Загрузил dasha49kosty

отчет по лабораторной работе 2

реклама
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего
образования
«Алтайский государственный технический университет им. И.И. Ползунова»
Факультет информационных технологий
Кафедра высшей математики
Отчет по лабораторной работе №2 «Множественная регрессия»
Выполнил студент группы ЭБ-91
Проверила кандидат
физико-математических наук,
доцент Никифорова Елена Геннадьевна
БАРНАУЛ 2022
Таблица 1 – Исходные данные
Объем
реализации
некоторого
продукта
фирмы, шт.
Расходы
Средняя
на
Цена
цена
Время
рекламу, товара,
товара у
Индекс
реализации,
сотни
тыс.
конкурентов, потребительских
дни
руб.
руб.
тыс. руб.
расходов, %
y
x1
x2
x3
x4
x5
164
40,5
43,9
53,9
55,9
138,9
175
41
44,7
54,7
56,2
137,3
186
229
312
408
470
483
405
405
359
345
369
383
402
422
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
43,7
48,6
48,1
49,6
54,6
58,6
59,7
50,5
48,5
46,4
52,5
45,7
45,7
45,6
54,1
54,4
54,4
54,9
57
51,9
54,7
55,8
55,2
55
54,3
54,6
54,9
54
55,7
55,1
54,9
56,9
59,1
54,7
57,1
55,7
55,9
57,2
55,3
55,1
56,6
55,1
140,1
142,4
143
145,9
146,3
147,4
147,2
148,1
149
149,6
149,2
150,7
151,2
151,8
x1
x2
y
y
x1
x2
X3
x4
x5
1
0,672906402
0,638549359
0,133217706
0,226319338
0,81601787
X3
x4
1
0,08842367
1
0,08702503 -0,0611306
1
-0,0523699 0,21053898 0,7231328
1
0,95929034 0,26217839 0,1163371 0,0307844
x5
1
Рисунок 1 – Таблица парных коэффициентов корреляции
Отбор факторов в модель начинаем с построения таблицы парных коэффициентов
корреляции.
Вкладка => Данные => Анализ данных => корреляция => входной интервал вместе с
названиями => метки => OK.
Рассматриваем правую часть таблицы, ищем числа > = 0,7. Убираем те переменные, у
которых связь с «у» слабее, т.е. показатель связи будет меньше 0,7 , что смотрим по левой части
таблицы. Можем взять в конечную модель тот фактор, у которого показатель связи будет больше
0,7.
В таблице это Х5, так как он равен 0,816018. Сделаем проверку факторов еще по другим
критериям отбора.

i – стандартизированные коэффициенты регрессии показывают, на сколько
1)
сигм (средних квадратических отклонений) в среднем изменится результат Y, если
соответствующий фактор Хi изменится на одну сигму при неизменном среднем уровне других
факторов.

