2DYNAM

23
Глава 2. Динамика
Решение задач динамики надо начинать с изготовления рисунка, на котором
изображено тело (или несколько тел) и действующие на него силы. Каждая сила
должна указывать на взаимодействие тела с каким-либо другим конкретным телом
и иметь вполне определенную физическую природу (сила тяжести, сила упругости,
сила трения, и т.д.). В некоторых случаях как природа силы, так и ее источник не
конкретизируются, просто говорится, что действует внешняя сила, приводящая
тело в движение (такую силу часто называют силой тяги). На рисунке следует
также изобразить направление ускорения (если оно известно) и положительные
направления осей координат. Только после этого можно записывать уравнение
движения — второй закон Ньютона (обычно в проекции на одну или несколько осей).
Задача 1. С какой силой нужно действовать на тело массой 10 кг, чтобы
оно двигалось вертикально вниз с ускорением 5 м/с2? g = 10 м/с2.
На тело действуют сила тяжести и сила тяги. Поскольку
направление силы тяги заранее не известно, ее можно условно
изобразить действующей в произвольном направлении (если
получится отрицательный ответ, то сила направлена в противоположную сторону). Положительное направление выбирают
обычно по ускорению (чтобы не забыть поставить минус перед
ma). 2-ой закон Ньютона в проекции на положительное направление принимает вид
F + mg = ma,
откуда получаем F = m(a  g) = 50 Н. Значит, величина силы равна 50 Н и она направлена не вниз, а вверх.
Замечание. Силу неизвестного направления удобно изображать действующей
в положительном направлении оси. Тогда мы найдем проекцию силы на ось, и знак
ответа укажет направление силы по отношению к оси.
Задача 2. Чему равен вес стоящего в лифте человека массой 70 кг, если лифт
опускается с ускорением, направленным вниз и равным 3 м/с2? g = 10 м/с2.
Вес тела приложен не к человеку, а к опоре (к полу), поэтому вместо веса будем искать силу реакции
пола, которая действует на человека и по 3-му закону
Ньютона равна весу по модулю (P = N). Кроме реакции
пола, на человека действует сила тяжести. Выбирая положительное направление оси вниз (по ускорению),
получим
mg  N = ma,
откуда P = N = m(g  a) = 490 Н.
24
Задача 3 . Тело массой 1 кг, брошенное вертикально вверх со скоростью
40 м/с, достигло высшей точки подъема через 2,5 с. Найдите значение силы сопротивления воздуха, считая ее постоянной. g = 10 м/с2.
Изобразим на рисунке силы, действующие на тело, и его ускорение и запишем
2-ой закон Ньютона в векторном виде (этот этап решения не является обязательным)
 

mg  Fc  ma .
Выберем положительное направление для вертикальной оси, на
которую спроектируем обе части уравнения движения
mg + Fc = ma.
Величину ускорения найдем из кинематики, записав условие
обращения скорости в ноль в верхней точке
0 = v0  at.
Заметим, что при записи кинематических уравнений мы не обязаны использовать
те же оси, что для 2-го закона Ньютона, так как в обоих уравнениях a обозначает
величину ускорения. Получаем
v

