Курсовой проект теоретические основы радиотехники

Министерство цифрового развития, связи и массовых коммуникаций
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
"Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций
им. проф. М.А. Бонч-Бруевича"
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Кафедра
Теории электрических цепей и связи
УТВЕРЖДАЮ
Заведующий кафедрой
_______________ П.Шумаков
«___» _______________ 2021г.
МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
для выполнения контрольной работы
по дисциплине «Теоретические основы радиотехники»
Тема: Расчет спектральных и временных характеристик сигналов с
ортогональным частотным мультиплексированием с использованием
алгоритмов быстрого преобразования Фурье
Направление подготовки 11.03.02 Инфокоммуникационные технологии и системы связи
Квалификация: Бакалавр
Курс 2.
Санкт-Петербург
2021
Расчет спектральных и временных характеристик сигналов с
ортогональным частотным мультиплексированием с использованием
алгоритмов быстрого преобразования Фурье.
1. Основы теории сигналов с ортогональным частотным мультиплексированием.
Передача информации от одного источника сообщений осуществляется по каналу связи, под
которым понимают набор взаимодействующих аппаратных и программных средств,
обеспечивающих связь. В состав канала входит линия связи - среда распространения электрического
сигнала от источника информации к потребителю.
При наличии одной линии связи и необходимости передачи по ней информации от нескольких
источников параллельно, используют разделение сигналов – то есть независимую передачу и прием
большого числа сигналов по единственной линии связи в выделенной полосе частот, при которой,
сигналы сохраняют свои свойства и не создают взаимных помех друг другу. Возможны временные,
частотные , кодовые и комбинированные методы разделения сигналов или, говоря техническим
языком мультиплексирования - уплотнения канала, то есть передача нескольких потоков данных с
меньшей скоростью (пропускной способностью) по одному каналу.
При частотном мультиплексировании передача информации от нескольких источников
сообщений по одной линии связи осуществляется одновременно на различных поднесущих, под
которыми понимают обычно гармонические сигналы отличающихся частот. Каждому сигналу в
канале связи отводится определённый участок спектра ∆fi общей полосы частот ∆F линии связи.
Ширина этой полосы ∆fi зависит от ширины спектра информационного сигнала, который
используется для модуляции данной поднесущей. Чтобы спектры соседних частотных каналов не
перекрывались и не искажали передаваемые сигналы, соседние каналы, формируемые на
поднесущих, разделяются между собой защитными полосами ∆fзащит., ширина которых зависит от
качества фильтров, применяемых для разделения каналов (от прямоугольности АЧХ) (рисунок 1).
Рисунок 1
Недостатки такого частотного мультиплексирования каналов связи:
– сложность реализации фильтров с крутыми спадами АЧХ, для хорошего разделения каналов;
– широкие полосы задержания, где информация не передается, если фильтры имеют пологие
АЧХ;
– неэффективное использование выделенного частотного ресурса ∆F в целом.
При использовании цифровых видов модуляции можно значительно повысить эффективность
использования частотного ресурса за счет использования ортогональных поднесущих.
Если за время длительность передаваемого символа Ts число периодов каждой поднесущей
сделать точно равной целому числу, а частотный разнос между соседними поднесущими сделать
эквидистантным и равным 1/Ts , то все поднесущие будут ортогональными.
На рисунке 2 представлен пример OFDM символа (мнимая часть), образованного суммированием
восьми ортогональных синусоидальных не модулированных по амплитуде поднесущих ( например,
когда используется модуляция ФМ или ОФМ) . Если длительность символа Ts=1мкс , то первая
гармоническая поднесущая может иметь частоту 1 МГц, а восьмая соответственно 8 МГц.
Спектр такого сигнала представлен на рисунке 3.
