Министерство образования Республики Башкортостан Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ, ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И БЕЗОПАСНОСТИ ОТЧЕТ по индивидуальному проекту По дисциплине «Математика» Тема: «Логарифмы в астрономии» Специальность «Информационные системы и программирование» Курс 1 Семестр 2 Оценка ________________ Консультант: ___________Идрисова Г.Р. «___» ____________ 2022 г. Исполнитель студ. гр. 9ИСП-12-21 ________Шавкуно-Кузук Н.Б. «___» ___________ 2022 г. Уфа - 2022 Министерство образования Республики Башкортостан Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ, ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И БЕЗОПАСНОСТИ ЗАДАНИЕ на индивидуальный проект по дисциплине «Математика» Студент Шавкунов-Кузук Н.Б. Группа 9ИСП-12-21 Консультант Идрисова Г.Р. Фамилия И.О. Номер акад. гр. Фамилия И.О. 1. Тема индивидуального проекта: «Логарифмы в астрономии» 2. Содержание проекта: титульный лист, содержание, введение, основные понятия производной, история производной, физический смысл производной, геометрический смысл производной, производная в физике, экономике, химии, биологии, географии, демографии, заключение, список используемой литературы. Руководитель ____________ (подпись) Дата окончания ___________ Содержание: 1. Введение. 2. Основная часть 3. 1. Введение Данный индивидуальный проект посвящён теме «Логарифмы в астрономии». Задачей проекта является ознакомление аудитории с использованием логарифмов для описания природных явлений в космосе. Цель исследования расширить представление о применении логарифмов в астрономии. Гипотеза Логарифмы, как математический инструмент, позволяют делать основательные предсказания, основываясь на фундаментальной объяснительной теории, а так же позволяют значительно упрощать вычисления в области научных исследований. В целях достижения поставленных задач в исследовательской работе используются следующие методы: анализ литературы, разбор прикладных задач, собеседование со старшими людьми, практическая работа. Актуальность данной работы заключается в том, что логарифмы широко используется для изучения различных областей космоса и полностью не изучены, поэтому вызывает интерес у исследователей. 2. Основная часть 2.1. Основные понятия логарифмов Логарифм --- функция, обратная возведению в степень. Это означает, что логарифмом положительного числа b по основанию a называют показатель степени, в которую нужно возвести число a, чтобы получить число b. Пример: Существует два специальных вида логарифмов: десятичный и натуральный. Десятичный логарифм – это логарифм с основанием 10. Он обозначается следующим образом: . Натуральный логарифм – это логарифм с основанием (напомним, что ). Он обозначается следующим образом: . Исходя из определения логарифма , легко получить следующее свойство, которое называется основным логарифмическим тождеством. Для этого достаточно подставить вторую формулу в первую. В результате получаем: . Это выражение называется основным логарифмическим тождеством. 2.2. История логарифмической спирали. Начало исследования этой спирали связано, скорее всего, с навигацией. На протяжении XVI и XVII веков тысячи судов бороздили океаны. Мореплаватели знали, что на поверхности Земли кратчайшее расстояние между двумя точками дает дуга окружности. Но чтобы двигаться по такой дуге следует непрерывно менять направление движения. Поэтому этот оптимальный курс заменяли другим, таким, чтобы угол, под которым корабль пересекал все меридианы, был постоянным. Этот курс оставался постоянным. Траектории такого вида образуют на земной поверхности кривые, которые называются локсодромами. Однако моряки не работали на сфере, их карты были плоскими, они представляли собой проекции сферы. Ну а проекция сферы на плоскость преобразует локсодрому