Fc  m(a  g)  m 0  g  6 Н.
t

Задача 4. Автомобиль начал двигаться с ускорением 3 м/с2. При скорости
60 км/ч его ускорение стало равным 1 м/с2. Определите, с какой установившейся
скоростью (в км/ч) будет двигаться автомобиль, если сила тяги мотора остается постоянной, а сила сопротивления пропорциональна скорости.
Условие, что сила сопротивления пропорциональна скорости, удобнее всего
записать в явном виде, введя коэффициент пропорциональности k (и исключив его
потом из уравнений). Тогда уравнение движения можно записать в виде
Fт  kv = ma.
где Fт — сила тяги. Это уравнение надо записать для трех случаев. В начальный
момент v = 0 и ускорение максимально: a0 = 3 м/с2. При скорости v1 = 60 км/ч ускорение равно a1 = 1 м/с2. Установившаяся скорость (обозначим ее v2) соответствует ситуации, когда сила сопротивления компенсирует силу тяги, т.е. ускорение
равно нулю. Получаем систему трех уравнений
Fт = ma0
Fт  kv1 = ma1,
Исключая Fт и k (m сокращается), получаем
v2 
a0
v  90 км/ч.
a0  a1 1
Fт  kv2 = 0.
25
Задача 5. Начальная скорость тела равна 10 м/с. Считая, что на тело действует только сила сопротивления среды, пропорциональная его скорости, с коэффициентом пропорциональности 2 кг/с, найдите расстояние, пройденное телом до остановки. Масса тела 4 кг.
Запишем второй закон Ньютона (в проекции на направление, совпадающее с
начальной скоростью)
max = kvx,
где k — коэффициент пропорциональности. Умножим обе части уравнения на малый интервал
времени t и учтем, что axt = vx и vxt = x
mvx = kx.
Разобьем конечный интервал движения на много малых интервалов и просуммируем обе части уравнения по всем интервалам. Получим
m(vx  v0) = ksx.
В данной задаче vx = 0, т.е. s = sx = mv0/k = 20 м.
Задача 6. Какой угол (в градусах) с вертикалью составляет нить с грузом,
подвешенным на тележке, которая движется в горизонтальном направлении с
ускорением 10 м/с2? g = 10 м/с2.
На груз действуют две силы: сила тяжести и сила натяжения нити, направленная вдоль нити. Выбрав одну из осей горизонтально (вдоль ускорения), а вторую — вертикально вверх, запишем уравнение движения в
проекции на эти оси
Tsin  = ma,
Tcos   mg = 0.
Исключив из этих уравнений силу T, получим
tg  
a
 1,
g
т.е.  = 45.
Задача 7. На наклонной плоскости с углом наклона 30° к горизонту лежит
брусок массой 5 кг. Наклонная плоскость стоит в лифте, движущемся с ускорением 2 м/с2, направленным вверх. Определите силу нормального давления кубика
на плоскость. g = 10 м/с2. 3 = 1,7.
На тело действуют сила тяжести, сила нормальной реакции и сила трения покоя. Можно записать проекции уравнения движения на горизонтальную и вертикальную оси и из полученной системы уравнений, исключив Fтр, найти N. Попробуйте сделать это сами, а мы покажем другой подход. Выберем ось не вдоль уско-
26
рения, а вдоль силы реакции (перпендикулярно силе трения) и спроектируем на эту
ось уравнение движения
 


N  Fтр  mg  ma .
Получим
N  mg cos  = ma cos ,
откуда N = m(g + a)cos  = 51 Н. Такой подход требует аккуратности, и его следует
применять тогда, когда он заметно упрощает расчеты. Например, в предыдущей
задаче можно обойтись одним уравнением, направив ось перпендикулярно нити, но
решение от этого не становится проще.
Замечание. Ответ для силы реакции очень похож на выражение, которое получается в случае неподвижной наклонной плоскости. Отличие только в том, что
на месте g стоит теперь (g + a), — как будто все свелось к изменению силы тяжести! (См. также задачу 2.) Это не случайное совпадение, а проявление общего правила, которое формулируется следующим образом: находясь в неинерциальной

системе отсчета, которая движется поступательно с ускорением aсо , можно,
как обычно, записывать 2-ой закон Ньютона, но к реальным силам надо добавить



силу инерции Fин  maсо , или, что то же самое, силу тяжести mg заменить
 
на m(g  aсо ) . Это правило легко обосновать, если воспользоваться законом сложения ускорений. Запишем закон Ньютона в инерциальной СО:






Fi  ma и
представим ускорение тела в виде a  aсо  aотн , где aотн — ускорение тела в

движущейся СО. Перенеся maсо в левую часть равенства, получим уравнение
движения тела в ускоренно движущейся СО



