Сартаков В.Д. Математическое моделирование в Энергетике и Электротехнике

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ............................................................................................................... 6
Глава 1. Общие сведения о моделировании в энергетике
и электротехнике ................................................................................................. 8
1.1. Цели и задачи математического моделирования в энергетике
и электротехнике ............................................................................................. 8
1.2. Классификация методов моделирования в энергетике
и электротехнике ............................................................................................. 8
1.3. Объекты моделирования в электроэнергетике и электротехнике ..... 9
1.4. Методы математического моделирования в энергетике
и электротехнике ............................................................................................. 9
1.5. Нелинейные и линейные элементы в энергетике и электротехнике . 9
Глава 2. Метод уравнений состояния при моделировании в энергетике
и электротехнике ............................................................................................... 12
2.1. Структура уравнения состояния применительно к элементу
или системе электроэнергетики и электротехники ................................... 12
2.2. Методы интегрирования дифференциальных уравнений.................. 14
2.3. Метод Эйлера для численного интегрирования дифференциальных
уравнений состояния ..................................................................................... 15
2.4. Форма уравнений состояния в матричном виде ................................. 18
2.5. Методика численного интегрирования дифференциального
уравнения на основе программного продукта Excel................................... 19
2.6. Методика моделирования методом уравнений состояния
и средствами ядра Matlab ............................................................................. 21
2.7. Моделирование методом уравнений состояния стандартными
средствами библиотек ядра Matlab и с применением М-файлов ............. 26
Глава 3. Структурный метод моделирования в энергетике
и электротехнике ............................................................................................... 27
3.1. Общие сведения о структурном методе моделирования ................... 27
3.2. Структурный метод моделирования переходного процесса в цепи
с катушкой индуктивности........................................................................... 30
3.3. Структурный метод моделирования переходного процесса при
подключении цепи с последовательным соединением резистора
и конденсатора к источнику постоянного напряжения............................. 33
3.4. Структурное моделирование апериодического звена «Transfer Fcn»
при подключении к источнику постоянного напряжения.......................... 41
3.5. Структурное моделирование звена 2-го порядка при подключении
к источнику постоянного напряжения ........................................................ 43
3.6. Структурное моделирование при подключении цепи с катушкой
индуктивности к источнику синусоидального напряжения ..................... 53
3
3.7. Структурное моделирование при подключении цепи с
последовательным соединением резистора и конденсатора к источнику
синусоидального напряжения ...................................................................... 57
3.8. Структурное моделирование звена 2-го порядка при подключении
к источнику синусоидального напряжения ................................................ 60
3.9. Применение подсистем при структурном моделировании
электрических цепей в электротехнике ...................................................... 63
3.10. Выбор параметров Simulink при структурном моделировании ...... 67
Глава 4. Моделирование нелинейных устройств элементов энергетики
и электротехники ............................................................................................... 69
4.1. Общие сведения о моделировании нелинейных устройств
и элементов .................................................................................................... 69
4.2. Характеристика программных средств для моделирования
нелинейных устройств и элементов ............................................................ 70
4.3. Моделирование нелинейных элементов с характеристикой
с насыщением (ограничением) .................................................................... 74
4.4. Моделирование нелинейных элементов с зоной
нечувствительности ...................................................................................... 80
4.5. Моделирование нелинейных элементов с зоной нечувствительности
и с зоной насыщения ..................................................................................... 85
4.6. Моделирование нелинейных элементов с релейной
характеристикой ............................................................................................ 88
4.7. Моделирование нелинейных элементов с «гладкой
нелинейностью» ............................................................................................ 91
Глава 5. Моделирование электромеханических характеристик
электрических двигателей постоянного тока ................................................. 96
5.1. Схема, устройство и принцип действия электрического двигателя
постоянного тока с независимым возбуждением ...................................... 96
5.2. Уравнение электромеханической характеристики двигателя
постоянного тока с независимым возбуждением ...................................... 97
5.3. Методика моделирования электромеханических характеристик
электрических двигателей постоянного тока с независимым
возбуждением на основе программного продукта Excel .......................... 98
5.4. Методика моделирования электромеханических характеристик
электрических двигателей постоянного тока с независимым
возбуждением средствами ядра Matlab ..................................................... 104
5.5. Методика моделирования электромеханических характеристик
электрических двигателей постоянного тока с последовательным
возбуждением на основе программного продукта Excel ........................ 111
5.6. Методика моделирования электромеханических характеристик
электрических двигателей постоянного тока с последовательным
возбуждением средствами ядра Matlab ..................................................... 115
4
Глава 6. Моделирование механических характеристик асинхронных
двигателей ........................................................................................................ 120
6.1. Схема, устройство и принцип действия асинхронного двигателя .. 120
6.2. Уравнение механической характеристики
асинхронного двигателя ............................................................................. 121
6.3. Методика моделирования механических характеристик
асинхронного двигателя на основе программного продукта Excel ....... 122
6.4. Методика моделирования механических характеристик
асинхронного двигателя средствами ядра Matlab.................................... 125
Глава 7. Моделирование линейных звеньев и элементов в энергетике
и электротехнике ............................................................................................. 128
7.1. Характеристика программных средств для моделирования линейных
устройств и элементов ................................................................................ 128
7.2. Методика моделирования воздушного трансформатора ................. 131
7.3. Методика моделирования уравнения движения рабочей машины . 133
7.4. Применение подпрограмм при структурном моделировании
сложных элементов и систем ..................................................................... 141
Заключение ...................................................................................................... 142
Библиографический список...............................................................................142
5
ВВЕДЕНИЕ
Моделирование служит в качестве инструмента при исследовании
явлений и процессов. Математическое моделирование является составной
частью этой важной работы по созданию средств исследования в науке и
технике.
Математическое моделирование сложных систем и устройств не
только экономит средства на проведение исследований и испытаний, но и
может устранить экологические катастрофы – например, позволяет отказаться от испытаний ядерного и термоядерного оружия в пользу его математического моделирования или испытаний аэрокосмических систем перед их реальными полетами. Между тем математическое моделирование на
уровне решения более простых задач, например, из области механики,
электротехники, электроники, радиотехники и многих других областей
науки и техники в настоящее время стало доступным выполнять на современных ПК. А при использовании обобщенных моделей становится возможным моделирование и достаточно сложных систем, например, электроэнергетических систем и сетей, радиолокационных или радионавигационных комплексов.
Целью математического моделирования является анализ реальных
процессов (в природе или технике) математическими методами. В свою
очередь, это требует формализации процесса, подлежащего исследованию.
Математическое моделирование реализуется на математических моделях. Многие процессы или работа объектов описываются похожими
дифференциальными уравнениями, т. е. характеризуются похожими математическими моделями.
Математическое моделирование физических явлений, объектов, систем и различных устройств является одним из важнейших средств познания природы и проектирования самых разнообразных систем и устройств.
Известны примеры эффективного использования моделирования в создании ядерных технологий, энергетических, авиационных и аэрокосмических
систем, в прогнозе атмосферных и океанических явлений, погоды и т. д.
Модель может представлять собой математическое выражение, содержащее переменные, поведение которых аналогично поведению реальной системы.
Математическая модель (ММ) представляет собой формализованное
описание системы (или операции) на некотором абстрактном языке,
например, в виде совокупности математических соотношений или схемы
алгоритма, т. е. такое математическое описание, которое обеспечивает
имитацию работы систем или устройств на уровне, достаточно близком к
их реальному поведению, получаемому при натурных испытаниях систем
или устройств.
6
Любая ММ описывает реальный объект, явление или процесс с некоторой степенью приближения к действительности. Вид ММ зависит как от
природы реального объекта, так и от задач исследования.
Существует ряд общих требований к моделям:
1) адекватность – достаточно точное отображение свойств объекта;
2) полнота – предоставление всей необходимой информации об
объекте;
3) гибкость – возможность воспроизведения различных ситуаций во
всем диапазоне изменения условий и параметров;
4) трудоемкость разработки должна быть приемлемой для имеющегося времени и программных средств.
Исследование существующих элементов и устройств в энергетике и
электротехнике на математических моделях позволяет выявить недостатки
в работе этих объектов в экстремальных условиях, найти оптимальные
условия для безаварийной работы и улучшить электроэнергетические показатели оборудования.
7
Глава 1. Общие сведения о моделировании
в энергетике и электротехнике
1.1. Цели и задачи математического моделирования
в энергетике и электротехнике
В основе существования любой цивилизации лежит производство
продукции, материальных благ, необходимых для жизнедеятельности
населения. Продукция производится на основе технического описания
этой продукции. Процесс создания описания называется проектированием.
Проектирование – это процесс создания описания: изделия (например, электрического двигателя); системы (например, системы управления
электрической станцией); процесса (например, технологического процесса). Проектирование осуществляется на основе технического задания (ТЗ),
в котором определены выходные параметры выпускаемой продукции.
При проектировании на основе технического задания решаются следующие виды задач: задача синтеза объекта проектирования, т. е. создание
описания нового (нужного) варианта объекта проектирования; задача анализа результатов синтеза объекта проектирования, т. е. исследование
свойств создаваемого объекта.
Задача анализа результатов проектирования объекта, т. е. исследование свойств создаваемого объекта наиболее эффективно решается с помощью средств моделирования. Моделирование – это исследование объектов
познания на их моделях. При моделировании исследуются свойства и характеристики проектируемых объектов энергетики на их моделях, т. е. выполняется анализ объекта проектирования. При моделировании можно исследовать свойства и характеристики проектируемых объектов энергетики
и электротехники в любых режимах работы, в том числе и в аварийных
режимах (например, в режиме короткого замыкания – к. з.).
1.2. Классификация методов моделирования
в энергетике и электротехнике
Различают следующие виды моделирования: физическое моделирование; математическое моделирование; графическое моделирование; схемотехническое моделирование.
Физическое моделирование реализуется на физических моделях.
Примеры физических моделей: модель самолета, модель автомобиля, модель корабля, модель станка. Реальное физическое моделирование является дорогостоящим процессом.
Математическое моделирование реализуется на математических моделях. Многие процессы или работа объектов описываются похожими
дифференциальными уравнениями, т. е. характеризуются похожими математическими моделями.
8
1.3. Объекты моделирования
в электроэнергетике и электротехнике
Примеры математических моделей в электротехнике: математическая модель асинхронного электрического двигателя; математическая модель электрического двигателя постоянного тока с независимым возбуждением; математическая модель электрического двигателя постоянного тока с последовательным или смешанным возбуждением; математическая
модель синхронного электрического двигателя; математическая модель
силового преобразователя для питания электрического двигателя или электрической печи; математическая модель электрического привода.
Примеры математических моделей в электроэнергетике: математическая модель синхронного электрического генератора (турбогенератора или
гидрогенератора); математическая модель однофазного трансформатора;
математическая модель трехфазного трансформатора; математическая модель линии электропередачи; математическая модель электроэнергетической системы.
1.4. Методы математического моделирования
в энергетике и электротехнике
Существуют три метода математического моделирования элементов
и систем энергетики и электротехники: метод уравнений состояния; метод
структурных схем; метод передаточной функции.
Существуют три формы представления математических моделей
элементов и систем энергетики и электротехники: форма уравнений состояния; форма структурных схем; форма передаточной функции.
Форма уравнений состояния и форма структурных схем являются
универсальными и применяются при моделировании линейных и нелинейных элементов и систем энергетики и электротехники.
Форма передаточной функции при математическом моделировании
не является универсальной и применяется при моделировании только линейных элементов и систем электротехники.
1.5. Нелинейные и линейные элементы
в энергетике и электротехнике
Линейные элементы и системы энергетики и электротехники характеризуются постоянными параметрами R (резистивное или активное сопротивление), L (индуктивность), С (емкость) и М (взаимная индуктивность), не зависящими от величины тока или напряжения.
Абсолютное большинство элементов и систем энергетики и электротехники являются нелинейными. Нелинейные элементы и системы энергетики и электротехники характеризуются переменными параметрами R (рези9
стивное или активное сопротивление), L (индуктивность), С (емкость) и М
(взаимная индуктивность), зависящими от величины тока или напряжения.
Математическое моделирование нелинейных элементов и систем
энергетики и электротехники является более сложной задачей по сравнению с моделированием линейных элементов и систем, так как их математические модели представляют собой нелинейные дифференциальные
уравнения, для решения которых требуются специальные методы.
На практике нелинейные элементы и системы энергетики и электротехники идеализируют и упрощают, заменяя нелинейные элементы линейными. При этом математические модели будут представлять собой линейные дифференциальные уравнения.
Элементы в системах энергетики и электротехники являются или
преобразователями энергии или преобразователями сигналов.
Элемент в системах энергетики и электротехники имеет «вход», на
который подается входной сигнал (источник питания элемента), и «выход», на котором формируется выходной сигнал (рис. 1.1).
Рис. 1.1. Изображение элемента электроэнергетики и электротехники
на функциональных схемах
Сигналы в элементах и системах энергетики и электротехники могут
быть двух видов: аналоговые сигналы (в силовых элементах электроэнергетики и электротехники и в элементах управления); дискретные сигналы
(в элементах управления).
Дискретные сигналы могут быть цифровыми и импульсными.
Физическими носителями сигналов в элементах и системах энергетики и электротехники чаще всего являются: электрическое напряжение;
электрический ток; магнитный поток; свет (электромагнитные волны).
Аналоговые сигналы являются сигналами, непрерывными во времени (рис. 1.2).
Рис. 1.2. Изображение аналогового непериодического сигнала
10
Дискретные сигналы являются сигналами, прерывистыми во времени
(рис. 1.3).
Рис. 1.3. Изображение дискретного сигнала
Контрольные вопросы и задания к главе 1
1. Определите назначение математического моделирования в энергетике и электротехнике.
2. Перечислите задачи, решаемые при проектировании в энергетике
и электротехнике.
3. Определите назначение задачи анализа при проектировании
в энергетике и электротехнике.
4. Перечислите виды моделирования.
5. Перечислите виды математического моделирования.
6. Что является объектами электроэнергетики?
7. Назовите формы представления математических моделей.
8. Назовите сигналы в элементах и системах энергетики и электротехники.
9. Назовите аналоговые сигналы в элементах и системах энергетики
и электротехники.
10. Назовите дискретные сигналы в элементах и системах энергетики
и электротехники.
11
Глава 2. Метод уравнений состояния при моделировании
в энергетике и электротехнике
2.1. Структура уравнения состояния применительно к элементу
или системе электроэнергетики и электротехники
Уравнение состояния применительно к элементу или системе электроэнергетики и электротехники представляет собой дифференциальное
уравнение первого порядка
dy
= a ⋅ y + f (t )
dt
(2.1)
dy
= a⋅ y +b,
dt
(2.2)
или
где y – переменная состояния (координата);
t – время (независимая переменная);
a и b – постоянные коэффициенты;
f (t) – или константа, или функция времени, например синусоидальная
или экспоненциальная.
Рассмотрим моделирование методом уравнения состояния применительно к электрической цепи с катушкой индуктивности (рис. 2.1).
Рис. 2.1. Электрическая цепь с катушкой индуктивности
Катушка индуктивности характеризуется двумя параметрами: резистивное сопротивление катушки R в Ом; индуктивность катушки L в Гн.
Допустим, что R = 10 Ом; L = 1 Гн; U0 = 20 В. Если ключ «К» разомкнут, то ток в цепи не протекает. Ток в цепи равен нулю, т. е. i = 0 . Пусть в
момент времени t = 0 ключ «К» замыкается и к цепи прикладывается постоянное напряжение U 0 . В цепи возникает переходный процесс, при котором
все электрические величины будут изменяться по определенным законам.
Существует несколько причин, которые вызывают переходные процессы (ПП) в элементах и системах энергетики и электротехники. Среди
них включение и отключение источника энергии в электрических цепях, а
также изменение параметров элементов и систем энергетики и электротехники. Например, изменение активного сопротивления R или индуктивности L или емкости C элементов. Причиной ПП также является изменение
величины напряжения питания или частоты.
12
Чтобы определить закон изменения тока в цепи, обойдем контур по
часовой стрелке и составим для цепи (см. рис. 2.1) уравнение по 2-му закону Кирхгофа
− U 0 + uR + uL = 0 ,
(2.3)
di
– падение напряжения на индуктивном элементе L ;
dt
di
– скорость изменения тока i в цепи при переходном процессе;
dt
u R = R ⋅ i – падение напряжения на резисторе R .
где u L = L ⋅
После подстановки в уравнение (2.3) u R и u L получим обыкновенное
неоднородное линейное дифференциальное уравнение первого порядка
di
=0
dt
(2.4)
di
+ i ⋅ R = U0.
dt
(2.5)
−U0 + i ⋅ R + L ⋅
или
L⋅
После окончания переходного процесса в цепи возникает установившийся режим, при котором ток будет определяться по закону Ома. Ток
U 0 20
=
= 2 A . После окончания переR 10
ходного процесса в цепи падение напряжения на индуктивном элементе L
будет равен постоянной величине I =
станет равно нулю, так как ток в цепи равен постоянной величине
uL = L ⋅
di
dI
d2
= L⋅
= L⋅
= L⋅0 = 0.
dt
dt
dt
(2.6)
Скорость изменения тока в цепи после окончания переходного процесса в цепи станет равна нулю, так как ток равен постоянной величине.
di dI
=
= 0.
dt dt
(2.7)
Аналитическим решением этого дифференциального уравнения цепи
с катушкой индуктивности (цепь R-L) является следующее выражение:
t
i=
где τ =
−
U0
⋅ (1 − e τ ) ,
R
(2.8)
L
– постоянная времени цепи R-L.
R
Преобразуем уравнение, составленное для цепи по 2-му закону
Кирхгофа (см. рис. 2.1)
L⋅
Получим
di
+ i ⋅ R = U0.
dt
di 1
R 1
= ⋅ (U 0 − i ⋅ R) = −i ⋅ + ⋅ U 0 .
dt L
L L
(2.9)
Полученное уравнение называется уравнением состояния для цепи
с катушкой индуктивности.
13
Сравнивая два уравнения (2.2) и (2.9), отметим, что их структуры
похожи.
Принято ток в цепи i, падение напряжения на резисторе u R и падение напряжения на индуктивном элементе u L называть переменными состояния или координатами уравнения.
Рассмотрим характерные черты уравнений состояния. Они представляют собой дифференциальные уравнения первого порядка; если первая
производная от переменной состояния находится в левой части уравнения,
то в правой части производные отсутствуют. В правой части уравнения состояния находятся члены, содержащие переменные состояния (координаты). В данном случае это ток i.
Эти дифференциальные уравнения хорошо «приспособлены» для их
решения численными методами, которые эффективно реализуются с помощью компьютерной техники.
Общим методом решения обыкновенных дифференциальных уравнений является метод интегрирования этих уравнений.
2.2. Методы интегрирования дифференциальных уравнений
Различают следующие методы интегрирования дифференциальных
уравнений:
− аналитический метод интегрирования дифференциальных уравнений;
− графический метод интегрирования дифференциальных уравнений;
− графоаналитический метод интегрирования дифференциальных
уравнений;
− численный метод интегрирования дифференциальных уравнений
(ЧМИДУ).
Разработано достаточно большое число методов численного интегрирования дифференциальных уравнений. Среди них метод Эйлера, метод
Эйлера – Коши, усовершенствованный метод Эйлера; метод Рунге – Кутта,
метод Адамса и др. Методы численного интегрирования характеризуются
порядком (первый, второй, третий, четвертый и др.). Все ЧМИДУ являются
приближенными, т. е. процесс интегрирования выполняется с ошибками и,
следовательно, результат интегрирования содержит ошибки. Чем выше порядок метода численного интегрирования, тем меньше ошибка, но требуется большее «компьютерное» время для процесса интегрирования, что является важным, когда число уравнений состояния для описания состояния и
работы системы электроэнергетики достигает нескольких тысяч.
ЧМИДУ можно также разделить в зависимости от использования результатов численного интегрирования на текущем шаге интегрирования на
последовательные и параллельные. В зависимости от изменения величины
шага интегрирования ЧМИДУ делятся на методы с постоянным и переменным шагом.
14
2.3. Метод Эйлера для численного интегрирования
дифференциальных уравнений состояния
Допустим, что для решения рассматриваемого дифференциального
уравнения (2.9) используется численный метод интегрирования Эйлера
di 1
= ⋅ (U 0 − i ⋅ R ) .
dt L
Заменим дифференциалы тока ( di ) и времени ( dt ) на приращения
di Δi
≈
в это дифференциальное
тока ( Δi ) и времени ( Δt ) и подставим
dt Δt
уравнение.
Получим следующее уравнение, которое является алгебраическим
уравнением:
Δi 1
≈ ⋅ (U − i ⋅ R ) .
(2.10)
Δt L
Решение алгебраического уравнения (2.10) позволяет определить
приращение тока Δi на одном (текущем) шаге интегрирования
Δi =
Δt
⋅ (U − i ⋅ R ) .
L
При решении алгебраического уравнения ось времени t разбивается
на отрезки Δt .
Δt называется шагом интегрирования. Каждому шагу интегрирования Δt присваивается номер, начиная с цифры «1».
Рис. 2.2. Разбиение оси времени на шаги интегрирования
Допустим, что произвольный шаг интегрирования Δt имеет номер
«К». Тогда предыдущий шаг интегрирования обозначается номером
«(К-1)». Будем указывать в формуле для приращения тока номер шага интегрирования Δt в виде индекса при обозначении тока. Тогда приращение
тока в переходном процессе находится по следующей формуле:
Δi K =
Δt
⋅ (U − iK −1 ⋅ R ) .
L
(2.11)
Шаг интегрирования Δt участвует в уравнении (2.11) при расчете
приращений тока. Это означает, что за каждый шаг интегрирования Δt
происходит приращение тока Δi K . Тогда ток на этом К-ом шаге интегрирования можно определить по простой формуле
iK = iK −1 + ΔiK .
(2.12)
15
Полученные алгебраические уравнения (2.11) и (2.12) представляют в
математической форме алгоритм численного интегрирования дифференциального уравнения состояния по методу Эйлера. Компьютерные программы
с высокой скоростью решают эти простые алгебраические уравнения.
Численное интегрирование дифференциальных уравнений с использованием любого метода является приближенным, т. е. выполняется с
ошибкой. Ошибка интегрирования может быть очень малой.
При моделировании необходимо правильно выбрать величину шага
квантования. Чем меньше выбрана величина шага, тем меньше будет
ошибка интегрирования. Выбор величины шага интегрирования определяется теоремой Котельникова – Шеннона
Δt ≤
1
2 ⋅ ω MAX
,
(2.13)
где ω MAX – максимальная частота спектра сигнала (напряжения) в системе
энергетики или управления.
Часто возникают значительные трудности при определении шага интегрирования с использованием теоремы Котельникова – Шеннона.
На кафедре электропривода и электрического транспорта ИРНИТУ
экспериментально установлено, что можно для выбора величины шага интегрирования применить следующую эмпирическую формулу:
Δt ≤
TMIN
,
10
(2.14)
где TMIN – это минимальная постоянная времени в системе энергетики или
управления. Если электрическая цепь или система энергетики и электротехники характеризуется несколькими постоянными времени, то из них
выбирают минимальную (меньшую). В рассматриваемом примере с катушкой индуктивности имеем дело только с одной постоянной времени
цепи τ : τ =
L
.
R
«Полезная» работа производится, когда система находится в установившемся состоянии. В переходном процессе, как правило, «полезная» работа не выполняется. Поэтому инженеры заинтересованы в том, чтобы переходный процесс длился как можно меньше. Также важно то, от чего зависит длительность переходного процесса.
Знание постоянной времени τ цепи, элемента или системы имеет
большое практическое значение. Теоретически длительность переходного
процесса t ПП равна бесконечности. Практически считается, что переходный процесс закончился, если переменная «вошла» в зону пятипроцентных
отклонений от своего нового установившегося состояния. В элементах или
системах, состояние которых описывается дифференциальным уравнением
1-го порядка, это происходит за время t ПП , равное от 3 τ до 5 τ (рис. 2.3):
tpp = (3 ÷ 5) ⋅ τ .
16
Рис. 2.3. Переходный процесс в цепи R-L
Допустим, что численное интегрирование дифференциального уравнения производится «вручную». Пусть R = 10 Ом; L = 1 Гн; U0 = 20 В. То-
τ , Δt
гда
Δt =
τ
10
=
и t ПП
равны следующим значениям: τ =
L 1
=
= 0.1 c ;
R 10
0.1
= 0.01 c ; t ПП = 5 ⋅ τ = 5 ⋅ 0.1 = 0.5 c .
10
Приращение тока на одном шаге интегрирования и значение тока на
произвольном шаге интегрирования рассчитываются по вышеприведенным формулам (2.11) и (2.12):
ΔiK =
Δt
⋅ (U − iK −1 ⋅ R) ,
L
iK = iK −1 + ΔiK .
На первом шаге численного интегрирования дифференциального
уравнения принимаем, что ток до начала первого шага в соответствии с
первым законом коммутации равен нулю, т. е. i0 = 0 . Тогда приращение
тока на первом шаге равно Δi1 =
Δt
0.01
⋅ (U 0 − R ⋅ i0 ) =
⋅ ( 20 − 10 ⋅ 0) = 0.2 A .
L
1
Ток в конце первого шага равен i1 = i0 + Δi1 = 0 + 0.2 = 0.2 A .
Приращение
тока
на
втором
шаге
Δi2 =
Δt
0.01
⋅ (U 0 − R ⋅ i1 ) =
⋅ ( 20 − 10 ⋅ 0.2) = 0.18 A .
L
1
Ток на втором шаге равен i2 = i1 + Δi2 = 0.2 + 0.18 = 0.38 A .
Приращение
тока
на
третьем
шаге
Δi3 =
равно
0.01
Δt
⋅ (U 0 − R ⋅ i2 ) =
⋅ (20 − 10 ⋅ 0.38) = 0.162 A .
1
L
Ток на третьем шаге равен i3 = i2 + Δi3 = 0.38 + 0.162 = 0.542 A .
17
равно
Приращение
i4 =
тока
на
четвертом
шаге
равно
Δt
0.01
⋅ (U 0 − R ⋅ i3 ) =
⋅ ( 20 − 10 ⋅ 0.542) = 0.1458 A .
L
1
Ток на четвертом шаге равен i4 = i3 + Δi4 = 0.542 + 0.1458 = 0.6878 A .
Приращение
тока
на
пятом
шаге
равно
Δi5 =
Δt
0.01
⋅ (U 0 − R ⋅ i4 ) =
⋅ ( 20 − 10 ⋅ 0.6878) = 0.13122 A .
L
1
Ток на пятом шаге равен i5 = i3 + Δi5 = 0.6878 + 0.13122 = 0.81902 A .
Программными продуктами, применяемыми для реализации этих
уравнений, являются Microsoft Excel; MathCad; Matlab.
2.4. Форма уравнений состояния в матричном виде
При расчете методом переменных состояния, кроме самих уравнений
состояния, связывающих первые производные и с самими переменными и
с источниками внешних воздействий – ЭДС и тока, необходимо составить
систему алгебраических уравнений, связывающих искомые величины с переменными состояния и источниками внешних воздействий.
В рассмотренном примере присутствует одна переменная состояния – ток i . Если процесс описывается двумя и более уравнениями состояния, то система уравнений может быть записана в матричной форме и
иметь следующий вид:
X ' = A ⋅ X + B ⋅U ,
(2.15)
Y = C ⋅ X + D ⋅U .
(2.16)
Здесь X и X ' – столбцовые матрицы переменных состояния и их
первых производных по времени соответственно. Их число равно «n».
U – матрица-столбец источников внешних воздействий. Их число
равно «m».
Y – столбцовая матрица выходных (искомых) величин. Их число
равно «p».
A – квадратная матрица размерностью n × n (где n – число переменных состояния) матрица параметров, называемая матрицей Якоби.
