсов Найквиста x(t)
3) Изобразим графики спектральных плотностей Sx() и Sx1() сигналов
x(t) и x1(t), где x(t) – импульс Найквиста при коэффициенте сглаживания β
= 1, а x1(t) – импульс со спектральной плотностью 𝑆𝑥1 (𝜔) = √𝑆𝑥 (𝜔):
25
Рис. 22. Спектральная плотность Sx(ω)
Рис. 23. Спектральная плотность Sx1(ω)
26
4) С помощью обратного преобразования Фурье от функции Sx1(ω)
получим:
2𝜋
𝑇
2𝜋
𝑇
sin ( (𝑡 − )) sin ( (𝑡 + ))
𝑇
4
𝑇
4
1
𝑥1 (𝑡) =
+
2𝜋
𝑇
2𝜋
𝑇
√𝑇
∙ (𝑡 − )
∙ (𝑡 + )
𝑇
4
𝑇
4
[
]
Изобразим графики импульсов x(t) и x1(t):
Рис. 24. Графики импульса Найквиста x(t)
27
Рис. 25. График искомого импульса x1(t)
5) Напишем аналитические выражения для случайных процессов Iф(t) и
Qф(t):
На вход СФФ поступает реализация:
∞
𝑖(𝑡) = ∑ 𝐼𝑛 ∙ 𝑔2 (𝑡 − 𝑛𝑇),
𝑛=−∞
где 𝑔2 (𝑡 − 𝑛𝑇) – прямоугольные импульсы.
На выходе СФФ получается:
∞
𝐼ф (𝑡) = ∑ 𝐼𝑛 ∙ 𝑔3 (𝑡 − 𝑛𝑇),
𝑛=−∞
где 𝑔3 (𝑡 − 𝑛𝑇) имеют форму импульсов x1н(t).
∞
𝑄ф (𝑡) = ∑ 𝑄𝑛 ∙ 𝑔3 (𝑡 − 𝑛𝑇),
𝑛=−∞
где 𝐼𝑛 и 𝑄𝑛 – независимые случайные величины, принимающие известные
дискретные значения с заданными вероятностями.
28
6) Напишем аналитические выражения для корреляционных функций
случайных процессов Iф(t) и Qф(t):
5ℎ2
𝐵𝐼ф (τ) = 𝐵𝑄ф (τ) =
∙ 𝑥(τ),
1,272
где x(τ) – импульс Найквиста при значении β = 1.
Рис. 26ф. График корреляционных функций 𝐵𝐼ф (τ) = 𝐵𝑄ф (τ)
Напишем аналитические выражения для спектральных плотностей
мощности случайных процессов Iф(t) и Qф(t):
5ℎ2 𝑇
𝑇
2𝜋
|𝜔|
∙
∙
+
𝑐𝑜𝑠
,
при
≤
;
(1
(𝜔
))
2 2
1,27
2
𝑇
𝐺𝐼ф (𝜔) = 𝐺𝑄ф (𝜔) =
2𝜋
|𝜔| > .
0,
при
{
𝑇
29
Рис. 27. График спектральных плотностей мощности 𝐺𝐼ф (𝜔) = 𝐺𝑄ф (𝜔)
3.5.2. БЛОКИ ПЕРЕМНОЖИТЕЛЕЙ, ИНВЕРТОР, СУММАТОР
1) Напишем аналитические выражения для корреляционных функций
𝐵𝐼ф𝑐𝑜𝑠 (τ) и 𝐵𝑄ф𝑠𝑖𝑛 (τ) случайных сигналов 𝐼ф (t) ∙ cos(𝜔𝑐 𝑡 + 𝜑𝑐 ) и 𝑄ф (t) ∙
sin(𝜔𝑐 𝑡 + 𝜑𝑐 ) на выходах перемножителей, где 𝜑𝑐 – случайная фаза с
равномерной плотностью вероятности на интервале 0…2π. Случайная фаза 𝜑𝑐
не зависит от случайных процессов 𝐼ф (t) и 𝑄ф (t):
1
1 5ℎ2
𝐵𝐼ф𝑐𝑜𝑠 (𝜏) = 𝐵𝑄ф𝑠𝑖𝑛 (𝜏) = ∙ 𝐵𝐼ф (𝜏) ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜔с 𝜏 = ∙
∙ 𝑥(𝜏) ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜔с 𝜏,
2
2 1,272
где:
𝜔𝑐 = 2 ∙ 𝜋
4
4
=2∙𝜋
= 4,1 ∙ 106 .