Найдем стандартизованные коэффициенты  i для каждого Хi по формуле:  i  bi xi , где
y
b1 – коэффициент регрессии, 𝜎𝑥𝑖 , 𝜎𝑦 – стандартные отклонения.
Общий
ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный0,943772443
R
R-квадрат
0,890706424
Нормированный0,836059636
R-квадрат
Стандартная ошибка
41,64961661
Наблюдения
16
Дисперсионный анализ
3,3258345
df
SS
MS
F Значимость F
Регрессия
5 141371,532 28274,3064 16,299337 0,0001585
Остаток
10 17346,9056 1734,69056
Итого
15 158718,438
Коэффициенты
Стандартная ошибка
t-статистика
P-ЗначениеНижние 95%
Верхние 95%
Нижние 95,0%
Верхние 95,0%
Y-пересечение -4154,02406 1106,70233 -3,7535152 0,003762 -6619,911 -1688,14 -6619,91 -1688,14
x1
-13,5305286 10,3263642 -1,3102897 0,2193946 -36,5391 9,478045 -36,5391 9,478045
x2
6,754163395 2,97830165 2,26779023 0,0467458 0,1180938 13,39023 0,118094 13,39023
X3
-1,72863464 16,1338898 -0,1071431 0,9167945 -37,67718 34,21991 -37,6772 34,21991
x4
8,803927691 15,1010502 0,58300102 0,5728043 -24,84331 42,45116 -24,8433 42,45116
x5
30,18589353 11,1342817 2,71107686 0,0218931 5,3771678 54,99462 5,377168 54,99462
2,14478669
Так:
b1 = -13,5305
b2 =6,754163
b3 =-1,72863
b4 =8,803928
b5 =30,18589
102,8651 4,709808 4,942469 1,048093507 1,139426 4,512755 среднее квадр. отклонение
Так:
β1= -13,5305*(4,709808/102,8651) = -0,619512266
β2= 6,754163*(4,942469/102,8651) =0,324524477
β3= -1,72863*(1,048093507/102,8651) =-0,017613075
β4=8,803928*(1,139426/102,8651) =0,097520191
β5=30,18589*(4,512755/102,8651) =1,324273653
2)
Средние коэффициенты эластичности показывают, на сколько процентов, в
среднем, изменится среднее значение y , при увеличении среднего значения соответствующего
𝑥̅
фактора на 1% . Найдем средние коэффициенты эластичности по формуле: э̅𝑖 = 𝑏𝑖 𝑦̅𝑖, где 𝑥̅𝑖 и 𝑦̅
– ср. значения по x и y , соответственно.
344,8125
47,53125
49,15
54,6125
56,03125
146,13125
среднее значение
Так:
Э1=-13,5305* (47,53125/344,8125) = -1,865138119
Э2=6,754163*(49,15/344,8125) = 0,9627468
Э3=-1,72863* (54,6125/344,8125) = -0,273786649
Э4=8,803928*(56,0313/344,8125) = 1,430618303
Э5 =30,18589*(146,1313/344,8125) = 12,79275651
3)
Индекс
множественной
корреляции
характеризует
тесноту
связи
рассматриваемого набора факторов с исследуемым признаком или, иначе говоря, оценивает
тесноту совместного влияния факторов на результат.
Ryx1x2 ... xm
2
2
 факт
 ост
,
 R  1 2 
2
y
y
2
Ryx1x2 ... xm   0;1
Для сравнения качества моделей с разным числом факторов
скорректированный (нормированный) коэффициент множественной детерминации:
применяется
2
∑(𝑦−𝑦̅) ⁄(𝑛−𝑚−1)
𝑅̂ 2 = 1 − ∑(𝑦−𝑦̅)⁄(𝑛−1)
Нужные нам показатели мы можем найти в таблицах вывода итогов:
Общий
ВЫВОД ИТОГОВ
Без x 1
ВЫВОД ИТОГОВ
Без x 2
ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистикаРегрессионная статистикаРегрессионная статистика
Множественный0,913508692
R
Множественный0,933778484
R
Множественный0,943772443
R
R-квадрат
0,871942257
R-квадрат
0,834498131
R-квадрат
0,890706424
R-квадрат Нормированный0,774315633
R-квадрат
Нормированный0,836059636
R-квадрат Нормированный0,825375805
42,98533039 Стандартная ошибка
48,86735116
Стандартная ошибка
41,64961661 Стандартная ошибка
16 Наблюдения
16
Наблюдения
16 Наблюдения
Без x 3
ВЫВОД ИТОГОВ
Без x 4
ВЫВОД ИТОГОВ
Без x 5
ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистикаРегрессионная статистикаРегрессионная статистика
Множественный 0R,94370597 Множественный0,941802337
R
Множественный0,900209046
R
R-квадрат
0,890580959 R-квадрат
0,886991642 R-квадрат
0,810376326
Нормированный0,850792216
R-квадрат Нормированный0,845897694
R-квадрат Нормированный0,741422263
R-квадрат
Стандартная ошибка
39,73413836 Стандартная ошибка
40,38058709 Стандартная ошибка
52,30745929
Наблюдения
16 Наблюдения
16 Наблюдения
16
Общий показатель R2 = 0,890706 > 0,7 , значит модель адекватная, существенные
переменные влияющие на нее присутствуют, значит, модель строим.
В модели из пяти переменных 𝑅 2 = 0,891.

