МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ ОСКОЛОЧНОГО ДЕЙСТВИЯ НА
БЕСПИЛОТНЫЕ ЛЕТАТЕЛЬНЫЕ АППАРАТЫ
Дегтярев А.А., Лысенко Е.А., Шаховский В.В.
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время в различных областях человеческой деятельности все шире
применяются беспилотные летательные аппараты (БЛА) [1], не исключением является сфера
обороны и безопасности. Важным показателем эффективности применения БЛА является
вероятность преодоления ими зон противовоздушной обороны (ПВО).
Возможности
отечественных
средств
ПВО,
стоящих
на
вооружении,
по
противодействию малоразмерным БЛА были проанализированы в работе [2] на основе
расчетных исследований и полевых испытаний, проведенных в Военной академии войсковой
ПВО ВС РФ. Анализ показал необходимость совершенствования средств обнаружения и
поражения БЛА.
В информационном докладе НАТО [3] также отмечена необходимость использования
инновационных тактических подходов и технологий для успешного противостояния угрозам,
исходящим от малоразмерных БЛА. Одним из направлений повышения эффективности
зенитно-артиллерийских комплексов ПВО признана разработка программируемых боеприпасов
осколочного действия для малокалиберной артиллерии [4, 5].
Эффективность применения осколочных снарядов малого калибра определяется как
техническими характеристиками самих снарядов, так и техническими характеристиками боевых
систем, каковыми в большинстве случаев являются зенитно-артиллерийские орудия.
Баллистика осколков, закономерности формирования осколочного поля и их пробивная
способность изложены с разной степенью детализации в учебной литературе [6, 7] и
монографии [8].
Эксплуатируемые программные средства, разработанные в конце 90-х годов и
локализованные в нашей организации для современных операционных систем, ограничены
выбором формы агрегатов объекта (прямоугольные параллелепипеды), невозможностью
моделировать сквозное пробитие агрегата осколком, вычислением вероятности поражения по
схеме без накопления ущерба. Следует отметить, что последнее ограничение можно ослабить,
разбив агрегат на отдельные блоки и применив к нему схему уязвимости с логическим «и».
Для малоразмерных БЛА, которые рассматриваются нами в качестве объектов
воздействия, характерно наличие тонкостенных преград из композитных материалов и
алюминиевых сплавов (фюзеляж, крылья, хвостовое оперение), единичное пробитие которых
само по себе не приводит к поражению БЛА. Внутреннее оборудование, включающее
радиоэлектронные блоки, каналы системы энергоснабжения, кабельные сети, сервоприводы,
топливные баки, двигатели ограничены криволинейными поверхностями и могут быть
представлены прямоугольными параллелепипедами, только с большой долей допущения.
Нерегулярное заполнение блоков внутреннего оборудования требует применения методов
стохастической гомогенизации при расчетах пробивания осколками блоков. Кроме того, в
современных боеприпасах, наряду с заранее подготовленными мелкими осколками, может
использоваться небольшое число крупных стреловидных элементов. В последнем случае
вероятности наступления поражающих событий не будут подчиняться пуассоновскому
распределению.
Работы
последних
лет
[9,
10]
не
затрагивали
вопросы
совершенствования
математической модели формирования осколочного поля, воздействующего на объект, а были
посвящены оценке влияния различных факторов (наличие боевого защитного комплекта,
оптимизации угла доворота снаряда перед подрывом) на эффективность применения
осколочных боеприпасов.
В
связи
с
изложенным
представляется
целесообразным
сформулировать
математическую модель воздействия осколочных полей на БЛА, учитывающую их
конструктивные особенности и возможность применения новых средств осколочного
поражения.
ВЕРОЯТНОСТНАЯ МОДЕЛЬ ОСКОЛОЧНОГО ПОЛЯ
Основные определения
При определении случайного процесса формирования поля поражающих элементов (ПЭ)
будем рассматривать следующие физические процессы: торможение ПЭ в воздухе,
прохождение и поглощение ПЭ в преградах и агрегатах. Ветвящиеся процессы, т.е.
размножение ПЭ посредством дробления и образования вторичных осколков в настоящей
работе не рассматриваются.
