Рекурсивни филтри При рекурсивните филтри всяка точка от изходния сигнал се определя от определни точки на входния сигнал и от получените по-рано стойности на изходния сигнал – фиг. 1. Диференчното уравнение на рекурсивните филтри , което определя как изходния сигнал е свързан с входния е: y n = b0 x n + b1 x n − 1 + ⋯ + bN x n − 𝑃 − −a1 y n − 1 − a2 y n − 2 − ⋯ − aQ y n − Q = Q P = bi x n − i − i=0 aj y n − j j=1 където: x[n] е входния сигнал; y[n] е изходния сигнал; bi са задаващите коефициенти на филтъра; aj са коефициенти на обратна връзка на филтъра; P е задаващия ред на филтъра; Q е реда за обратна връзка на филтъра. Фиг. 1 1 От рекурсивното уравнение се вижда, че няма коефициент b0. Това е така, защото той трябва да бъде умножен по y[n], която всъщност е търсената точка. В практиката може да се използват като брой не повече от една дузина рекурсивни коефициенти, защото филтъра става нестабилен (изхода непрекъснато се увеличава или колебае). Рекурсивните филтри дават възможност да се използва дълга импулсна характеристика, без да е необходимо да се изпълнява дълга конволюция. Те притежават голямо бързодействие, но имат малка ефективност и гъвкавост спрямо нерекурсивните филтри. Те се наричат още филтри с безкрайна импулсна характеристика, тъй като тяхната импулсна характеристика се състои от безкрайни експоненциални функции. 3 Лекция 7 Рекурсивни филтри 2 Връзката между рекурсивните коефициенти и изходната реакцията на филтъра се дава чрез zтрансформацията. Но този начин за определяне на коефициентите е доста сложен математически. Съществуват три начина за определяне на рекурсивните коефициенти без да е необходимо да се разглежда в подробности zпреобразуването. Ще се разгледат методи за определянето на коефициентите на няколко вида прости рекурсивни филтри и на по-сложния филтър на Чебишев за ниски и високи честоти. 4 1 Еднополюсен рекурсивен филтър Еднополюсните филтри са най-простите рекурсивни филтри. Те имат един полюс в предавателната функция, при което общия ѝ вид е: Yz b0 + b1 z −1 Hz = = Xz 1 + a1 z −1 а съответстващото диференчно уравнение: y n = b0 x n + b1 x n − 1 − a1 y n − 1 Еднополюсните филтри имат два варианта: - да нямат нула в предавателната функция, което съответства на наличие само на коефициент b0 в числителя на предвателната функция (b1=0) - да имат една нула, което съответства на наличие на коефициент b0 и b1. Еднополюсни филтри без нула в предавателната функция Тези филтри всъщност се явяват ниско-честотни филтри (НЧФ). Общият вид на предвателната функция е Yz b0 Hz = = Xz 1 + a1 z −1 а съответстващото диференчно уравнение: y n = b0 x n − a1 y n − 1 На фиг.2 е показан пример на еднополюсен филтър без наличие на нула в предвателната функция при съответни стойности на коефициентите за конкретния пример b0=0.15 и a1=0.85. 5 6 Предвателната фукция и диференчното уравнение са: b0 = 0.15 a1 = 0.85 Hz = Yz b0 0.15 = = −1 Xz 1 + a1 z 1 + 0.85 y n = 0.15x n − 0.85y n − 1 Реакцията на филтъра при стъпаловиден входен сигнал, т.е. преходната характеристика, е постепенно нарастваща крива до нивото на установено състояние. Този цифров рекурсивен филтър е аналогичен на аналогов филтър съставен от един кондензатор и един резистор. Фиг. 2 Лекция 7 Рекурсивни филтри 7 8 2 Еднополюсни филтри с нула в предавателната функция Тези филтри всъщност се явяват високо-честотни филтри (ВЧФ). Общият вид на предвателната функция е Yz b0 + b1 z −1 Hz = = Xz 1 + a1 z −1 а съответстващото диференчно уравнение: y n = b0 x n + b1 x n − 1 − a1 y n − 1 Предимството на рекурсивния метод е че могат да се създават много различни реакции, изменяйки само няколко параметъра. На на фиг.3 е показан еднополюсен филтър с една нула при съответни стойности на коефициентите за конкретния пример – b0=0.93, b1=-0.93 и a1=0.86. 9 Коефициентите на едноплюсен филтър без нула в предавателната функция, т.е. коефициентите на еднополюсен НЧФ, могат да се определят по зависимостите: b0=1-x a1=x а коефициентите на едноплюсен филтър с една нула в предавателната функция, т.