𝑇𝑆
6,12[мкс]
2) Напишем аналитическое выражение для корреляционной функций
𝐵𝑆 (τ) = 𝐵𝐼ф (τ) ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑐 𝜏 = 𝐵𝑄ф (τ) ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑐 𝜏 на выходе сумматора для КАМ-16,
а так же построим её график:
𝐵𝑆 (𝜏) = 𝐵𝐼ф (𝜏) ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑐 𝜏 = 𝐵𝑄ф (𝜏) ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑐 𝜏 = ℎ2 ∙
где x(τ) – импульс Найквиста при β = 1.
30
5
∙ 𝑥(𝜏) ∙ 𝑐𝑜𝑠𝜔𝑐 𝜏,
1,272
Рис. 28. График корреляционной функции 𝐵𝑆 (τ)
Напишем аналитическое выражение для спектральной плотность
мощности 𝐺𝑆 (𝜔) сигнала 𝑆(t), а так же построим её график:
1
𝐺𝑆 (𝜔), 𝐵2 /Гц = ∙
5ℎ2
2 1,272
∙ [𝑆𝑥 (𝜔 − 𝜔𝑐 ) + 𝑆𝑥 (𝜔 + 𝜔𝑐 )], где
𝑇
𝑇
2𝜋
2𝜋
2𝜋
{1 + 𝑐𝑜𝑠 [(𝜔 − 𝜔𝑐 ) ]} , при 𝜔𝑐 −
≤ 𝜔 ≤ 𝜔𝑐 +
, при 𝜔 > 𝜔𝑐 −
;
2
2
𝑇
𝑇
𝑇
𝑆𝑥 (𝜔 − 𝜔𝑐 ) = {
2𝜋
0
, при 𝜔 < 𝜔𝑐 −
;
𝑇
𝑇
𝑇
2𝜋
2𝜋
{1 + с𝑜𝑠 [(𝜔 + 𝜔𝑐 ) ]} , при − 𝜔𝑐 −
≤ 𝜔 ≤ − 𝜔𝑐 +
;
2
2
𝑇
𝑇
(𝜔
)
𝑆𝑥 + 𝜔𝑐 = {
2𝜋
2𝜋
0
, при − 𝜔 < 𝜔𝑐 −
> − 𝜔𝑐 +
.
𝑇
𝑇
31
Рис. 29. График спектральной плотности мощности 𝐺𝑆 (𝜔)
3.6. НЕПРЕРЫВНЫЙ КАНАЛ
Передача сигнала S(t) происходит по непрерывному неискажающему
каналу с постоянными параметрами в присутствии аддитивной помехи n(t)
типа гауссовского белого шума. Сигнал Z(t) на выходе такого канала имеет вид
𝑍(𝑡) = 𝜇 ⋅ 𝑆(𝑡) + 𝑛(𝑡),
где 𝜇 = 1 – коэффициент передачи канала. Односторонняя спектральная
плотность мощности помехи n(t) равна N0 = 2,3 ∙ 10-7.
