Лекция №20
§ 35. Теория упругого рассеяния
Процессом рассеяния называется отклонение частиц от первоначального движения,
вызванного взаимодействием с некоторой системой, которая называется рассеивателем.
Изучение процессов рассеяния частиц является одним из основных экспериментальных
методов исследования строения атомов, атомных ядер и элементарных частиц.
Как известно, само существование атомного ядра было установлено в опытах
Резерфорда по рассеянию α − частиц. Анализ результатов наблюдения над рассеиванием
нейтронов ядрами позволил Н. Бору сформулировать современные представления о
строении ядра. Изучение законов рассеяния быстрых частиц является в настоящее время
основным источником сведений о ядерных силах и о свойствах элементарных частиц. Об
этом говорит и запуск в 2008 году Большого андронного коллайдера (БАК), самого
мощного в мире ускорители частиц на встречных пучках, построенного международным
консорциумом ряда стран с участием России. Поэтому теория рассеяния является одним
из важнейших разделов квантовой механики.
Рис. 1. Столкновение частиц по квантовой механике: A – рассеивающий атом, B –
падающий пучок частиц.
Рассеяние потока частиц характеризуется дифференциальным эффективным
сечением рассеяния. Эта величина определяется как отношение числа частиц dNр ,
рассеянных в единицу времени в телесный угол dΩ, к плотности потока jпад падающих
частиц, т. е.
dNр (θ, φ)
(35.1)
dσ(θ, φ) =
,
jпад
где углы θ и φ определяют направление движения рассеянных частиц. Ось Z направлена
вдоль движения падающих частиц.
Очевидно
dNp = jp (θ, φ)ds,
(35.2)
где jp − плотность потока рассеянных частиц на больших расстояниях от рассеивающего
центра, ds − элемент площади, перпендикулярный радиус – вектору, проведённому из
1
рассеивающего центра под углами θ и φ. Величина ds − связана с элементом телесного
угла dΩ равенством ds = r 2 dΩ.
Отсюда дифференциальное эффективное сечение dσ равно
dσ =
jр
jпад
(35.3)
ds.
Здесь под плотностями потока jр , jпад подразумеваются соответствующие
плотности потоков вероятности.
При взаимном рассеянии двух квантовомеханических систем, например электрона
атомом, следует различать упругое и неупругое рассеяние. При упругом рассеянии
внутреннее состояние как рассеивающей, так и рассеиваемой систем остается
неизменным. При неупругом рассеянии внутреннее состояние одной или обеих систем
изменяется. Например, рассеяние электронов атомами является неупругим, если в
процессе рассеяния атомы переходят в возбуждённое состояние.
Вначале рассмотрим случай упругого рассеяния. При упругом рассеянии можно не
интересоваться внутренним состоянием систем (их структурой).
В процессе рассеяния имеет место взаимодействие двух частиц – рассеиваемой и
рассеивающей. При этом, как правило, энергия взаимодействия зависит только от
расстояния между частицами. В этом случае задача о движении двух взаимодействующих
частиц всегда может быть сведена к изучению движению одной частиц (с приведённой
массой M) в поле неподвижного центра сил и движения центра инерции системы.
Напишем теперь волновую функцию частицы, рассеивающей на силовом центре.
Поместим неподвижный рассеивающий центр в начало координат. Направление
потока падающих частиц примем за ось Z. Вдали от рассеивающего центра падающая
частица движется как свободная, и её волновая функция имеет вид плоской волны
exp(ikz). Вблизи силового центра частица испытывает рассеяние, и вид её волновой
функции изменяется. Однако после того, как рассеянная частица уйдёт достаточно далеко
от центра сил, она вновь будет двигаться как свободная. Так как поток рассеянных частиц
на большом расстоянии всегда будет направлен от центра рассеяния, то движение
рассеянных частиц должно описываться расходящей волной
f(θ, φ)
exp(ikr)
.
r
(35.4)
Полную волновую функцию, описывающую движение падающей и рассеянной
частиц на больших расстояниях от рассеивающего центра можно, представить в виде
Ψ = eikz + f(θ, φ)
exp(ikr)
,
r
(35. 4′ )
где первый член описывает движение падающих частиц, а второй – рассеянных. Здесь
f(θ, φ) − есть величина, которая называется амплитудой рассеяния. Она в общем случае
2
зависит от углов θ, φ. Для вычисления дифференциального эффективного сечения dσ
необходимо знать плотность потоков падающих и рассеянных частиц. По определению 𝐣
имеем
𝐣=
ℏ
(Ψ∗ 𝛁Ψ − Ψ𝛁Ψ ∗ ).
2μi
(35.5)
Отсюда
jпад =
jр =
ℏk p
= ,
μ
μ
(35.6)
|f(θ, φ)|2 ℏk
ℏ
∂Ψ
∂Ψ∗
(Ψ ∗
−Ψ
)=
.
