Морозов ответы на вопросы 2

Ответы на вопросы №2
Выполнил студент ПМИ18
Морозов Сергей
1. Что такое произведение шифров?
Произведение шифров. Произведением шифров А1=(Х1,К1,У1,f1),
А2=(Х2,К2,У2,f2), У1Х2 называют шифр А=(Х1,К1хК2,У2,f), для которого
f(х,(1,2))=f2(f1(х,1),2), (1,2)К1хК2.
2. Какой шифр называют транзитивным?
Транзитивность шифра. Шифр А = (Х, К, У, f) называют транзитивным,
если при любых хХ и уУ найдется К, при котором f(х,)=у. Исходя
из введенных определений, легко доказывается, что для транзитивного
шифра
|Х||У||К|.
3. Что такое эндоморфный шифр?
Эндоморфный шифр - класс шифров (Х, К, У, f), для которых множество
открытых текстов Х совпадает с множеством криптограмм У. Для таких
шифров (Х, К, У, f) каждое преобразование f, К является биекцией Х
в Х (подстановкой на Х). Множество таких биекций обозначают через П
(К, f) = {f: К}, а сам эндоморфный шифр – через А = (Х, П (К, f)) и
называют подстановочной моделью эндоморфного шифра. При этом
под ключом этого шифра понимают биекцию П (К, f). Уравнение
шифрования записывают в виде х=у, уравнение расшифрования
записывают в виде -1у=х. Для эндоморфных шифров А1=(Х,П(К1,f1))
А2=(Х,П(К2,f2)) используют понятие произведения шифров А1А2=(Х,
П(К1,f1)П(К2,f2), где П(К1,f1) П(К2,f2)={12: 1П(К1,f1), 2П(К2,f2)}.
Очевидно, произведение эндоморфных шифров будет транзитивным
шифром, если таковым является хотя бы один из них.
4. Какие ключи называют эквивалентными?
Ключи , ` шифра (Х, К, У, f) называются эквивалентными, если при
любом хХ
f(х,)= f(х,`)
5. Что такое матрица переходных вероятностей шифра?
Вероятностной моделью шифра называется его алгебраическая модель с
заданными
дискретными,
независимыми
вероятностными
распределениями Р(Х)=(р(х), хХ), Р(К)=(р(), К) на множествах Х и
К.
Естественно, вероятностные распределения на Х и К индуцируют
вероятностное распределение Р(У)=(р(у),уУ) на У, совместные
распределения Р(Х,К), Р(Х,У), Р(У,К) и условные распределения
Р(Х/у)=(р(х/у), хХ) и Р(К/у)=(р(/у),К).
Вероятностной модели шифра соответствует так называемая матрица
(р(у/х)) размера |Х||У| переходных вероятностей шифра, составленная
из условных вероятностей р(у/х) – вероятности зашифрования
открытого текста х в криптограмму у при случайном выборе ключа К
в соответствии с Р(К).
6. Каким условиям равносильно условие совершенности шифра?
Свойство совершенности шифра (Х, К, У, f), у которого |Х|=|К|=|У|,
равносильно двум условиям:
1
, К;
|К|
1) р ()=
2) уравнение f(х,)=у однозначно разрешимо относительно К при
любых хХ и уУ.
Одним из примеров совершенных шифров является шифр гаммирования
Х=У=К=IL с равновероятным выбором ключа – гаммы. В качестве
совершенных шифров выступают следующие шифры простой замены с
множеством ключей К=S(I), где S(I) – симметрическая группа подстановок
на множестве I с равновероятным выбором ключа:
 Х= I – алфавит текста;
 X – множество всех слов алфавита I длины L не содержащих
одинаковых букв.
7. Опишите модель стационарного источника независимых символов
алфавита. В чем ее недостатки?