1) Определим минимальную ширину полосы частот Fk непрерывного
канала, необходимую для передачи по каналу сигнала S(t) с выхода
модулятора:
𝐹𝑘 =
2
2
=
= 250 [кГц]
𝑇𝑠 8 [мкс]
2) Определим Pс – среднюю мощность информационного сигнала 𝜇 ⋅
𝑆(𝑡) на выходе канала:
32
5ℎ2
5 [В2 ]
𝑃𝑐 = 𝐵𝑠 (0) =
=
= 3,1 [В2 ] при ℎ = 1
2
2
1,27
1,27
3) Определим Pп – среднюю мощность помехи n(t) на выходе канала и
найти отношение Pс / Pп:
𝑃𝛱 = 𝑁0 ⋅ 𝐹𝑘 = 2,3 ⋅ 10
−7
B2
[ ] ⋅ 250 [кГц] = 0.0575 [В2 ]
Гц
Отношение сигнал/помеха:
𝑃𝑐
3,1 [В2 ]
=
= 53.91
𝑃𝛱 0,0575 [В2 ]
4) Рассчитаем пропускную способность C (за секунду) непрерывного
канала:
𝐶 = 𝐹𝑘 𝑙𝑜𝑔2 (1 +
𝑃𝐶
бит
) = 250 [кГц] ⋅ 5.779 = 1,44 ⋅ 106 [
].
𝑃𝛱
с
3.7. ДЕМОДУЛЯТОР
Когерентный демодулятор производит анализ принятого приёмником
колебания z(t) = μsКАМ(t) + n(t), сопоставляя его с известными образцами
сигналов, формируемых модулятором. Анализ завершается принятием
решения по критерию максимального правдоподобия в пользу наиболее
вероятного передаваемого сигнала (символа).
1) Изобразим структурную схему когерентного демодулятора,
оптимального по критерию максимального правдоподобия для заданного
сигнала квадратурной модуляции:
33
Рис. 30. Структурная схема когерентного демодулятора для сигнала КАМ-16
2) Алгоритм работы решающих устройств РУ1 и РУ2 в составе
когерентного демодулятора:
Демодулятор должен обеспечивать оптимальные оценки I’n и Q’n
передаваемых информационных символов In и Qn на каждом символьном
интервале Ts с номером n. Передаваемые ИС In и Qn на любом интервале с
номером n являются случайными величинами и принимают дискретные
значения h, -h, 3h, -3h с вероятностью 0,25 каждое.
Алгоритм работы когерентного демодулятора, на вход которого
поступает сигнал Z(t) = si(t)+n(t), I = 1, 2, 3, 4, определяется выражением:
𝑇𝑠
max [∫ 𝑧(𝑡) ⋅ 𝑠𝑖(𝑡)𝑑𝑡 − 0,5𝐸𝑖] .
0
34
𝑖 = 1, 2, 3, 4
В момент окончания символьного интервала длительностью Ts
демодулятор принимает решение в пользу того сигнала si(t), которому
соответствует максимальное значение интервала.
Принимаемые демодулятором решения будут оптимальными в условиях
действия флуктуационной помехи n(t) типа белого шума.
В момент окончания символьного интервала длительностью Ts
решающее устройство (РУ1) сравнивает 4 входных напряжения и выбирает из
них максимальное, тем самым реализуя правило принятия решения.
Этот выбор определяет тот информационный сигнал из 4 возможных
сигналов, который на данном символьном интервале поступил на вход
демодулятора в составе сигнала Z(t).
Таким образом, выбирая сигнал si(t), демодулятор тем самым определяет
значение передаваемого информационного символа I0 из 4 возможных
информационных символов, т.е. осуществляет оценку символа I0.
После принятия решения выходные цепи РУ1 генерируют
прямоугольный импульс I0’⋅ g2(t) длительностью Ts с амплитудой I0’, равной
оценке значения передаваемого информационного символа I0, который может
принимать одно из четырёх значений: h, -h, 3h, -3h. Импульс I0’⋅ g2(t)
появляется на выходе РУ1. Тогда при правильных оценках I’n на выходе РУ1
появляется последовательность прямоугольных импульсов, соответствующая
последовательности прямоугольных импульсов на верхнем выходе блока
ФМС в передающем устройстве.