Обратите внимание, что на частотах максимума каждой поднесущей значение остальных
поднесущих равно нулю.
Если частоты всех поднесущих увеличить в целое число раз, ортогональность не нарушится.
Рисунок 2
Рисунок 3
Если каждую поднесущую подвергнуть модуляции соответствующего вида (например, КАМ для
одной поднесущей, ОФМ для другой и т.п.), используя для каждой поднесущей свой
информационный сигнал, то в одном OFDM символе в течение его длительности Ts будет
содержаться информация всех каналов.
Эту информацию при приеме можно извлечь, если выделить поднесущую и демодулировать,
получив передаваемый на ней информационный сигнал
Пример временной формы OFDM символа после модуляции поднесущих показан на рисунке 4, а
его спектр на рисунке 5.
Рисунок 4
Рисунок 5.
Таким образом, при формировании OFDM символа при любом формате модуляции
ортогональных поднесущих, даже когда спектры соседних частотных каналов будут перекрываться,
искажения сигналов при приеме можно исключить, не используя защитные частотные полосы между
соседними каналами. А это значит, что в диапазоне выделенного частотного ресурса ∆F можно
разместить гораздо больше частотных каналов передачи по одной линии связи.
Реализуется такой способ с использованием цифровой схемой модуляции, которая называется
мультиплексирование с ортогональным частотным разделением каналов, для которого принято
международное обозначение – OFDM (англ.Orthogonal frequency-division multiplexing).
Технически такой способ разделения (уплотнения) канала реализуется поэтапно программноаппаратными методами последовательно-параллельного преобразования цифрового потока данных,
стандартных цифровых видов модуляции (например ОФМ или КАМ ) и процедур дискретного
преобразования Фурье (ДПФ) с использованием и алгоритмов быстрого преобразования Фурье
(обратного –ОБПФ и прямого - БПФ) .
При формировании OFDM символов следует учитывать следующие особенности.
1. При приеме OFDM символа дискретизация должна осуществлятся в строго определенные
моменты времени. Значит между передатчиком и приемником в системе должна быть жесткая
синхронизация. Она может быть осуществлена путем передачи в спектре OFDM сигнала
специальных пилот –сигналов на фиксированной частоте, которые в приемнике используются
для синхронизации работы.
2.При многолучевом приеме один OFDM символ, пройдя более длинное расстояние в пространстве
может задержаться на столько, что частично перекроет во времени OFDM символ следующего такта
передачи.
Для борьбы с этой межсимвольной интерференцией каждый OFDM символ удлинняют путем
установки циклического префикса. Делается это повторением нескольких дискретных отсчетов в
конце формируемого символа перед начальным отсчетом данных, как это показано на следующем
рисунке:
Предполагается , что при многолучевом распространении символов задержка двух последовательных
символов может привести к наложению только в пределах циклического префикса. При приеме от
отсчетов циклического префикса можно избавиться (исключить из обработки в приемнике), тем
самым избавиться от межсимвольной интерференции.
2. Дискретное преобразование Фурье и быстрое преобразование Фурье.
Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) является эквивалентом непрерывного преобразования
Фурье для сигналов, известных только в моменты, разделенных временем выборки ТД (т. е. для
конечной последовательности данных). По результатам расчета ДПФ получают комплексные
амплитуды нескольких гармонических сигналов, сумма которых равна дискретным отсчетам
аналогового сигнала в те моменты времени, когда он был подвергнут дискретизации.
Пусть f(t) непрерывный сигнал источника информации. Будем полагать, что последовательные
дискретные отсчеты этого сигнала, взятые через интервал ТД , являются импульсами ,площадь
которых равна величине соответствующего отсчета, которые обозначим f[0], f[1], f[2],…,f[N-1].
Преобразование Фурье для непрерывного сигнала позволяет найти спектральную плотность
сигнала и записывается в виде:
F  j  