Введем фазовое пространство 𝑿 = {𝒓, 𝒗}, точки которого описывают пространственное
положение 𝒓 и скорость 𝒗 центра тяжести ПЭ. Для каждого из 𝑁 поражающих элементов
введем плотность вероятности 𝑓𝑖 (𝒗; 𝒓𝑖 ) вылета со скоростью 𝒗 с поверхности боеприпаса в
динамике его движения (скорость боеприпаса - 𝒗0 ). Здесь 𝒓𝑖 - координата точки (центра масс)
вылета 𝑖 – го ПЭ. Вылет каждого элемента из снаряда считается независимым. Плотность
вероятности 𝑓𝑖 (𝒗; 𝒓𝑖 ) нормирована на единицу. Для осколков естественного или заданного
дробления плотность вероятности зависит кроме того от массы 𝑚, параметра формы Ф и
площади среднего миделя 𝑆𝑚 . Кроме того, полное число 𝑁 осколков естественного дробления
является случайной величиной. Для готовых ПЭ переменные 𝑚, 𝑆𝑚 , Ф можно опустить,
поскольку они неизменны для каждого типа. Обозначим 𝐺(𝒙′ , 𝑡 ′ ; 𝒙, 𝑡) плотность вероятности
перехода ПЭ из точки фазового пространства 𝒙′ в точку фазового пространства 𝒙. Источник ПЭ
будем полагать мгновенно действующим (𝑡 ′ = 0). Отсюда следует, что случайный процесс
формирования поля ПЭ является однородным, т.е. 𝐺(𝒙′ , 𝑡 ′ ; 𝒙, 𝑡) = 𝐺(𝒙′ ; 𝒙, 𝑡).
Вероятность реализации эффекта воздействия от 𝑖 - го ПЭ при попадании в агрегат
определяется выражением:
∞
𝑝𝑖 = ∬ 𝑓𝑖 (𝒙′ ) ∙ 𝐺(𝒙′ ; 𝒙, 𝑡) ∙ |(𝒏 ∙ 𝒗)| ∙ 𝜂 (ℎпред (𝑣, 𝒗⁄𝑣 ) − ℎ(𝒓)) ∙ 𝜂(𝑈(𝑣ℎ ) − 𝑈кр )𝑑𝒙′ 𝑑𝒓𝑑𝒗𝑑𝑡 , ( 1)
𝒓∈𝑉,0
где 𝒏 – нормаль к элементу поверхности, окружающей агрегат, в точке 𝒓; ℎ(𝒓) – толщина
преграды в точке 𝒓, ℎпред (𝑣, 𝒗⁄𝑣 ) – предельно пробиваемая толщина преграды осколками со
скоростью 𝑣, падающими на преграду под углом к нормали 𝒏, равным 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠(|(𝒏 ∙ 𝒗⁄𝑣 )|); 𝑉 –
область пространства занятая агрегатом; 𝑣ℎ - скорость осколка после прохождения преграды;
𝑈(𝑣ℎ ) – функция характеризующая эффект воздействия; 𝜂(∙) - ступенчатая функция.
Закон распределения числа событий
В общем случае все вероятности 𝑝𝑖 наступления событий, определенные формулой (1),
различны. Тогда вероятность наступления 𝑘 событий будет определяться схемой Пуассона для
независимых испытаний:
𝑃(𝑘 = 0) = 𝑞1 ∙ 𝑞2 … 𝑞𝑁 ; 𝑃(𝑘 = 1) = 𝑝1 ∙ 𝑞2 … 𝑞𝑁 + ⋯ + 𝑞1 𝑞2 … 𝑞𝑁−1 𝑝𝑁 ; 𝑃(𝑘 = 𝑁) = 𝑝1 ∙ 𝑝2 … 𝑝𝑁 ;
где 𝑞𝑖 = 1 − 𝑝𝑖 .
По теореме Пуассона:
𝑁
|∑ 𝑃(𝑘) − ∑ П(𝑘, 𝜆)| ≤ ∑ 𝑝𝑖2 ,
𝑘∈𝐵
𝑘∈𝐵
(2)
𝑖=1
где 𝐵 – числовое множество, 𝜆 = 𝑝1 + 𝑝2 + ⋯ + 𝑝𝑁 .
Такие испытания называются испытаниями Бернулли с переменными вероятностями, и
посредством применения производящих функций доказывается сходимость распределения 𝑃(𝑘)
к распределению Пуассона [11].