Стационарный источник независимых символов алфавита. В этой
модели предполагается, что вероятности сообщений полностью
определяются вероятностями отдельных символов алфавита:
n
Р(i(1),i(2),…, i(n))=  Р( х( j )  i( j )) и Р(х(j)=i)>0,
j 1
 Р(х(j)  i)  1 .
iI
Под открытым текстом понимается реализация последовательности
независимых испытаний в полиномиальной вероятностной схеме с
числом исходов |I|=m. Исходу взаимно однозначно соответствует
символ алфавита I. Эта модель позволяет разделить буквы алфавита на
классы высокой, средней и низкой частот использования. Ниже
приводятся буквы высокой частоты использования для некоторых
европейских языков (частота указана в процентах).
8. Опишите марковскую модель источника сообщений.
Стационарный источник марковски зависимых букв. Открытый текст такого
источника является реализацией последовательности испытаний, связанных
простой однородной цепью Маркова с m состояниями. Данная модель (как
и соответствующая цепь Маркова) характеризуется матрицей П переходных
вероятностей: П=||р(s/t)||, s,t из алфавита {0,1,…,m-1} и стационарным
распределением вероятностей Р=(р(1),…, р(m)) на алфавите (на состояниях
цепи Маркова). Вероятность случайного сообщения выражается формулой
n1
Р((i(1),i(2),…, i(n))=р(i(1))  р(i( j  1) / i( j ) .
j 1
Переходные вероятности и стационарное распределение удовлетворяют
условиям:
р(s/t)0, p(t) 0, t, s{0, 1, …, m-1};
m1
 р(s / t )  1 , t{0, 1, …, m-1};
s0
m1
p(s)=  р(t )p(s/t) , s{0, 1, …, m-1}.
t 0
В данной модели вероятность появления в тексте каждой последующей
буквы зависит от значения предыдущей буквы. Согласно модели, всякое
сообщение, содержащее где-либо запретную биграмму, имеет нулевую
вероятность. Стационарное распределение Р является решением
следующей системы линейных уравнений, записанных в матричной
форме: PП=Р.
9. Как вычисляется избыточность языка и в чем ее смысл?
Величину
D=
Н max  Н
Н
 1
Н max
Н max
называют избыточностью языка, а величину Н/Нmax – коэффициентом
сжатия, где Нmax=log2n, где n – число букв в алфавите, H( A( L ) )=
 P( AL )log 2 P( AL ) ,
AL
которую называют энтропией отрезка последовательности длины L.
Избыточность языка показывает, какую часть букв открытого текста
можно вычеркнуть до наступления нечитаемости сообщения. На основе
таких экспериментов и оценивают избыточность D открытых текстов,
откуда получают оценку Н
Н=(1-D)Нmax=(1– D)log2n,
n – мощность алфавита открытых текстов.
10.Что такое запретная m-грамма?
Примем следующую вероятностную модель. «Открытый текст» (далее
ОТ)  получается в результате выборки m-грамм алфавита I из
заданного вероятностного распределения на них: {Р(a1,a2,.,am),
(a1,a2,.,am)Im } – гипотеза Н0. Причем данные значения вероятностей
соответствуют вероятностям их появления в открытом тексте (они
получены путем маркировки достаточно длинного открытого текста).
Гипотеза Н1 – текст  получен выборкой его m-грамм из
вероятностного равномерного распределения на Im , вероятность
появления любой m-граммы есть 1/|I|m. Отберем h самых редких mграмм и назовем их запретными. Положим, р=р(з) – суммарная
вероятность их появления в ОТ. Остальные m-граммы назовем
незапретными. Положим, р(н)=1-р(з) – суммарная вероятность
незапретных m-грамм. Суммарная вероятность появления в случайном
тексте запретной m-граммы равна Q=h/|I|m. Критерий запретных mграмм состоит в поиске в последовательности =i1, i2, …, iL запретной
m-граммы. Для этого просматривается первая m-грамма i1, i2, …, im,
вторая – i2, …, im+1 и т.д. Если запретная m-грамма отсутствует в , то
принимается гипотеза Н0 – считается, что текст открытый. Если нашли
запретную m-грамму, то принимается гипотеза Н1 – текст считается
случайным. Всех m-грамм в тексте  есть L–(m–1). В случае m>1 m-
граммы очевидно зависимы. Расчеты ошибок критерия проводятся в
предположении их независимости.