если убрать х1, значение индекса детерминации становится = 0,872, т. е.
уменьшается на 0,019;

если убрать х2, индекс детерминации становится = 0,834, уменьшается на 0,057;

если убрать х3, индекс детерминации = 0,891, т.е. не изменяется;

если убрать х4, индекс детерминации становится = 0,887, т. е. уменьшается на 0,004;

если убрать х5, индекс детерминации становится = 0,81, т.е. уменьшается на 0,081.
Если исключить переменные х1, х3 и х4 значение индекса детерминации изменяется
незначимо, а при исключении переменных х2 и х5 изменение индекса детерминации становится
довольно заметным. Это значит, что все переменные, кроме х2 и х5, несущественны.
4)
Частные коэффициенты корреляции r характеризуют тесноту связи между
результатом и соответствующим фактором при устранении влияния других факторов,
включенных в уравнение регрессии, и вычисляется по формуле:
ryxi x1x2 ... xi 1xi 1... xm  1 
1  Ryx2 1x2 ... xi ... xm
1  Ryx2 1x2 ... xi 1xi 1... xm
,
Так:
1−0,890706424
𝒓𝟏 = √1 − 1− 0,871942257 = 0,382791004 ;
1−0,890706424
𝒓𝟑 = √1 − 1−0,890580959 = 0,033862186;
1−0,890706424
𝒓𝟐 = √1 − 1−0,834498131 = 𝟎, 𝟓𝟖𝟐𝟕𝟕𝟐𝟎𝟗𝟑;
𝒓𝟒 = √1 −
1−0,890706424
1−0,886991642
= 0,181305656;
1−0,890706424
𝒓𝟓 = √1 − 1−0,810376326 = 𝟎, 𝟔𝟓𝟎𝟖𝟔𝟕𝟗𝟐𝟓.
Решающими показателями являются частный F–критерий Фишера и t–статистики
Стьюдента.
5)
Мерой для оценки включения фактора в модель служит частный F–критерий
Фишера, с формулой:
𝐹𝑥𝑖 =
2
𝑅 2 −𝑅без
𝑥𝑖
1−𝑅 2
∗
𝑛−𝑚−1
1
, где n – число наблюдений, m – число переменных в модели.
С помощью функции (FРАСПОБР) находим Fкритич= 3,325835.
Так:
0,890706424 − 0,871942257
= 1,716859
1 − 0,890706424
0,890706424 − 0,834498131
𝐹2 =
= 𝟓, 𝟏𝟒𝟐𝟖𝟕𝟑
1 − 0,890706424
0,890706424 − 0,890580959
𝐹3 =
= 0,01148
1 − 0,890706424
0,890706424 − 0,886991642
𝐹4 =
= 0,33989
1 − 0,890706424
0,890706424 − 0,810376326
𝐹5 =
= 𝟕, 𝟑𝟒𝟗𝟗𝟑𝟖
1 − 0,890706424
𝐹1 =
Сравниваем Fxi и Fкритич, из всех значений только х2 и х5 больше Fкритич.
6)
t-статистики Стьюдента применяются для проверки гипотезы о статистической
значимости и надежности каждого коэффициента уравнения регрессии : 𝑡𝑏𝑖 =