f t e  jt dt

После дискретизации непрерывного сигнала f(t) подинтегральное выражение
существовать только в моменты времени взятия отсчетов через интервал ТД, следовательно:
F  j  
 N 1T
 f t e
 jt
dt 
0
 f [0]  e J 0  f [1]  e j1T  f [2]  e j 2T     f [k ]  e jkT     f [ N  1]  e j  N 1T 
N 1
  f k  e jkT .
k 0
будет
В принципе полученную спектральную плотность можно найти для любой частоты ω , но
поскольку имеется конечное число отсчетов N , то и значимыми будем пока полагать только N
выходных значений спектральной плотности.
Если непрерывный сигнал является периодическим с периодом To, то преобразование Фурье на
интервале повторения (например, –То/2, +То/2) совпадает с Фурье преобразованием на бесконечном
интервале
[-∞, +∞]. Аналогично можно считать ДПФ обрабатывает N отсчетов, которые
периодически повторяются. Отсчеты с номерами от f[N] до f[2N-1] совпадают с отсчетами от f[0]
до f[N-1].
Поскольку операция ДПФ обрабатывает данные как если бы они были периодическими, мы
рассчитываем ДПФ одного периода основной (фундаментальной) частоты 1 :
один цикл на последовательность отсчетов =
1
2
[Гц] или 1 
NT
NT
[рад/с], всех ее гармоник
2
) и не забываем о постоянной составляющей (среднее значение всех
NT
дискретных отсчетов на частоте ωо=0). То есть определяем комплексные амплитуды спектра для
набора частот :
(на кратных частотах  n 
{ωn}=0,
2
2
2
2
2
,2
,3
,…n
,…,(N-1)
NT
NT
NT
NT
NT
Тогда окончательно формулу расчета ДПФ можно записать в виде:
N 1
F n   f k   e
k 0
при чем WN  W  e
1
N
j
2
N
j
2
nk
N
N 1
  f k   WNnk
k 0
для
n = 0…(N-1),
 2 
 2 
 cos   j  sin   - поворачивающий множитель, и WN1  WN2 N  1 .
N 
N 
Результатом ДПФ будет N комплексных чисел F[n].
Математически это выражение представляет собой линейную комбинацию экспонент с
комплексным показателем (комплексных чисел), с весом каждого из них равным величине


дискретного отсчета сигнала, что можно записать в матричной форме F  W  f ,


где F, f - вектор-столбцы , а элементы матрицы W по строке n и столбцу k равны WNnk  e
j
2
nk
N
:
,
Если поворачивающий множитель WN изобразить на комплексной плоскости, то при
последовательном увеличении степени поворачивающего множителя WN (степень определяется
произведением n на k), вектор, его изображающий , начнет поворачиваться против часовой стрелки
 2 
на дискретный угол в 
 радиана.
 N 
Пример диаграммы поворачивающих множителей для N=8 приведен на рисунке 6. Дискрет угла
поворота равен 45о или π/4 радиана. Когда произведение nk превысит N процесс поворота начнет
повторяться.
Рисунок 6
Рассмотрим пример моделирования сигнала в программе MathCAD.
Пусть аналоговый сигнал содержит постоянную составляющую равную 5 и две
косинусоидальные гармоники. Первая с частотой 1 [Гц], амплитудой 2 [B], начальной фазой –90о
(или -π/2 радиан), и вторая с частотой 2 [Гц] , амплитудой 3 [B] и нулевой начальной фазой.
Модель такого сигнала сформирована в программе MathCad:
Осуществим дискретизацию данного сигнала, взяв отсчеты 4 раза в секунду. Это означает, что
частота дискретизации fД,=4 [Гц], а интервал взятия дискретных отсчетов (интервал дискретизации)
ТД=1/4 [c]. Так как период повторения сигнала f(t) равен To=1[c] (определяется самым большим
периодом гармонической составляющей с наименьшей частотой повторения), то за период
повторения сигнала f(t) при дискретизации с выбранным интервалом TД получим N=4 дискретных
отсчета.
Значения дискретных отсчетов определяются выражением для моментов времени t k  k  Tk 
и по результатам расчета в MathCAD равны : f 0  8 f 1  4 f 2  8 f 3  0 .
k
,
4
Таким образом можно записать ДПФ для данного сигнала в следующем виде:
41
F n   f k   e
k 0
j
2
nk
4
3
  f k    j 
k 0
nk
.
Расчет ДПФ (комплексных амплитуд гармоник) в матричной форме будет выглядеть следующим
образом:
Амплитуду и начальную фазу определим, рассчитав модуль и аргумент комплексной амплитуды:
Аналогичный результат дают расчеты в среде MathCAD:
Как интерпретировать полученный результат, какой здесь физический смысл ДПФ?
Ведь в аналоговом сигнале было три компоненты: две гармонических и одна постоянная
(вырожденная гармоническая с частотой равной нулю), а по результатам ДПФ получены четыре
комплексных амплитуды гармонических составляющих.
Для понимания этого вопроса рассмотрим теперь обратное дискретное преобразование Фурье,
которое восстанавливает дискретные отсчеты во времени по значениям ДПФ:
1
f k  
N
N 1
 F n e
j
2
nk
N
n 0

