МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ Кафедра Геодезии Практическая работа №1 по дисциплине: «Современные методы контроля и обработки измерений» На тему: «Уравнивание нивелирной сети по методу наименьших квадратов рекурентным способом» Клыпин И.А. Исходные данные: Рисунок 1 - схема нивелирной сети Таблица 1 - Высоты реперов № M21 M22 M23 H, м 272,214 271,774 265,991 Таблица 2 - Измеренные превышения № h, м S, км 1 5,067 13,8 2 4,617 16,3 3 -0,096 13,6 4 -5,194 13,5 5 -0,187 19,3 6 4,453 14,8 7 -6,549 10,1 10 7,699 15,7 1. Параметрические уравнения связи в нивелирных сетях имеют вид: разность отметок начального и конечного пунктов хода — и для уравненных значений искомых и измеренных величин их можно переписать как: ̅̅̅ ℎ1 = 𝐻𝑅𝑝3 − 𝐻𝑀3 ̅̅̅ ℎ2 = 𝐻𝑅𝑝1 − 𝐻𝑅𝑝3 ̅̅̅ ℎ3 = 𝐻𝑅𝑝4 − 𝐻𝑅𝑝3 ̅̅̅ ℎ4 = 𝐻𝑅𝑝4 − 𝐻𝑅𝑝1 ̅̅̅ ℎ5 = 𝐻𝑅𝑝2 − 𝐻𝑅𝑝1 ̅̅̅ ℎ6 = 𝐻𝑅𝑝2 − 𝐻𝑅𝑝4 ̅̅̅ ℎ7 = 𝐻𝑀1 − 𝐻𝑅𝑝1 ̅̅̅ ℎ8 = 𝐻𝑀2 − 𝐻𝑅𝑝4 Параметрические уравнения поправок будут иметь вид: 𝑉1 = 𝛿𝐻𝑅𝑝3 + 𝑙1 𝑉2 = 𝛿𝐻𝑅𝑝1 − 𝛿𝐻𝑅𝑝3 + 𝑙2 𝑉3 = −𝛿𝐻𝑅𝑝3 + 𝛿𝐻𝑅𝑝4 + 𝑙3 𝑉4 = −𝛿𝐻𝑅𝑝1 + 𝛿𝐻𝑅𝑝4 + 𝑙4 𝑉5 = −𝛿𝐻𝑅𝑝1 + 𝛿𝐻𝑅𝑝2 + 𝑙5 𝑉6 = 𝛿𝐻𝑅𝑝2 − 𝛿𝐻𝑅𝑝4 + 𝑙6 𝑉7 = −𝛿𝐻𝑅𝑝1 + 𝑙7 𝑉8 = −𝛿𝐻𝑅𝑝4 + 𝑙8 Матрица А примет вид: А= -1 -1 0 1 1 0 1 0 0 0 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 1 [−] Будем полагать априорные значения отметок определяемых пунктов равными средней отметке в сети. xj(0) =Hj(0)=( 272,214м+ 271,774м+ 265,991м)/3= 269,993 м Обратные веса определения этих априорных значений назначим равными 108, тогда его обратная весовая матрица будет равна: (0) 𝑄𝑋 = 108 𝐸 (0) 𝑄𝑋 100000000 0 0 0 0 100000000 0 0 0 0 100000000 0 0 0 0 100000000 Учитывая первое измерение, запишем для него исходное уравнение связи, соответствующее ему параметрическое уравнение поправок, векторстроку коэффициентов и вычислим свободный член этого уравнения: 𝑦1 = ̅̅̅ ̅̅̅ ℎ1 = 