Таким образом, при большом 𝑁 и не очень большом 𝜆 испытания Бернулли с
переменными вероятностями аппроксимируются законом Пуассона и, соответственно,
вероятность наступления 𝑘 событий, выражается формулой:
𝑁
𝜆𝑘
𝑃(𝑘) ≈ П(𝑘, 𝜆) = ∙ 𝑒 −𝜆 , 𝜆 = ∑ 𝑝𝑖
𝑘!
(3)
𝑖=1
При небольшом числе ПЭ или при большом значении вероятности наступления события
от единичного ПЭ отличия распределений 𝑃(𝑘) и П(𝑘, 𝜆) весьма заметны. В модели поражения
без накопления ущерба вероятность поражения агрегата есть вероятность попадания в него хотя
бы одного ПЭ. В этом случае различие между значениями (1 − 𝑃(𝑘)) и (1 − 𝑒 −𝑁∙𝑝 ) невелико. В
моделях поражения с накоплением ущерба следует проверять правомерность использования
распределения Пуассона вместо биномиального распределения.
В статике (боеприпас покоится) теоретические распределения 𝑓𝑖′ (𝒗; 𝒓𝑖 ) связаны с
параметром 𝜆 в распределении Пуассона соотношением:
𝑁
𝜆 ≅ ∑ 𝑓𝑖′ (𝒗; 𝒓𝑖 ) .
(4)
𝑖=1
Анализ условий проведения щитовых экспериментов показывает, что число осколков,
вылетающих в статике в интервал ∆𝒗, будет определяться распределением Пуассона с
параметром 𝜆 равным:
𝜆 ≅ 𝑁 ∙ ∫ 𝑓э′ (𝒗) ∙ 𝑑𝒗 .
(5)
∆𝒗
Использование соотношений (4, 5) позволяет связать (в статике) теоретические
распределения 𝑓𝑖′ (𝒗; 𝒓𝑖 ) и экспериментально определяемые распределения:
𝑁
𝑓э′ (𝒗)
1
≅ ∙ ∑ 𝑓𝑖′ (𝒗; 𝒓𝑖 ) .
𝑁
(6)
𝑖=1
Плотность распределения осколков по скорости в динамике 𝑓э (𝒗) связана с 𝑓э′ (𝒗′ )
соотношением
𝑓э (𝒗)𝑑𝒗 = 𝑓э′ (𝒗′ )𝑑𝒗′ ,
(7)
где 𝒗 = 𝒗′ + 𝒗0 , 𝒗0 - скорость изделия в лабораторной системе координат.
В связи с тем, что якобиан преобразования скоростей при переходе от одной
инерциальной системы к другой равен единице в динамике соотношение (6) будет иметь вид:
𝑁
1
𝑓э (𝒗 − 𝒗0 ) ≅ ∙ ∑ 𝑓𝑖 (𝒗 − 𝒗0 ; 𝒓𝑖 ) .
𝑁
(7)
𝑖=1
Таким образом, математическое ожидание числа событий, определенных формулой (1),
можно оценить, используя эмпирическую функцию распределения 𝑓э (𝒗 − 𝒗0 ) в динамике.
Уравнение для переходной плотности вероятности
Поскольку рассматриваемый случайный процесс является марковским, переходная
плотность подчиняется уравнению Колмогорова-Чепмена [12]:
𝐺(𝒙′ , 𝑡 ′ ; 𝒙, 𝑡) = ∫ 𝐺(𝒙′ , 𝑡 ′ ; 𝒙′′ , 𝑡 ′′ ) ∙ 𝐺(𝒙′′ , 𝑡 ′′ ; 𝒙, 𝑡)𝑑𝒙′′ .