𝑏𝑖
𝑚𝑏𝑖
Возьмем данные в таблице вывода итогов:
С помощью функции (=СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х(0,05;14)) находим tкритич=2,144787, и сравним с
t-критерием Стьюдента по модулю, как следствие видим, несущественность всех переменных,
кроме х2 и х5.
x1
bi
βi
ryxi
Эyxi
R без xi
r без xi
Fxi
tbi
x2
X3
x4
x5
-13,5305 6,754163 -1,72863 8,803928 30,18589
-0,61951
0,672906
-1,86514
0,871942
0,382791
1,716859
-1,31029
0,324524
0,638549
0,962747
0,834498
0,582772
5,142873
2,26779
-0,01761
0,133218
-0,27379
0,890581
0,033862
0,01148
-0,10714
0,09752
0,226319
1,430618
0,886992
0,181306
0,33989
0,583001
0,69835
1,324274
0,816018
12,79276
0,810376 0,890706
0,650868
7,349938 3,325835
2,711077 2,144787
0,803167
Строим модель по переменным x2 и x5:
y
164
175
186
229
312
408
470
483
405
405
359
345
369
383
402
422
x2
43,9
44,7
43,7
48,6
48,1
49,6
54,6
58,6
59,7
50,5
48,5
46,4
52,5
45,7
45,7
45,6
x5
138,9
137,3
140,1
142,4
143
145,9
146,3
147,4
147,2
148,1
149
149,6
149,2
150,7
151,2
151,8
Уравнение модели: y=-2441,53+9,49x2+15,88x5
C x2 и x5
y=-2441,53+9,49x 2+15,88x 5
ВЫВОД ИТОГОВ
Регрессионная статистика
Множественный0,927083519
R
R-квадрат
0,859483852
Нормированный0,837865983
R-квадрат
Стандартная ошибка
41,41952667
Наблюдения
16
Дисперсионный анализ
df
SS
MS
F Значимость F
Регрессия
2 136415,934 68207,967 39,758029 2,885E-06
Остаток
13 22302,5035 1715,57719
Итого
15 158718,438
Коэффициенты
Стандартная ошибка
t-статистика
P-ЗначениеНижние 95%
Верхние 95%
Нижние 95,0%
Верхние 95,0%
Y-пересечение -2441,53297 346,836248
-7,03944 8,808E-06 -3190,827 -1692,24 -3190,83 -1692,24
x2
9,48941092 2,24222655 4,23213744 0,0009792 4,645375 14,33345 4,645375 14,33345
x5
15,87573449 2,45573604 6,46475609 2,117E-05 10,570439 21,18103 10,57044 21,18103
2,14478669
Коэффициент детерминации R2= 0,859483852> 0,7, значит, модель считается адекватной.
Это значит, что на 85,95% изменений Y объясняются изменением переменных x2 и x5, а на
14,05% на изменения Y влияют другие случайные факторы.
Экономический смысл коэффициентов уравнения регрессии:

