ЛП 2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ЗВЕНЬЕВ МЕХАНИЗМА (ГЕОМЕТРИЯ МАСС)

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Школа базовой инженерной подготовки
Отделение общетехнических дисциплин
ОТЧЕТ ПО ПРАКТИЧЕСКО-ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ №2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ЗВЕНЬЕВ МЕХАНИЗМА
(ГЕОМЕТРИЯ МАСС)
по дисциплине:
МЕХАНИКА
Исполнитель:
студент группы
5A03
Кобесов Амир
Дата сдачи
Руководитель:
Пашков Е.Н
преподаватель
Томск – 2022
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
При решении целого ряда задач динамики механизмов, связанных с исследованием
движения механизма (машины), определением усилий в звеньях и давлений в
кинематических парах необходимо знать основные механические параметры звена, к
которым относятся: вес звена G, его масса, m, положение центра масс S и момент инерции
звена J.
Подобно тому, как масса является мерой инертности тела в поступательном
движении, момент инерции является мерой инерции во вращательном движении.
Для уяснения того, что такое момент инерции представим, что твёрдое тело с массой
m (рис.1) вращается с угловой скоростью ω и угловым ускорением ε в плоскости,
перпендикулярной оси, проходящей через неподвижную точку O. Расположенная в любой
точке элементарная масса dm, удалённая от оси вращения на расстояние r. будет создавать
силы инерции
dFun (нормальную) и dFu (тангенциальную). Элементарный момент этих
сил относительно точки O будет равен
dMu  dFu  r  dm a  r  dm  r2
Где: a - тангенциальное ускорение в точке B (т.к. линия действия силы
(1)
dFun проходит в
точку O, то момент её равен нулю).
Рис. 1
Полный момент сил инерции определится как интеграл, взятый по всей массе тела,
т.е.
Mu     dm  r2    dm  r2
m
(2)
m
Интеграл выражения (2) называется моментом инерции тела относительно оси,
проходящей через точку O и перпендикулярной плоскости движения и обозначается J0, т.е.
J 0  m dm  r2
(3)
В инженерных расчётах, все физические величины выражаются в Международной
системе СИ с основными единицами – метр (длина), килограмм (масса) и секунда (время).
Поэтому размерность момента инерции в системе СИ – кг  м2 (в случаях малых значений
момента инерции для небольших деталей могут использоваться размерности кг  см2 , г  см2
или даже г  мм2 ).
Раньше применялась техническая система МКГСС с основными единицами – метр,
килограмм-сила, секунда. Момент инерции в этой системе выражается в кг  м  с2 (
1кг  м2  0.102кг  мс2 ,1кг  м  с2  9,80665кг  м2  9,81кг  м2 )
Заметим, что в этой работе речь идёт о моменте инерции массы, так как есть ещё
моменты инерции сечения, например, центробежный, осевой, полярный, размерность
которых – линейная величина в четвёртой степени – см4, мм4.
J
 r2
. Величина ru называется радиусом инерции, т.е. это
u
m
расстояние от рассматриваемой оси до точки, в которой нужно сосредоточить массу всей
системы, чтобы момент инерции её относительно данной оси равнялся моменту инерции
тела или системы относительно той же оси.
Отношение
Заметим, что через любую точку можно провести неограниченное число осей и
моменты инерции (для несимметричного тела) относительно каждой из них будут разными.
В практике чаще всего бывает необходимым знать величину момента инерции
относительно оси, перпендикулярной плоскости движения. Обычно эту ось проводят через
центр тяжести звена S. В этом случае момент инерции тела будем обозначать JS.
Подставляя выражение (3) в (2), получим:
M u  J 0  
(4)
т.е. полный момент от сил инерции тела равен произведению момента инерции на угловое
ускорение. Момент от сил инерции является величиной векторной. Знак минус показывает,
что момент от сил инерции имеет направление, противоположное угловому ускорению.
Массу звена (а, следовательно, и его вес), положение его центра тяжести и момент
инерции могут быть определены аналитически (расчётным путём), экспериментально, либо
по эмпирическим зависимостям, полученным на основании статических данных.
Аналитический метод определения механических параметров звена обычно
применяют при расчёте и проектировании новых машин, когда детали выполнены в
чертеже. Экспериментальный метод может быть применён лишь при наличии деталей в
натуре.
Рассмотрим методы аналитического и экспериментального определения указанных
выше механических параметров звена.
АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД
1. Масса звена определится как произведение его объёма на массовую плотность
m  V   [кг, г]
(5)
где V – объём [см3]
 - плотность материала [кг\см3, г\см3]
Для деталей сложной конфигурации:
m  Vi  