1 * 
W  F с комплексно-сопряженными
N
элементами в 1/N раз большими, чем у исходной матрицы ДПФ. (симметричная матрица).
Это соответствует использование обратной матрицы f 
Еще раз следует обратить внимание, что коэффициенты F[n] комплексные. Значит мы можем
предположить, что значения f[k] действительные. Это простейший случай; но есть ситуации,
например, когда имеются два выхода квадратурного демодулятора: синфазный – фаза 0о, и
квадратурный – фаза 90о , которые на каждом k-ом моменте дискретизации рассматриваются как
комплексная пара одного дискретного отсчета в момент времени tk=kTД.
В процессе обратного преобразования зеркальные компоненты F[n] и F[N-n] (помним, что
спектр вещественного сигнала симметричен относительно компоненты с номером N/2)
объединяются, чтобы сформировать одну вещественную частотную компоненту, ту, которая
находится на более низкой из двух частот:
n  n 
N
2 
[рад/с], где n  ,
2
To
а симметричная компонента с большей частотой  N n   N  n  
относится к частоте «наложения спектров».
2 
To
и номером n 
N
2
Каждая гармоника с номером n дает свой частичный вклад в величину каждого дискретный
отсчета с номером k.
Из формулы ОДПФ этот вклад можно представить объединением гармоник с номерами
симметричными относительно N/2 и записать так:
1
f n k  
N
2
2
j
nk
j
 N  n k 

  F ne N  F N  ne N
.


Когда все f[k] вещественные (симметрия спектра комплексно-сопряженная), ДПФ для номеров
(N-n) можно записать следующим образом:
N 1
F N  n   f k  e
j
2
 N  n k
N
k 0
так как e
j
2
Nk
N
 e  j 2k =1
N 1

k 0
2
j
nk
  j 2N Nk  j 2N  n k  N 1
N


f k  e
e

f
k

e
 

 k 0
для любого k.
Значит гармоники ДПФ симметричные относительно номера N/2 являются комплексносопряженными:
F N  n  F * n
Учитывая две последних формулы, вклад гармоники с номером n в дискретный отсчет ОДПФ
для f n k  можно записать в виде:
1
f n k  
N
2
2
j
nk
j
nk 

*
N
  F ne
 F ne N  .


Разложив в этом выражении экспоненты по формуле Эйлера
z  Ae jx  Rez   j Imz   A cosx   jA sin x  ,
и выделив реальную и мнимую части можно представить n-ую составляющую вещественного
отсчета с номером k - f n k  в виде разности двух вещественных компонент – синфазной (по закону
косинуса) и квадратурной (по закону синуса), которые рассогласованы между собой по фазе точно
на 90о :
f n k  
1
N

2
N

  2 
 2 
nk   j sin 
nk  
 ReF n j ImF n cos
N
N







 ReF n j ImF n cos 2 nk   j sin  2 nk 



  N


 N

 


 2 
 2 
 Re F n  cos
nk   ImF n  sin 
nk 
;
N
N






Если теперь определить модуль (амплитуду) F n  Re 2 F n Im2 F n







и аргумент (начальную фазу) argF n  arctg
f n k  
2
N
ImF n
комплексного представления получим:
ReF n

 2

  F n  cos
nk  arg F n  
 N
 .