B – прямоугольная матрица связи производных переменных состояния X ' с источниками внешних воздействий U (количество строк матрицы
связи равно числу искомых величин «m», а столбцов – «n»).
C – прямоугольная матрица связи переменных состояния X с выходными (искомыми) величинами Y (количество строк равно числу выходных (искомых) величин «p», а столбцов – «n»);
D – прямоугольная матрица связи размерностью « k ⋅ m » источников
внешних воздействий U с выходными (искомыми) величинами Y .
Система уравнений позволяет ввести в рассмотрение векторы и матрицы, что целесообразно при исследовании сложных многосвязных си18
стем. Система уравнений, описывающая динамику, может быть записана в
•
компактной форме X = A ⋅ X + B ⋅U , где А – ( n ⋅ n ) – матрица коэффициентов; В – ( n ⋅ m ) – матрица управления.
Решение уравнений состояния в матричной форме можно эффективно осуществить в ядре программного продукта Matlab.
2.5. Методика численного интегрирования
дифференциального уравнения на основе программного продукта Excel
Рассмотрим методику численного интегрирования дифференциального уравнения с помощью программного продукта Excel на примере переходного процесса в цепи R-L при включении ее на постоянное напряжение для следующих параметров R = 10 Ом; L = 1 Гн; U0 = 20 В.
В первом столбце (колонка А) электронной таблицы (ЭТ) Excel будут
располагаться значения независимой переменной t (время), начиная с t = 0.
Во втором столбце ЭТ (колонка B) располагаются значения тока в текущем
шаге интегрирования « i K ». В третьем столбце ЭТ (колонка С) располагаются значения приращения тока « Δi K ». Это иллюстрируется на рис. 2.4.
Рис. 2.4. Фрагмент 1 электронной таблицы Excel при численном интегрировании
дифференциального уравнения
В первых ячейках столбцов F, G, H, I, J и K электронной таблицы
(колонки F, G, H, I, J и K) будут располагаться обозначения величин исходных данных: U 0 ; R ; L ; τ (Tau); Δt (delta t); tpp. Во вторых ячейках
столбцов электронной таблицы F, G, H, I, J и K (колонки F, G, H, I, J и K )
будут располагаться значения величин исходных данных и расчетные
формулы для τ (Tau), Δt (delta t) и tpp: 20; 10; 1; «= H2/G2»; «= I2/10»;
«= 5 × I2» (рис. 2.5).
Рис. 2.5. Фрагмент 2 электронной таблицы Excel при численном интегрировании
дифференциального уравнения
19
Во второй ячейке столбца F (колонка F) располагается значение величины напряжения U , приложенного к цепи R-L, равное 20.
Во второй ячейке столбца G (колонка G) располагается значение величины сопротивления R , равное 10.
Во второй ячейке столбца H (колонка H) располагается значение индуктивности L, равное 1.
Во второй ячейке столбца I (колонка I) располагается расчетная
формула для τ (Tau) «=H2/G2», соответствующая математическому алгоритму τ =
L
.
R
Во второй ячейке столбца J (колонка J) располагается расчетная
формула для Δt (delta t) « = I2/10», соответствующая математическому алгоритму Δt =
τ
10
=
0.1
0.01 .
10
Во второй ячейке столбца К (колонка К) располагается расчетная
формула для tpp « = 5 × I2», соответствующая математическому алгоритму
tpp = 5 ⋅τ .
Сначала заполняется первый столбец (колонка А) электронной таблицы Excel, в котором располагаются значения независимой переменной t
(время), начиная с t = 0.
В первой ячейке (ячейка А1) первого столбца ЭТ записывается обозначение независимой переменной «t». Во второй ячейке (ячейка А2) первого столбца записывается значение независимой переменной t, равное 0.
В третьей ячейке первого столбца (ячейка А3) записывается следующая
формула « = A2 + $J$2», соответствующая алгоритму t K = t K −1 + Δt . Затем с
помощью манипулятора «мышь» выделяются ячейки столбца «А», начиная
с ячейки А3 и до А53 (можно и чуть больше). Потом следует одновременно
нажать клавиши клавиатуры «Ctrl» и «D» (Ctrl + D), что вызывает процесс
автоматического вычисления значения «t» на каждом шаге интегрирования
и записи этих значений в выделенных ячейках первого столбца («А»).
В следующей операции в ячейке B2 (столбец B) записывается
начальное значение тока « i K », равное нулю в соответствии с первым законом коммутации. Потом в ячейке С2 (столбец С) записывается формула
«= ($J$2 / $H$2) × ($F$2 – $G$2 × D2)», соответствующая алгоритму
Δi K =
Δt
⋅ (U − iK −1 ⋅ R ) .
L
Потом в ячейке В3 (столбец В) записывается формула «= B2 + C2»,
соответствующая алгоритму i K = i K −1 + Δi K . Затем с помощью манипулятора «мышь» выделяются ячейки столбца «В», начиная с ячейки В3 и до
В53. Потом следует одновременно нажать клавиши клавиатуры «Ctrl» и
«D» (Ctrl + D), что вызывает процесс автоматического вычисления значения « iK » на каждом шаге интегрирования в выделенных ячейках второго
20
столбца («В»). Затем с помощью манипулятора «мышь» выделяются ячейки столбца «C», начиная с ячейки C2 и до C53. Потом следует одновременно нажать клавиши клавиатуры «Ctrl» и «D» (Ctrl + D), что вызывает
процесс автоматического вычисления значения « Δi K » на каждом шаге интегрирования и записи этих значений в выделенных ячейках третьего
столбца («С»).
Результаты моделирования переходного процесса в цепи R-L при
включении ее на постоянное напряжение методом уравнений состояния с
помощью программного продукта Excel представлены на рис. 2.6 и рис. 2.7.
Рис. 2.6. Фрагмент 3-электронной таблицы Excel
при численном интегрировании дифференциального уравнения
Рис. 2.7. График зависимости i = f (t ) при переходном процессе в цепи R-L
при включении ее на постоянное напряжение
2.6. Методика моделирования методом уравнений состояния
и средствами ядра Matlab
Рассмотрим методику численного интегрирования дифференциального уравнения с помощью программного продукта Matlab на примере переходного процесса в цепи R-L при включении ее на постоянное напряжение для следующих параметров: R = 10 Ом; L = 1 Гн; U0 = 20 В.
21
При моделировании методом уравнений состояния и средствами ядра Matlab выполняются действия в следующей последовательности. В командном окне Matlab (Command Window) вводятся исходные данные для
решения уравнений состояния. Для того чтобы в командном окне Matlab
вывод значений не производился, после ввода каждого значения устанавливается символ «точка с запятой», т. е. «;».
Например: L = 1; U = 20; R = 10; tau = L / R; deltat = tau / 10;
Tpp = 5 × tau; N1 = Tpp / deltat.
Затем в командном окне Matlab записывается оператор цикла «for»
для последовательного вычисления (в цикле) значений: приращения тока
на текущем шаге интегрирования ΔiK ; значения тока в предыдущий шаг
интегрирования iK −1 ; значения тока на текущем шаге интегрирования
iK = iK −1 + ΔiK .
В программе, подготовленной на языке М-файлов программного
продукта Matlab, переменная iK −1 записывается как ik1(k). Особенность
вычисления значения тока в предыдущий шаг интегрирования iK −1 заключается в том, что на первом шаге интегрирования эта величина ( iK −1 ) в соответствии с первым законом коммутации равна нулю, а на следующих
шагах интегрирования она вычисляется по следующей формуле:
ik-1 (k) = ik(k – 1).
(2.17)
В связи с этим в «тело» цикла оператора «for» для последовательного вычисления в первом шаге и следующих шагах значений приращения
тока на текущем шаге интегрирования « ΔiK », значения тока в предыдущий
шаг интегрирования « iK −1 » и значения тока на текущем шаге интегрирования « i K » необходимо включить оператор условия «if». Рассмотрим структуру оператора цикла.
for k = 1:N1 – это начало цикла
end – это конец цикла
Командное окно после выполнения 1-го этапа записи программы,
подготовленной на языке М-файлов программного продукта Matlab, имеет
следующий вид: L = 1; U = 20; R = 10; tau = L / R; delta t = tau / 10; Tpp =
5 × tau; N1 = Tpp/ delta t; N1 – число шагов в цикле.
Для архивации и будущего использования программных продуктов
пользователю рекомендуется к каждому оператору программы добавлять
комментарий. Комментарий начинается с символа «%». Это иллюстрируется следующим фрагментом программы:
22
L = 1; % величина индуктивности катушки;
U = 20; % напряжение питания цепи;
R = 10; % величина резистивного сопротивления катушки;
tau = L / R; % постоянная времени цепи;
delta t = tau / 10; % величина шага численного интегрирования;
Tpp = 5 × tau; % длительность переходного процесса;
N1 = Tpp / delta t; % число шагов численного интегрирования.
Оператор цикла «for» входит в состав класса операторов управления
и выполняет группу инструкций фиксированное число раз. Все операторы
«for» и «if» включают оператор «end», чтобы указать конец блока, в котором действует этот оператор управления.
Рассмотрим особенности использования оператора цикла «for» языка
программирования Matlab. Структура оператора цикла «for» выглядит следующим образом.
Обобщенная структура оператора цикла «for» включает только два
оператора «for» и «end». Между этими двумя операторами размещаются
другие операторы, выполняемые в цикле, и называемые «телом» цикла
(for……….end).
Детализированная структура оператора цикла «for» выглядит следующим образом:
for переменная цикла = начальное значение: приращение: конечное
значение переменной цикла;
инструкция или инструкции, выполняемые в цикле end.
Пример использования оператора цикла «for».
for i = 2:1:6 % – это переменная цикла («i»);
x(i) = i % – это инструкция;
end % – это конец оператора цикла «for…end».
Рассмотрим особенности использования оператора условия «if» языка программирования Matlab.
Обобщенная структура оператора «if» в полном варианте выглядит
следующим образом.
Оператор условия if в сочетании с операторами else и elseif выполняет группу инструкций в соответствии с некоторыми логическими
условиями.
if…(указываются логические условия)
elseif…(указываются логические условия)
else (не указываются логические условия)
end
Структура оператора «if» в «коротком» варианте выглядит следующим образом.
if логическое выражение
инструкция (или инструкции)
end
23
Структура «неполного» варианта применения оператора условия «if»
выглядит следующим образом.
if логическое выражение
инструкция (или инструкции)
else
инструкция
end
Структура «полного» варианта применения оператора условия «if»
выглядит следующим образом.
if логическое_выражение 1
инструкция 1
elseif логическое_выражение 2
инструкция 2
else
инструкция 3
end
Логические условия, применяемые в операторе условия «if», представлены в следующем списке.
В качестве логического условия можно использовать:
«==» – тождественно;
«<, >» – меньше, больше;
«<=» или «>=» – меньше или равно, больше или равно;
«or» – или;
«~=» – не тождественно.
Алгоритм организации цикла при моделировании методом уравнений состояния и средствами ядра Matlab представлен на рис. 2.8.
Рис. 2.8. Алгоритм организации цикла при моделировании
методом уравнений состояния
Рассмотрим программу применения оператора условия «if» при моделировании методом уравнений состояния и средствами ядра Matlab.
24
L = 1; % величина индуктивности катушки
U = 20; % напряжение питания цепи
R = 10; % величина резистивного сопротивления катушки
tau = L/R; % постоянная времени цепи
delta t = tau/10; % величина шага численного интегрирования
Tpp = 5 × tau; % длительность переходного процесса
N1 = Tpp/ delta t; % число шагов численного интегрирования
for k = 1:N1 % Начало оператора цикла
t(k) = (k–1) × deltat; % Время «к-ого» шага численного
интегрирования
if k = 1 % начало условного оператора; первый шаг интегрирования
% (t = 0)
ik(k) = 0.0; % значение при
elseif k>1 % Следующие шаги интегрирования ( )
ik1(k) = ik(k-1); % значение при
delta i(k) = (deltat/L) × (U-ik1(k) × R); % % значение при
ik(k) = ik1(k)+deltai(k); % значение при
end % окончание условного оператора
end % окончание оператора цикла
figure
%
оператор
для
подготовки
вывода
графика
на «рабочий стол» % Matlab
plot(t, ik) % оператор для вывода графика тока на «рабочий стол» %
Matlab
grid on % оператор для наложения координатной «сетки» на окно
для % графика
Результаты моделирования методом уравнений состояния средствами ядра Matlab приведены на рис. 2.9.
Рис. 2.9. Результаты моделирования методом уравнений
состояния средствами ядра Matlab
25
2.7. Моделирование методом уравнений состояния стандартными
средствами библиотек ядра Matlab и с применением М-файлов
Рассмотрим решение дифференциального уравнения состояния (2.9),
полученного для цепи R-L, подключаемой к источнику с постоянным
напряжением, стандартными средствами библиотек ядра Matlab
di 1
= ⋅ (U − RЯ ⋅ i ) .
dt L
Пусть параметры цепи и величина напряжения равны L = 1; Rя = 10;
U = 20. Тогда, подставив значения параметров в это уравнение состояния,
получим следующее уравнение:
di 1
= ⋅ (20 − 10 ⋅ i ) .
dt 1
Приведем полученное уравнение к каноническому виду (для Matlab),
т. е. вместо «i» в уравнение подставим «Х»
dX 1
= ⋅ (20 − 10 ⋅ X ) = 20 − 10 ⋅ X .
dt L
(2.18)
Далее для решения уравнения (2.18) выполняются следующие действия.
Сначала в режиме редактора Matlab в первой и второй строках записывается следующая М-функция:
function F = mdif(t, X);
F = 20 – 10 × X.
Эту М-функцию необходимо сохранить в директории (каталоге)
Matlab с именем «mdif».
Далее в командном окне Matlab последовательно требуется записать
следующие операторы:
[t, Y] = ode45('mdif', [0 0.5], [0]);
figure;
plot(t, Y);
grid on.
После этого следует нажать клавишу «Enter».
Контрольные вопросы и задания к главе 2
1. Изобразите схему электрической цепи с катушкой индуктивности.
2. Выполните анализ переходного процесса в катушке индуктивности.
3. Выведите формулы для расчета тока в катушке индуктивности.
4. Приведите методику расчета тока в катушке индуктивности с помощью программного пакета «Excel».
5. Изобразите график тока в катушке индуктивности.
6. Выполните анализ графика тока в катушке индуктивности.
26
7. Выведите формулу для расчета напряжения на индуктивном элементе.
8. Приведите методику расчета напряжения на индуктивном элементе с помощью программного пакета «Excel».
9. Изобразите график напряжения на индуктивном элементе.
10. Выполните анализ графика напряжения на индуктивном элементе.
11. Изобразите схему электрической цепи R-С.
12. Выведите формулы для расчета тока в цепи R-С.
13. Приведите методику расчета тока в цепи R-С с помощью программного пакета «Excel».
14. Изобразите график тока в цепи R-С.
15. Выполните анализ графика тока в цепи R-С.
16. Выведите формулу для расчета напряжения на конденсаторе.
17. Приведите методику расчета напряжения на конденсаторе с помощью программного пакета «Excel».
18. Изобразите график напряжения на конденсаторе.
19. Выполните анализ графика напряжения на конденсаторе.
20. Приведите методику расчета тока в катушке индуктивности с помощью программного пакета «Matlab».
21. Приведите методику расчета напряжения на индуктивном элементе с помощью программного пакета «Matlab».
22. Приведите методику расчета тока в цепи R-С с помощью программного пакета «Matlab».
23. Приведите методику расчета напряжения на конденсаторе с помощью программного пакета «Matlab».
Глава 3. Структурный метод моделирования
в энергетике и электротехнике
3.1. Общие сведения о структурном методе моделирования
Рассмотрим моделирование электрической цепи с катушкой индуктивности (см. рис. 2.1) при использовании структурного метода.
Для построения структурной схемы модели используем дифференциальное уравнение состояния (в нормальной форме) для электрической
цепи с катушкой индуктивности:
di 1
= ⋅ (U 0 − i ⋅ R ) .
dt L
27
(3.1)
Если в этом дифференциальном уравнении проинтегрировать произdi
, то результат интегрирования будет равен самой
водную функции
dt
функции i = f (t ) .
Для интегрирования в технических устройствах и при моделировании используется элемент, называемый интегратором (рис. 3.1).
Рис. 3.1. Изображение интегратора на функциональных схемах
Построение структурной схемы модели для электрической цепи с катушкой индуктивности следует начинать с установки изображения интегратора.
di
, необходимо использовать уравнение состояния
Чтобы получить
dt
di
di 1
= ⋅ (U 0 − R ⋅ i ) . В соответствии с уравнением (3.1) производная
равdt
dt L
на произведению коэффициента
1
на сигнал (U 0 − R ⋅ i) . Это отражено
L
в виде фрагмента структурной схемы модели на рис. 3.2, представляющий
собой пропорциональное звено с коэффициентом передачи «1/L».
Рис. 3.2. Фрагмент структурной схемы модели, отражающий элементы уравнения
состояния электрической цепи с катушкой индуктивности
Выражение (U 0 − R ⋅ i ) реализуется на структурной схеме звеном, которое принято называть сумматором или узлом сравнения. Сумматор имеет два входных сигнала (один из них со знаком «плюс» равен U 0 , а другой
с отрицательным знаком равен − R ⋅ i ) и один выходной сигнал, равный
(U 0 − R ⋅ i) . Сумматор выполняет математическую операцию вычитания.
Это отражено в виде фрагмента структурной схемы модели
на рис. 3.3.
28
Рис. 3.3. Фрагмент структурной схемы модели, отражающий сумматор
Для того чтобы получить сигнал R ⋅ i , необходимо использовать
пропорциональное звено с коэффициентом передачи «R». На вход этого
пропорционального звена поступает сигнал, равный току «i» с выхода
интегратора. На выходе пропорционального звена с коэффициентом передачи R вырабатывается сигнал, равный R ⋅ i , т. е. произведению «i» и
«R». Это отражено в виде фрагмента структурной схемы модели
на рис. 3.4, представляющий собой пропорциональное звено с коэффициентом передачи «R».
Рис. 3.4. Фрагмент структурной схемы модели, отражающий слагаемое R ⋅ i
в уравнении состояния электрической цепи с катушкой индуктивности
Соединив эти элементы (звенья) между собой, получаем структурную схему модели цепи с катушкой индуктивности (рис. 3.5). Эта структурная схема модели цепи «R-L» включает три звена. Одно из них является
интегратором с коэффициентом передачи WИ ( p) =
эффициентом передачи WПЗ ( з) =
1
, а другое звено с коp
1
– пропорциональным звеном. Третье
L
звено также выполняет функцию пропорционального звена с коэффициентом передачи W ПЗ ( з ) = R . Кроме этого, модель содержит сумматор, выполняющий функцию вычитания из напряжения питания U 0 текущего значения падения напряжения на резисторе i ⋅ R .
Рис. 3.5. Структурная схема модели цепи с катушкой индуктивности
29
3.2. Структурный метод моделирования переходного процесса
в цепи с катушкой индуктивности
Первый входной сигнал сумматора U0 (напряжение U0) реализуется
в «Simulink», используя библиотеку «Sources» (источники).
Интегратор реализуется в «Simulink», используя библиотеку
«Continuous».
Пропорциональное звено реализуется в «Simulink», используя библиотеку «Math Operation».
Сумматор реализуется в «Simulink», используя библиотеку «Math
Operation».
«Simulink» запускается в окне «Matlab» (рис. 3.6).
Рис. 3.6. Меню «Matlab»
После запуска «Simulink» на экране компьютера появляется окно
«Simulink Library Browser» (окно браузера библиотеки «Simulink»)
(рис. 3.7).
Рис. 3.7. Окно «Simulink Library Browser»
30
Для создания структурной схемы модели используется раздел меню
«файл» в окне браузера библиотеки «Simulink». Выбирается закладка «новая (new) – модель (model)» в разделе меню «файл» и нажимается левая
клавиша «мышки». Появляется новое («чистое») окно модели. Этой модели (рис. 3.8) присваивается имя, и это имя запоминается в виде файла в
файловой системе Matlab (например, «Kat_ind_1»).
Рис. 3.8. Окно модели с именем «Kat_ind_1» в ПП «Simulink»
Откроем с помощью «мышки» библиотеку «Sources» (источники) и
выберем иконку «Constant» (постоянная величина) и с помощью «мышки»
перенесем иконку «Constant» в окно модели с именем «Kat_ind_1».
Активизируя элемент модели «Constant» (постоянная величина)
с помощью «мышки», можно получить в программном окне модели
«Simulink» новое окно параметров элемента модели «Constant». Заменим
в окне параметров элемента модели «Constant» число «1» на число «20»,
т. е. напряжение, равное 20 В.
Откроем с помощью «мышки» библиотеку «Continuous» (Линейные
элементы) и выберем иконку «Integrator» и с помощью «мышки» перенесем иконку «Integrator» в окно модели с именем «Kat_ind_1». «Перетаскивая» изображение интегратора из окна библиотеки «Continuous» в окно
модели, получим новое «содержание» окна модели.
Поместим в окне модели еще один элемент: пропорциональное звено. Для этого, «перетаскивая» изображение усилителя (gain) (это и есть
пропорциональное звено) из окна «Simulink Library Browser» (библиотека
«Mat. Operation») в окно модели, получим обновленное изображение окна
модели. Коэффициент передачи (Кп) элемента «усилитель – пропорциональное звено» равен «1 / L».
Поместим в окне модели еще один элемент: узел сравнения (вычитателя или сумматора), выполняющего функцию вычитания. Для этого, «перетаскивая» изображение сумматора из окна «Simulink» (библиотека «Mat.
Operation») в окно модели, получим обновленное изображение окна моде31
ли. Активизируя элемент модели «Sum» (сумматор) с помощью «мышки»,
можно получить в программном окне модели «Simulink» новое окно параметров элемента модели «Sum». В этом окне параметров элемента модели
«Sum» выбираем в окошке «форма значка» вариант «rectangular, т. е. прямоугольный». В этом окне параметров элемента модели «Sum» выбираем
в окошке «список знаков» вариант «+ –».
С помощью «мышки» соединим линиями связи элементы части
структурной схемы модели цепи с катушкой индуктивности.
На структурной схеме модели для цепи с катушкой индуктивности
имеется и второе пропорциональное звено с коэффициентом передачи, равным «R». Добавим его в структурную схему модели для цепи с катушкой
индуктивности (в программной среде «Simulink»). На структурной схеме
модели для цепи с катушкой индуктивности (в программной среде Matlab) с
помощью правой клавиши «мышки» активизируем элемент «усилитель». В
результате активизации появляется окно настройки и изменения модели.
Выберем закладку «copy». После откроем это же окно и выберем закладку
«paste (вставить)». Для этой операции также удобно применить значок
«вставить» на панели меню «инструменты-tools» в окне модели. В результате этих действий на поле модели появляется еще один элемент «усилитель –
пропорциональное звено». Но вход для этого нового элемента расположен
слева, выход – справа. Для изменения расположения нового элемента «усилитель» на структурной схеме модели с помощью правой клавиши «мышки» активизируем этот элемент «усилитель». В результате активизации появляется окно настройки и изменения модели. Выберем последовательно
закладки «Format» и «Flip block». В результате появляется в окне модели
новая конфигурация элемента «усилитель» (рис. 3.9).
Коэффициент передачи (Кп) второго элемента («усилитель – пропорциональное звено») равен «R». Так как R = 10 Ом, то Кп = 10. Для изменения коэффициента передачи (Кп) второго элемента «усилитель – пропорциональное звено» активизируем элемент модели «усилитель 2» с помощью «мышки», можно получить в программном окне модели «Simulink»
новое окно параметров элемента модели «усилитель 2» (см. рис. 3.9). Заменим в окне параметров элемента модели «усилитель 2» число «1» на
число «10», т. е. сопротивление, равное 10 В.
Откроем с помощью «мышки» библиотеку «Sinks» (источники) и
выберем иконку «Scope» (осциллограф) и с помощью «мышки» перенесем
иконку «Scope» в окно модели с именем «Kat_ind_1». Подключим с помощью «мышки» элемент «Scope» к остальной модели.
Установим требуемые параметры моделирования:
tПП = 5 × tau = 5 × 0,1 = 0,5 сек.
Для этого в меню окна модели откроем раздел «Simulation» и выберем закладку «Configation Parameters». В окошке «Stop time» в меню окна
модели запишем 0,5. Произведем запуск модели. Для этого можно либо
32
в меню окна модели открыть раздел «Simulation» и выбрать закладку
«Start», либо нажать виртуальную клавишу «Start Simulation».
Рис. 3.9. Окно модели электрической цепи с катушкой индуктивности
средствами «Simulink»
Результаты моделирования электрической цепи с катушкой индуктивности средствами «Simulink» ( u ВХ = f (t ) и i = f (t ) ) приведены на
рис. 3.10.
Рис. 3.10. Результаты моделирования электрической цепи
с катушкой индуктивности средствами «Simulink» ( u ВХ = f (t ) = 20 и i = f (t ) )
3.3. Структурный метод моделирования переходного процесса
при подключении цепи с последовательным соединением резистора
и конденсатора к источнику постоянного напряжения
Для определения напряжения на конденсаторе методом структурного
моделирования переходного процесса при подключении цепи с последовательным соединением резистора и конденсатора к источнику постоянного
напряжения с использованием программного продукта «Simulink» рекомендуется использовать следующие методические материалы.
33
Допустим, что требуется выполнить моделирование структурным
методом процесса зарядки конденсатора в цепи «R-C», подключенной к
источнику постоянного напряжения «U» (рис. 3.11).
Рис. 3.11. Схема электрической цепи с последовательным соединением
резистора и конденсатора
Электрическая цепь с последовательным соединением резистора и
конденсатора характеризуется двумя параметрами: сопротивлением резистора R в Ом и емкостью конденсатора С. Допустим, что R = 1000 Ом;
С = 1 мкФ = 0,000001 Ф; U0 = 20 В. Если ключ К разомкнут, то ток в цепи не протекает. Ток в цепи равен нулю, т. е. i = 0. Пусть в момент времени t = 0 ключ К замыкается и к цепи прикладывается постоянное
напряжение U0 (рис. 3.12). В цепи возникает переходный процесс, при
котором все электрические величины будут изменяться по определенным законам.
Рис 3.12. Зависимость изменения напряжения на входе электрической цепи
с последовательным соединением резистора и конденсатора
Чтобы определить закон изменения тока в цепи, составим для этой
цепи уравнение по 2-му закону Кирхгофа, для чего обойдем контур по часовой стрелке:
u R + uC − U 0 = 0 .
(3.2)
Определим выражения для напряжений u R и тока i ( u R = R ⋅ i ) и
подставим их в уравнение (3.2):
i=
du
dq dC ⋅ u C
=
=C⋅ C ,
dt
dt
dt
i ⋅ R + uC = C ⋅ R ⋅
34
du C
+ uC = U 0 .
dt
(3.3)
(3.4)
Преобразуем это уравнение, составленное для этой цепи по 2-му закону Кирхгофа. Получим
du C
1
=
⋅ (U 0 − u C ) .
dt
R ⋅C
(3.5)
Если в этом дифференциальном уравнении проинтегрировать произduC
водную функции
, то результат интегрирования будет равен самой
dt
функции u C = f (t ) .
Для интегрирования в технических устройствах и при моделировании используется элемент, называемый интегратором (рис. 3.13). Допустим, что приняты следующие параметры и величины цепи: R = 1000 Ом;
С = 1 мкФ; U0 = 20 В.
Рис. 3.13. Изображение интегратора на функциональных схемах
Построение структурной схемы модели для электрической цепи
с последовательным соединением резистора и конденсатора следует начинать с установки изображения интегратора.
du C
, необходимо исdt
du C
du C
1
=
⋅ (U 0 − u C ) . Производная
пользовать уравнение состояния
dt
dt
R ⋅C
1
равна произведению коэффициента
на сигнал (U 0 − u C ) . Это отражено
R ⋅C
Чтобы в соответствии с уравнением получить
в виде фрагмента структурной схемы модели на рис. 3.14, представляющего собой пропорциональное звено с коэффициентом передачи «
1
».