2μi
∂r
∂r
r2
μ
(35.7)
В результате для дифференциального эффективного сечения имеем
dσ = |f(θ, φ)|2 dΩ,
(35.8)
т. е. эффективное сечение полностью определяется величиной амплитуды рассеяния.
Вычисление амплитуды рассеяния производится следующим образом. Находится решение
уравнения Шредингера для движения частицы в поле рассеивающего центра, которое на
больших рассеяниях от центра имеет вид (35.4). Тогда коэффициент при множителе
exp(ikr)⁄
r даёт искомую величину амплитуды рассеяния.
Уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в поле центральных сил,
имеет вид
ℏ2
(35.9)
− ∇2 Ψ + U(r)Ψ = EΨ.
2μ
Представим его в таком виде
(∆ + k 2 )Ψ =
где k 2 =
2μU(r)
Ψ = V(r)Ψ,
ℏ2
(35.10)
2μE⁄
ℏ2. Здесь рассматривается случай E > 0. Это связано с тем, что U(r) = 0 при
r → ∞ (т. е. инфинитное движение). При этом частица с энергией E движется из
бесконечности к силовому центру. Согласно общей теории движения частицы в поле
центральных сил, такое состояние возможно, если E > 0.
При решении уравнения Шредингера вида (35.10) мы должны взять такие решения,
которые бы для больших расстояний представляли бы поток падающей и расходящей
волны, аналогично (35.4′ ). Соответственно этому представим Ψ в виде суперпозиции
Ψ = Ψ0 + u,
(35.11)
где Ψ0 представляет поток падающих частиц, а u − поток рассеяных. Чтобы найти u, мы
будем считать, что V(r) − малым возмущением и применим для решения уравнения
(35.10) метод теории возмущений. Подставляя (35.11) в (35.10) и пренебрегая членом Vu,
как членом второго порядка малости, мы получим
3
∇2 u + k 2 u = VΨ0 .
(35.12)
Нам нужно найти решение этого уравнения, имеющее асимптотическую форму
(35.4). Для нахождения решения (35.12) воспользуемся известными решениями. Для этого
введём функцию
Ф(𝐫, t) = Ф0 (𝐫)e−iωt ,
(35.13)
которую будем рассматривать как скалярный потенциал, создаваемый электрическими
зарядами, распределёнными в пространстве с плотностью
ρ(𝐫, t) = ρ0 (𝐫)e−iωt ,
(35.14)
где 𝐫 − радиус – вектор точки с координатами x, y, z, а t будем время, соответственно, ω −
некоторая частота.
Из электродинамики известно, что потенциал (35.13) удовлетворяет уравнению
Даламбера
1 ∂2 Ф
∇ Ф − 2 2 = −4πρ,
с ∂t
2
(35.15)
где с – скорость распространения электромагнитной волны. Решение уравнения (35.15)
известно: именно, если брать волны, излучаемые зарядом ρ(𝐫 ′ , t)dV ′ , расположенными в
точке 𝐫 ′ , то электрический потенциал в точке 𝐫 в момент времени t равен
Ф(𝐫, t) = ∫
|𝐫 ′ − 𝐫|
с ) ′
dv ,
|𝐫 ′ − 𝐫|
ρ (𝐫 ′ , t −
(35.16)
где |𝐫 ′ − 𝐫| − есть расстояние от точки 𝐫 ′ , в которой расположен заряд ρdv ′ , до точки
наблюдения 𝐫. Подставляя в (35.16) Ф из (35.16) и ρ из (35.14) и, сокращая на exp(iωt),
получим
ω
ρ(𝐫 ′ ) exp (i с |𝐫 ′ − 𝐫|)
Ф0 (𝐫) = ∫
dv ′ .
|𝐫 ′ − 𝐫|
(35.17)
Если мы подставим в уравнение Даламбера Ф из (35.13) и ρ из (35.14) и сокращая
на exp(iωt), получим
∇2 Ф0 (𝐫) +
ω2
Ф = −4πρ0 .
с2 0
(35.18)
Сравнивая это уравнение с (35.12) мы видим, что (35.12) и (35.18) совпадают, если
положить
Ф0 = u,
ω
= k,
с
ρ0 = −
1
VΨ0 .
4π
(35.19)
Откуда на основании формулы (35.17) получим
1 V(𝐫 ′ )Ψ0 (𝐫 ′ )eik|𝐫
u(𝐫) = − ∫
|𝐫 ′ − 𝐫|
4π
4
′ −𝐫|
dv ′ .
(35.20)
При этом у нас уже автоматически учтено, что u содержит лишь расходящиеся
волны, т. к. решение (35.16) есть решение для излучаемых волн, а не поглощаемых.