Напряжения на входах РУ1 будут следующими:
𝑢вх1 (6𝑇) =
ℎ𝑇 ∙ 𝐼0
− 0,5𝐸1
2 ∙ 1,272
𝑢вх3 (6𝑇) = 3
ℎ𝑇 ∙ 𝐼0
− 0,5𝐸3
2 ∙ 1,272
𝑢вх2 (6𝑇) =
−ℎ𝑇 ∙ 𝐼0
− 0,5𝐸2
2 ∙ 1,272
𝑢вх4 (6𝑇) = 3
−ℎ𝑇 ∙ 𝐼0
− 0,5𝐸4
2 ∙ 1,272
Так как E1 = E2 =
ℎ2 𝑇
2∙1,272
=
12 ∗8
2∙1,272
= 2,48 ∗ 10−6 , E3 = E4 = 9E1,
выражения принимают вид:
ℎ𝑇 ∙ 3ℎ
ℎ2 𝑇
ℎ2 𝑇
𝑢вх1 (6𝑇) =
− 0,5
= 2,5
;
2 ∙ 1,272
2 ∙ 1,272
2 ∙ 1,272
35
ℎ𝑇 ∙ 3ℎ
ℎ2 𝑇
ℎ2 𝑇
𝑢вх2 (6𝑇) = −
− 0,5
= −3,5
;
2 ∙ 1,272
2 ∙ 1,272
2 ∙ 1,272
ℎ𝑇 ∙ 3ℎ
ℎ2 𝑇
ℎ2 𝑇
𝑢вх3 (6𝑇) = 3
− 0,5 ∙ 9
= 4,5
;
2 ∙ 1,272
2 ∙ 1,272
2 ∙ 1,272
𝑢вх4 (6𝑇) = −3
ℎ𝑇 ∙ 3ℎ
ℎ2 𝑇
ℎ2 𝑇
− 0,5 ∙ 9
= −13,5
.
2 ∙ 1,272
2 ∙ 1,272
2 ∙ 1,272
3) Определим вероятности ошибок на выходах РУ1 и РУ2 в случае КАМ16 при значениях символов In и Qn, равных h, -h, 3h, -3h, когда h = 1 [В]:
𝐸1
𝐸1
2𝐸1
𝑃𝐼0 =ℎ (ош) = 1 − 𝑃𝐼0 =ℎ (п. п. ) = 1 − ∫ 𝑤(𝜉)𝑑𝜉 = 2𝑄 (
) = 2𝑄 (√
),
𝑁0
(𝜉)
√𝐷
−𝐸
1
где 𝐷(𝜉) =
𝑁0 𝐸1
2
, Q(x) – табулированная функция.
Вычисляем вероятность ошибки:
2𝐸1
2 ∗ 2,48 ∗ 10−6
𝑃𝐼0 =ℎ (ош) = 2𝑄 (√
) = 2𝑄 (√
) = 2𝑄(4,64)
𝑁0
2,3 ∗ 10−7
= 2 ∗ 34 ∗ 10−7 = 68 ∗ 10−7
𝑃𝐼0 =ℎ (ош) = 𝑃𝐼0 =−ℎ (ош) = 𝑃𝑄0=ℎ (ош) = 𝑃𝑄0=−ℎ (ош)
2𝐸1
𝑃𝐼0 =3ℎ (ош) = 𝑄 (√
) = 𝑄(4,64) = 34 ∗ 10−7
𝑁0
𝑃𝐼0 =3ℎ (ош) = 𝑃𝐼0 =−3ℎ (ош) = 𝑃𝑄0=3ℎ (ош) = 𝑃𝑄0=−3ℎ (ош)
4) Построим диаграммы
преобразователя кода:
сигналов
на
выходах
РУ1,
РУ2
и
Для сигналов от входа модулятора до входа преобразователя тактовые
интервалы названы символьными интервалами и обозначены через Ts, а
сигналы с выхода преобразователя, тактовые интервалы, называются
бинарными интервалами и обозначаются через Tв.
Если демодулятор работает без ошибок, то In’ = In и Qn’ = Qn, на выходах
РУ1, РУ2 формируются сигналы, соответствующие сигналам на выходе блока
36
ФМС и далее эти сигналы поступают на вход преобразователя параллельного
кода в последовательный код. На выходе этого преобразователя формируется
сигнал, соответствующий сигналу, который в передающем устройстве
поступал на вход блока ФМС.