е. коефициентите на еднополюсен ВЧФ, могат да се определят по: b0=(1+x)/2 b1=-(1+x)/2 a1=x 11 Лекция 7 Рекурсивни филтри b0 = 0.93 b1 = -0.93 a1 = 0.86 Фиг.3 10 Характеристиките на тези филтри се управляват от параметъра х, чието значение може да бъде между 0 и 1. Физически х изразява затихването между съседни проби. Например х=0.86 в примера на фиг.3, означава, че стойността на всяка точка от изходния сигнал е 0.86 от стойността на предишната точка. Колкото по-голямо е х, толкова по-бавно е затихването. Филтъра става нестабилен, ако х>1. Стойността на х може да бъде определена от желаната времеконстанта на филтъра. Така както R.C е времеконстанта на аналоговия филтър и е времето в секунди, за което изходния сигнал достига 63.2% от началната до крайната стойност на изменението му, а ако с d при цифровите филтри се означи броя точки, които са му необходими да достигне до същата стойност, тогава x=e-1/d. 12 3 Например затихване от точка до точка в стъпаловидната реакция x=0.86 съответства на времева константа d=6.68 точки. Има установено отношение и между х и граничната честота fc (определена при затихване -3dB) на филтъра На фиг.4 е показан пример за използване на еднополюсен рекурсивен филтър. На фиг.4а е показан първоначалния сигнал, който представлява гладка крива и дабавен в една област синусоидалния импулс с висока честота. На фиг.4b е показан сигналът след преминаването през НЧФ и ВЧФ. x e 2fc Коефициентите “а” и “b” могат да се намерят по три начина: - чрез избор на d и определяне на x=e-1/d. - чрез определяне на х спрямо честотата на срязване, която трябва да бъде в нормиран вид спрямо честота на дискретизация (т.е. в диапазона от 0 до 0.5) по x e 2fc - избор на х. 13 На фиг.5a и фиг.5b са показани характеристики на различни еднополюсни филтри. Първо са получени импулсните реакции при пропускане на делта функция през филтрите. А след това чрез БПФ импулсната характеристика се преобразува в честотна характеристика. По принцип импулсната характеристика е безкрайно дълга, въпреки това тя затихва до нивото на шума след 15-20 времеви константи. Например, когато времевата константа на филтъра d=6.63 точки, импулсната характеристика може да съдържа приблизително 128 точки. Фиг. 5 Лекция 7 Рекурсивни филтри 15 Фиг. 4 14 Главната особеност на еднополюсните рекурсивни филтри е че нямат много голяма способност да отделят една честотна лента от друга. С други думи те се справят добре във времевата област и лошо в честотната. Честотната характеристика може да бъде подобрена, ако разположим каскадно няколко стадия. Това може да бъде изпълнено по два начина. Първият начин е сигналът да бъде пропуснат през филтъра няколко пъти. Вторият начин е да се използва z-преобразуването, за да се намерят рекурсивните коефициенти, които обединяват каскадата в единствен стадии. 16 4 На фиг.5с са показани честотните характеристики при четири каскадни НЧФ. Въпреки, че понижаването е доста подобрено, то стръмността на характеристиката все още е ужасна. Теснолентови филтри В електрониката и ЦОС е необходимо да бъде изолирана тясна честотна лента от сигнал с по-широка честотна лента. Съществувеат два типа такива филтри – лентови и режекторни. На фиг.6 са показани честотните характеристики на такива филтри. Фиг. 5c Четири каскаден НЧФ е съпоставим с филтрите на Блекман и Гаус, но той притежава много по-голямо бързодействие. Коефициентите на четири каскадния НЧФ могат да бъдат определени по b0=(1-x)4 a1=4x; a2= –6x2; a3=4x3; a4= –x4. 