Fi  (maсо )  maотн .
Задача 8. Тело массой 1 кг находится на горизонтальной плоскости. На тело
действует горизонтальная сила 2 Н. Определите силу трения, если коэффициент
трения равен 0,3.
Стандартная ошибка состоит в том, что для силы трения не задумываясь применяют формулу Fтр = N = mg и получают значение Fтр = 3 Н (N  mg = = 0 —
проекция уравнения движения на вертикальную ось). Но это значение больше, чем
сила тяги F = 2 Н — получается, что потянув тело в одну сторону, мы заставим его
двигаться в другую! Ошибка состоит в том, что формула Fтр = N применима для
силы трения скольжения, т.е. когда тело скользит по поверхности (или находится
на грани скольжения), а в данном случае это не так. Тело покоится, и на него, кроме силы тяги F, действует сила трения покоя, которую находим из 2-го закона
Ньютона
27
F  Fтр = 0.
т.е. Fтр = F = 2 Н. Проверка предположения об отсутствии скольжения как раз и
состоит в том, что это значение должно быть меньше или равно, чем максимальное
значение силы трения покоя Fтр  N.
Задача 9. С каким максимальным ускорением должен разгоняться грузовик,
чтобы незакрепленный груз в его кузове не начал смещаться к заднему борту?
Коэффициент трения груза о дно кузова равен 0,2. g = 10 м/с2.
Предположим, что ускорение грузовика достигло "критического" значения:
груз еще не скользит, но находится на грани скольжения. Это значит, что сила трения покоя достигла максимального значения
Fтр = N,
где N находим из проекции уравнения движения на ось y
N  mg = 0.
Сила трения покоя направлена вперед — именно она
сообщает грузу ускорение, равное ускорению грузовика
Fтр = ma.
Из этих уравнений находим ускорение: a = g = 2 м/с2.
Задача 10. Человек везет двое связанных саней, прикладывая силу под углом 30°
к горизонту. Найдите эту силу, если известно, что сани движутся равномерно.
Массы саней по 40 кг. Коэффициент трения 0,3. 3 = 1,7. g = 10 м/с2.
Так как двое саней движутся как одно целое,
можно записать 2-ой закон Ньютона для системы
двух саней, учитывая только внешние для этой
системы силы
F cos   Fтp  0,
F sin   N  mg  0.
,
где F — сила тяги, m = 80 кг — суммарная масса саней, Fтр — суммарная сила трения и N — суммарная нормальная реакция горизонтальной опоры. (Обратите внимание: хотя движение происходит по горизонтальной поверхности, реакция опоры
N не равна mg.) Так как коэффициент трения у саней одинаковый, Fтр и N связаны
соотношением
Fтр = N.
Из этих трех уравнений выражаем силу тяги
F
mg
 240 Н.
cos    sin 
28
Задача 11. За сколько секунд маленькая шайба соскользнет с наклонной плоскости высотой 2,5 м и углом наклона к горизонту 60°, если по наклонной плоскости из такого же материала с углом наклона 30° она движется вниз равномерно?
g = 10 м/с2.
Запишем 2-ой закон Ньютона для тела, соскальзывающего с наклонной плоскости
mg  N  Fòð  ma .
Направим ось x параллельно наклонной плоскости
(по ускорению), а ось y — перпендикулярно ей, и
спроектируем уравнение движения на эти оси
mg sin   Fтp  ma,
N  mgcos   0.
Дополнив эти уравнения формулой для силы трения скольжения
Fтр = N,
получим систему уравнений, из которой найдем ускорение
a  g(sin    cos ).
Коэффициент трения найдем из условия, что при угле наклона  = 30° шайба соскальзывает равномерно
g(sin    cos )  0,
т.е.   tg  3 3. Время соскальзывания найдем из уравнения кинематики
h
at 2
,

sin 
2
откуда получаем
t
2h
 1 с.
g(sin   tg  cos ) sin 
Задача 12. По гладкой горизонтальной поверхности движутся два тела, связанные легкой нитью, под действием силы 10 Н, приложенной к первому телу и
направленной под углом 60° к горизонту. Чему равна сила натяжения нити, если
масса первого тела в 1,5 раза больше массы второго?
В данной задаче силы трения отсутствуют, силы нормальной реакции определять не нужно, поэтому на рисунке изображены только те силы, которые имеют
проекцию на горизонтальную ось. Запишем в проекции на эту ось 2-ой закон Ньютона для всей системы и для второго тела
29
F cos  = (m1 + m2)a,
T = m2a
(ускорения тел одинаковы вследствие
нерастяжимости нити). Исключив ускорение, получим
T  F cos 
m2
F cos 
= 2 Н.

m1  m2 1  m1 m2
Замечание. Постоянство силы натяжения нити вдоль ее длины является следствием ее невесомости. Записав 2-ой закон Ньютона для участка нити между точками 1 и 2: T1  T2 = mнa и учтя, что масса нити равна нулю, получим T1 = T2.
Задача 13. Два тела, лежащие на столе, соединены нитью. К более легкому
телу приложена горизонтальная сила, в результате чего тела движутся по столу
с ускорением. При этом сила натяжения нити составляет 4/5 величины приложенной силы. Во сколько раз масса легкого тела меньше массы тяжелого тела?
Коэффициенты трения тел о стол одинаковы.
Запишем 2-ой закон Ньютона для первого и второго тела в
проекции на горизонтальную ось
F  m1g  T = m1a,
T  m2g = m2a
(мы учли, что
Fтр1 = N1 = m1g, то
же для m2). Чтобы исключить ускорение, поделим первое уравнение на m1, а второе — на m2, и приравняем левые части. Видно, что одновременно из уравнения
уходит и коэффициент трения
F T T
.