Сигнал на выходе РУ1 будет иметь форму сигнала i(t) на верхнем выходе
блока ФМС, а сигнал на выходе РУ2 будет иметь форму сигнала q(t) на нижнем
выходе блока ФМС. Сигнал на выходе преобразователя будет иметь форму
сигнала на входе блока ФМС.
Рис. 31 а) Сигнал на выходе преобразователя кода; б) Сигнал на выходе РУ1
демодулятора; в) Сигнал на выходе РУ2 демодулятора
5) Определим вероятность ошибок на выходе преобразователя
параллельного кода в последовательный код:
37
𝑃 𝐼0=ℎ (ош) = 𝑃𝐼0 =ℎ (ош) + 𝑃𝑄0=ℎ (ош) − 𝑃𝐼0 =ℎ (ош) ∙ 𝑃𝑄0=ℎ (ош)
𝑄0 =ℎ
= 1,359 ∙ 10−5
𝑃 𝐼0=3ℎ (ош) = 𝑃𝐼0 =3ℎ (ош) + 𝑃𝑄0=3ℎ (ош) − 𝑃𝐼0 =3ℎ (ош) ∙ 𝑃𝑄0=3ℎ (ош)
𝑄0 =3ℎ
= 0,679 ∙ 10−5
𝑃 𝐼0=ℎ (ош) = 𝑃𝐼0 =ℎ (ош) + 𝑃𝑄0=3ℎ (ош) − 𝑃𝐼0 =ℎ (ош) ∙ 𝑃𝑄0=3ℎ (ош) =
𝑄0 =3ℎ
6) Определим среднюю вероятность ошибки на выходе преобразователя:
𝑃ср (ош) = (4𝑃 𝐼0=ℎ (ош) + 4𝑃 𝐼0=3ℎ (ош) + 8𝑃 𝐼0=ℎ (ош))/16 = 2 ∙ 10−5
𝑄0 =ℎ
𝑄0 =3ℎ
𝑄0 =3ℎ
3.8. ДЕКОДЕР
Численные значения кодовых символов, которые передавались по
каналу связи:
𝑢̅ = 11 10 00 01 10 10 10 10 10
Эту последовательность передаёт сигнал, поступающий на вход
демодулятора. После прохождения через демодулятор последовательность 𝑢̅
трансформируется в последовательность 𝑍̅ на выходе демодулятора.
В демодуляторе на 1-м тактовом интервале (q = 1) произошла ошибка.
Тогда последовательность 𝑍̅ на выходе демодулятора будет равна:
𝑍̅ = 0𝑋 1 10 00 01 10 10 10 10 10
(Крестиком отмечен кодовый символ, который был принят ошибочно в
последовательности 𝑢̅).
1) Построим решётчатую диаграмму декодера последовательности 𝑍̅.
Числа над ребрами решетки декодера определяются, как расстояния Хемминга
между двумя символами принятой последовательности, расположенными над
данным ребром и двумя символами, которыми отмечено данное ребро на
решетке кодера:
38
Рис. 32. Решётчатая диаграмма декодера последовательности 𝑍̅
2) Далее изобразим отдельно ту часть решетчатой диаграммы декодера,
которая расположена между моментами t1 и t4, для дальнейшего удобства
обозначим буквами узлы на этой диаграмме:
Рис. 33. Решётчатая диаграмма декодера между моментами t1 и t4
Целью алгоритма Витерби является то, что из двух путей,
приходящих в каждый из узлов выжившим считается только один – тот путь,
которому соответствует меньшая метрика.
39
Далее полученную диаграмму на рис. 34 достроим соответствующими
рёбрами до момента t5, т.е. из каждого узла проводим два новых ребра:
Рис. 35. Выжившие пути к моменту t4, достроенные до момента t5
Над вновь достроенными рёбрами (рис. 35) указываем расстояния
Хемминга между двумя символами принятой последовательности 𝑍̅,
расположенными над новыми рёбрами, и соответствующими двумя
символами на кодовой диаграмме, которыми отмечены эти новые рёбра.