17 Рекурсивните уравненията: коефициенти * лентов филтър а0=1-К a1=2(K-1)cos(2f) a2=R2-K b1=2Rcos(2f) b2=-R2 се определят по * режекторен филтър а0=К a1=-2(K-1)cos(2f) a2=K b1=2Rcos(2f) b2=-R2 където К и R се определят по уравненията: R 1 3BW K 1 2R cos(2f ) R 2 2 2 cos(2f ) 19 Лекция 7 Рекурсивни филтри Фиг. 6 а) и b) 18 Два параметъра трябва да бъдат избрани преди използването на тези уравнения: f – средната честота и BW, ширината на честотната лента. И двата параметъра се изразяват като дроб от честотата на дискретизация и затова трябва да бъдат в граници от 0 до 0.5. Както се вижда от фиг.6а лентовия филтър има сравнително големи опашки настрани от пика. Това може да бъде подобрено, ако свържем няколко филтъра каскадно. Уравнението на филтъра е дълго и по-лесно е да се програмира няколко пъти сигнала да се пропуска последователно през един и същ филтър, отколкото да се търсят рекурсивните коефициенти на обединената каскада. На фиг.6b е показан режекторен филтър. Най-тясната лента която може да се получи с единичен филтър е около 0.0003 от честотата на дискретизация. 20 5 На фиг.6с е показна реакция на стъпално въздействие на режекторния филтър. Вижда се, че има значително пререгулиране и пулсации, но с малки амплитуди. Това позволява да няма значителни изменения на формата на пропусканите вълни. Фазочестотна характеристика Има три типа фазочестотни характеристики (ФЧХ), които може да има един филтър: - нулева фаза - линейна фаза - нелинейна фаза. За всеки от филтрите на фиг.7 са показани по три характеристики – импулсната характеристика, ФЧХ и реакцията на правоъгълен импулс. Фиг. 6c 21 Както е показано на фиг.7а и фиг. 7b, филтър с нулева фаза е характерен при импулсна характеристика, която се явява симетрична около нулевата точка. Фиг. 7 а, b, c Формата на импулсната характеристика няма значение, а само това че е всъщност се явява четна функция. Недостатък на филтъра с нулева фаза е това, че използва отрицателни индекси, които могат да бъдат неудобни при 23 програмиране. Лекция 7 Рекурсивни филтри 22 Импулсната характеристика, показана на фиг.7d идентична на тази от фиг.7а, само че е преместена надясно, така че да се използват само положително номера на точките. Импулсната характеристика все още е симетрична, само че оста на симетрия е преместена. В този случай фазата е линейна, като наклона на правата е пропорционален на преместването. Така както преместването в импулсната характеристика води само до идентично преместване на изходния сигнал, за повечето цели на филтрите линейната фаза е еквивалентна на нулева фаза. Фиг. 7 d, e, f 24 6 На фиг.7g е показана импулсна характеристика, която не е симетрична между лявата и дясната половина. Съответно фазата не е права линия – фиг.7h, т.е. филтъра има нелинейна фаза. За някои приложения е важно филтъра да притежава нулева или линейна фаза. Филтрите с крайна импулсна характеристика (нерекурсивните филтри) имат нулева или линейна фаза, понеже импулсната характеристика притежава симетрия. Различен е въпроса при филтрите с безкрайна импулсна характеристика (рекурсивните филтри), тъй като при тях се определят рекурсивните коефициенти, а не е ясна импулсната характеристика. Обикновено импулсната характеристика на рекурсивните филтри е несиметрична и затова те притежават нелинейна фаза. Фиг. 7 g, h, i 25 Аналоговите филтри имат също нелинейна фаза. Например имаме елктронна схема съставена от резистори и кондензатори и ако входа е 0, то и изхода е 0. Когато подадем импулс обаче кондензаторите бързо се зареждат до определена стойност и после почват да се разреждат през резисторите по експоненциален закон. Импулсната характеристика е комбинация от различните затихващи показателни функции и тя не може да бъде симетрична, защото е била 0 преди импулса, а затихащите експоненти никога не могат да достигнат 0. При аналоговите филтри проблема с фазата е решен с филтъра на Бесел, но той не може да достигне ефективността на цифоривте филтри. 27 Лекция 7 Рекурсивни филтри 26 При цифровите филтри съществува лесен начин да получим нулева фаза, който е показан на фиг.8. Входният сигнал, който ще се филтрира е показна на фиг.8а. На фиг.8b е показан сигнала след преминаване през еднополюсен НЧФ. Тъй като филтъра е нелинейно-фазов, то левия и десния фронт не изглеждат еднакво (представляват обърнати версии един на друг). При рекурсивения филтър всяка точка с еопределя от ляво на дясно, като изчисляването започва от 0вата точка и върви към последователно до последната. Фиг. 8 а и b 28 7 Нека се приложи обратен подход – определянето на точките да става от дясно наляво, т.