R ⋅C
Рис. 3.14. Фрагмент структурной схемы модели, отражающий элементы
уравнения состояния электрической цепи с последовательным соединением
резистора и конденсатора
35
Выражение (U 0 − u C ) реализуется на структурной схеме звеном, которое принято называть сумматором или узлом сравнения. Сумматор имеет
два входных сигнала (один из них со знаком «плюс» равен U 0 , а другой с
отрицательным знаком равен − u C ) и один выходной сигнал, равный
(U 0 − u C ) . Сумматор выполняет математическую операцию вычитания.
Это отражено в виде фрагмента структурной схемы модели
на рис. 3.15.
Рис. 3.15. Фрагмент структурной схемы модели, отражающий сумматор
Соединив эти элементы (звенья) между собой, получаем структурную схему модели цепи с последовательным соединением резистора и
конденсатора (рис. 3.16).
Рис. 3.16. Структурная схема модели цепи с последовательным соединением
резистора и конденсатора
Реализация структурного метода моделирования осуществляется
с помощью программного пакета (ПП) «Simulink».
Первый входной сигнал сумматора U0 (напряжение U0) реализуется
в «Simulink», используя библиотеку «Sources» (источники). Интегратор реализуется в «Simulink», используя библиотеку «Continuous».
Пропорциональное звено реализуется в «Simulink», используя библиотеку «Math Operation».
Сумматор реализуется в «Simulink», используя библиотеку «Math
Operation». «Simulink». запускается в окне «Matlab» (рис. 3.17).
Рис. 3.17. Меню «Matlab»
36
После запуска «Simulink» на экране компьютера появляется окно
«Simulink Library Browser» (окно браузера библиотеки «Simulink»)
(рис. 3.18).
Рис. 3.18. Окно «Simulink Library Browser»
Для создания структурной схемы модели используется раздел меню
«файл» в окне браузера библиотеки «Simulink». Выбирается закладка «новая (new) – модель (model)» в разделе меню «файл» и нажимается левая
клавиша «мышки». Появляется новое («чистое») окно модели. Этой модели (рис. 3.19) присваивается имя, и это имя запоминается в виде файла в
файловой системе Matlab (например, «r_and_c»).
Рис. 3.19. Окно модели с именем «r_and_c» в ПП «Simulink»
Рассмотрим «технологию» процесса создания структурной схемы
модели электрической цепи с последовательным соединением резистора и
конденсатора с использованием ПП «Simulink» (см. рис. 3.20). Откроем с
помощью «мышки» библиотеку «Sources» (источники) и выберем иконку
«Constant» (постоянная величина) и с помощью «мышки» перенесем иконку «Constant» в окно модели с именем «r_and_c».
37
Активизируя элемент модели «Constant» (постоянная величина)
с помощью «мышки», можно получить в программном окне модели «Simulink» новое окно параметров элемента модели «Constant». Заменим в окне
параметров элемента модели «Constant» число «1» на число «20», т. е.
напряжение, равное 20 В.
Откроем с помощью «мышки» библиотеку «Continuous» (Линейные
элементы) и выберем иконку «Integrator» и с помощью «мышки» перенесем иконку «Integrator» в окно модели с именем «r_and_c». «Перетаскивая»
изображение интегратора из окна библиотеки «Continuous» в окно модели,
получим новое «содержание» окна модели.
Поместим в окне модели еще один элемент: пропорциональное звено. Для этого, «перетаскивая» изображение усилителя (gain) (это и есть
пропорциональное звено) из окна «Simulink Library Browser» (библиотека
«Mat. Operation») в окно модели, получим обновленное изображение окна
модели. Коэффициент передачи (Кп) элемента «усилитель – пропорциональное звено» равен «1 / (R × C)».
Поместим в окне модели еще один элемент: узел сравнения (вычитателя или сумматора), выполняющего функцию вычитания. Для этого, «перетаскивая» изображение сумматора из окна «Simulink» (библиотека
«Mat. Operation») в окно модели, получим обновленное изображение окна
модели. Активизируя элемент модели «Sum» (сумматор) с помощью
«мышки», можно получить в программном окне модели «Simulink» новое
окно параметров элемента модели «Sum». В этом окне параметров элемента модели «Sum» выбираем в окошке «форма значка» вариант «rectangular,
т. е. прямоугольный». В этом окне параметров элемента модели «Sum» выбираем в окошке «список знаков» вариант «+ –».
С помощью «мышки» соединим линиями связи элементы части
структурной схемы модели цепи с последовательным соединением резистора и конденсатора.
Откроем с помощью «мышки» библиотеку «Sinks» (источники) и
выберем иконку «Scope» (осциллограф) и с помощью «мышки» перенесем
иконку «Scope» в окно модели с именем «r_and_c». Подключим с помощью «мышки» элемент «Scope» к остальной модели.
Установим требуемые параметры моделирования
tПП = 5 × tau = 5 × (R × C) = 5 × 1000 × 0,000001 = 0,005 сек.
Для этого в меню окна модели откроем раздел «Simulation» и выберем закладку «Configation Parameters». В окошке «Stop time» в меню
окна модели запишем 0,005. Произведем запуск модели. Для этого можно либо в меню окна модели открыть раздел «Simulation» и выбрать закладку «Start», либо нажать виртуальную клавишу «Start Simulation»
(см. рис. 3.19).
38
Рис. 3.20. Окно модели электрической цепи с последовательным соединением
резистора и конденсатора средствами «Simulink»
Результаты моделирования электрической цепи с последовательным
соединением резистора и конденсатора средствами «Simulink» ( u ВХ = f (t ) и
u C = f (t ) ) приведены на рис. 3.21.
Рис. 3.21. Результаты моделирования электрической цепи
с последовательным соединением резистора и конденсатора средствами
«Simulink» ( u ВХ = f (t ) = 20 и u C = f (t ) )
На структурной схеме модели для цепи с последовательным соединением резистора и конденсатора при определении тока имеется второе пропорциональное звено с коэффициентом передачи, равным «С».
Добавим его в структурную схему модели (рис. 3.22) для цепи с последовательным соединением резистора и конденсатора (в программной
среде «Simulink»).
Откроем с помощью «мышки» библиотеку «Sinks» (источники) и
выберем иконку «Scope» (осциллограф) и с помощью «мышки» перенесем
иконку «Scope» в окно модели с именем «r_and_c_i». Подключим с помощью «мышки» элемент «Scope» к остальной модели.
39
Установим требуемые параметры моделирования:
tПП = 5 × tau = 5 × (R × C) = 5 × 1000 × 0,000001 = 0,005 сек.
Для этого в меню окна модели откроем раздел «Simulation» и выберем закладку «Configation Parameters». В окошке «Stop time» в меню окна
модели запишем 0,005. Произведем запуск модели. Для этого можно либо
в меню окна модели открыть раздел «Simulation» и выбрать закладку
«Start», либо нажать виртуальную клавишу «Start Simulation».
Рис. 3.22. Окно модели с именем «r_and_c_i» для определения тока
в ПП «Simulink»
Результаты моделирования электрической цепи с последовательным
соединением резистора и конденсатора средствами «Simulink» ( u ВХ = f (t ) ,
u C = f (t ) и i = f (t ) ) приведены на рис. 3.23.
Рис. 3.23. Результаты моделирования электрической цепи с последовательным
соединением резистора и конденсатора средствами «Simulink» ( u ВХ = f (t ) ,
u C = f (t ) и i = f (t ) )
40
3.4. Структурное моделирование апериодического звена
«Transfer Fcn» при подключении к источнику постоянного напряжения
Допустим, что требуется выполнить моделирование процесса зарядки конденсатора в цепи «R-C», подключенной к источнику постоянного
напряжения «U» (рис. 3.24).
Рис. 3.24. Схема цепи «R-C»
Математическая модель в форме уравнений состояния разрабатывается на основании уравнения, составленного по 2-му закону Кирхгофа для
цепи «R-C», подключенной к источнику постоянного напряжения «U»
(см. рис. 3.24)
i=
du
dq dC ⋅ u C
=
=C⋅ C ,
dt
dt
dt
du C
1
du C
=
⋅ (U − u C ) .
+ uC = U ,
dt
R ⋅C
dt
Полученное дифференциальное уравнение является математической
моделью цепи «R-C» (в форме уравнения состояния), подключенной к источнику постоянного напряжения «U». На основе этого уравнения составим структурную схему модели цепи «R-C» (рис. 3.25).
C⋅R⋅
Рис. 3.25. Структурная схема модели цепи «R-C»
Полученная структурная схема модели цепи «R-C» (см. рис. 3.25)
включает два звена. Одно из них является интегратором с коэффициентом
передачи
WИ ( з) =
1
,
p
а
другое
звено
с
коэффициентом
передачи
1
– пропорциональным звеном. Кроме этого модель содержит
R ⋅C
сумматор, выполняющий функцию вычитания из напряжения питания U
W ПЗ ( з ) =
текущего значения u C .
41
Преобразуем математическую модель цепи «R-C» в форме структурной схемы, объединив последовательно соединенные пропорциональное
звено и интегратор и заменив их одним эквивалентным звеном (рис. 3.26).
В соответствии с правилами теории автоматического регулирования коэффициент передачи эквивалентного звена WЭ ( p) равен произведению коэффициентов передачи двух последовательно соединенных звеньев
WЭ ( p ) = W ПЗ ( p ) ⋅ WИ ( p ) =
где τ =
1
1
1
⋅ =
,
R ⋅C p τ ⋅ p
(3.6)
1
.
R ⋅C
Рис. 3.26. Структурная схема модели цепи «R-C» после первого преобразования
Выполним еще одно преобразование математической модели цепи
«R-C» в форме структурной схемы, заменив структуру ( WРАЗ = WЭ ( p) ) с обратной связью ( WОС = 1 ) одним эквивалентным звеном (без обратной связи)
с передаточной функцией WЗАМ Э (рис. 3.27).
В соответствии с правилами теории автоматического регулирования
такая замена производится по следующей формуле:
WЗАМ
Э
1
WРАЗ ( p )
WЭ ( p )
1
τ⋅p
=
=
=
=
.
1
τ ⋅ p +1
1 + WРАЗ ( p) ⋅ WОС ( p) 1 + WЭ ( p) ⋅ 1
1+
τ⋅p
(3.7)
Рис. 3.27. Структурная схема модели цепи «R-C»
после повторного преобразования
Полученное эквивалентное звено называется интегро – дифференцирующим звеном 1-го порядка или апериодическим звеном.
42
На основе проведенных преобразований составим структурную модель апериодического звена в программном продукте «Simulink» для следующих исходных данных (рис. 3.28): U = 10 В; τ = R ⋅ C = 0,5 c.
Рис. 3.28. Структурная схема модели апериодического звена
для программного продукте «Simulink»
Результаты моделирования апериодического звена u C = f (t ) приведены на рис. 3.29.
Рис. 3.29. Результаты моделирования апериодического звена u C = f (t )
Полученные результаты совпадают с результатами моделирования
электрической цепи с последовательным соединением резистора и конденсатора средствами «Simulink» (см. рис. 3.23).
3.5. Структурное моделирование звена 2-го порядка
при подключении к источнику постоянного напряжения
На рис. 3.30 представлена электрическая цепь с последовательным
соединением катушки индуктивности и конденсатора (цепь R-L-C). Математическая модель цепи «R-L-C» в форме уравнений состояния разрабатывается на основании уравнения, составленного по 2-му закону Кирхгофа
u R + u L + uC = U .
43
(3.8)
Рис. 3.30. Схема цепи «R-L-C»
Подставляя в уравнение (3.8) выражения для u R , u L и u C , получим
следующее интегро-дифференциальное уравнение:
i⋅R + L⋅
di 1
+ ⋅ i ⋅ dt = U .
dt C 
(3.9)
Если продифференцировать уравнение состояния цепи (3.9), то получим дифференциальное уравнение 2-го порядка
di
d 2i 1
R ⋅ + L ⋅ 2 + ⋅i = 0.
C
dt
dt
(3.10)
Характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению (3.10), может быть получено, если символ первой производной
d
d2
заменить символом p, символ второй производной 2 заменить
dt
dt
символом p 2 , а символ i представить единицей (1)
1
= 0.
(3.11)
C
Решив характеристическое уравнение (3.11), определяют величины
его корней. Так как характеристическое уравнение является квадратным,
то число корней равно 2
R ⋅ p + L ⋅ p2 +
p1, 2 = −
R
R
1
± (
=
)−
2⋅ L
2⋅ L L ⋅C
R ± R2 − 4 ⋅ L ⋅
2⋅ L
1
C
.
(3.12)
Корни характеристического уравнения p1 и p2 могут быть:
– разными отрицательными числами, причем p1 > p 2 ;
– равными отрицательными числами p1 = p2 ;
– комплексно-сопряженными числами p1 = −a − b ⋅ j и p 2 = −a + b ⋅ j .
В соответствии со значениями корней характеристического уравнения различают следующие виды переходных процессов в цепи «R-L-C»:
апериодический переходный процесс, когда корни характеристического
уравнения p1 и p 2 являются разными отрицательными числами; критический переходный процесс, когда корни характеристического уравнения p1
и p 2 являются равными отрицательными числами; периодический (колеба-
44
тельный) переходный процесс, когда корни характеристического уравнения p1 и p 2 являются комплексно-сопряженными числами.
Дифференциальному уравнению 2-го порядка (3.10) соответствует
структурная схема модели, приведенная на рис. 3.31.
Рис. 3.31. Структурная схема модели цепи «R-L-C»
Преобразуем математическую модель цепи «R-L-C» в форме структурной схемы, объединив последовательно соединенные пропорциональное звено с коэффициентом передачи L и дифференцирующее звено с коэффициентом передачи p и заменив их одним эквивалентным звеном
(рис. 3.32). В соответствии с правилами теории автоматического регулирования коэффициент передачи (передаточная функция) эквивалентного звена WЭ 2 ( p) равен произведению коэффициентов передачи двух последовательно соединенных звеньев (см. рис. 3.32)
WЭ ( p ) = L ⋅ p .
(3.12)
Появление на рис. 3.32 второго сумматора связано с необходимостью дальнейшего преобразования структурной схемы модели для цепи
«R-L-C». В структурной схеме модели цепи «R-L-C» после первого преобразования четко выделяется участок, в котором имеется контур, включающий «прямую ветвь» («разомкнутая часть» контура) с передаточной функцией W РАЗ =
1
и «обратную связь» с передаточной функцией WОС = L ⋅ p .
R
Этот контур заменим эквивалентным звеном (без обратной связи) с передаточной функцией W Э 2 (рис. 3.33).
Рис. 3.32. Структурная схема модели цепи «R-L-C» после первого преобразования
45
WЭ 2 ( p) = WЗАМ
WРАЗ ( p)
=
Э ( p) =
1 + WРАЗ ( p ) ⋅ WОС ( p)
WРАЗ ( p)
WЭ 2 ( p) =
=
1 + WРАЗ ( p) ⋅ WОС ( p)
1
1
R
R ,
=
1
τ ⋅ p +1
1 + ⋅ Lp
R
(3.13)
1
1
K Э2
K Э2
1
R
R
.
=
=
=
=
L
1
R + L⋅ p L
τ
⋅ p +1
Э
2
1+ ⋅ L ⋅ p
⋅ p +1
⋅ p +1
R
R
R
(3.14)
Выполним еще одно преобразование математической модели цепи
«R-L-C» в форме структурной схемы, заменив структуру ( WРАЗ =
1
) с обR
ратной связью ( WОС = 1 ) одним эквивалентным звеном (без обратной связи)
с передаточной функцией WЗАМ = WЭ1 (см. рис. 3.33).
Рис. 3.33. Структурная схема модели цепи «R-L-C» после второго преобразования
Выполним третье преобразование. Заменим последовательно соединенные апериодическое звено с передаточной функцией WЭ1 ( p) =
и интегрирующее звено с передаточной функцией WИ ( p) =
1
L⋅ p + R
1
одним эквиp
валентным звеном (рис. 3.34):
WЭ 2 ( p ) =
1
1
1
1
⋅ =
=
.
2
L ⋅ p + R p ( L ⋅ p + R) ⋅ p L ⋅ p + R ⋅ p
(3.15)
Рис. 3.34. Структурная схема модели цепи «R-L-C» после третьего преобразования
46
Осуществим четвертое преобразование, заменив структуру на
рис. 3.34 одним эквивалентным звеном. Здесь WРАЗ ( p) =
1
L⋅ p + R
и
1
.
Тогда,
подставив
эти
выражения
в
уравнение
C
WРАЗ
, получим выражение для передаточной функции экви=
1 + WРАЗ ⋅ WОС
WОС ( p ) =
WЗАМ
валентного звена
1
u ( p)
C
( L ⋅ p + R) ⋅ p
WЭ 3 ( p ) =
=
= C
.
2
1
1 L ⋅ C ⋅ p + C ⋅ R ⋅ p + 1 U ( p)
1+
⋅
( L ⋅ p + R) C
(3.16)
В выражении (3.16) разделим числитель и знаменатель на выражение, равное C . Полученному выражению соответствует структурная схема
модели цепи «R-L-C» на рис. 3.35:
WЭ 3 ( p ) =
1
1
L⋅ p + R⋅ p +
C
2
=
u ( p)
1
= C
.
A ⋅ p + B ⋅ p + D U ( p)
2
(3.17)
Рис. 3.35. Структурная схема модели цепи «R-L-C»
после четвертого преобразования
Используя библиотечные возможности «Simulink», можно выполнить моделирование цепи «R-L-C» при подключении ее на постоянное
напряжение, применив интегро – дифференцирующее звено 2-го порядка. На рис. 3.36 представлена структурная схема модели цепи «R-L-C»
для следующих параметров структурной схемы: А = L = 0,5; В = R =
= 0,5; D = 1 / C = 1; U = 10 В.
Рис. 3.36. Структурная схема модели цепи «R-L-C»,
представленная средствами «Simulink»
47
При таких параметрах характеристическое уравнение выглядит следующим образом: 0.5 ⋅ p 2 + 0.5 ⋅ p + 1 = 0 .
При этом корни характеристического уравнения равны следующим
значениям. p1 = −0.125 + 0.3307 ⋅ j ; p 2 = −0.125 − 0.3307 ⋅ j .
Значения корней характеристического уравнения (комплексносопряженные числа) соответствуют третьему виду переходного процесса,
периодическому (колебательному) переходному процессу. Результаты моделирования цепи «R-L-C» в режиме периодического переходного процесса для u C = f (t ) приведены на рис. 3.37.
Приближенный расчет частоты свободных колебаний в цепи
«R-L-C» для параметров структурной схемы модели А = L = 0,5,
В = R = 0,5, D = 1 / C = 1 проводится по следующей формуле:
f св =
1
1
1
1
⋅
=
⋅
= 0.2252 Гц .
2 ⋅π
L ⋅ C 2 ⋅ 3.14 0.5 ⋅ 1
(3.18)
Период свободных колебаний в цепи «R-L-C» для принятых параметров структурной схемы модели TСВ =
1
1
=
= 4.44 с .
f СВ 0.2252
Границы для режима колебательного переходного процесса определяются значением критического сопротивления RКР (3.19).
Для принятых параметров структурной схемы модели
Rкр = 2 ⋅
L
0.5
= 2⋅
= 1.4142 Ом .
C
1
(3.19)
Рис. 3.37. Результаты моделирования цепи «R-L-C»
в режиме периодического (колебательного) переходного процесса u C = f (t )
48
Для моделирования цепи «R-L-C» с целью построить график i = f (t )
необходимо определить передаточную функцию по току. Для этого следует передаточную функцию для напряжения на конденсаторе по выражению (3.17) умножить на оператор Лапласа p
Wi ( p ) = Wu ( p ) ⋅ p = WЭ ( p ) ⋅ p =
1
1
L⋅ p + R⋅ p +
C
2
⋅p=
p
1
L⋅ p + R⋅ p +
C
.
(3.20)
2
На рис. 3.38 представлена структурная схема модели цепи «R-L-C»
для определения i = f (t ) .
U(p)
p
L ⋅ p2 + R ⋅ p +
1
C
Рис. 3.38. Структурная схема модели цепи «R-L-C» для определения i = f (t )
На рис. 3.39 представлена структурная схема модели цепи «R-L-C»
для определения i = f (t ) и u C = f (t ) средствами «Simulink».
Рис. 3.39. Структурная схема модели цепи «R-L-C» для определения i = f (t )
и u C = f (t ) средствами «Simulink»
Результаты моделирования цепи «R-L-C» в режиме периодического
переходного процесса для i = f (t ) приведены на рис. 3.40.
Рис. 3.40. Результаты моделирования цепи «R-L-C» в режиме периодического
(колебательного) переходного процесса i = f (t ) и
49
u C = f (t )
Если величина активного сопротивления R в цепи «R-L-C» будет
меньше R КР , то режим переходного процесса будет колебательным. При
условии, что R > RКР , то режим переходного процесса будет апериодическим. Для варианта R = RКР режим переходного процесса называется критическим. Это граница между колебательным и апериодическим режимами
переходного процесса в цепи «R-L-C».
Результаты моделирования цепи «R-L-C» в режиме апериодического
переходного процесса для следующих параметров структурной схемы
А = L = 0,5; В = R = 2; D = 1 / C = 1; U = 10 В приведены на рис. 3.41.
Результаты моделирования цепи «R-L-C» в режиме критического переходного процесса для следующих параметров структурной схемы
А = L = 0,5; В = R = 1,41; D = 1 / C = 1; U = 10 В представлены на рис. 3.42.
Рис. 3.41. Результаты моделирования цепи «R-L-C» в режиме апериодического
переходного процесса i = f (t ) и u C = f (t )
Рис. 3.42. Результаты моделирования цепи «R-L-C» в режиме критического
переходного процесса i = f (t ) и u C = f (t )
50
Рассмотрим альтернативный вариант разработки структурной схемы
модели цепи «R-L-C» (рис. 3.43) для определения i = f (t ) и u C = f (t ) , основанный на применении уравнения i ⋅ R + L ⋅
di 1
+ ⋅ i ⋅ dt = U . Для составdt C 
ления структурной схемы модели цепи «R-L-C» определим первую произdi
водную тока в этой цепи
dt
di U R
1
= − ⋅i −
i ⋅ dt .
dt L L
L ⋅C 
(3.21)
Рис. 3.43. Структурная схема модели цепи «R-L-C» для определения i = f (t ) ,
u L = f (t ) и u C = f (t )
Составим структурную модель по этому уравнению для следующих
параметров А = L = 0,5, В = R = 0,5, D = 1 / C = 1 для реализации средствами «Simulink» (рис. 3.44).
Рис. 3.44. Структурная схема модели цепи «R-L-C» для определения
u L = f (t ) и u C = f (t ) средствами «Simulink»
51
i = f (t ) ,
На рис. 3.44 виртуальный осциллограф имеет шесть лучей для
наблюдения шести процессов. Нижний луч (первый) предназначен для
наблюдения напряжения на индуктивном элементе u L = f (t ) , равном
di
L ⋅ . Следующий (второй) луч служит для фиксации напряжения на конdt
денсаторе u C = f (t ) , равного
1
i ⋅ dt . Третий луч фиксирует входное
C
напряжение цепи U , равное 10 В. Четвертый луч предназначен для
R
наблюдения величины, равной ⋅ i . Пятый луч служит для фиксации тока
L
1
i ⋅ dt . На
в цепи i = f (t ) . Шестой луч фиксирует величину, равную
L ⋅C 
рис. 3.45 приведены результаты моделирования цепи «R-L-C» в режиме
периодического переходного процесса для наблюдения u L = f (t ) ,
1
R
i ⋅ dt .
u C = f (t ) , U = f (t ) , ⋅ i (t ) , i = f (t ) и
L⋅C 
L
Рис. 3.45. Результаты моделирования цепи «R-L-C» в режиме периодического
R
(колебательного) переходного процесса u L = f (t ) , u C = f (t ) , U = f (t ) , ⋅ i (t ) ,
L
1
i = f (t ) и
i ⋅ dt
L⋅C 
52
Рис. 3.46. Результаты моделирования цепи «R-L-C» в режиме периодического
(колебательного) переходного процесса u L = f (t ) , u C = f (t ) , U = f (t ) ,
i = f (t ) и
1
i ⋅ dt
L⋅C 
R
⋅ i (t ) ,
L
На рис. 3.46 приведены результаты моделирования цепи «R-L-C»
в режиме апериодического переходного процесса для наблюдения
1
R
i ⋅ dt .
u L = f (t ) , u C = f (t ) , U = f (t ) , ⋅ i(t ) , i = f (t ) и
L ⋅C 
L
3.6. Структурное моделирование при подключении цепи с катушкой
индуктивности к источнику синусоидального напряжения
Задачи моделирования в энергетике и электротехнике можно разбить
на разные группы в зависимости от различных признаков.
В зависимости от режима работы устройств энергетики и электротехники эти задачи разделяются: моделирование установившихся режимов
работы; моделирование переходных процессов.
В зависимости от типа источника питания устройств энергетики и
электротехники эти задачи разделяются: моделирование работы при питании от источника постоянного напряжения или тока; моделирование работы при питании от источника синусоидального напряжения или тока; моделирование работы при питании от источника переменного несинусоидального напряжения или тока.
Рассмотрим особенности моделирования при подключении цепи с катушкой индуктивности к источнику синусоидального напряжения (рис. 3.47).
53
Рис. 3.47. Электрическая цепь с катушкой индуктивности
Уравнение
состояния
цепи
с
катушкой
индуктивности
di
L ⋅ + i ⋅ R = U m ⋅ sin(ω ⋅ t + ψ U ) позволяет осуществить моделирование этой
dt
цепи. Входное напряжение цепи u = U m ⋅ sin(ω ⋅ t + ψ U ) изменяется во времени по синусоидальному закону. На рис. 3.48 приведена структурная
схема модели цепи «R-L» для определения i = f (t ) , и u L = f (t ) , а на
рис. 3.49 приведена эта же структурная схема, подготовленная средствами
«Simulink» для следующих параметров модели: L = 0,2 Гн; R = 10 Ом;
Um = 220 B; f = 50 Гц; ψ U = 30 0 .
L
Рис. 3.48. Структурная схема модели цепи «R-L» для определения i = f (t )
и u L = f (t )
Рис. 3.49. Структурная схема модели цепи «R-L» для определения i = f (t )
и u L = f (t ) средствами «Simulink»
На рис. 3.49 виртуальный осциллограф имеет три луча для наблюдения трех процессов. Нижний луч (первый) предназначен для фиксации
напряжения u − R ⋅ i = f (t ) = u L (t ) . Следующий (второй) луч служит для
наблюдения тока i = f (t ) . Третий луч фиксирует входное напряжение
54
цепи u, равное 220 ⋅ sin(ω ⋅ t + ψ U ) . На рис. 3.50 представлены результаты
моделирования цепи «R-L» для наблюдения i = f (t ) , u L = f (t )
и u = 220 ⋅ sin(ω ⋅ t +ψ U ) при ψ U = 30 0 .
Рис. 3.50. Результаты моделирования цепи «R-L» для наблюдения i = f (t ) ,
u L = f (t ) и u = 220 ⋅ sin(ω ⋅ t + ψ U ) для ψ U = 30 0 при t КОН = 0.1 с (слева)
и t КОН = 3.5 с (справа)
Анализируя результаты моделирования цепи «R-L» для ψ U = 30 0
(рис. 3.50), можно сделать вывод, что ток в катушке индуктивности изменяется во времени по закону синуса с изменяющейся амплитудой в функции «падающей» экспоненты i = I m ⋅ sin(ω ⋅ t + ψ I ) − I m ⋅ sin(ψ U − ϕ ) ⋅ e −α ⋅t .
i = I m ⋅ sin(ω ⋅ t + ψ I ) − I m ⋅ sin(ψ U − ϕ ) ⋅ e −α ⋅t ,
(3.22)
где
α=
R
,
2⋅L
(3.23)
α является корнем характеристического уравнения для цепи R-L.