Далее достраиваем полученную диаграмму соответствующими рёбрами
до момента t6 и указываем над вновь проведёнными рёбрами соответствующие
расстояния Хемминга:
40
Рис. 37. Выжившие пути к моменту t5, достроенные до момента t6
Далее снова достраиваем полученную диаграмму соответствующими
рёбрами до момента t7 и указываем над вновь проведёнными рёбрами
соответствующие расстояния Хемминга:
Рис. 37. Выжившие пути к моменту t6, достроенные до момента t7
41
Далее снова достраиваем полученную диаграмму соответствующими
рёбрами до момента t8 и указываем над вновь проведёнными рёбрами
соответствующие расстояния Хемминга:
Рис. 38. Выжившие пути к моменту t7, достроенные до момента t8
Далее снова достраиваем полученную диаграмму соответствующими
рёбрами до момента t9 и указываем над вновь проведёнными рёбрами
соответствующие расстояния Хемминга:
Рис. 39. Выжившие пути к моменту t8, достроенные до момента t9
42
Далее снова достраиваем полученную диаграмму соответствующими
рёбрами до момента t9 и указываем над вновь проведёнными рёбрами
соответствующие расстояния Хемминга:
Рис. 40. Выжившие пути к моменту t9, достроенные до момента t10
Далее проводится операция отбрасывания: подаются нулевые (не
информационные) символы. Таким образом, до следующего момента t11
возможны переходы только в состояния «00», «01»; а до момента t12 – только
в состояние «00».
Строим на диаграмме найденные пути и достраиваем полученную диаграмму
соответствующими рёбрами до момента t11, и указываем над вновь
проведёнными рёбрами расстояния Хемминга между двумя нулевыми
символами, расположенными над новыми рёбрами, и соответствующими
двумя символами на кодовой диаграмме, которыми отмечены эти новые рёбра
43
Рис. 41. Выживший путь к моменту t10
44
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В ходе выполнения курсовой работы была изучена работа современных
цифровых систем связи, использующих квадратурные виды модуляции,
которые оптимальны в отношении флуктуационной (типа белого шума) и
межсимвольной
помех.
Кроме
того,
были
рассчитаны
основные
характеристики случайных сигналов на выходе источника сообщений, на
выходе АЦП. Было использовано свёрточное кодирование и декодирование на
основе алгоритма Витерби. Был применён современный вид модуляции
(квадратурная фазовая) с использованием соответствующих сигнальных
созвездий. Были последовательно рассмотрены определения вероятностных
характеристик
случайных
процессов
на
выходах
соответствующих
функциональных узлов (корреляционные функции и спектральные плотности
мощности). Были построены графики сигналов на выходе квадратурных
модуляторов; на входе блока ФМС. Были определены вероятности ошибок на
выходах
решающих
устройств
(РУ)
с
последующим
перерасчетом
вероятности ошибок на выходе преобразователя параллельного кода в
последовательный код. И наконец,
возможные ошибки
на выходе
демодулятора были исправлены с использованием декодирования на основе
алгоритма Витерби.
45
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
1. Куликов, Л. Н. Общая теория связи: методические указания к
выполнению курсовой работы / Л.Н. Куликов, М.Н. Москалец,П.П. Шумаков.
– СПб. : СПбГУТ, 2016.
2. Биккенин, Р. Р. Теория электрической связи : учеб. пособие /
Р.Р.Биккенин, М.Н.Чесноков. – Л. : ЛЭИС, 2010.
3. Сальников, А.П. Теория электрической связи : конспект лекций /
А.П. Сальников. –СПб. : Линк, 2007.
4.Куликов, Л. Н. Теория электрической связи. Основы сверточного
кодирования : учеб. пособие / Л. Н. Куликов, М. Н. Москалец. – СПб., 2006.
46
47