N 1
В специальном случае, когда n=0
F n   f k  ,
k 0
1
 F 0  f 0 равно среднему значению f k , и
N
является постоянной составляющей дискретизированного сигнала.
получаем сумму всех отсчетов, и тогда
f 0 k  
Выводы.
1. ДПФ определяет набор гармоник и постоянной составляющей, которые в сумме дают дискретные
значения аналогового сигнала только в моменты дискретизации.
2. Для вещественных отсчетов спектральные компоненты ДПФ комплексно сопряжены на частотах
симметричных частоте гармоники с номером N/2.
3.ОДПФ очень приближенно может восстановить форму аналогового сигнала, подвергнутого
дискретизации.
4.Если аналоговый сигнал имеет высокочастотные компоненты, а дискретные отсчеты взяты с
большим интервалом (нарушены условия теоремы Котельникова), то возникает наложение
спектральных компонент ДПФ, которое приведет к ошибкам при восстановлении сигнала при
ОДПФ.
5.Если дискретные отсчеты взяты из не целого количества периодов сигнала (или То/ТД не целое
число) ДПФ «растекается» , возникают не нулевые комплексные амплитуды на частотах, которых
быть не должно, при восстановлении отсчетов возникают ошибки.
Для борьбы с этими неблагоприятными факторами используют:
а) увеличение частоты дискретизации (но это увеличивает длину выборки N и соответственно время
расчета ДПФ);
б) применяют низкочастотную фильтрацию с помощью антиэлайзингового фильтра перед
устройством оцифровки сигнала, чтобы убрать высокочастотные гармоники в аналоговом сигнале;
в) Применение к оцифрованным отсчетам специальных весовых функций – «окон» отличных от
прямоугольных , для сглаживания скачков в начале и конце выборки при не кратном отношении
То/ТД
2.1 Алгоритмы быстрого преобразования Фурье.
Вычисление ДПФ требует выполнения N2 операций умножения комплексных чисел (4 операции
умножения вещественных чисел). Сложность вычисления по алгоритму ДПФ и, соответственно,
время на вычисление можно обозначить как Ο(N2). Для реализации ДПФ в реальном масштабе
времени при больших N (для N=1000, N2=1000000) время вычисления ДПФ становится
неприемлемым.
N 1
FN  n   f k  e
k 0
j
2
 N  n k
N
N 1
 f k  e
n 0
 j 2k
e
j
2
nk
N
N 1
 f k  e
j
2
nk
N
n 0
Наличие периодичности при расчете ДПФ, то есть FN n  Fn , FiN n  Fn для любого целого
i, и наличие симметрии в алгоритме ДПФ позволяет существенно сократить время вычисления и
сложность алгоритма свести к величине Ο(NlogN) (для N=1000, NlogN ≈10000).
Основная идея ускорения вычислений ДПФ.
Если исходную последовательность отсчетов разбить на две меньшей длины (например, на две
длиной N/2), то сделав два N/2 точечных ДПФ , выполним 2(N/2)2 =N2/2 операций комплексного
умножения.
Если теперь объединить результаты двух N/2 точечных ДПФ в одно N точечное и сэкономить
хотя бы одну операцию умножения, то результат будет получен быстрее , чем при прямом расчете N
точечного ДПФ.
Далее каждое из N/2 точечных ДПФ также можно вычислить путем замены N/2-точечного ДПФ
на два N/4-точечных, которые, в свою очередь, можно рассчитать через N/8-точечные ДПФ. Когда
N=2L. Эту рекурсию можно продолжать L раз до получения 2-х отсчетов. На каждом этапе будут
экономиться операции умножения и сложность алгоритма можно оценить величиной
Ο(NlogN)= Ο(NL).
Разделение исходной последовательности дискретных отсчетов сигнала на две части можно
осуществлять различными методами. Рассмотрим два из них.
2.1.1. Алгоритм БПФ с прореживанием по времени.
Разделим исходные отсчеты сигнала на две части по номеру - на четные и нечетные. Тогда
N 1
Fn   f k  e
j
2
nk
N
k 0
N
1
2
 f 2m  e
j
2
n 2 m 
N
m 0
N
1
2
  f 2 m1  e
j
2
n  2 m 1
N
m 0
N
1
2
  f 2m  e
j
2
N
2
nm
e
j
2
n
N
m 0
N
1
2
N
1
2
  f 2 m1  e
j
2
N
2
nm

m 0
N
1
2
  f 2 m  W Nnm  WNn   f 2 m1  W Nnm
m 0
m 0
2
2
получим:
Каждое из двух слагаемых есть ДПФ с числом отсчетов N/2, первое слагаемое с четными
отсчетами, второе с нечетными. Кроме того, каждая составляющая ДПФ нечетных отсчетов
дополнительно умножается на свой поворачивающий множитель WNn  e
j
2
n
N
N
-1, то сложность каждого вычисления ДПФ меньшей в два раза размерности
2
будет Ο[(N/2)2]= Ο(N2/4), а поскольку таких ДПФ два, то общая сложность будет
Так как 0  m 
Ο(N2/4)+Ο(N2/4)= Ο(N2/2). Значит операций умножения будет затрачено в 2 раза меньше.
Но при этом пока получена только половина N/2 из необходимых N составляющих Fn.с номерами
n=[0 … (N/2)-1] (см. верхний предел в каждой сумме).
Чтобы получить вторую половину нужных отсчетов Fn рассмотрим процедуру ДПФ для
симметричных номеров относительно номера N/2, то есть когда n=[n+N/2].
N 1
F
n
N
2
  fk  e
j
2
nk
N
k 0
N 1
  f 2m  e
j
2
N
 N2 n 2 m 
m N2

