МИНОБРНАУКИ РОССИИ САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «ЛЭТИ» ИМ. В.И. УЛЬЯНОВА (ЛЕНИНА) Кафедра Физики ОТЧЕТ по лабораторной работе по дисциплине «Физика» ТЕМА: «ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ГЮЙГЕНСА – ШТЕЙНЕРА МЕТОДОМ ВРАЩАТЕЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ» Студент гр. 9181 Блинков И.В. Преподаватель Малышев М.Н. Санкт-Петербург 2019 ИССЛЕДОВАНИЯ Цель работы: Определить момент инерции эталонного диска методом вращательных колебаний, и экспериментально проверить теорему Гюйгенса-Штейнера. Приборы и принадлежности: Лабораторная установка, которая включает колебательную систему, вращающуюся в горизонтальной плоскости. Период колебаний T подвижной части колебательной системы, используемой в работе, связан с её моментом инерции I. При выведении системы из равновесия на угол ϕ. На шкив будет действовать возвращающий момент сил: 𝑀= 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑 𝑑2 (𝐹0 − 𝑘 ) − (𝐹0 + 𝑘 ) = − 𝑘ϕ 2 2 2 2 2 k-коэффициент жёсткости системы пружин d-диаметр шкива Собственная частота колебаний рассматриваемого маятника: 𝜔=√ 𝑑2𝑘 2𝐼 Если разместить грузы на металлическом профиле в центре шкива, то 𝑑 2 𝑘 𝑑 2 𝑘𝑇02 𝐼0 = = 8𝜋 2 2𝜔02 Если грузы разместить симметрично относительно оси вращения системы вдоль металлического профиля, то момент инерции станет равным: 𝑑 2 𝑘 𝑑 2 𝑘𝑇 2 𝐼= = 2𝜔 2 8𝜋 2 Отношение моментов инерции равно: 𝐼 𝜔0 2 𝑇 2 =( ) =( ) 𝐼0 𝜔 𝑇0 Если радиус цилиндров R, а их масса m, то при установке цилиндров на расстоянии r от оси вращательной системы её момент инерции равен: 1 𝐼 = 𝐼𝑑 + 2 ( 𝑚𝑅 2 + 𝑚𝑟 2 ) = 𝐼0 + 2𝑚𝑟 2 2 𝐼𝑑 -момент инерции диска 1 с металлическим профилем 1 2 𝑚𝑅 2 + 𝑚𝑟 2 - момент инерции одного цилиндра, рассчитанный согласно теореме Гюйгенса-Штейнера. ̅ 0 = 𝐼𝑑 + 𝑚𝑅 2 - постоянная часть момента инерции колебательной системы. ⊥ Таким образом получена следующая формула с использованием теоремы ГюйгенсаШтейнера. 𝐼0 = 2𝑚𝑟 2 𝑇 2 (𝑇 ) − 1 0 Жёсткость системы можно найти по следующей формуле: 8𝜋 2 𝐼0 𝑘= 2 2 𝑑 𝑇0 Практическая часть Таблица 1 № 0 1 2 3 4 r, см 0 6,0 10,0 14,0 18,0 t, с Таблица 2 m, г d, мм R, мм 200±2 138±2 16±2 𝜃 0,2 Обработка результатов 1. Рассчитаем параметры 𝑡𝑖̅ ; 𝑇𝑖 = 𝑡̅𝑖 ∕ 𝑛 ; 𝐼𝑂𝑖 1.1 𝑡0 = 2,876 с. 