(8)
Интегрально-дифференциальное уравнение в форме объединенного уравнения ФоккераПланка и Колмогорова-Феллера с использованием индексных обозначений можно записать в
виде:
𝜕𝐺(𝒙′ , 𝑡 ′ ; 𝒙, 𝑡)
𝜕 𝑟
𝜕
[𝑎𝑖 ∙ 𝐺(𝒙′ , 𝑡 ′ ; 𝒙, 𝑡)] +
[𝑎𝑣 ∙ 𝐺(𝒙′ , 𝑡 ′ ; 𝒙, 𝑡)] −
+
𝜕𝑡
𝜕𝑟𝑖
𝜕𝑣𝑖 𝑖
1 𝜕2
1
𝜕2
𝑣
𝑟
′ ′
− ∙
[𝑏𝑖𝑗 ∙ 𝐺(𝒙 , 𝑡 ; 𝒙, 𝑡)] − ∙
[𝑏𝑖𝑗
∙ 𝐺(𝒙′ , 𝑡 ′ ; 𝒙, 𝑡)] =
2 𝜕𝑟𝑖 𝜕𝑟𝑗
2 𝜕𝑣𝑖 𝜕𝑣𝑗
(9)
= ∫ 𝑑𝒙′′ [𝑊(𝒙′′ ; 𝒙) ∙ 𝐺(𝒙′ , 𝑡 ′ ; 𝒙′′ , 𝑡) − 𝑊(𝒙; 𝒙′′ ) ∙ 𝐺(𝒙′ , 𝑡 ′ ; 𝒙, 𝑡)],
𝑣
𝑟
где 𝑎𝑖𝑟 , 𝑎𝑖𝑣 – вектора сноса (дрейфа); 𝑏𝑖𝑗
, 𝑏𝑖𝑗
– положительно определенные матрицы диффузии;
𝑊(𝒙′′ ; 𝒙) – вероятность скачкообразного перехода из состояния 𝒙′′ в состояние 𝒙.
Коэффициенты сноса и диффузии в уравнении (9) при движении в воздухе определяются
формулами:
𝑎𝑖𝑟 = 𝑣𝑖 ; 𝑎𝑖𝑣 =
̅𝑖 (𝒗)
𝐹
𝑣
𝑟
; 𝑏𝑖𝑗
= 0; 𝑏𝑖𝑗
= 0.
𝑚
(10)
При внедрении стальных и вольфрамовых поражающих элементов в низкоплотные
преграды со скоростями до 1500 м/с, а также в преграды из алюминиевых сплавов со
скоростями до 800 м/с реализуется аэродинамический механизм проникания [6]. Для БЛА
представляется
достаточным
ограничиться
рассмотрением
только
аэродинамического
механизма проникания. Это позволит в единой манере описать торможение ПЭ в воздухе и
преградах.
Обозначим 𝛽(𝑣) = −𝐹(𝑣)⁄𝑚 ∙ 𝑣 – тормозную способность с размерностью обратного
времени. Тормозная способность преграды для аэродинамического механизма определяется
дифференцированием текущей скорости ПЭ, движущегося в преграде, по длине пройденного
пути. Используя известные соотношения для зависимости предельно пробиваемой толщины ℎпр
от модуля скорости поражающего элемента на внешней поверхности преграды 𝑣0 и угла
подхода поражающего элемента к преграде можно получить искомую зависимость
𝛽пр (𝑣0 ) =
1
.
𝑑(ℎпр (𝑣0 , 𝜓)⁄sin 𝜓)⁄𝑑𝑣0
(11)
Поскольку все определенные выше коэффициенты уравнения (9) не зависят явно от
времени, то описываемый ими случайный процесс является однородным, т.е. 𝐺(𝒙′ , 𝑡 ′ ; 𝒙, 𝑡) =
𝐺(𝒙′ ; 𝒙, 𝑡 − 𝑡 ′ ). Кроме того в определении (1)
вероятности эффекта поражения входит
плотность вероятности 𝐺(𝒙′ ; 𝒙, 𝑡), умноженная на 𝒗 и проинтегрированная по времени, т.е.
функция:
∞
𝐺(𝒙′ ; 𝒙) = ∫ 𝑣 ∙ 𝐺(𝒙′ ; 𝒙, 𝑡)𝑑𝑡 .
(12)
0
Введенная функция 𝐺(𝒙′ ; 𝒙) по терминологии [13] есть поток вероятности в
координатном пространстве для стационарной задачи. Проинтегрировав уравнение (9) по
времени с учетом определений и вводя вектор направления движения 𝝎 = 𝒗⁄𝑣 , получим
уравнение для функции 𝐺(𝒙′ ; 𝒙), совпадающее по форме со стационарным уравнением
Фоккера-Планка и Колмогорова-Феллера:
𝜕
𝜕
̃ (𝒙′′ ; 𝒙) ∙ 𝐺(𝒙′ ; 𝒙′′ ) − 𝑊
̃ (𝒙) ∙ 𝐺(𝒙′ ; 𝒙) , (13)
[𝜔𝑖 ∙ 𝐺(𝒙′ ; 𝒙)] +
[𝜔 ∙ 𝛽(𝒓, 𝑣) ∙ 𝐺(𝒙′ ; 𝒙)] = ∫ 𝑑𝒙′′ 𝑊
𝜕𝑟𝑖
𝜕𝑣𝑖 𝑖
где 𝛽(𝒓, 𝑣) тормозная способность воздуха или преграды.