е. всяка точка от изходния сигнал да се определя от входните и от изходните точки, като се работи от дясно на търсената точка. Това означава, че рекурсивното уравнение ще добие вида y[n]=b0x[n]+b1x[n+1]+b2x[n+2]+b3x[n+3]+ +…+a1y[n+1]+ a2y[n+2]+ a3y[n+3]+… На фиг.8с е показан резултатът от тази обратна филтрация. Филтрираният сигнал има лява и дясна част, които не изглеждат еднакво. Така че, ако се филтрира напред и после назад, то се получава сигнал с еднакви лява и дясна част – показан на фиг.8d., т.е. в случая обединения филтър има нулева фаза. Така че всеки рекурсивен филтър може да бъде преобразуван да бъде с нулева фаза с тази методика на двупосочно филтриране. Единствените недостатъци при тази подобрена ефективност е че времето се увеличава и програмирането се усложнява. Фиг. 8d Фиг. 8 c 29 30 Филтри на Чебишев Как да се намерят импулсната и честотната характеристики на целия филтър. Амплитудно честотната характеристика е еднаква и за двете направления, а фазата е противоположна. Когато двете направления се обединят амплитудно честотната характеристика се повдига на квадрат, а фазата се сумира, следователно става 0 – това е операция умножение в честотната област, която съответства на конволюция във времевата област. Импулсната характеристика на рекурсивните филтри е безкрайна, но тя може да бъде отрязана когато е затихнала до нивото на шума и при необходимост да се допълни с нули наляво и надясно. 31 Лекция 7 Рекурсивни филтри Филтрите на Чебишев се използват, за да отделят една честотна лента от друга, т.е. те са добри в честотната област . Въпреки, че не могат да се сравнят по ефективността с windowed-sinc филтрите, те са достатъчно добри за редица приложения. Предимство на филтрите на Чебишев е тяхното бързодействие, обикновено повече от един порядък по-бързо от windowed-sinc филтрите. Това е така, защото изпълнението на рекурсивния алгоритъм е по-бързо от изпълнението на конволюцията. Проектирането на тези филтри се основава на z-преобразуването. При филтрите на Чебишев се използва математическа стратегия за постигане на по-бърз спад на честотната характеристика, но с позволение за наличие на пулсации (неравномерности) в нея. Аналоговите и цифровите филтри, които използват тази стратегия се наричат филтрите на Чебишев. 32 8 На фиг.9 са показана честотни характеристики на НЧФ на Чебишев с пулсации в честотната лента на пропускане съответно 0%, 0.5% и 20%. Съществуват три вида филтри на Чебишев: - филтрите от първи тип на Чебишев, които всъщност се наричат така, защото имат пулсации само в лентата на пропускане - филтрие от втори тип на Чебишев – имат пулсации в лентата на задържане и тези филтри рядко се използват. - елипсовиден филтър, който има пулсации в лентата на пропускане и лентата на задържане. Този филтър има най-бързия спад от пропусканите до задържаните честоти при зададен брой полюси, но е много труден за синтез. Фиг. 9 При увеличаване на пулсациите прехода става постръмен. Трябва да се търси оптимално за целите съотношение между пулсациите и наклона. Когато пулсациите са 0% филтъра се нарича филтър с максимално плоска характеристика или филтър на Бутерворт. Пулсации 0.5% са добър избор за много приложения на цифрови филтри. Ефективността на филтъра в този случай е близка до аналоговите филтри. 33 Проектиране на филтъра Трябва да изберем четири параметъра за да проектираме филтъра на Чебишев: 1. какъв ще бъде филтъра – НЧФ или ВЧФ 2. срязващата честота 3. процент на пулсациите 4. броя полюси Полюсите – това са корените на знаменателя на предавателната функция на филтъра. Рекурсивните филтри се проектират първо като се избере положението на полюсите и нулите (нулите са корените на числителя на предавателната функция и нулите и полюсите могат да бъдат реални или комплексни числа ) и след това определяне на рекурсивните коефициенти. Например филтрите на Бутерворт имат полюси, които са разположени в кръг в комплексната равнина, а полюсите на филтрите на Чебишев са разположени по елипса. Колкото повече е броя на 35 полюсите, толкова по-добре работи филтъра. Лекция 7 Рекурсивни филтри 34 На фиг.10 са показани честотни характеристики на няколко филтри на Чебишев с пулсации 0.5%. Фиг. 10 36 9 Срязващата честота на всеки филтър от фи. 10 се измерва където нивото на амплитудата е 0.707, т.