Лекция по теории вероятностей № 1, 02.09.2020 г. Теория вероятностей I. Вероятностные пространства. Случайные события. II. Случайные величины и их распределения. III. Последовательности случайных величин. Предельные теоремы. 2 Литература 1. Боровков А.А. Теория вероятностей. М.: URSS, 2009. 2. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: URSS, 2001. 3. Прохоров А.В., Ушаков В.Г., Ушаков Н.Р. Задачи по теории вероятностей. М.: Наука, 1986. 4. Ширяев А.Н. Вероятность. М.: Наука, 2010. 3 Раздел 1. Вероятностные пространства. Случайные события 4 1.1 Дискретные пространства До возникновения теории вероятностей объектом исследования науки были явления или опыты, в которых условия эксперимента позволяют исследователю однозначно определить исход эксперимента. Так, например, в химии: если известны вещества, вступающие в реакцию, их свойства, условия, в которых будет протекать реакция, то однозначно можно предсказать исход реакции. В механике: если известны масса тела, все силы, которые на него действуют, координаты и начальная скорость, то нетрудно вычислить траекторию последующего движения. Однако есть ряд явлений и экспериментов, которые называются случайными и которые характеризуются невозможностью предсказать их исход до начала эксперимента. 5 Некоторые примеры 1. Однократное подбрасывание монеты. Здесь возможны два исхода, их принято обозначать «Г» (герб) и «Р» (решка). 2. Однократное бросание игральной кости (т. е. кубика, у которого на гранях нанесены числа от 1 до 6). Здесь возможны шесть исходов эксперимента: 1, 2, 3, 4, 5, 6. 3. Подсчет количества вызовов, пришедших в течение часа на АТС (автоматическую телефонную станцию) для обслуживания. Поступить может любое число вызовов: 0, 1, 2, . . . . 4. Определение времени безотказной работы прибора. Исходом этого эксперимента может быть любое неотрицательное число из [0,). 5. Движение броуновской частицы на плоскости в течение минуты. В результате этого эксперимента может осуществиться любая из бесконечного множества траекторий. 6 Теория вероятностей математическая дисциплина, которая строит и изучает математические модели случайных явлений. 7 Построение математической модели - нужно выделить у изучаемых случайных явлений общие черты и наделить ими модель; - при этом надо постараться отразить наиболее существенные черты рассматриваемых явлений и отбросить несущественные; - модель не должна быть слишком сложной, иначе изучать ее будет затруднительно. 8 Какие же общие черты имеются у явлений, рассмотренных в примерах 1-5? Пространство элементарных исходов 9 Случайные события 10 Операции над событиями 11 12 Вероятность события 13 14 15 Классическое определение вероятности 16 Элементы комбинаторики 17 Элементы комбинаторики 18 Элементы комбинаторики 19 Элементы комбинаторики 20 Замечание 21 Пример 22 Пример 23 к.ф.-м.н., доцент Пчелинцев Е.А. Национальный исследовательский Томский государственный университет 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36 +7 (3822) 52-97-05, +7 (3822) 52-97-40 (факс) Evgen-pch@yandex.ru www.tsu.ru