m1
m2
Подставляя сюда T = 0,8F, получаем m2/m1 = 4.
Задача 14. Доска массой 12 кг находится на гладкой горизонтальной плоскости. На доске лежит брусок массой 3 кг. Коэффициент трения между доской и
бруском 0,2. Какую минимальную горизонтальную силу надо приложить к доске,
чтобы брусок начал с нее соскальзывать? g = 10 м/с2.
Рассмотрим ситуацию "на грани проскальзывания": доска и брусок еще движутся как одно целое, но сила трения покоя между ними уже достигла своего мак-
30
симального значения Fтр = N. Удобно начать рассмотрение с бруска, поскольку он
движется только под действием силы трения
Fтр = m2a,
N  m2g = 0.
Получаем Fтр = m2g, откуда a = g.
Именно при этом ускорении системы
брусок начнет скользить по доске. Для
определения силы F можно записать 2-ой закон Ньютона для доски (надо учесть,
что на доску со стороны бруска действует сила трения, направленная назад и равная, по 3-му закону Ньютона, m2g). Но проще записать закон Ньютона для всей
системы
F = (m1 + m2)a = (m1 + m2)g = 30 Н.
Задача 15. Через блок с неподвижной осью перекинута нить, к концам которой
прикреплены грузы по 400 г каждый. На один из грузов положили перегрузок массой
200 г. Найдите силу давления (в мН) перегрузка
на груз в процессе движения. g = 10 м/с2.
Запишем уравнение движения для груза
массой M, ускорение которого направлено
вверх, и для груза с перегрузком общей массой
M+m, ускорение которых направлено вниз, в
проекции на вертикальную ось
T  M g  M a,
(M  m)g  T  (M  m)a
(положительное направление для каждого тела
мы направили вдоль его ускорения). Равенство
по величине ускорений правого и левого тела
является следствием нерастяжимости нити, а равенство сил натяжения на разных
концах нити — следствием невесомости нити (см. задачу 12) и идеальности блока
(для раскручивания невесомого блока без трения не нужен вращательный момент).
Складывая уравнения, находим ускорение грузов
a
m
g.
2M  m
Чтобы найти силу давления перегрузка на груз, запишем уравнение движения перегрузка (сила реакции со стороны груза равна силе давления по 3-му закону Ньютона)
mg  N = ma.
Получаем
N  m(g  a) 
2Mm
g  1,6 Н = 1600 мН.
2M  m
31
Задача 16. К потолку кабины лифта, поднимающегося с ускорением 2 м/с2,
прикреплен динамометр. К динамометру подвешен блок, свободно вращающийся вокруг горизонтальной оси. Через блок перекинута нить, к концам которой
прикреплены грузы массами 1 кг и 3 кг. Определите показания динамометра.
g = 10 м/с2.
Из невесомости блока следует, во-первых, что силы натяжения нити T справа
и слева от блока равны друг другу (для раскручивания невесомого блока без трения
не нужен вращательный момент) и, во-вторых, что сила F, действующая на ось
блока со стороны динамометра, равна 2T. Действительно, 2-ой закон Ньютона для
блока имеет вид: F  2T = 0 (члены mg и ma равны нулю вследствие невесомости
блока).
Найдем силу натяжения нити из уравнений движения для грузов. Выберем на
этот раз общую ось y для обоих грузов (вертикально вверх). Получим
Т  m1g = m1a1y,
Т  m2g = m2a2y.
Из нерастяжимости нити следует кинематическая связь между ускорением блока
(лифта) и ускорениями грузов (см. Глава 1, задача 36)
2a = a1y + a2y.
Решая совместно эти уравнения, получаем
T
2m1m2 (g  a)
m1  m2
F  2T 
4m1m2 (g  a)
= 36 Н.
m1  m2
Замечание. Ответ для силы натяжения нити выглядит так же, как и в случае
неподвижного блока, только вместо g стоит (g + a). Это есть проявление общего
правила: переход в поступательно движущуюся систему отсчета приводит к замене