ψU
Начальная фаза тока ψ I равна разности начальной фазы напряжения
и угла сдвига по фазе ϕ
ψ I = ψ U − ϕ = ψ U − arctg
ϕ = arctg
ω⋅L
R
ω⋅L
R
.
,
(3.24)
(3.25)
В начале переходного процесса при ψ U = 30 0 (см. рис. 3.50) максимальное значение тока почти в 2 раза больше чем в установившемся процессе.
55
На рис. 3.51 представлены результаты моделирования цепи «R-L»
для наблюдения i = f (t ) , u L = f (t ) и u = 220 ⋅ sin(ω ⋅ t + ψ U ) при ψ U = 90 0 .
Рис. 3.51. Результаты моделирования цепи «R-L» для наблюдения i = f (t ) ,
u L = f (t ) и u = 220 ⋅ sin(ω ⋅ t + ψ U ) для ψ U = 90 0 при t КОН = 0.1 с (слева)
и t КОН = 3.5 с (справа)
Анализируя результаты моделирования цепи «R-L» для ψ U = 90 0
(рис. 3.51), можно сделать вывод, что ток в катушке индуктивности изменяется во времени по синусоидальному закону с постоянной амплитудой
i = I m ⋅ sin(ω ⋅ t + ψ I ) ,
(3.25)
где
Im =
Um
R 2 + (ω ⋅ L) 2
=
Um
.
z
(3.26)
Другими словами, при начальной фазе напряжения ψ U = 90 0 длительность переходного процесса в соответствии с рис. 3.51 равна нулю, т. е.
сразу же после подключения цепи «R-L» к источнику синусоидального
напряжения наступает установившийся процесс. Следовательно, характеристика переходного процесса при подключении цепи «R-L» к источнику
синусоидального напряжения зависит от соотношения начальной фазs
напряжения ψ U и угла сдвига по фазе ϕ , т. е. от момента времени при подключении источника синусоидального напряжения.
Из выражения (3.22) видно, что при условии, когда (ψ U − ϕ ) = 0 , свободная составляющая тока в переходном процессе становится равной нулю.
56
3.7. Структурное моделирование при подключении цепи
с последовательным соединением резистора и конденсатора
к источнику синусоидального напряжения
Рассмотрим особенности моделирования при подключении цепи
с последовательным соединением резистора и конденсатора к источнику
синусоидального напряжения (рис. 3.52).
i
u
u1
R
uR
uC
Рис. 3.52. Электрическая цепь с последовательным соединением резистора
и конденсатора, подключенная к источнику синусоидального напряжения
Входное напряжение цепи u = U m ⋅ sin(ω ⋅ t + ψ U ) изменяется во времени по синусоидальному закону. На рис. 3.53 приведена структурная
схема модели цепи «R-С» для определения i = f (t ) , и u L = f (t ) , а на
рис. 3.54 приведена структурная схема, подготовленная средствами
Simulink для следующих параметров модели: С = 10 мкФ; R = 10000 Ом;
Um = 220 B; f = 50 Гц; ψ U = 30 0 .
Рис. 3.53. Структурная схема модели цепи «R-С» для определения u C = f (t )
Для определения i = f (t ) необходимо умножить переменную, равную
duC
du C
на величину емкости конденсатора C и получим i = C ⋅
.
dt
dt
Рис. 3.54. Структурная схема модели цепи «R-С» для определения i = f (t )
и u C = f (t ) средствами «Simulink»
57
На рис. 3.54 виртуальный осциллограф имеет три луча для наблюдения трех процессов. Нижний луч (первый) предназначен для фиксации
входного напряжения цепи u , равного 220 ⋅ sin(ω ⋅ t + ψ U ) . Следующий (второй) луч служит для наблюдения напряжения на конденсаторе u C = f (t ) .
Третий луч фиксирует ток в цепи i = f (t ) . На рис. 3.55 представлены результаты моделирования цепи «R-С» для наблюдения i = f (t ) , u C = f (t ) и
u = 220 ⋅ sin(ω ⋅ t + ψ U ) при ψ U = 30 0 .
Рис. 3.55. Результаты моделирования цепи «R-С» для наблюдения i = f (t ) ,
u C = f (t ) и u = 220 ⋅ sin(ω ⋅ t + ψ U ) для ψ U = 30 0 при t КОН = 0.4 с
В начале переходного процесса при ψ U = 30 0 (см. рис. 3.55) максимальное значение напряжения на конденсаторе u C = f (t ) почти в 2 раза
больше чем в установившемся процессе.
На рис. 3.56 представлены результаты моделирования цепи «R-L»
для наблюдения i = f (t ) , u C = f (t ) и u = 220 ⋅ sin(ω ⋅ t + ψ U ) при ψ U = 90 0 .
Рис. 3.56. Результаты моделирования цепи «R-С» для наблюдения i = f (t ) ,
u C = f (t ) и u = 220 ⋅ sin(ω ⋅ t + ψ U ) для ψ U = 90 0 при t КОН = 0.1 с
58
Анализируя результаты моделирования цепи «R-С» для ψ U = 90 0
(см. рис. 3.56), можно сделать вывод, что напряжение на конденсаторе
u C = f (t ) изменяется во времени по синусоидальному закону с постоянной
амплитудой
(3.27)
u C = U C m ⋅ sin(ω ⋅ t + ψ U ) ,
C
где
U C m = I m ⋅ xC ,
(3.28)
1
,
ω ⋅C
i = I m ⋅ sin(ω ⋅ t + ψ I ) ,
(3.29)
xC =
Im =
Um
1 2
R +(
)
ω ⋅C
2
=
Um
,
z
ψ I = ψ U − ϕ = ψ U − arctg
xC
,
R
xC
1
,
= arctg
R
ω ⋅C ⋅ R
x
x
= ψ I − 90 0 = ψ U − arctg C = ψ U − arg tg C − 90 0 .
R
R
ϕ = arctg
ψU
C
(3.30)
(3.31)
(3.32)
(3.33)
(3.34)
Другими словами, при начальной фазе напряжения ψ U = 90 0 длительность переходного процесса в соответствии с рис. 3.56 равна нулю, т. е.
сразу же после подключения цепи «R-С» к источнику синусоидального
напряжения наступает установившийся процесс. Следовательно, характеристика переходного процесса при подключении цепи «R-С» к источнику
синусоидального напряжения зависит от соотношения начальной фазы
напряжения ψ U и угла сдвига по фазе ϕ , т. е. от момента времени при подключении источника синусоидального напряжения.
Из выражения (3.22) видно, что при условии, когда (ψ U − ϕ − 90 0 ) = 0
свободная составляющая тока в переходном процессе становится равной
нулю.
Анализируя результаты моделирования цепи «R-L» для ψ U = 30 0 (см.
рис. 3.55), можно сделать вывод, что напряжение на конденсаторе изменяется во времени по закону синуса с изменяющейся амплитудой в функции
«падающей» экспоненты
u C = U C m ⋅ sin(ω ⋅ t + ψ U C ) − U C m ⋅ e −α ⋅t ⋅ sin(ψ U C − ϕ − 90 0 ) ,
(3.35)
где
α=
R ⋅ω ⋅ C
,
2
α является корнем характеристического уравнения цепи R-С.
59
(3.36)
Начальная фаза тока ψ U равна разности начальной фазы напряжения
ψ U − 90 0 , угла сдвига по фазе ϕ между напряжением цепи и током.
C
3.8. Структурное моделирование звена 2-го порядка при подключении
к источнику синусоидального напряжения
Математическая модель цепи «R-L-C» (рис. 3.57) в форме уравнений
состояния разрабатывается на основании уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа.
Рис. 3.57. Схема электрической цепи с последовательным соединением катушки
индуктивности и конденсатора с подключением к источнику синусоидального
напряжения
Уравнение состояния цепи «R-L-C» u R + u L + u C = u составлено по
второму закону Кирхгофа.
Интегро-дифференциальное
уравнение
для
цепи
«R-L-C»
i⋅R + L⋅
di 1
+ ⋅ i ⋅ dt = u получено после подстановки в уравнение состояdt C 
ния этой цепи падений напряжения u R , u L и u C .
Напряжение, приложенное к цепи «R-L-C» u = U m ⋅ sin(ω ⋅ t +ψ U ) , изменяется по синусоидальному закону.
Определим
первую
производную
тока
i
по
времени
di U R
1
= − ⋅i −
i ⋅ dt .
dt L L
L ⋅C 
На основе полученного уравнения для
схему модели цепи «R-L-C» (рис. 3.58).
60
di
составим структурную
dt
Рис. 3.58. Структурная схема модели цепи «R-L-С» для определения i = f (t ) ,
u L = f (t ) и u C = f (t )
На рис. 3.58 приведена структурная схема, подготовленная средствами «Simulink» для следующих параметров модели: L = 1 Гн; С = 10
мкФ; R = 300 Ом; Um = 220 B; f = 50 Гц; ψ U = 90 0 при t КОН = 0.1 с .
Рис. 3.59. Структурная схема модели цепи «R-L-C» для определения i = f (t ) ,
u L = f (t ) и u C = f (t ) при синусоидальном напряжении средствами «Simulink»
На рис. 3.59 виртуальный осциллограф имеет шесть лучей для наблюдения шести процессов. Нижний луч (первый) предназначен для наблюдения
напряжения на индуктивном элементе u L = f (t ) , равного L ⋅ di . Следующий
dt
(второй) луч служит для фиксации напряжения на конденсаторе u C = f (t ) ,
1
i ⋅ dt . Третий луч фиксирует входное напряжение цепи u (t ) , равC
ное u = 220 ⋅ sin(ω ⋅ t + ψ U ) В. Четвертый луч предназначен для наблюдения
равного
R
⋅ i . Пятый луч служит для фиксации тока в цепи i = f (t ) .
L
1
i ⋅ dt . На рис. 3.60 приведены
Шестой луч фиксирует величину, равную
L ⋅C 
величины, равной
61
результаты моделирования цепи «R-L-C» в переходном процессе для наблюдения u L = f (t ) , u C = f (t ) , u = f (t ) ,
входном синусоидальном напряжении.
R
1
⋅ i (t ) , i = f (t ) и
i ⋅ dt при
L
L⋅C 
Рис. 3.60. Результаты моделирования цепи «R-L-C» при синусоидальном
напряжении (ψ U = 90 0 ) в режиме переходного процесса u L = f (t ) , u C = f (t ) ,
R
1
u = f (t ) , ⋅ i (t ) , i = f (t ) и
i ⋅ dt
L
L⋅C 
На рис. 3.61 приведена структурная схема, подготовленная средствами «Simulink» для следующих параметров модели: L = 1,01424 Гн; С =
= 10 мкФ; R = 3 Ом; Um = 220 B; f = 50 Гц; ψ U = 90 0 при t КОН = 1.3 с .
Рис. 3.61. Результаты моделирования цепи «R-L-C» при синусоидальном
напряжении (ψ U = 90 0 ) в режиме переходного процесса u L = f (t ) , u C = f (t ) ,
R
1
u = f (t ) , ⋅ i (t ) , i = f (t ) и
i ⋅ dt
L
L⋅C 
62
Режим работы электрической цепи «R-L-C» в качестве резистивного
двухполюсника называется также режимом резонанса напряжений. В режиме резонанса напряжений ток в цепи становится максимальным. Ток i в цепи совпадает по фазе с входным напряжением u = U m ⋅ sin(ω ⋅ t + ψ U ) . Напряжения u L = f (t ) и u C = f (t ) равны по величине и противоположны по фазе.
При высокой добротности Q катушки индуктивности напряжение на
конденсаторе и индуктивном элементе превышают входное напряжение.
ω⋅L
314 ⋅ 1.01434
= 106 .
R
3
Амплитуды напряжений u L = f (t ) и uC = f (t ) равны по величине
В данном случае Q =
=
(220 × 106 = 23360 В), противоположны по фазе и больше чем входное
напряжение (Um = 220 В) в 106 раз.
Результаты моделирования цепи «R-L-C», представленные на
рис. 3.61, получены при параметрах и для режима, близкого к резонансу
напряжений в установившемся процессе. Об этом свидетельствуют значения напряжений на индуктивном элементе u L = f (t ) и на конденсаторе
u C = f (t ) , близких в установившемся процессе к значениям 3000 В.
3.9. Применение подсистем при структурном моделировании
электрических цепей в электротехнике
При моделировании сложных электрических цепей и систем возникает проблема построения и анализа структурных схем моделей (ССМ).
Для решения этой проблемы и упрощения при разработке ССМ можно
применить подсистемы. Рассмотрим «технологический процесс» использования подсистем при проектировании ССМ на примере анализа переходного процесса в электрической цепи «R-L-C» при подключении ее к источнику синусоидального напряжения (рис. 3.62).
Рис. 3.62. Исходная модель при анализе переходного процесса в электрической
цепи «R-L-C» для определения i = f (t ) , u L = f (t ) и u C = f (t ) при синусоидальном
напряжении средствами «Simulink»
63
Исходная модель для анализа переходного процесса в электрической
цепи «R-L-C» средствами «Simulink» при определении тока i = f (t ) , напряжения на индуктивном элементе u L = f (t ) и напряжения на конденсаторе
u C = f (t ) при синусоидальном напряжении на входе цепи построена на основе уравнения, составленного по 2-му закону Кирхгофа
i⋅R + L⋅
di 1
+ ⋅ i ⋅ dt = U m ⋅ sin(ω ⋅ t + ΨU ) .
dt C 
(3.37)
Параметры цепи на рис. 3.61 установлены следующие: L = 0,2 Гн;
С = 10 мкФ; R = 10 Ом; Um = 220 B; f = 50 Гц
di 1
1
= ⋅ (U m ⋅ sin(ω ⋅ t + ΨU ) − i ⋅ R − ⋅  i ⋅ dt ) .
dt L
C
(3.38)
Первая подсистема отражает уравнение (3.38), и в нее включены
элементы модели, представленные на рис. 3.63, рис. 3.64 и рис. 3.65. Для
определения тока в модели установлен интегратор, на вход которого подаdi
.
ется производная тока по времени
dt
di
в соответствии с
Для нахождения производной тока по времени
dt
уравнением (3.38) в модели имеется пропорциональное звено с коэффициентом передачи (передаточной функцией), равным
подается величина, равная (U m ⋅ sin(ω ⋅ t + ΨU ) − i ⋅ R −
1
, на вход которого
L
1
⋅ i ⋅ dt ) . При реализаC 
ции сигнала, поступающего на вход пропорционального звена, используется сумматор, один из входных сигналов которого U m ⋅ sin(ω ⋅ t + ΨU ) поступает со знаком «плюс», а два других – со знаком «минус».
Рис. 3.63. Структура первой подсистемы
64
Рис. 3.64. Общее изображение первой подсистемы
Рис. 3.65. Внутренняя структура первой подсистемы
Технология создания подсистемы реализуется в следующей последовательности. На первом этапе создания подсистемы, нажав на левую
клавишу «мышки», выделяют нужные элементы исходной модели, которые войдут в «подсистему» (Subsystem). Затем устанавливают курсор на
любой элемент выделенной части модели и нажимают правую клавишу
«мышки». Появляется окно «действий с моделью». В этом окне, нажимая на левую клавишу «мышки», выбирают действие «Create Subsystem»
(создать подсистему). Создается элемент «подсистема». Помещая
остальные элементы модели в другие подсистемы, получим модель, составленную из подсистем.
Вторая подсистема отражает слагаемое
1
⋅ i ⋅ dt в уравнении (3.37) и
C 
в нее включены элементы модели, представленные на рис. 3.66. Для определения напряжения на конденсаторе в модели установлен интегратор с
передаточной функцией
1
, на вход которого подается ток i. С выхода инs
тегратора сигнал поступает на вход пропорционального звена с коэффициентом передачи (передаточной функцией), равным
65
1
.
С
Рис. 3.66. Внутренняя структура второй подсистемы
Третья подсистема отражает слагаемое L ⋅
di
в уравнении (3.37) и в
dt
нее включены элементы модели, представленные на рис. 3.67. Для определения напряжения на индуктивном элементе в модели установлено дифференцирующее звено
di
, на вход которого подается ток i. С выхода диффеdt
ренцирующего звена сигнал поступает на вход пропорционального звена
с коэффициентом передачи (передаточной функцией), равным L .
Рис. 3.67. Внутренняя структура третьей подсистемы
Рис. 3.68. Структура модели с применением подсистем средствами «Simulink» при
анализе переходного процесса в электрической цепи «R-L-C» для определения
i = f (t ) , u L = f (t ) и u C = f (t ) при синусоидальном напряжении
На рис. 3.68 приведена структура модели с применением подсистем
средствами «Simulink» при анализе переходного процесса в электрической
цепи «R-L-C» для определения i = f (t ) , u L = f (t ) и u C = f (t ) при синусоидальном напряжении.
66
3.10. Выбор параметров «Simulink» при структурном моделировании
Установка параметров моделирования выполняется с помощью элементов управления, к которым можно обратиться, используя раздел меню
«Simulation» в окне модели и выбрать в этом разделе закладку «Simulation
Parameters». При этом появляется окно «Simulation Parameters», в котором
в верхней части расположено пять виртуальных кнопок. По умолчанию
сразу открывается окно «Solver» (Решатель). Элементы управления в окне
«Solver» разделены на две группы: «Simulation time» (Интервал моделирования) и «Solver options» (Параметры расчета).
«Simulation time» задаёт начальное время «Start time» и конечное
время «Stop time». Соответственно по умолчанию установлены следующие
параметры в «Start time» – 0, а в «Stop time» – 10,0 (размерность в секундах). При этом временной интервал моделирования 10,0 сек. При установке временного интервала необходимо представлять время протекания переходного процесса моделируемого объекта.
Рекомендуется приближенно рассчитывать время моделирования
по следующей формуле t КОН = (3 ÷ 5) ⋅ Т MAX . Максимальная постоянная времени Т MAX находится путем сравнения нескольких постоянных времени
элемента, устройства или электрической цепи.
В «Solver options» есть два параметра: максимальный шаг интегрирования и минимальный шаг интегрирования Max step size Δt MAX и Min step
size Δt MIN . И в том и в другом случае он устанавливается по умолчанию
auto. Для Max step size его значение в этом случае равно (Stop time – Start
time) / 50. Довольно часто это значение оказывается слишком большим и
результат моделирования ничего общего с реальным процессом не имеет.
Рекомендуется приближенно рассчитывать Δt MAX по следующей формуле,
которая соответствует теореме Котельникова – Шеннона:
Δt MAX ≤
TMAX
.
5
(3.39)
На точность результатов моделирования наряду с временем и шагом
моделирования решающее влияние оказывает и выбор метода решения
дифференциальных уравнений (метод численного интегрирования). Можно выбрать один из следующих методов численного интегрирования:
оde45 – одношаговые явные методы Руге – Кутта 4-го и 5-го порядка;
оde23 – одношаговые явные методы Руге – Кутта 3-го и 3-го порядка;
оde113 – многошаговый метод Адамса – Башворта – Мултона переменного порядка;
оde15s – многошаговый метод переменного порядка (от 1 до 5), использующий формулы численного дифференцирования;
67
оde23t – метод трапеций с интерполяцией;
оde23tb – неявный метод Рунге – Кутта в начале решения и метод,
использующий формулы обратного дифференцирования 2-го порядка
в последующем.
Методы численного интегрирования предназначены для повышения
скорости моделирования сложных моделей при сохранении точности. Рекомендуется использовать два метода: оde45 – при работе с основной библиотекой «Simulink» и оde15s – при работе с SimPowerSystems.
Контрольные вопросы и задания к главе 3
1. Изобразите схему электрической цепи с катушкой индуктивности.
2. Приведите уравнение по 2-му закону Кирхгофа и анализ переходного процесса в катушке индуктивности.
3. Приведите методику структурного метода моделирования переходного процесса в катушке индуктивности с помощью программного пакета «Simulink».
4. Изобразите график тока в катушке индуктивности при переходном
процессе.
5. Выполните анализ графика тока в катушке индуктивности.
6. Приведите формулу для расчета напряжения на индуктивном элементе.
7. Приведите методику определения напряжения на индуктивном
элементе при моделировании переходного процесса с помощью программного пакета «Simulink».
8. Изобразите график напряжения на индуктивном элементе.
9. Выполните анализ графика напряжения на индуктивном элементе.
10. Изобразите схему электрической цепи R-С.
11. Приведите уравнение по 2-му закону Кирхгофа и анализ переходного процесса в цепи R-С.
12. Приведите методику структурного метода моделирования переходного процесса в цепи R-С при определении напряжения на конденсаторе с помощью программного пакета «Simulink».
13. Изобразите график напряжения на конденсаторе в электрической
цепи с последовательным соединением резистора и конденсатора.
14. Выполните анализ графика напряжения на конденсаторе.
15. Приведите методику структурного метода моделирования переходного процесса в цепи R-С при определении тока с помощью программного пакета «Simulink».
16. Изобразите график тока в цепи R-С.
17. Выполните анализ графика тока в цепи R-С.
68
Глава 4. Моделирование нелинейных устройств элементов
энергетики и электротехники
4.1. Общие сведения о моделировании нелинейных устройств
и элементов
Практически большинство элементов в энергетике и электротехнике являются нелинейными. Параметры нелинейных элементов в энергетике и электротехнике: сопротивление элемента R, индуктивность элемента L, взаимная индуктивность между элементами М и емкость элемента С зависят от величины тока, протекающего по элементу, или от величины напряжения, приложенного к элементу, т. е. R = f (i ) или R = f (u ) ;
L = f (i ) или L = f (u ) ); M = f (u ) или M = f (u ) ; C = f (i ) или C = f (u ) .
Если бы учитывалась нелинейность всех элементов, то расчеты и
анализ работы устройств в энергетике и электротехнике значительно
усложнились бы. Поэтому при расчете, проектировании и анализе работы устройств учитываются только те нелинейности некоторых элементов, игнорирование которых приведет к большим погрешностям и
ошибкам.
Приведем примеры нелинейных устройств в энергетике и электротехнике. Среди них: однофазные и трехфазные трансформаторы; генераторы постоянного и переменного тока; двигатели постоянного и переменного тока; неуправляемые выпрямители и управляемые выпрямители
(тиристорные преобразователи – ТП) для преобразования переменного
напряжения в постоянное напряжение; широтно-импульсные преобразователи (для преобразования нерегулируемого постоянного напряжения в
регулируемое постоянное напряжение); тиристорные или транзисторные
регуляторы переменного напряжения (для преобразования переменного
нерегулируемого напряжения в регулируемое переменное напряжение);
преобразователи частоты (для преобразования переменного нерегулируемого напряжения в переменное напряжение с регулируемой частотой и
амплитудой); полупроводниковые усилители напряжения или тока или
мощности; полупроводниковые инверторы (для преобразования постоянного напряжения или тока в переменное напряжение с регулируемой
частотой и амплитудой).
Традиционно известные нелинейные элементы в энергетике и электротехнике до сих пор применяются в промышленности и в быту. Среди
них: лампа накаливания для электроосвещения; дроссель – катушка индуктивности, конструктивно выполненная с использованием ферромагнитного магнитопровода; полупроводниковый диод (неуправляемый полупроводниковый прибор); термистор – полупроводниковый терморезистор, обладающий свойством существенно изменять свое электрическое
сопротивление при изменении температуры; варистор – это особый тип
69
резистора, сопротивление которого изменяется под действием приложенного к нему напряжения; варикап – это полупроводниковый диод, характеризующийся емкостью, зависящей от приложенного напряжения; транзистор (управляемый полупроводниковый прибор); тиристор (полууправляемый полупроводниковый прибор); газоразрядные лампы для электроосвещения, и другие.
Графические изображения некоторых нелинейных элементов на
принципиальных схемах выглядят следующим образом (рис. 4.1).
Рис. 4.1. Графические изображения некоторых нелинейных элементов
на принципиальных схемах
Для наглядности, в качестве примера, приведем вольтамперную характеристику полупроводникового диода (рис. 4.2).
Рис. 4.2. Примерный вид вольтамперной характеристики
полупроводникового диода
4.2. Характеристика программных средств для моделирования
нелинейных устройств и элементов
Наиболее простым и надежным средством при моделировании нелинейных устройств и элементов является Matlab и его составная часть
«Simulink».
В ресурсах «Simulink» имеются следующие типы характеристик
нелинейных элементов (звеньев), при описании которых используется
70
метод кусочно-линейной аппроксимации (КЛА). Среди них: звено с зоной насыщения (звено с ограничением); звено с зоной нечувствительности; релейное звено; звено с зоной насыщения и с зоной нечувствительности; релейное звено с зоной нечувствительности и др. При применении нелинейных элементов с «гладкой нелинейностью» при описании
используются различные функциональные зависимости.
Все характеристики (исключая звено с «гладкой нелинейностью»)
относятся к характеристикам с использованием кусочно-линейной аппроксимации.
Исследование характеристик нелинейных элементов производится
с использованием следующей схемы (рис. 4.3).
Нелинейный элемент (НЭ) часто практически является четырехполюсником, т. е. имеет входные, а иногда выходные зажимы. На вход НЭ
поступает входной сигнал (напряжение или ток) от виртуального источника питания ИВС (источника сигнала). С выхода НЭ «снимается» выходной сигнал (напряжение или ток) и подается на другие элементы
электротехнического или энергетического устройства или виртуальный
осциллограф ВО.
Рис. 4.3. Блок-схема системы для моделирования нелинейного элемента
энергетики и электротехники
Существует несколько типов виртуальных источников сигналов
(рис. 4.4).
Рис. 4.4. Библиотека виртуальных источников сигналов в «Simulink»
71
Среди виртуальных источников сигналов в «Simulink» чаще всего
применяются источники постоянного и синусоидального напряжения
(рис. 4.5).
Рассмотрим характеристику виртуального источника постоянного
сигнала «Constant». Назначение сигнала: задать постоянный по уровню
сигнал, например величина напряжения U = 10 В. Параметры сигнала:
«Constant value» – постоянная величина (константа); «Interpret vector
parameters as 1-D» – интерпретировать вектор параметров как одномерный
можно при установленном флажке в окне параметров.
Значение константы может быть: действительным; комплексным
числом; вычисляемым выражением; вектором; матрицей.
Величину напряжения U можно измерить c помощью виртуального
осциллографа (на рис. 4.5 показан как «Scope»).
Рис. 4.5. Виртуальный источник постоянного сигнала «Constant»
Синусоидальный сигнал вырабатывается виртуальным источником
синусоидального сигнала «Sine» (рис. 4.6). Синусоидальный сигнал отображается с помощью виртуального осциллографа «Scope».
Рис. 4.6. Виртуальный источник синусоидального сигнала
Виртуальный источник линейно изменяющегося воздействия
«Ramp» применяется при моделировании линейно изменяющегося сигнала
(рис. 4.7).
72
Рис. 4.7. Виртуальный источник линейно изменяющегося сигнала
При моделировании линейно изменяющегося сигнала можно изменять (контролировать) координаты точки излома графической зависимости
(рис. 4.8).
Рис. 4.8. Линейно изменяющийся сигнал
Моделирование нелинейных элементов (НЭ) производится в среде
программного продукта «Simulink». Моделирование НЭ в среде программного продукта «Simulink» фактически является примером использования
элементов геометрического моделирования. На рис. 4.9 представлен пример
графического определения сигнала на выходе нелинейного элемента
U ВЫХ = f (t ) .
Рис. 4.9. Пример геометрического моделирования
73
«Технология» графического определения сигнала на выходе нелинейного элемента заключается в следующем. Вверху в левой части рисунка устанавливается изображение характеристики нелинейного элемента
U ВЫХ = f (U ВХ ) , а внизу помещается графическая зависимость изменения во
времени входного сигнала U ВХ = f (t ) , повернутая на 90 0 относительно
U ВЫХ = f (U ВХ ) . В правой части рисунка помещается результат графического
определения сигнала на выходе нелинейного элемента U ВЫХ = f (t ) .