на ней в… логарифмическую (или равноугольную) спираль. Первым, кто описал её как механическую кривую, был Декарт в 1638 г. Он показал, что это условие равносильно тому, что полярные углы для точек кривой пропорциональны логарифмам радиус-векторов. Отсюда и название: логарифмическая спираль. Расстояние между витками растёт с увеличением угла, т. е. радиус-вектор увеличивается с увеличением угла поворота. Так что третье название этой кривой – геометрическая спираль. Отцом этой спирали, по всей справедливости, является швейцарский математик Якоб Бернулли, который её полностью изучил и, которого она настолько заворожила, что он назвал спираль изумительной (spira mirabilis). Он даже завещал высечь её на своём надгробии вместе с латинским изречением «Eadem mutata resurgo» – «Изменённая, возрождаюсь прежней». (Или “Изменённая, я вновь воскресаю’’). Каменотес не был хорошим математиком, и он вырезал на камне практически идеальную архимедову спираль. 2.3. Историческая хронология Логарифмическая спираль была впервые описана Декартом (1638 г., опубликовано в 1657 г). Декарт искал кривую, обладающую свойством, подобным свойству окружности, так чтобы касательная в каждой точке образовывала с радиус-вектором в каждой точке один и тот же угол. Отсюда и название равноугольная. Он показал, что это условие равносильно тому, что полярные углы для точек кривой пропорциональны логарифмам радиусвекторов. Отсюда и второе название: логарифмическая спираль. Независимо от Декарта она была открыта Э. Торричелли в 1644 г. Свойства логарифмической спирали исследовал Я. Бернулли (1692 г.), который называл её Spira mirabilis — «удивительная спираль» Рене Декарт Иоганн и Якоб Бернулли 2.4. Определение логарифмических спиралей Угол, составляемый касательной в произвольной точке логарифмической спирали с радиус-вектором точки касания, постоянный и зависит лишь от параметра . Параметр m определяет, насколько плотно и в каком направлении закручивается спираль. В предельном случае, когда =0 спираль вырождается в окружность радиуса . Наоборот, когда стремится к бесконечности спираль стремится к прямой линии. Угол, дополняющий до 90°, называется наклоном спирали. Размер витков логарифмической спирали постепенно увеличивается, но их форма остаётся неизменной. Если угол возрастает или убывает в арифметической прогрессии, то возрастает (убывает) в геометрической. Поворачивая полярную ось вокруг полюса, можно добиться полного уничтожения параметра a и привести уравнение к виду r=, где -- новый параметр. Радиус кривизны в каждой точке спирали пропорционален длине дуги спирали от её начала до этой точки. 2.5. Логарифмические спирали в астрономии Логарифмические спирали в природе могут достигать гигантских размеров. С этой точки зрения наиболее впечатляющим примером является спиральная структура галактик. Этот факт представляет собой не меньшую задачу, чем проблема их строения. Известно, что галактики состоят из горячих звезд и скоплении газа, которые в результате вращения галактики распределяются вдоль ветвей логарифмической спирали. Представьте себе скопление биллионов звезд, которое вращается в пространстве подобно огромной детской вертушке. Слабое белое свечение Млечного Пути объясняется тем, что мы смотрим на него как бы сбоку, сквозь две огромные ветви нашей собственной Галактики. Наблюдения показывают, что у центра Галактики ветви спирали вращаются значительно быстрее, чем на границе, то есть они должны были бы быстро раскрутиться и, может быть, даже вообще уничтожиться. Однако галактики, как правило, сохраняют спиральную структуру, что говорит о том, что ветви вовсе не раскручиваются. Многие галактики, закручены по логарифмической спирали 2.6. Звёздные галактики Звездные галактики. 