̃ (𝒙′′ ; 𝒙) = 𝑊
̃ (𝒙′′ ) ∙ 𝑔(𝒗′′ → 𝒗), где 𝑊
̃ (𝒙′′ ) =
В уравнении (13) плотность вероятности 𝑊
̃ (𝒙′′ ; 𝒙) ∙ 𝑑𝒙, соответствует скачкообразному изменению скорости ПЭ, его поглощению или
∫𝑊
размножению. Поскольку в настоящей работе нет необходимости принимать во внимание
кратерный механизм проникания осколков и рикошет, а достаточно рассматривать только
̃ (𝒙), имеющая
аэродинамическое замедление (непрерывный процесс), то вероятность 𝑊
размерность обратной длины не равна нулю только на границе расчетной области фазового
пространства 𝑿.
С учетом сказанного уравнение (13) принимает вид однородного дифференциального
уравнения в частных производных первого порядка:
𝜕
𝜕
[𝜔𝑖 ∙ 𝐺(𝒙′ ; 𝒙)] +
[𝜔 ∙ 𝛽(𝒓, 𝑣) ∙ 𝐺(𝒙′ ; 𝒙)] = 0
𝜕𝑟𝑖
𝜕𝑣𝑖 𝑖
(14)
с нулевыми краевыми условиями на границе расчетной области фазового пространства 𝑿.
Фундаментальное решение уравнения (14) для потока вероятности в соответствии с
работой [11] записывается в виде:
𝒓 − 𝒓′
𝑣′
) 1
′
1
𝑑𝑣 ′′
|𝒓 − 𝒓 |
′)
′|
∙
∙ 𝛿(𝝎 − 𝝎 ∙ 2 ∙ 𝛿 (|𝒓 − 𝒓 − ∫
).
|𝒓 − 𝒓′ |2
𝛽(𝑣)
𝑣
𝛽(𝑣 ′′ )
𝛿 (𝝎 −
𝐺(𝒙′ ; 𝒙) =
(15)
𝑣
ЧИСЛЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ
Для численной реализации предложенной математической модели был выбран метод
статистических испытаний, реализованный в виде макета программы расчета в среде
инженерного проектирования MATLAB. Для демонстрации работоспособности решалась
задача оценки вероятности поражения модели БЛА осколочным полем 35-мм боеприпаса
PMD375 [5]. Рассчитывалась вероятность поражения БЛА ПЭ при угле подлета снаряда 60° к
горизонту со скоростью 800 м/с. Максимальный угол разлета осколков выбирался в
соответствии с данными работы [5]. В указанных пределах распределение вылетающих
осколков полагалось равномерным по телесному углу. Точка прицеливания располагалась в
горизонтальной плоскости ниже 41 м высоты полета БЛА (рисунок 3), ниже 21 м (рисунок 4) и
ниже11 м (рисунок 5). Разброс точки подрыва относительно точки прицеливания в
горизонтальной плоскости характеризовали двумерным нормальным распределением со
среднеквадратичными отклонениями 𝜎𝑥 = 10 м, 𝜎𝑧 = 10 м. БЛА считался пораженным, если
хотя бы один осколок пробивал уязвимый агрегат, т.е. в качестве схемы уязвимости было
выбрано логическое «или» по всем агрегатам, входящим в геометрическую модель цели.
Рисунки 1, 2 иллюстрируют расчетную геометрическую модель БЛА, состоящую из
отдельных агрегатов.
На рисунках 3 – 5 представлены линии уровня вероятности поражения БЛА в
зависимости от координаты точки подрыва прицеливания в горизонтальной плоскости.
Рисунок 1 – Геометрическая модель БЛА. Вид сбоку.