𝑇0 = 1.2 𝑡1 = 3,412 с. 𝑇1 = 1.3 𝑡2 = 4.03 с. 1.4 𝑡3 = 4.968 с. 𝑇3 = 1.5 𝑡4 = 5.99 с. 2,876 5 3,412 𝑇2 = 𝑇4 = 5 4.03 5 = 0,5752 с. = 0,6824 с. = 0,806 с. 𝐼02 = = 0,99 с. 𝐼03 = 4.968 5 5.99 5 𝐼01 = = 1.19 с. 𝐼04 = 2𝑚𝑟 2 𝑇 2 ( ) −1 𝑇0 2𝑚𝑟 2 𝑇 2 ( ) −1 𝑇0 2𝑚𝑟 2 𝑇 2 ( ) −1 𝑇0 2𝑚𝑟 2 𝑇 2 ( ) −1 𝑇0 = = = = 0,00144 0,36 0,004 0,96 0,008 1.89 0,013 4 = 0,004 кг*м2 = 0,0042 кг*м2 = 0,0042 кг*м2 = 0,0038 кг*м2 0.004 ≈ 0.0042 ≈ 0.0042 ≈ 0.0038 Теорема Гюйгенса-Штейнера – справедлива. 2. Рассчитаем постоянную часть момента инерции колебательной системы 𝐼0 = 𝐼̅0 ± 𝛥𝐼0̅ 2.1 Расположим результаты в возрастающем порядке 0,0038 0,004 0,0042 0,0042 2.2 Посчитаем 𝐼 ̅ 𝐼̅ = (0,0038+0,004+0,0042+0,0042) 4 = 0,00405 кг*м2 2.3 Определим СКО Среднего 𝑆𝐼 ̅ = 0,0002 кг*м2 2.4 Определим случайную погрешность. 𝑡𝑝,𝑁 = 3,2 𝛥𝐼 = 0,0002 ⋅ 3,2 = 0,00064 кг*м2 2.5 Рассчитаем полную погрешность результатов 𝛥𝐼̅0 = (0,004 ± 0,0001) кг*м2 3. Рассчитаем момент инерции 𝐼𝑑 диска (шкива) 3.1 𝐼 𝐼0 𝑇 2 𝑇 = 𝑇̅ = 0,91 с. = (𝑇 ) 𝑜 𝐼 𝐼0 0,91 2 = (0,57) = 2,56 𝐼 = 𝐼0 ⋅ 2,56 = 0,004 ⋅ 2,56 = 0,01 кг*м2 3.2 1 𝐼𝑑 = 𝐼 − 2 (2 𝑚𝑅 2 + 𝑚𝑟 2 ) 1 𝐼𝑑 = 0,01 − 2 (2 ⋅ 0,2 ⋅ 0, 162 + 0,2 ⋅ 0, 122 ) = 0,04 кг*м2 4. Рассчитаем жёсткость колебательной системы 𝑘= 4.1 Рассчитаем k 8𝜋 2 𝐼𝑜 𝑑2 𝑇𝑜2 8𝜋 2 ⋅0,004 𝑘 = 0,1382 ⋅0,5752 = 50 кг/с2 𝑘 = 𝑘̅ + ̅̅̅̅ 𝛥𝑘 4.2 Рассчитаем P= 95% 𝑘̅ = 𝑘 Так как измерение было одно Возьмём производные из формул: 8𝜋 2 𝑑𝑓 𝑎𝐼0̅ = 𝑑𝐼 ̅ | 0 𝐼0̅ ,𝑇0 𝑑𝑓 𝑎 𝑇0 = 𝑑𝑇 | 0 𝐼0̅ 𝑇0 = 𝑑2 ⋅𝑇 2 | 0 = 𝐼0̅ 𝑇0 = 12518,5 8𝜋 2 ⋅𝐼0̅ ⋅2 𝑑2 ⋅𝑇03 | 𝐼0̅ 𝑇0 = −174,3 ̅̅̅̅ = √(𝑎𝐼 ̅ 𝛥 𝐼 )̅ 2 + (𝑎 𝑇 ⋅ 𝛥𝑇0̅ )2 = 2,14 кг/с2 𝛥𝑘 0 𝑖 𝑘 = 𝑘̅ + ̅̅̅̅ 𝛥𝑘 = (50 ± 2,1) кг/с2 n 0 1 2 3 4 r (см.) 0 6 10 14 18 ̅̅̅̅ 𝑡0𝑛 (с.) 2.876 3.412 4.03 4.968 5.99 𝑇0 (с) 0,5752 0,6824 0,806 0,99 1,19 - 0,004 0,0042 0,0042 0,0038 𝐼𝑜𝑛 кг*м2 𝛥𝐼̅0 = (0,004 ± 0,0001) кг*м2 𝐼𝑑 =0,04 кг*м2 𝑘 = 𝑘̅ + ̅̅̅̅ 𝛥𝑘 = (50 ± 2,1) кг/с2 Вывод Проделав опыт по замеру времени колебаний, я исследовал как зависит период колебаний от того, как расположены грузы, относительно оси колебаний. Также было выявлено, что момент инерции везде примерно одинаковый, следовательно теорема Гюйгенса-Штейнера корректна для данного случая.