 
g на (g  a) . Подробнее см. замечание к задаче 7.
Задача 17. Невесомый стержень может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку, которая делит стержень в отношении
1:2. На концах стержня закреплены одинаковые грузы массой 0,5 кг каждый.
Стержень приводят в горизонтальное положение и отпускают. С какой силой
действует он на ось сразу после этого? g = 10 м/с2.
Первый груз начнет опускаться вниз с ускорением a1, второй груз — подниматься вверх с ускорением a2. Запишем для них 2-ой закон Ньютона в проекции на
оси, совпадающие с ускорениями
mg  N1 = ma1,
N2  mg = ma2,
где N1, N2 — силы, с которыми стержень действует на грузы.
32
Из невесомости стержня следует связь между силами: N2 = 2N1.
Действительно, на стержень со
стороны грузов действуют такие
же силы, но направленные в другую сторону, а из невесомости
стержня следует, что сумма вращательных моментов относительно
оси O равна нулю: N1(2l) = N2l. Из того же, что стержень жесткий, следует связь
между ускорениями грузов: a1 = 2a2. Действительно, малое смещение груза 1 в два
раза больше, чем смещение груза 2. Подставим эти связи в уравнения
mg  N1 = m(2a2),
2N1  mg = ma2.
Исключая ускорение, находим N1 = (3/5)mg, N2 = (6/5)mg. Из второго закона Ньютона для стержня следует, что сила, действующая на стержень со стороны оси,
направлена вверх и равна N1+ N2 = (9/5)mg = 9 Н. Этому же равна сила R, действующая на ось (но она направлена вниз).
Задача 18. Какое расстояние пройдет тело, свободно падая без начальной
скорости в течение 3 с у поверхности планеты, радиус которой на одну треть
меньше радиуса Земли, а средняя плотность вещества на 40% меньше, чем средняя плотность Земли? g = 10 м/с2.
За время t тело пройдет путь
s
gп t 2
,
2
где gп — ускорение свободного падения на поверхности планеты. Выразим ускорение свободного падения через среднюю плотность вещества планеты п
gп  G
Mп
Rп2
G
п

4
3
Rп3
Rп2
  4 G R .
3
п
п
Записав в таком же виде ускорение свободного падения на Земле, найдем отношение gп к g
 
2
gп  п Rп 0,6 3 R


 0,4.
g
R
R
Подставляя gп = 4 м/с2 в формулу для s, получаем s = 18 м.
Задача 19. Какую скорость должен иметь искусственный спутник, чтобы
обращаться по круговой орбите на высоте 3600 км над поверхностью Земли?
Радиус Земли 6400 км. Ускорение силы тяжести на поверхности Земли 10 м/с2.
33
Из уравнения движения для спутника на высоте h
G
mM
v2
m
2
( R  h)
( R  h)
находим v2 = GM/(R + h). Из формулы для ускорения свободного падения на поверхности Земли выражаем GM = gR2. Окончательно получаем
v
gR 2
= 6400 м/с.
R h
Задача 20. Во сколько раз период обращения спутника, движущегося на расстоянии 21600 км от поверхности Земли, больше периода обращения спутника,
движущегося на расстоянии 600 км от ее поверхности? Радиус Земли 6400 км.
Запишем уравнение движения для двух спутников, движущихся по круговым
орбитам разных радиусов
2
2
G
 2 
mM
 m  r1
 T1 
r12
G
 2 
mM
 m  r2
 T2 
r22
где r1 = R + h1 = 28000 км и r2 = R + h2 = 7000 км — радиусы орбит, по которым
движутся спутники, 1 = 2/T1 и 2 = 2/T2 — угловые скорости их вращения. Поделив уравнения друг на друга, получим
T12 r13