1845 г. английский астроном лорд Росс (Уильям Парсонс) с помощью телескопа со 180-сантиметровым металлическим зеркалом обнаружил целый класс туманностей в виде логарифмической спирали, самым ярким примером которых явилась туманность в созвездии Гончих Псов. Природа этих туманностей была установлена лишь в первой половине XX столетия. Спиральные туманности - это огромные звёздные системы, сравнимые с нашей Галактикой. С тех пор их и стали называть галактиками. Немало усилий пришлось приложить астрономам, чтобы описать свойства спиральных галактик с помощью логарифмов. В спиральных ветвях наблюдается повышение плотности, как звёзд, так и межзвёздного вещества пыли и газа. Повышенная плотность газа ускоряет образование и последующее сжатие газовых облаков и тем самым стимулирует рождение новых звёзд. Поэтому спиральные ветви являются местом интенсивного звездообразования. Спиральные галактики вроде нашего Млечного пути – это относительно плоский диск, вроде блина, состоящий из газа, звездной пыли и звёзд. Весь галактический диск вращается вокруг центра галактики. Например, по соседству от Солнца орбитальная скорость вокруг центра Млечного пути составляет примерно 225 километров в секунду, а на полный оборот понадобится около 225 миллионов лет. На других расстояниях от центра и скорость иная – чем ближе к центру, тем больше, а на дальних дистанциях меньше, то есть галактический диск вращается не как твердый диск, а дифференциально. Если посмотреть на диск сверху, у спиральных галактик видны спиральные рукава, которые начинаются вблизи от центра и расходятся в разные стороны по большей части диска, как на рис, где изображена галактика Водоворот. Спиральные рукава – это те области галактического диска, где рождается много новых звезд. Спиральная структура, привязанная к одному и тому же скоплению звёзд и облаков газа, неизбежно нарушилась бы, а наблюдениями это не подтверждается. Долголетие спиральных рукавов объясняется волнами плотности – волнами сжатия газа, проходящими по галактическому диску, – которые по пути сжимают газовые облака и способствуют зарождению новых звёзд. Спиральный узор, который мы наблюдаем, это попросту проявление тех областей диска, где плотность выше средней и много новых звёзд. Поэтому узор постоянно воссоздаётся и не нарушается. Подобное же положение дел мы наблюдаем поблизости от огороженного участка дорожных работ на крупном шоссе. Плотность машин поблизости от закрытого участка выше, потому что водители вынуждены там притормаживать. Если сделать фотографию шоссе с птичьего полёта с большой выдержкой, можно зафиксировать плотность пробки поблизости от места ремонта. Волна плотности машин не связана с каким-то конкретным набором автомобилей, точно так же и спиральный узор не связан с тем или иным «куском» материала диска. Еще одна общая черта – тот факт, что волна плотности движется через диск медленнее движения самих звёзд и газа, точно так же как скорость, с которой участок дорожных работ перемещается вдоль шоссе, как правило, гораздо медленнее, чем двигаются отдельные автомобили, которым ничто не мешает. Движущая сила, которая отражает движение звёзд и газовых облаков и порождает спиральную волну плотности (аналогично тому, как дорожные работы ограничивают движение автомобилей, оставляя им меньше полос) – это сила тяготения, вызванная тем обстоятельством, что распределение материи в галактике не полностью симметрично. Например, набор эллиптических орбит вокруг центра галактики (рис а), в котором каждая орбита несколько возмущена (повёрнута), причём сила возмущения меняется в зависимости от расстояния от центра, приводит к возникновению спирального узора (рис. b). 