МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» _____________________________________________________________________________________________ ___ Инженерная школа энергетики НОЦ И.Н. Бутакова Специальность 14.05.02.Атомные станции: проектирование, эксплуатация и инжиниринг ОТЧЕТ по лабораторной работе № 1 “Численное интегрирование функций” по дисциплине “Методы математического моделирование физических процессов” вариант задания №15 Выполнил студент гр. 5081 __________ Проверил старший преподаватель __________ Томск 2022 Малых М.А. Кудров А. И. Задание: вычислить интеграл b a f ( x)dx методами прямоугольников (левых, правых и средних), трапеций и Симпсона при числе разбиений N1 12 и N 2 502 . Определить абсолютную погрешность метода, аналитически вычислив требуемый интеграл; произвести оценку максимальной абсолютной погрешности. Сделать выводы и оформить отчет согласно требованиям. Таблица 1 Исходные данные к Лабораторной работе №1 Вариант Интеграл 15 0 e x cos( x)dx 1. Описание методов Метод прямоугольников (правых, левых и средних) Пусть, f(x) имеет следующий график: Рисунок 1 График функции f(x) Тогда значение интеграла этой функции есть площадь фигуры, заключенной между графиком и осью абсцисс. При численном интегрировании отрезок разбивают на несколько частей, т.е. вводят разбиение, состоящее из N узлов, где… 𝑖 = ̅̅̅̅̅ 1, 𝑁; 𝑥1 = 𝑎; 𝑥𝑁 = 𝑏. Рисунок 2 График функции f(x) Определим шаг метода и перейдем к рассматриванию прямоугольников: ℎ= 𝑏−𝑎 . 𝑁−1 Так, площадь фигуры складывается из суммы площадей всех прямоугольников: Прямоугольник x1-A-A’-x2 даст формулу левых прямоугольников: 𝑏 𝑁−1 𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 = ℎ ∑ 𝑓(𝑥𝑖 ) ; 𝑖=1 𝑎 Прямоугольник x1-B-B’-x2 даст формулу правых прямоугольников: 𝑏 𝑁 𝐼 = ∫ 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 = ℎ ∑ 𝑓 (𝑥𝑖 ) ; 𝑖=2 𝑎 Прямоугольник x1-D-D’-x2 даст формулу средних прямоугольников: 𝑏 𝑁−1 ℎ 𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 = ℎ ∑ 𝑓 (𝑥𝑖 + ) ; 2 𝑎 𝑖=1 Метод трапеции Пусть, f(x) имеет следующий график: Суть и метод разбиения тот же, что и в методе прямоугольников, однако Рисунок 3 График функции f(x) в этом рассматривается фигура трапеции – a-A-B-x2; x2-B-D-x3;…; xN-1-E-C-b. Сумма площадей всех трапеций составит значение искомого интеграла: ℎ (𝑓 + 𝑓2 ); 2 1 ℎ 𝑆2 = (𝑓2 + 𝑓3 ); 2 𝑆1 = … 𝑆𝑁−1 = 𝐼 = 𝑆1 + 𝑆2 + ⋯ + 𝑆𝑁−1 = ℎ (𝑓 + 𝑓𝑁 ); 2 𝑁−1 ℎ (𝑓 + 2𝑓2 + 2𝑓3 + ⋯ + 2𝑓𝑁−1 + 𝑓𝑁 ); 2 1 𝑏 𝑁−1 ℎ 𝐼 = ∫ 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 = (𝑓𝑎 + 𝑓𝑏 + 2 ∑ 𝑓𝑖 ). 2 𝑎 𝑖=2 Метод Симпсона (метод парабол) Суть данного метода заключается в том же разбиении графика функции на N-1 частей, однако в данном методе рассматривается парабола, проведенная через характерные точки: Особенность метода – в разбиении участвую сразу три узла и число разбиений (элементарных промежутков) обязательно было четным: 𝑁 − 1 = 2𝑚 → 𝑁 − четное. Тогда… 𝑏 𝑚 𝑚 𝑖=1 𝑖=2 ℎ 𝐼 = ∫ 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 = (𝑓𝑎 + 𝑓𝑏 + 4 ∑ 𝑓2𝑖 + 2 ∑ 𝑓2𝑖−1 ). 3 𝑎 2. Результаты вычислений Таблица 2. Результаты вычислений Методы Значение при n=12 Левых прямоугольников -8,787598 Правых прямоугольников -15,682164 Средних прямоугольников -9,687865 Трапеции -20,083180 Симпсона -18,996355 Истинное значение Значение при n=502 -12,070346 -12,070346 -12,070346 -12,070346 -12,070346 -11,994737 -12,146114 -12,022553 -12,222278 -12,215605 Таблица 3. Абсолютные погрешности Методы Левых прямоугольников Правых прямоугольников Средних прямоугольников Трапеции Симпсона Значение при n=12 3,282748 3,611818 2,382481 8,012834 6,926009 Значение при n=502 0,075609 0,075768 0,047793 0,151932 0,145259 Таблица 4. Относительные погрешности Методы Левых прямоугольников Правых прямоугольников Средних прямоугольников Трапеции Симпсона Значение при n=12 0,271968 0,299231 0,197383 0,663845 0,573804 Значение при n=502 0,006264 0,006277 0,00396 0,012587 0,012034 3. Листинг программы: 3.1. Метод левых треугольников 3.2. Метод правых треугольников 3.3. Метод средних треугольников 3.4. Метод трапеции 3.4. Метод Симпсона (парабол) Вывод: было определено значение исходного интеграла методами: прямоугольника, трапеции, Симпсона. Расчет дал результат, что наиболее точный метод вычисления – «Метод средних прямоугольников». Данный результат разниться с предположением о наибольшей точности метода Симпсона, дающего 4 порядок точности. Расхождение вызвано спецификой подынтегральной функции. Были найдены значения для разного количества узлов разбиения n=12 и n=502, а также найденное истинное значение в Mathcad 15. Из данных можно сделать вывод, что при большем значении разбиений n точность результатов увеличивается. Наибольшее отклонение от истинного значения видно в методе трапеции.