N 1

m N2
f 2 m1  e
N
1
2
j
2
N
 N2 n 2 m1
N
1
2
  f 2m  e
m 0
j
2
N
2
nm
e
 j
e
j
2
n
N
N
1
2
  f 2 m1  e
j
2
N
2
nm
m 0
N
1
2
  f 2 m  W Nnm  WNn   f 2 m1  W Nnm ,
m 0
поскольку e
 j
2
m 0
2
 1 .
Из этого следует что базовую операцию алгоритма БПФ с прореживанием отсчетов по времени
на четные и нечетные можно представить в виде направленного графа следующей структуры:
Сам алгоритм можно выразить следующим образом.
1.Исходные отсчеты необходимо рассортировать на четные и нечетные L раз, пока не останутся
только 2 отсчета.

2.С использованием базовой операции L раз осуществить объединение. На каждой ступени
объединения следует учитывать свой поворачивающий множитель базовой операции.
Рассмотрим пример. 8-ми точечного БПФ.с прореживанием по времени по структуре:
Направленный граф 8-ми точечного БПФ с прореживанием по времени и замещением имеет вид:
Следует обратить внимание, что после сортировки отсчетов на четные и нечетные L раз ( в
примере L=3), исходные отсчеты попадают в ячейки, номера которых соответствуют инверсной
записи в двоичном коде по отношению к номеру исходной ячейки. Так число f1=5.3 из ячейки 1 с
двоичным номером 001 после L=3 этапов сортировки оказалось в ячейке с двоичным номером 100, а
число f6=9 переместилось из ячейки 110 в ячейку с двоичным номером 011. Такой принцип
сортировки на четные и нечетные отсчеты называется двоичной инверсией номера отсчета.
Для случая N=8 соответствие номеров отсчетов входного сигнала и их номеров ячеек памяти
представлено в таблице:
Номер
Двоичное
представление
Двоичная
инверсия
0
1
2
3
4
5
6
7
000
001
010
011
100
101
110
111
000
100
010
110
001
101
011
111
Двоичноинверсный
порядок
0
4
2
6
1
5
3
7
После осуществления сортировки выполняются четыре ДПФ N=2, просто как сумма и разность
двух отсчетов, и проводится процедура первого этапа объединения. То есть, на первой ступени
объединяются результаты четырех 2-х точечных ДПФ , на втором этапе четыре объединения 2-х
точечных ДПФ объединяются, но уже в два 4-х точечные, и на третьем этапе два 4-х точечных
объединяются базовой операцией в одно 8-ми точечное, и получаем результат ДПФ8 в прямой
последовательности отсчетов комплексных амплитуд Fn .
Количество операций комплексного умножения соответствует числу стрелок в базовых
операциях. Всего их 12. При этом поворачивающие множители при объединении соответствующих
отсчетов с номером «0» имеют степень равную «0». Поворачивающий множитель в степени «0»
равен 1, и эта операция умножения тривиальна. Следовательно, общее число умножений
комплексных чисел при выполнении БПФ равно пяти. При выполнении ДПФ с учетом тривиальных
умножений потребовалось бы 82-8=56 операций умножения.
2.1.2. Алгоритм БПФ с прореживанием по частоте.
Разделим исходные отсчеты сигнала по номеру на первую половину и вторую половину:
Пусть входной дискретный сигнал f[k], состоит из N=2L отсчетов.
Разделим это сигнал на два N/2-отсчетных сигнала f1(k) и f2(k) так, что f1(k) состоит из
первых N/2 отсчетов f(k), а f2(k+N/2) – из остальных N/2 отсчетов. То есть f1k=fk для k=
0..(N/2-1), а f2k= fk для k=N/2…(N-1).
В этих обозначениях ДПФ можно записать в следующем виде:
N
2
1
Fn   f k  e
j
2
nk
N
k 0
N 1
  fk  e
j
2
nk
N
k  N2
N
Поскольку WN2  e
n
N
1
2
2 N
j
n
N 2
N
1
2
N
1
2
k 0
k 0
  f 1k  WNnk   f 2k  WN

n k
N
2

N
1
2
N
1
2
k 0
k 0
  f 1k  WNnk   f 2k  WNnkWN2
 1 n  нечетное
 e  jn  
 , можно записать:
 1 n  четное 
N
1
2