2.7. Измерение яркости звёзд В астрономии, говоря о небесных телах, иногда используются специфические термины, характеризующие их цвет и яркость, например, звёздная величина или показатель цвета. Звёздная величина - показатель, характеризующий яркость звезды или какого-нибудь другого астрономического объекта. Существует два вида звёздных величин - видимая и абсолютная. Видимая звёздная величина характеризует ту яркость, которую мы видим или можем увидеть. То есть, она определяет условия наблюдения объекта с Земли. Эта величина берет начало со II века до р.Х., когда Гиппарх предложил делить все звезды по яркости на шесть величин - самые яркие и лучше всего видимые он назвал звёздами первой величины, а самые тусклые - шестой. Разумеется, такой субъективный подход для современных целей не применим, к тому же, большая часть астрономических объектов невооружённым глазом не видна. При этом характеристика видимой яркости - вещь очень полезная. Поэтому в наше время классификация Гиппарха модернизирована и стала измеримой и объективной - и, несмотря на модернизацию, классы Гиппарха удалось сохранить. В основе классификации видимой яркости лежат два принципа. Во-первых, яркость определяется числом квантов излучения объекта, принимаемых глазом или фотоприемником в единицу времени. Это позволяет оценить яркость объективно. Во-вторых, она учитывает особенность человеческого зрения. Дело в том, что человек оценивает яркость не линейно, а логарифмически психофизиологический закон Вебера-Фехнера утверждает, что для человека ощущение, вызванное неким раздражителем, изменяется пропорционально логарифму интенсивности раздражителя, то есть, применительно к свету, яркость света воспринимается нами пропорционально логарифму светового потока. В связи с этим, видимая звездная величина m определяется по формуле: m = - 2,5 lgI + C, где I - световой поток, а С - некая константа Константа С выбирается так, чтобы шкала звёздных величин была как можно ближе к гиппарховой, то есть, чтобы для весьма яркой звезды видимая величина m была равна нулю. Строго говоря, С выбирается так, чтобы в приведённой формуле m было равно нулю для объекта, создающего (без учёта влияния земной атмосферы) освещённость 2,54·10-6 люкс. Тогда звезда первой величины создаёт освещённость, примерно в 2,512 раз ниже указанной, второй величины - в 6,31 раз ниже и так далее. То есть, увеличение (уменьшение) звёздной величины на единицу означает уменьшение (увеличение) силы света от источника примерно в 2,512 раза, а на пять единиц - ровно в сто раз. Объекты звёздной величины более шести уже практически не видны невооружённым глазом. Если b1-кажущаяся яркость звезды 1, а b2-кажущаяся яркость звезды 2, то разность величин задается выражением: m1 - m2 = 2.5 log (b2 / b1) Мы можем также определить отношение, оперируя понятиями коэффициента яркости: b2/b1 = 10x, where x = 0.4 (m1-m2) Задача 1 Во сколько раз Капелла ярче Денеба? Звёздная величина Капеллы (m1 = +0,2) и Денеба (m2 = +1,3). Дано: Решение: L1/L2 = 2,512 m1 = +0,2 lg L1/L2 = (m2-m1) m2 = +1,3 lg 2,512 = 0,4 ; то для Капеллы и Денеба; l1/l2-? lg L1/L2 = 0,4*1,1 = 0,44; Ответ: L1/L2 = 2,75. 2.8. Абсолютные звёздные величины Видимый блеск и видимая звёздная величина звезды зависят от её расстояния до наблюдателя – r. Чтобы освободиться от влияния расстояния, введено понятие об абсолютном блеске и абсолютной величине звезды. Абсолютным блеском звезды L называется тот блеск, который она имела бы, будучи удалена от наблюдателя на расстояние равное 10 парсекам. Так как освещённость убывает обратно пропорционально квадрату расстояния, то абсолютный блеск L и видимый блеск l связаны соотношением: L/l = r2/100 = 2,512m-M m – видимая звёздная величина, М – абсолютная звёздная величина, под которой понимают ту звёздную величину, которую бы имела звезда, будучи удалённой на расстояние, равное 10 парсекам. Из указанного соотношения получаем формулу: М = m + 5 - 5lg r С учётом межзвёздного поглощения: М = m + 5 - 5lg r - А(r) где А(r) – поглощение