Задаются значением времени t (например t1 ) и откладывают его по
оси времени на графической зависимости изменения во времени входного
сигнала U ВХ = f (t ) . Восстанавливая перпендикуляр к оси времени в точке t1
до пересечения его с графической зависимостью U ВХ = f (t ) , определяют
значение U ВХ в точке пересечения, соответствующее моменту времени t .
Из этой точки восстанавливают перпендикуляр к оси U ВХ до пересечения с
графической зависимостью U ВЫХ = f (U ВХ ) , определяя затем значение U ВЫХ .
Откладывают на оси времени будущего графика U ВЫХ = f (t ) значение
t1 и восстанавливают перпендикуляр к оси времени t . Восстанавливая перпендикуляр к оси U ВЫХ до пересечения с перпендикуляром к оси времени t ,
получают координату первой точки графической зависимости U ВЫХ = f (t ) .
Задаваясь несколькими значениями времени t , производят полное
построение графической зависимости U ВЫХ = f (t ) .
Виртуальные приемники сигналов необходимы для регистрации результатов моделирования. К ним относятся: осциллограф «Scope»; графопостроитель «ХУ Graph» (рис. 4.10); цифровой дисплей «Display».
Рис. 4.10. Применение графопостроителя при моделировании
4.3. Моделирование нелинейных элементов с характеристикой
с насыщением (ограничением)
Описание характеристики нелинейного звена с насыщением (ограничением) позволяет оценить границы применения результатов моделирования. На рис 4.11 представлена характеристика звена с насыщением,
где Х – входной сигнал; Y – выходной сигнал. Похожую характеристику
имеют тиристорный преобразователь (управляемый выпрямитель), ти-
74
ристорный регулятор переменного напряжения и широтно-импульсный
преобразователь.
Рис. 4.11. Характеристика нелинейного звена с насыщением
Характеристика нелинейного звена с насыщением в 1-м квадранте
имеет два линейных участка: линейно нарастающий участок и участок
насыщения. При изменении входного сигнала X в пределах от «–В2» до 0
и от 0 до «А2» выходной сигнал Y изменяется пропорционально входному
сигналу X по закону «прямой линии»
Y =K⋅X .
(4.1)
При изменении входного сигнала X в диапазоне от X = А2 до бесконечности выходной сигнал равен постоянной величине Y = А0 . При изменении входного сигнала в диапазоне от X = В 2 до «минус бесконечности»
выходной сигнал также равен постоянной величине Y = В0 .
Характеристика звена с насыщением (ограничением) в библиотеке
«Simulink» имеет следующие особенности: А2 = А0 , т. е. в 1-м квадранте
Y = X и K = 1 ; B 2 = B 0 , т. е. в 3-м квадранте Y = X и K = 1 .
Структурная схема модели элемента с насыщением (ограничением)
в «Simulink» включает последовательное соединение нелинейного звена с
насыщением (ограничением) «Saturation» и линейного звена «Gainусилитель» (рис. 4.12 или рис. 4.13). В блоке Gain на рис. 4.12 формируется коэффициент наклона линейной части характеристики (значения А0 и
В0, определяющих величину насыщения, т. е. коэффициент К), а в блоке
Saturation по параметрам А2 и В2 создается начало зоны насыщения, т. е.
значения А2 и В2.
Рис. 4.12. Первый вариант структурной схемы модели нелинейного элемента
с насыщением
75
Рис. 4.13. Второй вариант структурной схемы модели нелинейного элемента
с насыщением
В блоке Gain на рис 4.13 создается начало зоны насыщения, т. е. значения А2 и В2, а в блоке Saturation по параметрам А0 и В0, определяющих
величину насыщения, формируется коэффициент К.
На рис. 4.14 представлен первый вариант структурной схемы модели
для исследования нелинейного элемента с насыщением в «Simulink».
Рис. 4.14. Первый вариант структурной схемы модели для исследования
нелинейного элемента с насыщением в «Simulink»
Первый (нижний) луч виртуального осциллографа (ВО) фиксирует
сигнал на выходе базового элемента с насыщением. Второй (средний) луч
ВО регистрирует результирующий выходной сигнал с учетом влияния
пропорционального звена. Третий (верхний) луч предназначен для оценки
входного синусоидального сигнала.
На рис. 4.15 приведены результаты исследования нелинейного элемента с насыщением в «Simulink» по первому варианту для следующих
параметров модели. Амплитуда входного сигнала равна 3 В. Допустим, что
коэффициент передачи звена «Gain» равен Кп = 2. Пусть параметр А0 = А2
звена с насыщением «Saturation» равен 2, а В0 = В2 = −2 . Тогда результирующее значение величины насыщения с учетом влияния пропорционального звена «Gain» равно ( А0 ) РЕЗ или ( В0 ) РЕЗ
( A0 ) РЕЗ = А0 ⋅ К П = 2 ⋅ 2 = 4.0 ,
(4.2)
( A0 ) РЕЗ = В0 ⋅ К П = −2 ⋅ 2 = −4.0 .
(4.3)
76
Рис. 4.15. Результаты исследования нелинейного элемента с насыщением
в «Simulink» по первому варианту
Для четкой регистрации результатов исследования нелинейного элемента с насыщением (НЭсН) в «Simulink» рекомендуется устанавливать
при настройке параметров НЭсН ( А0 , А2 и В0 , В2 ) значения, отличные от
целых чисел на 0,01 или 0,001 (рис. 4.16).
Рис. 4.16. Пример настройки параметров НЭсН
Графопостроитель «ХУ Graph» (рис. 4.17 и 4.18) предназначен для
отображения результирующей характеристики нелинейного элемента
с насыщением с учетом влияния пропорционального звена по первому
варианту.
77
Рис. 4.17. Результаты отображения результирующей характеристики нелинейного
элемента с насыщением с учетом влияния пропорционального звена по первому
варианту с помощью графопостроителя «ХУ Graph»
Для правильной регистрации характеристики нелинейного элемента
при настройке параметров графопостроителя рекомендуется устанавливать
значение Х MAX больше чем U m (амплитуда входного сигнала) и Х MIN меньше чем − U m ; значение YMAX больше чем U m ВЫХ (амплитуда выходного сигнала модели) и YMIN меньше чем − U m ВЫХ (рис. 4.18).
Рис. 4.18. Пример настройки параметров графопостроителя «ХУ Graph»
На рис. 4.19 представлен второй вариант структурной схемы модели
для исследования нелинейного элемента с насыщением в «Simulink».
78
Рис. 4.19. Второй вариант структурной схемы модели для исследования
нелинейного элемента с насыщением в «Simulink»
Первый (нижний) луч виртуального осциллографа (ВО) фиксирует
сигнал на выходе линейного пропорционального звена. Второй (средний)
луч ВО регистрирует результирующий выходной сигнал базового элемента
с насыщением с учетом влияния пропорционального звена. Третий (верхний) луч предназначен для оценки входного синусоидального сигнала.
На рис. 4.20 приведены результаты исследования нелинейного элемента с насыщением в «Simulink» по второму варианту для следующих параметров модели. Амплитуда входного сигнала равна 3 В. Допустим, что
коэффициент передачи звена «Gain» равен Кп = 2. Пусть параметр A0 = A2
звена с насыщением «Saturation» равен 2, а B0 = B2 = −2 . Тогда результирующее значение величины насыщения с учетом влияния пропорционального звена «Gain» равно ( А0 ) РЕЗ или ( В0 ) РЕЗ
А0
2
= = 1 .0
КП 2
В
−2
= 0 =
= −1.0 .
2
КП
( А0 ) РЕЗ =
(4.4)
( В0 ) РЕЗ
(4.5)
Рис. 4.20. Результаты исследования нелинейного элемента
с насыщением в «Simulink» по второму варианту
79
Графопостроитель «ХУ Graph» (см. рис. 4.19 и 4.21) предназначен
для отображения результирующей характеристики нелинейного элемента
с учетом влияния пропорционального звена по второму варианту.
Рис. 4.21. Результаты отображения результирующей характеристики нелинейного
элемента с насыщением с учетом влияния пропорционального звена по второму
варианту с помощью графопостроителя «ХУ Graph»
4.4. Моделирование нелинейных элементов с зоной нечувствительности
На рис 4.22 представлена характеристика звена с зоной нечувствительности, где Х – входной сигнал; Y – выходной сигнал. Похожую характеристику имеют некоторые датчики и устройства энергетики и электротехники.
Рис. 4.22. Характеристика нелинейного звена с зоной нечувствительности
Характеристика нелинейного звена с зоной нечувствительности в 1-м
квадранте имеет два линейных участка: участок с нулевым выходным сигналом и линейно нарастающий участок. При изменении входного
сигнала Х в пределах от − В1 до 0 и от 0 до А1 выходной сигнал Y нелинейного звена равен нулю
Y = 0.
(4.6)
Этот диапазон входного сигнала принято называть зоной нечувствительности или «мертвой зоной». При изменении входного сигнала Х
в диапазоне от Х = А1 до Х ДОП и Х = − В1 до − Х ДОП выходной сигнал изменяется пропорционально входному сигналу Х . Этот участок характери80
стики нелинейного звена с зоной нечувствительности будем называть линейно нарастающим с углом наклона α к оси Х .
Структурную схему модели нелинейного элемента с зоной нечувствительности в «Simulink» можно реализовать в трех вариантах. В первом варианте структурная схема модели содержит последовательное соединение нелинейного звена с зоной нечувствительности «Dead Zone» и
линейного звена «Gain-усилитель». Во втором варианте структурная схема модели включает последовательное соединение линейного звена
«Gain-усилитель» и нелинейного звена с зоной нечувствительности «Dead
Zone». В третьем варианте структурная схема модели является наиболее
простой и содержит только нелинейное звено с зоной нечувствительности
«Dead Zone».
Структурная схема модели элемента с зоной нечувствительности
в «Simulink» в первом варианте приведена на рис. 4.23.
Рис. 4.23. Структурная схема модели нелинейного элемента
с зоной нечувствительности в «Simulink» в первом варианте
Первый (нижний) луч виртуального осциллографа «»Scope (ВО)
(см. рис. 4.23) фиксирует сигнал на выходе базового элемента с зоной нечувствительности. Второй (средний) луч ВО регистрирует результирующий выходной сигнал с учетом влияния пропорционального линейного
звена. Третий (верхний) луч предназначен для оценки входного синусоидального сигнала.
На рис. 4.24 приведены результаты исследования нелинейного элемента с зоной нечувствительности в «Simulink» по первому варианту для
следующих параметров модели. Амплитуда входного сигнала равна 3 В.
Допустим, что коэффициент передачи звена «Gain» равен Кп = 4. Пусть
параметр A1 звена с зоной нечувствительности «Saturation» равен 1,5, а
В1 = −1.5 и A1 = B1 . Тогда результирующее значение тангенса угла наклона
линейно нарастающего участка характеристики α к оси Х учетом влияния пропорционального звена «Gain» зависит только от К П и равно
tgα =
(U m
ВХ
Um
− А1 ) ⋅ К П
ВХ
− А1
= КП =
81
(3 − 1.5) ⋅ 2
= 2.
3 − 1.5
(4.7)
Рис. 4.24. Результаты исследования нелинейного элемента
с зоной нечувствительности в «Simulink» по первому варианту
Графопостроитель «ХУ Graph» (см. рис. 4.23 и 4.25) предназначен
для отображения результирующей характеристики нелинейного элемента
с зоной нечувствительности с учетом влияния пропорционального звена по
первому варианту.
Рис. 4.25. Результаты отображения результирующей характеристики нелинейного
элемента с зоной нечувствительности с учетом влияния пропорционального звена
по первому варианту с помощью графопостроителя «ХУ Graph»
Структурная схема модели элемента с зоной нечувствительности в
«Simulink» в первом варианте приведена на рис. 4.26.
Рис. 4.26. Структурная схема модели нелинейного элемента
с зоной нечувствительности в «Simulink» во втором варианте
82
Первый (нижний) луч (см. рис. 4.26) виртуального осциллографа
«Scope» (ВО) фиксирует сигнал на выходе пропорционального линейного звена. Второй (средний) луч ВО регистрирует результирующий выходной сигнал с учетом влияния пропорционального линейного звена.
Третий (верхний) луч предназначен для оценки входного синусоидального сигнала.
На рис. 4.27 приведены результаты исследования нелинейного элемента с зоной нечувствительности в «Simulink» по второму варианту для
следующих параметров модели. Амплитуда входного сигнала равна 3 В.
Допустим, что коэффициент передачи звена «Gain» равен К П = 4 . Пусть
параметр A1 звена с зоной нечувствительности «Saturation» равен 4.0, а
В1 = −4.0 и A1 = B1 . При таких параметрах зона нечувствительности нелинейного звена равна
(4.8)
ΔХ = А1 + В1 = 2 ⋅ А1 = 2 ⋅ 4 = 8 .
Результирующая зона нечувствительности для второго варианта
ΔХ РЕЗ будет равна следующему значению:
ΔХ 8
= = 2,
КП 4
ΔХ РЕЗ 2
A1 РЕЗ =
= = 1.
2
1
ΔХ РЕЗ =
(4.9)
(4.10)
Тогда результирующее значение тангенса угла наклона линейно
нарастающего участка характеристики α к оси Х с учетом влияния пропорционального звена «Gain» зависит только от К П и равно
tgα =
(U m
ВХ
Um
− А1
ВХ
РЕЗ
− А1
)⋅ КП
= КП =
РЕЗ
(3 − 1) ⋅ 4
= 4.
3 −1
(4.11)
Графопостроитель «ХУ Graph» (см. рис. 4.26 и 4.28) предназначен
для отображения результирующей характеристики нелинейного элемента
с зоной нечувствительности с учетом влияния пропорционального звена по
первому варианту.
Рис. 4.27. Результаты исследования нелинейного элемента
с зоной нечувствительности в «Simulink» по второму варианту
83
Рис. 4.28. Результаты отображения результирующей характеристики нелинейного
элемента с зоной нечувствительности с учетом влияния пропорционального звена
по второму варианту с помощью графопостроителя «ХУ Graph»
Структурная схема модели элемента с зоной нечувствительности в
«Simulink» в первом варианте приведена на рис. 4.29.
Рис. 4.29. Структурная схема модели нелинейного элемента
с зоной нечувствительности в «Simulink» в третьем варианте
На рис. 4.30 приведены результаты исследования нелинейного элемента с зоной нечувствительности в «Simulink»по третьему варианту для
следующих параметров модели. Амплитуда входного сигнала равна 3 В.
Пусть параметр A1 звена с зоной нечувствительности «Saturation» равен 2,
а В1 = −2 и A1 = B1 . Тогда результирующее значение угла наклона линейно
нарастающего участка характеристики α к оси Х равно 45 0 .
Рис. 4.30. Результаты исследования нелинейного элемента
с зоной нечувствительности в «Simulink» по третьему варианту
84
4.5. Моделирование нелинейных элементов
с зоной нечувствительности и с зоной насыщения
Характеристика звена с зоной нечувствительности и с зоной насыщения приведена на рис. 4.31.
Характеристика нелинейного звена с зоной нечувствительности в 1-м
квадранте имеет три линейных участка: участок с нулевым выходным сигналом, линейно нарастающий участок и участок насыщения. При изменении
входного сигнала Х в пределах от В1 до А1 выходной сигнал равен нулю
( Y = 0 ). Этот диапазон входного сигнала принято называть зоной нечувствительности или «мертвой зоной». При изменении входного сигнала Х в пределах от А1 до А2 и от − В1 до − В 2 выходной сигнал Y изменяется пропорционально входному сигналу. При изменении входного сигнала Х в диапазоне от Х = А2 до бесконечности выходной сигнал равен Y = A0 . При изменении входного сигнала в диапазоне от Х = − B 2 до «минус бесконечности» выходной сигнал равен Y = B0 .
Рис. 4.31. Характеристика нелинейного звена
с зоной нечувствительности и с зоной насыщения
Структурную схему модели нелинейного элемента с зоной нечувствительности в «Simulink» можно реализовать в нескольких вариантах.
В первом варианте структурная схема модели содержит последовательное
соединение нелинейного звена с зоной нечувствительности «Dead Zone»,
линейного звена «Gain-усилитель» и нелинейного элемента с насыщением.
Во втором варианте структурная схема модели включает последовательное
соединение линейного звена «Gain», нелинейного звена с зоной нечувствительности «Dead Zone» и нелинейного элемента с насыщением. В третьем
варианте структурная схема модели содержит последовательное соединение нелинейного звена с зоной нечувствительности «Dead Zone», нелинейного элемента с насыщением и линейного звена «Gain-усилитель». Возможны другие варианты построения структурной схемы модели.
На рис. 4.32 и 4.33 представлена структурная схема модели элемента
с зоной нечувствительности и с зоной насыщения (ограничения) в «Simulink» включает последовательное соединение нелинейного звена с зоной
85
нечувствительности, линейного звена «Gain» и звена с насыщением «Saturation» по первому варианту.
Рис. 4.32. Структурная схема модели элемента с зоной нечувствительности
и с зоной насыщения по первому варианту
В блоке Dead Zone по параметрам А1 и В1 создается зона нечувствительности, в блоке Gain формируется коэффициент наклона линейной части характеристики Kn = A0/(A2-A1), а в блоке Saturation по параметрам
А0 и В0 создается зона насыщения.
Рис. 4.33. Структурная схема модели элемента с зоной нечувствительности
и с зоной насыщения в «Simulink» по первому варианту
Первый блок модели формирует синусоидальный входной сигнал x(t).
Второй блок модели формирует зону нечувствительности нелинейного элемента. Третий блок модели формирует угол наклона второго линейного
участка характеристики нелинейного элемента. Четвертый блок модели формирует зону насыщения нелинейного элемента.
Первый (нижний) луч (см. рис. 4.33) виртуального осциллографа
«Scope» (ВО) фиксирует сигнал на выходе базового элемента с зоной нечувствительности. Второй (средний) луч ВО регистрирует результирующий
выходной сигнал модели элемента с зоной нечувствительности и с зоной
насыщения с учетом влияния пропорционального линейного звена. Третий
(верхний) луч предназначен для оценки входного синусоидального сигнала.
На рис. 4.34 приведены результаты моделирования нелинейного
элемента с зоной нечувствительности и зоной насыщения в «Simulink» по
первому варианту для следующих параметров модели. Амплитуда входного сигнала равна 3 В. Допустим, что коэффициент передачи звена «Gain»
86
равен К П = 2 . Пусть параметр A1 звена с зоной нечувствительности «Saturation» равен 2.0, а В1 = −2.0 ; А0 = 1 ; В0 = −1 ; A0 = B0 и A1 = B1 . Тогда результирующее значение тангенса угла наклона линейно нарастающего
участка характеристики α к оси Х учетом влияния пропорционального
звена «Gain» зависит только от К П и равно
tgα = К П .
(4.12)
Рис. 4.34. Результаты исследования нелинейного элемента
с зоной нечувствительности и с зоной насыщения в «Simulink»
по первому варианту
Графопостроитель «ХУ Graph» (см. рис. 4.33 и 4.35) предназначен
для отображения результирующей характеристики нелинейного элемента
с зоной нечувствительности и с зоной насыщения с учетом влияния пропорционального звена по первому варианту.
Рис. 4.35. Результаты отображения результирующей характеристики нелинейного
элемента с зоной нечувствительности и с зоной насыщения с учетом влияния
пропорционального звена по первому варианту с помощью графопостроителя
«ХУ Graph»
87
4.6. Моделирование нелинейных элементов
с релейной характеристикой
Характеристика релейного звена приведена на рис. 4.36.
Рис. 4.36. Характеристика релейного звена
При изменении входного сигнала Х в пределах от 0 до Адоп выходной сигнал равен А0. При изменении входного сигнала Х в пределах
от 0 до –Вдоп выходной сигнал равен –В0.
Структурную схему модели релейного элемента в «Simulink» можно
построить тремя способами с использованием нелинейных звеньев в разных библиотеках. Структурная схема модели релейного элемента, построенная по первому способу, включает последовательное соединение
нелинейного звена с релейной характеристикой (элемент «Sing-знак» в
библиотеке «Math Operations») и линейного звена «Gain-усилитель»
(рис. 4.37). Элемент «Sing-знак» имеет выходной сигнал с величиной,
равной 1 В или –1 В. Это зависит от знака входного сигнала. Если входной сигнал положительный, то на выходе сигнал будет равен 1 В; если
входной сигнал отрицательный, то на выходе сигнал будет равен –1 В.
С помощью пропорционального звена «Gain-усилитель» можно устанавливать другие значения результирующего выходного сигнала релейного
элемента, отличные от единицы. На рис. 4.37 представлена структурная
схема модели релейного элемента по первому способу.
Рис. 4.37. Структурная схема модели релейного элемента
88
На рис. 4.38 приведены результаты моделирования релейного элемента.
Рис. 4.38. Результаты моделирования релейного звена
Графопостроитель «ХУ Graph» (см. рис. 4.37 и 4.39) предназначен
для отображения результирующей характеристики релейного элемента с
учетом влияния пропорционального звена по первому способу.
Рис. 4.39. Результаты отображения результирующей характеристики релейного
элемента с учетом влияния пропорционального звена по первому варианту
с помощью графопостроителя «ХУ Graph»
На рис. 4.40 приведена характеристика релейного звена с зоной нечувствительности.
Рис. 4.40. Характеристика релейного звена с зоной нечувствительности
89
На рис 4.41 представлена структурная схема модели релейного элемента с зоной нечувствительности.
Рис. 4.41. Структурная схема модели релейного элемента
с зоной нечувствительности
На рис. 4.42 приведены результаты моделирования релейного элемента с зоной нечувствительности.
Рис. 4.42. Результаты моделирования релейного элемента
с зоной нечувствительности
Графопостроитель «ХУ Graph» (см. рис. 4.41 и 4.43) предназначен
для отображения результирующей характеристики релейного элемента с
зоной нечувствительности.
Рис. 4.43. Результаты отображения результирующей характеристики релейного
элемента с зоной нечувствительности с помощью графопостроителя «ХУ Graph»
90
4.7. Моделирование нелинейных элементов
с «гладкой нелинейностью»
Характеристика нелинейного звена с «гладкой нелинейностью» приведена на рис. 4.44. Функция, реализуемая «гладкой нелинейностью», выглядит следующим образом:
Y = Yn ⋅ sin(3.14 ⋅
X
).
2⋅ Xn
(4.13)
При изменении входного сигнала Х в пределах от –Хn до Xn выходной сигнал изменяется от –Yn до Yn в соответствии с зависимостью
Y = f(X).
Рис. 4.44. Характеристика нелинейного звена с «гладкой нелинейностью»
На рис. 4.45 представлена структурная схема модели нелинейного
элемента с «гладкой нелинейностью».
Рис. 4.45. Структурная схема модели нелинейного элемента
с «гладкой нелинейностью»
В библиотеке «Simulink» имеется звено пользователя (рис. 4.46), для
которого программист, выполняющий моделирование, может установить
«собственную» структуру или функцию преобразования.
91
Рис. 4.46. Библиотеки «Simulink»
Функция, записанная в таблице параметров звена пользователя в
библиотеке «Simulink» (например, рис. 4.47), характеризует нелинейный
элемент с «гладкой нелинейностью».
Рис. 4.47. Таблица параметров звена пользователя в библиотеке «Simulink»
Пример функции пользователя выглядит следующим образом:
f (u ) = 10 ⋅ sin(3.14 ⋅
u
).
2 ⋅ 0.99
(4.14)
На рис. 4.48 приведены результаты моделирования нелинейного
элемента с «гладкой нелинейностью» с функцией пользователя по формуле (4.14) и для входного сигнала с угловой частотой ω = 2
дой U m = 1 В.
92
рад
и амплитус
Рис. 4.48. Результаты моделирования нелинейного элемента
с «гладкой нелинейностью» с функцией пользователя по формуле (4.14)
Графопостроитель «ХУ Graph» (см. рис. 4.45 и 4.49) предназначен
для отображения характеристики нелинейного элемента с «гладкой нелинейностью» с функцией пользователя по формуле (4.14).
Рис. 4.49. Результаты отображения характеристики нелинейного элемента с
«гладкой нелинейностью» с функцией пользователя по формуле (4.14)
Пример второй функции пользователя выглядит следующим образом:
f (u ) = 210 ⋅ (exp(−u )) .
(4.15)
На рис. 4.50 представлена структурная схема модели нелинейного
элемента с «гладкой нелинейностью» с функцией пользователя по формуле (4.15).
Рис. 4.50. Структурная схема модели нелинейного элемента
с «гладкой нелинейностью» с функцией пользователя по формуле (4.15)
93
На рис. 4.51 приведены результаты моделирования нелинейного
элемента с «гладкой нелинейностью» с функцией пользователя по формуле (4.15) и для входного сигнала с угловой частотой ω = 2
рад
и амплитус
дой U m = 1 В.
Рис. 4.51. Результаты отображения характеристики нелинейного элемента
с «гладкой нелинейностью» с функцией пользователя по формуле (4.15)
Рис. 4.52. Результаты отображения характеристики нелинейного элемента с
«гладкой нелинейностью» с функцией пользователя по формуле (4.15)
Графопостроитель «ХУ Graph» (см. рис. 4.50 и 4.52) предназначен
для отображения характеристики нелинейного элемента с «гладкой нелинейностью» с функцией пользователя по формуле (4.15).
94
Контрольные вопросы и задания к главе 4
1. Приведите примеры нелинейных устройств в энергетике и электротехнике.
2. Выполните графические изображения некоторых нелинейных элементов на принципиальных схемах.
3. Назовите типы характеристик нелинейных элементов (звеньев).
4. Приведите звено с зоной насыщения (звено с ограничением).
5. Приведите звено с зоной нечувствительности.
6. Приведите релейное звено.
7. Приведите звено с зоной насыщения и с зоной нечувствительности.
8. Приведите релейное звено с зоной нечувствительности.
9. Приведите звено с «гладкой нелинейностью».
10. Приведите блок-схему системы для моделирования элемента
энергетики и электротехники.
11. Перечислите виртуальные источники сигналов в «Simulink».
12. Перечислите виртуальные приемники сигналов.
13. Приведите виртуальный графопостроитель «ХУ Graph».
14. Приведите виртуальный осциллограф.
15. Определите характеристику управления нелинейного звена с
насыщением (ограничением).
16. Определите характеристику управления звена с зоной нечувствительности.
17. Определите характеристику управления звена с зоной нечувствительности и с зоной насыщения.
18. Определите характеристику управления релейного звена.
19. Определите характеристику релейного звена с зоной нечувствительности и зоной насыщения.
20. Какие элементы энергетики и электротехники являются нелинейными?
21. Какие типы характеристик нелинейных элементов (звеньев) имеются в библиотеке «Simulink»?
22. Приведите блок-схему системы для моделирования нелинейного
элемента энергетики и электротехники в «Simulink».
95
Глава 5. Моделирование электромеханических
характеристик электрических двигателей постоянного тока
5.1. Схема, устройство и принцип действия электрического двигателя
постоянного тока с независимым возбуждением
На рис. 5.1 приведена принципиальная схема электрического двигателя (ЭД) постоянного тока с независимым возбуждением (ДПТ НВ).
Рис. 5.1. Принципиальная схема электрического двигателя постоянного тока
с независимым возбуждением
ДПТ НВ состоит из статора ЭД, представляющего неподвижную
часть ЭД с системой возбуждения, имеющей магнитопровод с обмоткой
возбуждения или постоянный магнит, и якоря ЭД с обмоткой якоря, являющегося подвижной частью ЭД.