Рисунок 2 – Геометрическая модель БЛА. Вид спереди.
Рисунок 3
Рисунок 4
Рисунок 5
Обращает на себя внимание тот факт, что по мере приближения точки прицеливания к
БЛА вероятность поражения уменьшается из-за уменьшения числа агрегатов, попадающих в
осколочное поле. Это согласуется с рекомендациями разработчиков снаряда PMD375, о
которых упоминается в работе [5].
ВЫВОДЫ
Основным итогом следует считать разработанную на основе теории случайных
процессов вероятностную математическую модель формирования осколочного поля. На основе
интегро-дифференциального
уравнения
Фоккера-Планка-Колмогорова-Феллера
сформулированы уравнения для потока вероятностей осколочного поля. Получено решение
уравнения для потока вероятностей осколочного поля в рамках аэродинамического механизма
замедления поражающих элементов в воздухе и преградах.
Проведено макетирование программы расчета вероятностей поражающего действия
осколочного поля в рамках среды программирования MATLAB. Показана работоспособность
предложенной модели на примере оценки вероятностей поражения малоразмерного БЛА
осколочным боеприпасом малого калибра с программируемым подрывом.
Разработанная модель будет полезна при создании комплекса программных средств,
предназначенных
для
оценки
эффективности
преодоления
малоразмерными
БЛА
противовоздушной обороны противника.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Многофункциональные
комплексы
беспилотных
летательных
аппаратов:
монография/ А.В. Полтавский, А.А. Бурба, А.Е. Аверкин, В.В. Макаров, В.В.
Маклаков: под ред. Е.Я. Рубиновича. – М.: ИПУ РАН, 2015. – 204 с.
2. Ерёмин Г.В., Гаврилов А.Д., Назарчук И.И., Малоразмерные беспилотники – новая
проблема для ПВО. Журнал «Арсенал Отечества», февраль, 2015. –41
3. The NATO Industrial Advisory Group Study SG-170, The Engagement of Low, Slow and
Small Aerial Targets by GBAD, July, 2013, – 22 с.
4. Зубов В.Н. Разработка в США программируемых боеприпасов воздушного подрыва
для малокалиберной артиллерии. Известия Российской академии ракетных и
артиллерийских наук, 2018, № 1.
5. Зубов В.Н. Перспективные европейские малокалиберные боеприпасы воздушного
подрыва с программируемыми взрывателями. Известия Российской академии
ракетных и артиллерийских наук, 2017, № 4.
6. Средства поражения и боеприпасы: учебник / А.В. Бабкин [и др.]; под ред. В.В.
Селиванова. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. – 984 с.
7. Знаменский Е.А. Действие средств поражения и боеприпасов: справочное пособие /
Е.А. Знаменский. – СПб: Изд-во Балт. гос. техн. ун-та, 2010. – 95 с.
8. Физика взрыва / под ред. Л.П. Орленко. – 3-е изд., испр. – В 2 т. Т. 2. – 646 с.
9. Кэрт Б.Э., Знаменский Е.А., Павлов Я.О. Оценка могущества осколочного действия
боеприпаса с учетом его пространственного положения. Вопросы оборонной
техники.
Научно-технический
журнал.
Серия
16.
Технические
средства
противодействия терроризму.2015, выпуск 7-8 (85-86), с. 57-64.
10. Луценко Д.Н., Борисов Н.Н., Губанов М.С., Ковалев Д.Ю. Методика оценки
эффективности осколочно-фугасного действия средств поражения по живой силе в
средствах бронезащиты. Вопросы оборонной техники. Научно-технический журнал.
Серия 16. Технические средства противодействия терроризму.2012, выпуск 3-4, с. 7681.
11. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т.1 / В. Феллер. - Издво «Мир», 1964. – 498 с.
12. Скороход, А.В. Вероятность. Основные понятия. Структура. Методы. / А.В.
Скороход // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления. –
1989. – том 43, 145 с.
13. Гардинер К. Стохастические методы в естественных науках / К. Гардинер. – М.: Мир,
1986. – 527 с.
14. Владимиров В.С. Уравнения математической физики / В.С. Владимиров – изд. 4-е. –
М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. – 512 с.
Рисунки БЛА делать без пустого пространства в рисунках. Написать легенду. Например: 1 –
топливный бак, 2 – правый двигатель и т.п.