света, пропорциональное расстоянию до звезды. Эта формула позволяет вычислить абсолютную звёздную величину звезды, если известно расстояние, и вычислить расстояние, если известна абсолютная величина, по формуле: lg r = (m - M)/5 + 1 Абсолютные звёздные величины могут быть болометрическими, визуальными, фотографическими. Солнце имеет абсолютную звёздную величину +4,7m. Часто используют светимость звезды – отношение абсолютного блеска звезды к абсолютному блеску Солнца. Самые яркие звёзды ярче Солнца на 14m, они испускают больше энергии в 1 000 000 раз. Самые слабые слабее на 14m. Они испускают меньше энергии в 300 000 раз. Отношение светимостей самых ярких и самых слабых звёзд достигает около 100 млрд. Задача 2 Во сколько раз звезда 3,4 звёздной величины слабее, чем Сириус, имеющий видимую звёздную величину —1,6? Чему равны абсолютные величины этих звёзд, если расстояние до обеих составляет 3 пк? Соотношение яркостей E1/E2 = 10^0.4(m2-m1) То есть E1/E2 = 10^0.4(3.4-(-1.6)) = 100 Абсолютные звёздные величины - M = m+5-5lgr M1 = 3.4+5-5lg1/3 = 6 Ms = -1.6+5-5lg1/3 = 1 Ответ: 6 ; 1. Задача 3 Найти отношения блеска и светимости Сириуса и Проксимы Центавра. Визуальный блеск Сириуса –1.5m, параллакс 0.375''. Визуальный блеск Проксимы Центавра +11m , параллакс 0.762''. Согласно формуле Погсона lgE1/E2=0.4(m2-m1) lgE1/E2=0.4(+11-(-1.5)) Визуальный блеск звёзд E1/E2=10^5 пропорционален светимости и обратно пропорционален квадрату расстояния L=E/r^2 L1/L2=E1/E2*r1^2/r2^2 Переходим к параллаксам L1/L2=E1/E2*π2^2/π1^2=10^5(0.375/0.762)^2 = 24000 2.9. Светимость (блеск) звёзд Представьте, что где-то в море в ночной тьме тихо мерцает огонёк. Если бывалый моряк не объяснит вам, что это, вы часто и не узнаете: то ли перед вами фонарик на носу проходящей шлюпки, то ли мощный прожектор далёкого маяка. В том же положении в тёмную ночь находимся и мы, глядя на мерцающие звезды. Их видимый блеск зависит и от их истинной силы света, называемой светимостью (полное количество энергии, излучаемой по всем направлениям), и от их расстояния до нас. Только знание расстояния до звезды позволяет подсчитать её светимость по сравнению с Солнцем. Так например, светимость звезды, в десять раз менее яркой в действительности, чем Солнце, выразится числом 0,1. Истинную силу света звезды можно выразить ещё иначе, вычислив, какой звёздной величины она бы нам казалась, если бы она находилась от нас на стандартном расстоянии в 32,6 светового года, то есть на таком, что свет, несущийся со скоростью 300 000 км/сек, прошёл бы его за это время. где R - радиус звезды, Т - температура. Принять такое стандартное расстояние оказалось удобным для различных расчётов. Яркость звезды, как и всякого источника света, изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния от него. Этот закон позволяет вычислять абсолютные звёздные величины или светимости звёзд, зная расстояние до них. Когда расстояния до звёзд стали известны, то мы смогли вычислить их светимости, то есть смогли как бы выстроить их в одну шеренгу и сравнивать друг с другом в одинаковых условиях. Надо сознаться, что результаты оказались поразительными, поскольку раньше предполагали, что все звезды «похожи на наше Солнце». Задача 4 Видимая яркость звезды Веги ( Лиры) равна и её параллакс , а у звезды Водолея видимая яркость и параллакс . Найдите отношение светимости этих двух звёзд . (Ответ округлите до целого числа.) Абсолютные звездные величины звезд: Тогда можно определить отношение светимостей: Ответ: . Задача 5 Вычислить визуальную светимость звезд, визуальный блеск и годичный параллакс которых указаны в скобках: Орла (0m,89 и 0″,198), Малой Медведицы (2m, 14 и 0″,005) и Индейца (4m,73 и 0″,285). Абсолютные звездные величины звезд: Тогда можно определить и светимости (в светимостях Солнца): Ответ: , , .