Рис. 2. Пояснение к выбору векторов, 𝐫 ′ − радиус – вектор, проведённый от центра атома
к электрону, 𝐫 − радиус вектор, проведённый от центра атома в точку наблюдения
R(x, y, z), θ − угол рассеяния, 𝐧0 − единичный вектор, направленный вдоль движения
первичного пучка, а 𝐧 − вдоль рассеянного пучка
Найдём теперь вид u(𝐫) вдали от рассеивающего центра, в качестве которого
рассмотрим некоторый атом. Из треугольника, приведённого Рис. 2, имеем
|𝐫 ′ − 𝐫|𝟐 = r 2 + r ′2 − 2𝐧𝐫 ′ r ,
где r = |𝐫|, r ′ = |𝐫 ′ |. Отсюда для r ≫ r ′ получим
𝟐
|𝐫 ′
2𝐧𝐫 ′
r′
− 𝐫| = √r 2 + r ′2 − 2𝐧𝐫 ′ r = r √1 −
+( ) ≈
r
r
r′
≈ r − 𝐧𝐫 + Ο ( ),
r
′
′
(35.21)
′
где Ο ( r ⁄r) обозначает члены порядка r ⁄r и выше.
Подставляя |𝐫 ′ − 𝐫| из (35.21) в (35.20) и пренебрегая в знаменателе величиной 𝐧𝐫 ′
по сравнению с r, мы получим выражение для r, справедливое для больших расстояний r
от атома
u(𝐫) = −
1 eikr
′
∫ e−ik𝐧𝐫 V(𝐫 ′ )Ψ0 (𝐫 ′ )dv ′ .
4π r
(35.22)
Подставляя сюда Ψ0 (𝐫 ′ ) из (35.4′ ) и имея в виду, что z ′ = 𝐫 ′ 𝐧𝟎 , мы получаем
u(𝐫) = −
1 eikr
′
∫ eik(𝐧−𝐧𝟎 )𝐫 V(𝐫 ′ )dv ′ .
4π r
(35.23)
Сравнивая (35.23) с (35.4) видим, что амплитуда рассеяния f(θ, φ) равна
f(θ, φ) = −
1
′
∫ eik(𝐧𝟎 −𝐧)𝐫 V(𝐫 ′ )dv ′ .
4π
Введём вектор
5
(35.24)
𝐊 = k(𝐧𝟎 − 𝐧),
K = k|𝐧𝟎 − 𝐧| = 2ksin
Тогда
f(θ) = −
θ 4π
θ
=
sin .
2
λ
2
1 2μ
′
∫ ei𝐊𝐫 U(𝐫 ′ )dv ′ ,
2
4π ℏ
(35.25)
т.е. амплитуда рассеянной волны пропорциональна компоненте Фурье в разложении
потенциала по плоским волнам exp(i𝐊𝐫). Отсюда для дифференциального эффективного
сечения имеем
dσ = |f(θ)|2 dΩ =
2
μ2
′ )ei𝐊𝐫 ′
′
|∫
U(𝐫
dv
|
dΩ .
4π2 ℏ4
(35.26)
Эта формула носит название борновским приближением. Если в выражении (35.26)
проинтегрировать по всему телесному углу, то мы получим величину
𝜎 = ∮|f(θ)|2 dΩ =
2
μ2
′ )ei𝐊𝐫 ′
′
∮
|∫
U(𝐫
dv
|
dΩ ,
4π2 ℏ4
(35.27)
которая называется полным эффективном сечением рассеяния.
В случае, когда рассеивающей центр обладает сферической симметрией, то
∞
1 2μ
2μ
f(θ) = −
∫ U(𝐫 ′ )ei𝐊𝐫 r ′2 dr ′ sinθ′ dθ′ dφ′ = − 2 ∫ U(r ′ )r ′ sinKr ′ dr ′ .
2
4π ℏ
ℏ K
(35.28)
0
Найдём условие применимости. Из выражения (35.3) следует, что замена в
интеграле функции Ψ0 падающей волной возможна лишь в том случае, когда в области
действия сил (где U(r) − велико) выполняется неравенство
′
|Ψ0 (r)|
μ
ei𝐊(𝐫−𝐫 )
≫
∫
U(𝐫 ′ )Ψ0 (𝐫 ′ )dv ′ .
2
′
|𝐫
|
2πℏ
−𝐫
(35.29)
Обычно V(r ′ ) имеет наибольшее значение при r = 0. Полагая в этом неравенстве
r = 0 и подставляя значение Ψ0 (r ′ ), получаем общее условие применимости борновского
приближения
|
μ
U(𝐫)
∫
exp{i[kr + 𝐊𝐫]dv}| ≪ 1 .
2
2πℏ
r
(35.30)
При малых энергиях относительного движения, когда kd ≪ 1 (d – линейные
размеры области силового центра) в интеграле (35.30) можно заменить экспоненциальные
множители единицами. В этом случае неравенство (35.30) преобразуется к виду
̅ ≪ ℏ2 ,
μd2 U
(35.31)
где
̅=
U
1
1
|∫
U(𝐫)| dv.
2πd2
r
6
(35.32)
2
Согласно соотношению неопределённостей величина ℏ ⁄2μd2 характеризует
кинетическую энергию электрона в области с линейными размерами d. Следовательно,
неравенства (35.31) сводиться к требованию, чтобы кинетическая энергия частицы была
значительно больше её потенциальной энергии.
7