𝐻𝑅𝑝3 − 𝐻𝑀3 𝑉1 = 𝛿𝐻𝑅𝑝3 + 𝑙1 A1 -1 0 0 0 Последовательно реализуя рекуррентные формулы, получим: (0) 𝑙1 = 𝐻𝑅𝑝3 − 𝐻𝑀3 − ℎ1 l -2,846 м (0) 𝑍1 = 𝐴1 ∙ 𝑄𝑋 0 0 Z 100000000 𝑁1 = 𝑞1 + 𝐴1 ∙ 𝑍1𝑇 N 100000014 ΔX1 = − 𝑍1𝑇𝑙1 м 𝑁1 ΔX1 (м) -2,846 0,000 0 0,000 0,000 x1(1)=HRp1(1)= 269,993 м+(-2,846м)=267,147 м x2(1)=HRp2(1)= 269,993 м+0м=269,993м x3(1)=HRp3(1)= 269,993 м+0м=269,993м x4(1)=HRp4(1)= 269,993 м+0м=269,993м Ф(0) = 0 м2 Ф =Ф 𝑙12 + 𝑁1 (1) 𝑄𝑋 (0) 𝑄𝑋 𝑍1𝑇 ∙ 𝑍1 − 𝑍1 (1) = (0) (1) 𝑄𝑋 100000000 0 0 0 0 100000000 0 0 0 0 11,79999861 0 0 0 0 100000000 Полученные значения отметок определяемых пунктов, обратная весовая матрица их вычисления и квадратичная форма соответствуют ситуации, когда при уравнивании сети учтено лишь одно, первое измерение. Добавим теперь второе измерение. Запишем для него исходное уравнение связи, соответствующее ему параметрическое уравнение поправок, вектор-строку коэффициентов и вычислим свободный член этого уравнения: 𝑦2 = ̅̅̅ ̅̅̅ ℎ2 = 𝐻𝑅𝑝1 − 𝐻𝑅𝑝3 𝑉2 = 𝛿𝐻𝑅𝑝1 − 𝛿𝐻𝑅𝑝3 + 𝑙2 A2 ид 0 A2 0 1 0 -1 𝑙2 = (1) 𝐻𝑅𝑝1 0 − (1) 𝐻𝑅𝑝3 − ℎ2 l 0,010 м (1) 𝑍2 = 𝐴2 ∙ 𝑄𝑋 0 Z -1,4E+01 0 0 0 𝑁2 = 𝑞2 + 𝐴2 ∙ 𝑍2𝑇 N 30,09999809 ΔX2 = − 𝑍2𝑇𝑙2 м 𝑁2 ΔX2 (м) 0,005 0,000 0,000 0,000 x1(2)=HRp1(2)=269,993 м+0,005м=267,152 м x2(2)=HRp2(2)= 269,993 м+0м=267,993м x2(2)=HRp3(2)= 269,993 м+0м=267,993м x2(2)=HRp4(2)= 269,993 м+0м=267,993 м (2) Ф (1) =Ф 𝑙22 + 𝑁2 Ф, м2 3,46E-06 (2) 𝑄𝑋 = (1) 𝑄𝑋 𝑍2𝑇 ∙ 𝑍2 − 𝑍2 (2) 𝑄𝑋 7,47 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00E+08 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00E+08 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00E+08 Аналогичные вычисления производятся для последующих измерений: Третье измерение: 𝑦3 = ̅̅̅ ̅̅̅ ℎ3 = 𝐻𝑅𝑝4 − 𝐻𝑅𝑝3 𝑉3 = −𝛿𝐻𝑅𝑝3 + 𝛿𝐻𝑅𝑝4 + 𝑙3 a3= (0 -1 0 0 ) l3= 𝐻𝑅𝑝4 − 𝐻𝑅𝑝3 − ℎ3 =2,317 м Z3=Qx(2)a3= (-11,80 0 -11,80 108) N3 = q3 +a3Z3T= 100000014 ΔX3 =− 𝑍3𝑇𝑙3 𝑁3 м ΔX3 (м) 0,000 2,317 0,000 0,000 x1(3)=HRp1(3) =267,152 м+0м=267,152 м x2(3)=HRp2(3) =269,993м+2,317м=272,310м x2(3)=HRp3(3) =269,993м+0м=269,993м x2(3)=HRp4(3) =269,993м-0,009м=269,993м Ф(3)=Ф(2)+l32/N3=1,6∙10-7 м2 Qx 7,47 0 0,00 0,00 0 1,36E+01 0 0 0,00 0,00 0 0 1,00E+08 0,00 0,00 1,00E+08 Четвертое измерение: 𝑦̅4 = ̅̅̅ ℎ4 = 𝐻𝑅𝑝4 − 𝐻𝑅𝑝1 𝑉4 = −𝛿𝐻𝑅𝑝1 + 𝛿𝐻𝑅𝑝4 + 𝑙4 a 1 -1 0 0 l4= 𝐻𝑅𝑝4 − 𝐻𝑅𝑝1 − ℎ4 =0.036 м 7,47E+00 T N4 = q4 +a4Z4 = 34.573 Z -1,36E+01 0,00E+00 0,00 ΔX4 =− 𝑍4𝑇𝑙4 𝑁4 м ΔX4 (м) -0,008 0,014 0,000 0,000 x2(4)=HRp1(4) =267,152 м+0.008м=267,144м x2(4)=HRp2(4) =272,310м+0,014м=272,324м x2(4)=HRp3(4) =269,993м+0м=269,993м x2(4)=HRp4(4) =269,993м-0,001м=269,993м Ф(4)=Ф(3)+l42/N4=3,6∙10-7 м2 Qx 22,20 0 11,80 17,13 0 100000000 0 0 11,80 0 11,80 11,80 17,13 0 11,80 21,36 Пятое измерение: 𝑦5 = ̅̅̅ ̅̅̅ ℎ5 = 𝐻𝑅𝑝2 − 𝐻𝑅𝑝1 𝑉5 = −𝛿𝐻𝑅𝑝1 + 𝛿𝐻𝑅𝑝2 + 𝑙5 a 1 0 -1 0 l5= 𝐻𝑅𝑝2 − 𝐻𝑅𝑝1 − ℎ5 =-2,662 м z -5,86 -2,94 -25,16 N5 = q5 +a5Z5T= 39,96 ΔX5 =− 𝑍5𝑇𝑙5 𝑁5 м ΔX5 (м) 0,000 0,000 -2,662 0,00 0,000 x2(5)=HRp1(5) =267,144м+0м=267,144 м x2(5)=HRp2(5) =272,324м+0м=272,324м x2(5)=HRp3(5) =269,993м-2,662м=267,331м x2(5)=HRp4(5) =269,993м+0м=269,993м Ф(5)=Ф(4)+l52/N5=3,6∙10-7 м2 Qx 5,86 2,94 5,86 0,00 2,94 8,25 2,94 0,00 5,86 2,94 25,16 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00E+08 Шестое измерение: 𝑦6 = ̅̅̅ ̅̅̅ ℎ6 = 𝐻𝑅𝑝2 − 𝐻𝑅𝑝4 𝑉6 = 𝛿𝐻𝑅𝑝2 − 𝛿𝐻𝑅𝑝4 + 𝑙6 a 0 0 -1 0 l6=𝐻𝑅𝑝2 − 𝐻𝑅𝑝4 − ℎ6 =-0.010 м z -5,86 -2,94 -25,16 T N6 = q6 +a6Z6 = 39,96 ΔX6 =− 𝑍6𝑇𝑙6 𝑁6 м ΔX6 (м) -0,001 -0,001 -0,006 0,000 x2(6)=HRp1(6) =267,144 м-0.001м=267,142 м x2(6)=HRp2(6) =272,324м-0.001м=272,323м 0,00 x2(6)=HRp3(6) =267,331м-0,006м=267,325м x2(6)=HRp4(6) =269,993м+0.000м=269,993м Ф(6)=Ф(5)+l62/N6=5,6∙10-6 м2 Qx 5,00 2,51 2,17 0,00 2,51 8,03 1,09 0,00 2,17 1,09 9,32 0,00 0,00 0,00 0,00 