Обмотка возбуждения создает постоянный магнитный поток Ф. Так
как к цепи якоря приложено постоянное напряжение U , то при неизменной
нагрузке в этой цепи протекает постоянный ток I Я . Взаимодействие тока
якоря I Я с постоянным магнитным потоком возбуждения Ф вызывает появление вращающего момента двигателя M
M = k ⋅ Φ ⋅ IЯ .
(5.1)
Моменту двигателя M противодействует момент нагрузки (сопротивления) M C
M = MC .
Подставив выражение (3.53)
k ⋅ Φ ⋅ IЯ = MC .
Теперь можно определить I Я
IЯ =
MC
.
k ⋅Φ
96
в
(5.2)
уравнение
(3.54),
получим
(5.3)
Ток якоря I Я в режиме механического равновесия зависит и пропорционален моменту нагрузки M C .
Электромеханическая характеристика двигателя является одной из
важных характеристик. Это зависимость угловой скорости ω от тока якоря
I Я (тока нагрузки) ω = f ( I Я ) . Электромеханическую характеристику двигателя иногда называют статической характеристикой, т. к. рассчитывают ее
для установившегося режима. В установившемся режиме не учитывают
индуктивность якоря и обмотки возбуждения.
5.2. Уравнение электромеханической характеристики двигателя
постоянного тока с независимым возбуждением
Математическая модель для моделирования электромеханических и
механических характеристик электрических двигателей создается на основе второго закона Кирхгофа для цепи якоря.
I Я ⋅ RЯ + I Я ⋅ R ДОБ − U = − E ДВ
(5.4)
Рис. 5.2. Схема ДПТ с НВ для разработки математической модели
ЭДС ( E ДВ ), наводимая в обмотке якоря в соответствии с законом
электромагнитной индукции, называется противоэдс (направлена против
направления тока)
E ДВ = K ⋅ Φ ⋅ ω ,
(5.5)
где ω – угловая скорость двигателя (рад/сек);
K – коэффициент, зависящий от геометрических и обмоточных данных
двигателя (величина безразмерная);
Φ – магнитный поток системы возбуждения двигателя, Вб;
Φ Н – номинальный магнитный поток создается при номинальном токе
возбуждения;
c = K ⋅ Φ Н – постоянная электрического двигателя.
Если подставить выражение для ЭДС в уравнение по 2-му закону
Кирхгофа и преобразовать полученное уравнение, то получим:
I Я ⋅ RЯ
где RЯ


+ K ⋅ Φ ⋅ω = U ,
– полное (суммарное) сопротивление цепи якоря.
97
(5.6)
Из этого уравнения определим угловую скорость ЭД
ω=
U − I Я ⋅ RЯ
Σ
K ⋅Φ
.
(5.7)
Полученное уравнение называется уравнением электромеханической
характеристики ДПТ с НВ и в математической форме изображается следующим образом: ω = f ( I Я ) .
Анализ уравнения электромеханической характеристики ДПТ
с НВ (5.7) показывает, что скорость двигателя ω зависит от магнитного
потока Ф, сопротивления цепи якоря RЯ  и напряжения U , приложенного
к цепи якоря.
Постоянную электрического двигателя c можно определить, используя уравнение электромеханической характеристики ДПТ с НВ для номинального режима
ωН =
UН − IЯ
Н
K ⋅ ΦН
⋅ RЯ
=
UН − IЯ
с
Н
⋅ RЯ
,
(5.8)
где U H – номинальное напряжение, приложенное к цепи якоря ДПТ;
I Я Н – номинальный ток якоря ДПТ.
5.3. Методика моделирования электромеханических характеристик
электрических двигателей постоянного тока с независимым
возбуждением на основе программного продукта Excel
Допустим, что требуется осуществить моделирование электромеханических характеристик ДПТ с НВ при изменении величины магнитного
потока системы возбуждения ЭД, т. е. в одном случае K ⋅ Φ = 1 Вб, в другом
K ⋅ Φ = 1.5 Вб, а в третьем 2 Вб.
В данном примере значения исходных параметров двигателя приняты следующими: U = 200 В; Rя = 0,1 Ом; Rдоб = 0,2 Ом; КФ1 = 1 Вб;
КФ2 = 1,5 Вб; КФ3 = 2 Вб; ΔI = 10 А. Значение «шага» по току (ΔI) можно
корректировать в процессе моделирования.
Методика моделирования электромеханических характеристик ДПТ
с НВ при изменении величины магнитного потока системы возбуждения
ЭД с помощью ПП «Excel» реализуется в следующей последовательности.
В первом столбце электронной таблицы (ЭТ) Excel (колонка А) будут располагаться значения независимой переменной I Я (ток якоря двигателя), начиная с I Я = 0 . Пусть ток якоря ЭД I Я изменяется в пределах от 0
до 700 А. Изменение тока якоря ЭД I Я при моделировании желательно
установить в пределах от 0 до 2,5 ⋅ I Я Н .
98
Во втором столбце ЭТ (колонка В) располагаются значения угловой
скорости « ω1 », соответствующие первому значению магнитного потока
системы возбуждения ЭД, равному K ⋅ Φ1 = 1 .
В третьем столбце ЭТ (колонка С) располагаются значения угловой
скорости «ω2», соответствующие второму значению магнитного потока
системы возбуждения ЭД, равному K ⋅ Φ 2 = 1,5 .
В четвертом столбце ЭТ (колонка D) располагаются значения угловой скорости «ω3», соответствующие третьему значению магнитного потока системы возбуждения ЭД, равному K ⋅ Φ 3 = 2 .
В данном примере параметры двигателя приняты следующими.
В первых ячейках столбцов электронной таблицы Е, F, G, H, I, J и K
(колонки Е, F, G, H, I, J и K ) будут располагаться обозначения величин исходных данных: U; Rя; Rдоб; КФ1; КФ2; КФ3; ΔI (delta I).
Во вторых ячейках столбцов электронной таблицы Е, F, G, H, I, J и K
(колонки Е, F, G, H, I, J и K) будут располагаться значения величин исходных данных и ΔI (delta I): например, 200; 0,1; 0.2; 1; 1,5; 2; 10.
Сначала заполняется первый столбец электронной таблицы Excel
(колонка А), в котором располагаются значения независимой переменной
«I» (ток), начиная с I = 0. В первой ячейке первого столбца ЭТ (ячейка А1)
записывается обозначение независимой переменной « I Я ». Во второй ячейке первого столбца (ячейка А2) записывается значение независимой переменной I Я , равное 0.
В третьей ячейке первого столбца (ячейка А3) записывается следующая формула: «= A2 + $K$2», соответствующая алгоритму I K = I K −1 + ΔI K .
Затем с помощью манипулятора «мышь» выделяются ячейки столбца «А»,
начиная с ячейки А3 и до А53 (можно и чуть больше). Потом следует одновременно нажать клавиши клавиатуры «Ctrl» и «D» (Ctrl + D), что вызывает процесс автоматического вычисления значения « I Я » на каждом шаге.
В следующей операции в ячейке В2 (столбец В) записывается формула,
по
которой
рассчитывается
угловая
скорость
«ω1»
«= ($E$2–A2 × ($F$2 + $G$2)) / $H$2» в соответствии с алгоритмом
ω1 =
U − I Я ⋅ RЯ
K ⋅ Φ1
Σ
. Затем с помощью манипулятора «мышь» выделяются
ячейки столбца «В», начиная с ячейки В2 и до В53 (можно и чуть больше).
Потом следует одновременно нажать клавиши клавиатуры «Ctrl» и «D»
(Ctrl + D), что вызывает процесс автоматического вычисления значения
«ω1» на каждом шаге.
В следующей операции в ячейке С2 (столбец С) записывается формула,
по
которой
рассчитывается
угловая
скорость
«ω2»
«= ($E$2 –A2 × ($F$2 + $G$2)) / $I$2» в соответствии с алгоритмом
99
ω2 =
U − I Я ⋅ RЯ
Σ
K ⋅ Φ2
. Затем с помощью манипулятора «мышь» выделяются
ячейки столбца «С», начиная с ячейки С2 и до С53 (можно и чуть больше).
Потом следует одновременно нажать клавиши клавиатуры «Ctrl» и «D»
(Ctrl + D), что вызывает процесс автоматического вычисления значения
«ω2» на каждом шаге.
В следующей операции в ячейке D2 (столбец D) записывается формула,
по
которой
рассчитывается
угловая
скорость
«ω3»
«= ($E$2 – A2 ($F$2 + $G$2)) / $J$2» в соответствии с алгоритмом
ω3 =
U − I Я ⋅ RЯ
K ⋅ Φ3
Σ
. Затем с помощью манипулятора «мышь» выделяются
ячейки столбца «D», начиная с ячейки D2 и до D53 (можно и чуть больше).
Потом следует одновременно нажать клавиши клавиатуры «Ctrl» и «D»
(Ctrl + D), что вызывает процесс автоматического вычисления значения
«ω3» на каждом шаге.
Для построения графиков выделяются ячейки столбцов «А», «В»,
«С» и «D» электронной таблицы Excel, начиная со строки «2» и заканчивая
строкой «53». Выбирается точечный график, и далее выполняются действия, рекомендуемые программным продуктом Excel.
Результаты моделирования электромеханических характеристик
ДПТ с НВ при изменении величины магнитного потока системы возбуждения ЭД с помощью ПП «Excel» приведены на рис. 5.3. На этом рисунке
представлено семейство из трех ЭМХ при следующих значениях магнитного потока возбуждения Φ1 =
1
1.5
2
Вб, Φ 2 =
Вб и Φ 3 = Вб. Три характеK
K
K
ристики пересекаются в точке на оси тока, называемой точкой короткого
замыкания I КЗ . При токе нагрузки, равном нулю, угловая скорость называется скоростью идеального холостого хода ω XX . В соответствии с уравнением для ЭМХ угловая скорость ω будет тем больше, чем меньше магнитный поток возбуждения Ф. Следовательно, изменяя магнитный поток возбуждения Ф, можно регулировать скорость двигателя. Этот способ применяется для регулирования скорости ДПТ с НВ, когда требуется увеличить
угловую скорость больше номинальной скорости ЭД («выше основной»),
для которой двигатель был рассчитан.
Рассмотренная методика позволяет при вариации исходных параметров двигателя автоматизировать процесс моделирования электромеханических характеристик ДПТ с НВ при изменении величины магнитного потока возбуждения ЭД с помощью ПП «Excel».
100
Рис. 5.3. Результаты моделирования электромеханических характеристик ДПТ
с НВ при изменении величины магнитного потока системы возбуждения ЭД
с помощью ПП «Excel»
«Технология» моделирования семейства электромеханических характеристик ДПТ с НВ при изменении сопротивления цепи якоря также
основана на применении уравнения ЭМХ ( ω =
U − I Я ⋅ RЯ
K ⋅Φ
Σ
) и практически
мало отличается от предыдущего примера.
В данном случае значения исходных параметров двигателя приняты
следующими: U = 200 В; Rя = 0,1 Ом; Rдоб1 = 0,1 Ом; Rдоб2 = 0,1 Ом;
КФ = 2 Вб; ΔI = 10 А. RЯ Σ1 = RЯ = 0,1 Ом; RЯ Σ 2 = RЯ + R ДОБ1 = 0,1 + 0,1 = 0,2 Ом;
RЯ Σ 3 = RЯ + R ДОБ1 + R ДОБ 2 = 0,1 + 0,1 + 0,1 = 0,3 Ом.
Значение «шага» по току (ΔI) можно корректировать в процессе моделирования.
В первом столбце электронной таблицы (ЭТ) Excel (колонка А) будут располагаться значения независимой переменной I Я (ток якоря двигателя), начиная с I Я = 0 . Пусть ток якоря ЭД I Я изменяется в пределах от 0
до 700 А. Изменение тока якоря ЭД I Я при моделировании желательно
установить в пределах от 0 до 2,5 ⋅ I Я Н .
Во втором столбце ЭТ (колонка В) располагаются значения угловой
скорости « ω1 », соответствующие первому значению результирующего сопротивления цепи якоря ЭД, равного RЯ Σ1 = RЯ = 0,1 Ом.
В третьем столбце ЭТ (колонка С) располагаются значения угловой
скорости «ω2», соответствующие второму значению результирующего сопротивления цепи якоря ЭД, равному RЯ Σ 2 = RЯ + R ДОБ1 = 0,1 + 0,1 = 0,2 Ом.
В четвертом столбце ЭТ (колонка D) располагаются значения угловой скорости «ω3», соответствующие третьему значению результирующего
сопротивления
цепи
якоря
ЭД,
равному
RЯ Σ 3 = RЯ + R ДОБ1 + R ДОБ 2 = 0,1 + 0,1 + 0,1 = 0,3 Ом.
101
В первых ячейках столбцов электронной таблицы Е, F, G, H, I, J и K
(колонки Е, F, G, H, I и J) будут располагаться обозначения величин исходных данных: U; Rя; Rдоб1; Rдоб2; КФ; ΔI.
Во вторых ячейках столбцов электронной таблицы Е, F, G, H, I, J и K
(колонки Е, F, G, H, I и J) будут располагаться значения величин исходных
данных и ΔI (delta I): например, 200; 0.1; 0.1; 0,1; 2; 10.
Для построения графиков выделяются ячейки столбцов «А», «В»,
«С» и «D» электронной таблицы Excel, начиная со строки «2» и заканчивая
последней строкой с численными расчетами. Выбирается точечный график, и далее выполняются действия, рекомендуемые программным продуктом Excel.
Результаты моделирования электромеханических характеристик
ДПТ с НВ при изменении величины сопротивления цепи якоря ЭД с помощью ПП «Excel» приведены на рис. 5.4. На этом рисунке представлено
семейство из трех ЭМХ при следующих значениях сопротивления цепи
якоря RЯ Σ1 = 0,1 Ом, RЯ Σ 2 = 0,2 Ом и RЯ Σ3 = 0,3 Ом. Три характеристики пересекаются в точке на оси угловой скорости, называемой скоростью идеального холостого хода ω XX .
Рис. 5.4. Результаты моделирования электромеханических характеристик ДПТ с НВ
при изменении величины сопротивления цепи якоря ЭД с помощью ПП «Excel»
В соответствии с уравнением (3.59) угловая скорость ω будет тем
больше, чем меньше результирующее сопротивление цепи якоря RЯ Σ . Следовательно, изменяя сопротивление цепи якоря RЯ Σ , можно регулировать
скорость двигателя. Этот способ применяется для регулирования скорости
ДПТ с НВ реже, чем другие способы из-за энергонеэффективности.
Рассмотренная методика позволяет при вариации исходных параметров двигателя автоматизировать процесс моделирования электромеханических характеристик ДПТ с НВ при изменении величины сопротивления
цепи якоря ЭД с помощью ПП «Excel».
102
Моделирование электромеханических характеристики ЭД постоянного тока с помощью ПП «Excel» при изменении величины напряжения,
приложенного к якорю, производится по такой же технологии, как и для
предыдущих примеров.
В данном случае значения исходных параметров двигателя приняты
следующими: U1 = 200 В; U2 = 150 В; U3 = 100 В; U4 = 50 В; U5 = 0 В;
Rя = 0,1 Ом; КФ = 2 Вб; ΔI = 10 А.
Значение «шага» по току (ΔI) можно корректировать в процессе моделирования.
В первом столбце электронной таблицы (ЭТ) Excel (колонка А) будут располагаться значения независимой переменной I Я (ток якоря двигателя), начиная с I Я = 0 . Пусть ток якоря ЭД I Я изменяется в пределах от 0
до 700 А. Изменение тока якоря ЭД I Я при моделировании желательно
установить в пределах от 0 до 2,5 ⋅ I Я Н .
Во втором столбце ЭТ (колонка В) располагаются значения угловой
скорости « ω1 », соответствующие первому значению напряжения, приложенного к цепи якоря ЭД, равного U1 = 200 В.
В третьем столбце ЭТ (колонка С) располагаются значения угловой
скорости «ω2», соответствующие второму значению напряжения, приложенного к цепи якоря ЭД, равного U2 = 150 В.
В четвертом столбце ЭТ (колонка D) располагаются значения угловой скорости «ω3», соответствующие третьему значению напряжения,
приложенного к цепи якоря ЭД, равного U3 = 100 В.
В пятом столбце ЭТ (колонка Е) располагаются значения угловой
скорости «ω3», соответствующие четвертому значению напряжения, приложенного к цепи якоря ЭД, равного U4=50 В.
В шестом столбце ЭТ (колонка F) располагаются значения угловой
скорости «ω3», соответствующие пятому значению напряжения, приложенного к цепи якоря ЭД, равного U5 = 0 В.
В первых ячейках столбцов электронной таблицы G, H, I, J, K, L, M и
N (колонки G, H, I, J, K, L, M и N) будут располагаться обозначения величин исходных данных: U1; U2; U3; U4; U5; Rя; КФ; ΔI.
Во вторых ячейках столбцов электронной таблицы G, H, I, J, K, L, M
и N (колонки G, H, I, J, K, L, M и N) будут располагаться значения величин
исходных данных и ΔI (delta I): например,200; 150; 100; 50; 0; 2; 10.
Для построения графиков выделяются ячейки столбцов «А», «В»,
«С», «D», «Е» и «F» электронной таблицы Excel, начиная со строки «2» и
заканчивая последней строкой с численными расчетами. Выбирается точечный график, и далее выполняются действия, рекомендуемые программным продуктом Excel.
Результаты моделирования электромеханических характеристик
ДПТ с НВ при изменении величины напряжения, приложенного к цепи
103
якоря ЭД, с помощью ПП «Excel», приведены на рис. 5.5. На этом рисунке
представлено семейство из пяти ЭМХ при следующих значениях напряжения, приложенного к цепи якоря ЭД: U1 = 200 В; U2 = 150 В; U3 = 100 В;
U4 = 50 В; U5 = 0 В. Каждая из пяти характеристик имеют точку на оси угловой скорости, называемую точкой идеального холостого хода ω XX для
этой характеристики.
120
100
80
Ряд1
60
Ряд2
40
Ряд3
Ряд4
20
Ряд5
0
-20
0
100
200
300
400
500
600
-40
Рис. 5.5. Результаты моделирования электромеханических характеристик ДПТ с НВ
при изменении величины напряжения, приложенного к цепи якоря ЭД, с помощью
ПП «Excel»
В соответствии с уравнением для ЭМХ угловая скорость ω будет
тем меньше, чем меньше величина напряжения, приложенного к цепи якоря ЭД. Следовательно, изменяя напряжение, приложенное к цепи якоря
ЭД, можно регулировать скорость двигателя. В настоящее время этот способ является основным для регулирования скорости ЭД постоянного тока.
5.4. Методика моделирования электромеханических характеристик
электрических двигателей постоянного тока с независимым
возбуждением средствами ядра Matlab
Допустим, что требуется осуществить моделирование электромеханических характеристик ДПТ с НВ при изменении напряжения, приложенного к цепи якоря, используя ядро программного пакета «Matlab».
Для реализации этого плана необходимо разработать программу моделирования на основе уравнения электромеханической характеристики
электрического двигателя постоянного тока с независимым возбуждением
ω=
U − I Я ⋅ RЯ
K ⋅Φ
Σ
.
Рекомендуется для эффективной работы составлять программу моделирования на зыке М-файлов.
При моделировании ЭМХ ДПТ с НВ при изменении напряжения,
приложенного к цепи якоря, средствами ядра Matlab выполняются дей104
ствия в следующей последовательности. В командном окне Matlab (Command Window) или в окне редактора М- файлов вводятся исходные данные
для моделирования электромеханических характеристик ДПТ с НВ.
Для того чтобы в командном окне «Matlab» или в окне редактора
М-файлов вывод значений не производился на экран, после ввода каждого
значения ставится «;» (точка с запятой).
Например: U1 = 200; U2 = 150; U3 = 100; U4 = 50; Rя = 0,05;
kF = 2;deltaI = 10.
Затем в командном окне Matlab или в окне редактора М-файлов
записываются следующие операторы для последовательного вычисления
значений тока «I» и скоростей ω1, ω2, ω3, ω4 и ω5. Также для того, чтобы в командном окне «Matlab» или в окне редактора М-файлов вывод
значений не производился на экран, после ввода каждого значения ставится символ «;». Для задания изменений тока применяется запись в виде матрицы с начальным значением тока, равным нулю, с шагом 10 А и
конечным значением, равным 1000 А. Например:
i = [0:10:1000];
w1 = (U1–i × R) / kF;
w2 = (U2–i × R) / kF;
w3 = (U3–i × R) / kF;
w4 = (U4–i × R) / kF;
В конце программы в командном окне Matlab или в окне редактора
М-файлов записываются операторы для вывода графиков ω1 = f1(I),
ω2 = f2(I), ω3 = f3(I) и ω4 = f4(I).
figure
plot(i, w1, i, w2, i, w3, i, w4)
grid
Результаты моделирования электромеханических характеристик
ДПТ с НВ при изменении величины напряжения, приложенного к цепи
якоря ЭД, с помощью ПП «Matlab» приведены на рис. 5.6.
В соответствии с уравнением для ЭМХ угловая скорость ω будет
тем меньше, чем меньше величина напряжения, приложенного к цепи якоря ЭД. Следовательно, изменяя напряжение, приложенное к цепи якоря
ЭД, можно регулировать скорость двигателя. В настоящее время этот способ является основным для регулирования скорости ЭД постоянного тока.
Рекомендуется программу моделирования электромеханических характеристик ДПТ с НВ с помощью ядра ПП «Matlab» подготовить с использованием редактора М-файлов. Для возможности использовать эту программу в дальнейшей работе желательно ее сопроводить комментариями.
На рис. 5.7 представлен текст программы для моделирования ЭМХ ДПТ с
НВ при изменении величины напряжения, приложенного к цепи якоря ЭД.
105
Рис. 5.6. Результаты моделирования электромеханических характеристик ДПТ
с НВ при изменении величины напряжения, приложенного к цепи якоря ЭД,
с помощью ПП «Matlab»
Рис. 5.7. Программа моделирования электромеханических характеристик ДПТ
с НВ при изменении величины напряжения, приложенного к цепи якоря ЭД,
с помощью ПП «Matlab»
Моделирование ЭМХ ДПТ с НВ с помощью ПП «Matlab» при изменении результирующего сопротивления цепи якоря ЭД производится на
основе программы, представленной на рис. 5.8.
106
В данном случае значения исходных параметров двигателя приняты
следующими: U = 200 В; Rя = 0,05 Ом; Rдоб1 = 0,05 Ом; Rдоб2 = 0,05 Ом;
Rдоб3 = 0,1 Ом; KF = 2 Вб; ΔI = 10 А; RЯ Σ1 = RЯ = 0,05 Ом;
RЯ Σ 2 = RЯ + R ДОБ1 = 0,05 + 0,05 = 0,1 Ом;
RЯ Σ 3 = RЯ + R ДОБ1 + R ДОБ 2 = 0,05 + 0,05 + 0,05 = 0,15 Ом;
RЯ Σ 4 = RЯ + R ДОБ1 + R ДОБ 2 + R ДОБ 3 = 0,05 + 0,05 + 0,05 + 0,1 = 0,25 Ом.
В командном окне Matlab (Command Window) или в окне редактора
М-файлов вводятся исходные данные для моделирования электромеханических характеристик ДПТ с НВ. Например: U = 200; R = Rя = 0,05; R1 =
Rдоб1 = 0,05; R2 = Rдоб2 = 0,05; R3 = Rдоб3 = 0,1; Kf = 2; deltaI = 10. Для
задания изменений тока применяется запись в виде матрицы, с начальным
значением тока, равным нулю, с шагом 10 А и конечным значением, равным 1000 А.
Рис. 5.8. Программа моделирования ЭМХ ДПТ с НВ при изменении величины
сопротивления цепи якоря ЭД с помощью ПП «Matlab»
Результаты моделирования электромеханических характеристик
ДПТ с НВ при изменении величины сопротивления цепи якоря ЭД с помощью ПП «Matlab» приведены на рис. 5.9.
В соответствии с уравнением для ЭМХ угловая скорость ω будет тем
больше, чем меньше результирующее сопротивление цепи якоря RЯ Σ . Следовательно, изменяя сопротивление цепи якоря RЯ Σ , можно регулировать скорость двигателя. Этот способ применяется для регулирования скорости ЭД
ДПТ с НВ реже, чем другие способы из-за энергонеэффективности.
107
Рис. 5.9. Результаты моделирования ЭМХ ДПТ с НВ при изменении величины
сопротивления цепи якоря ЭД с помощью ПП «Matlab»
Рассмотрим построение семейства естественной и искусственных
электромеханических характеристик (ЭМХ) электропривода (ЭП) с двигателем постоянного тока независимого возбуждения (ДПТ с НВ) при изменении величины магнитного потока Ф средствами программного продукта
Matlab.
Построение ЭМХ осуществим в соответствии с уравнением
ω=
U − I я ⋅ ( R я + Rдоб )
,
K ⋅Φ
где ω – угловая скорость электрического двигателя (ЭД), рад/с;
U – напряжение, подаваемое к цепи якоря ЭД, В;
Iя – ток якоря ЭД, А;
Rя – сопротивление обмотки якоря ЭД, Ом;
Rдоб – добавочное сопротивление в цепи якоря ЭД, Ом;
R я  = (Rя + Rдоб)) – суммарное сопротивление цепи якоря ЭД Ом;
К – коэффициент, зависящий от геометрических и обмоточных данных ЭД;
Ф – магнитный поток возбуждения ЭД, Вб.
КФ имеет размерность В ⋅ с = Вб. Если магнитный поток является
номинальным Фн, то КФн называется постоянной двигателя С. Пусть величина «КФ» изменяется от 1 В ⋅ с до 2 В ⋅ с .Значения «КФ» приняты равными 1; 1.5; и 2 В·сек).
Допустим, что электропривод характеризуется следующими параметрами: U = 220 B; Rя = 0.1 Ом; С1 = 2 В ⋅ с ; С2 = 1.5 В ⋅ с ; С3 = 1 В ⋅ с .
При моделировании электромеханических характеристик ДПТ с НВ
средствами ядра Matlab выполняются действия в следующей последовательности.
В командном окне Matlab (Command Window) записывается программа для расчета электромеханических характеристик. Программа расчета ЭМХ ДПТ с НВ записывается в редакторе «М-файлов» или в команд108
ном окне «Matlab» в виде следующих команд. В начале программы вводятся исходные данные для моделирования электромеханических характеристик ДПТ с НВ.
Для того чтобы в командном окне Matlab вывод значений не производился на экран, после ввода каждого значения ставится «;» (точка с запятой).
Например:
1 U = 200;
2 R = 0,1;
3 С1 = 2;
4 С2 = 1,5;
5 С3 = 1;
6 delta I = 10;
В первой (U = 200;), второй (R = 0,1;), третьей (С1 = 2;), четвертой
(С2 = 1,5;), пятой (С3 = 1;) и шестой (delta I = 10;) строках программы, подготовленной в редакторе «М-файлов», записаны параметры ДПТ с НВ.
В конце строк программы установлен знак «;» (точка с запятой) для того,
чтобы при выполнении программы не выводились на экран (командное
окно «Matlab») результаты вычислений по операторам, записанных в строках программы. В шестой строке программы (delta I = 10;) записан оператор для вычисления шага квантования (дискретизации) при расчете тока
ДПТ с НВ.
Затем в командном окне Matlab записываются следующие операторы для последовательного вычисления значений тока «i» и скоростей
w1, w2 и w3
7 I = [0:10:1000];
8 w1 = (U – I × R) / С1;
9 w2 = (U – I × R) / С2;
10 w3 = (U – I × R) / С3;
В конце программы в командном окне Matlab записываются операторы для вывода графиков w1 = f1(I), w2 = f2(I) и w3 = f3(I)
11 figure
12 plot(I, w1, I, w2, I, w3)
13 grid on
В седьмой строке программы (I = [0:10:1000];) задается диапазон изменения тока нагрузки ДПТ с НВ «I» от «0 до «1000» с шагом «10» А в виде матрицы. В восьмой строке программы (w1 = (U – I × R) / С1;) представлен оператор для вычисления скорости «w1» для каждого значения
нагрузки ДПТ с НВ «i» от «0 до «1000» с шагом «10» при значении С1,
равном 2. В девятой строке программы (w2 = (U – I × R) / С2;) представлен
оператор для вычисления скорости «w2» для каждого значения нагрузки
ДПТ с НВ «i» от «0 до «1000» с шагом «10» при значении С2, равном 1,5.