T22 r23
(3-й закон Кеплера для круговых орбит). Подставив r1/r2 = 4, получим T1/T2 = 8.
Задача 21. Автомобиль массой 1000 кг едет по выпуклому мосту, радиус
кривизны которого 250 м, со скоростью 72 км/ч. С какой силой (в кН) давит автомобиль на мост в точке, направление на
которую из центра кривизны моста составляет 30° с вертикалью? g = 10 м/с2.
3 = 1,72.
Из кинематики известно, что если направить ось координат по радиусу (от тела к
центру окружности), то проекция ускорения
на эту ось будет равна v2/R (или 2R). Проекция уравнения движения на эту ось имеет
вид
N  mgcos   m
v2
.
R
34
Отсюда находим силу нормальной реакции N (которая по 3-му закону Ньютона
равна силе давления на мост)
N  mg cos  m
v2
 7 кН.
R
Задача 22. Вес некоторого тела на полюсе Земли на 313,6 мН больше, чем
его вес на экваторе. Чему равна масса этого тела? Угловая скорость вращения
Земли вокруг своей оси 7105 рад/с, радиус Земли 6400 км. Землю считать идеальным шаром.
По 3-му закону Ньютона вес равен
силе реакции опоры. На полюсе тело покоится, а на экваторе — движется по окружности вследствие вращения Земли. Из
уравнений движения тела в этих двух положениях
N1  mg = 0,
mg  N2 = m2R
получаем N1  N2 = m2R, откуда
m=
N
= 10 кг.
2R
Задача 23. Тонкую цепочку длиной
1 м и массой 200 г замкнули в круглое
кольцо, положили на гладкую горизонтальную поверхность и раскрутили вокруг вертикальной оси так, что скорость
каждого элемента цепочки равна 5 м/с. Найдите натяжение цепочки.
Рассмотрим маленький участок цепочки, который виден из центра под
углом  и масса которого равна m =
m(R)/l, где l — длина цепочки. На его
концы действуют две силы натяжения F,
угол между которыми равен (180  ).
Равнодействующая этих сил равна F
и направлена к центру окружности. Уравнение движения этого участка имеет вид
F  m
откуда после подстановки m получаем
v2
,
R
35
F=
mv 2
= 5 Н.
l
Задача 24. С какой минимальной скоростью должен ехать мотоциклист по
внутренней поверхности вертикального цилиндра радиусом 10 м, чтобы все время
оставаться в одной горизонтальной плоскости? Коэффициент трения между
шинами мотоцикла и поверхностью цилиндра 0,25. g = 10 м/с2.
Запишем 2-ой закон Ньютона в проекции на две оси: на горизонтальную ось x,
направленную от тела к центру окружности,
N m
v2
R
и на вертикальную ось y
Fтр  mg = 0.
При "благополучной" езде сила трения покоя, приложенная к катящимся по поверхности колесам (в точке касания скорость равна нулю), уравновешивает силу тяжести.
Такое устойчивое движение возможно лишь при достаточно большой скорости, когда сила нормальной реакции N удовлетворяет неравенству
Fтр  N,
т.е. при
v
gR
 20 м/с.

При уменьшении скорости до этого значения начнется соскальзывание мотоциклиста вниз.
Задача 25. Шарик, подвешенный на легкой нити к потолку, вращается по
окружности, лежащей в горизонтальной плоскости. Расстояние между точкой
подвеса и центром окружности 2,5 м. Найдите угловую скорость вращения шарика. g = 10 м/с2.
Уравнение движения в проекциях на горизонтальную (направленную к центру
окружности) и вертикальную оси имеет вид
Tsin  = m2R,
Tcos   mg = 0,
36
где  — угол, который образует нить с вертикалью при
вращении шарика, R — радиус окружности. Исключая из
этих уравнений силу натяжения нити T и учитывая, что
R = h tg , где h — расстояние от центра окружности до
точки подвеса, получаем

g
 2 рад/с.
h
Задача 26. На внутренней поверхности сферы радиусом 2,75 м находится
маленькая шайба. До какой максимальной угловой скорости можно раскрутить
сферу вокруг вертикальной оси, чтобы шайба не проскальзывала, находясь на
165 см ниже ее центра? Коэффициент трения равен 0,5, g = 10 м/с2.
В задачах такого типа необходимо определить направление проскальзывания (и, тем самым, направление силы трения в момент начала
проскальзывания). В данном случае сила трения
покоя может быть направлена как вверх вдоль
поверхности (при малых ), так и вниз (при
больших). Поскольку в условии просят определить максимальную угловую скорость, то силу
трения надо направить вниз (шайба начнет проскальзывать вверх). Второй закон Ньютона в
проекциях на горизонтальную и вертикальную
оси имеет вид
N sin   Fтр cos   m2R sin ,
N cos   Fтр sin   mg  0,
где cos  = h/R = 0,6, sin  = 0,8. Момент начала
проскальзывания определяется условием Fтр = N. Подставив N в оба уравнения и
исключив N, получим

g tg   
 5 рад с.
R sin  1   tg 