1,0E+08 Седьмое измерение: 𝑦7 = ̅̅̅ ̅̅̅ ℎ7 = 𝐻𝑀1 − 𝐻𝑅𝑝1 𝑉7 = −𝛿𝐻𝑅𝑝1 + 𝑙7 а 1 0 0 -1 l7= 𝐻𝑀1 − 𝐻𝑅𝑝1 − ℎ7 =0.013 м 5,00 2,51 z 2,17 -1,00E+08 N7 = q7 +a7Z7T=100000015,10 ΔX7 =− 𝑍7𝑇𝑙7 𝑁7 м ΔX7 (м) 0,000 0,000 0,000 3,698 x2(7)=HRp1(7) =267,142 м+0.000м=267,142 м x2(7)=HRp2(7) =272,323м+0.000м=272,323м x2(7)=HRp3(7) =267,325м+0,000м=267,325м x2(7)=HRp4(7) =269,993м+3,698м=273,691м Ф(7)=Ф(6)+l72/N7=10-5 м2 Qx 5,00 2,51 2,17 5,00 2,51 8,03 1,09 2,51 2,17 1,09 9,32 2,17 5,00 2,51 2,17 15,10 Восьмое измерение: 𝑦8 = ̅̅̅ ̅̅̅ ℎ8 = 𝐻𝑀2 − 𝐻𝑅𝑝2 𝑉8 = −𝛿𝐻𝑅𝑝4 + 𝑙8 a 0 0 0 1 2,17 15,10 l8= 𝐻𝑀2 − 𝐻𝑅𝑝2 − ℎ8 =0.001 м z 5,00 2,51 T N8 = q8 +a8Z8 = 30,80 ΔX8 =− 𝑍8𝑇𝑙8 𝑁8 м ΔX8 (м) 0,000 0,000 0,000 -0,001 x2(8)=HRp1(8) =267,142 м+0.000м=267,142 м x2(8)=HRp2(8) =272,323м+0.000м=272,323м x2(8)=HRp3(8) =267,325м+0,000м=267,325м x2(8)=HRp4(8) =273,691-0.001м=273,690 м Ф(8)=Ф(7)+l82/N8=1.1∙10-5 м2 Qx 4,19 2,10 1,82 2,55 2,10 7,83 0,91 1,28 1,82 0,91 9,17 1,11 2,55 1,28 1,11 7,70 Полученные при учёте восьмого измерения значения отметок определяемых пунктов следует считать окончательными: (8) 𝐻𝑅𝑝1 = 𝐻𝑅𝑝1 = 267,142 м (8) 𝐻𝑅𝑝2 = 𝐻𝑅𝑝2 = 272,323 м (8) 𝐻𝑅𝑝3 = 𝐻𝑅𝑝3 = 267,325 м (8) 𝐻𝑅𝑝4 = 𝐻𝑅𝑝4 = 273,690 м Оценка точности: Средняя квадратическая ошибка единицы веса будет вычисляться по формуле Бесселя: 𝜇=√ Ф(8) 1.1 ∙ 10−5 √ = ∙ 1000 = 3,3 мм 𝑛−𝑘 8−4 𝑛 − 𝑘 = 𝑟 – число избыточных измерений. Она же будет равна средней квадратической ошибке измерения превышения по ходу длиной 1 км, так как именно его мы рассматривали в качестве единицы веса: 𝑚км = 𝜇 = 3,3 мм Найдём теперь средние квадратические ошибки вычисленных отметок определяемых пунктов как: 𝑚𝑥̃𝑗 = 𝑚км ∙ √(𝑄𝑋̅ )𝑗𝑗 Их расчётные значения будут равны: 𝑚𝐻̅𝑅𝑝1 = 3,3мм ∙ √4,19 = 6,7 мм 𝑚𝐻̅𝑅𝑝2 = 3,3мм ∙ √7,83 = 9,1 мм 𝑚𝐻̅𝑅𝑝3 = 3,3мм ∙ √9,17 = 9,9 мм 𝑚𝐻̅𝑅𝑝4 = 3,3мм ∙ √7,70 = 9,0 мм