(6)
где Vi - объем простейших фигур (цилиндров, призм, шаров и т.д.).
Если деталь составная и выполнена из различных материалов, то в этом случае
m  Vi  i
(7)
где i - плотность материала элементов детали.
Вес звена определится из выражения:
G  m g [Н, кН],
где g= 9.81 м/с2 – ускорение свободного падения.
2. Центр тяжести звена (твёрдого тела), как известно из теоретической механики,
можно определить по формулам:
XS 
YS 
m
ZS 
 mx
i

i
m
mi  yi
m  z
i
(8)
i
m
Где XS, YS, ZS – координаты центра тяжести звена;
m – общая масса;
mi – масса отдельных составляющих звена;
xi, yi, zi – координаты центров тяжести отдельных элементов звена (рис.2)
На рисунке 3 изображён шатун двигателя внутреннего сгорания. Разбив его на
простейшие фигуры (два полых цилиндра, призма) и зная размеры элементов, определим
массы m1, m2, m3. Т.к. положения центров тяжести этих фигур известны, и они лежат на
прямой АВ (т.е. Ys=Zs=0), то центр тяжести всего звена найдём из выражения
XS 
m x
i
m
m c  m l
 m 2  m 3m
i
1
Рис. 2
2
3
Рис. 3
3. Момент инерции. Если звено имеет правильную геометрическую форму, то
момент инерции его может быть определён по формуле (3). В таблице 1 приведены
моменты инерции некоторых тел правильной формы относительно осей, проходящих через
центр тяжести.
Если деталь имеет сложную форму, момент инерции её определяется по формуле
Эйлера:
JS   (J si  mli 2 )
(9)
Где: JS – момент инерции всей детали относительно оси, проходящей через её центр
тяжести;
JSi - момент инерции части детали, имеющей простую геометрическую форму относительно
оси, проходящей через её центр тяжести;
l - расстояние от центра тяжести данной фигуры до оси, относительно которой
определяется момент инерции детали.
Так, для детали, изображённой на рисунке 3 момент инерции её относительно оси,
проходящей через общий центр тяжести S будет:
J  (J  m  X 2 )  (J  m  a2 )  (J  m b)
S
1
1
S
2
2
3
3
Где J1,J2,J3 – моменты инерции левой и правой головок (полые цилиндры) и тела шатуна
(призмы) относительно осей, проходящих через их центры тяжести;
m1,m2,m3 – массы элементов шатуна.
По аналогичной формуле определяется момент инерции относительно параллельной оси.
Например, для той же детали момент инерции относительно оси, проходящей через точку
А определяется как
J  (J  m X 2 )
A
S
(10)
S
(Здесь m – масса всей детали).
Во многих случаях звенья механизма имеют более сложную конфигурацию и тогда
определение момента инерции их аналитическим путём представляет значительные
трудности. В таких случаях моменты инерции определяются по приближённым формулам,
образование которых основано на замене сложной конфигурации реальной детали более
простой, подходящей к табличным значениям моментов инерции. Например, заменяющей
формой для различных удлинённых звеньев (шатунов, кривошипов, рычагов и т.п.) можно
принять стержень постоянного сечения, приближённая формула момента инерции для
шестерен, шкивов, маховиков выводится из предположения, что вся масса звена
расположена на одном радиусе, а затем вводится поправочный коэффициент.
Наряду с аналитическими методами определения геометрических параметров
звеньев применяются и экспериментальные методы, которые для звеньев сложной
конфигурации дают результаты более точные, чем результаты, полученные по
приближённым (и даже по точным) формулам и поэтому они находят широкое применение
при проведении уточнённых расчётов машин.
Таблица 1 – Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы
ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ
Определение массы звена, положения его центра тяжести и момента инерции
аналитическим путём
Необходимые инструменты: штангенциркуль, линейка, кронциркуль.
Порядок выпроведения работы
1. Составить эскиз детали в необходимом количестве проекции с необходимыми