N
1
2


Fn   f 1k  WN   f 2 k e  jn  WN   f 1k  f 2 k e  jn  WN
k 0
nk
k 0
nk
k 0
nk
N
n
Запишем теперь отдельно результаты для четных с номерами (2n) и нечетных с номерами (2n+1)
компонент ДПФ.
Для четных получим:
N
1
2
N
1
2
   f 1
F2 n    f 1k  f 2k   WN2 nk    f 1k  f 2k   WN2
k 0
N
1
2
k 0
nk
k 0
k
 f 2k   W Nnk
2
Это ДПФ сигнала, отсчеты которого получены суммированием соответствующих отсчетов
первой и второй половины исходной последовательности.
Для нечетных:
N
1
2
N
1
2
k 0
k 0
 
F2 n 1    f 1k  f 2k   WN2 n 1k    f 1k  f 2k   W 2
nk
N
1
2


 WNk    f 1k  f 2k WNk  WNnk
k 0
2
А это есть ДПФ сигнала, отсчеты которого получены как взвешенная разность соответствующих
отсчетов первой и второй половины, где вес определяется поворачивающим множителем
WNk  e
j
2
k
N
.
Базовая операция алгоритма БПФ с прореживанием по частоте имеет вид:
Пример направленного графа 8-ми точечного БПФ представлен на рисунке :
При прореживании по частоте порядок следования выходных отсчетов двоично-инверсный, а
входных – прямой. Для восстановления прямого порядка необходимо выходные отсчеты
рассортировать на четные и нечетные L раз.
2.1.3. Обратное ДПФ и БПФ
Обратное ДПФ N-точечной последовательности F[n], n=0,1,…,(N-1) определяется как
1
f k  
N
N 1
 F n e
j
2
nk
N
n 0
1

N
N 1
 F n W
n 0
nk
.
Поворачивающие множители с увеличением произведения nk вращаются по часовой стрелке.
Возьмем к этому выражению комплексно-сопряженное и умножив его на N, получим:
N 1
N  f k    F n  e
*
*
j
2
nk
N
n 0
N 1
  F * n  W nk
n 0
Правая часть представляет собой прямое ДПФ последовательности F*[k] и может быть
вычислена с использованием одного из вышеописанных алгоритмов БПФ. Тогда искомую
последовательность f[k]- можно получить, взяв комплексно-сопряженное выражение и разделив его
на N:
*
2
 j nk 
1  N 1 *
1  N 1 *
nk 
N