е. при затихване -3dB. Филтрите с честоти на срязване около 0 или 0.5 имат по-стръмен наклон на прехода между лентите на пропускане и задържане, отколкото ако срязващата честота е в средата на диапазона. Например двуполюсен филтър с fc=0.05 има приблизително същия наклон както четириполюсен филтър с fc=0.25. Т.е. когато срязващата честота е около 0 или 0.5 тогава може да се използва филтър с по-малък брой полюси. 37 Пререгулиране Филтрите на Бутерворт и на Чебишев имат пререгулиране от 5% до 30% в реакцията на стъпално въздействие, което нараства с увеличаване броя на полюсите. На фиг.11а са показани примерни реакции на стъпална функция на два филтъра на Чебишев. На фиг.11b е показано нещо, което е уникално за цифровите филтри и няма подобие в аналоговите – количеството пререгулиране зависи в малка степен от срязващата честота на филтъра. Фиг. 11 Лекция 7 Рекурсивни филтри 39 Има два начина да се определят рекурсивните коефициенти без да се използва z-преобразуване. Единия начин е да се използват публикувани в литературата таблици. Необходимо броя полюси да се избере да бъде четен. Има два проблема при проектирането на филтри с използването на таблиците. Първо таблиците имат ограничен набор параметри – предлагат коефициенти само само за определени срязващи честоти; броя полюси е ограничен най-често до максимум шест полюсен филтър и няма никакъв избор на пулсации. Без възможности да се подбират параметрите от непрекъснат диапазон няма начин да се оптимизира филтъра. Втория проблем е че трябва коефициентите ръчно да се задават в програмата и се губи време при търсене на алтернативни варианти на филтър. За да се избегнат тези два проблема следва да се използва z38 преобразуване при проектиране на тези филтъри. Стабилност Основното ограничение при филтрите, базирани на конволюцията е времето на изпълнение, но можем да постигнем каквито характеристики желаем. Докато при рекурсивните филтри е точно обратно. Те работят много бързо, но имат ограничена ефективност. Например, ако се разгледат четири полюсен НЧФ, с пулсации 0.5% и срязваща честота 0.01, като рекурсивните коефициенти могат да бъдат определени по таблици в литературата или чрез zпреобразуване и имат стойности: b0= 1.391351E-10 b1= 8.348109E-10 a1= 5.883343E+00 b2= 2.087027E-09 a2= -1.442798E+01 b3= 2.782703E-09 a3= 1.887786E+01 b4= 2.087027E-09 a4= -1.389914E+01 b5= 8.348109E-10 a5= 5.459909E+00 40 b6= 1.391351E-10 a6= -8.939932E-01 10 Ако се разгледат “а” коефициентите – те имат стойности около 10, като точността е приблизително 10 -6 (=0.00001) от стойността. Ако разгледаме коефициентите “b” – тяхното значение е приблизително 10-9. Така че приноса на входния сигнал ще бъде 1000 пъти по-малък от шума от първоначално изчислените точки на изходния сигнал. Този филтър няма да работи. Иначе казано закръглянето на шума ограничава броя полюси, който може да се използва. Броят на полюсите ще зависи от пулсациите и това дали е НЧФ или ВЧФ. Приблизително броя полюси може да се определи по таблицата Срязваща 0.02 0.05 0.10 0.25 0.40 0.45 0.48 честота Максимален 4 6 10 20 10 6 4 брой полюси 41 Лекция 7 Рекурсивни филтри Има два начина за увеличаване на максималния брой полюси, който може да се използва. Например да се използва двойна прецизност – това означава да се използва два пъти по-голяма точност при изчисленията. Вторият метод се състои в това да се осъществи филтър на стадии. Например шест полюсен филтър може да бъде реализиран на три стадии всеки с по два полюса. Тогава трябва да се намерят коефициентите на три двуполюсни филтъра, т.е. на всеки стадии поотделно. 42 11