разрезами и сечениями.
2. Произвести обмер детали и проставить размеры. (Размеры следует проставлять в
буквенном и цифровом выражениях: диаметры обозначать буквами d1, d2, d3…,
высоту - h1, h2, h3…, ширину - b1, b2, b3…, длину - l1, l2, l3… и т.д.).
3. Заменить сложную конфигурацию детали простыми правильной геометрической
формы.
4. Определить вес, положение центра тяжести и момент инерции простых фигур,
заменяющих сложную конфигурацию детали.
5. Найти общий вес, положение общего центра тяжести и момент инерции детали
относительно оси, проходящей через центр тяжести и перпендикулярной плоскости
движения детали.
6. Составить отчёт.
Экспериментальные методы определения механических параметров звеньев
Определение массы звеньев
Масса звеньев механизма определяется на весах. В зависимости от размеров детали
и её массы используются и различной конструкции весы: аналитические, чашечные,
десятичные и др. В ряде случаев могут оказаться более удобными динамометры различной
конструкции: пружинные, емкостные и др.
Определение положения центра тяжести
Положение центра тяжести звена может быть определённо разными способами,
выбор которых обуславливается сложностью формы звена.
Определение положения центра тяжести на призме.
Этот метод применяется для звеньев, имеющих две оси (плоскости) симметрии. При этом
звено устанавливается на призму и уравновешивается (рис.4а). Перенося точку
соприкосновения звена и призмы на ось симметрии, находят таким образом, положение
центра тяжести.
Определение положения центра тяжести с помощью весов.
Если деталь имеет только одну ось симметрии, то для определения положения центра
тяжести можно использовать весы.
На рис. 4б изображён шатун, стержень которого в одной из плоскостей имеет
изогнутую форму. Определить общий вес звена и вес головок G A и GВ, можно составив
уравнения:
GA  a  GB  b  0
и
(11)
ab l
Решая совместно эти два уравнения, получим:
a
GB
l
G
(12)
и
b la  a 
GA
G
l
(13)
Определение положения центра тяжести методом двукратного подвешивания на
призме.
Для звеньев, имеющих более сложную форму, положение центра тяжести можно
определить следующим образом: подвешивая звено отверстием А, а затем отверстием Вна
призме (рис. 4в) отмечаем с помощью отвеса положение центра тяжести Аx и Вy.
Пересечение этих линий даёт положение центра тяжести S звена, который может
находиться и вне контура звена.
Для более крупных звеньев, имеющих ось симметрии, можно применить способ,
показанный на рис.4г. Звено 1 подвешивается на одной нити 2, привязанной к двум концам
звена. К точке подвеса прикрепляется отвес 3. Точка пересечения нити отвеса с осью
симметрии звена и будет являться центром тяжести.
Рис. 4
Определение момента инерции звеньев
Известны несколько десятков различных методов экспериментального определения
момента инерции звеньев с применением различного оборудования и приборов. Выбор того
или иного способа зависит от целого ряда факторов, например, величины и формы детали,
необходимости определения момента инерции детали без разборки машины (например,
роторов) и других.
В настоящем пособии производится описание нескольких методов определения
момента инерции звеньев.
Определение момента инерции методом физического маятника
Твёрдое тело, имеющее неподвижную горизонтальную ось вращения (ось подвеса),
не проходящую через его центр тяжести и совершающее свободное колебательное
движение представляет собой физический маятник.
На рис. 5 показан подвешенный на призме в точке О шатун весом G, центр тяжести
которого S находится на расстоянии ls от точки подвеса. Применив принцип Даламбера,
напишем условие равновесия шатуна, отклонённого от вертикальной оси на угол ϕ:
G lS sin  dFu    0
m
(14)
Рис. 5
Тангенциальная составляющая сила инерции
dFu  a  dm      dm
Где  
d
dt