f k    F n  e

F
n

W



N  n 0
N  n0


*
.
Таким образом, алгоритмы БПФ обеспечивают вычисление и прямого, и обратного ДПФ.
3. Задание на контрольную работу.
ВНИМАНИЕ!!! Варианты выполнения пунктов контрольной работы зависят от четного или не
четного номера зачетной книжки.
Модель OFDM сигнала содержит 8 частотных составляющих.
Источником потока бит является ASCII код четырех букв русского алфавита, записанный
последовательно. Первые две буквы берутся из имени, а вторые две из фамилии.
Для кодировки использовать следующую таблицу ASCII:
Например, Антон Журавлёв:
десятичная запись:
«А» - 225 ;
двоичный код ASCII: 11100001
«н» - 206 ;
«Ж» - 246 ; «у» - 213 ;
11001110 11110110 11010101.
Для цифровой модуляции поднесущих частот OFDM символа следует использовать КАМ-16
(квадратурную амплитудную модуляцию на 16 символов) со следующим сигнальным созвездием для четных значений номера зачетной книжки вариант а), для нечетных вариант б):
Чтобы получить требуемые значения 8-ми комплексных амплитуд необходимо
последовательный поток бит преобразовать в параллельный и разделить по 4 бита. Получится 8
цифровых символов:
Формат представления символа выбран в виде I Q. Это означает, что из 4-х бит каждого символа
первые 2 бита кодируют на созвездии уровни синфазной компоненты, а оставшиеся 2 бита кодируют
уровни квадратурной компоненты.
Определив на созвездии нужную точку в соответствии с кодировкой IQ, далее необходимо в
соответствии с картой модуляции сформировать комплексное число:
F[n]=Re{F[n]} +jIm{F[n]}=I+jQ.
Поясним на примере. Из исходной последовательности второй цифровой символ F1 (номер 1)
содержит следующие 4 бита 0001.
Первые два кодируют уровень синфазной компоненты I=00. Этому коду на созвездии КАМ-16
б) соответствует уровень -3h. Синфазная компонента I определяет реальную часть комплексной
амплитуды F1. Значит она равна: Re{F1}=-3.
Оставшиеся два бита Q=01 кодируют уровень квадратурной компоненты. Этому коду
соответствует уровень –h. Квадратурная компонента Q определяет мнимую часть комплексной
амплитуды F1 . Значит она равна: Im{F1}=-1.
Следовательно, окончательно комплексная амплитуда F1 = -3-j1.
Таким образом необходимо определить все 8 комплексных значений F[n], а затем найти их
модули и аргументы (формулы расчета приведены выше), построить графики АЧС (модуль) и ФЧС
(аргумент – начальная фаза), и сформировать OFDM символ, просуммировав постоянную
составляющую и все гармоники спектра, используя программу MathCAD (см. пример выше).
Теперь, используя направленный граф 8-ми точечного БПФ необходимо вычислить ОБПФ,
записав в ячейки графа все промежуточные расчетные значения, и определить дискретные отсчеты
f[k]. Внимание!!! Здесь надо быть внимательным с комплексным сопряжением и порядком расчета
поворачивающих множителей.
Для четных номеров зачетной книжки используется алгоритм с прореживанием по частоте,
а для нечетных номеров – алгоритм с прореживанием по времени.
Полученные отсчеты f[k] необходимы в качестве исходных при выполнении расчетов в
алгоритме прямого БПФ.
Используя направленный граф 8-ми точечного БПФ необходимо вычислить теперь прямое БПФ,
записав в ячейки графа все промежуточные расчетные значения, и определить комплексные
амплитуды F[n].
Обратите внимание!!! Теперь для четных номеров зачетной книжки используется
алгоритм с прореживанием по времени, а для нечетных номеров – алгоритм с прореживанием
по частоте.
Результаты выполнения расчетов контрольной работы представить в виде пояснительной
записки. включив в нее следующие разделы:
1. Кодирование источника последовательного потока бит по таблице ASCII.
2. Сигнальное созвездие КАМ-16 с указанием на нем 8 цифровых символов и найденных 8-ми
комплексных амплитуд, в соответствии с картой созвездия.
3. Программа моделирования в MathCAD с графиком сформированного OFDM символа.
4. Направленный граф 8-ми точечного обратного БПФ с промежуточными и итоговым
результатами вычислений дискретных отсчетов f[k].
5. Направленный граф 8-ми точечного прямого БПФ с промежуточными и итоговым
результатами вычислений комплексных амплитуд F[n].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Основная
1. Степутин А.Н., Николаев А.Д. Мобильная связь на пути к 6G. В 2 Т.-Москва-Вологда:ИнфраИнженерия, 2017 г.
2. Биккенин, Р. Р. Теория электрической связи : учеб. пособие / Р. Р. Биккенин, М. Н. Чесноков. – Л.:
ЛЭИС. – 2010.
3. Аджемов А. С., Санников В.Г. Общая теория связи. – М.: Горячая линия Телеком, 2018 г.
4. Зюко, А. Г. Теория электрической связи: учебник для вузов / А. Г. Зюко, Д. Д. Кловский, В. И. Коржик,
М. В. Назаров. – М.: Радио и связь, 1998, 1999. – 432 с.
5. Скляр, Бернард. Цифровая связь. Теоретические основы и практическое применение: пер. с англ. Е.Г.
Грозы, В.В. Марченко, А.В. Назаренко, канд. физ.-мат. наук О.М. Ядренко: Под ред. А.В. Назаренко/ Бернард
Скляр. – Изд. 2-е, испр. – М. : Издательский дом «Вильямс», 2003. – 1104 с.
6. Прокис, Дж. Цифровая связь: перевод с англ. Кловского Д.Д., Николаева Б.И.: под ред.
Д. Д. Кловского / Дж. Прокис. – М.: Радио и связь, 2000. – 800 с.
7. Рабинер Л.,Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов.-М:Мир,1978 г.
Дополнительная
8. Варгузин В.А., Цикин И.А. Методы повышения энергетической испектральной эффективности
цифровой радиосвязи. – СПб.:БХВ-Петербург, 2013 г.
9. Сальников, А. П. Теория электрической связи: конспект лекций / А. П. Сальников. – СПб.: Линк, 2007.