В десятой строке программы (w3 = (U – I × R) / С3;) представлен оператор
для вычисления скорости «w3» для каждого значения тока нагрузки ДПТ с
109
НВ «I» от «0 до «1000» с шагом «10» при значении С3, равном 1. В одиннадцатой (figure), двенадцатой (plot (I, w1, I, w2, I, w3)) и тринадцатой
(grid on) строках программы записаны операторы для вывода графика
функции тока от времени « ω = f ( I ) ». В одиннадцатой строке программы
(figure) представлен оператор «создания окна» для графика функции скорости от тока нагрузки « ω = f (I ) ». В двенадцатой строке программы (plot
(I, w1, I, w2, I, w3)) представлен оператор для построения графика функции
скорости от тока нагрузки « ω = f (I ) ». В тринадцатой строке программы
(grid on) записан оператор для наложения координатной «сетки» на окно
для графика.
Результаты моделирования ЭМХ ДПТ с НВ при изменении величины
магнитного потока Ф средствами ядра Matlab приведены на рис. 5.10 и 5.11.
Рис. 5.10. Семейство естественной и искусственных электромеханических
характеристик (ЭМХ) электропривода (ЭП) с двигателем постоянного тока
независимого возбуждения (ДПТ с НВ) при изменении величины
магнитного потока Ф
Этот способ применяется для регулирования скорости ДПТ с НВ, когда требуется увеличить угловую скорость больше номинальной скорости
ЭД («выше основной»), для которой двигатель был рассчитан.
Рекомендуется сохранить программу для расчета электромеханических характеристик ДПТ с НВ в файле, имя которого должно быть записано с использованием английского алфавита. Имена каталогов, в которых
будет храниться файл, также следует создавать с использованием английского алфавита.
Моделирование ЭМХ ДПТ с НВ с помощью ПП «Matlab» при изменении магнитного потока возбуждения ЭД производится на основе программы,
представленной на рис. 5.11. Для возможности использовать эту программу в
дальнейшей работе рекомендуется ее сопроводить комментариями.
110
Рис. 5.11. Программа моделирования ЭМХ ДПТ с НВ при изменении величины
магнитного потока Ф
5.5. Методика моделирования электромеханических характеристик
электрических двигателей постоянного тока с последовательным
возбуждением на основе программного продукта Excel
Электрический двигатель (ЭД) постоянного тока с последовательным возбуждением (ДПТ с ПВ) состоит из: статора ЭД с системой возбуждения – неподвижная часть ЭД; якоря ЭД с обмоткой якоря – подвижная
часть ЭД (рис. 5.12).
Рис. 5.12. Принципиальная схема ДПТ ПВ
У электрического двигателя постоянного тока с последовательным
возбуждением обмотка возбуждения последовательно соединена с обмоткой якоря. Следовательно, магнитный поток Ф зависит от тока
нагрузки I Я . Эта зависимость Φ = f ( I Я ) является нелинейной (рис. 5.13).
Рассмотрим процесс моделирования естественной и искусственной
ЭМХ двигателя постоянного тока с последовательным возбуждением
(ДПТ с ПВ) при изменении величины сопротивления цепи якоря Rя сумм.
111
Рис. 5.13. Зависимость Φ = f ( I Я )
Моделирование семейства ЭМХ осуществляется в соответствии с
уравнением ω =
U − I я ⋅ ( R я + R доб )
K ⋅Φ
,
где ω – угловая скорость электрического двигателя (ЭД), рад/с;
U – напряжение, подаваемое к цепи якоря ЭД, В;
Iя – ток якоря ЭД, А;
Rя – сопротивление обмотки якоря ЭД, Ом;
Rдоб – добавочное сопротивление в цепи якоря ЭД, Ом;
Rя сумм = R я  = (Rя + Rдоб)) – суммарное сопротивление цепи якоря ЭД Ом;
К – коэффициент, зависящий от геометрических и обмоточных данных ЭД;
Ф – магнитный поток возбуждения ЭД, Вб.
Целесообразно пренебречь нелинейностью зависимости Φ = f ( I Я ) .
Пусть зависимость между магнитным потоком Ф обмотки возбуждения ДПТ
с ПВ и током нагрузки I Я определяется следующей линейной формулой
K ⋅ Φ = α ⋅ I Я = 0.02 ⋅ I Я ,
(5.9)
где α = 0.02 – коэффициент пропорциональности между током нагрузки I Я
и магнитным потоком Ф обмотки возбуждения ДПТ с ПВ.
Магнитный поток ЭД с последовательным возбуждением создается
током, являющимся током якоря. Для вычисления величины K ⋅ Φ в данном
примере рекомендуется использовать формулу K ⋅ Φ = α ⋅ I . Коэффициент
пропорциональности α между током якоря ЭД и величиной ( K ⋅ Φ ), пропорциональной магнитному потоку возбуждения ДПТ с ПВ, равен 0,02.
На рис. 5.14 приведена линеаризованная зависимость между магнитным потоком Ф обмотки возбуждения ДПТ с ПВ и током нагрузки I Я , которая используется при моделировании ЭМХ.
Вычисления скорости двигателя при построении ЭМХ ДПТ с последовательным возбуждением следует производить для положительных значений тока, не равных нулю. При моделировании IЯ изменяется от 40 А до
480 А с дискретностью 20 А).
Допустим, что ДПТ с ПВ характеризуется следующими параметрами: U = 100 B; Rя = 0,1 Ом; Rдоб = 0,25 Ом; α = 0,02.
112
Рис. 5.14. Линеаризованная зависимость Φ = f ( I Я )
При моделировании естественной ЭМХ в столбце «А» электронной
таблицы будут находиться значения тока IЯ от 40 А до 480 А с дискретностью 20 А.
В столбцах «В» и «С» электронной таблицы размещаются значения
угловых скоростей для результирующих сопротивлений цепи якоря, равных 01 Ом и 025 Ом.
Рис. 5.15. Фрагмент электронной таблицы «Excel» при моделировании семейства
ЭМХ ДПТ с ПВ при изменении при изменении Rя сумм
На рис. 5.16 приведено изображение семейства ЭМХ ДПТ с ПВ, моделирование которых при изменении Rя сумм выполнено с помощью
стандартного программного пакета «Excel».
Угловая скорость,
рад/сек
Семейство ЭМХ ДПТ с ПВ при
изменении Rя
140
120
100
80
60
40
20
0
-20 0
Ряд1
Ряд2
200
400
600
Ток в цепи якоря, А
Рис. 5.16. Семейство ЭМХ ДПТ с ПВ, моделирование которых при изменении Rя
выполнено с помощью стандартного программного пакета «Excel»
В соответствии с уравнением для ЭМХ угловая скорость ω будет
тем больше, чем меньше результирующее сопротивление цепи якоря RЯ Σ .
Следовательно, изменяя сопротивление цепи якоря RЯ Σ , можно регулиро-
113
вать скорость двигателя. Этот способ достаточно часто применяется для
регулирования скорости ЭД ДПТ с ПВ.
Рассмотрим моделирование естественной и искусственной ЭМХ
двигателя постоянного тока с последовательным возбуждением (ДПТ с
ПВ) при изменении величины напряжения, приложенного к цепи якоря
двигателя.
Построение семейства ЭМХ осуществим в соответствии с уравнением ω =
U − I я ⋅ ( R я + R доб )
K ⋅Φ
,
где ω – угловая скорость электрического двигателя (ЭД), рад/с;
U – напряжение, подаваемое к цепи якоря ЭД, В;
Iя – ток якоря ЭД, А;
Rя – сопротивление обмотки якоря ЭД, Ом;
Rдоб – добавочное сопротивление в цепи якоря ЭД, Ом;
Rя сумм = R я  = (Rя + Rдоб)) – суммарное сопротивление цепи якоря ЭД Ом;
К – коэффициент, зависящий от геометрических и обмоточных данных ЭД;
Ф – магнитный поток возбуждения ЭД, Вб.
Магнитный поток ЭД с последовательным возбуждением создается
током, являющимся током якоря. Для вычисления величины K ⋅ Φ рекомендуется использовать формулу K ⋅ Φ = α ⋅ I . Коэффициент пропорциональности α между током якоря ЭД и магнитным потоком возбуждения
( K ⋅ Φ ) равен 0,02. Вычисления скорости двигателя при построении ЭМХ
ДПТ с последовательным возбуждением произвести для положительных
значений тока и не равных нулю ( при расчете Iя изменяется от 40 А до
700 А с дискретностью 20 А).
Допустим, что электропривод характеризуется следующими параметрами: U1 = 100 B; U2 = 50 B; Rя = 0,1 Ом; α = 0,02.
Для построения естественной ЭМХ в столбце «А» электронной таблицы расположим значения тока Iя от 40 А до 700 А с дискретностью 20 А.
Рис. 5.17. Фрагмент электронной таблицы «Excel» при построении семейства ЭМХ
ДПТ с ПВ при изменении величины напряжения, приложенного к цепи якоря
двигателя
На рис. 5.18 приведено изображение семейства ЭМХ ДПТ с ПВ, моделирование которых при изменении Rя сумм выполнено с помощью
стандартного программного пакета «Excel».
114
рад/сек
Угловая скорость,
С емейство ЭМ Х при изменен ии нап ряж ения,
п р и ло ж ен н о го к ц еп и яко р я
140
120
100
80
60
40
20
0
-2 0
Р яд1
Р яд2
0
200
400
600
800
Ток якоря, А
Рис. 5.18. Семейство ЭМХ ДПТ с ПВ, моделирование которых при изменении
величины напряжения, приложенного к цепи якоря двигателя, выполнено
с помощью стандартного программного пакета «Excel»
В соответствии с результатами моделирования угловая скорость ω
будет тем меньше, чем меньше величина напряжения, приложенного к
цепи якоря ЭД. Следовательно, изменяя напряжение, приложенное к цепи якоря ЭД, можно регулировать скорость двигателя с последовательным возбуждением. В настоящее время этот способ является основным
для регулирования скорости ЭД постоянного тока с последовательным
возбуждением.
5.6. Методика моделирования электромеханических характеристик
электрических двигателей постоянного тока
с последовательным возбуждением средствами ядра Matlab
При моделировании электромеханических характеристик ДПТ с ПВ
при изменении напряжения, приложенного к цепи якоря, средствами ядра
Matlab или в окне редактора М-файлов выполняются действия в следующей последовательности.
В командном окне Matlab (Command Window) или в окне редактора
М-файлов вводятся исходные данные для моделирования электромеханических характеристик ДПТ с ПВ. Например: U1 = 50; U2 = 100;
i = [50:10:1000]; R = 0,3;
Затем в командном окне Matlab или в окне редактора М-файлов записываются следующие операторы для последовательного вычисления
значений тока «I» и скоростей ω1 и ω2:
w1 = (U1 – i × R)./(0.02. × i);
w2 = (U2 – i × R)./(0.02. × i);
В конце программы в командном окне Matlab или в окне редактора
М-файлов записываются операторы для вывода графиков w1 = f1(I) и
w2 = f2(I).
figure
plot(i, w1, i, w2)
grid on
115
Результаты моделирования электромеханических характеристик
ДПТ с ПВ при изменении напряжения, приложенного к цепи якоря ЭД,
с помощью ядра ПП «Matlab», приведены на рис. 5.19.
Рис. 5.19. Результаты моделирования ЭМХ ДПТ с ПВ при изменении напряжения,
приложенного к цепи якоря ЭД, с помощью ядра ПП «Matlab»
На рис. 5.20 представлен текст программы для моделирования ЭМХ
ДПТ с ПВ при изменении величины напряжения, приложенного к цепи
якоря ЭД.
Рис. 5.20. Текст программы для моделирования ЭМХ ДПТ с ПВ при изменении
величины напряжения, приложенного к цепи якоря ЭД
Особенностью программы для моделирования электромеханических
характеристик ДПТ с ПВ с помощью ядра ПП «Matlab» или в окне редактора М-файлов является то, что при выполнении операций умножения и
деления перед знаком операции ставится точка.
w1 = (U1 – i × 0,3). / (0,02 × i);
w2 = (U2 – i × 0,3). / (0,02 × i);
Допустим, что требуется осуществить моделирование электромеханических характеристик ДПТ с ПВ при изменении сопротивления в цепи
якоря ЭД. В первом случае сопротивление в цепи якоря ДПТ с ПВ равно
R1 = 0,2 Ом, а во втором – R2 = 0,5 Ом.
116
При моделировании электромеханических характеристик ДПТ с ПВ
при изменении сопротивления в цепи якоря ЭД средствами ядра Matlab
или в окне редактора М-файлов выполняются действия в следующей последовательности.
В командном окне Matlab (Command Window) вводятся исходные
данные для решения уравнений состояния.
Например: U = 100; R1 = 0,2; R2 = 0,5; i = [50:10:1000];
Затем в командном окне Matlab или в окне редактора М-файлов записываются следующие операторы для последовательного вычисления
значений тока «I» и скоростей ω1 и ω2:
w1 = (U1 – i × R1)./(0.02. × i); w2 = (U2 – i × R2)./(0.02. × i);
В конце программы в командном окне Matlab или в окне редактора
М-файлов записываются операторы для вывода графиков ω1 = f1(I) и
ω2 = f2(I).
figure
plot(i, w1, i, w2)
grid on
Результаты моделирования электромеханических характеристик
ДПТ с ПВ при изменении сопротивления цепи якоря ЭД с помощью ядра
ПП «Matlab» приведены на рис. 5.21.
Рис. 5.21. Результаты моделирования ЭМХ ДПТ с ПВ при изменении
сопротивления цепи якоря ЭД с помощью ядра ПП «Matlab»
В соответствии с результатами моделирования угловая скорость ω
будет тем меньше, чем больше величина сопротивления цепи якоря ЭД.
Следовательно, изменяя сопротивления цепи якоря ЭД, можно регулировать скорость двигателя с последовательным возбуждением. В настоящее
время этот способ достаточно часто используется для регулирования скорости ЭД постоянного тока с последовательным возбуждением на электрическом транспорте.
117
На рис. 5.22 представлен текст программы для моделирования ЭМХ
ДПТ с ПВ при изменении величины сопротивления цепи якоря ЭД.
Рис. 5.22. Текст программы для моделирования ЭМХ ДПТ с ПВ при изменении
величины сопротивления цепи якоря ЭД
Контрольные вопросы и задания к главе 5
1. Приведите принципиальную схему ДПТ с НВ.
2. Приведите уравнение электромеханической характеристики
ДПТ с НВ.
3. Приведите методику расчета семейства электромеханических характеристик ДПТ с НВ при изменении магнитного потока с помощью программного пакета «Excel».
4. Изобразите графики семейства электромеханических характеристик ДПТ с НВ при изменении магнитного потока.
5. Анализ графиков семейства электромеханических характеристик
ДПТ с НВ при изменении магнитного потока.
6. Приведите методику расчета семейства электромеханических характеристик ДПТ с НВ при изменении величины сопротивления цепи якоря Rя сумм с помощью программного пакета «Excel».
7. Изобразите графики семейства электромеханических характеристик ДПТ с НВ при изменении величины сопротивления цепи якоря Rя
сумм с помощью программного пакета «Excel».
8. Выполните анализ графиков семейства электромеханических характеристик ДПТ с НВ при изменении величины сопротивления цепи якоря Rя сумм.
9. Выполните анализ семейства электромеханических характеристик
ДПТ с НВ при изменении величины сопротивления цепи якоря Rя сумм.
10. Приведите методику расчета семейства электромеханических характеристик ДПТ с НВ при изменении величины напряжения, приложенного к цепи якоря двигателя помощью программного пакета «Excel».
118
11. Изобразите графики семейства электромеханических характеристик ДПТ с НВ при изменении величины напряжения, приложенного к цепи якоря двигателя помощью программного пакета «Excel».
12. Выполните анализ графиков семейства электромеханических характеристик ДПТ с НВ при изменении величины напряжения, приложенного к цепи якоря двигателя.
13. Приведите уравнение электромеханической характеристики ДПТ
с последовательным возбуждением. Методика расчета семейства электромеханических характеристик ДПТ с ПВ при изменении величины сопротивления цепи якоря Rя сумм с помощью программного пакета «Excel».
14. Изобразите графики семейства электромеханических характеристик ДПТ с ПВ при изменении величины сопротивления цепи якоря Rя
сумм помощью программного пакета «Excel».
15. Анализ графиков семейства электромеханических характеристик
ДПТ с ПВ при изменении величины сопротивления цепи якоря Rя сумм .
16. Приведите методику расчета семейства электромеханических характеристик ДПТ с ПВ при изменении величины напряжения, приложенного к цепи якоря двигателя с помощью программного пакета «Excel».
17. Изобразите графики семейства электромеханических характеристик ДПТ с ПВ при изменении величины напряжения, приложенного к цепи якоря двигателя с помощью программного пакета «Excel».
18. Выполните анализ графиков семейства электромеханических характеристик ДПТ с ПВ при изменении величины напряжения, приложенного к цепи якоря двигателя с помощью программного пакета «Excel».
19. Формулы, поясняющие построение механической характеристики АД.
20. Приведите методику расчета семейства механических характеристик АД при изменении частоты напряжения, приложенного к цепи статора двигателя с помощью программного пакета «Excel».
21. Изобразите графики семейства механических характеристик АД
при изменении частоты напряжения, приложенного к цепи статора двигателя с помощью программного пакета «Excel».
22. Выполните анализ графиков семейства механических характеристик АД при изменении частоты напряжения, приложенного к цепи статора двигателя с помощью программного пакета «Excel».
23. Приведите принципиальную схему ДПТ с ПВ.
24. Уравнение электромеханической характеристики ДПТ с ПВ.
25. Приведите методику расчета семейства электромеханических характеристик ДПТ с НВ при изменении магнитного потока с помощью программного пакета «Matlab».
26. Приведите методику расчета семейства электромеханических характеристик ДПТ с НВ при изменении величины сопротивления цепи якоря Rя сумм с помощью программного пакета «Matlab».
119
27. Приведите методику расчета семейства электромеханических характеристик ДПТ с НВ при изменении величины напряжения, приложенного к цепи якоря двигателя помощью программного пакета «Matlab».
28. Приведите уравнение электромеханической характеристики ДПТ
с последовательным возбуждением. Методика расчета семейства электромеханических характеристик ДПТ с ПВ при изменении величины сопротивления цепи якоря Rя сумм с помощью программного пакета «Matlab».
29. Приведите методику расчета семейства электромеханических характеристик ДПТ с ПВ при изменении величины напряжения, приложенного к цепи якоря двигателя с помощью программного пакета «Matlab».
Глава 6. Моделирование механических характеристик
асинхронных двигателей
6.1. Схема, устройство и принцип действия асинхронного двигателя
Асинхронные двигатели (АД) являются наиболее распространенными двигателями, применяемыми в промышленности и в быту.
Механическая характеристика АД – это зависимость угловой скорости « ω » от момента двигателя « M », т. е. ω = f ( M ) .
АД имеет статор и ротор, разделенные воздушным зазором. Активными частями АД являются магнитопровод и обмотки статора и ротора.
На статоре трехфазного АД расположена трехфазная обмотка. Обмотка статора располагается в пазах сердечника статора. К трехфазной обмотке АД подключено трехфазное напряжение. Изображение трехфазного
АД с короткозамкнутым ротором на схемах представлено на рис. 6.1.
Рис. 6.1. Изображение трехфазного АД с короткозамкнутым ротором на схемах
Трехфазное напряжение, которое подключено к трехфазной обмотке
статора АД, характеризуется тремя фазными напряжениями u A , uB и uC
u A = U m ⋅ sin(ω ⋅ t + ΨA ) ,
(6.1)
u B = U m ⋅ sin(ω ⋅ t + ΨA − 1200 ) ,
(6.2)
uC = U m ⋅ sin(ω ⋅ t + ΨA + 1200 ) .
(6.3)
Трехфазная обмотка – это совокупность трех однофазных обмоток,
оси которых сдвинуты в пространстве относительно друг друга
120
на 120 геометрических градусов. К трехфазной обмотке АД подключено
трехфазное напряжение. Трехфазное напряжение – совокупность трех однофазных напряжений, сдвинутых по фазе относительно друг друга
на 120 электрических градусов (рис. 6.2).
Рис. 6.2. Векторная диаграмма трехфазного напряжения
Трехфазная обмотка, к которой подключено трехфазное напряжение,
создает круговое вращающееся магнитное поле. Круговое вращающееся
магнитное поле в обмотках ротора наводит в соответствии с законом электромагнитной индукции электродвижущую силу (ЭДС). Короткозамкнутая
обмотка располагается в пазах сердечника ротора. Выполняется в виде
«беличьей клетки». ЭДС в трехфазной обмотке ротора создает трехфазный
электрический ток. Взаимодействие кругового вращающегося магнитного
поля с токами ротора создает вращающий момент асинхронного двигателя.
6.2. Уравнение механической характеристики асинхронного двигателя
Величины и параметры АД, которые используются при моделировании, приведены в следующем списке: синхронная скорость вращения
вала АД в об/мин – n0 ; угловая скорость вращения вала АД в рад/сек –
ω ; синхронная угловая скорость вращения вала АД в рад/сек – ω0 ;
скольжение вала АД – s ; момент АД – M в Н*м; критическое скольжение вала АД – sK .
В программе для моделирования асинхронного двигателя применяются следующие соотношения для АД.
Среди них используется уравнение механической характеристики
ω = f (M ) для асинхронного двигателя (АД)
M=
2⋅ MK
,
s sK
+
sK
s
(6.4)
где s – скольжение АД, соответствующее текущему моменту нагрузки M ;
s K – критическое скольжение АД;
M K – критический момент АД.
121
Скольжение асинхронного двигателя s определяется по следующей
формуле:
s=
ω0 − ω
,
ω0
(6.5)
где ω 0 – синхронная угловая скорость АД в рад/сек.
Угловая скорость АД ω определяется по следующей формуле:
ω = ω0 ⋅ (1 − s ) .
(6.6)
Синхронная угловая скорость АД вычисляется по следующей формуле:
ω0 =
2 ⋅ π ⋅ n0
,
60
(6.7)
где n0 – синхронная скорость АД в об/мин.
Синхронная скорость АД в об/мин вычисляется по следующей формуле:
n0 =
60 ⋅ f
,
p
(6.8)
где p – число пар полюсов АД;
f – циклическая частота напряжения статора АД.
6.3. Методика моделирования механических характеристик
асинхронного двигателя на основе программного продукта Excel
Допустим, что требуется осуществить моделирование механических
характеристик АД при изменении частоты трехфазного напряжения, приложенного к трехфазной обмотке статора АД, т. е. f 1 = 50 Гц и f 2 = 50 Гц.
Частота напряжения питания обмотки статора изменяется с помощью преобразователя
частоты.
Значения
величин
исходных
данных
M K ; sK ; p; f 1; f 2 приняты следующими: M K = 10 H ⋅ м; sK = 0,4; p = 2 .
Аналитическая зависимость для механической характеристики АД
(МХ АД) имеет достаточно сложный вид. Поэтому используем при моделировании МХ АД уравнение (6.4).
Методика моделирования механических характеристик АД при изменении частоты напряжения питания обмотки статора с помощью ПП
«Excel» реализуется в следующей последовательности.
В первом столбце электронной таблицы (ЭТ) Excel (колонка А) будут располагаться значения первой независимой переменной s (скольжения вала АД), начиная с s = 0,001 . Пусть величина s скольжения вала АД
изменяется в пределах от 0,001 до 1,16.
Во втором столбце ЭТ (колонка В) располагаются значения второй
независимой переменной, т. е. момента M , соответствующие величине
скольжения s и определяемые по формуле (6.4).
122
В третьем столбце ЭТ (колонка С) располагаются значения угловой
скорости ω1 , соответствующие первому значению частоты напряжения
статора АД ( f 1 = 50 Гц).
В четвертом столбце ЭТ (колонка D) располагаются значения угловой скорости ω2 , соответствующие второму значению частоты напряжения
статора АД ( f 2 = 25 Гц).
В первых ячейках столбцов электронной таблицы Е, F, G, H, I, J , K,
L, M и N (колонки Е, F, G, H, I, J, K , L, M и N) будут располагаться обозначения
величин
исходных
данных:
M K ; sK ; p; f 1; f 2; Δs (delta s ); n01; n02 ; ω01; ω02 .
Во вторых ячейках столбцов электронной таблицы Е, F, G, H, I, J и K
(колонки Е, F, G, H, I, J и K) будут располагаться значения величин исходных данных M K ; sK ; p; f 1; f 2 , а также Δs (delta s); n01; n02 ; ω01; ω02 , равные
10; 0,4; 2; 50; 25; 0,02; 1500; 750; 157; 78,5. На рис. 6.3 приведен фрагмент
электронной таблицы «Excel» при построении семейства МХ АД при изменении частоты напряжения питания статора.
Рис. 6.4. Фрагмент электронной таблицы «Excel» при построении семейства МХ
АД при изменении частоты напряжения статора
Сначала заполняется первый столбец электронной таблицы Excel (колонка А), в котором располагаются значения независимой переменной s
(скольжения вала АД), начиная с s = 0,001 . В первой ячейке первого столбца ЭТ (ячейка А1) записывается обозначение независимой переменной s
(скольжения вала АД). Во второй ячейке первого столбца (ячейка А2) записывается значение независимой переменной s, равное 0,001. В третьей
ячейке первого столбца (ячейка А3) записывается следующая формула:
«= A2 + $J$2», соответствующая алгоритму sL = sL −1 + Δs .
Затем с помощью манипулятора «мышь» выделяются ячейки столбца
«А», начиная с ячейки А3 и до А56 (можно и чуть больше).
Потом следует одновременно нажать клавиши клавиатуры «Ctrl» и
«D» (Ctrl + D), что вызывает процесс автоматического вычисления значения s на каждом шаге.
В следующей операции в ячейке В2 (столбец В) записывается формула, по которой рассчитывается момент двигателя (АД) M :
«= 2 × $E$2/(A2/$F$2 + $F$2/ A2)» в соответствии с алгоритмом M =
123
2⋅ MK
.
s sK
+
sK
s
Затем с помощью манипулятора «мышь» выделяются ячейки столбца
«В», начиная с ячейки В2 и до В56 (можно и чуть больше).
Потом следует одновременно нажать клавиши клавиатуры «Ctrl» и
«D» (Ctrl + D), что вызывает процесс автоматического вычисления значения M на каждом шаге.
В следующей операции в ячейке С2 (столбец С) записывается формула, по которой рассчитывается угловая скорость ω1 «= $M$2 × (1 – A2)»
в соответствии с алгоритмом ω1 = ω01 ⋅ (1 − s ) .
Затем с помощью манипулятора «мышь» выделяются ячейки столбца
«С», начиная с ячейки С2 и до С56 (можно и чуть больше).
Потом следует одновременно нажать клавиши клавиатуры «Ctrl» и
«D» (Ctrl + D), что вызывает процесс автоматического вычисления значения ω1 на каждом шаге.
В следующей операции в ячейке D2 (столбец D) записывается формула, по которой рассчитывается угловая скорость ω2 «= $N$2 × (1 – A2)»
в соответствии с алгоритмом ω2 = ω02 ⋅ (1 − s) .
Затем с помощью манипулятора «мышь» выделяются ячейки столбца
«D», начиная с ячейки D2 и до D56 (можно и чуть больше).