d 2
dt 2
- угловое ускорение звена;
dm – элементарная масса;
 - расстояние этой массы до оси подвеса.
Так как
 dm  
m
2
 J 0 - момент инерции звена относительно точки подвеса О, то
уравнение (14) можно записать в следующей форме:
J0   G  l3 sin   0
Или
J0
d 2
dt2
(15)
 G  l3 sin  0
Разделив левую и правую части этого уравнения на J0 и обозначив
G  l3
 k2 ,
J0
получим

d 2 2
 k sin  0
dt2

(16)
Это дифф. уравнение второго порядка. При малых значениях ϕ, т.е. при малом отклонении
звена от положения равновесия (не более 6-8о) можно принять sinϕ ≈ϕ, тогда
d 2 2
 k   0 .
dt2


(17)
Окончательное решение этого уравнения имеет вид:
  0  cos kt
(18)
Это уравнение определяющее гармонический вид колебаний,
Где y0 – начальный угол отклонения звена;
k – частота колебаний.
Так как период косинуса равен 2π, то период колебаний Т определится из уравнения:
kT  2

Откуда
T  2

1
J0
 2 J0  2
m  g  lS
6lS
k
Из этого уравнения и определяется момент инерции звена относительно оси, проходящей
через точку подвеса О:
T2
J0 
 m  g  lS (g=9,81 м/с2)
4 2
(19)
Момент инерции звена относительно оси, проходящей через центр тяжести
найдётся, если применить теорему о моментах инерции твёрдого тела относительно
параллельных осей:
J  J  ml 2
0
S
S
Отсюда получим
JS  J0  ml 2S
или
JS 
T2
2
2  m  g lS  m lS
4
(20)
Заметим ещё раз, что формулы (19) и (20) выведены из условия, что sinϕ≈ϕ, т.е. при
малых колебаниях испытуемого звена. С увеличением угла ϕ ошибка при определении
момента инерции увеличивается, поэтому не следует отклонять звено на угол, больший 680.
Порядок выполнения работы по определению величины момента инерции звена
методом физического маятника
1. Определить массу звена m.
2. Определить положение центра тяжести звена S.
3. Выбрать точку подвеса О и измерить расстояние от точки подвеса до центра
тяжести lS (измерение проводить с точностью до 1 мм). Привести эскиз.
4. Определить период колебаний Т.
5. Период колебания звена подсчитывается как среднее из трёх замеров времени 2030 полных колебаний.
6. Определить величины моментов инерции J0 и JS.
7. Составить отчёт, приведя схему подвеса с расстановкой необходимых размеров
и основные формулы (19 и 20) с пояснениями.
Результаты по определению периода колебаний и величин моментов инерции
привести в таблицах:
Таблица 2 – Определение периода колебаний
Время 20 (30)
колебаний, с
№ опыта
1
2
3
Период колебаний,
с
T1=t1/20=
T2= t2/20=
T2= t3/20=
t1 =
t2 =
t2 =
Среднее значение
периода колебаний
Tcp 
T1  T2  T3 

3
Таблица 3 - Определение величины моментов инерции
2
m, кг
LS, см
Tcp, с
T , с2
4 2
m l 2 ,кг.см2
J0 
S
T2
 mglS ,
4
кг.см2
2
J  J  ml 2
S
0
S
, кг.см2
Расхождение в величинах моментов инерции, определённых аналитическим путём и
экспериментальным будет составлять:
JS 
JSA  JS
100%
J
SA
(Обычно не более 5%)
8. Составить отчет о выполненной работе (с выводом).