при увеличении расходов фирмы на рекламу на 100 рублей,
некоторого продукта фирмы возрастает на 9,49 единиц при неизменном
потребительских расходов;

при увеличении индекса потребительских расходов на 1%,
некоторого продукта фирмы возрастает на 15,88 единиц при неизменном
фирмы на рекламу.
1)
Коэффициент эластичности: э
̅𝑖 = 𝑏𝑖
Э𝟐 = 6,754163 ∗
𝑥̅𝑖
𝑦̅
объем реализации
значении индекса
объем реализации
значении расходов
,
49,15
= 𝟎, 𝟗𝟔𝟐𝟕𝟒𝟔𝟖
344,8125
146,1313
Э𝟓 = 30,18589 ∗ 344,8125 = 12,79275651

Коэффициент эластичности означает, что при увеличении расходов на рекламу на
1% от их среднего значения объем реализации продукта фирмы возрастает на 0,96 % от своего
среднего значения при фиксировании всех остальных факторов на среднем уровне.

Коэффициент эластичности
означает, что при увеличении индекса
потребительских расходов на 1% от его среднего значения объем реализации продукта фирмы
возрастает на 12,79% от своего среднего значения при фиксировании всех остальных факторов на
среднем уровне.
Частный коэффициент линейной корреляции:
2)
ryxi x1x2 ... xi 1xi 1... xm  1 

1  Ryx2 1x2 ... xi ... xm
1  Ryx2 1x2 ... xi 1xi 1... xm
,
Частный коэффициент линейной корреляции ryx2 x1x3 x4 x5  𝟎, 𝟓𝟖𝟐𝟕𝟕𝟐 характеризует
силу линейной корреляционной зависимости между объемом реализации товара y и расходами
фирмы на рекламу при фиксировании всех других факторов на их средних значениях.
Таким образом, при средних значениях времени реализации, при цене товара, равной ее
среднему значению в данной фирме и у конкурентов, при среднем значении индекса
потребительских расходов сила линейной корреляционной зависимости объема реализации товара
от расходов на рекламу характеризуется как прямая: с ростом расходов на рекламу растет объем
продаж данного продукта.

Частный коэффициент линейной корреляции ryx5  x1x2 x3 x4  𝟎, 𝟔𝟓𝟎𝟖𝟔𝟖 характеризует
силу линейной корреляционной зависимости между объемом реализации товара y и индексом
потребительских расходов при фиксировании всех других факторов на их средних значениях.
Таким образом, при среднем времени реализации, средних расходах фирмы на рекламу
при цене товара, равной ее среднему значению в данной фирме и у конкурентов, сила линейной
корреляционной зависимости объема реализации товара от индекса потребительских расходов
характеризуется как прямая, сильная: с ростом индекса потребительских расходов растет объем
продаж данного продукта фирмы.
Стандартизованные коэффициенты регрессии  i  bi
3)

4,942469
𝛽2 = 6,754163 ∗ 102,8651 = 𝟎, 𝟑𝟐𝟒𝟓𝟐𝟒𝟒𝟕𝟕,
что
x
:
y
i
означает,
что
при
увеличении
расходов на рекламу на одно среднее квадратическое отклонение объем реализации продукта
увеличивается на 0,32 среднее квадратическое отклонение.
4,512755

𝛽5 = 30,18589 ∗ 102,8651 = 𝟏, 𝟑𝟐𝟒𝟐𝟕𝟑𝟔𝟓𝟑, что означает, что при увеличении
индекса потребительских расходов на одно среднее квадратическое отклонение объем реализации
продукта увеличивается на 1,32 средних квадратических отклонений.
ryxi
i 
R2
 -коэффициенты:
4)
Вычислим парные коэффициенты корреляции
R без xi
r без xi
𝑥2 =
0,871942 0,834498 0,890581 0,886992 0,810376
0,382791 0,582772 0,033862 0,181306 0,650868
0,582772
= 0,69835,
0,834498
𝑥5 =
0,650868
= 0,803167,
30,810376
Таким образом, Δ2=0,69835 и Δ5= 0,803167. Изменение объема реализации продукта на
80,32% объясняется изменением индекса потребительских расходов и на 69,84% изменением
расходов фирмы на рекламу.
Уравнение модели: y=-2441,53+9,49x2+15,88x5
95% доверительный интервал для параметров уравнения регрессии:
max
min
x2
x5
59,7
43,7
151,8
137,3
𝑥2 ∈ (43,7; 59,7)
𝑥5 ∈ (137,3; 151,8)
Интервал использования моделей:
Х𝑚𝑎𝑥 −𝑋𝑚𝑖𝑛
3
.
Найдем max значения переменных: x2=59,7; x5=151,8.
Найдем min значения переменных:
𝑥2 =
59,7−43,7
3
𝑥5 =
= 5,3,
151,8−137,3
3
x2=43,7; x5=137,3.
𝑥2 ∈ (43,7 – 5,3; 59,7+5,3) 𝑥2 ∈ (38,4; 65)
= 4,8,
𝑥5 ∈ (137,3 – 4,8; 151,8+4,8) 𝑥5 ∈ (132,5; 156,6)
y(50;145) = -2441,53+9,49*50+15,88*145 = 335,57, т. е. при вложениях в рекламу в объеме
1000 рублей и при значении индекса потребительских расходов 145%, ожидаемый объем
продаж продукта составит 335 единиц.
Скачать