Потом следует одновременно нажать клавиши клавиатуры «Ctrl» и
«D» (Ctrl + D), что вызывает процесс автоматического вычисления значения ω2 на каждом шаге.
Для построения графиков выделяются ячейки столбцов «В», «С» и
«D» электронной таблицы Excel, начиная со строки «2» и заканчивая строкой «56».
Выбирается точечный график, и далее выполняются действия, рекомендуемые Excel.
На рис. 6.4 представлен второй фрагмент электронной таблицы
«Excel» при построении семейства МХ АД при изменении частоты напряжения питания статора.
Рис. 6.4. Второй фрагмент электронной таблицы «Excel» при построении
семейства МХ АД при изменении частоты напряжения статора
124
Результаты моделирования механических характеристик АД при изменении частоты напряжения статора с помощью «Excel» приведены на
рис. 6.5.
Рис. 6.5. Результаты моделирования МХ АД при изменении
частоты напряжения статора
Точка на оси момента, когда угловая скорость ω равна нулю
(см. рис. 6.5), называется точкой момента короткого замыкания АД. В этой
точке момент АД равен пусковому моменту.
В соответствии с результатами моделирования угловая скорость ω
будет тем меньше, чем меньше частота напряжения питания статора АД.
Следовательно, изменяя частоту напряжения питания статора АД. можно
регулировать скорость асинхронного двигателя. В настоящее время этот
способ является основным при регулировании скорости АД.
6.4. Методика моделирования механических характеристик
асинхронного двигателя средствами ядра Matlab
Допустим, что с помощью ядра ПП «Matlab» требуется осуществить
моделирование механических характеристик АД при изменении частоты
трехфазного напряжения, приложенного к трехфазной обмотке статора
АД, т. е. f1 = 50 Гц и f2 = 25 Гц.
При моделировании механических характеристик АД средствами ядра Matlab выполняются действия в следующей последовательности. В командном окне Matlab (Command Window) вводятся исходные данные для
моделирования механических характеристик АД.
Для того чтобы в командном окне Matlab вывод значений не производился на экран, после ввода каждого значения ставится «;» (точка с запятой). Например: Mk = 10; Sk = 0,4; p = 2; f1 = 50; f2 = 25;
Затем в командном окне Matlab записываются следующие операторы
для последовательного вычисления значений тока «S», «М» и скоростей
w1, w2.
125
S = [0.001:0.02:1.1];
M = 2 × Mk./(S/Sk + Sk./S);
n01 = 60 × f1/p;
n02 = 60 × f2/p;
w01 = 2 × pi × n01/60;
w02 = 2 × pi × n02/60;
w1 = w01 × (1 – S);
w2 = w02 × (1 – S);
В конце программы в командном окне Matlab записываются операторы для вывода графиков w1 = f1(M), w2 = f2(M).
figure
plot(M, w1, M, w2)
grid
Результаты моделирования механических характеристик АД при изменении частоты напряжения статора с помощью «Excel» приведены
на рис. 6.6.
Рис. 6.6. Результаты моделирования МХ АД при изменении
частоты напряжения статора
На рис. 6.7 представлен фрагмент, состоящий из программы и графических зависимостей при моделировании МХ АД для двух частот
напряжения питания статора.
Рис. 6.7. Фрагмент, состоящий из программы и графических зависимостей
при моделировании МХ АД для двух частот напряжения питания статора
126
На рис.6.8 представлен текст программы для моделирования МХ АД
для двух частот напряжения питания статора.
Рекомендуется программу моделирования механических характеристик АД с помощью ядра ПП «Matlab» подготовить с использованием редактора М-файлов.
Рис. 6.8. Программа для моделирования механических характеристик АД
с помощью ядра ПП «Matlab» при изменении частоты напряжения статора
Рекомендуется в программах моделирования механических характеристик АД с помощью ядра ПП «Matlab» при делении и умножении матриц использовать следующие арифметические операторы. При делении
установить «. /» (точка и знак деления после точки), а при умножении –
«. × » (точка и знак умножения после точки).
Рис. 6.9. Результаты моделирования МХ АД при изменении
частоты напряжения статора
127
Контрольные вопросы и задания к главе 6
1. Вывести формулы, поясняющие построение механической характеристики АД.
2. Привести методику расчета семейства механических характеристик АД при изменении частоты напряжения, приложенного к цепи статора двигателя с помощью программного пакета «Excel».
3. Изобразить графики семейства механических характеристик АД
при изменении частоты напряжения, приложенного к цепи статора двигателя с помощью программного пакета «Excel».
4. Провести анализ графиков семейства механических характеристик
АД при изменении частоты напряжения, приложенного к цепи статора
двигателя с помощью программного пакета «Excel».
5. Привести методику расчета семейства механических характеристик АД при изменении частоты напряжения, приложенного к цепи статора двигателя с помощью программного пакета «Matlab».
Глава 7. Моделирование линейных звеньев и элементов
в энергетике и электротехнике
7.1. Характеристика программных средств для моделирования
линейных устройств и элементов
Исследование линейных звеньев и элементов при моделировании
в энергетике и электротехнике осуществляется с применением «Simulink».
При этом используются для исследования виртуальные элементы.
На рис. 7.1 представлена блок-схема системы для моделирования элемента
энергетики и электротехники. На блок-схеме на вход виртуального элемента энергетики и электротехники поступает входной сигнал от виртуального источника сигнала (ИС), а к выходу подключен виртуальный измерительный прибор или виртуальный осциллограф.
Рис. 7.1. Блок-схема системы для моделирования элемента энергетики
и электротехники
В библиотеках «Simulink» имеется несколько линейных виртуальных
элементов, которые можно использовать для моделирования. Среди них:
128
блок вычисления производной – «Derivative»; интегрирующий блок –
«lntegrator»; блок передаточной функции – «Transfer Fcn». Модели линейных блоков и звеньев хранятся в библиотеке «Continuous» программного
продукта «Simulink». На рис. 7.2 приведено изображение звена вычисления
производной – «Derivative» в библиотеке «Simulink».
Рис. 7.2. Изображение звена вычисления производной – «Derivative»
в библиотеке «Continuous» программного продукта «Simulink»
Структурная модель для исследования блока вычисления производной – «Derivative» представлена на рис. 7.3. Входной сигнал от виртуального источника сигнала «Pulse Generation» представляет собой прямоугольные периодические импульсы. Параметры источника: амплитуда
прямоугольных импульсов равна 3,52 В; частота прямоугольных импульсов равна 50 Гц; скважность импульсов «ε» равна 0,3.
Рис. 7.3. Структурная модель для исследования блока вычисления
производной – «Derivative»
Результаты исследования блока вычисления производной –
«Derivative» приведены на рис. 7.4. Выходной сигнал, зафиксированный во
времени виртуальным осциллографом, представляет собой остроугольные
импульсы малой длительности.
Рис. 7.4. Результаты исследования блока вычисления производной – «Derivative»
129
На рис. 7.5 приведена структурная модель для исследования блока
«lntegrator».
Рис. 7.5. Структурная модель для исследования блока «lntegrator»
Рассмотрим характеристики интегрирующего блока (Integrator). На
вход интегратора подается сигнал, представляющий постоянное напряжение U 0 = 10 В . Выходной сигнал интегратора определяется по следующему
выражению uВХ =  uВХ ⋅ dt =  U 0 ⋅ dt = U 0 ⋅  dt = U 0 ⋅ t .
Результаты исследования интегрирующего блока представлены
на рис. 7.6.
Рис. 7.6. Результаты исследования интегрирующего блока
130
7.2. Методика моделирования воздушного трансформатора
Рассмотрим пример применения блока вычисления производной
«Derivative» – исследование воздушного трансформатора. На рис. 7.7
представлено изображение воздушного трансформатора (без магнитопровода) на принципиальных схемах. Первичная обмотка трансформатора
имеет число витков, равное W1 , вторичная обмотка – W2 . Допустим, что ток
по первичной обмотке трансформатора W1 является синусоидальным
i1 = I1 m ⋅ sin(ω ⋅ t ) .
(7.1)
Моделирование «работы» однофазного трансформатора с линейными характеристиками (воздушный трансформатор) производится с применением элемента вычисления производной «Derivative».
Рис. 7.7. Изображение воздушного трансформатора (без магнитопровода)
на принципиальных схемах
Намагничивающая сила первичной обмотки трансформатора равна
F1 = i1 ⋅ W1 и также изменяется во времени по закону синуса
F1 = I m 1 ⋅ W1 ⋅ sin(ω ⋅ t ) = Fm 1 ⋅ sin(ω ⋅ t ) .
(7.2)
Намагничивающая сила трансформатора создает магнитный поток Φ,
который также изменяется по синусоидальному закону
Φ = Φ m 1 ⋅ sin(ω ⋅ t ) .
(7.3)
Во вторичной обмотке трансформатора W2 в соответствии с законом
электромагнитной индукции наводится Э.Д.С.
Ψ21 = W2 ⋅ Φ ,
e2 = −
dΨ21
,
dt
e2 = −W2 ⋅
dΦ
.
dt
(7.4)
(7.5)
(7.6)
Определим вторичную Э.Д.С. трансформатора, используя блок вычисления производной – «Derivative» в программном пакете «Simulink».
Структурная схема модели однофазного линейного трансформатора
приведена на рис. 7.8.
131
Рис. 7.8. Структурная схема модели однофазного линейного трансформатора
Структурная схема модели однофазного трансформатора состоит из
виртуального источника синусоидального магнитного потока, линейного
усилителя «Gain» для инверсии знака (замене знака «+» на знак «–»), звена,
вычисляющего производную магнитного потока
dΦ
в соответствии с
dt
уравнением (7.6), линейного усилителя «Gain1» для учета операции умножения на число витков вторичной обмотки W2 .
Виртуальный источник синусоидального магнитного потока имеет
следующие параметры: Φ m 1 = 10 Вб; f = 50 Гц; ω = 314 рад/с. Линейный
усилитель «Gain» для инверсии знака (замене знака «+» на знак «–») характеризуется коэффициентом усиления KУ 1 = −1 . Звено, вычисляющее производную магнитного потока
dΦ
по времени, является дифференцирующим
dt
звеном. Линейный усилитель «Gain1» служит для учета операции умножения на число витков W2 ( W2 = 100) с коэффициентом усиления KУ 1 = 100 .
Расчет ЭДС вторичной обмотки трансформатора в соответствии с законом электромагнитной индукции показал, что сдвиг по фазе между магнитным потоком и ЭДС вторичной обмотки составляет 90 электрических
градусов. Магнитный поток Φ изменяется по синусоидальному закону
Φ = Φ m 1 ⋅ sin(ω ⋅ t ) .
ЭДС вторичной обмотки изменяется по косинусоидальному закону
e2 = −100 ⋅
d10 ⋅ sin 314 ⋅ t
= −100 ⋅ 10 ⋅ 314 ⋅ cos 314 ⋅ t = 314 ⋅ 103 ⋅ cos 314 ⋅ t .
dt
Результаты моделирования однофазного трансформатора с линейными характеристиками представлены на рис. 7.9. Конечное время моделирования равно t КОН = 0.03 с . Сдвиг по фазе между магнитным потоком и
ЭДС составляет 90 градусов.
132
Рис. 7.9. Результаты моделирования однофазного трансформатора
с линейными характеристиками
7.3. Методика моделирования уравнения движения рабочей машины
Энергетики и электротехники в своей деятельности имеют дело с
различными двигателями: электрические двигатели; паровые или газовые
турбины; гидравлические турбины; двигатели внутреннего сгорания и др.
Рассмотрим методику моделирования уравнения движения и определения скорости вращения вала электрического двигателя (ЭД). Эта методика позволяет моделировать не только движение ЭД, но и двигателей
другой физической природы.
В механике и электромеханике это взаимодействие двигателя и рабочей машины принято оценивать уравнением движения. Для анализа работы двигателя в некоторых режимах специалисты, инженеры и ученые
часто используют уравнение движения, которое можно вывести из уравнения по закону сохранения энергии
M − MC = J ⋅
dω
,
dt
(7.7)
где M – движущий момент электрического двигателя в Н ⋅ м ;
M С – момент сопротивления (противодействующий момент) в Н ⋅ м ;
J – суммарный момент инерции ЭД и РМ в кг ⋅ м 2 ;
ω – угловая скорость ЭД и РМ в
рад
.
с
133
Допустим, что ЭД развивает (создает) движущий момент M . ЭД
приводит в движение рабочую машину (РМ), например шпиндель токарного станка. Рабочая машина движущему моменту М электрического двигателя создает момент сопротивления Мс (противодействующий момент).
Уравнение движения является линейным неоднородным дифференциальным уравнением 1-го порядка. Преобразуем уравнение движения. Преобразованное уравнение движения (7.8) называется уравнением состояния
dω 1
= ⋅ (M − M C ) .
dt J
(7.8)
Анализ уравнения движения показывает, что для того, чтобы определить скорость ω, необходимо проинтегрировать преобразованное уравнение движения. Преобразованное уравнение движения (7.8) позволяет
разработать соответствующую структурную схему модели уравнения движения и лежит в основе этой структурной схемы.
Для этого сначала следует на основании преобразованного уравнения движения разработать соответствующую структурную схему модели.
Построение структурной схемы начинаем с установки интегратора, на
вход которого поступает сигнал, равный производной скорости по времени
dω
. На выходе интегратора присутствует сигнал, равный ω (рис. 7.10).
dt
dω
dt
ω
Рис. 7.10. Начальный этап построения структурной схемы для моделирования
уравнения движения
dω
, необходимо использовать уравнение состояния
dt
di
1
dω 1
= ⋅ ( M − M C ) . Производная
равна произведению коэффициента на
J
dt J
dt
сигнал ( M − M C ) . Это отражено в виде фрагмента структурной схемы моде-
Чтобы получить
ли на рис. 7.11, представляющего собой пропорциональное звено с коэффициентом передачи
(M − M C )
1
.
J
dω 1
= ⋅ (M − M C )
dt J
1
J
Рис. 7.11. Фрагмент структурной схемы модели уравнения движения
134
Выражение ( M − M C ) реализуется на структурной схеме звеном, которое принято называть сумматором или узлом сравнения. Сумматор имеет два входных сигнала (один из них со знаком «плюс» равен M , а другой
с отрицательным знаком равен − M C ) и один выходной сигнал, равный
( M − M C ) . Сумматор выполняет математическую операцию вычитания.
Это отражено в виде фрагмента структурной схемы модели
на рис. 7.12.
(M − M C )
M
MC
Рис. 7.12. Фрагмент структурной схемы модели, отражающий сумматор
Соединив эти элементы (звенья) между собой, получаем структурную схему модели уравнения движения (рис. 7.13). Эта структурная схема
модели уравнения движения включает два звена. Одно из них является интегратором с коэффициентом передачи WИ ( p) =
фициентом передачи WПЗ ( з) =
1
, а другое звено с коэфp
1
– пропорциональным звеном. Кроме этого
J
модель содержит сумматор, выполняющий функцию вычитания из момента двигателя M момента сопротивления M С .
Рис. 7.13. Cтруктурная схема модели уравнения движения
На рис. 7.14 приведена структурная схема модели уравнения движения в программном продукте «Simulink» для следующих исходных данных: M = 10 Нм; M C = 3 Нм; J = 10 кгм2. В этой модели момент двигателя
M и момент сопротивления M C являются постоянными. Момент двигателя
M больше момента сопротивления M C . В этом случае происходит разгон
системы, связанный с увеличением скорости. Нижний (первый) луч предназначен для наблюдения сигнала, равного моменту сопротивления M C .
Средний (второй) луч регистрирует сигнал, равный скорости двигателя ω .
Верхний (третий) луч фиксирует сигнал, равный моменту двигателя M .
135
Рис. 7.14. Cтруктурная схема модели уравнения движения
в программном продукте «Simulink»
Результаты моделирования уравнения движения для исходных данных М = 10 Нм, Мс = 3 Нм и J = 10 кгм2 представлены на рис. 7.15. Скорость двигателя ω увеличивается по линейному закону.
Рис. 7.15. Результаты моделирования уравнения движения для исходных данных
М = 10 Нм; Мс = 3 Нм; J = 10 кгм2
На рис. 7.16 приведен второй вариант структурной схемы модели
уравнения движения в программном продукте «Simulink» для следующих
исходных данных: M = 2,14 Нм; M C = 1 Нм; J = 1 кгм2. Особенность этого
варианта моделирования заключается в том, что момент сопротивления M C
возникает не в начале исследования, а в момент времени, равный tC = 2 c.
Рис. 7.16. Второй вариант структурной схемы модели уравнения движения
в программном продукте «Simulink»
136
Нижний (первый) луч предназначен для наблюдения сигнала, соответствующего моменту сопротивления M C . Второй луч регистрирует сигнал, равный скорости двигателя ω . Третий луч фиксирует сигнал, равный
разности моментов ( M − M C ) . Четвертый луч предназначен для наблюдения
сигнала, соответствующего моменту двигателя M .
Результаты моделирования уравнения движения по второму варианту для исходных данных M = 2,14 Нм, M C = 1,2 Нм и J = 1 кгм2 представлены на рис. 7.17. Особенностью второго варианта моделирования уравнения движения является то, что в интервале времени от t1 = 0 до t2 = 2 c момент сопротивления M C равен нулю. Разность моментов ( M − M C ) в этом
интервале времени равна M = 2,14 H ⋅ м . В момент времени t2 = 2 c момент
сопротивления «скачком» возрастает до M C = 1,2 H ⋅ м , а разность моментов
( M − M C ) уменьшается до значения, равного 0,98 H ⋅ м .
Рис. 7.17. Результаты моделирования уравнения движения по второму варианту
Скорость двигателя ω увеличивается по сложной траектории, состоящей из линейных участков (см. рис. 7.17). На первом участке в интервале
от t1 = 0 до t2 = 2 c темп увеличения скорости двигателя ω (угловое ускорад
и выше, чем на втором участке в инс2
рад
t2 = 2 с до t3 = 10 c , когда ε ≈ 0,9 2 .
с
рение) равен приближенно ε ≈ 4,7
тервале от
На рис. 7.18 приведен третий вариант структурной схемы модели
уравнения движения в программном продукте «Simulink» для следующих
исходных данных: M = t Нм; M C = 3 Нм; J = 1 кгм2. Особенность этого варианта моделирования заключается в том, что момент двигателя M изменяется во времени по линейному закону M = k ⋅ t , причем k = 1
Н⋅м
. Мос
мент сопротивления M C остается постоянным в течение всего периода исследования t ИСC = 0 ÷ 10 с .
137
Рис. 7.18. Третий вариант структурной схемы модели уравнения движения
в программном продукте «Simulink»
Нижний (первый) луч предназначен для наблюдения сигнала, равного моменту сопротивления M C . Второй луч регистрирует сигнал, равный
скорости двигателя ω . Третий луч фиксирует сигнал, равный разности моментов ( M − M C ) . Четвертый луч предназначен для наблюдения сигнала,
соответствующего моменту двигателя M .
Результаты моделирования уравнения движения по третьему варианту для исходных данных M = t Нм, M C = 3 Нм, J = 1 кгм2 представлены на
рис. 7.19.
Рис. 7.19. Результаты моделирования уравнения движения по третьему варианту
Скорость двигателя ω изменяется по траектории, соответствующей
следующему
математическому
уравнению
ω=
1
t2
⋅  ( M − M C ) ⋅ dt = 1 ⋅  (t − 3) ⋅ dt = − 3 ⋅ t .
J
2
На участке в интервале от
t1 = 0 до
t2 = 3 c разность момента двигателя M и момента сопротивления M C отри-
цательная ( M − M C ) < 0 . Следовательно, скорость двигателя ω также будет
отрицательной ω < 0 . С увеличением времени t в этом интервале абсолютное значение разности моментов abs( M − M C ) уменьшается, но отрицательное значение скорости ω увеличивается. В момент времени t2 = 3 c разность моментов M и M C станет равна нулю, а скорость двигателя ω принимает максимальное отрицательное значение. В интервале времени от
138
t2 = 3 c до t3 = 6 c разность моментов M и M C становится положительной
( M − M C ) > 0 , скорость двигателя ω продолжает оставаться отрицательной,
но абсолютное значение скорости уменьшается и в момент времени t3 = 6 c
скорость двигателя ω становится равной нулю ( ω = 0 ). В интервале времени от t3 = 6 c до t4 = 10 c разность моментов M и M C продолжает оставаться положительной ( M − M C ) > 0 и абсолютное значение разности моментов
abs ( M − M C ) увеличивается. Положительная скорость двигателя ω будет
расти в соответствии с уравнением ω =
t2
− 3⋅t .
2
На рис. 7.20 представлен четвертый вариант структурной схемы модели уравнения движения в программном продукте «Simulink» для следующих исходных данных: M = 2,1 Нм; M C = 2,1 Нм; J = 1 кгм2. Особенностью этого варианта моделирования является то, что момент сопротивления M C в интервале времени от t1 = 0 c до t2 = 1 c равен нулю (рис. 7.21).
Скорость двигателя в этот период времени изменяется по линейному закоН⋅м
. В момент времени t2 = 1 c момент сопротивс
«скачком» возрастает до M C = 2,1 H ⋅ м , а разность моментов
ну ω = k ⋅ t , причем k = 2,1
ления M C
( M − M C ) уменьшается до нуля и остается на таком уровне в течение
оставшегося периода исследования. Скорость двигателя в период исследования
t2 = 1 c до t3 = 3 c будет оставаться постоянной и равной ω = 2,1
рад
,
с
т. к. M = M C и система находится в состоянии равновесия.
Рис. 7.20. Четвертый вариант структурной схемы модели уравнения движения
в программном продукте «Simulink» для исходных данных M = 2,1 Нм,
M C = 2,1 Нм, J = 1 кгм2
Нижний (первый) луч предназначен для наблюдения сигнала, равного моменту сопротивления M C . Второй луч фиксирует сигнал, равный разности моментов ( M − M C ) . Третий луч регистрирует сигнал, равный скорости двигателя ω . Четвертый луч предназначен для наблюдения сигнала,
соответствующего моменту двигателя M .
Результаты моделирования уравнения движения по четвертому варианту для исходных данных M = 2,1 Нм, M C = 2,1 Нм, J =1 кгм2 представлены на рис. 7.21.
139
Рис. 7.21. Результаты моделирования уравнения движения по четвертому варианту
На рис. 7.22 представлен пятый вариант структурной схемы модели
уравнения движения в программном продукте «Simulink» для следующих
исходных данных: M = 2,5 Нм; M C = 2,1 Нм; J =1 кгм2. Особенностью этого варианта моделирования является то, что момент двигателя M в интервале времени от t1 = 0 c до t2 = 1 c равен нулю (см. рис. 7.23). Скорость
двигателя в этот период времени является отрицательной и изменяется по
Н ⋅м
. В момент времени t2 = 1 c
с
момент двигателя M «скачком» возрастает до M C = 2,5 H ⋅ м , а разность
линейному закону ω = k ⋅ t , причем k = −2,1
моментов ΔM = ( M − M C ) становится равной ΔM = 0,4 H ⋅ м и остается на таком уровне в течение оставшегося периода исследования. Абсолютная
скорость двигателя в период исследования от t2 = 1 c до t3 = 6 c будет
уменьшаться и в момент времени t3 = 6 c станет равной нулю. Начиная с
момента времени t3 = 6 c и до 10 c , угловая скорость w двигателя является
положительной и изменяющейся по линейному закону.
Рис. 7.22. Пятый вариант структурной схемы модели уравнения движения
в программном продукте «Simulink»
для исходных данных M = 2,5 Нм, M C = 2,1 Нм, J =1 кгм2
Результаты моделирования уравнения движения по пятому варианту
для исходных данных M = 2,5 Нм, M C = 2,1 Нм, J = 1 кгм2 приведены на
рис. 7.23.
140
Рис. 7.23. Результаты моделирования уравнения движения по пятому варианту
7.4. Применение подпрограмм при структурном моделировании
сложных элементов и систем
Компоненты для создания подсистем (Ports & Subsystems). В случае,
если моделируемая система имеет сложную схему, удобным может быть
объединение нескольких элементов в один с помощью блока Subsystem.
При этом для задания требуемого количества входов и выходов нового
элемента используются блоки In1 и Out1.
Контрольные вопросы и задания к главе 7
1. Привести примеры математических моделей элементов и систем
энергетики и электротехники форме уравнений состояния.
2. Рассмотреть структуру уравнения состояния применительно к
элементу или системе энергетики.
3. На основании чего составляется уравнение состояния применительно к элементу или системе энергетики? Пример.
4. С какой целью модель применительно к элементу или системе
энергетики составляется в форме уравнения состояния? Пример.
5. На основании чего составляется структурная схема модели применительно к элементу или системе энергетики? Пример.
6. С помощью каких программных продуктов реализуется структурный метод моделирования?
7. На основании чего можно приближенно оценить требуемое конечное время моделирования переходного процесса применительно к элементу или системе энергетики? Пример.
8. Какой метод интегрирования применяется при моделировании переходного процесса в элементах или системе энергетики? Пример.
141
9. В чем заключается суть численного метода интегрирования Эйлера при моделировании переходного процесса в элементах или системе
энергетики? Пример.
10. Как выбирается шаг численного интегрирования при моделировании переходного процесса в элементах или системе энергетики?
11. Почему численное интегрирование дифференциальных уравнений с использованием любого метода при моделировании переходного
процесса в элементах или системе энергетики является приближенным?
Заключение
Учебное пособие содержит основные сведения о методах математического моделирования в энергетике и электротехнике. Приведены формы
представления математических моделей. Рассмотрены методики моделирования с применением уравнений состояния и использования различных
программных продуктов. Проведен анализ результатов метода структурного моделирования элементов и устройств энергетики и электротехники.
Выполнены работы, связанные с подготовкой процесса моделирования нелинейных устройств и элементов энергетики и электротехники. Рассмотрены методики моделирования электромеханических и механических характеристик электрических двигателей постоянного и переменного тока.
Проведен анализ моделирования линейного трансформатора и выполнены
исследования уравнения движения, которое характеризует работу электрических двигателей и двигателей другого принципа действия.
142
Библиографический список
1. Гоппе Г.Г., Федорова З.А. Моделирование электроприводов : учеб.
пособие. – 2011. – 123 с. Электронная библиотека ИрГТУ (ДСК–2557).
2. Гультяев А. Визуальное моделирование в среде MATLAB : учеб.
курс. –СПб. : Питер, 2000.
3. Герман-Галкин С.Г. Компьютерное моделирование полупроводниковых систем MATLAB 6.0. – СПб. : КОРОНА ПРИНТ, 2001.
4. Черных И.В. Моделирование электротехнических устройств в
MATLAB, SimPowerSystems и Simulink. – СПб. : Питер, 2008.
5. Дьяконов В.П. MATLAB 6.5 SP1/7.0 Simulink 5/6 в математике и
моделировании. – М. : Солон-Пресс, 2005.
6. Brian R., Hunt и др. Matlab R2007 с нуля. – М. : Лучшие книги,
2008.
7. Сартаков В.Д. Анализ возможностей программных продуктов при
моделировании электрических цепей и устройств электротехники /
В.Д. Сартаков, А.А. Дружинин // Повышение эффективности производства
и использования энергии в условиях Сибири : сб. материалов Всерос.
науч.-практ. конф., Иркутск / под общей редакцией В.В. Федчишина. –
2016. – С. 92–96.
8. Сартаков В.Д. Анализ методики моделирования устройств и систем энергетики и электротехники / В.Д. Сартаков, А.А. Мирошин // Повышение эффективности производства и использования энергии в условиях Сибири : сб. материалов Всерос. науч.-практ. конф., Иркутск / под общей редакцией В.В. Федчишина. – 2017. – С. 67–70.
9. Цифровое моделирование систем электропривода / В.Н. Егоров,
О.В. Корженевский-Яковлев. – Л. : Энергоатомиздат : Ленингр. отд-ние,
1986. – 167 с.
143